WEBVTT 00:07.040 --> 00:08.260 Guten Morgen allerseits. 00:08.680 --> 00:14.960 Ich möchte heute mit einem tragischen Fall das Kapitel Unabhängigkeit 00:14.960 --> 00:16.640 von Ereignissen beschließen. 00:17.240 --> 00:20.000 Wir werden das aber wieder aufgreifen im Zusammenhang mit 00:20.000 --> 00:20.780 Zufallsvariablen. 00:20.840 --> 00:23.280 Der tragische Fall ist eine englische Familie. 00:24.900 --> 00:33.120 Da hat eine Frau beide Kinder verloren innerhalb von einem Monat durch 00:33.120 --> 00:34.380 plötzlichen Kindstod. 00:34.800 --> 00:38.360 Nach dem Tod des ersten Kindes wurde das diagnostiziert. 00:38.640 --> 00:40.560 Es ist nichts weiter passiert. 00:41.140 --> 00:46.200 Aber als dann das zweite Kind starb an den gleichen Ursachen, wurde 00:46.200 --> 00:51.360 die Mutter vor Gericht gestellt und sie wurde wegen Mordes verurteilt 00:51.360 --> 00:52.440 und kam ins Gefängnis. 00:54.080 --> 01:01.160 Es war so, dass sie wurde verurteilt und es wurde ein Gutachten 01:01.160 --> 01:03.200 eingeholt von einem renommierten Kinderarzt. 01:04.340 --> 01:08.620 Es war eine wohlhabende Familie, eine Nichtraucherfamilie. 01:10.300 --> 01:14.500 Wenn AJ das Ereignis bezeichnet, dass in einer solchen Familie das J 01:14.500 --> 01:18.280 -Kind durch plötzlichen Kindstod stirbt, dann ist die 01:18.280 --> 01:23.760 Wahrscheinlichkeit dafür aus Schätzungen ungefähr 1 zu 8500. 01:26.300 --> 01:34.320 Dieser renommierte Kinderarzt hat nun folgendermaßen argumentiert, die 01:34.320 --> 01:38.240 Ereignisse seien stochastisch unabhängig, dass das erste Kind stirbt 01:38.240 --> 01:40.960 an dieser Ursache und das zweite Kind stirbt und hat die 01:40.960 --> 01:45.100 Wahrscheinlichkeiten dann multipliziert wegen der Unabhängigkeit und 01:45.100 --> 01:48.560 kam dann zu dem Ergebnis, die Wahrscheinlichkeit ist eben dann mit 1 01:48.560 --> 01:53.920 zu 72 Millionen circa so klein, als eben andere Ursachen 01:53.920 --> 01:55.340 ausgeschlossen sind. 01:55.560 --> 01:59.420 Und das Interessante ist, die Jury interpretierte diese 01:59.420 --> 02:02.540 Wahrscheinlichkeit noch als Wahrscheinlichkeit für die Unschuld der 02:02.540 --> 02:02.760 Mutter. 02:03.360 --> 02:05.020 Also das kommt hinzu. 02:05.900 --> 02:13.240 Danach ging doch ein Aufschrei durch manche Gruppen, schaltete sich 02:13.240 --> 02:16.740 dann die Royal Statistical Society ein, das ist also die 02:16.740 --> 02:23.240 Dachorganisation der Statistiker in England, und sagte, mitnichten 02:23.240 --> 02:27.820 seien diese beiden Ereignisse stochastisch unabhängig, denn es sei 02:27.820 --> 02:32.880 klar, es könnte eben Umweltfaktoren geben oder genetische Faktoren. 02:32.960 --> 02:37.840 Das heißt, wenn das erste Kind durch plötzlichen Kindstod stirbt, dann 02:37.840 --> 02:41.840 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das zweite stirbt unter der 02:41.840 --> 02:46.320 Bedingung, dass das erste stirbt, wesentlich größer als die unbedingte 02:46.320 --> 02:47.140 Wahrscheinlichkeit. 02:47.240 --> 02:50.900 Man denke eben an sowas wie Umweltfaktoren oder genetische Faktoren 02:50.900 --> 02:51.780 und ähnliches mehr. 02:52.300 --> 02:56.180 Dann kam es zum Berufungsverfahren und Sally Clark wurde 02:56.180 --> 02:59.100 freigesprochen in einem zweiten Berufungsverfahren. 03:01.200 --> 03:03.860 Leider hat sie das Ganze nicht überlebt. 03:03.960 --> 03:05.860 Sie hat dann irgendwann Selbstmord bekommen. 03:06.020 --> 03:07.080 Sie hat es einfach nicht verwunden. 03:07.200 --> 03:10.500 Insofern ist es ein sehr tragischer Fall, aber er zeigt eben, wie 03:10.500 --> 03:14.080 vorsichtig man umgehen muss mit solchen Begriffen wie stohastische 03:14.080 --> 03:14.960 Unabhängigkeit. 03:15.160 --> 03:17.560 Also hier liegt es eigentlich auf der Hand. 03:17.860 --> 03:19.860 Das sagt einem schon der gesunde Menschenverstand. 03:20.400 --> 03:25.060 Man weiß im Grunde nicht wirklich, wie es dazu gekommen ist. 03:25.240 --> 03:30.040 Die Jury hat das auch dann geglaubt und dann ist die Frau wirklich 03:30.040 --> 03:30.780 verurteilt worden. 03:32.440 --> 03:34.840 Und erst danach kamen Dinge in Gang. 03:36.060 --> 03:37.960 Ein ähnlicher Fall war in Holland. 03:40.300 --> 03:45.440 Das war eine Krankenschwester, Lucia de Berg. 03:45.560 --> 03:48.500 Beide Fälle sind im Internet ausführlich dokumentiert. 03:49.400 --> 03:50.360 Also auch ein Fehlurteil. 03:50.520 --> 03:51.500 Sie wurde auch freigesprochen. 03:52.080 --> 03:54.080 Der Fall ist jetzt nicht ganz so tragisch. 03:55.500 --> 03:59.300 Ja, das zeigt eben wirklich, dass Stohastik auch vor Gericht dann 03:59.300 --> 04:01.660 verwendet wird und nicht immer richtig. 04:03.580 --> 04:09.740 Das ist eben das Spannende an der Stohastik, dass sie wirklich dann 04:09.740 --> 04:12.180 vorkommt und damit auch argumentiert wird. 04:12.400 --> 04:14.900 Gerade vor Gericht, wenn es um Indizien, Beweise geht. 04:15.440 --> 04:18.880 Man kann nur hoffen, dass die Richter und die Geschworenen, dann die 04:18.880 --> 04:23.900 Jury, dass sie eben mal eine Vorlesung in Stohastik gehört haben und 04:23.900 --> 04:25.060 hinreichend sensibel sind. 04:26.240 --> 04:28.760 Okay, ich möchte das aber jetzt abschließen. 04:30.420 --> 04:33.140 Ich möchte zu einem Kapitel kommen, bei dem gleich auch die 04:33.140 --> 04:34.360 Unabhängigkeit wieder auftritt. 04:35.060 --> 04:38.060 Zufallsvektoren und der Begriff der gemeinsamen Verteilung. 04:38.800 --> 04:40.740 Ich möchte das mit einem Beispiel einführen. 04:40.860 --> 04:42.800 Daran sieht man eigentlich schon sehr viel. 04:43.000 --> 04:46.580 Das Beispiel ist, wir betrachten den zweifachen Würfelwurf und 04:46.580 --> 04:50.140 interessieren uns nicht für eine Zufallsvariable, wie zum Beispiel die 04:50.140 --> 04:53.580 Augensumme, sondern für zwei Zufallsvariablen. 04:53.660 --> 04:55.720 Wir können uns auch für drei interessieren. 04:55.820 --> 04:59.940 Beim zweifachen Würfelwurf könnte eine Zufallsvariable sein, die 04:59.940 --> 05:01.480 Augenzahl des ersten Wurfs. 05:01.880 --> 05:02.740 Das ist eine Zufallsvariable. 05:02.900 --> 05:04.700 Die Augenzahl des zweiten Wurfs ist eine zweite. 05:04.860 --> 05:06.180 Die Summe ist eine dritte. 05:06.620 --> 05:08.900 Die Differenz aus beiden Augenzahlen ist die vierte. 05:09.180 --> 05:11.500 Die kleinste Augenzahl ist eine fünfte Zufallsvariable. 05:11.600 --> 05:13.640 Die größte Augenzahl ist eine sechste Zufallsvariable. 05:13.700 --> 05:17.680 Wir können also mehrere Zufallsvariablen betrachten auf ein und 05:17.680 --> 05:18.820 demselben Grundraum. 05:19.900 --> 05:23.280 Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung, eine reellwertige Abbildung. 05:23.600 --> 05:26.680 Wenn Sie mehrere solche Abbildungen betrachten und schreiben die als 05:26.680 --> 05:29.300 Vektor mit Komponenten, haben Sie eine vektorwertige Abbildung. 05:29.720 --> 05:31.960 Und die werden wir Zufallsvektor nennen. 05:32.060 --> 05:35.900 Also mathematisch ist das überhaupt nicht spannend, denn Sie kennen 05:35.900 --> 05:38.000 vektorwertige Abbildungen auch in der Analyse. 05:38.140 --> 05:42.500 Spätestens im zweiten Semester, Analyse 2, betrachten Sie Funktionen 05:42.500 --> 05:44.640 vom RhoN in den RhoK. 05:47.340 --> 05:48.840 Das Beispiel ist folgendes. 05:48.880 --> 05:50.300 Wir betrachten diesen Grundraum. 05:50.860 --> 05:57.120 Sie sehen, das soll stehen für die Menge der Paare von Augenzahlen. 05:57.280 --> 06:00.720 I ist die Augenzahl des ersten Wurfs, J die des zweiten Wurfs. 06:00.840 --> 06:02.460 Sie haben 36 solche Paare. 06:02.960 --> 06:04.260 P sei die Gleichverteilung. 06:04.900 --> 06:08.700 Wir arbeiten mit einem Laplace-Modell, also ganz ganz einfaches 06:08.700 --> 06:09.140 Beispiel. 06:10.160 --> 06:12.540 Und die erste Zufallsvariable habe ich hier X genannt. 06:13.280 --> 06:16.100 X ordnet eben diesem Paar zu, die erste Komponente. 06:16.240 --> 06:18.660 Das heißt, X beschreibt die Augenzahl des ersten Wurfs. 06:19.480 --> 06:22.120 Die andere Zufallsvariable möchte ich Y nennen. 06:23.120 --> 06:26.360 Y ordnet diesem Augenpaar zu, das Maximum. 06:26.420 --> 06:28.880 Das wäre die größte Augenzahl aus beiden Würfen. 06:29.000 --> 06:33.180 Wir betrachten jetzt diese beiden Zufallsvariablen gemeinsam und 06:33.180 --> 06:37.420 betrachten Ereignisse, die durch beide Zufallsvariablen festgelegt 06:37.420 --> 06:37.580 sind. 06:37.680 --> 06:41.960 Was uns interessiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert K 06:41.960 --> 06:49.280 annimmt, also die erste Augenzahl des ersten Wurfs gleich K, und das 06:49.280 --> 06:51.800 Maximum der Augenzahlen, das ist Y gleich L. 06:52.760 --> 06:55.580 Die beiden Ereignisse sollen gleichzeitig eintreten, den Schnitt. 06:56.020 --> 06:58.120 Wir werden das später auch ein bisschen einfacher schreiben. 06:59.000 --> 07:02.780 Und hier können wir uns das in Form einer Matrix vorstellen. 07:02.940 --> 07:05.860 Das heißt, hier läuft das K, das sind die Werte, die das X annimmt. 07:06.240 --> 07:08.540 Da haben wir natürlich die Möglichkeiten von 1 bis 6. 07:09.840 --> 07:15.220 Und L sei das mögliche Maximum. 07:15.320 --> 07:17.420 Auch das nimmt die Werte von 1 bis 6 an. 07:19.480 --> 07:23.900 Und was uns jetzt interessiert, wir sehen uns an, was in der Tabelle 07:23.900 --> 07:24.320 passiert. 07:24.800 --> 07:27.700 Also hier wäre der erste Fall der, dass wir uns überlegen oder 07:27.700 --> 07:29.600 überlegen möchten, was steht hier oben. 07:30.060 --> 07:30.680 Das ist also hier. 07:30.900 --> 07:34.940 Das heißt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Augenzahl, die 07:34.940 --> 07:39.060 Augenzahl des ersten Wurfs, gleich 1 und das Maximum auch gleich 1. 07:39.640 --> 07:43.480 Das kann nur funktionieren, wenn an der ersten Komponente eine 1 steht 07:43.480 --> 07:45.740 und die zweite muss auch 1 sein. 07:45.840 --> 07:48.220 Wenn sie größer wäre als 1, wäre das Maximum nicht 1. 07:48.700 --> 07:52.000 Das bedeutet, an dieser ersten Stelle steht 1,36. 07:54.000 --> 07:55.580 Jetzt gehen wir die Zeile durch. 07:56.360 --> 07:59.160 Erste Augenzahl gleich 1, Maximum gleich 2. 07:59.460 --> 08:02.920 Das ist genau ein Fall, nämlich das Ergebnis 1,2. 08:03.480 --> 08:05.520 Auch das hat die Wahrscheinlichkeit 1,36. 08:06.720 --> 08:08.700 Und so baut sich die erste Reihe auf. 08:11.680 --> 08:16.300 Jetzt kommt auch eine simple Erkenntnis, aber eine grundlegende. 08:16.820 --> 08:21.040 Nun, da steht jetzt, die erste Augenzahl ist 2. 08:21.220 --> 08:22.660 Wir gehen jetzt in die nächste Spalte. 08:22.780 --> 08:23.500 Wir gehen jetzt hier rein. 08:24.020 --> 08:26.780 Erste Augenzahl ist 2 und Maximum soll 1 sein. 08:27.060 --> 08:31.100 Das haut natürlich nicht hin, weil das Maximum schon mindestens 2 ist. 08:31.380 --> 08:34.220 Wenn die erste Augenzahl gleich 2 ist, das bedeutet, diese 08:34.220 --> 08:35.300 Wahrscheinlichkeit ist 0. 08:36.400 --> 08:42.080 Man sieht allgemein, alle Felder hier sind 0, wo das Maximum einen 08:42.080 --> 08:44.800 kleineren Wert annehmen soll als schon die erste Augenzahl. 08:44.880 --> 08:45.460 Das geht nicht. 08:46.160 --> 08:50.520 Das bedeutet, unterhalb dieser Diagonalen, da stehen lauter 0. 08:52.440 --> 08:57.020 Wenn wir uns jetzt den nächsten interessanten Fall noch ansehen, dann 08:57.020 --> 08:59.700 wird eigentlich alles schon klar, das wäre jetzt dieser hier. 09:00.160 --> 09:03.940 Das heißt, Maximum gleich 2 und erste Augenzahl gleich 2. 09:04.120 --> 09:06.920 Und wenn die erste Augenzahl gleich 2 ist, die ist festgelegt an die 09:06.920 --> 09:10.240 zweite Stelle des Tupels, kann aber, wenn das Maximum gleich 2 ist, 09:10.580 --> 09:11.520 kann nur die 1 stehen. 09:11.640 --> 09:15.100 Das ist möglich, dann ist das Maximum angenommen durch die erste 09:15.100 --> 09:16.140 Augenzahl oder 2. 09:16.640 --> 09:20.800 Das heißt, ich habe die beiden Fälle 2,1 und 2,2 und die beiden 09:20.800 --> 09:22.660 Wahrscheinlichkeiten werden zusammengezählt. 09:23.040 --> 09:25.540 Das bedeutet, diese Wahrscheinlichkeit ist 2,36. 09:28.180 --> 09:30.780 Wenn wir jetzt die Zeile weitergehen nach rechts, sehen Sie, erste 09:30.780 --> 09:34.220 Augenzahl 2 und zweite Augenzahl und Maximum gleich 3. 09:34.400 --> 09:37.240 Das geht nur bei einem Ergebnis wieder 2,3. 09:38.300 --> 09:39.040 Anders geht das nicht. 09:39.660 --> 09:42.400 Dann ist genau die erste Augenzahl 2 und Maximum gleich 3. 09:42.740 --> 09:46.280 Das heißt, wir haben wieder 1,36 und das zieht sich nach rechts durch. 09:47.620 --> 09:50.700 Wenn wir jetzt diesen Fall auf der Diagonalen ansehen, das ist jetzt 09:50.700 --> 09:56.360 die erste Augenzahl gleich 3 hier und das Maximum gleich 3, das sind 09:56.360 --> 09:57.120 jetzt drei Fälle. 09:57.420 --> 10:00.980 3,1, erste Augenzahl 3, Maximum 3. 10:01.780 --> 10:06.460 3,2 ist auch Maximum 3, erste Augenzahl 3 und 3,3. 10:06.840 --> 10:09.460 Das heißt, diese Wahrscheinlichkeit ist 3,36. 10:11.780 --> 10:15.040 Und nach rechts haben wir wieder Fälle, die haben alle die 10:15.040 --> 10:16.500 Wahrscheinlichkeit 1,36. 10:19.040 --> 10:22.920 Wir sehen, in jeder Zeilensumme kommen 6,36 raus. 10:23.160 --> 10:24.960 Das hat auch seinen Sinn, 1,6. 10:26.100 --> 10:29.800 So, der nächste Fall, kurzes Nachdenken, aber jetzt ist eigentlich 10:29.800 --> 10:33.580 schon klar, das bedeutet, erste Augenzahl ist 4 und Maximum 4. 10:34.060 --> 10:38.100 Das sind die vier Fälle, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4. 10:38.180 --> 10:39.160 Das sind 4,36. 10:39.740 --> 10:42.020 Und nach rechts geht es weiter mit 1,36. 10:43.440 --> 10:46.980 Und hier auf der Diagonal, jetzt haben wir Maximum 5 und erste 10:46.980 --> 10:51.540 Augenzahl 5, 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5. 10:51.660 --> 10:53.180 Fünf Fälle von 36. 10:53.780 --> 10:56.240 Hier wieder 1,36 und das sind 6,36. 10:57.040 --> 11:00.840 6,1, 6,2, 6,3 und so weiter bis 6,6. 11:01.800 --> 11:06.260 Das heißt, hier haben wir das, was wir später gemeinsame Verteilung 11:06.260 --> 11:07.800 nennen, von X und Y. 11:08.260 --> 11:11.400 Wir nehmen jetzt jeweils endlich viele Werte an, in Form so einer 11:11.400 --> 11:12.680 Matrix aufgeschrieben. 11:13.920 --> 11:19.240 Die Zeilen sind nummeriert nach den Realisierungen von X, 1 bis 6 und 11:19.240 --> 11:21.720 die Spalten auch nach den Realisierungen von 1 bis Y. 11:22.340 --> 11:26.060 Wenn wir uns jetzt mal die Summen ansehen, die am Rand auftreten, 11:26.880 --> 11:30.480 kommen wir zu den sogenannten Randverteilungen. 11:30.640 --> 11:33.880 Wenn wir hier die Summe bilden der Zahlen in der ersten Seile, 11:34.040 --> 11:35.040 bekommen wir ein Sechstel. 11:35.200 --> 11:38.260 Sie sehen aber auch, die Summe der Zahlen in der zweiten Seile ist 11:38.260 --> 11:41.000 auch ein Sechstel, auch ein Sechstel, noch mal ein Sechstel. 11:41.080 --> 11:42.280 Das heißt, Sie sehen immer ein Sechstel. 11:42.760 --> 11:45.620 Und das sind exakt die Wahrscheinlichkeiten, dass X den Wert K 11:45.620 --> 11:45.940 annimmt. 11:46.040 --> 11:48.040 Denn X ist die Augenzahl beim ersten Wurf. 11:48.280 --> 11:49.440 Wir haben eine Gleichverteilung. 11:50.180 --> 11:50.900 Laplace-Modell. 11:51.140 --> 11:57.200 Die Gleichverteilung auf den Kombinationen überträgt sich dann auch 11:57.200 --> 11:59.920 auf die Zufallsvariable X in dem Fall. 12:01.200 --> 12:04.860 Man sieht hier, wir haben nur das Junkte Fälle zusammengezählt, also 12:04.860 --> 12:09.960 die Augenzahl in der ersten Seile, das wäre hier die Augenzahl des 12:09.960 --> 12:14.960 ersten Wurfs, ist 1, ist eben in Kombination mit diesen Werten für das 12:14.960 --> 12:15.560 Maximum. 12:16.280 --> 12:19.760 Entsprechend ist die Augenzahl für den zweiten Wurf gleich 2. 12:23.800 --> 12:25.860 Dann haben wir ein Sechstendreißigstel. 12:26.020 --> 12:28.860 Wenn Sie die Summe der Zahlen der zweiten Spalte nehmen, drei 12:28.860 --> 12:32.580 Sechstendreißigstel, dann fünf Sechstendreißigstel, dann sieben 12:32.580 --> 12:35.060 Sechstendreißigstel, neun Sechstendreißigstel und elf 12:35.060 --> 12:35.960 Sechstendreißigstel. 12:36.440 --> 12:39.320 Und wenn Sie jetzt diese Zahlen der letzten Spalte nehmen und die 12:39.320 --> 12:43.060 aufsummieren und auch die der letzten Zeile und auch die der letzten 12:43.060 --> 12:45.320 Spalte, dann bekommen Sie jeweils 1. 12:45.640 --> 12:49.000 Und was Sie da unten sehen, sind genau die Wahrscheinlichkeiten, dass 12:49.000 --> 12:52.900 das Maximum die verschiedenen Werte annimmt, die es annehmen kann, 12:53.180 --> 12:54.660 nämlich 1 bis 6. 12:55.280 --> 12:57.900 Maximum 1 ist eben nur ein Fall, 1,1. 12:59.000 --> 13:07.320 Maximum gleich 2, da haben wir jetzt die drei Fälle, 1,2, 2,1, 2,2. 13:08.000 --> 13:09.300 Genau, dann ist das Maximum 2. 13:09.440 --> 13:11.320 Das sind drei Fälle von 36. 13:11.680 --> 13:22.340 Maximum 3 heißt 3,1, 1,3, 3,2, 2,3 oder 3,3. 13:22.520 --> 13:22.940 Fünf Fälle. 13:22.940 --> 13:27.940 Das heißt hier, durch Summation der Spalten bekommen wir die 13:27.940 --> 13:32.860 Wahrscheinlichkeiten raus, dass Y gewisse Werte annimmt, dann von 1 13:32.860 --> 13:33.220 bis 6. 13:33.280 --> 13:34.680 Die entstehen an den Rändern. 13:37.140 --> 13:40.220 Lateinisch ist der Rand, Margo, im Englischen margin. 13:40.920 --> 13:44.380 Die werden wir dann später als Marginalverteilung bezeichnen, weil sie 13:44.380 --> 13:47.800 sich ergeben aus der gemeinsamen Verteilung durch diese 13:47.800 --> 13:49.020 Summationsbildung. 13:52.480 --> 13:56.940 Wir können in dem Fall auch die gemeinsame Verteilung als Stabdiagramm 13:56.940 --> 13:58.220 darstellen über der Ebene. 13:58.760 --> 14:02.760 Wir sehen also, es wird einmal K aufgetragen und einmal L aufgetragen. 14:03.820 --> 14:06.680 Jetzt kann ich nach oben die Wahrscheinlichkeiten auftragen, dass X 14:06.680 --> 14:10.080 den Wert K annimmt und zugleich Y den Wert L. 14:10.120 --> 14:13.140 Bitte beachten Sie diese Schreibweise, die ich später noch genauer 14:13.140 --> 14:13.720 definiere. 14:14.200 --> 14:17.340 Diese Schreibweise oben ist die Kurzschreibweise dafür, dass das 14:17.340 --> 14:21.600 Ereignis X gleich K eintritt und das Ereignis Y gleich L. 14:23.320 --> 14:24.820 Das UND ist also hier ein Komma. 14:25.020 --> 14:26.960 Beide Ereignisse sollen eintreten. 14:27.660 --> 14:30.680 Dann haben wir gesehen, das hier war 1,1, das ist 1,36. 14:31.460 --> 14:35.280 Dann auch 1,36, da war K gleich 1, d.h. 14:35.360 --> 14:37.060 diese Stäbchen sind 1,36. 14:37.520 --> 14:44.380 Dann hatten wir hier was doppelt so hohes, 2,36, dann 1,36 wieder. 14:45.120 --> 14:51.520 Dann kamen 3,36, 1,36, 1,36, 1,36 und so geht das weiter. 14:52.120 --> 14:55.240 Das wird eben noch höher, das wird noch höher und das wird noch höher. 14:55.620 --> 14:55.780 D.h. 14:55.900 --> 14:59.440 das ist das Stabdiagramm dieser, man sagt manchmal auch 14:59.440 --> 15:02.420 Verbundwahrscheinlichkeiten, in der Schule werden Sie diesen Begriff 15:02.420 --> 15:06.960 oft kennenlernen, dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten, dass die 15:06.960 --> 15:10.680 eine Zufallswabe den Wert K annimmt und die andere den Wert L. 15:11.460 --> 15:16.180 Und jetzt kann man eben durch Summation auf diese Wahrscheinlichkeiten 15:16.180 --> 15:21.820 kommen, indem man jetzt Richtung L-Achse oder wenn Sie wollen, das 15:21.820 --> 15:25.860 erste ist die x-Achse hier nach schräg unten, das andere die y-Achse 15:25.860 --> 15:29.680 und das ist die z-Achse, entstehen natürlich hier durch Summation 15:29.680 --> 15:34.500 diese Wahrscheinlichkeiten 1,36, 3, 5, 7, 9 und 11. 15:34.700 --> 15:34.960 D.h. 15:35.140 --> 15:37.160 hier entsteht die Verteilung von Y. 15:37.940 --> 15:39.920 Da sehen Sie das Stabdiagramm, d.h. 15:40.000 --> 15:43.840 wir haben hier dargestellt die gemeinsame Verteilung der ersten 15:43.840 --> 15:47.340 Augenzahl und der größten Augenzahl beim zweifachen Würfelwurf. 15:47.660 --> 15:49.780 Das wäre das blaue Stabdiagramm. 15:50.420 --> 15:53.500 Dann erkennt man da hinten, wir hätten natürlich auch nach vorne noch 15:53.500 --> 15:57.560 die Gleichverteilung haben können, aber das ist relativ uninteressant. 15:59.060 --> 16:04.600 Das wäre die gemeinsame Verteilung und diese Marginalverteilung von Y. 16:05.840 --> 16:08.000 Ich möchte das jetzt allgemein einführen. 16:08.860 --> 16:11.660 Jetzt müssen Sie flexibel sein in der Bezeichnung. 16:11.760 --> 16:17.920 Bislang waren X und Y die beiden Komponenten eines zweidimensionalen 16:17.920 --> 16:19.660 Zufallsvektors, zwei Zufallsvariablen. 16:19.940 --> 16:22.560 Jetzt nenne ich die Zufallsvariablen X1 bis Xn. 16:23.260 --> 16:23.520 D.h. 16:23.640 --> 16:28.200 wir haben hier die Begriffe Zufallsvektor und gemeinsame Verteilung. 16:28.580 --> 16:29.560 Was ist damit gemeint? 16:30.560 --> 16:32.740 Ich habe einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. 16:34.660 --> 16:39.140 Immer daran denken, später wird stillschweigend, ohne dass ich es noch 16:39.140 --> 16:42.540 mal groß erwähne, dort eine Menge Omega 0 auftreten. 16:42.640 --> 16:46.500 Das war in dem Omega, was durchaus überabzählbar sein kann, eine 16:46.500 --> 16:50.860 abzählbare Teilmenge und die hatte die Wahrscheinlichkeit 1. 16:52.860 --> 16:55.940 Das war unsere Definition des allgemeinen diskreten 16:55.940 --> 16:57.000 Wahrscheinlichkeitsraums. 16:57.980 --> 16:59.680 Jetzt habe ich Zufallsvariablen. 16:59.720 --> 17:03.220 Sie sehen, die gehen alle von Omega nach R, aber ich habe N Stück. 17:08.320 --> 17:10.740 Jetzt definiere ich einen Zufallsvektor. 17:11.220 --> 17:13.520 Sie sehen, der Vektor wird jetzt mit X bezeichnet. 17:13.980 --> 17:18.460 Für jedes kleine Omega aus Großomega definiere ich eben diesen Vektor. 17:18.620 --> 17:21.820 X1 von Omega, Xn von Omega sind die Komponenten. 17:21.940 --> 17:26.860 Das ist das, was Sie kennen aus dem ersten Studienjahr, wie man sowas 17:26.860 --> 17:27.480 aufbaut. 17:28.360 --> 17:33.700 Diese Abbildung X geht jetzt von Omega in den R auf N und hat die 17:34.440 --> 17:36.200 Komponentenabbildungen X1 bis Xn. 17:37.840 --> 17:40.940 Das nennen wir dann einen N-dimensionalen Zufallsvektor. 17:41.660 --> 17:44.580 Dieser Zufallsvektor hat die Komponenten X1 bis Xn. 17:44.760 --> 17:49.440 Wir interessieren uns für N Zufallsvariablen auf ein und demselben 17:49.440 --> 17:49.940 Grundraum. 17:51.000 --> 17:53.080 Eben war die Nomenklatur nur anders. 17:53.280 --> 17:55.720 Wir hatten eben den Grundraum Omega beim zweifachen Würfelwurf. 17:55.900 --> 17:58.120 Das eine war X und das andere war Y. 17:58.760 --> 18:00.680 Ich hätte auch sagen können X1 und X2. 18:02.380 --> 18:05.940 Aber bei uns sind jetzt allgemein X1 bis Xn die interessierenden 18:05.940 --> 18:09.160 Zufallsvariablen und mit X bezeichnet bei den ganzen Vektoren. 18:10.620 --> 18:12.120 Also vektorwertige Abbildung. 18:13.780 --> 18:18.820 So und jetzt können wir sofort diesem X als vektorwertige Abbildung 18:18.820 --> 18:20.760 auch eine Verteilung zuordnen. 18:21.020 --> 18:24.840 Das ist formal genauso wie bei einer Zufallsvariablen. 18:24.960 --> 18:26.820 Sie sehen dort ist das P oben X. 18:28.580 --> 18:31.900 Das ist offenbar eine Funktion und die Argumente sind Mengen. 18:32.100 --> 18:32.760 Das ist das M. 18:32.900 --> 18:35.040 Das M ist eine Teilmenge des R hoch N. 18:35.620 --> 18:41.200 Nämlich das einfach definiert als P vom Urbild unter X, unter dieser 18:41.200 --> 18:42.440 Abbildung X von M. 18:43.000 --> 18:44.660 M ist eine Teilmenge des R hoch N. 18:45.840 --> 18:47.960 Und immer daran denken, wie war dieses Urbild definiert. 18:48.040 --> 18:51.720 X hoch minus 1 von M ist die Menge aller kleinen Omega aus Groß-Omega 18:51.720 --> 18:55.720 mit der Eigenschaft X von Omega ist Element M. 18:57.500 --> 18:58.420 Erste Studienjahr. 18:59.280 --> 18:59.720 Urbildabbildung. 19:02.280 --> 19:05.120 Und dieses hier, das ist erstmal, wird gesagt, ist ein 19:05.120 --> 19:07.700 Wahrscheinlichkeitsmaß P oben X. 19:07.780 --> 19:10.300 Das ist auf allen Teilmengen des R hoch N definiert, auf der 19:10.300 --> 19:12.640 Potenzmenge und geht ins Einheitsintervall. 19:12.780 --> 19:14.860 Also hier steckt eine Aussage hinter, hier steckt eine Aussage drin, 19:14.900 --> 19:16.000 das ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 19:17.080 --> 19:20.260 Um sich kurz zu vergewissern, dass es wirklich eins ist, was mussten 19:20.260 --> 19:20.800 wir zeigen? 19:20.900 --> 19:21.920 Wir hatten drei Bedingungen. 19:24.060 --> 19:26.520 Wahrscheinlichkeitsmaß ist immer, die Werte sind immer größer gleich 19:26.520 --> 19:26.740 null. 19:26.900 --> 19:27.580 Das ist der Fall. 19:27.740 --> 19:31.300 Da steht ja P von irgendwas und P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 19:31.400 --> 19:33.880 P von X hoch minus 1 von M ist immer größer gleich null. 19:34.480 --> 19:35.400 Zweite Eigenschaft. 19:35.760 --> 19:38.220 Wenn ich die leere Menge einsetze, kommt null raus. 19:41.060 --> 19:44.320 Das haben wir gefolgert. 19:45.260 --> 19:47.320 Zweite Eigenschaft war Normierung. 19:47.960 --> 19:51.340 Wenn ich den ganzen Grundraum einsetze, kommt eins raus. 19:51.540 --> 19:54.420 Das war die Normierungseigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaßes. 19:54.440 --> 19:57.880 Das heißt, ich muss hier einsetzen für das M den gesamten R hoch N. 19:58.500 --> 20:02.500 Wenn ich den gesamten R hoch N hier einsetze, das Urbild des gesamten 20:02.500 --> 20:05.860 R hoch N, das wäre die Menge aller kleinen Omega aus Großomega, wird X 20:05.860 --> 20:07.400 von Omega ist Element R hoch N. 20:07.560 --> 20:08.240 Aber das sind alle. 20:09.180 --> 20:13.660 Also diese Menge ist der Grundraum Großomega und P von Großomega ist 20:13.660 --> 20:13.980 1. 20:14.520 --> 20:16.580 Das heißt, also diese Bedingung haben wir auch erfüllt. 20:17.240 --> 20:20.680 Die dritte Bedingung war die Sigma-Additivität. 20:21.080 --> 20:24.040 Ich müsste für die, anstelle der Menge M, müsste ich paarweise 20:24.040 --> 20:25.560 disjunkte Mengen einsetzen. 20:25.720 --> 20:27.740 M1, M2, M3 und so weiter. 20:27.780 --> 20:28.980 Ich müsste die alle vereinigen. 20:29.380 --> 20:30.140 Anscheinbar Summe. 20:30.820 --> 20:31.980 Summe M, Mj. 20:32.720 --> 20:36.640 Das heißt, ich müsste hier einsetzen für M Summe M, Mj und ich müsste 20:36.640 --> 20:40.760 rausbekommen, Px von Summe Mj ist Summe Px von Mj. 20:41.160 --> 20:42.420 Das ist die Sigma-Additivität. 20:43.020 --> 20:46.460 Das haben wir gehabt im Fall einer normalen Zufallsvariante. 20:46.940 --> 20:49.040 Der Beweis ist hier exakt der gleiche. 20:49.300 --> 20:53.120 Nämlich das Entscheidende ist die Urbildabbildung X hoch minus 1. 20:53.240 --> 20:58.460 Wenn ich hier Summe Mj einsetzen würde, das ist nichts anderes als die 20:58.460 --> 21:02.320 Vereinigung der X hoch minus 1, der Mj und die bleiben paarweise 21:02.320 --> 21:02.780 disjunkt. 21:02.880 --> 21:06.920 Das heißt, die Urbildabbildung ist verträglich mit der Vereinigung und 21:06.920 --> 21:08.760 auch noch mit der paarweisen Disjunktheit. 21:09.740 --> 21:10.600 Machen Sie sich das nochmal klar. 21:10.720 --> 21:13.360 Wir haben den Beweis exakt gehabt, wenn X realwertig ist. 21:13.660 --> 21:15.160 Jetzt ist es nur eher auch n-wertig. 21:16.120 --> 21:17.420 Es kommt überhaupt nicht darauf an. 21:18.220 --> 21:20.820 Also liegt daran, dass die Urbildabbildung damit verträglich ist. 21:21.000 --> 21:23.040 Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß bekommt einen Namen. 21:23.100 --> 21:25.360 Wir haben das früher schon gehabt bei Zufallsvariablen. 21:25.760 --> 21:27.640 Es heißt Verteilung von X. 21:28.940 --> 21:32.700 Oder man sagt auch die gemeinsame Verteilung von X1 bis Xn. 21:32.820 --> 21:33.580 Das ist eine Sprechweise. 21:34.640 --> 21:37.380 Also die Verteilung so eines Zufallsvektors ist rein formal 21:37.380 --> 21:39.240 mathematisch ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 21:39.960 --> 21:43.180 Das ordnet eben den Teilmengen des R hoch N zu die 21:43.180 --> 21:47.080 Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse, die Urbilder. 21:48.700 --> 21:52.000 Man nennt dann in dem Zusammenhang die Verteilung von Xj. 21:52.080 --> 21:56.400 Xj ist ja eine Zufallsvariable, eine Komponente des Vektors. 21:56.520 --> 21:59.240 In dem Zusammenhang nennt man diese Verteilung die J 21:59.240 --> 22:00.520 -Marginalverteilung. 22:01.680 --> 22:04.020 Und ich habe eben schon motiviert, woran das liegt. 22:04.160 --> 22:05.200 Lateinisch margo. 22:05.500 --> 22:09.440 Wenn ich eben zwei habe, kann ich mir die Wahrscheinlichkeiten 22:09.440 --> 22:12.900 aufschreiben in Form einer Matrix und an den Rändern finde ich dann 22:12.900 --> 22:14.820 die Marginalverteilung durch Summation. 22:15.220 --> 22:17.480 Wir werden das gleich noch allgemein aufschreiben. 22:19.380 --> 22:20.740 Also folgendes sollte man beachten. 22:22.540 --> 22:27.580 Wir wissen, dass in dem Grundraum Omega eine Menge Omega 0 existiert, 22:27.660 --> 22:30.300 die abzählbar ist und P von Omega 0 ist 1. 22:31.420 --> 22:39.300 Aus dem Grunde ist die Verteilung auch von X konzentriert auf einer 22:39.300 --> 22:42.140 abzählbaren Teilmenge M0 des R auf N. 22:42.620 --> 22:46.100 Nur diese Werte im R auf N können überhaupt mit positiven 22:46.100 --> 22:47.680 Wahrscheinlichkeiten angenommen werden. 22:48.640 --> 22:51.540 Das ist eine ganz einfache, aber wichtige Erkenntnis. 22:52.040 --> 22:54.200 Endlich viele oder abzählbar unendlich viele. 22:55.140 --> 22:59.860 Denn nur die kleinen Omega mit Omega aus Omega 0 haben positive 22:59.860 --> 23:02.860 Wahrscheinlichkeit und ich brauche sozusagen nur bei der Abbildung 23:02.860 --> 23:03.900 diese betrachten. 23:05.500 --> 23:07.360 So entsteht dann auch diese Menge M0. 23:08.980 --> 23:14.100 Aus dem Grunde folgt, die Verteilung ist schon festgelegt von X, wenn 23:14.100 --> 23:20.340 ich nur kenne die Werte T, die das X annehmen kann, in dem Fall sind 23:20.340 --> 23:24.760 das jetzt Werte im R hoch N, und die Wahrscheinlichkeiten, mit denen 23:24.760 --> 23:25.700 sie angenommen werden. 23:26.200 --> 23:29.400 Das bedeutet, die Verteilung ist schon bestimmt, wenn ich nur weiß, 23:30.040 --> 23:33.000 wenn ich die Wahrscheinlichkeit von irgendeiner Menge M ausrechnen 23:33.000 --> 23:40.320 will, dann muss ich nur sehen, welche T aus M0 sind in dieser Menge M 23:40.320 --> 23:42.400 und muss die Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. 23:42.700 --> 23:43.260 Das ist alles. 23:43.740 --> 23:46.100 Das sind endlich viele oder abzählbar unendlich viele. 23:46.520 --> 23:51.360 Das heißt, dieses System dieser Paare, Wert und Wahrscheinlichkeit, 23:51.480 --> 23:54.220 mit der der Wert angenommen wird, bestimmt die Verteilung. 23:54.420 --> 23:56.420 Wir haben das bei einer Zufallsverjahdung gehabt, da haben wir 23:56.420 --> 23:58.940 gesehen, Verteilung kann ich darstellen durch Stabdiagramme. 23:59.080 --> 24:02.680 Es kommt nur darauf an, welche Werte die Zufallsverjahdung annimmt, 24:03.120 --> 24:05.080 mit welchen Wahrscheinlichkeiten werden sie angenommen. 24:05.480 --> 24:07.240 Ich kann mir die Verteilung veranschaulichen. 24:08.180 --> 24:11.680 So im allgemeinen Zufallsvektor im R hoch N mit N größer gleich 3 geht 24:11.680 --> 24:12.240 das nicht mehr. 24:12.340 --> 24:15.280 Ich habe versucht, Ihnen das im Fall N gleich 2 noch zu zeigen. 24:15.340 --> 24:18.480 Ich kann sogar noch Stabdiagramme malen über der Ebene. 24:18.580 --> 24:21.140 Da habe ich noch eine dritte Komponente, wo ich die 24:21.140 --> 24:22.580 Wahrscheinlichkeiten auftragen kann. 24:22.740 --> 24:26.540 Die T sind in dem Fall zweidimensional, die angenommen werden, das 24:26.540 --> 24:29.900 sind die T, die ich in die Ebene einzeichnen kann. 24:30.120 --> 24:32.200 Und nach oben habe ich noch eine dritte Dimension für die 24:32.200 --> 24:32.840 Wahrscheinlichkeit. 24:32.960 --> 24:34.760 Das geht noch im Fall N gleich 2. 24:36.480 --> 24:41.300 Und allgemeinere Fälle kommen auch vermutlich jetzt in der Schule 24:41.300 --> 24:41.860 nicht vor. 24:46.340 --> 24:48.660 Das ist erstmal eine wichtige Erkenntnis. 24:49.000 --> 24:52.940 Die Schreibweisen, die wir haben, sind auch ganz analog oder exakt die 24:52.940 --> 24:55.720 gleichen, wie im Fall einer Zufallsvariablen. 24:55.820 --> 25:01.460 Dieses ist eben suggestiv, Groß-X-Element M ist die Menge aller Klein 25:01.460 --> 25:06.640 -Omega aus Omega mit der Eigenschaft, X von Omega ist Element M. 25:07.700 --> 25:12.540 Also das Ereignis, dass der Zufallsvektor X einen Wert annimmt in der 25:12.540 --> 25:13.000 Menge M. 25:14.660 --> 25:18.360 So muss man das interpretieren und auch dann in Worten beschreiben. 25:20.500 --> 25:23.620 Dann, wenn ich die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ausrechnen 25:23.620 --> 25:25.680 will, dann lässt man noch die Mengenklammern weg. 25:26.140 --> 25:31.460 Das heißt, man schreibt das so, um sich einfach Schreibarbeit zu 25:31.460 --> 25:31.960 ersparen. 25:32.060 --> 25:34.620 Sie sehen jetzt hier, das hat sich umgedreht. 25:34.700 --> 25:36.800 Jetzt wird die rechte Seite definiert durch die linke. 25:37.180 --> 25:38.920 Ich habe erstmal das Ereignis definiert. 25:39.020 --> 25:39.960 Was heißt das eigentlich? 25:40.960 --> 25:43.700 Und dann kann ich jetzt die Mengenklammer weglassen. 25:43.840 --> 25:45.240 Mir ist nur klar, worüber wir reden. 25:45.920 --> 25:47.460 Spezialfall, also das ist alles wie früher. 25:48.780 --> 25:52.000 Stellen Sie sich vor, die Menge M ist jetzt eine Teilmenge des R hoch 25:52.000 --> 25:56.680 N, stellt sich so dar als ein kathesisches Produkt von irgendwelchen 25:56.680 --> 25:58.080 Mengen b1, b2. 25:58.240 --> 25:59.820 Das sind jetzt alles Teilmengen von R. 25:59.940 --> 26:02.860 Das heißt, was hier steht, das kathesische Produkt, sind ja die Menge 26:02.860 --> 26:05.960 aller N-Tupel reeller Zahlen. 26:06.060 --> 26:08.020 Nennen wir sie x1 bis xn. 26:08.720 --> 26:12.860 x1 ist Element b1, x2 ist Element b2 und so weiter. 26:12.960 --> 26:14.220 xn ist Element bn. 26:14.600 --> 26:20.660 Das heißt, diese Menge ist spezifiziert durch getrennte Bedingungen an 26:20.660 --> 26:24.220 x1, an die erste Komponente, an die zweite, an die dritte und so 26:24.220 --> 26:25.260 weiter bis an die Ende. 26:25.500 --> 26:27.320 Das ist eine spezielle Teilmenge des R hoch N. 26:27.620 --> 26:32.740 Also im R hoch 2 wäre das eben ein Rechteck, wenn b1 und b2 Intervalle 26:32.740 --> 26:32.960 sind. 26:33.040 --> 26:33.760 Da haben Sie ein Rechteck. 26:34.600 --> 26:36.800 Wenn Sie noch eine dritte Komponente haben, die auch ein Intervall 26:36.800 --> 26:38.380 ist, haben Sie einen Quader im R hoch 3. 26:41.520 --> 26:42.820 Dann schreibt man das so. 26:42.920 --> 26:46.120 Sie sehen, jetzt wird geschrieben, die Wahrscheinlichkeit, dass x1 in 26:46.120 --> 26:51.320 die Menge b1 fällt und x2 in die Menge b2, im Sinne von Schnitt des 26:51.320 --> 26:56.800 Ereignisses und xn Element b1 ist nichts anderes definiert als die 26:56.800 --> 27:00.460 Wahrscheinlichkeit des Schnittes j von 1 bis n der Ereignisse xj 27:00.460 --> 27:01.280 Element bj. 27:02.420 --> 27:04.980 Und das ist hier nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass der 27:04.980 --> 27:08.680 Vektor x in diese Menge m fällt, wenn m diese Gestalt hat. 27:08.760 --> 27:13.480 Ich habe also getrennte Bedingungen an die einzelnen Komponenten. 27:17.400 --> 27:20.400 Ist das klar soweit? 27:24.930 --> 27:29.050 Spezialfall, wenn ich jetzt konkrete Werte betrachte, die t1 und so 27:29.050 --> 27:33.770 weiter, tn sind jetzt reelle Zahlen, dann ist das natürlich definiert 27:33.770 --> 27:37.490 als die Wahrscheinlichkeit des Schnittes der Ereignisse, dass xj den 27:37.490 --> 27:38.410 Wert tj annimmt. 27:38.550 --> 27:40.810 Sie sehen nicht, weil es hier Ereignisse sind, mit Schnitt muss ich da 27:40.810 --> 27:43.970 wieder Mengen-Klammern schreiben, aber dies ist nichts anderes als 27:43.970 --> 27:44.210 das. 27:44.290 --> 27:50.570 Der Spezialfall ist jetzt im Vergleich zu oben so, dass die Mengen b1, 27:50.630 --> 27:53.850 b1 besteht nur aus dem einen Punkt t1. 27:54.030 --> 27:58.890 Es sind also ein-elementige Mengen, das b2 und das bn, die jeweils nur 27:58.890 --> 28:02.090 den Punkt t1, t2 und so weiter, tn enthalten. 28:02.330 --> 28:06.930 Also man sagt dann auch p von x gleich t und t hat jetzt die 28:06.930 --> 28:09.590 Komponenten t1 bis tn aus dem Ln. 28:16.080 --> 28:19.300 Jetzt kommt das mit den Marginalverteilungen. 28:19.740 --> 28:23.820 Also aus dieser Verteilung des Vektors oder aus der gemeinsamen 28:23.820 --> 28:26.240 Verteilung lassen sich die Marginalverteilungen bestimmen. 28:26.720 --> 28:30.520 Wir haben das eben gemacht im Spezialfall durch eine Summation. 28:31.140 --> 28:34.360 Hier steckt nichts anderes hinter als die Additivität oder Sigma 28:34.360 --> 28:35.180 -Additivität. 28:35.460 --> 28:36.600 Folgendes sollte man beachten. 28:37.160 --> 28:41.090 Ganz allgemein, stellen Sie sich vor, Sie haben paarweise disjunkte 28:41.090 --> 28:44.990 Mengen, b1, b2 und so weiter, die schließen sich paarweise aus. 28:45.710 --> 28:48.290 Sie müssen nicht unbedingt ganz Omega ergeben. 28:48.630 --> 28:52.310 Das heißt, diese Summe muss nicht notwendig Omega sein, aber das 28:52.310 --> 28:54.750 Entscheidende ist, die Wahrscheinlichkeit von dieser Vereinigung der 28:54.750 --> 28:56.310 paarweisen disjunkten Mengen ist 1. 28:57.550 --> 28:59.310 Der Rest hat also die Wahrscheinlichkeit 0. 28:59.710 --> 29:00.790 Das ist hier das Entscheidende. 29:02.370 --> 29:05.510 Wenn Sie das haben, dann können Sie schließen, die Wahrscheinlichkeit 29:05.510 --> 29:10.070 irgendeines Ereignisses a ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten a 29:10.070 --> 29:10.990 -geschnitten b1. 29:15.610 --> 29:19.110 Wenn Sie das so wollen, haben Sie bis auf ein Ereignis, das die 29:19.110 --> 29:23.330 Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ganze Omega zerlegt und ausgeschöpft. 29:24.770 --> 29:26.050 Das ist hier das Entscheidende. 29:26.130 --> 29:29.330 Das heißt, Sie brauchen nur paarweise disjunkte Ereignisse, deren 29:29.330 --> 29:33.590 Vereinigung die Wahrscheinlichkeit 1 hat, dann können Sie jedes 29:33.590 --> 29:37.510 Ereignis a ausrechnen, die Wahrscheinlichkeit davon als Summe dieser 29:37.510 --> 29:39.290 Wahrscheinlichkeiten a-geschnitten b1. 29:40.670 --> 29:47.690 Das jetzt vorausgeschickt, können wir sagen zu jedem j, j gibt jetzt 29:47.690 --> 29:52.310 die Komponente des Zufallsvektors an und jedes xj ist eine 29:52.310 --> 29:56.490 Zufallsvariable und als Zufallsvariable, die auf einem diskreten 29:56.490 --> 30:01.070 Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, nimmt das xj nur endlich viele 30:01.070 --> 30:03.550 oder abzehrbar unendlich viele an, jedes xj. 30:05.450 --> 30:08.670 Das heißt, ich habe eine abzehrbare Menge, ich nenne die jetzt mal mj 30:08.670 --> 30:14.110 und an dieser Stelle will ich mal die Elemente der Menge 30:14.110 --> 30:18.030 durchnummerieren, also t index j, i, i größer gleich 1. 30:18.110 --> 30:20.990 Das ist eine endliche Menge oder eine höchstens abzehrbar unendliche 30:20.990 --> 30:22.050 Menge, das kann abbrechen. 30:22.650 --> 30:23.510 Teilmenge von r. 30:24.290 --> 30:28.970 Und die Wahrscheinlichkeit ist, dass xj in mj ist, da reinfällt. 30:29.290 --> 30:32.450 Diese Wahrscheinlichkeit kann ich jetzt, und das ist die Notation von 30:32.450 --> 30:38.930 da oben, das heißt hier ist das A, das entscheidende ist erstmal, 30:39.070 --> 30:40.270 diese Wahrscheinlichkeit ist 1. 30:40.810 --> 30:44.250 Und Sie sehen, die bi's, die da oben stehen, sind in dem Fall nichts 30:44.250 --> 30:49.190 anderes als diese Ereignisse, dass xj den Wert ti annimmt. 30:49.710 --> 30:51.010 Das sind die Ereignisse bi. 30:52.270 --> 30:53.630 So müssen Sie das interpretieren. 30:54.590 --> 30:55.410 Die Summe ist 1. 30:56.550 --> 31:01.710 Aus dem Grunde kann ich jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass x1 den Wert 31:01.710 --> 31:05.810 t1 annimmt, das ist jetzt das Ereignis, das Ereignis was hier steht, 31:06.210 --> 31:11.030 entspricht dem A da oben, kann ich bekommen durch Summation jetzt von 31:11.030 --> 31:15.670 Ereignissen von der Bauart A ist hier das Ereignis x1 gleich t1 und 31:15.670 --> 31:23.370 das j gleich 2, x2 nimmt irgendeinen Wert an t2, j. 31:23.950 --> 31:26.310 Und ich habe das jetzt nicht mehr doppelt indiziert, ich habe das 31:26.310 --> 31:27.950 jetzt einfacher gemacht. 31:28.390 --> 31:33.010 Das heißt, ich summiere über diese t2 aus m2 endlich viele Abziffer, 31:33.150 --> 31:34.930 unendlich viele, ich erhalte das. 31:35.310 --> 31:36.550 Und das gilt für jedes t1. 31:36.710 --> 31:38.950 Also das ist hier die entscheidende Erkenntnis. 31:39.310 --> 31:44.090 Diese Summation, wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, zwei, kann ich 31:44.090 --> 31:48.770 die Wahrscheinlichkeit, dass eine irgendeinen Wert annimmt, bekommen 31:48.770 --> 31:53.110 durch Summation aus diesen Verbund Wahrscheinlichkeiten, diesen 31:53.110 --> 31:57.550 gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten x1 gleich t1, x2 gleich t2, über alle 31:57.550 --> 32:00.990 Werte, die hier überhaupt angenommen werden können, von der 32:00.990 --> 32:02.450 Zufallsvariablen x2. 32:02.590 --> 32:03.690 Das sind die t2s. 32:03.990 --> 32:07.350 Das ist hier die Botschaft und das ist Marginalverteilungsbildung bei 32:07.350 --> 32:07.470 zwei. 32:07.530 --> 32:08.410 Das haben wir eben gemacht. 32:09.590 --> 32:12.070 Ich kann das natürlich genauso für die zweite Komponente machen. 32:12.430 --> 32:13.530 Ich war jetzt nur schreibvoll. 32:14.090 --> 32:17.990 Wenn ich x2 haben möchte, die Verteilung davon, dann summiere ich 32:17.990 --> 32:21.130 auch, jetzt muss ich nur summieren dann über t1 aus m1. 32:23.470 --> 32:25.330 Allgemein sieht das jetzt so aus. 32:26.070 --> 32:28.990 Wenn Sie diese Verteilung haben wollen von x1, also die 32:28.990 --> 32:32.190 Wahrscheinlichkeit, dass x1 den Wert t1 annimmt, aus der gemeinsamen 32:32.190 --> 32:35.970 Verteilung, dann müssen Sie summieren über alle anderen Komponenten. 32:35.990 --> 32:41.070 Sie sehen, t2 durchläuft die Werte in m2, tn in mn, über diese 32:41.070 --> 32:44.070 Wahrscheinlichkeiten aus der gemeinsamen Verteilung. 32:44.990 --> 32:47.710 Und ich habe auch hier nur obda x1 genommen. 32:48.210 --> 32:51.290 Ich hätte auch sagen können, wir nehmen die Wahrscheinlichkeit, dass 32:51.290 --> 32:54.650 xj den Wert tj annimmt, dann muss ich natürlich summieren. 32:54.790 --> 33:00.110 Dann geht die Summe über t1, t2, tj-1, tj muss ich auslassen, tj plus 33:00.110 --> 33:01.790 1 und so weiter bis tn. 33:02.170 --> 33:05.470 Das heißt, die nicht interessierenden Komponenten, da werden diese 33:05.470 --> 33:08.230 gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten einfach aufsummiert. 33:09.930 --> 33:12.530 Das heißt, ich kann mir das jetzt in höheren Dimensionen nicht mehr 33:12.530 --> 33:14.310 als eine Marginalverteilung vorstellen. 33:14.450 --> 33:17.470 Das gilt eben noch bei t2, das haben wir eben gemacht in dem 33:17.470 --> 33:18.290 Eingangsbeispiel. 33:18.710 --> 33:21.950 Also so würde man das dann konkret berechnen. 33:22.250 --> 33:26.990 Das heißt, man summiert eben über alle diese Vektoren, über diese 33:26.990 --> 33:32.010 Kombinationen von t2, tn und die kommen diesen Komponentenweise eben 33:32.010 --> 33:36.230 in m2 und so weiter bis mn und derart, dass die Wahrscheinlichkeit 0 33:36.230 --> 33:36.450 ist. 33:36.970 --> 33:39.830 Nur auf die Werte kommt es an und das sind endlich viele oder 33:39.830 --> 33:43.770 höchstens absehbar unendlich viele, über die hier summiert wird. 33:50.700 --> 33:58.760 Eine wichtige Erkenntnis, simple, die gemeinsame Verteilung beinhaltet 33:58.760 --> 34:02.260 immer mehr Information als nur die Marginalverteilung. 34:02.400 --> 34:04.680 Ich möchte Ihnen das an einem ganz einfachen Beispiel zeigen. 34:05.100 --> 34:08.200 Also stellen Sie sich vor, wir haben zwei Zufallsvariablen. 34:09.980 --> 34:13.020 Hier seien die Bezeichnungen für die Realisierung. 34:13.180 --> 34:17.460 Die erste Zufallsvariable nehme die möglichen Werte 1 und 2 an und die 34:17.460 --> 34:19.020 zweite auch 1 und 2. 34:20.320 --> 34:22.220 Und ich gebe jetzt Folgendes vor. 34:22.380 --> 34:24.440 Ich gebe Ihnen mal die Marginalverteilung vor. 34:25.000 --> 34:29.240 Sie sehen, die Summe aus den beiden Werten in der ersten Zeile, die 34:29.240 --> 34:33.460 ich dort eintragen muss, soll ein Halb sein und die Summe der beiden 34:33.460 --> 34:36.320 Wahrscheinlichkeiten, die noch einzutragen sind, in der zweiten Zeile, 34:36.400 --> 34:39.160 in dieser 2 x 2 Matrix, soll auch ein Halb sein. 34:39.480 --> 34:41.620 Aber bei den Spalten soll es auch so sein. 34:42.260 --> 34:46.540 Natürlich sieht man die Summe dann wieder, der 2 x 1 halb ist immer 1. 34:47.800 --> 34:50.400 Das heißt, ich gebe hier die Marginalverteilung vor. 34:50.500 --> 34:52.500 Ich gebe hier vor, die Wahrscheinlichkeit, dass die eine 34:52.500 --> 34:57.740 Zufallsvariable den Wert 1 annimmt, nennen wir sie x, ist ein Halb und 34:57.740 --> 34:59.640 dass sie den Wert 2 annimmt, ist auch ein Halb. 35:00.200 --> 35:01.560 Und für y genau das Gleiche. 35:03.120 --> 35:06.100 Wenn ich nur zwei Zufallsvariablen habe, sage ich meistens nicht x 1, 35:06.200 --> 35:10.560 x 2, sondern x und y, um mir die Indizes zu sparen. 35:11.660 --> 35:16.200 Aber das Entscheidende ist, ich könnte hier, das wäre p von x gleich 35:16.200 --> 35:20.020 i, das gebe ich vor und p von y gleich j gebe ich auch vor, die 35:20.020 --> 35:24.540 Marginalverteilung, jeweils eine Gleichverteilung auf den Werten von 1 35:24.540 --> 35:24.980 bis 2. 35:25.180 --> 35:28.220 Aber ich habe hier die Möglichkeit, dort mal ein Parameter 35:28.220 --> 35:28.860 reinzusetzen. 35:29.020 --> 35:31.020 Ich sage, die Wahrscheinlichkeit soll c sein. 35:31.960 --> 35:33.940 Wir überlegen uns, welche Werte angenommen werden können. 35:34.020 --> 35:36.920 Na gut, ist klar, dass c muss größer gleich 0 sein, soll eine 35:36.920 --> 35:37.820 Wahrscheinlichkeit sein. 35:38.240 --> 35:41.900 Wenn die Summe von c und dem, was ich da rechts daneben schreibe, ein 35:41.900 --> 35:44.720 Halb sein soll, kann c höchstens ein Halb sein, denn da kommt 35:44.720 --> 35:46.700 irgendwas zu, was größer gleich 0 ist. 35:47.100 --> 35:50.000 Das heißt, was dazukommt, kann aber nur ein Halb minus c sein, denn 35:50.000 --> 35:51.180 die Summe muss ein Halb sein. 35:51.920 --> 35:55.640 Das heißt, wenn ich das linke obere Feld vorgebe und sage, die 35:55.640 --> 35:59.480 Wahrscheinlichkeit soll c sein, dann ist der Rest festgelegt. 35:59.640 --> 36:04.240 Nämlich auch das muss ein Halb minus c sein und das muss auch c sein. 36:05.320 --> 36:06.440 Aber ich könnte jetzt z.B. 36:06.540 --> 36:10.400 für c 0,1 einsetzen oder 0,27. 36:11.540 --> 36:15.260 Sie haben damit eine gemeinsame Verteilung festgelegt und die 36:15.260 --> 36:18.040 Randverteilung und die Marginalverteilung sind immer die gleichen. 36:19.140 --> 36:22.760 Das heißt, Sie haben hier einen freien Parameter und Sie sehen, Sie 36:22.760 --> 36:26.820 erhalten verschiedene gemeinsame Verteilungen für das Paar x,y als 36:26.820 --> 36:32.860 zweidimensionalen Zufallsvektor und Sie können so viele erhalten, wie 36:32.860 --> 36:34.140 Sie freie Parameter haben. 36:34.200 --> 36:37.560 Sie sehen, dass c im Intervall von 0 bis ein Halb ein freier Parameter 36:37.560 --> 36:37.800 ist. 36:42.360 --> 36:45.720 Wir werden gleich definieren, wann zwei Zufallsvariablen stochastisch 36:45.720 --> 36:46.500 unabhängig sind. 36:46.620 --> 36:50.520 Wir führen das auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurück und dann 36:50.520 --> 36:53.820 werden wir sofort sehen, diese beiden Zufallsvariablen x und y sind 36:53.820 --> 36:57.100 nur in einem einzigen Fall stochastisch unabhängig, nur für ein c. 36:58.000 --> 37:00.440 Nämlich, wenn c gleich ein Viertel ist. 37:02.660 --> 37:05.200 Dann sind die stochastisch unabhängig, sonst nicht. 37:08.740 --> 37:11.620 Sie müssen hier einfach in freien Parametern rechnen. 37:11.820 --> 37:16.020 Wenn Sie eine gemeinsame Verteilung festlegen in so einer Vierfelder 37:16.020 --> 37:20.680 -Tafel, also Zwei-Kreuz-Zwei-Matrix, jede Zufallsvariabelle dient nur 37:20.680 --> 37:21.540 zwei Werte an. 37:22.180 --> 37:25.100 Wenn Sie keine Einschränkungen haben, dann wissen Sie nur, Sie müssen 37:25.100 --> 37:28.640 dort vier Wahrscheinlichkeiten hinschreiben und die Summe aller vier 37:28.640 --> 37:29.440 muss eins sein. 37:29.720 --> 37:32.420 Also Sie schreiben vier nicht-negative Zahlen in Summe eins. 37:32.720 --> 37:34.800 Das bedeutet, Sie haben drei freie Parameter. 37:34.920 --> 37:36.820 Der vierte ist bestimmt, die Summe ist ja eins. 37:39.400 --> 37:42.220 Wenn Sie aber die Marginalverteilung vorgeben, Sie sehen, dann bleibt 37:42.220 --> 37:43.920 nur noch ein freier Parameter über. 37:44.040 --> 37:44.820 Das ist dieses c. 37:47.420 --> 37:51.580 Also die Botschaft nochmal sollte klar sein, aus der gemeinsamen 37:51.580 --> 37:54.600 Verteilung kann ich die Marginalverteilung ausrechnen. 37:55.340 --> 37:59.880 Aber die Marginalverteilung bestimmen ohne zusätzliche Information 37:59.880 --> 38:03.840 oder ohne zusätzliches Wissen nicht die gemeinsame Verteilung. 38:03.940 --> 38:05.620 Das sieht man schon an diesem einfachen Beispiel. 38:05.760 --> 38:09.800 Also die gemeinsame Verteilung hat prinzipiell immer mehr Information 38:09.800 --> 38:12.140 als nur die Marginalverteilung. 38:13.940 --> 38:18.140 Jetzt kommt das, was ich sagte, die Definition der Unabhängigkeit von 38:18.140 --> 38:19.000 Zufallsvariablen. 38:19.000 --> 38:22.700 Nun, wir haben uns mit der Unabhängigkeit von Ereignissen beschäftigt. 38:22.760 --> 38:25.780 Wenn Sie sich erinnern, wir haben gesagt, N-Ereignisse sind unabhängig 38:25.780 --> 38:30.960 in einem Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Folgendes gilt, ganz egal, wie 38:30.960 --> 38:35.300 viele dieser Ereignisse, dieser N, ich rausgreife, es sollten 38:35.300 --> 38:40.260 mindestens zwei sein, aber ganz egal, wie viele und welche, die 38:40.260 --> 38:42.400 Wahrscheinlichkeit des Schnittes von den Ereignissen, die ich 38:42.400 --> 38:45.140 rausgegriffen habe, ist Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. 38:45.220 --> 38:47.100 Das war die Unabhängigkeit von N-Ereignissen. 38:47.960 --> 38:51.500 Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist nichts Neues. 38:52.480 --> 38:55.620 Nämlich, sie wird zurückgeführt auf die Unabhängigkeit von 38:55.620 --> 38:56.220 Ereignissen. 38:57.260 --> 39:00.560 Nämlich Zufallsvariablen beschreiben ja Ereignisse über die 39:00.560 --> 39:01.420 Urbildabbildung. 39:01.960 --> 39:03.160 Das ist hier das Entscheidende. 39:03.480 --> 39:06.060 Das heißt, wir definieren, wenn wir einen diskreten 39:06.060 --> 39:09.420 Wahrscheinlichkeitsraum haben um Zufallsvariablen auf Omega, nennen 39:09.420 --> 39:14.280 wir sie wieder x1 bis xn, dann definieren wir, sie heißen stochastisch 39:14.280 --> 39:20.040 unabhängig, falls folgendes erfüllt ist, die Ereignisse, dass x1 einen 39:20.040 --> 39:24.340 Wert in der Menge b1 annimmt und so weiter, xn nimmt einen Wert in der 39:24.340 --> 39:24.980 Menge bnn. 39:25.240 --> 39:29.900 Diese Ereignisse sind unabhängig für jede Wahl der Teilmengen b1 und 39:29.900 --> 39:31.160 so weiter, bn von R. 39:32.400 --> 39:36.220 Und nochmal, das erste Ereignis, was da steht, x1 Element b1, Sie 39:36.220 --> 39:39.460 können das Ereignis mit a1 bezeichnen, sind die Menge aller Klein 39:39.460 --> 39:45.500 -Omega aus Groß-Omega mit der Eigenschaft x1 von Omega Element b1 und 39:45.500 --> 39:45.920 so weiter. 39:46.860 --> 39:52.580 Das heißt, für jede vorgegebene Wahl von b1 bis bn haben Sie 39:53.500 --> 39:57.360 Linksereignisse, die können Sie abkürzen mit a1 bis an und die sollen 39:57.360 --> 39:58.660 stochastisch unabhängig sein. 39:59.300 --> 40:03.440 Das bedeutet, ganz egal welche ich rausgreife, sollten mindestens zwei 40:03.440 --> 40:05.840 sein, die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist das Produkt der 40:05.840 --> 40:06.900 einzelnen Wahrscheinlichkeit. 40:11.240 --> 40:15.160 Anscheinend sollte auch klar sein, wenn Zufallswahlereignisse 40:15.160 --> 40:19.980 beschreiben, das Entscheidende ist eben, dass wir dann Situationen 40:19.980 --> 40:24.600 später haben werden, dass die Zufallswahl x1 sich vielleicht bezieht 40:24.600 --> 40:29.880 auf ein Experiment, da wird eben der Ausgang beschrieben, auch durch 40:29.880 --> 40:34.620 x1 und Ereignisse, das eben getrennt ablaufen kann von einem Zweiten, 40:35.120 --> 40:38.780 bei dem die Zufallswahl x2 auftritt, getrennt von einem Dritten. 40:39.140 --> 40:42.840 Das ist eben die Vorstellung von getrennt ablaufenden Experimenten, 40:42.880 --> 40:46.560 die auch gleichzeitig stattfinden könnten und von unterschiedlichen 40:46.560 --> 40:47.820 Personen gemacht werden. 40:47.900 --> 40:52.100 Dann bezieht sich eben die Zufallswahl xj auf ein jettes Experiment, 40:52.320 --> 40:54.120 wenn ich die alle durchnummeriere. 40:54.560 --> 40:57.660 Diese Vorstellung müssen Sie dann mit der Unabhängigkeit oder sollten 40:57.660 --> 40:59.260 Sie mit der Unabhängigkeit verbinden. 41:00.680 --> 41:02.260 Okay, das ist nochmal das Memo. 41:02.580 --> 41:07.580 x-Element b, ganz allgemein, ist eben das Urbild x auf minus 1 von b, 41:07.800 --> 41:10.360 die Menge aller Omega mit x von Omega-Element b. 41:10.920 --> 41:13.480 Das kann jetzt eine Zufallsvariable sein oder ein Zufallsvektor. 41:13.980 --> 41:15.300 Es kommt jetzt darauf an, was b ist. 41:15.380 --> 41:18.200 b kann eine Teilmenge von r sein, dann habe ich eine Zufallsvariable 41:18.200 --> 41:20.960 und b kann eine Teilmenge eines r auf n sein, dann habe ich einen 41:20.960 --> 41:24.780 Zufallsvektor mit Komponenten x1 bis xn. 41:25.500 --> 41:28.720 So, folgende Bemerkung zu dieser Definition. 41:30.160 --> 41:33.680 Diese Zufallsvariablen, die da oben stehen, könnten auch allgemeiner 41:33.680 --> 41:37.460 Zufallsvektoren sein, sogar mit unterschiedlichen Dimensionen. 41:37.600 --> 41:42.380 Das bedeutet, dass xj könnte r hoch kj-wertig sein für jedes j. 41:42.840 --> 41:47.020 Denn das Entscheidende ist ja, dass das hier, es dreht sich nur um die 41:47.020 --> 41:50.520 Unabhängigkeit von Ereignissen, die beschrieben werden, und Sie sehen 41:50.520 --> 41:54.760 dort das Memo, es kommt überhaupt nicht darauf an, ganz einfach, 41:55.660 --> 42:01.280 welche Dimension die Abbildung x abbildet. 42:01.360 --> 42:04.440 Das Entscheidende ist, dass b muss dann eine Teilmenge sein des 42:04.440 --> 42:05.700 jeweiligen r hoch. 42:06.340 --> 42:08.200 Das heißt, hier taucht die Dimension gar nicht auf. 42:08.280 --> 42:09.560 Es tauchen nur Ereignisse auf. 42:10.380 --> 42:15.280 Insofern könnte das x1 könnte realwertig sein, das x2 könnte r hoch 5 42:15.280 --> 42:19.280 -wertig sein, ein Zufallsvektor der Dimension 5x3 könnte wieder 42:19.280 --> 42:23.100 realwertig sein oder ein Zufallsvektor, der in den r2 abbildet. 42:23.200 --> 42:24.740 Es kommt da überhaupt nicht darauf an. 42:24.840 --> 42:27.180 Es dreht sich nur um die Unabhängigkeit von Ereignissen. 42:28.620 --> 42:31.780 Das heißt, wir haben hier nicht nur die Unabhängigkeit von 42:31.780 --> 42:34.500 Zufallsvariablen definiert, sondern allgemeiner sogar die von 42:34.500 --> 42:37.220 Zufallsvektoren, ohne dass ich das hier hingeschrieben habe. 42:38.400 --> 42:42.500 Es sollte klar sein, dass das konzeptionell nichts Neues wäre. 42:44.760 --> 42:48.920 Dann ist eben bj hier eine Teilmenge eines r hoch kj, die Dimension. 42:49.580 --> 42:52.260 Das steckt damit drin in dieser Definition. 42:52.960 --> 42:53.900 Hier nochmal das Memo. 42:54.800 --> 42:58.520 Wir haben die Unabhängigkeit so definiert, genau dann, wenn für jede 42:58.520 --> 43:02.760 Wahl von b1 und so weiter bis bn diese Ereignisse unabhängig sind. 43:03.540 --> 43:05.240 Und jetzt kommt schon eine kleine Erkenntnis. 43:05.340 --> 43:10.520 Ich könnte natürlich auch zum Beispiel für b1, könnte ich mal 43:10.520 --> 43:11.760 einsetzen, ganz r. 43:12.780 --> 43:13.680 Ist ja nicht verboten. 43:14.180 --> 43:15.680 Für b1 setze ich ein ganz r. 43:15.920 --> 43:21.480 Dann ist aber das Ereignis, dass x1 in b1 fällt, in r fällt, ist ganz 43:21.480 --> 43:21.820 Omega. 43:22.000 --> 43:25.700 Denn für jedes kleine Omega aus Großomega gilt x1 von Omega Element r. 43:26.060 --> 43:31.600 Das heißt, ich kann durch gewisse Wahl der bs, wenn ich gewisse bj 43:31.600 --> 43:36.640 gleich ganz r setze, kann ich sozusagen triviale Ereignisse erzeugen, 43:36.680 --> 43:37.540 nämlich immer Omega. 43:38.420 --> 43:40.740 Und Omega geschnitten, irgendwas ändert nichts. 43:42.000 --> 43:43.980 Und die Wahrscheinlichkeit von Omega ist 1. 43:45.580 --> 43:48.480 Das wird gleich eine wichtige Erkenntnis sein für Kriterien für 43:48.480 --> 43:49.280 Unabhängigkeit. 43:50.160 --> 43:52.020 Das ist eben hier, steckt für alle drin. 43:52.180 --> 43:53.580 Für alle b1 bis bn. 43:53.840 --> 43:56.140 Jetzt kommen nämlich die Kriterien für Unabhängigkeit. 43:57.640 --> 44:00.960 Also folgende Aussagen sind jetzt äquivalent in der Situation von 44:00.960 --> 44:01.200 eben. 44:01.280 --> 44:04.920 Die erste Aussage ist die stochastische Unabhängigkeit von x1 bis xn, 44:05.220 --> 44:07.780 wie sie dort oben definiert ist im Memo. 44:08.060 --> 44:09.100 So, zweite Eigenschaft. 44:10.340 --> 44:14.340 Es gilt für jede Wahl von b1 bis bn Teilmenge von r, dass die 44:14.340 --> 44:18.620 Wahrscheinlichkeit, dass x1 in b1 fällt und so weiter, xn in bn, ist 44:18.620 --> 44:20.540 das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeit. 44:21.700 --> 44:26.200 So, das ist weniger auf den ersten Blick wie die Unabhängigkeit, denn 44:26.200 --> 44:29.120 bei der Unabhängigkeit immer dran denken von n-Ereignissen. 44:29.260 --> 44:33.560 Das heißt ja, ganz egal wie viele ich rausgreife, es müssen eben auch 44:33.560 --> 44:35.000 weniger sein als alle. 44:35.460 --> 44:37.840 Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist immer das Produkt. 44:38.240 --> 44:40.400 Hier in b greife ich alle n raus. 44:42.180 --> 44:45.840 Sie erinnern sich an die Sache, dass ich sagte, drei Ereignisse, es 44:45.840 --> 44:48.760 reicht nicht zu zeigen, p von a geschnitten, b geschnitten, c ist p 44:48.760 --> 44:50.320 von a mal p von b mal p von c. 44:52.880 --> 44:54.640 Sie sollten hier sensibel sein. 44:55.220 --> 45:00.360 In der Unabhängigkeit da oben steckt mehr drin auf den ersten Blick 45:00.360 --> 45:02.920 als in b, aber nur auf den ersten Blick. 45:04.420 --> 45:09.140 So, und c besagt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahlen xj 45:09.140 --> 45:14.580 einzelne Werte annehmen, klein xj, und das wieder simultan für j von 1 45:14.580 --> 45:15.640 bis n linke Seite. 45:15.740 --> 45:17.280 Schnitt von Ereignissen ist Produkt. 45:17.780 --> 45:21.440 Hier breche ich das runter auf einzelne Werte. 45:21.660 --> 45:24.640 Das heißt, wenn Sie so wollen, die Mengen b, die da oben stehen, sind 45:24.640 --> 45:26.080 hier einelementige Mengen. 45:26.240 --> 45:29.320 Daran erkennt man schon, dass c ein Spezialfall von b ist. 45:30.940 --> 45:32.840 Das heißt, gewisse Dinge sind jetzt hier einfach. 45:34.720 --> 45:38.460 Nämlich der Beweis, wenn Sie von a nach b schließen wollen aus der 45:38.460 --> 45:42.880 stochastischen Unabhängigkeit, dann steckt diese Gleichung unmittelbar 45:42.880 --> 45:43.880 in der Definition. 45:44.920 --> 45:45.800 Denn die muss gelten. 45:45.900 --> 45:49.220 Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes über alle muss das Produkt der 45:49.220 --> 45:50.480 einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein. 45:50.580 --> 45:53.760 Das heißt, b ist spezieller als a. 45:54.360 --> 45:56.160 Wir wollen gleich sehen, dass es gleichwertig ist. 45:57.860 --> 46:02.300 So, wenn Sie jetzt von b nach a schließen wollen, jetzt kommt das, was 46:02.300 --> 46:03.060 ich eben sagte. 46:04.100 --> 46:06.120 Auf wenige Ereignisse kommen Sie immer. 46:06.560 --> 46:08.960 Sie können für ein bj gleich r setzen. 46:09.760 --> 46:11.720 Das können Sie für jedes j machen, theoretisch. 46:12.080 --> 46:14.660 Dann ist natürlich das Ereignis immer gleich omega. 46:14.860 --> 46:15.980 Das ist die Menge a la kleinen omega. 46:16.100 --> 46:18.320 xj von omega in r ist omega. 46:19.260 --> 46:20.500 Und p von omega ist 1. 46:21.300 --> 46:25.260 Das heißt, Sie können dort auf der rechten Seite im Produkt Einsen 46:25.260 --> 46:29.740 erzeugen, als Faktoren, die nichts ändern, indem Sie gewisse bj gleich 46:29.740 --> 46:30.300 r setzen. 46:30.880 --> 46:34.640 Und auf der linken Seite schneiden Sie, Komma heißt ja hier Schnitt, 46:35.220 --> 46:37.400 immer mit omega, wenn Sie das machen. 46:37.520 --> 46:41.540 Das heißt, Sie kommen hier auf jeden Fall, wenn Sie b wissen, Sie 46:41.540 --> 46:47.020 wissen für alle b1 bis bn, können Sie dort auch auf weniger Faktoren 46:47.020 --> 46:51.800 kommen und auch auf weniger Ereignisse, die Sie schneiden, wenn Sie 46:51.800 --> 46:54.820 speziell dann für gewisse j das so einsetzen. 46:54.920 --> 46:58.860 Und somit erhalten Sie auch weniger Mengen. 46:58.960 --> 47:01.320 Das brauchen wir für die stochastische Unabhängigkeit. 47:01.440 --> 47:03.720 Nochmal, a1 bis an sind unabhängig. 47:03.820 --> 47:06.820 Genau dann, wenn für jede Teilmenge t mindestens zwei Elemente 47:06.820 --> 47:10.100 Teilmenge t der Indizes von 1 bis n gilt. 47:10.680 --> 47:13.860 Wahrscheinlichkeitsschnitt der ajj aus t ist Produkt der 47:13.860 --> 47:15.020 entsprechenden Wahrscheinlichkeit. 47:15.540 --> 47:17.680 Ich komme auf weniger durch diesen Trick. 47:18.680 --> 47:21.380 Insofern ist a auch nicht allgemeiner als b. 47:22.220 --> 47:24.600 Das steht eben für alle b1 bis b. 47:26.200 --> 47:30.220 Und das b nach c habe ich eben schon gesagt, ich brauche nur in b 47:30.220 --> 47:30.700 setzen. 47:30.820 --> 47:35.720 Das bj ist eine einelementige Menge xj und dann ist c ein Spezialfall 47:35.720 --> 47:36.180 von b. 47:36.420 --> 47:39.700 Für jedes j als einelementige Menge, dann habe ich das. 47:40.700 --> 47:44.740 Und sehen wir uns noch an, wie ich von c dann schließlich auch nach b 47:44.740 --> 47:45.040 komme. 47:45.240 --> 47:46.620 Das wäre jetzt noch zu zeigen. 47:47.280 --> 47:49.400 Ich gebe das jetzt nochmal als Memo an. 47:49.800 --> 47:50.320 Das war b. 47:52.480 --> 47:56.220 Und c war das Spezielle, wenn ich jetzt die xj einsetze. 47:56.580 --> 47:59.400 Sie sehen, ich muss also jetzt von c schließen auf das da oben. 47:59.980 --> 48:02.360 Und das geht natürlich letztlich durch addieren. 48:03.540 --> 48:05.780 Das Entscheidende ist, die Wahrscheinlichkeit, die da links oben 48:05.780 --> 48:08.800 drüber steht, bekomme ich durch Addition von solchen 48:08.800 --> 48:10.060 Einzelwahrscheinlichkeiten. 48:10.140 --> 48:12.100 Da steckt nur die Additivität drin in unserer 48:12.100 --> 48:13.300 Wahrscheinlichkeitsverteilung. 48:13.840 --> 48:19.540 Das heißt, wenn ich jetzt definiere eine Menge mj, das seien alle t's, 48:20.200 --> 48:24.240 die die Zufallsvariable xj mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt, 48:24.400 --> 48:27.420 also der Rest interessiert nicht, es dreht sich um 48:27.420 --> 48:30.620 Wahrscheinlichkeiten, dann ist das hier, das kann ich machen für jedes 48:30.620 --> 48:32.780 j, dann ist das jeweils eine abzählbare Menge. 48:33.520 --> 48:37.940 Jede einzelne Zufallsvariable kann nur abzählbar viele Werte annehmen, 48:38.020 --> 48:40.900 mit positiven Wahrscheinlichkeiten, damit auch der ganze Vektor. 48:41.600 --> 48:43.380 Das ist also hier erstmal wichtig. 48:44.040 --> 48:46.080 Diese Menge mj hat die Wahrscheinlichkeit 1. 48:48.180 --> 48:53.820 Es sind alle t's, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen 48:53.820 --> 48:54.960 werden, wenn Sie die aufsummieren. 48:55.620 --> 48:57.440 Die Wahrscheinlichkeit ist 1 von dem mj. 48:57.800 --> 49:01.520 Wenn ich jetzt Mengen habe, b1 bis bn aus r, ich muss ja auf das Memo 49:01.520 --> 49:04.560 kommen, auf die erste Zeile, die muss ich mir vorgeben, dann kann ich 49:04.560 --> 49:07.500 erstmal folgendes machen, ich kann diese Mengen jeweils schneiden mit 49:07.500 --> 49:08.060 mj. 49:08.440 --> 49:10.100 Ich nenne die Mengen mal bj-Stern. 49:10.640 --> 49:15.360 Weil das mj die Wahrscheinlichkeit 1 hat, hat das bj-Stern die gleiche 49:15.360 --> 49:16.660 Wahrscheinlichkeit wie bj. 49:17.220 --> 49:22.040 Denn Sie müssten ja sonst noch rechts hinzufügen bj-geschnitten mj 49:22.040 --> 49:27.100 -Komplement, um auf das bj zu kommen. 49:27.420 --> 49:30.000 Und mj-Komplement hat die Wahrscheinlichkeit 0. 49:30.540 --> 49:31.720 Den Trick hatten wir auch schon mal. 49:31.820 --> 49:33.540 Das heißt, das ist hier eine wichtige Erkenntnis. 49:34.140 --> 49:37.140 Die Wahrscheinlichkeit, dass xj in bj-Stern fällt, ist die gleiche 49:37.140 --> 49:40.380 Wahrscheinlichkeit wie in bj, weil mj die Wahrscheinlichkeit 1 hat. 49:43.120 --> 49:45.960 Und das Entscheidende ist, bj-Stern ist eine abzählbare Menge. 49:46.380 --> 49:48.040 Ich schreibe jetzt abzählbare Summen hin. 49:48.580 --> 49:49.660 Das ist hier das Schöne. 49:50.640 --> 49:51.180 Und fangen wir mal an. 49:51.280 --> 49:55.700 Die Wahrscheinlichkeit ist jetzt, Sie sehen, ich brauche nur über 49:55.700 --> 50:01.440 diese Kombination x1, xn zu summieren, derart, dass x1 in die Menge b1 50:01.440 --> 50:04.180 -Stern fällt usw., xn in die Menge bn-Stern. 50:04.680 --> 50:08.440 Das ist hier die Erkenntnis von darüber und habe die gemeinsamen 50:08.440 --> 50:09.080 Wahrscheinlichkeiten. 50:09.220 --> 50:11.140 So bekomme ich die Wahrscheinlichkeit raus. 50:11.320 --> 50:13.880 Und jetzt sehen Sie schon auf der rechten Seite, über diese 50:13.880 --> 50:16.480 Wahrscheinlichkeiten haben wir in C eine Voraussetzung. 50:17.380 --> 50:18.660 Wegen der Unabhängigkeit. 50:18.980 --> 50:21.420 Die Voraussetzung ist, ich kann dafür Produkt schreiben. 50:21.900 --> 50:25.120 Das bedeutet, in der nächsten Zeile lasse ich die Summe so oder ich 50:25.120 --> 50:26.380 schreibe sie noch ausführlicher hin. 50:26.460 --> 50:28.000 Das ist jetzt eine Mehrfach-Summation. 50:28.300 --> 50:30.120 x1 aus b1-Stern usw. 50:30.840 --> 50:33.420 xn Element b1-Stern ist die gleiche Summe wie drüber. 50:34.360 --> 50:36.060 Und dann darf ich aber jetzt Produkt schreiben. 50:38.700 --> 50:39.900 Wegen der Unabhängigkeit. 50:40.060 --> 50:41.460 Also C ist ja die Voraussetzung. 50:42.320 --> 50:44.760 Und jetzt sehen Sie, habe ich dort ein Produkt und ich habe getrennte 50:44.760 --> 50:45.120 Summen. 50:46.220 --> 50:49.520 Wenn das endliche Summen sind, ist das ganz normale Distributivgesetz, 50:49.600 --> 50:50.780 was ich jetzt anwenden kann. 50:51.200 --> 50:53.760 Wenn ich unendliche Summen habe, brauche ich wieder einen Satz aus der 50:53.760 --> 50:55.820 Analyse, diesen großen Umordnungssatz. 50:56.440 --> 50:58.180 Das heißt, hier kann ich getrennt summieren. 50:58.380 --> 51:02.680 Sie sehen, das ist x1 Element b1-Stern, diese Wahrscheinlichkeit usw. 51:03.300 --> 51:06.420 Ich habe also hier ein Produkt aus solchen Summen. 51:07.500 --> 51:10.580 Und die erste Summe ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, 51:10.740 --> 51:13.080 dass x1 in die Menge b1-Stern fällt. 51:13.540 --> 51:16.340 Aber da oben, blau sehen Sie, dass die gleiche Wahrscheinlichkeit, 51:16.440 --> 51:18.080 dass x1 in die Menge b1 fällt. 51:18.820 --> 51:20.300 So geht das weiter mit den Faktoren. 51:20.420 --> 51:23.460 Und hinten haben wir noch den letzten Faktor, xn fällt in die Menge 51:23.460 --> 51:23.880 bn. 51:23.960 --> 51:27.060 Das heißt, das ist auch die Gleichung, die wir nachweisen wollten. 51:28.140 --> 51:31.540 Also hier ist einfach nur die Botschaft, ich kann in diskreten 51:31.540 --> 51:35.580 Wahrscheinlichkeitsräumen immer Wahrscheinlichkeiten für Teilmengen 51:35.580 --> 51:40.160 durch Summation, endliche Summen oder Reihen ausrechnen, aus 51:40.160 --> 51:42.760 Einzelwahrscheinlichkeiten, die sich eben ergeben. 51:42.880 --> 51:47.980 Wenn ich einzelne Punkte, Elemente, hier des r auf n oder von r, dann 51:47.980 --> 51:50.100 habe die Wahrscheinlichkeiten werden aufsummiert. 51:50.240 --> 51:52.020 Die Verteilung ist bestimmt durch diese Werte. 51:52.180 --> 51:56.540 Insofern ist also c überhaupt nicht spezieller als b, sondern ich 51:56.540 --> 51:59.780 bekomme b wieder aus c durch Summation, das ist die Botschaft. 52:01.000 --> 52:03.040 Okay, ich möchte an dieser Stelle weitermachen. 52:03.520 --> 52:06.140 Sie sehen das Wort Blockungslemma. 52:07.320 --> 52:10.140 Wir hatten sowas schon gehabt bei Ereignissen. 52:11.200 --> 52:16.520 Also hier kommt jetzt was vor, was eigentlich selbstverständlich sein 52:16.520 --> 52:16.760 sollte. 52:16.860 --> 52:17.920 Ich beschreibe es erstmal in Worten. 52:17.980 --> 52:21.800 Wenn ich irgendwelche Zufallsvariablen habe, die unabhängig sind, und 52:21.800 --> 52:26.040 teile die auf in verschiedene Blöcke, das heißt ich betrachte, ich 52:26.040 --> 52:28.440 habe vielleicht acht Zufallsvariablen, ich betrachte die ersten drei 52:28.440 --> 52:32.420 und die nächsten fünf, zwei Blöcke, und betrachte dann Funktionen der 52:32.420 --> 52:37.360 ersten drei und eine zweite Funktion der letzten fünf, dass dann die 52:37.360 --> 52:43.840 entstehenden Zufallsvariablen Funktionen von disjunkten Blöcken der 52:43.840 --> 52:46.640 ursprünglichen unabhängigen Zufallsvariablen wieder unabhängig sind. 52:47.540 --> 52:48.660 So, ich beweise das jetzt. 52:49.240 --> 52:53.200 Wenn man etwas mehr Stochastik gelernt hat, wird der Beweis durchaus 52:53.200 --> 52:54.100 einfacher. 52:54.340 --> 52:59.280 Also insofern sollten Sie jetzt diesen Beweis nicht überbewerten. 52:59.740 --> 53:02.820 Das Ergebnis ist sowieso einfach, aber der Beweis ist natürlich auch 53:02.820 --> 53:04.420 instruktiv, wie man das jetzt machen kann. 53:04.960 --> 53:06.020 Das heißt, das ist die Botschaft. 53:06.100 --> 53:10.680 Sie haben unabhängige Zufallsvariablen und Sie greifen sich dort 53:10.680 --> 53:12.160 irgendwelche k raus. 53:12.360 --> 53:16.800 Sie sehen, k läuft von 1 bis n-1 und Sie schalten dann eine Funktion 53:16.800 --> 53:17.160 drauf. 53:17.340 --> 53:19.180 Sie sehen, g geht vom r hoch k nach r. 53:19.940 --> 53:24.020 Und eine zweite Funktion haben Sie, die geht vom r hoch n-k nach r. 53:24.980 --> 53:28.640 Und dann wird behauptet, die neuen Zufallsvariablen, Sie sehen, g wird 53:28.640 --> 53:32.780 geschaltet, die Hintereinanderausführung, auf x1 bis xk. 53:32.940 --> 53:37.980 x1 bis xk ist eine Abbildung, die geht von Omega in den r hoch k als 53:37.980 --> 53:38.720 Zufallsvektor. 53:39.040 --> 53:42.720 Dann kann ich die Funktion g draufschalten, weil g vom r hoch k nach r 53:42.720 --> 53:42.920 geht. 53:43.040 --> 53:44.440 Ich kriege wieder was Reellwertiges. 53:45.040 --> 53:47.080 Genauso bleibt noch über ein zweiter Block. 53:47.160 --> 53:49.760 Da bleiben noch die xk plus 1 bis xn über. 53:49.880 --> 53:51.120 Das sind n-k Stück. 53:51.860 --> 53:54.220 Das sind n-k dimensionaler Zufallsvektor. 53:54.380 --> 53:56.360 Bildet in den r hoch n-k ab. 53:56.620 --> 54:00.820 Da kann ich die Funktion h drauf schalten, weil h vom r hoch n-k nach 54:00.820 --> 54:01.560 r abbildet. 54:01.640 --> 54:04.060 Ich kriege zwei reellwertige Zufallsvariablen. 54:04.720 --> 54:07.600 Behauptet wird, wenn die ursprünglichen xn unabhängig sind, sind es 54:07.600 --> 54:07.940 auch die. 54:08.560 --> 54:14.520 Und der Beweis, ich setze kurz y1 als diese Funktion an und y2 als 54:14.520 --> 54:16.700 diese Funktion an, dann wissen wir, was wir zeigen müssen. 54:17.020 --> 54:20.320 Wir wollen die Unabhängigkeit von y1 und y2 zeigen. 54:21.820 --> 54:22.720 Was muss ich zeigen? 54:22.940 --> 54:24.360 Eben hatten wir die dritte Bedingung. 54:24.860 --> 54:29.780 Ich muss mir y1, y2 beliebig aus r hernehmen und muss diese 54:29.780 --> 54:31.000 Wahrscheinlichkeit betrachten. 54:31.260 --> 54:34.020 Und wenn ich zeigen kann, das ist das Produkt der beiden einzelnen 54:34.020 --> 54:35.380 Wahrscheinlichkeiten, bin ich fertig. 54:35.920 --> 54:37.140 Dann sind die beiden unabhängig. 54:38.180 --> 54:38.620 Das ist alles. 54:40.040 --> 54:44.980 Das heißt, ich muss jetzt dieses Ereignis darstellen mit Hilfe der x1 54:44.980 --> 54:45.620 bis xn. 54:47.880 --> 54:48.940 Was ist das? 54:49.340 --> 54:55.460 Nun, wann nimmt Groß-y1 den Wert Klein-y1 an und Groß-y2 den Wert 54:55.460 --> 54:56.520 Klein -y2 an? 54:57.060 --> 55:00.580 Nun, ich muss das zurückführen auf Realisierung des ganzen 55:00.580 --> 55:02.640 Zufallsvektors x1 bis xn. 55:02.760 --> 55:05.720 Die Realisierung sind die Klein-x1 bis Klein-xn. 55:06.520 --> 55:14.240 Und offenbar muss dann gelten, die Funktion g von x1 bis xk muss Klein 55:14.240 --> 55:21.300 -y1 sein und die Funktion h von xk plus 1 bis xn muss Klein-y2 sein. 55:21.360 --> 55:22.580 Das ist eine Nebenbedingung. 55:22.580 --> 55:25.600 Und Sie sehen, es ist nichts anderes als eine Summation. 55:25.940 --> 55:32.060 Hier wird summiert über alle Realisierungen des Zufallsvektors Groß-x1 55:32.060 --> 55:33.000 bis Groß-xn. 55:33.100 --> 55:35.160 Das sind die Klein-x1 bis Klein-xn. 55:35.360 --> 55:39.260 Mit der Eigenschaft, jetzt kommt die Nebenbedingung, die Funktion g 55:39.260 --> 55:45.560 der ersten k-Komponenten muss Klein-y1 sein und die Funktion h der 55:45.560 --> 55:49.520 letzten n-k-Komponenten in dem Vektor muss y2 sein. 55:49.520 --> 55:52.200 Dann muss ich über diese Einzelwahrscheinlichkeiten summieren. 55:52.400 --> 55:53.720 Ich habe nur das Ereignis zerlegt. 55:55.620 --> 55:59.060 Das muss erstmal klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit sich so 55:59.060 --> 55:59.660 ausdrückt. 56:01.020 --> 56:03.400 Wir haben nur die Additivität benutzt. 56:04.260 --> 56:06.480 Das Ereignis wurde zerlegt. 56:06.840 --> 56:16.020 Dass y1 den Wert Klein-y1 annimmt und y2 den Wert Klein-y2, die 56:16.020 --> 56:18.000 Wahrscheinlichkeit ist nichts anderes als die Summe dieser 56:18.000 --> 56:18.820 Wahrscheinlichkeiten. 56:19.140 --> 56:20.920 Was ich jetzt machen kann ist folgendes. 56:21.360 --> 56:23.180 Ich lasse mal die Summe so wie sie ist. 56:23.700 --> 56:25.540 Jetzt nutze ich die Unabhängigkeit aus. 56:25.620 --> 56:29.460 Sie sehen, da oben steht P von Groß-x1 gleich Klein-x1, Komma, Komma, 56:29.520 --> 56:31.440 Komma, Groß-xn gleich Klein-xn. 56:31.580 --> 56:34.980 Wegen der Unabhängigkeit darf ich das jetzt als Produkt schreiben. 56:35.480 --> 56:36.240 Das geht hier ein. 56:37.800 --> 56:38.300 Das ist ein Produkt. 56:40.760 --> 56:44.180 Insbesondere steht hier das Produkt der ersten k-Faktoren. 56:44.360 --> 56:50.220 Produkt xj gleich kjj von 1 bis k mal das Produkt der letzten. 56:50.620 --> 56:53.820 Sie sehen aber diese Summe, die da vorne steht, spaltet sich auf in 56:53.820 --> 56:55.040 zwei Teilbedingungen. 56:55.440 --> 56:58.740 Die erste ist, die ist nur an x1 bis xk. 56:59.020 --> 57:01.660 G von x1 bis xk ist Klein-y1. 57:03.340 --> 57:06.240 Und dann habe ich eine zweite Bedingung an die restlichen Komponenten, 57:06.300 --> 57:08.820 die getrennt ist von den ersten x1 bis xk. 57:08.960 --> 57:12.040 Aus dem Grunde kann ich das als zwei Summen schreiben. 57:13.040 --> 57:15.160 Und wegen der Produktdarstellung darf ich das so machen. 57:15.240 --> 57:18.260 Sie sehen, das ist nur die erste Bedingung und ich habe von dem 57:18.260 --> 57:21.260 Produkt, was da oben steht, nur die ersten k-Faktoren genommen. 57:23.620 --> 57:25.760 Und dann geht es weiter mit dem zweiten Produkt. 57:25.960 --> 57:29.540 Sie sehen, die zweite Bedingung bezieht sich nur auf xk plus 1 bis xn. 57:29.860 --> 57:33.260 Und da habe ich auch nur von dem Produkt, was drüber steht, die 57:33.260 --> 57:35.380 letzten n-k-Faktoren genommen. 57:35.760 --> 57:36.680 Das ist hier das Schöne. 57:36.840 --> 57:38.120 Ich kann es eben trennen. 57:39.040 --> 57:40.960 Ich könnte natürlich jetzt, eigentlich müsste ich noch Klammern drum 57:40.960 --> 57:43.300 rum machen über die Summen. 57:44.240 --> 57:47.200 Aber die erste Summe, die hier steht, ist nichts anderes als die 57:47.200 --> 57:50.040 Wahrscheinlichkeit, dass y1 gleich Klein-y1 ist. 57:51.320 --> 57:55.200 Da brauche ich natürlich auch nur die ersten x1 bis xk zu. 57:55.620 --> 57:57.940 Das sind die Realisierungen, die drüber stehen in der Summe. 57:58.240 --> 57:59.180 Und das ist die Bedingung. 57:59.420 --> 58:02.120 G von Klein-x1 bis Klein-xk ist y1. 58:02.640 --> 58:06.360 Und das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten, was da drüber steht, von 58:06.360 --> 58:09.760 1 bis k, ist die Wahrscheinlichkeit, dass x1 gleich Klein-x1 ist und 58:09.760 --> 58:11.280 so weiter xk gleich Klein-xk. 58:12.580 --> 58:17.200 Hier brauche ich nur die triviale Erkenntnis, wenn n Zufallsvariablen 58:17.200 --> 58:21.840 unabhängig sind, x1 bis xn, sind auch x1 bis xk unabhängig. 58:22.240 --> 58:24.640 Das folgt unmittelbar aus der Definition. 58:25.760 --> 58:29.740 Aus dem Grunde ist also diese erste Summe das und die zweite Summe ist 58:29.740 --> 58:29.980 das. 58:30.280 --> 58:31.200 Und damit bin ich fertig. 58:31.560 --> 58:35.940 Ich muss nur zeigen, dass für jede Wahl von y1 bis y2 diese 58:35.940 --> 58:38.940 Wahrscheinlichkeit, die dort oben links steht, beim Beginn des 58:38.940 --> 58:41.740 Beweises gleich dem Produkt ist. 58:41.920 --> 58:43.080 Das ist die Unabhängigkeit. 58:47.940 --> 58:51.300 Also nochmal, man strengt sich hier eigentlich unnötig an. 58:51.700 --> 58:56.720 Mit höherer Erkenntnis wird das durchaus einfacher. 58:57.120 --> 58:59.820 Aber wir haben hier nicht mehr technische Möglichkeiten. 59:00.280 --> 59:02.920 Aus dem Grunde läuft der Beweis jetzt so ab. 59:04.180 --> 59:05.760 Okay, also ich mache da einen Haken dran. 59:06.220 --> 59:07.420 Das wäre damit gezeigt. 59:09.120 --> 59:10.660 So eine Botschaft. 59:11.400 --> 59:16.560 Mit nur mehr Schreibaufwand bleibt diese Aussage des Blockungslemmers 59:16.560 --> 59:22.480 erhalten, wenn Sie Blöcke haben, sozusagen nicht nur zwei Blöcke wie 59:22.480 --> 59:24.040 eben, sondern drei oder vier. 59:24.280 --> 59:27.060 Ganz allgemein mehr als zwei Blöcke bleibt erhalten. 59:27.560 --> 59:29.640 Es ist wirklich nur der Schreibaufwand größer. 59:30.740 --> 59:33.560 So typische Anwendungen, über die man dann später nicht mehr 59:33.560 --> 59:34.660 nachdenkt, sind jetzt die. 59:34.840 --> 59:37.300 Stellen Sie sich vor, Sie haben vier unabhängige Zufallsverjahende. 59:37.420 --> 59:38.360 Jetzt machen Sie zwei Blöcke. 59:38.500 --> 59:41.340 Sie nehmen x1, x2 und x3, x4. 59:41.420 --> 59:44.300 Das sind die beiden Blöcke und schalten auf den ersten Block eine 59:44.300 --> 59:44.620 Funktion. 59:44.700 --> 59:48.460 Da können Sie sagen, ich nehme mal dann x1 plus x2 und schalte noch 59:48.460 --> 59:49.160 ein Sinus dran. 59:49.480 --> 59:51.440 Das ist eine Funktion von x1, x2. 59:52.460 --> 59:57.560 Und x3 minus 2x4 ist eine Funktion von x3, x4 und jetzt sind die 59:58.020 --> 59:58.380 unabhängig. 59:58.600 --> 01:00:01.200 Das ist so eine typische Anwendung, über die man später nie mehr 01:00:01.200 --> 01:00:01.800 nachdenkt. 01:00:02.840 --> 01:00:04.160 Wir haben es eben allgemein erwähnt. 01:00:04.300 --> 01:00:06.300 Stellen Sie sich vor, Sie haben fünf Zufallsvariablen. 01:00:06.920 --> 01:00:10.700 Dann können Sie sagen, okay, ich nehme hier eine Funktion mal von x1, 01:00:10.740 --> 01:00:11.700 x3, x5. 01:00:11.940 --> 01:00:15.340 Stellen Sie sich vor, x3, x5 sind positive Zufallsvariablen, sodass 01:00:15.340 --> 01:00:16.540 Sie auch die Wurzel ziehen können. 01:00:16.880 --> 01:00:20.240 Dann haben Sie nichts anderes als eine Funktion des Blocks, der 01:00:20.240 --> 01:00:22.060 besteht aus x1, x3, x5. 01:00:22.660 --> 01:00:24.100 Und dann haben Sie noch x2, x4. 01:00:24.180 --> 01:00:25.780 Sie nehmen x2 durch x4. 01:00:25.960 --> 01:00:28.460 Stellen Sie sich vor, x4 nimmt eben auch nie den Wert 0 an. 01:00:28.900 --> 01:00:31.380 Solche Fälle kommen vor bei Zufallsvariablen und können Sie auch den 01:00:31.380 --> 01:00:32.460 Quotienten bilden. 01:00:32.740 --> 01:00:36.560 Das heißt, hier haben Sie wieder eine Funktion von zwei Funktionen, 01:00:36.580 --> 01:00:38.160 wieder von disjunkten Blöcken. 01:00:39.500 --> 01:00:41.380 Darüber denkt man später nicht mehr nach. 01:00:43.940 --> 01:00:46.220 Das sind Anwendungen dann dieses Blockungslemmas. 01:00:46.700 --> 01:00:51.780 Es sollte auch intuitiv klar sein, dass das unabhängig sein muss, wenn 01:00:51.780 --> 01:00:54.140 ursprünglich alle N-Zufallsvariablen unabhängig waren. 01:01:00.250 --> 01:01:06.870 Jetzt kommt etwas, was wir brauchen, auch für das nächste Kapitel, was 01:01:06.870 --> 01:01:13.270 uns Erwartungswerte zu berechnen gestattet, wenn wir Zufallsvektoren 01:01:13.270 --> 01:01:15.830 haben und dann reelle Funktionen draufschalten. 01:01:16.130 --> 01:01:17.750 Ich formuliere das erstmal. 01:01:17.870 --> 01:01:19.570 Das ist die allgemeine Transformationsform. 01:01:20.050 --> 01:01:21.870 Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. 01:01:22.190 --> 01:01:24.370 Immer daran denken, diese Menge wird gleich vorkommen. 01:01:24.490 --> 01:01:27.130 Omega 0, da gibt es eine absehbare Teilmenge. 01:01:27.290 --> 01:01:29.570 Ich wiederhole mich, die hat die Wahrscheinlichkeit 1. 01:01:30.590 --> 01:01:33.830 Natürlich ist p von Omega auch 1, aber ist schon p von Omega 0 gleich 01:01:33.830 --> 01:01:35.370 1 für eine absehbare Teilmenge. 01:01:37.310 --> 01:01:40.570 Sie erinnern sich vielleicht an die Definition des Erwartungswertes. 01:01:40.610 --> 01:01:45.810 Einer Zufallsvariant x, dann war Summe klein Omega aus Omega 0, x von 01:01:45.810 --> 01:01:49.230 Omega mal p von 1 elementiger Teilmenge Omega. 01:01:49.510 --> 01:01:52.750 Und die Reihe musste absolut konvergieren, damit der Erwartungswert 01:01:52.750 --> 01:01:53.270 existiert. 01:01:53.350 --> 01:01:56.530 Das war vor einiger Zeit, vor einigen Kapiteln. 01:01:57.150 --> 01:01:59.890 Also stellen Sie sich vor, Sie haben einen n-dimensionalen 01:01:59.890 --> 01:02:00.670 Zufallsvektor. 01:02:01.670 --> 01:02:06.610 Wir müssen aber jetzt zu etwas Reellem kommen, denn wir wollen einen 01:02:06.610 --> 01:02:08.070 Erwartungswert ausrechnen. 01:02:09.470 --> 01:02:11.770 Zunächst mal definiere ich eine Menge M0. 01:02:11.950 --> 01:02:15.850 Das seien alle diese Z im Rho n, die mit positiver Wahrscheinlichkeit 01:02:15.850 --> 01:02:17.990 angenommen werden von dem Zufallsvektor z. 01:02:18.730 --> 01:02:23.010 Eine endliche Menge oder eine höchstens absehbar unendliche Menge. 01:02:23.010 --> 01:02:27.950 Nachher kommen Summen vielleicht vor, wo über Elemente aus M0 über 01:02:27.950 --> 01:02:29.150 gewisse summiert wird. 01:02:29.390 --> 01:02:32.550 Das sind eben keine überabsehbaren Summen, sondern höchstens absehbare 01:02:32.550 --> 01:02:32.850 Summen. 01:02:32.930 --> 01:02:33.610 Das ist hier wichtig. 01:02:34.490 --> 01:02:38.210 Jetzt sehen Sie, das Z bildet in den Rho n ab und ich kann dann eine 01:02:38.210 --> 01:02:42.110 Funktion draufschalten, die wieder von dem Rho n nach R abbildet. 01:02:42.170 --> 01:02:45.950 Ich kriege jetzt was Reelles, indem ich die Verknüpfung G verknüpfe 01:02:45.950 --> 01:02:46.430 mit Z. 01:02:47.810 --> 01:02:50.090 Dann habe ich eine reelle Zufallsverjahung auf Omega. 01:02:54.740 --> 01:02:59.100 Dann gilt, ich kann mir Gedanken machen über den Erwartungswert von G 01:02:59.100 --> 01:03:01.960 von Z, denn G von Z ist eine reelle Zufallsverjahung, behauptet wird, 01:03:02.040 --> 01:03:05.420 der existiert genau dann, wenn, jetzt sehen Sie hier eine Summe, 01:03:05.580 --> 01:03:12.620 endliche Summe oder eine Reihe, G von Z Betrag, das ist wichtig, alles 01:03:12.620 --> 01:03:15.540 muss nicht negativ sein, mal die Wahrscheinlichkeit, dass Z, den Wert 01:03:15.540 --> 01:03:16.980 Z annimmt, endlich ist. 01:03:17.280 --> 01:03:20.360 Sie sehen wieder, diese Bedingung ist gegenstandslos, wenn M0 eine 01:03:20.360 --> 01:03:21.120 endliche Menge ist. 01:03:21.200 --> 01:03:24.580 Wenn der Zufallsvektor nur endlich viele Werte annehmen kann, mit 01:03:24.580 --> 01:03:28.040 positiven Wahrscheinlichkeiten, existiert der Erwartungswert immer von 01:03:28.040 --> 01:03:28.580 G von Z. 01:03:29.720 --> 01:03:33.260 Also die Bedingung macht nur dann Sinn, wenn das M0 wirklich absehbar 01:03:33.260 --> 01:03:36.680 unendlich ist, dann muss ich es irgendwie durchnummerieren und habe 01:03:36.680 --> 01:03:40.920 hier einen Grenzwert einer unendlichen Reihe und der muss dann 01:03:40.920 --> 01:03:41.500 existieren. 01:03:42.140 --> 01:03:44.280 Das ist die gleiche Bedingung, die wir hatten zu Beginn beim 01:03:44.280 --> 01:03:44.980 Erwartungswert. 01:03:45.280 --> 01:03:49.260 So, wenn das der Fall ist aber, dann gilt, ich kann den Erwartungswert 01:03:49.260 --> 01:03:52.720 ausrechnen, indem ich jetzt den Betrag weglasse und das einfach so 01:03:52.720 --> 01:03:53.100 mache. 01:03:55.380 --> 01:03:58.500 So, wir hatten diese Formel schon beim normalen Erwartungswert. 01:03:58.720 --> 01:04:02.860 Stellen Sie sich vor, das Z ist eindimensional eine Zufallsvariable 01:04:02.860 --> 01:04:04.860 und nennen wir sie X, jetzt nicht Z. 01:04:06.900 --> 01:04:10.740 So, stellen Sie sich vor, die Funktion G ist die Identität auf R. 01:04:11.920 --> 01:04:15.480 Dann steht da nichts anderes als der Erwartungswert, der Z ist jetzt X 01:04:15.480 --> 01:04:16.000 von X. 01:04:17.620 --> 01:04:22.300 Das war Summe, jetzt die Z haben wir damals X genannt, über alle 01:04:22.300 --> 01:04:25.760 Werte, die angenommen werden mit positiven Wahrscheinlichkeiten, dann 01:04:25.760 --> 01:04:28.400 steht da X mal P von Groß-X gleich Klein-X. 01:04:28.500 --> 01:04:30.040 Diese Darstellungsformel hatten wir schon. 01:04:31.600 --> 01:04:34.260 Spezialfall, das heißt, diese Formel ist eine direkte 01:04:34.260 --> 01:04:35.240 Verallgemeinerung. 01:04:36.040 --> 01:04:40.040 Wir werden sie aber gleich brauchen in dieser Verallgemeinerung. 01:04:40.120 --> 01:04:41.100 So, Beweis. 01:04:42.360 --> 01:04:47.920 Sie sehen, dieser Beweis beginnt mit diesem stillschweigend 01:04:47.920 --> 01:04:49.460 vorausgesetzten Omega-Null. 01:04:49.560 --> 01:04:52.540 Das ist die Teilmenge, die abzehlbare Teilmenge von Omega, die die 01:04:52.540 --> 01:04:53.700 Wahrscheinlichkeit 1 hat. 01:04:54.100 --> 01:04:57.120 Und um die Existenz dieses Erwartungswertes, der drüber steht, 01:04:57.220 --> 01:05:02.020 nachzuprüfen, muss ich nehmen Zufallsvariable G von Z an der Stelle 01:05:02.020 --> 01:05:06.820 Omega, muss sie in den Betrag erheben, mal P von Omega. 01:05:06.940 --> 01:05:12.420 Ich muss zeigen, dass das einen endlichen Wert liefert und ich muss es 01:05:12.420 --> 01:05:15.220 nur zeigen, wenn Omega-Null abzehlbar unendlich ist. 01:05:15.520 --> 01:05:17.480 Dann habe ich hier eine Reihe und die muss konvergieren. 01:05:17.580 --> 01:05:21.140 Dann existiert der Erwartungswert der Zufallsvariable G von Z, die ich 01:05:21.140 --> 01:05:22.940 gedanklich X nennen kann. 01:05:23.760 --> 01:05:25.800 Das ist unsere Bedingung, die wir haben. 01:05:27.440 --> 01:05:30.440 Das war ganz zu Beginn, als wir den Erwartungswert eingeführt haben. 01:05:31.560 --> 01:05:34.040 Ich habe eine reelle Zufallsvariable, die heißt G von Z. 01:05:34.880 --> 01:05:36.180 Damit haben wir es nur X genannt. 01:05:36.280 --> 01:05:40.600 X von Omega-Betrag mal P von 1-Elementiger-Mengen-Omega. 01:05:40.740 --> 01:05:45.360 So, die Idee ist jetzt hier die, bei dieser Summation, ich sortiere 01:05:45.360 --> 01:05:45.900 das um. 01:05:46.240 --> 01:05:49.740 Ich brauche dafür schlimmstenfalls den großen Umordnungssatz aus der 01:05:49.740 --> 01:05:50.200 Analyse. 01:05:50.600 --> 01:05:54.780 Nämlich, ich sortiere das um nach gleichen Werten von Z von Omega. 01:05:55.160 --> 01:05:56.820 Also was nimmt der Zufallsvektor an? 01:05:56.820 --> 01:05:58.500 Sie sehen dort, das sind die Werte klein Z. 01:05:58.940 --> 01:06:02.180 Es kann also für verschiedene Omegas aus Omega-Null, was wir links 01:06:02.180 --> 01:06:05.240 sehen, könnte der gleiche Wert Z von Omega herauskommen. 01:06:05.620 --> 01:06:06.780 Und den nennen wir klein Z. 01:06:07.000 --> 01:06:08.100 Jetzt kommt eine Umsortierung. 01:06:08.760 --> 01:06:12.640 Das heißt, wir haben hier eine äußere Summe über diejenigen Z aus dem 01:06:12.640 --> 01:06:15.740 R auf N, die überhaupt mit positiver Wahrscheinlichkeit vorkommen 01:06:15.740 --> 01:06:15.940 können. 01:06:16.080 --> 01:06:17.340 Das ist unsere Menge m0. 01:06:18.260 --> 01:06:20.640 Ich hätte auch kurz schreiben können, Z-Element m0. 01:06:21.460 --> 01:06:22.780 Und dann haben wir eine innere Summe. 01:06:22.920 --> 01:06:26.580 Und jetzt summieren wir über alle die Omega aus Omega-Null mit der 01:06:26.580 --> 01:06:28.960 Eigenschaft Z von Omega gleich klein Z. 01:06:29.360 --> 01:06:32.880 Und ich schreibe noch mal hin, G von Z von Omega-Betrag mal P von 01:06:32.880 --> 01:06:33.600 Omega -Betrag. 01:06:34.320 --> 01:06:35.260 P von Omega. 01:06:36.320 --> 01:06:40.140 So, Sie sehen in der zweiten Summe, da steht immer die Bedingung Z von 01:06:40.140 --> 01:06:41.400 Omega gleich klein Z. 01:06:42.180 --> 01:06:45.620 Das heißt, ich darf für Z von Omega immer gleich klein Z einsetzen. 01:06:45.780 --> 01:06:49.400 Das heißt, dieser Vorfaktor vor P von Omega ist immer der gleiche, 01:06:49.460 --> 01:06:51.620 nämlich G von klein Z-Betrag. 01:06:52.260 --> 01:06:54.600 Das darf ich also vor die zweite Summe schreiben. 01:06:57.620 --> 01:06:58.280 Ich ziehe das raus. 01:06:59.760 --> 01:07:03.320 Sie sehen, bei der ersten Summe schreibe ich jetzt kurz Summe Z 01:07:03.320 --> 01:07:04.120 -Element m0. 01:07:04.200 --> 01:07:06.040 Die Bedingung ist die gleiche, die darunter stand. 01:07:06.620 --> 01:07:09.080 Und jetzt ziehe ich das G von Z raus. 01:07:09.320 --> 01:07:10.240 G von Z-Betrag. 01:07:11.360 --> 01:07:13.320 Was bleibt jetzt über bei der zweiten Summe? 01:07:13.400 --> 01:07:17.300 Da bleibt über die Summe a la Omega aus Omega 0 Z von Omega gleich Z 01:07:17.300 --> 01:07:18.560 mal P von Omega. 01:07:19.480 --> 01:07:22.400 Das heißt, ich summiere hier die Wahrscheinlichkeiten der 01:07:22.400 --> 01:07:24.100 Elementarereignisse. 01:07:25.740 --> 01:07:30.520 Nun, wir sehen aber die Bedingung, die sollen eben immer ergeben Z von 01:07:30.520 --> 01:07:31.440 Omega gleich klein Z. 01:07:31.540 --> 01:07:34.100 Das ist aber nichts anderes, die zweite Summe, wie die 01:07:34.100 --> 01:07:35.960 Wahrscheinlichkeit Groß-Z gleich Klein-Z. 01:07:38.520 --> 01:07:41.480 So, das heißt, wir haben diese Gleichheit festgestellt. 01:07:41.640 --> 01:07:45.220 Eventuell kann es sein, dass hier die Divergenz da ist bei einer 01:07:45.220 --> 01:07:47.540 unendlichen Reihe, aber dann divergieren beide Seiten. 01:07:48.060 --> 01:07:52.180 Der große Umordnungssatz gilt sozusagen auch für Divergenz. 01:07:52.300 --> 01:07:53.800 Dann steht auf beiden Seiten Divergenz. 01:07:54.160 --> 01:07:57.800 Wir haben umsortiert und das Entscheidende ist, Sie sehen, die 01:07:57.800 --> 01:08:01.920 Existenz des Erwartungswertes oben ist gleich bedeutend damit, dass 01:08:01.920 --> 01:08:06.780 das, was direkt nach dem Beweis steht, diese erste Summe eine 01:08:06.780 --> 01:08:10.440 konvergente Reihe ist, im Fall eines unendlichen Omega 0. 01:08:10.720 --> 01:08:13.080 Und dann bedeutet das, auch das muss konvergieren. 01:08:13.180 --> 01:08:15.760 Sie sehen, das ist genau dann, wenn, das heißt, diese Bedingung haben 01:08:15.760 --> 01:08:16.300 wir gezeigt. 01:08:16.840 --> 01:08:20.980 Wenn wir jetzt die Existenz haben, dann dürfen wir aber den Betrag 01:08:20.980 --> 01:08:21.720 weglassen. 01:08:22.160 --> 01:08:25.700 Das heißt, wir lassen jetzt überall den Betrag weg und dann sehen wir, 01:08:26.140 --> 01:08:30.420 dass was links steht, Summe Omega aus Omega 0 ohne Betrag, ist nichts 01:08:30.420 --> 01:08:32.500 anderes als der Erwartungswert von g von z. 01:08:33.840 --> 01:08:36.940 Und was am Ende steht, ohne Betrag, ist das, was da oben steht. 01:08:37.380 --> 01:08:39.120 Das heißt, wir haben auch diese Formel erhalten. 01:08:39.680 --> 01:08:42.080 Das heißt, danach dürfen wir den Betrag weglassen. 01:08:43.560 --> 01:08:46.700 Also auch hier ist die Botschaft eine ganz simple, wenn ich den 01:08:46.700 --> 01:08:50.680 Erwartungswert einer Funktion ausrechnen will, von irgendeinem 01:08:50.680 --> 01:08:55.460 Zufallsvektor, da muss ich summieren über die Werte, die der Vektor 01:08:55.460 --> 01:09:00.720 überhaupt annimmt, dann Wert der Funktion g von z mal 01:09:00.720 --> 01:09:03.400 Wahrscheinlichkeit, dass z den Wert klein z annimmt. 01:09:03.840 --> 01:09:06.960 Das ist also eine direkte Verallgemeinerung unserer Darstellungsformel 01:09:06.960 --> 01:09:09.040 für den normalen Erwartungswert. 01:09:10.900 --> 01:09:14.080 Wir werden das gleich brauchen bei zwei Zufallsvariablen oder heute 01:09:14.080 --> 01:09:14.600 noch nicht. 01:09:14.980 --> 01:09:17.600 Wir werden uns zum Beispiel unterhalten über Kovarianzen. 01:09:17.780 --> 01:09:19.480 Da sind immer zwei Zufallsvariablen beteiligt. 01:09:19.860 --> 01:09:21.620 Korrelation werden wir haben. 01:09:22.000 --> 01:09:24.060 Da müssen wir dann eben sowas verwenden. 01:09:24.060 --> 01:09:28.360 Korrelation ist auch ein wichtiger Begriff, der oft auch missgedeutet 01:09:28.360 --> 01:09:28.600 wird. 01:09:28.740 --> 01:09:30.560 Damit werden wir uns ausführlich beschäftigen. 01:09:31.280 --> 01:09:32.080 So, das ist das Memo. 01:09:33.140 --> 01:09:34.420 So rechnet man das aus. 01:09:35.700 --> 01:09:39.420 Jetzt kommt eine wichtige Formel, die Multiplikationsformel für 01:09:39.420 --> 01:09:40.180 Erwartungswerte. 01:09:41.220 --> 01:09:43.400 Stellen Sie sich vor, Sie haben unabhängige Zufallsvariablen. 01:09:43.440 --> 01:09:44.200 Ich betone das. 01:09:44.580 --> 01:09:45.580 Das ist die Voraussetzung. 01:09:45.700 --> 01:09:46.580 Sie sind unabhängig. 01:09:47.440 --> 01:09:50.040 Und stellen sich vor, die Erwartungswerte existieren beide. 01:09:50.720 --> 01:09:53.380 Wir haben gesehen, dass wir das kurz so schreiben können. 01:09:53.780 --> 01:09:55.400 Beide Erwartungswerte existieren. 01:09:55.800 --> 01:09:59.660 Dann wird behauptet, auch der Erwartungswert des Produktes x mal y 01:09:59.660 --> 01:10:00.400 existiert. 01:10:01.500 --> 01:10:05.040 Und der Erwartungswert des Produktes ist Produkt der einzelnen 01:10:05.040 --> 01:10:05.860 Erwartungswerte. 01:10:06.880 --> 01:10:07.660 Das ist die Botschaft. 01:10:07.740 --> 01:10:08.920 Bei unabhängigen Zufallsvariablen. 01:10:08.980 --> 01:10:11.420 Wir werden gleich ein Beispiel sehen, wenn die nicht unabhängig sind, 01:10:11.500 --> 01:10:12.020 gilt das nicht. 01:10:15.330 --> 01:10:19.410 Wir wissen, der Erwartungswert von x plus y, wenn ich die addiere, ist 01:10:19.410 --> 01:10:21.470 immer e von x plus e von y. 01:10:21.750 --> 01:10:23.810 Das heißt, der Erwartungswert ist additiv. 01:10:24.010 --> 01:10:24.590 Das gilt immer. 01:10:25.230 --> 01:10:27.710 Unabhängig davon, ob die Zufallsvariablen unabhängig sind oder nicht. 01:10:28.550 --> 01:10:31.730 Aber hier beim Produkt brauchen wir die Unabhängigkeit. 01:10:32.350 --> 01:10:34.330 Das ist auf jeden Fall eine hinreichende Bedingung. 01:10:34.550 --> 01:10:35.070 So, Beweis. 01:10:36.290 --> 01:10:37.770 Ich wende den Satz von eben an. 01:10:38.070 --> 01:10:40.710 Z ist jetzt ein zweidimensionaler Vektor. 01:10:40.790 --> 01:10:42.330 Die Komponenten sind x und y. 01:10:45.430 --> 01:10:46.870 Das ist unser Z von eben. 01:10:49.250 --> 01:10:51.050 Was wir aber hier haben, ist das Produkt. 01:10:51.230 --> 01:10:55.090 Das heißt, unsere Funktion des Vektors ist nichts anderes als Produkt 01:10:55.090 --> 01:10:56.010 der Komponenten. 01:10:56.150 --> 01:10:58.430 Das heißt, das g geht vom r2 in den r1. 01:10:59.930 --> 01:11:04.090 g von klein xy aus dem r2 ist Produkt. 01:11:04.190 --> 01:11:06.650 x mal y ist r-wertig. 01:11:06.990 --> 01:11:10.550 Das heißt, wir können uns ran machen, den Erwartungswert von dieser 01:11:10.550 --> 01:11:11.750 Funktion auszurechnen. 01:11:11.910 --> 01:11:15.150 Das heißt, das ist hier nochmal p von Großz gleich Kleinz. 01:11:15.210 --> 01:11:17.730 Das schreibe ich jetzt als p von Großx gleich Kleinx. 01:11:17.850 --> 01:11:19.130 y gleich Kleiny. 01:11:19.510 --> 01:11:20.970 xy ist natürlich dann Z. 01:11:21.830 --> 01:11:23.130 Z, das Zweidimensionale. 01:11:24.110 --> 01:11:25.610 So, was habe ich hier? 01:11:25.910 --> 01:11:32.330 Das wäre jetzt erstmal die Prüfung, ob der Erwartungswert des 01:11:32.330 --> 01:11:33.450 Produktes existiert. 01:11:33.510 --> 01:11:36.450 Sie sehen, unsere Zufallsvariable, die da steht, ist nichts anderes 01:11:36.450 --> 01:11:37.630 als x mal y. 01:11:37.870 --> 01:11:40.810 An der Stelle Omega ist x von Omega mal y von Omega. 01:11:40.910 --> 01:11:43.110 Ich muss das in Betrag erheben, multiplizieren, mit der 01:11:43.110 --> 01:11:44.370 Wahrscheinlichkeit aufsummieren. 01:11:44.830 --> 01:11:47.350 Wenn da ein endlicher Wert rauskommt, dann existiert der 01:11:47.350 --> 01:11:48.730 Erwartungswert des Produktes. 01:11:49.930 --> 01:11:52.250 Später lasse ich wieder die Betragsstriche weg, aber erstmal die 01:11:52.250 --> 01:11:52.730 Prüfung. 01:11:53.790 --> 01:11:57.510 Ich muss nur prüfen, wenn Omega null keine endliche Menge ist. 01:11:57.750 --> 01:11:59.410 Dann muss ich prüfen, weil ich hier eine Reihe habe. 01:12:00.270 --> 01:12:00.950 So, was wir machen? 01:12:01.530 --> 01:12:02.950 Wir sortieren das wieder um. 01:12:03.810 --> 01:12:09.190 Wir sortieren das nach den Wertepaaren, die sozusagen hier der Vektor 01:12:09.190 --> 01:12:13.050 mit den Komponenten Groß-X und Groß-Y annehmen kann. 01:12:14.130 --> 01:12:15.350 Und dann haben wir wieder eine innere Summe. 01:12:15.450 --> 01:12:17.610 Sie sehen, dann habe ich x-Betrag mal y-Betrag. 01:12:17.710 --> 01:12:19.450 Das ist genau das, was wir eben gemacht haben. 01:12:19.830 --> 01:12:23.390 Und dann bleibt außen über die Wahrscheinlichkeit x gleich klein x und 01:12:23.390 --> 01:12:24.310 y gleich klein y. 01:12:24.490 --> 01:12:27.390 Das haben wir eben allgemein gemacht, dass hier ein Spezialfall ist. 01:12:27.470 --> 01:12:28.830 Also hier steckt eine Umsortierung drin. 01:12:29.370 --> 01:12:31.650 Jetzt dürfen wir die Unabhängigkeit ausnutzen. 01:12:31.890 --> 01:12:34.850 Sie sehen, diese Wahrscheinlichkeit, die da steht, ist ein Produkt der 01:12:34.850 --> 01:12:38.690 Einzelwahrscheinlichkeiten Groß-X gleich klein x und y gleich klein y. 01:12:38.990 --> 01:12:39.490 Das lasse ich mal. 01:12:39.970 --> 01:12:40.590 Der Rest bleibt. 01:12:42.150 --> 01:12:48.930 Und auch hier erkennt man jetzt, ich habe zwei getrennte Summen. 01:12:49.330 --> 01:12:52.910 Das heißt, ich habe hier x-Betrag mal p von Groß-X gleich klein x. 01:12:53.450 --> 01:12:54.930 Das hängt nur von x ab. 01:12:55.350 --> 01:12:58.870 Das andere ist y-Betrag mal p von Groß-Y gleich klein y. 01:12:58.870 --> 01:13:01.970 Das hängt nur von y ab und kann das so schreiben. 01:13:02.970 --> 01:13:06.550 Hier verwende ich wieder letztlich das Distributivgesetz. 01:13:08.730 --> 01:13:14.690 Und zum Summieren kommen nur die x in Frage, derart, dass die 01:13:14.690 --> 01:13:18.410 Wahrscheinlichkeit positiv ist, dass Groß-X den Wert annimmt 01:13:18.410 --> 01:13:19.570 entsprechend bei y. 01:13:19.750 --> 01:13:21.190 Über andere brauche ich nicht summieren. 01:13:21.630 --> 01:13:24.030 Das sind endliche Summen oder unendliche Reihen. 01:13:24.030 --> 01:13:28.310 Und jetzt sollten Sie sich notieren, dieses erste Produkt, was da 01:13:28.310 --> 01:13:31.750 steht, ist nichts anderes als der Erwartungswert von x-Betrag. 01:13:31.950 --> 01:13:34.110 Das ist unsere Darstellungsformel für Erwartungswert. 01:13:35.490 --> 01:13:38.550 Und das zweite Produkt, was da steht, ist der Erwartungswert von y 01:13:38.550 --> 01:13:39.150 -Betrag. 01:13:40.650 --> 01:13:43.890 Und jetzt sehen Sie, die schauen sich in die Voraussetzung, die sind 01:13:43.890 --> 01:13:46.450 beide endlich in der Voraussetzung des Satzes. 01:13:46.450 --> 01:13:48.750 Das bedeutet, da kommt ein endlicher Wert raus. 01:13:50.190 --> 01:13:52.730 Das heißt, der Erwartungswert des Produktes existiert. 01:13:55.310 --> 01:13:58.410 So, jetzt dürfen wir wieder die Betragsstriche weglassen. 01:13:58.870 --> 01:14:01.010 Alles absolute Konvergenz. 01:14:02.190 --> 01:14:05.730 Das heißt, wenn wir die weglassen, dann steht wieder links nach dem 01:14:05.730 --> 01:14:08.750 Beweis, steht nichts anderes als der Erwartungswert von x mal y. 01:14:09.750 --> 01:14:12.570 Und auf der rechten Seite haben wir die beiden Produkte ohne 01:14:12.570 --> 01:14:14.150 Betragsstrich. 01:14:14.330 --> 01:14:17.070 Und dann ist natürlich beim ersten Produkt nichts anderes als der 01:14:17.070 --> 01:14:19.070 Erwartungswert von x, Darstellungsformel. 01:14:19.550 --> 01:14:21.770 Und das zweite Produkt ist der Erwartungswert von y. 01:14:22.430 --> 01:14:25.370 Aber erst war die Prüfung wichtig, dass er überhaupt existiert. 01:14:25.490 --> 01:14:27.470 Ich will Ihnen jetzt ein Gegenbeispiel angeben, wenn die nicht 01:14:27.470 --> 01:14:29.790 unabhängig sind, ist das nicht der Fall. 01:14:31.050 --> 01:14:32.770 Oder muss es nicht der Fall sein. 01:14:33.570 --> 01:14:37.750 Es gibt Fälle bei nicht unabhängigen Zufallsfeiern, für die die 01:14:37.750 --> 01:14:39.450 Multiplikationsformel auch gilt. 01:14:40.290 --> 01:14:42.090 Aber die bekommen noch einen eigenen Namen. 01:14:42.950 --> 01:14:44.470 Das machen wir dann das nächste Mal. 01:14:45.930 --> 01:14:51.070 Also, wenn sie unabhängig sind, wenn die beiden Erwartungswerte 01:14:51.070 --> 01:14:54.930 existieren, dann haben wir gesehen, existiert auch der Erwartungswert 01:14:54.930 --> 01:14:55.690 des Produktes. 01:14:55.750 --> 01:14:59.550 Und jetzt kommt die Frage, gilt das auch, wenn die nicht stochastisch 01:14:59.550 --> 01:15:00.170 unabhängig sind? 01:15:00.170 --> 01:15:02.670 Und die Antwort, die klare Botschaft ist nein. 01:15:03.790 --> 01:15:05.210 Jetzt kommt ein simples Gegenbeispiel. 01:15:05.670 --> 01:15:07.610 Ich könnte das direkt auch allgemeiner machen. 01:15:08.250 --> 01:15:10.210 Aber hier kommen Dinge vor, die Sie schon mal kennen. 01:15:10.330 --> 01:15:13.010 Ich definiere mal als c den Grenzwert dieser Reihe. 01:15:13.090 --> 01:15:14.610 Und Sie wissen, diese Reihe konvergiert. 01:15:15.670 --> 01:15:20.050 Es reicht, wenn Sie sowas haben wie 1 durch k hoch 1 plus epsilon. 01:15:20.190 --> 01:15:23.110 Epsilon muss nur positiv sein, dann konvergiert die Reihe. 01:15:23.490 --> 01:15:26.710 Also insbesondere konvergiert die Reihe der Grenzwert, wie immer der 01:15:26.710 --> 01:15:27.630 Aussiedlung in c. 01:15:27.630 --> 01:15:29.190 Wir nennen den Grenzwert so. 01:15:30.390 --> 01:15:35.430 Also definiert pk, definiere ich mal 1 durch c mal k hoch 3 für jedes 01:15:35.430 --> 01:15:38.390 k aus n, definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den 01:15:38.390 --> 01:15:39.150 natürlichen Zahlen. 01:15:39.250 --> 01:15:42.630 Denn die pk sind nicht negativ und wenn Sie die alle aufsummieren, 01:15:43.050 --> 01:15:45.410 nach Definition von dem c kommt da 1 raus. 01:15:45.730 --> 01:15:46.670 Ich habe das gerade so gemacht. 01:15:47.770 --> 01:15:49.230 Ich habe eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. 01:15:49.510 --> 01:15:52.570 Wenn ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen 01:15:52.570 --> 01:15:55.490 habe, dann habe ich sofort eine Zufallsvariable, die diese Werte 01:15:55.490 --> 01:15:57.450 annimmt mit den Wahrscheinlichkeiten pk. 01:15:57.970 --> 01:15:59.550 Wir haben unser kanonisches Modell. 01:15:59.630 --> 01:16:03.350 Ich brauche nur die Identität zu nehmen auf den natürlichen Zahlen. 01:16:03.430 --> 01:16:06.250 Ich habe eine Zufallsvariable, die diese Werte annimmt mit den 01:16:06.250 --> 01:16:06.930 Wahrscheinlichkeiten. 01:16:07.150 --> 01:16:09.690 Wir werden sofort sehen, dass der Erwartungswert existiert. 01:16:10.310 --> 01:16:12.970 Denn wenn ich den Erwartungswert ausrechnen will, also erstmal setze 01:16:12.970 --> 01:16:14.010 ich y gleich x. 01:16:14.550 --> 01:16:16.090 Das ist hier das Schöne. 01:16:16.330 --> 01:16:17.070 Das kann ich machen. 01:16:18.690 --> 01:16:19.490 E von x. 01:16:19.550 --> 01:16:20.610 Was ist E von x? 01:16:20.610 --> 01:16:25.710 Das heißt, unsere Darstellungsformel war, ich muss Wert mal 01:16:25.710 --> 01:16:26.730 Wahrscheinlichkeit nehmen. 01:16:26.810 --> 01:16:29.510 Ich muss also aufsummieren von k bis und endlich von 1 bis und 01:16:29.510 --> 01:16:29.730 endlich. 01:16:29.850 --> 01:16:32.270 Das war unsere Darstellungsformel für den Erwartungswert. 01:16:32.930 --> 01:16:34.710 Jetzt setze ich mal ein, was pk ist. 01:16:35.350 --> 01:16:36.230 Dann bleibt das über. 01:16:36.330 --> 01:16:37.730 1 durch c kann ich rausziehen. 01:16:37.850 --> 01:16:40.810 Es bleibt die Summe 1 durch k² über und die konvergiert. 01:16:41.370 --> 01:16:42.470 Nach dem, was ich eben sagte. 01:16:42.590 --> 01:16:44.190 Das heißt, der Erwartungswert existiert. 01:16:44.630 --> 01:16:47.790 Und wenn ich y gleich x setze, existiert natürlich automatisch der 01:16:47.790 --> 01:16:49.350 Erwartungswert von y auch. 01:16:49.350 --> 01:16:50.470 Denn y ist x. 01:16:51.070 --> 01:16:53.190 Aber was ist das Produkt x mal y? 01:16:53.690 --> 01:16:55.530 Wenn y gleich x ist, ist das x². 01:16:57.010 --> 01:16:59.570 Ich rechne mal den Erwartungswert von x² aus. 01:16:59.950 --> 01:17:02.930 Wenn ich den Erwartungswert von x² ausrechne, muss ich aber mit dem 01:17:02.930 --> 01:17:05.050 Faktor k² reingehen mal pk. 01:17:05.810 --> 01:17:07.670 Jetzt sehen Sie, 1 durch c kann ich wieder rausziehen. 01:17:07.750 --> 01:17:09.130 Es bleibt aber 1 durch k über. 01:17:09.410 --> 01:17:12.010 Und diese Reihe kennen Sie, die harmonische Reihe, die divergiert. 01:17:12.870 --> 01:17:17.350 Sie sehen also, Sie haben ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen. 01:17:17.350 --> 01:17:20.230 Der hat, dass beide Erwartungswerte existieren. 01:17:20.750 --> 01:17:23.550 Aber das Produkt, der Erwartungswert des Produktes existiert nicht. 01:17:23.830 --> 01:17:25.470 Diese sind natürlich ganz stark abhängig. 01:17:25.530 --> 01:17:26.310 y ist x. 01:17:27.650 --> 01:17:31.370 Aber ich habe ein Beispiel für nichtunabhängige Zufallsvariablen, für 01:17:31.370 --> 01:17:35.230 die das, was wir eben für unabhängig geschlossen haben, verletzt ist. 01:17:37.650 --> 01:17:40.470 Also Sie sollten, für Sie ist einfach wichtig, das sollte auch noch 01:17:40.470 --> 01:17:42.790 mal eine Eselsbrücke sein, so ein Beispiel, Sie sagen, okay, 01:17:42.890 --> 01:17:44.410 Unabhängigkeit war vorausgesetzt. 01:17:44.410 --> 01:17:48.990 Wenn x und y unabhängig sind, dann ist, sofern die beiden 01:17:48.990 --> 01:17:52.270 Erwartungswerte existieren, der Erwartungswert des Produktes gleich 01:17:52.270 --> 01:17:53.570 Produkt der Erwartungswerte. 01:17:54.430 --> 01:17:56.670 Aber das ist hier ein einfaches Gegenbeispiel. 01:17:57.610 --> 01:18:00.030 Man erinnert sich vielleicht noch an die eine oder andere Reihe, die 01:18:00.030 --> 01:18:02.350 mal dran war in der Analyse. 01:18:04.890 --> 01:18:09.590 Jetzt eine wichtige Formel, die sogenannte diskrete Faltungsformel. 01:18:09.590 --> 01:18:14.570 Den Namen Faltung werde ich später erklären, das lässt sich jetzt 01:18:14.570 --> 01:18:16.790 nicht so gut machen. 01:18:17.330 --> 01:18:20.570 Wenn ich unabhängige Zufallsvariablen habe wieder, also Faltung hat 01:18:20.570 --> 01:18:24.070 immer was mit Unabhängigkeit zu tun, dann gilt, und jetzt ist das 01:18:24.070 --> 01:18:27.990 Entscheidende, ich möchte gern die Verteilung der Summe bestimmen. 01:18:29.350 --> 01:18:35.470 Das ist oft wirklich von Wichtigkeit, wenn ich Zufallsvariablen habe, 01:18:35.510 --> 01:18:37.730 die unabhängig sind, die ist die Verteilung der Summe. 01:18:37.810 --> 01:18:41.110 Ich habe jetzt hier zwei Summanden, man kann das induktiv dann auf N 01:18:41.110 --> 01:18:44.270 -Summanden immer erweitern, also zwei Summanden. 01:18:44.510 --> 01:18:47.330 Dann steht da, die Wahrscheinlichkeit, dass x plus y einen Wert 01:18:47.330 --> 01:18:52.050 annimmt, ist Summe, ich summiere wieder über alle x aus R, die von der 01:18:52.050 --> 01:18:55.470 Zufallssumme x mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, und 01:18:55.470 --> 01:18:59.230 dann habe ich die Wahrscheinlichkeit, dass x diesen Wert annimmt, mal 01:18:59.230 --> 01:19:03.430 die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert t minus x annimmt für t aus R. 01:19:04.210 --> 01:19:09.170 Die Formel sollte intuitiv klar sein, denn das Ereignis, dass x plus y 01:19:09.170 --> 01:19:14.290 den Wert t annimmt, geht nur in gewissen Kombinationen von x zu y. 01:19:14.530 --> 01:19:18.370 Wenn x eben den Wert klein x annimmt, muss y den Wert t minus x 01:19:18.370 --> 01:19:20.150 annehmen, sonst kann die Summe nicht t sein. 01:19:21.970 --> 01:19:25.010 Und wenn die unabhängig sind, habe ich hier ein Produkt von zwei 01:19:25.010 --> 01:19:25.750 Wahrscheinlichkeiten. 01:19:25.870 --> 01:19:28.010 Groß x, den Wert klein x, eigentlich hätte ich schreiben müssen, 01:19:28.130 --> 01:19:30.310 Komma, y den Wert t minus x. 01:19:30.310 --> 01:19:32.350 Aber wegen der Unabhängigkeit ist es ein Produkt. 01:19:34.530 --> 01:19:38.150 Das heißt, x plus y gleich t ist ein Ereignis, x und y sind ja real. 01:19:38.870 --> 01:19:39.690 Was nehmen die an? 01:19:39.770 --> 01:19:43.150 Die nehmen Wertepaare an klein x, y in der Ebene, die könnte ich 01:19:43.150 --> 01:19:46.870 aufmalen, wo die positiven Wahrscheinlichkeiten sind. 01:19:47.250 --> 01:19:51.730 Und gleich x plus y gleich t mit klein x und klein y ist eine Gerade 01:19:51.730 --> 01:19:54.390 im R2, Steigung minus 1. 01:19:56.010 --> 01:19:59.630 Das heißt, es ist das Ereignis, dass dieser Punkt, der zufällige 01:19:59.630 --> 01:20:05.550 Punkt, Groß x, Groß y, dieser Vektor, einen Wert annimmt auf dieser 01:20:05.550 --> 01:20:06.010 Geraden. 01:20:06.810 --> 01:20:10.210 Und das zerlegen wir jetzt einfach danach, was die x-Koordinate ist. 01:20:10.250 --> 01:20:13.090 Und die andere ist automatisch bestimmt, weil die klein x ist, muss 01:20:13.090 --> 01:20:14.890 der andere Wert sein, t minus x. 01:20:16.150 --> 01:20:16.730 Das ist alles. 01:20:19.530 --> 01:20:21.990 Beweis, dieses Ereignis wird zerlegt. 01:20:21.990 --> 01:20:28.710 Sie sehen, das wären jetzt die Punktepaare, die Ereignisse, die liegen 01:20:28.710 --> 01:20:35.310 alle auf dieser Diagonalen, die von links oben nach rechts unten geht, 01:20:35.390 --> 01:20:36.350 Steigung minus 1. 01:20:36.930 --> 01:20:40.390 Derart, dass x den Wert klein x mit positiver Wahrscheinlichkeit 01:20:40.390 --> 01:20:43.530 annimmt und der Rest, der jetzt noch kommt, das ist formal eine 01:20:43.530 --> 01:20:46.750 überabzehbare Vereinigung, diese Menge hat die Wahrscheinlichkeit 0. 01:20:46.750 --> 01:20:51.430 Das sind sozusagen die restlichen Punkte auf der Diagonalen, die 01:20:51.430 --> 01:20:52.790 können nicht angenommen werden. 01:20:54.910 --> 01:20:56.690 Diagonale heißt jetzt, sie geht nicht durch Nullpunkte. 01:20:57.230 --> 01:20:58.110 Das ist hier wichtig. 01:21:00.330 --> 01:21:03.730 Das heißt, die Wahrscheinlichkeit x plus y gleich t ist die 01:21:03.730 --> 01:21:07.610 Wahrscheinlichkeit von diesem ersten Ereignis, und das sind höchstens 01:21:07.610 --> 01:21:10.730 abzählbar viele, das heißt, ich habe die Summe dieser einzelnen 01:21:10.730 --> 01:21:11.530 Wahrscheinlichkeiten. 01:21:12.470 --> 01:21:12.950 Das ist alles. 01:21:13.110 --> 01:21:15.270 Den Rest brauche ich nicht betrachten, der hat die Wahrscheinlichkeit 01:21:15.270 --> 01:21:15.490 0. 01:21:16.870 --> 01:21:17.810 Das bleibt über. 01:21:18.070 --> 01:21:20.870 Und wegen der Unabhängigkeit darf ich jetzt schreiben, Produkt. 01:21:21.170 --> 01:21:22.530 Und das war schon der ganze Beweis. 01:21:26.180 --> 01:21:27.760 Wir können das mal direkt anwenden. 01:21:28.240 --> 01:21:29.000 Machen wir das mal. 01:21:30.120 --> 01:21:32.600 Diese Faltungsformel, die ist manchmal nützlich. 01:21:33.020 --> 01:21:34.840 Faltung von Gleichverteilungen. 01:21:35.280 --> 01:21:37.980 Das heißt, hier habe ich zwei unabhängige Zufallszahlen, die sind 01:21:37.980 --> 01:21:40.180 jeweils gleichverteilt auf den Werten von 1 bis N. 01:21:40.480 --> 01:21:44.560 Denken Sie an den Wert N gleich 6, das bedeutet zweifacher Würfelwurf. 01:21:44.560 --> 01:21:48.900 x ist die Augenzahl des ersten Wurfs, y die des zweiten Wurfs, N ist 01:21:48.900 --> 01:21:51.160 6, Gleichverteilung auf den Werten von 1 bis 6. 01:21:51.520 --> 01:21:55.980 Oder basteln Sie sich ein Dodecaeder, Geometrie, 12 Seiten, 12 01:21:55.980 --> 01:21:58.880 -seitiger Würfel in Gänsefüßchen, dann wäre N gleich 12. 01:22:02.840 --> 01:22:06.520 Also P von x gleich j ist in dem Fall, da Sie die gleiche Verteilung 01:22:06.520 --> 01:22:08.920 haben, immer 1 durch N, für jedes j von 1 bis N. 01:22:09.620 --> 01:22:10.980 Jetzt wenden wir die Formel an. 01:22:11.720 --> 01:22:13.720 Und die Faltungsformel liefert jetzt... 01:22:13.720 --> 01:22:16.840 Jetzt muss ich sehen, was kann die Summe nur sein? 01:22:17.480 --> 01:22:20.340 Die Summe ist mindestens 2, denn der Wert, der jeweils angenommen 01:22:20.340 --> 01:22:21.280 wird, ist mindestens 1. 01:22:21.980 --> 01:22:25.000 Und jede Zufallszahl kann maximal den Wert N annehmen, es geht also 01:22:25.000 --> 01:22:26.040 höchstens bis 2N. 01:22:26.140 --> 01:22:28.000 Das heißt, diese Werte können angenommen werden. 01:22:29.400 --> 01:22:31.400 Und anstelle von t schreibe ich jetzt k. 01:22:32.120 --> 01:22:33.800 Das heißt, x plus y gleich k. 01:22:34.360 --> 01:22:39.680 Konkret, also Augensumme nimmt den Wert k an, wenn N gleich 6 ist. 01:22:39.680 --> 01:22:42.480 Die Faltungsformel sagt, okay, ich muss summieren. 01:22:43.520 --> 01:22:44.680 Das sind also hier die Kombinationen. 01:22:45.380 --> 01:22:47.800 Die habe ich jetzt, die nenne ich jetzt i und k minus i. 01:22:48.560 --> 01:22:51.280 Und Sie sehen, das i kann nur laufen von 1 bis k. 01:22:51.860 --> 01:22:53.080 Wir müssen flexibel sein. 01:22:53.260 --> 01:22:56.680 t ist eine allgemeine reelle Zahl, i ist eben eine natürliche Zahl. 01:22:57.620 --> 01:22:58.320 Und k auch. 01:22:59.400 --> 01:23:02.100 Die sind jeweils, sind die 1 durch N. 01:23:02.340 --> 01:23:03.160 Und nochmal 1 durch N. 01:23:03.160 --> 01:23:05.380 Ich kann also 1 durch N² rausziehen erstmal. 01:23:05.720 --> 01:23:07.780 Das heißt, ich kann 1 durch N² rausziehen. 01:23:08.040 --> 01:23:09.140 Und was bleibt dann über? 01:23:09.140 --> 01:23:11.380 Dann muss ich nur noch eine Anzahl bestimmen. 01:23:11.540 --> 01:23:16.180 Nämlich die Anzahl dieser Paare i, j mit der Eigenschaft i plus j ist 01:23:16.180 --> 01:23:16.420 k. 01:23:16.580 --> 01:23:19.200 Ich muss also irgendwelche Punkte abzählen. 01:23:19.840 --> 01:23:24.080 Diskrete Punkte, die auf dem ganzzahligen Gitter sind, zähle ich ab. 01:23:24.680 --> 01:23:26.880 Das ist ein rein kombinatorisches Problem. 01:23:27.220 --> 01:23:31.020 Wenn Sie das abzählen, malen Sie sich das auf, dann kommt da raus, das 01:23:31.020 --> 01:23:31.540 kommt raus. 01:23:31.640 --> 01:23:33.780 Ich kann es wirklich explizit angeben. 01:23:34.540 --> 01:23:37.180 Und wir haben die Verteilung schon gehabt im Fall N gleich 6. 01:23:37.180 --> 01:23:40.260 Ich nannte sie aus gewissen Gründen die Siedler-Verteilung. 01:23:41.100 --> 01:23:43.440 Augensumme, das geht so hoch wie so ein Dreieck und geht wieder 01:23:43.440 --> 01:23:44.180 runter. 01:23:46.240 --> 01:23:49.800 Vorher aus zwei solchen Gleichverteilungen, gleichermaßen, ist sowas 01:23:49.800 --> 01:23:50.140 geworden. 01:23:50.360 --> 01:23:52.140 Jetzt können Sie schon ein bisschen an Faltung denken. 01:23:52.260 --> 01:23:53.900 Eine Gleichverteilung heißt platt wie so ein Blatt. 01:23:54.360 --> 01:23:56.420 Und dann, wenn Sie das falten, entsteht hier so eine 01:23:56.420 --> 01:23:57.640 Dreiecksverteilung. 01:23:58.080 --> 01:23:59.660 Das ergibt sich hier in diesem Fall. 01:23:59.660 --> 01:24:04.160 Und das wäre dann für N gleich 6 speziell die Augensumme beim 01:24:04.160 --> 01:24:07.640 zweifachen Würfelwurf als Ergebnis. 01:24:09.900 --> 01:24:15.100 Okay, ich glaube wir haben hier eine gute natürliche Grenze erreicht. 01:24:15.240 --> 01:24:17.300 Es lohnt sich nicht noch irgendwas anzufangen. 01:24:18.320 --> 01:24:20.840 Und dann wünsche ich Ihnen eine schöne Woche.