Guten Morgen allerseits.
Ich möchte heute mit einem tragischen Fall das Kapitel Unabhängigkeit
von Ereignissen beschließen.
Wir werden das aber wieder aufgreifen im Zusammenhang mit
Zufallsvariablen.
Der tragische Fall ist eine englische Familie.
Da hat eine Frau beide Kinder verloren innerhalb von einem Monat durch
plötzlichen Kindstod.
Nach dem Tod des ersten Kindes wurde das diagnostiziert.
Es ist nichts weiter passiert.
Aber als dann das zweite Kind starb an den gleichen Ursachen, wurde
die Mutter vor Gericht gestellt und sie wurde wegen Mordes verurteilt
und kam ins Gefängnis.
Es war so, dass sie wurde verurteilt und es wurde ein Gutachten
eingeholt von einem renommierten Kinderarzt.
Es war eine wohlhabende Familie, eine Nichtraucherfamilie.
Wenn AJ das Ereignis bezeichnet, dass in einer solchen Familie das J
-Kind durch plötzlichen Kindstod stirbt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit dafür aus Schätzungen ungefähr 1 zu 8500.
Dieser renommierte Kinderarzt hat nun folgendermaßen argumentiert, die
Ereignisse seien stochastisch unabhängig, dass das erste Kind stirbt
an dieser Ursache und das zweite Kind stirbt und hat die
Wahrscheinlichkeiten dann multipliziert wegen der Unabhängigkeit und
kam dann zu dem Ergebnis, die Wahrscheinlichkeit ist eben dann mit 1
zu 72 Millionen circa so klein, als eben andere Ursachen
ausgeschlossen sind.
Und das Interessante ist, die Jury interpretierte diese
Wahrscheinlichkeit noch als Wahrscheinlichkeit für die Unschuld der
Mutter.
Also das kommt hinzu.
Danach ging doch ein Aufschrei durch manche Gruppen, schaltete sich
dann die Royal Statistical Society ein, das ist also die
Dachorganisation der Statistiker in England, und sagte, mitnichten
seien diese beiden Ereignisse stochastisch unabhängig, denn es sei
klar, es könnte eben Umweltfaktoren geben oder genetische Faktoren.
Das heißt, wenn das erste Kind durch plötzlichen Kindstod stirbt, dann
ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das zweite stirbt unter der
Bedingung, dass das erste stirbt, wesentlich größer als die unbedingte
Wahrscheinlichkeit.
Man denke eben an sowas wie Umweltfaktoren oder genetische Faktoren
und ähnliches mehr.
Dann kam es zum Berufungsverfahren und Sally Clark wurde
freigesprochen in einem zweiten Berufungsverfahren.
Leider hat sie das Ganze nicht überlebt.
Sie hat dann irgendwann Selbstmord bekommen.
Sie hat es einfach nicht verwunden.
Insofern ist es ein sehr tragischer Fall, aber er zeigt eben, wie
vorsichtig man umgehen muss mit solchen Begriffen wie stohastische
Unabhängigkeit.
Also hier liegt es eigentlich auf der Hand.
Das sagt einem schon der gesunde Menschenverstand.
Man weiß im Grunde nicht wirklich, wie es dazu gekommen ist.
Die Jury hat das auch dann geglaubt und dann ist die Frau wirklich
verurteilt worden.
Und erst danach kamen Dinge in Gang.
Ein ähnlicher Fall war in Holland.
Das war eine Krankenschwester, Lucia de Berg.
Beide Fälle sind im Internet ausführlich dokumentiert.
Also auch ein Fehlurteil.
Sie wurde auch freigesprochen.
Der Fall ist jetzt nicht ganz so tragisch.
Ja, das zeigt eben wirklich, dass Stohastik auch vor Gericht dann
verwendet wird und nicht immer richtig.
Das ist eben das Spannende an der Stohastik, dass sie wirklich dann
vorkommt und damit auch argumentiert wird.
Gerade vor Gericht, wenn es um Indizien, Beweise geht.
Man kann nur hoffen, dass die Richter und die Geschworenen, dann die
Jury, dass sie eben mal eine Vorlesung in Stohastik gehört haben und
hinreichend sensibel sind.
Okay, ich möchte das aber jetzt abschließen.
Ich möchte zu einem Kapitel kommen, bei dem gleich auch die
Unabhängigkeit wieder auftritt.
Zufallsvektoren und der Begriff der gemeinsamen Verteilung.
Ich möchte das mit einem Beispiel einführen.
Daran sieht man eigentlich schon sehr viel.
Das Beispiel ist, wir betrachten den zweifachen Würfelwurf und
interessieren uns nicht für eine Zufallsvariable, wie zum Beispiel die
Augensumme, sondern für zwei Zufallsvariablen.
Wir können uns auch für drei interessieren.
Beim zweifachen Würfelwurf könnte eine Zufallsvariable sein, die
Augenzahl des ersten Wurfs.
Das ist eine Zufallsvariable.
Die Augenzahl des zweiten Wurfs ist eine zweite.
Die Summe ist eine dritte.
Die Differenz aus beiden Augenzahlen ist die vierte.
Die kleinste Augenzahl ist eine fünfte Zufallsvariable.
Die größte Augenzahl ist eine sechste Zufallsvariable.
Wir können also mehrere Zufallsvariablen betrachten auf ein und
demselben Grundraum.
Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung, eine reellwertige Abbildung.
Wenn Sie mehrere solche Abbildungen betrachten und schreiben die als
Vektor mit Komponenten, haben Sie eine vektorwertige Abbildung.
Und die werden wir Zufallsvektor nennen.
Also mathematisch ist das überhaupt nicht spannend, denn Sie kennen
vektorwertige Abbildungen auch in der Analyse.
Spätestens im zweiten Semester, Analyse 2, betrachten Sie Funktionen
vom RhoN in den RhoK.
Das Beispiel ist folgendes.
Wir betrachten diesen Grundraum.
Sie sehen, das soll stehen für die Menge der Paare von Augenzahlen.
I ist die Augenzahl des ersten Wurfs, J die des zweiten Wurfs.
Sie haben 36 solche Paare.
P sei die Gleichverteilung.
Wir arbeiten mit einem Laplace-Modell, also ganz ganz einfaches
Beispiel.
Und die erste Zufallsvariable habe ich hier X genannt.
X ordnet eben diesem Paar zu, die erste Komponente.
Das heißt, X beschreibt die Augenzahl des ersten Wurfs.
Die andere Zufallsvariable möchte ich Y nennen.
Y ordnet diesem Augenpaar zu, das Maximum.
Das wäre die größte Augenzahl aus beiden Würfen.
Wir betrachten jetzt diese beiden Zufallsvariablen gemeinsam und
betrachten Ereignisse, die durch beide Zufallsvariablen festgelegt
sind.
Was uns interessiert, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert K
annimmt, also die erste Augenzahl des ersten Wurfs gleich K, und das
Maximum der Augenzahlen, das ist Y gleich L.
Die beiden Ereignisse sollen gleichzeitig eintreten, den Schnitt.
Wir werden das später auch ein bisschen einfacher schreiben.
Und hier können wir uns das in Form einer Matrix vorstellen.
Das heißt, hier läuft das K, das sind die Werte, die das X annimmt.
Da haben wir natürlich die Möglichkeiten von 1 bis 6.
Und L sei das mögliche Maximum.
Auch das nimmt die Werte von 1 bis 6 an.
Und was uns jetzt interessiert, wir sehen uns an, was in der Tabelle
passiert.
Also hier wäre der erste Fall der, dass wir uns überlegen oder
überlegen möchten, was steht hier oben.
Das ist also hier.
Das heißt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Augenzahl, die
Augenzahl des ersten Wurfs, gleich 1 und das Maximum auch gleich 1.
Das kann nur funktionieren, wenn an der ersten Komponente eine 1 steht
und die zweite muss auch 1 sein.
Wenn sie größer wäre als 1, wäre das Maximum nicht 1.
Das bedeutet, an dieser ersten Stelle steht 1,36.
Jetzt gehen wir die Zeile durch.
Erste Augenzahl gleich 1, Maximum gleich 2.
Das ist genau ein Fall, nämlich das Ergebnis 1,2.
Auch das hat die Wahrscheinlichkeit 1,36.
Und so baut sich die erste Reihe auf.
Jetzt kommt auch eine simple Erkenntnis, aber eine grundlegende.
Nun, da steht jetzt, die erste Augenzahl ist 2.
Wir gehen jetzt in die nächste Spalte.
Wir gehen jetzt hier rein.
Erste Augenzahl ist 2 und Maximum soll 1 sein.
Das haut natürlich nicht hin, weil das Maximum schon mindestens 2 ist.
Wenn die erste Augenzahl gleich 2 ist, das bedeutet, diese
Wahrscheinlichkeit ist 0.
Man sieht allgemein, alle Felder hier sind 0, wo das Maximum einen
kleineren Wert annehmen soll als schon die erste Augenzahl.
Das geht nicht.
Das bedeutet, unterhalb dieser Diagonalen, da stehen lauter 0.
Wenn wir uns jetzt den nächsten interessanten Fall noch ansehen, dann
wird eigentlich alles schon klar, das wäre jetzt dieser hier.
Das heißt, Maximum gleich 2 und erste Augenzahl gleich 2.
Und wenn die erste Augenzahl gleich 2 ist, die ist festgelegt an die
zweite Stelle des Tupels, kann aber, wenn das Maximum gleich 2 ist,
kann nur die 1 stehen.
Das ist möglich, dann ist das Maximum angenommen durch die erste
Augenzahl oder 2.
Das heißt, ich habe die beiden Fälle 2,1 und 2,2 und die beiden
Wahrscheinlichkeiten werden zusammengezählt.
Das bedeutet, diese Wahrscheinlichkeit ist 2,36.
Wenn wir jetzt die Zeile weitergehen nach rechts, sehen Sie, erste
Augenzahl 2 und zweite Augenzahl und Maximum gleich 3.
Das geht nur bei einem Ergebnis wieder 2,3.
Anders geht das nicht.
Dann ist genau die erste Augenzahl 2 und Maximum gleich 3.
Das heißt, wir haben wieder 1,36 und das zieht sich nach rechts durch.
Wenn wir jetzt diesen Fall auf der Diagonalen ansehen, das ist jetzt
die erste Augenzahl gleich 3 hier und das Maximum gleich 3, das sind
jetzt drei Fälle.
3,1, erste Augenzahl 3, Maximum 3.
3,2 ist auch Maximum 3, erste Augenzahl 3 und 3,3.
Das heißt, diese Wahrscheinlichkeit ist 3,36.
Und nach rechts haben wir wieder Fälle, die haben alle die
Wahrscheinlichkeit 1,36.
Wir sehen, in jeder Zeilensumme kommen 6,36 raus.
Das hat auch seinen Sinn, 1,6.
So, der nächste Fall, kurzes Nachdenken, aber jetzt ist eigentlich
schon klar, das bedeutet, erste Augenzahl ist 4 und Maximum 4.
Das sind die vier Fälle, 4,1, 4,2, 4,3, 4,4.
Das sind 4,36.
Und nach rechts geht es weiter mit 1,36.
Und hier auf der Diagonal, jetzt haben wir Maximum 5 und erste
Augenzahl 5, 5,1, 5,2, 5,3, 5,4, 5,5.
Fünf Fälle von 36.
Hier wieder 1,36 und das sind 6,36.
6,1, 6,2, 6,3 und so weiter bis 6,6.
Das heißt, hier haben wir das, was wir später gemeinsame Verteilung
nennen, von X und Y.
Wir nehmen jetzt jeweils endlich viele Werte an, in Form so einer
Matrix aufgeschrieben.
Die Zeilen sind nummeriert nach den Realisierungen von X, 1 bis 6 und
die Spalten auch nach den Realisierungen von 1 bis Y.
Wenn wir uns jetzt mal die Summen ansehen, die am Rand auftreten,
kommen wir zu den sogenannten Randverteilungen.
Wenn wir hier die Summe bilden der Zahlen in der ersten Seile,
bekommen wir ein Sechstel.
Sie sehen aber auch, die Summe der Zahlen in der zweiten Seile ist
auch ein Sechstel, auch ein Sechstel, noch mal ein Sechstel.
Das heißt, Sie sehen immer ein Sechstel.
Und das sind exakt die Wahrscheinlichkeiten, dass X den Wert K
annimmt.
Denn X ist die Augenzahl beim ersten Wurf.
Wir haben eine Gleichverteilung.
Laplace-Modell.
Die Gleichverteilung auf den Kombinationen überträgt sich dann auch
auf die Zufallsvariable X in dem Fall.
Man sieht hier, wir haben nur das Junkte Fälle zusammengezählt, also
die Augenzahl in der ersten Seile, das wäre hier die Augenzahl des
ersten Wurfs, ist 1, ist eben in Kombination mit diesen Werten für das
Maximum.
Entsprechend ist die Augenzahl für den zweiten Wurf gleich 2.
Dann haben wir ein Sechstendreißigstel.
Wenn Sie die Summe der Zahlen der zweiten Spalte nehmen, drei
Sechstendreißigstel, dann fünf Sechstendreißigstel, dann sieben
Sechstendreißigstel, neun Sechstendreißigstel und elf
Sechstendreißigstel.
Und wenn Sie jetzt diese Zahlen der letzten Spalte nehmen und die
aufsummieren und auch die der letzten Zeile und auch die der letzten
Spalte, dann bekommen Sie jeweils 1.
Und was Sie da unten sehen, sind genau die Wahrscheinlichkeiten, dass
das Maximum die verschiedenen Werte annimmt, die es annehmen kann,
nämlich 1 bis 6.
Maximum 1 ist eben nur ein Fall, 1,1.
Maximum gleich 2, da haben wir jetzt die drei Fälle, 1,2, 2,1, 2,2.
Genau, dann ist das Maximum 2.
Das sind drei Fälle von 36.
Maximum 3 heißt 3,1, 1,3, 3,2, 2,3 oder 3,3.
Fünf Fälle.
Das heißt hier, durch Summation der Spalten bekommen wir die
Wahrscheinlichkeiten raus, dass Y gewisse Werte annimmt, dann von 1
bis 6.
Die entstehen an den Rändern.
Lateinisch ist der Rand, Margo, im Englischen margin.
Die werden wir dann später als Marginalverteilung bezeichnen, weil sie
sich ergeben aus der gemeinsamen Verteilung durch diese
Summationsbildung.
Wir können in dem Fall auch die gemeinsame Verteilung als Stabdiagramm
darstellen über der Ebene.
Wir sehen also, es wird einmal K aufgetragen und einmal L aufgetragen.
Jetzt kann ich nach oben die Wahrscheinlichkeiten auftragen, dass X
den Wert K annimmt und zugleich Y den Wert L.
Bitte beachten Sie diese Schreibweise, die ich später noch genauer
definiere.
Diese Schreibweise oben ist die Kurzschreibweise dafür, dass das
Ereignis X gleich K eintritt und das Ereignis Y gleich L.
Das UND ist also hier ein Komma.
Beide Ereignisse sollen eintreten.
Dann haben wir gesehen, das hier war 1,1, das ist 1,36.
Dann auch 1,36, da war K gleich 1, d.h.
diese Stäbchen sind 1,36.
Dann hatten wir hier was doppelt so hohes, 2,36, dann 1,36 wieder.
Dann kamen 3,36, 1,36, 1,36, 1,36 und so geht das weiter.
Das wird eben noch höher, das wird noch höher und das wird noch höher.
D.h.
das ist das Stabdiagramm dieser, man sagt manchmal auch
Verbundwahrscheinlichkeiten, in der Schule werden Sie diesen Begriff
oft kennenlernen, dieser gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten, dass die
eine Zufallswabe den Wert K annimmt und die andere den Wert L.
Und jetzt kann man eben durch Summation auf diese Wahrscheinlichkeiten
kommen, indem man jetzt Richtung L-Achse oder wenn Sie wollen, das
erste ist die x-Achse hier nach schräg unten, das andere die y-Achse
und das ist die z-Achse, entstehen natürlich hier durch Summation
diese Wahrscheinlichkeiten 1,36, 3, 5, 7, 9 und 11.
D.h.
hier entsteht die Verteilung von Y.
Da sehen Sie das Stabdiagramm, d.h.
wir haben hier dargestellt die gemeinsame Verteilung der ersten
Augenzahl und der größten Augenzahl beim zweifachen Würfelwurf.
Das wäre das blaue Stabdiagramm.
Dann erkennt man da hinten, wir hätten natürlich auch nach vorne noch
die Gleichverteilung haben können, aber das ist relativ uninteressant.
Das wäre die gemeinsame Verteilung und diese Marginalverteilung von Y.
Ich möchte das jetzt allgemein einführen.
Jetzt müssen Sie flexibel sein in der Bezeichnung.
Bislang waren X und Y die beiden Komponenten eines zweidimensionalen
Zufallsvektors, zwei Zufallsvariablen.
Jetzt nenne ich die Zufallsvariablen X1 bis Xn.
D.h.
wir haben hier die Begriffe Zufallsvektor und gemeinsame Verteilung.
Was ist damit gemeint?
Ich habe einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Immer daran denken, später wird stillschweigend, ohne dass ich es noch
mal groß erwähne, dort eine Menge Omega 0 auftreten.
Das war in dem Omega, was durchaus überabzählbar sein kann, eine
abzählbare Teilmenge und die hatte die Wahrscheinlichkeit 1.
Das war unsere Definition des allgemeinen diskreten
Wahrscheinlichkeitsraums.
Jetzt habe ich Zufallsvariablen.
Sie sehen, die gehen alle von Omega nach R, aber ich habe N Stück.
Jetzt definiere ich einen Zufallsvektor.
Sie sehen, der Vektor wird jetzt mit X bezeichnet.
Für jedes kleine Omega aus Großomega definiere ich eben diesen Vektor.
X1 von Omega, Xn von Omega sind die Komponenten.
Das ist das, was Sie kennen aus dem ersten Studienjahr, wie man sowas
aufbaut.
Diese Abbildung X geht jetzt von Omega in den R auf N und hat die
Komponentenabbildungen X1 bis Xn.
Das nennen wir dann einen N-dimensionalen Zufallsvektor.
Dieser Zufallsvektor hat die Komponenten X1 bis Xn.
Wir interessieren uns für N Zufallsvariablen auf ein und demselben
Grundraum.
Eben war die Nomenklatur nur anders.
Wir hatten eben den Grundraum Omega beim zweifachen Würfelwurf.
Das eine war X und das andere war Y.
Ich hätte auch sagen können X1 und X2.
Aber bei uns sind jetzt allgemein X1 bis Xn die interessierenden
Zufallsvariablen und mit X bezeichnet bei den ganzen Vektoren.
Also vektorwertige Abbildung.
So und jetzt können wir sofort diesem X als vektorwertige Abbildung
auch eine Verteilung zuordnen.
Das ist formal genauso wie bei einer Zufallsvariablen.
Sie sehen dort ist das P oben X.
Das ist offenbar eine Funktion und die Argumente sind Mengen.
Das ist das M.
Das M ist eine Teilmenge des R hoch N.
Nämlich das einfach definiert als P vom Urbild unter X, unter dieser
Abbildung X von M.
M ist eine Teilmenge des R hoch N.
Und immer daran denken, wie war dieses Urbild definiert.
X hoch minus 1 von M ist die Menge aller kleinen Omega aus Groß-Omega
mit der Eigenschaft X von Omega ist Element M.
Erste Studienjahr.
Urbildabbildung.
Und dieses hier, das ist erstmal, wird gesagt, ist ein
Wahrscheinlichkeitsmaß P oben X.
Das ist auf allen Teilmengen des R hoch N definiert, auf der
Potenzmenge und geht ins Einheitsintervall.
Also hier steckt eine Aussage hinter, hier steckt eine Aussage drin,
das ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Um sich kurz zu vergewissern, dass es wirklich eins ist, was mussten
wir zeigen?
Wir hatten drei Bedingungen.
Wahrscheinlichkeitsmaß ist immer, die Werte sind immer größer gleich
null.
Das ist der Fall.
Da steht ja P von irgendwas und P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
P von X hoch minus 1 von M ist immer größer gleich null.
Zweite Eigenschaft.
Wenn ich die leere Menge einsetze, kommt null raus.
Das haben wir gefolgert.
Zweite Eigenschaft war Normierung.
Wenn ich den ganzen Grundraum einsetze, kommt eins raus.
Das war die Normierungseigenschaft eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Das heißt, ich muss hier einsetzen für das M den gesamten R hoch N.
Wenn ich den gesamten R hoch N hier einsetze, das Urbild des gesamten
R hoch N, das wäre die Menge aller kleinen Omega aus Großomega, wird X
von Omega ist Element R hoch N.
Aber das sind alle.
Also diese Menge ist der Grundraum Großomega und P von Großomega ist
1.
Das heißt, also diese Bedingung haben wir auch erfüllt.
Die dritte Bedingung war die Sigma-Additivität.
Ich müsste für die, anstelle der Menge M, müsste ich paarweise
disjunkte Mengen einsetzen.
M1, M2, M3 und so weiter.
Ich müsste die alle vereinigen.
Anscheinbar Summe.
Summe M, Mj.
Das heißt, ich müsste hier einsetzen für M Summe M, Mj und ich müsste
rausbekommen, Px von Summe Mj ist Summe Px von Mj.
Das ist die Sigma-Additivität.
Das haben wir gehabt im Fall einer normalen Zufallsvariante.
Der Beweis ist hier exakt der gleiche.
Nämlich das Entscheidende ist die Urbildabbildung X hoch minus 1.
Wenn ich hier Summe Mj einsetzen würde, das ist nichts anderes als die
Vereinigung der X hoch minus 1, der Mj und die bleiben paarweise
disjunkt.
Das heißt, die Urbildabbildung ist verträglich mit der Vereinigung und
auch noch mit der paarweisen Disjunktheit.
Machen Sie sich das nochmal klar.
Wir haben den Beweis exakt gehabt, wenn X realwertig ist.
Jetzt ist es nur eher auch n-wertig.
Es kommt überhaupt nicht darauf an.
Also liegt daran, dass die Urbildabbildung damit verträglich ist.
Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß bekommt einen Namen.
Wir haben das früher schon gehabt bei Zufallsvariablen.
Es heißt Verteilung von X.
Oder man sagt auch die gemeinsame Verteilung von X1 bis Xn.
Das ist eine Sprechweise.
Also die Verteilung so eines Zufallsvektors ist rein formal
mathematisch ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Das ordnet eben den Teilmengen des R hoch N zu die
Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse, die Urbilder.
Man nennt dann in dem Zusammenhang die Verteilung von Xj.
Xj ist ja eine Zufallsvariable, eine Komponente des Vektors.
In dem Zusammenhang nennt man diese Verteilung die J
-Marginalverteilung.
Und ich habe eben schon motiviert, woran das liegt.
Lateinisch margo.
Wenn ich eben zwei habe, kann ich mir die Wahrscheinlichkeiten
aufschreiben in Form einer Matrix und an den Rändern finde ich dann
die Marginalverteilung durch Summation.
Wir werden das gleich noch allgemein aufschreiben.
Also folgendes sollte man beachten.
Wir wissen, dass in dem Grundraum Omega eine Menge Omega 0 existiert,
die abzählbar ist und P von Omega 0 ist 1.
Aus dem Grunde ist die Verteilung auch von X konzentriert auf einer
abzählbaren Teilmenge M0 des R auf N.
Nur diese Werte im R auf N können überhaupt mit positiven
Wahrscheinlichkeiten angenommen werden.
Das ist eine ganz einfache, aber wichtige Erkenntnis.
Endlich viele oder abzählbar unendlich viele.
Denn nur die kleinen Omega mit Omega aus Omega 0 haben positive
Wahrscheinlichkeit und ich brauche sozusagen nur bei der Abbildung
diese betrachten.
So entsteht dann auch diese Menge M0.
Aus dem Grunde folgt, die Verteilung ist schon festgelegt von X, wenn
ich nur kenne die Werte T, die das X annehmen kann, in dem Fall sind
das jetzt Werte im R hoch N, und die Wahrscheinlichkeiten, mit denen
sie angenommen werden.
Das bedeutet, die Verteilung ist schon bestimmt, wenn ich nur weiß,
wenn ich die Wahrscheinlichkeit von irgendeiner Menge M ausrechnen
will, dann muss ich nur sehen, welche T aus M0 sind in dieser Menge M
und muss die Wahrscheinlichkeiten aufaddieren.
Das ist alles.
Das sind endlich viele oder abzählbar unendlich viele.
Das heißt, dieses System dieser Paare, Wert und Wahrscheinlichkeit,
mit der der Wert angenommen wird, bestimmt die Verteilung.
Wir haben das bei einer Zufallsverjahdung gehabt, da haben wir
gesehen, Verteilung kann ich darstellen durch Stabdiagramme.
Es kommt nur darauf an, welche Werte die Zufallsverjahdung annimmt,
mit welchen Wahrscheinlichkeiten werden sie angenommen.
Ich kann mir die Verteilung veranschaulichen.
So im allgemeinen Zufallsvektor im R hoch N mit N größer gleich 3 geht
das nicht mehr.
Ich habe versucht, Ihnen das im Fall N gleich 2 noch zu zeigen.
Ich kann sogar noch Stabdiagramme malen über der Ebene.
Da habe ich noch eine dritte Komponente, wo ich die
Wahrscheinlichkeiten auftragen kann.
Die T sind in dem Fall zweidimensional, die angenommen werden, das
sind die T, die ich in die Ebene einzeichnen kann.
Und nach oben habe ich noch eine dritte Dimension für die
Wahrscheinlichkeit.
Das geht noch im Fall N gleich 2.
Und allgemeinere Fälle kommen auch vermutlich jetzt in der Schule
nicht vor.
Das ist erstmal eine wichtige Erkenntnis.
Die Schreibweisen, die wir haben, sind auch ganz analog oder exakt die
gleichen, wie im Fall einer Zufallsvariablen.
Dieses ist eben suggestiv, Groß-X-Element M ist die Menge aller Klein
-Omega aus Omega mit der Eigenschaft, X von Omega ist Element M.
Also das Ereignis, dass der Zufallsvektor X einen Wert annimmt in der
Menge M.
So muss man das interpretieren und auch dann in Worten beschreiben.
Dann, wenn ich die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses ausrechnen
will, dann lässt man noch die Mengenklammern weg.
Das heißt, man schreibt das so, um sich einfach Schreibarbeit zu
ersparen.
Sie sehen jetzt hier, das hat sich umgedreht.
Jetzt wird die rechte Seite definiert durch die linke.
Ich habe erstmal das Ereignis definiert.
Was heißt das eigentlich?
Und dann kann ich jetzt die Mengenklammer weglassen.
Mir ist nur klar, worüber wir reden.
Spezialfall, also das ist alles wie früher.
Stellen Sie sich vor, die Menge M ist jetzt eine Teilmenge des R hoch
N, stellt sich so dar als ein kathesisches Produkt von irgendwelchen
Mengen b1, b2.
Das sind jetzt alles Teilmengen von R.
Das heißt, was hier steht, das kathesische Produkt, sind ja die Menge
aller N-Tupel reeller Zahlen.
Nennen wir sie x1 bis xn.
x1 ist Element b1, x2 ist Element b2 und so weiter.
xn ist Element bn.
Das heißt, diese Menge ist spezifiziert durch getrennte Bedingungen an
x1, an die erste Komponente, an die zweite, an die dritte und so
weiter bis an die Ende.
Das ist eine spezielle Teilmenge des R hoch N.
Also im R hoch 2 wäre das eben ein Rechteck, wenn b1 und b2 Intervalle
sind.
Da haben Sie ein Rechteck.
Wenn Sie noch eine dritte Komponente haben, die auch ein Intervall
ist, haben Sie einen Quader im R hoch 3.
Dann schreibt man das so.
Sie sehen, jetzt wird geschrieben, die Wahrscheinlichkeit, dass x1 in
die Menge b1 fällt und x2 in die Menge b2, im Sinne von Schnitt des
Ereignisses und xn Element b1 ist nichts anderes definiert als die
Wahrscheinlichkeit des Schnittes j von 1 bis n der Ereignisse xj
Element bj.
Und das ist hier nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass der
Vektor x in diese Menge m fällt, wenn m diese Gestalt hat.
Ich habe also getrennte Bedingungen an die einzelnen Komponenten.
Ist das klar soweit?
Spezialfall, wenn ich jetzt konkrete Werte betrachte, die t1 und so
weiter, tn sind jetzt reelle Zahlen, dann ist das natürlich definiert
als die Wahrscheinlichkeit des Schnittes der Ereignisse, dass xj den
Wert tj annimmt.
Sie sehen nicht, weil es hier Ereignisse sind, mit Schnitt muss ich da
wieder Mengen-Klammern schreiben, aber dies ist nichts anderes als
das.
Der Spezialfall ist jetzt im Vergleich zu oben so, dass die Mengen b1,
b1 besteht nur aus dem einen Punkt t1.
Es sind also ein-elementige Mengen, das b2 und das bn, die jeweils nur
den Punkt t1, t2 und so weiter, tn enthalten.
Also man sagt dann auch p von x gleich t und t hat jetzt die
Komponenten t1 bis tn aus dem Ln.
Jetzt kommt das mit den Marginalverteilungen.
Also aus dieser Verteilung des Vektors oder aus der gemeinsamen
Verteilung lassen sich die Marginalverteilungen bestimmen.
Wir haben das eben gemacht im Spezialfall durch eine Summation.
Hier steckt nichts anderes hinter als die Additivität oder Sigma
-Additivität.
Folgendes sollte man beachten.
Ganz allgemein, stellen Sie sich vor, Sie haben paarweise disjunkte
Mengen, b1, b2 und so weiter, die schließen sich paarweise aus.
Sie müssen nicht unbedingt ganz Omega ergeben.
Das heißt, diese Summe muss nicht notwendig Omega sein, aber das
Entscheidende ist, die Wahrscheinlichkeit von dieser Vereinigung der
paarweisen disjunkten Mengen ist 1.
Der Rest hat also die Wahrscheinlichkeit 0.
Das ist hier das Entscheidende.
Wenn Sie das haben, dann können Sie schließen, die Wahrscheinlichkeit
irgendeines Ereignisses a ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten a
-geschnitten b1.
Wenn Sie das so wollen, haben Sie bis auf ein Ereignis, das die
Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ganze Omega zerlegt und ausgeschöpft.
Das ist hier das Entscheidende.
Das heißt, Sie brauchen nur paarweise disjunkte Ereignisse, deren
Vereinigung die Wahrscheinlichkeit 1 hat, dann können Sie jedes
Ereignis a ausrechnen, die Wahrscheinlichkeit davon als Summe dieser
Wahrscheinlichkeiten a-geschnitten b1.
Das jetzt vorausgeschickt, können wir sagen zu jedem j, j gibt jetzt
die Komponente des Zufallsvektors an und jedes xj ist eine
Zufallsvariable und als Zufallsvariable, die auf einem diskreten
Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist, nimmt das xj nur endlich viele
oder abzehrbar unendlich viele an, jedes xj.
Das heißt, ich habe eine abzehrbare Menge, ich nenne die jetzt mal mj
und an dieser Stelle will ich mal die Elemente der Menge
durchnummerieren, also t index j, i, i größer gleich 1.
Das ist eine endliche Menge oder eine höchstens abzehrbar unendliche
Menge, das kann abbrechen.
Teilmenge von r.
Und die Wahrscheinlichkeit ist, dass xj in mj ist, da reinfällt.
Diese Wahrscheinlichkeit kann ich jetzt, und das ist die Notation von
da oben, das heißt hier ist das A, das entscheidende ist erstmal,
diese Wahrscheinlichkeit ist 1.
Und Sie sehen, die bi's, die da oben stehen, sind in dem Fall nichts
anderes als diese Ereignisse, dass xj den Wert ti annimmt.
Das sind die Ereignisse bi.
So müssen Sie das interpretieren.
Die Summe ist 1.
Aus dem Grunde kann ich jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass x1 den Wert
t1 annimmt, das ist jetzt das Ereignis, das Ereignis was hier steht,
entspricht dem A da oben, kann ich bekommen durch Summation jetzt von
Ereignissen von der Bauart A ist hier das Ereignis x1 gleich t1 und
das j gleich 2, x2 nimmt irgendeinen Wert an t2, j.
Und ich habe das jetzt nicht mehr doppelt indiziert, ich habe das
jetzt einfacher gemacht.
Das heißt, ich summiere über diese t2 aus m2 endlich viele Abziffer,
unendlich viele, ich erhalte das.
Und das gilt für jedes t1.
Also das ist hier die entscheidende Erkenntnis.
Diese Summation, wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, zwei, kann ich
die Wahrscheinlichkeit, dass eine irgendeinen Wert annimmt, bekommen
durch Summation aus diesen Verbund Wahrscheinlichkeiten, diesen
gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten x1 gleich t1, x2 gleich t2, über alle
Werte, die hier überhaupt angenommen werden können, von der
Zufallsvariablen x2.
Das sind die t2s.
Das ist hier die Botschaft und das ist Marginalverteilungsbildung bei
zwei.
Das haben wir eben gemacht.
Ich kann das natürlich genauso für die zweite Komponente machen.
Ich war jetzt nur schreibvoll.
Wenn ich x2 haben möchte, die Verteilung davon, dann summiere ich
auch, jetzt muss ich nur summieren dann über t1 aus m1.
Allgemein sieht das jetzt so aus.
Wenn Sie diese Verteilung haben wollen von x1, also die
Wahrscheinlichkeit, dass x1 den Wert t1 annimmt, aus der gemeinsamen
Verteilung, dann müssen Sie summieren über alle anderen Komponenten.
Sie sehen, t2 durchläuft die Werte in m2, tn in mn, über diese
Wahrscheinlichkeiten aus der gemeinsamen Verteilung.
Und ich habe auch hier nur obda x1 genommen.
Ich hätte auch sagen können, wir nehmen die Wahrscheinlichkeit, dass
xj den Wert tj annimmt, dann muss ich natürlich summieren.
Dann geht die Summe über t1, t2, tj-1, tj muss ich auslassen, tj plus
1 und so weiter bis tn.
Das heißt, die nicht interessierenden Komponenten, da werden diese
gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten einfach aufsummiert.
Das heißt, ich kann mir das jetzt in höheren Dimensionen nicht mehr
als eine Marginalverteilung vorstellen.
Das gilt eben noch bei t2, das haben wir eben gemacht in dem
Eingangsbeispiel.
Also so würde man das dann konkret berechnen.
Das heißt, man summiert eben über alle diese Vektoren, über diese
Kombinationen von t2, tn und die kommen diesen Komponentenweise eben
in m2 und so weiter bis mn und derart, dass die Wahrscheinlichkeit 0
ist.
Nur auf die Werte kommt es an und das sind endlich viele oder
höchstens absehbar unendlich viele, über die hier summiert wird.
Eine wichtige Erkenntnis, simple, die gemeinsame Verteilung beinhaltet
immer mehr Information als nur die Marginalverteilung.
Ich möchte Ihnen das an einem ganz einfachen Beispiel zeigen.
Also stellen Sie sich vor, wir haben zwei Zufallsvariablen.
Hier seien die Bezeichnungen für die Realisierung.
Die erste Zufallsvariable nehme die möglichen Werte 1 und 2 an und die
zweite auch 1 und 2.
Und ich gebe jetzt Folgendes vor.
Ich gebe Ihnen mal die Marginalverteilung vor.
Sie sehen, die Summe aus den beiden Werten in der ersten Zeile, die
ich dort eintragen muss, soll ein Halb sein und die Summe der beiden
Wahrscheinlichkeiten, die noch einzutragen sind, in der zweiten Zeile,
in dieser 2 x 2 Matrix, soll auch ein Halb sein.
Aber bei den Spalten soll es auch so sein.
Natürlich sieht man die Summe dann wieder, der 2 x 1 halb ist immer 1.
Das heißt, ich gebe hier die Marginalverteilung vor.
Ich gebe hier vor, die Wahrscheinlichkeit, dass die eine
Zufallsvariable den Wert 1 annimmt, nennen wir sie x, ist ein Halb und
dass sie den Wert 2 annimmt, ist auch ein Halb.
Und für y genau das Gleiche.
Wenn ich nur zwei Zufallsvariablen habe, sage ich meistens nicht x 1,
x 2, sondern x und y, um mir die Indizes zu sparen.
Aber das Entscheidende ist, ich könnte hier, das wäre p von x gleich
i, das gebe ich vor und p von y gleich j gebe ich auch vor, die
Marginalverteilung, jeweils eine Gleichverteilung auf den Werten von 1
bis 2.
Aber ich habe hier die Möglichkeit, dort mal ein Parameter
reinzusetzen.
Ich sage, die Wahrscheinlichkeit soll c sein.
Wir überlegen uns, welche Werte angenommen werden können.
Na gut, ist klar, dass c muss größer gleich 0 sein, soll eine
Wahrscheinlichkeit sein.
Wenn die Summe von c und dem, was ich da rechts daneben schreibe, ein
Halb sein soll, kann c höchstens ein Halb sein, denn da kommt
irgendwas zu, was größer gleich 0 ist.
Das heißt, was dazukommt, kann aber nur ein Halb minus c sein, denn
die Summe muss ein Halb sein.
Das heißt, wenn ich das linke obere Feld vorgebe und sage, die
Wahrscheinlichkeit soll c sein, dann ist der Rest festgelegt.
Nämlich auch das muss ein Halb minus c sein und das muss auch c sein.
Aber ich könnte jetzt z.B.
für c 0,1 einsetzen oder 0,27.
Sie haben damit eine gemeinsame Verteilung festgelegt und die
Randverteilung und die Marginalverteilung sind immer die gleichen.
Das heißt, Sie haben hier einen freien Parameter und Sie sehen, Sie
erhalten verschiedene gemeinsame Verteilungen für das Paar x,y als
zweidimensionalen Zufallsvektor und Sie können so viele erhalten, wie
Sie freie Parameter haben.
Sie sehen, dass c im Intervall von 0 bis ein Halb ein freier Parameter
ist.
Wir werden gleich definieren, wann zwei Zufallsvariablen stochastisch
unabhängig sind.
Wir führen das auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurück und dann
werden wir sofort sehen, diese beiden Zufallsvariablen x und y sind
nur in einem einzigen Fall stochastisch unabhängig, nur für ein c.
Nämlich, wenn c gleich ein Viertel ist.
Dann sind die stochastisch unabhängig, sonst nicht.
Sie müssen hier einfach in freien Parametern rechnen.
Wenn Sie eine gemeinsame Verteilung festlegen in so einer Vierfelder
-Tafel, also Zwei-Kreuz-Zwei-Matrix, jede Zufallsvariabelle dient nur
zwei Werte an.
Wenn Sie keine Einschränkungen haben, dann wissen Sie nur, Sie müssen
dort vier Wahrscheinlichkeiten hinschreiben und die Summe aller vier
muss eins sein.
Also Sie schreiben vier nicht-negative Zahlen in Summe eins.
Das bedeutet, Sie haben drei freie Parameter.
Der vierte ist bestimmt, die Summe ist ja eins.
Wenn Sie aber die Marginalverteilung vorgeben, Sie sehen, dann bleibt
nur noch ein freier Parameter über.
Das ist dieses c.
Also die Botschaft nochmal sollte klar sein, aus der gemeinsamen
Verteilung kann ich die Marginalverteilung ausrechnen.
Aber die Marginalverteilung bestimmen ohne zusätzliche Information
oder ohne zusätzliches Wissen nicht die gemeinsame Verteilung.
Das sieht man schon an diesem einfachen Beispiel.
Also die gemeinsame Verteilung hat prinzipiell immer mehr Information
als nur die Marginalverteilung.
Jetzt kommt das, was ich sagte, die Definition der Unabhängigkeit von
Zufallsvariablen.
Nun, wir haben uns mit der Unabhängigkeit von Ereignissen beschäftigt.
Wenn Sie sich erinnern, wir haben gesagt, N-Ereignisse sind unabhängig
in einem Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Folgendes gilt, ganz egal, wie
viele dieser Ereignisse, dieser N, ich rausgreife, es sollten
mindestens zwei sein, aber ganz egal, wie viele und welche, die
Wahrscheinlichkeit des Schnittes von den Ereignissen, die ich
rausgegriffen habe, ist Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Das war die Unabhängigkeit von N-Ereignissen.
Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist nichts Neues.
Nämlich, sie wird zurückgeführt auf die Unabhängigkeit von
Ereignissen.
Nämlich Zufallsvariablen beschreiben ja Ereignisse über die
Urbildabbildung.
Das ist hier das Entscheidende.
Das heißt, wir definieren, wenn wir einen diskreten
Wahrscheinlichkeitsraum haben um Zufallsvariablen auf Omega, nennen
wir sie wieder x1 bis xn, dann definieren wir, sie heißen stochastisch
unabhängig, falls folgendes erfüllt ist, die Ereignisse, dass x1 einen
Wert in der Menge b1 annimmt und so weiter, xn nimmt einen Wert in der
Menge bnn.
Diese Ereignisse sind unabhängig für jede Wahl der Teilmengen b1 und
so weiter, bn von R.
Und nochmal, das erste Ereignis, was da steht, x1 Element b1, Sie
können das Ereignis mit a1 bezeichnen, sind die Menge aller Klein
-Omega aus Groß-Omega mit der Eigenschaft x1 von Omega Element b1 und
so weiter.
Das heißt, für jede vorgegebene Wahl von b1 bis bn haben Sie
Linksereignisse, die können Sie abkürzen mit a1 bis an und die sollen
stochastisch unabhängig sein.
Das bedeutet, ganz egal welche ich rausgreife, sollten mindestens zwei
sein, die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist das Produkt der
einzelnen Wahrscheinlichkeit.
Anscheinend sollte auch klar sein, wenn Zufallswahlereignisse
beschreiben, das Entscheidende ist eben, dass wir dann Situationen
später haben werden, dass die Zufallswahl x1 sich vielleicht bezieht
auf ein Experiment, da wird eben der Ausgang beschrieben, auch durch
x1 und Ereignisse, das eben getrennt ablaufen kann von einem Zweiten,
bei dem die Zufallswahl x2 auftritt, getrennt von einem Dritten.
Das ist eben die Vorstellung von getrennt ablaufenden Experimenten,
die auch gleichzeitig stattfinden könnten und von unterschiedlichen
Personen gemacht werden.
Dann bezieht sich eben die Zufallswahl xj auf ein jettes Experiment,
wenn ich die alle durchnummeriere.
Diese Vorstellung müssen Sie dann mit der Unabhängigkeit oder sollten
Sie mit der Unabhängigkeit verbinden.
Okay, das ist nochmal das Memo.
x-Element b, ganz allgemein, ist eben das Urbild x auf minus 1 von b,
die Menge aller Omega mit x von Omega-Element b.
Das kann jetzt eine Zufallsvariable sein oder ein Zufallsvektor.
Es kommt jetzt darauf an, was b ist.
b kann eine Teilmenge von r sein, dann habe ich eine Zufallsvariable
und b kann eine Teilmenge eines r auf n sein, dann habe ich einen
Zufallsvektor mit Komponenten x1 bis xn.
So, folgende Bemerkung zu dieser Definition.
Diese Zufallsvariablen, die da oben stehen, könnten auch allgemeiner
Zufallsvektoren sein, sogar mit unterschiedlichen Dimensionen.
Das bedeutet, dass xj könnte r hoch kj-wertig sein für jedes j.
Denn das Entscheidende ist ja, dass das hier, es dreht sich nur um die
Unabhängigkeit von Ereignissen, die beschrieben werden, und Sie sehen
dort das Memo, es kommt überhaupt nicht darauf an, ganz einfach,
welche Dimension die Abbildung x abbildet.
Das Entscheidende ist, dass b muss dann eine Teilmenge sein des
jeweiligen r hoch.
Das heißt, hier taucht die Dimension gar nicht auf.
Es tauchen nur Ereignisse auf.
Insofern könnte das x1 könnte realwertig sein, das x2 könnte r hoch 5
-wertig sein, ein Zufallsvektor der Dimension 5x3 könnte wieder
realwertig sein oder ein Zufallsvektor, der in den r2 abbildet.
Es kommt da überhaupt nicht darauf an.
Es dreht sich nur um die Unabhängigkeit von Ereignissen.
Das heißt, wir haben hier nicht nur die Unabhängigkeit von
Zufallsvariablen definiert, sondern allgemeiner sogar die von
Zufallsvektoren, ohne dass ich das hier hingeschrieben habe.
Es sollte klar sein, dass das konzeptionell nichts Neues wäre.
Dann ist eben bj hier eine Teilmenge eines r hoch kj, die Dimension.
Das steckt damit drin in dieser Definition.
Hier nochmal das Memo.
Wir haben die Unabhängigkeit so definiert, genau dann, wenn für jede
Wahl von b1 und so weiter bis bn diese Ereignisse unabhängig sind.
Und jetzt kommt schon eine kleine Erkenntnis.
Ich könnte natürlich auch zum Beispiel für b1, könnte ich mal
einsetzen, ganz r.
Ist ja nicht verboten.
Für b1 setze ich ein ganz r.
Dann ist aber das Ereignis, dass x1 in b1 fällt, in r fällt, ist ganz
Omega.
Denn für jedes kleine Omega aus Großomega gilt x1 von Omega Element r.
Das heißt, ich kann durch gewisse Wahl der bs, wenn ich gewisse bj
gleich ganz r setze, kann ich sozusagen triviale Ereignisse erzeugen,
nämlich immer Omega.
Und Omega geschnitten, irgendwas ändert nichts.
Und die Wahrscheinlichkeit von Omega ist 1.
Das wird gleich eine wichtige Erkenntnis sein für Kriterien für
Unabhängigkeit.
Das ist eben hier, steckt für alle drin.
Für alle b1 bis bn.
Jetzt kommen nämlich die Kriterien für Unabhängigkeit.
Also folgende Aussagen sind jetzt äquivalent in der Situation von
eben.
Die erste Aussage ist die stochastische Unabhängigkeit von x1 bis xn,
wie sie dort oben definiert ist im Memo.
So, zweite Eigenschaft.
Es gilt für jede Wahl von b1 bis bn Teilmenge von r, dass die
Wahrscheinlichkeit, dass x1 in b1 fällt und so weiter, xn in bn, ist
das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeit.
So, das ist weniger auf den ersten Blick wie die Unabhängigkeit, denn
bei der Unabhängigkeit immer dran denken von n-Ereignissen.
Das heißt ja, ganz egal wie viele ich rausgreife, es müssen eben auch
weniger sein als alle.
Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist immer das Produkt.
Hier in b greife ich alle n raus.
Sie erinnern sich an die Sache, dass ich sagte, drei Ereignisse, es
reicht nicht zu zeigen, p von a geschnitten, b geschnitten, c ist p
von a mal p von b mal p von c.
Sie sollten hier sensibel sein.
In der Unabhängigkeit da oben steckt mehr drin auf den ersten Blick
als in b, aber nur auf den ersten Blick.
So, und c besagt die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahlen xj
einzelne Werte annehmen, klein xj, und das wieder simultan für j von 1
bis n linke Seite.
Schnitt von Ereignissen ist Produkt.
Hier breche ich das runter auf einzelne Werte.
Das heißt, wenn Sie so wollen, die Mengen b, die da oben stehen, sind
hier einelementige Mengen.
Daran erkennt man schon, dass c ein Spezialfall von b ist.
Das heißt, gewisse Dinge sind jetzt hier einfach.
Nämlich der Beweis, wenn Sie von a nach b schließen wollen aus der
stochastischen Unabhängigkeit, dann steckt diese Gleichung unmittelbar
in der Definition.
Denn die muss gelten.
Die Wahrscheinlichkeit des Schnittes über alle muss das Produkt der
einzelnen Wahrscheinlichkeiten sein.
Das heißt, b ist spezieller als a.
Wir wollen gleich sehen, dass es gleichwertig ist.
So, wenn Sie jetzt von b nach a schließen wollen, jetzt kommt das, was
ich eben sagte.
Auf wenige Ereignisse kommen Sie immer.
Sie können für ein bj gleich r setzen.
Das können Sie für jedes j machen, theoretisch.
Dann ist natürlich das Ereignis immer gleich omega.
Das ist die Menge a la kleinen omega.
xj von omega in r ist omega.
Und p von omega ist 1.
Das heißt, Sie können dort auf der rechten Seite im Produkt Einsen
erzeugen, als Faktoren, die nichts ändern, indem Sie gewisse bj gleich
r setzen.
Und auf der linken Seite schneiden Sie, Komma heißt ja hier Schnitt,
immer mit omega, wenn Sie das machen.
Das heißt, Sie kommen hier auf jeden Fall, wenn Sie b wissen, Sie
wissen für alle b1 bis bn, können Sie dort auch auf weniger Faktoren
kommen und auch auf weniger Ereignisse, die Sie schneiden, wenn Sie
speziell dann für gewisse j das so einsetzen.
Und somit erhalten Sie auch weniger Mengen.
Das brauchen wir für die stochastische Unabhängigkeit.
Nochmal, a1 bis an sind unabhängig.
Genau dann, wenn für jede Teilmenge t mindestens zwei Elemente
Teilmenge t der Indizes von 1 bis n gilt.
Wahrscheinlichkeitsschnitt der ajj aus t ist Produkt der
entsprechenden Wahrscheinlichkeit.
Ich komme auf weniger durch diesen Trick.
Insofern ist a auch nicht allgemeiner als b.
Das steht eben für alle b1 bis b.
Und das b nach c habe ich eben schon gesagt, ich brauche nur in b
setzen.
Das bj ist eine einelementige Menge xj und dann ist c ein Spezialfall
von b.
Für jedes j als einelementige Menge, dann habe ich das.
Und sehen wir uns noch an, wie ich von c dann schließlich auch nach b
komme.
Das wäre jetzt noch zu zeigen.
Ich gebe das jetzt nochmal als Memo an.
Das war b.
Und c war das Spezielle, wenn ich jetzt die xj einsetze.
Sie sehen, ich muss also jetzt von c schließen auf das da oben.
Und das geht natürlich letztlich durch addieren.
Das Entscheidende ist, die Wahrscheinlichkeit, die da links oben
drüber steht, bekomme ich durch Addition von solchen
Einzelwahrscheinlichkeiten.
Da steckt nur die Additivität drin in unserer
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Das heißt, wenn ich jetzt definiere eine Menge mj, das seien alle t's,
die die Zufallsvariable xj mit positiver Wahrscheinlichkeit annimmt,
also der Rest interessiert nicht, es dreht sich um
Wahrscheinlichkeiten, dann ist das hier, das kann ich machen für jedes
j, dann ist das jeweils eine abzählbare Menge.
Jede einzelne Zufallsvariable kann nur abzählbar viele Werte annehmen,
mit positiven Wahrscheinlichkeiten, damit auch der ganze Vektor.
Das ist also hier erstmal wichtig.
Diese Menge mj hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Es sind alle t's, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen
werden, wenn Sie die aufsummieren.
Die Wahrscheinlichkeit ist 1 von dem mj.
Wenn ich jetzt Mengen habe, b1 bis bn aus r, ich muss ja auf das Memo
kommen, auf die erste Zeile, die muss ich mir vorgeben, dann kann ich
erstmal folgendes machen, ich kann diese Mengen jeweils schneiden mit
mj.
Ich nenne die Mengen mal bj-Stern.
Weil das mj die Wahrscheinlichkeit 1 hat, hat das bj-Stern die gleiche
Wahrscheinlichkeit wie bj.
Denn Sie müssten ja sonst noch rechts hinzufügen bj-geschnitten mj
-Komplement, um auf das bj zu kommen.
Und mj-Komplement hat die Wahrscheinlichkeit 0.
Den Trick hatten wir auch schon mal.
Das heißt, das ist hier eine wichtige Erkenntnis.
Die Wahrscheinlichkeit, dass xj in bj-Stern fällt, ist die gleiche
Wahrscheinlichkeit wie in bj, weil mj die Wahrscheinlichkeit 1 hat.
Und das Entscheidende ist, bj-Stern ist eine abzählbare Menge.
Ich schreibe jetzt abzählbare Summen hin.
Das ist hier das Schöne.
Und fangen wir mal an.
Die Wahrscheinlichkeit ist jetzt, Sie sehen, ich brauche nur über
diese Kombination x1, xn zu summieren, derart, dass x1 in die Menge b1
-Stern fällt usw., xn in die Menge bn-Stern.
Das ist hier die Erkenntnis von darüber und habe die gemeinsamen
Wahrscheinlichkeiten.
So bekomme ich die Wahrscheinlichkeit raus.
Und jetzt sehen Sie schon auf der rechten Seite, über diese
Wahrscheinlichkeiten haben wir in C eine Voraussetzung.
Wegen der Unabhängigkeit.
Die Voraussetzung ist, ich kann dafür Produkt schreiben.
Das bedeutet, in der nächsten Zeile lasse ich die Summe so oder ich
schreibe sie noch ausführlicher hin.
Das ist jetzt eine Mehrfach-Summation.
x1 aus b1-Stern usw.
xn Element b1-Stern ist die gleiche Summe wie drüber.
Und dann darf ich aber jetzt Produkt schreiben.
Wegen der Unabhängigkeit.
Also C ist ja die Voraussetzung.
Und jetzt sehen Sie, habe ich dort ein Produkt und ich habe getrennte
Summen.
Wenn das endliche Summen sind, ist das ganz normale Distributivgesetz,
was ich jetzt anwenden kann.
Wenn ich unendliche Summen habe, brauche ich wieder einen Satz aus der
Analyse, diesen großen Umordnungssatz.
Das heißt, hier kann ich getrennt summieren.
Sie sehen, das ist x1 Element b1-Stern, diese Wahrscheinlichkeit usw.
Ich habe also hier ein Produkt aus solchen Summen.
Und die erste Summe ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit,
dass x1 in die Menge b1-Stern fällt.
Aber da oben, blau sehen Sie, dass die gleiche Wahrscheinlichkeit,
dass x1 in die Menge b1 fällt.
So geht das weiter mit den Faktoren.
Und hinten haben wir noch den letzten Faktor, xn fällt in die Menge
bn.
Das heißt, das ist auch die Gleichung, die wir nachweisen wollten.
Also hier ist einfach nur die Botschaft, ich kann in diskreten
Wahrscheinlichkeitsräumen immer Wahrscheinlichkeiten für Teilmengen
durch Summation, endliche Summen oder Reihen ausrechnen, aus
Einzelwahrscheinlichkeiten, die sich eben ergeben.
Wenn ich einzelne Punkte, Elemente, hier des r auf n oder von r, dann
habe die Wahrscheinlichkeiten werden aufsummiert.
Die Verteilung ist bestimmt durch diese Werte.
Insofern ist also c überhaupt nicht spezieller als b, sondern ich
bekomme b wieder aus c durch Summation, das ist die Botschaft.
Okay, ich möchte an dieser Stelle weitermachen.
Sie sehen das Wort Blockungslemma.
Wir hatten sowas schon gehabt bei Ereignissen.
Also hier kommt jetzt was vor, was eigentlich selbstverständlich sein
sollte.
Ich beschreibe es erstmal in Worten.
Wenn ich irgendwelche Zufallsvariablen habe, die unabhängig sind, und
teile die auf in verschiedene Blöcke, das heißt ich betrachte, ich
habe vielleicht acht Zufallsvariablen, ich betrachte die ersten drei
und die nächsten fünf, zwei Blöcke, und betrachte dann Funktionen der
ersten drei und eine zweite Funktion der letzten fünf, dass dann die
entstehenden Zufallsvariablen Funktionen von disjunkten Blöcken der
ursprünglichen unabhängigen Zufallsvariablen wieder unabhängig sind.
So, ich beweise das jetzt.
Wenn man etwas mehr Stochastik gelernt hat, wird der Beweis durchaus
einfacher.
Also insofern sollten Sie jetzt diesen Beweis nicht überbewerten.
Das Ergebnis ist sowieso einfach, aber der Beweis ist natürlich auch
instruktiv, wie man das jetzt machen kann.
Das heißt, das ist die Botschaft.
Sie haben unabhängige Zufallsvariablen und Sie greifen sich dort
irgendwelche k raus.
Sie sehen, k läuft von 1 bis n-1 und Sie schalten dann eine Funktion
drauf.
Sie sehen, g geht vom r hoch k nach r.
Und eine zweite Funktion haben Sie, die geht vom r hoch n-k nach r.
Und dann wird behauptet, die neuen Zufallsvariablen, Sie sehen, g wird
geschaltet, die Hintereinanderausführung, auf x1 bis xk.
x1 bis xk ist eine Abbildung, die geht von Omega in den r hoch k als
Zufallsvektor.
Dann kann ich die Funktion g draufschalten, weil g vom r hoch k nach r
geht.
Ich kriege wieder was Reellwertiges.
Genauso bleibt noch über ein zweiter Block.
Da bleiben noch die xk plus 1 bis xn über.
Das sind n-k Stück.
Das sind n-k dimensionaler Zufallsvektor.
Bildet in den r hoch n-k ab.
Da kann ich die Funktion h drauf schalten, weil h vom r hoch n-k nach
r abbildet.
Ich kriege zwei reellwertige Zufallsvariablen.
Behauptet wird, wenn die ursprünglichen xn unabhängig sind, sind es
auch die.
Und der Beweis, ich setze kurz y1 als diese Funktion an und y2 als
diese Funktion an, dann wissen wir, was wir zeigen müssen.
Wir wollen die Unabhängigkeit von y1 und y2 zeigen.
Was muss ich zeigen?
Eben hatten wir die dritte Bedingung.
Ich muss mir y1, y2 beliebig aus r hernehmen und muss diese
Wahrscheinlichkeit betrachten.
Und wenn ich zeigen kann, das ist das Produkt der beiden einzelnen
Wahrscheinlichkeiten, bin ich fertig.
Dann sind die beiden unabhängig.
Das ist alles.
Das heißt, ich muss jetzt dieses Ereignis darstellen mit Hilfe der x1
bis xn.
Was ist das?
Nun, wann nimmt Groß-y1 den Wert Klein-y1 an und Groß-y2 den Wert
Klein -y2 an?
Nun, ich muss das zurückführen auf Realisierung des ganzen
Zufallsvektors x1 bis xn.
Die Realisierung sind die Klein-x1 bis Klein-xn.
Und offenbar muss dann gelten, die Funktion g von x1 bis xk muss Klein
-y1 sein und die Funktion h von xk plus 1 bis xn muss Klein-y2 sein.
Das ist eine Nebenbedingung.
Und Sie sehen, es ist nichts anderes als eine Summation.
Hier wird summiert über alle Realisierungen des Zufallsvektors Groß-x1
bis Groß-xn.
Das sind die Klein-x1 bis Klein-xn.
Mit der Eigenschaft, jetzt kommt die Nebenbedingung, die Funktion g
der ersten k-Komponenten muss Klein-y1 sein und die Funktion h der
letzten n-k-Komponenten in dem Vektor muss y2 sein.
Dann muss ich über diese Einzelwahrscheinlichkeiten summieren.
Ich habe nur das Ereignis zerlegt.
Das muss erstmal klar sein, dass die Wahrscheinlichkeit sich so
ausdrückt.
Wir haben nur die Additivität benutzt.
Das Ereignis wurde zerlegt.
Dass y1 den Wert Klein-y1 annimmt und y2 den Wert Klein-y2, die
Wahrscheinlichkeit ist nichts anderes als die Summe dieser
Wahrscheinlichkeiten.
Was ich jetzt machen kann ist folgendes.
Ich lasse mal die Summe so wie sie ist.
Jetzt nutze ich die Unabhängigkeit aus.
Sie sehen, da oben steht P von Groß-x1 gleich Klein-x1, Komma, Komma,
Komma, Groß-xn gleich Klein-xn.
Wegen der Unabhängigkeit darf ich das jetzt als Produkt schreiben.
Das geht hier ein.
Das ist ein Produkt.
Insbesondere steht hier das Produkt der ersten k-Faktoren.
Produkt xj gleich kjj von 1 bis k mal das Produkt der letzten.
Sie sehen aber diese Summe, die da vorne steht, spaltet sich auf in
zwei Teilbedingungen.
Die erste ist, die ist nur an x1 bis xk.
G von x1 bis xk ist Klein-y1.
Und dann habe ich eine zweite Bedingung an die restlichen Komponenten,
die getrennt ist von den ersten x1 bis xk.
Aus dem Grunde kann ich das als zwei Summen schreiben.
Und wegen der Produktdarstellung darf ich das so machen.
Sie sehen, das ist nur die erste Bedingung und ich habe von dem
Produkt, was da oben steht, nur die ersten k-Faktoren genommen.
Und dann geht es weiter mit dem zweiten Produkt.
Sie sehen, die zweite Bedingung bezieht sich nur auf xk plus 1 bis xn.
Und da habe ich auch nur von dem Produkt, was drüber steht, die
letzten n-k-Faktoren genommen.
Das ist hier das Schöne.
Ich kann es eben trennen.
Ich könnte natürlich jetzt, eigentlich müsste ich noch Klammern drum
rum machen über die Summen.
Aber die erste Summe, die hier steht, ist nichts anderes als die
Wahrscheinlichkeit, dass y1 gleich Klein-y1 ist.
Da brauche ich natürlich auch nur die ersten x1 bis xk zu.
Das sind die Realisierungen, die drüber stehen in der Summe.
Und das ist die Bedingung.
G von Klein-x1 bis Klein-xk ist y1.
Und das Produkt dieser Wahrscheinlichkeiten, was da drüber steht, von
1 bis k, ist die Wahrscheinlichkeit, dass x1 gleich Klein-x1 ist und
so weiter xk gleich Klein-xk.
Hier brauche ich nur die triviale Erkenntnis, wenn n Zufallsvariablen
unabhängig sind, x1 bis xn, sind auch x1 bis xk unabhängig.
Das folgt unmittelbar aus der Definition.
Aus dem Grunde ist also diese erste Summe das und die zweite Summe ist
das.
Und damit bin ich fertig.
Ich muss nur zeigen, dass für jede Wahl von y1 bis y2 diese
Wahrscheinlichkeit, die dort oben links steht, beim Beginn des
Beweises gleich dem Produkt ist.
Das ist die Unabhängigkeit.
Also nochmal, man strengt sich hier eigentlich unnötig an.
Mit höherer Erkenntnis wird das durchaus einfacher.
Aber wir haben hier nicht mehr technische Möglichkeiten.
Aus dem Grunde läuft der Beweis jetzt so ab.
Okay, also ich mache da einen Haken dran.
Das wäre damit gezeigt.
So eine Botschaft.
Mit nur mehr Schreibaufwand bleibt diese Aussage des Blockungslemmers
erhalten, wenn Sie Blöcke haben, sozusagen nicht nur zwei Blöcke wie
eben, sondern drei oder vier.
Ganz allgemein mehr als zwei Blöcke bleibt erhalten.
Es ist wirklich nur der Schreibaufwand größer.
So typische Anwendungen, über die man dann später nicht mehr
nachdenkt, sind jetzt die.
Stellen Sie sich vor, Sie haben vier unabhängige Zufallsverjahende.
Jetzt machen Sie zwei Blöcke.
Sie nehmen x1, x2 und x3, x4.
Das sind die beiden Blöcke und schalten auf den ersten Block eine
Funktion.
Da können Sie sagen, ich nehme mal dann x1 plus x2 und schalte noch
ein Sinus dran.
Das ist eine Funktion von x1, x2.
Und x3 minus 2x4 ist eine Funktion von x3, x4 und jetzt sind die
unabhängig.
Das ist so eine typische Anwendung, über die man später nie mehr
nachdenkt.
Wir haben es eben allgemein erwähnt.
Stellen Sie sich vor, Sie haben fünf Zufallsvariablen.
Dann können Sie sagen, okay, ich nehme hier eine Funktion mal von x1,
x3, x5.
Stellen Sie sich vor, x3, x5 sind positive Zufallsvariablen, sodass
Sie auch die Wurzel ziehen können.
Dann haben Sie nichts anderes als eine Funktion des Blocks, der
besteht aus x1, x3, x5.
Und dann haben Sie noch x2, x4.
Sie nehmen x2 durch x4.
Stellen Sie sich vor, x4 nimmt eben auch nie den Wert 0 an.
Solche Fälle kommen vor bei Zufallsvariablen und können Sie auch den
Quotienten bilden.
Das heißt, hier haben Sie wieder eine Funktion von zwei Funktionen,
wieder von disjunkten Blöcken.
Darüber denkt man später nicht mehr nach.
Das sind Anwendungen dann dieses Blockungslemmas.
Es sollte auch intuitiv klar sein, dass das unabhängig sein muss, wenn
ursprünglich alle N-Zufallsvariablen unabhängig waren.
Jetzt kommt etwas, was wir brauchen, auch für das nächste Kapitel, was
uns Erwartungswerte zu berechnen gestattet, wenn wir Zufallsvektoren
haben und dann reelle Funktionen draufschalten.
Ich formuliere das erstmal.
Das ist die allgemeine Transformationsform.
Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Immer daran denken, diese Menge wird gleich vorkommen.
Omega 0, da gibt es eine absehbare Teilmenge.
Ich wiederhole mich, die hat die Wahrscheinlichkeit 1.
Natürlich ist p von Omega auch 1, aber ist schon p von Omega 0 gleich
1 für eine absehbare Teilmenge.
Sie erinnern sich vielleicht an die Definition des Erwartungswertes.
Einer Zufallsvariant x, dann war Summe klein Omega aus Omega 0, x von
Omega mal p von 1 elementiger Teilmenge Omega.
Und die Reihe musste absolut konvergieren, damit der Erwartungswert
existiert.
Das war vor einiger Zeit, vor einigen Kapiteln.
Also stellen Sie sich vor, Sie haben einen n-dimensionalen
Zufallsvektor.
Wir müssen aber jetzt zu etwas Reellem kommen, denn wir wollen einen
Erwartungswert ausrechnen.
Zunächst mal definiere ich eine Menge M0.
Das seien alle diese Z im Rho n, die mit positiver Wahrscheinlichkeit
angenommen werden von dem Zufallsvektor z.
Eine endliche Menge oder eine höchstens absehbar unendliche Menge.
Nachher kommen Summen vielleicht vor, wo über Elemente aus M0 über
gewisse summiert wird.
Das sind eben keine überabsehbaren Summen, sondern höchstens absehbare
Summen.
Das ist hier wichtig.
Jetzt sehen Sie, das Z bildet in den Rho n ab und ich kann dann eine
Funktion draufschalten, die wieder von dem Rho n nach R abbildet.
Ich kriege jetzt was Reelles, indem ich die Verknüpfung G verknüpfe
mit Z.
Dann habe ich eine reelle Zufallsverjahung auf Omega.
Dann gilt, ich kann mir Gedanken machen über den Erwartungswert von G
von Z, denn G von Z ist eine reelle Zufallsverjahung, behauptet wird,
der existiert genau dann, wenn, jetzt sehen Sie hier eine Summe,
endliche Summe oder eine Reihe, G von Z Betrag, das ist wichtig, alles
muss nicht negativ sein, mal die Wahrscheinlichkeit, dass Z, den Wert
Z annimmt, endlich ist.
Sie sehen wieder, diese Bedingung ist gegenstandslos, wenn M0 eine
endliche Menge ist.
Wenn der Zufallsvektor nur endlich viele Werte annehmen kann, mit
positiven Wahrscheinlichkeiten, existiert der Erwartungswert immer von
G von Z.
Also die Bedingung macht nur dann Sinn, wenn das M0 wirklich absehbar
unendlich ist, dann muss ich es irgendwie durchnummerieren und habe
hier einen Grenzwert einer unendlichen Reihe und der muss dann
existieren.
Das ist die gleiche Bedingung, die wir hatten zu Beginn beim
Erwartungswert.
So, wenn das der Fall ist aber, dann gilt, ich kann den Erwartungswert
ausrechnen, indem ich jetzt den Betrag weglasse und das einfach so
mache.
So, wir hatten diese Formel schon beim normalen Erwartungswert.
Stellen Sie sich vor, das Z ist eindimensional eine Zufallsvariable
und nennen wir sie X, jetzt nicht Z.
So, stellen Sie sich vor, die Funktion G ist die Identität auf R.
Dann steht da nichts anderes als der Erwartungswert, der Z ist jetzt X
von X.
Das war Summe, jetzt die Z haben wir damals X genannt, über alle
Werte, die angenommen werden mit positiven Wahrscheinlichkeiten, dann
steht da X mal P von Groß-X gleich Klein-X.
Diese Darstellungsformel hatten wir schon.
Spezialfall, das heißt, diese Formel ist eine direkte
Verallgemeinerung.
Wir werden sie aber gleich brauchen in dieser Verallgemeinerung.
So, Beweis.
Sie sehen, dieser Beweis beginnt mit diesem stillschweigend
vorausgesetzten Omega-Null.
Das ist die Teilmenge, die abzehlbare Teilmenge von Omega, die die
Wahrscheinlichkeit 1 hat.
Und um die Existenz dieses Erwartungswertes, der drüber steht,
nachzuprüfen, muss ich nehmen Zufallsvariable G von Z an der Stelle
Omega, muss sie in den Betrag erheben, mal P von Omega.
Ich muss zeigen, dass das einen endlichen Wert liefert und ich muss es
nur zeigen, wenn Omega-Null abzehlbar unendlich ist.
Dann habe ich hier eine Reihe und die muss konvergieren.
Dann existiert der Erwartungswert der Zufallsvariable G von Z, die ich
gedanklich X nennen kann.
Das ist unsere Bedingung, die wir haben.
Das war ganz zu Beginn, als wir den Erwartungswert eingeführt haben.
Ich habe eine reelle Zufallsvariable, die heißt G von Z.
Damit haben wir es nur X genannt.
X von Omega-Betrag mal P von 1-Elementiger-Mengen-Omega.
So, die Idee ist jetzt hier die, bei dieser Summation, ich sortiere
das um.
Ich brauche dafür schlimmstenfalls den großen Umordnungssatz aus der
Analyse.
Nämlich, ich sortiere das um nach gleichen Werten von Z von Omega.
Also was nimmt der Zufallsvektor an?
Sie sehen dort, das sind die Werte klein Z.
Es kann also für verschiedene Omegas aus Omega-Null, was wir links
sehen, könnte der gleiche Wert Z von Omega herauskommen.
Und den nennen wir klein Z.
Jetzt kommt eine Umsortierung.
Das heißt, wir haben hier eine äußere Summe über diejenigen Z aus dem
R auf N, die überhaupt mit positiver Wahrscheinlichkeit vorkommen
können.
Das ist unsere Menge m0.
Ich hätte auch kurz schreiben können, Z-Element m0.
Und dann haben wir eine innere Summe.
Und jetzt summieren wir über alle die Omega aus Omega-Null mit der
Eigenschaft Z von Omega gleich klein Z.
Und ich schreibe noch mal hin, G von Z von Omega-Betrag mal P von
Omega -Betrag.
P von Omega.
So, Sie sehen in der zweiten Summe, da steht immer die Bedingung Z von
Omega gleich klein Z.
Das heißt, ich darf für Z von Omega immer gleich klein Z einsetzen.
Das heißt, dieser Vorfaktor vor P von Omega ist immer der gleiche,
nämlich G von klein Z-Betrag.
Das darf ich also vor die zweite Summe schreiben.
Ich ziehe das raus.
Sie sehen, bei der ersten Summe schreibe ich jetzt kurz Summe Z
-Element m0.
Die Bedingung ist die gleiche, die darunter stand.
Und jetzt ziehe ich das G von Z raus.
G von Z-Betrag.
Was bleibt jetzt über bei der zweiten Summe?
Da bleibt über die Summe a la Omega aus Omega 0 Z von Omega gleich Z
mal P von Omega.
Das heißt, ich summiere hier die Wahrscheinlichkeiten der
Elementarereignisse.
Nun, wir sehen aber die Bedingung, die sollen eben immer ergeben Z von
Omega gleich klein Z.
Das ist aber nichts anderes, die zweite Summe, wie die
Wahrscheinlichkeit Groß-Z gleich Klein-Z.
So, das heißt, wir haben diese Gleichheit festgestellt.
Eventuell kann es sein, dass hier die Divergenz da ist bei einer
unendlichen Reihe, aber dann divergieren beide Seiten.
Der große Umordnungssatz gilt sozusagen auch für Divergenz.
Dann steht auf beiden Seiten Divergenz.
Wir haben umsortiert und das Entscheidende ist, Sie sehen, die
Existenz des Erwartungswertes oben ist gleich bedeutend damit, dass
das, was direkt nach dem Beweis steht, diese erste Summe eine
konvergente Reihe ist, im Fall eines unendlichen Omega 0.
Und dann bedeutet das, auch das muss konvergieren.
Sie sehen, das ist genau dann, wenn, das heißt, diese Bedingung haben
wir gezeigt.
Wenn wir jetzt die Existenz haben, dann dürfen wir aber den Betrag
weglassen.
Das heißt, wir lassen jetzt überall den Betrag weg und dann sehen wir,
dass was links steht, Summe Omega aus Omega 0 ohne Betrag, ist nichts
anderes als der Erwartungswert von g von z.
Und was am Ende steht, ohne Betrag, ist das, was da oben steht.
Das heißt, wir haben auch diese Formel erhalten.
Das heißt, danach dürfen wir den Betrag weglassen.
Also auch hier ist die Botschaft eine ganz simple, wenn ich den
Erwartungswert einer Funktion ausrechnen will, von irgendeinem
Zufallsvektor, da muss ich summieren über die Werte, die der Vektor
überhaupt annimmt, dann Wert der Funktion g von z mal
Wahrscheinlichkeit, dass z den Wert klein z annimmt.
Das ist also eine direkte Verallgemeinerung unserer Darstellungsformel
für den normalen Erwartungswert.
Wir werden das gleich brauchen bei zwei Zufallsvariablen oder heute
noch nicht.
Wir werden uns zum Beispiel unterhalten über Kovarianzen.
Da sind immer zwei Zufallsvariablen beteiligt.
Korrelation werden wir haben.
Da müssen wir dann eben sowas verwenden.
Korrelation ist auch ein wichtiger Begriff, der oft auch missgedeutet
wird.
Damit werden wir uns ausführlich beschäftigen.
So, das ist das Memo.
So rechnet man das aus.
Jetzt kommt eine wichtige Formel, die Multiplikationsformel für
Erwartungswerte.
Stellen Sie sich vor, Sie haben unabhängige Zufallsvariablen.
Ich betone das.
Das ist die Voraussetzung.
Sie sind unabhängig.
Und stellen sich vor, die Erwartungswerte existieren beide.
Wir haben gesehen, dass wir das kurz so schreiben können.
Beide Erwartungswerte existieren.
Dann wird behauptet, auch der Erwartungswert des Produktes x mal y
existiert.
Und der Erwartungswert des Produktes ist Produkt der einzelnen
Erwartungswerte.
Das ist die Botschaft.
Bei unabhängigen Zufallsvariablen.
Wir werden gleich ein Beispiel sehen, wenn die nicht unabhängig sind,
gilt das nicht.
Wir wissen, der Erwartungswert von x plus y, wenn ich die addiere, ist
immer e von x plus e von y.
Das heißt, der Erwartungswert ist additiv.
Das gilt immer.
Unabhängig davon, ob die Zufallsvariablen unabhängig sind oder nicht.
Aber hier beim Produkt brauchen wir die Unabhängigkeit.
Das ist auf jeden Fall eine hinreichende Bedingung.
So, Beweis.
Ich wende den Satz von eben an.
Z ist jetzt ein zweidimensionaler Vektor.
Die Komponenten sind x und y.
Das ist unser Z von eben.
Was wir aber hier haben, ist das Produkt.
Das heißt, unsere Funktion des Vektors ist nichts anderes als Produkt
der Komponenten.
Das heißt, das g geht vom r2 in den r1.
g von klein xy aus dem r2 ist Produkt.
x mal y ist r-wertig.
Das heißt, wir können uns ran machen, den Erwartungswert von dieser
Funktion auszurechnen.
Das heißt, das ist hier nochmal p von Großz gleich Kleinz.
Das schreibe ich jetzt als p von Großx gleich Kleinx.
y gleich Kleiny.
xy ist natürlich dann Z.
Z, das Zweidimensionale.
So, was habe ich hier?
Das wäre jetzt erstmal die Prüfung, ob der Erwartungswert des
Produktes existiert.
Sie sehen, unsere Zufallsvariable, die da steht, ist nichts anderes
als x mal y.
An der Stelle Omega ist x von Omega mal y von Omega.
Ich muss das in Betrag erheben, multiplizieren, mit der
Wahrscheinlichkeit aufsummieren.
Wenn da ein endlicher Wert rauskommt, dann existiert der
Erwartungswert des Produktes.
Später lasse ich wieder die Betragsstriche weg, aber erstmal die
Prüfung.
Ich muss nur prüfen, wenn Omega null keine endliche Menge ist.
Dann muss ich prüfen, weil ich hier eine Reihe habe.
So, was wir machen?
Wir sortieren das wieder um.
Wir sortieren das nach den Wertepaaren, die sozusagen hier der Vektor
mit den Komponenten Groß-X und Groß-Y annehmen kann.
Und dann haben wir wieder eine innere Summe.
Sie sehen, dann habe ich x-Betrag mal y-Betrag.
Das ist genau das, was wir eben gemacht haben.
Und dann bleibt außen über die Wahrscheinlichkeit x gleich klein x und
y gleich klein y.
Das haben wir eben allgemein gemacht, dass hier ein Spezialfall ist.
Also hier steckt eine Umsortierung drin.
Jetzt dürfen wir die Unabhängigkeit ausnutzen.
Sie sehen, diese Wahrscheinlichkeit, die da steht, ist ein Produkt der
Einzelwahrscheinlichkeiten Groß-X gleich klein x und y gleich klein y.
Das lasse ich mal.
Der Rest bleibt.
Und auch hier erkennt man jetzt, ich habe zwei getrennte Summen.
Das heißt, ich habe hier x-Betrag mal p von Groß-X gleich klein x.
Das hängt nur von x ab.
Das andere ist y-Betrag mal p von Groß-Y gleich klein y.
Das hängt nur von y ab und kann das so schreiben.
Hier verwende ich wieder letztlich das Distributivgesetz.
Und zum Summieren kommen nur die x in Frage, derart, dass die
Wahrscheinlichkeit positiv ist, dass Groß-X den Wert annimmt
entsprechend bei y.
Über andere brauche ich nicht summieren.
Das sind endliche Summen oder unendliche Reihen.
Und jetzt sollten Sie sich notieren, dieses erste Produkt, was da
steht, ist nichts anderes als der Erwartungswert von x-Betrag.
Das ist unsere Darstellungsformel für Erwartungswert.
Und das zweite Produkt, was da steht, ist der Erwartungswert von y
-Betrag.
Und jetzt sehen Sie, die schauen sich in die Voraussetzung, die sind
beide endlich in der Voraussetzung des Satzes.
Das bedeutet, da kommt ein endlicher Wert raus.
Das heißt, der Erwartungswert des Produktes existiert.
So, jetzt dürfen wir wieder die Betragsstriche weglassen.
Alles absolute Konvergenz.
Das heißt, wenn wir die weglassen, dann steht wieder links nach dem
Beweis, steht nichts anderes als der Erwartungswert von x mal y.
Und auf der rechten Seite haben wir die beiden Produkte ohne
Betragsstrich.
Und dann ist natürlich beim ersten Produkt nichts anderes als der
Erwartungswert von x, Darstellungsformel.
Und das zweite Produkt ist der Erwartungswert von y.
Aber erst war die Prüfung wichtig, dass er überhaupt existiert.
Ich will Ihnen jetzt ein Gegenbeispiel angeben, wenn die nicht
unabhängig sind, ist das nicht der Fall.
Oder muss es nicht der Fall sein.
Es gibt Fälle bei nicht unabhängigen Zufallsfeiern, für die die
Multiplikationsformel auch gilt.
Aber die bekommen noch einen eigenen Namen.
Das machen wir dann das nächste Mal.
Also, wenn sie unabhängig sind, wenn die beiden Erwartungswerte
existieren, dann haben wir gesehen, existiert auch der Erwartungswert
des Produktes.
Und jetzt kommt die Frage, gilt das auch, wenn die nicht stochastisch
unabhängig sind?
Und die Antwort, die klare Botschaft ist nein.
Jetzt kommt ein simples Gegenbeispiel.
Ich könnte das direkt auch allgemeiner machen.
Aber hier kommen Dinge vor, die Sie schon mal kennen.
Ich definiere mal als c den Grenzwert dieser Reihe.
Und Sie wissen, diese Reihe konvergiert.
Es reicht, wenn Sie sowas haben wie 1 durch k hoch 1 plus epsilon.
Epsilon muss nur positiv sein, dann konvergiert die Reihe.
Also insbesondere konvergiert die Reihe der Grenzwert, wie immer der
Aussiedlung in c.
Wir nennen den Grenzwert so.
Also definiert pk, definiere ich mal 1 durch c mal k hoch 3 für jedes
k aus n, definiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den
natürlichen Zahlen.
Denn die pk sind nicht negativ und wenn Sie die alle aufsummieren,
nach Definition von dem c kommt da 1 raus.
Ich habe das gerade so gemacht.
Ich habe eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Wenn ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den natürlichen Zahlen
habe, dann habe ich sofort eine Zufallsvariable, die diese Werte
annimmt mit den Wahrscheinlichkeiten pk.
Wir haben unser kanonisches Modell.
Ich brauche nur die Identität zu nehmen auf den natürlichen Zahlen.
Ich habe eine Zufallsvariable, die diese Werte annimmt mit den
Wahrscheinlichkeiten.
Wir werden sofort sehen, dass der Erwartungswert existiert.
Denn wenn ich den Erwartungswert ausrechnen will, also erstmal setze
ich y gleich x.
Das ist hier das Schöne.
Das kann ich machen.
E von x.
Was ist E von x?
Das heißt, unsere Darstellungsformel war, ich muss Wert mal
Wahrscheinlichkeit nehmen.
Ich muss also aufsummieren von k bis und endlich von 1 bis und
endlich.
Das war unsere Darstellungsformel für den Erwartungswert.
Jetzt setze ich mal ein, was pk ist.
Dann bleibt das über.
1 durch c kann ich rausziehen.
Es bleibt die Summe 1 durch k² über und die konvergiert.
Nach dem, was ich eben sagte.
Das heißt, der Erwartungswert existiert.
Und wenn ich y gleich x setze, existiert natürlich automatisch der
Erwartungswert von y auch.
Denn y ist x.
Aber was ist das Produkt x mal y?
Wenn y gleich x ist, ist das x².
Ich rechne mal den Erwartungswert von x² aus.
Wenn ich den Erwartungswert von x² ausrechne, muss ich aber mit dem
Faktor k² reingehen mal pk.
Jetzt sehen Sie, 1 durch c kann ich wieder rausziehen.
Es bleibt aber 1 durch k über.
Und diese Reihe kennen Sie, die harmonische Reihe, die divergiert.
Sie sehen also, Sie haben ein Beispiel für zwei Zufallsvariablen.
Der hat, dass beide Erwartungswerte existieren.
Aber das Produkt, der Erwartungswert des Produktes existiert nicht.
Diese sind natürlich ganz stark abhängig.
y ist x.
Aber ich habe ein Beispiel für nichtunabhängige Zufallsvariablen, für
die das, was wir eben für unabhängig geschlossen haben, verletzt ist.
Also Sie sollten, für Sie ist einfach wichtig, das sollte auch noch
mal eine Eselsbrücke sein, so ein Beispiel, Sie sagen, okay,
Unabhängigkeit war vorausgesetzt.
Wenn x und y unabhängig sind, dann ist, sofern die beiden
Erwartungswerte existieren, der Erwartungswert des Produktes gleich
Produkt der Erwartungswerte.
Aber das ist hier ein einfaches Gegenbeispiel.
Man erinnert sich vielleicht noch an die eine oder andere Reihe, die
mal dran war in der Analyse.
Jetzt eine wichtige Formel, die sogenannte diskrete Faltungsformel.
Den Namen Faltung werde ich später erklären, das lässt sich jetzt
nicht so gut machen.
Wenn ich unabhängige Zufallsvariablen habe wieder, also Faltung hat
immer was mit Unabhängigkeit zu tun, dann gilt, und jetzt ist das
Entscheidende, ich möchte gern die Verteilung der Summe bestimmen.
Das ist oft wirklich von Wichtigkeit, wenn ich Zufallsvariablen habe,
die unabhängig sind, die ist die Verteilung der Summe.
Ich habe jetzt hier zwei Summanden, man kann das induktiv dann auf N
-Summanden immer erweitern, also zwei Summanden.
Dann steht da, die Wahrscheinlichkeit, dass x plus y einen Wert
annimmt, ist Summe, ich summiere wieder über alle x aus R, die von der
Zufallssumme x mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, und
dann habe ich die Wahrscheinlichkeit, dass x diesen Wert annimmt, mal
die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert t minus x annimmt für t aus R.
Die Formel sollte intuitiv klar sein, denn das Ereignis, dass x plus y
den Wert t annimmt, geht nur in gewissen Kombinationen von x zu y.
Wenn x eben den Wert klein x annimmt, muss y den Wert t minus x
annehmen, sonst kann die Summe nicht t sein.
Und wenn die unabhängig sind, habe ich hier ein Produkt von zwei
Wahrscheinlichkeiten.
Groß x, den Wert klein x, eigentlich hätte ich schreiben müssen,
Komma, y den Wert t minus x.
Aber wegen der Unabhängigkeit ist es ein Produkt.
Das heißt, x plus y gleich t ist ein Ereignis, x und y sind ja real.
Was nehmen die an?
Die nehmen Wertepaare an klein x, y in der Ebene, die könnte ich
aufmalen, wo die positiven Wahrscheinlichkeiten sind.
Und gleich x plus y gleich t mit klein x und klein y ist eine Gerade
im R2, Steigung minus 1.
Das heißt, es ist das Ereignis, dass dieser Punkt, der zufällige
Punkt, Groß x, Groß y, dieser Vektor, einen Wert annimmt auf dieser
Geraden.
Und das zerlegen wir jetzt einfach danach, was die x-Koordinate ist.
Und die andere ist automatisch bestimmt, weil die klein x ist, muss
der andere Wert sein, t minus x.
Das ist alles.
Beweis, dieses Ereignis wird zerlegt.
Sie sehen, das wären jetzt die Punktepaare, die Ereignisse, die liegen
alle auf dieser Diagonalen, die von links oben nach rechts unten geht,
Steigung minus 1.
Derart, dass x den Wert klein x mit positiver Wahrscheinlichkeit
annimmt und der Rest, der jetzt noch kommt, das ist formal eine
überabzehbare Vereinigung, diese Menge hat die Wahrscheinlichkeit 0.
Das sind sozusagen die restlichen Punkte auf der Diagonalen, die
können nicht angenommen werden.
Diagonale heißt jetzt, sie geht nicht durch Nullpunkte.
Das ist hier wichtig.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit x plus y gleich t ist die
Wahrscheinlichkeit von diesem ersten Ereignis, und das sind höchstens
abzählbar viele, das heißt, ich habe die Summe dieser einzelnen
Wahrscheinlichkeiten.
Das ist alles.
Den Rest brauche ich nicht betrachten, der hat die Wahrscheinlichkeit
0.
Das bleibt über.
Und wegen der Unabhängigkeit darf ich jetzt schreiben, Produkt.
Und das war schon der ganze Beweis.
Wir können das mal direkt anwenden.
Machen wir das mal.
Diese Faltungsformel, die ist manchmal nützlich.
Faltung von Gleichverteilungen.
Das heißt, hier habe ich zwei unabhängige Zufallszahlen, die sind
jeweils gleichverteilt auf den Werten von 1 bis N.
Denken Sie an den Wert N gleich 6, das bedeutet zweifacher Würfelwurf.
x ist die Augenzahl des ersten Wurfs, y die des zweiten Wurfs, N ist
6, Gleichverteilung auf den Werten von 1 bis 6.
Oder basteln Sie sich ein Dodecaeder, Geometrie, 12 Seiten, 12
-seitiger Würfel in Gänsefüßchen, dann wäre N gleich 12.
Also P von x gleich j ist in dem Fall, da Sie die gleiche Verteilung
haben, immer 1 durch N, für jedes j von 1 bis N.
Jetzt wenden wir die Formel an.
Und die Faltungsformel liefert jetzt...
Jetzt muss ich sehen, was kann die Summe nur sein?
Die Summe ist mindestens 2, denn der Wert, der jeweils angenommen
wird, ist mindestens 1.
Und jede Zufallszahl kann maximal den Wert N annehmen, es geht also
höchstens bis 2N.
Das heißt, diese Werte können angenommen werden.
Und anstelle von t schreibe ich jetzt k.
Das heißt, x plus y gleich k.
Konkret, also Augensumme nimmt den Wert k an, wenn N gleich 6 ist.
Die Faltungsformel sagt, okay, ich muss summieren.
Das sind also hier die Kombinationen.
Die habe ich jetzt, die nenne ich jetzt i und k minus i.
Und Sie sehen, das i kann nur laufen von 1 bis k.
Wir müssen flexibel sein.
t ist eine allgemeine reelle Zahl, i ist eben eine natürliche Zahl.
Und k auch.
Die sind jeweils, sind die 1 durch N.
Und nochmal 1 durch N.
Ich kann also 1 durch N² rausziehen erstmal.
Das heißt, ich kann 1 durch N² rausziehen.
Und was bleibt dann über?
Dann muss ich nur noch eine Anzahl bestimmen.
Nämlich die Anzahl dieser Paare i, j mit der Eigenschaft i plus j ist
k.
Ich muss also irgendwelche Punkte abzählen.
Diskrete Punkte, die auf dem ganzzahligen Gitter sind, zähle ich ab.
Das ist ein rein kombinatorisches Problem.
Wenn Sie das abzählen, malen Sie sich das auf, dann kommt da raus, das
kommt raus.
Ich kann es wirklich explizit angeben.
Und wir haben die Verteilung schon gehabt im Fall N gleich 6.
Ich nannte sie aus gewissen Gründen die Siedler-Verteilung.
Augensumme, das geht so hoch wie so ein Dreieck und geht wieder
runter.
Vorher aus zwei solchen Gleichverteilungen, gleichermaßen, ist sowas
geworden.
Jetzt können Sie schon ein bisschen an Faltung denken.
Eine Gleichverteilung heißt platt wie so ein Blatt.
Und dann, wenn Sie das falten, entsteht hier so eine
Dreiecksverteilung.
Das ergibt sich hier in diesem Fall.
Und das wäre dann für N gleich 6 speziell die Augensumme beim
zweifachen Würfelwurf als Ergebnis.
Okay, ich glaube wir haben hier eine gute natürliche Grenze erreicht.
Es lohnt sich nicht noch irgendwas anzufangen.
Und dann wünsche ich Ihnen eine schöne Woche.