Guten Morgen allerseits.
Sie sehen hier ein ganz frisches neues Kapitel, Pseudo-Zufallszahlen
und Simulation.
Das waren auch Stichworte, die wir in diesem Inhaltsverzeichnis
gesehen hatten, im Schulbuch.
Und ich möchte Ihnen das Wichtigste, wirklich nur das Allerwichtigste
darüber erzählen.
Zufallsvorgänge simuliert man häufig im Computer, simulieren,
nachmachen.
Das eigentliche Wort Simulare kann auch heucheln bedeuten.
Sie wissen, was ein Simulant ist.
Man heuchelt hier den Zufall quasi vor, im Computer.
Beispiel.
Die nachfolgenden Zahlen als Ergebnisse von 25 Würfeln mit einem
Zufallszahlengenerator produziert, der in Maple implementiert ist.
Und Bauspeine für diese Simulation sind sogenannte gleichverteilte
Pseudo -Zufallszahlen.
Ich werde aber das Präfix Pseudo im Vollen weglassen.
Im Computer findet kein Zufall statt.
Die Frage ist natürlich, so was ist echter Zufall?
Wie unterscheidet man Zufall von Determinismus?
Da möchte ich nicht drauf eingehen.
Es existieren Pseudo-Zufallszahlengeneratoren.
Der Wunsch ist der.
Wir sehen gleichverteilte Pseudo-Zufallszahlen.
Was hat es damit auf sich?
Es soll eine stetige Gleichverteilung, das ist hier das Neue, eine
stetige Gleichverteilung auf dem Intervall 0,1 nachgebildet werden,
simuliert werden.
Wir kennen nur eine Gleichverteilung, eine diskrete, auf endlich
vielen Werten.
Zum Beispiel eine Gleichverteilung auf den Werten von 1 bis 6.
Dann würden wir sprechen von einem echten Würfel.
Was eine stetige Gleichverteilung ist, wissen wir noch nicht.
Das kommt dann später in Kapitel 24.
Und wir möchten auch stochastische Unabhängigkeit nachbilden.
Das bedeutet, die Zahlen, die wir produzieren, sollen nicht nur
zufällig wirken, im Sinne dieser stetigen Gleichverteilung, ich
präzisiere das gleich ein wenig, aber es soll auch stochastisch
unabhängig voneinander wirken, dass sozusagen irgendwie Kenntnis von
gewissen Werten keinerlei Aufschluss ergibt über nächste Werte.
Die stetige Gleichverteilung auf diesem Einheitsintervall, die macht
folgendes, die ordnet gewissen Teilmengen von 0,1 Wahrscheinlichkeiten
zu, insbesondere den Teilintervallen, und den Teilintervallen ordnet
sie deren Länge als Wahrscheinlichkeit zu.
Zum Beispiel das Intervall von 3 Viertel bis vielleicht 1 bekommt die
Wahrscheinlichkeit 1 Viertel.
Wir werden aber sehen, dass so eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im
Sinne eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wir werden das etwas erweitern,
nicht mehr definiert werden kann auf der Potenzmenge des
Einheitsintervalls.
Das machen wir in Kapitel 24.
Hinter jedem solchen Zufallszahlengenerator steckt ein Algorithmus,
eine Rechenvorschrift, und dieser Algorithmus erzeugt eine
deterministische, das ist wichtig, eine jederzeit reproduzierbare, das
ist auch wichtig, Folge, nennen wir sie x0, x1, x2 im
Einheitsintervall.
Also wichtig ist, Determinismus, jederzeit reproduzierbar, damit Leute
vielleicht auch etwas nachvollziehen können, was ich mal vor simuliert
habe, eine Folge im Einheitsintervall.
Der Wunsch ist, dass diese Werte unabhängig voneinander und
gleichverteilt in 0,1 wirken sollen.
Das ist die Idee.
Und diese Zufallsgeneratoren, die versuchen jetzt, die diskrete
Gleichverteilung zu simulieren, und zwar auf folgender Menge, ich
nenne die Menge mal Omega-Index m, m eine natürliche Zahl, und Sie
sehen hier, das sind endlich viele Zahlen, 0 durch m, könnte ich auch
0 sagen, 1 durch m, 2 durch m, bis ich noch unterhalb der 1 bin, bis m
minus 1 durch m.
Und das Entscheidende ist, hierbei sollte m groß sein.
Zum Beispiel 2 hoch 32.
Sie sehen, man versucht, die Gleichverteilung zu simulieren, auf
endlich vielen Werten, die sehr nah beieinander liegen
und das Einheitsintervall äquidistant möglichst überdecken.
Die 0 ist mit drin, die 1 ist nicht mehr mit drin, aber der größte
Wert, der vorkommt, kann es m minus 1 durch m.
Und wenn man das wiederholt, das heißt, ich rufe jetzt diesen
Zufallszahlengenerator mehrmals auf, wenn ich so eine Zahl dann
mehrmals unabhängig wähle, in dieser Menge Omega n, erhalte ich dann
die Gleichverteilung auf dem n-fachen kathesischen Produkt, also Omega
m hoch n.
Wir haben das schon gehabt, wenn Sie so wollen, der Faktor 1 durch m
ist nur eine Skalierung.
Entscheidend ist, es wird die Gleichverteilung erzeugt auf den Werten
0, 1, 2 bis m minus 1 und dann kann ich immer den Wert durch m teilen.
Wir haben die Gleichverteilung erzeugt auf den Werten von 1 bis 6.
Ich hätte auch sagen können von 0 bis 5, indem ich einen echten Würfel
werfe.
Wenn ich das zweimal mache, bekomme ich natürlich die Gleichverteilung
auf den Paaren i, j, i und j von 1 bis 6.
Wenn ich es dreimal mache, bekomme ich die Gleichverteilung auf den
Triebeln i, j, k.
Sie sehen, das ist hier nur die Entsprechung, wenn ich das n-mal
mache.
Also, gute Generatoren müssen Tests erfüllen hinsichtlich der
Qualität, der statistischen Qualität der produzierten Zahlen.
Das hört sich jetzt alles ein bisschen wohltuend vage an.
Wir werden später auch lernen, was ein statistischer Test ist.
Und ich möchte da auch nicht weiter darauf eingehen.
Das Entscheidende ist, ich möchte Ihnen einen Generator vorstellen,
der auch in Maple implementiert ist, weil Sie auch mit Maple arbeiten.
Das ist der sogenannte lineare Konkurrenzgenerator.
Was macht der?
Der benötigt nicht negative ganze Zahlen.
m Das wird eine große Zahl sein, die nennt sich Modul.
Wir rechnen hinterher Modulo m.
Dann ein a.
a ist ein Faktor.
b wird Inkrement genannt.
Da wird auch irgendwie noch was addiert.
Zuwachs.
z0 ist ein Anfangsglied.
Ich muss festlegen, wie der Algorithmus starten soll.
Das soll m-1 sein.
Wenn das festgelegt ist, dann verwendet er ein iteratives Schema und
das Schema sieht so aus.
zj plus 1 ist Konkurrent.
a mal zj plus b Modulo m.
Für jedes j größer gleich 0.
Sie sehen, wenn hier m festgelegt ist, a und b festgelegt sind und z0,
dann kann ich sofort z1 ausrechnen.
Wir machen auch gleich ein konkretes Zahlenbeispiel.
Und da immer Modulo m gerechnet wird, kommen nur die Reste raus beim
Teilen durch m.
Ganzzahlige, nicht negative.
Es können nur Zahlen rauskommen.
0, 1, 2, 3 und so weiter bis m-1.
Nur das kann rauskommen.
Ich möchte natürlich Zahlen im Einheitsintervall haben und ich sagte
es eben schon.
Ich muss dann dividieren.
Die eigentlichen xj erhalte ich, indem ich diese zj durch m
durchdividiere.
Dann habe ich die Folge x0, x1 und so weiter im Einheitsintervall.
So läuft das ab.
Machen wir ein Zahlenbeispiel.
Das ist das Memo.
Das ist also dieses Schema.
Und xj ist dann so definiert.
Machen wir mal als Beispiel.
Modul m gleich 100 und wir setzen mal den Faktor a zu 18.
Das Inkrement soll 11 sein und der Anfangswert 40.
So, was sagt jetzt das Schema?
Es sagt, bilde jetzt a mal z0.
Z1 ist also Konkurrent.
Faktor ist a, ist 18.
18 mal 40 plus 11.
18 mal 40 sind 720 plus 11 ist 731.
Und das ist natürlich Konkurrent, wenn ich jetzt durch 100 teile, habe
ich noch einen Rest von 31.
Das heißt, Sie sehen, z1 ist 31.
Ganz konkret.
Jetzt müssen wir mit der 31 reingehen.
Gleiches Schema.
Statt der 40 steht jetzt die 31.
18 mal 31 plus 11.
Wenn Sie das ausrechnen, kommt 569 raus.
Bilden Sie wieder den Rest.
Beim Teilen durch 100 ist 69.
Kommt 69 raus.
Mit 69 gehen Sie wieder ins Schema rein.
Müssen rechnen.
Das ergibt 1253.
Und jetzt betrachten wir den Rest.
Da bleibt noch 53 über beim Teilen durch 100.
Mit der 53 gehen Sie rein.
Wir können das so weitermachen, kommt 165 raus.
Wieder beim Teilen durch 100 haben Sie den Rest 65.
Wenn Sie das nochmal machen, mit der 65 reingehen, da bleibt jetzt der
Rest 81 beim Teilen von 1181 durch 100.
Und nochmal, dann kommen Sie auf 69.
Und jetzt ist interessant, Sie sehen, diese 69, die gab es schon mal.
Die gab es da und die haben wir jetzt wieder.
Wenn wir mit der 69 reingehen, können wir nichts Neues mehr bekommen.
Das heißt, wir halten.
Ich teile ja immer dann durch M, durch 100.
Das heißt, wir starten mit dem Z0.
Z0 war 40.
40 durch 100 ist 0,4.
Unser Z1 war 31.
31 durch 100 ist 0,31 und so weiter.
Dann haben wir 69.
Wir haben 0,69.
Dann 53 durch 100 sind 0,53.
65 durch 100 sind 0,65.
Dann 81 durch 100 ist 0,81.
Und dann haben wir wieder 0,69.
Das bedeutet, das ist gleich X2.
Sie sehen, es würde weitergehen.
Die nächste Zahl, es ist ja alles deterministisch, wäre wieder 53
durch 100 0,53.
Das bedeutet, der Generator, dieser läuft schon nach ganz wenigen
Schritten in die Periode 4.
Da können Sie also jetzt erstmal gar nicht viele Zahlen mit erzeugen
und das ist natürlich unbefriedigend, äußerst unbefriedigend.
Erstmal erkennt man, M sollte sehr groß sein, damit ich überhaupt die
Chance habe, möglichst viele verschiedene Zahlen zu erzeugen.
Ich muss vielleicht mal eine große Simulation machen und brauche
Tausende oder Hunderttausende oder Millionen von Pseudo-Zufallszahlen.
Das ist alles möglich.
Also das ist nochmal das Memo hier.
Jetzt werde ich kurz das ausradieren.
Und das ist das XJ.
Folgendes.
Zu beachten, das dachte ich eben schon, wir können nur maximal M
-Zahlen erzeugen, nämlich die Zs nehmen nur diese Werte an und die Xen
sind nur eine Skalierung.
M sollte sehr groß sein, aber die maximale Periodenlänge, die dann M
sein kann, wird, es gibt jetzt eine sehr schöne Bedingung, wenn das
Inkrement mindestens 1 ist, wird genau dann erreicht, wenn gilt.
Und das hat mit Stochastik nichts zu tun.
Das hat das mit Zahlentheorie zu tun.
B und M sind teilerfremd.
Jede Primzahl, interessante Bedingung, die M teilt, teilt auch A-1,
also Faktor minus 1.
Und ist M durch 4 teilbar, so ist auch A-1 durch 4 teilbar.
Und diese drei Bedingungen sind notwendig und hinreichend, damit man
mit so einem Generator die maximale Periodenlänge erreicht.
Und da gibt es Literatur, gibt es dort einen Papst, der Herr Knuth,
der dort gewirkt hat, insbesondere hat er maßgeblich mitentwickelt ein
mathematisches Textverarbeitungssystem, nachdem zum Beispiel alle
diese Folien entstehen oder entstanden sind und noch weiter entstehen.
Donald Knuth.
Die Art of Computer Programming, Sie sehen dort bei 2, dritte Auflage,
und da findet man das sogar recht früh, aber es hat mit Stochastik
nichts zu tun.
Sie sehen, es gibt Bedingungen an die...
an B und A und M.
Ja, grundsätzlich sollte M wesentlich größer sein als die Zahl der
benötigten Zufallszahlen.
Und das könnte man jetzt erstmal allgemein sagen.
Eine prinzipielle Schwäche dieser Konkurrenzgeneratoren ist folgendes,
wenn Sie das Schema sich ansehen, was wir hatten, A mal ZJ plus B, die
nächste Zahl ist eben A mal ZJ plus B, wenn Sie nicht Modulo rechnen
würden, dann würde das bedeuten,
den Koordinaten ZJ und ZJ plus 1 liegt auf einer Geraden.
Die Geradengleichung ist Y gleich AX plus B.
Und das iterieren Sie.
Jetzt rechnen Sie Modulo M.
Da entstehen dann parallele Geraden.
Etwas anschaulich gesprochen.
Aber das entscheidende ist, der Nachteil ist eine prinzipielle
Gitterstruktur.
Das heißt, für jedes D größer gleich 2, also schon in der Ebene für D
gleich 2, liegen die Vektoren, ich habe die jetzt mal abgekürzt, XJ,
habe ich den mal genannt, das ist nicht auf Ihrem Handout nur die
Abkürzung, sondern etwas fettes XJ, liegen auf einem Gitter.
Ich erkläre das jetzt hier kurz.
Auf dem Handout haben Sie dort eine ganze Folie.
Ich habe das versucht, etwas zu raffen.
Gitter heißt, dass XJ, dieser Punkt, ergibt sich immer aus dem
Anfangspunkt X0.
Und jetzt kommt dazu, bis auf eine Skalierung, die Skalierung ist 1
durch M, was jetzt kommt, ist eine ganzzahlige Linearkombination von D
linearunabhängigen Vektoren, die alle auch nicht negative, ganzzahlige
Komponenten haben.
Das ist hier das, was ich eingefügt habe und genauer ausgeführt ist
das auf einer weiteren Seite, die Sie im Handout haben.
Ich will Ihnen das mal hier zeigen, an einem Bild.
Sie sehen, das sieht nicht besonders nach Zufall aus.
Das sind eben die 256 Punkte, Pseudo-Zufallspaare.
Sie sehen dort unten X0, X1, dann X1, X2 und so weiter bis X255, X256
des Generators.
Da ist der Modul 256.
Sie sehen, der Faktor ist 25, Inkrement ist 1 und Z0 gleich 1.
Sie können das mit dieser Angabe auch direkt alles nachvollziehen.
Indem Sie das mal selbst vielleicht nachrechnen und sehen, bekomme ich
auch dann dieses Bild, kann ich das auch erzeugen.
Sie sehen, das ist eine prinzipielle Schwäche.
Natürlich, wenn das M wesentlich größer ist, dann fällt das erstmal
nicht so auf.
Das bedeutet, dieser Gitter-Effekt wird kaum sichtbar, wenn bei großem
N relativ wenige Punktepaare geplottet werden, hier zum Beispiel.
Da ist das M wesentlich größer.
Sie sehen dort in der letzten Zeile, da steht M gleich 2 hoch 24.
Das sind 250 Pseudo-Zufallspaare.
Wenn es hier immer weitergehen würde, würde sich auch hier die
Gitterstruktur herausstellen, die jetzt natürlich ein bisschen feiner
wäre.
Das M ist wesentlich größer.
Das ist ein prinzipieller Nachteil, aber andere Generatoren haben auch
Nachteile, es gibt auch andere.
Das Entscheidende ist immer, dass man vorsichtig damit umgeht.
Und wenn Sie jetzt Zufallsexperimente simulieren wollen, dann geht das
folgendermaßen.
Wir hatten, wenn Sie sich erinnern, ein Experiment gehabt, was über
die Bernoulli-Kette hinausging.
Nämlich, dass wir gesagt haben, bei jedem Versuch, was das auch immer
ist, haben wir S verschiedene Ausgänge.
Trefferersterart, Trefferzweiterart, Trefferersterart, die haben
bestimmte Wahrscheinlichkeiten.
Und das kann ich in unabhängiger Folge wiederholen, N mal.
Und wenn ich die einzelnen Trefferarten zähle, entsteht eine
Multinomialverteilung.
Eine wichtige Verteilung.
Hier möchten wir so ein Experiment mal simulieren.
Das soll mit Wahrscheinlichkeit PJ gerade den Ausgang J haben.
J läuft von 1 bis S.
S mögliche Ausgänge.
Die Summen der Wahrscheinlichkeiten sollen 1 sein.
Und die Idee ist ganz einfach die, wenn hier die Gleichverteilung im
Einheitsintervall produziert wird, dann soll ja die Wahrscheinlichkeit
gleich der Intervalllänge sein, wenn ich einen Teilintervall vorgebe.
Das bedeutet, ich erzeuge die Pseudozufallzahl X und diese P's liefern
mir eine Zerlegung des Einheitsintervalls.
Nämlich ich stelle einfach nur fest, in welchem der Intervalle, wir
sehen das Erstintervall geht von 0 bis P1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Gleichverteilung im
Einheitsintervall einen Wert annimmt in diesem Intervall, das hat die
Länge P1, ist gerade P1.
Es kommt nicht darauf an, ob die Grenze drin ist, das P1 oder nicht.
Die Länge des Intervalls ist das egal.
Ein einzelner Punkt hat die Länge 0.
Anschaulich.
Sie sehen, das Intervall, das stößt direkt an, P1, geht dann bis P1
plus P2, hat die Länge P2.
Und so weiter.
Und ganz am Ende habe ich noch ein Intervall.
Sie sehen, der linke Endpunkt ist P1 plus Ps-1, aber da die Summe
aller Ps gleich 1 ist, ist das nichts anderes als 1-Ps.
Das Intervall von 1-Ps bis 1 hat die Länge Ps.
Ich stelle fest, in welchem der Intervalle liegt das x und dann sage
ich ganz einfach, liegt das x im Intervall mit dem rechten Endpunkt P1
plus Pj, so hat das Experiment den Ausgang j.
Das ist hier eine einfache Möglichkeit, sowas festzustellen.
Speziell die Gleichverteilung, ein Laplace-Experiment mit den
Ausgängen 1 bis S, speziell für S gleich 6, Würfelwurf mit einem
echten Würfel.
Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich.
Und in dem Fall ist diese, ist natürlich die Intervallgrenze P1 und so
weiter plus Pj, ist nichts anderes als j durch S, die rechte
Intervallgrenze.
Und in das Intervall zu fallen ist diese Bedingung.
Das heißt, hier hat das Experiment den Ausgang j, wenn das erfüllt
ist.
Und das können Sie, wenn Sie das hochmultiplizieren, sehen Sie, dass
es gleichbedeutend damit, dass das j sich ergibt als x mal s
Gaussklammer plus 1.
Das ist wirklich gleichbedeutend.
Jetzt könnten Sie damit sehr einfach einen Würfelwurf simulieren, aber
Maple stellt nicht nur diese Pseudo gleichverteilten Zufallszahlen
bereit, sondern auch mit anderen Befehlen direkt die Gleichverteilung
auf einer endlichen Menge.
Sie können dort auch direkt würfeln mit Maple.
Also das wäre das Würfeln mit Maple als Beispiel.
Maple, da ist folgender Generator eingebaut, oder er war es zumindest,
das sind meine Informationen, die ich noch habe.
Sie sehen dort m gleich 10 auf 12 minus 11, das ist der Faktor.
Inkrement ist 0, das bedeutet, dieser Konkurrenzgenerator ist rein
multiplikativ.
a mal zj und b ist 0, also a mal zj Modulo m.
Wird nichts mehr addiert.
Z0 ist 1, der Anfangswert, und wenn man dann die ersten Pseudo
-Zufallszahlen damit erzeugt, kommt das raus.
Wenn Sie jetzt die Transformation machen wie eben, dann erhalten Sie
die Würfelwürfe, 6x plus 1, und dann erhalten Sie diese Augenzahlen.
Das Entscheidende sind eben diese Zahlen oben drüber, die wirklich
wirken als sehr genau gemessene Zahlen im Einheitsintervall.
Wir werden uns später mit dem idealen Modell einer stetigen
Gleichverteilung beschäftigen.
Also gibt es ein Modell, anschaulich für die rein zufällige Wahl eines
Punktes aus dem Einheitsintervall.
Das Einheitsintervall ist natürlich eine überabziehbare Menge.
Was heißt rein zufällige Wahl eines Punktes?
Wir müssen das präzisieren.
Das wären diese 12 Würfelwürfe.
Okay, das sollte Ihnen wirklich nur einen ganz kleinen Einblick geben
in Pseudo-Zufallszahlen und Simulation.
Vielleicht noch als Ergänzung ein sehr interessanter Pseudo
-Zufallszahlen -Generator sind die Nachkommastellen von Pi.
Da sind jetzt, die können Sie kaufen, gibt es auf CD-ROM.
Und es gibt auch Möglichkeiten, wenn Sie mal vielleicht später mit
Ihrer Klasse ins Mathematikum fahren, nach Gießen, ins
Mathematikmuseum, dann können die Kinder ihren Geburtstag eingeben,
dann wird geguckt, ob diese Zahlenfolge in den Nachkommastellen von Pi
enthalten ist.
Solche Dinge.
Pi ist wirklich ein wunderbarer Pseudo-Zufallszahlen-Generator.
Die Nachkommastellen, also 3, dann 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, das heißt, die
wirken wirklich wie rein zufällig und unabhängig auf den Werten von 0
bis 9.
Die Dezimalstellen.
Hat alle Tests bestanden, die ein guter Pseudo-Zufallszahlen-Generator
bestehen muss.
Gut, also das wäre hierzu Pseudo-Zufallszahlen und Simulation.
Und ich möchte jetzt kommen zu einigen Kapiteln, zur Statistik.
Sie wissen, der Stochastik-Unterricht im Gymnasium steht unter den
Leitideen Daten und Zufall.
Wir haben uns jetzt mit Zufall beschäftigt, hier auch mit Pseudo
-Zufall, mit Simulation, ein wenig.
Und ich möchte in einem einführenden Kapitel auf die sogenannte
Beschreibende, die Deskriptive-Statistik eingehen.
Es kommen viele Begriffe vor.
Sie werden sehen, vieles, was hier vorgeführt wird, können Sie schon
in der Mittelstufe machen.
Das kann man teilweise schon in der Grundschule machen, wenn man
zählen kann, sortieren und ähnliches mehr.
Und die Deskriptive-Statistik, erstmal ist die Frage, wo kommt das
Wort her?
Das Wort Statistik kommt vom italienischen Statista, oder Statista,
der Staatsmann.
Und wenn Sie das Wort hören, oder wenn man das Gemeinen hört, dann
denkt man vielleicht an Dinge wie Außenhandelsstatistiken.
Ich habe Ihnen jetzt mal was aufgelistet.
Bevölkerungsstatistiken, Wahlstatistiken, Arbeitslosenstatistiken,
Insolvenzstatistiken, Betriebsstatistiken, Schadenstatistiken,
Krebsstatistiken, Einkommensstatistiken und so weiter.
Kriminalitätsstatistiken, Polizeistatistiken.
Was ist das Gemeinsame hiervon?
Das Gemeinsame sind aufbereitete Daten, Lateinisch Datum, das
Gegebene, aber die Daten werden auch dargestellt, es gibt Tabellen, es
gibt vielleicht auch mal mehr oder weniger gute Grafiken, und zwar aus
ganz unterschiedlichen Bereichen.
Das ist das Gemeinsame.
Wir werden später sehen, dass das Wort Statistik auch gerade in der
mathematischen Statistik, die wir dann betreiben, noch anders
verwendet wird, aber das assoziiert man gemeinhin mit Statistiken, und
Sie kennen vielleicht solche Sprüche, glauben die einer Statistik, die
du nicht selbst gefälscht hast, und solche Sachen.
Was ist der Ursprung dieser Statistik, insbesondere der Beschreibung,
der Deskriptiv?
Und wenn Sie ein wenig nachlesen wollen, es sind jetzt nur Stichworte.
Es gibt einmal, in der Geschichte gibt es die sogenannte
Universitätsstatistik, die wurde unter anderem von Hermann Conring,
der hatte eine Professur in Helmstedt vertreten.
Die Wissenschaft und Lehre von den Staatsmerkwürdigkeiten, und zwar
merkwürdig im positiven Sinne, was des Merkens würdig ist, was eben
ein Staatsmann wissen sollte.
Staatskunde, in dem Zusammenhang auch.
Gottfried Achenwal, der hatte eine Professur in Göttingen.
Dann gab es die politische Arithmetik, die wurde insbesondere in
England vertreten, John Grant und William Petty.
Da ging es aber schon, auch darum, denken Sie mal an so etwas wie
Sterbetafeln.
In Deutschland gab es dann Edmund Helley, der hatte das im Breslau,
der Sterbetafeln auch erstellt.
Wir haben so etwas mal gesehen, solche Sterbewahrscheinlichkeiten, wo
auch versucht wurde, aus Daten schon Schlüsse zu ziehen, auch wie
Handlungsanweisungen dann vielleicht erfolgen könnten.
Die amtliche Statistik, die gab es schon im Altertum.
König Herodes hat schon eine Volkszählung gemacht.
Maria und Josef mussten sich einfinden und im alten Ägypten, auch
Pyramidenbau, die Leute wurden herangezogen, je nach ihrem Einkommen.
Das war schon immer ein Interesse des Staates, zu wissen, wo die Leute
wohnten und was sie vielleicht für ein Einkommen haben, wie viele es
sind.
Die amtliche Statistik, die ist in Deutschland institutionalisiert,
seit 1950 im Statistischen Bundesamt in Wiesbaden.
Wenn Sie mal auf die Seite gehen, da gibt es auch viele Daten.
Und es gibt noch 14 Statistische Landesämter in Deutschland.
Grobe Einteilung der Statistik.
Einmal die beschreibende und dann die schließende, die induktive
Statistik.
Und die schließende Statistik, die würde gern aus Daten, die sie hat,
ganz einfach mehr aussagen.
So ein typischer Fall ist der, wenn ich ungefähr 1250 Leute befrage,
wie das in einer Sendung des öffentlich-rechtlichen Fernsehens gemacht
wird, über ihr Wahlverhalten.
Und wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre.
Dann sieht man irgendwas und fragt sich natürlich, die haben ja nur
jetzt 1250 ungefähr befragt, das wissen die wenigsten auch, dass es
ungefähr so viele sind.
Und dann ist natürlich die Frage, wie genau ist denn das, was ich dort
sehe.
Die wollen ja schließen auf alle.
Wir sollen ja suggeriert bekommen, das trifft jetzt für die
Gesamtbevölkerung zu.
Nun, Sie sehen, das ist ein typischer Fall von schließender,
induktiver Statistik.
Man sollte wissen, die schließende Statistik verwendet Modelle der
Wahrscheinlichkeitstheorie.
Hier schließt sich der Kreis.
Und ich habe hier noch was ergänzt gegenüber Ihrem Handout, nämlich
die mathematische Statistik.
Die entstand ab circa 1900.
Der Chi-Quadrat-Test, der später kommt, der dort auch in dem
Inhaltsverzeichnis stand, beim Schulbuch, der entstand im Jahr 1900.
Der wird heute von Finanzämtern zum Beispiel bei der Prüfung von
Betrieben routinemäßig angewendet.
Das ist eben hier dann die mathematische Statistik.
Und der Begriff Statistik eigentlich im Sinne von aus Daten,
vielleicht Daten gut zu analysieren und Schlüsse zu ziehen, der
entstand ab ungefähr 1800.
Also ein Jahrhundert vorher.
Und dann die mathematischen Verfahren dafür wurden dann entwickelt.
Ja, grob ab 1900.
Okay.
So jetzt wird es, wie ich schon am Anfang angedroht habe, etwas
wohltunwage.
Untersuchungseinheiten und Merkmale.
Es gibt statistische Untersuchungen, man nennt die manchmal auch
Erhebungen, insbesondere wenn Sie denken an Volksbefragungen oder auch
Teilbefragen oder Meinungserhebungen, Meinungsforschungsinstitute.
Vielleicht sind Sie auch schon mal angerufen worden.
Man spricht dann von Erhebungen.
Man hat dann geeignete Untersuchungseinheiten, Beobachtungseinheiten,
Versuchseinheiten.
Das ist alles synonym und vielleicht je nach konkretem Fall trifft das
eine oder das andere mehr oder weniger gut zu von der Bezeichnung her.
Denken Sie zum Beispiel daran, von Interesse könnten sein Vier
-Personen -Haushalte, das könnte eine Untersuchungseinheit sein.
Ein Vier-Personen-Haushalt in Deutschland oder in einer bestimmten
Stadt.
Man stellt dann fest, die Werte von einem oder von mehreren Merkmalen,
für so einen Vier-Personen-Haushalt könnte ein Merkmal sein,
Stromverbrauch, jährlicher Stromverbrauch in Kilowattstunden.
Oder das Einkommen, das Jahreseinkommen.
Oder beides.
Bei Volkszählungen, auch bei Stichproben, Mikrozensus werden ja
gewisse Dinge abgefragt.
Könnte eine Untersuchungseinheit sein, es könnte aber auch ein
Versuchstier sein.
Sie können jetzt für oder gegen Versuchstiere sein, aber das wird sich
nicht gänzlich ausschließen lassen.
Dort sollte natürlich wirklich versucht werden, möglichst sparsam zu
sein, sich gut zu überlegen, was man dort wirklich macht.
Aber in der Vorstufe, jetzt auch für Arzneimittelforschung, ist
natürlich die Frage, wollen sie das gleich an Menschen ausprobieren.
Das sind einfach Dinge, die man sich sehr gut überlegen muss.
Das hat auch ethische Aspekte.
Auch Datenerhebungen, was sie machen.
Ein Merkmal ist die zu untersuchende Größe dieser Beobachtungseinheit.
Bei uns wird ein Merkmal dann modelliert durch eine Zufallsvariable.
Und Werte, die von Merkmalen angenommen werden, die nennt man
Merkmalsausprägungen, für uns werden das dann die Realisierung sein.
Sie sehen, Sie müssen jetzt mit diesen Begriffen, die einfach dann
gängig sind, umgehen können.
Sie müssen sie erstmal kennenlernen, aber Sie sollten keine Angst
davor haben.
Also hier eine Tabelle, Untersuchungseinheit, Merkmalausprägung.
Machen wir ein paar Beispiele.
Es könnte die Untersuchungseinheit ein Baum sein und das Merkmal
könnte erstmal sein die Baumart.
Klassifikation.
Eiche, Buche, Fichte, Lerche, sonst was.
Es könnte aber die Untersuchungseinheit der gleiche Baum sein, aber
das Merkmal, was interessiert, ist vielleicht die Schadstufe beim
Befall mit Schädlingen.
Und da gibt es Zahlen, wenn Sie so wollen, eine Rangfolge 0 würde
heißen kein Befall und 4 sehr starker Befall.
Da gehen jetzt Experten ran und gucken sich das an und haben
untereinander vielleicht festgelegt, was Stufe 0 heißt, was Stufe 1
heißt, was Stufe 2 heißt, 3 und 4.
Ob dann zwei gleiche Experten beim gleichen Baum auch immer zur
gleichen Einstufung kommen, ist eine ganz andere Frage.
Also wie genau dann irgendwelche Daten sind, das ist eine Frage, die
man auch immer natürlich sehen muss, aber die jetzt hier nicht weiter
diskutiert werden soll.
Denken Sie an Schulnoten.
Das ist typisch auch so ein Fall.
Was heißt jetzt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6?
Das ist hier ähnlich einzusortieren wie so eine Schadstufe.
Neugeborenes könnte die Untersuchungseinheit sein.
Immer wenn eine Geburt stattfindet, werden Dinge festgestellt.
Das Geschlecht zum Beispiel.
Aber die Größe in Zentimetern und die wird gemessen, soweit mir
bekannt ist, bis auf einen halben Zentimeter genau.
Natürlich können Sie immer sagen, je nachdem wie ruhig das Neugeborene
in dem Augenblick ist, streckt man es dann, was macht man, wie genau
ist das?
Aber so wird es angegeben.
Ganz einfach.
Die Größe könnten noch andere Dinge interessieren.
Eine arbeitslose Person.
Erstmal die Frage, was ist das?
Das ist in unterschiedlichen Ländern völlig unterschiedlich definiert.
In manchen Ländern ist man vielleicht per Definition nicht mehr
arbeitslos, wenn man ein gewisses Alter erreicht hat, in anderen
Ländern nicht.
Das heißt, wenn Sie Arbeitslosenzahlen aus verschiedenen Ländern
vielleicht sehen, müssen Sie immer sagen, okay, über was reden wir?
Äpfel und Bieren?
Oder wie ist es eigentlich genau definiert?
Gut, es könnte hier das Merkmal vielleicht der Schulabschluss sein,
keiner.
Sonderschule, Hauptschule, Realschule, Gymnasium, vielleicht noch
weitere Schulformen.
Was hier angedeutet werden soll, ist natürlich auch eine Rangfolge.
Also Bildung steigt, und das heißt, man will jetzt vielleicht dann
auch bei soziologischen Untersuchungen Zusammenhänge feststellen.
Vollzeiterwerbstätige Person, was das auch immer ist.
Seien Sie immer kritisch bei allem, was Sie lesen.
Bruttoeinkommen könnte das sein, im letzten Jahr.
Vielleicht auf ganze Euro gerundet.
Zu guter Letzt, Betonwürfel, da könnte vielleicht die Druckfestigkeit
in 0,1 Newton pro Quadratmillimeter sein, also kleine Fläche.
Das könnten hier vielleicht mögliche Werte sein, also auf ganze 0,1
Newton, also Vielfache von 0,1 Newton pro Quadratmillimeter gerechnet.
Ja, es gibt eine Grobeinteilung.
Grobunterscheidung von Merkmalen, nämlich einmal Quantitative und
einmal Qualitative.
Sie sehen dort nur einen einzigen Buchstaben, der unterschiedlich ist.
Das N wird durchs L ersetzt.
Quantitativ, Qualitativ.
Quantität, da messen wir, zählen wir.
Das heißt, quantitative Merkmale sind in natürlicher Weise zahlenmäßig
erfassbar.
Und qualitative sind artmäßig erfassbar.
Wenn Sie zum Beispiel dort oben sich das ansehen, die Baumart, ist
natürlich nicht in natürlicher Weise zahlenmäßig erfassbar, sondern
ist ein rein qualitatives Merkmal.
Auf der anderen Seite, die Größe, wenn Sie irgendwas messen, oder Sie
messen jetzt eine Druckfestigkeit, Mess- und Zählvorgänge, die sind
natürlich quantitativ erfassbar.
Bei den quantitativen Merkmalen unterscheidet man grob zwischen
diskreten Merkmalen und stetigen.
Bei diskreten sind die Ausprägungen isolierte Zahlenwerte und bei
stetigen ist prinzipiell jeder Wert in einem Intervall möglich.
Also Messvorgänge, denken Sie an Temperatur, sind prinzipiell stetige
Merkmale.
Hier die Größe eines Neugeborenen im Prinzip ein stetiges Merkmal.
Wenn aber hier gesagt wird, wir messen nur auf einen halben Zentimeter
genau, könnten Sie das deuten als ein diskretisiertes stetiges
Merkmal.
Eigentlich ist es stetig, aber dadurch, dass eben auf einen halben
Zentimeter nur genau gemessen wird, sind das äquidistante Werte, die
sich immer nur um 5 mm unterscheiden.
Wichtig ist auch hier, dass man erkennt, später werden wir gewisse
Vorgänge durch sogenannte stetige Zufallsvariablen modellieren und
jedes Modell ist immer nur ein Versuch, die Wirklichkeit möglichst gut
wiederzugeben.
Nur ein Versuch.
Es gibt den Spruch, kein Modell trifft zu, ganz genau.
Es ist immer nur ungefähr.
Bei qualitativen Merkmalen, die eben artmäßig erfassbar sind, gibt es
einmal die nominalen.
Da klassifiziert man nach rein qualitativen Gesichtspunkten.
Sehen Sie oben Eiche, Buche zum Beispiel.
Aber bei ordinalen Merkmalen hat man eine natürliche Rangfolge.
Man versucht das dann auch durch Zahlen oft zu beschreiben.
Die Ausprägung, die weisende Rangfolge auf zum Beispiel beim Baum, bei
der Schadstufe.
Wenn natürlich hier genau zählen könnten, die Schädlinge, aber es ist
gar nicht machbar.
Da müssen Sie quasi den Baum fällen, irgendwo hinbringen und isolieren
und dann alles zählen, dann ist der Baum auch kaputt.
Können Sie vielleicht genau die Schädlinge zählen von irgendeinem Typ.
Oder denken Sie an die Schulnote.
Oder denken Sie an bei der arbeitslosen Person.
Keiner, Sonderschule, Hauptschule, Realschule, Gymnasium.
Das ist so ein typischer Fall, wo man eine Rangfolge hat.
Könnte natürlich versuchen, auch Zahlenwerte zuzuordnen.
Aber allein sowas wie dann Mittelbildung, denken Sie an
Notendurchschnitt.
Man kann darüber nachdenken, ob das überhaupt sinnvoll ist, sowas zu
machen.
Von Schulnoten einen Durchschnitt zu bilden.
Also hier kann man lange darüber diskutieren, aber es hat wenig mit
Mathematik zu tun.
Das muss man auch wieder sehen.
Es ist natürlich die Querverbindung der Statistik zum täglichen Leben.
Zwei Begriffe, Grundgesamtheit und Stichprobe.
Das Wort Stichprobe kommt übrigens her, wenn Sie bei der
Stahlproduktion im Hochhof, den Hochofen, die Schmelze anstechen.
Dann nehmen Sie eine Probe.
Sie stechen an, die Schmelze und untersuchen die Probe.
Daher kommt das Wort Stichprobe.
Also Grundgesamtheit.
Population wird auch oft gesagt.
Was ist das?
Eine Menge von Untersuchungseinheiten, über die man hinsichtlich eines
oder auch mehrerer interessierender Merkmale eine Aussage machen
möchte.
Diese Grundgesamtheit, ich nenne sie mal kurz GG, ist die Menge aller
denkbaren Untersuchungseinheiten.
Und jetzt kommt es, die kann endlich oder unendlich groß sein,
eventuell auch nur fiktiv.
Alle vier Personenhaushalte in ganz Deutschland zu einem gewissen
Stichtag ist eine große, endliche Grundgesamtheit.
Über die eine Aussage zu machen würde bedeuten, wirklich alle, die zu
befragen, zu irgendwas und auch hoffen, dass man ehrliche Antworten
bekommt.
Wir können natürlich versuchen, dort eine Teilmenge auszuwählen und
aufgrund der Daten, die Sie von dieser Teilmenge haben, auf die
gesamte Grundgesamtheit zu schließen.
Das ist der Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit.
Wir werden gleich noch ein interessantes Wort dazu kennenlernen.
Also da haben Sie eine endliche Grundgesamtheit.
Wenn Sie aber zum Beispiel ein neues Futtermittel für Kälber
entwickeln, dann testen Sie das natürlich an irgendwelchen Kälbern
aus, aber eigentlich würden Sie das gern...
gedanklich können Sie das schon testen an Kälbern, die noch gar nicht
existieren.
Sollen ja auch im nächsten Jahr geborene Kälber das Futtermittel
bekommen.
Zum Teil fiktiv oder auch zum Teil beliebig groß.
Die Festlegung ist nicht immer einfach.
Zum Beispiel, was ist ein Arbeitsloser?
Und die Stichprobe ist eine zufällig gewonnene, das ist wichtig,
endliche Teilmenge aus einer Grundgesamtheit.
Und wenn die N Elemente hat, spricht man auch von einer Stichprobe vom
Umfang N.
Es gibt dort einen interessanten Begriff, dessen suggestive Kraft
manchmal kaum irgendwie im Zusammenhang zur inhaltlichen Lehre steht.
Wenn Sie von einer repräsentativen Stichprobe hören, dann sollten Sie
eigentlich mal nachfragen, wenn Sie nicht wissen, was das bedeutet.
Also wofür soll die Stichprobe repräsentativ sein?
Ihnen wird vielleicht gesagt, in einer Sendung des öffentlich
-rechtlichen Fernsehens, die sei repräsentativ für die
Gesamtbevölkerung.
Nun, wenn Sie dann näher nachfragen, dann wird gesagt, naja, wie
kommen Sie denn an die Daten?
Ja, wir rufen die Leute an.
Nun also, wenn Sie die Leute anrufen, bedeutet das prinzipiell, kann
niemand erreicht werden, der keinen Telefonanschluss hat.
Es mögen jetzt vielleicht relativ wenige sein, sollte man erst mal
sich Gedanken machen.
Und diejenigen, die das vielleicht sind, haben vielleicht eine ganz
bestimmte Einkommensstruktur.
Und von dieser Einkommensstruktur her neigen sie vielleicht gewissen
politischen Gruppierungen stärker zu als anderen.
Also man kann über die Dinge wirklich diskutieren.
Das ist eine repräsentative Stichprobe.
Und wir werden später bei Schätzungen von insbesondere Parametern
werden wir den Begriff erwartungstreu kennenlernen, der in dem
Zusammenhang auch eine Rolle spielt.
Aber seien Sie vorsichtig.
Fragen Sie immer nach, seien Sie kritisch.
Zum Beispiel soll folgendes passiert sein, nach Ende des Zweiten
Weltkrieges wollte eine der Besatzungsmächte dokumentieren, dass die
deutsche Bevölkerung gar nicht unterernährt sei und hat irgendwo in
einer Innenstadt in der Nähe des Hauptbahnhofs oder direkt am
Hauptbahnhof eine Waage aufgestellt mit einem Doppel-A, dass man sich
wiegen lassen konnte und hat die Leute, die vorbeikamen, dort gewogen.
Und die Ergebnisse, die dann rauskamen, Zeichnen, es war eigentlich
alles in Ordnung, aber natürlich, wer ist nicht erfasst worden, war
die Stichprobe repräsentativ.
Man hat sicherlich nicht diejenigen erfasst, die erstmal irgendwo
krank und schwach im Bett lagen und großen Hunger hatten und
vielleicht unterernährt waren prinzipiell.
Man hat auch nicht die erfasst, die irgendwo vor lauter Not beim
Bauern auf dem Feld Kartoffeln klauen.
Ich meine, wer geht dann eben am helllichten Tag irgendwo in der
Innenstadt am Bahnhof vorbei?
Das heißt, man muss sich immer Gedanken machen, wie bin ich an Daten
gekommen, an eine Stichprobe und vielleicht gibt mir diese Stichprobe
ein verzerrtes Bild.
Auch das hat nichts mit Mathematik zu tun, es hat mehr zu tun mit dem
gesunden Menschenverstand.
Über was möchte ich eine Aussage machen?
Und wie bin ich eigentlich dann an die Daten gekommen?
Jetzt wird es etwas mathematischer, aber ganz elementar.
X1 bis Xn sei die Stichprobe eines Merkmals X und zwar seien das
reelle Zahlen.
Jetzt in Zukunft, bei diesem Beispiel, nimmt X immer reelle Zahlen an,
Stichprobe vom Umfang n.
Und jetzt werden hier Begriffe vorgestellt, zum Beispiel empirische
Häufigkeitsverteilung, Stabdiagramm, Kreisdiagramm, das haben Sie alle
schon mal gesehen und Sie werden gleich auch Bilder sehen, die Sie im
letzten Jahr zum Beispiel gesehen haben.
Merkmal.
Es habe mögliche Ausprägungen.
Also in diesem Fall muss ich mich ein bisschen korrigieren, hier ist
durchaus möglich, dass das Merkmal auch rein qualitativ ist.
Stellen Sie sich vor, diese A1, A2 sind ganz einfach Automarken.
A1 könnte jetzt irgendeine Marke sein, A2 irgendeine Marke.
Jetzt könnte man vielleicht auf der Straße sein und Autos fahren
vorbei und man klassifiziert die nach den Marken.
Endlich viele.
Große Zahl, aber endlich viele.
Jetzt kann man zählen, die absoluten Häufigkeiten in der Stichprobe,
wie oft treten diese einzelnen Ausprägungen auf.
H-Index J sei einfach die Anzahl der Male, in der ich in der
Stichprobe die Ausprägung AJ beobachte.
Ich kann das immer sehr schön schreiben mit einer Summe.
Anzahl ist immer Summe von irgendeinem Indikator, der Indikator heißt
einfach hier, Sie sehen XI gleich AJ, hier müssen Sie das so deuten,
wenn die Aussage stimmt, steht da eine 1, ansonsten 0.
Das kann ich für jedes J machen von 1 bis S und die Summe dieser
absoluten Häufigkeiten ist N, denn insgesamt hat meine Stichprobe N
Elemente.
Ich kann aber auch durch N teilen, dann habe ich die relativen
Häufigkeiten, ich nenne die mal RJ, das heißt, ich teile einfach die
HJ durch N und dann ergibt sich, dass die Summe der relativen
Häufigkeiten 1 ist.
Jetzt habe ich also dann die Anteile.
Sie müssen aufpassen, also erstmal auch, man gibt manchmal auch
Prozentanteile an und sagt dann eben 100 mal RJ Prozent, 0,3
entsprechen eben 30 Prozent und ohne Kenntnis von N, wenn Sie nur die
relativen Häufigkeiten kennen, können Sie natürlich die absoluten
Häufigkeiten nicht mehr rekonstruieren.
Wenn Sie nur noch wissen, 50 Prozent, aber wissen nicht mehr 50
Prozent von was, dann kennen Sie die absolute Zahl nicht mehr.
Wenn Sie die absolute Zahl kennen und wissen, es waren 500 von 1000,
haben Sie mehr Informationen und können Sie die Prozentzahl bilden.
50 Prozent.
Hier sehen Sie so einen typischen Fall vom letzten Jahr,
Bundestagswahl 2013, gültige Zweitstimmen und Sie sehen dort die
absolute Zahl, die Prozentzahl gerundet natürlich.
Man kann das jetzt auch und tut es auch grafisch darstellen von
solchen empirischen Häufigkeitsverteilungen und zwar einmal mit
Stabdiagrammen oder Kreisdiagrammen.
Beim Stabdiagramm, das kennen wir schon von diskreten Verteilungen, da
tragen wir Wahrscheinlichkeiten auf von den Werten, die
Zufallsvariablen annehmen mit positiven Wahrscheinlichkeiten.
Hier sind es relative oder absolute Häufigkeiten.
Das heißt, beim Stabdiagramm trägt man absolute beziehungsweise
relative Häufigkeiten als Funktion der Merkmalsausprägung auf.
Und beim Kreisdiagramm ist natürlich das jetzt proportional zu einem
Winkel.
Sie haben einen Vollwinkel, der entspricht 100 Prozent.
Sie müssen das auf Winkel umrechnen.
Das heißt, beim Kreisdiagramm teilen Sie die gesamte Kreisfläche in
Sektoren auf und die Flächen sind proportional zu den Häufigkeiten.
Ganz egal, ob absolut oder relativ.
Sehen wir uns das an.
Das wäre das Stabdiagramm im letzten Jahr bei der Bundestagswahl.
Gültige Stimmen in Prozent.
Sie sehen die Prozentzahlen.
Und das Kreisdiagramm dazu sieht so aus.
Sie sehen, man muss ganz einfach die Kreisflächen dann ausrechnen.
Und das sind Dinge, die können Sie sicherlich in der Mittelstufe an
geeigneten Stellen machen, wenn Sie Bruchzahlen haben und dann kann
man sofort mit Daten operieren.
Wenn man immer mal Winkel hat, kann man auch solche Dinge zeigen.
Okay.
Ja, Histogramme, das sind Zelleinteilungen.
Der Zweck ist eine übersichtliche Darstellung von großen Datenmengen.
Stellen Sie sich hier wirklich dann vor, vielleicht hunderte oder
tausende von Werten.
Bei stetigen Merkmal oder auch bei diskreten Merkmal kann man das
machen und zwar mit vielen Ausprägungen.
Das ist hier wichtig.
Das Mittel eines Histogramms ist eine Klasseneinteilung.
Also hier machen Sie folgendes.
Der gesamte Bereich, den die Werte einnehmen auf der Zahlengrade, sind
ja alles reelle Zahlen, teilen Sie in halboffene Intervalle ein.
Halboffene Intervalle deshalb, wenn Sie Intervalle aneinander stoßen
lassen.
Sie sehen hier von A bis B geht ein Intervall, B ist nicht mehr drin.
Das nächste Intervall würde bei B aber beginnen.
Das heißt, es muss eine eindeutige Klassifizierung der Daten sein.
Sie können hier nicht mit abgeschlossenen Intervallen arbeiten, wenn
das andere direkt dran stößt.
Dann wissen Sie natürlich nicht, zu welchem Intervall klassifiziere
ich dann ein Datum, was direkt einen Wert B annimmt, wenn hier B zu
diesem Intervall zählen würde.
Ich würde es also rechts abgeschlossen machen und zum nächsten auch.
Aus dem Grund halboffen.
Sie können es gerne in der anderen Richtung halboffen machen, aber das
Entscheidende ist, die Intervalle müssen paarweise des Jungs sein.
So, wenn Sie S solche Intervalle bilden, wie gehen Sie dann vor?
Sie sehen, das könnten jetzt S-Klassen sein, ein Intervall von A1 bis
A2.
Und Sie sehen, das nächste schließt direkt an.
A2 ist dann da mit drin bis A3.
Das heißt, wenn Sie eine Beobachtung haben, xj, die genau den Wert A2
hat, dann fällt das ins zweite Intervall, Sie klassifizieren das so
ein.
Die A's sind strikt sortiert und das Entscheidende ist, Sie müssen
alle Daten erfassen, alle x1 bis xn, die Sie haben, Ihre Stichprobe,
müssen zu einem Intervall gehören.
Das bedeutet, das A1 muss kleiner gleich dem Minimum sein Ihrer
Beobachtung und ganz am Ende das AS plus 1 muss größer sein als das
Maximum Ihrer Beobachtung.
In dem Fall, wenn Sie das garantieren, dann liegen alle, jede
Beobachtung ist jetzt, fällt Ihnen genau eins dieser Intervalle und
Sie können zählen.
So, was wird jetzt gemacht?
Man bildet über so einem Intervall mit den Grenzen aj und aj plus 1
ein Rechteck.
Wir kommen auf eine Fläche.
Wenn Sie sich erinnern, wir hatten das gehabt beim letzten Mal, als
wir diese Histogramme von standardisierten Binomialverteilungen
betrachtet haben.
Da haben wir Wahrscheinlichkeitenflächen zugeordnet und kamen dann zur
Gaussian -Glockenkurve.
Das Entscheidende ist, dieses Rechteck soll so sein, dass seine Fläche
gleich der zugehörigen, relativen Klassenhäufigkeit, ich nenne die
jetzt mal kj, 1 durch n Summe i von 1 bis n, Indikator, Sie sehen xi
fällt in dieses Intervall.
Das soll die relative Klassenhäufigkeit sein.
kj.
Das bedeutet, wenn die Fläche gleich dem kj sein soll und die
Grundseite habe ich ja auch, denn über dem Intervall von aj bis aj
plus 1 wird ein Rechteck gebildet und die Fläche soll das sein, dann
kann ich sofort die Höhe ausrechnen.
Denn Grundseite mal Höhe ist Fläche.
Das bedeutet, Rechteckhöhe, dj will ich sie nennen, ist durch diese
Gleichung definiert.
Höhe mal Länge der Grundseite ist Fläche.
Dadurch ist dj bestimmt.
Ich gebe Ihnen mal Daten an, was immer das ist.
Sie sehen 100 Werte.
Das sieht immer, wenn Sie solche Rohdaten haben, aus wie ein
Datenfriedhof.
Vielleicht haben Sie mal 700 Werte.
Wenn man grob drüber guckt, sieht man natürlich, okay, das ist eine
Nachkommastelle.
Man guckt so nach Größenwerten.
Irgendwie geht es in die 40 auch rein.
41,8 sieht man in der vierten Spalte.
Sieht man 43,4.
Und man sieht vielleicht auch Werte in den 20ern.
Man sucht eigentlich sehr schnell den kleinsten und den größten Wert.
Und Computer sortieren natürlich hier sehr schnell, finden den
kleinsten und größten Wert.
Und dann könnte man versuchen, eine Klasseneinteilung zu machen.
Und das könnte so aussehen.
Als Beispiel, wir nehmen acht Klassen.
Hier ist viel Willkür.
Wenn Sie neun Klassen nehmen oder sieben oder zehn, die Histogramme
sehen immer ein bisschen anders aus.
Es gibt da auch sozusagen keine klaren, ganz klaren Richtlinien,
sondern nur Grobempfehlungen.
Eine Grobempfehlung ist zum Beispiel, dass die Zahl der Klassen
ungefähr gleich der Wurzel der Anzahl der Daten sein sollte.
Ungefähr heißt aber auch, es können eben bei 100, müssen es nicht
genau zehn sein.
Wir machen jetzt ein Histogramm mit acht Klassen.
A1, wir setzen jetzt die Intervallgrenzen fest.
Sie sehen da oben, die werden festgelegt.
Und dann ergibt sich folgendes Histogramm.
Sie sehen dort, jetzt entstehen die Flächen.
Das entsteht.
So sieht das aus für diese Daten.
Man erkennt jetzt erstmal, als wir die Binomialverteilung betrachtet
haben, haben wir gleich breite Rechtecke gehabt.
Das muss nicht sein.
Das muss überhaupt nicht sein.
Das ist jetzt eine Wahl.
Man erkennt aber eben doch, es häuft sich so ein bisschen in der
Mitte.
Wenn ich jetzt noch mehr Daten hätte, könnte ich vielleicht eine etwas
feinere Einteilung machen.
Und noch mehr Daten, eine noch feinere Einteilung.
Und vielleicht würde sich auch hier etwas herausstellen, ähnlich wie
bei den Histogrammen der Binomialverteilung, da war es eine Gausche
-Glockenkurve, irgendeine stetige Funktion, die vielleicht als ein
ideales Modell so eine Situation beschreiben könnte bei vielen Daten.
Das hat jetzt schon was zu tun mit stetigen Modellen, die wir dann in
Kapitel 25 betrachten werden.
Aber das wäre erstmal die Vorgehensweise bei solchen Histogrammen.
Sie müssen sich Informationen beschaffen über den größten und
kleinsten Wert, ungefähr wissen, wie viele sind es.
Und Programme stellen ja auch die Möglichkeit bereit, dann auch ein
bisschen zu spielen an diesen Histogrammen, an diesen Breiten.
Und man hat einen gewissen Eindruck von der Häufigkeitsverteilung.
So, jetzt kommt auch was Interessantes, nämlich die Stamm- und Blatt-
Darstellung, im Englischen Stamm- und Leaf-Display.
Manche sagen Stängel- und Blatt-Darstellung.
Gibt es also verschiedene Ausdrucksweisen im Deutschen.
Was wird da gemacht?
Wir werden gleich diese Daten, die wir eben gesehen haben, wieder
sehen, etwas anders.
Man sortiert die Vorkommerstellen in dem Fall als eine Art Stamm vor.
Und die Nachkommerstellen trägt man als Blatt nach rechts an.
Was heißt das?
So, das ist der Stamm, Sie sehen, er ist nicht besonders dick, ein
ganz dünner Strich.
Und da sind die Vorkommerstellen.
24, 25, 26 und so weiter bis 45 geht das.
So, das ist der Stamm.
Jetzt wird nach rechts das Blatt abgetragen.
Blatt.
Und jetzt sehen Sie oben bei der 24 poppt auf hinten eine 7.
Das soll nur heißen, es gibt einen Wert 24,7 unter den Daten.
Jetzt auf den nächsten Klick kam die 8.
Es gibt also einen Wert 25,8, wenn Sie sich die Daten ansehen.
Und es gibt aber auch einen Wert 25,1.
Sie sehen, ich habe hier was eingespart.
Ich habe nämlich nicht mehr die 25 geschrieben.
Die steht links davon.
Das heißt, auf jeden Fall sind in den Daten die drei Werte 24,7, 25,8
und 25,1.
Aber auch 26,4 und 26,1 27,4 und bei 28 habe ich sogar mehrere.
Ich habe 28,4, 28,5, 28,0 28,7 und 28,8.
Sie sehen, ich spare einfach die Vorkommerstellen ein.
Und wenn ich das für alle mache, bei 29 hatte ich 3, bei 30 habe ich
schon viel mehr Werte, die vorne eine 30 stehen haben, dann ergibt
sich das.
Und wenn Sie jetzt den Kopf um 90° drehen, haben Sie vielleicht die
Vorstellung von so einem Histogramm.
Die Klassen sind natürlich immer eine ganze Einheit.
Man hat die Vorstellung dann, man hat jetzt ein Histogramm mit gleich
breiten Klassen.
Die Daten sind bis zum gewissen Grade jetzt auch schon schön sortiert.
Man sieht insbesondere, der kleinste Wert ist 24,7, der zweitkleinste
ist 25,1 und der drittkleinste ist 25,8.
Und der größte ist 45,3.
Und der zweitgrößte ist 44,2.
Man hat schon eine gewisse Vorsortierung der Daten.
Also Stamm- und Blattdarstellung.
Also hier ist n gleich 100 und die Einheit ist eben 1.
Die Einheit 1.
Sie könnten das nämlich auch anders sagen.
Sie könnten auch sagen, okay, wenn die Einheit nicht 1 ist, wenn die
Einheit hier zum Beispiel 10 ist, dann sind die 24 entsprechend dann
240.
Und die 7 ist der eine, das heißt, Sie haben den Wert 247 dargestellt.
Und 25 und 8 ist 258.
Und 25 kombiniert mit der 1 ist 251.
Das heißt, durch die Beschriftung, es müssen jetzt nicht direkt die
Vorkommastellen sein, es kann eine ganz andere Einheit sein.
Aber Sie haben gewisse Dinge abgespalten und sozusagen die kleinste
Einheit, in der Sie zählen, die bildet in dem Fall das Blatt.
So, ich möchte jetzt auf Dinge kommen, die Sie auch schon zum Teil
kennen.
Also begrifflich nicht schwierig.
Gegeben ist wieder eine Stichprobe, reelle Zahlen.
Und das Ziel ist, eine Zahl anzugeben, aufgrund von x1 bis xn, die die
grobe Lage der Stichprobe beschreibt.
Was soll das heißen?
Die Forderung ist die, und ich möchte die mal nennen, die
Translationsäquivarianz.
Das sollten Sie sich notieren, das habe ich also nicht ins Handout
aufgenommen.
Wir werden nämlich später noch eine Translationsinvarianz haben, die
davon strikt zu unterscheiden ist.
Also hier die Translationsäquivarianz.
Also irgendwas soll genau gleich variieren.
Was ist damit gemeint?
Nun, wenn Sie zu den einzelnen x1, x2 usw.
bis xn den gleichen Wert a addieren und rechnen dann dieses Lagemaß
aus, diese Funktion L von x1 plus a usw.
bis xn plus a, dann soll das gleiche rauskommen, als wenn Sie das erst
ausrechnen würden für x1 bis xn und am Ende a addieren.
Das bedeutet, zunächst jeden Datenwert um a verschieben und dann das
Lagemaß ausrechnen, ist das gleiche wie erst das Lagemaß ausrechnen
und das, was rauskommt, um a verschieben.
Das soll gelten für alle x1 bis xn und für alle a usw.
Invarianz würde natürlich sein, wenn sich das nicht ändert, ganz egal
wie Sie a nehmen, dass sozusagen da das gleiche rauskommt.
Das heißt, es würde auf der rechten Seite plus a fehlen.
Das wäre die Invarianz, weil das ist die Translationsäquivarianz.
Das gebräuchlichste Lagemaß, das kennen Sie alle, das arithmetische
Mittel, das bezeichnet man mit xn quer, nichts anderes als 1 durch n
mal die Summe der Daten oder 1 durch n jetzt mit mathematischer
Notation mit dem Summenzeichen.
Man nennt es auch Mittelwert oder Durchschnitt von x1 bis xn und wir
müssen es so oder sollten es so interpretieren, zunächst mal als
physikalischen Schwerpunkt, wenn Sie die x1 bis xn auf der
Zahlengerade sich vorstellen und Sie haben gleiche Punktmassen, immer
die Vorstellung, die x-Achse, wenn Sie kein Gedächtnis hat, wo halten
Sie den Finger drunter, damit das Ganze im Gleichgewicht bleibt.
Das kennen wir schon von Verteilung.
xn quer ist eine andere, hat einen Nachteil, es ist empfindlich
gegenüber Ausreißern.
Ein Ausreißer wäre zum Beispiel bei der Datenaufnahme ein völlig
falsch abgelesener Wert.
Denken Sie mal an Kommafehler.
Ein Ausreißer, der viele Kinder in den 50er und 60er Jahren furchtbar
geärgert hat, war die Vorstellung, Spinat würde wahnsinnig viel Eisen
enthalten.
Die Kinder mussten alle ganz viel Spinat essen.
Stimmte nicht, war ein Kommafehler.
Ausreißer.
Und Sie sehen bei so einem Mittelwert, beim arithmetischen Mittel, da
gehen alle Werte ein.
Das heißt, wenn ein Wert stark verändert wird, ändert sich das
arithmetische Mittel mit.
Er geht mit dem Gewicht 1 durch n ein.
Jeder einzelne Wert.
xn quer minimiert diese Summe der Quadrate xj minus t in Klammern zum
Quadrat als Funktion von t.
Das wissen wir auch schon.
Sie brauchen nur zu interpretieren, Sie müssen nur sagen, wir haben
eine Zufallsvariable, die nimmt die Werte x1 bis xn an, mit gleicher
Wahrscheinlichkeit 1 durch n.
Für diese Zufallsvariable ist xn quer der Erwartungswert.
Und der Erwartungswert von dieser Zufallsvariable x minus t in
Klammern zum Quadrat ist nichts anderes als diese Summe, die da steht,
nur die Wahrscheinlichkeit, dass x die Werte annimmt, 1 durch n,
müssen wir vor die Summe ziehen.
Aber ob ich 1 durch n mal die Summe minimiere oder die Summe
minimiere, ist völlig egal, als Funktion von t.
Wir wissen, da kommt raus, als Wert t, für den das minimal wird, der
Erwartungswert, der ist hier xn quer.
Sie können es auch direkt ausrechnen.
Sie dürfen sogar differenzieren und die Ableitung null setzen.
Auch eine Möglichkeit.
Und es ausrechnen.
Weitere Lagemaße sind definiert über die sogenannte geordnete
Stichprobe.
Was ist das?
Sie sehen dort eine neue Bildung, und zwar gibt es hier eine runde
Klammer.
Das ist hier neu.
Das ist der j-kleinste Wert von x1 bis xn.
Also insbesondere mit der runden Klammer 1 wäre das der kleinste Wert,
das Minimum.
Mit xn in runden Klammern ist das Maximum.
Das heißt, Sie haben die beiden Extremwerte in der Stichprobe, die
werden so abgekürzt.
Und was Sie dann haben, Sie haben jetzt ein sortiertes Tupel.
Sie sehen jetzt an den xen die runden Klammern.
Das bedeutet, es gibt diese kleiner Gleichbeziehung.
Es können natürlich gleiche Werte auftreten, das ist nicht verboten.
Man nennt das die geortete Stichprobe von x1 bis xn.
Machen wir ein Beispiel.
Sie sehen dort die Originalstichprobe, x1 ist 8,5, x2 ist 1,5 und so
weiter, aber die ist natürlich nicht der Größe nach sortiert.
Sie suchen nach dem kleinsten Wert.
Eine Zeile drunter, x in runden Klammern 1, muss das Minimum sein.
Wenn Sie die Werte durchgehen, stellen Sie unschwer fest, 1,5 ist der
kleinste Wert.
Das heißt, das x in runden Klammern 1 ist 1,5.
Wenn Sie dann weitergucken, was ist jetzt der nächst kleinste Wert?
Da fällt die 2,5 auf.
Das heißt, x8, 2,5, das heißt, der nächste Wert ist 2,5 und dann haben
wir schon die 3,0 und zwar kommt die sogar zweimal vor.
Der nächst kleinste Wert ist die 4,5, und dann kommt die 6 wohl
zweimal, hinten bei der x9 auch und dann kommt die
8,5, die 9 ist ganz hinten und dann kommt dieser Wert 75.
Können Sie das als Ausreißer sehen?
Vielleicht war das gerade ein Kommafehler, vielleicht eigentlich 7,5
und dann irgendwann steht da 75.
Das wäre die sortierte Stichprobe.
Und anhand dieser empirischen Stichprobe definieren Sie eine ganz
wichtige Größe, das ist der sogenannte empirische Median oder der
Zentralwert von x1 bis xn.
Wie ist der definiert?
Sie sehen dort x-Index 1,5.
Wir werden den Wert gleich auch als Hälftigkeitswert bezeichnen.
Der ist über die sortierte Stichprobe definiert.
Nämlich, es kommt darauf an, ob n gerade ist oder ungerade.
Also nennen wir mal n ist gerade, Entschuldigung, n ist ungerade.
Dann sehen Sie, Sie müssen in der sortierten Stichprobe folgenden Wert
bilden, machen wir das konkret, da oben bei den Daten.
n ist ungerade, geht nicht, das können wir hier nicht machen.
Aber stellen Sie sich vor, n wäre 9.
Dann haben Sie n plus 1 ist 10, halbe ist 5, das heißt von 9
sortierten Werten wäre das der fünftkleinste.
Das heißt 4 würden drüber liegen von der Größe und 4 drunter.
Sie gehen also da genau in die Mitte der sortierten Stichprobe, der
geordneten Stichprobe.
Wenn n gerade ist, das ist jetzt oben der Fall, dann nehmen Sie zwei
Werte in der sortierten Stichprobe, Sie können sagen, in Gänsefüßchen
die mittelsten Werte, gibt es natürlich nicht.
Wir gehen von beiden Seiten rein, dann finden Sie sozusagen zwei
Werte.
Und dann nehmen Sie von denen das arithmetische Mittel.
Das heißt, wenn wir jetzt in die sortierte Stichprobe reingehen, n
gerade ist 10, dann haben Sie n halbe ist 5, das heißt den
fünftkleinsten und den sechstkleinsten Wert.
Das heißt in dem Fall haben Sie diesen und diesen und müssen von den
beiden das arithmetische Mittel bilden.
Das bedeutet, hier wäre der Median, ich will es erstmal ausradieren,
wäre dann ausgerechnet 4,5 und 6, sind 10,5, dividiert durch 2 ist 5
,25.
Das heißt, für diese sortierte Stichprobe nimmt der empirische Median
den Wert 5,25 an.
Sie können den Median als Hälftigkeitswert interpretieren, nämlich es
gilt, dass mindestens 50% aller xj kleiner oder gleich diesem Wert
sind und mindestens 50% aller Werte sind auch größer oder gleich
diesem Wert.
Also machen Sie das immer klar, auch an dem Fall mit 9, also einer
ungeraden Anzahl, da haben wir gesehen, der empirische Median ist der
5 kleinste.
So, 4 sind drüber, 4 sind drunter, aber mit dem Wert heißt das
natürlich mindestens 5 sind größer oder gleich, das sind nämlich 5,9,
das sind mindestens 50%, und mit dem Wert und den 4 drunter sind auch
wieder 5 von 9, das heißt mindestens 50% sind kleiner oder gleich
diesem Wert.
In dem Sinne ist das zu interpretieren.
Für die Daten der obigen Tabelle, das haben wir eben ausgerechnet, da
kommt raus 5,25 und der Median, und das ist auch eine interessante
Eigenschaft, minimiert folgenden Ausdruck, eine Funktion, die auf r
definiert ist, ich nenne sie mal s von t, t ist das Argument, und
jetzt sehen Sie im Vergleich zu eben eine Summe von
Abweichungsbeträgen.
Eben hat man einen Quadrat.
Das Quadrat ist natürlich in Bezug auf Minimierungsaufgaben viel
schöner, weil Sie differenzieren können.
Ich behaupte, der Median minimiert die Summe der Beträge der absoluten
Abweichung von t zu den Datenpunkten.
Wenn Sie für t den empirischen Median einsetzen, kommt das Minimum
raus.
Also ist die Abstandssumme als Funktion von t.
Wenn wir uns das überlegen, stellen Sie sich vor, Sie hätten, Sie
würden mit irgendeinem Wert hier beginnen, mit einem Wert t, der
könnte, glaube ich, auch bei Ihnen im Handout sein.
Was wäre jetzt die Summe der Abstände zu dem Punkt?
Sie sehen, nach links haben Sie zwei Datenpunkte, Sie haben zwei
Abstände.
Und rechts von dem Punkt, auf dem ich hier zeige, haben Sie insgesamt
1, 2, 3, 4, 5.
Das heißt, Sie haben jetzt eine ganz bestimmte Abstandssumme.
Wenn Sie nach links weitergehen würden, dann würde Folgendes
passieren, zwei Abstände würden kleiner, aber die anderen nach rechts
würden alle größer, um den gleichen Wert.
Die Funktion würde sich vergrößern.
Das heißt, ich verkleinere die Funktion, indem ich nach rechts gehe.
Wenn ich hier auf x3 zulaufe, passiert Folgendes, zwei Abstände werden
größer, zu den beiden Punkten nach links, aber die anderen fünf werden
alle kleiner, und zwar immer um den gleichen Wert kleiner, wie die
beiden anderen größer werden.
Das bedeutet, die Funktion nimmt kleinere Werte an.
Wenn ich hier bei x3 bin, passiert Folgendes, ich versuche noch mal
ein bisschen nach rechts zu gehen, wenn ich jetzt weiter nach rechts
gehe, werden drei Abstände größer, nämlich zu den drei Punkten nach
links, aber ich habe auf der rechten Seite noch vier.
Vier Abstände werden kleiner, um den jeweils gleichen Wert, das
bedeutet, die Funktion wird kleiner, und ich erkenne, wenn ich hier
bin, habe ich das Minimum angenommen, denn jetzt passiert Folgendes,
wenn ich jetzt weiter nach rechts gehe, werden vier Abstände größer,
ich habe dann vier Punkte links von mir, und nur drei rechts davon,
und nur drei Abstände werden kleiner.
Das heißt, der empirische Median, also die Funktion wird minimiert
hierfür, und das ist genau der empirische Median von diesen sieben
Punkten, der viertkleinste Wert.
Das war jetzt die Idee.
Versuchen Sie mal, das wirklich formal hinzuschreiben, diese Funktion
zu minimieren, als Funktion von t.
Der Median ist noch ein wichtiger Punkt, ist robust gegenüber
Ausreißern.
Also, stellen Sie sich Folgendes vor, wir haben gesehen, der Median
hier von diesen Werten ist eben dieses x4 in der Mitte, in runden
Klammern.
Stellen Sie sich vor, einer dieser Werte sei völlig falsch abgelesen,
wenn ich irgendeinen Wert rechts von diesem Median beliebig
vergrößere, also x7, wandert praktisch nach unendlich, oder x6 oder
x5, dann ändert sich dieser Median, dieser Name, überhaupt nicht.
Oder irgendein Wert links von x4, einer der kleineren Werte, wandert
vielleicht nach minusunendlich ab in die Richtung.
Es ändert sich nichts.
So, wenn jetzt ein kleiner Wert, nehmen wir x1, vielleicht nach
unendlich abwandert, dann erhalten Sie natürlich folgendes, das heißt,
wenn wir diesen Wert sozusagen jetzt hier irgendwo hier hinten
hinbringen würden, dann habe ich natürlich für den neuen Daten, ist
der Median jetzt der, ist hier der kleinste Wert, der zweikleinste,
drittkleinste, und das wäre der vierkleinste, das heißt, der Median
ist dann dieser Wert.
Aber dieser Wert kann beliebig weit rauswandern, das heißt,
schlimmstenfalls kann der Median von hier nach hier wandern.
Aber es kann nicht sich beliebig verändern wie beim arithmetischen
Mittel.
Da geht jeder Wert ein mit dem gleichen Gewicht 1 durch n.
Das arithmetische Mittel kann sich beliebig ändern.
Der Median nicht.
Ja, ich möchte Ihnen noch weitere Lagemaße angeben.
Und zwar das p-Quantil als Verallgemeinerung des Medians und das alpha
-getrimmte Mittel.
Das p-Quantil ergibt sich wieder aus der sortierten Stichprobe.
Wir nennen es jetzt hier x-Index p.
Sie sehen den Fall p, gleich ein Halb haben wir eben gehabt.
Wir haben wieder zwei Fälle.
Der eine Fall ist, dass n-mal p keine natürliche Zahl ist und der
zweite, dass es eine natürliche Zahl ist.
Und Sie sehen dort wieder die sortierte Stichprobe.
Es sind die x-en mit runden Klammern und Sie sehen noch mal eine
eckige Klammer.
Das ist die Gauss-Klammer.
Man nennt diese Größe erstmal das empirische p-Quantil von x1 bis xn
und das ist wieder die Gauss-Klammer.
Was ist die d?
Die d bei den Quantilen ist einfach d.
Beim empirischen Median möchte ich gerne die sortierten Daten in zwei
gleich große Hälftenteile einschnitt machen und sagen 50% ist kleiner,
50 % ist größer.
Ganz grob.
Beim p-Quantil ist der Wunsch, ganz grob, ich spalte mit diesem Wert
teile ich die Daten in zwei Teile.
Einmal p mal 100% ist links davon und 1 minus p mal 100% ist rechts
davon.
Also setzen wir mal p an, gleich 0,25, ein Viertel.
Ich habe eine große sortierte Datenreihe, da möchte ich gerne so einen
Schnitt machen, dass ich sage, 25% der Werte sind kleiner oder gleich
diesen Wert und 75% sind größer oder gleich diesen Wert.
Das ist die Idee.
Gut, wir machen gleich auch ein konkretes Beispiel.
Also hier ist der Wunsch und das erreicht man damit auch, mindestens p
mal 100% aller XORs sind kleiner oder gleich xp und mindestens 1 minus
p mal 100% aller XORs sind größer oder gleich xp.
Das ist mit dieser Definition wirklich erreicht.
Bitte überlegen Sie sich das.
Das steckt da wirklich mit drin.
Also grob gesprochen, das xp teilt die sortierte Stichprobe im
Verhältnis p zu 1 minus p auf.
Spezialfall p gleich 1 halb, empirischer Media hälftig.
Hier wieder die sortierte Stichprobe von eben und wir machen mal ein
Beispiel.
Sagen wir hier für diese 10 das 25% Quantil, also 0,25 Quantil.
Nun was ist jetzt die Definition?
Wir müssen bilden n ist 10 und p ist 0,25 n mal p müssen wir bilden,
ist 2,5.
2,5 ist keine natürliche Zahl.
Das heißt, wir sind in der Definition oben in der unteren Zeile.
Entschuldigung, in der oberen Zeile.
Keine natürliche Zahl in der oberen Zeile.
Und dann wird gesagt ok, ich muss bilden n mal p n mal p ist 2,5.
Ich muss die 1 addieren.
Also ich bin jetzt hier oben da in der Definition.
Ich muss die 1 addieren.
Und dann komme ich natürlich auf 3,5.
Und dann muss ich die Gauss-Klammer bilden.
Ich komme dann auf x3.
Also in der sortierten Stichprobe, das dritte kleinste.
Und dann fange ich natürlich links an und sehe ich komme hier auf die
3,0.
Auf diesen Wert.
Und dann habe ich damit das 25% Quantil ausgerechnet.
Also das ist natürlich dann eine elementare Vorschrift.
Wenn es einmal definiert ist, kann ich ganz elementar ausrechnen, was
dann dieses betreffende Quantil sein soll.
Es gibt spezielle Begriffsbildungen noch für spezielle Werte von p.
Und diese Begriffsbildungen sind die.
p gleich 1,5 haben wir gehabt, ist der empirische Media.
Dann gibt es ein sogenanntes unteres Quartil.
Sie sehen nicht Quantil, sondern Quartil.
Es wird geviertelt.
25% Quantil ist das untere Quartil.
Ein oberes Quartil.
Dann gibt es auch, wenn Sie durch 10 teilen, die sogenannten Dezile.
Das erste Dezil, das 10% Quantil, das zweite Dezil, das 20% Quantil.
Dann auch die sogenannten Quintile gibt es auch.
Das erste Quintil wäre 20% Quantil.
Das wird sozusagen durch 5 geteilt.
Und das so typische Anwendungen von solchen Quantilen sind
Somatogramme.
Als wir mit unseren Kindern bei Vorsorgeuntersuchungen waren, dann war
es natürlich immer so, dass der Arzt guckte.
Auffällig groß, auffällig schwer.
Man sieht unten das Alter aufgetragen.
Man kann es nicht so genau sehen, aber unten ist auf der Achse das
Alter aufgetragen.
Und dann sehen Sie nach oben verschiedene Kurven.
Das sind dann Größen in Zentimetern.
Und bei der obersten Kurve, das ist da das 97% Quantil.
Das bedeutet, wenn man oberhalb liegt, bei einem gewissen Alter, dann
gehört man zu den 3% Größten.
Die unterste Kurve ist jeweils das 3% Quantil.
Das heißt, wenn man unterhalb liegt, würde man zu den 3% Kleinsten
gehören.
Immer auf ein gewisses Alter bezogen.
Die mittlere Linie, die grüne, ist das 50% Quantil, der Medium.
Und dann, was Sie noch dazwischen haben, diese gelben, das ist einmal
nach unten das 15% Quantil.
Das heißt, wenn Sie hier, ganz einfach, bei einem gewissen Alter, wir
wären hier beim Alter 11, hier wäre das Alter 11, und das wäre
vielleicht hier irgendwo zwischen, da würde vielleicht der Wert sein.
Dann sehen Sie, na gut, Sie sind irgendwie, das Kind ist relativ
klein, liegt also vielleicht im Bereich, es ist also unterhalb des 15%
Quantils, aber deutlich größer als 3%.
Das könnte aber auch vielleicht im gleichen Alter sehr sehr groß sein.
Das heißt, Sie haben hier einmal das 15% Quantil, die gelbe Kurve, das
85 % Quantil wäre dann, was drüber wäre, die 15% größten.
So sind solche Somatogramme zu interpretieren.
Und die werden dann vielleicht auch noch getrennt für Jungen und
Mädchen gemacht, weil die Entwicklungsstufen dann unterschiedlich
sind.
Okay.
Ja, was gibt es noch an Begriffen?
Es gibt, habe ich Ihnen gesagt, das getrimmte Mittel.
Was ist das getrimmte Mittel?
Und beim getrimmten Mittel, das ist auch eine sehr einfache
Begriffsbildung, wenn Sie die sortierte Stichprobe haben, wenn Sie das
arithmetische Mittel aller Werte bilden, dann haben Sie das
arithmetische Mittel.
Ob Sie sortieren vorher oder nicht, ist völlig egal, Sie gehen ja alle
durch.
Wir summieren alle auf und teilen durch n.
Aber Sie könnten folgendes sagen, Sie könnten sagen, okay, ich will
gegenüber Ausreißern vorsichtig sein.
In der sortierten Stichprobe werfe ich mal die kleinsten 10% weg und
die größten 10% aller Daten und von den anderen dazwischen bilde ich
das arithmetische Mittel.
Das heißt, potenzielle Ausreißer sind am Ende der Stichprobe zu
vermuten.
Das heißt, Sie machen hier folgendes, Sie wählen sich eine Zahl Alpha
zwischen 0 und 1 und setzen k als n mal Alpha, Gaussklammer, und dann
machen Sie folgendes, Sie bilden hier ein xt Komma Alpha t steht für
getrimmt und Alpha ist dann so ein Trimmungsanteil.
Sie sehen 1 durch, n minus 2 mal k.
Jetzt kommt gleich eine Summe.
Durch was teilen Sie?
Sie teilen durch n minus 2k.
Beim arithmetischen Mittel teilen Sie durch n.
Offenbar machen Sie jetzt folgendes, Sie lassen an den Enden der
sortierten Stichprobe jeweils k-Werte weg.
Die k-Kleinsten und die k-Größten.
Und die restlichen mitteln Sie.
Deshalb teilen Sie durch n minus 2k.
Sie beginnen also bei xk plus 1.
Was hier weggefallen ist, ist der kleinste Wert x1, der zweikleinste
x2, usw., in runden Klammern immer, und xk in runden Klammern, der k
-Kleinste.
Sie beginnen beim k plus 1-Kleinsten und addieren den k plus 2
-Kleinsten und machen das weiter, bis Sie da angelangt sind.
Und dann hören Sie, da machen Sie Schluss.
xn minus k, ja, aber Sie sehen, was jetzt fehlt, sind die größten k,
die sind auch nicht erfasst.
Sie trimmen an den Enden der sortierten Stichprobe und mitteln beim
Rest.
Formal k gleich 0 ist das arithmetische Mittel.
Das heißt, also Sie können es auch so etwas kompakter so schreiben, da
sieht man es nochmal deutlich.
Sie lassen in der sortierten Stichprobe die k-Kleinsten und k-Größten
Werte weg und mitteln den Rest.
Man nennt das alpha-getrimmtes Mittel oder alpha mal 100% getrimmtes
Mittel von x1 bis xn.
Das ist die Sprechweise.
Und wir können das ansehen als einen Kompromiss zwischen dem
arithmetischen Mittel.
Das arithmetische Mittel ergibt sich, wenn Sie alpha immer kleiner
werden lassen.
Sie sehen, k ist ja n mal alpha Gauss-Klammer.
Wenn das k gleich 0 ist, erhalten Sie das arithmetische Mittel.
Alpha Pfeil gegen 0.
Und aber auch dem Median.
Nämlich Sie können natürlich auch versuchen, das alpha möglichst groß
werden zu lassen.
Schauen Sie sich die Bildung da oben an.
Sie hier in der sortierten Stichprobe sind und es muss natürlich nur n
minus 2 mal k muss positiv sein.
Aber Sie lassen k wachsen.
Was passiert?
Sie schneiden immer mehr ab von den Rändern der sortierten Stichprobe
und Sie nähern sich natürlich dem Median an.
Der bleibt natürlich, wenn Sie eine ungerade Zahl haben, als einziger
Wert über.
Sie kommen zum Median.
Wenn Sie eine gerade Anzahl von Beobachtungen haben, dann bleiben
natürlich am Ende, damit der Nenner positiv wird, haben Sie natürlich
dann ein k gleich n minus 2.
Es bleiben zwei Beobachtungen über.
Das sind genau die beiden mittelsten Werte in der sortierten
Stichprobe und davon bilden Sie das arithmetische Mittel.
Das ist unser empirischer Media, nach Definition.
Sie sehen, Sie haben hier einen Kompromiss zwischen arithmetischem
Mittel und empirischem Media.
Wann sowas natürlich dann mal angewendet wird und vorkommt, ist eine
ganz andere Frage.
Sie sollten nur erkennen, es gibt verschiedene Möglichkeiten zu
mitteln.
Auch die sortierte Stichprobe kann eine Rolle spielen und alle diese
Maße haben diese Äquivarianz-Eigenschaft.
Das wollte ich damit sagen.
Also auch wenn Sie den empirischen Median bilden, was war denn die
Äquivarianz -Eigenschaft?
Sie haben die sortierte Stichprobe.
Sie bilden den empirischen Median, gucken irgendwie rein in die Mitte
der sortierten Stichprobe.
Jetzt verschieben Sie alle Werte um den gleichen Wert 5 nach rechts.
Was passiert?
Der Median verschiebt sich mit.
Das ist die Äquivarianz-Eigenschaft.
Das gilt auch für das getrimmte Mittel.
Alle diese Lagemaßen haben diese gleiche Äquivarianz-Eigenschaft.
Hier nochmal der Punkt.
Dieses getrimmte Mittel ignoriert je Alpha mal 100% der Daten an den
Enden der sortierten Stichprobe.
Das ist der Punkt.
Und wir können es ansehen als ein flexibles Instrument gegenüber
Ausreißern.
Unter gewissen Voraussetzungen ist sozusagen im Mitteln mehr
Information drin, unter gewissen Voraussetzungen, sodass man beim
Reinsortieren und in die Mitte gehen, Informationen verliert.
Das ist jetzt ein bisschen wohltuend, vage ausgedrückt.
Das ist erstmal ein flexibles Instrument.
Sie haben gesehen, wenn Sie vielleicht große Datenmengen haben, 100
Werte, dass man sagen kann, okay, die 5% kleinsten, größten sind
vielleicht ein bisschen kritisch.
Denken Sie auch an dieses Trimmen, das wird zum Beispiel gemacht bei
manchen Wettkämpfen bei Wertungsrichtungen.
Dann das einfach irgendwie die größte, der größte Wert oder der
kleinste Wert einfach ignoriert werden und dann wird vom Rest
gemittelt.
Es kommt alles vor, auch im Sportbereich.
Ich denke, hier ist eine natürliche Grenze erreicht.