Guten Morgen allerseits.
Wir waren in der Vorlesung bei Konfidenzbereichen und ich hatte das
Konzept dargestellt.
Wir hatten im Wesentlichen den Binomialfall behandelt.
Ich möchte heute kurz wiederholen das Wesentliche, was wir gemacht
hatten.
Wir haben ein statistisches Modell, einen Stichprobenraum, die
skaligrafische X, und darauf haben wir eine ganze Familie möglicher
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die indiziert sind durch den
Parameter Tether.
Und wir kennen das Tether nicht.
Das Ziel in der Statistik ist, Aussagen über dieses unbekannte Tether
zu machen.
Verschiedene Tethers entsprechen verschiedenen Verteilungen.
Das war der Ausgangspunkt.
Wir haben uns zunächst mit Punktschätzung befasst, aber dann haben wir
gesagt, kann man eine Punktschätzung nicht mit einem Intervall,
vielleicht versehen, wenn der Parameter realwertig ist, denken Sie an
das p der Binomialverteilung, so dass wir dann Vertrauen haben können,
wenn wir einen Intervall ausrechnen, dass das wahre p da drin liegt,
obwohl p nicht zufällig ist.
Dann haben wir uns ein Alpha vorgegeben, eine Zahl im
Einheitsintervall, einen kleinen Wert.
Denken Sie immer an 0,05.
Dann haben wir gesagt, wir definieren eine Abbildung c, die ordnet den
Elementen klein x im Stichprobenraum zu Teilmengen von Tether.
Sie geht also in die Potenzmenge von Tether.
Wenn wir also klein x beobachten, dann möchten wir einen Bereich
konstruieren, c von x, als Teilmenge von Tether.
Jetzt möchten wir dann großes Vertrauen haben, dass das wahre,
unbekannte Tether in dem konkret ausgerechneten Bereich liegt.
So eine Abbildung, die Abbildung heißt Konfidenzbereich, die
Abbildung, das ist wichtig, zu einer Konfidenzwahrscheinlichkeit,
Synonym haben wir auch gesagt, Vertrauensbereich und
Vertrauenswahrscheinlichkeit, das ist das gleiche, 1 minus Alpha.
1 minus Alpha ist dann groß, 0,95 zum Beispiel, falls gilt.
Jetzt kommt die entscheidende Aussage, die Wahrscheinlichkeit, wenn
Tether der wahre Parameter ist, dass sich ein klein x realisiert im
Stichprobenraum mit der Eigenschaft, dass dieser Bereich c von x,
diese Teilmenge von Tether, dann dieses wahre Tether enthält, was als
Index an der Wahrscheinlichkeit steht.
Diese Wahrscheinlichkeit sollte mindestens 1 minus Alpha sein und zwar
ganz egal, wie das Tether ist, das kennen wir ja nicht.
Das Entscheidende ist, das klein x, was sich realisiert, ist eine
Realisierung von einem Groß-X.
Wir haben Groß-X dann sogar als vereinfachend als Identität angenommen
auf dem Stichprobenraum.
Wir können das dann so schreiben.
Also die Wahrscheinlichkeit, jetzt sehen Sie den zufälligen Bereich c
von Groß-X, Realisierung von Groß-X sind die Klein-X und diese
Wahrscheinlichkeit, dass der zufällige Bereich das unbekannte Tether
enthält und ich schreibe es bewusst so rum und nicht mit dem normalen
Elementzeichen, sondern mit dem umgedrehten, diese Wahrscheinlichkeit
ist groß, die ist mindestens 1 minus Alpha, ganz egal wie das Tether
ist.
Das ist ein Konfidenzbereich.
Wir hatten mithilfe der Chebyschow-Ungleichung im Binomialfall so
einen Konfidenzbereich hergeleitet, sehr einfach.
Ich möchte das nochmal als Beispiel rekapitulieren.
In dem Fall war das Groß-X ein Zufallsvektor mit n Komponenten, x1 bis
xn und die einzelnen x1 bis xn sind stochastisch unabhängig und haben
jeweils die gleiche Binomialverteilung mit 1 und p.
Ich nenne in dem Fall jetzt Tether gleich p, im Binomialfall schwanke
ich so ein bisschen zwischen Tether und p, je nachdem ist das p, das p
der Binomialverteilung.
Sie können sich das vorstellen als Anfang einer Bernoulli-Kette,
Bernoulli -Kette der Länge n und die xj geben an Treffer ist eben die
1, Niete ist die 0 und wir beobachten eben dann einen konkreten Vektor
aus Treffern und Nieten.
Aber vorher ist es zufällig, vorher haben wir ein Groß-X.
Da hatten wir gesehen, also p ist hier im Einheitsintervall und Tether
ist dieses Einheitsintervall und Tn, Groß-Tn können sie interpretieren
als die zufällige relative Trefferhäufigkeit.
Summe xj zählt die Anzahl der Treffer.
Später werde ich für Summe xj auch Sn schreiben, das ist die
Treffersumme, hat eine Binomialverteilung.
Wir teilen durch n, das ist die zufällige relative Trefferanzahl.
Dann haben wir gesehen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bereich, den
gebe ich gleich an, das p enthält, ganz egal wie das p aussieht, ist
mindestens 1-α und der Bereich sieht so aus, ist ein Intervall.
Wir hatten damals Groß-In genannt, aber ich möchte jetzt auf das c von
x.
c von x ist das Intervall, wir sehen einmal das Maximum von 0 und dann
Tn -etwas, 1 durch 2 Wurzel Alpha mal n und dann die obere Grenze ist
Minimum von 1 und Tn plus.
Das war das Entscheidende.
Da haben wir schon gesehen, das ist ein Konfidenzbereich.
Das Entscheidende ist, der Zufall steckt in Tn, die Grenzen des
Intervalls sind Zufallsvariablen.
Die Wahrscheinlichkeit ist die, dass ein zufälliges Intervall das
unbekannte p enthält.
Diese Wahrscheinlichkeit ist mindestens 1-α, ganz egal wie das p
aussieht.
Ob ein konkretes Intervall, was Sie ausrechnen, wenn Sie ein Tn
realisieren, eine zufällige relative Trefferhäufigkeit, das p enthält
oder nicht, das kann niemand entscheiden, denn niemand kennt das p.
Sie können dann nicht mehr von Zufall sprechen.
Sie können nur sagen, ich habe ein Intervall konstruiert, was nach
einer Methode funktioniert, die mir auf die Dauer, wenn ich das immer
wieder mache, natürlich schwanken diese Intervalle, aber sie werden
auf die Dauer mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit meinen
unbekannten Wert enthalten.
Das konkrete Intervall, ich vermute, dass es drin ist, denn das
Verfahren ist so gemacht, aber wenn ich ein konkretes Intervall habe,
kann ich nicht mehr von Wahrscheinlichkeit sprechen.
Das ist hier eine, sagen wir mal, kleine konzeptionelle Schwierigkeit.
Der Zufall steckt in den zufälligen Intervallgrenzen.
So, ich möchte jetzt ein allgemeines Konstruktionsprinzip vorstellen
für Konfidenzintervalle.
Wir werden das im Wesentlichen innerhalb der Binomialverteilung auch
dann, sagen wir mal, uns genauer ansehen.
Es geht auf Klopper und Pirsen zurück und das sieht folgendermaßen
aus.
Das ist das allgemeine Prinzip.
Wenn ich so ein statistisches Modell habe, dann sagt dieses Prinzip,
wähle zu jedem Theta eine Menge A von Theta, die hängt von Theta ab,
im Stichprobenraum und diese Menge soll hochwahrscheinlich sein.
Und zwar, sie soll die Wahrscheinlichkeit haben, mindestens 1 minus
Alpha.
Das heißt, zu jedem Theta konstruiere bitte so eine
hochwahrscheinliche Menge.
Sie werden sagen, das ist gar kein Problem.
Ich kann für die Menge A von Theta immer den ganzen Stichprobenraum
einsetzen.
Denn ganz egal, wie das Theta ist, der ganze Stichprobenraum hat die
Wahrscheinlichkeit 1.
Ich kann gleich sagen, das ist also ein untaugliches Verfahren für
Konfidenzbereiche.
Sie werden mit diesem Verfahren nur die triviale Aussage bekommen,
naja gut, der Parameter Theta, der Unbekannte, liegt im Parameterraum
Großtheta.
Das wissen Sie vorher.
Das wäre die Antwort im Binomialfall.
Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.
Das Ziel sollte sein, die Menge A von Theta möglichst klein zu machen
und trotzdem soll sie hochwahrscheinlich sein.
Wir werden das gleich sehen.
Also das ist erstmal der Ausgangspunkt.
So, dann setzen wir ganz konkret C von X an.
Wir möchten einen Konfidenzbereich konstruieren.
Das heißt, für jedes klein x müssen wir jetzt eine Teilmenge von Theta
konstruieren.
Damit ist dann C eine Abbildung vom Stichprobenraum in die Potenzmenge
von Theta.
Also müssen wir hinschreiben, es sei eine gewisse Menge von Theta aus
Großtheta.
Jetzt müssen wir die Teilmenge angeben.
Die Teilmenge ist die, sie seien diejenigen Theta aus Großtheta mit
der Eigenschaft, dass das X, was vorne steht, in A von Theta liegt.
Sie sehen erstmal, dass das eine wohldefinierte Menge ist.
Sie haben vorher A von Theta definiert, ist erstmal eine
wohldefinierte Menge.
So, das machen Sie für jedes X aus X.
Und dann gilt, dann gilt nach Konstruktion diese Äquivalenz für jedes
X im Stichprobenraum und für jedes Theta gilt, X ist in A von Theta,
dann und nur dann, wenn Theta in C von X ist.
Sehen Sie sich die Bildung an von C von X.
Es sind gerade diejenigen Theta, derart, dass X aus A von Theta ist.
Wenn also X in A von Theta ist, folgt unmittelbar, dass Theta in C von
X ist.
Und wenn Theta in C von X ist, sehen Sie sich an, wie C von X
definiert ist, dann ist X in A von Theta.
Das Entscheidende an dieser Genau-Dann-Wenn-Beziehung ist, wir lösen
die Relation, die links steht, X Element A von Theta nach Theta auf.
Wir wollen ja später eine Aussage über Theta machen.
C von X enthält Theta oder Theta Element C von X.
Das bedeutet, die Relation X Element A von Theta, diese
Elementbeziehung, lösen wir durch die rechte Seite nach Theta auf.
Und aufgrund dieser Genau-Dann-Wenn-Beziehung, oben steht ja A von
Theta ist ein hochwahrscheinliches Ereignis, folgt die
Wahrscheinlichkeit unter Theta für diejenigen X, dass C von X Theta
enthält.
Nun, C von X enthält Theta, sehen Sie drüber, genau dann, wenn X in A
von Theta ist.
Aber die X in A von Theta haben gerade die Wahrscheinlichkeit 1-Alpha,
Mindestwahrscheinlichkeit 1-Alpha.
Das heißt, wir haben diese Aussage.
Das gilt eben völlig unabhängig von dem Theta.
Und damit haben wir einen Konfidenzbereich.
Das ist im Grunde ein ganz simples Prinzip.
Man muss nur jetzt wissen, wie das auch konkret aussieht.
Wir lösen die Elementbeziehung X Element A von Theta auf.
Und Sie sehen natürlich sofort, wenn Sie jetzt A von Theta gleich dem
ganzen Stichprobenraum wählen.
Jetzt sehen Sie also dann den Bereich an C von X, diejenigen Theta mit
X Element A von Theta.
Wenn A von Theta der ganze Stichprobenraum ist, jedes X ist in Groß-X.
Das heißt, Sie bekommen dann, für jedes Theta ist diese Eigenschaft
erfüllt.
Klein -X ist immer in Groß-X.
Das heißt, Sie bekommen dann natürlich für das C von X Groß-Theta
raus.
Das ist natürlich eine unsinnige Aussage, einfach nur zu sagen, der
unbekannte Parameter liegt in Groß-Theta.
Sie möchten ja aufgrund Ihrer Daten ein bisschen mehr haben.
Sie wollen ja unter anderem das P schätzen, dieser Binomialverteilung,
und eine begründete Aussage machen über P. Sie sollten sehen, das Ziel
muss natürlich jetzt sein, dass A von Theta sollte klein sein.
Damit können Sie hoffen, dass dann auch das C von X klein ist, dass
Sie vielleicht kurze Konfidenzintervalle bekommen.
Je kürzer das Intervall, das Sie angeben, desto genauer Ihre Aussage.
Das heißt, das Entscheidende ist eben die Beziehung 22.4, die
Hochwahrscheinlichkeit von diesem A von Theta.
Und trotzdem sollte es klein sein, eine möglichst kleine
hochwahrscheinliche Menge.
So etwas kann man machen.
Wir sehen uns wieder unser laufendes Beispiel an, der Binomialfall,
für Sie der wichtigste Fall für die Schule.
In dem Fall will ich jetzt mal arbeiten direkt mit der Trefferanzahl.
Sie sehen also Sn.
Sn entspricht dem, was wir vorher hatten, Summe X1 und so weiter plus
Xn.
Das heißt, ich will wirklich die Trefferanzahl aus N versuchen.
Das ist Sn.
Und Sn hat dann die Binomialverteilung mit N und P. Ich arbeite hier
wieder mit dem Parameter P. Theta ist also hier das P. Und das
Großtheta sei hier das offene Einheitsintervall.
Wir schließen also die Werte 0 und 1 aus für P. Dann wissen wir die
Wahrscheinlichkeit, dass ich genau J Treffer beobachte, also Sn gleich
J, wenn Theta die wahre Trefferwahrscheinlichkeit ist, die steht dran
als Index, ist eben N über J mal Theta hoch J mal 1 minus Theta hoch N
minus J.
Das ist die Binomialverteilung, die wir alle kennen.
So, der Stichprobenraum, da ich das eben hier mit der Trefferanzahl
mache, ist die Menge der möglichen Treffer, 0, 1 und so weiter bis N.
Das sind die möglichen Treffer, das ist unser Stichprobenraum in dem
Fall.
Das heißt, ich arbeite jetzt nicht mit den ursprünglichen Daten,
ursprünglich beobachten Sie natürlich einen Tupl aus 0 und 1 und dann
bilden wir erst die Trefferanzahl und dann vielleicht die relative
Trefferhäufigkeit, sondern ich arbeite direkt mit diesem
Stichprobenraum, das heißt, meine Daten sind direkt die Trefferanzahl,
die sich hier einstellen.
Okay, ja, was ist hier A von Theta?
Nun, A von Theta, es soll jetzt eine hochwahrscheinliche Menge sein in
diesem Stichprobenraum.
Das sind jetzt die Trefferanzahlen, 0 bis N, eine hochwahrscheinliche
Menge von Trefferanzahlen.
So, die Idee ist jetzt ganz einfach die, dass ich sage, das sind
diejenigen x, das sind jetzt hier die Trefferanzahlen, das ist
wichtig, x ist jetzt hier eine Trefferanzahl, mit der Eigenschaft,
dass diese Trefferanzahl zwischen zwei Grenzen liegt, also mindestens
U von Theta Treffer und höchstens klein O von Theta Treffer.
Das heißt, ich muss hier in Abhängigkeit von Theta Werte festlegen, U
von Theta und O von Theta, im Stichprobenraum 0, 1, 2 bis N, derart,
dass diese Menge hochwahrscheinlich ist.
So, Sie sehen sofort, ich könnte die Wahrscheinlichkeit zu 1 machen,
indem ich U von Theta gleich 0 ansetze und O von Theta gleich N.
Denn die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Treffer zwischen 0
und N ist, ist 1.
Das heißt, die Idee ist, U von Theta möglichst groß anzusetzen und O
von Theta möglichst klein anzusetzen, derart, dass diese Menge immer
noch eine Wahrscheinlichkeit hat von mindestens 1 minus Alpha.
Das soll ja eine hochwahrscheinliche Menge werden.
Also, setze ich an, Alpha ist mir gegeben, U von Theta möglichst groß,
habe ich gesagt.
Also, U von Theta ist ein Maximum.
Ein Maximum von Trefferanzahlen X mit der Eigenschaft, und jetzt kommt
es, jetzt sehen Sie hier eine Summe von Binomialwahrscheinlichkeiten.
Die können Sie so interpretieren, höchstens K minus 1 Treffer zu
beobachten, wenn Theta die wahre Trefferwahrscheinlichkeit ist.
Höchstens K Treffer, K minus 1 Treffer zu beobachten, diese
Wahrscheinlichkeit sollte kleiner gleich Alpha halbe sein.
Sie setzen also U von Theta an, als größten Wert K mit der
Eigenschaft, höchstens K minus 1 Treffer zu beobachten, soll höchstens
Alpha halbe sein.
So, das sieht jetzt sehr abstrakt aus, oder recht abstrakt ist aber
sehr konkret.
Also hier, das ist hier die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von
Theta, Theta ist hier ein fester Wert, den ich vorgebe, dass Sie J
Treffer beobachten, Sie sehen, es geht von 0 bis N.
Was machen wir da?
Nun, wir sehen uns das Stabdiagramm dieser Binomialverteilung an und
kommen von links und haben hier Stäbchen und summieren die
Wahrscheinlichkeiten auf.
Und zwar, wenn man diese Summe dieser Stäbchenlängen, die
Wahrscheinlichkeitsmasse hier, ist höchstens Alpha halbe.
Aber, wenn ich das nächste Stäbchen dazunehme, wenn ich jetzt
aufsummiere, ist die Wahrscheinlichkeitsmasse größer als Alpha halbe.
Jetzt schauen Sie sich die Definition von dem U von Theta an.
Das größte K, derart, dass die Wahrscheinlichkeitsmasse von links
kommen bis K minus 1 aufsummiert, soll höchstens Alpha halbe sein.
Das heißt, das U von Theta ist genau dieser Wert.
Das heißt, wir gehen direkt ins Stabdiagramm der Binomialverteilung
mit Erfolgswahrscheinlichkeit Theta und kommen von links und bauen
sozusagen eine Wahrscheinlichkeitsmasse auf, höchstens Alpha halbe.
Und Sie sehen, das stimmt da oben genau mit der Definition.
Das größte K mit dieser Eigenschaft.
So, jetzt machen wir das Gleiche von oben.
Das U von Theta in der ersten Seile sollte möglichst klein sein.
Das heißt, es ist Minimum.
Das Minimum aller möglichen Trefferanzahlen mit der Eigenschaft, jetzt
sehen Sie die Summe J von K plus 1 bis N, jetzt kommen die
Binomialwahrscheinlichkeiten, das heißt, mehr als K Treffer zu
erzielen, diese Wahrscheinlichkeit, sollte höchstens Alpha halbe sein.
So, was passiert?
Wir kommen jetzt von rechts, sehen uns das Stabdiagramm auf und
summieren wieder Wahrscheinlichkeiten auf, so, das sei die
Wahrscheinlichkeitsmasse, die Summe der Stäbchenlängen höchstens Alpha
halbe.
Wenn ich jetzt noch den dazunehme, ist es größer als Alpha halbe und
das ist dann nach Definition U von Theta.
So, jetzt nehme ich mal, ich vervollständige das Stabdiagramm.
Und wenn ich jetzt hier das ganze Gelb markiere, dann sehen Sie, ist
folgendes passiert, links und rechts davon ist jeweils eine
Wahrscheinlichkeitsmasse von höchstens Alpha halbe, das bedeutet, die
Wahrscheinlichkeitsmasse, die jetzt gelb ist, die Summe dieser
Wahrscheinlichkeiten oder Stäbchenlängen, ist mindestens 1 minus
Alpha.
Und Sie sehen unten, das geht von U von Theta bis O von Theta, jetzt
schauen Sie in die erste Zeile oben ganz links, A von Theta ist der
Bereich, alle Trefferanzahlen, die zwischen U von Theta und O von
Theta liegen, wir haben eine hochwahrscheinliche Menge erhalten.
Wahrscheinlichkeit ist mindestens 1 minus Alpha.
Das können wir gedanklich für jedes Theta machen.
Jetzt haben wir erstmal die hochwahrscheinliche Menge.
Wir müssen dann natürlich noch auflösen.
Also das ist jetzt hier erstmal eine sinnvolle Bildung.
Wir haben versucht, eine hochwahrscheinliche Menge möglichst klein zu
machen.
Wir sind natürlich jetzt rangegangen, das war so eine Art
Symmetriebetrachtung.
Von links und rechts haben wir jeweils Alpha halber an
Wahrscheinlichkeitsmasse weggenommen im Stabdiagramm.
Unter Umschwimmen bekommt man noch die Menge etwas kleiner, aber das
ist hier eine praktikable Möglichkeit, ranzugehen.
Okay, also es gilt immer U von Theta kleiner gleich O von Theta.
Das liegt an diesem Alpha halber.
Und die Wahrscheinlichkeit von dieser Menge A von Theta ist mindestens
1 minus Alpha.
Das haben wir jetzt erreicht für jedes Theta.
Das ist nochmal das Memo, das ist das U von Theta.
Und jetzt kommt Folgendes.
Ich möchte ein bisschen über das U von Theta aussagen, über das O von
Theta.
Was Sie dort oben sehen, diese Summe dieser
Binomialwahrscheinlichkeiten, ich sage es nochmal, ist die
Wahrscheinlichkeit höchstens K minus 1 Treffer zu erzielen.
Wir betrachten das jetzt mal als Funktion von Theta.
Intuitiv sollte Folgendes klar sein, wenn Sie die
Erfolgswahrscheinlichkeit erhöhen und halten K fest, dann ist die
Wahrscheinlichkeit höchstens K minus 1 Treffer zu erzielen, wenn die
Erfolgswahrscheinlichkeit wächst, wird immer kleiner.
Das heißt, diese Summe, die ich nochmal hier hingeschrieben habe,
sollte immer kleiner werden, wenn Theta wächst.
Sollte eine streng monoton fallende Funktion sein von Theta.
Das sehen Sie natürlich diesem Polynom nicht an, das ist ein Polynom
im Einheitsintervall.
Aber jetzt kommt was Interessantes, diese Summe ist exakt dieser
Ausdruck.
Glauben wir das erstmal?
Wenn wir das glauben, da steht 1 minus und Sie sehen das Theta auf der
rechten Seite als obere Grenze in einem Integral und der Integrand ist
nicht negativ.
Das heißt, wenn Sie Theta erhöhen, wächst das Integral streng monoton
und damit natürlich auch das mit dem Vorfaktor und da steht aber 1
minus.
Das heißt, Sie haben eine streng monoton fallende Funktion von Theta,
stetig und streng monoton fallend.
So, woran liegt diese Identität?
Das ist eine sehr interessante Identität.
Die liegt einfach daran, differenzieren Sie beide Gleichungen nach
Theta.
Da werden Sie sehen, die Ableitungen stimmen überein.
Bei der linken Seite brauchen Sie dann so eine Produktregel.
Das ist eine ganz einfache Rechnung.
Und die Anfangsbedingungen sind auch klar, wenn Sie Theta gleich 0
setzen, dann sind eben beide Seiten 1.
Das bedeutet einfach gleiche Ableitung, Anfangsbedingungen 0, damit
sind die Funktionen identisch.
Ein bisschen Analysis.
Das bedeutet, es gilt diese Identität.
So, damit sieht man natürlich jetzt sofort, schauen Sie sich da oben
die Funktionen an, also die rechte Seite ist damit stetig und streng
monoton fallend in Theta.
Damit ist diese Funktion monoton wachsend.
Die Funktion U, die ordnet ja dem Theta so ein K zu, im
Stichprobenraum ist das jetzt hier.
Und das K kann natürlich nur die Werte von 0 bis N annehmen und die
Funktion ist jetzt monoton wachsend.
Dann sehen Sie an, wenn Sie das Theta erhöhen, habe ich gesagt, die
Wahrscheinlichkeit höchstens K-1 Treffer zu erzielen, wird immer
kleiner.
Wenn Sie Theta erhöhen, wird das immer kleiner.
Das heißt, Sie können unter Umständen dann das K vergrößern und
bleiben immer noch kleiner gleich Alpha-Halbe.
Das bedeutet, die Funktion U wächst.
Und aufgrund des kleiner gleich Alpha-Halbe sehen Sie auch sehr
schnell ein, sie ist rechtzeitig stetig.
Das führe ich jetzt hier nicht vor.
Die Funktion U ist rechtzeitig stetig.
Das heißt, wir haben hier auf jeden Fall eine monoton wachsende
Funktion.
Und jetzt kommt es, sehen wir uns das O von Theta an.
Da haben Sie jetzt die Summe stehen, J von K plus 1 bis N, dann kommen
die Binomialwahrscheinlichkeiten.
Hier ist es die Wahrscheinlichkeit, mindestens K plus 1 Treffer zu
erzielen.
Und Sie würden sofort sagen, naja, mindestens K plus 1 Treffer zu
erzielen, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit wächst, dann sollte auch
die Wahrscheinlichkeit wachsen, wenn ich eine größere
Trefferwahrscheinlichkeit habe.
Intuitiv, völlig klar.
So, und woran liegt das?
Das liegt wieder, sehr einfach sieht man das, an dieser Darstellung.
Sie sehen, diese Summe ist gleich diesem Ausdruck.
Beweis wieder genauso.
Leiten Sie beide Seiten nach Theta ab.
Zeigen Sie, die Ableitungen sind gleich.
Und an der Stelle Theta gleich 0 kommt 0 raus.
Anfangsbedingungen sind auch gleich.
So, damit wächst die Funktion streng monoton.
Das heißt, auch die Funktion O ist dann monoton wachsend.
Natürlich hier nicht streng monoton, aber monoton wachsend.
Im Prinzip können Sie dann das K erhöhen und bleiben immer noch unter
Alpha halbe.
Und diese Funktion U ist dann linksseitig stetig.
Auch das kann man dann elementar nachrechnen.
Das ist jetzt hier nicht so wesentlich.
Also das zu den Funktionen O und U, denn jetzt kommt diese Auflösung,
die ich sagte.
Ich zeichne Ihnen das erstmal.
Also hier ist das Intervall von 0 bis 1.
Hier habe ich jetzt ein etwas kleineres n.
Und ich plotte mal die Funktion U von Theta, so wie sie aussieht.
Die sieht so aus.
Sie wächst.
In dem Fall ist sie rechtsseitig stetig.
Das wäre die Funktion U von Theta.
So sieht sie aus.
Und die Funktion O von Theta, die zeichne ich auch mal ein.
Die ist also linksseitig stetig.
Die sieht so aus.
Das ist die Funktion O von Theta.
Unser Problem war doch folgendes.
Wir müssen die Beziehung x Element a von Theta auflösen nach Theta.
Das heißt, wir müssen jetzt ausgehen.
Das ist erstmal das Memo.
a von Theta ist die Menge aller x.
Jetzt mit u von Theta kleiner gleich x kleiner gleich o von Theta.
So haben wir das konstruiert, die Menge a von Theta.
Und jetzt ist folgender Ansatz für zum Erfolg.
Zu gegebenem x setzen sie an, als L von x, das Infimum aller Theta mit
u von Theta gleich x.
Ich zeichne das.
Hier ist das x.
Und dieses Infimum sieht in dem Fall so aus.
Da unten ist das L von x zu diesem x.
Also das kleinste Theta mit die Funktion o, das ist die blaue.
Der blaue Graph ist gleich x.
Und entsprechend machen sie das mit einem Groß L von x.
Das Supremum aller Theta mit klein u von Theta gleich x, das ist hier.
Das heißt, sie erhalten jetzt zu gegebenem x ein Intervall in Theta.
Nämlich mit der linken Grenze L von x und der rechten Grenze...
klein L von x und der rechten Grenze Groß L von x.
Sie haben einen Intervall in Theta.
Und das Entscheidende ist ja, ich wollte auflösen.
Ich wollte nach dem Theta auflösen.
Und die Auflösung ist jetzt hier gegeben.
Es gilt eben, x ist in A von Theta nach Konstruktion dann und nur
dann, wenn Theta größer ist als L von x, klein L von x und kleiner als
Groß L von x.
Bitte machen Sie sich das klar.
Das ist also wirklich hier genau diese Auflösung, die wir haben.
Und damit haben wir jetzt natürlich auch einen Bereich konstruiert, c
von x.
Das c von x ist nichts anderes als das Intervall von klein L von x bis
Groß L von x.
Damit haben wir die Auflösung erreicht.
Das bedeutet, wenn ich c von x ansetze, hier in dem Fall als das
offene Intervall, wegen diesem größer und kleiner, dann habe ich eben
erreicht, dass ich einen Konfidenzbereich habe, aufgrund dieser genau
dann Wenn-Beziehung.
Ich kann natürlich auch dann vom offenen Intervall zum abgeschlossenen
übergehen.
Ich vergrößere hier dann nur.
Und die Konfidenz wahrscheinlich bleibt auf jeden Fall mindestens 1
minus Alpha.
Das ist also hier in dem Fall die Vorgehensweise.
Wir werden gleich sehen, wie man dann auch die Konfidenzgrenzen...
Wie heißen dann Konfidenzgrenzen?
Das klein L von x heißt die untere Konfidenzgrenze und das Groß L von
x heißt obere Konfidenzgrenze für Theta zur
Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 minus Alpha.
Das sind die üblichen Sprechweisen.
Ich zeige Ihnen das nachher auch noch, wie es dann ausgerechnet wird.
Dazu braucht man dann Computer.
Das ist natürlich jetzt in Statistikprogrammen auch fest etabliert.
Wir werden uns hinterher noch überlegen, was bei großem N passiert.
Das kann man auch approximativ gut angeben, mithilfe des zentralen
Grenzwertsatzes.
Das ist dann auch sehr schön, dass man sieht, was bei großem
Stichprobenumfang passiert.
Ja, das ist nochmal das Memo.
Das ist klein L und Groß L.
Und U von Theta war das größte K im Stichprobenraum mit dieser
Eigenschaft.
Höchstens K minus 1 Treffer.
Die Wahrscheinlichkeit ist höchstens Alpha halbe.
Und hier mehr als K Treffer, also mindestens K plus 1 Treffer.
Auch die Wahrscheinlichkeit soll höchstens Alpha halbe sein.
Das ist hier noch das Memo.
Und für die Funktionen klein L und Groß L gilt, und das steht jetzt
dann auf dem nächsten Übungsblatt.
Also einmal klein L von 0 ist 0.
Und Groß L von 0 ist dieser Ausdruck.
Wir sehen 1 minus und dann die n-te Wurzel aus Alpha halbe.
Und bei dem Klein L von n ist es entsprechend die n-te Wurzel aus
Alpha halbe und Groß L von n ist 1.
Und dann kann man zeigen, wenn ich jetzt eben mindestens einen Treffer
beobachte und höchstens n minus 1.
0 heißt ja kein Treffer und n heißt n Treffer beobachten.
Wenn ich jetzt mindestens einen Treffer habe und höchstens n minus 1,
dann ist das Klein L von x eine Lösung Theta folgender Gleichung.
Das heißt, wir sehen diese Gleichung mindestens Klein x Treffer zu
beobachten.
Die Summe dieser Binomialwahrscheinlichkeiten ist gleich Alpha halbe
und das müssen wir auflösen nach Theta.
Da muss man jetzt Computer einsetzen.
Wir geben n und jetzt kommt die Numerik ins Spiel.
Wie man das dann macht, ist jetzt nicht mehr Aufgabe der Stochastik.
Das Groß L ist Lösung Theta der Gleichung.
Jetzt haben Sie es entsprechend, Summe j von 0 bis x, das heißt
höchstens Klein x Treffer.
Auch hier dann Polynom in Theta, Lösung Theta dieser Gleichung.
Also am Ende steht wieder Alpha halbe.
Das wäre dann Teil einer Führungsaufgabe.
Und das Entscheidende ist, darum müssen Sie sich dann im Einzelnen
nicht kümmern.
Früher gab es Tabellen, die man nachgesehen hat.
Heute hat man auch Statistikpakete und Computerprogramme, die diese
Klein L und Groß L Funktionen bereitstellen.
Natürlich hängt alles von N ab.
Sie sehen, N steht dort auch in dem Binomialkoeffizient.
Eigentlich müsste ich sagen Klein L N und Groß L N von x.
Das wäre auszurechnen.
Ich will Ihnen nochmal das Ganze konzeptionell zeigen.
Also hier sehen Sie auf der x-Achse aufgetragen das Theta.
In dem Fall ist es eben der Bereich wieder von 0,1, möglichen
Wahrscheinlichkeiten.
Nach oben sehen Sie die möglichen Stichprobenergebnisse.
Das sind die Trefferanzahlen Klein x.
Das geht von 0 bis N.
Das ist diskret.
Die y-Achse ist diskret.
Sie haben nur endlich viele Werte.
Und dann sieht es so aus.
Wir geben uns mal hier einen Theta 1 vor.
Und zu diesem Theta 1 konstruieren wir eine hochwahrscheinliche Menge.
Das heißt, wir brauchen das Klein u von dem Theta 1 und das Klein o.
So, und zu diesem Theta 1, das ist das Klein u von Theta 1.
Wir sehen dort einen ganz bestimmten Wert.
In dem Fall fangen Sie bei 0 an, unten 1, 2, 3, 4.
u von Theta 1 wäre 4 und u von Theta 1 5, 6, 7, 8, 9 müsste 10 sein.
Das wären konkret die Werte.
Das heißt, ich hätte jetzt hier gewisse Stichprobenwerte, die ich
jetzt rüberschieben könnte auf die y-Achse.
Das wäre mein Bereich A von Theta 1.
So, ich kann das gleiche jetzt machen mit einem Wert Theta 2.
Theoretisch muss ich das gedanklich für jedes Theta machen.
Auch hier konstruiere ich eine hochwahrscheinliche Menge.
Ich brauche jetzt ein Klein u von Theta 2 und ein Klein o von Theta 2.
So, die Funktionen u, die wachsen.
Sie sehen, Sie haben hier von u von Theta 2 und o von Theta 2.
Da haben Sie jetzt also diese Stichprobenelemente.
Sie könnten sie wieder rüberschieben, rüberprojizieren auf die y
-Achse.
Das können wir jetzt gedanklich machen für jedes Theta.
Und was dann rauskommt, sieht so aus.
Sie sehen, das ist jetzt eingebettet.
Das sind nur zwei Fälle von unendlich vielen.
Sie gehen von Theta nach 0,1 und Sie bekommen sowas hier raus.
Ich mache das mal hier weg.
Jetzt kommt die Auflösung.
Das heißt, Sie müssen jetzt vertikal sehen.
Zu jedem Theta haben Sie jetzt eine hochwahrscheinliche Menge.
Sie bekommen jetzt einen Schnitt dadurch und die Werte, die Sie
treffen, die projizieren Sie rüber.
Das sind die hochwahrscheinlichen Mengen.
Jetzt haben Sie einen konkreten Wert x.
Das ist jetzt hier eine Trefferanzahl, eine beobachtete.
Jetzt kommt die Auflösung.
Das heißt, hier ist Ihr l von x und das L von x.
Das war die Sache mit dem Infimum und dem Supremum.
So, und das ist dann Ihr Konfidenzbereich c von x, das Intervall.
Zwischen den Grenzen l von x und L von x.
So ist das Ganze gemacht.
Zu jedem x haben Sie jetzt diesen Bereich.
Für ein allgemeines Theta nochmal, das war die hochwahrscheinliche
Menge.
Und wenn Sie die rüber projizieren, dann sind die Punkte da und das
ist Ihre Menge a von Theta.
Für jedes Theta haben Sie so eine hochwahrscheinliche Menge.
Das heißt, was wir hier dann aufgezeichnet haben, also dieser braune
oder beige Bereich, das ist die Menge eben aller Paare Theta, x in
kathesischem Produkt Großtheta, Kreuzstichprobenraum mit der
Eigenschaft x Element a von Theta.
Aber das war nur eine Sichtweise.
Äquivalent dazu, drunter, c von x enthält Theta.
Was gleichbedeutend ist.
Das war die Auflösung.
Also das Entscheidende ist eben das allgemeine Konstruktionsprinzip,
was relativ einfach zu verstehen ist.
Starten mit einer hochwahrscheinlichen Menge, die für jedes Theta eine
Menge im Stichprobenraum ist, gewisse x, x liegen dann in a von Theta
und bitte schön diese Relation auflösen nach Theta.
Wir werden das später machen für große Stichprobenumfänge und dann
wird es wirklich einfach werden.
Da braucht man dann nur noch den zentralen Grenzsatz.
Okay, ich möchte Ihnen hier mal so eine typische Tabelle zeigen.
Sie sehen dort oben Stichprobenumfänge n gleich 20, 30, 40, 50.
Dann sehen Sie links, ganz links, die möglichen Trefferanzahlen, die
Sie beobachten.
Von 0 bis 20, hier das hier.
Und dann sehen Sie also immer klein L von x und groß L von x.
Ich habe hier ein bisschen was hervorgehoben, blau.
Das bedeutet ganz konkret, wenn Sie 4 Treffer beobachten, x gleich 4,
in 20 versuchen, 4 in 20 versuchen, das ist natürlich dann eine
relative Trefferhäufigkeit von 20%.
Dann sehen Sie konkret eine untere Konfidenzgrenze von 0,057 und eine
obere Konfidenzgrenze von 0,437.
Das heißt, Sie würden dieses konkrete Intervall ausrechnen und würden
sagen, aufgrund meiner 4 Treffer in den 20 Versuchen vermute ich
stark, dass das wahre p, was ich nicht kenne, die
Erfolgswahrscheinlichkeit zwischen diesen Grenzen liegt.
Das ist natürlich eine relativ ungenaue Aussage.
0,057, kleine leicht p, kleine leicht 0,437.
Die Vertrauenswahrscheinlichkeit steht unten 1-α.
Sie wissen nicht, ob die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit in
diesem Intervall liegt.
Immer daran denken.
Sie haben aber ein Verfahren angewandt, was eine
Garantiewahrscheinlichkeit hat von 95%, dass das zufällige Intervall,
dessen Realisierung Sie beobachtet haben, eine konkrete Realisierung,
dass das zufällige Intervall das unbekannte p enthält.
Also Sie vermuten stark, dass dieses Intervall, was Sie ausgerechnet
haben, das p enthält, aber Sie haben keine Wahrscheinlichkeit mehr
beim konkreten Intervall.
Sie können nur sagen, ich kann 19 zu 1 wetten, meine
Erfolgswahrscheinlichkeit ist eben hier 95%, aber der Einzige, der die
Wette annehmen könnte, ist Meister Zufall, der das p kennt.
Das ist hier, leider ist es nicht mehr drin.
So jetzt kommt das, der Effekt N gleich 30.
Also stellen Sie sich vor, Sie haben jetzt 6 Treffer, 6 aus 30
Versuchen, ist die gleiche relative Trefferhäufigkeit, 20%, 6 Treffer
von 30.
So und Sie sehen, jetzt haben Sie die Vertrauensgrenzen von 0,077 und
0,386.
Das Intervall ist kürzer geworden, 0,077, die untere Grenze ist
gegenüber 0,057 größer geworden und die obere 0,386 ist kleiner
geworden gegenüber 0,437.
Ihre Datenbasis ist besser geworden.
Das Intervall ist kürzer.
Ich springe mal gleich zu N gleich 50.
Ganz rechts, stellen Sie sich vor, Sie haben 10 Treffer aus 50
Versuchen, gleiche relative Trefferhäufigkeit von 20%, 0,2.
Jetzt ist die untere Vertrauensgrenze, die konkrete 0,1, gegenüber den
0,057 bei 0,20 Versuchen, gleiche relative Trefferhäufigkeit.
Sie sind natürlich jetzt hier deutlich größer geworden, die untere
Grenze.
Und die obere 0,337 ist natürlich im Vergleich zu 0,437 auch deutlich
kleiner geworden.
Das Intervall ist nochmal kürzer geworden.
Und bei wachsendem N wird es immer kürzer.
Wir werden auch gleich sehen, die Länge wird gegen 0 gehen bei
wachsendem N und wie die Konvergenzgeschwindigkeit sein wird.
Das ist einfach die verbesserte Datenbasis.
Hier gab es früher dicke Tabellen, heute ist das natürlich alles
ersetzt durch Computerprogramm.
Aber das sollte man sehen.
Noch vielleicht was zum Konzept.
N gleich 50, ich habe hier im Zufallszahlengenerator ein P
eingestellt, was ich Ihnen nicht mitteile.
Und dann habe ich eben im Computer bei Nullikette simuliert der Länge
50 mit diesem P. Das P gebe ich Ihnen später an.
Dann habe ich folgendes gemacht.
Ich habe die ersten 50 Versuche gemacht und dann habe ich einen
Konfidenzbereich ausgerechnet, einen ganz konkreten, der so aussieht.
Das ist das Intervall.
Sie können das jetzt auch auf die Y-Achse projizieren.
Intervall, untere Grenze etwas kleiner als 0,2 und die obere etwas
größer als 0,4.
Dann habe ich das gleiche wiederholt, unter gleichen Bedingungen,
unabhängig.
Und habe natürlich ein anderes Intervall bekommen.
Dann habe ich das nochmal wiederholt, habe ich das Intervall bekommen.
Ich habe es nochmal wiederholt.
Sie sehen also, die Intervalle sind jetzt Realisierungen des Zufalls
und ich habe das insgesamt 30 Mal gemacht.
Sie sehen die Intervalle schwanken.
Das Verfahren ist so gemacht, wenn ich das immer wieder auf die Dauer
mache, jetzt kommt das Gesetz der großen Zahlen.
Meine Vertrauenswahrscheinlichkeit ist 0,95.
Auf die Dauer ist eben der relative Anteil der Intervalle, die das
wahre p wirklich enthalten, der relative Anteil, der zufällige
relative Anteil, wird stochastisch konvergieren gegen die wahre
Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Intervall das p enthält.
Und das ist mindestens 0,95.
Jetzt gebe ich Ihnen das p an.
Das p ist also hier.
Und Sie sehen alle Intervalle bis auf 1.
Das war beim 19.
Versuch.
Das liegt also ganz unterhalb.
Alle anderen Intervalle enthalten dieses p.
Ob Ihr Intervall im konkreten Einzelfall das p enthält, wissen Sie
nicht.
Sie müssen immer sehen.
Das hängt vom Zufall ab.
Das ist einfach jetzt konzeptionell immer im Hinterkopf zu haben.
Das heißt, die Intervalle schwanken.
Ja, ich möchte noch auf Folgendes eingehen, bevor wir eine Pause
machen.
Manchmal ist man auch im Fall der Binomialverteilung nur interessiert
an einer Absicherung des unbekannten p nach oben.
Ich möchte kein zweiseitiges Intervall haben.
Stellen Sie sich vor, Sie wissen von vornherein, p ist klein.
p ist vielleicht irgendeine Ausfallwahrscheinlichkeit.
Dann möchten Sie natürlich nur möglichst gut wissen, wie hoch ist
diese Ausfallwahrscheinlichkeit höchstens.
Die Absicherung 0 nach unten ist sowieso klein.
Aber Sie möchten nicht noch ein zweiseitiges Konfidenzintervall haben.
Die Absicherung soll nur nach oben erfolgen.
Das heißt, Sie möchten gerne ein einseitiges Intervall haben.
Von Typ 0 ist die untere Grenze und nur die obere Grenze hängt vom
Zufall ab.
Da geht man völlig analog vor.
Das heißt, wenn Sn diese Binomialverteilung hat mit n und p, Theta ist
hier wieder p.
Das ist unser Parameterbereich.
Das ist wieder die Binomialwahrscheinlichkeit, wie gehabt, J-Treffer
zu beobachten.
Das ist unser Stichprobenraum.
Also alles wie bisher.
Und jetzt haben wir nur ein Interesse an einer oberen Konfidenzgrenze
für p oder Konfidenzschranke.
Jetzt ist eine Modifikation.
Die hochwahrscheinliche Menge, die nenne ich jetzt mal A-Schlange von
Theta, um sie dann zu unterscheiden von dem A von Theta, auch die soll
jetzt hochwahrscheinlich sein.
Und eben war es so, dass wir bei der Binomialverteilung im
Stabdiagramm von beiden Seiten Wahrscheinlichkeitsmasse weggenommen
haben, höchstens Alpha-Halbe, und dann blieb dazwischen die
hochwahrscheinliche Menge über.
Das war der Ansatz.
Jetzt nehmen wir nur an einer Seite Wahrscheinlichkeitsmasse weg.
Das heißt, wir arbeiten jetzt nur mit einem U-Schlange, das entspricht
der Funktion U von eben.
Und die Bildung ist ganz ähnlich.
Für ein Alpha zwischen 0 und 1 setzen wir an, U-Schlange von Theta,
das größte k im Stichprobenraum.
Hier steht wieder das gleiche wie eben, höchstens k-1 Treffer und eben
stand auf der rechten Seite höchstens Alpha-Halbe.
Und jetzt schreiben wir hierhin Alpha.
Das ist der Unterschied.
Das heißt, wir haben gar keine Funktion U von Theta, gar keine
Funktion O oder O-Schlange von Theta, sondern wir arbeiten hier mit
dem U-Schlange von Theta.
So, was bedeutet das?
Hier sehen Sie nochmal das Stabdiagramm.
Das heißt, jetzt kommen wir von links, und zwar nur von links, und
sagen, diese Wahrscheinlichkeitsmasse ist kleiner gleich Alpha, aber
wenn ich hier noch einen Wert dazunehme, wird sie größer als Alpha und
damit haben Sie das U-Schlange von Theta, das ist dieser Wert.
Und das Entscheidende ist natürlich die Summe der Stäbchenlängen, hier
was gelb eingezeichnet ist, dieser Teil der Binomialverteilung, die
Wahrscheinlichkeitsmasse, ist mindestens 1 minus Alpha.
Der links davon, das blaue, ist höchstens Alpha.
Also habe ich die hochwahrscheinliche Menge wieder.
Genauso wie eben.
Das Entscheidende ist, das U-Schlange von Theta ist natürlich größer
gleich dem U von Theta, weil ich bei dem U von Theta von links kommt
eben nur Alpha-halbe Wahrscheinlichkeitsmasse weggenommen habe.
Das sieht man auch an der Definition da oben.
Und ich zeichne Ihnen auch hier mal das Bild, also hier sieht es so
aus.
Das ist das gleiche Bild von eben.
Jetzt haben Sie U-Schlange von Theta.
Und das wäre jetzt hier wieder die Funktion.
Das sieht also erst mal rein optisch genauso aus.
Und hier würde man jetzt einen Konfidenzbereich konstruieren.
Das ist die Menge A-Schlange von Theta, die Menge aller X
-Trefferanzahlen in unserem Stichprobenraum.
Und zwar, dass U-Schlange von Theta kleiner gleich X ist.
Und L-Schlange von X setzen wir jetzt an als Supremum.
Das heißt, wir haben also die Bildung wie eben.
Eben war das Schlange weg.
Da hatten wir L von X.
Und für U-Schlange hatten wir U.
Das heißt, wenn wir hier das X haben, kommen wir zu diesem Wert.
Das ist in dem Fall L-Schlange von X.
Das heißt, wir haben hier keine Absicherung nach unten, sondern nur
eine Absicherung nach oben.
Obere Konfidenzgrenze.
Und auch hier haben wir diese Genau-Dann-Wenn-Beziehung.
Das ist eben hier mit dem L-Schlange und dem A-Schlange.
Die Auflösung der Beziehung X-Element A-Schlange von Theta nach dem
Theta.
Auch hier ist es wirklich eine einfache Überlegung.
Die sollten Sie selbst anstellen.
Und damit haben wir hier so einen Intervall.
Sie sehen, die untere Grenze ist 0.
C-Schlange von X ist ein Intervall mit unterer Grenze 0.
Wir brauchen keine Absicherung nach unten.
Das P ist immer größer, gleich 0.
Aber nach oben haben wir eine Absicherung durch das L-Schlange.
Das ist die obere Konfidenzgrenze.
Und wenn ich das mal vergleiche...
Sie sehen, ich habe hier noch eingezeichnet das U von Theta zum
Vergleich.
Dann sehen Sie, bei dem U von Theta musste ich mich nach beiden Seiten
absichern.
Da hatte ich auch noch ein O von Theta nach links.
Da haben Sie ein entsprechendes L von X.
Und Sie sehen, das L von X ist größer als das L-Schlange von X.
Das bedeutet, mein Intervall ist jetzt nach oben hin kürzer geworden.
Die Aussage ist genauer.
Aber ich habe keine Absicherung nach unten mehr.
Die hatte ich vorher.
Das ist der Unterschied.
Das heißt, im Vergleich zu diesem Intervall, was wir vorher hatten,
dem zweiseitigen, wird die Aussage nach oben genauer, nach unten wird
sie ungenauer.
Ich hatte vorher wirklich noch eine untere Grenze.
Die ist jetzt 0.
Aber es kommt immer darauf an, was ich möchte.
Was die Fragestellung ist.
Gerade bei Ausfallwahrscheinlichkeiten von Geräten, da weiß man, das P
ist sowieso klein.
Und mich interessiert nur eine verlässliche obere Konfidenzgrenze und
nicht mehr.
Wir haben also bei so einer oberen Konfidenzgrenze nur eine Funktion,
L -Schlange.
Und auch hier eine A-Schlange von Theta, was anders gebildet war.
Das U-Schlange kommt hier auch vor.
Das Entscheidende ist, Alpha-Halbe war durch Alpha ersetzt.
Und dadurch ergeben sich natürlich auch hier für die obere
Konfidenzgrenze, das war das Memo, so war es im zweiseitigen Fall.
Und im einseitigen ist es hier so, das war nochmal das Memo, nochmal
der zweiseitige Fall, wie das L von X aussah.
Sie sehen ganz rechts auf der Gleichung das Alpha-Halbe.
Das war eben hier der Fall, wo die Numerik dann kommen musste, dass
man das ausrechnen kann.
Und wir haben Alpha-Halbe einfach durch Alpha ersetzt.
Insofern ist klar, dass hier das L-Schlange von 0, Sie sehen, da ist
jetzt Alpha, 1-N-te Wurzel aus Alpha, im Memo oben steht Alpha-Halbe.
L-Schlange von N ist wieder 1.
Und dann haben wir L-Schlange von X für jedes X von 1 bis N-1.
Und Sie sehen, wenn Sie die Gleichung oben im Memo vergleichen mit
dieser, sehen Sie, Alpha-Halbe ist durch Alpha ersetzt worden.
Das heißt, da ändert sich jetzt konzeptionell nichts mehr.
Okay, ich möchte Ihnen jetzt zeigen, dass sich das nicht nur auf den
Binomialfall beschränkt.
Ich möchte das aber nur andeuten.
Also für andere Verteilungen geht dieses Prinzip genauso.
Das Prinzip war eben hochwahrscheinlich die Menge konstruieren und die
Beziehung X-Element A von Theta auflösen nach Theta und so einen
Konfidenzbereich konstruieren.
Bei der Poisson-Verteilung kann man das so machen.
Hier ist das Modell, dass Sie unabhängige Zufallsvariablen haben, je
mit gleicher Poisson-Verteilung.
Und Lambda ist in dem Fall der unbekannte Parameter.
Bislang war Lambda immer bekannt.
Wir haben dann was ausgerechnet, Erwartungswert, Varianz oder
irgendwelche Wahrscheinlichkeiten.
Sie sehen, das Theta ist hier das Lambda und der Parameterbereich ist
das Intervall von 0 bis unendlich.
Lambda ist ein positiver Parameter.
Wenn wir hier unabhängige Zufallsvariablen haben, die jeweils diese
Poisson -Verteilung haben, dann wissen wir aufgrund des
Additionsgesetzes, wenn ich die alle aufsummiere, dann entsteht wieder
eine Poisson-Verteilung.
Die Parameter addieren sich.
Also Yn wäre die Summe von N solchen unabhängigen Zufallsvariablen und
die Parameter sind immer Lambda.
Also hat das eine Poisson-Verteilung mit Parameter N mal Lambda.
Das war das Additionsgesetz.
Wir hatten das mit der Faltungsformel dann bewiesen, im Kapitel über
die Poisson-Verteilung.
So, der Stichprobenraum X, das sind hier die nicht-negativen ganzen
Zahlen.
Das ganze Verfahren basiert also hier auf der Summe der Xj.
Ich könnte natürlich gleichbedeutend auch durch N teilen, dann hätte
ich die relative...
Häufigkeit kann ich nicht sprechen, also das wäre natürlich hier das
arithmetische Mittel, dieser Xj, aber ich basiere den Konfidenzbereich
auf dem Yn und der Stichprobenraum ist in dem Fall das N-Index Null,
also die nicht-negativen ganzen Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit allgemein einer Poisson-Verteilung sieht so
aus.
P -Index µ von K, das haben wir damals gelernt, E auf minus µ, µ hoch
K durch K-Fakultät.
Hier ist der Parameter µ und das K ist aus N Null.
So, in unserem Fall ist der Parameter bei dem Yn das N mal Lambda.
Das wäre also hier dann das µ.
So, jetzt kommt die Bildung.
Wieder die hochwahrscheinliche Menge.
Sie müssten sich jetzt Stabdiagramme von Poisson-Verteilungen
vorstellen, aber die Bildung ist genau die gleiche.
Ich komme von links und komme von rechts und nehme jeweils Alpha-Halbe
weg.
Und das, was überbleibt, ist die hochwahrscheinliche Menge.
Das heißt, der Ansatz ist genauso wie im Venomialfall.
Das heißt, ich habe ein Maximum erstmal von K´s, Sie sehen, jetzt ist
das N mal Lambda.
Das sind hier die Poisson-Wahrscheinlichkeiten mit N mal Lambda.
Dass sich etwas einstellt, was höchstens K-1 ist.
Diese Wahrscheinlichkeit sollte höchstens Alpha-Halbe sein.
Und entsprechend das O von Theta ist wieder ein Minimum aller K´s.
Derart und jetzt geht die Summe sogar von K plus 1 bis unendlich.
Eine Poisson-Verteilung nimmt ja alle Werte aus N Null mit positiven
Wahrscheinlichkeiten an.
Auch Alpha-Halbe.
Das heißt, wir kommen wieder im Stabdiagramm von links und rechts.
Ich will das jetzt nicht zeichnen.
Aber jedenfalls, die Bildung ist genau die gleiche wie im
Venomialfall.
Und dann setzt man wieder an.
Das kleine L, also ein Infimum aller positiven Theta mit O von Theta
gleich Y.
Und das große L als Supremum aller Theta, U von Theta gleich Y.
Auch da könnte man gleiche Bilder machen wie eben.
Aber es ist konzeptionell jetzt nichts Neues mehr.
Und dann hat man eben genau diese Bildung.
Das Theta liegt in einem Offenintervall mit der unteren Grenze klein L
von Y und der oberen Grenze groß L von Y.
Genau dann, wenn das Y in diese hochwahrscheinliche Menge fällt mit
den Grenzen U von Theta und O von Theta.
Und damit haben Sie hier auch wieder einen Konfidenzbereich.
Der Konfidenzbereich sieht dann so aus.
Sie können sagen, die Wahrscheinlichkeit.
Und Sie sehen, ich habe jetzt die Zufallsvariable eingesetzt.
Jetzt habe ich zufällige Grenzen.
Klein L von Yn und Groß L von Yn.
Zufälliges Intervall, dass dieses zufällige Intervall das Theta
enthält.
Die Wahrscheinlichkeit ist mindestens 1 minus Alpha für jedes Theta.
Also Sie sehen, das ist nicht beschränkt auf den Binomialfall.
Ich kann damit auch andere Verteilungen behandeln.
Also alles analog.
Im Binomialfall, erinnern Sie sich, haben wir gearbeitet mit
Integraldarstellungen für Wahrscheinlichkeiten.
Einmal höchstens so und so viele Treffer zu bekommen, war eine
Integraldarstellung in Abhängigkeit von der Erfolgswahrscheinlichkeit.
Und auch mindestens eine bestimmte Anzahl von Treffern zu bekommen,
war auch eine Integraldarstellung.
Und hier hat man eine ähnliche Integraldarstellung.
Sie sehen, Sie haben hier links stehen vom Gleichheitszeichen eine
Summe von Poisson-Wahrscheinlichkeiten.
Sie sehen Summe J von K bis unendlich.
E hoch minus U, U hoch J durch J-Fakultät.
Das wäre Poisson-Verteilung mit Parameter U.
Auf der rechten Seite sehen Sie ein Integral- und Vorfaktor.
Und da ist die obere Grenze U.
An dieser Integraldarstellung sieht man, wenn U wächst, wächst das
ganze streng monoton.
Sie können auch zur komplementären Wahrscheinlichkeit übergehen, also
auf jeder Seite 1 minus schreiben.
Wenn Sie links zum Beispiel 1 minus schreiben, dann steht da 1 minus
diese Summe.
Aber da die Summe von 0 bis unendlich 1 ist, ist 1 minus diese Summe
nichts anderes als die Summe J von 0 bis K minus 1.
Und dann die Poisson-Wahrscheinlichkeit.
Das heißt, Sie haben auch eine Integraldarstellung für die Summe der
Poisson -Wahrscheinlichkeiten von 0 bis zu irgendeinem Wert.
Auch hier Beweis, differenzieren Sie beide Seiten nach U.
Die Ableitungen sind gleich, werden Sie feststellen.
Und dann setzen Sie U gleich 0.
Für U gleich 0 kommt der gleiche Wert raus, nämlich 0 auf beiden
Seiten.
Dann weiß man aus der Analyse, dass beide Seiten als Funktion gleich
sein müssen.
Wenn Sie gleiche Anfangswerte liefern und die Ableitungen gleich sind,
dann können wir die Funktion daraus rekonstruieren.
Das ist eben hier ein Prinzip.
Ja, das geht analog.
Ja, jetzt möchte ich auf etwas kommen, was wir auch hatten schon bei
der Punktschätzung.
Nämlich fragen, was passiert, wenn die Datenbasis immer besser wird.
N wird größer.
Dann wird hier manches einfacher.
Wir wenden nämlich gleich den zentralen Grenzwertsatz von dem Moivre
Laplace an.
Und das wird dann spannend zu sehen, wie diese Konfidenzbereiche sich
verhalten bei wachsendem N.
Ich muss erst begrifflich sagen, was passiert für N gegen unendlich.
Also ich betrachte die Situation, ich habe stochastisch unabhängige
Zufallsvariablen, die identisch verteilt sind.
Und die Verteilung hängt ab vom unbekannten Parameter Theta.
Denken Sie immer an den Binomialfall, der ist uns hier Richtschnur.
Das heißt, diese einzelnen x1, x2 sind Trefferniete, nehmen nur die
Werte 1 und 0 an, sind unabhängig.
Und xj beschreibt eben die Zufallsvariable, die in einer Bernoulli
-Kette angibt, ob der j-Versuch ein Treffer ist oder eine Niete.
Und Theta, das ist ja der Parameterraum.
Und wir hatten auch das gehabt bei der Punktschätzung, jetzt sei x der
Stichprobenraum für jedes einzelne xj.
Das bedeutet, im Bernoulli-Fall ist das nur 0,1.
Da sind nur zwei Werte drin im Stichprobenraum für jedes einzelne xj.
Und dann ist natürlich das n-fache kathesische Produkt, x hoch n, als
Teilmenge des r hoch n, der Stichprobenraum für x1 bis xn.
Also wieder im Bernoulli-Fall, Sie würden hier beobachten für x1 bis
xn Tuple der Länge n aus 0 und 1.
Das wäre hier der Stichprobenraum.
Wenn die xj Poisson verteilt wären, dann würden Sie für jedes einzelne
xj, könnten Sie beobachten, nicht negative ganze Zahlen, also n null
wäre der Stichprobenraum für jedes einzelne xj.
Und damit wäre n null hoch n, n-faches kathesische Produkt, der
Stichprobenraum für die Realisierung von diesem Zufallsvektor.
Jetzt kommt die Definition asymptotischer Konfidenzbereich.
Was ist damit gemeint?
Jetzt brauche ich für jedes n einen Konfidenzbereich.
Ein Konfidenzbereich, Sie sehen das n ist hier an dem c, vorher hatten
wir nur ein c, jetzt haben wir für jedes n so ein c, Abbildung cn, ist
auf dem Stichprobenraum definiert, x hoch n, und geht in die Menge der
Teilmengen von Theta in die Potenzmenge.
So eine Abbildung.
Und jetzt betrachten wir die ganze Folge.
Die ganze Folge nennt man einen asymptotischen Konfidenzbereich für
Theta.
Also asymptotisch heißt jetzt n geht gegen unendlich.
Zum Niveau 1-Alpha oder zur Konfidenzwahrscheinlichkeit, weil das Wort
Niveau ist hier gleichbedeutend mit Konfidenzwahrscheinlichkeit, 1
-Alpha, falls gilt, so jetzt sehen Sie ein Limes für n gegen
unendlich.
Im Limes muss folgendes gelten, vorher hatten wir für jedes die
Wahrscheinlichkeit, dass das zufällige Intervall den unbekannten
Parameter enthält, war mindestens 1-Alpha.
Hier soll folgendes gelten, die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein x
realisiert im Stichprobenraum, derart, dass dann der Bereich das Theta
enthält, vorher war das für jedes feste n mindestens 1-Alpha, jetzt
fordern wir im Limes soll es gleich 1-Alpha sein, im Limes gleich 1
-Alpha für jedes Theta.
Dann spricht man von einem asymptotischen Konfidenzbereich, falls
dieses gilt.
Äquivalent dazu ist Limes n gegen unendlich und Sie sehen, jetzt setze
ich die Zufallsvariablen ein.
Jetzt sehen Sie hier den zufälligen Bereich Cn von X1 bis Xn.
Jetzt haben Sie den zufälligen Bereich, dass dieser Bereich das Theta
enthält, was unbekannt ist und als Index an den p steht.
Diese Wahrscheinlichkeit soll im Limes 1-Alpha sein für jedes Theta.
Also das ist jetzt erst mal eine Definition.
Wir werden jetzt sofort sehen, wie man das im Binomialfall
konstruiert.
Nämlich auf eine sehr einfache Weise.
Letztlich führt das nur darauf auf Schulwissen der 9.
Klasse.
Vielleicht sage ich so, Sie müssen nur eine quadratische Gleichung
lösen.
Ich glaube, das macht man wohl immer noch in der 9.
Klasse.
Früher war das zumindest so.
Also quadratische Ergänzung ist das Stichwort.
Also wir brechen das hier wirklich runter.
Also asymptotische Konfidenzintervalle für p der Binomialverteilung.
Jetzt wird n gegen unendlich gehen.
Also Sn habe eine Binomialverteilung mit n und p.
Und was besagt der zentrale Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace?
Und dieser zentrale Grenzwertsatz besagte ja, wenn das Sn
binomialverteilt ist, p ist jetzt fest, n geht gegen unendlich, wenn
ich das Sn standardisiere, ich muss also den Erwartungswert abziehen,
der ist n mal p, wenn ich das gemacht habe, muss ich teilen durch die
Standardabweichung, das ist Wurzel aus der Varianz, Wurzel aus n mal p
mal 1 minus p, dann strebt die Wahrscheinlichkeit, dass diese so
standardisierte Zufallsvariable in ein Intervall fällt mit den Grenzen
von a bis b für n gegen unendlich gegen das Integral der Gaussian
-Glockenkurve in diesen Grenzen von a bis b.
Das war der zentrale Grenzwertsatz, das machen wir jetzt.
Das bedeutet, der Lime ist n gegen unendlich, der Wahrscheinlichkeit,
Sie sehen p ist dran geschrieben, p ist jetzt der wahre Parameter,
also jetzt die eine Grenze, die war damals a, die nenne ich jetzt
minus h, h ist positiv.
Ich nehme ein symmetrisches Intervall um 0.
Jetzt kommt kleiner gleich, das ist die standardisierte
Zufallsvariable, die ich eben nannte, Sn minus np durch Wurzel np mal
1 minus p und die rechte Intervallgrenze b, die nenne ich jetzt h, h
ist positiv.
So, der Lime ist nichts anderes als Integral der Gaussian-Glockenkurve
in den Grenzen von minus h bis h, das kann ich aber ausdrücken durch
die Verteilungsfunktion Großphi der Standardnormalverteilung, nämlich
Großphi von h minus Großphi von minus h.
Für jedes positive h.
Das ist ein Grenzwertsatz.
Also insbesondere, wir werden nachher sehen, kann ich die rechte Seite
durch geeignete Wahl von h zu 1 minus Alpha machen.
Das schon im Vorgriff.
Aber erstmal rechnen wir dieses Ereignis ein wenig um.
Denn Sie sehen, was hier steht, da steht die Wahrscheinlichkeit unter
p von einem Ereignis, was von n abhängt und p und im Limes soll die
Wahrscheinlichkeit unter diesem p dieser Ausdruck sein, Rechtsphi von
h minus Phi von minus h, was ich zu 1 minus Alpha machen könnte.
Das heißt, ich habe im Limes, könnte ich ein hochwahrscheinliches
Ereignis konstruieren.
Also das im Limes hochwahrscheinlich ist, so sollte ich sagen.
So, ich mache folgendes, das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit im
Limes Großphi von h minus Großphi von minus h ist, forme ich um.
So, ich mache ganz einfach folgendes.
Sie sehen, das ist genau dann der Fall, sehen Sie sofort ein, wenn der
Betrag von Sn minus n mal p durch Wurzel np mal 1 minus p höchstens h
ist.
Das ist gleichbedeutend.
Das liegt zwischen den Grenzen von minus h bis h.
Jetzt können wir folgendes machen, das ist aber gleichbedeutend damit.
Wir quadrieren das einfach mal, genau dann, wenn das Quadrat kleiner
gleich h Quadrat ist.
Was ich erreichen will, ich möchte das nach p auflösen.
Die Beziehung will ich nach p auflösen.
Das ist das Ziel.
Ich will an das p kommen.
Ich bin jetzt erstmal soweit.
Jetzt multipliziere ich mit dem Quadrat des Nenners hoch, dann ist das
genau dann der Fall, wenn Sn minus n mal p Quadrat kleiner gleich h
Quadrat mal n mal p mal 1 minus p ist.
Sieht man ein.
Jetzt sortiere ich ein bisschen um und schreibe das so, dass da
irgendwas rauskommt, irgendwas kleiner gleich 0.
Das heißt, ich rechne jetzt aus und dann habe ich das.
Also, wenn Sie jetzt ein bisschen rechnen, Sie sehen von dem ersten
nach der binomischen Formel ausgerechnet, haben Sie auf jeden Fall n
Quadrat mal p Quadrat.
Das fängt da gleich in der nächsten Zeile wieder an, vorne n Quadrat
mal p Quadrat.
Also, das ist direktes Ausrechnen und Zusammenfassen.
Ich habe sortiert schon nach Potenzen von p.
p Quadrat mal irgendwas minus p mal irgendwas plus irgendwas kleiner
gleich 0.
Und schon ahnt man, dass ich vielleicht irgendwie eine quadratische
Umgleichung hier habe und eventuell 0 Stellen bestimmen muss.
Das kann ich weitermachen, genau dann wenn.
Und jetzt führe ich ein, Sie sehen, da steht das Sn drin.
Sehen Sie, nachdem beachte, ich setze jetzt tn gleich Sn durch n, dann
kann ich das umschreiben.
Also tn ist jetzt die relative Trefferhäufigkeit, die zufällige
relative Trefferhäufigkeit.
Sn modelliert die Zahl der Treffer.
Dann habe ich das.
p Quadrat mal irgendwas minus p mal irgendwas, was nach dem p steht,
hängt vom Zufall ab.
Plus das, was am Ende steht, das tn Quadrat, hängt auch vom Zufall ab.
Ich habe also eine Ungleichung.
p ist unbekannt.
Und gewisse Koeffizienten sind hier vom Zufall abhängig.
Ich schreibe das mal oben wieder hin, das ist das Memo.
Also nochmal, was vor dem genau dann wenn steht, links, da wissen wir,
die Wahrscheinlichkeit, wenn p der wahre Parameter ist, dass das
Ereignis eintritt, konvergiert gegen V von H minus V von minus H.
Da das genau dann wenn ist, bedeutet das, die Wahrscheinlichkeit, dass
das rechte Ereignis eintritt, wenn p der wahre Parameter ist,
konvergiert für n gegen unendlich gegen V von H minus V von minus H.
Jetzt mache ich folgendes, ich löse das nach p auf.
Ich muss Nullstellen bestimmen, folgender Funktion, f von p nenne ich
die kurz, p Quadrat mal 1 plus h Quadrat durch n minus p mal 2 tn plus
h Quadrat durch n plus tn Quadrat.
Ich male Ihnen dazu mal ein Bild.
Also hier läuft das p, das ist f von p und die Funktion sieht so aus,
von der Gestalt her.
Nämlich setzen Sie mal p gleich Null, bilden Sie mal f von Null.
p Quadrat ist dann auch Null, das heißt das erste fällt weg.
Dann steht minus p ab p ist Null, okay, dann bleibt über tn Quadrat.
Das heißt an der Stelle Null habe ich den Wert tn Quadrat.
Quadrat der relativen Trefferhäufigkeit.
Setzen Sie mal jetzt p gleich 1.
Wenn Sie p gleich 1 setzen, vorne steht p Quadrat ist 1, also steht da
erstmal 1 plus h Quadrat durch n.
Dann steht minus p ist 1, minus 2 tn minus h Quadrat durch n oder
vorne war plus h Quadrat durch n.
Also bleibt da nur noch über p Quadrat ist 1, 1 minus 2 tn plus tn
Quadrat.
Das ist aber nichts anderes als 1 minus tn in Klammern zum Quadrat.
Das heißt an der Stelle 1 ist der Wert 1 minus tn in Klammern zum
Quadrat.
So das heißt, das Entscheidende ist, wir brauchen diese beiden
Nullstellen.
Die hängen jetzt vom Zufall ab.
Denn Sie sehen, allein die Werte an der Ordinate, die
Ordinatenabschnitte oder die Werte von 0 und 1 für die Ordinate, dort
sind vom Zufall abhängig.
Das heißt, ich nenne mal die kleinere Nullstelle un und die größere
Nullstelle nenne ich on.
Jetzt müssen Sie da oben das gleich 0 setzen und die quadratische
Gleichung lösen.
Das kann jetzt auch, sollte jeder Schüler, jede Schülerin von Ihnen
dann später können.
Und da kommt folgendes raus.
Also dann haben wir natürlich hier eine Auflösung.
Das ist genau dann der Fall, wenn das p in dieses Intervall fällt.
Oder andersherum, wenn das Intervall von un bis on das p enthält.
Das ist jetzt die Auflösung nach p.
Und ich habe meinen Konfidenzbereich.
Das bedeutet also, das ist genau dann der Fall, wenn ein Intervall mit
den Grenzen von un bis on, Zufallsgrenzen, das p einschließt.
So, sehen wir uns das an.
Es gilt.
Das ist jetzt die untere Grenze.
Sie rechnen jetzt konkret aus.
Ich löse Ihnen keine quadratische Gleichung hier.
Das müssen Sie selbst machen.
Untere Grenze, Sie sehen dort das Minus und die obere Grenze, da sehen
Sie das Plus.
Das ist der Unterschied.
Ansonsten sind die Ausdrücke völlig identisch.
Das heißt, wir haben erhalten im Limes, für entgegen und endlich, ist
die Wahrscheinlichkeit, wenn p der wahre Parameter ist, dass dieses
Intervall mit diesen zufälligen Grenzen un und on das p enthält, im
Limes phi von h minus phi von minus a.
Das h steht obendrin natürlich in un und on.
Es hängt ganz stark von h ab.
So, jetzt kommt der Punkt, den ich sagte.
Das ist natürlich 2 mal phi von h minus 1, denn phi von minus h ist 1
minus phi von h.
Das wissen wir.
2 mal phi von h minus 1.
Jetzt mache ich folgendes.
Ich setze jetzt mal 2 phi von h minus 1.
Das soll 1 minus alpha sein.
Denken Sie an 0,95.
Das kann ich nach dem h auflösen.
Das heißt, ich sehe sofort, phi von h muss dann sein 1 minus alpha
halbe.
Und die Funktion phi ist stetig und streng monoton wachsend, hat eine
Umkehrfunktion.
Das bedeutet, das h ist nichts anderes als die Umkehrfunktion.
Es hängt von alpha ab, ist nichts anderes als phi hoch minus 1 von 1
minus alpha halbe.
So, hierfür gibt es Tabellen in Abhängigkeit von alpha, wie diese
Werte aussehen.
Und natürlich auch heute Statistikpakete, die das automatisch liefern.
Oder Leute wie ich, die das seit Jahrzehnten machen und einige Werte
im Kopf haben mittlerweile.
Also Sie sehen dort Werte.
Sehen Sie insbesondere mal auf 0,95 für das 1 minus alpha.
Da ist der Wert 1,96.
Manchmal für eine Faustregel auch grob 2.
Also das ist hier für uns jetzt ein Wert, der wichtig ist.
Der gehört dazu, zu dem 1,96.
Und ja, was erhalten wir?
Also das nochmal hier, das ON und das UN.
Achso, ich sollte nochmal zurückspringen.
Das mache ich nochmal.
Man sieht insbesondere, wenn ich mehr Vertrauen haben will.
Ich möchte eine Vertrauenswahrscheinlichkeit haben von 0,99.
Dann sehen Sie darunter unter 0,99 2,576.
Das H wird größer.
Das bedeutet dann auch, das kann man jetzt vielleicht nicht ganz so
direkt sehen in den Intervallen, aber die Intervalle werden länger.
Wenn Sie mehr Vertrauen haben wollen, muss die Aussage ungenauer
werden.
Das kann nicht anders gehen.
Wenn Sie volles Vertrauen haben wollen, dann können Sie nur sagen, P
liegt zwischen 0 und 1.
Aber das wussten Sie vorher.
Wir werden gleich die Abhängigkeit von N noch deutlicher
herausarbeiten.
Das ist nochmal das Memo hier.
Einmal das ON, das war mit dem Plus da und das UN mit dem Minus.
Deshalb auch das Plus und Minus.
Jetzt macht man folgendes.
Wir vernachlässigen mal alle Terme, die die Größenordnung 1 durch N
haben.
Sie sehen, nach dem TN steht H² durch 2N.
Das lassen wir mal gleich weg.
Dann hinten steht noch in der Wurzel, vorne steht ja vor der Wurzel
schon H durch Wurzel N.
Und in der Wurzel steht auch noch hinten H² durch 4N.
Das H² durch 4N lassen wir weg.
Und dem Nenner lassen wir das H² durch N weg.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir modifizierte Grenzen.
Also ich nenne die eine Grenze mal UN-Stern.
Die sieht jetzt so aus.
Dann bleibt nur noch über TN minus H durch Wurzel N.
Wurzel TN mal 1 minus TN.
Und das ON-Stern dementsprechend mit TN plus H durch Wurzel N mal
Wurzel TN mal 1 minus TN.
Das ist jetzt sehr vereinfacht worden.
Man kann jetzt Folgendes zeigen.
Wenn ich H wieder ansetze, das von Alpha abhängt, als dieses 4 minus 1
von 1 minus Alpha halbe gilt.
Das kann ich jetzt nicht beweisen.
Das würde man Ihnen dann in der Vorlesung über
Wahrscheinlichkeitstheorie als Übungsaufgabe stellen.
Es gilt auch, dass im Limess für N gegen Unendlich die
Wahrscheinlichkeit, wenn P der wahre Parameter ist, dieses Intervall
mit den zufälligen Grenzen von UN-Stern bis ON-Stern, die viel simpler
sind als die da oben, den Parameter einschließt, ist auch im Limess 1
minus Alpha.
Das heißt, ich habe auch hier einen asymptotischen Konfidenzbereich.
Das gilt für jedes P. Das bedeutet, auch hier so ein Intervall, ich
nenne es jetzt mal CN, das ist nichts anderes als die untere Grenze
ist UN-Stern.
Sie sehen, ich habe jetzt hier die Realisierungen eingesetzt.
Klein x1 bis Klein xn sind die ursprünglichen Werte 0 oder 1 für
Treffer oder Niete.
Aus denen rechnen Sie dann aus die Anzahl der Treffer und rechnen die
relative Trefferhäufigkeit aus.
Das heißt, Sie erhalten dann eine Realisierung von dem Groß TN.
Mit dieser Realisierung gehen Sie dann und rechnen dann konkrete Werte
für UN-Stern und ON-Stern aus.
So wird das dann konkret in der Praxis aussehen.
Aber Sie sehen, das Intervall ist ein asymptotischer Konfidenzbereich
für P zu diesem Niveau 1 minus Alpha.
Wenn Sie sich ansehen, wie die Grenzen sind von UN-Stern und ON-Stern,
dann sind die symmetrisch um die zufällige relative Trefferhäufigkeit.
Denn bei UN-Stern steht TN minus etwas und bei ON-Stern steht TN plus
etwas.
Und was abgezogen wird und was addiert wird, ist identisch.
Das heißt, wir können sofort angeben, wie lang das Konfidenzintervall
ist.
Wenn wir ON-Stern minus UN-Stern bilden, das heißt, wenn wir diese
Differenz bilden, dann bleibt über 2 mal h durch Wurzel N mal Wurzel
TN mal 1 minus TN.
Das heißt, die Länge dieses Konfidenzintervalls wird bestimmt durch
den Stichprobenumfang.
Der steckt natürlich drin in dem Wurzel N.
Sie müssen immer daran denken, dass TN stabilisiert sich auf die
Dauer, denn die zufällige relative Trefferhäufigkeit konvergiert
stochastisch, das wissen wir nach dem Gesetz der großen Zahlen, gegen
das unbekannte P. Und dann wissen wir auch, die Wurzel konvergiert
stochastisch gegen Wurzel aus P mal 1 minus P. Das Entscheidende ist,
das Intervall wird aber kürzer, weil Wurzel N im Nenner steht.
Und die Länge hängt natürlich auch von h ab.
Wir haben gesehen, in dem h steckt das Alpha.
Ob 0,05 oder 0,01 macht einen Unterschied.
Einmal habe ich 0,95 als Konfidenzwahrscheinlichkeit, dann muss ich
für h einsetzen, 1,96 haben wir gesehen.
Aber wenn ich höheres Vertrauen haben will, 0,99, 99 Prozent, dann
muss ich für h einen Wert einsetzen über 2,5.
Das Intervall wird länger.
Wir sehen also, was hier drin steckt, in diesem Konfidenzintervall für
das P der Binomialverteilung bei großem N.
Die Konfidenzwahrscheinlichkeit steckt in dem h.
Der Zufall steckt natürlich noch in dem tn.
Wir wissen nicht, was Sie beobachten.
Aber Sie können auf jeden Fall sagen, tn liegt doch zwischen 0 und 1.
Also muss tn mal 1 minus tn, ist höchstens ein Viertel.
Die Funktion x mal 1 minus x, x im Einheitsintervall nimmt ihr Maximum
an für x gleich ein Halb, kommt ein Viertel raus.
Wenn Sie hier die Wurzel ziehen, ist die Wurzel höchstens ein Halb.
Das heißt, Sie haben auf jeden Fall eine obere Schranke.
Das Halb hebt sich gegen die 2 weg von h durch Wurzel n.
Völlig unabhängig von dem tn.
Das Intervall hat höchstens diese Breite.
Und jetzt können Sie natürlich rangehen und können auch sagen, okay,
erstmal habe ich eine Faustregel.
Die Faustregel ist, wenn ich gern die Länge des Konfidenzintervalls
halbieren möchte, halbe Länge, dann muss ich, weil das n mit der
Wurzel im Nenner steht, muss ich den Stichprobenumfang vervierfachen.
Ein viermal größerer Stichprobenumfang wegen der Wurzel liefert mir
ein halb so langes Konfidenzintervall.
Grobe Faustregel.
Also man hat hier natürlich die Möglichkeit auch, das n zu planen.
Zum Beispiel, wie viele Leute möchte ich befragen, damit ich
vielleicht irgendwie bei einer Meinungsumfrage, wo es vielleicht darum
dreht, vielleicht die Anhänger irgendeiner Partei zu sichten, zu
sagen, der Prozentsatz ist eben so und so hoch.
Dann haben Sie natürlich hier in der Handhabe auch das n ein bisschen
zu planen vorher.
Sie möchten gern, die Aussage soll so genau sein.
Wir gehen gleich auf diesen Punkt ein.
Das ist hier wichtig im Zusammenhang mit der Binomialverteilung.
Sie sehen also, wir haben nur den zentralen Grenzwertsatz angewandt
von dem Moiré-Laplace und wir haben eine quadratische Gleichung
gelöst.
Also konzeptionell war das jetzt nicht viel.
Folgendes sollte man beachten.
Aus dieser Aussage im Limes die Wahrscheinlichkeit unter p.
Sie sehen, was ich jetzt mache.
Ich möchte auf die einseitigen Intervalle raus.
Sie sehen dort wieder die standardisierte binomialverteilte
Zufallsvariante.
Jetzt haben wir aber nur die Aussage größer gleich minus H-Schlange.
So größer gleich heißt immer, die Wahrscheinlichkeit komplementär ist
das 1 minus Wahrscheinlichkeit kleiner zu sein.
Im Limes kommt hier raus 1 minus V von minus H-Schlange.
Auch hier zentraler Grenzwertsatz von dem Moiré-Laplace.
Größer gleich a zu sein, kleiner gleich b.
Und wenn jetzt b unendlich ist, ist im Limes das Integral von a bis
unendlich über die Gauss'sche Glockenkurve.
Das a ist hier minus H-Schlange.
So, das ist natürlich 1 minus V von minus H-Schlange ist V von H
-Schlange.
Und jetzt kann ich das natürlich auch nach dem p auflösen.
Also Sie sehen, was ich jetzt hier mache, so wie eben.
Eben hatte ich was Zweiseitiges.
Da stand rechts noch kleiner gleich 1 H.
Jetzt habe ich hier sozusagen nur die einseitige Ungleichung.
Das ist genau dann der Fall, wenn p kleiner gleich 1 O-N-Schlange ist.
Und O-N-Schlange ist jetzt auch Lösung einer quadratischen Gleichung.
Und Sie sehen, Sie haben hier das Plus.
Das ist die gleiche Bildung wie vorher.
tn plus H-Schlange quadratisch.
Und dann plus H-Schlange durch Wurzel n.
Und das ist die größere der beiden Nullstellen einer quadratischen
Gleichung für p.
Aber konstitutionell nichts anderes, als was wir eben hatten.
Ich muss das dann auch dementsprechend auflösen.
Und dann habe ich eine einseitige Aussage.
Wir sehen nämlich, hier steht O-N-Schlange ist größer gleich p.
Das heißt, Sie haben eine Aussage nach oben.
Im Limes ist die Wahrscheinlichkeit, wenn p der wahre Parameter ist,
dass ein zufälliges Intervall mit der rechten oberen Grenze O-N
-Schlange, die ist zufällig und die linke Grenze ist 0.
Wenn wir uns nur nach oben absichern wollen, dann haben wir so ein
Intervall vom Typ von 0 bis zu einer zufälligen oberen Grenze.
Ist p von H-Schlange.
Und jetzt können Sie natürlich auch hier das Ganze vielleicht zu 0,95
machen.
Und da haben Sie den Wert 1,645.
Wenn Sie für H-Schlange 1,645 einsetzen, dann kommt 0,95 raus.
Sie haben also hier auch einseitige Konfidenzaussagen.
Der Wert H in O-N, wenn ich also hier das vorher vergleiche, bei
gleicher Konfidenzwahrscheinlichkeit, ist dieser Wert 1,96.
Das heißt, hier haben wir natürlich einen Konfidenzintervall gehabt,
mit einer oberen und einer unteren Grenze.
Und Sie sehen, das 1,96 ist größer als das 1,645.
Das 1,645 liefert Ihnen eine kleinere obere Konfidenzschlange im
Vergleich zu vorher.
Dafür haben Sie keine Absicherung nach unten, sondern nur 0.
Das ist hier wichtig.
Okay, ich denke, O-N-Schlange ist kleiner als O-N.
Wir sehen uns mal an, was eigentlich regelmäßig im Fernsehen zu
beobachten ist.
Da gibt es eben eine Sendung, ZDF Politbarometer, ohne jetzt hier
Werbung machen zu wollen, ganz neutral betrachtet, aber in dieser
Sendung wird Folgendes gesagt.
Zur Methodik kann man hier im Internet was nachlesen, wie das
aufgebaut ist.
Und da steht drin, ergeben sich bei einem Stichprobenumfang von 1250
folgende Vertrauensbereiche.
Denken Sie jetzt an Präferenz für Parteien.
Welcher Prozentsatz der Leute ist jetzt für die und die Partei, wenn
am nächsten Sonntag Bundestagswahl wäre.
Regelmäßig.
Also der Fehlerbereich beträgt bei einem Parteianteil von 40% rund
plus minus 3% Punkte und bei einem Parteianteil von 10% rund plus
minus 2% Punkte.
Das heißt, wenn man jetzt vielleicht sieht, 38,9% präferieren die und
die Partei, dann muss man sagen, okay, das sind jetzt ca.
39, das kann auch noch bis 42 und 36.
Ist also einfach nur grob und wir sollten wirklich die Genauigkeit
nicht überschätzen, die da drin steckt.
Warum ist das so?
Also wir stellen uns hier vor ein vereinfachendes Binomial-Urn-Modell.
In einer Urne sei für jeden von ganz vielen Wahlberechtigten, Groß N,
Wahlberechtigte, eine Kugel.
Und davon gibt es R rote Kugel, das ist die Präferenz für Partei A,
das sind die Parteigänger an der Partei und die anderen sind die
Schwarzen Kugeln.
Von Interesse ist dieser Anteil R durch N.
Ich nenne ihn mal P.
Dann wird aus der Urne eine rein zufällige Stichprobe gezogen vom
Umfang N.
Natürlich, also wir können jetzt sagen, xj als Indikatorvariable sei
der Indikator, der j befragte, präferiert Partei A.
Jote Kugel ist rot, ansonsten ist sie schwarz, Indikator Trefferniete.
Natürlich wird keiner doppelt befragt.
Das heißt, wir haben eigentlich ein Modell, das wir ziehen ohne
zurücklegen, aber da N sehr groß ist im Vergleich zu dem, was wir zur
Stichprobe, ist das Ziehen ohne zurücklegen praktisch gleichbedeutend
mit dem Ziehen mit zurücklegen.
Das heißt, wir arbeiten mit einem etwas einfacheren Modell, also
obwohl das Ziehen ohne zurücklegen erfolgt, arbeiten wir mit dem
Modell, dass sie unabhängig sind und jeweils binomial verteilt mit 1
und P, also Trefferniete.
Trefferwahrscheinlichkeit ist dieses P. Das wäre erstmal der Ansatz.
Das ist die Begründung.
Groß N ist im Vergleich zu Klein N sehr groß.
Da macht das, ob Sie ziehen mit oder ohne zurücklegen, spielt keine
Rolle.
Wenn Sie hiervon Millionen Leute haben und dann dreht es sich, Sie
befragen eben 1250, das ist wenig.
Man könnte natürlich auch mal fragen, wie werden die Leute befragt?
Wie ist die Wahrscheinlichkeit, in die Stichprobe zu gelangen?
Das Ganze passiert telefonisch.
Gewisse Leute haben doch kein Telefon.
Ist das repräsentativ?
Das sind alles Dinge, die man sich mal überlegen sollte.
Seien Sie immer kritisch.
Jetzt wollen wir erstmal auf unseren Bereich sehen.
Das war die vereinfachte untere Vertrauensgrenze, also linke Grenze
des Konfidenzintervalls, also UN-Stern.
Die zufällige relative Trefferwahrscheinlichkeit minus H durch
Wurzeln, Wurzel Tn mal 1 minus Tn.
Und bei der oberen UN-Stern war es genau andersrum.
Zufällige relative Trefferwahrscheinlichkeit plus dieser Zuschlag.
Alpha 95 Prozent.
Das ist eben auch beim ZDF-Polymerometer so.
Das ist die übliche Vertrauenswahrscheinlichkeit.
Das H haben wir gesehen, ist dann 4 minus 1 von diesem 0,975.
Das ist 1 minus Alpha halbe.
Und das ist 1,96.
Jetzt können wir mal konkret rechnen.
Ein approximatives Konfidenzintervall für P aufgrund dieser zufälligen
relative Trefferwahrscheinlichkeit, die wir beobachten.
Das wäre in dem Fall Anteil der Partei A Anhänger unter dem Befragten.
Sieht so aus.
Das ist das konkrete Intervall.
Wir werden gleich für Tn zwei Werte einsetzen.
Wir sehen mit dem 1,96.
Die halbe Länge dieses Intervalls ist bei n gleich 1250.
Die halbe Länge sieht so aus.
1,96 durch Wurzel 1250 mal Wurzel aus Tn mal 1 minus Tn ist die halbe
Länge.
Sie sagen ja Schätzwert plus Minus.
Einmal 3 Prozent jeder Punkte, einmal 2 Prozent.
3 Prozent war es, wenn das Tn so bei ungefähr 0,4 liegt.
Und einmal 2 Prozent, wenn das Tn bei 0,1 liegt.
Jetzt werden wir mal sehen, ob wir das hier hinkriegen.
Wenn man jetzt konkret rechnet, dann kommt da der Wert raus 0,027 bei
Tn gleich 0,4.
Das würde jetzt entsprechend beobachtet 40 Prozent.
Und es kommt raus 0,017, wenn Tn gleich 0,1 ist.
Das würde 10 Prozent entsprechen.
Jetzt vergleichen wir das nochmal mit dem, was wir eben hatten.
Ergeben sich bei einem Stichprobenumfang von n gleich 1250 folgende
Vertrauensbereiche.
Der Fehlerbereich beträgt bei einem Parteianteil von 40 Prozent rund
plus minus 3 Prozentpunkte.
Was haben wir hier rausbekommen?
2,7 runden wir auf auf rund 3 Prozentpunkte.
Und bei einem Parteieinteil von 10 Prozent, also Tn entspricht hier 0
,1.
2 rund plus minus 2, was haben wir rausbekommen?
0,017.
Runden wir auch ein bisschen auf aus 0,017.
2 Prozent.
Stimmt.
Das bedeutet, Sie haben hier natürlich auch durchaus Möglichkeiten,
denken Sie auch an den Unterricht.
Das Entscheidende ist natürlich, Sie brauchen hier den zentralen
Wernsatzsatz für die Binomialverteilung.
Das muss natürlich bekannt sein.
Aber wenn der bekannt ist, haben wir gesehen, wir müssen nur eine
quadratische Gleichung lösen.
Dann wird hier bei großem N approximiert, ganz grob.
Aber das sind eben dann die Bereiche.
Und das sind dann eben auch durchaus Aussagen, die Sie sofort
nachvollziehen können.
Und sehen, ist das glaubhaft, was da erzählt wird.
Und Sie können natürlich sofort die Genauigkeit besser einschätzen.
Dass Sie keine voreiligen Schlüsse ziehen.
Die Genauigkeit ist ganz einfach nicht größer.
Dazu müsste man jetzt wesentlich mehr Leute befragen.
Wenn Sie dort statt 2 Prozentpunkte wollen Sie nur noch 1 Prozentpunkt
haben bei 10 Prozent, dann haben wir gelernt, Sie müssen den
Stichprobenumfang vervierfachen.
Das heißt, Sie müssten viermal 1250 Leute befragen, das sind 5000.
Aber irgendwo ist die Zeit beschränkt und das Geld beschränkt.
Und das geht eben nicht.
Und das ist eben das, was das Budget hergibt vielleicht für diese
Sendung.
Und mehr ist nicht drin.
Ja, ich möchte an dieser Stelle Schluss machen.