So, ich möchte weitere Folgerungen ziehen.
Zwei wichtige Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Schauen Sie sich mal hier eine Situation an, wenn wir Ereignisse
haben.
Und wir haben hier was Spezielles.
Diese Ereignisse steigen auf.
a n ist Teilmenge von a n plus eins.
Für jedes n größer gleich eins.
Anscheinend werden sie immer größer.
Dann machen wir Folgendes.
Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung.
Und die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung ist in dieser Situation
nichts anderes als der Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten von a n.
Diese Eigenschaft nennt man die Stetigkeit von unten, weil sich diese
endlichen Vereinigungen von unten dieser unendlichen Vereinigung
annähern.
Deshalb heißt das Stetigkeit von unten.
Wenn es andersrum ist.
Jetzt werden die Ereignisse anschaulich gesprochen immer kleiner.
a n ist Obermenge von a n plus eins.
Für jedes n größer gleich eins.
So gilt die Wahrscheinlichkeit des Schnittes ist gleich dem Limes.
Übrigens habe ich eben festgestellt, dass ich etwas schlampig bin in
der Notation mit der Inklusion.
Das, was hier steht, dieses Inklusionszeichen, ist nicht unbedingt als
echte Inklusion gemeint.
Wenn ich das schreibe, meine ich, also wenn ich echte Inklusion
schreiben würde, würde ich das wirklich kenntlich machen.
Das ist also genauso zu verstehen wie das Inklusionszeichen mit dem
Gleichheitszeichen drunter.
Das heißt, hier würde man das Stetigkeit von oben nennen, weil hier
anschaulich, dass sich das immer weiter zusammenzieht.
Ich bilde einen unendlichen Durchschnitt.
Schauen wir uns mal den Beweis an.
Der Beweis ist nichts anderes als die Sigma-Additivität wieder
angewandt.
Sehen wir uns den Beweis von a mal an.
Wir haben in der letzten Stunde aus diesen Ereignissen a1, a2
paarweise disjunkte gemacht, indem wir b1 als a1 definiert haben und
haben dann gesagt, okay, bn für n größer gleich 2 ist das, was noch
hinzukommt, also an, aber nicht an minus 1, nicht an minus 2 und so
weiter, nicht a1, nur was echt hinzukommt.
Dadurch werden diese so definierten bs paarweise disjunkt.
Das haben wir gemacht für jedes n größer gleich 2.
Wir haben auch Folgendes gesehen.
Zunächst mal, das ist hier wichtig, zunächst mal sieht man an, weil
die Ereignisse aufsteigen, ist das nichts anderes als diese
Vereinigung der aj von 1 bis n, weil eben a1 Teilmenge von a2 ist und
so weiter, Teilmenge von an.
Auf der anderen Seite, von der letzten Stunde wissen wir, diese
Vereinigung der as ist gleich der Vereinigung der bs und hier darf ich
Summe schreiben, weil die paarweise disjunkt sind.
Das gilt für jedes n.
Wir haben es auch gehabt für n gleich unendlich, für die unendlichen
Vereinigung.
Und das ist eigentlich schon alles, was wir brauchen.
Nämlich jetzt können wir messerscharf schließen.
Diese Vereinigung, das ist nichts anderes als die unendliche
Vereinigung, ist die unendliche Vereinigung der bs und hier habe ich
gleich Summe geschrieben, weil die Vereinigung, die Wahrscheinlichkeit
der Vereinigung der bs gleich dieser Summe der Wahrscheinlichkeiten
ist wegen Sigma-Additivität.
Das habe ich hier schon eingebaut.
In diesem Gleichheitszeichen.
Hier geht das ein.
Und jetzt sehen Sie, naja, das ist der Limes, wenn ich bei n aufhöre
zu summieren.
Das ist jetzt erstes Semester, so ergibt sich die unendliche Summe, so
ist sie definiert.
Und hier sehen Sie, das ist Limes.
Ich habe hier die endliche Additivität ausgenutzt.
Ich schreibe also hier, vertausche p mit der Summe, was ich darf.
Endliche Additivität, paarweise disjunkt.
Und jetzt sehen Sie, diese Summe der bs ist gleich Vereinigung der as,
das ist gleich an.
Das heißt, ich ersetze das durch an und habe msp von an.
Das heißt, der Beweis ist also nicht schwer.
Wir haben also letztlich keine neue Idee hier, keine ernsthaft neue
Idee verwendet.
Insofern ist es auch eine Folgerung.
Man sieht wieder, wie entscheidend die Sigma-Additivität eingeht.
Und dass wir aus einer Vereinigung von beliebigen Mengen eine machen
können, wo die Mengen paarweise disjunkt sind.
Das ist ein Trick.
Den haben Sie, den lernen Sie jetzt auch nochmal in der Analyse 3
kennen.
Mehr haben wir nicht gemacht.
So, wie beweist man jetzt b?
Wir haben ja jetzt a bewiesen.
Gibt es da irgendwie noch eine...
Müssen wir alles neu machen oder gibt es irgendwie einen Trick?
Hat irgendeiner eine Idee für b?
Also manchmal versucht man sich das Leben einfach zu machen.
In der Mathematik.
Also wenn ich eine absteigende Menge voll habe, die Frage ist, kann
ich da irgendwie eine konstruieren, die aufsteigend ist und dann
versuchen Teil a zu verwenden.
Im Grunde sind wir alle faul.
Wir sollten nicht denkfaul sein, aber schreibfaul.
Also die Idee ist natürlich Komplementbildung.
Das ist das Stichwort.
Also stellen Sie sich vor, Sie haben jetzt hier eine absteigende
Mengenfolge.
a n ist Obermenge von a n plus 1.
Setzen Sie mal von mir aus a n Schlange.
Setzen Sie einfach als a n Komplement.
Dann ist für die a n Schlange können wir Teil a anwenden.
Das ist eine aufsteigende Mengenfolge.
Und wir verwenden nur die Regel von der komplementären
Wahrscheinlichkeit mit 1 minus.
Bitte machen Sie sich das klar.
Es ist nichts anderes als das und damit ist der ganze Beweis erbracht.
Das heißt, wenn Sie in b reingehen mit der Mengenfolge, definieren Sie
von mir aus a n Schlange oder a n Stern.
a n Komplement.
Dann sind die a n Schlange eine aufsteigende Mengenfolge.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit von deren Vereinigung ist Limes der
Wahrscheinlichkeiten.
Das ist Teil a.
Aber Wahrscheinlichkeit von a n Schlange ist 1 minus p von a.
Also ist Limes von Klammer auf 1 minus p ist 1 minus Limes von p.
Und bei der Vereinigung, da haben Sie natürlich eine Vereinigung von
Komplementen.
Die modernste Regel anwenden und Sie sind fertig.
Bitte machen Sie sich das klar.
Keine neue Idee.
Das heißt, wir haben Stetigkeit von oben und von unten.
Also die Eigenschaften, die kommen wirklich häufig vor.
Sollte man gesehen haben.
Also hier geht wirklich nur ein Sigma-Additivität und bei Teil b
Komplementbildung.
Also nichts ernstlich Neues.
Okay, ich möchte auf diese Formel jetzt kommen und die möchten wir
verallgemeinern.
Also sehr häufig wird es sein, dass wir die Wahrscheinlichkeiten von
einer Vereinigung, einer endlichen Vereinigung von Mengen brauchen.
Und das ist der Ausgangspunkt.
Wir haben diese Additivitätsregel für zwei Ereignisse.
Ich will das mal für drei verallgemeinern.
Also stellen Sie sich vor, wir würden die Wahrscheinlichkeit von einer
Vereinigung von drei Mengen haben.
Hilft Ihnen das, was da oben im Memo steht?
Natürlich hilft Ihnen das, Sie können gedanklich A1 vereinigt A2 als A
setzen und A3 setzen Sie als B.
Wenn wir das machen und wenn die Formel an aus dem Memo, dann haben
wir nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit von A1 vereinigt A2 plus
die Wahrscheinlichkeit von A3 minus die Wahrscheinlichkeit von A1
vereinigt A2 geschnitten A3.
Wir haben nur das getan, was ich gerade gemacht habe.
Oh, jetzt sieht man, hier habe ich wieder die Vereinigung von zwei
Mengen.
Ich kann wieder das Memo hierauf anwenden.
Ich kann es aber auch darauf anwenden, denn nach dem Distributivgesetz
ist diese Vereinigung geschnitten A3 gleich A1 geschnitten A3
vereinigt A2 geschnitten A3.
Ich habe wieder eine Vereinigung von zwei Mengen, kann darauf das Memo
anwenden.
Machen wir das.
Nun vorne, ich führe jetzt Farben ein, Sie werden gleich sehen warum.
Da steht sozusagen jetzt was hinter.
B von A1, dann haben wir plus P von A2 und jetzt mache ich folgendes.
Ich ziehe jetzt noch nicht ab P von A1 geschnitten A2, sondern ich
addiere erst P von A3.
Jetzt subtrahiere ich P von A1 geschnitten A2.
Jetzt haben wir alles erledigt bis auf dieses hier mit dem
Minuszeichen, das ist wichtig.
Da steht ein Minuszeichen.
Das heißt hier haben wir A1 geschnitten A3 vereinigt A2 geschnitten
A3.
Ich muss erstmal die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren, sagt die
Regel.
Und wegen Minuszeichen muss ich sie subtrahieren.
Also minus P von A1 geschnitten A3 minus P von A2 geschnitten A3.
Jetzt muss ich sie subtrahieren.
Also hier habe ich gerade die beiden addiert.
Immer das Minuszeichen davor, deshalb Minus Minus.
Und jetzt müsste ich, wenn ich das ausrechne, noch subtrahieren die
Wahrscheinlichkeit von A1 geschnitten A3 geschnitten A2 geschnitten
A3.
Aber das ist nichts anderes als A1 geschnitten A2 geschnitten A3 die
Wahrscheinlichkeit und wegen Minus, und hier steht noch ein
Minuszeichen, muss ich es addieren.
Also das bekomme ich raus.
Nur zweimal das Memo angewandt.
So sehen wir uns an, was da passiert ist.
Ich mache mal so ein Venn-Diagramm mit den drei Mengen.
Und schauen Sie sich an, wenn wir hier P von A1 bilden, A1 zerfällt in
diese vier paarweise disjunkten Teile.
Und wegen der endlichen Additivität muss ich jeden Teil zählen, wenn
ich P von A1 bilde.
Das heißt, hier kriegt jeder Teil ein Plus.
Der wird sozusagen einmal erfasst bei der Bildung von P von A1 und Sie
sehen auch die rote Farbe korrespondieren zu P von A1.
So, wenn ich jetzt folgendes mache, ich addiere jetzt in blau P von
A2.
A2 besteht aus dem Teil, dem Teil, dem Teil und dem Teil.
Auch der muss jeweils einmal gezählt werden.
Das ist eine Wahrscheinlichkeit.
Und ich habe viermal so ein blaues Plus.
Und Sie erkennen, nach dieser Summe sind schon Teile doppelt erfasst.
Das werden wir gleich korrigieren müssen.
Jetzt sehen Sie hier P von A3, diese braune Farbe.
Nochmal vier Teile, nämlich den, den, den und den.
Das ist A3, besteht aus vier paarweise disjunkten Teilen.
Jetzt sehen Sie, sind schon Teile dreifach erfasst sogar.
Manche doppelt, manche einfach.
Jetzt kommen die wichtigen Minuszeichen.
Nun, was ist A1 geschnitten?
A1 ist das, A2 ist das und der Schnitt sind genau diese disjunkten
Teile, die beiden.
Das heißt, wenn ich das subtrahiere, habe ich hier zwei Minuszeichen,
nämlich das und das.
Nun, jetzt subtrahieren wir noch.
P von A1 geschnitten, A3.
Das ist A1, das ist A3, der Schnitt sind diese Teile, das und das.
Wenn ich hier subtrahiere, habe ich nochmal zwei Minuszeichen.
Nun mal das letzte.
P von A2 geschnitten, A3.
Das ist A2, das ist A3.
Der Schnitt ist dieser Bereich, der wird da erfasst und da.
Das heißt, mit dem Minuszeichen hier habe ich nochmal ein Minus da und
ein Minus da.
Jetzt kann ich Bilanz ziehen.
Ich muss ja die Minuszeichen von dem Plus subtrahieren.
Nun, hier hat sich nichts getan.
Einmal wird gezählt.
Hier zwei plus, ein Minus.
Der Teil wird also nur noch einmal gezählt.
Der einmal, der auch nur einmal.
Zwei plus, ein Minus.
Auch dieser nur einmal.
Was ist hier in der Mitte?
Drei plus, drei Minus.
Wenn ich jetzt Bilanz ziehe, wenn ich jetzt Bilanz ziehe, habe ich
das.
Nämlich diese acht Teile werden, das sind keine acht, das sind sechs
Teile, werden genau je einmal erfasst.
Und durch diese Addition von denen habe ich dann auch dort genau ein
Plus.
Und Sie sehen, es lässt sich auch veranschaulichen in einem Vendeerer.
Wir sehen auch offenbar Folgendes, wenn wir hier diese Summe bilden
von diesen drei Wahrscheinlichkeiten, haben wir viel zu viel gemacht,
weil wir überlappende Teile mehrfach gezählt haben.
Da haben wir eine erste Korrektur vorgenommen, wir haben subtrahiert,
aber dann sind wir übers Ziel hinaus geschossen und hatten einen Teil
nicht erfasst, nämlich den Schnitt von allen Dreien.
Und das haben wir am Ende korrigiert durch ein Plus.
Wir kommen jetzt...
Ich möchte erst mal in einem Nemo zeigen, was wir gezeigt haben für
drei Ereignisse.
Wir haben gezeigt, die Vereinigung von drei Ereignissen, deren
Wahrscheinlichkeit ist Summe der drei Wahrscheinlichkeiten, Minus
Wahrscheinlichkeit immer von Schnitten von zwei der drei Ereignissen,
plus Wahrscheinlichkeit des Schnittes von allen dreien.
Jetzt haben wir es für drei gezeigt.
Jetzt können Sie es auch für vier machen.
Wenn Sie vier Ereignisse haben, haben Sie A1, A2, A3, A4.
Sie deuten A1 vereinigt, A2 vereinigt, A3 als A, A4 nehmen Sie B und
machen das Gleiche nochmal.
So, das bedeutet, wenn Sie es für N haben, haben Sie es für N plus 1.
Induktion.
Das heißt, das, was ich jetzt zeige, kann man durch Induktion
beweisen.
Kleine Übung.
Wir werden später ein allgemeineres Resultat herleiten, was dieses,
was jetzt kommt, als Spezialfall enthält.
Deshalb führe ich den Induktionsbeweis nicht.
Induktionsbeweise sind auch langweilig.
Das ist typisch was fürs erste Semester.
Wenn man nicht anders weiter weiß, macht man Induktionsbeweis.
Formulis ein- und ausschließend.
Es kommen noch Ungleichungen dazu.
Die gehen auf einen italienischen Mathematiker Bonferroni zurück, die
auch wichtig sein können, insbesondere bei Grenzwertsätzen, bei
Abschätzungen.
Nun, der Satz besagt Folgendes.
Wenn ich in einem solchen Wahrscheinlichkeitsraum N Ereignisse habe
und jetzt mache ich Folgendes.
Für festes K von 1 bis N bilde ich eine Summe.
Ich bilde eine Summe, die nenne ich Sk.
Diese Summe ist nichts anderes als die Summe der Wahrscheinlichkeiten
von Schnitten von K der N Ereignisse.
Ich summiere also Wahrscheinlichkeiten von Schnitten auf.
Also hier, ich habe es in Worten schon gesagt.
Ich greife mir in die Cs I1 bis IK raus von 1 bis N.
K verschiedene.
Sie wissen schon, auf wie viele Weisen ich das machen kann.
Ich muss nämlich jetzt von N Dingen K rausgreifen.
Das sind N über K.
Diese Summe hat N über K Summanden, sollten Sie wissen.
Und dann ist es die Wahrscheinlichkeit der Schnitte von immer von K.
Das ist Sk.
Also S1 ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten.
S2 die Summe von Schnitten von immer 2 und so weiter.
Und jetzt kommt die Formel, die sagt einfach, okay, es gilt die
Wahrscheinlichkeit dieser Vereinigung.
Und schauen Sie oben auf das Memo.
Ist jetzt nichts anderes als eine alternierende Summe.
Es geht los mit K gleich 1.
Sie sehen, der Exponent K minus 1 ist hoch 0.
Minus 1 hoch 0 ist 1.
Es geht positiv los.
S1, Summe aller Wahrscheinlichkeiten.
Dann setzen Sie K gleich 2.
Es wird subtrahiert.
Summe der Schnitte von 2.
Es wird addiert.
Summe der Schnitte von 3.
Und so weiter.
Und irgendwann bricht es ab.
Der letzte Summand kann positiv oder negativ sein, je nachdem wie das
N ist.
Eben bei N gleich 3, da war der letzte Summand positiv.
Wir mussten was addieren.
Jetzt kommt die Ungleichung.
Die Ungleichung will sagen, nun, ich habe immer eine obere Schanke,
wenn ich abbreche nach einer ungeraden Anzahl von Summanden.
Sie sehen also hier oben den Summationsindex.
Auf den kommt es an.
2S plus 1.
S ist eine natürliche Zahl oder 0.
Und sie darf natürlich nicht beliebig groß sein.
Es geht nur von S von 0, 1 bis zu dieser unteren Gaussklammer von N
minus 1,5.
Also größte, ganze Zahl, kleiner oder gleich N minus 1,5.
So weit geht das.
Und Sie erhalten eine untere Schranke, wenn Sie nach einer geraden
Anzahl von Summanden abbrechen.
Immer eine untere Schranke.
Und hier darf S dann laufen von 0,1 und so weiter bis zur unteren
Gaussklammer von N,5.
Diese Bonferroni-Ungleichungen können Sie, wenn Sie möchten, in einer
Übungsaufgabe beweisen.
Durch Induktion.
Teil A habe ich schon gesagt.
Da haben wir später ein allgemeineres Resultat.
Aber wir haben ja den Induktionsschritt von 2 auf 3 gemacht.
Und die Idee von N zu N plus 1 ist die gleiche.
Fassen Sie A1 bis AN die Vereinigung als ein Ereignis A auf und AN
plus 1 als B.
Schreiben Sie das einfach mal auf.
Kein besonderer Trick.
Also jetzt haben wir eigentlich die wichtigsten Folgerungen aus dem
Axiom -System bewiesen.
Stehen uns jetzt zur Verfügung.
Man kann jetzt rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.
Und jetzt wird es sich darum gehen, insbesondere über diskrete
Verteilungen zu sprechen, wie man sie erzeugen kann.
Und das sind jetzt die nächsten Folien.
Sie sehen dort einen neuen Begriff, eine Zähldichte.
Sie werden in der Analysis 3 einen allgemeinen Dichtebegriff
kennenlernen.
Dieser Dichtebegriff wird Spezialfälle haben.
Sie haben immer ein sogenanntes dominierendes Maß.
Das kann das Lebesgue-Maß sein oder es kann ein Zählmaß sein im
Allgemeinen.
Und wenn es ein Zählmaß ist, dann spricht man von Zähldichte.
Den Begriff werden Sie erst dann später verstehen, wenn das dran war
in der Analysis 3.
Aber es ist schon eine Begriffsbildung, die üblich ist.
Insofern wollte ich sie ja schon aufnehmen.
Also was ist damit gemeint?
Wenn ich mit einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum starte, Omega p,
dann definiere ich mal, ich kürze nur ab, klein p von Omega sei groß p
von, und Sie sehen, ich habe nur Klammern gespart von diesem
Elementarereignis.
Das kann ich für jedes Omega machen.
Ich kürze nur ab.
Jetzt ist natürlich das Klein p eine Funktion auf Omega.
Das Groß p war eine Funktion auf den Teilmengen von Omega.
Aber die einelementigen Teilmengen korrespondieren natürlich eindeutig
zu den Elementen, die in der Mengenklammer stehen.
Und hier ist nur, ich habe nur Schreibaufwand gespart.
Ich habe jetzt eine Funktion auf Omega.
Und das sind Wahrscheinlichkeiten, das heißt, die Funktion geht ins
Einheitsintervall.
Gut.
Man nennt diese Funktion p, die auf Omega jetzt definiert ist, eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion oder auch Zähldichte von p.
Also zu jedem p habe ich jetzt so eine Funktion.
Ich kann mir das so veranschaulichen.
Sie sehen, das sind sogenannte Stabdiagramme.
Hier wäre sozusagen Omega, wenn man so will, ein Bereich der Ebene
vielleicht irgendwo.
Denken Sie sich einfach an den Omegas, Stäbchen angebracht, Massen.
Und die Größe der Masse, die Höhe des Stäbchens ist die
Wahrscheinlichkeit.
Wir werden später Diagramme sehen, Stabdiagramme, wo wir natürlich
dann Punkte auf der reellen Achse belegen mit
Wahrscheinlichkeitsmassen.
Das kennen Sie aus der Schule, Stabdiagrammen von der
Phenomialverteilung.
Es gilt, Groß p von A kann ich so ausrechnen, indem ich die kleinen p
von Omega summiere über diejenigen Omega, die in A liegen.
Das kann ich für jede Teilmenge machen.
Und die Frage ist, warum kann ich das machen?
Das heißt also, wenn ich, mit anderen Worten, wenn ich nur die
Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse kenne, dann bekomme ich
die Wahrscheinlichkeit von jedem Ereignis.
Und wir haben nicht viel zur Verfügung.
Wir müssen direkt ins Aktionensystem gehen.
Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Die Menge Omega ist abzählbar.
Jede Teilmenge A ist abzählbar.
Und jede Teilmenge A ist die abzählbare Vereinigung der Paarweise des
jungen Elementarereignisse, die diese Menge A bilden.
Das ist nichts anderes als die Sigma-Additivität.
Das sollte klar sein.
Deshalb geht das.
Das ist also die Antwort auf das Warum.
Beispiel.
Eigentlich ist das nicht so ein direktes Beispiel dazu, sondern
eigentlich zum nächsten Punkt, der kommt.
Nämlich, ich nehme mal als Grundmenge Omega, die natürlichen Zahlen
mit Einschluss der Null.
So wollen die nicht-negativen ganzen Zahlen.
Ich definiere jetzt hier Funktionen drauf.
Und hier, das kann ich so machen.
Die Funktion p von Klammer auf K, Klammer zu.
Ich schreibe das K als Index dran.
Ich habe jetzt eine Folge.
Eine reelle Folge nicht-negativer Zahl.
Nicht-negativ sollen sie sein.
Und es soll noch gelten, die Summe ist eins.
Die Summe über alle pKa ist eins.
Es gibt jetzt mannigfache Beispiele solcher Folgen, die mehr oder
weniger wichtig sind für die Strastik.
Zum Beispiel sowas.
Diese Werte summieren sich zu eins auf.
Haben Sie garantiert mal in der Analyse gehabt.
Stichwort Teleskop-Summe.
Ziehen Sie das ein bisschen auseinander, dann werden Sie feststellen,
die Summe ist eins.
Dann sowas.
Wenn a eine Zahl ist im Einheitsintervall, das führt auf die
geometrische Reihe.
Wenn Sie die aufsummieren, kommt auch eins raus.
Das wird eine wichtige Verteilung sein in der Strastik, die was zu tun
hat mit Bernoulli-Ketten, die Sie vielleicht von der Schule erkennen.
Dann, das ist auch wichtig, hier K.
Sie sehen auch das.
Diese summieren sich zu eins auf, denn Sie können das E hoch minus
Lambda nach vorne ziehen bei der Summenbildung.
Und Summe Lambda hoch K durch K-Fakultät.
K von null bis unendlich ist die Potenzreihe der E-Funktion.
Das E hoch Lambda.
Und E hoch minus Lambda mal E hoch Lambda ist E hoch null und das
eins.
Wird auch eine wichtige Verteilung sein.
Sowas haben Sie in der Schule schon mal gehabt.
An welche Verteilung erinnert Sie das?
Dieser Ausdruck?
Ganz genau.
Das ist die Binomialverteilung.
Die kommt normalerweise in der Mittelstufe dann dran irgendwann mal.
Hier sehen Sie natürlich, da läuft K von null bis N.
Das hört irgendwo auf.
Das P ist eine Zahl zwischen null und eins.
Das heißt formal, wenn ich eine ganze Folge definieren, müsste ich die
PKs als null definieren für K größer N.
Diese summieren sich zu eins auf.
Okay, also das sind jetzt Beispiele erstmal für solche Folgen.
Der nächste Satz, der ist eigentlich etwas falsch überschrieben.
Das soll sich jetzt nicht in die Irre führen.
Nämlich, wenn ich einen Grundraum habe und ich habe überhaupt noch
kein P, sondern ich will erst eins konstruieren,
das nicht negativ reelle Zahlen als Werte annimmt und ich sage, naja,
die Summe über diese P von Omega, Omega aus Omega ist eins.
Ganz egal, wie ich summiere, nicht negative Zahlen.
Ich habe eine abzehlbare Menge.
Das ist der normale Umordnungssatz für Reihen.
Da kommt es nicht darauf an.
Ich könnte die Elemente von Omega durchnummerieren.
Omega eins, Omega zwei und so weiter.
So etwas habe ich gegeben.
Jetzt wird behauptet, okay, jetzt definiere ich mithilfe dieses
kleinen P, ich habe noch gar kein großes P, jetzt definiere ich P von
A als Summe dieser P von Omega, Omega aus A und das mache ich für jede
Teilmenge von Omega.
Ich definiere das.
Jetzt wird behauptet, das ist jetzt ein Satz, dann ist das P ein
Wahrscheinlichkeitsmaß und dieses Wahrscheinlichkeitsmaß besitzt diese
Wahrscheinlichkeitsfunktion klein p.
Nun glauben wir erstmal, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist.
Das ist nicht trivial.
Wenn es ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist natürlich klar, wenn
ich für das A jetzt einsetze, eine einelementige Teilmenge, sagen wir
A besteht aus Omega Null in Mengenklammern.
Und ich sehe nach Definition, dann sind alle Summanen Null bis auf,
ich habe nur einen einzigen Summanen, nämlich Omega gleich Omega Null.
Das heißt, wenn das groß P überhaupt eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, dann ist das klein p die
Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Aber die Frage ist, ist das eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, ein
Wahrscheinlichkeitsmaß?
Okay, sehen wir uns den Beweis an.
Dann nochmal das Memo.
Wir sollten uns im richtigen Augenblick an die wichtigen Dinge
erinnern.
In dem Fall die drei Aktionen.
Wir müssen zeigen, p von A ist größer gleich Null, p von Omega ist
eins und wir benötigen die Sigma-Additivität.
Nun schauen sich die erste Eigenschaft an.
Größer gleich Null ist das auf jeden Fall, denn diese p sind größer,
ich summiere was auf.
Die Summe ist eins, hier kommt auch immer ein endlicher Wert raus.
Das ist klar.
Und p von Omega ist eins, ist auch klar, denn wenn ich ganz Omega
einsetze, summiere ich p von Omega über die kleinen Omega aus Groß
-Omega und da oben steht, die Summe ist eins.
Also das ist trivial.
Beides.
Jetzt kommt die Sigma-Additivität.
Ist die auch trivial vielleicht?
Nun was muss ich zeigen?
Fragezeichen.
Ich setze erstmal ein, ich habe paarweise disjunkte Mengen, A1, A2.
Ich muss zeigen, die Wahrscheinlichkeit von deren Summe ist Summe der
einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Das ist das Ziel.
Jetzt setze ich erstmal die Definition ein.
Nun das p von dieser Summe.
Okay, da wird summiert über die p von kleinen Omega, Omega aus dieser
Summe.
Das kann ich erstmal hinschreiben.
So wie so gemacht, nur die Definition.
Und jetzt kommt das Entscheidende.
Jetzt muss ich vielleicht ziemlich brutal umsortieren.
Mal sehen, was ich hier mache.
Diese Menge ist natürlich irgendwie durchnummeriert.
Ich muss die irgendwie aufsummieren.
Aber ich mache jetzt eine ziemliche Umsortierung.
Nämlich mache ich jetzt Folgendes.
Sie sehen, ich summiere erstmal nur die p von Omega über die Menge aj.
Das kann ich für jedes j machen, einzeln.
Und diese Werte summiere ich dann nochmal von j von 1 bis und endlich
auf.
Wenn ich das dürfte, dann wäre ich fertig.
Denn dann steht da nichts anderes als Summe p von aj.
Denn nach Definition ist das hier, was hier wieder steht.
Dann setzen sie für aj ein.
Dann sehen sie, okay, das stimmt.
Summe p von aj.
Die Frage ist, gilt dies gleich als Zeichen?
So, ich habe mich erkundigt bei Ihrem Dozenten der Analysis.
Diesen Umordnungssatz hat er nicht gemacht.
Deshalb mache ich ihn jetzt auf der nächsten Folie.
Der ist so allgemein.
Deshalb heißt er auch der große Umordnungssatz.
Und aus diesem Satz folgt das.
Das heißt, wir machen jetzt Analysis auf der nächsten Folie.
Die Analysis ist ein großer Freund der Stochastik.
Ohne die Analysis wäre die Stochastik in grossen Teilen gar nicht
möglich.
Also, sehen wir uns an.
Also, das wäre dann klar.
Aber das Entscheidende ist das hier.
Sie sehen, ich habe hier Folgendes.
Ich habe eine abzählbare Menge aufgespalten in Teile, die jeweils
wieder auch unter Umständen abzählbar sein können.
Ich habe nicht negative Zahlen, von denen ich weiß, die Summe ist
insgesamt eins.
Und ich darf beliebig umsortieren.
Das ist hier der Punkt.
So, jetzt kommt der Satz.
Großer Umordnungssatz.
Und was sagt er aus?
Die Menge der natürlichen Zahlen ist als Prototyp für eine abzählbare
Menge.
Ist aufgespalten in paarweise disjunkte Mengen TJ.
Es ist nicht ausgeschlossen, dass gewisse der TJ gleich der leeren
Menge sind.
Es könnte durchaus auch nur eine endliche disjunkte Zerlegung sein, de
facto.
Aber gehen Sie mal gedanklich vom kompliziertesten Fall aus.
Jedes TJ ist erstmal nicht leer.
Und vielleicht sogar gedanklich selbst wieder eine unendliche Menge.
Okay, wann?
Was haben wir dann?
Also jedes nicht leere TJ ist jetzt eine abzählbare Menge, die sei in
einer beliebigen Weise angeordnet.
Das ist natürlich eine abzählbare Menge, die kann ich durchzählen.
Das ist kein Problem.
Jetzt habe ich eine Folge nicht negativer reeller Zahlen und weiß, die
Summe konvergiert.
Wir haben sogar einen Spezialfall.
Wir haben sogar Summe ist eins.
Es reicht aber eine konvergente Folge.
Jetzt mache ich folgendes.
Jetzt definiere ich mal ein BJ.
Und das BJ ist so definiert.
Erstmal setzt sich 0.
Wir sehen, das ist der triviale Fall, falls das TJ gleich 0 ist.
Also das BJ bezieht sich direkt auf diese Menge TJ.
Oder die Alternative, das ist das Interessante, ich summiere die AN
auf mit N aus TJ, wenn das TJ keine leere Menge ist.
Also im nicht trivialen Fall.
Dann summiere ich sozusagen die AS auf, wobei das N zu TJ gehört, mit
den Indizes N aus TJ.
Und jetzt wird behauptet, dann gilt, die Summe der AS ist gleich die
Summe der Bs.
Und Sie sehen, ich habe hier beliebig umsortiert.
Das ist genau der Punkt.
Hier steckt also die Umsortierung drin.
Ich habe also hier erstmal die Bs.
Ich summiere über die TJ.
Können schon unendliche Mengen sein.
Und dann will ich die Summe von 1 bis unendlich.
Wenn wir diesen Satz haben, dann gilt der andere auch.
Aus diesem Satz erhalten Sie dann weitere.
Denken Sie an Cauchy, Produkt, gewisse Dinge aus der Analysis, die
folgen hier aus.
So, Beweis.
Es ist also so, natürlich gilt das dann auch, wenn ich absolute
Konvergenz habe.
Ich formuliere es aber eben nur für nicht-negativ-reelle Zahlen.
Ich formuliere es nur so.
Das war die Frage nach der absoluten Konvergenz.
Also letztlich, wenn Sie so wollen, in der Maßtheorie, ist da später,
steckt noch ein allgemeiner Satz dahinter, der jetzt rankommt, das ist
der Satz von Fubini.
Aber der sagt eben absolute Konvergenz dann auch.
Da wird allgemein integriert.
Und Summation ist nur ein Spezialfall von Integration.
Werden Sie sehen.
Das Entscheidende ist eben, dass sich das N wirklich aufspalten kann
und die Th selbst dürfen unendliche Mengen sein.
Das ist eben das Allgemeine hier.
Und das brauchen wir auch.
Das ist das Entscheidende.
Also, wir geben uns ein Epsilon vor.
Das macht die Mathematik gerne.
Das ist immer positiv.
Wenn Epsilon negativ ist, stimmt was nicht.
Also das ist positiv.
Und das Entscheidende ist, wenn Sie sich das vorgeben, dann finden Sie
immer eine endliche Teilmenge, ich nenne die mal Th' von Th, mit
folgender Eigenschaft.
Dieses Bj, Sie summieren ja hier immer alle.
Sie können eine endliche Teilmenge finden, auf Kosten von etwas, was
Sie draufschlagen müssen.
Das heißt, das Bj ist immer kleiner als die As.
Ich habe die hier mal durch K ersetzt.
K durchläuft, diese endliche Teilmenge.
Aber da müssen Sie ein bisschen was zugeben.
Das ist hier Epsilon durch zwei hoch J, was immer noch positiv ist.
Zudem finden Sie dann eine endliche Teilmenge.
Der Rest, auf den kommt es dann eben.
Der ist klein genug.
Bj ist jedenfalls kleiner als Summe AK.
K aus dieser endlichen Teilmenge plus Epsilon durch zwei hoch J.
Das können Sie machen für jedes J größer gleich eins.
Jetzt machen wir mal folgendes.
Jetzt summieren wir diese Bs mal auf und zwar endlich viele.
Wir nehmen mal die ersten Bs.
Bilden mal die Summe der Bj von eins bis N.
Jetzt können wir nach oben abschätzen.
Nämlich für jedes einzelne Bj summieren wir als obere Schanke haben
wir das plus irgendwas, was dazukommt.
Jetzt müssen wir natürlich, wenn ich von eins bis M summiere, auch
diese Epsilon durch zwei hoch J von eins bis M summieren.
Das ist aber immer kleiner gleich Epsilon.
Wir fangen an mit Epsilon halbe plus Epsilon viertel und so weiter,
geometrische Reihe.
Das ist höchstens Epsilon.
Das können wir schon abschätzen.
Und dann haben wir natürlich hier, kleiner gleich, ich schreibe mal
vorsichtig, Summe der AKHs und K durch läuft jetzt die Vereinigung
dieser endlichen Mengen plus Epsilon.
Das war wichtig.
So, jetzt kann ich folgendes machen.
Jetzt kann ich hier natürlich, das ist eine endliche Teilmenge der
natürlichen Zahlen.
So, ich kann natürlich jetzt, die Zahlen sind alle nicht negativ, ich
schätze brutal nach oben ab, indem ich über alle A's summiere.
Das ist kleiner oder gleich Summe AN, N von eins bis unendlich plus
Epsilon.
Ziemlich brutale Abschätzung nach oben.
So, das gilt jetzt aber für jedes M.
Für jedes M habe ich hier eine obere Schanke.
Jetzt kann ich hier M gegen unendlich gehen lassen.
Wenn ich hier M gegen unendlich gehen lasse, erhalte ich die Summe J
von eins bis unendlich der BS ist höchstens gleich dieser Summe plus
Epsilon und da Epsilon beliebig war, kann ich dann Epsilon gegen null
gehen lassen und erhalte, dass diese Summe auf der rechten Seite
höchstens gleich der Summe auf der linken Seite ist.
Ich habe eine Abschätzung.
Das bedeutet, M gegen unendlich heißt, okay, ich habe dann größer
gleich in dieser nummerierten Formel 4.1.
Ich brauche nur noch die andere Richtung.
So, sehen wir uns die andere Richtung an.
Andererseits.
Nun, ich gebe mir mal ein N vor.
Dann behaupte ich, finde ich immer ein M, was sehr groß sein kann, was
von N abhängt, mit folgender Eigenschaft.
Nun, ich betrachte mal die Summe der J von eins bis N.
N ist jetzt endlich.
Das Entscheidende ist, das sind endlich viele dieser AJ.
Und das kann ich immer abschätzen nach oben durch eine Summe der BKs
mit genügend großem M, so wie die definiert sind.
Zu jedem N finde ich solch ein M, was unter Umständen sehr, sehr groß
ist.
Das sehen sich einfach die Konstruktionen dort oben an.
Das ist also der nächste Schritt.
Ich gehe jetzt mit einem N rein, finde dann ein M, was von N abhängt.
Nun, jetzt mache ich Folgendes.
Diese endliche Summe, mit der war ich gestartet, die ist kleiner
gleich dem.
Jetzt lasse ich hier M gegen unendlich gehen.
Wenn ich das M gegen unendlich gehen lasse, weiß ich, diese endliche
Summe ist kleiner gleich der Summe der BKs, K von eins bis unendlich.
Das ist dann eine feste obere Schranke für jede endliche Summe.
Dann lasse ich N gegen unendlich gehen, im zweiten Schritt, und
erhalte dann auch das andere kleiner gleich.
Die Summe muss kleiner gleich der andere sein.
Und das war der ganze Beweis.
Sie sehen also, dieser Beweis ist wirklich nicht schwierig.
Das Entscheidende ist eben, ich habe eine, Sie können das N auch
verallgemeinern, eine beliebige abzehbare Menge zerlegt in eventuell
abzehbar unendliche paarweise disjunkte Teilmengen, die selbst wieder
unendlich sein können, abzehbar unendlich.
Und dann habe ich eine Summe über alle Elemente der großen Menge, hier
die natürlichen Zahlen, und ich habe beliebig umsortiert.
Ich habe zunächst mal über diese abzehbaren Teilmengen summiert, und
dann summiere ich nochmal über das J.
Und das führt genau auf die Folie davor.
Diesen Satz brauchen wir, um die Sigma-Additivität zu haben.
Also die Botschaft ist jetzt eigentlich sehr einfach.
Insbesondere werden wir viele Verteilungen haben auf den nicht
negativen ganzen Zahlen, also natürliche Zahlen mit Anschluss von 0.
Es reicht, wenn ich die einzelnen Punkte mit Wahrscheinlichkeitsmassen
belege, nicht negative Werte, deren Summe 1 ist.
Und dann definiert mir sowas sofort eine Funktion auf den Teilmengen,
die Sigma-Additiv ist.
Die Sigma-Additivität kommt aus diesem Satz, aus diesem großen
Umordnungssatz.
Gut, also Sie sollten einfach sensibel genug sein, zu sehen, okay, die
Umordnungssätze, die ich bislang gehabt habe, und ich habe Herrn Lamm
wirklich gefragt, die geben das nicht her.
Ich brauche ein bisschen mehr.
Und das war das, was wir hier brauchen.
So, jetzt kommt etwas, was Sie kennen, ein wichtiger Spezialfall, der
endliche Wahrscheinlichkeitsraum, insbesondere der Laplace.
Der ist besonders einfach und manchmal hängt man sehr an ihm.
Wenn ich einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum habe und Omega eine
endliche Menge ist, so nennt man das einen endlichen
Wahrscheinlichkeitsraum.
Hier ist ein Spezialfall besonders wichtig, nämlich der, dass man das
Gefühl hat, die Elementarereignisse, die endlich fielen in dieser
endlichen Menge Omega, hätten alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, sie
seien gleich möglich.
Wenn man das hat, dann würde man ansetzen für jede Teilmenge A als
Ereignis, P von A als Anzahl der Elemente von A dividiert durch Anzahl
der Elemente von Omega.
Und es wird dann gern so interpretiert, auch gern in einem Jargon der
Schule, die günstigen Fälle für das Eintreten von A, die Anzahl der
kleinen Omegas, die günstig sind, die in A liegen, dividiert durch
alle.
Wenn man das hat, spricht man von einem Laplazischen
Wahrscheinlichkeitsraum, weil ein französischer Mathematiker, Pierre
-Simon de Laplace, sich insbesondere mit dieser Gleichverteilung
intensiv beschäftigt hat.
Was steckt dahinter?
Deshalb heißt das Laplazischer Wahrscheinlichkeitsraum.
Und dann sagt man auch der Ordnung Anzahl der Elemente von Omega.
Also in Laplace-Raum der Ordnung 6, wenn Sie glauben, der Würfel, den
Sie haben, sei echt, dann arbeiten Sie mit einem Laplace-Raum der
Ordnung 6, wenn Sie den Würfel einmal werfen.
Werfen Sie ihn zweimal hintereinander und notieren die Ergebnispaare,
würden Sie mit einem Laplace-Raum der Ordnung 36 arbeiten.
Also das sind Laplace-Modelle.
Wenn mit so einem Modell gearbeitet werden soll, dann wird das oft in
Sprechweisen angedeutet, nämlich wie folgt.
Also erstmal nennt man das diskrete Gleichverteilung.
Wir werden später auch Gleichverteilung auf Intervallen kennenlernen,
aber hier erstmal die diskrete Gleichverteilung auf einer endlichen
Menge.
Laplace -Modell, okay.
Und dann wird insbesondere, sind dann die Elementarereignisse alle
gleichwahrscheinlich.
Wenn Sie sehen, dieses A, was nur aus einem Element besteht, hat die
Mächtigkeit 1.
Ein Element.
Jetzt kommt die Sprechweisen.
Die Sprechweisen sind die, dass man sagt, ich spreche von einer echten
Münze.
Ich sage, es ist ein fairer Würfel oder auch ein echter Würfel oder
ein homogener Würfel.
Oder ich sage, ich ziehe rein zufällig.
Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, in meine Hand zu kommen
beim Ziehen aus irgendeinem undurchsichtigen Gefäß, was die
Stochastiker Urne nennen.
Also das ist wirklich ein Spezialfall, aber es hat auch historische
Kontroversen wirklich um Gleichwahrscheinlichkeit gegeben.
Er selbst ein Universalgelehrter wie Leibniz glaubte, dass beim
zweifachen Werfen eines Würfels oder dem gleichzeitigen Werfen zweier
nicht unterscheidbarer Würfel die Augensumme 12 und die Augensumme 11
die gleiche Wahrscheinlichkeit hätten.
Was sie mitnichten haben.
Es gibt wirklich dort durchaus auch Kontroversen und auch Irrtümer
natürlich da.
Betrachten wir mal diesen zweifachen Würfelwurf mit der Augensumme.
Ein sehr einfaches Beispiel.
Sie sehen, das sind die Ergebnispaare, die ich beobachten kann.
Das wäre der Grundraum, der Ergebnisraum.
Ich interpretiere i als Ergebnis des ersten und j als Ergebnis des
zweiten Wurfs.
So, dann würde ich sagen, ich setze ein Laplace-Modell an.
Ich habe 36, 6 mal 6, solche Paare.
Und ich taufe das mal klein pij und dann sage ich x, das sei die
Zufallsvariable, die beschreibe die Augensumme.
Das bedeutet, x von ij von diesem Paar ist einfach i plus j.
Also eine Abbildung auf Omega.
Wer hat in den reellen Zahlen einmal gesehen, das ist eine reelle
Zufallsvariable, hier die Augensumme.
Und das ist jetzt das Omega.
Sie sehen, ich spare mir hier Klammern.
Habe schon gesagt, man ist dann etwas schlampig.
Eigentlich müsste ich Doppelklammern schreiben.
Machen wir nicht.
So, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert 5 annimmt?
Nun, nach Definition ist es die Menge aller Paare, Wahrscheinlichkeit
der Menge aller Paare, ij, der hat, dass i plus j gleich 5 ist.
So war das definiert.
Sie sehen, diese wunderbare, suggestive Kurzschreibweise.
Was ist das?
Nun, das ist das Paar 1, 4, dessen Wahrscheinlichkeit.
Dann habe ich das Jung dazu, das Paar 2, 3.
Ich addiere Wahrscheinlichkeiten.
Additivität.
Ich habe noch 3, 2 und 4, 1 und das ist alles.
Sonst gibt es kein Paar, der hat, dass die Augensumme 5 rauskommt.
So, das heißt, das sind 4 Fälle, jeweils die Wahrscheinlichkeit 1,36.
Da kommt raus 1,9.
So, das könnte ich auch machen mit einer Augensumme 7 oder 8 oder 9.
Genau das Gleiche.
Und ich kann natürlich das veranschaulichen in einem sogenannten
Stabdiagramm, in dem ich hier k auftrage und nach oben trage ich p von
x gleich k auf.
Es sind die Augensummen von 2 bis 12 möglich und die für 5 haben wir
ausgerechnet, damit starte ich.
Sie sehen, das endet in der Höhe 4,36.
So, Sie werden unschwer erkennen, Augensumme 2 heißt, als Paar 1,1,
sonst kann nichts vorkommen.
Die Wahrscheinlichkeit ist 1,36.
Die Augensumme 3, da habe ich zwei Paare, nämlich 2,1, 1,2.
Ich habe hier eine doppelt so große Wahrscheinlichkeit, 2,36.
Das steigt an.
Das sind 3,36.
Den Fall haben wir schon.
Dann kommt das.
Das ist der wahrscheinlichste Fall und dann geht es wieder runter.
Ich bekomme so eine dreiecksförmige Verteilung, Stabdiagramm, aber
habe noch gar nicht gesagt, was die Verteilung einer Zufallsverjahdung
ist.
Das müssen wir noch definieren.
Aber suggestiv ist eigentlich klar, ich kann die Wahrscheinlichkeiten,
dass x irgendwelche Werte annimmt auf der reellen Zahl, dann kann ich
Stäbchen dran machen an die Werte und kann ganz einfach sagen, die
Höhe der Stäbchen ist die Wahrscheinlichkeit.
Ich nenne diese Verteilung gern die Siedlerverteilung.
Vielleicht weiß der eine oder andere, was damit gemeint sein könnte.
Ich will das gar nicht weiter vertiefen.
Man lernt da sehr schnell bei so einem Spiel, warum ebenso 11 und 12
ziemlich unwahrscheinlich ist.
Das ist Stochastik im Leben.
Ja, noch ein Aspekt.
Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Starten wir damit, wir haben eine Zufallswahl.
Ich möchte jetzt auf den Begriff Verteilung kommen.
Zunächst mal möchte ich den Begriff des Wahrscheinlichkeitsraums noch
ein bisschen erweitern.
So, Omega ist eine absehbare Menge.
Nun, x von Omega ist der gesamte Wertebereich, die Menge aller x von
klein Omega, klein Omega aus groß Omega.
Wenn Omega absehbar ist, ist das eine absehbare Menge.
Und zwar als Teilmenge von R.
Aber R ist überabsehbar.
Also ich habe eine absehbare Teilmenge, eine überabsehbare Menge.
Wenn ich also nur wissen will, was rauskommt bei der Zufallsvariable,
dann ist natürlich das R eigentlich viel zu groß.
Ich muss nur wissen, welche Werte wirklich vorkommen und mit welchen
Wahrscheinlichkeiten.
Für eine andere Zufallsvariable auf Omega hätte ich auch nur eine
absehbare Teilmenge von R.
Für eine dritte hätte ich auch irgendeine absehbare Teilmenge von R.
Und die Frage ist, was machen wir jetzt damit?
Ich nehme jetzt mal eine beliebige Teilmenge von R her, eine
beliebige.
Und für dieses M definiere ich so etwas.
Sie sehen ein P oben X von M.
Sie werden das in der Analyse
zwar wie folgt.
Für dieses P wird ein kleines µ stehen und für dieses X wird ein F
stehen.
Und es wird genannt werden, das Bildmaß eines Maßes µ unter einer
Abbildung F.
Bei uns ist die Abbildung F ein X.
Das ist nichts anderes als
P von Omega aus M ist die Teilmenge von Omega.
P von dieser Teilmenge ist definiert.
Sie sehen, die linke Seite ist wohl definiert.
Ich habe nur ein bisschen Schreibaufwand gespart.
Eigentlich nur minus eins und zwei Klammern.
Sonst nichts.
Aber es ist kürzer geworden.
Was ist das?
Also nochmal, die Wahrscheinlichkeit der Menge aller Omega mit dieser
Eigenschaft.
Ich hatte gesagt, die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert in M
annimmt.
Das war auch eine suggestive Schreibweise.
Natürlich darf das X auch vielleicht Werte außerhalb von M annehmen.
Das ist nicht verboten, aber es ist das Ereignis als Teilmenge von
Omega.
Die Menge aller kleinen Omega aus Großomega derart, dass X
dann nimmt die Augensumme einen Wert an im Intervall.
Okay.
Wenn ich jetzt solche Mengen habe, sagen wir M, M1, M2, beliebige
Teilmengen der Überabzählbarmenge R gelten.
Und PX von M ist immer größer gleich Null.
Da oben steht es.
Das ist eine Wahrscheinlichkeit.
Ganz egal, wie das M ist.
Jetzt setze ich mal ein, das ist mit R.
Wenn ich ganz R einsetze,
wenn ich paarweise gesunkte Mengen einsetze und wende auf die
Vereinigung diese Funktion PX an, dann ist das Entscheidende, sehen
Sie auch auf dem neuesten Übungsblatt, das ist ja definiert mithilfe
der Urbildabbildung.
X hoch minus 1 müsste ich einsetzen von der Vereinigung.
X hoch minus 1 ist verträglich mit allen Mengen theoretischen
Operationen.
Und paarweise desunkte Mengen bleiben desunkt.
Die Urbilder sind paarweise desunkt.
Das bedeutet, aus dem Grund kommt hier raus Summe der PX von MJ.
Sie sehen eine Sigma-Additivität.
Diese Funktion PX ist auf allen Teilmengen definiert von R.
R ist eine überabsehbare Menge.
Nicht negativ, ist normiert.
Wenn ich R einsetze, kommt 1 raus und Sigma-Additiv ist hier auch
noch.
Oh, das erinnert an ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Das waren die entscheidenden Eigenschaften eines
Wahrscheinlichkeitsmaßes.
So, jetzt kommt noch Folgendes.
Wenn Sie nicht R einsetzen, sondern die absehbare Teilmenge X von
Omega, wenn Sie da das M einsetzen, dann haben Sie P von der Menge
aller kleinen Omega, X von kleinen Omega-Element im Wertebereich.
Und das tut jedes Omega.
Das heißt, da kommt 1 raus.
Ich muss also gar nicht ganz R einsetzen.
Es reicht mir, wenn ich diese absehbare Teilmenge in
der allgemeineren Definition eines diskreten Wahrscheinlichkeitsraums
eine Funktion habe auf der Potenzmenge von diesem Omega, die die drei
Eigenschaften erfüllt, nicht negativ zu sein, normiert zu sein und
Sigma -additiv ist, dann, wenn ich dann noch weiß, sie lebt auf einer
absehbaren Teilmenge in dem Sinne, die Wahrscheinlichkeit für eine
absehbare Teilmenge ist 1, dann spielt sich auf dem Komplement, was
überabsehbar ist, nichts mehr ab.
Wahrscheinlichkeit ist 0.
Und Mengen der Wahrscheinlichkeit 0 sind in der Stochastik
uninteressant.
Die brauchen wir nicht.
Jetzt kommt die allgemeine Definition.
Die endgültige.
Folgende Verallgemeinerung.
Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Angeregt, im Hinterkopf haben wir jetzt Omega gleich R.
Omega ist jetzt eine beliebige Menge.
Wie bisher.
Jetzt kommen die Eigenschaften.
Man sagt, diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, wenn Folgendes gilt.
Nicht Negativität, hat sich nichts geändert.
Zweite Eigenschaft, Normiertheit, P von Omega ist 1.
Es hat sich nichts geändert.
Dritte Eigenschaft, Sigma-Additivität, ganz egal wie die absehbar
unendlich vielen paarweise des jungen Mengen sind als Teilmengen von
Omega, die Wahrscheinlichkeit von deren Vereinigung ist Summe der
einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Sigma-Additivität, hat sich nichts geändert.
Jetzt kommt die Zusatzeigenschaft.
Es gibt eine absehbare Teilmenge Omega 0 von Omega und die hat die
Wahrscheinlichkeit 1.
Automatisch muss das, was noch überbleibt, Omega vermindert Omega 0
die Wahrscheinlichkeit 0 haben.
Additivität.
Weiterhin, man nennt das dann den sogenannten Träger, insbesondere
spricht man von Träger, wenn das die kleinste absehbare Menge ist mit
dieser Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeit 1 ist.
Theoretisch könnte es sein, dass gewisse Elemente aus Omega 0 noch die
Wahrscheinlichkeit 0 bekommen.
Also hier, wenn man von Träger spricht, meint man im Allgemeinen, dass
jedes Element als ein-elementige Teilmenge von Omega 0 eine positive
Wahrscheinlichkeit hat.
So, P von Omega, wenn ich das wieder abkürze, wie vorher, gilt dann,
nun hier reicht es, wenn ich diejenigen aus Omega 0 summiere, dass da
1 rauskommt.
Das liegt an dieser Eigenschaft.
Formal ist die Funktion p definiert auf ganz Omega, aber aufgrund
dieser Eigenschaft sind überhaupt nur diese Omega mit Omega aus Omega
0, können überhaupt eine strikt positive Wahrscheinlichkeit haben.
Also der Wert kann nur strikt positiv sein.
Für die anderen gilt das nicht.
Das kann ich für jede Teilmenge machen.
Entscheidend ist hier, ich habe wirklich eine absehbare Teilmenge.
Das ist die absehbare Teilmenge.
Das A kann ruhig darüber hinausragen, anscheinend.
Ich kann überabsehbar sein, aber ich bilde nur diejenigen Elemente in
A, sie sind hier fast in der Summe, die auch in Omega 0 liegen.
Das ist wichtig.
Ich habe eine absehbare Summe oder sogar eine endliche, unter
Umständen.
Jede Abbildung heißt weiterhin Zufallszahl.
Wir brauchen uns nicht einschränken.
Also das wäre eine, wenn man so will, leichte Verallgemeinerung des
Begriffs diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
Bzw.
wollen ist das, was über Omega 0 hinausgeht, über die absehbare
Teilmenge, eigentlich nur ein Dummy.
Hat die Wahrscheinlichkeit 0.
Und trotzdem ist es sinnvoll, dann auch zu sprechen über diskrete
Wahrscheinlichkeitsverteilung über R.
Das ist jetzt das Neue.
Jetzt kommt das, was ich eben sagte, die Verteilung einer
Zufallsvariable.
Wenn ich so einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum habe, in dem Sinn
von eben, und habe so eine Zufallsvariable, dann ist das ein diskreter
Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir haben eben dieses p oben x definiert.
Also nochmal, für jede Teilmenge von R, nennen wir sie m, p x von m
ist p von Klammer auf Urbild, x oben minus 1 von m.
Suggestiv, x nimmt einen Wert an in der Menge m, als Funktion von m.
Dieses Wahrscheinlichkeitsmaß nennt man Verteilung.
Also, wenn man so will, haben wir den Grundraum Omega, das kann
irgendwas ganz Abstraktes sein.
Hier interessieren vielleicht Ergebnisse eines Versuchs, das sind dann
die kleinen Omega.
Die Zufallsvariable beschreibt mir einen reellwertigen,
interessierenden Aspekt.
Sie sehen hier, ist auch nicht mehr interessant, wo eigentlich das x
herkommt.
Ich möchte nur wissen, wie wahrscheinlich ist es, dass das x
irgendeinen Wert in einer Menge m annimmt, die mich interessiert, auf
r.
Wo das x herkommt, ist relativ uninteressant.
Der Grundraum.
Deshalb sagte ich, wir haben zwar Zufallsvariablen eingeführt als
Abbildungen auf Omega, nur der Definitionsbereich tritt in den
Hintergrund.
Der ist nicht mehr so wichtig.
Das ist so ein Prozess, den man hier in der Stochastik durchläuft.
Also nein, das ist hier
die Grundmenge Omega abzählbar.
Und der Schritt war,
die Stochastik spielt sich auf einer abzählbaren Teilmenge ab.
Also der Rest hat die Wahrscheinlichkeit null.
Wirklich nicht mehr und nicht weniger ist da wirklich rein zu
interpretieren.
Wirklich nicht mehr und nicht weniger.
Höchstens abzählbar viele erhalten Wahrscheinlichkeitsmassen.
Ich bringe Massen an.
Das sind höchstens abzählbare.
Und die anderen erhalten keine Massen.
Das ist alles.
Aber die abzählbar vielen erhalten Wahrscheinlichkeitsmassen.
Ich bringe Massen an.
Das sind höchstens abzählbare.
Und die anderen erhalten keine Massen.
Das ist alles.
Aber das Omega ist klar.
Das hat jetzt gar keine Struktur, nur die Verteilung hat einfach nur
folgende Struktur.
Wir machen einfach nur Folgendes.
Wir messen in folgendem Sinne, dass wir sagen, wenn wir irgendein
Gebilde messen können als Teilmenge.
Im Sinne jetzt, wir bilden Wahrscheinlichkeiten, dann soll ganz
einfach eine Vereinigung und zwar von höchstens absehbar vielen, die
Gebilde vereinige, soll das Maß, das Wahrscheinlichkeitsmaß der
Vereinigung gleich der Summe sein.
Das ist nur eine Additivitätseigenschaft, ansonsten nicht negative
Werte.
Das hat direkt was mit dem Messen zu tun.
Versuchen Sie, Längen zu messen.
Versuchen Sie, Flächen zu messen.
Das sind Grundfragen.
Natürlich ist einfach ein Aspekt des Messens im allgemeinsten Sinne.
Da steckt nur Additivität drin, sonst nichts.
Es ist eine sehr schwache Struktur eigentlich.
Ich muss nur reelle Zahlen dann addieren.
Das hat jetzt weniger wirklich was mit Topologie zu tun.
Topologische Aspekte spielen hier eine Rolle, je nachdem, wenn die
Mengen in die Zufallsvariablen reingehen und zwar Zufallsvariablen mit
allgemeinen Wertebereichen, wenn die strukturiert sind, dann können es
kommt immer dann darauf an, welche Teilmengen ich betrachte.
Das ist aber dann eher schon Gegenstand jetzt vielleicht der
Wahrscheinlichkeitstheorie.
Da wird es allgemeiner im vierten Semester und dann vielleicht auch
weiteren Vorlesungen in der Stochastik.
Aber hier ist mir zunächst mal wirklich nur wichtig, formal diskreten
Wahrscheinlichkeitsraum kann Omega-Überabzehbar sein.
Auf einer abzehbaren Teilmenge spielt sich die gesamte Stochastik ab.
Das ist alles.
Und da auf dieser abzehbaren Menge kann ich mir vorstellen, da sind
Massen drauf auf den Elementen der abzehbaren Menge.
Das ist also noch eine relativ simple Vorstellung.
Okay, es heißt Verteilung.
Sie sehen also hier noch mal die drei Eigenschaften, die wir
nachprüfen müssten, Memo.
Wenn es in Wahrscheinlichkeitsmaß soll, nicht negativ muss es sein,
normiert muss es sein und Sigma-Additiv.
Und das ist alles gegeben.
Das Entscheidende hängt eben an der Verträglichkeit der
Urbildabbildung mit Vereinigungen, Komplimenten und so weiter.
Kompliment brauche ich hier gar nicht.
Brauche ich also nur nicht, nicht Negativität.
Diese Eigenschaft ist
eins.
Und damit ist auch diese Wahrscheinlichkeit eins.
Auf einer abzehbaren Teilmenge von R spielt sich alles ab.
Wie du hast, das dachte ich eben schon, nur noch mal formalisiert.
Und Px von M für jede Teilmenge M kann ich dann auch so ausdrücken.
Ich kann die Einzelwahrscheinlichkeiten, das ist jetzt die
Wahrscheinlichkeit von der ein-elementigen Teilmenge T, die hier
steht, aufsummieren.
Ich muss über alle T summieren, die in M sind.
M kann formal überabzehbar sein.
Das Entscheidende ist, es spielt sich alles in M0 ab.
Ich schneide M mit M0.
Dadurch habe ich nur Elemente von M, die in M0 sind und deren Massen,
Wahrscheinlichkeitsmassen werden aufsummiert.
Noch mal diese Schreibweise besagt.
Es ist nichts anderes als P oben X in dem Sinne hier von der ein
-elementigen Teilmenge T.
Suggestiv die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl X den Wert T
annimmt.
Das gilt für jede Teilmenge von R.
Das heißt, man sieht, dieses P oben X ist durch die sogenannte
Wahrscheinlichkeitsfunktion, und zwar ist das die Zuordnung, T wird
abgebildet in diese Wahrscheinlichkeit, kann ich für jedes T aus R
machen, eindeutig festgelegt.
Nur für höchstens absehbar viele T kommt hier ein positiver Wert raus.
Das sind nur die T in dieser Menge M0.
Alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind 0.
Okay, so möchte hier.
Das kann ich mithilfe von Stabdiagrammen plotten.
Meistens sind es dann, ich kann nur endlich viele Werte plotten.
Das haben wir eben gesehen bei der Verteilung der Augensumme beim
zweifachen Würfelwurf.
Ja, und habe eine Funktion, ich nenne sie jetzt mal klein f, die jeder
reellen Zahl eine nicht negative reelle Zahl zuordnet und die Summe
dieser f von T, T aus dieser absehbaren Teilmenge sei 1.
Sie ahnen, was ich hinaus will, ich schreibe es jetzt nur anders als
vorher.
Das soll die Wahrscheinlichkeit von T sein.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Die Einzelwahrscheinlichkeit ist nicht negativ, weil hier ein Wert
rauskommt, der nicht negativ ist, reell.
So, außerhalb setze ich die Funktion zu 0.
Das heißt, es spielt sich nur ab auf dieser absehbaren Teilmenge T0.
Jetzt definiere ich ein Q.
Ich nehme jetzt mal einen anderen Buchstab.
Q von M.
Für jede Teilmenge von M kann ich jetzt bilden.
Ich kann die f von T aufsummieren.
Hier sehen Sie die gleiche Bildung wie eben.
Es wird nur der Teil von M genommen, der in T0 liegt.
Nur diejenigen T aus M, die zugleich in T0 liegen in der absehbaren
Teilmenge, über die wird aufsummiert, über nichts anderes.
Und wenn ich das mache, erhalte ich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf der Potenzmenge.
Gleiche Überlegung wie eben, der Beweis.
Sie sehen, das ist wie so ein Mantra, poppt immer wieder dieses auf.
Irgendwann weiß man dann, wenn man nachts um zwölf geweckt wird, was
ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.
Das ist der Zweck der Übung.
Also...
Wenn ich für M, R einsetze, nun R geschnitten, T0 ist T0.
Also steht da Summe der f von T, T aus T0 und das ist eins.
Da kommt zwei, ist auch klar.
Und das dritte ist wieder die Verträglichkeit.
Sie sehen, wenn ich hier paarweise die jungen Mengen hernehme, ich
brauche noch die Sigma-Additivität, dann müsste ich summieren die f
von T.
Jetzt kommt es wieder.
Das ist T0, das ist eine absehbar unendliche Menge.
Hier auch, sonst wird es leichter.
Und Sie sehen, ich muss wieder umsortieren.
Was jetzt kommt, das nächste Gleichheitszeichen ist nichts anderes als
dieser große Umordnungssatz, den wir haben.
Das heißt, ich kann hier eine Summe bilden von J von eins bis
unendlich.
Und vorher summiere ich immer die T auf in MJ geschnitten T0.
Hier steckt der Umordnungssatz drin, in diesem Gleichheitszeichen.
Der große.
Und diese Summe ist natürlich nicht...
Sie sehen, Sie können jetzt auch auf die reelle Achse gehen, auf die
reelle Achse gehen, greifen sich höchstens absehbar viele Werte her, T
auf der reellen Achse, ordnen denen positive Zahlen zu, nicht
negative.
Und die Summe ist eins.
Dann erhalten Sie sofort einen Wahrscheinlichkeitsmaß auf den
Teilmengen von R.
So, hier war jetzt ein Omega im Hintergrund nicht mehr vorhanden.
Wir sind ganz konkret auf die reellen Zahlen geraten hier bei dieser
Bildung.
Und jetzt sehen Sie, dass es relativ unwichtig ist, wo so eine
Zufallswerte herkommt.
Das machen wir jetzt noch auf zwei Folien.
Wenn ich ein Wahrscheinlichkeitsmaß habe auf den Teilmengen von R,
dann ist die Frage, gibt es denn überhaupt einen diskreten
Wahrscheinlichkeitsraum Omega p und eine Zufallsvariable, die dieses
Q, was da oben ist, als Verteilung hat?
Gibt es eine Zufallsvariable?
Gibt es so einen Grundraum?
Und so eine Abbildung, dass dieses Q, was ich mir vorgebe, was ich
konstruieren kann, wie eben aus so einer Funktion klein f, kann ich ja
das Q konstruieren.
Gibt es so eine Zufallsvariable?
Die Antwort ist, das heißt, X hat die Verteilung Q.
Nur die Antwort ist ja, die gibt es.
Was muss ich machen?
Nun, ich setze einfach Omega gleich R.
Was mache ich noch?
Ich setze einfach p gleich Q und ich setze an X als Identität von
Omega, als Abbildung.
Und schon bin ich fertig.
Eine triviale, kanonische Konstruktion.
Nun, ich weiß sofort, was ist p oben X von M?
Das ist ja nach Definition...
Und p ist Q.
Das ist Q von M.
Trivialerweise finden.
Also wenn ich überhaupt auf den Timing von R eine interessante
Wahrscheinlichkeitsverteilung konstruieren kann, kann ich die immer
deuten als Verteilung einer Zufallsvariable.
Ich brauche mich beim Grundraum gar nicht groß anstrengen.
Ich kann immer die reellen Zahlen nehmen.
Das ist die Botschaft.
Wirklich triviale Konstruktion.
Konsequenz.
Der Wahrscheinlichkeitsraum und das X sind auf die Art und Weise
kanonisch konstruierbar, wenn es um Verteilungen geht.
Wenn mich wirklich nicht der Grundraum interessiert, auf dem was
definiert ist, sondern wenn mich nur die Verteilung interessiert, kann
ich mir das so immer gemacht denken.
Einfache Konstruktion.
Das möchte ich also, bevor es jetzt wirklich langweilig wird, letzte
Folie zu diesem Kapitel.
Stellen Sie sich vor, X sei eine Zufallsvariable.
Und wenn ich das so spreche, dann sage ich, auf irgendeinem
Wahrscheinlichkeitsraum definierte, der wird unwichtig.
Das ist der nächste Schritt der Erkenntnis.
Ist der X eine Zufallsvariable, reelle Zufallsvariable?
So besitzt X die Verteilung Q?
So schreiben wir hierfür X Schlange Q.
Das heißt also, X hat die Verteilung Q.
Ist nichts anderes als P oben X ist Q.
Wir sehen, ich habe mir minimalen Schreibaufwand erspart.
Ist nur eine Schreibweise.
Manche Verteilungen Q sind wirklich wichtig als
Wahrscheinlichkeitsmaße.
Die bekommen dann eigene Bezeichnungen, sind so wichtig, dass sie
eigenen Namen und Bezeichnungen halten.
Ich mache mal ein Beispiel.
Die sogenannte Poisson-Verteilung mit Parameter Lambda.
X Schlange Po Lambda soll ausgesprochen heißen, die Zufallsvariable X
hat eine Poisson-Verteilung mit Parameter Lambda.
Lambda positiv, genau dann, wenn folgendes gilt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert K annimmt, ist nichts anderes
als E-Lambda mal Lambda hoch K durch K-Fakultät für jedes K aus N
Null.
Lambda ist positiv.
Das ist die sogenannte Poisson-Verteilung mit Parameter Lambda.
Ein französischer Mathematiker sich damit intensiv beschäftigt hat.
Das Entscheidende für uns ist nur, diese Werte sind nicht negativ auf
der Menge N Null, nicht negative ganze Zahlen.
Und die Summe ist 1.
Eben nochmal, ich habe es gesagt, E-Lambda können Sie rausziehen beim
Summieren.
Das summiert über alle K aus N Null ist E-Lambda.
Und E-Lambda mal E-Lambda ist 1.
Wichtige Verteilung.
Wir werden später sehen, dass sich die aus der Binomialverteilung
ergibt vor einem ganz bestimmten Grenzübergang.
Tritt die auf.
Es sitzen zwei Zufallsvariablen, X und Y.
Und jetzt kommt es, die können auf durchaus unterschiedlichen
Wahrscheinlichkeitsrahmen definiert sein.
Das ist nicht verboten.
Aber die können die gleiche Verteilung besitzen.
Ich muss hier P Schlange Y schreiben.
Das ist die Kurzschreibweise.
Sie haben die gleiche Verteilung.
Kommt später öfter vor.
Also damit möchte ich jetzt dieses Kapitel...
Studien ja.
Wir haben ja eben gesehen, es gibt...
Wichtigkeit, wenn man glaubt, dass die endlich vielen Fälle alle
gleich wahrscheinlich sind.
Und es dreht sich um Abzähl.
Es gibt die Kunst des Abzählens, die Kombinatorik.
Und ich möchte Sie einstimmen mit etwas, mit einem Problem, das ich
Ihnen nicht auflöse.
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Kreisrand.
Auf diesem Kreisrand platziere ich gleich Punkte sukzessive.
Stellen Sie sich vor, Sie haben N-Punkte platziert auf dem Kreisrand.
Dann machen Sie folgendes.
Sie verbinden jeden, jeden Punkt mit jedem.
Dann wird die Kreisfläche unterteilt in Teilflächen.
Die sehr unterschiedlich groß sein können.
Die Frage ist, wie viele Teilflächen entstehen, in Abhängigkeit von N,
der Zahl der Punkte.
Also, fangen wir an.
Ich platziere, das ist die Frage, wie viele Teile entstehen.
Das sind A, N.
Ich platziere erst mal nur einen Punkt.
Den brauche ich mit nichts verbinden.
Der Kreis bleibt als ganze Fläche intakt.
Das heißt, wenn ich einen Punkt habe, habe ich eine Fläche.
Jetzt nehme ich den zweiten Punkt.
Ich verbinde die beiden.
Und Sie sehen, es entstehen zwei Teilflächen, eine ganz kleine und
eine riesengroß.
Auf jeden Fall entstehen zwei Teilflächen.
Wenn ich zwei Punkte habe, habe ich zwei Flächen.
Ich nehme den dritten Punkt auf.
Hier ist eine, da ist die ganz kleine und da ist die vierte.
Das heißt, bei allen
dreien, die ich vorher habe, und zähle die Teilflächen, die entstehen.
Da oben ist die erste, hier ist die zweite, die dritte, da habe ich
die vierte, die fünfte, die sechste, die siebte, acht Flächen.
Ich habe also bei vier Punkten acht Flächen.
Ich nehme den fünften Punkt.
Den platziere ich mal da, verbinde den mit allen.
Und wenn Sie jetzt die Zahl der Flächen durchzählen, werden Sie auf 16
kommen.
Jetzt frage ich Sie, wie wird diese Folge fortgesetzt?
Sie sehen also die Folge 1, 2, 4, 8, 16.
Wenn Sie die vorgelegt bekommen beim Intelligenztest und würden nicht
32 antworten, wären Sie durchgefallen und müssten sich vielleicht
irgendwelchen weiteren Untersuchungen unterziehen.
Ich kann Ihnen gleich sagen, wenn Sie den weiteren Punkt hinzunehmen,
kommen nicht 32 raus.
Und ich kann Sie mal fragen, vielleicht bekommen Sie heraus, wie die
allgemeine Formel ist, in Abhängigkeit von n.
Vielleicht noch ein kleiner Hinweis, versuchen Sie rekursiv
vorzugehen.
Vielleicht erkennen Sie anhand der Rekursionsformel, wie vielleicht
die Gestalt eines geschlossenen Ausdrucks an sein kann, in
Abhängigkeit der Zahl der Punkte.
Kommt nicht 32 raus.
Als ich das zum ersten Mal sah, habe ich mich wirklich hingesetzt mit
Zirkel.
Es zählt.
Also Kombinatorik, nur zur Einstimmung, kleines Beispiel.
Bei der Kombinatorik, das ist hier die Frage der geschlossene Ausdruck
für ein ein sehr simples Fundamentalprinzip des Zählens, was aber
wirklich wichtig ist, oft angewendet wird, ist Folgendes.
Wenn Sie zwei endliche Mengen haben, das kennen Sie aus dem ersten
Studienjahr, dann sind die genau dann gleich mächtig.
Sie haben also die gleiche Anzahl von Elementen, wenn es zwischen
diesen beiden Mengen eine bijektive Abbildung gibt.
Das gilt nicht mehr für unendliche Mengen.
Z.B.
die Menge der geraden Zahlen ist gleich mächtig mit der Menge der
natürlichen Zahlen.
Können echte Teilmengen die gleiche Mächtigkeit haben.
Aber hier bei endlichen Mengen ist das so.
Also erstes Fundamentalprinzip.
Mehrfach anwenden.
Wie gesagt, Folgendes.
Stellen Sie sich vor, Sie haben eine endliche Menge, nicht leer
natürlich.
Und Sie haben Zahlen, m1, mk in dieser Menge.
Und zwar Menge der Zahlen von 1 bis zur Anzahl der Elemente von m.
Jetzt wollen Sie Folgendes tun.
Sie wählen sukzessive Elemente aus m aus und bilden Tupel.
Also N-Tupel haben Plätze.
Platz ganz links, die erste Stelle des Tupels, erste Komponente,
zweite Komponente.
Und sukzessive platzieren Sie ein Element a1 an die erste Stelle, ein
Element a2 an die zweite Stelle und so weiter.
Und zwar so, es soll für das erste Element stets m1-Möglichkeiten
geben.
Einiges hier da steht sogar überflüssig, fast verwirrend.
Also für das erste Element gibt es auf jeden Fall m1-Möglichkeiten.
Und jetzt kommt es, wenn Sie das platziert haben, bei festgelegtem a1,
ganz egal welches Sie an die erste Stelle des Tupels platziert haben,
für das zweite Element haben Sie stets, und da stets bezieht sich ganz
egal, wie das a1 ist, immer die gleiche Anzahl von Möglichkeiten, die
sei m2.
Denken Sie an ein ganz einfaches Beispiel.
Wer einmal die Ziehung der Lottozahlen in zeitlicher Reihenfolge
beobachtet hat, der sieht das genau.
Wenn die erste Zahl, die gezogen wird zum Beispiel die 7 ist, es hätte
auch die 13 sein können.
Für die zweite Zahl gibt es immer 48 Möglichkeiten, völlig unabhängig
davon.
Für das dritte Element bei festgelegten a1, a2, wenn die schon
festgelegt sind, gibt es immer, völlig unabhängig davon, wie a1, a2
sind, immer die gleiche Anzahl von Möglichkeiten, nämlich a3 und so
weiter.
Das zieht sich durch.
Für das Kartelement, ganz zum Schluss, bei festgelegten Elementen
vorher immer mk-Möglichkeiten.
Und wenn das so gegeben ist, ist die Anzahl der Tupel, die ich so
bilden kann, nichts anderes als das Produkt m1 mal m2 und so weiter
mal mk.
Wenn Sie das beweisen möchten, überhaupt, dann induktiv nach der
Anzahl der Komponenten des Tupels und so nach k.
Ganz simples Prinzip, denken Sie an Zahlenschlösser, Kombinationen,
denken Sie an den zweifachen Würfelwurf, 6 mal 6.
Das ist immer dieses Zählt-Prinzip.
Zweites Fundamentalprinzip des Zählens.
So, drei Fragen.
Erste Frage, wie viele Abbildungen gibt es von einer k-elementigen in
eine n-elementige Menge?
Zweite Frage, wie viele injektive Abbildungen gibt es von einer k
-elementigen in eine n-elementige Menge?
Und die dritte Frage, wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem sehr
einfachen Lotto 3 aus 12 in zeitlicher Reihenfolge, wenn Sie wirklich
die gezogenen Zahlen in zeitlicher Reihenfolge sehen?
Da sehen wir uns die erste Frage an.
Von einer k-elementigen in eine n-elementige Menge.
Das Entscheidende ist, Sie können das immer als Tupel deuten.
Sie müssen natürlich dem ersten Element der k-elementigen Menge was
zuordnen.
Nämlich ist eine Abbildungsvorschrift eine Funktion, ist eine
Abbildung.
Das bedeutet, ich habe n Möglichkeiten für das erste Element.
Und ich habe, ich habe kein eins für das zweite Element, habe ich auch
n Möglichkeiten für das dritte auch, für das vierte auch.
Das bedeutet n mal n mal n.
Nun, die Menge ist k-elementig.
Am Ende bin ich beim karten Element.
Ich bilde also n Tupel.
An der ersten Stelle ist das, was ich dem ersten Element zuordnen.
Ich habe n hoch k.
Das heißt, die Anzahl dieser Abbildungen ist sehr einfach, ist also
hier n hoch k.
Das wäre hier die Lösung.
So sehen Sie bei den injektiven Abbildungen, jetzt kommt das mit dem
Da ist das erste Element dieser k-elementigen Menge.
Da haben Sie n Möglichkeiten.
So, aber dem zweiten Element der k-elementigen Menge dürfen Sie das,
was Sie hier zuordnen, nicht mehr zuordnen.
Ganz egal, was es ist.
Sie haben nicht mehr n Möglichkeiten.
Sie haben nur noch n-1.
Für das dritte Element haben Sie dann zwei Möglichkeiten.
Nicht mehr.
Sie haben nur noch n-2.
Das heißt, Sie erkennen, bei den injektiven Abbildungen ist natürlich
nichts anderes als das Produkt.
Für das erste Element haben Sie noch n.
Dann haben Sie nur noch n-1 und so weiter.
Und dann haben Sie k-absteigende Faktoren.
Das hört auf bei n-k-1.
Das ist die Zahl der injektiven Abbildungen.
Wir werden später in der Übungsaufgabe auch die Zahl der surjektiven
Abbildungen mal feststellen, wie viel es da gibt.
So, beim 3 aus 12 Lotto.
Das können wir im Kopf machen.
Und für die erste Gewinnzahl haben Sie zwölf Möglichkeiten.
Jetzt kommt die zweite Gewinnzahl.
Ganz egal, welche Sie gezogen haben.
Sie haben nur noch elf.
Dritte Zahl nur noch zehn.
Elf mal zwölf mal...
Sie sehen, wir haben die...
...stets.
Hier war dann so ein Ausschluss.
Die Anzahl der Möglichkeiten wurde immer kleiner.
Dann bei dem Tupel.
Okay.
Jetzt kommen nur zwei Begriffe.
Erst mal Permutationen und Kombinationen.
Sie können auf jeden Fall Permutationen einer n-elementigen Menge.
Symmetrische Gruppe.
Man kann auch mit Permutationen dann operieren.
Es gibt Zyklen, es gibt alles Mögliche.
Hier betrachten wir k-Permutationen.
Wenn ich eine n-elementigen Menge habe und möchte Tupel bilden.
So ein k-Tupel, was ich bilde, derart, dass ich nur fordere, dass die
einzelnen aj aus m sind für jedes j.
Davon spricht man dann in der Stochastik.
Und man sagt, das sei eine k-Permutation aus m mit Wiederholung.
Mit Wiederholung bezieht sich, naja, das Element, was hier steht,
könnte das gleiche sein, wie das, was vorne steht.
Sie sehen, das ist nichts anderes in dem Fall, als das k-fache
kathesische Produkt der Menge mit sich selbst.
Also mit Wiederholung ist immer mw.
Und in dem Fall nichts anderes als das k-fache kathesische Produkt.
Wiederholung.
Das heißt, wenn ich fordere...
Das geht nur, wenn n mindestens k ist.
Ich soll ja k-Tupel bilden.
Dann spreche ich von einer k-Permutation ohne Wiederholung.
Also so heißt das hier, eine k-Permutation aus m ohne Wiederholung.
Ohne Wiederholung ist immer ow.
Denken Sie eben bei dem 3 aus 12-Lotto.
Ich bilde eine 3-Permutation...
Dann muss was anderes hin.
Beim 3.
muss auch was anderes hin.
Sonst ist das gar nicht möglich.
Es muss mindestens so viele Elemente geben, wie ich Plätze im Tupel
habe.
Damit die alle verschieden sein können.
Und das ist dann das entsprechende.
Die Menge aller dieser k-Permutationen mit der Eigenschaft, dass sie
paarweise verschieden sind, nennt man dann per, dieses per oben m, k
und jetzt ohne Wiederholung.
Und kurz, die n-Permutation, wenn ich also alle Zahlen permutiere und
dann in einem Tupel aufschreibe, das ist das, was Sie auf jeden Fall
kennengelernt haben.
Das sind die Permutationen aus n.
So, was hier jetzt noch wichtig ist in der Kombinatorik, ist eine
zweite Gruppe, sind spezielle Permutationen, nämlich Kombinationen.
Kombinationen sind nichts anderes als Permutationen.
Ich habe jetzt hier eine totale Ordnung.
Also eine reflexive, antisymmetrische, transitive Relation.
Bei Zahlen ist es immer das kleiner Gleiche.
Wir werden es sofort spezialisieren auf m Teilmenge von, also auf eine
Menge m, die die Zahlen von 1 bis n sind.
Also wir werden es auf konkrete Zahlen beziehen.
Jetzt sehen Sie nämlich ein Tupel mit dieser Eigenschaft, a1 kleiner
gleich a2.
Die dürfen gleich sein.
Das ist das Entscheidende.
Aber ich habe eine Ordnungsrelation.
Das nennt man Kombination.
Mit Wiederholung, mit Wiederholung.
Ich habe Gleichheitszeichen, die ich zulassen kann.
Das ist das Entscheidende.
Und man spricht dann, Pär ist hier nur durch Kom ersetzt.
Kombination.
Das ist das Gleiche nochmal, K-Tupel.
Und jetzt habe ich striktes kleiner.
Bei einer allgemeinen Totalen Ordnung heißt das natürlich jetzt
kleiner gleich, aber nicht gleich.
Also wirklich, dann schreibt man kleiner.
Das haben Sie auf jeden Fall kennengelernt.
Nämlich hier...
immer so hinschreiben als so ein Tupel.
Das ist hier etwas diffiziler.
Warum da umständlich auch nicht dran.
Wir werden uns dann damit beschäftigen.
Das Entscheidende ist, wenn die Menge m, der Prototyp einer n
-elementigen Menge ist, nämlich die Menge der natürlichen Zahlen von 1
bis n, dann schreiben wir so, dann schreiben wir nicht das m, sondern
schreiben das klein n dran.
Das sind dann die Pär-Mutationen und das sind die Kombinationen.
Und dann schreiben wir noch ohne Wiederholung oder mit...
Sie werden noch ein paar Tricks kennenlernen aus der Kombinatorik.