Also Sie sehen noch mal das Memo.
Also so war der Erwartungswert.
Und zwei weitere wichtige Eigenschaften möchte ich noch nennen.
Die eine Eigenschaft ist die, wenn Sie eine Indikatorfunktion haben,
ist das eine Zufallsvariable, die nur zwei Werte annimmt.
Wir wissen eins, wenn Omega in A ist und null sonst, dann ist der
Erwartungswert von so einer Indikatorfunktion nichts anderes als die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Das ist die erste Eigenschaft.
Die zweite Eigenschaft ist die, das gilt also für jede Teilmenge A von
Omega.
Und zweitens, der Betrag des Erwartungswertes ist höchstens der
Erwartungswert der Zufallsvariable x-Betrag.
Das ist also für jede Zufallsvariable, das wäre eine
Dreiecksungleichung für den Erwartungswert.
So sehen wir uns die beiden Eigenschaften mal an.
Also das ist die Dreiecksungleichung.
Der Beweis von A, wenn ich den Erwartungswert ausrechnen würde, Sie
sehen dort oben für x den Indikator von A einsetzen, dann sind ja nur
die Summanen interessant, bei denen x von Omega 1 ist.
Und x von Omega ist nur dann 1, wenn Omega in A ist.
Das heißt, da Omega hier aus Omega 0 ist, muss ich summieren über A
geschnitten Omega 0, über diese Omegas und muss dann die 1 einsetzen.
Das habe ich erst mal nur gemacht nach Definition des
Erwartungswertes.
Und sehen Sie, das ist natürlich nichts anderes.
Jetzt werden diejenigen Omegas genommen, die in dem Schnitt liegen,
deren Wahrscheinlichkeiten werden aufsummiert, das ist eine abzählbare
Menge.
Und was ergibt sich?
Jetzt kommt die Sigma-Additivität von P, es ergibt sich die
Wahrscheinlichkeit von A.
Von Omega 0 geschnitten A.
Den Omega 0 geschnitten A habe ich zerlegt in höchstens abzählbar
viele Elementarereignisse.
Und die Wahrscheinlichkeiten werden einfach aufsummiert.
So, ich behaupte, das ist aber gleich P von A und frage Sie, warum?
Nun, die Begründung ist ganz einfach.
Was müsste ich denn noch dazu addieren, damit P von A rauskäme
eigentlich?
Nun, A wird zerlegt in A geschnitten Omega 0 und dann gibt es noch A
geschnitten Omega 0 Komplement.
Also eigentlich müsste ich noch die Wahrscheinlichkeit von A
geschnitten Omega Komplement dazu addieren.
Aber A geschnitten Omega Komplement ist schon Teilmenge von Omega
Komplement und wenn P von Omega... Entschuldigung, von Omega 0
Komplement und wenn P von Omega 0 schon 1 ist, dann bleibt P von Omega
0 Komplement nichts anderes übrig, als 0 zu sein.
So, das heißt, ich müsste 0 addieren, um auf P von A zu kommen, also
diese letzte Gleichung stimmt.
Also das ist einfach P von A.
So, sehen wir uns die zweite Eigenschaft an, B.
Nun, Sie sehen dort oben eine Summe.
Wenn ich eine endliche Summe hätte, wenn Omega 0 endlich wäre, dann
wissen Sie, Sie haben die Dreiecksungleichung aus den
Grundvorlesungen.
Dann können Sie außen Betragsstriche machen, also den Erwartungswert
in Betrag setzen.
Sie haben eine endliche Summe, dann können Sie die Beträge reinziehen.
Kleiner gleich, dann hätten Sie Summe.
Nun, das ist nicht negativ, da brauchen Sie keinen Betrag, dann hätten
Sie hier den Betrag.
Oder was das gleiche ist, x Betrag von Omega.
Also sehen Sie sofort, wenn die Summe endlich ist, stimmt die
Dreiecksungleichung sofort.
So, das andere ist jetzt nur eine Approximation.
Das bedeutet, wir nehmen jetzt mal, wenn Omega 0 unendlich ist, nur
jetzt brauche ich weitermachen.
Also OBDA ist Omega 0 eine unendliche Menge.
Jetzt nehme ich eine beliebige endliche Teilmenge her, Omega 1, eine
beliebige.
Jetzt kann ich die Dreiecksungleichung verwenden.
Das heißt, ich summiere jetzt mal nur über die kleinen Omega aus Omega
1.
Und jetzt sagt die Dreiecksungleichung aus dem ersten Studienjahr, das
ist kleiner oder gleich endliche Summe.
Summe über kleinen Omega aus Omega 1, Betrag x von Omega mal p von
Omega.
So, jetzt kann ich natürlich brutal weiter abschätzen nach oben, indem
ich jetzt summiere über alle aus Omega 0 und das ist natürlich e von x
Betrag.
So, jetzt gilt, diese Ungleichung gilt für jede endliche Teilmenge.
Jetzt brauchen Sie natürlich nur das Omega 0 zu approximieren durch
endliche Teilmenge.
Das heißt, die Ungleichung muss gelten.
Sie haben immer nur obere Schranke.
Die Folge hat nur obere Schranke.
Deuten Sie jetzt von mir aus, Sie können immer sagen, wenn das Abzöber
unendlich ist, kann ich die immer umnummerieren, dass Omega 0 die
Menge der natürlichen Zahlen ist.
1, 2, 3, 4, 5.
Und die endliche Teilmenge ist jetzt eine von 1 bis k.
Dann lassen Sie k gegen unendlich gehen.
Das heißt, die Ungleichung stimmt.
Die kommt wirklich manchmal vor.
Insbesondere das mit den Wahrscheinlichkeiten, das werden wir gleich
sofort anwenden.
Und zwar mache ich gleich ein Beispiel.
Oder hier wäre der Beweis erbracht.
Das ist noch mal das Memo.
Also immer wieder prägen sich ein, der Erwartungswert ist Additiv und
der Erwartungswert des Indikators ist die Wahrscheinlichkeit eines
Ereignisses.
So, jetzt kommt nämlich eine Zählvariable.
Der Erwartungswert einer Zählvariablen.
Dazu benötige ich Ereignisse.
Sagen wir, wir haben n Ereignisse und ich definiere dieses x als Summe
der Indikatorvariable.
So, Sie sehen, was das x macht.
Ich summiere Einsen und Nullen auf.
Diese Summanen können nur 1 und 0 sein.
Und die Realisierung von x gibt mir die Anzahl der Einsen an.
Wenn jeder Indikator 0 ist, kommt da 0 raus.
Wenn jeder Indikator 1 ist, kommt da 1 raus.
Das heißt, das x gibt mir an, die Anzahl der Eintretenden unter diesen
n Ereignissen.
Wenn x den Wert k annimmt, dann ist das genau dann der Fall, wenn
genau k dieser n Ereignisse eintreten.
Ich weiß nicht welche.
Ich weiß nur, ich habe eine Summe und in dieser Summe waren k Summanen
1.
Die anderen waren 0.
Die Anzahl der Eintretenden.
Also es wird oft gezählt in der Stochastik.
Denken Sie an Versicherungen, Anzahl der Unfälle, Schadensfälle.
Anzahlen.
Anzahlen von Naturkatastrophen, von Erdbeben.
Überall Anzahlen.
Anzahlen von Jobs, die am Prozessor ankommen.
Alles Anzahlen.
Das heißt, so eine Anzahlbildung ist fundamental.
Jetzt können wir Folgendes machen.
Das gilt.
Wir können jetzt sofort den Erwartungswert von so einer Zählvariable
angeben.
Wenn x so eine Summe ist, oder oben steht der Erwartungswert.
Jetzt müssen Sie natürlich flexibel sein.
Da steht jetzt u und v und nicht x.
Das ist natürlich nicht das x, was da steht.
u plus v ist e von u plus e von v.
Der Erwartungswert ist additiv.
Der Erwartungswert einer Summe ist Summe der Erwartungswert.
Ich kann diese Summe nach vorne ziehen und der Erwartungswert vom
Indikator aj, ist die Wahrscheinlichkeit von aj.
Also haben wir sofort den Erwartungswert dieser Indikatorsumme, dieser
Zählvariable, als Summe der Wahrscheinlichkeit, j von 1 bis n.
Jetzt kommt noch ein Spezialfall.
Das kommt häufig vor.
Stellen Sie sich vor, die Ereignisse haben alle die gleiche
Wahrscheinlichkeit.
Und die taufe ich dann mal p.
Und dann ist jeder Summand gleich p.
Da kommt n mal p raus.
Und jetzt frage ich Sie, wenn Sie sich mal an Ihren gymnasialen
Stochastikunterricht, sofern Sie überhaupt einen hatten, erinnern, kam
mal irgendwo n mal p raus für den Erwartungswert?
Kam, kam.
Das war die berühmte Binomialverteilung.
Die kommt gleich vor.
n mal p.
p war dann die Erfolgswahrscheinlichkeit, die
Trefferwahrscheinlichkeit.
Ich mache n Versuche.
Aber hier können die Ereignisse sonst was sein.
Ganz allgemein, es kommt n mal p raus, wenn die die gleiche
Wahrscheinlichkeit haben.
Okay.
Ich mache mal ein Beispiel.
Anzahl der Rekorde in einer rein zufälligen Permutation.
Sie sehen, ich habe hier mal ein Foto gemacht.
Da habe ich ein Kartenspiel gehabt.
Das Kartenspiel bestand aus 20 verschiedenen Karten.
Die waren alle nummeriert und zwar von 1 bis 20.
Das Spiel lief so ab.
Ich habe gut gemischt, habe die erste Karte aufgedeckt und die erste
Karte sehen Sie ganz oben links in der Ecke, das war die 7.
Die Regel war jetzt so, wenn die nächste Karte, die ich aufdecke,
einen größeren Wert hat, dann beginne ich einen Stapel rechts daneben.
Hat sie einen kleineren Wert als die 7, lege ich sie an die 7 an, nach
unten.
Meine zweite Karte war die 5.
Ich habe die nächste Karte wieder verglichen mit der 7.
Nun, das war die 8.
Jede weitere Karte habe ich mit der 8 verglichen.
Die 8 war jetzt mein Rekordwert, der zweite sozusagen.
Der erste war die 7.
Der Rekordwert war die 8.
Das heißt, die nächsten Karten, die kamen, war die 6, die 2 und die 3.
Die habe ich alle brav angelegt, weil sie einen kleineren Wert haben.
So, jetzt kam die 17.
Größerer Wert.
Jetzt habe ich jede Karte mit der 17 verglichen.
Danach kamen die 12 und die 13, die habe ich brav angelegt.
Und dann kamen die 18.
Ich begann einen neuen Stapel.
Die nächsten 16, 4, 11, 14 waren kleinere Werte.
Und dann kam natürlich die Karte mit dem größten Wert, die 20.
Alle anderen waren kleiner.
Sie sehen aber insgesamt, ich habe 5 Stapel.
Diese rein zufällige Permutation der Zahlen von 1 bis 20 hatte 5
Rekorde.
Sie können sowas auch als Solitärspiel machen.
Also Sie können ja auch die Karten eines normalen französischen
Kartenspiels gedanklich sortieren, ihnen einen Rang geben.
Kreuz Ass größter Wert, Kreuz König zweitgrößter und so weiter bis
Karo 7 ganz hinten.
Können Sie selbst mal ausprobieren, wie viele Rekorde Sie bekommen.
Theoretisch kann es Ihnen passieren.
Es hätte auch mir passieren können.
Die allererste Karte, die ich aufdecke, ist die 20.
Da habe ich natürlich nur ein Rekord.
Maximal 20 Rekorde.
Da decke ich natürlich die Identität auf als Permutation.
Erst die 1, dann die 2, dann die 3, dann die 4.
Hier habe ich 5 gehabt.
Ich modelliere das jetzt erstmal.
Also Omega sei die Menge aller Permutationen der Zahlen von 1 bis n.
Und ich arbeite mit der Gleichverteilung.
Ich nehme an, alle Permutationen sind gleichwahrscheinlich.
So, für jedes j von 1 bis n definiere ich ein Ereignis aj.
Und zwar, um bei dem Beispiel zu bleiben, die j-aufgedeckte Karte
liefert einen Rekord.
Das bedeutet, es ist nichts anderes als die Menge aller dieser
Permutationen der Zahlen von 1 bis n.
In dem Tuple stehen die jetzt in irgendeiner Reihenfolge mit der
Eigenschaft, dass der j-Wert aj der größte ist der ersten j.
Sie sehen, insbesondere a1 wäre das klein a1 das Maximum von a1 ist.
Das heißt, per Definitionen tritt das Ereignis a1 auf jeden Fall ein.
Meine erste Karte, die ich aufdecke, ist ein Referenzwert.
Also das ist das Ereignis, die j-Karte liefert ein Rekord und das
zählt dann die Anzahl der Rekorde.
Diese Indikatorsumme zählt die Zahl der Rekorde.
Und wir wissen jetzt sofort, an den Erwartungswert von x komme ich
sofort ran.
Ich muss nur die Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummieren.
Das haben wir eben gesehen.
Also interessiert uns nur noch, was ist denn die Wahrscheinlichkeit
von aj?
Und eben wurde schon klar, nun die Karte decke ich zuerst auf.
Hier habe ich jetzt sozusagen die Zahlen von 1 bis 9.
Ich glaube es sind 9.
Die 1 tritt mit Wahrscheinlichkeit ein.
Das liefert mir einen Rekord.
Die Wahrscheinlichkeit ist 1.
Aber mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert mir denn diese zweite
Karte, die ich aufdecke, einen Rekord?
Jetzt müssen Sie stochastisch denken lernen.
Natürlich, wenn ich die erste aufdecken würde, dann wäre es simpel.
Wenn ich die 7 aufdecke, dann werden Sie sagen, es sind noch 19 drin.
6 sind ungünstig.
Die anderen sind günstig.
Günstige Fälle durch mögliche Fälle, reiner Zufall.
Aber das wäre eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Ich decke Ihnen die Karte nicht auf.
Na gut, ganz egal, welche beiden Nummern hier vorne stehen.
Eine ist größer als die andere und eine ist kleiner.
Ein reiner Symmetrieargument zunächst mal ist, die Wahrscheinlichkeit,
dass die zweite Karte einen Rekord liefert, ist ein Halb a priori.
Sehen wir uns mal die dritte Karte an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit liefert die einen Rekord?
Nun, die ist nur genau dann ein Rekord, wenn sie den größten Wert hat
der ersten drei Karten, die dritte.
Einer hat den größten Wert, entweder die erste, die zweite oder die
dritte.
Ganz egal, welche Werte da sind, welche drei Zahlen sind, die sind nur
verschieden.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der größte Wert der ersten drei Karten an
der dritten Stelle steht, ist ein Drittel aus reiner Symmetrie.
Sie können das auch abzählen.
Sie können auch sofort sagen, okay, wie viele Permutationen habe ich
denn insgesamt?
Sind es N Fakultät?
Okay, jetzt muss ich die günstigen Fälle abzählen, diejenigen, dass an
der j-Stelle das Maximum der ersten j dann erreicht ist.
Und wenn Sie das machen, kommen Sie auf das Ergebnis 1 durch j.
Was ich versucht habe Ihnen hier, sozusagen indem ich an Ihre
stochastische Intuition appelliert habe, wahrscheinlich hier zum
ersten Mal, es wird aber noch öfter kommen, Sie müssen stochastisch
denken lernen, muss es auch dann einsehen, aber Sie sollten es auch
ausrechnen.
Rechnen Sie es aus.
1 durch j.
Wenn wir das natürlich haben, 1 durch j, dann wissen wir sofort der
Erwartungswert von diesem xn.
Ich muss nur die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse addieren, also 1
plus ein Halb plus ein Drittel und so weiter plus 1 durch n und das
ist der Anfang der harmonischen Reihe.
Das wird immer größer bei wachsendem n, aber Sie wissen, es geht
langsam.
Ich habe Ihnen eine Folie gemacht, die nächste Folie, die zeige ich
jetzt nicht, die ist aber im Handout, dass Sie sehen, ich kann es grob
mit dem Logarithmus abschätzen.
Es wächst logarithmisch.
Das bedeutet, bei 32 Karten ist es ziemlich genau 4 und wenn Sie eine
Milliarde Karte nehmen, dann erwarten Sie etwa 20 Rekorde.
Bei einer Milliarde.
Die Frage ist, ob Sie das vorher vermutet hätten?
Vermutlich nicht.
Aber denken Sie logarithmisch.
Also hier ist sozusagen der Hinweis, um zu verstehen, warum es so ist,
ist der, die erste Karte ist rein zufällig im Bereich von 1 bis n, die
splittet grob das Ganze in zwei Hälften und jede weitere Karte
splittet nochmal.
Das ist sozusagen die grobe Idee dafür.
Es ist ein interessantes Phänomen, wenige Rekorde.
Denken Sie jetzt mal an Zeitreihen heute, wenn vielleicht in
Umweltwissenschaften nachgewiesen werden soll, okay, der Mensch ist
wirklich für die Klimaerwärmung verantwortlich, Temperatur, Zeitreihen
oder ähnliches.
Das heißt, plötzlich beobachtet man, Mensch, dieses Jahr war das
wärmste seit Aufzeichnung, das nächste ist vielleicht noch wärmer.
So, es ist natürlich klar, wenn, das müssen ja nicht die Zahlen von 1
bis n sein, wenn es n verschiedene Werte sind, n verschiedene Werte
und Sie ordnen die rein zufällig an, so der Mensch ist nicht
verantwortlich für gar nichts, der reine Zufall regiert, dann würden
Sie eben über eine Zeitreihe der Länge n nur so wenige Rekorde
beobachten.
Okay?
Und es kommt nicht darauf an, dass es die Zahlen von 1 bis n sind.
Es müssen nur verschiedene Zahlen sein.
Das heißt, das, was wir hier sehen an diesen zufälligen Permutationen,
sollte einem auch zu denken geben über die Anzahl von solchen extremen
Ereignissen, die sich vielleicht in Zeitreihen häufen.
Also mit dem Modell des reinen Zufalls ist das vielleicht wenig
verträglich, um es mal so auszudrücken.
So, jetzt komme ich zu folgendem.
Ich hatte Ihnen gesagt, als ich den Erwartungswert einführte, wir sind
rechenfaul.
Wir wollen nachdenken.
Aber irgendwann muss man auch mal rechnen.
Jetzt kommt eine Formel, die lernen Sie in der ANA 3 ganz allgemein
kennen.
Die hat was zu tun mit Maßen und Bildmaßen und Transformationen von
Integralen.
Die sieht so aus.
Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Abbildung g von R nach R und Sie
haben eine Zufallsvariable x und Sie schalten die Abbildung g
dahinter.
Der g könnte zum Beispiel sein, g von t ist t² oder g von t ist sin t.
Und dann bekommen Sie die Zufallsvariable x² oder sin x.
Das heißt, Sie schalten einfach eine Abbildung dahinter.
Komposition von Abbildung.
Das heißt, g von x an der Stelle Omega ist nichts anderes als g von x
von Omega.
Klein-Omega aus Groß-Omega.
Also nichts besonders Prickelndes, das haben Sie schon gehabt im
ersten Studienjahr.
So, dann wird behauptet, der Erwartungswert dieser Zufallsvariable g
von x und Sie sollten sofort erkennen, der Spezialfall ist hier mit
drin, dass g die Identität ist.
Dann haben Sie den Erwartungswert von x als Spezialfall.
Existiert genau dann, wenn gilt.
Sehen Sie eine Summe.
Da wird summiert über alle reellen t mit der Eigenschaft, dass x den
Wert t annimmt, dass diese Wahrscheinlichkeit positiv ist.
Das sind höchstens abzählbar viele Werte.
Immer daran denken, da ist die abzählbare Menge Omega 0 im
Hintergrund.
Nur die Klein-Omega aus Omega 0 können überhaupt positive
Wahrscheinlichkeiten haben.
Die werden transportiert mit Hilfe von x auf die reelle Achse.
Natürlich können da auch mal gleiche Werte vorkommen, aber die Anzahl
der Werte, die x annehmen kann mit positiver Wahrscheinlichkeit sind
höchstens abzählbar viele.
Das ist also entweder eine endliche Summe oder der Grenzwert einer
unendlichen Reihe.
So, wenn man das eingesehen hat, da steht eben, diese Reihe muss
konvergieren.
Ich muss den Betrag nehmen.
Sie sehen hier wieder diese Betragsbildung.
Wert, Betrag mal Wahrscheinlichkeit muss endlich sein.
So, wenn das der Fall ist, wenn in diesem Fall lässt man dann die
Betragsstriche weg und der Erwartungswert von g von x ist nichts
anderes als das.
Summe g von t mal Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert t annimmt.
Der wichtigste Spezialfall hier wäre, g ist die Identität.
Das bedeutet, der Erwartungswert wäre dann Summe Wert mal
Wahrscheinlichkeit über alle Werte, die x annimmt.
In sehr vielen Fällen sind das nur endlich viele.
Also das ist jetzt sozusagen das Rezept.
Wenn einem nichts anderes einfällt, also wenn sie das eben nicht
gehabt hätten über die Rekorde, war eine Zufallsvariable.
Wir haben nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Rekorde,
dass ich fünf Rekorde habe oder sieben Rekorde, das haben wir alles
nicht.
Wir haben den Erwartungswert anders ausgerechnet.
Hier ist es so, wenn Sie die Verteilung kennen, also hier wäre das
sozusagen das Stabdiagramm, synonym dafür.
Wenn Sie die Wahrscheinlichkeiten kennen, heißt das nur Wert mal
Wahrscheinlichkeit.
Also simple Regel.
Zur Folgerung, ganz wichtige, der Erwartungswert hängt nur von der
Verteilung ab.
Obwohl hier natürlich hinter steckt, g von der Menge aller kleinen
Omega aus Omega mit der Eigenschaft.
Wir wollen das Omega aber gar nicht wissen.
Wir wollen nur das Stabdiagramm kennen.
Da brauchen wir das Omega gar nicht.
Nur die Wahrscheinlichkeiten sind interessant.
Der Erwartungswert hängt wirklich nur ab von der Verteilung.
Das konkrete Omega ist im Hintergrund.
Das sollte auch klar sein.
Der Raum, auf dem x definiert ist, ist uns ziemlich egal.
Okay, sehen wir uns mal den Beweis an hier.
Der Beweis ist nur umsortieren.
Das ist nur der große Umordnungssatz, sonst ist das nichts.
So, was machen wir?
Was ist der Erwartungswert des Betrages von g von x?
Nun, ich muss summieren über alle die kleinen Omega aus Omega Null und
jetzt muss ich bilden g von x von Omega Betrag mal p von Omega.
Wenn hier was Endliches rauskommt, dann existiert der Erwartungswert
von g von x.
Ich muss die Beträge nehmen.
Genau dann.
Bei einer endlichen Summe, wenn Omega Null endlich ist, brauche ich
eigentlich gar nicht weitermachen.
Was ist das?
Nun, ich nehme die Summe noch mal her.
Ich habe also nur das Gleiche noch mal hingeschrieben und jetzt kommt
das Umsortieren.
Ich sortiere jetzt nach gleichen Werten von x von Omega.
Das sind die kleinen t's.
Ich sortiere einfach um.
Omega Null ist jetzt eine absehbare Menge, die kann ich irgendwie
durchzählen, aber ich sortiere anders.
Das heißt, wir sehen, das ist diese äußere Summe t aus r,
Wahrscheinlichkeit x gleich t positiv und dann summiere ich über die
Omega aus Omega Null mit der Eigenschaft x von Omega ist t.
Und jetzt schreibe ich das wieder hin.
Das Entscheidende ist, hier geht der große Umordnungssatz ein.
Nach dem großen Umordnungssatz kann man auch sagen, entweder sind
beide Seiten endlich oder beide Seiten unendlich.
So, und wenn ich soweit bin, jetzt sehen Sie, in dieser inneren Summe
kann ich natürlich für x von Omega t einsetzen.
Dann habe ich hier nur g von t Betrag.
Das hängt dann gar nicht mehr ab.
Das kann ich dann nach vorne ziehen.
Das bedeutet, ich habe hier das und dann schreibe ich g von t Betrag
nach vorne.
Und dann summiere ich jetzt noch über diejenigen kleinen Omega aus
Omega Null mit x von Omega gleich t diese Einzelwahrscheinlichkeiten,
aber diese letzte Summe ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit,
dass x den Wert t annimmt als Zufallsvariable.
Das heißt, diese letzte Summe, das g von t Betrag, also diese Summe
ist genau das.
Sie sehen, das Entscheidende war das hier, dieses Umsortieren.
Das heißt, wenn hier ein endlicher Wert rauskommt, kommt hier auch ein
endlicher Wert raus und dann darf ich die Betragsstriche weglassen.
Dann existiert der Erwartungswert.
Das ist nochmal beachte.
Das erste Gleichheitszeichen, das hier.
Nicht das, das hier.
Eigentlich muss es sein das zweite.
Oder das erste Gleichheitszeichen der Gleichungskette, sollte ich
sagen.
Sie sehen, das sind immer so Feinheiten, die einem dann noch
auffallen.
Das dann direkt macht.
Ja, und dann kann man die Betragsstriche weglassen.
Und dann hat man diese Darstellung.
Also das wäre jetzt das Ausrechnen von Erwartungswerten.
Und ich kann Ihnen sagen, dafür gibt es in der Klausur Punkte.
Das ist ja immer beruhigend, für was es Punkte gibt.
Wollen ja alle eine gute Note machen.
Okay.
Beispiel.
Machen wir da ein ganz simples Beispiel zu.
Stellen Sie sich vor, die Zufallszweige ab x besitze eine
Gleichverteilung auf der Menge der Zahlen von 1 bis k.
Was soll das heißen?
Das heißt, jeder dieser Werte mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1 durch
k angenommen.
Für jedes j von 1 bis k.
So sehen Sie, bei dieser Sprechweise sage ich Ihnen überhaupt nicht
mehr, auf welchem Grundraum das x definiert ist.
Ich gebe Ihnen nur an, welche Werte nimmt das x an, mit welchen
Wahrscheinlichkeiten.
Also nochmal, obwohl Sie immer im Hinterkopf haben sollten, x ist eine
Abbildung als Zufallszweige auf den Grundraum.
Für viele Betrachtungen tritt der Grundraum in den Hintergrund.
Ich könnte als Grundraum die Menge der Zahlen von 1 bis k nehmen und
als x die Identität.
Kann ich machen.
Also, das ist hier wichtig.
Omega wird nicht spezifiziert.
So, jetzt kann ich rechnen.
Also, was haben wir eben gesehen?
Der Erwartungswert, die Regel war, Wert mal Wahrscheinlichkeit über
alle Werte aufsummiert.
Und die Werte sind jetzt die j von 1 bis k, Wert mal
Wahrscheinlichkeit, also j mal p von x gleich j.
p von x gleich j ist immer 1 durch k und 1 durch k kann ich
rausziehen.
Dann habe ich Summe über j, j von 1 bis k.
Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis k ist k mal k plus 1 halbe.
Also habe ich 1 durch k mal k plus 1 halbe.
Kürze ich ein k weg und dann steht da k plus 1 halbe.
So, interessanterweise, jetzt nehmen wir mal k gleich 6.
k gleich 6 wäre das ideale Modell für einen Würfelwurf.
Echter Würfel.
Augenzahl.
1 bis 6, gleiche Wahrscheinlichkeit, ein Sechstel.
Was käme raus?
k ist 6, k plus 1 ist 7, 7 halbe 3,5.
Erste Regel, der Erwartungswert von x muss keine Realisierung von x
sein.
Stellen Sie sich eine Zufallsvariable vor, die nimmt den Wert 0 an,
mit Wahrscheinlichkeiten halb.
Und eine Million mit Wahrscheinlichkeiten halb, nur die beiden Werte.
Der Erwartungswert ist 500.000.
Also wenn Sie sich das klar gemacht haben, dann werden Sie nie
irgendwie sagen, der Erwartungswert ist irgendwie der erwartete Wert.
Im Sinne von wahrscheinlichster Wert.
Nein, nein.
Das hat was zu tun mit Durchschnitten auf die Dauer.
Deutung des Erwartungswertes.
Hier trage ich mal, jetzt sage ich mal, klein x für die Werte.
Ich trage mal sowas auf.
Das soll die Verteilung sein.
So, das ist das Stabdiagramm und hier ist der Erwartungswert.
Der Erwartungswert ist nichts anderes als der physikalische
Schwerpunkt.
Stellen Sie sich vor, die x-Achse hat kein Gewicht.
Sie bringen da Gewichte an, proportional zur Höhe.
Irgendwo müssen Sie den Finger drunter halten, damit es im
Gleichgewicht bleibt.
Da ist der Erwartungswert.
Das ist sozusagen das Physikalische, die physikalische Deutung.
Schwerpunkt einer Verteilung.
Ist klar, wenn Sie dieses Stäbchen weiter nach links verschieben, geht
der Erwartungswert auch nach links.
Okay.
Jetzt kommt das erste, ja, ich versuche es mal auf Deutsch
auszudrücken, das erste mathematische Glanzlicht dieser Vorlesung.
Heute sagt man ja nur noch Highlight dieser Vorlesung.
Wir haben einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum und in diesem
Wahrscheinlichkeitsraum haben wir Ereignisse.
So, dann wissen wir, so eine Zufallsvariable hier, die Indikatorsumme,
zählt die Anzahl der eintretenden Ereignisse.
Man sieht also, die Zufallsvariable kann, wenn überhaupt, nur die
Werte annehmen 0, 1, 2, 3 und so weiter bis N.
Anzahl.
Denken Sie an Anzahl der Rekorde.
Oder denken Sie mal Anzahl von Treffern in Bernoulli versuchen, wenn
Sie das in meiner Schule gehabt haben.
Okay.
So, ich definiere ein S0 zu 1 und jetzt kommt etwas, was wir schon
hatten.
Sj sei die Summe der Wahrscheinlichkeiten von allen Schnitten von J
der N-Ereignisse.
Diese Summe hat N über J-Summanden, nämlich genauso viele Summanden,
wie ich J aus den N-Ereignissen auswählen kann.
Wir haben das schon gehabt bei der Formel des Ein- und Ausschließens.
Wir werden auch sehen, dass die Formel des Ein- und Ausschließens aus
dem, was ich jetzt hinschreibe, hervorgeht als Kohlhaar.
Das kann ich machen für jedes J von 1 bis N.
Dann gilt, so, ich werde jetzt eine Formel aufstellen für die
Wahrscheinlichkeit, dass genau K der N-Ereignisse eintreten.
Das ist nämlich x gleich K.
Kann es mit anderen Worten beschreiben.
Genau K der N-Ereignisse treten ein.
Das ist was Alternierendes.
J beginnt hier bei K.
Minus 1 hoch J minus K.
J über K.
Und jetzt kommt genau dieses Sj.
Und das gilt für jedes K von 0 bis N.
Sie sollten die Allgemeinheit dieser Formel vielleicht schon so ein
bisschen würdigen, als Sie sehen, die Ereignisse, das kann ja sonst
was sein.
Also die Wahrscheinlichkeit, dass genau K von N-Ereignissen eintreten,
ist dieser Ausdruck.
Ich muss also die Summen dieser Wahrscheinlichkeiten kennen von
Schnitten von J-Ereignissen.
Okay, ich mache erstmal, bevor ich das beweise, ein Korollar.
Das Korollar besagt, Folgung, für jedes J von 1 bis N, es kommt ein
Spezialfall.
Stellen Sie sich vor, diese Wahrscheinlichkeit, die da oben steht,
hängt überhaupt nicht von den konkreten Indizes ab, sondern nur von J,
von der Anzahl der beteiligten Ereignisse.
Dann wäre jeder Summan immer gleich.
Ich könnte für jeden Summan einfach nur schreiben A1 geschnitten, A2
geschnitten, AJ.
Und die Anzahl der Summan ist N über J.
Das heißt, in diesem Spezialfall, das ist so ein symmetrischer Fall,
man sagt dann auch, die Ereignisse seien austauschbar.
Wir werden gleich ein Beispiel dafür haben.
Nimmt die Jordan-Formel spezielle Form an.
Das heißt, es hängt nur von J ab, aber nicht von dieser speziellen
Wahl der Indizes, das habe ich eben gesagt.
Das bedeutet, P von X gleich K, ich fange genauso an, aber SJ ist
jetzt Anzahl der Summanden, N über J, mal die Wahrscheinlichkeit eines
Summanden.
Und dann nehme ich einfach A1 geschnitten, geschnitten, AJ.
Spezialfall dieser Formel.
Wir werden gleich ein schönes Beispiel haben, wo wir dann sehen, dass
das dann da erfüllt ist.
Okay, jetzt sehen wir uns mal den Beweis an.
Der Beweis ist ganz in gewisser Weise ganz elementar.
Ich habe ihn mal versucht, ja, möglichst kompakt aufzuschreiben, dass
man das Wesentliche erkennt.
Ich kürze mal die Menge dieser Indizes von 1 bis N ab mit N oder die
Menge dieser Indizes der Ereignisse.
Groß N sei diese Menge.
Und jetzt kommt eine Symbolik, die hilft uns wirklich beim Beweis.
Wenn ich allgemein eine Menge M habe, dann bezeichne ich mit diesem M
in Mengenklammern Index S nichts anderes als die Menge der S
-elementigen Teilmengen der Menge M.
S-elementige Teilmengen der Menge M.
Wenn die Menge M fünf Elemente hat, habe ich eben 5 über 2 Teilmengen.
Das wissen Sie, 10 Teilmengen, allgemein eben ist eine N-elementige
Menge.
Und ich habe K-Teilmengen, sind es eben dann N über K.
Okay, so, jetzt kommt ein Memo.
Wir haben schon mal gesehen, wann so eine Zählvariable, die zählt, wie
viele der N-Ereignisse eintreten, den Wert K annimmt.
Das ist genau dann der Fall, wenn ich aus den Indizes von 1 bis N eine
Menge T finde, die K-Elemente hat und die Ereignisse, deren Indizes in
T liegen, treten ein und die anderen nicht.
So, wir hatten folgende Darstellung.
Das ist dann eine Vereinigung von paarweise bestimmten Mengen.
Sie sehen, die Vereinigung erfolgt über alle K-elementigen Teilmengen
dieser Menge N.
Dann müssen die Ereignisse eintreten a j mit j aus T und die anderen
alle nicht.
Das ist genau die Darstellung dieses Ereignisses, dass genau K der N
-Ereignisse eintreten als eine Vereinigung von paarweise bestimmten
Mengen.
Das hatten wir schon bei den Zählvariablen.
Das ist das erste Memo.
Es ist jetzt gut, dass man sich da noch mal dran erinnert.
Das zweite Memo, wenn Ereignisse paarweise disjunkt sind, dann ist der
Indikator der Vereinigung, wir machen es hier für zwei, Summe der
beiden Indikatorvariablen.
Und das gilt natürlich dann auch für N, die paarweise disjunkt sind.
Sie hatten sogar eine allgemeinere Formel, Indikator A vereinigt B.
Indikator A plus Indikator B minus Indikator A geschnitten B und A
geschnitten B ist die leere Menge, die paarweise disjunkt sind.
Das heißt, das gilt.
Und das ist eine wichtige Regel.
Indikator des Schnittes von Zweien und damit auch von vielen
Ereignissen ist das Produkt der einzelnen Indikatorfunktion.
Und letzte Regel, Indikator A Komplement ist 1 minus Indikator von A.
Also bislang haben wir eigentlich noch gar nichts gemacht.
Ich habe nur Dinge in Erinnerung gerufen, die wichtig sind jetzt für
den Beweis.
Und was wir noch gesehen haben, das ist eben diese Abkürzung.
Die Menge der S-elementigen Teilmengen einer Menge M.
Da haben wir es gebraucht.
So, was ich jetzt mache, ich drücke einfach diesen Indikator X gleich
K aus.
Später werde ich dann Folgendes machen, wenn ich hier eine gute
Darstellung für gefunden habe, wie komme ich denn von dem Indikator zu
der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses?
Nun, wir wissen, da steckt ein Ereignis.
X gleich K ist unser Ereignis A und da ist der Indikator und der
Erwartungswert von diesem Indikator ist die Wahrscheinlichkeit.
Hinterher bilde ich den Erwartungswert.
Aber erstmal rechne ich das aus.
So, Sie sehen, was kann ich machen?
Du, X gleich K ist disjunkt zerlegt, eine Vereinigung.
Das heißt, ich habe auch hier eine Summe von Indikator-Variablen.
Jetzt brauche ich die Indikator-Funktion von diesem ganzen Schnitt.
Jetzt kommt diese Regel.
Indikator-Schnitt heißt Produkt von Indikator-Variablen.
Produkt.
Also nehmen wir das erste Produkt.
Da läuft J aus T.
Dann habe ich Indikator AJ.
Jetzt geht es weiter.
Ich habe einen Schnitt mit weiteren Mengen.
Die anderen stehen da aber im Komplement.
Das heißt, ich habe jetzt noch ein Produkt von Indikator AL
-Komplement.
Aber Indikator AL-Komplement ist 1 minus Indikator AL.
Das ist das letzte Memo da.
So, das bedeutet, es geht jetzt noch weiter.
Das L durchläuft jetzt die Indizes, die nicht in T sind, aus den
Zahlen von 1 bis N.
Und dann habe ich immer 1 minus Indikator AL.
Das ist schon eine sehr schöne Darstellung.
Was ich jetzt mache, ich mache nur Klammerrechnung.
Also wir versetzen uns zurück in die 8.
Klasse eines deutschen Gymnasiums.
Da macht man Klammerrechnung.
Also ich würde gern mal das ausrechnen.
Schreiben wir das mal links dahin.
Dies Produkt möchte ich ausrechnen.
Da steht also 1 minus irgendwas mal 1 minus irgendwas.
Wie viele Faktoren habe ich?
Naja gut, ich habe so viele Faktoren wie es L es gibt hier drin.
N ist eine klein-N-elementige Menge und T steht, es ist eine K
-elementige Menge.
Oh, das L kann nur N minus K-Werte annehmen.
Wir liegen eben in dieser N-Verminderung T.
Das heißt, das ist ein Produkt aus insgesamt N minus K-Faktoren.
So, wenn Sie das ausrechnen würden, denken Sie sich mal 1 minus
Indikator mal 1 minus Indikator.
Sie müssen aus jedem immer einen auswählen und alles miteinander
multiplizieren.
Erstmal können Sie nur die Einsen nehmen.
Sie nehmen in jeder Klammer die Einsen.
Produkt von Einsen ist 1.
Jetzt nehmen Sie bis auf eine Klammer die Einsen, aber in einer
Klammer nehmen Sie den Indikator.
Was würden Sie bekommen?
Sie haben eine Summe von Indikatoren.
Und zwar jetzt mit dem Minuszeichen, weil ein Minus vorsteht.
Jetzt können Sie N minus 2 der Klammern nehmen, immer Einsen, aber bei
2 der Klammern nehmen Sie zweimal den Indikator.
Da die mit Minus stehen, haben Sie ein Plus.
Jetzt kommt was Alternierendes.
Das heißt, das kann nichts anderes sein als 1 minus Summe der
Indikatorfunktionen plus Summe von Produkt von Zweien minus Summe von
Produkt von Dreien und so weiter.
Das machen wir jetzt allgemein.
Die Anzahl der Faktoren.
Sie sehen, hier habe ich jetzt ein Index R eingeführt von 0 bis L
minus K.
Das R gibt mir sozusagen an, aus wie vielen Klammern ich einen
Indikator auswähle.
R gleich 0 heißt, oh, kein Indikator, ich habe nur die Einsen.
So, was kommt raus?
Es kommt was Alternierendes raus.
Für R gleich 0 fängt es an mit der 1, für R gleich 1 mit dem
Minuszeichen, dann mit dem Pluszeichen und so weiter.
So, was kommt jetzt?
Oh, ich habe eine Summe.
Jetzt führe ich eine Menge u ein und das sind jetzt die R-elementigen
Teilmengen dieser Menge, wo das R drin rumflitzt.
Die R-elementigen Teilmengen.
So, und dann wird einfach das Produkt gebildet dieser Indikatoren mit
J aus u.
So, sehen wir uns das an, im Detail.
Im Detail.
Was passiert für R gleich 0?
Für R gleich 0 haben wir Minus 1 hoch 0.
Oh, Summe über 0-elementige Teilmengen u hier raus.
Eine 0-elementige Teilmenge, da gibt es nur eine, das ist die leere
Menge.
Also für R gleich 0 haben sie nur die leere Menge.
Also muss man auch wissen, was ist denn Produktindikatoren J aus der
leeren Menge.
Ein Produkt, irgendwas über die leere Menge ist immer als 1 definiert.
Da haben sie die 1.
Jetzt gehen wir weiter.
Machen wir R gleich 1.
R gleich 1 heißt Minuszeichen.
Jetzt gehen sie die ein-elementigen Teilmengen durch.
Das sind genau diese Indizes, die einzelnen, die hier drin liegen.
Dann ziehen sie immer ein Indikator ab.
Das ist genau die Klammerrechnung.
So, was passiert für R gleich 2?
Für R gleich 2 haben sie dann Plus.
Jetzt haben sie eben zwei Indikatoren ausgewählt, aus den anderen
Klammern die 1.
So, das heißt, hier haben sie dann die 2-elementigen Teilmengen und
müssen Produkt von Indikator aj biegen aus der 2-elementigen Teilmenge
und so weiter.
So, hier steckt einfach nur ein kleiner Prozess hinter des möglichst
kompakten Schreibens, damit man sieht, was wirklich abläuft.
Aber mehr ist das nicht.
Ich habe nur dieses Produkt ausgerechnet und dafür diese Darstellung.
So, die setze ich jetzt ein.
Das heißt, was ich jetzt mache ist, ich nehme den Indikator her und
fange genau so an.
Diese Summe habe ich hier und hier habe ich jetzt von hinten habe ich
noch die zweite, die ziehe ich nach vorne.
Das ist alles endlich.
Ich kann vertauschen, kann die Reihenfolge der Summen vertauschen.
So, dann nehme ich das Minus 1 hoch R.
Okay, das mache ich später.
Und ich habe noch oben diese Summe und habe diese.
Dann nehme ich also jetzt diese Summe.
Und was ich jetzt habe ist, ich habe die zweite Summe, die.
Und jetzt hätte ich dieses Produkt und das Produkt.
Das fehlt noch.
Und Sie sehen t und u sind natürlich das Junge, denn t ist eine
Teilmenge der Zahlen von 1 bis n und u ist aus dem Rest aus n
vermindert um t.
Das heißt, was jetzt passiert, ich kann natürlich das zu einem großen
Produkt zusammenfassen, indem ich sage, naja, ich muss die Indikatoren
der Ereignisse aj multiplizieren, der hat das j in der Vereinigung von
dem, was haben wir hier, t und u liegt.
Und da die disjunkt sind, kann ich sagen t plus u.
Im Handout hatte ich noch Vereinigung, aber ich denke, da sollte ich
mal das noch stärker als plus, dann kommt es noch besser raus.
Die sind disjunkt.
Also so sieht das aus.
Jetzt sind wir fast fertig.
Der Beweis ist also so gut wie erbracht.
Jetzt kommt noch ein ganz klein bisschen Kombinatorik.
Also was wird hier gemacht?
Sie nehmen hier eine k-elementige Teilmenge der Zahlen von 1 bis n und
dann aus dem Rest noch mal eine r-elementige Teilmenge.
Und dann bilden Sie aber ein Produkt, wobei das j aus der Vereinigung
läuft.
Nun, ich könnte sagen, ich könnte doch gleich die Vereinigung
auswählen als insgesamt k plus r-elementige Teilmenge.
Mache ich das mal.
Das heißt, wir fangen vorne an, da, und jetzt schreibe ich nicht t und
u, sondern sage v.
Ich nehme jetzt gleich mal eine k plus r-elementige Teilmenge her aus
den Zahlen von 1 bis n und multipliziere mal alle diese Indikatoren.
Also t plus u ist v gesetzt.
Habe ich das jetzt, bin ich jetzt, also kann ich jetzt hier sagen, das
Gleichheitszeichen stimmt?
Nein, wird nicht.
Also das Entscheidende ist, dass eine und dieselbe Menge v, die k plus
r -elementig ist, hier aus mannigfacher Weise gebildet wird.
Nämlich auf genau so viele Möglichkeiten wie ich aus diesem v erstmal
k -Elemente auswählen kann, zu einer Menge t packen, und dann die
restlichen, die überbleiben, zu einer Menge u zu packen.
Das heißt, hier oben stehen, das ist halt ein Vielfaches von dem, was
hier steht.
Und die Vielfachheit ist genau das, was ich gerade sagte, die Anzahl
der Möglichkeiten aus einer k plus r-elementigen Teilmenge, das ist
hier das v, k-Elemente auszuwählen, um auf das u zu kommen, was oben
drüber steht.
Oder das t, das t hat k-Elemente, das t.
Das ist sozusagen die letzte Überlegung.
So, wenn man das eingesehen hat, manchmal hilft es auch, wenn man das
vielleicht mit konkreten Zahlen dann mal macht, dann ist man wirklich
fertig.
Denn was jetzt kommt, ist nur noch Folgendes.
Dieser Indikator ist das.
Und ich sagte schon, der Erwartungswert von dem Indikator ist ja die
Wahrscheinlichkeit.
Das ist unser Memo gewesen auf der anderen Folie.
So, der Erwartungswert ist aber linear.
Das heißt, wenn ich den Erwartungswert von diesem komplizierten
Ausdruck bilde, kann ich alle Summen und Faktoren nach vorne ziehen.
Das nach vorne, das nach vorne, diese Summe nach vorne, das nach
vorne.
Und dann brauche ich nur noch den Erwartungswert von diesem Produkt.
Ja, ein Produkt von Indikatoren ist doch Indikator des Schnittes.
Also der Erwartungswert Indikator Schnitt, Erwartungswert Indikator
ist aber Wahrscheinlichkeit.
Also Wahrscheinlichkeit vom Schnitt und das alles.
Das heißt, diese Erholungsphase gönnen wir uns jetzt auf der nächsten
Folie.
Das ist nochmal das, was wir gerade rausbekommen haben.
Nur Klammerrechnung.
Denken Sie dran, nur Klammerrechnung.
Also das ist das Memo, der Erwartungswert, Indikator eines Ereignisses
B ist die Wahrscheinlichkeit.
Der Produkt von zwei Indikatoren ist Indikator des Schnittes und auch
für endlich viele gilt das natürlich.
Und der Erwartungswert ist linear.
So, jetzt sehen wir uns das an.
Nun, was ist die Wahrscheinlichkeit?
x gleich k ist der Erwartungswert von diesem Indikator.
Jetzt ziehe ich alles nach vorne.
Ich darf diese Summe nach vorne ziehen.
Ich darf minus 1 hoch r nach vorne ziehen.
Ich darf auch diesen Faktor nach vorne ziehen.
Und ich darf auch diese Summe nach vorne ziehen.
Und jetzt kommt der Erwartungswert hiervon.
Produkt von Indikatoren, hier steht es, ist Indikator Schnitt.
Also bleibt über Wahrscheinlichkeit des Schnittes der aj jv.
Ich habe nur die Linearität angewendet, sonst nichts.
Jetzt sehen Sie sich an, was ist denn das?
Hier bilde ich eine Summe von Schnittwahrscheinlichkeiten von
insgesamt k plus r der n Ereignisse.
V durchläuft die k plus r elementigen Teilmengen der Menge von 1 bis
n.
Aber wir haben eben allgemein eingeführt sj.
sj ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Schnitte von j
Ereignissen.
Hier haben wir nicht j, hier haben wir k plus r.
Das heißt, diese Summe hier ist nichts anderes als S-Index k plus r,
so wie wir das eben eingeführt haben.
Also das ist das und das ist sk plus r.
Die Formel sah jetzt ein bisschen anders aus.
Jetzt müssen wir noch eine kleine Indexverschiebung machen.
Ich taufe mal k plus r gleich j in Gedanken.
Wenn r von 0 bis n minus k läuft, läuft natürlich dann k plus r als j
von k bis n.
Das heißt, ich summiere jetzt j von k bis n.
Jetzt muss ich natürlich das k plus r gleich j nach r auflösen.
Das ist dann minus 1 hoch j minus k, k plus r sj über k und dann haben
wir sj und das war die Formel.
Also die berühmte Formel von Karoli Jordan.
Der hat nichts zu tun mit dem Kamil Jordan, der den jordanischen
Kurvensatz bewiesen hat, den Sie vielleicht mal irgendwann
kennenlernen.
Okay, jordanische Formel.
Also Stichwort, ich habe eine Formel für die Verteilung von
Indikatorsummen.
Ganz allgemein.
Das ist sozusagen hier die Botschaft.
So sehen wir uns mal an, wie das dann greift im konkreten Beispiel.
Ich habe Ihnen mal was erzählt vom Zwei-Drittel-Gesetz beim Roulette.
Das machen wir gleich.
Aber hier, wir sehen uns mal an im Fächermodell, die Anzahl der freien
Fächer beziehungsweise der besetzten Fächer.
Nun, wenn insgesamt 20 Fächer besetzt werden und nach dem
Besetzungsvorgang sind sieben Fächer frei, dann sind 13 besetzt.
Besetzt heißt mindestens eine Kugel.
Das heißt, die eine Information ist so wertvoll wie die andere.
Sie können das dann ausrechnen.
Also, wir verteilen jetzt mal S-Teilchen, damit wir das K hinterher
frei haben als Buchstaben.
Ich habe ja eben p von x gleich K ausgerechnet, also nehme ich hier
kein K aus didaktischen Gründen.
Das hat das S.
S-Teilchen werden verteilt.
Ja, K gleich S.
Wir haben die Permutation mit Wiederholung.
Das heißt, keinerlei Einschränkungen.
Die Teilchen sind unterscheidbar.
Ich weiß Teilchen 1, Teilchen 2, Teilchen 3 und kann immer angeben, in
welches Fach es fällt.
Ich habe also Permutation.
So, ich nehme die Gleichverteilung.
Alles sei vom reinen Zufall bestimmt.
Und jetzt definiere ich ein Ereignis ai.
Das sind diejenigen Besetzungen, also nochmal, a1 ist die Nummer des
Fachs für das erste Teilchen.
Hier ist das die Nummer des Fachs für das erste Teilchen.
So ist das zu interpretieren.
am ungleich i für jedes m von 1 bis s.
Oh, keine dieser Zahlen ist i.
Das bedeutet, kein einziges Teilchen gelangt in Fachnummer i.
Das ist das Ereignis.
Formal hingeschrieben oder mit anderen Worten, Fachnummer i ist frei.
Wir müssen das definieren.
Sie sehen, hier steckt eben auch immer so ein Akt der Modellbildung
hinter.
Und das Modellbilden, ich sage Ihnen ehrlich, das ist durchaus eine
Kunst und das lernt man vielleicht im ersten Studienjahr nicht so sehr
und das könnte auch eine spezifische Schwierigkeit der Stochastik
ausmachen, wirklich dann auch sowas formal hinzuschreiben.
Okay.
x sei die Indikatorsumme.
Oh, x zählt die Zahl der freien Fächer.
Ich gehe alle Fächer durch.
Also Anzahl der freien Fächer.
Und wenn ich überhaupt Teilchen verteile, es können nicht alle Fächer
frei sein.
Sie sehen sofort, dieses x kann den Wert n nicht annehmen, wenn sie
mindestens ein Teilchen verteilen.
Das geht nicht.
Kann nur die Werte annehmen 0, 1, 2 bis n minus 1.
Der mindestens in Fach muss besetzt sein.
Es gilt für jedes j von 1 bis n.
Was brauche ich für diese Jordan-Formel?
Ich spezifiziere jetzt ein j und ich spezifiziere Fächernummern.
Das sind also jetzt j ganz bestimmte Fächer, die Fächer mit den
Nummern i1, i2 und so weiter bis ij.
Die lege ich fest.
Und dann möchte ich gern wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt
jedes dieser Fächer frei?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten jetzt diese j-Ereignisse alle
ein?
Also das bedeutet, für jedes dieser s Teilchen sind diese Fächer tabu.
Sie sollten erkennen, ganz egal wie die Nummern der Fächer sind, es
kommt nicht auf die Nummern der Fächer an, es kommt nur darauf an,
dass es j sind.
Jedes Teilchen darf nur in die anderen Fächer fallen.
Das sind n minus j Stück.
Jedes einzelne.
Das heißt, die günstigen Fälle sind natürlich für das erste Teilchen n
minus j, für das zweite Teilchen n minus j, für das dritte Teilchen n
minus j und so weiter.
Wieviel Teilchen verteile ich s?
Also n minus j hoch s sind die günstigen Fälle.
Die möglichen Fälle sind für jedes Teilchen n.
n mal n mal n, so viel wie ich Teilchen verteile, also s.
Also n minus j hoch s dividiert durch j hoch s.
Und das kann ich natürlich zusammenfassen, mache ich gar nicht.
Also n minus j in Klammern hoch s dividiert durch n hoch s.
Und Sie sehen, die Nummern gehen überhaupt nicht ein.
Wir haben diese Situation, die wir in Folgerung 7.9 hatten nach der
Jordan -Formel, bevor der Beweis kam, wo die Formel einfacher wurde.
Die wende ich jetzt an.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit hängt nur ab von der Anzahl j, aber
nicht von den konkreten Indizes.
Und jetzt sagte Folgerung 7.9, okay, die Wahrscheinlichkeit, dass
genau k Fächer frei bleiben, jetzt schon in dieser Deutung, ist diese
alternierende Summe, j über k.
Und jetzt kommt es, n über j ist die Zahl der Summen, mal dieses n
minus j dividiert durch n hoch s.
Und das gilt formal erst mal für jedes k von 0 bis n, aber ich habe
schon gesagt, nun n, der Wert n kann nicht vorkommen.
Müssten wir auch sofort sehen können, setzen Sie mal k gleich n, dann
geht die Summe nur von n bis n.
Sie haben nur den Summan mit k gleich n.
Also, Entschuldigung, k ist n und j läuft dann von n bis n, also j
nimmt den Wert n ab.
Und hier haben Sie j.
n minus n ist 0, kommt 0 raus, wie es sein muss.
Okay?
So, man kann Folgendes noch machen, beachte, wenn ich die Zahl der
besetzten Fächer haben möchte, die nenne ich jetzt mal y, dann ist das
natürlich nichts anderes als die Zahl aller Fächer minus Anzahl der
besetzten Fächer.
Das heißt, diese Zufallsvariable ergibt sich sofort aus der anderen.
Das heißt, wenn ich jetzt zum Beispiel wissen möchte, die
Wahrscheinlichkeit der Anzahl der besetzten Fächer ist irgendein Wert,
dann kann ich das natürlich auflösen nach dem x.
Zum Beispiel y gleich m.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind m Fächer besetzt?
Nun, y ist n minus x, n minus x gleich m ist aber das gleiche wie x
gleich n minus m und ich muss für das k nur n minus m einsetzen und
bekomme das raus.
Also, das ist dann keine Hexerei.
Das war jetzt eine Anwendung dieser Jordan-Formel auf so ein
Fächermodell und jetzt kommt, jetzt wird es noch konkreter, jetzt
kommt das der Spezialfall n gleich s gleich 37 Roulette-Kesse, 37
Fächer, die Kugelrolle 37 Mal.
37 Teilchen werden verteilt, rein zufällig.
Berühmtes Zwei-Drittel-Gesetz, y sei jetzt die Anzahl der
verschiedenen Zahlen, die nach 37 Ausspielungen im Roulette
aufgetreten sind, die Anzahl der verschiedenen.
Mindestens eine natürlich und höchstens 37.
Die Verteilung sieht so aus.
Ich zeichne mal das Stabdiagramm, baut sich auf, fällt wieder ab und
ist so ziemlich konzentriert da so um 23, 24.
Ziemlich konzentriert.
Das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Kann man direkt also dann in die Formel gehen, ausrechnen.
Das wäre dieser Fall und y ist ja alle Fächer minus die Anzahl der
Freien.
Das war sozusagen, das war der Indikator, Fachj ist frei.
Aus dem Grunde kann ich auch mal ausrechnen, was im Mittel rauskommt.
Was ist der Erwartungswert von y?
Nur nach Rechenregeln über den Erwartungswert ist das der
Erwartungswert von diesem Ausdruck und der Erwartungswert einer
Konstanten ist immer die Konstante.
Das habe ich gar nicht aufgeschrieben, weil es so trivial ist.
Also eine Zufallswahl, die nur einen einzigen Wert annimmt, das ist
der Erwartungswert, ist dann die 37.
Dann kommen wir zum Minus und hier haben wir gesehen, die sind alle
gleich wahrscheinlich.
Das heißt, ich habe 37 mal den Erwartungswert von einem Indikator,
also die Wahrscheinlichkeit von A1.
Das heißt, ich habe dann diesen Ausdruck.
Jetzt kann ich die 37 noch ausklammern und dann ist das die
Wahrscheinlichkeit von A1.
Fach 1 frei heißt Kugel 1 36 günstige Möglichkeiten.
Insgesamt 37.
Kugel 2 auch 36 von 37 und das multipliziert sich.
Ich habe 37 Kugeln, die ich werfe.
Und was kommt daraus?
Knapp 24.
Also das ist sozusagen das, was man beobachten kann.
Also Sie können dort auch Spielcasinos anschreiben und sich die
sogenannten Permanenzen schicken lassen.
Die schicken einem das zu.
Man kann das auch teilweise live im Internet verfolgen.
Das heißt, man hat dann Datenreihen von Tausenden von solchen
Ausspielungen und kann natürlich immer 37 in der Folge nehmen und
gucken, wie viele verschiedene Zahlen sind aufgetreten.
Dann die nächsten 37.
Das heißt, das Experiment, was hierhinter steckt, da kann man sich
auch Daten besorgen und im Grunde gucken, was ich empirisch beobachte.
Empirisch vielleicht relative Häufigkeiten aus vielen Serien von immer
37.
Wie gut stimmt das denn mit dem hier überein, was ich aus einer
Theorie rausbekomme, die vielleicht gewisse Annahmen macht?
Das ist immer die Frage, ob dann die Wirklichkeit sich dann damit
deckt.
Gut, also das ist hierzu.
Jetzt kommt das, was ich sagte, der Zusammenhang mit der Formel des
Ein - und Ausschließens.
Also das ist unser Memo.
Wenn ich eine Zählvariable habe, dann ist die
Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt durch diese SJ.
Das ist die Botschaft.
Das ist also die Holland-Formel.
Und wenn S0 war 1 und SJ war die Summe der Wahrscheinlichkeiten von
immer J verschiedenen.
Das nochmal zur Erinnerung.
Jetzt könnte ich speziell mal setzen K gleich 0.
Wenn ich K gleich 0 setze, heißt das, die Zählvariable nimmt den Wert
0 an, kein Ereignis tritt ein.
Wenn ich K gleich 0 setze, kommt raus P von X gleich 0, dann geht die
Summe von 0 ab, minus 1 hoch 0, ist schon minus 1 hoch J, minus 0 ist
minus 1 hoch J, J über 0 ist immer 1, SJ.
Ich bekomme das.
So, das kommt einem sehr vertraut vor.
Nämlich, ich brauche nur mal zum Komplement übergehen, X größer gleich
1 ist sozusagen das Komplement zum Ereignis X gleich 0.
Und X größer gleich 1 heißt, mindestens ein Ereignis tritt ein.
Das ist also nichts anderes als 1 minus P von X gleich 0 und ist
natürlich dann 1 minus diese Summe.
Jetzt können Sie den ersten Summan noch abzielen für J gleich 0, haben
Sie minus 1 hoch 0 ist 1 und S0 ist auch 1, da heben sich die Einsen
weg und dann erhalten Sie das.
Und das ist die Formel des Ein- und Ausschließens.
Das heißt, die Formel des Ein- und Ausschließens oder mit anderen
Worten die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der A's bekommen Sie aus
der Yonant-Formel, aus der im Grunde sachlich auch damals, ich möchte
das jetzt nicht durch Induktion beweisen, haben Sie auch eine
Übungsaufgabe zu.
Aber das ist sozusagen hier jetzt eine gewisse höhere Einsicht.
Die Formel ergibt sich daraus.
Okay, ist das einigermaßen klar geworden?
Es war jetzt, wenn man so will, eigentlich nur eine Übung.
Eine gute Übung mit Rechnen mit Eigenschaften des Erwartungswertes und
von Indikator-Variablen.
Mehr haben wir nicht gemacht.
Klammerrechnung.
Und versucht es sozusagen möglichst transparent und kompakt
aufzuschreiben.
Das war alles.
Mit einer Anwendung aufs Fächermodell und dann nochmal spezifisch auf
dieses ominöse Zwei-Drittel-Gesetz, was Sie im Internet, in allen
möglichen Foren, wird das diskutiert.
So, ich möchte jetzt auf zwei Verteilungen eingehen.
Auch das sind jetzt eigentlich nur Beispiele.
Aber ich habe trotzdem ein eigenes Kapitel daraus gemacht, weil die
Verteilungen so wichtig sind.
Das ist einmal die Phenomenal-Verteilung.
Sie werden jetzt an die Schule wieder zurückerinnert und dann eine
andere Verteilung.
Die ergeben sich direkt aus dem Urnenmodell.
Ich habe eine Urne mit roten und schwarzen Kugeln.
Klein r, rote, klein s, schwarze.
Ansonsten gleichartige Kugeln.
Die Kugeln wollen wir gedanklich nummerieren.
Wir können sagen, okay, die Nummern der Kugeln von 1 bis r seien die
roten und die anderen sind die schwarzen.
Der Zufall lässt sich durch die Nummerierung nicht beeinflussen.
Wir werden aber ein schönes Modell bekommen und gut rechnen.
Sie sollten einfach sehen, der Zufall lässt sich nicht beeinflussen,
dass wir da noch kleine Nummern dran schreiben.
Entscheidend werden nur die Farben sein hinterher.
Okay, was machen wir?
Wir ziehen n mal rein zufällig mit zurücklegen.
Das ist also der erste Ziehungsmechanismus.
Durch das mit zurücklegen und wieder gut mischen anschaulich vergisst
die Urne, was vorher war.
Ich bekomme etwas, was wir später als stochastische Unabhängigkeit
bezeichnen werden.
Das steckt dahinter.
Wir können arbeiten als Modell mit den Permutationen, den N
-Permutationen der Zahlen von 1 bis r plus s mit Wiederholung und wir
arbeiten mit der Gleichverteilung.
Es regiert der reine Zufall.
Das Ereignis aj, das seien jetzt alle die Ergebnistupel, die wir
erhalten.
Also nochmal, das ist die Nummer der ersten gezogenen Kugel, Nummer
der zweiten gezogenen Kugel, Nummer der n-ten gezogenen Kugel.
Das sind unsere Ergebnisse.
So, die Eigenschaft ist, oh, die j-Kugel, die wir ziehen, soll eine
Nummer haben, die kleiner gleich r ist.
Schauen Sie da oben hin.
Das ist eine rote Kugel.
Das ist nichts anderes als das Ereignis j-Kugel ist rot.
Nur formal aufgeschrieben.
x, sei die Indikatorsumme, zählt die Anzahl der roten Kugeln, die wir
ziehen.
Sie können rote Kugel als Treffer deuten, den Rest als Niete.
Wir zählen die Zahl der Treffer in diesem Experiment.
Was ist die Anzahl?
Jetzt kommen wir auf ein Laplace-Modell.
Alle Möglichkeiten.
Und wie viel Tupel habe ich?
Wir haben das abgezählt.
Für jede Komponente haben wir r plus s.
Insgesamt sind es ja die Zahlen von 1 bis r plus s und n Komponenten
im Tupel.
Jetzt zählen wir noch aj ab.
So, was heißt das?
Das sind jetzt alle diejenigen Komponenten.
Für die j-Kugel habe ich eine Einschränkung, kleiner gleich r.
Die anderen sind aber beliebig auch im Bereich von 1 bis r plus s,
jede andere Komponente.
Das heißt, ich habe r mal r plus s hoch n minus 1.
Für die j-Komponente diese Einschränkung und für die anderen habe ich
immer das.
Und hier sieht man natürlich sofort die Wahrscheinlichkeit von aj,
günstige durch mögliche Fälle.
Und wenn sie durchdividieren, hebt sich ziemlich viel weg.
Es bleibt über r durch r plus s.
Also der Anteil der roten Kugeln in der Urne.
Das ist die Trefferwahrscheinlichkeit.
Okay, das kann ich machen für jedes j von 1 bis n.
Hängt also nicht ab von der Nummer.
So, jetzt kommt schon die Definition dieser Binomialverteilung.
p ist so angesetzt.
Und dann sagt man die Verteilung von dieser Zufallsvariante, von
dieser Indikatorsumme nennt man Binomialverteilung mit Parametern n
und p und schreibt dafür kurz x und dann so eine Schlange bin np.
Wir haben also jetzt diese Verteilung erzeugt in einem Urnenmodell.
Wir werden sie später allgemeiner betrachten.
Eigentlich haben wir jetzt erstmal nur solche p's, die von dem Typ
sind, rationale Zahlen.
r durch r plus s.
Oder man schreibt auch so, die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die
Binomialverteilung.
So, in diesem Fall gelten jetzt kommen zwei Eigenschaften.
Erste Eigenschaft, der Erwartungswert von x, ohne dass ich die
Verteilung kenne, ich kann sofort sagen, er ist n mal p.
Warum kann ich das sagen?
Und schauen Sie aufs Memo.
x ist eine Indikatorsumme.
Die Wahrscheinlichkeiten sind alle p.
Wir haben gesehen, der Erwartungswert ist additiv.
Wir haben gesehen, wenn die Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, das
kommt n mal p raus.
Also ohne die Verteilung zu kennen, wissen wir schon den
Erwartungswert.
Wo der Schwerpunkt des Stabdiagrammes ist, kennen wir jetzt schon.
Ohne dass wir wissen, wie die einzelnen Stäbchenhöhen sind.
Natürlich wissen Sie, wir sind an der Stelle 0, 1, 2, 3 und so weiter
bis n.
Die Verteilung ist das hier.
p von x gleich k, n über k, p hoch k, 1 minus p hoch n minus k.
Einige Augen fangen dann meistens an zu leuchten, weil man sich an die
Schule erinnert.
Das war schon mal dran.
Und eigentlich müssten wir den Erwartungswert auch ausrechnen können.
Das sind die Wahrscheinlichkeiten.
Wie war die Regel, die Rechenregel?
Wert mal Wahrscheinlichkeit.
Das heißt, ich muss diesen Ausdruck mit k multiplizieren und von k von
0 bis n aufsummieren.
Da muss n mal p rauskommen.
Machen Sie das mal.
Das führt nur auf den binomischen Leersatz.
Sie müssen ein bisschen rechnen.
Da steckt eine k-Fakultät drin.
Wenn hier vorne k als Faktor vorsteht, brauchen Sie natürlich den
Summand mit 0 nicht zu haben.
Sie fangen bei 1 an zu summieren.
Und k-Fakultät gegen k können Sie einmal wegkürzen.
Und dann versuchen Sie mal, Sie wissen ja auch schon, was rauskommt.
Das ist eine einfache Übung, eine Zeile mit dem binomischen Leersatz.
Bekommen Sie das auch über die Verteilung.
Aber wir erhalten den Erwartungswert, ohne die Verteilung zu kennen.
Nur strukturell mit Hilfe dieser Indikatorsumme.
Okay, Beweis von b.
Das ist jetzt unser Memo, nochmal Indikatorsumme.
Und das war, das Ereignis aj.
Diejenigen Ergebnistupel, Nummern von Kugeln mit der Eigenschaft, die
j -Kugel hat eine Nummer kleiner gleich r, sie ist rot.
So, ich muss natürlich wissen, welche günstigen Fälle gibt es.
Das sind die Anzahl derjenigen Tupel mit der Eigenschaft x von Omega
ist K.
Also x von diesem Tupel ist K.
Wie viel gibt es?
Also die Menge aller dieser Tupel mit der Eigenschaft, genau K dieser
aj, sind kleiner gleich r.
Das bedeutet, in dem Tupel müssen an genau K Stellen Zahlen stehen,
die kleiner gleich r sind.
Das sind die roten Kugeln.
Und die anderen müssen alle größer als r sein.
Wie viel Tupel gibt es?
Jetzt kommt das erste Symmetria-Argument.
Ich muss, wenn ich spezifizieren könnte, wo die Stellen sind, wo die
Nummern stehen im Bereich von 1 bis r, das sollen jetzt K Stellen sein
und ich kann die mal ganz vorne hinpacken, aber das ist nur eine
Möglichkeit.
Wie viele Möglichkeiten habe ich denn insgesamt?
Nun, ich muss aus den insgesamt n Stellen in dem Tupel K auswählen, wo
ich dann Nummern hinschreibe im Bereich von 1 bis r.
Und an die anderen Stellen schreibe ich Nummern hin, die größer sind
als r, die den schwarzen Kugeln entsprechen.
Und die Anzahl der Möglichkeiten ist n über K.
Und dann habe ich es reduziert auf diejenigen Tupel, bei denen die
ersten Stellen Nummern haben im Bereich von 1 bis r und die anderen
natürlich dann größer r.
Und die kann ich jetzt sofort abzählen.
n über K, ich fange im Tupel links an, r Möglichkeiten für a1, r
Möglichkeiten für a2 und so weiter, bis ich die ersten K erfasst habe,
r hoch K.
Für die anderen sind es immer n minus r.
Das bedeutet, ich habe das r hoch K, entschuldigung mal s, s ist
natürlich das n minus r, entschuldige, nicht n minus r.
n ist die Zahl der Zierungen, also s, ich habe immer s Möglichkeiten,
weil die Zahlen ja von 1 bis r plus s gehen.
Ja, das kann ich machen und jetzt habe ich die Wahrscheinlichkeit, das
ist die Anzahl der günstigen Fälle durch die möglichen Fälle, das war
r plus s hoch n.
Und Sie sehen, r plus s hoch n kann ich natürlich, das n kann ich
aufspalten in K plus n minus K.
Zerfällt in ein Produkt, dann kann ich das natürlich so
zusammenbringen.
Steht es also in dieser Form da.
Jetzt habe ich natürlich nichts anderes als das p, p habe ich ja
eingeführt, r durch r plus s und s durch r plus s ist dann 1 minus p,
so dass ich genau diese Darstellung bekomme mit dem abgekürzten p, was
ich vorher hatte.
Also das wäre sozusagen die Herleitung der Binomialverteilung an einem
einfachen Uhrenmodell.
Ziehen mit Zurücklegen.
Hier deuten Sie rote Kugel als Treffer und schon hat man auch den
Jargon aus der Schule.
Hier einige Beispiele.
Das Stabdiagramm, jetzt sehen wir mal die Binomialverteilung, n ist 10
und p ist 0,1.
Das würde jetzt dem Uhrenmodell entsprechen, vielleicht eine Kugel
rot, die anderen neun schwarz.
Trefferwahrscheinlichkeit ein Zehntel.
Ist das gleiche wie zwei rote Kugeln und 18 schwarze.
Es muss nur der Anteil der roten Kugeln 10 Prozent sein.
Das ist hier das Stabdiagramm.
Also sehr wahrscheinlich ist es hier kein Treffer zu haben oder ein.
Wir sehen die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist also deutlich über 50
Prozent.
Zweimal rot zu ziehen ist schon deutlich kleiner und dann wird es so
klein, dass es sich nicht mehr darstellen lässt.
Der Erwartungswert ist 1.
Hier halten Sie den Finger drunter und alles ist im Gleichgewicht.
Wir erhöhen die Erfolgswahrscheinlichkeit 0,3.
Drei rote Kugeln, sieben schwarze.
Da sieht das so aus.
Das geht also nach rechts.
Es verschmiert auch ein bisschen stärker, die ist stärker
konzentriert.
Hier ist der Erwartungswert 3.
10 mal 0,3 ist 3.
So symmetrisch wird das Ganze, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit ein
Halb ist.
Sie sehen 0,5.
Gleich viel rote wie schwarze Kugeln.
Hier ist natürlich dann der Schwerpunkt, der Erwartungswert.
Und wenn Sie zur Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 übergehen, dann sieht
es so aus.
Haben Sie 0,77 rote, drei schwarze.
Und wenn Sie gedanklich Treffer durch Niete ersetzen, dann sehen Sie
natürlich so eine Ähnlichkeit zu dem da oben.
Das ist nur spiegelbildlich.
Wenn Sie so wollen, ist das umgeklappt.
Und das ergibt sich einfach, wenn Sie gedanklich Treffer durch Niete
ersetzen, dann haben Sie natürlich den Eindruck jetzt von diesem
Stabdiagramm nur umgeklappt an der Stelle ein Halb.
Gespiegelt, sozusagen.
Okay?
Also so sehen so Stabdiagramme von Binomialverteilung aus.
Wir werden später dann auch noch den Fall betrachten, dass n hier
wächst.
Sogar zwei Grenzwertsätze, einmal p gegen 0 und einmal festes p, aber
n geht gegen unendlich.
Okay, jetzt modifiziere ich das Ganze.
Wir legen die Kugel nicht zurück, sondern behalten sie draußen, die
jeweils gezogene Kugel.
Ist also völlig klar, das ist jetzt ein bisschen schwieriger
begrifflich, wenn ich nur eine habe mit zehn Kugeln und ich habe zwei
rote und acht schwarze.
Ich ziehe jetzt eine Kugel.
Wenn die schwarz ist und ich behalte sie draußen, habe ich jetzt
sofort einen anderen Urneninhalt.
Zwei rote, sieben schwarze.
Die Wahrscheinlichkeit für rot steigt natürlich mit jeder schwarzen,
die ich ziehe.
Ich habe Abhängigkeiten.
Wir werden später über bedingte Wahrscheinlichkeiten sprechen.
So interessanterweise ist nur folgendes.
Stellen Sie sich vor, ich habe diese Urne.
Zwei rote, acht schwarze.
Ich greife rein, ziehe eine Kugel raus, sehe mir die Farbe nicht an,
greife eine zweite Kugel.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die zweite rot?
So, jetzt sollte es klick machen.
Also stochastisches Denken müssen Sie üben.
Oh, ich muss doch wissen, welche Farbe diese erste Kugel hat.
Nein, wenn ich Ihnen die zeigen würde, wäre es trivial.
Hatten Sie die günstigen Fälle und die möglichen?
Nein, ich sehe mir die Farbe nicht an.
Welche Wahrscheinlichkeit hat diese zweite Kugel, die ich ziehe, rot
zu sein?
So, Sie sollten erkennen, die Wahrscheinlichkeit ist genau die gleiche
wie für die erste Kugel.
Nämlich zwei von zehn oder ein Fünftel günstiger durch mögliche Fälle.
Warum?
Eine ganz einfache Frage an Sie ist, hatte nicht jeder der zehn Kugeln
die gleiche Chance, als zweite in meine Hand zu kommen?
Ich ziehe blind.
Das ist erstmal ein Sachverhalt, der stimmt.
Man kann den auch noch verallgemeinern.
Man kann es natürlich auch hinschreiben.
Sie müssen es modellieren.
Hinschreiben und abzählen.
Wir modellieren das jetzt mal.
Also, wir ziehen ohne zurücklegen.
Natürlich können wir nur so oft ziehen, wie wir überhaupt Kugeln in
der Urne haben.
Insgesamt sind es R plus S.
Ich brauche jetzt eine kleine Einschränkung.
Denken Sie mal an Qualitätskontrolle.
Wenn Sie also irgendwelche wahren Sendungen haben, dann ist natürlich
klar, Sie haben die R, die roten Kugeln sind die defekten Exemplare.
Die anderen sind die intakten und Sie haben vielleicht eine Sendung
mit 10.000 und 10.030.
Also N wird wesentlich kleiner sein als R und S.
Wir arbeiten jetzt mit den Permutationen ohne Wiederholung.
Wieder mit der Gleichverteilung und rein formal definieren wir aj
genauso.
Das ist wieder j-Kugelrot, die Menge aller dieser Permutationen, nur
die Komponenten sind jetzt verschieden, alle.
J-Kugelrot, keine Änderung zu eben.
P ist natürlich jetzt eine Gleichverteilung auf einer anderen Menge.
Ich habe jetzt eine andere Menge.
Ich hätte auch sagen können Omega-Schlange, P-Schlange, aj-Schlange.
Aber wir sind in einem anderen Modell.
Das sollte klar werden.
X ist wieder die Zahl der gezwungenen roten Kugeln, Indikatorsumme.
Nun, was ist die Anzahl der Elemente von Omega?
Wir arbeiten mit einem Laplace-Modell.
Nun wissen wir, für die ersten Platz gibt es R plus S-Möglichkeiten,
für den zweiten nur noch R plus S minus 1 und so weiter.
So viele Stellen, wie ich im Tupel habe, das sind diese absteigenden
Faktoren.
Das war dieses R plus S mal R plus S minus 1 und so weiter mal R plus
S minus n minus 1 oder, das hatten wir auch abgekürzt, R plus S und
dann tief n, n absteigende Faktoren.
Das ist die Anzahl der Elemente hier.
So, was sind die günstigen Fälle?
aj.
Und das Entscheidende ist, Sie können sagen, und das ist aus
Symmetriegründen, Sie besetzen erst die j-Stelle im Tupel.
Dafür haben Sie R-Möglichkeiten.
Und jetzt besetzen Sie von links nach rechts alle anderen.
Für die erste Stelle haben Sie R plus S minus 1, für die nächste R
plus S minus 2 und so weiter.
Das hört hier auf.
Das ist nichts anderes als R mal, jetzt haben Sie n minus 1
absteigende Faktoren von R plus S minus 1.
Das ist hier ein kleines Symmetrie-Argument, also machen Sie sich das
klar.
So, jetzt kann ich natürlich wieder sagen, okay, ich teile mal durch,
günstige durch mögliche Fälle.
Und wenn ich jetzt durchdividiere, wenn ich hier beginne mit R plus S,
dann ist ja der nächste Faktor R plus S minus 1.
Und das ist hier, wo der beginnt.
Das heißt, beim Weckkürzen bleibt nur noch über das R und im Nenner
das R plus S.
Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Ziehen ohne
Zurücklegen die J-Kugel rot ist, ist immer R durch R plus S.
So, und das ist genau das, was ich eben sagte.
Sie sind blind.
Greifen Sie rein, ziehen Sie alle raus, ich schaue nicht hin.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Kugel rot ist, ist immer noch
2 von 10.
Jeder hatte die gleiche Chance, als Letzte in meine Hand zu kommen.
Natürlich sind die Ereignisse hier abhängig.
Wir werden später sehen, diese Ereignisse, A1 bis AN, sind
stochastisch abhängig.
Wenn ich weiß, dass A1 eintritt, wenn die erste Kugel rot ist, dann
habe ich ja nur noch eine rote und neun schwarze.
Eine ganz andere Wahrscheinlichkeit.
Stellen Sie sich vor, Sie wüssten, dass die ersten beiden Kugeln rot
sind, die Sie rausziehen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass danach noch eine rote Kugel kommt, ist
null.
Es hat sich alles dramatisch verändert, aber das sind bedingte
Wahrscheinlichkeiten.
Also, Sie sollten hier folgendes sehen, mathematisch ist das Pipi-Fax,
was wir hier machen.
Es wird nachher komplizierter, aber es ist wirklich, ich sage Ihnen
ehrlich, das stochastische Denken, das lernen Sie an diesen ganz
konkreten, einfachen Modellen.
An Querverbindungen, Symmetriebetrachtung, Klausibilitätsbetrachtung,
das ist wichtig.
Später wird es mathematisch auch interessanter.
Also nicht, dass ich mich da entschuldigen möchte, aber es ist eben
so.
So, was haben wir denn hier?
Ja, also das ist nochmal, was man sehen kann.
Also ich sage Ihnen zum Beispiel, R dieser Karten sind rot, von unten
die anderen schwarz.
Rein zufällig.
Also, was haben wir hier?
Drei, sechs, das sind wieder die neun.
Sagen wir, drei Karten sind rot, die anderen schwarz.
Ich habe rein zufällig gemischt.
So, die Wahrscheinlichkeit, dass diese Karte rot ist, ist sicherlich
drei von neun.
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese rot ist, ist auch drei von neun,
wenn ich nichts aufdecke.
Die Wahrscheinlichkeit, dass diese rot ist, ist auch drei von neun.
Das ist genau das.
Die ziehe ich als erste, die als zweite, die als dritte, die als
vierte, die als fünfte.
Es regiert der reine Zufall.
Okay?
Also das sollten Sie sich klar machen.
So, jetzt würde ich Ihnen noch die Verteilung angeben.
Wir haben hier eine Indikatorsumme.
Und das sind, das ist das Ereignis jkul rot.
Und jetzt kommt die Definition der Verteilung, die heißt
hypergeometrische.
Woher das Wort kommt, kann ich Ihnen jetzt nicht sagen.
Bei der Binomialverteilung ist es klar, da steckt der
Binomialkoeffizient drin.
Deshalb heißt die so.
Also, die Verteilung von dieser Zählvariablen in diesem Uhrenmodell
ziehen ohne zurücklegen, heißt hypergeometrische Verteilung.
Die hat drei Parameter.
n ist die Zahl der Ziehungen, r die Zahl der roten Kugeln und s die
Zahl der schwarzen Kugeln.
Wenn ich das kenne, kann ich alles hinschreiben, was jetzt kommt.
Also das ist die Kurzschreibweise x Schlange.
Also hüp steht für hypergeometrische Verteilung.
Dann kommen die Parameter in dieser Reihenfolge oder gleichbedeutend
damit die Verteilung von x ist die hypergeometrische Verteilung mit n,
r und s.
Jetzt mache ich Ihnen erstmal hier zwei Bilder.
Also Sie sehen, das ist einmal Ihr Startdiagramm.
Hier ziehen Sie acht Mal und Sie haben gleich viele rote wie schwarze
Kugeln.
Da muss es natürlich symmetrisch sein.
Hier sehen Sie natürlich, hier sind 16 rote, 8 schwarze.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für rot ist zwei Drittel, 16 von 24.
Es geht nach rechts.
Das sind erstmal Bilder, auch zu hypergeometrischen Verteilung.
Und jetzt kommen noch Aussagen über diese Verteilung.
Wenn diese Verteilung vorliegt, so gelten erstmal der Erwartungswert
ist n mal r durch r plus s und die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert
k annimmt, ist dieser Ausdruck, k von 0 bis n.
Wobei wir definieren m über l ist 0, falls eben das oben kleiner ist
als das, was unten ist.
Sie können sich erstmal das plausibel machen.
Was steht im Nenner?
Ich springe jetzt gedanklich zu einem anderen Modell.
Im Nenner steht die Anzahl der Auswahlen von n der r plus s Kugeln.
Hier steckt folgende Idee hinter.
Ich habe r plus s Kugeln, die sind ja alle durchnummeriert.
Ich bilde eine n-elementige Teilmenge.
Ich greife sozusagen n mit einem Griff raus.
Das ist ein anderes Modell.
Aber wenn ich die habe, kann ich natürlich gucken, wie viele Rote sind
dabei.
So, dass ich genau k-Rote Kugeln habe, schauen Sie sich den Zähler an.
Da müssen Sie aus den Roten k auswählen.
Das sind r über k Möglichkeiten.
Für jede dieser Auswahlen müssen Sie aus den Schwarzen, das sind s,
die anderen n minus k auswählen.
Also wenn Sie da ein bisschen drüber nachdenken, kommen Sie vielleicht
auch auf diese Darstellung sozusagen, wenn ich Sie abends um 11 Uhr
anrufe, ohne dass Sie ein Buch vorhaben.
Denken Sie an diese Mitternachtsformeln.
Ich glaube, die Lehrerinnen und Lehrer haben immer gedroht, das muss
man um 12 Uhr wissen.
Quadratische Gleichung lösen.
So, also, was brauchen wir?
Also erstmal, der Erwartungswert sollte klar sein, x war eine
Indikatorsumme.
Summe, Indikator aj.
Wir haben gesehen, p von aj ist immer r durch r plus s, also n mal.
Gleicher Erwartungswert wie bei der Binomialverteilung.
Ob ich mit oder ohne zurücklegen ziehe, der Erwartungswert ist der
gleiche, der Schwerpunkt.
Wir werden später sehen, dass sich dann zwei Dinge doch unterscheiden,
nämlich bei der hypergeometrischen Verteilung, wenn Sie ohne
zurücklegen ziehen, dann variiert diese Zufallsvariable weniger.
Sie erzeugen weniger Variabilität durch das Rausnehmen.
Die Varianz wird kleiner werden.
Wir werden später über Varianzen sprechen.
Das ist der Unterschied, aber der Erwartungswert ist der gleiche.
So, jetzt, ich zähle ab, Anzahl dieser günstigen Tupel.
An genau j Stellen habe ich wieder Nummern, kleiner gleich r.
Und jetzt kommt das gleiche Argument wie eben, Symmetrie-Argument.
Ich habe n über k Möglichkeiten, diese Stellen erst mal auszuwählen
und obda nehme ich dann die ersten.
An den ersten Stellen habe ich Nummern mit kleiner gleich r, rote
Kugeln und dann die schwarzen, das sind die anderen.
So, das heißt, ich habe jetzt n über k und jetzt sehen Sie, erste
Kugel habe ich r Möglichkeiten, aber jetzt ohne Wiederholung, für die
zweite noch r minus 1, für die dritte noch r minus 2.
Ich habe absteigende Faktoren.
Das heißt, ich habe r mal r minus 1 mal r minus k minus 1, bis ich
diese absteigenden Faktoren habe.
Dann für diese Stelle ak plus 1 habe ich jetzt s Möglichkeiten, denn
die Zahlen größer r habe ich genau s, das sind die schwarzen Kugeln.
Und dann aber wieder absteigend, weil ich keine Wiederholung habe.
Also mal s mal s minus 1 und so weiter mal s minus n minus k minus 1.
Ich glaube, so kommt das hin.
Und damit haben Sie die Wahrscheinlichkeit, ist dann natürlich nichts
anderes als das, dividiert durch alle Fälle.
Was hatten wir?
Jetzt schreibe ich das etwas kürzer, n über k.
Und jetzt schreibe ich das hier als r Fakultät durch r minus k
Fakultät.
Und das schreibe ich, das letzte schreibe ich als s Fakultät,
dividiert durch s minus n minus k in Fakultät.
Wenn Sie jetzt ein bisschen mit Fakultäten rechnen, dann sehen Sie,
was haben wir denn hier?
Also ich schreibe erst mal das Ergebnis hin.
Achso, ich habe noch was.
Ich muss noch was schreiben, das habe ich vergessen.
Das hier ist natürlich nichts anderes als r plus s Fakultät, r plus s
minus n Fakultät.
Und jetzt erkennt man, wie diese Formel entsteht, nämlich das r
Fakultät, sehen Sie da.
Das k Fakultät sehen Sie hier.
Das r minus k Fakultät sehen Sie da.
Das heißt, alles, was Sie hier sehen, finden Sie da auch und können
ein bisschen vergleichen und sehen, dass das einfach übereinstimmt.
So kommt das raus.
So, Sie sehen, ich habe nicht nur eine natürliche Zeitgrenze, nämlich
13 Uhr minus fünf Minuten erreicht, sondern auch ein ganz natürliches
Ende dieser Vorlesung.
Und wir sehen uns dann, ich glaube, am Dienstag wieder.
Einmal haben wir noch Vorlesung, bevor dann wieder kräftig geübt
werden kann.
Dankeschön.