WEBVTT 00:07.580 --> 00:09.560 Ja, guten Tag meine Damen und Herren. 00:11.320 --> 00:13.640 Ich darf Sie zur Vorlesung herzlich begrüßen. 00:15.960 --> 00:21.980 Ich wollte eigentlich am Ende des derzeitigen Kapitels mal was kurz 00:21.980 --> 00:27.590 vorführen, was ein Student im Rahmen einer Studienarbeit in einer 00:27.590 --> 00:28.550 Firma gemacht hat. 00:29.590 --> 00:37.870 Da ging es nämlich gerade um die räumliche dreidimensionale Bewegung 00:37.870 --> 00:39.030 eines starren Körpers. 00:39.770 --> 00:44.890 Und sein Fazit am Ende der Studienarbeit war, wenn er sowas in TM 3-4 00:44.890 --> 00:48.510 gehabt hätte, dann hätte er das richtig spaßig gefunden. 00:49.450 --> 00:52.810 So dem normalen Studenten oder der normalen Studentin, die finden das, 00:52.990 --> 00:59.450 was wir jetzt hier machen, immer so ein bisschen ätzend, sehen 00:59.450 --> 01:01.070 vielleicht gar nicht so die Anwendung. 01:01.190 --> 01:05.170 Und wenn man das dann mal so in wirklichen Anwendungen sieht und wofür 01:05.170 --> 01:08.890 das dann ist, dann macht es an der einen oder anderen Stelle 01:08.890 --> 01:09.930 vielleicht doch mehr Spaß. 01:11.030 --> 01:18.630 Jetzt habe ich leider einen neuen Rechner, der schon etwas älter ist, 01:18.750 --> 01:21.610 aber trotzdem nur HDMI-Anschluss hat. 01:22.070 --> 01:26.470 Und ich musste jetzt gerade feststellen, es gibt hier keinen HDMI 01:26.470 --> 01:30.830 -Anschluss und auf die Schnelle konnte ich auch keinen Adapter am 01:30.830 --> 01:31.930 Institut loseißen. 01:32.090 --> 01:37.230 Also wir werden das Ganze dann hoffentlich in der nächsten Woche 01:37.230 --> 01:37.590 sehen. 01:38.330 --> 01:40.870 Da sind wir schon beim nächsten Thema. 01:42.310 --> 01:47.130 Sie in den ersten vier Semestern sind ja noch nicht auf Exkursionen, 01:48.590 --> 01:53.330 sodass auf jeden Fall die Vorlesung stattfindet. 01:53.590 --> 02:02.310 Allerdings sind unsere Hiwis in höheren Semestern und gehen auch 02:02.310 --> 02:07.190 fleißig auf Exkursionen, was ich Ihnen in den zukünftigen Jahren 02:07.190 --> 02:08.150 durchaus empfehle. 02:09.090 --> 02:14.650 Da aber wir dann mangels Hiwis keine Übung machen können, ist die 02:14.650 --> 02:18.590 schlechte Nachricht, lassen wir gleich eine gute Nachricht darauf 02:18.590 --> 02:18.990 folgen. 02:19.630 --> 02:23.890 Machen wir entsprechend am nächsten Dienstag zwei Blöcke Vorlesung. 02:28.670 --> 02:30.970 Sie lachen alle, für mich ist das nicht zum Lachen. 02:32.470 --> 02:36.750 Das ist durchaus anstrengend, fordert mich mittlerweile sogar 02:36.750 --> 02:39.390 physikalisch ein wenig, wenn man hier vorne rumturnt. 02:40.210 --> 02:42.810 Früher hat mir das alles nichts ausgemacht, aber mit fortschreitendem 02:42.810 --> 02:47.210 Alter, da setzt man sich zwischendurch vielleicht doch lieber. 02:47.390 --> 02:50.330 Also ob wir dann im zweiten Block wirklich die eineinhalb Stunden voll 02:50.330 --> 02:53.050 machen, können wir uns dann auch überlegen, aber ich darf Ihnen 02:53.050 --> 02:56.130 versichern, lieber machen wir jetzt schon ein bisschen weiter und 02:56.130 --> 03:02.850 haben am Ende der Vorlesung dann ein bisschen Luft, sodass wir, wenn 03:02.850 --> 03:05.090 das klappt, dann vielleicht eher eine Woche früher aufhören. 03:05.890 --> 03:11.530 Es zeigt sich immer wieder, dass gerade im Juli doch tropische 03:11.530 --> 03:15.770 Temperaturen herrschen können und gerade Vorlesungen, insbesondere 03:15.770 --> 03:18.750 wenn man die halten muss, dann doch anstrengend sind. 03:20.510 --> 03:24.950 So, also wie gesagt, nächste Woche anstatt Übung auch noch Vorlesung. 03:25.030 --> 03:26.390 Es gibt also einen doppelten Grund zu kommen. 03:28.230 --> 03:32.870 Und ansonsten wenden wir uns wieder der räumlichen Bewegung, in dem 03:32.870 --> 03:35.250 Falle eines Mehrkörpersystems zu. 03:35.250 --> 03:50.390 Wir hatten in der letzten Vorlesung gesagt, wir haben ein 03:50.390 --> 03:53.910 Mehrkörpersystem, das aus vielen Körpern besteht. 03:57.390 --> 04:01.510 Wir greifen uns mal einen der Körper heraus. 04:04.790 --> 04:14.950 Das sei der Körper J und dann ist der über ein Gelenk oder über 04:14.950 --> 04:19.250 mehrere Gelenke mit einem Vorgängerkörper oder nachholenden Körpern 04:19.250 --> 04:19.750 verbunden. 04:20.950 --> 04:29.390 Das heißt, wir haben ein Gelenk, haben dann im Grunde genommen den 04:29.390 --> 04:30.090 nächsten Körper. 04:30.350 --> 04:33.610 Nun, wie die Körper aussehen, das ist ja zunächst mal egal, uns kommt 04:33.610 --> 04:34.110 es drauf an. 04:34.230 --> 04:38.410 Wir haben Körper, die können wir einfach mal so schemenhaft als 04:38.410 --> 04:39.330 Kartoffel darstellen. 04:40.010 --> 04:41.030 Das sei der Körper I. 04:42.330 --> 04:47.530 Wir haben vielleicht einen nachfolgenden Körper, ebenfalls wieder über 04:47.530 --> 04:51.890 ein Gelenk, den Körper K. 04:55.980 --> 04:59.180 Unter Umständen sind noch weitere Gelenkpunkte am Körper vorhanden, 04:59.320 --> 05:01.820 die interessieren uns aber in dem Moment jetzt nicht. 05:03.440 --> 05:18.660 Und wir haben also einen Gelenkpunkt G-I-J und einen Gelenkpunkt G-J 05:18.660 --> 05:19.140 -K. 05:21.200 --> 05:24.760 Ich hatte in der letzten Vorlesung schon darauf hingewiesen, dass wir 05:24.760 --> 05:30.040 da aufpassen müssen, denn der Gelenkpunkt G-I-J bzw. 05:30.440 --> 05:35.920 der Gelenkpunkt G-J-K, das könnte jetzt ein Punkt im Einfall vom 05:35.920 --> 05:38.700 Körper I oder ein Punkt von Körper J sein. 05:39.860 --> 05:43.520 Genauso wie hier ein Punkt von Körper J oder ein Punkt von Körper K. 05:46.600 --> 05:49.360 Und die beiden Punkte unterscheiden sich dann jeweils. 05:49.740 --> 05:49.900 Warum? 05:50.340 --> 05:54.240 Weil eine Relativbewegung zwischen den Körpern auftreten kann. 05:54.360 --> 06:00.460 Also müssen wir eigentlich genau unterscheiden zwischen Gelenkpunkt G 06:00.460 --> 06:06.980 -I -J, ich nenne das mal quer, das sei jetzt als Punkt des 06:06.980 --> 06:15.060 vorhergehenden Körpers und dann hätten wir noch den Punkt G-I-J, deren 06:15.060 --> 06:18.800 Position ist zwar im Augenblick dieselbe, aber wie gesagt, die 06:18.800 --> 06:20.000 Bewegung kann eine andere sein. 06:20.660 --> 06:26.180 Entsprechend gibt es dann hier den Gelenkpunkt G-J-K als Punkt von 06:26.180 --> 06:28.740 Körper J bzw. 06:29.180 --> 06:35.700 G-J-K quer als Punkt von Körper J bzw. 06:36.060 --> 06:38.780 G-J-K als Punkt von Körper K. 06:41.160 --> 06:49.120 Und wenn eben mal angegeben, haben wir an der Stelle den Ortsvektor 06:50.540 --> 06:57.020 zum Punkt G-I 07:02.130 --> 07:03.190 -J quer. 07:08.180 --> 07:11.540 Ne, da muss ich aufpassen, zum Punkt G-I-J. 07:12.280 --> 07:21.360 Wir haben gegeben, die Geschwindigkeit des Punktes G-I-J, also alles 07:21.360 --> 07:37.400 Punkt des Körpers J und Beschleunigung A von G-I-J bzw. 07:38.000 --> 07:43.760 auch die Winkelgeschwindigkeit von Körper J im 07:47.240 --> 07:59.740 Inertialsystem und gesucht ist dann der Ortsvektor zu dem beliebigen 07:59.740 --> 08:11.280 Punkt auf Körper J, also irgendein Punkt, nennen wir den mal P-I-J, 08:12.700 --> 08:22.560 die Geschwindigkeit des entsprechenden Punktes, die Beschleunigung des 08:22.560 --> 08:29.360 Punktes, eventuell natürlich auch die Winkelbeschleunigung von Körper 08:29.360 --> 08:37.440 J, das wäre dann Alpha von Körper J. 08:40.280 --> 08:48.060 Und da wissen wir, ja gut, der Vektor zum Punkt P-I-J, der ergibt sich 08:48.060 --> 09:03.840 aus dem Vektor zum Punkt in G-I-J plus eben den Vektor von G-I-J nach 09:03.840 --> 09:04.500 P -J. 09:10.590 --> 09:12.990 Also wenn wir das mal ein bisschen hier skizzieren, 09:16.680 --> 09:24.800 haben wir irgendwo das Inertialsystem, dann haben wir zunächst mal den 09:24.800 --> 09:27.860 Vektor zum Gelenk. 09:29.560 --> 09:52.630 R-G-I-J, dann haben wir den Vektor R-G-I-J-P-J und gesucht ist 09:52.630 --> 10:00.550 natürlich der Vektor R-P-J. 10:04.320 --> 10:07.380 Wie gesagt, aus einer Vektoraddition. 10:08.720 --> 10:13.420 Und da wissen wir natürlich die Geschwindigkeit des Punktes P-J. 10:14.000 --> 10:19.820 Dann nehmen wir die bekannte Geschwindigkeit des Punktes G-I-J plus 10:21.860 --> 10:27.840 eben, das wissen wir aus der kinematischen Grundgleichung, Omega von 10:27.840 --> 10:36.340 Körper J kreuz dem Vektor R-G-I-J-P-J. 10:37.340 --> 10:42.420 Das war gerade die Bewegung des Punktes P-J um den Gelenkpunkt. 10:55.270 --> 11:00.490 Die Beschleunigung des Punktes, auch das müssten Sie jetzt 11:00.490 --> 11:04.450 mittlerweile fast allein kennen, ist natürlich die Zeitableitung der 11:04.450 --> 11:09.930 Geschwindigkeit, das ist die Beschleunigung des Punktes G-I-J plus. 11:09.930 --> 11:22.210 Und jetzt haben wir eben Produktregel Omega-J-Punkt, das war gerade 11:22.210 --> 11:36.330 Alpha -J, Kreuz R-G-I-J-P-J plus Omega-J mal der Zeitableitung des 11:36.330 --> 11:38.970 Vektors R-G-I-J-P-J im Inertialsystem. 11:38.970 --> 11:47.770 Das war aber gerade wieder das Kreuzprodukt von Omega-J Kreuz R-G-I-J 11:47.770 --> 11:51.390 -P -J. 11:54.370 --> 12:00.390 Und wie gesagt, die Beschleunigung Alpha-J, die Winkelbeschleunigung 12:00.390 --> 12:04.510 war dann einfach Omega-J-Punkt. 12:06.410 --> 12:15.490 Wobei für das Omega eines Körpers, dieses Körpers, die 12:15.490 --> 12:18.450 Winkelbeschleunigung dadurch erhält, dass man die 12:18.450 --> 12:24.370 Winkelgeschwindigkeit entweder im Inertialsystem ableitet oder in dem 12:24.370 --> 12:29.130 körperfesten Bezugssystem, dessen Winkelgeschwindigkeit man hat. 12:29.690 --> 12:31.010 Das haben wir schon mal gezeigt. 12:32.590 --> 12:37.370 Weil beim Zeitableiten dann Omega Kreuz den Vektor selbst, ja Omega-J 12:37.370 --> 12:41.290 Kreuz Omega-J auftritt, also das ist dann der Nullvektor, wenn Sie 12:41.290 --> 12:42.070 sich zurückerinnern. 12:43.250 --> 12:46.550 So, das war für einen allgemeinen Punkt auf dem Körper J. 12:47.270 --> 12:51.350 Jetzt gibt es natürlich in unserem Falle zwei ausgezeichnete Punkte. 12:51.610 --> 12:53.850 Einen habe ich eingezeichnet, nämlich den Gelenkpunkt. 12:53.850 --> 12:57.450 Wichtig für die Kinetik ist jedoch zunächst der Schwerpunkt. 12:58.430 --> 13:12.110 Also für PJ gerade Schwerpunkt von Körper J ergibt sich die Kinematik 13:12.110 --> 13:25.710 des J-Schwerpunkts. 13:32.690 --> 13:36.610 Das brauchen wir, um eben den Impulssatz auszuwerten. 13:37.330 --> 13:52.970 Und als nächstes, wenn PJ gerade dem Gelenkpunkt GJK entspricht, das 13:52.970 --> 13:56.870 müssen wir aber aufpassen, dann geht das Ganze natürlich nur, wenn der 13:56.870 --> 14:00.270 Punkt GJK ein Punkt des Körpers J ist. 14:00.270 --> 14:03.430 Das war bei uns das GJK quer. 14:05.850 --> 14:19.750 Dann haben wir die Kinematik des auf Körper J liegenden 14:25.340 --> 14:26.740 Gelenkpunkts. 14:44.350 --> 14:50.590 Und jetzt müssen wir eben beachten, was für ein Gelenk wir haben. 14:50.770 --> 14:54.490 Unter Umständen ergibt sich dann eine Relativbewegung zwischen dem 14:54.490 --> 14:57.910 Gelenkpunkt GJK und dem Gelenkpunkt GJK quer. 14:57.910 --> 15:03.550 Und es ergibt sich eine Relativverdrehung im Gelenk. 15:04.050 --> 15:13.390 Also dann Relativkinematik im 15:22.430 --> 15:23.210 Gelenk. 15:26.690 --> 15:34.850 Das heißt, von GJK quer gehen wir dann auf GJK. 15:38.190 --> 15:45.050 Dann haben wir zunächst mal die Relativgeschwindigkeit VJK, die das 15:45.050 --> 15:45.780 Gelenk zulässt. 15:45.780 --> 15:49.500 Und das wären dann solche Gelenkfreiheitsgrade, die wir an der Stelle 15:49.500 --> 15:50.260 einführen würden. 15:52.740 --> 15:59.900 Und auch das Omega von Körper K in Körper J, das ist die 15:59.900 --> 16:03.780 Relativwinkelgeschwindigkeit zwischen beiden Körpern. 16:17.780 --> 16:19.740 Das heißt, wenn wir das auswerten, 16:24.230 --> 16:35.670 dann haben wir nach wie vor RGJK quer ist RGJK, also den Ortsvektor 16:35.670 --> 16:37.390 zum Gelenkpunkt. 16:37.850 --> 16:39.330 Das stimmt ja überein, den kennen wir. 16:39.330 --> 16:46.090 Dann wissen wir, dass VGJK, das ergibt sich aus der Geschwindigkeit 16:46.090 --> 16:59.650 des Bekannten des Gelenkpunktes GJK quer, plus eben das VJK und das 16:59.650 --> 17:06.410 Omega K, sollten wir das an der Stelle benennen, der Bekannte 17:06.410 --> 17:13.530 entspricht dann gerade dem Omega J plus Omega von K bezüglich J. 17:17.350 --> 17:21.370 Wenn wir die Geschwindigkeit haben, dann müssen wir entsprechend noch 17:21.370 --> 17:24.650 die Beschleunigung bestimmen. 17:25.650 --> 17:33.630 Also Beschleunigung aus einer Differentiation, 17:54.450 --> 18:01.430 da wäre dann die Beschleunigung des Gelenkpunktes GJK gleich der 18:01.430 --> 18:07.270 Beschleunigung des Gelenkpunktes GJK quer plus eben der Zeitableitung 18:07.270 --> 18:10.250 im Inertialsystem VJK. 18:12.850 --> 18:18.950 Und da muss man dann unter Umständen ein bisschen aufpassen, dass man 18:18.950 --> 18:20.990 das im Inertialsystem richtig differenziert. 18:23.110 --> 18:28.490 Und wenn wir das alles gemacht haben, dann haben wir eigentlich wieder 18:28.490 --> 18:31.790 das, was wir als Ausgangspunkt vorausgesetzt haben. 18:31.790 --> 18:36.270 Nämlich bekannte Größen für den Gelenkpunkt, allerdings nicht für 18:36.270 --> 18:37.910 Körper J, sondern für Körper K. 18:43.180 --> 18:48.000 Also damit Ausgangspunkt erreicht 18:51.860 --> 18:58.550 für Körper K. 19:03.020 --> 19:05.420 Das heißt, jetzt können wir das Ganze irgendwo so rekursiv 19:05.420 --> 19:08.440 formulieren, haben dann als Größen dann drin immer so die 19:08.440 --> 19:09.400 Gelenkvariablen. 19:10.560 --> 19:15.540 Das ist eigentlich eine adäquate Sache, kann man sehr systematisch 19:15.540 --> 19:15.820 machen. 19:17.060 --> 19:24.240 Wir in der TM3, TM4 beschränken uns natürlich immer nur auf Systeme, 19:24.280 --> 19:27.820 die so einfach sind, dass man das nicht so systematisch machen muss. 19:28.880 --> 19:33.520 Sondern, dass man das auch so ein bisschen kämpfärmlich angehen kann. 19:34.020 --> 19:38.920 Aber wie gesagt, wenn Sie mehrere und viele Freiheitsgrade haben, dann 19:38.920 --> 19:42.600 tut man doch gut daran, das in einer systematischen Art und Weise zu 19:42.600 --> 19:42.820 machen. 19:42.820 --> 19:47.780 Und wenn Sie räumliche Probleme haben mit vielen Freiheitsgraden, auch 19:47.780 --> 19:52.280 räumlichen Drehungen, dann zeigt es sich, dass die entsprechenden 19:52.280 --> 19:56.620 Rechnungen sehr schnell aufwendig werden und man gut daran tut, das 19:56.620 --> 19:58.500 möglichst auf dem Rechner auszulagern. 20:01.160 --> 20:03.080 Gibt es noch Fragen zur Kinematik? 20:05.100 --> 20:08.120 Dann kommen wir jetzt zur Kinetik. 20:31.810 --> 20:37.250 Bei der Kinetik, da müssen natürlich für jeden einzelnen Körper des 20:37.250 --> 20:40.470 Gesamtsystems Impuls und Rallsatz gelten. 21:10.850 --> 21:14.990 Das heißt, unter Umständen müssen wir eben auch in den Gelenken dann 21:14.990 --> 21:20.630 entsprechende Zwangskräfte oder Zwangsmomente einführen, die natürlich 21:20.630 --> 21:23.770 dann an beiden Körpern wirken, gemäß Aktion-Gleich-Reaktion, 21:23.890 --> 21:24.850 entgegengesetzt gerichtet. 21:24.850 --> 21:29.330 Und wenn 21:36.080 --> 21:39.080 das für jeden Körper gelten muss, dann greifen wir uns einfach mal 21:39.080 --> 21:40.640 beliebig den Körper J heraus. 21:44.850 --> 21:50.690 Da haben wir zunächst mal den Rallsatz, der besagt, dass die Masse von 21:50.690 --> 21:56.410 Körper J multipliziert mit der Schwerpunktsbeschleunigung, das war R 21:56.410 --> 22:01.030 von SJ, zwei Punkt, gerade ergeben muss. 22:07.720 --> 22:18.610 FJ plus eine Summe von Kräften, nämlich von den anderen Körpern auf 22:18.610 --> 22:23.670 Körper J wirkenden Kräften, deshalb machen wir hier mal K gleich 1 bis 22:23.670 --> 22:24.010 N. 22:25.550 --> 22:36.480 FJK, das Ganze muss gelten für J gleich 1 bis N. 22:39.720 --> 22:46.120 Wie gesagt, links Massenmalbeschleunigung von Körper J, das wären 22:46.120 --> 22:49.840 jetzt alle äußeren am Körper J angreifenden Kräfte. 22:58.460 --> 23:02.840 Alle äußeren Kräfte am 23:06.420 --> 23:06.980 Körper J. 23:08.940 --> 23:13.820 Und das wären eben die zwischen den einzelnen Körpern wirkenden 23:13.820 --> 23:18.680 Kräfte, und zwar die Kräfte aller anderen Körper auf Körper J. 23:19.960 --> 23:23.680 Das heißt, wenn wir an der Stelle wieder die Kraft haben, FJJ, die 23:23.680 --> 23:26.360 theoretisch auftritt, machen wir das wie schon zuvor bei 23:26.360 --> 23:26.720 Massenpunktsystemen. 23:26.720 --> 23:31.340 Das ist eben vom Körper J weg keine Kraft auf sich selbst, die ist 23:31.340 --> 23:32.060 dann einfach Null. 23:32.380 --> 23:35.100 Dann können wir das aber so schön als Summe schreiben. 23:37.520 --> 23:57.790 Also von den anderen Körpern auf Körper J wirkende Kräfte. 24:05.990 --> 24:08.070 Das nächste ist dann der Drall-Satz. 24:10.050 --> 24:11.870 Und den können wir ganz einfach schreiben. 24:12.730 --> 24:21.630 Der Drall von Körper J bezüglich Schwerpunkt SJ muss gerade sein, 24:23.610 --> 24:28.570 Ableitung nach der Zeit, und wir müssen uns erinnern, das ist die 24:28.570 --> 24:34.270 Ableitung nach der Zeit im Inertialsystem, entspricht gerade der Summe 24:34.270 --> 24:35.550 aller Momente. 24:39.490 --> 24:42.810 Bezüglich des J-Schwerpunktes, 24:46.350 --> 24:52.290 und auch da können äußere Momente vorhanden sein, infolge Kräften oder 24:52.290 --> 24:54.110 freien Momenten, also Kräfte fahren. 24:55.350 --> 25:04.190 Oder auch Momente von Zwangskräften oder Zwangsmomenten der anderen 25:04.190 --> 25:05.650 Körper auf Körper J. 25:06.570 --> 25:08.570 Das muss man dann entsprechend richtig aufstellen. 25:09.070 --> 25:15.210 Wichtig an der Stelle die Ableitung des Dralls bezüglich SJ im 25:15.210 --> 25:16.230 Inertialsystem. 25:18.450 --> 25:24.450 Im körperfesten Bezugssystem hätten wir da die Spellkeitsmatrix oder 25:24.450 --> 25:29.810 Tensor, der eine Konstante ist im körperfesten Bezugssystem. 25:34.050 --> 25:40.630 Mal der Winkelbeschleunigung, also Phi bezüglich SJ. 25:41.470 --> 25:49.330 Mal der Ableitung der Winkelgeschwindigkeit von Körper J nach der 25:49.330 --> 25:49.670 Zeit. 25:51.030 --> 25:59.600 Plus eben dann der Termin im Kreuzprodukt, das war Omega J. 26:00.260 --> 26:05.180 Kreuz dem Drall und der Drall, das war ja gerade wieder das Phi, 26:06.200 --> 26:11.180 bezüglich SJ multipliziert mit Omega J. 26:18.920 --> 26:20.640 Und die konkrete Auswertung, 26:27.160 --> 26:31.320 die kann man natürlich auch machen im Sinne d'Alembert's, 26:54.860 --> 27:04.320 mit Spellkeitskräften und Momenten in 27:07.600 --> 27:13.520 Form von Kräfte- und Momentenbilanzen. 27:41.340 --> 27:46.820 Und man sieht, das gibt jetzt insgesamt für jeden Körper, wenn man ein 27:46.820 --> 27:50.980 räumliches Problem hat, sechs skalare Gleichungen oder zwei 27:50.980 --> 27:51.880 Vektorgleichungen. 27:51.880 --> 27:56.580 Das heißt, wenn wir ein System von N Körpern haben, haben wir zunächst 27:56.580 --> 27:58.500 mal sechs N Gleichungen. 27:59.660 --> 28:04.020 Allerdings nicht nur mit den gesuchten Koordinaten, in dem Falle wären 28:04.020 --> 28:07.020 das die Gelenkkoordinaten, welche die Bewegungen in den Gelenken 28:07.020 --> 28:14.700 beschreiben, sondern auch noch eventuell auftretende Zwangskräfte und 28:14.700 --> 28:15.380 Zwangsmomente. 28:15.380 --> 28:19.640 Um dann letztendlich auf die Bewegungsgleichungen zu kommen, müssen 28:19.640 --> 28:32.180 diese Zwangskräfte und Zwangsmomente entsprechend eliminiert werden. 28:58.760 --> 29:03.360 Das ergibt dann unter Umständen die Bewegungsgleichungen. 29:07.320 --> 29:12.020 Unter Umständen, je nachdem, gibt es aber auch noch 29:12.020 --> 29:20.040 Bindungsgleichungen zwischen den Gelenkgrößen. 29:25.110 --> 29:35.260 Also plus R Bindungsgleichungen, 29:51.240 --> 29:57.020 sodass, wenn wir jetzt irgendwelche Zwangskräfte und Zwangsmomente 29:57.020 --> 30:02.180 einsetzen, dann haben wir natürlich insgesamt bei R 30:02.180 --> 30:07.760 Bindungsgleichungen auch R Zwangskräfte und Zwangsmomente. 30:10.980 --> 30:25.680 Das heißt, wir haben insgesamt 6 N minus R Bewegungsgleichungen. 30:37.190 --> 30:40.290 So ein bisschen vorstellen kann man es sich vielleicht, ich mache mal 30:40.290 --> 30:42.330 ein ganz einfaches Beispiel hin. 30:43.970 --> 30:45.350 So ein Koppelfiereck, 30:56.500 --> 31:03.380 wenn wir jetzt dieses Lager mal nicht betrachten, dann hätten wir was, 31:03.460 --> 31:05.640 was wir so behandeln könnten, wie wir das vorher hatten. 31:06.180 --> 31:09.980 Da haben wir eine Gelenkkoordinate, nämlich den Verdrehwinkel, eine 31:09.980 --> 31:13.240 weitere Gelenkkoordinate, das wäre wieder ein Verdrehwinkel und einen 31:13.240 --> 31:14.300 dritten Verdrehwinkel. 31:15.680 --> 31:19.200 Aus Erfahrung wissen wir, so ein Koppelfiereck, das hat aber nur einen 31:19.200 --> 31:19.980 Freiheitsgrad. 31:21.200 --> 31:25.280 Das heißt, zunächst mal hätten wir, wenn wir das hier mal außer Acht 31:25.280 --> 31:29.720 lassen, drei Freiheitsgrade. 31:31.480 --> 31:35.440 Jetzt sehen wir aber, ja gut, der letzte Punkt, der muss natürlich 31:35.440 --> 31:40.600 zwei Zwangsbedingungen erfüllen, nämlich die Koordinaten dieses 31:40.600 --> 31:45.140 Punktes als Punkt vom letzten Körper, die müssen gerade den 31:45.140 --> 31:46.660 Lagerkoordinaten entsprechen. 31:46.660 --> 31:49.800 Da sieht man, das sind zwei Zwangsbedingungen, eine für die X 31:49.800 --> 31:54.120 -Koordinate, eine für die Y-Koordinate, so dass letztendlich, wenn man 31:54.120 --> 31:58.920 das noch berücksichtigt, an der Stelle ein Freiheitsgrad bleibt. 32:00.280 --> 32:04.740 Wenn die Zwangsbedingungen nur jetzt hier in den Gelenken vorliegen, 32:04.840 --> 32:07.540 dann ist das einfach, aber hier hat man zum Beispiel eine kinematische 32:07.540 --> 32:12.600 Schleife, also man geht praktisch von der Umgebung aus, vom nullten 32:12.600 --> 32:16.180 Körper, dann zum ersten Körper, zum zweiten, zum dritten, und dann 32:16.180 --> 32:20.740 gibt es aber eine Zwangsbedingung wieder, nicht zum nächsten Körper, 32:20.900 --> 32:22.880 sondern praktisch zu einem vorhergehenden Körper. 32:23.120 --> 32:24.440 Das wäre dann ein bisschen komplizierter. 32:25.140 --> 32:26.520 Gibt es soweit Fragen? 32:32.110 --> 32:32.210 Ja? 32:43.260 --> 32:44.520 Das habe ich jetzt nicht kapiert. 32:45.420 --> 32:46.560 Wenn Sie was verdrehen? 32:49.020 --> 32:49.660 Den? 32:53.140 --> 32:55.340 Ja, Sie kommen dann in eine singuläre Lage. 32:55.680 --> 32:59.240 Wenn es praktisch so weit dreht, dass hier das gestreckt ist, das 32:59.240 --> 33:00.620 meinen Sie, dann wird es durchfallen. 33:03.360 --> 33:08.840 Ja, das ist einfach eine, im Prinzip, für den vorgegebenen Winkel, den 33:08.840 --> 33:11.600 wir jetzt an der Stelle hätten, gibt es zwei mögliche Lösungen. 33:12.120 --> 33:16.200 Da gäbe es die hier, oder es gäbe natürlich auch die hier. 33:20.160 --> 33:23.700 Das beantwortet wahrscheinlich Ihre Frage nicht ganz, weil Sie immer 33:23.700 --> 33:26.940 von der Vorstellung leben, da wirkt ein Gewicht, und wenn ich den in 33:26.940 --> 33:31.420 der ausgestreckten Lage habe, dann fällt das irgendwie runter. 33:42.400 --> 33:44.880 Ich habe es gesagt, das ist eine singuläre Stellung. 33:46.420 --> 33:48.220 Die ist ein bisschen schwieriger zu behandeln. 33:49.660 --> 33:54.460 In der Stellung ist alles ganz klar, da hängt der Winkel und der 33:54.460 --> 33:56.960 Winkel, also alle drei Winkel hängen zusammen. 33:58.020 --> 33:59.160 Ich kann nur einen vorgeben. 34:00.340 --> 34:06.560 Und in der singulären Stellung, da könnte ich theoretisch auch, wenn 34:06.560 --> 34:11.580 ich das hier festhalte, in der Querrichtung keine Last aufbringen. 34:11.720 --> 34:13.660 Das könnte das nicht halten, so kann man es sich merken. 34:14.120 --> 34:15.580 Das ist ein bisschen ein ausgearteter Fall. 34:16.480 --> 34:18.660 Solche Stellungen können natürlich auftreten. 34:20.100 --> 34:21.820 Da muss man aber ein bisschen vorsichtig sein. 34:27.800 --> 34:29.560 So, was bleibt sonst noch anzumerken? 34:29.700 --> 34:33.260 Nun gut, Arbeits- und Energiesatz, das brauchen wir nicht anschreiben, 34:33.340 --> 34:34.720 das gilt natürlich nach wie vor. 34:38.300 --> 34:42.520 Und wenn jetzt in so einem Mehrkörpersystem noch Stöße auftreten, dann 34:42.520 --> 34:44.100 behandeln wir das an der Stelle auch nicht. 34:44.160 --> 34:46.780 Das haben wir im zweidimensionalen Fall gemacht. 34:46.920 --> 34:49.880 Das kann natürlich im dreidimensionalen Fall ganz ähnlich auftreten, 34:49.980 --> 34:52.460 mit all den Schwierigkeiten, die man dabei hat. 34:56.640 --> 35:04.660 So, wenn wir jetzt gerade mal betrachten, die Zahl der 35:04.660 --> 35:08.700 Bewegungsgleichungen und die Zahl der Gleichungen, die wir aufgrund 35:08.700 --> 35:13.440 von Impuls- und Rallsatz bei einer räumlichen Bewegung erhalten, dann 35:13.440 --> 35:19.800 liegt es natürlich nahe, irgendwann zu sagen, wenn ich zum Beispiel 35:19.800 --> 35:27.140 einen Mehrzylinder-Motor habe und den als Starkörpersystem modelliere, 35:27.960 --> 35:30.780 dann habe ich im Grunde genommen sehr viele Körper. 35:31.340 --> 35:35.800 Ich habe die Motorwelle, rein theoretisch habe ich noch die 35:35.800 --> 35:36.320 Nockenwelle. 35:37.560 --> 35:46.110 Dann habe ich die Kurbeln an jedem Zylinder, ich habe die Bleuelstange 35:46.110 --> 35:49.110 an jedem Zylinder und dann habe ich noch den Kolben, der hoch und 35:49.110 --> 35:49.710 runter geht. 35:51.330 --> 35:53.230 Das sind also wirklich sehr viele Körper. 35:53.410 --> 35:55.450 Das würde auf sehr viele Gleichungen führen. 35:56.490 --> 36:00.830 Aber letztendlich, als Starkörpersystem modelliert, hat das Ganze nur 36:00.830 --> 36:01.810 einen Freiheitsgrad. 36:03.030 --> 36:07.150 Und da kann man sich natürlich fragen, wenn solche Systeme vorliegen, 36:07.810 --> 36:11.850 ich habe viele Körper, aber nur wenige Freiheitsgrade, gibt es da 36:11.850 --> 36:15.250 nichts Besseres, um Bewegungsgleichungen herleiten zu können? 36:16.550 --> 36:18.470 Und das ist das, was wir jetzt dann im Folgenden machen. 36:19.390 --> 36:23.630 Man muss sich aber immer natürlich im Hinterkopf behalten, wenn wir 36:23.630 --> 36:28.550 dann die Bewegungsgleichungen hergeleitet haben, dann können wir 36:28.550 --> 36:32.890 zunächst einmal simulieren, was unser System macht. 36:33.750 --> 36:40.570 Ich denke, im Dynamics Lab, da wird es mit einem Einzylindermotor ein 36:40.570 --> 36:41.310 bisschen gemacht. 36:44.630 --> 36:47.630 Das ist schon schwer genug. 36:49.050 --> 36:52.090 Man versuchte das dann auch so runterzubrechen, dass Sie das mit Ihren 36:52.090 --> 36:55.010 Methoden, die Sie aus CN3 kennen, schon machen können. 36:56.550 --> 36:57.170 Das ist das eine. 36:59.010 --> 37:04.030 Ich kann dann zum Beispiel simulieren, wenn die und die Last anliegt, 37:04.030 --> 37:08.250 dann führt es zu der Beschleunigung oder zu den Effekten der Bewegung. 37:09.050 --> 37:12.130 Das ist eine wichtige Aussage. 37:13.030 --> 37:19.970 Wenn man jetzt hergehen will und Lager bemessen zum Beispiel, da muss 37:19.970 --> 37:21.990 man natürlich wissen, wie groß ist die Lagerbelastung. 37:23.190 --> 37:26.490 Wenn ich jetzt nur die Bewegungsgleichung löse, dann kenne ich die 37:26.490 --> 37:27.530 Lagerbelastung nicht. 37:28.550 --> 37:34.670 Weil die Lagerbelastung ist letztendlich dann gegeben und die 37:34.670 --> 37:34.670 Lagerbelastung ist dann gegeben. 37:34.670 --> 37:38.130 Also für solche Arten von Aufgaben, Dimensionierung und so weiter, 37:38.530 --> 37:43.210 sind unter Umständen natürlich die Kenntnisse der Zwangsreaktionen 37:43.210 --> 37:43.870 schon wichtig. 37:45.050 --> 37:47.970 Aber die hängen unter Umständen natürlich auch wieder ab von der 37:47.970 --> 37:48.450 Bewegung. 37:49.710 --> 37:53.690 Also ich muss sowohl die Bewegung dann einig können, ich muss das 37:53.690 --> 37:56.870 simulieren können, wie auch die Abhängigkeit der Zwangskräfte 38:04.030 --> 38:05.270 von Bewegungsgleichungen herzuleiten. 38:05.390 --> 38:09.010 Wie gesagt, sind die aber vielleicht gar nicht notwendig. 38:09.090 --> 38:14.850 Und das ist das, was wir jetzt machen mit Hilfe der Energiemethoden 38:14.850 --> 38:16.630 und den Prinzipien der Mechanik. 38:51.710 --> 38:56.510 Das heißt, unser Ziel ist Herleitung von Bewegungsgleichungen 39:09.710 --> 39:22.240 analytisch aus Energie auszudrücken. 39:36.470 --> 39:39.190 Und da zunächst mal das Prinzip von d'Alembert 39:51.680 --> 39:53.280 in Lagrange-Erfassung. 40:11.350 --> 40:16.950 Und Sie alle kennen die virtuelle Arbeit von der Statik her. 40:18.450 --> 40:21.010 Wer kennt die virtuelle Arbeit aus der Statik? 40:22.370 --> 40:23.330 Wer kennt die nicht? 40:24.590 --> 40:26.310 Keiner traut sich zu strecken. 40:26.310 --> 40:29.770 Also, können wir jetzt an der Stelle fast schon wieder aufhören. 40:30.910 --> 40:31.230 Warum? 40:33.310 --> 40:39.470 In der Statik hat man virtuelle Arbeit, indem man eine Kraft virtuell 40:39.470 --> 40:40.070 verschiebt. 40:41.290 --> 40:45.490 Wenn man jetzt ein System hat, und in der Statik ist es meistens 40:45.490 --> 40:49.890 statisch bestimmt, und man nimmt eine der Lagerwertigkeiten weg, dann 40:49.890 --> 40:51.530 wird das System verschieblich. 40:52.850 --> 40:57.550 Und wenn ich das System jetzt virtuell verrücke, dann machen alle 40:57.550 --> 41:02.310 Kraftangriffspunkte und auch da, wo Momente angreifen, da machen 41:02.310 --> 41:05.870 Systemteile irgendwelche virtuellen Verdrehungen, also die 41:05.870 --> 41:09.350 Kraftangriffspunkte machen virtuelle Verschiebungen, die letztendlich 41:09.350 --> 41:14.190 dann von irgendeiner vorgegebenen virtuellen Verschiebung abhängt. 41:15.690 --> 41:20.330 Das führt bei jeder Kraft zu einer sogenannten virtuellen Arbeit. 41:22.070 --> 41:24.710 Und in der Statik, wenn es statisch bestimmt war, und man z.B. 41:24.830 --> 41:29.650 eine Lagerreaktion auswerten will, dann heißt das, naja gut, die 41:29.650 --> 41:31.310 virtuelle Arbeit muss nun sein. 41:32.870 --> 41:36.330 Man muss das System also so verschieben virtuell, wie es die 41:36.330 --> 41:43.390 restlichen Lager- und Gelenkvorgaben erlauben. 41:45.830 --> 41:49.690 Nun hier haben wir a priori ja irgendwelche Freiheitsgrade. 41:49.690 --> 41:54.090 Das heißt, wir können jeden der Freiheitsgrade mal virtuell verändern. 41:55.450 --> 41:56.390 Und das steckt so dahinter. 41:57.770 --> 42:06.270 Nur muss bei uns das System nicht im Gleichgewicht sein, sondern es 42:06.270 --> 42:09.490 wird verschoben unter Umständen, infolge der wirkenden Kräfte und 42:09.490 --> 42:10.970 Momente auch beschleunigt. 42:11.530 --> 42:14.270 Und dann wissen wir, na gut, in der Statik, da hatten wir 42:14.270 --> 42:17.430 Kräftegleichgewicht und momentigen Gleichgewicht, das haben wir 42:17.430 --> 42:18.770 natürlich in der Dynamik. 42:18.830 --> 42:22.690 Genau dann, wenn wir das Prinzip von D'Alembert nehmen und 42:22.690 --> 42:26.070 entsprechende Trägheitskräfte und Trägheitsmomente einführen, dann 42:26.070 --> 42:30.830 könnten wir ja Impuls und Rallsatz letztendlich auf Kräfte- und 42:30.830 --> 42:32.230 Momentenbilanzen zurückführen. 42:33.230 --> 42:34.750 Also das ist die Idee dahinter. 42:56.010 --> 43:01.070 Nun wenn wir jetzt Kräfte haben, die am System angreifen, dann können 43:01.070 --> 43:01.990 wir die unterteilen. 43:02.970 --> 43:10.710 Nämlich, im Sinne von D'Alembert, zunächst mal Trägheitskräfte und 43:10.710 --> 43:14.370 andere Kräfte, und die anderen Kräfte, die können wir noch unterteilen 43:14.790 --> 43:19.030 in sogenannte Zwangskräfte und die eingeprägten Kräfte. 43:20.430 --> 43:20.810 Also, 43:26.570 --> 43:31.410 Einteilung der Kräfte. 43:33.830 --> 43:38.430 Und wenn wir zunächst mal nur Massenpunkte wieder der Einfachheit 43:38.430 --> 43:41.970 halber betrachten, dann können im Grunde genommen auch nur Kräfte 43:41.970 --> 43:42.610 auftreten. 43:43.350 --> 43:44.750 Oder dann Kräftepaare. 43:46.450 --> 43:51.390 Beim starren Körper könnten dann entsprechend auch freie Momente 43:51.390 --> 43:51.730 auftreten. 43:52.090 --> 43:54.270 Da gilt es dann natürlich ganz analog. 43:55.450 --> 43:59.330 Also, sinngemäß auch für Momente. 44:12.190 --> 44:15.950 Zum einen, wie gesagt, eingeprägte Kräfte. 44:30.950 --> 44:33.990 Zum Beispiel eine Gewichtskraft, irgendeine Antriebskraft. 44:35.090 --> 44:42.330 Das könnte auch, je nachdem, eine Reibkraft sein, wenn praktisch da 44:42.330 --> 44:44.450 eine Relativverschiebung erfolgt. 44:45.410 --> 44:46.990 Dann gibt es Zwangskräfte 44:52.570 --> 44:57.670 infolge von Führungen, wo also praktisch die Bewegung zwangsweise 44:57.670 --> 45:00.550 irgendwie erfolgt, entlang einer gegebenen Bahn. 45:01.810 --> 45:05.550 Wir wissen natürlich, dass es unter Umständen auch Fälle gibt, bei 45:05.550 --> 45:09.790 denen die eingeprägten Kräfte von der Zwangskraft abhängen. 45:10.530 --> 45:13.890 Einen Fall hatten wir mal, wo so ein Massenpunkt auf einer Kreisbahn 45:13.890 --> 45:15.350 gleitet. 45:15.670 --> 45:20.510 Wenn da die Kreisbahn mit Reibung behaftet ist, dann hängt natürlich 45:20.510 --> 45:21.310 die Reibkraft 45:24.530 --> 45:27.670 und der Massenpunkt bei einer Kreisbahn immer nach innen beschleunigt 45:27.670 --> 45:29.110 wird, das führt zu einer Normalkraft. 45:29.810 --> 45:33.410 Letztendlich zu einer Erhöhung der Normalkraft und damit auch zu einer 45:33.410 --> 45:34.330 Erhöhung der Reibkraft. 45:35.970 --> 45:39.450 Aber wie gesagt, wichtig wäre dann die eingeprägte Kraft. 45:40.430 --> 45:41.990 Und dann haben wir noch die Trägheitskräfte. 45:58.140 --> 46:01.760 So, wenn wir jetzt einen einzigen Massenpunkt haben, 46:05.610 --> 46:16.970 also bei einem Massenpunkt, nun nehmen wir mal an, zunächst mal, wir 46:16.970 --> 46:20.710 haben einen Massenpunkt, der sich auf so einer Ebene bewegt. 46:22.650 --> 46:25.070 In welche Richtung wirkt die Zwangskraft? 46:27.010 --> 46:29.630 Und die Zwangskraft wirkt senkrecht 46:32.720 --> 46:34.040 zur Ebene. 46:35.560 --> 46:40.540 Die Bewegung selbst, die erfolgt in der Ebene. 46:41.560 --> 46:48.640 Das heißt, in diesem Beispiel ist die Zwangskraft senkrecht auf der 46:48.640 --> 46:49.160 Bewegung. 46:51.560 --> 46:55.080 Wenn ich jetzt eine gekrümmte Ebene habe, denken Sie an einen Berg, 47:00.490 --> 47:07.070 dann wirkt zunächst mal die Zwangskraft wieder senkrecht auf die 47:07.070 --> 47:07.450 Ebene. 47:12.890 --> 47:15.750 Wenn wir über einen Berg gehen, muss man ein bisschen vorsichtig sein. 47:15.850 --> 47:16.030 Warum? 47:17.050 --> 47:19.430 Weil wenn wir auf einem Berg stehen, dann haben wir eigentlich gar 47:19.430 --> 47:22.490 keinen Freiheitsgrad mehr, sondern nur noch Zwangskräfte. 47:23.490 --> 47:29.350 Und man sieht, in dem Falle sind dann die Reibkräfte, dass wir nicht 47:29.350 --> 47:32.110 den Berg runterrutschen, die sind Zwangskräfte. 47:32.650 --> 47:36.910 Nämlich, die stellen sich ein, je nachdem wie die Neigung des Berges 47:36.910 --> 47:37.210 ist. 47:37.920 --> 47:43.370 Wenn wir eine glatte, also eine Eisfläche haben, dann sehen Sie genau, 47:44.490 --> 47:47.970 dann wird man sich nicht am Berg halten können. 47:48.090 --> 47:51.890 Höchstens, man hat eine zusätzliche Kraft, die praktisch einen selbst 47:51.890 --> 47:52.110 hält. 47:52.710 --> 47:54.290 Ansonsten rutscht man an den Berg runter. 47:54.830 --> 47:58.090 Das heißt, die entsprechende Zwangskraft wirkt dann wirklich senkrecht 47:58.090 --> 47:58.870 zur Oberfläche. 48:02.710 --> 48:07.510 Also auch da würde die Zwangskraft senkrecht auf der Bewegung stehen. 48:08.730 --> 48:11.810 So, und jetzt kann man das Ganze nochmal ein bisschen verkomplizieren. 48:12.590 --> 48:17.970 Nämlich, was passiert, wenn wir diese Ebene noch zeitabhängig machen? 48:18.570 --> 48:19.150 Was weiß ich? 48:19.590 --> 48:23.130 Dass die irgendeine vorgegebene Bewegung macht. 48:30.790 --> 48:33.590 Nehmen wir an, der Tisch, der macht eine Auf- und Abbewegung. 48:36.430 --> 48:40.990 Dann macht der Massenpunkt, der sich auf dem Tisch bewegt, der macht 48:40.990 --> 48:44.770 nicht nur eine Bewegung in der Tischebene, sondern aufgrund der 48:44.770 --> 48:48.590 vorgegebenen Bewegung des Tisches bewegt sich der Massenpunkt auch auf 48:48.590 --> 48:48.990 und ab. 48:51.550 --> 48:56.030 Die Zwangskraft, würden wir jetzt sagen, die wirkt ja immer noch 48:56.030 --> 48:58.750 senkrecht auf die Tischebene. 49:00.090 --> 49:06.270 Also, die Zwangskraft wirkt in dem Falle nicht senkrecht auf die 49:06.270 --> 49:12.090 Bewegung, aber, und jetzt kommt der Unterschied, senkrecht auf einer 49:12.090 --> 49:13.190 virtuellen Bewegung. 49:13.390 --> 49:14.810 Was heißt da die virtuelle Bewegung? 49:16.130 --> 49:20.570 Virtuelle Bewegung heißt in dem Falle, ich verändere die Zeit nicht, 49:20.990 --> 49:22.950 also ich verändere die Zeit virtuell nicht. 49:23.370 --> 49:26.590 In der Variationsrechnung würde man sagen, die Variation der Zeit ist 49:26.590 --> 49:26.830 null. 49:28.110 --> 49:29.790 Den Ort variieren wir ein bisschen. 49:31.050 --> 49:32.650 Wenn ich aber die Zeit festhalte, 49:36.970 --> 49:39.350 halte ich der Ebene nicht aus, weil ich mache das zu einem festen 49:39.350 --> 49:41.410 Zeitpunkt, halte das Ganze dann fest. 49:42.750 --> 49:45.630 Mein Vorvorgänger hat immer gesagt, alle Uhren stehen still. 49:47.170 --> 49:53.830 Und jetzt mache ich eine virtuelle Verschiebung bei festgehaltener 49:53.830 --> 49:56.190 Zeit, und das ist dann gerade eine virtuelle Verschiebung. 49:56.610 --> 50:00.370 Und dann sieht man, jetzt ist die virtuelle Verschiebung wieder 50:00.370 --> 50:02.270 senkrecht zur Zwangskraft. 50:06.970 --> 50:08.550 Da haben wir gerade 50:20.810 --> 50:29.970 Zwangskraft senkrecht zu virtueller Verschiebung. 50:44.730 --> 50:51.510 Das heißt, fz, skalar multipliziert, mit der virtuellen Verschiebung 50:51.510 --> 50:53.670 muss dann gerade null sein. 50:57.760 --> 51:04.520 Wie gesagt, bei einem Massenpunkt kann man das relativ leicht zeigen. 51:05.580 --> 51:09.860 Bei Körpern im Prinzip ganz ähnlich. 51:10.080 --> 51:11.740 Da müssen wir noch die Rotation vielleicht mitbringen. 51:12.880 --> 51:15.080 Wenn wir jetzt mal etwas Komplizierteres betrachten. 51:21.390 --> 51:23.290 Ich versuche mal, das zu skizzieren. 51:29.180 --> 51:30.220 Wir haben so eine Kurbel. 51:33.200 --> 51:35.520 Dann haben wir eine Ploylstange. 51:38.320 --> 51:42.940 Und dann haben wir hier angedeutet noch den Zylinder irgendwo. 51:46.320 --> 51:47.320 Ne, den Kolben. 51:48.120 --> 51:49.680 Dann haben wir hier eine Führung. 51:56.750 --> 51:58.230 Wenn wir jetzt an der Stelle mal schauen. 52:01.310 --> 52:04.930 Ich zeichne mal die Zwangskraft. 52:06.590 --> 52:10.450 Zunächst mal haben wir im Gelenk eine Zwangskraft. 52:11.710 --> 52:12.630 Die hat irgendeine Richtung. 52:16.940 --> 52:21.240 Dann haben wir im Gelenk irgendwo eine Zwangskraft. 52:21.320 --> 52:23.140 Die hängt auch von der Bewegung ab. 52:23.200 --> 52:25.720 Vielleicht aufgrund der Beschleunigung. 52:26.500 --> 52:29.100 Ich zeichne mal so an. 52:31.200 --> 52:34.540 Die kann auch eine Richtung haben, die ich jetzt gar nicht weiß. 52:35.380 --> 52:37.320 Dann haben wir an der Stelle eine Zwangskraft. 52:44.830 --> 52:47.030 Und wir haben an der Stelle eine Zwangskraft. 52:50.210 --> 52:51.590 Hier eine Zwangskraft. 52:55.090 --> 52:58.090 Im Prinzip auf die Stange von den Lagern. 52:58.250 --> 53:02.030 Also jetzt nicht von der Stange auf die Lager, sondern immer praktisch 53:02.030 --> 53:04.170 bezogen auf das sich bewegende Teil. 53:07.510 --> 53:11.850 Nun man sieht die entsprechenden virtuellen Verschiebungen. 53:13.590 --> 53:19.390 Die sind natürlich an der Stelle Delta R2. 53:20.230 --> 53:27.050 An der Stelle haben wir Delta R1 gleich 0, weil das Lager verschiebt 53:27.050 --> 53:27.610 sich ja nicht. 53:31.430 --> 53:37.770 An der Stelle haben wir eine Verschiebung in Kolbenlängsrichtung Delta 53:37.770 --> 53:38.370 R3. 53:40.850 --> 53:44.890 Und an der Stelle haben wir eine Verschiebung Delta R4. 53:45.430 --> 53:49.210 An der Stelle haben wir eine Verschiebung Delta R5. 53:53.110 --> 53:58.450 Und jetzt sehen wir bei Punkt 4 und Punkt 5, da haben wir es einfach. 53:58.990 --> 54:01.870 Da steht nämlich die virtuelle Verschiebung wieder senkrecht auf der 54:01.870 --> 54:02.930 entsprechenden Zwangskraft. 54:03.450 --> 54:06.470 Also da wird die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte 0 sein. 54:08.190 --> 54:09.310 Jetzt, wie sieht es aus? 54:11.350 --> 54:13.830 Genauso hier, da haben wir keine virtuelle Verschiebung, gibt auch 54:13.830 --> 54:15.790 keine virtuelle Arbeit. 54:16.150 --> 54:18.410 Aber wie sieht es aus in den Punkten 2 und 3? 54:24.740 --> 54:28.280 Nun, wenn wir das ein bisschen genauer herauszeichnen. 54:31.200 --> 54:32.920 Und ich unterteile das mal. 54:43.070 --> 54:47.830 Dann sehen wir, ich habe jetzt hier mal zwar Zwangskräfte F2 und F3 54:47.830 --> 54:48.150 eingezeichnet. 54:49.730 --> 54:53.410 Aber diese Zwangskräfte, die treten natürlich nicht so auf, wie ich 54:53.410 --> 54:57.950 das eingezeichnet habe, sondern die treten gleichzeitig an jedem 54:57.950 --> 55:02.570 Systemteil auf, über Paarweise, gleich groß, aber entgegengesetzt 55:02.570 --> 55:02.970 gerichtet. 55:03.930 --> 55:11.850 Das heißt, wenn meinetwegen an dem Systemteil eine Zwangskraft F2 55:13.070 --> 55:21.670 wirkt, dann wirkt an dem Systemteil die gleiche Kraft entgegengesetzt 55:21.670 --> 55:22.490 gerichtet ein, 55:26.870 --> 55:29.550 also F2 quer, nenne ich die mal. 55:30.350 --> 55:36.430 Genauso, wenn wir an der Stelle F3 haben, dann haben wir natürlich an 55:36.430 --> 55:42.870 dem Systemteil F3 quer, was gerade minus F3 ist. 55:44.530 --> 55:50.470 Bei den virtuellen Verschiebungen, da haben wir an der Stelle 55:50.470 --> 55:55.090 senkrecht auf der Kurbel die Verschiebung Delta R2. 55:55.910 --> 56:01.130 Nun der Punkt, der verschiebt sich jetzt aufgrund des Gelenkes 56:01.130 --> 56:02.530 natürlich genauso virtuell. 56:03.650 --> 56:07.010 Also Delta R2. 56:08.630 --> 56:11.790 Entsprechend haben wir an der Stelle Delta R3. 56:13.570 --> 56:16.350 An der Stelle Delta R3. 56:17.670 --> 56:23.290 Und jetzt sehen wir, das Skalarprodukt von Zwangskraft und virtueller 56:23.290 --> 56:31.070 Verschiebung ist nicht unbedingt Null, aber wenn wir die virtuelle 56:31.070 --> 56:37.410 Arbeit von F2 infolge einer Verschiebung Delta R2 vergleichen mit der 56:37.410 --> 56:42.250 virtuellen Arbeit der virtuellen Verschiebung Delta R2, dann sehen 56:42.250 --> 56:47.850 wir, quer war das Negative von F2, gibt also gerade das Negative der 56:47.850 --> 56:50.870 virtuellen Arbeit der Kraft. 56:51.350 --> 56:52.890 Und genauso verhält sich es an der Stelle. 56:53.530 --> 56:56.190 Auch da haben wir die jeweilige virtuelle Arbeit einmal positiv, 56:56.350 --> 57:02.110 einmal negativ, sodass letztendlich sich nicht aus dem Skalarprodukt 57:02.110 --> 57:05.010 die Null ergibt, sondern aus der Summe der Skalarprodukte. 57:05.710 --> 57:12.850 Also letztendlich die virtuellen Arbeiten ist Null. 57:20.650 --> 57:23.890 Und zwar die virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte. 57:27.510 --> 57:29.010 Gibt es dazu Fragen? 57:48.530 --> 57:50.810 Ich schaue mal meine Tafelwischer an. 57:52.150 --> 57:55.990 Könnte jemand prophylaktisch die mittlere Tafel wischen? 58:01.370 --> 58:02.570 Ich merke gerade die mittlere da. 58:03.830 --> 58:05.970 Ein bisschen schöner als beim letzten Mal. 58:10.300 --> 58:11.560 Ja, das muss man üben. 58:11.760 --> 58:14.900 Ich sage immer, wenn ich mal als Professor gekündigt bekomme, dann 58:14.900 --> 58:17.100 kann ich wahrscheinlich immer noch als Fensterputzer gehen. 58:19.640 --> 58:20.080 So. 58:21.220 --> 58:22.160 Was haben wir jetzt? 58:23.480 --> 58:26.160 Nun zunächst mal gilt für einen... 58:26.160 --> 58:31.160 und wir machen das hier zunächst mal nur für... 58:32.760 --> 58:35.520 Einmal einen Trennungsstrich hätten Sie lassen können, so sparsam bin 58:35.520 --> 58:35.740 ich. 58:43.430 --> 58:47.510 Also wir machen das Ganze jetzt mal für Massenpunkte. 58:48.490 --> 58:50.470 Da lässt sich es ein bisschen einfacher schreiben. 58:51.510 --> 58:53.870 Das Ganze gilt natürlich sinngemäß auch für Körper. 58:54.010 --> 58:57.010 Bloß beim Körper müssen wir für jeden Körper noch den Rallsatz mit 58:57.010 --> 58:57.610 hinzunehmen. 58:57.890 --> 59:00.410 Wenn wir Massenpunkte haben, dann greifen wir uns einen Massenpunkt 59:00.410 --> 59:00.850 heraus. 59:01.850 --> 59:04.710 Und bei Massenpunkten reicht ja dann der Impulssatz. 59:05.610 --> 59:10.470 Deshalb für einen Massenpunkt haben wir zunächst mal die Summe der 59:10.470 --> 59:22.030 eingeprägten Kräfte plus die Summe der Zwangskräfte plus die Summe der 59:22.030 --> 59:26.870 Trägheitskräfte gleich 0. 59:29.710 --> 59:34.130 Ich schreibe mal für Massenpunkt j. 59:36.930 --> 59:44.890 Also fej plus fzj plus ftj dann wissen wir 01:00:00.710 --> 01:00:07.010 ftj ist dann minus mj mal rj. 01:00:07.270 --> 01:00:08.370 Zwei Punkt. 01:00:13.910 --> 01:00:21.550 So, und jetzt multiplizieren wir mal diese Gleichung mit der 01:00:21.970 --> 01:00:24.990 virtuellen Verrückung von Massenpunkt j. 01:00:25.510 --> 01:00:39.710 Dann haben wir also fej Skala mit Delta rj multipliziert plus 01:00:43.490 --> 01:00:53.430 fzj Skala mit Delta rj multipliziert plus 01:00:58.730 --> 01:01:05.530 ftj -Skalar mit Δrj multipliziert gleich 0. 01:01:07.190 --> 01:01:10.210 Na, da haben wir zunächst mal noch nicht so viel gewonnen. 01:01:12.530 --> 01:01:18.490 Allerdings, wenn wir jetzt hergehen und summieren über alle 01:01:18.490 --> 01:01:31.350 Massenpunkte, dann sehen wir, jetzt tritt auf, Summe j gleich 1 bis n 01:01:31.350 --> 01:01:36.190 aller Zwangskräfte multipliziert mit der zugehörigen virtuellen 01:01:36.190 --> 01:01:36.670 Verrückung. 01:01:37.990 --> 01:01:44.570 Und das bedeutet, gemäß dem ganz rechts, dieser Term ist 0. 01:01:45.390 --> 01:01:47.950 Der fällt also in der Summe aus der Gleichung raus. 01:01:51.150 --> 01:01:54.930 Deshalb, ich schreibe es nochmal vielleicht hier an, wenn wir den 01:01:54.930 --> 01:02:06.150 betrachten, Summe f Zwangskräfte j, j gleich 1 bis n, war ja gerade 0, 01:02:06.390 --> 01:02:11.410 ähm, Entschuldigung, multipliziert mit Δrj, war 0. 01:02:14.370 --> 01:02:15.910 Sodass übrig bleibt, 01:02:23.490 --> 01:02:51.190 Summe j gleich 1 bis n, f ej Δrj plus f tj, Skala mit Δrj 01:02:51.190 --> 01:02:53.730 multipliziert, gleich 0. 01:02:53.730 --> 01:02:58.850 Man sieht, ich habe es jetzt mal gleich für mehrere Massenpunkte 01:02:58.850 --> 01:03:02.270 hergeleitet, wenn wir nur einen Massenpunkt im System hätten, dann 01:03:02.270 --> 01:03:05.610 gilt das natürlich für den einen Massenpunkt genauso, dann wird 01:03:05.610 --> 01:03:13.410 natürlich nur Summe der eingeprägten Kräfte plus, oder, ja, 01:03:13.810 --> 01:03:19.110 eingeprägte Kraft am Massenpunkt plus Trägheitskraft des Massenpunktes 01:03:19.110 --> 01:03:23.750 Skala multipliziert mit der virtuellen Verschiebung des Massenpunktes 01:03:23.750 --> 01:03:24.250 gleich 0. 01:03:25.230 --> 01:03:33.350 Das fangen wir dann als einfache Gleichung an. 01:03:38.560 --> 01:03:46.580 Also, wenn wir, ich sag mal, 01:03:49.930 --> 01:03:58.670 das hier als Δw, also virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte 01:03:58.670 --> 01:04:09.350 bezeichnen und entsprechend das f tj, Skala mit Δrj multipliziert als 01:04:09.350 --> 01:04:19.990 die virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte, dann heißt dies Δwe plus Δwt 01:04:19.990 --> 01:04:20.550 gleich 0. 01:04:27.610 --> 01:04:32.790 Und man sieht, in den Gleichungen treten die Zwangskräfte wirklich 01:04:32.790 --> 01:04:39.730 nicht mehr auf, aber wenn wir jetzt mal zurückdenken an das Prinzip 01:04:39.730 --> 01:04:41.410 der virtuellen Arbeit der Statik, 01:04:46.030 --> 01:04:51.550 greifen wir uns gerade mal so ein Beispiel heraus. 01:04:52.110 --> 01:04:56.050 Das wäre jetzt gerade ja ein Beispiel, bei dem das System einen 01:04:56.050 --> 01:04:57.030 Freiheitsgrad hat. 01:04:58.510 --> 01:05:02.690 Wir haben sehr viele Zwangskräfte und Zwangsmomente haben wir in dem 01:05:02.690 --> 01:05:08.870 Fall keine, aber man sieht, wenn wir jetzt entsprechende Gleichungen 01:05:08.870 --> 01:05:12.270 aufstellen müssten für die einzelnen Körper, das wäre natürlich sehr 01:05:12.270 --> 01:05:12.610 viel. 01:05:13.590 --> 01:05:19.170 In dem Falle, wenn ich die Gleichung da drüben betrachte, dann fallen 01:05:19.170 --> 01:05:25.570 alle Zwangskräfte raus und die virtuellen Verschiebungen, und in dem 01:05:25.570 --> 01:05:29.130 Beispiel haben wir auch Starkörper, also nicht nur Massenpunkte, 01:05:29.250 --> 01:05:32.070 sondern Starkörper kommen wir gleich noch drauf, für die brauche ich 01:05:32.070 --> 01:05:37.450 noch virtuelle Verdrehungen, um praktisch den Dreisatz mit ins Spiel 01:05:37.450 --> 01:05:37.930 zu bringen. 01:05:39.110 --> 01:05:44.330 All diese virtuellen Größen kann ich ausdrücken in Abhängigkeit einer 01:05:44.330 --> 01:05:45.790 einzigen virtuellen Größe. 01:05:46.670 --> 01:05:51.090 Ich könnte zum Beispiel nehmen eine virtuelle Verdrehung der Kurbel. 01:05:52.330 --> 01:05:56.990 Oder ich bestimme alles als Funktion von einer virtuellen Verschiebung 01:05:56.990 --> 01:05:57.650 des Kolbens. 01:05:57.650 --> 01:06:01.450 Aber wie gesagt, alle anderen virtuellen Größen hängen von dieser 01:06:01.450 --> 01:06:02.490 einen Größe ab. 01:06:14.140 --> 01:06:21.580 Das heißt, wir haben es mal für Massenpunktsysteme formuliert, wenn 01:06:21.580 --> 01:06:24.740 wir das 01:06:28.990 --> 01:06:31.430 zunächst mal für einen Einzelkörper machen, 01:06:36.860 --> 01:06:40.120 dann werden, wie gesagt, auch virtuelle Verdrehungen wichtig. 01:06:41.900 --> 01:06:47.260 Jetzt hatte ich bei den Verdrehungen mal gesagt, Verdrehungen haben 01:06:47.260 --> 01:06:48.440 keine Vektoreigenschaft. 01:06:49.900 --> 01:06:51.660 Winkelgeschwindigkeiten haben Vektoreigenschaft. 01:06:53.480 --> 01:06:56.420 Virtuelle Verdrehungen, ähnlich wie virtuelle Verschiebungen, sind 01:06:56.420 --> 01:06:58.660 aber kleine gedachte Größen. 01:07:00.180 --> 01:07:00.320 Warum? 01:07:00.620 --> 01:07:03.200 Nun, bei den virtuellen Verrückungen wissen wir, wenn wir eine 01:07:03.200 --> 01:07:06.320 virtuelle Winkelverrückung nehmen, die sehr groß ist, dann verändern 01:07:06.320 --> 01:07:07.500 wir ja die Systemstellung. 01:07:08.280 --> 01:07:10.760 Dann wären da nicht lineare Abhängigkeiten. 01:07:10.940 --> 01:07:13.480 Also bei virtuellen Verschiebungen geht man immer davon aus, dass die 01:07:13.480 --> 01:07:14.900 beliebig klein sind. 01:07:15.040 --> 01:07:17.080 Genauso natürlich auch die virtuellen Verdrehungen. 01:07:17.720 --> 01:07:22.360 Und ich hatte aber gesagt, bei Verdrehungen, die wieder beliebig klein 01:07:22.360 --> 01:07:28.580 sind, infinitesimal, und das sind die virtuellen, da haben auch die 01:07:28.580 --> 01:07:30.340 Verdrehungen wieder Vektoreigenschaft. 01:07:30.800 --> 01:07:37.100 Deshalb gilt beim Einzelkörper dann letztendlich, dass eingeprägte 01:07:37.100 --> 01:07:47.820 Kraft plus Trägheitskraft, skalar multipliziert mit der virtuellen 01:07:47.820 --> 01:07:56.580 Verrückung des Schwerpunktes, plus, und dann haben wir eben 01:07:56.580 --> 01:08:03.780 eingeprägtes Moment bezüglich dem Schwerpunkt, plus Trägheitsmoment 01:08:03.780 --> 01:08:11.580 bezüglich des Schwerpunktes, mal der virtuellen Winkelverdrehung 01:08:11.580 --> 01:08:12.980 gleich 0. 01:08:16.120 --> 01:08:23.300 Gehen wir es vielleicht nochmal an, die Trägheitskraft war minus M mal 01:08:23.300 --> 01:08:34.460 Schwerpunktsbeschleunigung, und das Trägheitsmoment bezüglich dem 01:08:34.460 --> 01:08:41.760 Schwerpunkt war natürlich, wie schon zuvor, minus, und dann haben wir 01:08:41.760 --> 01:08:47.900 Phi bezüglich dem Schwerpunkt, mal Omega Punkt, der 01:08:47.900 --> 01:08:52.280 Winkelbeschleunigung des Körpers, plus eben Omega Kreuz, 01:08:56.570 --> 01:09:01.110 und da haben wir dann stehen das Phi bezüglich S, mal Omega. 01:09:04.650 --> 01:09:10.670 Wenn wir jetzt mehrere Körper haben, und dann müssen wir, wie schon 01:09:10.670 --> 01:09:14.110 bei den Einzelkörpern, bei den Massenpunkten natürlich summieren. 01:09:44.000 --> 01:09:56.100 Also bei mehreren Körpern entsprechend 01:10:04.760 --> 01:10:07.760 Summation. 01:10:10.000 --> 01:10:13.320 Wir wissen auch, wenn wir einen Einzelkörper haben, der um einen 01:10:13.320 --> 01:10:18.560 festen Punkt sich dreht, dann liegt es natürlich nahe, diesen festen 01:10:18.560 --> 01:10:21.540 Punkt als Bezugspunkt zu nehmen, dann hat man nur noch den Trallsatz. 01:10:23.740 --> 01:10:29.320 Dann muss praktisch der zweite Term entsprechend verändert werden, das 01:10:29.320 --> 01:10:34.920 Trägheitsmoment und die eingeprägten Momente bezüglich dem Punkt O. 01:10:39.850 --> 01:10:43.710 Und jetzt ist es natürlich so, ich habe zunächst mal erklärt, wie das 01:10:43.710 --> 01:10:45.850 ist, wenn wir nur einen Freiheitsgrad haben. 01:10:46.030 --> 01:10:50.290 Dann können wir alle virtuellen Verrückungen und Verdrehungen 01:10:50.290 --> 01:10:56.410 ausdrücken, über die virtuelle Änderung dieses Freiheitsgrades. 01:10:59.970 --> 01:11:02.450 Wenn wir mehrere Freiheitsgrade haben, 01:11:15.570 --> 01:11:19.230 dann können wir auch die virtuellen Verrückungen und Verdrehungen 01:11:19.230 --> 01:11:25.210 allgemeiner machen. 01:11:25.390 --> 01:11:29.550 Das heißt, die hängen dann von mehreren virtuellen Änderungen ab. 01:11:30.670 --> 01:11:33.770 Jeden Freiheitsgrad für sich kann ich virtuell ändern. 01:11:34.470 --> 01:11:41.830 Also bei mehreren Freiheitsgraden 01:11:45.880 --> 01:11:52.960 Zahl der unabhängigen virtuellen Verrückungen 01:12:13.410 --> 01:12:17.170 gleich Zahl der Freiheitsgrade. 01:12:18.010 --> 01:12:22.510 Weil ich eben jeden Freiheitsgrad für sich virtuell ändern kann. 01:12:28.110 --> 01:12:29.510 So, 01:12:35.670 --> 01:12:38.270 ich schreibe jetzt mal das Prinzip. 01:12:43.410 --> 01:12:55.350 Der virtuellen Arbeit liefert dann 01:13:07.470 --> 01:13:14.050 gerade so viele Bewegungsgleichungen, 01:13:25.570 --> 01:13:36.450 wie das System Freiheitsgrade hat. 01:13:49.040 --> 01:13:50.480 Wie kann man sich das vorstellen? 01:13:51.560 --> 01:13:55.600 Und ich habe gesagt, für den Einzelkörper, da müssen wir im Prinzip 01:13:55.600 --> 01:14:02.060 berücksichtigen, Krallsatz und Impulssatz, da haben wir jetzt 01:14:02.060 --> 01:14:04.860 entsprechende Trägheitsgrößen eingeführt, entsprechende virtuelle 01:14:04.860 --> 01:14:06.600 Verrückungen und Verdrehungen. 01:14:07.740 --> 01:14:10.940 Wenn wir mehrere Körper haben, müssen wir das für alle Körper machen 01:14:10.940 --> 01:14:12.200 und entsprechend aufsummieren. 01:14:12.680 --> 01:14:17.440 Nur dann entfällt wieder die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte. 01:14:19.020 --> 01:14:21.500 Dann haben wir also was ähnliches dastehen wie oben für das 01:14:21.500 --> 01:14:24.380 Massenpunktsystem, nur dass wir noch den zweiten Termin, den Momenten, 01:14:24.400 --> 01:14:24.860 drin haben. 01:14:27.360 --> 01:14:29.400 Und jetzt muss man sich das so vorstellen. 01:14:37.670 --> 01:14:47.990 Bei M Freiheitsgraden, also nicht Zahl der Körper, sondern Zahl der 01:14:47.990 --> 01:14:51.530 Freiheitsgrade, das ist im Allgemeinen eine kleine Zahl. 01:14:52.190 --> 01:14:53.590 Wie gesagt, da drüben wäre das 1. 01:15:00.190 --> 01:15:09.030 Dann nennen wir die mal, ich greife schon mal ein bisschen vor, Q1 bis 01:15:09.030 --> 01:15:09.750 Qn. 01:15:10.130 --> 01:15:11.790 Ich habe das mal ein bisschen verallgemeinert. 01:15:14.450 --> 01:15:20.870 Das können Winkel sein, das können irgendwelche Längskoordinaten sein, 01:15:21.150 --> 01:15:21.730 je nachdem. 01:15:22.730 --> 01:15:25.010 Dann wissen wir, 01:15:32.390 --> 01:15:48.650 rSj ist rSj abhängig von Q1 bis Qn. 01:15:50.370 --> 01:15:56.130 Unter Umständen hängt der Ortsvektor auch noch explizit von der Zeit 01:15:56.130 --> 01:15:56.430 ab. 01:15:57.710 --> 01:16:02.770 Wenn ich irgendwelche Zwangsbewegungen noch mit vorgebe, dann kann das 01:16:02.770 --> 01:16:03.690 durchaus auftreten. 01:16:04.590 --> 01:16:06.330 Also eventuell auch von der Zeit. 01:16:11.870 --> 01:16:16.290 Genauso Delta Vj. 01:16:24.520 --> 01:16:30.340 Also, wir haben rSj als Funktion der einzelnen Freiheitsgrade und der 01:16:30.340 --> 01:16:30.660 Zeit. 01:16:30.960 --> 01:16:34.540 Und jetzt haben wir gesehen, die einzelnen Freiheitsgrade, die kann 01:16:34.540 --> 01:16:35.600 ich virtuell verändern. 01:16:35.600 --> 01:16:38.100 Die Zeit, die steht still. 01:16:38.840 --> 01:16:40.140 Die verändere ich nicht virtuell. 01:16:41.560 --> 01:16:55.280 Also ist dann Delta rSj gerade drSj nach dQ1 mal der virtuellen 01:16:55.280 --> 01:16:58.520 Änderung von Q1. 01:17:00.160 --> 01:17:07.040 Wenn ich Q1 virtuell ändere, dann sind die Änderungen der 01:17:07.040 --> 01:17:09.900 Ortsvektoren, die hängen dann davon ab. 01:17:10.060 --> 01:17:14.180 Und wie die davon abhängen, das sagt ja gerade die Abhängigkeit von 01:17:14.180 --> 01:17:15.920 rSj von Q1. 01:17:17.740 --> 01:17:23.100 Plus, jetzt kann ich aber gleichzeitig auch das Q2 ein bisschen 01:17:23.100 --> 01:17:23.980 virtuell verändern. 01:17:24.980 --> 01:17:27.900 In der Mathematik wird man sagen, variieren. 01:17:29.480 --> 01:17:38.820 Es geht genauso, drSj nach dQ2, Delta Q2. 01:17:40.060 --> 01:17:49.600 Bis letztendlich drSj nach dQn mal Delta Qn. 01:17:50.600 --> 01:17:58.200 Bei den virtuellen Verrückungen kann ich das ähnlich machen. 01:17:59.320 --> 01:18:12.260 Also Delta Vj ist dann irgendwas mal Delta Q1 plus irgendwas mal Delta 01:18:12.260 --> 01:18:18.760 Q2 plus bis irgendwas mal Delta Qn. 01:18:18.760 --> 01:18:23.960 Also ich drücke alle virtuellen Änderungen von Winkeln und 01:18:23.960 --> 01:18:29.120 Schwerpunktverrückungen aus über die virtuellen Änderungen der 01:18:29.120 --> 01:18:30.300 Freiheitsgrade. 01:18:32.520 --> 01:18:37.180 Und jetzt kann ich das, wie gesagt, bei mehreren Körpern müssen wir 01:18:37.180 --> 01:18:39.900 hier noch summieren, an der Stelle einsetzen. 01:18:40.680 --> 01:18:46.280 Und jetzt sieht man, wenn ich das einsetze, dann kann ich das formal 01:18:46.280 --> 01:18:47.160 sortieren. 01:18:47.160 --> 01:18:51.920 Also einsetzen und 01:18:55.780 --> 01:18:59.200 sortieren ergibt 01:19:04.220 --> 01:19:16.020 dann, ich sortiere alles, was das Delta Q1 beinhaltet. 01:19:19.300 --> 01:19:25.080 Plus und dann habe ich alles, was das Delta Q2 beinhaltet. 01:19:33.320 --> 01:19:36.840 Bis alles, was das Delta Qn beinhaltet. 01:19:37.500 --> 01:19:39.840 Nun rechts habe ich die Null stehen, auch wenn ich summiere. 01:19:40.800 --> 01:19:42.300 Also rechts steht nach wie vor die Null. 01:19:45.460 --> 01:19:49.040 Und jetzt kommt der gleiche Schluss, wie beim Prinzip der virtuellen 01:19:49.040 --> 01:19:50.040 Arbeit, das Sie kennen. 01:19:50.660 --> 01:19:52.940 Ich weiß nicht, wie Sie es ausgewertet haben, ob Sie es immer nur für 01:19:52.940 --> 01:19:57.100 eine Lagerreaktion bestimmt haben. 01:19:58.340 --> 01:20:04.460 Dann hat man praktisch das alles nicht, hat nur ein Delta Q, das 01:20:04.460 --> 01:20:05.940 praktisch zugelassen ist. 01:20:06.460 --> 01:20:09.140 Hat dann den Vorfaktor, wenn das Null sein muss. 01:20:09.140 --> 01:20:12.080 Dann kommt jetzt die Schlussweise, wenn man nur eine Größe hat, dann 01:20:12.080 --> 01:20:13.520 hat man all das hier nicht. 01:20:14.440 --> 01:20:18.420 Dann folgert man, das ist zwar klein, aber ungleich Null. 01:20:18.980 --> 01:20:22.400 Das heißt, die Null wird nur erreicht, wenn der Vorfaktor 01:20:22.400 --> 01:20:23.020 verschwindet. 01:20:24.660 --> 01:20:29.100 Bei uns wird es jetzt ein bisschen anspruchsvoller, weil wir haben ja 01:20:29.100 --> 01:20:31.300 mehrere Größen, die wir ändern können. 01:20:32.180 --> 01:20:37.740 Jetzt sind aber die Änderungen der Freiheitsgrade, die virtuellen, die 01:20:37.740 --> 01:20:38.540 sind ja beliebig. 01:20:38.540 --> 01:20:39.920 Die hängen nicht voneinander ab. 01:20:41.860 --> 01:20:47.440 Das heißt, wenn diese Gleichung gelten soll, für alle möglichen 01:20:47.440 --> 01:20:52.420 Kombinationen der Delta Qs und alle möglichen Größen der Delta Qs, 01:20:53.480 --> 01:20:54.920 dann geht das nur, 01:21:02.180 --> 01:21:06.940 also nur möglich, 01:21:10.790 --> 01:21:22.290 wenn der Vorfaktor für sich gleich Null ist, der Vorfaktor für sich 01:21:22.290 --> 01:21:25.850 gleich Null und so weiter bis hin zu dem hier. 01:21:28.170 --> 01:21:34.790 Also all die Vorfaktoren der Änderungen der virtuellen, unserer 01:21:34.790 --> 01:21:36.670 Freiheitsgrade, die müssen Null sein. 01:21:37.510 --> 01:21:39.270 Man sieht, wir haben N Freiheitsgrade. 01:21:39.830 --> 01:21:50.370 Das gibt natürlich dann gerade N Bewegungsgleichungen. 01:21:54.010 --> 01:21:57.550 Gibt es soweit Fragen? 01:22:04.210 --> 01:22:05.850 Das scheint nicht der Fall zu sein. 01:22:05.950 --> 01:22:06.550 Also wie gesagt, 01:22:10.320 --> 01:22:15.660 wir haben jetzt heute zunächst mal die räumliche Bewegung des starren 01:22:15.660 --> 01:22:19.620 Körpers auch im Sinne von Mehrkörpersystemen abgeschlossen. 01:22:20.380 --> 01:22:24.080 Man muss praktisch zunächst mal für jeden Einzelkörper die 01:22:24.080 --> 01:22:27.120 entsprechende Kinematik bestimmen, man muss dann die Kinetik anwenden. 01:22:27.660 --> 01:22:31.820 Das ergibt für jeden Körper bei einer räumlichen Bewegung sechs 01:22:31.820 --> 01:22:33.220 skalare Gleichungen. 01:22:33.800 --> 01:22:36.300 Das heißt, wenn wir ein entsprechendes Mehrkörpersystem haben, 01:22:36.460 --> 01:22:38.060 erhalten wir sehr viele Gleichungen. 01:22:39.820 --> 01:22:44.480 Jedem Studenten oder jeder Studentin wäre dann wahrscheinlich klar, da 01:22:44.480 --> 01:22:47.760 noch irgendwelche Informationen rauszuziehen. 01:22:47.760 --> 01:22:51.280 Dann müssen wir numerisch integrieren im Allgemeinen, weil ja die 01:22:51.280 --> 01:22:52.620 Gleichungen auch gekoppelt sind. 01:22:55.440 --> 01:22:59.460 Wenn wir die Gleichungen mit Bleistift und Papier herleiten, wie wir 01:22:59.460 --> 01:23:02.260 das machen, dann ist es gut, um die Mechanik zu verstehen. 01:23:02.420 --> 01:23:06.400 Das ist aber bei einem etwas komplizierteren Mehrkörpersystem durchaus 01:23:06.400 --> 01:23:08.380 sehr anstrengend und aufwendig. 01:23:08.920 --> 01:23:12.000 Dann müssten wir die Gleichungen auch noch übertragen auf den Rechner 01:23:12.000 --> 01:23:14.940 und die entsprechenden Differenzialgleichungen programmieren. 01:23:16.000 --> 01:23:19.180 Das macht man heutzutage alles dann praktisch automatisch. 01:23:19.340 --> 01:23:23.620 Man sollte aber immer wissen, wenn man solche Programme anwendet, was 01:23:23.620 --> 01:23:24.100 man macht. 01:23:26.000 --> 01:23:31.540 Dann haben wir gesehen, die Zahl der Bewegungsgleichungen, die stimmt 01:23:31.540 --> 01:23:39.340 nicht unbedingt mit der Zahl der Körper, beziehungsweise sechsmal Zahl 01:23:39.340 --> 01:23:43.080 der Körper überein, sondern ist im Allgemeinen sehr viel kleiner, weil 01:23:43.080 --> 01:23:44.160 Zwangsbedingungen vorliegen. 01:23:44.160 --> 01:23:48.160 Und entsprechende Zwangskräfte und Zwangsmomente auftreten, die wir 01:23:48.160 --> 01:23:53.460 bei der Newton-Euler'schen Vorgehensweise, wenn wir Impuls und 01:23:53.460 --> 01:23:56.280 Realsatz auswerten, eliminieren müssen. 01:23:57.300 --> 01:24:00.880 Und wir haben jetzt mal begonnen, wie sieht es aus, gibt es Methoden, 01:24:01.540 --> 01:24:05.620 bei denen man diese Zwangskräfte und Zwangsmomente zunächst mal gar 01:24:05.620 --> 01:24:09.260 nicht berücksichtigen muss, um eben gleich auf die entsprechenden 01:24:09.260 --> 01:24:10.720 Bewegungsgleichungen zu kommen. 01:24:11.340 --> 01:24:14.040 Das erste, was wir jetzt hatten, ist eng verwandt mit dem Prinzip der 01:24:14.040 --> 01:24:18.020 virtuellen Arbeit, dass wir nämlich virtuelle Verrückungen anbringen, 01:24:18.140 --> 01:24:19.980 so wie das System das zulässt. 01:24:23.320 --> 01:24:26.400 Die Schwierigkeit, die man dann noch hat, ist, na gut, was ist eine 01:24:26.400 --> 01:24:27.200 virtuelle Verrückung? 01:24:27.280 --> 01:24:28.580 Ich habe es versucht zu erklären. 01:24:29.380 --> 01:24:34.840 Wenn irgendwelche Zwangsbedingungen noch zeitabhängig sind, dann 01:24:34.840 --> 01:24:39.720 bedeutet dies für festgehaltene Zeit, diejenigen, die schon mal was 01:24:39.720 --> 01:24:43.840 von Variationsrechnung gehört haben, solche virtuellen Änderungen, das 01:24:43.840 --> 01:24:48.220 sind ja Variationen, dann bedeutet das bei uns, die Zeit wird nicht 01:24:48.220 --> 01:24:53.280 variiert, die wird festgehalten, nur die Freiheitsgrade werden 01:24:53.280 --> 01:24:57.460 variiert und werden dann gesehen, wenn wir das konsequent anwenden, 01:24:58.180 --> 01:25:04.400 dann leisten die Zwangskräfte und Zwangsmomente in der Summe bei der 01:25:04.400 --> 01:25:07.980 virtuellen Arbeit keinen Beitrag, die entfallen also aus den 01:25:07.980 --> 01:25:08.460 Gleichungen. 01:25:09.480 --> 01:25:12.080 Und wenn wir dann noch hergehen und die einzelnen virtuellen 01:25:12.080 --> 01:25:15.640 Verrückungen und Verdrehungen ausdrücken über die virtuellen 01:25:15.640 --> 01:25:19.380 Änderungen der Freiheitsgrade, die dann unabhängig voneinander sind, 01:25:19.800 --> 01:25:23.940 dann gelingt es uns wirklich, wenn wir das alles sortieren, direkt n 01:25:23.940 --> 01:25:29.300 Bewegungsgleichungen herzuleiten, wobei dann n natürlich die Zahl der 01:25:29.300 --> 01:25:30.760 Freiheitsgrade des Systems ist. 01:25:30.760 --> 01:25:35.640 Wenn es keine Fragen mehr gibt, dann sind wir heute eine Minute 01:25:35.640 --> 01:25:38.400 früher, am Ende der Vorlesung, ich wollte jetzt aber nichts Neues 01:25:38.400 --> 01:25:38.800 anfangen. 01:25:39.540 --> 01:25:44.980 Wir sehen uns nächsten Dienstag wieder, dann bei zwei 01:25:44.980 --> 01:25:45.820 Vorlesungsblöcken. 01:25:46.080 --> 01:25:46.460 Vielen Dank.