So, meine Damen und Herren, ich darf Sie ganz herzlich begrüßen zur
heutigen TM4-Vorlesung.
Vermutlich bin ich ja den meisten hier nicht ganz unbekannt.
Nichtsdestotrotz haben Sie vermutlich jemand anderes erwartet.
Für diejenigen, die normalerweise in der oberen Übung sind, stelle ich
mich auch noch kurz vor.
Mein Name ist Tim Leister.
Ich werde heute den Prof. Seemann vertreten in der Vorlesung.
Und wir werden auch an genau derselben Stelle fortfahren, an der in
der letzten Woche aufgehört wurde.
Sie haben in der Vorlesung gelernt, wie man mit verschiedenen
analytischen Methoden die Bewegungsgleichungen eines mechanischen
Systems bestimmen kann.
Vor allem ging es dann in den letzten Vorlesungen um die sogenannten
Lagrange -Gleichungen zweiter Art.
Dazu haben Sie dann auch ganz am Ende der letzten Vorlesung schon ein
kleines Beispiel gerechnet.
Das war so ein physikalisches Pendel, wo man dann eben die
Bewegungsgleichung durch diese Lagrange-Beschreibung bestimmen konnte.
Wir schauen uns jetzt heute noch zwei weitere Beispiele an, wie man
bei verschiedenen Systemen davon profitieren kann, dass man eben nicht
nur durch gewöhnliches Freischneiden, sondern auch über so eine
analytische Herangehensweise rechnet, was in vielen Fällen eben
schneller und einfacher geht.
So, ich mache das jetzt hier praktisch im Übungsstil, auch auf diesem
Visualizer.
Ich nehme an, Sie können das dann genauso gut sehen wie an der Tafel.
Wie gesagt, in der letzten Vorlesung, bloß nochmal der Vollständigkeit
halber, was da auch eben reinpasst zu den Lagrange-Gleichungen zweiter
Art, war das physikalische Pendel.
Was wir uns jetzt heute anschauen in dieser Vorlesung, das ist ein
Pendel mit einer federgestützten Buchse.
Da kann sich jetzt wahrscheinlich niemand was darunter vorstellen,
deshalb zeige ich natürlich auch gleich die zugehörige Skizze.
Also das System ist folgendermaßen zu verstehen, ich erkläre das jetzt
kurz, während Sie es vielleicht schnell abzeichnen.
Das System ist so zu verstehen, wir haben unten einen Lagerpunkt O, da
ist dieses Pendel drehbar gelagert, also es ist praktisch so eine Art
Überkopfpendel, was dann wie ein Metronom praktisch nach links und
rechts schwingt.
Die Gewichtskraft wird nichtsdestotrotz vernachlässigt in diesem Fall.
Was wir uns aber anschauen, ist dann oben an diesem Pendel, da ist die
besagte Buchse, beziehungsweise die Schiebehülse befestigt, die auf
diesem Pendel gleiten kann und diese Buchse wiederum, die ist an der
Umgebung abgestützt, nämlich nach links und nach rechts mit jeweils
einer linearen Feder der Steifigkeit c halbe.
Und dann geben wir jetzt vor zur geometrischen Beschreibung des
Systems, dass wir eine gewisse Höhe a, also diesen Abstand vorgeben
und als konstant betrachten.
Das heißt, wir sagen, während der gesamten Betrachtung, während der
gesamten Rechnung, sei dieser Abstand a konstant.
Wie auch immer das nachher bewerkstelligt wird in der Konstruktion, da
schauen wir dann nachher mal drauf, aber als Grundannahme sei a ein
konstanter Abstand.
Also das immer im Hinterkopf behalten.
Und jetzt brauchen wir natürlich auch noch, ist bereits eingezeichnet,
irgendeine Koordinate, die uns die Lage des Systems, den Zustand des
Systems beschreibt.
Und dafür haben wir uns jetzt hier den Winkel V ausgesucht.
Das bietet sich bei solchen Pendeln ja immer an, dass man dann über
diesen Winkel V die Position des Pendels beschreibt.
Alles andere, wenn man es sich mal kinematisch überlegt, das ergibt
sich ja dann aus dem Winkel V.
Also insgesamt haben wir dann eben, wenn sich die Hülse da frei mit
verschiebt und die Höhe a gewahrt bleibt, haben wir insgesamt einen
Freiheitsgrad in diesem System.
Das steht übrigens immer an erster Stelle bei einer solchen Aufgabe,
dass man sich wirklich mal Gedanken macht, wie viele Freiheitsgrade
habe ich denn.
Und dann natürlich, was unmittelbar daraus resultiert, wenn man mit
den Lagrangian-Gleichungen arbeitet, ist dann die Frage, wie viele
generalisierte oder verallgemeinerte Koordinaten gibt es.
Und da haben wir eben jetzt bei einem Freiheitsgrad natürlich auch
bloß eine, also unser N in den allgemeinen Formen wird dann eben zu 1.
Und, was auch schön offensichtlich ist, diese Koordinate, diese
verallgemeinerte Q1, die wird eben jetzt identifiziert als unser
Winkel V, über den wir den gesamten Zustand des Systems vollständig
beschreiben können.
So, ich hoffe, Sie sind soweit vorangekommen mit dem Abzeichnen des
Systems.
Dann würden wir nämlich gerade jetzt weitergehen.
Ich gehe ein kleines bisschen zurück.
Und dann wollen wir uns mal überlegen, wie wir jetzt mit unserer neu
gelernten Methodik, also mit den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art,
die Bewegungsgleichung dieses Systems berechnen können.
So, jetzt war es ja so bei den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art, da
taucht ja immer diese sogenannte Lagrange-Funktion Groß-L auf, die ja
per Definition zusammengesetzt ist aus der kinetischen Energie des
Systems minus der potenziellen Energie.
Also das ist immer die erste Sache, über die man sich Gedanken machen
muss.
Und dann gucken wir uns das doch mal konkret an, wie das jetzt im
vorliegenden System aussieht.
Also beginnen wir hier mit der kinetischen, also mit der
Bewegungsenergie.
Und da überlegen wir uns jetzt mal in diesem vorliegenden System, was
hat er überhaupt, kinetische Energie.
Klar, das kann bloß all das sein, was irgendwie eine Masse besitzt.
Wir nehmen an, diese kleine Schiebehülse, diese Buchse sei masselos.
Das heißt, die einzige kinetische Energie wird wohl in diesem Pendel
und in dessen Bewegung stecken.
Und dazu nehmen wir jetzt einfach an, wir kennen hier dieses
Trägheitsmoment J0 bezüglich dieses Lagerpunktes.
Und müssen dann noch, um die Energie zu bekommen, das Ganze mit der
jeweils vorliegenden Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt zum Quadrat
multiplizieren und kriegen dann auf diese Weise auch schon den
vollständigen Ausdruck für die kinetische Energie des Gesamtsystems.
Jetzt im nächsten Schritt brauchen wir natürlich auch noch die
potenzielle Energie.
Jetzt überlegen wir uns mal, wo könnte das überall herkommen.
Das könnte natürlich vom schwere Feld der Erde kommen, wird ja in
diesem Fall aber, wie angesprochen, vernachlässigt.
Das heißt, da müssen wir erstmal keinen Term mit reinnehmen.
Hingegen haben wir zwei Federn, die natürlich auch jetzt in diesem
Fall mit einem entsprechenden Potenzial vorliegen.
Das heißt, da haben wir dann über die Federn eben dann doch eine
potenzielle Energie.
Insgesamt haben wir zwei Federn.
Jetzt gucken wir mal die eine Feder.
Fangen wir an mit der auf der rechten Seite.
Hat natürlich dann ein Halbmal die Steifigkeit.
Steifigkeit war auch gerade C Halbe mal die Längenänderung der Feder
Delta L zum Quadrat.
Das gleiche gilt logischerweise auch für die linke Feder.
Auch da haben wir dann ein Halbmal die Steifigkeit C Halbe mal die
Längenänderung Delta L zum Quadrat.
Die Längenänderung, klar wenn man sich überlegt, das Pendel wird aus
der Mittellage nach rechts ausgelenkt.
Dann wird natürlich die rechte Feder verkürzt und die linke
verlängert.
Nichtsdestotrotz ist das Delta L natürlich das gleiche.
Und man sieht jetzt auch, wenn man das Ganze zusammenfasst, also wenn
man die Summe hier dann so hinschreibt, ein Halb C Delta L Quadrat,
dann sieht man auch, dass das, was auf den ersten Blick vielleicht wie
eine Reihenschaltung anmuten könnte, in Wirklichkeit eine
Parallelschaltung ist.
Das heißt eben, dass durch diese beiden Federn, eine links, eine
rechts, insgesamt die Steifigkeit verdoppelt wird.
Das heißt, hier haben wir jetzt unser Gesamtfederpotenzial stehen,
also die potenzielle Energie, die daraus resultiert.
Und jetzt ist natürlich noch die Frage, wie sieht denn das Delta L
konkret aus, also wie werden die Federn denn jetzt konkret verkürzt
oder verlängert.
Das Ganze können wir uns da oben in der Skizze, denke ich, auch
relativ einfach klar machen.
Wir starten jetzt einfach mal hier an dieser aktuellen Lage des
Pendels und dann sehen wir natürlich, dass hier über diese Länge
letztendlich, über diesen Abstand, dass damit unser Delta L
identifiziert wird.
Und wenn wir jetzt dieses Delta L hier schon so schön hingezeichnet
haben, können wir das natürlich auch noch trigonometrisch ausdrücken,
indem wir einfach feststellen, okay, der Tangens V dieses Winkels hier
entspricht gerade Delta L durch diesen konstant vorgegebenen Abstand A
und das Ganze nach Delta L umgeformt, setzen wir jetzt ein in unsere
potenzielle Energie und bekommen dann insgesamt ein Halb C A Quadrat
mal Tangens Quadrat 4.
Das ist insgesamt dann die vorliegende potenzielle Energie im
Gesamtsystem, ansonsten tritt nichts weiteres mehr auf.
Das heißt, wir können jetzt auch schon hergehen und das Ganze
zusammenschreiben zu unserer Lagrange-Funktion Groß L.
Die ergibt sich dann eben zu ein Halb mal J0 V Punkt Quadrat minus ein
Halb C A Quadrat Tangens Quadrat 4.
Das ist der erste Schritt, der eigentlich immer am Beginn einer
solchen Aufgabe steht und wenn wir jetzt dann weitergehen, bietet es
sich vielleicht an, sich mal wirklich anzuschauen, was denn in der
letzten Vorlesung hergeleitet wurde, wie denn diese Lagrange-Gleichung
zweiter Art wirklich aussah.
Ich schreibe die jetzt gerade nochmal hin, das heißt in der hier
vorliegenden Form mit einem Freiheitsgrad haben wir natürlich auch
bloß eine skalare Gleichung und die schreibt sich hier als
Zeitableitung von der partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach
dieser ersten Zeitableitung der ersten Koordinate, also nach V Punkt
in dem Fall, minus der partiellen Ableitung der Lagrange-Funktion nach
dem Winkel V selbst.
Und dann haben wir ja auf der rechten Seite dieser Gleichung jetzt in
dem Fall noch Groß-Q-V stehen, das heißt eben die generalisierte oder
verallgemeinerte Kraft, die zu dieser verallgemeinerten Koordinate
gehört.
Jetzt überlegen wir uns mal, wie war das denn bei diesen Lagrange
-Gleichungen zweiter Art, werden das ja dann zu Beginn immer so
hingeschrieben in der Herleitung, dass da auf der linken Seite bloß
das Groß-T, also bloß die kinetische Energie auftaucht und rechts dann
praktisch die ganzen verallgemeinerten und generalisierten Kräfte, die
von den eingeprägten Kräften herkommen.
Jetzt in dem Fall sind wir ja schon einen Schritt weiter, haben
praktisch die ganzen Kräfte, die von Potenzialen her rühren, bereits
links mit reingepackt über diese erweiterte Lagrange-Funktion und
haben jetzt dementsprechend eigentlich rechts bloß noch die
generalisierten Kräfte zu berücksichtigen, die von potenziallosen
eingeprägten Kräften kommen.
Das könnte beispielsweise ein Dämpfer sein, also eine Dämpfungskraft,
hat eben im allgemeinen Fall kein zugehöriges Potenzial.
Das heißt, dann müsste man da rechts noch entsprechend den Term
berücksichtigen.
Jetzt in dem Fall überlegen wir uns, das Einzige, was so eingeprägt
auf das Pendel wirkt, das waren eigentlich die Federkräfte und die
sind im Potenzial ja schon drin.
Das heißt, hier haben wir jetzt einfach gleich Null.
Ich kann noch als Begründung dazuschreiben, da keine weiteren
potenziallosen Kräfte.
Also man könnte natürlich auch den Aufwand betreiben und die
Federkräfte da rechts mit reinpacken und dann links im Potenzial
weglassen, ist allerdings im Allgemeinen nicht die Mühe wert und
bringt auch keinen nennenswerten Vorteil.
Insofern machen wir das einfach so und haben dann jetzt insgesamt die
hier gültige Gleichung vorliegen für den betrachteten Fall.
Und jetzt müssen wir natürlich bloß noch hergehen und die einzelnen
Teile des Terms wirklich ausrechnen.
Glücklicherweise kennen wir die Lagrange-Funktion selbst schon.
Das heißt, wir können jetzt einfach uns Stück für Stück daran machen,
bilden dann üblicherweise im ersten Schritt diese partielle Ableitung
nach V-Punkt.
Dann gucken wir uns mal die Lagrange-Funktion hier an.
Es ist jetzt immer wichtig zu wissen, dass wenn man nach V-Punkt
partiell ableitet, dass dann das V die Rolle einer Konstanten annimmt.
Also wir dürfen uns nicht verwirren lassen und irgendwie denken, das V
-Punkt und das V, das hängt ja irgendwie zusammen.
In Wirklichkeit sind die bei der Betrachtung wirklich zwei
unterschiedliche Variablen.
Das heißt, wir gucken uns wirklich bloß die Terme an, wo wirklich das
V -Punkt als solches direkt drinsteht.
Und das ist jetzt bei der Lagrange-Funktion hier bloß in diesem ersten
Symanten der Fall.
Das heißt, wir kriegen jetzt hier, wenn man nach V-Punkt partiell
ableitet, J0 V-Punkt.
Das war es soweit schon.
Und jetzt natürlich, um die Lagrange-Funktion dann richtig aufstellen
zu können, brauchen wir die Zeitableitung von dem Ganzen.
Also den gebundenen Ausdruck hatten wir nach der Zeit abgeleitet.
Und jetzt haben wir ein konstantes Dreikreismoment, J0, und können
dementsprechend hier dann das Ergebnis finden, J0 V-Punkt.
Damit haben wir den linken Teil dieser Lagrange-Gleichung bereits
gelöst.
Wir müssen jetzt noch nach dem rechten Teil gucken.
Das sah ja aber grundsätzlich erst einmal recht ähnlich aus.
Da müssen wir eine partielle Ableitung bilden, diesmal allerdings nach
dem Winkel V direkt.
Und auch da wieder der Hinweis, wir suchen jetzt bloß nach dem Winkel
V, wenn er als V dasteht, und kümmern uns nicht um das V-Punkt, weil
das eben eine andere Variable ist.
Das heißt, in dem Fall, wenn nach V abgeleitet wird, ist dieser linke
Teil der Lagrange-Funktion nicht relevant.
Und wir gucken jetzt bloß, wie wir den rechten Teil ableiten können.
Schauen wir mal, da stand ja minus ein halb CA-Quadrat.
Jetzt wird es etwas schwieriger, jetzt müssen wir hier dieses
Tankensquadrat V noch nach V ableiten.
Da kommt jetzt erst einmal die Kettenregel ins Spiel, also wir müssen
dann praktisch die zwei nach vorne ziehen, kriegen dann zwei Tankens V
als die äußere Ableitung.
Jetzt müssen wir noch rechnen, mal der inneren Ableitung.
Die Frage ist natürlich, was ist denn die Ableitung von Tankens V nach
V.
Und da, entweder man weiß es oder man leitet es sich kurz her, kommt
eben dann raus, 1 durch Cosinus Quadrat V.
Das heißt, dann haben wir diese partielle Ableitung jetzt schon mal
hingeschrieben, können das Ganze noch ein bisschen vereinfachen.
So ein halb mal zwei fällt natürlich weg.
Und jetzt machen wir folgendes, weil es nachher dann schöner
vergleichbar wird.
Jetzt schreiben wir einfach diesen Tankens V, schreibt man um als
Sinus V durch Cosinus V und bekommen dann insgesamt Sinus V durch
Cosinus hoch 3V.
Das ist diese Ableitung.
Und jetzt sind wir schon so gut wie fertig.
Jetzt müssen wir eigentlich bloß noch die verschiedenen Ausdrücke
einsetzen in diese Lagrange-Gleichung und kommen dann auf folgendes,
nämlich J0 V Punktpunkt plus Ca Quadrat Sinus V durch Cosinus hoch 3V
gleich 0 und haben damit dann schon, was wir eigentlich wollten,
nämlich unsere Bewegungsgleichung für das System, die eben hier
geschrieben steht, in der Koordinaten V.
Das ist unsere Bewegungsgleichung.
Und Sie haben jetzt gesehen, das ging doch erstaunlich schnell für so
ein komplizierter System.
Also wir haben ja da das Pendel gehabt, wir haben diese verschiebbare
Hülse gehabt, wir haben zwei Federn gehabt und nichtsdestotrotz haben
wir jetzt relativ flott hier unsere nicht-lineare Bewegungsgleichung
hingeschrieben.
Vielleicht sind manche noch etwas misstrauisch, ob dieser neuen
Methode, ob das denn wirklich so schnell gehen kann, wo man doch
früher immer diesen Aufwand mit dem Freischneiden und mit den
dynamischen Kräftegleichgewichten getrieben hat.
Deshalb tun wir jetzt folgendes.
Wir überprüfen das Ganze einfach mal.
Wir überprüfen die Bewegungsgleichung, indem wir sie nochmal herleiten
mit einem altbekannten Prinzip, nämlich mit dem Prinzip von d
'Alembert.
Also Überprüfung mit dem Prinzip von d'Alembert.
Und um das Prinzip von d'Alembert richtig anzuwenden, brauchen wir
natürlich wie immer erstmal einen zugehörigen Freischnitt.
Den Freischnitt machen wir jetzt einfach mal, indem wir hier das
Pendel hinzeichnen.
So, das war das Pendel selbst.
Jetzt überlegen wir mal, wenn wir nach d'Alembert freischneiden, was
brauchen wir denn alles?
Wir brauchen natürlich die entsprechenden Zwangskräfte oder
Zwangsmomente.
Jetzt in dem Fall haben wir einfach an diesem Lagerpunkt unten zwei
Zwangskräfte.
Zeichnen wir die eine mal vertikal, die andere horizontal und nennen
die dann entsprechend nach diesem Punkt OX und OY.
Also das sind unsere Zwangskräfte.
Dann, was haben wir denn an eingeprägten Kräften?
Gut, da hat man im Prinzip jetzt bloß, was von den Federn herkam und
da hat man ja dann gesagt, wenn man da unten an diesem Punkt hier
irgendwo startet, dann gehen wir hier bis auf eine gewisse Höhe und
diese gewisse Höhe, die hat man uns ja per Aufgabenstellung
vorgeschrieben als ein konstantes A.
Und in dieser Höhe, da waren ja dann auch gerade diese Federn.
Wenn man sich jetzt überlegt, eine links, eine rechts und wenn man das
Pendel nach rechts auslenkt, dann wirken natürlich beide Federn dieser
Bewegung entgegen.
Das heißt, die Federkräfte sind beide nach links gerichtet und jeweils
vom Betrag C halbe Delta L mit wieder Delta L dieser Längenänderung
der Federn.
Können wir auch nochmal hinschreiben, dass wir es vollständig haben,
das Ganze.
Also wie gesagt, Delta L, wenn man es schon umgeformt hat, ist dann
eben das konstante A mal der Tangens 4.
Das wird man nicht vergessen, braucht man später immer wieder zum
Einsetzen.
Was fehlt jetzt noch an der Dallon-Bär?
Wir haben noch keine Trägheiten eingezeichnet.
Gut, wir können jetzt im Prinzip, wenn man es hier auf diesen
Lagerpunkt alles umrechnet, mit dem Satz von Steiner, haben wir auch
schon so vorgegeben als J0, dann können wir das eben hier als diese
Drehträgheit noch hinzeichnen.
Also entgegen der positiven Phi-Richtung haben wir dann hier das
Trägheitsmoment J0 Phi Punkt Punkt mit eben, ich mache es nochmal
deutlich, an der Stelle, da hat man ja dann gerade den Winkel Phi, der
die Lage des Pendels beschreibt.
Und ja, jetzt können wir im Prinzip hergehen und wie das so üblich war
bei der Methode nach Dallon-Bär, wir können das dynamische
Gleichgewicht aufstellen in dem Moment, wo man es jetzt so vorliegen
hat, dass sich ja alles um einen raumfesten Punkt dreht, kann man auch
gutes Momentengleichgewicht direkt benutzen, bietet sich ja sehr an.
Tun wir das mal, bilanzieren hier um diesen Lagerpunkt, dann fallen
natürlich schon mal die Zwangskräfte raus, was immer gut ist.
Wenn wir dann gegen den Uhrzeigers in die positive Richtung setzen,
dann kriegen wir ja folgendes, die Trägheit J0 Phi Punkt Punkt.
Jetzt überlegen wir uns noch von diesen Federkräften, klar in Summe
gerade C mal Delta L und der Hebelarm dazugehörig in Bezug dieses
Punktes ist ja gerade der vorgegebene Abstand A, das heißt eben
Hebelarm A mal die resultierende Federkraft C mal Delta L gleich 0 und
dann können wir natürlich auch hier das Delta L wieder substituieren
durch den trigonometrischen Zusammenhang und bekommen dann insgesamt
J0 Phi Punkt Punkt plus CA Quadrat Sinus Phi durch Cosinus Phi, also
durch den Tangens, gleich 0 und haben damit auch hier jetzt wieder die
Bewegungsgleichung geschrieben und
fragen uns jetzt natürlich, haben wir durch diese Überprüfung mit dem
Prinzip von d'Alembert, wie vielleicht ursprünglich erhofft,
tatsächlich dieselbe Bewegungsgleichung gefunden, wie mit den
Lagrangian Gleichungen zweiter Art.
Der Ingenieur sagt nach grobem Überschlag, es passt.
Ich sehe eigentlich schon einen deutlichen Unterschied zwischen diesen
beiden Bewegungsgleichungen.
Wenn man sich mal hier dieses Cosinus Phi anschaut, dann fällt ja
schon auf, dass hier irgendwie nichts steht und hier allerdings noch
ein Cosinus hoch 3 Phi, was durchaus einen Unterschied macht in der
Bewegungsgleichung.
Da stellt sich jetzt natürlich die Frage, was ist hier passiert, haben
wir vielleicht irgendwo einen Rechenfehler gemacht oder haben wir
eines der Prinzipien falsch angewandt oder kann das sogar physikalisch
sein, dass zwei unterschiedliche, zwei verschiedene
Bewegungsgleichungen vielleicht beide gleichzeitig richtig und gültig
sind.
Das ist jetzt die Frage, die sich uns stellt.
Also wir haben jetzt erstmal hier die missliche Lage, dass wir hier
mit zwei eigentlich in der Vorlesung schon als richtig bewiesenen
Methoden, dass wir hier zwei unterschiedliche Ergebnisse gefunden
haben.
Na gut, dann überlegen wir uns nochmal genauer, was wir eigentlich
getan haben.
Gehen wir nochmal ein bisschen mehr ins Detail und überlegen uns,
woran das liegen könnte.
Daher erstmal die Frage, worüber wurde noch nicht nachgedacht.
Das ist immer so der erste Gedankengang, wenn man auf ein
verwunderliches Ergebnis kommt.
Jetzt überlegen wir uns nochmal, also wir hatten ja von der
ursprünglichen Konstruktion ausgehend, hatten wir gesagt, dieses
Pendel mit der verschiebbaren Hülse und den beiden Federn dran.
Aber bei diesem Freischnitt haben wir da wirklich an die Hülse
gedacht.
Das wäre jetzt doch so die erste Frage.
Also die Federkräfte, die wir hier mal so schön in der kleinen Höhe h
und in der richtigen Richtung eingezeichnet haben, die greifen doch
eigentlich nicht am Pendel, sondern an der Buchse an
und nicht am Pendel selbst.
Also das ist doch mal das Erste, worüber man noch nachdenken sollte.
Und dann vielleicht noch ein ganz wichtiger und noch wichtigerer
zweiter Punkt.
Wie ist denn das eigentlich, wir hatten ja in der ursprünglichen
Aufgabe bloß mal so nebenher gefordert, ja dieser Abstand a, auf dem
sich die Hülse befindet, der soll halt konstant sein, aber so richtig
über die konstruktive Umsetzung haben wir ja noch nicht nachgedacht.
Also man kann sich ja vorstellen, wenn da bloß diese Federn auf der
Höhe gespannt sind, das könnte sich ja trotzdem noch nach unten oder
nach oben verschieben.
Also daran wird im Moment die Hülse nicht gehindert.
Das heißt, wir müssen uns auch mal nach Gedanken machen, wie wird
diese Buchse eigentlich überhaupt konstruktiv
auf dem konstanten Abstand a gehalten.
Also das ist die zweite Frage, die sich uns stellt.
Und jetzt überlegen wir uns doch mal zwei Möglichkeiten, wie das sein
könnte.
Ich denke mal, worauf die meisten zunächst kommen, das wäre dann hier,
was ich als Konstruktionsvorschlag 1 bezeichnen möchte.
Genau um so eine konstante Höhe zu gewährleisten, die die ganze Zeit
erhalten bleibt, bietet es sich doch an, so eine Art Führung zu bauen.
Also man könnte doch jetzt hergehen und sagen, ich hatte hier dieses
Pendel, ich zeichne jetzt mal bloß hier einen gewissen Ausschnitt
davon, also das war das Pendel, wo dann irgendwo zum oberen Bereich,
den wir uns anschauen, wo dann irgendwo diese Buchse läuft, von der
wir ja gefordert haben.
Die soll hier praktisch nach unten dann weitergehend auf diesem
konstanten Abstand a gehalten werden.
Und um die da auch zu halten, können wir doch an die Buchse selbst so
eine Art Zapfen hinbauen.
Man überlegt sich jetzt hier, dieser Zapfen, der wäre an der Buchse
befestigt.
Und dann wiederum bauen wir uns hier eine Führung, also praktisch an
die Umgebung ran, sodass dann dieser Zapfen letztendlich in dieser
Horizontalführung hin und her läuft.
Und wenn dann bloß die Führungsrille hier auf der richtigen Höhe a
hingebaut wird, dann bleibt die Hülse auch garantiert immer auf der
richtigen Höhe.
Also das wäre so eine Möglichkeit, wie man das konstruktiv wirklich
umsetzt, was wir zunächst mal rein formal gefordert haben.
Und dann stellt sich natürlich jetzt die Frage, bei dieser Führung für
die Buchse, was ändert sich denn dann an den eben betrachteten
Methoden?
Na gut, schauen wir zuerst mal die Methode nach Lagrange an und fragen
uns, was ändert sich
bei der Lösung nach Lagrange?
Jetzt überlegen wir mal, was ist denn da alles an Systemkenntnissen
mit reingeflossen in das Aufstellen der Gleichung?
Also wir hatten die kinetische Energie als erstes berechnet und die
kinetische Energie, wo ja bloß das massenbehaftete Pendel eine Rolle
gespielt hat, das wird sich ja sicherlich nicht ändern durch diese
Führung.
Also da tut sich erstmal nichts.
Jetzt überlegen wir uns die potenzielle Energie, also die Federn, die
werden ja eigentlich immer noch auf die gleiche Art und Weise
verlängert und verkürzt.
Erdbeschleunigung haben wir außer Acht gelassen, das heißt auch die
potenzielle Energie wird sich durch diese Führung eigentlich nicht
ändern.
Was ist mit den Q-Phi-Überlegungen?
Da hat man ja gesagt, wir haben eigentlich keine weitere potenziallose
Kraft, haben wir hier im Prinzip auch immer noch nicht, da zählen ja
bloß die eingeprägten Kräfte, hat sich hier durch diese Führung nichts
verändert.
Also das heißt, bei der Lösung nach Lagrange, was ändert sich?
Nichts.
Da haben wir jetzt noch nichts erkannt, zumindest was da irgendwie
fraglich sein könnte.
Das heißt, bei Lagrange halten wir einfach mal daran fest, an unserer
Lösung Nummer 1, also das war ja dann gerade die, wo dieses Cosinus
hoch 3 Phi drin aufgetaucht ist.
Also gut, nennen wir das mal Lösung 1, weil es ja zu der Konstruktion
1 gehört und genau diese Lösung finden wir dann eben jetzt auch mit
dieser Führungsrille.
Na gut, dann machen wir auch die Überprüfungsrechnung nochmal und
stellen uns jetzt analog die Frage, was ändert sich bei der Berechnung
nach d'Alembert?
Und da lohnt es sich jetzt vielleicht mal ein bisschen präziser
hinzuschauen.
Also es ging ja nicht bloß um diese Konstruktion, sondern es ging auch
um die Tatsache, dass wir eigentlich ein Pendel und eine Hülse haben.
Das heißt, wir sollten, wenn wir das sauber hinzeichnen im
Freischnitt, eigentlich auch mal auseinanderziehen und beide separat
betrachten.
Machen wir nochmal den Freischnitt vom Pendel selbst.
Das hatten wir ja wie vorhin eigentlich auch.
Das Pendel erstmal, was unten am Lagerpunkt durch zwei Zwangskräfte
beaufschlagt ist, also nach wie vor hat sich da eigentlich nichts groß
verändert.
Die nennen wir auch wie eben dann einfach wieder OX und OY.
Da hat sich nichts getan.
Wir haben auch nach wie vor zu beschreiben natürlich hier den Winkel
Phi und dementsprechend in den entgegengesetzten Sinn dann das
zugehörige Trägheitsmoment J0 Phi Punkt Punkt.
Und jetzt haben wir, wie gesagt, die Idee gehabt, mal die Hülse
wegzuschneiden von dem Pendel.
Das heißt, wir gehen jetzt nicht einfach her und zeichnen direkt die
beiden horizontalen Federkräfte hin, sondern wir überlegen uns mal,
die Hülse, die rutscht ja reibungsfrei auf diesem Pendel hin und her
und wird dementsprechend bloß eine Normalkraft übertragen vom und zum
Pendel hin.
Ja und diese Normalkraft, die steht ja dann immer senkrecht auf der
Fläche.
Das heißt, in dem Fall eben, müsste man sich die Normalkraft so
vorstellen, die nenne ich jetzt mal hier N1.
Und damit auch hier dann jetzt ja beachtet wird, dass diese Führung
die Hülse wirklich immer auf konstanter Höhe hält, gehen wir natürlich
auch hier wieder davon aus, dass dieser Punkt dann, wo die Hülse sich
gerade befindet, dass dieser Punkt eben gerade im konstanten Abstand A
gehalten wird durch diese konstruktive Führung.
So, damit haben wir eigentlich alles für das Pendel eingezeichnet.
Jetzt brauchen wir auch noch die Hülse, die ist gleich orientiert,
also auch um den Winkel V entsprechend geneigt.
Ich zeichne die mal ein bisschen größer und dicker.
Die sieht so aus.
Jetzt überlegen wir uns, klar, als allererstes birgt natürlich auch
hier die Normalkraft als Gegenkraft dann in den entgegengesetzten
Richtung hin, das heißt auch mit dem gleichen Winkel da hoch
verschoben auf die Hülse in diese Richtung mit dem Betrag N1.
So, was haben wir jetzt noch an dieser Hülse?
Wir haben natürlich da die Federkräfte angreifen, das heißt wir haben
dann, was wir auch vorhin hatten, wenn das Ganze nach rechts
ausgelenkt wird, die nach links entgegenwirkenden Federkräfte, alle
beide, die auch da wieder den Betrag haben, C halbe Delta L mit der
entsprechenden Längenänderung Delta L.
Jetzt fehlt aber noch eins, wir haben ja gesagt, wir sind wirklich
drauf aus, jetzt die Konstruktion zu beachten, die wir uns vorgenommen
haben, das heißt wir müssten hier eigentlich auch nur diesen Zapfen
mal anzeichnen, der ja hier, ich deute es mal so an, in dieser
Führungsrille läuft.
Und durch diese Führungsrille wirkt natürlich auch wieder eine Kraft,
und diese Kraft, in diese Richtung läuft das Ganze reibungsfrei, diese
Normalkraft wirkt dann auch wieder senkrecht auf die Kontaktfläche,
das heißt wir haben eben hier jetzt auf den Zapfen und damit auf die
Hülse wirkend eine weitere Normalkraft, die grundsätzlich eine andere
ist, also N2 genannt wird.
Das Ganze haben wir jetzt für die Hülse gemacht, ich zeichne mir hier
noch der Vollständigkeit halber den Winkel Phi mit ein, also der läuft
dann im positiven Sinn gerade so, wenn die Hülse an dem Pendel
befestigt ist.
Und jetzt machen wir genau das gleiche wie vorhin, nämlich wir werben
das Ganze wieder aus über dynamische Kräftegleichgewichte und das
heißt eben, wir fangen jetzt in dem Fall an mit dem Bilanzieren an der
Hülse.
Wie sieht das Ganze aus?
Wir bilanzieren jetzt einfach mal in horizontaler Richtung.
In horizontaler Richtung zu bilanzieren bringt uns den Vorteil, dass
dann die Normalkraft, die unbekannte N2, nicht auftaucht.
Wir haben dann noch drinstehen die Normalkraft N1 multipliziert mit
dem Cosinus von Phi minus die resultierende von den Federn C mal Delta
L gleich 0.
Das haben wir dastehen und jetzt können wir das Ganze noch
entsprechend umformen, auch das Delta L ersetzen wir einfach wieder
durch A mal Tangens Phi und bekommen ein Zwischenergebnis für die
Normalkraft N1.
AC mal Tangens Phi durch Cosinus Phi und wenn wir jetzt auch wieder
hergehen und den Tangens durch Sinus durch Cosinus ersetzen, schreibt
sich das Ganze als C mal A mal Sinus Phi durch Cosinus Quadrat Phi.
Das heißt also hier haben wir ein Zwischenergebnis für die Normalkraft
N1 berechnet und jetzt müssen wir mit diesem Zwischenergebnis
rübergehen in den linken Freischnitt, also den Freischnitt des Pendels
und sagen jetzt, dass wir auch dort wieder über die entsprechende
Momentenbilanz arbeiten, also auch wieder bezüglich des raumfesten
Lagerungspunktes.
Es bietet sich jetzt hier in dem Fall vielleicht an, für die
Normalkraft einen anderen Hebelarm zu benutzen, weil die einfach auch
anders orientiert liegt.
Das heißt, wir können nicht einfach nur sagen, dass wir hier mit dem
Abstand A arbeiten, sondern müssen uns natürlich Gedanken machen, wie
groß ist der tatsächliche Hebelarm bezüglich dieses Punktes und auch
das kann man mal kurz in der Skizze vielleicht noch andeuten.
Also wenn die Kraft hier senkrecht drauf steht, dann ergibt sich der
Hebelarm natürlich ganz einfach aus diesem Abstand.
Das ist der zugehörige Abstand.
Ja, der ist auch relativ einfach zu identifizieren.
Der ist nämlich dann gerade A, also der Abstand geteilt durch Kosinus
4.
Das ist diese Länge.
Das heißt, damit haben wir dann auch unseren Hebelarm gefunden und
müssen jetzt dann bloß noch die Bilanz aufstellen.
Klar, bei den Trägheiten hat sich erstmal nichts geändert.
Das bleibt weiterhin J0, 4, Punkt, Punkt.
Und jetzt plus Hebelarm A durch Kosinus 4 mal die Normalkraft N1
gleich 0.
Das ist das Momentengleichgewicht am Hebel oder am Pendel.
Und jetzt müssen wir bloß noch das Zwischenergebnis N1 einsetzen in
diese Gleichung.
Und was bekommen wir dann?
J0, 4, Punkt, Punkt plus Ca² Sinus 4 geteilt durch Kosinus hoch 3 4
gleich 0.
Wir haben damit dann auch wieder eine Bewegungsgleichung gefunden und
sind jetzt eigentlich sehr glücklich darüber, dass diese
Bewegungsgleichung hier auch den Term Kosinus hoch 3 4 enthält.
Das heißt, wir konnten jetzt auch mit unserer klassischen Methode nach
d 'Alembert dieselbe Lösung, also dieselbe Bewegungsgleichung finden,
wie mit den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art.
Das heißt, es lag wohl beim letzten Mal bloß daran, dass wir irgendwie
uns unklar waren über die exakte Aufgabenstellung oder über die exakte
konstruktive Umsetzung.
Also grundsätzlich leisten dann wohl beide Methoden erstmal dasselbe,
wenn man sich klar ist, wie man es konstruktiv umsetzt.
Jetzt bleibt natürlich die Frage, die sich einige stellen mögen, was
ist denn eigentlich mit der anderen Lösung dann gewesen?
Also mit der Lösung, die wir gekriegt haben, hier ohne dieses hoch 3,
für dieses ganz simple Ansetzen vom Freischnitt.
Ist die wirklich grundsätzlich falsch oder entspricht die letztendlich
vielleicht bloß einer anderen konstruktiven Umsetzung?
Das ist die Frage.
Also zunächst mal hier, das war die Lösung 1 wieder.
Und um dieser Frage auf den Grund zu gehen, überlegen wir uns doch
einfach mal eine alternative Konstruktion.
Wie könnte man das Ganze konstruktiv noch umsetzen, dass es eben auch
nicht im Widerspruch mit der Aufgabenstellung steht, dass es einfach
bloß anders gelöst wird, technisch.
Man könnte das natürlich auch so machen, fangen wir wieder mal am
gleichen Punkt an wie eben.
Das heißt, hier haben wir dieses Überkopfpendel, einen Ausschnitt
davon und dann wieder darauf laufend und verschiebbar die Hülse.
Und auch jetzt fordern wir natürlich wieder, dass während der gesamten
Betrachtung dieser Abstand A konstant bleibt.
Bloß wollen wir jetzt dieses Mal keinen Zapf und auch keine
Führungsschiene bauen, sondern wir überlegen uns einfach so eine Art
Regelungsmechanismus, der praktisch dann intern irgendwo innerhalb
dieser Konstruktion dafür sorgen würde, dass hier so eine Art
eingeprägte und geregelte Kraft auf die Hülse wirkt, nennen wir mal F,
und diese geregelte Kraft, die hängt natürlich immer irgendwie davon
ab, in welcher Position sich das System gerade befindet.
Also das heißt, wenn das System in der Mittellage steht, dann ist
vielleicht gar keine Kraft notwendig, um die Hülse konstant zu halten
und je weiter es ausgelenkt wird, desto größer wird sie
beispielsweise.
Wir halten auf jeden Fall fest, diese geregelte Kraft, die muss
irgendwie von dem Lagewinkel Phi abhängen.
Also das wäre unser zweiter Konstruktionsvorschlag, eine geregelte
Kraft.
Und ja, da fragt sich natürlich dann der andere wieder, wie sieht die
Kraft konkret aus und wie wird das Ganze jetzt berechnet.
Gehen wir mal jetzt umgekehrt vor, beginnen wir mit der Methode von d
'Alembert.
Das heißt, da bräuchten wir dann eben wieder entsprechende
Gleichgewichte.
Es genügt jetzt eigentlich, wenn wir die Hülse freischneiden, am
Pendel an sich hat sich ja nichts geändert.
Also die einzige Interaktion zwischen den beiden Systemteilen war ja
die Normalkraft N1, die bleibt einfach N1.
Und wir gucken uns aber an, wie jetzt dieser Ausdruck für N1 aussieht,
den wir am Hülsengleichgewicht bekommen.
Das heißt, wir zeichnen uns die Hülse jetzt nochmal hin im Freischnitt
nach d'Alembert und gucken mal, was sich alles geändert hat.
Also die Normalkraft N1 hat sich hier von der Orientierung und der
Richtung sicherlich nicht geändert, vom Betrag her wohl schon.
Also hier das N1.
Und dann haben wir natürlich auch hier wieder unverändert zunächst die
jeweils nach links wirkenden Federkräfte, also C-Halbe, Delta L, C
-Halbe, Delta L mit den entsprechenden Ausdrücken für das Delta L.
Und jetzt hatten wir ja vorhin, ich lege es nochmal ganz schnell auf,
jetzt hatten wir ja vorhin in diesem ersten Freischnitt der Hülse, da
hat man jetzt gesagt, wir brauchen noch auf jeden Fall ein N2, was
diese Führungsbewegung letztendlich beschreibt.
Also die Normalkraft, die abstürzt, die haben wir jetzt nicht mehr.
Dafür haben wir jetzt die geregelte Kraft F von 4 und die zeichnen wir
natürlich auch ein in den Freischnitt.
Die sieht so aus, F von 4.
Und jetzt müssen wir auch hier wieder das Gleichgewicht aufstellen,
vielleicht als kleine Hilfe nachher zum Bilanzieren der Winkel Phi,
der war ja gerade so gelegen.
Und jetzt bilanzieren wir das Ganze wie?
Naja, ein bisschen anders als vorhin.
Wir gehen jetzt nicht mehr in die horizontale Richtung, sondern wir
sagen uns einfach das F von Phi.
Das kennen wir ja nicht, also wäre es besonders schön, wenn das nicht
auftritt in dem Gleichgewicht.
Dann bilanzieren wir das einfach senkrecht dazu, das heißt in Richtung
von N1 und bekommen dann als Bilanz N1 minus die Federkraft, die
resultiert 10 mal Delta L mal Cosinus Phi gleich 0.
Also vielleicht fragt sich jetzt der eine oder andere, warum hier
einfach so statisch bilanziert wird, ohne irgendwelche Trackheads.
Das ist natürlich im Allgemeinen nicht wirklich der richtige Weg in
der Dynamik, aber in dem Fall betrachten wir ja eine masselose Hülse,
das heißt die reagiert praktisch instantan auf irgendeine Bewegung,
hat keine eigene Trackhead.
Dementsprechend können wir ja einfach so statisch bilanzieren.
Steht dann so da als Gleichgewicht.
Wir formen das Ganze um nach N1, dann kriegen wir A mal C, Tangens Phi
mal Cosinus Phi, also der Tangens eben wieder über den Ausdruck für
Delta L und das Ganze dann, also Tangens grad Sinus durch Cosinus,
dann kürzt sich der eine Cosinus raus, dann bleibt für die Normalkraft
noch stehen A mal C mal Sinus Phi.
Und jetzt gehen wir wieder rein in die Gleichung von vorhin, also das
heißt eben, ich ziehe es mal ganz kurz nach unten, was da oben ja
stand, das Momentengleichgewicht am Pendel selbst, jetzt einfach bloß
mit einem anderen Ausdruck für die Normalkraft N1 und was bekommen wir
dann natürlich direkt wieder eine Bewegungsgleichung, J0 Phi Punkt
Punkt plus, wenn man es jetzt schön vereinfacht, was steht da, CA
Quadrat mal Sinus Phi durch Cosinus Phi gleich Null.
Also das heißt, wir haben jetzt hier schon wieder eine
Bewegungsgleichung, die jetzt allerdings wieder so aussieht, wie diese
allererste beim Freischneiden, also ohne dieses Hochdreieck.
Das heißt, was wir da am Anfang so ganz schnell durch diesen ganz
simplen Freischnitt geschafft haben, das war schon nicht ganz
verkehrt, das war eben bloß eine andere Konstruktion.
Wir sind bei diesem ersten Freischnitt eben davon ausgegangen, dass da
irgendeine intern geregelte Kraft das Ganze schon regeln wird, ohne
dass wir uns weiter Gedanken gemacht haben.
Wenn man das dann tatsächlich aber annimmt, kommt man eben wohl schon
auf die auch richtige Lösung, die richtig ist, aber eben zu einer
anderen Konstruktion gehört.
Das heißt, wir wieder entziehen mal kurz, wir haben jetzt praktisch
zwei Konstruktionen betrachtet, die beide dasselbe verwirklichen,
nämlich das Festhalten der Hülse auf der Höhe A, aber je nach
Konstruktion resultiert eben eine andere Bewegungsgleichung, die aber
beide jeweils für das passende System genommen richtig sind.
Je nach Konstruktion eben.
Damit verbleibt eigentlich bloß noch eine spannende Frage.
Könnten wir jetzt eigentlich auch hergehen und für diese zweite
Konstruktion, also für die Konstruktion mit der geregelten Kraft,
könnten wir diese Lösung ohne dieses Hochdreieck, könnten wir diese
Lösung auch mit den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art finden?
Und was müssten wir dann eigentlich verändern?
Wir sind uns daran interessiert, die Lösung der Konstruktion 2 mit den
Lagrangian -Gleichungen zweiter Art zu finden.
Also die Frage ist, was passiert bei Lagrange?
Und dazu schreiben wir uns die Gleichung einfach nochmal hin und
überlegen uns, an welcher Stelle, an welchem Schräubchen muss ich
eigentlich drehen in der Gleichung, dass dann am Ende auch diese
andere richtige Bewegungsgleichung für die andere Konstruktion
rauskommt.
Also die Gleichung sah erfolgendermaßen aus.
Wir haben eine Zeitableitung von der partiellen Ableitung der Lagrange
-Funktion nach Vipunkt.
Jetzt überlegen wir uns gleich mal, die Lagrange-Funktion, ändert die
sich eigentlich?
Also da hat man ja drin die kinetische Energie, da haben wir nach wie
vor eigentlich bloß das massenbehaftete Pendel, was irgendwie eine
kinetische Energie hat.
Durch diese zusätzliche geregelte Kraft ändert sich die kinetische
Energie nicht.
Wie sieht es aus mit der potenziellen Energie?
Also die Federn sind nach wie vor dieselben, Gewichtskraft haben wir
immer noch keine und zu so einer Kraft, zu so einer geregelten, gehört
eigentlich auch keine potenzielle Energie.
Das heißt, die Lagrange-Funktion ist erstmal noch dieselbe,
dementsprechend ändert sich auch die zweite partielle Ableitung nach
dV nicht.
Also da links können wir nichts ändern, um auf die andere Lösung zu
kommen.
Jetzt ist die Frage, was passiert auf der rechten Seite?
Auf der rechten Seite hat man ja eigentlich stehen, die generalisierte
Kraft q4 und da hat man ja vorhin gesagt, okay, wir haben keine
weiteren potenziallosen Kräfte, dementsprechend setzen wir die einfach
auf 0.
Wie sieht das jetzt aus mit dieser weiteren eingeprägten, geregelten
Kraft f und V?
Hat die ein Potenzial?
Hat sie keins, sonst hätten wir sie ja da links irgendwie in die
Lagrange -Funktion reingepackt.
Das heißt, ganz wichtig, die rechte Seite wird jetzt eben plötzlich
nicht mehr zu 0.
Das ist das Entscheidende, dass die rechte Seite nicht mehr zu 0 wird.
Begründung, das Ganze kommt vor wegen einer weiteren potenziallosen
Kraft f von 4, die wir jetzt auch noch berücksichtigen sollten in der
Berechnung nach Lagrange.
Wie sieht das Ganze aus?
Also zunächst mal, und das macht jetzt die Sache etwas umständlich,
zunächst mal müssen wir uns jetzt tatsächlich Gedanken machen, wie
sieht eigentlich diese geregelte Kraft tatsächlich aus?
Also wie muss die eben von V abhängen, damit immer dieses
Gleichgewicht und die Höhe a erhalten bleibt?
Gehen wir vielleicht zu dem Zweck nochmal in den Freischnitt zurück,
da sehen wir es nämlich direkt.
In dem Freischnitt können wir ja auch mal ein Gleichgewicht in eine
andere Richtung aufstellen, nämlich in die Richtung von dieser Kraft f
von 4.
Dann fällt die Normalkraft N1 da gerade raus, weil sie senkrecht
draufsteht und wir haben bloß noch anteilig mit dem Sinus die
Federkräfte mit drin.
Das heißt eben, anhand von der Skizze sehen wir jetzt direkt, was für
ein Gleichgewicht vorliegen muss, nämlich eine geregelte Kraft f von
4, die aussieht wie folgt, nämlich die Resultate der Federkraft c mal
Delta L mal Sinus V und dann eben wieder mit dem Delta L entsprechend
ersetzt, c mal a mal Sinus Quadrat V durch Cosinus V.
Das ging jetzt relativ einfach, also das muss die geregelte Kraft
sein.
Das muss irgendwie ein Sensor in der Konstruktion in der Lage sein,
erstmal zu erkennen, also der Sensor muss sehen, bei welcher
Winkellage V befindet sich das System momentan und dann muss eben mit
diesem Sensorergebnis jeweils der Regelungsmechanismus dafür sorgen,
dass tatsächlich auch dann diese Kraft abhängig von 4 auf die Hülse
wirkt und sie entsprechend nach oben oder nach unten drückt.
Ja, also das ist, was der Regelungsmechanismus in dieser Konstruktion
leisten muss.
Und jetzt überlegen wir uns mit dieser Kenntnis, wie können wir dann
die Bewegungsgleichung mit den Lagrangian- Gleichungen zweiter Art
herleiten.
Dazu bietet es sich zunächst nochmal einen Freischnitt zu machen.
Jetzt machen wir gerade nochmal das gesamte Pendel für diesen Zweck.
Da hat man dann irgendwo hier oben die Hülse stehen.
Und für diese Hülse, klar, relativ offensichtlich, da muss natürlich
wieder gelten, dass der Abstand erhalten bleibt.
Also da geht man das mal geometrisch vor.
Das sei der Abstand A, den dieser Regelungsmechanismus gerade aufrecht
erhält.
Dann haben wir natürlich hier für die Lage wieder den Winkel 4.
Und jetzt ist aber das Ganze folgendermaßen, das hatten Sie ja auch
entweder in der letzten oder in der vorletzten Vorlesung sogar schon
gelernt, wie man denn jetzt überhaupt so eine generalisierte Kraft
berechnet.
Also wir sind interessiert an diesem Groß-Q-4 und um diese
generalisierte Kraft zu berechnen, da geht man dann ja, wie Sie es in
der Vorlesung gesehen haben, immer über die virtuelle Arbeit, die eine
eingeprägte Kraft am System verrichtet, wenn solche virtuellen
Verrückungen vorliegen.
Und um so eine virtuelle Arbeit zu berechnen, kleine Arbeit, die ja in
dem Fall dann als Kraft mal Weg, also Kraft mal virtuelle Verrückung
berechnet wird, dazu braucht man erstmal irgendwie eine Ahnung von dem
Weg, der eigentlich zurückgelegt wird.
Und da diese Kraft ja entlang von der Pendelrichtung da an der Hülse
angreift und die Hülse sich ja auch bloß entlang dieses Stabes
verschiebt, wird natürlich auch die Verrückung der Hülse immer entlang
dieses Stabes passieren.
Das heißt, was wir jetzt eigentlich brauchen, das ist die Position von
der Hülse auf dem Stab.
Und diese Position, die geht man hier so entlang der Längsachse.
Das heißt, wir führen jetzt hier einfach mal so eine Hilfskoordinate
ein.
Das ist natürlich kein weiterer Freiheitsgrad im System, aber einfach
bloß einen Abstand, den wir einführen.
Das nennen wir das X.
Die Position hier von der Hülse relativ zum unteren Punkt des Pendels,
weil hier entlang dieser Position sich dann die Hülse verschiebt und
entlang dieser Position auch diese geregelte Kraft die Arbeit
verrichtet.
Ja, das Ganze können wir vielleicht gleich mal trigonometrisch noch in
Zusammenhang bringen, weil es wie gesagt keine neuen Freiheitsgrade
sind.
Also wir können es direkt trigonometrisch sagen, das X, das ist dann
gerade A, der Abstand durch Q Sinus 4.
Das heißt eben, wir können jetzt auch einfach mal die Position hier
durch das X beschreiben.
Und wenn wir uns jetzt fragen, wie die virtuelle Verrückung
ausgedrückt werden kann in Abhängigkeit von 4, dann müssen wir
irgendwie aus diesem X, müssen wir dann Delta X bekommen, was wiederum
von Delta 4 abhängt, also was eben diesen Zusammenhang ausdrückt.
Wenn ich ein winzig kleines Stück in 4 nach rechts gehe, welches
andere winzig kleines Stück muss dann in X entsprechend verrückt
werden, damit weiterhin die Höhe A erhalten bleibt.
Und zu diesem Zweck, wir können das vielleicht mal noch umschreiben,
das hilft vielleicht dem einen oder anderen, als A mal Q Sinus hoch
minus 1 4.
Und jetzt leiten wir das erst mal ab und kriegen dann entsprechend die
Geschwindigkeit in der Koordinaten X Punkt.
Und wenn wir das Ganze ableiten, klar muss man sich mal überlegen, was
da alles so auftritt.
Also klar, das A, das ist eine Konstante.
Jetzt überlegt man sich mal, wir müssen als erstes, müssen wir hier
mal nach der Kettenregel dieses minus 1 nach vorne ziehen.
Das heißt, hier kriegt man schon mal ein Minus.
Und wenn wir das minus 1 nach vorne ziehen, also die äußere Ableitung,
dann steht nachher der Q Sinus hoch minus 2 4 oder anders geschrieben
Q Sinus Quadrat 4 im Nenner.
Dann brauchen wir jetzt noch die innere Ableitung von Q Sinus 4 und da
brauchen wir dann nochmal die Kettenregel.
Also das ist eine doppelte Anwendung der Kettenregel.
Das heißt, wir kriegen zunächst dann die Ableitung von Q Sinus 4, die
wird zu Minus Sinus 4, also da vorne wird wieder ein Plus draus.
Und jetzt zu guter Letzt die innerste Ableitung praktisch nach der
Zeit, nämlich die Ableitung des Winkels selbst, gibt uns dann letzten
Endes noch ein Viehpunkt.
Also das hier ist jetzt rein nach mathematischen Gesetzmäßigkeiten
errechnet, die Geschwindigkeit der Hülse X Punkt.
Und jetzt können wir das Ganze natürlich umschreiben, wie Sie es auch
schon in den Vorlesungen gesehen haben, als tatsächliche virtuelle
Verrückung Delta X und kriegen dann entsprechend, sortieren wir es ein
bisschen um, also da hat man ja die Konstante A, dann hat man da ein
Sinus -Vieh geteilt durch Q Sinus Quadrat-Vieh und aus diesem
Viehpunkt, da wird dann eben entsprechend ein Delta-Vieh draus.
Das heißt, jetzt haben wir tatsächlich hier diesen Zusammenhang,
diesen kinematischen errechnet und wissen jetzt eben, wenn wir hier
eine kleine virtuelle Winkelverrückung Delta-Vieh machen, dann wird
mit diesem Faktor multipliziert auch die tatsächliche Strecke Delta X,
die dann ja die virtuelle Arbeit letztendlich beschreibt, die wir dann
daraus bestimmt.
Das hängt alles zusammen und wir können letztendlich wieder die
virtuelle Arbeit in Abhängigkeit unserer einzigen wirklichen
generalisierten Koordinaten schreiben.
Tun wir das Ganze mal, nehmen dazu also her die Definition der
virtuellen Arbeit Delta-Vieh und das war ja gerade die eingeprägte
Kraft, also F von Vieh mal Weg, also mal die virtuelle Verrückung
Delta X und jetzt setzen wir hier noch die Ausdrücke ein, wir haben ja
beides schon, wir haben das F von Vieh berechnet, wir haben das Delta
X umgedeutet in Abhängigkeit von Delta-Vieh und kriegen damit jetzt
insgesamt dann C mal A mal Sinus Quadrat Vieh durch Cosinus Vieh, also
das ist jetzt gerade oben die geregelte Kraft, mal Delta X, also mal A
Sinus Vieh durch Cosinus Quadrat Vieh und dann hat man hinten das
Delta -Vieh, ja also das ist jetzt hier unser Ausdruck für die
virtuelle Arbeit.
Das Ganze können wir jetzt noch ein bisschen umsortieren, also
schreiben wir hier mal vorne CA Quadrat und dann haben wir im Zähler
haben wir Sinus hoch 3 Vieh, im Nenner haben wir Cosinus hoch 3 Vieh
mal Delta-Vieh, das ist unser Ausdruck für die virtuelle Arbeit und
gemäß Definition in so einem System mit einem Freiheitsgrad muss diese
gerade die generalisierte Kraft Groß-Q-Vieh mal die entsprechende
virtuelle Verrückung Delta-Vieh sein.
Das ist wie gesagt bekannt aus älteren Vorlesungen und jetzt sehen wir
hier beide Male haben wir Delta-Vieh drin stehen, das müssen wir bloß
noch einen passenden Koeffizientenvergleich machen und sehen dann
darüber direkt, wie wir diese generalisierte Kraft Groß-Q-Vieh
hinschreiben können, nämlich als CA Quadrat Sinus hoch 3 Vieh durch
Cosinus hoch 3 Vieh.
Das war jetzt der etwas längliche Schritt in diesem Ausrechnen von den
Lagrangian Gleichungen.
Jetzt folgt eigentlich bloß noch Bekanntes.
Wir müssen das Ganze jetzt noch einsetzen.
Die linke Seite der Lagrangian Gleichung hat sich ja eigentlich nicht
verändert.
Da haben wir weiterhin J0 Vieh Punkt Punkt plus CA Quadrat mal Sinus
Vieh durch Cosinus hoch 3 Vieh.
Da stand ja vorhin die Null, jetzt steht eben bei dieser Konstruktion
mit der geregelten Kraft, jetzt steht da die generalisierte Kraft Groß
-Q -Vieh.
Das heißt eben CA Quadrat Sinus hoch 3 Vieh durch Cosinus hoch 3 Vieh.
Das steht jetzt auf der rechten Seite.
Und jetzt gucken wir mal noch, wie man das Ganze zusammenfassen
könnte.
Wir sehen ja hier schon, das CA Quadrat taucht in beiden auf.
Das Cosinus hoch 3 Vieh im Nenner ist auch gleich.
Das heißt, wir müssen bloß noch die Zähler entsprechend verrechnen.
Also praktisch Sinus Vieh minus Sinus hoch 3 Vieh.
Da können wir dann direkt 1 Sinus Vieh ausklammern.
In der Klammer steht ja noch 1 minus Sinus Quadrat Vieh.
Das sollte dann gemäß der Gleichung gleich Null sein.
Und wer jetzt scharf hinzieht, der bemerkt schon, 1 minus Sinus
Quadrat Vieh, das gibt ja gerade Cosinus Quadrat Vieh.
Und wenn hier oben dann Cosinus Quadrat Vieh steht, dann lassen wir
das wegfallen.
Entsprechend kürzt sich hier unten dann auch ein Cosinus Quadrat Vieh
weg.
Und was bleibt dann letzten Endes übrig?
Es bleibt übrig 0 Vieh Punkt Punkt plus CA Quadrat Sinus Vieh durch
Cosinus Vieh gleich Null.
Und damit wieder eine Bewegungsgleichung.
Und zwar, wie erhofft und wie erwartet, jetzt auch mit den Lagrangian
Gleichungen zweiter Art.
Genau die Bewegungsgleichung, die wir ganz ursprünglich durchs
Freischneiden hatten, die jetzt in dem Fall eben auch der Konstruktion
mit der geregelten Kraft entspricht.
Das heißt auch hier konnten wir jetzt mit den Lagrangian Gleichungen
die Lösung 2 finden.
Und dementsprechend halten wir es einfach als Fazit dieser etwas
verwirrenden Darstellung, halten wir kurz und knapp fest, dass
natürlich beide Lösungen, also sowohl die mit dem Hoch 3 als auch die
ohne Hoch 3, dass die beide richtig sind, allerdings verschiedenen und
unterschiedlichen Konstruktionen entsprechen.
Und dass man aber natürlich, wie das ja auch zu erwarten war, mit
beiden Methoden, also sowohl mit Lagrange als auch mit d'Alembert, die
jeweils richtige Lösung finden kann, wenn man die Methode nur korrekt
und sorgfältig anwendet.
Sie haben aber gemerkt im Laufe dieser vielen Berechnungen, dass es
erstens nicht immer ganz einfach ist, alles richtig zu machen.
Also man muss sich schon immer genau überlegen, in jedem Schritt, habe
ich alles reingepackt, habe ich was vergessen, ist irgendwie eine
Annahme vielleicht nicht ganz konsistent mit der Aufgabenstellung.
Und zum anderen haben wir auch gemerkt, dass es ganz sicher mal
weniger und mal mehr längliche Wege gibt.
Das heißt eben, man hat sicherlich, wenn man es sich gut überlegt am
Anfang, schon mal viel Zeit gewonnen, wenn man sich für die jeweils
passende Methode entscheidet.
Sie haben gemerkt, gerade jetzt am Ende, dieser Weg über die
Lagrangian Gleichung in zweiter Art, der ist immer dann recht
mühselig, wenn eben die rechte Seite nicht verschwindet, sondern wenn
da noch irgendeine generalisierte Kraft auftaucht.
Dafür war am Anfang die Lagrangian Gleichung schneller, als das nicht
der Fall war.
Da haben wir eigentlich dann schneller gearbeitet, als mit diesem
umfangreichen Auseinanderschneiden von den beiden Systemteilen.
Also da muss man ein bisschen ein Gespür dafür kriegen, was da immer
die geeignetere Methodik ist.
Aber letztendlich, wenn man es richtig macht, führt natürlich beides
zur korrekten Lösung.
So, haben Sie Fragen soweit zu dieser Aufgabe?
Ich sehe, das ist nicht der Fall.
Dann fahren wir fort und schauen uns noch ein weiteres Beispiel an.
Ich denke, wir haben jetzt hinreichend darüber nachgedacht, ob die
Lagrangian Gleichungen zweiter Art auf das gleiche Ergebnis führen,
wie das Prinzip von d'Alembert.
Deshalb wollen wir das jetzt erstmal nicht mehr tun.
Und wir rechnen jetzt einfach mal ein etwas komplizierteres System mit
den Lagrangian Gleichungen zweiter Art.
Und dieses etwas kompliziertere System, das sieht folgendermaßen aus,
also das wäre jetzt praktisch in der Vorlösungsreihenfolge, das
Beispiel Nummer 3 zu den Lagrangian Gleichungen zweiter Art, nämlich
ein Massenpunkt in einem rotierenden Rohr.
Und dieses Beispiel des Massenpunkts in einem rotierenden Rohr, das
ist jetzt ein Beispiel für ein System, wo wieder ganz stark die
Relativmechanik eine Rolle spielt, die Sie ja ganz am Anfang in der
Themen 3 kennengelernt haben.
Das heißt, da haben wir jetzt eben wieder was mit bewegten
Bezugssystemen drin.
Das System an sich sieht erstmal folgendermaßen aus.
Also wir haben, wie ja der Name schon vermuten lässt, erstmal ein
Rohr.
Dieses Rohr wird jetzt hier mal in allgemeiner Lage so angedeutet.
Und dann soll dieses Rohr rotieren.
Das heißt, wir führen jetzt hier mal einen entsprechenden Drehpunkt
ein.
Das soll auch gleichzeitig den Ursprung des Systems darstellen.
Und diese Drehung zunächst mal, die beschreiben wir hier über den
Winkel V.
Und jetzt haben wir aber innerhalb dieses Rohres nochmal eine etwas
kompliziertere Konstruktion.
Nämlich haben wir innerhalb des Rohres den besagten Massenpunkt.
Den stellen wir mal so dar.
Der hat dann die Masse m.
Und der bewegt sich jetzt innerhalb von dem Rohr, kann sich also
verschieben.
Allerdings nicht ganz frei, sondern der ist jetzt hier am unteren Ende
des Rohres abgestützt.
Natürlich nicht vollständig fixiert, sondern der ist hier verbunden
zum einen über eine Feder, mit der Steifigkeit c.
Und zum anderen über einen Dämpfer mit der konstanten k.
Also der ist abgestützt an diesem Punkt des Rohres.
Das hier ist praktisch eine Verbindung, die wirklich hoch geht bis zum
Massenpunkt.
Eine starre Verbindung.
Und was müssen wir noch sagen?
Wir können vielleicht noch hier zur Feder direkt dazu schreiben, die
sei entspannt bei der Lage xi gleich 0.
Wobei dann dieses xi so zu verstehen ist, das ist gerade der Abstand
entlang des Rohres.
Also der hier, das ist unsere Koordinate xi.
Das 4 hat man ja schon da oben.
Und jetzt führen wir natürlich auch noch, wie es bei so relativ
mechanischen Problemen immer schön ist, entsprechend eine Basis mit
Einheitsvektoren ein.
Da haben wir zum einen jetzt mal, von dem Punkt ausgehend, hat man
hier zwei Einheitsvektoren, die seien raumfest.
Bezeichnen wir mit Ex und Ey.
Und dann nehmen wir aber auch noch an, wir haben jetzt wie in der
Relativmechanik häufig noch ein mitrotierendes System und darin
definieren wir dann ein System von Einheitsvektoren.
Das wäre zum einen Exi, in diese Richtung entlang des Rohres und
senkrecht darauf in diese Richtung Ey.
Die Eta, also das sind dann unsere Einheitsvektoren, die wir brauchen.
Jetzt nehmen wir auch hier vereinfachend noch an, dass die
Gewichtskraft keine Rolle spielen soll.
Und außerdem, was uns das Leben sehr viel einfacher macht, nehmen wir
an, dass wir in dem System bloß einen Freiheitsgrad haben, nämlich
bloß diese Lage xi und der Winkel phi, also die tatsächliche Rotation
des Rohres, die wird uns wirklich schon vorgegeben, nämlich als Omega
mal t, wobei selbst diese Winkelgeschwindigkeit Omega konstant sein
soll.
Das heißt eben, das Rohr dreht sich einfach permanent mit einer
konstanten Winkelgeschwindigkeit und in diesem Rohr, das sich mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, da kann dann eben der
Massenpunkt frei hin- und herrutschen, außer dass er halt abgestützt
ist über so ein Federdämpferelement.
Das ist unser Problem, das wir betrachten und das wir behandeln
wollen.
Also wir sind am Ende daran interessiert, dann für diesen
Freiheitsgrad in xi die entsprechende Bewegungsgleichung zu errechnen.
Und um das zu tun, machen wir das mal wie vorhin, machen wir uns als
erstes mal Gedanken dazu, wie viele Freiheitsgrade, ich habe es gerade
schon verraten, es ist einer.
Dementsprechend haben wir auch bloß eine generalisierte Koordinate und
die ist in dem Fall dann eben gerade unsere Lage xi.
Soviel zur Systembeschreibung und jetzt gehen wir wieder schrittweise
vor mit den Lagrangian-Gleichungen zweiter Art und machen das ähnlich
wie vorhin, indem wir zunächst mal die Lagrangian-Funktion bestimmen
als Differenz der kinetischen Energie minus der potenziellen Energie.
Das ist unser erster Schritt.
Und um das zu berechnen, beginnen wir mit der kinetischen Energie.
Für die kinetische Energie, da braucht man ja immer irgendwelche
Geschwindigkeiten, also man hat dann irgendwo ein Halb im V-Quadrat
stehen, das heißt wir müssen erstmal das V, die Geschwindigkeit
berechnen.
Machen wir es schrittweise, beginnen wir mit dem Ortsvektor.
Das heißt eben der Ortsvektor, das wäre jetzt gerade die Lage des
Massepunktes, ausgehend vom Ursprung, also dieser Verbindungsvektor
praktisch, ausgedrückt in einer passenden Basis.
Und wenn wir das jetzt ausdrücken wollen in der raumfesten Basis E-X,
E -Y, dann schreibt sich das Ganze folgendermaßen, dann haben wir hier
natürlich die Lage Xi mal Cosinus V in Richtung E-X plus Xi mal Sinus
V in Richtung E-Y, damit wir uns nicht verwirren lassen, können wir
auch direkt hier dieses vorgegebene V einsetzen, kriegen dann eben ein
Cosinus Omega T und hinten ein Sinus Omega T.
Das ist unser Ortsvektor des Massenpunktes.
Und jetzt müssen wir das Ganze durch Ableiten in eine Geschwindigkeit
überführen.
Wir brauchen natürlich, um tatsächlich den richtigen Ausdruck für die
kinetische Energie zu bekommen, brauchen wir die
Absolutgeschwindigkeit, also bezüglich der Umgebung.
Da wir glücklicherweise das hier alles schon in den Einheitsvektoren E
-X, E-Y ausgedrückt haben, die ja raumfest sind, können wir hier also
durch Ableiten der jeweiligen Koeffizienten hier, können wir direkt
die Absolutgeschwindigkeit bestimmen.
Das heißt, wir kriegen dann insgesamt Xi Punkt mal Cosinus Omega T und
dann müssen wir nach der Produktregel natürlich auch noch hier diesen
zweiten Ausdruck ableiten, kriegen dann hier minus Xi mal Omega, das
ist die innere Ableitung, ziehen wir hier raus, mal Sinus Omega T in
Richtung E-X plus, gleiches Spielchen für die E-Y-Richtung, erstmal
das Xi ableiten nach der Zeit, mal Sinus Omega T und dann nach der
Produktregel eben auch hier wieder Xi mal Omega mal Cosinus Omega T in
Richtung E-Y, haben damit unsere Absolutgeschwindigkeit berechnet und
müssen jetzt eigentlich bloß noch im nächsten Schritt gucken, wie wir
zur kinetischen Energie kommen.
Gut, wenn wir das Ganze vektoriell stehen haben, dann haben wir ja für
diesen Massenpunkten und dann die Norm dieses Geschwindigkeitsvektors
zum Quadrat.
Können wir also direkt auch so ausrechnen, weil es ja nachher auch
quadratisch auftaucht, muss man nicht erst die Wurzel ziehen, sondern
nachher wieder quadrieren und kriegen dann entsprechend durch
Quadrieren der jeweiligen Richtungsanteile, kriegen wir dann hier nach
den binomischen Formeln richtig aufgelöst.
Hier aus dem ersten Term erstmal Xi Punkt Quadrat, Cosinus Quadrat,
Omega T.
Dann wie gesagt, binomische Formel, haben wir dann noch diesen
Zwischenterm, minus zwei, Xi Punkt, Xi, Omega, Sinus, Omega T,
Cosinus, Omega T, Plus, und das ist das hintere noch Quadrieren, Xi
Quadrat, Omega Quadrat, Sinus Quadrat, Omega T.
Jetzt haben wir den hier in Richtung Ex haben wir quadriert.
Gleiches Spielchen wieder mit der binomischen Formel.
Jetzt noch in die Y-Richtung, kriegen wir dann nochmal ein Plus Xi
Punkt Quadrat, Sinus Quadrat, Omega T.
Dieses Mal dann eben Plus zwei, Xi Punkt, Xi, Omega, Sinus, Omega T,
Cosinus, Omega T, Plus Xi Quadrat, Omega Quadrat, Cosinus Quadrat,
Omega T.
Sieht jetzt sehr unschön aus, aber es ist einfach bloß die Auswertung
von dieser quadrierten Vektornorm.
Und jetzt schauen wir uns an, was können wir vereinfachen.
Hier diese Zwischenterme aus den binomischen Formeln, die heben sich
gerade weg.
Einmal Minus, einmal Plus, die fallen also weg.
Und jetzt haben wir weiterhin das große Glück.
Hier vorne haben wir ja beide Male stehen, Xi Punkt Quadrat, einmal
mit dem Sinus Quadrat dahinter, einmal mit dem Cosinus Quadrat
dahinter, Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat war dann jeweils eins.
Das heißt, das können wir hier zusammenfassen.
Und das gleiche gilt glücklicherweise hier hinten.
Da haben wir auch vorne dasselbe stehen.
Einmal Sinus Quadrat, einmal Cosinus Quadrat, das heißt auch die hier,
können wir entsprechend zusammenfassen.
Und wenn wir das dann hinschreiben in zusammengefasster Form, dann
kriegen wir eben für dieses Geschwindigkeitsquadrat, kriegen wir
letztendlich dann Xi Punkt zum Quadrat, plus Xi Quadrat Omega Quadrat.
So, damit haben wir schon einen ganz großen Schritt geschafft und
können jetzt direkt die erste Zutat bestimmen für unsere Lagrange
-Funktion, nämlich die kinetische Energie T, die ja wie gesagt in dem
Fall von einem Massenpunkt definiert ist, also ein Halb mal M, und
dann brauchen wir hier diese Norm der Absolutgeschwindigkeit zum
Quadrat, die haben wir schon berechnet, setzen wir einfach ein und
kriegen dann M Halbe mal in Klammern Xi Punkt Quadrat plus Xi Quadrat
Omega Quadrat.
Das ist unsere erste Zutat, nämlich die kinetische Energie.
Jetzt brauchen wir natürlich wieder die potenzielle Energie, auch in
diesem System, um weitermachen zu können.
Überlegen wir uns mal die potenzielle Energie, wo kommt die in diesem
Fall her, die Gewichtskraft wurde ja auch hier vernachlässigt, das
heißt die spielt keine Rolle, die einzige potenzielle Energie, die
steckt eigentlich in der Feder, und diese Feder, ich gehe nochmal ganz
schnell zurück auf das ursprüngliche System, diese Feder wäre gerade
per Definition entspannt bei Xi gleich 0, also bei dieser Länge, das
heißt wenn jetzt hier der Massenpunkt um Xi ausgelenkt wird, ist eben
das Delta L in dem Fall gerade Xi und dementsprechend die zur Feder
gehörige potenzielle Energie C Halbe Xi zum Quadrat, das ist die
potenzielle Energie.
Und jetzt können wir auch direkt unsere Lagrange-Funktion wieder
hinschreiben, das heißt eben zusammenfassend ist die dann gemäß
Definition halbe Xi Punkt zum Quadrat plus Xi Quadrat Omega Quadrat
minus C Halbe Xi Quadrat und jetzt sehen wir, was hier vielleicht
nicht direkt auffällt, was aber nicht ganz so häufig auftritt, wir
sehen jetzt, dass die kinetische Energie, also der Ausdruck hier
vorne, der hängt jetzt im Gegensatz zu vorhin beispielsweise, der
hängt nicht bloß von den Geschwindigkeiten, sondern auch von der Lage
ab.
Also das heißt, das Xi taucht darin auch noch auf, müssen wir nachher
bei der partiellen Ableitung nach Xi berücksichtigen, dass sowohl hier
als auch hier das Xi direkt mit auftritt.
So, aber zunächst mal müssen wir auch hier leider wieder den etwas
mühsamen Schritt gehen und die generalisierte Kraft berechnen, also
allgemein wird das eben als Qi bezeichnet, das muss man bestimmen.
Jetzt in dem Fall können wir direkt sagen, bei einem Freiheitsgrad
wäre das dann entsprechend Qi.
Jetzt ist die Frage, warum brauchen wir das, warum können wir nicht
direkt wieder die rechte Seite auf Null setzen?
Liegt einfach darin, wir haben jetzt eine weitere eingeprägte Kraft,
die auf den Massenpunkt wirkt, die kein Potential besitzt, nämlich der
Dämpfer.
Wir hatten eine Federdämpferkonstruktion, die Feder ist längst
erledigt, die steckt dem Potential mit drin, aber der Dämpfer, der
kein Potential hat, der muss noch in das Qi mit rein.
Das heißt, auch hier wird jetzt der vorhin mühsame, jetzt zum Glück
etwas einfachere Weg, die Berechnung der virtuellen Arbeit Delta W, wo
man wieder überlegen muss, die virtuelle Arbeit ist definiert als
Kraft mal virtuelle Verrückung.
Im Falle vom Dämpfer, wenn ich überlege, das Xi wird größer, also die
virtuelle Verrückung im Rohr so nach rechts oben, dann wirkt die
Dämpferkraft natürlich entgegen.
Das heißt, da haben wir dann schon mal ein Minus.
Der Dämpfer ist geschwindigkeitsproportional mit der Konstanten K,
also ist die Dämpferkraft entsprechend ein K Xi Punkt.
Das ist die Kraft mal der virtuellen Verrückung selbst, also mal Delta
Xi und dementsprechend wieder per Definition der virtuellen Arbeit
gleich Groß Q Xi mal Delta Xi und jetzt machen wir einfach wieder den
Koeffizientenvergleich da vorne und kriegen dann, wie gesagt zum Glück
diesmal etwas schneller, direkt die generalisierte Kraft Groß Q Xi als
Minus K Xi Punkt
und die gehört, wie gesagt, zum potenziallosen Dämpfer.
Da muss die mit rein, also immer wenn man dann auch in der Prüfung
vielleicht in so einer Aufgabe einen Dämpfer erblickt, sofort daran
denken, da sollte man vielleicht noch irgendeinen Q I bestimmen über
die virtuelle Arbeit.
So, und damit sind wir am dritten Schritt dieser Aufgabe mit dem
rotierenden Rohr und wir setzen eben jetzt wieder unsere Lagrange
-Gleichung zusammen, indem wir die verschiedenen partiellen
Ableitungen berechnen.
Fangen wir an mit D L nach Xi Punkt und da sehen wir jetzt wieder in
der Lagrange-Funktion, die noch da steht, das einzige Xi Punkt, was
wirklich explizit und direkt auftritt, das steht da vorne, wenn wir
danach partiell ableiten, steht entsprechend da M Xi Punkt.
Jetzt müssen wir ja dann, wie die Lagrange-Gleichung eben aussieht,
noch die Zeitableitung von diesem Ausdruck bestimmen und kriegen dann
eben, die Masse ist konstant, eben mal Xi Punkt Punkt.
Das ist der eine Teil der Lagrange-Gleichung zweiter Art.
Jetzt brauchen wir noch eine weitere partielle Ableitung, nämlich die
Lagrange -Funktion nach der Koordinaten Xi.
Und jetzt tritt, wie gesagt, hier der Fall auf, dass dieses Xi sowohl
in der kinetischen als auch in der potenziellen Energie drinsteckt,
also wir müssen jetzt beides berücksichtigen, kriegen dann erstmal von
vorne die partielle Ableitung M Omega Quadrat Xi minus, und dann vom
Federpotenzial hinten, minus C Xi.
Das heißt, hier haben wir dann auch diese nächste Zutat bestimmt.
Jetzt setzen wir das Ganze ein in die Lagrange-Gleichung zweiter Art,
die sich eben in dem Fall jetzt so schreibt, wie ich es da nochmal
kurz wiederhole, gleich Groß Q Xi.
Haben wir alles schon berechnet, können wir also direkt einsetzen und
bekommen dann M Xi Punkt Punkt plus K Xi Punkt plus in Klammern C
minus M Omega Quadrat mal Xi gleich Null.
Und damit haben wir dann die Bewegungsgleichung des Systems berechnet.
Es gab ja bloß einen Freiheitsgrad, das heißt wir haben jetzt auch
bloß eine Bewegungsgleichung in der Koordinaten Xi.
Und wenn man die jetzt lösen würde entsprechend mit passenden
Anfangsbedingungen, würde man eine Aussage treffen, wie sich dieser
abgestützte Massenpunkt unter Einfluss der vorgegebenen Rotation
tatsächlich verhält.
Ja, und das haben wir jetzt wirklich relativ schnell hinbekommen mit
diesen Lagrange-Gleichungen zweiter Art, ohne dass man irgendwie
hergehen musste und das Rohr vom Massenpunkt auseinanderzuschneiden
oder irgendwie zu überlegen, wie dann tatsächlich die Federkräfte aus
Kraft und Gegenkraft interagieren, haben wir jetzt einfach flott
hinbekommen, das heißt hier hat man jetzt ein System, was sehr
geeignet ist für die Anwendung der Lagrange-Gleichungen zweiter Art.
Ganz allgemein gesagt, bieten sich diese Gleichungen immer dann an,
wenn wir ein System haben, was aus mehreren Einzelteilen, aus mehreren
Einzelkörpern besteht, was allerdings insgesamt nur wenige
Freiheitsgrade besitzt.
Also in dem Fall hat man zwei Körper, mehr oder weniger, und nur einen
Freiheitsgrad, da bietet es sich dann an.
Wenn es umgekehrt ist, also wenige Körper mit vielen Freiheitsgraden,
dann ist oft mal ein Freischneiden und das Prinzip von d'Alombert
zeitsparender und zielführender.
Damit wären wir soweit durch mit den Beispielen zu den Lagrange
-Gleichungen zweiter Art.
Gibt es Fragen soweit?
Wenn das nicht der Fall ist, dann jetzt noch einen kurzen Nachtrag.
Das wurde in der letzten Vorlesung etwas übersprungen, aber Sie haben
ja, bevor es an die Herleitung der Lagrange-Gleichungen zweiter Art
ging, haben Sie ja als Ausgangsbasis sozusagen das Prinzip von d
'Alombert in lagranger Fassung gesehen.
Vielleicht erinnern Sie sich noch ein bisschen dran, da ging es
letztendlich darum, dass man sagt, dass die virtuelle Arbeit der
Zwangskräfte verschwindet, und dann kann man eben diese Zwangskräfte
gemäß des Prinzips von d'Alombert umschreiben als minus die
eingeprägten Kräfte minus die Trägheitskräfte, berechnet dann dafür
die virtuelle Arbeit und sagt, die wird gleich null.
Das haben Sie gesehen, nehmen wir an, vor zwei Wochen vielleicht in
der Vorlesung.
Und dazu wollen wir uns auch noch ein ganz schnelles Beispiel
anschauen.
Wie gesagt, das ist jetzt ein bisschen ein Schritt zurück, also
Kapitel 5, 4, 1.
Beispielaufgabe zum Prinzip von d'Alombert in lagranger Fassung.
Jetzt schauen wir uns hier folgendes System an.
Wir haben hier so eine doppelte schiefe Ebene mit unterschiedlichen
Neigungswinkeln, also links Alpha, rechts Beta.
Und dann liegt auf der linken Hangseite, da liegt ein Massenpunkt M1,
auf der rechten Hangseite ein Massenpunkt M2.
Und diese Massenpunkte sind verbunden über ein undehnbares Seil.
Das läuft hier über so eine reibungsfrei drehbare Rolle von dem zu
dem.
Und das ganze System, das steht zum einen unter dem Einfluss der
Gewichtskraft und zum anderen wird an dieser Masse M2 noch eine
eingeprägte Kraft F0 angenommen, die an dieser Masse zieht.
Und beschrieben wird das Ganze über die beiden Lagekoordinaten Y1 und
Y2.
Jetzt stellt sich natürlich direkt die Frage, hängen die vielleicht
zusammen?
Die Antwort ist offensichtlich, natürlich hängen die zusammen.
Wir haben hier ein undehnbares Seil dazwischen.
Das heißt, wir haben jetzt hier wieder ein Beispiel mit mehreren
Körpern, aber nur einem Freiheitsgrad.
Und auch bei diesen Gleichungen, die aus dem Prinzip von D'Alembert
-Lagrange -Erfassung resultieren, für die gilt ähnliches, auch die
sind immer dann besonders schön und geeignet, wenn mehrere Körper aber
nur wenige Freiheitsgrade vorlegen.
Und diesen einen Freiheitsgrad, den findet man relativ einfach, indem
man durch dieses undehnbare Seil direkt erkennt, die Geschwindigkeit
Y1 -Punkt der linken Masse muss natürlich die gleiche sein wie die
Geschwindigkeit Y2-Punkt der rechten Masse.
Also können wir auch vereinfachend Y-Punkt schreiben für die
Gesamtgeschwindigkeit, die überall in diesem sich verschiebenden
System vorliegt.
Und dementsprechend, wenn das für die Geschwindigkeiten gilt, können
wir es auch für die virtuellen Verrückungen formulieren.
Das heißt, wir haben hier dann auch Delta-Y1 gleich Delta-Y2 oder
allgemeineres hingeschrieben gleich Delta-Y.
Das beschreibt uns unseren eigenen Freiheitsgrad, jetzt in der
Koordinate Y hingeschrieben.
Und jetzt machen wir folgendes.
Jetzt schreibt man erstmal nochmal so die Definition praktisch hin.
Also, wie gesagt, das Prinzip von Dallon-Berner-Lagrange-Verfassung
entsteht so, dass man erstmal als Axiom voraussetzt, dass hier die
virtuelle Arbeit der Zwangskräfte, dass die verschwindet, das heißt
wir sagen, dass hier die Summe letztendlich von allen Zwangskräften
skalarmultipliziert mit der virtuellen Verrückung Delta-R, dass das
letztendlich verschwindet und dann, das heißt der Prinzip von Dallon
-Berner wird das Ganze noch entsprechend umformuliert, indem man eben
sagt, nach Dallon-Berner entspricht ja das Fz gerade Minus Fe der
eingeprägten Kräfte plus Ft der Trägheitskräfte skalarmultipliziert
mit der virtuellen Verrückung Dr und das Ganze ist dann eben gleich
Null.
Meistens, wenn man das dann einfach so hinschreibt, lässt man dieses
Minus weg, das spielt ja keine Rolle, aber das hier, das ist das
Prinzip von Dallon-Berner in Lagrange-Verfassung und damit wollen wir
jetzt arbeiten, um eine Bewegungsgleichung für das vorliegende System
zu bestimmen.
Dazu überlegen wir uns erstmal nochmal in der Skizze, was denn hier
eigentlich jetzt im Sinne von Dallon-Berner alles auftritt an Kräften.
Fangen wir vielleicht mal an, das nicht vergessen.
Im Sinne von Dallon-Berner heißt es immer, dass man auch die
Trägheitskräfte und die Trägheitsmomente einzeichnet.
Das heißt, wir haben jetzt in dem Fall hier eine Trägheitskraft M2y...
Das gleiche gilt hier.
Also ich schreibe es natürlich direkt in Abhängigkeit von y, wir haben
ja schon gesagt, die sind dann sowieso identisch.
Da haben wir dann M1y... Das sind die Trägheiten.
Und dann haben wir natürlich auch noch entsprechende eingeprägte
Kräfte.
Das F0 ist bereits eingezeichnet, das wird von außen vorgegeben.
Was haben wir noch?
Die Gewichtskraft führt natürlich auch jeweils zu einer eingeprägten
Kraft.
Einmal hier M1g und einmal dort M2g.
Damit das Ganze noch ein bisschen umfangreicher wird, sagen wir jetzt
einfach, dass die Reibung in diesem Fall nicht vernachlässigt wird.
Das heißt hier mit einem Coulombischen Reibungsgesetz modelliert und
für eine Bewegung jetzt rein in die rechte Richtung, wir nehmen an,
dass das y immer größer wird, dann wirken natürlich die entsprechenden
eingeprägten Gleitreibungskräfte hier jetzt nach links, wollen wir mit
R1 und hier mit R2 bezeichnen.
Jetzt bräuchte man natürlich für den vollständigen Freiständer, der
Lombär, bräuchte man auch noch die Zwangskräfte für diese Auswertung.
Sie sehen es vielleicht schon, brauchen wir es nicht, denn wir haben
es ja gerade so umgeformt.
Die Zwangskräfte waren hier, die haben wir eliminiert.
Wir haben jetzt bloß noch die eingeprägten Kräfte und die
Trägheitskräfte.
Das heißt die anderen zeichnen wir jetzt auch erstmal gar nicht ein.
Sondern wir werten jetzt direkt hier diese Gleichung aus, indem wir
das alles passend einsetzen.
Und weil das System so schön einfach ist, wollen wir uns gar nicht
erst mit Vektoren rumschlagen, sondern machen das Ganze skalar.
Und die skalare Auswertung dieses Prinzips heißt eben, ich brauche
jetzt erstmal die entsprechenden Verrückungen.
Das Ganze kann ich zunächst mal hinschreiben mit 1 und 2.
Es hieß eben dann für die linke Masse 1.
Da habe ich ja dann gerade die Summe aus eingeprägten Kräften und aus
Trägheitskräften.
Was habe ich da alles?
Ich habe –r1 als eingeprägte Kraft.
Ich habe –m1g mal Sinusalpha als eingeprägte Kraft.
Und ich habe eine Trägheitskraft –m1y1 Punkt, Punkt oder y Punkt,
Punkt, je nachdem.
Und das Ganze dann eben Kraft mal Weg, wobei der Weg die virtuelle
Verrückung ist.
An dieser Stelle, das heißt hier mal noch allgemein hingeschrieben,
Delta y1.
Und jetzt habe ich dasselbe noch für die rechte Masse hinzuschreiben.
Und für die rechte Masse habe ich dann eben auch wieder erstmal die
ganzen Kräfte, die eingeprägte Reibkraft –r2 plus die eingeprägte
Gewichtskraft –m2g Sinusbeta.
Das muss ich mal eben das Ganze projizieren.
In der skalaren Auswertung steht ja das Skalarprodukt.
Das heißt, da kriegt man eben dann schon den projizierten Anteil in
Wegrichtung.
Wenn man das Ganze skalar direkt hinschreibt, muss man sich überlegen,
wo jeweils welcher Sinus- oder Kosinusanteil auftritt.
So steht es nachher da.
Also in Wegrichtung zeigt der Anteil Sinusbeta der Gewichtskraft.
Und jetzt haben wir hier noch die eingeprägte Kraft F0, die Arbeit
verrichtet an der rechten Masse, minus die Dreikräftskraft m2 mal y2
Punkt, Punkt.
Die virtuelle Verrückung der rechten Masse wiederum ist Delta y2
gleich 0.
Können wir noch ein bisschen schöner machen, nämlich die Reibkräfte
nach dem Coulomb'schen Modell schreibt man dann gerade als den
Reibungskoeffizienten µ mal m2g Cosinusbeta beziehungsweise da oben
haben wir dann µm1g mal Cosinusalpha.
Damit können wir dann die entsprechenden Ausdrücke für die Reibkräfte
ersetzen.
Jetzt müssen wir eigentlich bloß noch das Ganze entsprechend
umsortieren und identifizieren.
Wir haben ja schon relativ viel gesagt zu der Abhängigkeit zwischen y1
Punkt, y2 Punkt und den entsprechenden virtuellen Verrückungen.
Das heißt, wenn wir jetzt überall einfach sagen, in der Gleichung, das
ist y Punkt, Punkt, das ist auch y Punkt, Punkt, Delta y1 war ja
gerade Delta y2, dann können wir das auch noch etwas kürzer und
übersichtlicher hinschreiben und kriegen dann letzten Endes bloß noch
einen längeren Klammerterm mal Delta y gleich 0.
So steht es am Ende da und so steht es bei dem Prinzip von Dalla und
Berndler, großer Fassung am Ende immer da.
Wir haben immer einen Klammerterm mal eine virtuelle Verrückung plus
den nächsten Klammerterm mal der nächsten virtuellen Verrückung.
Ist natürlich im Falle von einem Freiheitsgrad besonders einfach.
Da steht es dann kurz und bündig einfach so da.
Und wenn wir jetzt noch annehmen, dass diese Delta y oder diese Delta
qi, wie auch immer, dass die alle unabhängig voneinander sind, dann
folgern wir mit der Annahme Delta y ungleich 0.
Daraus folgern wir dann direkt, dass eben dieser Klammerterm gleich 0
sein soll.
Und jetzt müssen wir bloß noch den Klammerterm hernehmen, den wir
gerade zusammengebastelt haben und schreiben jetzt bloß noch diesen
Klammerterm hin und bekommen dann, wenn man es noch ein bisschen
vereinfacht und zusammenfasst, m1 plus m2 mal y Punkt, Punkt, Plus,
jetzt von der Reibung her kommend, µ mal g in Klammern m1 cosα plus m2
cosβ plus g in Klammern m1 sinα minus m2 sinβ minus f0 gleich 0 und
haben somit gefunden, was wir gesucht haben, nämlich die
Bewegungsgleichung des Systems.
Jetzt nochmal gezeigt mit diesem ursprünglichen Prinzip, aber wie
gesagt, die Idee dahinter ist dieselbe.
Sie haben ja dann auch in der letzten Vorlesung gesehen, wie die
Lagrangian -Gleichungen zweiter Art eben gerade aus dem Prinzip von
Dan -Urperin-Lagrangian-Erfassung hergeleitet wurden.
Das, was wir gerade gemacht haben, ist sozusagen die Low-Level
-Betrachtung vom selben Prinzip.
Was aber oftmals mühsam ist und aus diesem Grund, um das wirklich zu
verinnerlichen, werden Sie in der nächsten Woche, in der nächsten
Vorlesung nochmal eine Vergleichsaufgabe sehen, nämlich gerade den
Vergleich für dasselbe System einmal mit dem Prinzip von Dan-Urperin
-Lagrangian -Erfassung und einmal mit den Lagrangian-Gleichungen
zweiter Art.
Dann wären wir für die heutige Vorlesung soweit am Ende.
Ich bedanke mich für Ihre Aufmerksamkeit.
Laufen Sie nicht davon, die Übung findet natürlich wie üblich sowohl
hier als auch im oberen Hörsaal gleich im Anschluss statt.
Dankeschön.