WEBVTT 00:06.930 --> 00:10.090 Guten Tag meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung herzlich 00:10.090 --> 00:10.670 begrüßen. 00:11.990 --> 00:15.570 Wenn ich richtig informiert bin, haben Sie in der letzten Vorlesung 00:15.570 --> 00:16.630 Beispiele gerechnet. 00:18.850 --> 00:25.490 Und wir machen auch jetzt nochmals ein Beispiel, wo wir das Prinzip 00:25.490 --> 00:30.150 von d'Alembert-Lacronge-Fassung machen. 00:34.300 --> 00:37.680 Und auch 00:42.120 --> 00:43.820 Lacronge -Gleichungen. 00:45.120 --> 00:50.020 Und zwar handelt es sich im Grunde, ich versuche das mal zu 00:50.020 --> 01:03.770 skizzieren, um ein Wägelchen, 01:14.220 --> 01:21.620 welches auf einer Unterlage reibungsfrei sich bewegen kann. 01:26.000 --> 01:32.760 Das Wägelchen ist mit der Umgebung über eine Feder, lineare 01:32.760 --> 01:35.960 Charakteristik, Federsteifigkeit C, verbunden. 01:36.880 --> 01:44.700 Gleichzeitig wird der Endpunkt der Feder verschoben, und zwar über 01:44.700 --> 01:47.820 eine gegebene Verschiebung U von T. 02:02.030 --> 02:04.190 U von T ist also gegeben. 02:06.570 --> 02:07.930 Was haben wir noch? 02:08.790 --> 02:16.030 Wir haben eine Kraft F, die von der Zeit abhängen kann und am 02:16.030 --> 02:20.250 Wägelchen in horizontaler Richtung wirkt. 02:21.710 --> 02:27.050 Und jetzt haben wir noch reibungsfrei drehbar am Wagen so einen 02:27.050 --> 02:28.370 schlanken Stab angebracht. 02:34.060 --> 02:40.580 Der Stab hat die Länge L und die Masse M2. 02:43.360 --> 02:48.660 Der Wagen hat die Masse M1. 02:50.100 --> 02:51.020 Und was brauchen wir noch? 02:53.420 --> 03:00.020 Und natürlich wirkt nach unten die Erdbeschleunigung G. 03:02.720 --> 03:07.560 Und wenn der Stab schlank ist und homogen, dann haben wir den 03:07.560 --> 03:10.740 Schwerpunkt in der Mitte des Stabes. 03:15.170 --> 03:21.930 Und um eben jetzt das Ganze beschreiben zu können, müssen wir 03:21.930 --> 03:25.370 Koordinaten einführen. 03:25.890 --> 03:30.190 Wenn man sieht, der Wagen kann sich horizontal bewegen, also da führen 03:30.190 --> 03:36.450 wir eine Koordinate X ein, mit der wir das beschreiben. 03:36.990 --> 03:38.270 Ich gehe es mal so an. 03:44.330 --> 03:48.050 Das nenne ich jetzt mal die Achsen Y und Z. 03:50.530 --> 03:56.830 Und die Bewegung des Wagens wird eben gekennzeichnet durch die 03:56.830 --> 04:00.290 Verschiebung X. 04:08.910 --> 04:15.630 Und die Verdrehung des Stabes, die kennzeichnen wir durch den Winkel 04:15.630 --> 04:19.410 Phi. 04:21.730 --> 04:24.010 Was kann man sich darunter vorstellen? 04:24.010 --> 04:27.970 Nun das ist ein beliebtes Modell für so ein mechatronisches System. 04:28.550 --> 04:31.570 Nun dort haben wir dann vielleicht nicht unbedingt eine Feder, die wir 04:31.570 --> 04:36.550 über einen Fußpunkt bewegen, sondern einfach eine Kraft F, die den 04:36.550 --> 04:42.310 Wagen bewegt und dann im Grunde genommen dasselbe macht, wie ich das 04:42.310 --> 04:43.130 jetzt räumlich mache. 04:43.630 --> 04:47.190 Damit kann man dann eben den Stab entsprechend balancieren. 04:48.110 --> 04:49.310 Das ist ein typisches Beispiel. 04:50.350 --> 04:51.290 Ein einfaches Beispiel. 04:53.270 --> 04:59.470 Wir sehen, das ganze System hat letztendlich zwei Freiheitsgrade. 04:59.590 --> 05:03.430 Der Wagen kann sich horizontal bewegen, der Stab kann rotieren. 05:04.090 --> 05:07.170 Also zwei Freiheitsgrade. 05:15.580 --> 05:19.060 In dem Falle eben das X und das Phi. 05:20.760 --> 05:24.520 Das heißt N gleich 2. 05:25.660 --> 05:32.060 Das heißt, wenn wir später mit den verallgemeinerten Koordinaten das 05:32.060 --> 05:41.840 machen, wäre Q1 zum Beispiel das X und Q2 das Phi. 05:49.890 --> 05:55.750 Neiden wir mal die Bewegungsgleichungen mit Hilfe dem Prinzip von d 05:55.750 --> 05:57.290 'Alembert in Lagranger Fassung her. 06:03.410 --> 06:08.990 Also erstens Prinzip von 06:13.140 --> 06:19.760 d 'Alembert in Lagranger Fassung. 06:24.700 --> 06:29.860 Jetzt haben wir zwei Körper, den Wagen und den Stab. 06:31.240 --> 06:33.880 Dann müssen wir also über beide Körper summieren. 06:34.360 --> 06:35.220 Und was müssen wir summieren? 06:35.220 --> 06:40.720 Jeweils eingeprägte Kraft plus Trägheitskraft multipliziert mit der 06:40.720 --> 06:41.660 virtuellen Verschiebung. 06:42.800 --> 06:50.020 Plus eingeprägtes Moment und Trägheitsmoment multipliziert mit der 06:50.020 --> 06:52.300 virtuellen Winkelverdrehung. 06:53.380 --> 07:01.280 Wir sehen in dem Beispiel, der Wagen, der führt keine Winkelverdrehung 07:01.280 --> 07:01.580 aus. 07:01.580 --> 07:03.600 Der bleibt ja immer so ausgerichtet. 07:05.340 --> 07:09.940 Um das Ganze jetzt aber noch zu ein bisschen verkomplizieren, machen 07:09.940 --> 07:15.280 wir es jetzt so, dass wir an der Stelle zwischen 07:22.880 --> 07:32.280 Wagen und Stab einen Drehdämpfereinsatz einsetzen, den Viskosen, mit 07:32.280 --> 07:35.960 einer Dämpferkonstante Kd. 07:37.460 --> 07:44.080 Viskos heißt, das Moment zwischen dem Stab und dem Wagen ist 07:44.080 --> 07:46.400 proportional zu Phi Punkt. 07:46.700 --> 07:48.600 Also relativen Winkelverdrehung. 07:48.900 --> 07:51.320 Wir haben gesagt, der Wagen, der verdreht sich nicht, also ist die 07:51.320 --> 07:54.400 relative Winkelverdrehung gerade der Winkel Phi. 08:05.230 --> 08:06.930 Also was brauchen wir? 08:06.930 --> 08:12.370 Wir brauchen die eingeprägten Kräfte und 08:27.180 --> 08:28.500 eingeprägte Momente. 08:42.120 --> 08:49.660 Und da male ich jetzt mal den Wagen und den Stab. 08:53.820 --> 08:57.580 Man sieht, die eingeprägte Kraft ist natürlich die Federkraft. 08:57.580 --> 09:07.100 Wenn der Wagen sich nach rechts bewegt, haben wir am Wagen 09:11.920 --> 09:13.740 eine Federkraft nach links. 09:15.080 --> 09:20.140 Die ist c mal x, allerdings die Federverlängerung ist nicht x, sondern 09:20.140 --> 09:21.480 x minus u. 09:22.120 --> 09:28.340 Also steht hier c mal x minus u als Kraft. 09:29.250 --> 09:34.060 Die eingeprägte Kraft ist auch die vorgegebene Kraft f und t. 09:39.940 --> 09:46.860 Dann haben wir die Gewichtskraft, m1 mal g. 09:53.080 --> 09:57.940 Jetzt haben wir ja noch die Normalkräfte in den Rädern bzw. 09:58.880 --> 09:59.960 die Gelenkkräfte. 10:00.080 --> 10:01.220 Wie sieht es mit denen aus? 10:05.520 --> 10:09.780 Das sind Zwangskräfte, die wir in den Gleichungen hier nicht 10:09.780 --> 10:10.780 berücksichtigen müssen. 10:11.680 --> 10:13.260 Das heißt, die zeichne ich gar nicht ein. 10:15.220 --> 10:18.340 Wie sieht es aus mit den eingeprägten Momenten? 10:20.340 --> 10:27.260 Am Wagen haben wir zunächst mal keine Momente, außer dem Moment vom 10:27.260 --> 10:28.740 Dämpfer auf den Wagen. 10:29.720 --> 10:34.640 Und da sehen wir, wenn der Stab sich mit phi Punkt in Richtung 10:34.640 --> 10:40.640 positiven phi bewegt, dann haben wir praktisch einen Moment, was den 10:40.640 --> 10:42.900 Wagen im Uhrzeigersinn verdrehen will. 10:43.420 --> 10:49.420 Also haben wir noch ein eingeprägtes Moment, kd mal phi Punkt. 10:53.960 --> 10:56.740 Schauen wir mal den Stab an. 10:57.560 --> 10:59.860 Was für eingeprägte Kräfte wirken am Stab? 11:00.800 --> 11:09.640 Zunächst mal die Gewichtskraft, m2 mal g. Dann haben wir noch die 11:09.640 --> 11:12.600 Gelenkkräfte, das sind aber keine eingeprägten Kräfte, sondern 11:12.600 --> 11:13.400 Zwangskräfte. 11:16.420 --> 11:18.200 Und wie sieht es aus mit Momenten? 11:18.920 --> 11:23.300 Nun am Stab haben wir natürlich auch einen Moment des Drehdämpfers vom 11:23.300 --> 11:28.520 Wagen auf den Stab, das aber dann in entgegengesetzter Richtung dreht. 11:32.360 --> 11:33.880 Kd mal phi Punkt. 11:34.380 --> 11:37.180 Das waren also eingeprägte Kräfte und eingeprägte Momente. 11:38.320 --> 11:45.200 Als nächstes dann Trägheitskräfte und Trägheitsmomente. 11:59.290 --> 12:03.610 Man sieht, der Wagen bewegt sich nur horizontal. 12:04.630 --> 12:10.590 Deshalb gibt es dort auch nur eine Trägheitskraft entgegen der 12:10.590 --> 12:11.850 positiven Beschleunigung. 12:11.850 --> 12:17.530 Also m2 x2 Punkt. 12:19.510 --> 12:22.730 Wie sieht es aus mit dem Trägheitsmoment? 12:23.870 --> 12:25.890 Und der Wagen, der verdreht sich nicht. 12:26.690 --> 12:30.070 Dann haben wir so gelagert, also wird es auch kein Trägheitsmoment 12:30.070 --> 12:30.510 geben. 12:30.930 --> 12:36.790 Das können wir also an der Stelle gleich weglassen. 12:37.470 --> 12:41.130 Schauen wir mal auf den Stab. 12:41.130 --> 12:43.670 Wie sieht es mit den Trägheitskräften aus? 12:46.930 --> 12:49.930 Nun, der Schwerpunkt S2, der wird beschleunigt. 12:50.310 --> 12:54.430 Der wird aber sowohl in horizontaler Richtung wie auch in vertikaler 12:54.430 --> 12:55.370 Richtung beschleunigt. 12:56.430 --> 12:58.770 Also, wenn wir jetzt mal schauen. 13:01.230 --> 13:06.510 Der Schwerpunkt S2, der hat eine Beschleunigung in positive Y 13:06.510 --> 13:07.170 -Richtung. 13:07.170 --> 13:10.070 Deshalb trage ich da einfach mal an. 13:10.230 --> 13:17.570 m2 x Y, S2, 2 Punkt. 13:18.730 --> 13:22.230 Dann hat er eine Beschleunigung in vertikaler Richtung. 13:24.830 --> 13:28.890 Dann haben wir die Koordinate Z, entsprechend die Trägheitskraft in 13:28.890 --> 13:30.270 negative Z-Richtung. 13:31.070 --> 13:35.450 m2, Z von S2, 2 Punkt. 13:36.370 --> 13:42.730 Und wir sehen, jetzt brauchen wir natürlich die Beschleunigungen Y, 13:43.150 --> 13:47.150 S2, 2 Punkt und Z, S2, 2 Punkt. 13:47.610 --> 13:48.630 Die müssen wir noch bestimmen. 13:50.170 --> 13:53.270 Für das Prinzip von d'Alembert brauchen wir dann noch die 13:53.270 --> 13:58.550 entsprechenden virtuellen Verrückungen und Verdrehungen. 14:03.040 --> 14:08.840 Wir sehen, der Wagen kann nur in horizontaler Richtung virtuell 14:08.840 --> 14:09.520 verrückt werden. 14:10.180 --> 14:16.380 Also, da haben wir ein Delta X in horizontaler Richtung. 14:18.880 --> 14:21.240 Wie sieht es aus beim Stab? 14:21.740 --> 14:22.660 Oder ich schreibe mal dazu. 14:25.420 --> 14:33.980 Delta Z Wagen gleich 0, Delta V Wagen gleich 0. 14:34.060 --> 14:35.420 Also, der Wagen verdreht sich nicht. 14:36.580 --> 14:41.440 Deshalb auch keine entsprechenden virtuellen Verschiebungen bzw. 14:41.620 --> 14:42.540 virtuellen Verdrehungen. 14:43.260 --> 14:46.440 Wie sieht es aus beim Stab? 14:47.140 --> 14:50.160 Nun, der Schwerpunkt, der kann sich natürlich virtuell verschieben. 14:51.160 --> 15:00.120 Nämlich Delta Y, S2 in horizontaler Richtung. 15:01.160 --> 15:02.840 Und ich trage es mal da unten an. 15:03.400 --> 15:09.460 Die virtuelle Verschiebung in vertikaler Richtung ist Delta Z, S2. 15:10.960 --> 15:16.580 Wobei auch hier diese virtuellen Verrückungen in Abhängigkeit der 15:16.580 --> 15:20.920 Änderungen der verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt werden 15:20.920 --> 15:21.200 müssen. 15:22.440 --> 15:23.860 Was fehlt jetzt noch beim Stab? 15:23.940 --> 15:24.960 Die virtuelle Verdrehung. 15:25.720 --> 15:28.940 Nun, die Verdrehung wird beschrieben durch den Winkel Pi. 15:29.580 --> 15:35.600 Also haben wir eine virtuelle Verdrehung, Delta Pi. 15:41.120 --> 15:46.460 Bevor wir jetzt die virtuelle Arbeit von Trägheit, Kräftenträgheit, 15:46.580 --> 15:49.760 Momenten, eingeprägten Kräften und eingeprägten Momenten bestimmen. 15:51.900 --> 15:53.700 Deshalb zunächst die Voraufgaben. 15:54.260 --> 15:59.620 Wie groß sind die Beschleunigungen in horizontaler und vertikaler 15:59.620 --> 16:01.940 Richtung von unserem Schwerpunkt S2? 16:02.480 --> 16:04.940 Wie groß sind die entsprechenden virtuellen Verschiebungen? 16:06.760 --> 16:16.660 Und da wissen wir zunächst mal, RS2, der Ortsvektor zum Schwerpunkt 16:16.660 --> 16:24.020 S2, der beträgt ja gerade in horizontaler Richtung X plus, und da 16:24.020 --> 16:27.080 haben wir die Länge Lhalbe, mal Sinus Phi. 16:35.240 --> 16:41.380 In vertikaler Richtung haben wir gerade Lhalbe mal Cosinus, ist 16:41.380 --> 16:44.940 eingeschlossen an Winkels, also Lhalbe Cosinus Phi. 16:49.220 --> 16:55.640 Das bedeutet RS2 Punkt. 16:56.200 --> 17:01.180 Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes ist dann einmal abgeleitet, X 17:01.180 --> 17:01.640 Punkt. 17:01.640 --> 17:08.360 Dann haben wir Plus Lhalbe und die Ableitung von Sinus Phi, die ist 17:08.360 --> 17:10.320 gerade Cosinus Phi mal Phi Punkt. 17:10.900 --> 17:14.660 Also Phi Punkt Cosinus Phi. 17:15.920 --> 17:20.200 Und in vertikaler Richtung, da müssen wir den Cosinus Phi ableiten, 17:20.300 --> 17:23.060 das gibt Sinus Phi mal Phi Punkt. 17:23.440 --> 17:28.420 Also Minus Lhalbe Phi Punkt Sinus Phi. 17:30.620 --> 17:43.860 Die Beschleunigung ergibt dann RS2 Zweipunkt, das war ja gerade YS2 17:43.860 --> 17:47.820 Zweipunkt, beziehungsweise ZS2 Zweipunkt. 17:48.620 --> 17:51.820 Und da müssen wir jetzt die Geschwindigkeit nochmals nach der Zeit 17:51.820 --> 17:54.920 differenzieren, das gibt zum einen das X Punkt. 17:55.940 --> 18:00.360 Wenn wir Phi Punkt Cosinus Phi differenzieren, müssen wir die 18:00.360 --> 18:01.380 Produktregel beachten. 18:02.020 --> 18:07.980 Aus dem Phi Punkt wird ein Phi Zweipunkt, also Plus Lhalbe Phi 18:07.980 --> 18:09.720 Zweipunkt Cosinus Phi. 18:11.780 --> 18:16.860 Plus eben Lhalbe mal Phi Punkt mal der Ableitung von Cosinus Phi. 18:17.220 --> 18:21.280 Die Ableitung von Cosinus Phi ist Minus Sinus Phi mal Phi Punkt. 18:21.280 --> 18:27.480 Ergibt also Minus Lhalbe Phi Punkt Quadrat mal Sinus Phi. 18:29.140 --> 18:33.920 Und wenn wir die entsprechende Z-Koordinate nochmals ableiten, dann 18:33.920 --> 18:36.140 sehen wir auch hier müssen wir die Produktregel verwenden. 18:36.280 --> 18:42.520 Das gibt zunächst mal Minus Lhalbe Phi Zweipunkt Sinus Phi. 18:43.280 --> 18:47.180 Und dann den Sinus Phi abgeleitet, gibt Cosinus Phi mal Phi Punkt, 18:47.320 --> 18:53.360 also Minus Lhalbe Phi Punkt Quadrat Cosinus Phi. 19:01.020 --> 19:02.720 So, was fehlt jetzt noch? 19:02.840 --> 19:04.880 Jetzt fehlen die entsprechenden virtuellen Verrückungen. 19:05.790 --> 19:14.210 Die erhalten wir aus Delta R S2. 19:14.590 --> 19:30.190 Ist dann D R S2 nach D X mal Delta X plus D R S2 nach D Phi mal Delta 19:30.190 --> 19:30.630 Phi. 19:32.310 --> 19:40.090 Und wir sehen, wenn wir das R S2 nach X ableiten, gibt es gerade in 19:40.090 --> 19:42.730 der oberen Koordinate eine 1 und eine 0. 19:43.190 --> 19:48.930 Das gibt also letztendlich der Anteil insgesamt gerade des Delta X. 19:50.690 --> 19:54.630 Und wenn wir Lhalbe Sinus Phi nach Phi ableiten, ergibt es Lhalbe 19:54.630 --> 19:55.390 Cosinus Phi. 19:56.070 --> 20:02.190 Also plus Lhalbe Cosinus Phi mal Delta Phi. 20:03.990 --> 20:10.050 Und bei der unteren Koordinate, wenn wir da nach X ableiten, ergibt es 20:10.050 --> 20:10.850 wie gesagt 0. 20:11.170 --> 20:14.470 Wenn wir nach Phi ableiten, ergibt es Minus Sinus Phi. 20:14.890 --> 20:20.510 Also Minus Lhalbe Sinus Phi mal Delta Phi. 20:35.700 --> 20:40.240 So, wenn wir jetzt die virtuelle Arbeit aufstellen, 20:43.440 --> 20:48.460 dann ergibt es zunächst, wir sehen, bei dem Wagen wird es am 20:48.460 --> 20:51.060 einfachsten, da haben wir nur eine virtuelle Verschiebung in 20:51.060 --> 20:52.020 horizontaler Richtung. 20:52.480 --> 20:56.600 Dann brauchen wir auch nur die Kräfte in horizontaler Richtung zu 20:56.600 --> 21:01.860 bestimmen, weil virtuelle Verschiebung in vertikaler Richtung ist 0, 21:02.020 --> 21:05.200 also alle Kräfte in vertikaler Richtung liefern keinen Beitrag. 21:06.960 --> 21:11.120 Und eine virtuelle Verdrehung haben wir auch nicht, deshalb entfällt 21:11.120 --> 21:13.040 auch da das Kd mal Phi Punkt. 21:15.280 --> 21:19.740 Deshalb haben wir einfach die Kräfte in horizontaler Richtung, das ist 21:19.740 --> 21:32.360 f von t, Minus m2 x2 Punkt, Minus c mal x minus u, also f von t, Minus 21:32.360 --> 21:43.280 m1 x2 Punkt, das war die Drehkreiskraft, Minus c mal x minus u und das 21:43.280 --> 21:47.260 Ganze multipliziert mit Delta x. 21:48.880 --> 21:57.060 Dann kommt hinzu Plus und jetzt kommt alle Kräfte am Stab in 21:57.060 --> 22:02.300 horizontaler Richtung, das ist aber nur die Drehkreiskraft, also m2 x 22:02.300 --> 22:12.980 ys2, ys2,2 Punkt. 22:14.220 --> 22:19.720 Jetzt müssen wir aber aufpassen, das geht nach links, also Minus m2 x 22:19.720 --> 22:21.840 ys2,2 Punkt. 22:21.920 --> 22:29.980 Jetzt schauen wir oben, ys2,2 Punkt ist x Punkt plus l Halbe. 22:41.520 --> 22:45.480 x Punkt abgeleitet gibt natürlich x2 Punkt, 22:49.090 --> 22:52.030 das hätte Ihnen schon früher auffallen müssen. 22:53.810 --> 23:01.170 Also x2 Punkt plus l Halbe, Phi 2 Punkt, Cosinus Phi. 23:01.830 --> 23:04.230 Ich spiege das halt immer alles in mein Skript rein, aber wenn ich 23:04.230 --> 23:07.770 dann die Brille nicht auf habe, dann verschwimmen manchmal zwei Punkte 23:07.770 --> 23:08.310 zu einem. 23:13.920 --> 23:18.620 Rein theoretisch würden wir das Drehkreismoment mal der 23:18.620 --> 23:21.560 Winkelbeschleunigung beim Wagen angeben, die haben wir jetzt explizit 23:21.560 --> 23:22.000 angenommen. 23:24.080 --> 23:25.260 Das ist richtig, das fehlt noch. 23:27.440 --> 23:28.740 Das hätten wir dann schon gemerkt. 23:31.760 --> 23:33.360 Vielen Dank für den Hinweis. 23:34.740 --> 23:45.540 Drehkreismoment wirkt entgegen dem positiven Winkel, also ys2, Phi 2 23:45.540 --> 23:45.920 Punkt. 23:49.450 --> 23:50.990 Also, machen wir weiter. 23:51.410 --> 23:53.430 l Halbe, Phi 2 Punkt, Cosinus Phi. 23:54.210 --> 24:00.250 Minus l Halbe, Phi Punkt Quadrat, Sinus Phi. 24:02.210 --> 24:06.330 Das wird multipliziert mit Delta ys2. 24:06.330 --> 24:10.190 Delta ys2 war aber gerade Delta x. 24:12.210 --> 24:18.290 Plus l Halbe, Cosinus Phi mal Delta Phi. 24:23.490 --> 24:24.110 Jetzt kommt 24:27.780 --> 24:36.100 Plus, und jetzt schreibe ich Minus m2 mal g, weil das nach unten 24:36.100 --> 24:36.560 wirkt. 24:37.560 --> 24:44.480 Dann haben wir Minus m2 mal Zs2 2 Punkt, also Minus m2. 24:46.200 --> 24:58.120 Zs2 2 Punkt ist dann Minus l Halbe, Phi 2 Punkt, Sinus Phi. 24:59.060 --> 25:05.760 Minus l Halbe, Phi Punkt Quadrat mal Cosinus Phi. 25:09.470 --> 25:12.210 Beide Kräfte haben wir nicht in vertikaler Richtung, das wird 25:12.210 --> 25:14.170 multipliziert mit Delta zs2. 25:15.170 --> 25:23.710 Also das multipliziert mit Minus 25:27.480 --> 25:36.060 l Halbe, Sinus Phi, Delta Phi. 25:43.010 --> 25:45.330 Jetzt haben wir horizontale Kraft, vertikale Kraft. 25:45.470 --> 25:49.890 Was jetzt noch fehlt, ist die virtuelle Arbeit aufgrund der 25:49.890 --> 25:50.570 Winkelverdrehung. 25:50.570 --> 25:57.310 Da sehen wir, da haben wir zwei Momente, nämlich Kd mal Phi Punkt, js2 25:57.310 --> 25:58.410 mal Phi 2 Punkt. 25:58.650 --> 26:00.950 Die wirken beide in negative Richtung. 26:02.850 --> 26:17.470 Deshalb Minus, und jetzt haben wir js2, Phi 2 Punkt, plus Kd mal Phi 26:17.470 --> 26:17.770 Punkt. 26:17.770 --> 26:19.790 Wie gesagt, das Minuszeichen habe ich rausgezogen. 26:21.270 --> 26:26.770 Mal der virtuellen Winkelverdrehung, die haben wir eingezeichnet, 26:26.950 --> 26:27.550 Delta Phi. 26:35.740 --> 26:39.280 Wie gesagt, das soll Null sein. 26:41.000 --> 26:43.080 Und jetzt sehen wir, was wir jetzt nur noch machen müssen, ist 26:43.080 --> 26:46.120 ausmultiplizieren und ordnen. 26:46.120 --> 26:50.500 Nämlich all das zusammenfassen, was das Delta X beinhaltet, und all 26:50.500 --> 26:53.280 das zusammenfassen, was das Delta Phi beinhaltet. 26:54.120 --> 26:59.060 Schauen wir mal, was das Delta X beinhaltet. 26:59.060 --> 27:06.140 Dann haben wir also Delta W gleich, und zunächst mal haben wir f und 27:06.140 --> 27:21.640 t, Minus m1 x2 Punkt, Minus c mal x minus u, das war die erste Zeile. 27:22.400 --> 27:24.940 Dann haben wir hier einmal Delta X. 27:24.940 --> 27:39.040 Also, Minus m2 x2 Punkt, Minus l halbe, Phi 2 Punkt. 27:43.060 --> 27:47.000 Ich klammer vielleicht doch auch hier das m2 aus, dann machen wir ein 27:47.000 --> 27:56.960 Plus l halbe, Phi 2 Punkt, Cosinus Phi, Minus l halbe, Phi Punkt 27:56.960 --> 27:59.260 Quadrat, Sinus Phi. 28:03.800 --> 28:06.680 Ansonsten haben wir kein Delta X mehr, jetzt können wir also die große 28:06.680 --> 28:15.860 Klammer zumachen, mal Delta X, Plus, und jetzt kommt alles, was das 28:15.860 --> 28:17.040 Delta Phi beinhaltet. 28:17.160 --> 28:18.960 Da sehen wir, in der ersten Zeile haben wir nichts. 28:18.960 --> 28:24.800 In der zweiten Zeile haben wir die Runde, Minus m2, mal der runden 28:24.800 --> 28:26.820 Klammer, mal l halbe, Cosinus Phi. 28:26.820 --> 28:44.100 Also, Minus m2, dann haben wir runde Klammer, das war x2 Punkt, Plus l 28:44.100 --> 28:53.500 halbe, Phi 2 Punkt, Cosinus Phi, Minus l halbe, Phi Punkt Quadrat, 28:55.560 --> 28:57.000 Sinus Phi. 28:59.340 --> 29:01.800 Mal l halbe, Cosinus Phi, 29:06.700 --> 29:15.900 dann haben wir von hier unten den Anteil, Minus m2 g, mal Minus l 29:15.900 --> 29:26.420 halbe, Sinus Phi, gibt Plus m2 g, l halbe, Sinus Phi. 29:33.940 --> 29:39.300 Dann haben wir Minus m2, mal der runden Klammer, mal Minus l halbe, 29:39.420 --> 29:53.260 Sinus Phi, ergibt Plus m2, mal, und jetzt sehen wir, da können wir das 29:53.260 --> 29:55.220 Minuszeichen nochmals ausklammern. 29:55.220 --> 29:59.840 Dann wird es hier ein Minus, dann haben wir l halbe können wir 29:59.840 --> 30:04.060 ausklammern, das mache ich nach hinten, dann steht drin, Phi 2 Punkt, 30:04.660 --> 30:05.880 Sinus Phi, 30:08.960 --> 30:20.280 Minus, nicht Plus, Phi Punkt Quadrat, Cosinus Phi, mal l halbe, 30:22.360 --> 30:25.020 beziehungsweise, wenn wir das l halbe von hinten noch nehmen, gibt es 30:25.020 --> 30:31.580 l Quadrat Viertel, mal Sinus Phi, 30:35.240 --> 30:38.860 und dann haben wir an der Stelle, Minus js2, Phi 2 Punkt, 30:44.900 --> 30:55.140 Minus kd, mal Phi Punkt, und das Ganze jetzt wieder multipliziert mit 30:55.140 --> 30:55.880 Delta Phi, 31:01.240 --> 31:06.740 wenn das Null sein muss, für beliebige Delta X und Delta Phi, geht das 31:06.740 --> 31:18.780 nur, wenn zum einen das für sich gleich Null ist, und zum anderen der 31:18.780 --> 31:19.620 gesamte Term, 31:28.080 --> 31:31.600 jetzt müssen wir nochmal scharf schauen, wir haben hier, 31:34.980 --> 31:44.280 Minus m2, l halbe, mal l halbe, gibt l Quadrat Viertel, mal Phi Punkt 31:44.280 --> 31:52.140 Quadrat, Sinus Phi, Cosinus Phi, das gibt Plus m2, l Quadrat Viertel, 31:52.760 --> 32:00.520 Phi Punkt Quadrat, Sinus Phi, Cosinus Phi, hier haben wir Minus m2, 32:00.700 --> 32:04.540 Phi Punkt Quadrat, Sinus Phi, Cosinus Phi, mal l Quadrat Viertel, also 32:04.540 --> 32:07.520 der Term kürzt sich mit dem hier, 32:29.600 --> 32:35.080 und jetzt sehen wir, wenn das gelbe für sich Null sein muss, dann 32:35.080 --> 32:45.360 haben wir als erste Gleichung f und t, Minus m1 x2 Punkt, Minus m2 x2 32:45.360 --> 32:55.400 Punkt, gibt Minus m1 plus m2, mal x2 Punkt, dann haben wir Minus c mal 32:55.400 --> 33:06.440 x minus u, also Minus c mal x plus c mal u, dann haben wir Minus m2 33:06.440 --> 33:09.020 mal l halbe, 33:13.420 --> 33:18.160 mal Phi 2 Punkt Cosinus Phi, 33:22.230 --> 33:26.530 Minus Phi Punkt Quadrat Sinus Phi, 33:30.700 --> 33:32.440 gleich Null. 33:33.440 --> 33:46.700 Und aus der zweiten Gleichung erhalten wir Minus m2 x2 Punkt, 33:51.200 --> 33:54.600 mal l halbe Cosinus Phi, 34:01.040 --> 34:07.620 dann haben wir Minus m2 l Quadrat Viertel, 34:12.800 --> 34:18.460 mal Phi 2 Punkt, mal Cosinus Quadrat Phi, 34:25.680 --> 34:29.760 dann haben wir Plus m2 g l halbe Sinus Phi, 34:41.480 --> 34:49.040 und dann haben wir unten Minus m2 l Quadrat Viertel, Phi 2 Punkt, 34:49.640 --> 34:53.280 Sinus Quadrat Phi, das kann ich hier dazuschreiben, 34:58.240 --> 35:03.460 und dann fehlt noch das Minus js2 Phi 2 Punkt, 35:12.140 --> 35:15.340 Minus kd mal Phi Punkt, 35:18.640 --> 35:21.640 und das Ganze muss Null sein. 35:21.960 --> 35:24.560 Und man sieht, wenn ich das so schreibe, dann haben wir es an der 35:24.560 --> 35:27.420 Stelle ein bisschen einfacher, weil Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat 35:27.420 --> 35:29.800 vom selben Winkel gerade 1 ergibt. 35:30.900 --> 35:39.580 Also das ergibt 1, sodass dann letztendlich eine etwas einfachere 35:39.580 --> 35:40.640 Gleichung sich ergibt. 35:45.940 --> 35:53.280 Also die erste Gleichung könnten wir zum Beispiel so schreiben, m1, 35:57.040 --> 36:07.720 jetzt überprüfe ich das gleich, m1 plus m2 mal x2 Punkt, dann haben 36:07.720 --> 36:14.900 wir Plus m2 l halbe, 36:18.880 --> 36:21.120 und dann haben wir Phi 2 Punkt, Cosinus Phi, 36:24.660 --> 36:34.760 Minus Phi Punkt Quadrat, Sinus Phi, dann haben wir noch das plus c mal 36:34.760 --> 36:41.360 x, ergibt auf der rechten Seite dann das f und t plus c mal u, 36:46.050 --> 36:48.350 als erste Differenzialgleichung. 36:51.670 --> 36:57.050 Und auch unten bringen wir dann im Prinzip alles auf eine Seite, dann 36:57.050 --> 37:05.450 sehen wir das Phi 2 Punkt, das tritt an zwei Stellen auf, nämlich m2 l 37:05.450 --> 37:07.310 Quadrat Viertel und Js2. 37:07.310 --> 37:10.850 Wenn wir die Gleichung mit Minus 1 durchmultiplizieren, ergibt das 37:10.850 --> 37:27.330 gerade Js2 plus m2 l Quadrat Viertel mal Phi 2 Punkt. 37:30.090 --> 37:36.870 Dann haben wir Plus m2 l halbe Cosinus Phi x2 Punkt, 37:46.790 --> 37:53.750 dann haben wir noch das Kd mal Phi Punkt, 37:59.160 --> 38:05.860 und haben das, weil wir Minus 1 durchmultipliziert haben, Minus m2 l 38:05.860 --> 38:10.400 halbe Jsinus Phi und 38:13.880 --> 38:15.120 dann gleich 0. 38:16.120 --> 38:21.000 Und wir sehen, in dem Fall haben wir jetzt direkt die zwei 38:21.000 --> 38:22.600 Bewegungsgleichungen bestimmt, 38:25.840 --> 38:33.400 ohne die zugehörigen Zwangskräfte, die sonst auftreten, zu benötigen. 38:34.540 --> 38:36.880 Wenn Sie jetzt, wie gesagt, wissen wollen, wie groß sind die 38:36.880 --> 38:40.380 Lagerkräfte, wie groß sind die Normalkräfte auf die Unterlage, dann 38:40.380 --> 38:43.920 müssen Sie das natürlich dann entsprechend anders bestimmen, aber so 38:43.920 --> 38:46.340 hat man zumindest die Bewegungsgleichungen relativ schnell. 38:46.340 --> 38:49.560 Gibt es soweit Fragen? 38:52.120 --> 38:53.160 Wenn nicht, 38:57.820 --> 39:02.720 dann versuchen wir mal das Ganze auch mit Hilfe der Lagrangian 39:02.720 --> 39:05.020 Gleichungen zweiter Art zu lösen. 39:15.890 --> 39:20.450 Also Lagrangian Gleichungen zweiter Art. 39:21.450 --> 39:29.790 Und da wissen wir, die totale Zeitableitung der Partzellenableitung 39:29.790 --> 39:38.410 von L nach Qi Punkt, und Qi ist entweder das X oder das Phi, weil wir 39:38.410 --> 39:48.430 haben ja zwei Freiheitsgrade, minus dL nach dQi gleich GroßQI. 39:50.850 --> 39:53.990 Wenn Sie also in ein paar Jahren das mal rausholen und wirklich eine 39:53.990 --> 39:56.970 Bewegungsgleichung bestimmen wollen, dann muss Ihnen einfach mit 39:56.970 --> 39:59.190 Lagrange das Rezept gehen. 39:59.210 --> 40:00.990 Was bedeutet das Einzelne? 40:00.990 --> 40:11.510 Nun, L ist kinetische Energie minus potenzielle Energie. 40:14.690 --> 40:25.380 Und das GroßQI, das bestimmen wir aus der virtuellen Arbeit, indem wir 40:25.380 --> 40:29.720 sagen, die virtuelle Arbeit all derer Kräfte und Momente, die wir 40:29.720 --> 40:36.600 nicht im Potential berücksichtigen, die eingeträgten, die fassen wir 40:36.600 --> 40:50.820 hier zusammen, also QX mal DeltaX plus QPhi mal DeltaPhi. 40:55.020 --> 40:58.000 Jetzt, wie sieht es aus mit der kinetischen Energie? 40:59.000 --> 41:02.600 Und die kinetische Energie setzt sich zusammen aus den kinetischen 41:02.600 --> 41:04.780 Energien von Wagen und Stab. 41:06.140 --> 41:11.860 Der Wagen wird nur translatorisch horizontal bewegt, deshalb haben wir 41:11.860 --> 41:18.900 die sehr schnell, ein Halb M1 und die Geschwindigkeit des Wagens in 41:18.900 --> 41:21.980 horizontaler Richtung ist X Punkt, also X Punkt Quadrat. 41:22.640 --> 41:24.820 Rotieren tut der Wagen nicht. 41:25.700 --> 41:31.720 Was da noch bleibt, ist der Stab und da haben wir keinen festen Punkt 41:31.720 --> 41:32.200 irgendwo. 41:34.280 --> 41:39.060 Deshalb müssen wir an der Stelle dann die kinetische Energie aus 41:39.060 --> 41:42.040 Translation und Rotation zusammensetzen. 41:43.600 --> 41:46.080 Eventuell noch Koppelenergie, wenn wir nicht den Schwerpunkt als 41:46.080 --> 41:48.120 Bezugspunkt wählen, aber wir wählen den Schwerpunkt. 41:48.120 --> 41:48.780 Warum? 41:48.880 --> 41:51.340 Wir haben ja auch schon die Schwerpunktgeschwindigkeit bestimmt. 41:52.260 --> 41:56.340 Also eben das Problem haben wir es ganz einfach. 41:56.980 --> 42:06.520 Ein Halb M2 mal der Geschwindigkeit des Schwerpunktes zum Quadrat. 42:07.160 --> 42:15.600 Und da sehen wir, es gibt natürlich Y Komponente zum Quadrat plus Z 42:15.600 --> 42:17.100 Komponente zum Quadrat. 42:17.100 --> 42:24.580 Die Y Komponente zum Quadrat ergibt X Punkt Quadrat plus 2 mal X Punkt 42:24.580 --> 42:37.840 mal L Halbe, also plus 2 mal X Punkt L mal Phi Punkt Cosinus Phi plus 42:40.840 --> 42:51.340 L Halbe Phi Punkt Cosinus Phi zum Quadrat, also plus L Quadrat Viertel 42:51.340 --> 43:09.920 Phi Punkt Quadrat Cosinus Quadrat Phi plus und jetzt die Z Komponente 43:09.920 --> 43:10.520 zum Quadrat. 43:10.640 --> 43:14.280 Es gibt L Quadrat Viertel Phi Punkt Quadrat Sinus Quadrat Phi. 43:14.280 --> 43:19.380 Das haben wir ja an der Stelle schon, deshalb schreibe ich jetzt hier 43:19.380 --> 43:21.480 plus Sinus Quadrat Phi. 43:25.830 --> 43:28.810 Da sehen wir, das gibt letztendlich gerade die Eins. 43:29.770 --> 43:31.630 Sinus Quadrat plus Cosinus Quadrat. 43:33.010 --> 43:38.490 Was jetzt noch fehlt, jetzt kommt noch die Klammer zu hier, was jetzt 43:38.490 --> 43:42.430 noch fehlt ist die Rotationsenergie des Stabes. 43:42.430 --> 43:44.250 Jetzt haben wir eine ebene Bewegung. 43:45.010 --> 43:48.130 Gleich bei einer räumlichen Bewegung wäre es vielleicht ein bisschen 43:48.130 --> 43:48.830 komplizierter. 43:49.030 --> 43:51.970 Sie wissen, ein Halb Omega I mal Omega. 43:52.670 --> 44:02.410 Ebene Bewegung, einfach ein Halb J bezüglich dem Schwerpunkt S2 mal 44:05.020 --> 44:09.300 Winkelgeschwindigkeit ist aber Phi Punkt zum Quadrat. 44:15.700 --> 44:20.140 Ach ja, danke, ich hatte gesagt, der Faktor 2 kürzt sich da weg. 44:20.740 --> 44:22.080 Zwei mal L Halbe gibt L. 44:22.900 --> 44:23.180 Danke. 44:32.610 --> 44:37.830 So, das war die kinetische Energie, jetzt die potenzielle Energie. 44:40.190 --> 44:41.230 Wie sieht es da aus? 44:44.790 --> 44:51.010 Da haben wir zum einen eine Feder mit einem zugehörigen 44:51.010 --> 44:52.010 Federpotential. 44:52.590 --> 44:55.750 Die Verlängerung der Feder, die ist X minus U. 44:56.390 --> 45:01.190 Das heißt, lineare Charakteristik, Kreispotential ist C Halbe mal 45:01.190 --> 45:02.910 Federverlängerung zum Quadrat. 45:03.110 --> 45:07.710 Also X minus U zum Quadrat. 45:14.170 --> 45:17.210 Der Wagen, der bleibt immer auf der gleichen Höhe. 45:17.790 --> 45:25.230 Deshalb ist das Gravitationspotential am besten, wenn wir das hier auf 45:25.230 --> 45:27.710 die Y-Achse legen, das Nullniveau. 45:28.210 --> 45:32.890 Dann hat der Wagen aufgrund des Gewichtes kein Potential. 45:34.070 --> 45:40.750 Der Stab hat dann gerade das Potential M2 mal der Höhe über dem 45:40.750 --> 45:41.330 Nullniveau. 45:41.890 --> 45:44.810 Also plus M2 mal G. 45:48.370 --> 45:50.650 Höhe über dem Nullniveau war L Halbe. 45:51.530 --> 45:52.270 Cosinus Phi. 45:57.180 --> 45:59.000 Und wie sieht es aus mit der virtuellen Arbeit? 46:00.740 --> 46:03.700 Und was wir jetzt noch nicht berücksichtigt haben, das war die Kraft F 46:03.700 --> 46:04.120 und T. 46:06.280 --> 46:10.200 Die virtuelle Arbeiterkraft F und T ist F und T mal Delta X. 46:21.470 --> 46:25.650 Man sieht, das Moment hat jetzt keinen Einfluss, weil ja die 46:25.650 --> 46:27.650 Winkelverdrehung verschwindet. 46:28.670 --> 46:32.230 Wie sieht es aus mit dem Stab? 46:34.630 --> 46:38.750 Nun wir sehen, die Gewichtskraft ist berücksichtigt, Beschleunigung 46:38.750 --> 46:40.710 brauchen wir nicht, die haben wir ja in der kinetischen Energie drin. 46:40.710 --> 46:44.850 Was wir noch nicht berücksichtigt haben, ist das Moment aufgrund des 46:44.850 --> 46:45.710 Drehdämpfers. 46:47.150 --> 46:50.470 Man sieht, das Moment ist entgegengesetzt gerichtet zur virtuellen 46:50.470 --> 46:51.010 Verdrehung. 46:51.630 --> 46:54.730 Also minus Kd mal Phi Punkt mal Delta Phi. 47:02.460 --> 47:03.880 Ansonsten haben wir nichts. 47:04.640 --> 47:08.380 Das heißt, was wir jetzt schon mal ablesen können ist, dass das Groß Q 47:08.380 --> 47:11.260 X gerade das F und T sein muss. 47:17.490 --> 47:24.990 Und das Groß Q Phi muss, müssen wir aufpassen, minus Kd mal Phi Punkt 47:24.990 --> 47:25.290 sein. 47:33.550 --> 47:36.990 Bevor wir jetzt die partiellen Ableitungen bilden können, 47:40.090 --> 47:41.230 bilden wir vielleicht noch das L. 47:47.700 --> 48:00.900 Also L ist ein Halb M1 plus M2 mal X Punkt Quadrat. 48:12.800 --> 48:21.740 Dann haben wir plus ein Halb M2 X Punkt L Phi Punkt Co Sinus Phi. 48:33.720 --> 48:41.920 Plus L Quadrat Viertel Phi Punkt Quadrat mal ein Halb M2, gibt also 48:41.920 --> 48:42.680 ein Achtel. 48:46.020 --> 48:53.660 M2 L Quadrat Viertel Phi Punkt Quadrat. 48:56.800 --> 48:59.740 Da fehlt natürlich noch der Faktor ein Halb, sehe ich gerade. 49:00.480 --> 49:01.600 Wieder hat es keiner gemerkt. 49:02.520 --> 49:05.780 Also plus ein Halb Viertel S2 Phi Punkt Quadrat. 49:14.090 --> 49:17.790 Minus C Halbe mal X minus U zum Quadrat. 49:27.440 --> 49:30.380 Minus M2 GL Halbe Co Sinus Phi. 49:38.990 --> 49:40.630 Und jetzt können wir loslegen. 49:41.330 --> 49:45.030 Nämlich jetzt können wir zunächst mal I gleich X setzen. 49:51.070 --> 49:53.510 Also QI gleich X, was folgt da? 49:54.070 --> 49:59.990 Da brauchen wir DL nach DX Punkt. 50:00.910 --> 50:06.250 Und jetzt sehen wir, an der Stelle tritt das X Punkt nur einmal auf. 50:06.410 --> 50:11.530 Nämlich ein Halb M1 plus M2 X Punkt Quadrat nach X Punkt abgeleitet, 50:11.650 --> 50:19.950 gibt gerade M1 plus M2 mal X Punkt. 50:21.390 --> 50:25.090 Die partiellen Ableitungen, ah ne da haben wir es nochmal, 50:25.310 --> 50:25.630 Entschuldigung. 50:26.570 --> 50:30.190 Plus, jetzt müssen wir an der Stelle nochmal das X Punkt, also plus 50:30.190 --> 50:30.890 ein Halb. 50:33.610 --> 50:39.290 Und den Ausdruck nach X Punkt abgeleitet, gibt ein Halb M2 L mal Phi 50:39.290 --> 50:43.030 Punkt Co Sinus Phi. 50:46.370 --> 50:49.250 Den dritten Term nach X Punkt abgeleitet ergibt 0. 50:49.470 --> 50:50.990 Hier ergibt das 0 die Ableitung. 50:51.670 --> 50:55.250 Da haben wir zwar das X stehen, bei einer Ableitung nach X Punkt wird 50:55.250 --> 50:57.530 aber das X als andere Variable aufgefasst. 50:57.670 --> 51:00.850 Deshalb auch hier partielle Ableitung gleich 0, genauso wie hier. 51:11.630 --> 51:17.130 Damit können wir bestimmen D nach DT von DL nach DX Punkt. 51:18.510 --> 51:23.010 Und da sehen wir, an der Stelle haben wir nur X Punkt einmal nach der 51:23.010 --> 51:29.030 Zeit abgeleitet, gibt M1 plus M2 mal X2 Punkt. 51:30.210 --> 51:33.330 Wenn wir den zweiten Term nach der Zeit ableiten, müssen wir 51:33.330 --> 51:33.770 aufpassen. 51:34.950 --> 51:39.750 Der tritt nämlich, da haben wir sowohl Phi Punkt als auch das Co Sinus 51:39.750 --> 51:41.710 Phi, zeitabhängig, wir brauchen die Produktregel. 51:41.710 --> 51:49.950 Gibt also zunächst mal plus 1 Halb M2 mal L mal Phi 2 Punkt Co Sinus 51:49.950 --> 51:50.170 Phi. 51:50.950 --> 51:54.290 Jetzt müssen wir noch den Co Sinus Phi nach der Zeit ableiten, das ist 51:54.290 --> 51:55.950 minus Sinus Phi mal Phi Punkt. 51:56.250 --> 52:07.270 Gibt also minus 1 Halb M2 L Phi Punkt Quadrat Sinus Phi. 52:09.350 --> 52:14.410 Als nächstes brauchen wir noch das DL nach DQI, also DL nach DX. 52:20.360 --> 52:23.960 Und da sehen wir, der erste Term hängt nur von X Punkt ab. 52:24.640 --> 52:27.580 Der zweite Term, da haben wir das X nicht explizit drinstehen, wir 52:27.580 --> 52:31.300 haben das X nur an einer Stelle stehen, nämlich bei der Feder. 52:31.300 --> 52:35.800 Das gibt also minus C Halbe. 52:37.440 --> 52:43.760 Jetzt die Ableitung von X minus U zum Quadrat nach X ergibt zweimal X 52:43.760 --> 52:44.800 minus U. 52:46.420 --> 52:49.000 Mal der inneren Ableitung, die ist aber 1. 52:50.040 --> 52:55.000 Wir sehen, das gibt einfach minus C mal X minus U. 53:05.340 --> 53:16.140 Das heißt, wenn wir jetzt alles der Reihe nach einsetzen, haben wir M1 53:16.140 --> 53:24.300 plus M2 mal X2 Punkt plus 1 Halb M2 53:28.940 --> 53:34.040 L Phi 2 Punkt Co Sinus Phi. 53:37.400 --> 53:52.120 Minus 1 Halb M2 L Phi Punkt Quadrat Sinus Phi. 53:53.200 --> 54:00.600 Minus DL nach DX, da müssen wir aufpassen, minus mal minus gibt plus C 54:03.030 --> 54:07.270 mal X minus C mal U. 54:08.410 --> 54:12.410 Das minus C mal U bringe ich gleich auf die andere Seite rüber, gibt 54:12.410 --> 54:13.670 also C mal U. 54:15.270 --> 54:19.790 Und jetzt steht rechts zusätzlich noch das QX, das ist aber das F und 54:19.790 --> 54:20.050 T. 54:20.050 --> 54:27.590 Also zunächst mal steht es so da, gleich F und T, so wäre die 54:27.590 --> 54:30.070 ursprüngliche Gleichung, wenn ich es einfach einsetze. 54:30.410 --> 54:33.490 Ich habe es jetzt so gemacht, ich bringe das C mal U noch nach rechts, 54:35.630 --> 54:37.930 dann steht hier ein Plus. 54:44.890 --> 54:49.510 Und wenn wir das vergleichen, sehen wir, jetzt haben wir eine gewisse 54:49.510 --> 54:52.250 Kontrolle, das haben wir nämlich auch vorher schon rausgebracht. 54:55.350 --> 55:02.830 Wie sieht es aus für Q2 gleich Phi? 55:08.590 --> 55:14.230 Und da brauchen wir zunächst mal DL nach D Phi Punkt. 55:15.750 --> 55:19.450 DL nach D Phi Punkt, der erste Term hängt nicht von Phi Punkt ab, der 55:19.450 --> 55:20.530 zweite Term hängt ab. 55:28.030 --> 55:47.610 Dann haben wir den letzten Term in der oberen Zeile, das Phi Punkt 55:47.610 --> 55:50.950 Quadrat abgeleitet, partiell nach Phi Punkt, ergibt zweimal Phi Punkt. 56:09.450 --> 56:12.290 Das hatte ich ja schon in den Faktor ein Achtel rein. 56:21.450 --> 56:25.350 Also ein Achtel M2 L Quadrat Phi Punkt Quadrat nach Phi Punkt 56:25.350 --> 56:27.290 abgeleitet, ergibt Plus ein Viertel. 56:29.290 --> 56:34.210 M2 L Quadrat Phi Punkt. 56:35.510 --> 56:39.410 Dann haben wir ein Halb JS2 Phi Punkt Quadrat nach Phi Punkt 56:39.410 --> 56:44.770 abgeleitet, ergibt Plus JS2 Phi Punkt. 56:46.650 --> 56:49.670 Und die anderen beiden Terme, die hängen nicht von Phi Punkt ab, 56:49.890 --> 56:51.030 drehen also hier nicht auf. 56:54.230 --> 56:58.850 Die Ableitung nach der Zeit dieses Ausdruckes, 57:02.200 --> 57:05.520 da müssen wir beachten, sowohl das X Punkt als auch das Cosinus Phi 57:05.520 --> 57:07.300 hängen von der Zeit ab. 57:07.380 --> 57:10.920 Wir brauchen also an der Stelle die Produktregel, ergibt zunächst mal 57:10.920 --> 57:16.800 ein Halb M2 X2 Punkt L Cosinus Phi. 57:17.800 --> 57:24.860 Dann haben wir Plus ein Halb M2 X2 Punkt L mal der Ableitung von 57:24.860 --> 57:25.660 Cosinus Phi. 57:25.780 --> 57:35.100 Das ergibt Minus Phi Punkt Sinus Phi, ergibt also Minus ein Halb M2 X2 57:35.100 --> 57:40.020 Punkt L Phi Punkt Sinus Phi. 57:40.020 --> 57:43.040 Und die letzten beiden Terme, die fasse ich zusammen. 57:43.780 --> 57:46.200 Da sieht man, dass Phi Punkt jeweils einmal nach der Zeit 57:46.200 --> 57:47.880 differenziert, ergibt Phi 2 Punkt. 57:48.280 --> 57:59.920 Also Plus ein Viertel M2 L Quadrat Plus JS2 mal Phi 2 Punkt. 58:02.740 --> 58:06.220 Schauen wir mal, dann brauchen wir als nächsten Term die partielle 58:06.220 --> 58:07.780 Ableitung von L nach Phi. 58:12.720 --> 58:15.300 Also dL nach dPhi. 58:16.360 --> 58:19.820 Und da sehen wir, der erste Term hängt nicht von Phi ab, der zweite 58:19.820 --> 58:21.020 Term hängt von Phi ab. 58:21.440 --> 58:25.260 Dann müssen wir Cosinus Phi nach Phi differenzieren, das ergibt Minus 58:25.260 --> 58:37.700 Sinus Phi, ergibt also Minus ein Halb M2 X2 Punkt L Phi Punkt Sinus 58:37.700 --> 58:37.960 Phi. 58:41.480 --> 58:44.820 Den letzten Term in der oberen Zeile nach Phi abgeleitet, ergibt Null. 58:45.420 --> 58:48.700 Den ersten Term in der zweiten Zeile nach Phi abgeleitet, ergibt Null. 58:49.520 --> 58:53.940 Das C Halbe X Minus U zum Quadrat abgeleitet nach Phi ergibt Null. 58:54.300 --> 58:58.140 Der letzte Anteil, der gibt wieder etwas bei der Ableitung nach Phi, 58:58.320 --> 59:02.300 nämlich Cosinus Phi abgeleitet, ergibt Minus Sinus Phi. 59:02.300 --> 59:13.800 Deshalb Plus M2 mal G mal L Halbe Sinus Phi. 59:14.420 --> 59:18.580 Jetzt haben wir wieder alle Terme, sowohl die Zeitableitung von der 59:18.580 --> 59:21.980 partiellen Ableitung, dann die partielle Ableitung nach Phi, dann das 59:21.980 --> 59:23.240 Q Phi. 59:23.240 --> 59:28.760 Das heißt, jetzt können wir wieder alles zusammenfassen und 59:38.290 --> 59:48.370 sehen, das gibt zunächst mal ein Halb M2 X2 Punkt L Cosinus Phi. 59:52.370 --> 59:57.550 Dann haben wir Minus, ich bringe jetzt erstmal den mit Phi 2 Punkt. 59:58.270 --> 01:00:08.710 Plus ein Viertel M2 L Quadrat plus JS2 Phi 2 Punkt. 01:00:08.710 --> 01:00:25.110 Dann haben wir Minus ein Halb M2 X Punkt L Punkt Sinus Phi. 01:00:52.080 --> 01:00:53.380 Minus 01:00:56.760 --> 01:00:58.860 DL nach D Phi. 01:00:59.900 --> 01:01:14.120 Minus Minus gibt Plus ein Halb M2 X Punkt L Phi Punkt mal Sinus Phi. 01:01:19.180 --> 01:01:22.540 Minus M2 G L Halbe Sinus Phi. 01:01:28.300 --> 01:01:36.260 Jetzt fehlt noch das gleich Q Phi, also gleich Minus KD mal Phi Punkt. 01:01:40.050 --> 01:01:46.170 Wenn wir das genau anschauen, dann sehen wir, das Minus M2 ein Halb M2 01:01:46.170 --> 01:01:50.790 X Punkt L Phi Punkt Sinus Phi hebt sich mit dem Plus ein Halb M2 X 01:01:50.790 --> 01:01:52.510 Punkt L Phi Punkt Sinus Phi weg. 01:01:52.510 --> 01:02:05.030 Sodass letztendlich verbleibt ein Viertel M2 L Quadrat plus JS2 mal 01:02:05.030 --> 01:02:16.670 Phi 2 Punkt plus ein Halb M2 X2 Punkt L Cosinus Phi. 01:02:22.530 --> 01:02:32.470 Plus KD mal Phi Punkt, das bringe ich auf die linke Seite, Minus M2 G 01:02:32.470 --> 01:02:39.190 L Halbe Sinus Phi gleich Null. 01:02:43.880 --> 01:02:46.520 Ja, ich denke, das haut hin. 01:02:47.920 --> 01:02:55.620 Wir sehen, auch hier haben wir letztendlich dann die eine 01:02:55.620 --> 01:03:02.120 Differentialgleichung und wo war es, oben hatten wir die andere 01:03:02.120 --> 01:03:05.660 Differentialgleichung, die ich jetzt nicht eingerahmt habe. 01:03:05.660 --> 01:03:07.220 Gibt es soweit Fragen? 01:03:08.620 --> 01:03:13.820 Man sieht auch an dem Beispiel, dass bei den Lagrangian-Gleichungen es 01:03:13.820 --> 01:03:18.520 Therme geben kann, die sich im Laufe der Rechnung gegenseitig 01:03:18.520 --> 01:03:18.960 wegheben. 01:03:19.880 --> 01:03:21.140 Das war bei den beiden der Fall. 01:03:22.560 --> 01:03:26.180 Wenn wir uns nochmal überlegen, wie wir die Lagrangian-Gleichungen 01:03:26.180 --> 01:03:30.820 hergeleitet haben, dort haben wir ja praktisch einen Term genommen und 01:03:30.820 --> 01:03:32.640 haben praktisch zwei Terme draus gemacht. 01:03:32.640 --> 01:03:38.000 So kann man es sich ungefähr vorstellen, beim Ableiten, wenn Sie die 01:03:38.000 --> 01:03:39.320 Herleitung da nochmal anschauen. 01:03:42.040 --> 01:03:48.440 Man sieht auch an der Stelle, hier haben wir so einen Fall, wo eben 01:03:48.440 --> 01:03:52.860 die kinetische Energie nicht nur von den Geschwindigkeiten abhängt, 01:03:53.540 --> 01:03:59.360 sondern auch von den Koordinaten selbst, in dem Fall von dem Phi. 01:04:05.820 --> 01:04:10.580 Gibt es keine Fragen? 01:04:12.920 --> 01:04:16.200 Dann sind wir jetzt an der Stelle angelangt, dass wir 01:04:16.200 --> 01:04:19.860 Bewegungsgleichungen über verschiedene Methoden herleiten können. 01:04:19.860 --> 01:04:25.420 So richtig hergeleitet haben wir die letztendlich nur eigentlich für 01:04:25.420 --> 01:04:28.000 ebene Systeme. 01:04:28.900 --> 01:04:31.640 Wir haben Kreiseltheorie gemacht, aber man sieht bei der 01:04:31.640 --> 01:04:33.600 Kreiseltheorie, das wird sehr schnell kompliziert. 01:04:33.600 --> 01:04:39.260 Es gibt sehr oft auch Klausuraufgaben zur Kreiseltheorie, wo dann 01:04:39.260 --> 01:04:43.140 bestimmte Bewegungen vielleicht vorgegeben sind, wo es vielleicht für 01:04:43.140 --> 01:04:49.060 die Maschinenbauerin oder den Maschinenbauern, 01:04:54.600 --> 01:04:59.100 wobei die Maschinenbauerin oder der Maschinenbauer bei solchen 01:04:59.100 --> 01:05:03.060 Aufgaben meist die Schwierigkeit hat, dass man räumlich denken muss, 01:05:03.120 --> 01:05:04.180 das ist gar nicht so leicht. 01:05:04.620 --> 01:05:08.000 Auch sich das Ganze dann vorzustellen, wie solche Kreiselaufgaben 01:05:08.000 --> 01:05:08.320 sind. 01:05:08.900 --> 01:05:11.460 Wenn es jetzt um konkrete Rechnungen ging und das Ganze ein bisschen 01:05:11.460 --> 01:05:14.620 komplizierter wurde, haben wir das dann eigentlich schon wieder ein 01:05:14.620 --> 01:05:16.380 bisschen auf Ebene Probleme beschränkt. 01:05:16.900 --> 01:05:19.820 Hier war es dann so, dass die kinetische Energie dann wieder relativ 01:05:19.820 --> 01:05:22.820 einfach wird, die Kinematik wird ein bisschen einfacher und so weiter. 01:05:23.300 --> 01:05:25.880 Aber denken Sie daran, das Leben ist nicht immer ganz einfach. 01:05:26.640 --> 01:05:28.120 Manchmal wird es auch räumlich. 01:05:29.560 --> 01:05:35.560 Und da sollte ein Maschinenbauer vom KIT durchaus in der Lage sein, 01:05:35.820 --> 01:05:37.260 auch solche Dinge zu lösen. 01:05:38.000 --> 01:05:40.240 Und sich vielleicht mal von den anderen Unis ein bisschen 01:05:40.240 --> 01:05:40.880 unterscheiden. 01:05:43.240 --> 01:05:46.720 Aber, wir hatten irgendwann mal gesagt, oder wahrscheinlich fragen 01:05:46.720 --> 01:05:49.400 sich das viele Studenten, was mache ich denn mit den 01:05:49.400 --> 01:05:50.480 Bewegungsgleichungen. 01:05:51.280 --> 01:05:54.480 Und da habe ich wieder mal ein ganz einfaches Beispiel mitgebracht, 01:05:55.980 --> 01:05:59.100 das ich glaube ich immer an der ersten Vorlesungsstunde auch vorführe, 01:05:59.520 --> 01:06:01.300 nämlich so ein Doppelpendel. 01:06:01.740 --> 01:06:07.680 Man sieht, ich habe so ein bisschen einen größeren Balken und habe 01:06:07.680 --> 01:06:10.500 dran gehängt wie so ein kleines Pendel. 01:06:11.160 --> 01:06:14.520 Nun, wenn ich den ersten Balken in der Mitte lagere, dann würde der 01:06:14.520 --> 01:06:16.800 eigentlich gar nicht schwingen, das wissen wir aus Erfahrung, den 01:06:16.800 --> 01:06:19.340 könnten wir beliebig verdrehen, weil wir halten den ja im Schwerpunkt 01:06:19.340 --> 01:06:19.660 fest. 01:06:20.200 --> 01:06:22.460 Jetzt haben wir aber exzentrisch noch eine Masse dran hängen, das 01:06:22.460 --> 01:06:26.040 heißt, wenn ich den loslasse, dann macht er ja irgendwelche 01:06:26.040 --> 01:06:26.620 Bewegungen. 01:06:27.220 --> 01:06:30.160 Und an der Stelle zeigt es sich wieder, dass man in der Vorlesung 01:06:30.160 --> 01:06:33.280 immer möglichst weit vorne sitzt, um etwas mitzubekommen. 01:06:33.280 --> 01:06:36.140 Man hat natürlich die Schwierigkeit, dass man vielleicht während des 01:06:36.140 --> 01:06:41.320 Filmens auch ins Bild kommt, sollte sich deshalb auch vielleicht immer 01:06:41.320 --> 01:06:44.840 gut kleiden oder rasieren oder raschen oder wie auch immer. 01:06:48.970 --> 01:06:52.510 Das sollte man im Übrigen sowieso machen, weil man in der Vorlesung, 01:06:52.590 --> 01:06:55.950 wenn man richtig in die Vorlesung geht, ja vielleicht auch mal eine 01:06:55.950 --> 01:06:58.130 hübsche Studentin oder eine hübsche Studentin trifft. 01:06:59.090 --> 01:07:03.730 Was man bei den Videoaufzeichnungen zu Hause vielleicht eher nicht 01:07:03.730 --> 01:07:03.950 hat. 01:07:05.670 --> 01:07:07.230 So, lange Rede, kurzer Sinn. 01:07:09.770 --> 01:07:14.070 Wir sehen, wir haben so ein ganz einfaches System, das scheint aber 01:07:14.070 --> 01:07:17.730 richtig lustige Bewegungen zu machen und die Frage, die sich einem 01:07:17.730 --> 01:07:21.450 Maschinenbauer natürlich immer stellt, ist, kann ich das auch 01:07:21.450 --> 01:07:22.250 vorhersagen? 01:07:22.250 --> 01:07:26.390 Wenn ich jetzt das System modifiziere, wie verhält sich dann das 01:07:26.390 --> 01:07:26.690 Ganze? 01:07:27.110 --> 01:07:30.330 Das ist ja genau das, was wir auch bei technischen Anwendungen wissen 01:07:30.330 --> 01:07:30.650 wollen. 01:07:31.150 --> 01:07:33.530 Was weiß ich, ich habe irgendein Fahrgeschäft, will da Personen 01:07:33.530 --> 01:07:35.790 reinsetzen, jetzt muss ich wissen, wie bewegt sich das, welche 01:07:35.790 --> 01:07:37.110 Beschleunigungen treten auf. 01:07:37.430 --> 01:07:41.530 Also letztendlich ist die Herleitung der Bewegungsgleichung natürlich 01:07:41.530 --> 01:07:44.170 nur eine Aufgabe von denen, die ich habe. 01:07:44.890 --> 01:07:50.150 Und um das nochmal ein bisschen zu motivieren, nehmen wir einfach 01:07:50.150 --> 01:07:50.910 dieses Beispiel. 01:07:51.410 --> 01:07:53.510 Das hat zwei Freiheitsgrade. 01:08:01.140 --> 01:08:07.640 Und jetzt kann ich hergehen und mir ein zunächst physikalisches Modell 01:08:07.640 --> 01:08:10.480 dieses Systems machen. 01:08:21.030 --> 01:08:26.370 Das habe ich jetzt mal hier gemacht. 01:08:27.210 --> 01:08:29.690 Dann haben wir also irgendwo das Lager. 01:08:32.150 --> 01:08:34.570 Dann haben wir den ersten Balken, ich drehe jetzt mal so an. 01:08:36.190 --> 01:08:37.890 Das ist vielleicht nicht ganz so schön gezeichnet. 01:08:38.410 --> 01:08:39.850 Der ist auch eckig im Übrigen. 01:08:40.950 --> 01:08:43.130 Einfach eine Stange, mittig gelagert. 01:08:44.890 --> 01:08:46.010 Länge L1. 01:08:49.810 --> 01:08:55.850 Dann haben wir am Ende noch so ein zweites Pendel dran. 01:08:55.850 --> 01:08:57.470 Länge L2. 01:09:02.820 --> 01:09:04.880 Das erste hat die Masse M1. 01:09:05.820 --> 01:09:08.000 Das zweite hat die Masse M2. 01:09:09.720 --> 01:09:14.600 Wie im Hörsaal wirkt nach unten die Gewichtskraft. 01:09:16.320 --> 01:09:18.840 Und wir sehen, das ist ein System mit zwei Freiheitsgraden. 01:09:18.940 --> 01:09:22.060 Führen wir entsprechende verallgemeinerte Koordinaten ein. 01:09:22.060 --> 01:09:32.400 Dann ist das zum Beispiel der Verdrehwinkel V1 für die erste Stange 01:09:32.400 --> 01:09:38.400 und V2 für die zweite Pendelstange. 01:09:42.890 --> 01:09:45.930 Und wir nehmen mal an, wir haben wirklich dünne Stäbe. 01:09:46.930 --> 01:09:52.650 Dann wissen wir, das Massenträgheitsmoment von Stab 1 bezüglich seines 01:09:52.650 --> 01:09:57.850 Schwerpunktes in der Mitte ist dann gerade 1 zwölftel mal seiner 01:09:57.850 --> 01:09:58.250 Masse. 01:09:58.530 --> 01:10:04.150 Also M1 zwölftel mal L1 Quadrat. 01:10:06.870 --> 01:10:15.950 Und Js2 entsprechend 1 zwölftel M2 L2 Quadrat. 01:10:22.820 --> 01:10:26.480 Jetzt können Sie zum Beispiel wieder Lagrange-Gleichungen nehmen oder 01:10:26.480 --> 01:10:30.680 Prinzip von D'Alemberti-Lagrange-Erfassung oder auch Newton-Euler. 01:10:31.840 --> 01:10:34.800 Das machen Sie mal zu Hause in einer ruhigen Minute. 01:10:35.500 --> 01:10:40.000 Ich gebe jetzt mal nur das Ergebnis an. 01:10:40.980 --> 01:10:42.660 Da haben wir zwei Bewegungsgleichungen. 01:10:42.660 --> 01:10:54.820 Die eine ist Js1 plus M2 L1 Quadrat Viertel mal 01:11:06.170 --> 01:11:24.190 V1 Zweipunkt plus M2 L1 L2 Viertel mal Cosinus von V1 minus V2 mal phi 01:11:24.190 --> 01:11:42.910 2, 2 Punkt, plus m 2, l 1, l 2, Viertel, mal phi 2, Punkt, Quadrat, 01:11:44.050 --> 01:11:50.670 mal Sinus von phi 1, minus phi 2, 01:11:54.050 --> 01:12:05.770 plus m 2, g, l 1, halbe, Sinus phi 1, gleich 0. 01:12:06.810 --> 01:12:09.310 Man sieht, da haben wir beide Koordinaten drin, bzw. 01:12:09.610 --> 01:12:10.450 Ableitungen davon. 01:12:11.330 --> 01:12:18.890 Und wir haben noch eine zweite Bewegungsgleichung, die ich jetzt auf 01:12:18.890 --> 01:12:20.370 die linke Tafel hier schreibe, 01:12:25.940 --> 01:12:27.920 die da lautet m 2, Viertel, 01:12:34.440 --> 01:12:52.500 l 1, l 2, Cosinus von phi 1, minus phi 2, mal phi 1, 2 Punkt, plus, 01:12:52.760 --> 01:13:04.340 und dann haben wir j s 2, plus m 2, l 2, Quadrat, Viertel, mal phi 2, 01:13:06.200 --> 01:13:23.420 2 Punkt, minus m 2, Viertel, l 1, l 2, phi 1, Punkt, Quadrat, Sinus 01:13:23.420 --> 01:13:40.000 von phi 1, minus phi 2, plus m 2, g, mal l 2, halbe, Sinus phi, gleich 01:13:40.000 --> 01:13:40.240 0. 01:13:41.620 --> 01:13:45.300 So, und jetzt haben wir zwei Bewegungsgleichungen und wollen diese 01:13:45.300 --> 01:13:46.200 lösen. 01:13:47.580 --> 01:13:50.340 Die sind gekoppelt, die sind nicht linear, da werden wir keine strenge 01:13:50.340 --> 01:13:53.760 Lösung finden, das wird nur näherungsweise gehen. 01:13:53.900 --> 01:13:57.920 Das Stichwort heißt dann, numerische Integration, also wir wollen 01:13:57.920 --> 01:14:01.540 jetzt versuchen, mit einem Integrationsverfahren entsprechende 01:14:01.540 --> 01:14:02.800 Lösungen zu generieren. 01:14:03.740 --> 01:14:08.580 Die Gleichungen, die sehen, wenn man sie so sieht, vielleicht nicht so 01:14:08.580 --> 01:14:09.380 einfach aus. 01:14:11.380 --> 01:14:18.120 Man sieht aber, die zweiten Zeitableitungen von phi 1 und phi 2, die 01:14:18.120 --> 01:14:22.940 treten immer linear auf, multipliziert vielleicht noch mit Termen, die 01:14:22.940 --> 01:14:24.120 von den Winkeln abhängen. 01:14:24.120 --> 01:14:31.500 Das heißt, ich kann die beiden Gleichungen zunächst mal formal, wenn 01:14:31.500 --> 01:14:36.060 wir das anschauen, sehen wir das, so schreiben, eine symmetrische 01:14:36.060 --> 01:14:49.100 Massenmatrix, A, B, B, A, multipliziert mit phi 1, zwei Punkt, phi 2, 01:14:49.260 --> 01:14:49.860 zwei Punkt. 01:14:52.020 --> 01:14:56.260 Und dann haben wir in jeder Gleichung noch Terme, die beinhalten die 01:14:56.260 --> 01:15:00.480 Winkel und auch Ableitungen der Winkel, aber all die Terme bringe ich 01:15:00.480 --> 01:15:10.660 auf die rechte Seite, nämlich ich schreibe, das ergibt gerade R1, R2. 01:15:11.400 --> 01:15:16.000 Und wie gesagt, R1 und R2 hängen von phi 1, phi 2, phi 1 Punkt und phi 01:15:16.000 --> 01:15:18.440 2 Punkt und eine ganze Menge Parameter ab. 01:15:19.440 --> 01:15:21.860 Und das, Moment, hier heißt es C. 01:15:23.540 --> 01:15:30.840 Auch A, B und C sind, wie man sieht, hier Funktionen der Winkel, nicht 01:15:30.840 --> 01:15:36.180 aber der Winkelgeschwindigkeiten und natürlich von verschiedenen 01:15:36.180 --> 01:15:38.220 Geometrie - und Masseparametern. 01:15:39.220 --> 01:15:52.560 Wenn ich das mal angebe, dann sieht man, das kleine A ist JS1 plus M2 01:15:52.560 --> 01:15:55.160 L1 Quadratviertel. 01:15:55.160 --> 01:16:15.160 Das B ist M2 L1 L2 Viertel, Cosinus von phi 1 minus phi 2. 01:16:15.160 --> 01:16:29.520 Und das C ist JS2 plus M2 L2 Quadratviertel. 01:16:32.220 --> 01:16:36.540 Und dementsprechend ergeben sich natürlich auch Ausdrücke für R1 und 01:16:36.540 --> 01:17:00.150 R2, nämlich R1 ist Minus M2 L1 01:17:04.200 --> 01:17:18.870 L2 Viertel phi 2 Punkt Quadrat Sinus von phi 1 minus phi 2. 01:17:20.670 --> 01:17:26.490 Minus M2 GL1 Halbe mal 01:17:30.350 --> 01:17:33.930 Sinus phi 1. 01:17:36.850 --> 01:17:52.310 Und das R2 ist M2 L1 L2 Viertel phi 1 Punkt Quadrat. 01:17:55.990 --> 01:18:00.950 Sinus von phi 1 minus phi 2. 01:18:02.230 --> 01:18:13.550 Minus M2 GL2 Halbe mal Sinus phi 2. 01:18:14.430 --> 01:18:14.790 Wenn 01:18:26.240 --> 01:18:32.300 wir numerisch integrieren wollen, dann brauchen wir aber für die 01:18:32.300 --> 01:18:36.520 meisten Programme, Matlab oder Maple oder wie auch immer, dass in der 01:18:36.520 --> 01:18:41.980 Form, das links steht, erste Ableitung von einer Größe gleich rechte 01:18:41.980 --> 01:18:47.300 Seite, wobei die rechte Seite von keiner Ableitung einer Größe 01:18:47.300 --> 01:18:48.340 abhängen darf. 01:18:50.040 --> 01:18:54.420 Oh, jetzt haben wir hier aber zweite Zeitableitungen. 01:18:57.120 --> 01:19:01.280 Na gut, was wir zunächst mal machen können ist, wir können ja mit der 01:19:01.280 --> 01:19:06.840 inversen Matrix von links durch multiplizieren, also A, B, B, C hoch 01:19:06.840 --> 01:19:07.620 Minus 1. 01:19:08.260 --> 01:19:12.280 Das ergibt auf der linken Seite Einheitsmatrix mal phi 1,2 Punkt phi 2 01:19:12.280 --> 01:19:12.900 ,2 Punkt. 01:19:12.900 --> 01:19:16.360 Das ist gerade phi 1,2 Punkt phi 2,2 Punkt. 01:19:23.250 --> 01:19:36.750 Ergibt dann rechts A, B, B, C hoch Minus 1 mal dem R1 R2. 01:19:36.750 --> 01:19:36.850 Okay, 01:19:42.930 --> 01:19:46.810 und jetzt sehen wir, jetzt haben wir links die zweiten Zeitableitungen 01:19:46.810 --> 01:19:54.930 und haben rechts Größen, die nur noch von phi 1, phi 2, phi 1 Punkt 01:19:54.930 --> 01:19:58.330 und phi 2 Punkt abhängen. 01:19:59.870 --> 01:20:04.410 Das ist die Frage, hat jemand schon mal was von der Zustandsform 01:20:04.410 --> 01:20:04.810 gehört? 01:20:07.150 --> 01:20:11.970 Die Idee ist die, wenn ich einen Massenpunkt hier an einer bestimmten 01:20:11.970 --> 01:20:15.170 Position habe, dann habe ich natürlich Lagekoordinaten. 01:20:15.990 --> 01:20:19.030 Aber wenn ich nur die Lagekoordinaten habe, dann habe ich nicht den 01:20:19.030 --> 01:20:20.890 gesamten Zustand des Massenpunktes. 01:20:22.310 --> 01:20:29.290 Denn bei gleichen Lagekoordinaten kann ja der Massenpunkt noch 01:20:29.290 --> 01:20:30.930 verschiedene Geschwindigkeiten haben. 01:20:32.050 --> 01:20:35.250 Und die Beschleunigungen, die könnten auch verschieden sein, aber die 01:20:35.250 --> 01:20:36.650 werden ja wieder durch die Kräfte bestimmt. 01:20:37.450 --> 01:20:41.230 Also der Zustand ist dann beschrieben durch sowohl Lage- wie auch 01:20:41.230 --> 01:20:42.650 Geschwindigkeitskoordinaten. 01:20:43.050 --> 01:20:46.570 Und jetzt kommt der große Trick, jetzt führen wir an der Stelle 01:20:46.570 --> 01:20:50.050 Zustandskoordinaten ein. 01:20:55.060 --> 01:21:03.860 Nämlich wir sagen, die Zustandskoordinate y1, die soll sein das phi 1. 01:21:09.440 --> 01:21:13.820 Die Zustandskoordinate y2, die soll zum Beispiel sein der Winkel phi 01:21:13.820 --> 01:21:14.160 2. 01:21:16.360 --> 01:21:22.980 Die Zustandskoordinate y3, die soll sein die Ableitung von phi 1 nach 01:21:22.980 --> 01:21:24.500 der Zeit, also phi 1 Punkt. 01:21:26.320 --> 01:21:33.380 Und das y4 soll sein das phi 2 Punkt. 01:21:34.740 --> 01:21:36.740 Und was wir jetzt benötigen ist, 01:21:41.620 --> 01:21:53.140 y1 Punkt ist eine Funktion f1, die nur noch abhängt von y1, y2, y3, y4 01:21:53.140 --> 01:21:56.800 und bei uns eventuell der Zeit t, aber bei uns tritt die Zeit t 01:21:56.800 --> 01:21:58.120 explizit nicht auf. 01:21:58.380 --> 01:22:03.080 Also um das t müssen wir uns in dem Beispiel keine Gedanken machen. 01:22:04.060 --> 01:22:11.580 Des weiteren y2 Punkt gleich eine andere Funktion, die nur abhängt von 01:22:11.580 --> 01:22:15.800 den Koordinaten selbst, aber nicht von den Ableitungen y1 Punkt, y2 01:22:15.800 --> 01:22:16.520 Punkt und so weiter. 01:22:16.520 --> 01:22:29.180 Also y1, y2, y3, y4 und genauso y3 Punkt, y4 Punkt gleich. 01:22:33.230 --> 01:22:40.890 Und jetzt sehen wir, y1 Punkt ist ja phi 1 Punkt. 01:22:40.890 --> 01:22:44.950 Und wenn wir phi 1 Punkt durch die Zustandskoordinaten selbst 01:22:44.950 --> 01:22:48.270 ausdrücken wollen, sehen wir, das ist ja gerade y3. 01:22:49.410 --> 01:22:53.230 Also gleich y3. 01:22:54.490 --> 01:23:00.750 Und das y2 Punkt, das sehen wir, das entspricht der Ableitung von phi 01:23:00.750 --> 01:23:01.130 2. 01:23:01.570 --> 01:23:04.010 Die Ableitung von phi 2 ist aber y4. 01:23:10.280 --> 01:23:12.500 Und y3 Punkt, was ist das? 01:23:13.380 --> 01:23:14.900 Das ist phi 1, 2 Punkt. 01:23:15.000 --> 01:23:20.480 Da sehen wir, phi 1, 2 Punkt ist das, was sich praktisch in der 01:23:20.480 --> 01:23:24.620 Spaltenmatrix ergibt, die wir durch die Multiplikation hier erhalten. 01:23:25.020 --> 01:23:30.800 Das ist also eine Größe, die hängt nur ab von phi 1, von phi 2, von 01:23:30.800 --> 01:23:32.900 phi 1 Punkt und von phi 2 Punkt. 01:23:32.900 --> 01:23:39.340 Und da sehen wir, phi 1 war y1, phi 2 war y2, phi 1 Punkt war y3, phi 01:23:39.340 --> 01:23:40.780 2 Punkt war y4. 01:23:41.200 --> 01:23:47.520 Also können wir das wirklich ausdrücken über die Zustandsgrößen 01:23:47.520 --> 01:23:47.840 selbst. 01:23:47.960 --> 01:23:50.020 Nämlich mit Hilfe der Differenzialgleichung hier. 01:23:50.020 --> 01:24:01.340 Und für das y4 Punkt sehen wir, die kriegen wir aus, das entspricht 01:24:01.340 --> 01:24:07.300 phi 2, 2 Punkt, ebenfalls aus der Differenzialgleichung von oben. 01:24:08.640 --> 01:24:13.420 Das heißt, wenn wir jetzt diese vier Einzeldifferenzialgleichungen in 01:24:13.420 --> 01:24:16.560 den Unterprogramm schreiben, dann können wir zum Beispiel im MATLAB 01:24:16.560 --> 01:24:18.700 das relativ schnell beibringen. 01:24:22.830 --> 01:24:24.510 Ich habe das mal gemacht. 01:25:04.260 --> 01:25:07.900 Die Schwierigkeit, die man jetzt hat, ist, beim numerischen 01:25:07.900 --> 01:25:14.320 Integrieren müssen wir für alles numerische Werte haben. 01:25:14.500 --> 01:25:18.720 Wir müssen für jeden Geometrieparameter, für jeden Massenparameter, 01:25:18.840 --> 01:25:21.820 für jeden Steifigkeitsparameter, für die Erdbeschleunigung usw. 01:25:22.320 --> 01:25:24.380 brauchen wir numerische Werte. 01:25:24.940 --> 01:25:26.400 Aber das ist nicht das Einzige. 01:25:27.300 --> 01:25:31.640 Wir brauchen auch Werte für die Anfangsbedingungen. 01:25:32.140 --> 01:25:36.480 Also für phi 1, für phi 2, für phi 1 Punkt und phi 2 Punkt. 01:25:36.740 --> 01:25:39.000 Das macht es natürlich ein bisschen schwierig, das jetzt direkt zu 01:25:39.000 --> 01:25:39.580 vergleichen. 01:25:39.900 --> 01:25:42.700 Weil, wenn ich das hier einfach anstoße, dann sind natürlich die 01:25:42.700 --> 01:25:45.740 Anfangsbedingungen immer ein bisschen vom Zufall gesteuert. 01:25:46.300 --> 01:25:48.900 Ich habe jetzt einfach mal bestimmte Anfangsbedingungen gewählt. 01:25:48.900 --> 01:25:53.260 Und man sieht, man muss dann auch die einzelnen Parameter natürlich 01:25:53.260 --> 01:25:54.060 berechnen lassen. 01:25:55.520 --> 01:26:00.080 Das Programm, jetzt 01:26:05.680 --> 01:26:10.540 hat es mir die Schrift dann doch etwas groß gemacht. 01:26:11.320 --> 01:26:17.780 Ich wollte Ihnen noch zeigen, wie groß das Unterprogramm ist, um die 01:26:17.780 --> 01:26:20.650 rechten Seiten hier zu programmieren. 01:26:20.650 --> 01:26:25.270 Das sind aber wirklich nur 5, 6 Zeilen, also ganz, ganz wenig 01:26:25.270 --> 01:26:25.790 eigentlich. 01:26:26.950 --> 01:26:29.090 Und wenn man jetzt das Ganze laufen lässt, jetzt hoffe ich, dass man 01:26:29.090 --> 01:26:29.790 auch was sieht. 01:26:35.510 --> 01:26:38.530 Jetzt mache ich also praktisch eine numerische Integration. 01:26:39.250 --> 01:26:41.950 Und was ich dann noch gemacht habe, ich lasse das einfach irgendwie 01:26:41.950 --> 01:26:42.210 visualisieren. 01:26:43.210 --> 01:26:45.630 Das ist vielleicht die größte Arbeit bei dem ganzen Problem. 01:26:46.170 --> 01:26:47.950 Dass man da was anschaulich sieht. 01:26:48.030 --> 01:26:49.910 Man könnte jetzt Zeitverläufe ausdrucken. 01:26:49.910 --> 01:26:52.490 Das ist aber relativ unanschaulich. 01:26:54.170 --> 01:26:57.270 Aber man sieht so die Charakteristik von der Bewegung, die da so 01:26:57.270 --> 01:26:57.710 auftritt. 01:26:58.530 --> 01:27:00.130 Die kann man doch erkennen. 01:27:01.430 --> 01:27:03.690 Das vielleicht als kleine Motivation. 01:27:03.890 --> 01:27:07.590 Und natürlich, wenn man heutzutage Bewegungsdeichungen herleitet, Sie 01:27:07.590 --> 01:27:10.410 merken relativ schnell, es gibt zeitenlange Ausdrücke, da macht man 01:27:10.410 --> 01:27:12.010 relativ schnell irgendwelche Fehler. 01:27:12.410 --> 01:27:15.610 Ich an der Tafel dann sowieso, aber Sie mit gleichstückigem Papier 01:27:15.610 --> 01:27:15.950 auch. 01:27:15.950 --> 01:27:22.110 Also liegt es nahe, das möglichst in Programmen zu machen, auf dem 01:27:22.110 --> 01:27:22.430 Rechner. 01:27:22.930 --> 01:27:26.290 Und wenn man die Bewegungsdeichungen auf dem Rechner herleitet, dann 01:27:26.290 --> 01:27:28.430 hat man ja die Differentialgleichungen schon dastehen. 01:27:28.670 --> 01:27:31.510 Dann kann ich das automatisch auch umformen lassen, in 01:27:31.510 --> 01:27:34.590 Differentialgleichungen in erster Ordnung und numerisch integrieren. 01:27:34.930 --> 01:27:38.510 Wie gesagt, Nachteil, wenn ich 95 Parameter habe, muss ich theoretisch 01:27:38.510 --> 01:27:41.090 95 Parameter numerische Werte vorgeben. 01:27:41.210 --> 01:27:43.930 Oder vielleicht auch verschiedene Werte ausprobieren, wenn ich 01:27:43.930 --> 01:27:45.150 irgendein bestimmtes Ziel habe. 01:27:45.850 --> 01:27:47.690 Gibt es soweit noch Fragen? 01:27:48.870 --> 01:27:51.790 Wenn nicht, dann am Ende der Vorlesung vielleicht, ich habe die 01:27:51.790 --> 01:27:56.270 Modelle jetzt runtergebracht, ein kleiner Hinweis auf das nächste 01:27:56.270 --> 01:27:56.630 Thema. 01:27:56.830 --> 01:27:57.990 Das sind nämlich Schwingungen. 01:27:58.390 --> 01:28:00.750 Nun, Schwingungen haben wir an der Stelle schon ein bisschen gesehen. 01:28:01.210 --> 01:28:03.890 Bei so einem Doppelpendel sind es nicht lineare, chaotische 01:28:03.890 --> 01:28:04.750 Schwingungen zum Teil. 01:28:04.830 --> 01:28:05.570 Wir haben es hier gesehen. 01:28:06.370 --> 01:28:11.270 Ich habe natürlich auch unter Umständen so ein Pendel. 01:28:14.170 --> 01:28:22.890 Und an der Stelle eigentlich nichts Spektakuläres, was wir in der 01:28:22.890 --> 01:28:26.110 Vorlesung nicht machen, was jetzt vielleicht Stoff weiterführender 01:28:26.110 --> 01:28:27.130 Vorlesungen wäre. 01:28:27.290 --> 01:28:30.530 Das ist ja, was passiert, wenn ich jetzt die Schwingungsamplitude ein 01:28:30.530 --> 01:28:31.490 bisschen größer mache. 01:28:36.870 --> 01:28:38.450 Jetzt kommt der Vorführeffekt. 01:28:54.030 --> 01:28:56.810 Ich habe es oben aus Zeitgründen nicht mehr ausprobieren können. 01:29:00.750 --> 01:29:03.730 Es wäre fast ein Diensttod gewesen. 01:29:05.450 --> 01:29:06.490 Also normalerweise... Moment. 01:29:19.090 --> 01:29:20.250 Lass es mal so los. 01:29:21.690 --> 01:29:22.470 Nein, es will nicht. 01:29:23.430 --> 01:29:24.250 Doch, jetzt fängt es an. 01:29:24.490 --> 01:29:28.830 Man sieht, wenn ich das aus einer bestimmten Amplitude loslasse, 01:29:28.830 --> 01:29:31.630 plötzlich macht das Ganze ein bisschen wilde Bewegungen. 01:29:31.750 --> 01:29:35.110 Wenn die Amplituden wieder kleiner werden, dann wird es geordneter. 01:29:35.870 --> 01:29:37.050 Aber was hat es damit auf sich? 01:29:38.430 --> 01:29:41.330 Irgendjemand nannte mal das den Keyneschen Babyschuh. 01:29:41.590 --> 01:29:44.690 Diejenigen, die später vielleicht mal die Nährkörperdynamik besuchen, 01:29:45.830 --> 01:29:48.710 denen führen wir auch noch eine Methode vor, Bewegungsgleichungen 01:29:48.710 --> 01:29:50.830 herzuleiten mithilfe der Keyneschen Gleichungen. 01:29:51.290 --> 01:29:52.810 Also es hat etwas mit dem Herrn Keyn zu tun. 01:29:53.430 --> 01:29:58.910 Und zwar hatte der Herr Keyn, der Professor an Stanford war, einen 01:29:58.910 --> 01:29:59.350 Doktoranden. 01:29:59.410 --> 01:30:02.210 Und wie das so üblich ist, wenn der erste Nachwuchs sich einstellt, 01:30:02.290 --> 01:30:05.830 dann werden die ersten Schuhe am Rückspiegel des Autos befestigt. 01:30:06.090 --> 01:30:08.650 Und er hat also immer festgestellt, wenn er da irgendwie über seine 01:30:08.650 --> 01:30:12.070 Holperstrecke fuhr, plötzlich hat der Schuh ganz wilde Bewegungen 01:30:12.070 --> 01:30:12.430 gemacht. 01:30:12.550 --> 01:30:15.690 Wenn aber die Schwingungen klein waren, dann machte der Schuh das 01:30:15.690 --> 01:30:16.010 nicht. 01:30:16.650 --> 01:30:17.570 Jetzt woran liegt das? 01:30:18.910 --> 01:30:21.470 Das liegt an sogenannten parametererregten Schwingungen. 01:30:22.690 --> 01:30:25.810 Und nun Sie sehen, wenn ich als vielleicht ein bisschen unrasiert 01:30:25.810 --> 01:30:28.250 komme, dann liegt es nicht daran, dass ich mich nicht rasieren will, 01:30:28.670 --> 01:30:31.890 sondern dass ich mir vielleicht lieber Modelle baue aus dem Rasierer. 01:30:33.650 --> 01:30:36.470 Und man sieht auch hier, wir haben so ein Pendel. 01:30:37.490 --> 01:30:41.410 Und, ja gut, ich kann es im Prinzip stellen, wie ich will. 01:30:43.830 --> 01:30:45.930 Das macht natürlich immer genau das, was wir erwarten. 01:30:48.310 --> 01:30:50.070 Aber passen Sie auf... 01:30:50.850 --> 01:30:56.250 Na, jetzt brauche ich noch Strom. 01:31:02.830 --> 01:31:05.890 Ah, der hat auch einen Einschalter. 01:31:07.770 --> 01:31:15.000 Und jetzt sehen Sie, mit Rasierer macht der plötzlich ganz andere 01:31:15.000 --> 01:31:15.300 Sachen. 01:31:35.250 --> 01:31:36.170 Woran liegt das? 01:31:37.250 --> 01:31:40.310 Und auch das liegt wieder an parametererregten Schwingungen. 01:31:41.750 --> 01:31:45.290 Jetzt hat es natürlich auch durchaus einen technischen Hintergrund, in 01:31:45.290 --> 01:31:49.470 der heutigen Zeit vielleicht nicht mehr so sehr, wo man ja mit Fly-by 01:31:49.470 --> 01:31:50.290 -Wire fliegt. 01:31:51.450 --> 01:31:57.010 Aber es gab wohl mal früher, ich weiß nicht, war es im Krieg oder 01:31:57.010 --> 01:32:00.370 irgendwo, da hatten die Flugzeuge natürlich auch Instrumente. 01:32:00.950 --> 01:32:04.030 Und so ein Zeigerinstrument, das ist wie so ein Pendel. 01:32:04.950 --> 01:32:06.850 Jetzt kann man sich vorstellen, ein Flugzeug, da wackelt es 01:32:06.850 --> 01:32:07.370 ordentlich. 01:32:08.270 --> 01:32:11.430 Und wenn man dann immer in eine bestimmte Richtung fliegen will und 01:32:11.430 --> 01:32:15.310 vertraut seinem Instrument, dann sollte man, wie das Experiment zeigt, 01:32:15.450 --> 01:32:22.390 vielleicht vorsichtig sein, wenn der Fußpunkt dieses Zeigers, sprich 01:32:22.390 --> 01:32:24.550 des Pendels, entsprechend erregt wird. 01:32:24.670 --> 01:32:28.510 Also der Rasierer, der macht im Prinzip nur... 01:32:29.230 --> 01:32:33.130 Die Damen schrauben mal die Rasierer ihrer Freunde auf und untersuchen 01:32:33.130 --> 01:32:33.770 das mal ein bisschen. 01:32:33.770 --> 01:32:36.770 Die macht also so eine Bewegung. 01:32:37.550 --> 01:32:41.690 Man hat also einen bewegten Fußpunkt und das kann durchaus zu Effekten 01:32:41.690 --> 01:32:45.170 führen, mit denen man normalerweise, siehe hier, nicht rechnet. 01:32:45.730 --> 01:32:48.770 Mit den Bemerkungen sind wir jetzt ein bisschen verspätet am Ende der 01:32:48.770 --> 01:32:49.450 heutigen Vorlesung. 01:32:49.550 --> 01:32:49.950 Vielen Dank.