Guten Morgen.
Wir starten hier mit einem Korollar, und zwar die Charakterisierung
sogenannter nullsymmetrischer Verteilung.
Was ist damit gemeint?
Ich habe ja gesagt, charakteristische Funktionen dienen unter anderem
der Charakterisierung von Verteilungen.
Für eine Zufallswerble X gilt folgendes.
X hat die gleiche Verteilung wie minus X, und das bedeutet, die
Verteilung ist symmetrisch um den Nullpunkt.
Dann und nur dann, sehen Sie, wenn die charakteristische Funktion
reelle Werte annimmt, und zwar ganz egal, wie das T ist, also wenn
wirklich nur reelle Werte rauskommen.
Wenn Sie sich erinnern, wir hatten die charakteristische Funktion der
Standardnormalverteilung.
Das war E ob minus T Quadrat halbe, die war reell wertig, und die
Verteilung ist symmetrisch um Null.
Die Dichte hängt nur über X Quadrat ab, von X.
Und das ist eben eine allgemeine Charakterisierung.
Genau dann liegt Symmetrie um Null vor, wenn die charakteristische
Funktion reell wertig ist.
Und der Beweis ist eine einfache Übungsaufgabe.
Hier geht natürlich der Eindeutigkeitssatz ein, steht also auf dem
neuesten Blatt.
Ein weiteres Korollar sind Additionsgesetze, die wir schon hatten.
Ich nehme mal das erste.
Wenn wir unabhängige Zufallsvariablen haben, dann gelten folgende
Aussagen.
Die erste Aussage ist die, wenn X eine Normalverteilung hat, sehen wir
beliebige Parameter µ und Sigma Quadrat.
Und Y hat eine Normalverteilung mit Parametern µ und Tau Quadrat.
Sigma Quadrat und Tau Quadrat sind strikt positiv, ansonsten ist alles
beliebig.
Dann wissen wir, die Summe hat wieder eine Normalverteilung und es
addieren sich die Parameter.
Wir haben das im Wintersemester bewiesen in der Einführungsvorlesung
mithilfe der Faltungsformel für Dichten.
Integriert man direkt.
So, zweites Additionsgesetz.
Diskrete Verteilung hat X eine Poissonverteilung mit Parameter Lambda
und Y eine mit Parameter µ.
Da hat die Summe wieder eine Poissonverteilung und es addieren sich
auch hier die Parameter.
Das haben wir auch im Wintersemester bewiesen.
Einmal mit der diskreten Faltungsformel und dann ein zweiter Beweis
war mit erzeugenden Funktionen.
Auf die gehe ich noch später noch mal kurz ein.
Drittes Additionsgesetz.
Wenn X eine Binomialverteilung hat mit m und p und Y eine mit n und p,
wichtig ist das gleiche p, dann hat die Summe wieder eine
Binomialverteilung und das addieren sich m und n.
Auch das haben wir im Winter gehabt.
Einmal ein begrifflicher Beweis mit einer konkreten Konstruktion der
Nullikette, dann diskrete Faltungsformel und noch ein dritter Beweis
über erzeugende Funktionen.
Man kann das jetzt auch alles beweisen mit charakteristischen
Funktionen.
Wir machen das hier mal nur für A, das andere geht völlig analog.
So, was ist die charakteristische Funktion von dieser
Normalverteilung?
Wir wissen, das ist e hoch i µ t und ich habe den Parameter mal
hervorgehoben, damit man deutlich die Struktur sieht und dann e hoch
minus Sigma Quadrat durch t Quadrat halbe.
Das haben wir gehabt.
So, und für das Y haben wir natürlich die gleiche Darstellung.
Aus dem µ wird jetzt nur das µ und aus dem Sigma Quadrat wird ein Tau
Quadrat.
So, und wenn die unabhängig sind, die charakteristische Funktion der
Summe ist das Produkt dieser beiden.
Jetzt schauen Sie sich an, wo die Parameter auftreten, die e-Funktion.
Produkt von e ist e hoch Summe.
Das heißt, wenn Sie das Produkt bilden, addieren sich µ und µ.
Sie haben also ein e hoch i Klammer auf µ plus µ in Klammern mal t und
es addieren sich auch Sigma Quadrat und Tau Quadrat.
Wir haben ein e hoch minus ein halb mal Klammer auf Sigma Quadrat plus
Tau Quadrat mal t Quadrat halbe und das ist die charakteristische
Funktion nach dem Eindeutigkeitssatz der Normalverteilung mit
Parametern µ plus µ und Sigma Quadrat plus Tau Quadrat.
Das bedeutet, der Beweis fällt hier sehr, sehr einfach ab.
Und völlig analog aus der Gestalt der anderen charakteristischen
Funktionen folgen dann b und c.
Das heißt, wir haben hier sehr einfach auch wieder diese
Additionsgesetze, die wir auch schon anders bewiesen haben.
Zum Abschluss bis auf ein paar Bemerkungen noch eine wichtige
Ungleichung, die wir später brauchen, eine Konzentrationsungleichung,
die auf Levi zurückgeht.
Wenn ich eine Zufallsvariable habe, x, und die charakteristische
Funktion kürze ich kurz mit phi ab, dann gilt für jedes a größer 0.
Ich schreibe erst mal die Wahrscheinlichkeit hin.
Sie sehen, x Betrag größer gleich 1 durch a.
Diese Ungleichung wird später eine Rolle spielen, wenn a klein ist,
also a ganz nah bei 0.
Dann ist es die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert annimmt, weit
weg von 0.
Ich könnte auch, es wird ja abgeschätzt nach oben, ich hätte, ich
könnte auch schreiben x Betrag größer 1 durch a, gilt immer noch
kleiner gleich.
So, x Betrag größer 1 durch a ist, dass x außerhalb des Kompaktums
fällt von minus a bis a.
Das kann man abschätzen und zwar wie folgt.
Es hängt zusammen mit dem Verhalten der charakteristischen Funktion in
der Nähe des Nullpunktes.
Und wenn Sie sich erinnern, schon bei der Ungleichung mit den
Momenten, Existenz von Momenten hat was zu tun mit Außenbereiche, da
geht die Wahrscheinlichkeit hinreichend schnell gegen 0 und dann habe
ich Differenzierbarkeits-Eigenschaften und zwar Nullpunkt.
Es kommt dann auf den Nullpunkt an.
Die Momente bekomme ich aus den Ableitungen im Nullpunkt.
Also der Nullpunkt spielt eine große Rolle bei diesen
charakteristischen Funktionen.
So, die Ungleichung ist kleiner gleich 7 durch a.
Wie man auf dieses ominöse 7 kommt, werden wir gleich noch sehen.
Und jetzt kommt ein Integral von 0 bis a.
Und jetzt sehen Sie, wenn a klein ist, positiv, es ist in der Nähe des
Nullpunktes.
Jetzt kommt 1 minus Realteil der charakteristischen Funktion phi von t
dt.
Das ist die Ungleichung.
Sehen wir uns mal den Beweis an.
So, auf das 7 kommt man wie folgt.
Also zunächst mal, es wird die Funktion Sinus u durch u eine Rolle
spielen.
Sinus u durch u ist immer kleiner gleich 1.
Aber es ist kleiner gleich Sinus 1, wenn u betragsmäßig größer gleich
1 ist.
Das ist eine Ungleichung aus der Analyse.
Wenn u-Betrag größer gleich 1 ist, dann ist Sinus u durch u immer
kleiner gleich Sinus 1.
Und für Sinus 1 gibt es die Ungleichung 1 minus Sinus 1 größer gleich
ein Siebtel.
Daher kommt das.
Es kommt auf die Konstante gar nicht genau an.
Das Entscheidende ist, dass da oben steht kleiner gleich Konstante
durch a.
Das ist nur wichtig später.
Das ist nur hier wirklich vorgeplänkelt und das ist unwesentlich.
So, jetzt fangen wir an.
Wir nehmen mal die rechte Seite her und ich lasse mal das 7 weg.
Ich nehme einfach mal Integral, also 1 durch a, Integral von 0 bis a
und dann habe ich 1 minus Realteil phi von t dt.
Und das schätzen wir nach unten ab.
Sehen, da steht auf der rechten Seite, der größer gleich.
Ich muss eine Abschätzung nach unten vornehmen.
So, die erste Überlegung ist die, ich lasse 1 durch a, ich lasse
Integral 0 bis a, ich lasse sogar 1 minus und jetzt drücke ich mal den
Realteil der charakteristischen Funktion aus.
Charakteristische Funktionen waren Erwartungswert ehoch itx, aber
ehoch itx wird zerlegt in Cosinus tx plus i mal Sinus tx.
Realteil ist Cosinus tx.
Ist der Erwartungswert von Cosinus tx.
Den Erwartungswert schreibe ich als ein Integral über die Verteilung.
Integral von Minus unendlich bis unendlich.
Cosinus tx integriert über die Verteilung.
Das ist nichts anderes als der Realteil der charakteristischen
Funktion.
So, am Ende wird integriert bezüglich t.
Das muss ich natürlich noch schreiben.
Das sollte man erstmal eingesehen haben.
Was mache ich jetzt?
Ich schätze noch nicht ab.
Ich könnte diese 1, die da steht, die könnte ich sogar hin das
Integral schreiben, denn das Integral der 1 bezüglich der Verteilung
ist 1.
Jetzt gedanklich können Sie die 1, das 1 minus sogar hinter das
Integral schreiben von Minus unendlich bis unendlich.
Kommt es gleich raus.
Wenn wir das gedanklich machen, dann machen wir einfach nur folgendes.
Wir vertauschen die Integrationsgrenzen.
Das ist wieder durch Fubini gerechtfertigt.
Das entscheidende ist, der Integrant hinten ist harmlos.
Cosinus-Betrag ist immer kleiner gleich 1.
Haben Wahrscheinlichkeitsmaßen.
Vorher haben wir ein wunderschönes kompaktes Intervall von 0 bis A.
Das ist also sofort für Fubini zugänglich.
Also machen wir das.
Wir vertauschen.
1 durch A ziehen wir rein und jetzt kommt das Integral Minus unendlich
bis unendlich.
Entschuldigung, von 0 bis A.
Das andere haben wir schon nach vorne gezogen.
Jetzt kommt die 1 minus Cosinus-Tx und jetzt integrieren wir erst
bezüglich T und dann außen bezüglich der Verteilung von X.
Das ist also nur die Vertauschung.
Das machen wir jetzt.
Wir schätzen immer noch nicht ab.
Wir machen folgendes.
Vorne sehen Sie 1 durch A, Integral von 0 bis A mit der 1 zusammen.
Das ergibt aber 1.
Das heißt, die 1 integriert von 0 bis A ist A, dividiert durch A ist
1.
Wir haben 1 minus.
Und jetzt sehen wir, ich integriere jetzt das Cosinus-Tx bezüglich T.
Cosinus hat eine Stammfunktion.
Also Minus-Cosinus steht da und die Stammfunktion von Cosinus, von
Cosinus ist natürlich Sinus, Sinus-Tx.
Ich muss nur noch mal durchdividieren durch X.
Vorne steht das A.
Ich kann dieses Integral direkt ausrechnen, was da steht mit dem
Cosinus.
Das ist das Schöne.
Was kommt raus?
Es kommt raus Sinus-Ax dividiert durch Ax.
Konkret ausgerechnet, das Integral bezüglich T.
Außen bleibt dann noch stehen PxDx.
Das heißt, das kann ich konkret berechnen.
Nochmal Stammfunktion.
Sinus-Tx dividiert durch A mal X.
Und das in den Grenzen von 0 bis A ist genau das, was da steht.
Sinus-Ax dividiert durch Ax.
So, jetzt kommt die Abschätzung nach unten.
Und zwar, der Integrant ist immer größer gleich 0.
Auch für X gegen 0.
Sie wissen, Sinus U durch U.
Für U gegen 0 im Limit ist es 1.
Stetige Ergänzung, kein Problem.
Das heißt, der Integrant, Sinus von U durch U ist immer kleiner gleich
1, ist größer gleich 0.
Aus dem Grunde schätze ich so ab, dass ich nur noch integriere über
diejenigen X mit der Eigenschaft, dass X-Betrag größer gleich 1 durch
A ist.
Oder mit anderen Worten, ich kann das A hoch multiplizieren, A mal X
-Betrag größer gleich 1.
Dann bleibt das stehen.
1 minus Sinus-Ax integriert bezüglich der Verteilung.
Jetzt müssen wir natürlich schon mal gucken, die Ungleichung da oben.
Da steht, wenn U-Betrag größer gleich 1 ist, zu Beginn des Beweises,
ist Sinus U durch U kleiner gleich Sinus 1.
Wir integrieren ja jetzt gerade über den Bereich, über diejenigen X,
wo A mal X-Betrag größer gleich 1 ist.
Für A mal X-Betrag, das ist unser U.
Ich kann also jetzt die Ungleichung verwenden, die da oben stehen,
direkt zu Beginn des Beweises.
Das ist das Schöne.
Also ich schätze ab.
Sie sehen, wenn Sinus-Ax durch Ax kleiner gleich Sinus von 1 ist, dann
kann ich das natürlich abschätzen mit dem Minuszeichen.
Ich kann die Konstante 1 minus Sinus 1 rausziehen, vor das Integral.
Es bleibt über dieses Integral und jetzt habe ich nur noch den
Integranden 1, die Konstante 1 integriert.
Ja, und schauen Sie da oben, 1 minus Sinus 1 zu Beginn des Beweises
rechts ist größer gleich ein Siebtel.
Das heißt, ich schätze nach unten ab, indem ich jetzt ein Siebtel,
diese Konstante durch ein Siebtel nach unten abschätze.
Und das, was da steht, dass die 1 integriert bezüglich einer
Verteilung über einen bestimmten Bereich, ist nichts anderes als die
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable genau diese Umgleichung
erfüllt, nämlich x-Betrag größer gleich 1 durch a.
Jetzt bringen Sie die 7 rüber, ganz nach oben, multiplizieren wir dort
mit 7 durch und Sie haben die Umgleichung.
Sie sehen auch dort wieder bei der charakteristischen Funktion, die
hier vorkam, wenn Sie vor solchen Doppelintegralen stehen und nicht
weiter wissen, gibt es nur die Möglichkeit der Vertauschung, die Sie
dann wieder rechtfertigen müssen.
Und dann war das ganz elementar.
Wir haben eine Cosinus-Funktion integriert, wir haben Umgleichungen
benutzt über die Sinus-Funktion und haben dann dieses Resultat
bewiesen.
Ich möchte noch abschließend einige Bemerkungen machen zu diesem
Kapitel.
Die erste Bemerkung ist die, wenn die Zufallsvariable x eine Dichte
hat, f wollen wir sie nennen, bezüglich des Borrel-Lebesgue-Maßes.
Dann gilt, wenn wir die charakteristische Funktion betrachten, lassen
das Argument t gegen Plus oder Minus und unendlich gehen, dann kommt
im Limes-Null raus und das ist das berühmte Riemann-Lebesgue-Glamour.
Die Beweisidee, ich will Ihnen nur die Idee angeben, dieses f wird
approximiert durch eine Elementar-Funktion.
Die charakteristische Funktion zu diesem f ist ja nichts anderes als
Integral e hoch i tx, f von x dx.
Sie können für ein f auch eine andere Funktion einsetzen.
Das ist jetzt nur Integration von Funktionen multipliziert mit e hoch
i tx.
Elementar-Funktion wissen wir aus der Integrationstheorie.
Spezielle Elementar-Funktionen sind die Indikator-Funktionen und man
reduziert das so lange.
Letztlich kommt es wirklich nur auf dieses Integral an.
Sie sehen, Integral e hoch i tx und die Funktion f ist ganz einfach
ein Indikator eines Intervalls.
Das sind verschiedene Reduktionsschritte.
Wenn man sich überlegt, das kommt nur auf die Funktion an, dann
rechnet man das einfach mal konkret aus für diese Funktion.
Für diese Funktion kann ich das direkt ausrechnen, das Integral.
Das heißt, das ist das Integral von a bis b, e hoch i tx dx und das
ist nichts anderes als das.
Und Sie sehen, wenn Sie jetzt t gegen plus oder minus unendlich gehen
lassen, das e hoch i ta und e hoch i tb sind immer betragsmäßig gleich
1.
Weil das Entscheidende ist, unten steht das t im Nenner.
Wenn t gegen plus oder minus unendlich geht, geht der Betrag davon
gegen Null.
Das ist das Entscheidende.
Also das ist sozusagen grob die Beweisidee zu diesem Riemann-Lippeck
-Klemmer.
Das f wird approximiert.
Dann muss man natürlich sehen, ich habe zunächst mal nur eine
Reduktion, die Elementarfunktion, da sind die Indikatoren von
Borellmengen erstmal.
Das heißt, erstmal sind es beliebige Borellmengen.
Da muss ich sehen, ich kann es auch mit beschränkten Borellmengen
approximieren.
Nächste Stufe.
Und die Borellmengen kann ich noch durch Intervalle approximieren.
Durch endlich viele, beliebig genau.
Das sind also verschiedene Reduktionsschritte.
Aber man sollte das zumindest mal gesehen haben, wenn also eine Dichte
existiert, dann konvergiert die charakteristische Funktion gegen Null,
wenn t gegen plus oder minus unendlich geht.
So der nächste Fall, wenn ich für ein t ungleich Null nochmal
erreiche, dass ein Wert auf dem Einheitskreisrand angenommen wird der
komplexen Ebene.
Für Null ist das klar.
4x von Null ist 1.
Aber wenn ich irgendein anderes t finde, dass das nochmal passiert,
ich bin überhaupt auf dem Rand des Einheitskreises, dann kann ich
schon beweisen, die Zufallsvariable x ist diskret verteilt und zwar
auch noch auf äquidistant liegenden Punkten.
Denken Sie an die Poisson-Verteilung.
Denken Sie an die Binomial-Verteilung.
Denken Sie an die negative Binomial-Verteilung.
Die fallen alle hier runter, diese Verteilung.
Und das ist eine Übungsaufgabe.
Das heißt, durch diese Bedingung charakterisieren Sie sogenannte
diskrete Gitterverteilungen, die sozusagen auf äquidistant liegenden
Punkten nur Werte annehmen können.
Wenn Sie sich erinnern, letzte Bemerkung an die Vorlesung Einführung
in die Stochastik im Wintersemester, da haben wir folgendes gemacht.
Wenn wir eine Nullwertige Zufallsvariable x haben, denken Sie an diese
Verteilung eben, Binomial-Verteilung, Poisson, negative Binomial
-Verteilung.
Drei Beispiele.
Dann haben wir eine erzeugende Funktion eingeführt.
Manchmal nennt man das auch eine wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktion, und zwar wie folgt.
G steht für Generating Function, erzeugende Funktion von x.
An der Stelle s ist eine Potenzreihe, Summe k von 0 bis und endlich, p
von x gleich k mal s hoch k und die konvergiert auf jeden Fall für s
-Betrag kleiner gleich 1.
Hat einen positiven Konvergenzradius.
Bei manchen Verteilungen, bei der Binomial-Verteilung, bricht das
irgendwo ab.
Wir haben ein Polynom.
Sowas haben wir gehabt in der Einführungsvorlesung.
Und folgendes sollte man jetzt sehen, wenn Sie das vergleichen mit der
charakteristischen Funktion.
Und diese erzeugende Funktion ist der Erwartungswert von s hoch x.
Die steht im Exponenten.
Die charakteristische Funktion ist der Erwartungswert von e hoch itx.
Also das s ist nur ersetzt worden durch e hoch it.
Das Entscheidende ist das Auftreten des x im Exponenten.
Denken Sie an diese Multiplikationsformel.
Noch eine letzte Bemerkung.
Sie werden vielleicht auch mal begegnen folgendem.
Wenn man eine nicht negative Zufallsvariable hat, x, das bedeutet die
Wahrscheinlichkeit, dass x größer gleich 0 ist, ist 1.
Insbesondere sind das solche Nullwertigen Zufallsvariablen.
Die machen das.
Aber denken Sie an so eine Exponentialverteilung.
Denken Sie an eine Gamma-Verteilung.
Das heißt, wir haben Verteilung oder die Chi-Quadrat-Verteilung.
Das sind nicht negative Zufallsvariablen.
Die Verteilung ist ganz konzentriert auf den nicht negativen reellen
Zahlen.
Und für diese führt man auch gerne die Laplace-Transformation ein.
Die Laplace-Transformierte ist so definiert.
Sie sehen L für Laplace-Transformierte.
Das Argument ist dann meistens Lambda und ist nichts anderes als
wieder ein Erwartungswert.
Und jetzt taucht das x wieder im Exponenten auf, nämlich der
Erwartungswert von e hoch minus Lambda mal x.
Das kann ich auf jeden Fall machen für jedes Lambda größer gleich 0.
Und auch hier, sehen Sie, hat man, wird man so eine
Multiplikationsregel haben.
Man muss natürlich sehen, komme ich aus der Laplace-Transformierten
auch wieder die Verteilung zurück.
Es gibt dann auch solche Eindeutigkeitssätze.
Und die Laplace-Transformation, wenn Sie wollen, ist das nur bei
Zufallsvariablen mit Dichten, ist es nur ein Integral.
Sie haben ein Integral, wenn die Dichte f ist, dieser Variablen, von 0
bis unendlich, e hoch minus Lambda mal klein x mal f von x dx.
Das heißt, wenn Sie so wollen, transformieren Sie auch die Dichte mit
dieser Transformation.
Zum Beispiel ist das ein sehr nützliches Hilfsmittel auch bei der
Lösung von Differenzialgleichungen.
Vielleicht haben Sie das in dem Zusammenhang auch mal schon
kennengelernt.
Also das sollten hier noch einige Bemerkungen sein zu
charakteristischen Funktionen.
Und ich möchte jetzt zu einem längeren Kapitel kommen, und zwar zur
sogenannten Verteilungskonvergenz.
Ich hatte es schon gesagt, das ist gerade im Hinblick auf die
Anwendung der wichtigste Konvergenzbegriff in der Stochastik.
Und wir haben, wir sind ihm schon begegnet vom Phänomen her in der
Einführungsvorlösung in die Stochastik beim zentralen Grenzwertsatz.
Wir werden auch da wieder darauf zurückkommen.
Ich mache nachher einige Beispiele.
So, was haben wir hier?
Wir haben reelle Zufallsvariablen x, x1, x2, alle auf dem gleichen
Wahrscheinlichkeitsraum.
Omega AP wollen wir den nennen.
Und jetzt kommt es, ich führe die Verteilungsfunktion ein.
Also f sei die Verteilungsfunktion von x, f1 sei die
Verteilungsfunktion von x1 und so weiter.
Das heißt, diese Verteilungsfunktion brauche ich.
Wenn wir mal daran denken, f von t ist die Wahrscheinlichkeit, x
kleiner gleich t als Funktion von t, kleiner gleich irgendwas zu
sagen.
Die Verteilungsfunktionen beschreiben also Wahrscheinlichkeiten.
Und wir wissen, Verteilungsfunktionen legen Verteilungen fest.
Die brauche ich hier.
Allgemein, jetzt kommt eine Bezeichnungsweise für eine Funktion g vom
RhoK in den RhoS.
Die braucht auch nur definiert sein auf einer Teilmenge des RhoK.
Es kommt gar nicht darauf an, dass der Definitionsbereich der ganze
RhoK ist.
Sei c von g nichts anderes als die Menge x aus dem RhoK mit der
Eigenschaft g ist stetig an der Stelle x.
Sie sehen sofort, diese Definition können Sie verallgemeinern.
Sie brauchen ja nur Stetigkeit.
Aber das bezeichnet die skaligrafische c von einer Funktion bezeichnet
die Menge derjenigen x, an der diese Funktion stetig ist.
Wenn die Funktion jetzt ganz insgesamt stetig wäre, steht dann
natürlich da der RhoK.
Okay, also die Menge der Stetigkeitsstellen von g wird dann damit
bezeichnet.
Jetzt kommt schon die Definition der Verteilungskonvergenz.
So, was macht man da?
xn konvergiert nach Verteilung gegen x.
Okay, dann und nur dann, wenn diese Verteilungsfunktionen punktweise
konvergieren.
Limes fn von x ist f von x.
Das hat also mit Stochastik gar nichts zu tun.
Das ist eine Definition der punktweisen Konvergenz einer
Funktionenfolge aus der Analysis.
Aber diese Konvergenz muss nur gelten für jedes x, was eine
Stetigkeitsstelle ist der Grenzfunktion f.
Das heißt, Unstetigkeitsstellen von f, die sind möglich.
Wir wissen, Verteilungsfunktionen, denken Sie an diskrete Verteilung,
können Sprungstellen haben.
Die sind hier ausgeschlossen.
Da mag Konvergenz gelten oder nicht, spielt keine Rolle.
Wir fordern aber diesen Konvergenzbegriff nur in den
Stetigkeitsstellen der Grenzfunktionen.
Das ist wichtig.
Okay, in Worten.
Man sagt xn, die Folge konvergiert nach Verteilung gegen x.
Verteilungskonvergenz.
Man nennt diese Verteilung von x die Grenzverteilung oder auch
asymptotische Verteilung dieser Folge xn.
Das sind zwei Begriffe.
Grenzverteilung, asymptotische Verteilung oder auch von diesen
Verteilungen.
Sie sehen, es kommt gar nicht darauf an, auf die Zufallsvariablen
selbst als Abbildung, die gehen hier gar nicht ein.
Es kommt nur auf deren Verteilungsfunktionen an.
Das ist hier das Entscheidende bei diesem Begriff.
Folgendes sollte man auch beachten.
Es finden sich verschiedene andere Schreibweisen.
Zum Beispiel auch diese fn konvergiert in Verteilung gegen f.
Nichts anderes als das, was da oben steht.
Hier wird also ganz klar gesagt, es hat nur was zu tun mit den
Funktionen fn und f.
Es findet sich auch Folgendes, es findet sich auch sowas.
Hier sehen Sie die Folge der Verteilungen p oben xn als
Wahrscheinlichkeitsmaße auf den Borellmengen konvergieren in diesem
Sinne gegen die Verteilung von x auch im Wahrscheinlichkeitsmaß auf
den Borellmengen des R1.
Jetzt kommt es noch doller, es gibt sogar hybride Schreibweisen.
Zum Beispiel diese.
Sie sehen, da steht links die Zufallsvariable, dann kommt der
Konvergenzpfeil, Verteilungskonvergenz und auf der rechten Seite steht
die Grenzverteilung.
Aber uns ist sowas auch schon mal begegnet.
Nämlich, es wird später sehr häufig sein, dass p oben x, da steht
einfach n01 für Standardnormalverteilung.
Das heißt, es steht einfach xn konvergiert gegen eine
Standardnormalverteilung.
Das heißt, diese hybride Schreibweise ist sehr sehr häufig
anzutreffen.
Da wird man sich dran gewöhnen.
Okay.
Offenbar gilt, schauen Sie sich an, wie die Verteilungsfunktionen
definiert sind.
xn konvergiert nach Verteilung gegen x und jetzt setzt sich nur ein
die Definition der Verteilungsfunktion.
Genau dann, wenn nun der Limes und jetzt steht da p oben xn, die
Verteilung von xn und jetzt ausgewertet, auf welche Borellmenge
Intervall von minus und bis x, x einschließend.
Das ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit Groß xn kleiner
gleich x.
Verteilungsfunktion fn an der Stelle x.
Und dieser Grenzwert ist, die ist hier die Verteilung von x auf diesem
Intervall mit anderen Worten die Wahrscheinlichkeit Groß x kleiner
gleich klein x.
Und zwar das noch mal für jede Stetigkeitsstelle der
Verteilungsfunktion f.
Was waren denn die Unstetigkeitsstellen?
x war eine Unstetigkeitsstelle von f, wenn die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wert x angenommen wird, positiv ist.
Sprung an der Stelle.
Das heißt, die Sprungstellen von f werden hier wirklich ausgenommen.
Also noch mal das Memo.
xn konvergiert nach Verteilung gegen x.
Genau dann, wenn diese Konvergenz besteht der Verteilungsfunktion für
jedes x, das eine Stetigkeitsstelle von f ist.
So, folgende Bemerkung hierzu.
Wenn xn gegen x nach Verteilung konvergiert und xn nach Verteilung
gegen ein y, ein potenziell andere Zufallsvariable konvergiert, alles
natürlich auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert, dann
kann ich schließen, dass x und y die gleiche Verteilung besitzen.
Manchmal schreibe ich da Schlange x, Schlange y, aber sehr häufig ist
auch diese Bezeichnungsweise x, wir sehen oben das d für Distribution,
Verteilung, x und y haben die gleiche Verteilung, was dadurch
definiert ist.
Das heißt, ich kann auf jeden Fall schließen, dass ich die
Grenzverteilung, die ist eindeutig, die ist identifizierbar, die
Grenzverteilung.
Warum?
Jetzt kommt nämlich die Begründung.
Wenn xn gegen x konvergiert und xn auch noch gegen y konvergiert, was
kann ich dann schließen?
Naja, aus der ersten Konvergenz, da steht da fn von x konvergiert
gegen f von x in allen Stetigkeitsstellen von f.
Da steht da noch ein y.
Die Verteilungsfunktion von einem y nennt man g. Die zweite Konvergenz
heißt fn von x konvergiert gegen g von x in allen Stetigkeitsstellen
von g. Das können wir dann über f und g sagen.
In allen gemeinsamen Stetigkeitsstellen, die sowohl also welche von f
sind, als auch g müssen die beiden Funktionen übereinstimmen, denn
Zahlenfolgen haben eindeutig identifizierbaren Grenzwert.
So, das heißt, ich kann sofort schließen, f von x muss g von x sein in
allen gemeinsamen Stetigkeitsstellen, in allen x, die sowohl
Stetigkeitsstellen von f als auch von g sind.
Nun, das f hat höchstens absehbar viele Unstetigkeitsstellen, das g
genauso, das wissen wir.
Also diese Menge hier, die da steht, der Schnitt der Stetigkeitsmengen
ist dicht in r.
Das heißt, zwei Verteilungsfunktionen stimmen auf einer dichten Menge
überein und dann sind sie identisch.
Warum?
Wenn sie auf einer dichten Menge übereinstimmen, sie sind rechtzeitig
stetig.
Das Entscheidende ist eben, ich kann mich immer von rechts nähern über
Stetigkeitsstellen zu jedem Punkt, die Verteilungsfunktionen müssen
identisch sein.
Das heißt, wir haben die Grenzverteilung identifiziert.
So, jetzt kommt ein weiterer Punkt, durchaus wichtig.
Stellen Sie sich vor, die Grenzverteilungsfunktion in der Definition
oben ist schon stetig.
Dann haben wir punktweise Konvergenz.
fn von x konvergiert gegen f von x für jedes x.
Aber wir haben noch mehr.
Wir haben Übungsaufgabe, sogar wenn das gegen x konvergiert, das ist
genau dann der Fall, wenn das Supremum fn von x minus f von x-Betrag
über alle x aus R auch noch gegen Null geht und das ist ein Satz,
einer der vielen Sätze von Polya.
Ich habe sogar gleichmäßige Konvergenz.
Also wenn die Grenzverteilungsfunktion stetig ist, die Definition sagt
erstmal nur punktweise Konvergenz, ich kann sogar auf gleichmäßige
Konvergenz schließen.
Woran macht das liegen?
Das wird vielleicht liegen an Monotonie-Eigenschaften zum Beispiel und
dass die Werte von f nur zwischen 0 und 1 sein können.
Das können vielleicht Ideen sein, um hier ranzukommen an das Resultat.
Die nächste Frage, die sich stellt, warum betrachtet man denn nur
Stetigkeitstellen in dieser Definition?
Warum lässt man die Unstetigkeitstellen außen vor?
Das folgende Beispiel mag vielleicht einen Hinweis geben.
Betrachten Sie mal zwei Folgen von Zufallswahrhaben xn und yn und zwar
machen wir ganz spezielle Verteilungen.
Die Zufallswahrhabe xn nehme den Wert 1 durch n an und yn den Wert
minus 1 durch n nur spiegelbildlich zur y-Achse mit Wahrscheinlichkeit
1.
Wir haben Einpunktverteilungen für jedes n größer gleich 1.
Sie sehen 1 durch n geht gegen 0 von rechts, minus 1 durch n geht
gegen 0 von links.
Es sollte folgende Grenzverteilung rauskommen, eine Zufallswahrhabe,
die nur den Wert 0 annimmt mit Wahrscheinlichkeit 1.
Also beide Folgen sollten nach Verteilung konvergieren gegen eine
entartete Verteilung im Nullpunkt.
Jetzt sehen wir uns an, was das für die Verteilungsfunktion bedeutet.
Und xn konvergiert gegen x, yn konvergiert auch gegen x, wobei x den
Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 annimmt.
Die Begründung kommt jetzt, denn es ist eben das, was ich gesagt habe.
Es sollte so sein.
Da sehen wir uns erstmal an die Folge fn von x.
Sie sehen also dort, der Wert 1 durch n wird mit Wahrscheinlichkeit 1
angenommen.
Die Verteilungsfunktion fn hat dort einen Sprung.
So, wenn n gegen unendlich geht, passiert natürlich folgendes.
fn von x konvergiert für jedes x, was strikt positiv ist, gegen 1,
denn irgendwann erwischt das 1 durch n das x, dann ist 1 durch n
kleiner als x.
Aber wenn x kleiner gleich 0 ist, insbesondere auch im Nullpunkt, habe
ich Konvergenz gegen 0.
Schauen wir uns die andere Funktion an, gn.
Da haben wir den Sprung an der Stelle minus 1 durch n.
Das ist die Verteilungsfunktion von yn.
So, sehen wir uns hier an, was passiert.
Na ja, das gn von x konvergiert jetzt gegen 1 für x größer gleich 0.
Da ist der Nullpunkt mit drin bei der Konvergenz gegen 1.
Und wenn x kleiner als 0 geht, gn von x auch gegen 0.
Das heißt, Konvergenz für x größer 0 und x kleiner 0 ist genauso bei
beiden Funktionen, aber nur im Nullpunkt habe ich einen Unterschied.
Die Grenzverteilungsfunktion, wo der Sprung an der Stelle 1 ist, die
ist natürlich 1 für x größer gleich 0 und sie ist 0 für x kleiner 0.
Man erkennt, das gn konvergiert dagegen sogar punktweise, aber nicht
das fn.
Im Nullpunkt passiert das eben nicht, dass ich Konvergenz habe.
Ich habe keine Konvergenz dieser Folge fn von x im Nullpunkt.
Das heißt, das sollte so ein kleiner Hinweis sein, dass man solche
Unstetigkeitsstellen ausschließt.
Es hat aber noch, sagen wir mal, wenn man das verallgemeinert, man
kann das erheblich verallgemeinern, dann sieht man, es hat was zu mit
Topologie und Rändern von Mengen.
Das vielleicht nur, um Sie ein bisschen dafür zu interessieren,
vielleicht noch ein bisschen Stochastik weiterzumachen.
Beispiel, machen wir jetzt einige Beispiele zur Verteilungskonvergenz.
Das erste Beispiel ist die berühmte Extremwertverteilung von Emil
Julius Gumbel.
Und zwar, wir starten mal mit Zufallsvariablen y1, y2.
Die seien alle unabhängig und identisch verteilt.
Die haben alle die gleiche Exponentialverteilung mit Parameter 1.
Die Verteilung, die wir schon hatten.
Und zwar, also, wie war das?
Die Verteilungsfunktion an der Stelle t ist für positives t 1 minus e
auf minus t.
t größer gleich 0.
Und ansonsten ist die Verteilungsfunktion 0.
Das war die Verteilungsfunktion dieser Exponentialverteilung.
Was wir jetzt machen, wir führen eine neue Folge ein, xn.
Und von dieser Folge werden wir zeigen, sie konvergiert nach
Verteilung.
Wie ist das xn gebildet?
Das xn ist das Maximum der y1 bis yn, der ersten ys.
Jetzt müssen Sie sich folgendes vorstellen.
Wenn n gegen unendlich geht, die Exponentialverteilung ist
konzentriert auf den positiven reellen Zahlen.
Und ganz egal, wie weit Sie rausgehen, die Wahrscheinlichkeit, dass
ein großer Wert, den Sie vorgeben, überschritten wird, ist immer
positiv.
Sie sollten erkennen, das Maximum der y1 bis yn sollte fast sicher
gegen unendlich konvergieren für n gegen unendlich, was es auch macht.
Das heißt, hier habe ich keine Verteilungskonvergenz von dieser Folge.
Ich muss also offenbar die Folge, die nach unendlich abdriftet,
irgendwie zurückholen, damit das nicht passiert.
Das Zurückholen geschieht hier, indem ich den Logarithmus n, den
natürlichen Logarithmus, subtrahiere.
Wir werden sehen, dass das zum Erfolg führt.
n größer gleich 1.
Nämlich, für jedes x aus R gilt, ich betrachte mal fn von x und fn von
x ist nach Definition die Verteilungsfunktion von xn, also die
Wahrscheinlichkeit, dass xn kleiner gleich x ist.
Es kommt die erste einfache Überlegung, ich setze für xn nur ein, was
ich habe.
Die Wahrscheinlichkeit, also Maximum der y, minus Logarithmus n,
kleiner gleich x, okay.
Im nächsten Schritt bringe ich das Logarithmus n auf die andere Seite
der Ungleichung.
Das Ereignis ändert sich nicht.
Das bedeutet, ich habe die Wahrscheinlichkeit, dass das Maximum der y
kleiner gleich x plus Logarithmus n ist.
Und jetzt kommt eine Überlegung, die haben Sie vermutlich schon mal
angestellt.
Das Maximum von irgendwelchen Werten ist kleiner gleich einem Wert,
wenn jeder der einzelnen Werte kleiner gleich ist.
Also das Ereignis ist das gleiche wie y1 kleiner gleich x plus
Logarithmus n und y2 kleiner gleich und so weiter und yn kleiner
gleich.
Sie haben ein Schnitt von Ereignissen.
Und da die unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittes
gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich, weil die ys alle die
gleiche Verteilung haben.
Also steht da nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass y1
kleiner gleich x plus Logarithmus n ist in Klammern hoch n.
Und zwar liegt das an dieser Ereignisgleichheit.
Das Maximum der yj ist kleiner gleich einem Wert, wo genau dann wen,
wenn jedes yj kleiner gleich u ist, das heißt Schnitt der Ereignisse.
Das ist der Hintergrund.
So, jetzt mache ich folgendes.
Na ja, x ist eine beliebig reelle Zahl.
Nun, n geht gegen unendlich.
Ich kann auf jeden Fall n so groß wählen, dass x plus Logarithmus n,
damit ich dort in die erste Darstellung der Verteilungsfunktion komme,
größer gleich 0 ist.
Und wenn das dann der Fall ist, dann darf ich hierfür natürlich
schreiben 1 minus e hoch minus und für dieses t oben setze ich ein x
plus Log n.
Das darf ich also machen, wenn x plus Log n größer gleich 0 ist.
Und für hinreichend großes n ist das erfüllt.
Ich mache einen Grenzwertsatz.
n geht gegen unendlich.
So, das schreibe ich anders.
Da steht e hoch minus x drin und e hoch minus Log n, aber e hoch minus
Log n ist 1 durch n.
Das heißt, hier vorne steht nichts anderes als 1 minus e hoch minus x
dividiert durch n in Klammernhohe n.
Und das konvergiert natürlich für n gegen unendlich.
1 plus y durch n hoch n geht gegen e hoch y.
y ist nur minus e hoch minus x.
Also kommt hier raus, ich habe Konvergenz, punktweise Konvergenz,
gegen was?
Eine Funktion g von x und g von x ist genau der Grenzwert, den ich
eben sagte.
e hoch minus e hoch minus x für jedes x aus r.
Und das ist die berühmte Verteilungsfunktion der Extremwertverteilung
von Gumbel, das g von x.
Das heißt, ich habe hier Verteilungskonvergenz gegen eine
Zufallsvariable, die diese Verteilungsfunktion besitzt.
Ich will das mal veranschaulichen.
Also das ist das Memo.
Ich starte mit unabhängig identisch verteilten Exponential verteilten
Zufallsvariablen und xn ist das Maximum der y minus Logarithmus n.
Und xn konvergiert nach Verteilung gegen x, haben wir gesehen, wobei x
diese Verteilungsfunktion hat.
Also g von x, diese Gumbel'sche Verteilungsfunktion und ich zeichne
Ihnen mal die Ableitung auf.
Die Ableitung ist die Dichte hier im Koordinatensystem.
Hier läuft x und die sieht so aus.
Das ist also nichts anderes als e hoch minus x plus e hoch minus x.
Das ist die Ableitung von g. Wenn Sie g ableiten, kommt das raus.
Sie sehen dort eine Dichte.
Das ist die Dichte der Gumbel'schen Extremwertverteilung.
Man kann Folgendes zeigen.
Also wenn Sie hier sehen, eine Rechtschiefe.
Die Verteilung steigt relativ schnell an und fällt dann langsamer ab,
ist also nicht symmetrisch.
Wenn Sie den Erwartungswert ausrechnen, der Erwartungswert ist der
Schwerpunkt.
Eine physikalische Deutung.
Da kommt eine berühmte Konstante der Analyse raus, die sogenannte
Euler -Maskeronische Konstante.
Die haben wir auch schon mal gehabt in der Einführungsfolge, so 0,577
ein bisschen.
Und die Varianz dieser Verteilung ist nichts anderes als Pi Quadrat
Sechste.
Auch eine interessante Zahl.
Also zwei interessante Parameter dieser Verteilung.
Sie sollten wissen, es gibt ganze Bücher und Tausende von Artikeln
über sogenannte stochastische Extremwerttheorie.
Es gibt sogar eigene Vorlesungen darüber.
Was macht stochastische Extremwerttheorie?
Sie befasst sich mit extremen Phänomenen, mit seltenen Ereignissen.
Denken Sie mal an das, was wir jetzt in Baden-Württemberg hatten,
heute Nacht.
Überschwemmungen.
Es gibt natürlich Rückversicherung.
Was machen Rückversicherung?
Rückversichern, versichern, wieder versicherer.
So, die müssen die hohen Schäden abdecken.
Die kommen insbesondere durch Wetterphänomene zustande.
Stellen Sie sich vor, maximale Pegelstände über einen langen Zeitraum.
Maxima von Zufallsverjagung.
Denken Sie an Minima.
Minima könnten so lange Dürreperioden sein, also wo es gar nicht mehr
regnet.
Oder Verschleiß.
Solche Dinge.
Das bedeutet, es gibt eine ganze Theorie, die sich beschäftigt mit dem
Verhalten von Extrema von Zufallsverjagung bei großem N.
Sie können das N hier deuten durchaus mal als Zeit, eine Zeitreihe.
Diskrete Zeitpunkte.
Oder auch kontinuierliche Prozesse in der Zeit.
Familien von Zufallsverjagung.
So denken Sie an Maxima, an Minima.
Vielleicht auch zwei drittgrößte Werte.
So hat sich eine ganze Theorie herausgebildet, die insbesondere von
holländischen Statistikern beeinflusst worden ist seit den 50er Jahren
des vergangenen Jahrtausends, wo eine verheerende Flut auch in Holland
war.
Da war die Frage, wie soll man die Deiche bauen, wie hoch, damit man
sicher ist.
Also stochastische Extremwerttheorie oder Extremwertstochastik oder
Extremwertstatistik.
Das ist also eine der wichtigsten Verteilungen, die dort auftreten.
Ein weiteres Beispiel.
Der zentrale Grenzwertsatz von Demuave-Laplace.
Den hatten wir in der Einführungsvorlesung nicht bewiesen.
Was war das?
Wir starten mit einer binomialverteilten Zufallsvariable Sn.
Das S deutet auch an Summe.
Wenn Sie an Binomialverteilung denken, sollten Sie mal an Summe von
Indikatorvariablen denken, von unabhängigen Ereignissen.
N Stück, gleiche Wahrscheinlichkeit p.
So was wird gemacht.
p strickt zwischen 0 und 1.
Ich standardisiere das Sn.
Ich ziehe den Erwartungswert ab, n mal p und dividiere durch die
Wurzel aus der Variante die Standardabweichung.
Und diese Zufallsvariable, diese Folge, die kann ich jetzt xn nennen,
die konvergiert nach Verteilung und zwar gegen eine
Standardnormalverteilung für n gegen unendlich.
Hier sehen Sie diese hybride Schreibweise.
Links stehen Zufallsvariablen, rechts steht das Symbole für eine
Verteilung, n01.
Beweis in größerer Allgemeinheit später.
Das wird ein ganz simpler Spezialfall sein von dem, was wir hinterher
dann wirklich beweisen werden im nächsten Kapitel.
Hier vielleicht noch ein Bild, an das Sie sich erinnern.
Histogramm dieser standardisierten Binomialverteilung.
Sie sehen, hier ist n gleich 100 und das p ist 0,3 und überlagert ist
die Dichte der Standardnormalverteilung, was hier gemacht wird.
Diese standardisierte Zufallsvariable, die da oben steht, das Sn minus
n mal p durch Wurzel n mal p mal 1 minus p, nimmt die Werte an k minus
n mal p durch Wurzel n mal p 1 minus p k von 0 bis n.
Und das sind die Mittelpunkte dieser Zellen bei dem Histogramm.
Die Zellbreite ist nichts anderes als 1 durch Wurzel n mal p mal 1
minus p und das Ganze so gemacht, dass die Summe dieser
Rechteckflächen, die Sie sehen, 1 ist.
Das ist die Skalierung nach oben.
Sie sehen natürlich hier sehr schön die Überlagerung mit der
sogenannten Gaussian-Glockenkurve, der Dichte der
Standardnormalverteilung 1 durch Wurzel 2p e hoch minus x
Quadrathalbe.
Ich möchte Ihnen noch ein drittes Beispiel zeigen.
Gesetz seltener Ereignisse, auch das hatten wir schon im Winter, wo
Verteilungskonvergenz vorliegt, jetzt in dem Sinne, wie wir das
beschrieben haben.
Ich starte wieder mit einer Binomialverteilung.
Jetzt schreibe ich mal xn, hat eine Binomialverteilung mit n.
Jetzt sehen Sie, dass p davon n abhängen.
Und zwar wie folgt, n größer gleich 1, n mal pn soll im Limes Lambda
sein, Lambda positiv und kleiner als unendlich.
Das heißt, die pn sind im Wesentlichen Lambda durch n.
Die werden immer kleiner.
Das heißt, Sie haben eine Kompensation immer mehr Versuche.
Denken Sie an eine Bernoulli-Kette.
xn gibt die Zahl der Treffer an, aber die Trefferwahrscheinlichkeit
wird immer kleiner.
Was ist n mal pn?
Das ist nichts anderes als der Erwartungswert.
Der Erwartungswert soll sich stabilisieren, soll gegen Lambda
konvergieren.
So, dann konvergiert xn gegen eine Poissonverteilung mit Parameter
Lambda.
Das ist das Gesetz seltener Ereignisse.
Der Beweis, sehen Sie sich nochmal den Beweis an, ganz kurz.
Vorlesung, Einführung in die Stochastik.
Was haben wir da gemacht?
Wenn k fest ist, nicht negative ganze Zahl und n größer gleich k ist,
n geht ja gegen unendlich, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass xn
den Wert k annimmt und das ist eben diese Binomialwahrscheinlichkeit,
die kennen wir und jetzt bröseln wir das auf.
Das heißt, 1 durch k-Fakultät ziehen wir raus aus dem ersten
Binomialkoeffizienten.
Dann bleibt über dort ein absteigendes Produkt von n.
Jetzt haben wir den n-1 und so weiter, bis ich k-Faktoren habe.
Das ist der Binomialkoeffizient.
Jetzt teile ich mal durch n hoch k.
Ich habe einen Fehler gemacht, den muss ich rückgängig machen, mache
ich sofort rückgängig, indem ich nicht pn hoch k nehme, nämlich n mal
pn hoch k und dann habe ich noch hinten 1 minus pn hoch n minus k, da
nehme ich erst mal 1 minus pn hoch minus k und bei dem restlichen, was
ich habe, noch mit dem hoch n, da schreibe ich jetzt 1 minus n mal pn
durch n in Klammern hoch n.
Hier habe ich wunderbar Konvergenz, nur das konvergiert für n gegen
unendlich, 1 durch k-Fakultät bleibt stehen.
Dieser nächste Ausdruck, dieser recht breite Bruch konvergiert gegen
1, weil jeder der Faktoren gegen 1 geht, das heißt, ich habe die 1, n
mal pn geht gegen Lambda, da steht hoch k, das geht gegen Lambda hoch
k, nun 1 minus pn hoch minus k, k ist fest, pn geht gegen 0, das
konvergiert auch gegen 1.
Und hinten haben wir noch 1 minus nun n mal pn, das geht gegen Lambda
da oben und dann konvergiert das Ganze mit gegen e hoch minus Lambda.
Das ist jetzt auch wieder was Einfaches aus der Naht und da sehen Sie
die Poisson-Verteilung, ganz egal, wie das k war.
Das heißt, das ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit x gleich
k, wobei x eine Poisson-Verteilung hat mit Parameter Lambda.
Also haben wir hier die Konvergenz der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Naja, jetzt kommt die Verteilungsfunktion an der Stelle x.
Hier muss ich natürlich die Einzelwahrscheinlichkeiten aufsummieren
und zwar bis wohin x kann jetzt beliebig real sein.
Das geht jetzt Summe k von 0 bis zur größten ganzen Zahl kleiner
gleich x.
Diese Einzelwahrscheinlichkeiten und das konvergiert mit, ganz egal,
wie das x ist, gegen die Summe der betreffenden Wahrscheinlichkeiten,
die ich habe aus der Poisson-Verteilung und damit habe ich hier
Verteilungskonvergenz.
Sie sehen hier eine Behauptung, einen Satz.
Aus Stochastischer Konvergenz folgt Verteilungskonvergenz.
Stochastische Konvergenz war schon ein relativ schwacher
Konvergenzbegriff.
Sie erinnern, sowohl aus der fast sicheren Konvergenz folgte die
Stochastische Konvergenz und auch aus der Konvergenz im p-Mittel
folgte auch die Stochastische Konvergenz und aus dieser folgt die
Verteilungskonvergenz.
Die Verteilungskonvergenz ist offenbar der schwächste
Konvergenzbegriff, den wir bislang hatten.
Warum ist das so?
Das ist hier die Behauptung, aus Stochastischer Konvergenz folgt
Verteilungskonvergenz.
Man kann sich natürlich fragen, gilt die Umkehrung?
Die gilt im Allgemeinen nicht, aber die Umkehrung gilt, wenn das X
eine Einpunktverteilung besitzt, also eine degenerierte Verteilung mit
Wahrscheinlichkeit 1 nur einen einzigen Wert annimmt.
Dann gilt auch die Umkehrung.
So wie sieht der Beweis aus?
Sehen wir uns A an.
Ich bezeichne die Verteilungsfunktion von Xn mit Fn und die
Verteilungsfunktion mit X mit F.
Das sind die üblichen Bezeichnungen.
Ich nehme ein positives Y.
Das lassen wir hinterher gegen 0 gehen.
Und Sie sehen hier schon die Begründung, aus der Dreiecksungleichung
soll jetzt etwas folgen und zwar eine Ereignisinklusion.
Aus dem Ereignis, dass x kleiner gleich klein x minus y ist, soll
folgen mindestens eins dieser beiden Ereignisse, nämlich entweder xn
kleiner gleich x oder kann auch beides eintreten, xn minus x-Betrag
größer gleich y.
Das gilt für jedes x aus R.
Ich habe hier mal ein Ausrufezeichen gemacht.
Das bedeutet, Sie müssen das so lesen, alles ist auf dem
Wahrscheinlichkeitsraum definiert Omega AP.
Für jedes Klein-Omega gilt, wenn x von Klein-Omega kleiner gleich
Klein -x minus y ist, dann folgt entweder xn von Omega kleiner gleich
x oder xn von Omega minus x von Omega dem Betrage nach größer gleich
y.
Der Beweis ist direkt mit der Dreiecksungleichung.
Sie können das durch Widerspruch machen.
Wenn beides auf der rechten Seite nicht erfüllt wäre, wenn xn von
Omega strikt größer x wäre und xn von Omega minus x-Betrag strikt
kleiner y wäre, dann könnte die auf der linken Seite das nicht
eintreten.
Dann müsste gelten, x von Omega größer als Klein-x minus y.
Weil das bedeutet, es gilt diese Inklusion.
Wenn aus einem Ereignis A die Vereinigung von zwei Ereignissen folgt,
dann kann ich sofort sagen, die Wahrscheinlichkeit kann ich sofort
abschätzen, nämlich die Wahrscheinlichkeit links ist nichts anderes
als Verteilungsfunktion f an der Stelle x minus y.
Das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, was links steht.
Kleiner gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden rechten
Ereignisse, die da stehen.
Nun das erste, Wahrscheinlichkeit xn kleiner gleich x ist fn von x und
das andere ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses xn minus x
-Betrag größer gleich y.
Das heißt, wir haben hier eine Ungleichung für jedes positive y.
Jetzt sehen Sie, die Voraussetzung ist stochastische Konvergenz.
Der zweite Summand auf der rechten Seite, die Wahrscheinlichkeit, die
da steht, die geht gegen null.
Ganz egal, wie das positive y ist, das ist stochastische Konvergenz.
Nun, was passiert?
Links steht eine feste Zahl f von x minus y.
Rechts haben sie zwei Zahlenfolgen fn von x und eine zweite
Zahlenfolge dazu addiert, die gegen null geht.
Sie können sofort schließen, naja, der Limes-Inferior fn von x, der
muss größer gleich f von x minus y sein.
Elementare Analyse.
Das heißt, wir haben eine Ungleichung über den Limes-Inferior fn von
x.
So, völlig analog, schätzen Sie den Limes-Superior, bitte selbst
durchführen, ab durch f von x plus y.
Das heißt, wir möchten ja gern was wissen über den Limes von fn von x.
Wir haben den Limes-Inferior nach unten abgeschätzt, den Limes
-Superior nach oben.
Die Grenzen sind f von x minus y, f von x plus y.
Wenn wir y gegen null gehen lassen, was passiert?
Na ja, wenn das x eine Stetigkeitsstelle von f ist, dann konvergiert
sowohl f von x plus y gegen f von x, als auch f von x minus y gegen f
von x und schon haben wir dann Konvergenz fn von x gegen f von x in
allen Stetigkeitsstellen von f.
Und damit haben wir Verteilungskonvergenz.
Sie sehen, aus stochastischer Konvergenz folgt Verteilungskonvergenz.
Wie ist es mit der Umkehrung?
B.
Also nehmen wir an, das x nimmt nur einen einzigen Wert an, nehmen wir
ihn a mit Wahrscheinlichkeit 1.
Jetzt habe ich Verteilungskonvergenz vorausgesetzt, ich möchte auf
stochastische Konvergenz schließen.
y größer 0 beliebig.
Ich sehe mir mal die Wahrscheinlichkeit an, dass xn sich von x, dem
Betrag nach, um mindestens y unterscheidet.
Da das x nur den Wert a annimmt, mit Wahrscheinlichkeit 1, kann ich
das auch so schreiben.
Ich muss zeigen, dass das gegen null geht, dann habe ich stochastische
Konvergenz nach Definition.
So, ich schätze es nach oben ab und zwar wie folgt.
Nun, das ist entweder, das Ereignis dort xn minus a Betrag größer
gleich y kann ja nur dann eintreten, wenn xn entweder kleiner gleich a
minus y ist, oder es ist größer gleich a plus y.
Ich spalte einfach das im Betrag auf.
Ich habe eine zweiseitige Ungleichung.
So, das Erste lasse ich mal stehen, ich mache kleiner gleich.
Die erste Wahrscheinlichkeit bleibt, und das ist nichts anderes als
die Verteilungsfunktion von xn an der Stelle a minus y, die da steht
nach Definition.
Was mache ich mit der anderen?
Mit der anderen, die schätze ich so ab nach oben, so ab nach oben,
naja, das ist plus 1 minus fn von a plus y halbe.
Da hatte ich dazu geschrieben, warum y halbe und nicht y.
Die Begründung ist ganz simpel.
Auf der rechten Seite, da steht xn größer gleich a plus y.
Wie kann ich das mit der Verteilungsfunktion ausdrücken?
Die Verteilungsfunktion ist ja was mit kleiner gleich.
Und das Kompliment von kleiner gleich ist nicht größer gleich, das
Kompliment von kleiner gleich ist echt größer.
Ich will auf die Verteilungsfunktion kommen.
So, also mache ich erst mal im ersten Schritt Folgendes.
Das, was da rechts drüber steht, über dem Roten, xn größer gleich a
plus y, und wenn xn größer gleich a plus y ist, dann ist es erst recht
strikt größer als a plus y halbe.
Das heißt, ich schätze die Wahrscheinlichkeit nach oben ab durch die
Wahrscheinlichkeit xn ist strikt größer a plus y halbe.
Um größer zu sein, strikt größer als a plus y halbe, die
Wahrscheinlichkeit ist 1 minus Wahrscheinlichkeit kleiner gleich x, a
plus y halbe zu sein.
Und das ist wieder die Verteilungsfunktion.
Deshalb steht hier 1 minus fn an der Stelle a plus y halbe.
Ich hätte natürlich statt y halbe auch y ein Viertel nehmen können
oder drei Viertel y.
Darauf kommt es jetzt nicht an.
Das Entscheidende ist, man sollte jetzt sehen, dass a minus y ist eine
Stetigkeitsstelle der Verteilungsfunktion f.
f ist natürlich die von x.
Und auch das a plus y halbe ist auch eine Stetigkeitsstelle dieser
Verteilungsfunktion.
Warum?
Warum sind da Stetigkeitsstellen?
Wie sieht denn die Verteilungsfunktion aus, eine Einpunktverteilung im
Punkt a?
Die ist 0, für jeden Wert kleiner a.
Dann springt sie auf 1 an der Stelle a und dann bleibt sie identisch
1.
So, das bedeutet, wenn ich von a zu a plus y übergehe, da ist die
Verteilungsfunktion 1 und auch in der kleinen Umgebung.
Ich habe wirklich eine Stetigkeitsstelle.
Der Wert ist 1.
Wenn ich zu a minus y halbe übergehe, ist der Funktionswert 0 und auch
in der kleinen Umgebung davon.
Denn a minus y halbe ist strikt kleiner a.
Das heißt, ich habe zwei Stetigkeitsstellen und ich weiß auch, wie die
Werte dort aussehen, nämlich f von a minus y ist 0, was ich gerade
begründet habe, und f von a plus y halbe ist 1.
Das heißt, sie können einsetzen.
Was haben wir hier?
Das eine ist 0.
0 plus 1 minus 1 ist 0 und damit haben wir natürlich sofort, dass die
Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert.
Das heißt, xn konvergiert stochastisch gegen x.
Das war der ganze Beweis.
Also sehen wir, die Umkehrung gilt für eine Einpunktverteilung.
Ich möchte Ihnen das noch mal zeigen, die Begriffe.
Wir haben die fast sichere Konvergenz gehabt.
xn geht fast sicher gegen x, haben geschlossen.
Naja, daraus folgt die stochastische Konvergenz, die ist
untergeordnet.
Wir haben auch Gegenbeispiele.
Das geht nicht andersrum im Allgemeinen.
Dann hat man noch diese Konvergenz jetzt nach Verteilung.
Wir haben gerade gesehen, da habe ich auch einen Pfeil nach unten.
Und wir hatten noch die LP-Konvergenz.
Die war nicht vergleichbar mit der fast sicheren Konvergenz, aber wir
konnten aus ihr auch schließen auf die stochastische Konvergenz.
Auch hier natürlich Gegenbeispiele für diesen Pfeil.
Sie sehen also dort die Konvergenzbegriffe, die wir bislang hatten in
ihrer Hierarchie.
Also die Verteilungskonvergenz ist der schwächste Konvergenzbegriff,
den wir bislang hatten.
Ja, hier noch ein Lämmer, ein wichtiges Lämmer von Slutsky.
Er wird durchaus unterschiedlich geschrieben.
Ich verwende jetzt diese Schreibweise.
Um was geht es?
Das ist hier wichtiger.
Ich habe eine Folge von Zufall zwei Jahre.
Sie sehen erstmal x und dann x1, x2 und auch noch eine zweite Folge
y1, y2.
Das sind reelle Zufallsvarianten auf ein und demselben
Wahrscheinlichkeitsraum.
Und jetzt kommt die Voraussetzung.
xn konvergieren nach Verteilung gegen x und yn konvergieren
stochastisch gegen eine konstante a.
Jetzt kann ich verschließen.
Die Situation hat man sehr häufig für eine a aus R.
Dann gelten.
Erste Aussage, wenn ich die Summe bilde, xn plus yn, konvergiert das
nach Verteilung gegen die Zufallsvariante x plus a.
Das bedeutet, diese stochastische Konvergenz des zweiten Summanen yn
wirkt sich aus, dass sich wirklich die Grenzverteilung nur verschiebt.
Das ist die Verteilung von x und dann wird einfach a addiert.
Sehr häufig wird das sein, später bei asymptotischen Betrachtungen,
dass das a gleich 0 ist.
Dann bedeutet die Botschaft, naja, wenn du irgendwie
Verteilungskonvergenz nachweisen willst und hast eine Situation, wo du
zwei Summanen hast, xn und yn und die addieren sich und der zweite
Term geht stochastisch gegen 0, dann ändert sich nichts.
Das heißt, du brauchst nur die Grenzverteilung von xn.
Das wäre der wichtigste Spezialfall, a gleich 0.
Ansonsten, wenn ich eine Konstante extrahieren kann mit stochastischer
Konvergenz, dann wird die hinten addiert.
Zweite Eigenschaft, das Multiplikatives, die Folge xn mal yn
konvergiert auch nach Verteilung dann und die Grenzverteilung ist
nichts anderes als die Verteilung von x, die in Zufall zeigt,
multipliziert mit a.
Das bedeutet, das wäre dann vielleicht eine Streckung, wenn a größer 1
ist oder eine Stauchung, wenn a kleiner 1 ist.
Insbesondere bei a gleich 1 ändert sich nichts.
Theoretisch kann ich hier auch a gleich 0 einsetzen, dann wäre aber
die Grenzverteilung entartet im Nullpunkt.
Dann habe ich sogar stochastische Konvergenz.
So beweist.
Wir beweisen mal a und zwar wie folgt.
Ich führe die Verteilungsfunktion ein, f sei die, ich kürze jetzt ein,
Vf ist die Verteilungsfunktion, wenn das später mal auftritt, ist
immer Verteilungsfunktion, ähnlich wie Cf charakteristische Funktion
ist.
Das sei die von x und y wieder positiv, t aus r, alles beliebig.
Okay, so jetzt sehen wir uns an.
Jetzt kommt nämlich die Verteilungsfunktion, Sie sehen, da steht xn
plus yn.
Das ist die Verteilungsfunktion von xn plus yn an der Stelle t und ich
will ja nachweisen, dass xn plus yn nach Verteilung konvergiert, also
muss ich diese Verteilungsfunktion einführen.
So, jetzt mache ich folgendes.
Ich nutze jetzt die stochastische Konvergenzauswahl yn gegen a.
Ich schneide dieses Ereignis, was hier steht, xn plus yn kleiner
gleich t, einmal mit dem Ereignis yn minus a Betrag größer y.
Jetzt habe ich einen Schnitt von zwei Ereignissen.
Und um wieder auf das Ursprüngliche zu kommen, muss ich noch addieren
die Wahrscheinlichkeit.
Sie sehen wieder xn plus yn kleiner gleich t, aber jetzt geschnitten
mit dem komplementären Ereignis yn minus a Betrag kleiner gleich y.
Jetzt stimmt wieder alles.
Jetzt schätze ich nach oben ab, kleiner gleich.
Bei dem ersten, da sehen Sie, da steckt das Ereignis drin yn minus a
Betrag größer y.
Die Wahrscheinlichkeit geht ja schon gegen null, wegen der
stochastischen Konvergenz.
Also kann ich das Erste abschätzen durch die Wahrscheinlichkeit yn
minus a Betrag größer y.
Das heißt, ich betrachte gar nicht mehr xn plus yn kleiner gleich t.
Bei dem Zweiten, jetzt benutze ich wieder die Dreiecksumgleichung.
Wenn xn plus yn kleiner gleich t ist und yn sich von a betragsmäßig um
höchstens y unterscheidet, dann kann ich auf jeden Fall schließen,
dass dann xn kleiner gleich t minus a plus y sein muss.
Nur die Dreiecksumgleichung.
Führen Sie das selbst durch.
Das heißt, ich habe hier die Verteilungsfunktion von xn an der Stelle
t minus a plus y.
So, was haben wir jetzt erreicht?
Ich habe die Wahrscheinlichkeit xn plus yn kleiner gleich t, ist eine
Folge in n, eine Zahlenfolge, abgeschätzt durch die Summe zweier
Folgen.
Die erste Folge, wissen wir, die geht gegen 0, weil yn stochastisch
gegen a konvergiert.
Also kann ich schließen, elementare Analyse, wenn ich eine
Stetigkeitsstelle habe der Verteilungsfunktion von f t minus a plus y,
dann folgt wegen dieser stochastischen Konvergenz gegen a folgendes.
Der Limes-Superior dieser Zahlfolge, die links steht, der
Wahrscheinlichkeit xn plus yn kleiner gleich t, ist höchstens gleich.
Nun, das erste geht gegen 0, aber das Zweite ist natürlich, wenn ich n
gegen und n nicht gehen lasse und wenn t minus a plus y eine
Stetigkeitsstelle ist der Verteilungsfunktion von xn, dann ist der
Grenzwert f, die Verteilungsfunktion von dem x an der Stelle t minus a
plus y.
Das heißt, ich habe hier eine Abschätzung nach oben.
Folgendes sollte man beachten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass x plus a kleiner gleich t ist, ich kann
das a auf die andere Seite bringen, dann ist das die
Wahrscheinlichkeit x kleiner gleich t minus a und das ist
Verteilungsfunktion f von x an der Stelle t minus a.
So, das bedeutet, die Folgerung ist die, wenn t eine Stetigkeitsstelle
ist der Verteilungsfunktion von x plus a, dann ist das genau der Fall,
wenn t minus a eine Stetigkeitsstelle der Verteilungsfunktion von f
ist.
Das ist also nur eine Verschiebung, weil die Verteilungsfunktionen
auch durch Verschiebung des Argumentes auseinander hervorgehen.
So, wenn ich jetzt eine Folge yk, also ich wähle y als eine Folge yk,
die gegen null geht, derart, dass ich nur Stetigkeitsstellen erwische,
das kann ich machen, weil die dicht liegen.
Das ist das Schöne.
Dann bedeutet das, im Limes bekomme ich dieser Limes-Superior, der da
zwei Zeilen drüber steht, ist kleiner gleich der Wahrscheinlichkeit x
plus a kleiner gleich t, nämlich das ist f von t minus a.
Also sehe ich sofort, ich habe eine Hälfte gezeigt, Limes-Lim-Sub
dieser Verteilungsfunktion von x plus y an der Stelle t ist kleiner
gleich p von x plus a kleiner gleich t.
Ich will ja Verteilungskonvergenz gegen x plus a zeigen.
Das heißt, ich zeige das nochmal als Voraussetzung.
Das ist hier unser Memo.
xn konvergiert gegen x, yn gegen a und die Behauptung ist xn plus yn
geht gegen x plus a in Verteilung.
Und wir haben bislang gezeigt, was haben wir gezeigt?
Wenn das t eine Stetigkeitsstelle der Verteilungsfunktion von x plus a
ist, ich habe das jetzt mal als Index drangeschrieben,
Verteilungsfunktion von x plus a, dann haben wir Limes-Sub dieser
Wahrscheinlichkeit xn plus yn kleiner gleich t kleiner gleich p von x
plus a kleiner gleich t.
Nun die andere Richtung müssen die Dreiecksumgleichung wiedergeschickt
anwenden.
Wenn t minus a eine Stetigkeitsstelle von f ist, dann bekommen sie
auch, dass der Liminf von dieser Wahrscheinlichkeit xn plus yn kleiner
gleich t größer gleich dieser Wahrscheinlichkeit ist.
Das ist für sie immer analog.
Also normalerweise wird immer eine Umgleichung bewiesen in der
Vorlesung.
Dann sagt man sehr gern, bitte analog.
Ein bisschen Übung ist natürlich dann gut.
Wieder die Dreiecksumgleichung verwenden, sie erhalten auch das.
Insgesamt haben wir dann diesen Limes und zwar in allen stetig für
jedes t derart, dass t minus a eine Stetigkeitsstelle von f ist, was
gleichbedeutend ist, dass eben t eine Stetigkeitsstelle der
Verteilungsfunktion von x plus a ist und damit haben sie diese
Verteilungskonvergenz von xn plus yn gegen x plus a.
Das wäre gezeigt.
So, Teil b mit den Produkten.
Auch da müssen sie erstmal schließen den Fall aus oder zeigen sie a
gleich 0 lässt sich sehr schnell erschlagen und dann betrachten sie
die Fälle, die Fälle a größer 0 und kleiner 0 getrennt und es kommt
aber keine neue Idee rein.
Das heißt also auch das würde ich ihnen dann als Übungsaufgabe
empfehlen.
Wichtig ist vor allen Dingen, dass sie diese Resultate, die sollten
sie sich merken, das sind wirklich hinterher Elementartechniken im
Umgang mit Verteilungskonvergenz.
Und zwar strukturelle Eigenschaften.
Sie haben vielleicht einen komplizierten Ausdruck und wollen
Verteilungskonvergenz nachweisen.
Wenn sie irgendwie erkennen, sie können ihn splitten in Summanden, von
denen sie zeigen können, gewisse gehen stochastisch gegen 0, dann
brauchen sie sich nur auf einen anderen Teil zu konzentrieren.
Wenn sie irgendwelche Faktoren dort vorziehen können, von denen sie
sehen, die konvergieren stochastisch gegen 0, dann können sie die wie
im Limes wie Konstanten behandeln.
Die Grenzverteilung wird einfach nur multipliziert.
Das ist also die Botschaft dieses Lemma von Sluskis, was vielleicht
eins der häufigsten Lemmata wirklich ist im Zusammenhang mit
Verteilungskonvergenz.
Und irgendwo Verteilungskonvergenz ist, auch wenn sie in
wissenschaftlicher Arbeit leben, kommt immer Sluskis Lemma vor.
Das ist also wirklich wichtig.
Ja, ich denke, wir haben heute trotz einiger Anfangsschwierigkeiten
genug erreicht.
Wir sehen uns ja auch schon am Mittwoch wieder und fahren dann hier
mit der Verteilungskonvergenz fort.
Wir werden dann weiteres erfahren, sage ich mal, weitere Techniken
auch lernen und werden es dann wohl am nächsten Montag beenden.
Und dann wenden wir uns dem zentralen Grenzwertsatz zu oder zentralen
Grenzwertsätzen, wo wir dann wirklich die Verteilungskonvergenz in
Aktion sehen, wo unter allgemeinen Voraussetzungen die
Normalverteilung als Grenzverteilung dann auftritt.
Dankeschön.