WEBVTT 00:08.020 --> 00:12.500 Ich möchte fortfahren, hier mit einer wichtigen Regel, die 00:12.500 --> 00:18.160 Substitutionsregel, die ist so einfach, wir werden gleich den Beweis 00:18.160 --> 00:22.440 sehen, das ist also fast eine Trivialität, wie man so gerne sagt in 00:22.440 --> 00:24.400 der Mathematik, die besagt folgendes. 00:24.920 --> 00:27.000 Ich habe einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum. 00:29.220 --> 00:32.100 Ich setze jetzt das Omega, Sie werden später sehen, es kommt kein 00:32.100 --> 00:34.300 Omega -Null-Vergleich als abzehbar voraus. 00:34.300 --> 00:37.040 Wenn das nicht der Fall ist, dann müssen Sie später summieren über 00:37.040 --> 00:37.700 Omega -Null. 00:38.500 --> 00:41.780 Sie haben hier einen Zufallsvektor, Sie sehen, das X geht hier in den 00:41.780 --> 00:45.480 R auf N, was anderes als vorher, kann allgemein sein, N muss nicht 00:45.480 --> 00:46.440 notwendig 1 sein. 00:46.820 --> 00:49.720 Und Sie haben einen zweiten Zufallsvektor Z, wie eben, der geht in den 00:49.720 --> 00:50.260 R auf K. 00:50.740 --> 00:55.880 Das Entscheidende ist, wir reden gleich über Erwartungswerte, ich muss 00:55.880 --> 00:57.320 das Ganze realwertig machen. 00:57.480 --> 01:00.300 Sie sehen, Sie haben jetzt eine Funktion G, die ist definiert aus dem 01:00.300 --> 01:05.060 R auf N, kreuz R auf K in R, und Sie sehen, was ich hier mache. 01:05.200 --> 01:07.740 Ich kann natürlich hier die Zufallsvektoren einsetzen. 01:09.620 --> 01:13.400 Das ist jetzt insgesamt ein N plus K-dimensionaler Zufallsvektor, und 01:13.400 --> 01:16.520 auf dessen Realisierung kann ich die Funktion G schalten. 01:16.960 --> 01:20.560 Dann bekomme ich etwas Reellwertiges, also G von X, Z ist eine 01:20.560 --> 01:25.380 reellwertige Zufallsvariable, und davon der Betrag, davon muss der 01:25.380 --> 01:26.700 Erwartungswert existieren. 01:27.320 --> 01:28.920 Das ist die Grundvoraussetzung hier. 01:28.920 --> 01:34.160 Dann gilt, das ist jetzt hier die Regel, für jedes feste Z, was von 01:34.160 --> 01:38.000 dem Zufallsvektor Groß-Z mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen 01:38.000 --> 01:43.740 wird, ist der bedingte Erwartungswert von dieser Zufallsvariable G von 01:43.740 --> 01:47.420 X, Z unter dieser Bedingung Groß-Z gleich Klein-Z, und schauen Sie auf 01:47.420 --> 01:51.380 die rechte Seite, da hat sich nicht viel getan, da ist nur vor dem 01:51.380 --> 01:57.080 Bedingungsstrich das große Z durch das kleine Z ersetzt worden, mehr 01:57.080 --> 01:57.780 ist nicht passiert. 02:00.700 --> 02:04.760 Die Botschaft soll einfach die sein, wenn hier die Bedingung ist Groß 02:04.760 --> 02:08.480 -Z gleich Klein-Z, dann kann ich, wenn links irgendwo das Groß-Z 02:08.480 --> 02:11.580 auftritt, dieses Groß-Z links durch Klein-Z ersetzen. 02:12.360 --> 02:12.920 Substitution. 02:14.060 --> 02:14.900 Das ist die Botschaft. 02:15.840 --> 02:20.200 So, der Beweis, wir sehen uns den Beweis an, wir sehen uns konkret 02:20.200 --> 02:21.540 diesen Erwartungswert an. 02:21.660 --> 02:25.340 Da steht der Erwartungswert von einer Zufallsvariable unter einem 02:25.340 --> 02:28.660 Ereignis, und das ist 1 durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, 02:29.760 --> 02:32.320 die Wahrscheinlichkeit Groß-Z gleich Klein-Z, und jetzt kommt die 02:32.320 --> 02:35.700 Summe, und was war das, die Summe ist jetzt nur über die kleinen 02:35.700 --> 02:39.460 Omegan, die in A sind, das Ereignis A ist natürlich hier Groß-Z gleich 02:39.460 --> 02:43.660 Klein -Z, das muss also gelten für so ein Omega, Groß-Z von Omega ist 02:43.660 --> 02:47.500 Klein -Z, das ist die Bedingung. 02:48.200 --> 02:50.960 Sie sehen, ich setze hier voraus, dass Omega abzehrbar ist, sonst 02:50.960 --> 02:52.140 müsste ich Omega 0 schreiben. 02:53.420 --> 02:57.840 Aber ansonsten ist das, und jetzt steht da eben G von, das ist also 02:57.840 --> 03:02.300 unsere Zufallsvariable, das ist G von X, Z, also G von X von Omega, Z 03:02.300 --> 03:05.000 von Omega mal die Wahrscheinlichkeit von Omega. 03:05.880 --> 03:09.220 Also nach Definition direkt des bedingten Erwartungswertes. 03:11.160 --> 03:14.960 So, Sie sehen aber jetzt, es wird summiert über die kleinen Omega mit 03:14.960 --> 03:16.440 Z von Omega gleich Klein-Z. 03:16.580 --> 03:20.700 Ich kann also rechts in der Summe das Z von Omega durch Klein-Z 03:20.700 --> 03:21.180 ersetzen. 03:22.140 --> 03:25.260 Weil das ja in der Bedingung steht, das heißt, ich mache das Ganze 03:25.260 --> 03:28.960 genauso und jetzt ersetze ich nur das Groß-Z von Omega durch das Klein 03:28.960 --> 03:29.240 -Z. 03:30.320 --> 03:34.580 Aber wenn Sie das jetzt wieder sehen, das ist nach Definition der 03:34.580 --> 03:40.360 bedingte Erwartungswert von G von Groß-X, Klein-Z unter der Bedingung 03:40.360 --> 03:41.720 Groß -Z gleich Klein-Z. 03:42.560 --> 03:46.600 Das heißt, wenn Sie jetzt von unten eine Etage höher gehen, das letzte 03:46.600 --> 03:51.340 Gleichheitszeichen, fangen Sie unten an, nach der gleichen Regel, ich 03:51.340 --> 03:54.740 muss teilen durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dann muss 03:54.740 --> 03:59.420 ich diese Zufallsvariable neben G von Groß-X, Klein-Z, das ist aber an 03:59.420 --> 04:04.120 der Stelle Omega, ist gerade G von X von Omega, Klein-Z und das steht 04:04.120 --> 04:05.960 da, mal der Wahrscheinlichkeit. 04:08.320 --> 04:12.340 Das heißt, diese Substitutionsregel ist unmittelbar einzusehen und wir 04:12.340 --> 04:14.660 wollen sie mal direkt in Aktion sehen. 04:15.520 --> 04:16.840 Sehen wir uns das an. 04:17.940 --> 04:23.420 Und zwar, wir werden die Augensumme bei einer zufälligen Wurfanzahl 04:23.420 --> 04:23.960 betrachten. 04:24.060 --> 04:28.100 Wir werden jetzt mit etwas konfrontiert werden, zum ersten Mal, was 04:28.100 --> 04:31.180 oft vorkommt, mit einer sogenannten randomisierten Summe. 04:31.620 --> 04:32.260 Was wird gemacht? 04:32.360 --> 04:34.180 Ich werfe einen echten Würfel einmal. 04:35.260 --> 04:40.520 So in Abhängigkeit von dessen Augenzahl, tritt dort J auf, werfe ich 04:40.520 --> 04:45.080 danach noch J echte Würfel oder Sie können sagen, einen echten Würfel 04:45.080 --> 04:47.240 nach gutem Schüttel J mal hintereinander. 04:49.600 --> 04:54.440 Dann betrachten wir als Zufallsvariable die insgesamt geworfene 04:54.440 --> 04:55.160 Augensumme. 04:55.940 --> 04:59.480 Die Extremfälle sind die, ich werfe nur eins beim ersten Wurf, dann 04:59.480 --> 05:03.060 werfe ich noch einmal danach, werfe ich eine sechs, werfe ich noch 05:03.060 --> 05:03.980 sechsmal danach. 05:04.820 --> 05:08.280 Also maximal habe ich insgesamt sieben Würfe, minimal habe ich zwei 05:08.280 --> 05:11.820 Würfe und die Anzahl der Würfe insgesamt wird bestimmt durch den 05:11.820 --> 05:16.840 ersten Wurf Wir fragen uns, was ist der Erwartungswert von X? 05:19.400 --> 05:20.860 Von dieser Zufallsvariable. 05:23.680 --> 05:27.880 So, wenn jetzt jemand von Stochastik so gut wie keine Ahnung hat, 05:28.100 --> 05:30.480 versetzen Sie sich mal in die Schule und vergessen Sie alles, was Sie 05:30.480 --> 05:33.100 gelernt haben, dann sieht man sofort, was rauskommen muss. 05:34.620 --> 05:35.860 Nämlich, was muss rauskommen? 05:37.320 --> 05:39.860 Man fragt sich, wie oft wird denn im Schnitt geworfen? 05:39.860 --> 05:44.600 Pro Wurf habe ich 3,5 im Schnitt, der Erwartungswert, das wissen wir. 05:45.680 --> 05:51.480 Im Schnitt wird geworfen einmal, ja und dieser erste Würfel zeigt er 05:51.480 --> 05:52.720 im Schnitt 3,5. 05:53.440 --> 05:56.160 Also wird im Schnitt 4,5 mal geworfen. 05:58.600 --> 06:03.100 Und jedes Mal ergibt sich im Schnitt 3,5, also muss rauskommen 4,5 mal 06:03.100 --> 06:03.940 3,5. 06:04.300 --> 06:10.640 4,5 ist 4 plus ein halb, 3,5 ist 4 minus ein halb, also 4 plus ein 06:10.640 --> 06:14.420 halb mal 4 minus ein halb, dritte binomische Formel, ist 4 Quadrat 06:14.420 --> 06:18.200 minus ein Halbquadrat, 4 Quadrat ist 16, ein Halbquadrat ist ein 06:18.200 --> 06:20.800 Viertel, es muss rauskommen 15,75. 06:21.500 --> 06:24.660 So, die Frage ist natürlich, ob wir das auch mit höherer Stochastik 06:24.660 --> 06:25.240 rausbekommen. 06:25.820 --> 06:26.960 Das muss rauskommen. 06:27.280 --> 06:30.020 Also vergessen Sie nie, den gesunden Menschenverstand auszuschalten. 06:32.670 --> 06:33.770 Wir modellieren das. 06:35.150 --> 06:37.530 Nun, wir werfen ja maximal sieben Mal. 06:39.190 --> 06:44.290 Es ist ein Modell, bei dem wir sieben Tupel haben, die wir vielleicht 06:44.290 --> 06:45.430 gar nicht ganz brauchen. 06:47.570 --> 06:51.130 Das heißt, die kleinen Omegas sind hier sieben Tupel, Sie sehen, ich 06:51.130 --> 06:56.170 fange hier mit Omega 0 an, und es sind alles Zahlen von 1 bis 6, ich 06:56.170 --> 06:58.510 modelliere so einen siebenfachen Würfelwurf. 07:00.830 --> 07:04.490 Mit der Gleichverteilung auf Omega, also alle sieben Tupel sind 07:04.490 --> 07:04.770 gleichwahrscheinlich. 07:06.190 --> 07:09.830 Und ich setze jetzt Zufallsvariablen an, wenn Sie wollen, Koordinaten, 07:09.910 --> 07:13.610 Abbildung oder Projektion, Xi von Omega ist einfach Omega i. 07:14.670 --> 07:18.070 Und das Entscheidende ist, diese Zufallsvariablen, wir haben ein 07:18.070 --> 07:21.710 Produktexperiment, Produktrahmen sind stochastisch unabhängig, weil 07:21.710 --> 07:25.170 sie sich auf verschiedene Komponenten des Tupels beziehen. 07:25.570 --> 07:28.330 Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen haben wir gehabt. 07:29.210 --> 07:32.670 So, jetzt modellieren wir die insgesamt geworfene Augensumme. 07:33.690 --> 07:37.630 Für so einen Tupel ist natürlich klar, es ist erstmal X0 von Omega, 07:37.730 --> 07:39.770 das soll unser allererster Wurf sein. 07:41.130 --> 07:45.450 Und in Abhängigkeit von diesem X0 von Omega, die Realisierung ist das 07:45.450 --> 07:49.110 klein j, was ich eben sagte, zeigt ja die Zahl j, werden j weitere 07:49.110 --> 07:50.010 Würfel geworfen. 07:50.310 --> 07:53.390 Das heißt, jetzt kommt noch eine Summe dazu mit einem oberen 07:53.390 --> 07:56.690 Summationsindex, der eben von diesem kleinen Omega abhängt. 07:57.170 --> 08:01.450 Summe i von 1 bis X0 von Omega und dann Xi von Omega. 08:03.090 --> 08:08.450 Also unter Umständen, je nachdem wie das X0 von Omega ausfällt, 08:08.710 --> 08:14.930 brauche ich gar nicht alle Komponenten, sondern im extremen Fall 08:14.930 --> 08:18.410 brauche ich vielleicht nur noch den nächsten Wurf, also das kleine 08:18.410 --> 08:19.090 Omega 1. 08:20.610 --> 08:21.750 Also das wäre die Modellierung. 08:21.750 --> 08:24.350 Wir sehen hier eine randomisierte Summe. 08:24.450 --> 08:27.830 Das Entscheidende ist, der obere Summationsindex hängt vom Zufall ab 08:27.830 --> 08:29.110 in dieser zweiten Summe. 08:31.230 --> 08:34.370 Ich schreibe das jetzt mal kurz, ich lasse jetzt mal die Argumente 08:34.370 --> 08:38.410 Omega alle weg und schreibe nur ganz kurz, also das kann ich machen 08:38.410 --> 08:42.930 für jedes Omega natürlich, schreibe kurz, dass X ist einfach X0 plus 08:42.930 --> 08:46.230 diese Summe i von 1 bis X0 von Xi. 08:50.080 --> 08:51.160 Jetzt rechnen wir aus. 08:52.180 --> 08:55.740 Was ist der bedingte Erwartungswert von X unter der Bedingung X0 08:55.740 --> 08:56.040 gleich J? 08:56.160 --> 08:58.660 Es ist natürlich klar, dass wir so rangehen werden, denn die 08:58.660 --> 09:01.820 Schwierigkeit liegt ja nur darin, dass wir nicht wissen, wie oft 09:01.820 --> 09:03.020 insgesamt geworfen wird. 09:03.100 --> 09:06.680 Also müssen wir den Zufall insofern bändigen, als wir sagen, okay, 09:07.160 --> 09:10.180 bitte teil mir doch mit, was beim ersten Mal rauskommt, dann bin ich 09:10.180 --> 09:10.520 schlauer. 09:10.980 --> 09:15.300 Also die Bedingung ist jetzt X0 gleich J, erster Wurf ergibt Augenzahl 09:15.300 --> 09:15.500 J. 09:15.500 --> 09:20.000 Nun, jetzt setze ich ein, das ist diese Zufallsvariable unter der 09:20.000 --> 09:21.000 Bedingung X0 gleich J. 09:21.120 --> 09:24.380 Ich habe nur für das X diesen Ausdruck eingesetzt. 09:26.380 --> 09:28.500 Jetzt kommt die berühmte Substitutionsregel. 09:29.180 --> 09:32.140 Das X0 da oben ist das, was bei uns eben Z war. 09:33.180 --> 09:37.360 Die Regel sagte, alles, wo jetzt links X0 steht, darfst du J 09:37.360 --> 09:38.120 einsetzen. 09:38.920 --> 09:39.820 Machen wir das. 09:39.820 --> 09:44.480 Da darf ich J einsetzen für das X0 und da oben darf ich auch für das 09:44.480 --> 09:46.420 X0 das J einsetzen. 09:46.660 --> 09:50.080 Die Bedingung bleibt, das ist die Substitutionsregel in Aktion. 09:53.550 --> 09:58.070 So jetzt ist der Zufall wirklich teilweise gebändigt, natürlich habe 09:58.070 --> 10:02.570 ich noch diese XI da stehen, aber jetzt nutze ich aus die Linearität 10:02.570 --> 10:04.690 des bedingten Erwartungswertes. 10:04.970 --> 10:07.310 Das heißt, ich habe einmal eine Konstante, das ist also der 10:07.310 --> 10:11.430 Erwartungswert von diesem J da unter der Bedingung X0 gleich J, plus, 10:11.890 --> 10:14.410 jetzt habe ich die Summe, da kann ich die Summe nach vorne ziehen, I 10:14.410 --> 10:17.890 von 1 bis J, Erwartungswert XI unter der Bedingung X0 gleich J. 10:17.990 --> 10:21.910 Das heißt, ich habe nur die Additivität ausgenutzt, auch des bedingten 10:21.910 --> 10:22.970 Erwartungswertes. 10:23.470 --> 10:24.290 Mehr habe ich nicht gemacht. 10:25.090 --> 10:31.270 So, der Erwartungswert dieser konstanten Zufallsvariablen, das ist 10:31.270 --> 10:32.590 immer die Konstante selbst, 10:48.380 --> 10:53.800 also das ist immer die Konstante selbst, das heißt, das ist J und 10:53.800 --> 10:56.400 jetzt sehen Sie, die Summe kann ich nach vorne ziehen und jetzt kommt 10:56.400 --> 11:01.680 es, dieser bedingte Erwartungswert von XI unter der Bedingung X0 11:01.680 --> 11:09.660 gleich J ist der Erwartungswert von XI und wir haben gesehen, XI, I 11:09.660 --> 11:14.340 ist ja größer als 1, ist von X0 stochastisch unabhängig und deshalb 11:14.340 --> 11:17.500 kann ich die Bedingung weglassen bei dem bedingten Erwartungswert, 11:17.560 --> 11:19.460 wenn stochastische Unabhängigkeit besteht. 11:20.080 --> 11:23.100 So, und jetzt, diese Erwartungswerte kenne ich alle, die sind alle 3 11:23.100 --> 11:23.700 ,5. 11:24.280 --> 11:27.540 Also kommt daraus J plus J mal 3,5. 11:28.000 --> 11:30.580 Ich habe also diesen bedingten Erwartungswert, wenn Sie so wollen, ist 11:30.580 --> 11:32.260 das 4,5 mal J. 11:33.600 --> 11:37.100 So, und jetzt kann ich einsetzen, iterierte Erwartungswertbildung oder 11:37.100 --> 11:41.580 Formel vom totalen Erwartungswert besagt, okay, der Erwartungswert von 11:41.580 --> 11:46.360 X ist jetzt diese Summe dieser bedingten Erwartungswerte mal die 11:46.360 --> 11:47.820 Wahrscheinlichkeit X0 gleich J. 11:47.820 --> 11:50.420 Und die Wahrscheinlichkeit X0 gleich J ist ein Sechstel. 11:51.120 --> 11:52.620 Das ist konstant, das kann ich rausziehen. 11:53.860 --> 11:56.840 Und dann habe ich jetzt diese bedingten Erwartungswerte, da haben wir 11:56.840 --> 12:01.460 sie, das ist immer 4,5 und jetzt kann ich das 4,5 rausziehen mal J und 12:01.460 --> 12:02.600 jetzt muss ich die Summe bilden. 12:02.860 --> 12:08.300 Und die Summe der Zahlen J von 1 bis 6 ist 21, 21 durch 6 können Sie 12:08.300 --> 12:14.560 teilen, also 3,5, also kommt daraus 4,5 mal 3,5 und das ist 15,75, was 12:14.560 --> 12:17.920 unser gesunder Menschenverstand uns schon am Anfang gesagt hat. 12:18.900 --> 12:23.840 Also keine Hexerei, aber Sie sehen einfach hier, wie man vorgeht, wenn 12:23.840 --> 12:29.260 eine Situation kompliziert ist, man bedingt geeignet, man kommt 12:29.260 --> 12:33.180 vielleicht leicht an die bedingten Erwartungswerte und so kann man 12:33.180 --> 12:37.040 dann den Erwartungswert über unsere Formel vom totalen Erwartungswert 12:37.040 --> 12:37.660 ausrechnen. 12:38.280 --> 12:38.880 Okay? 12:43.100 --> 12:48.020 Gut, jetzt kommt ein Begriff, der sich unmittelbar anschließt, die 12:48.020 --> 12:49.180 bedingte Verteilung. 12:49.520 --> 12:53.040 Wir haben schon gesprochen von der bedingten Verteilung von P, eines 12:53.040 --> 12:56.300 Wahrscheinlichkeitsmaßes, unter der Bedingung A, wenn A ein Ereignis 12:56.300 --> 12:56.560 ist. 12:57.460 --> 13:01.080 So, wir heben das einfach nur auf die Ebene der Zufallsvariablen oder 13:01.080 --> 13:02.160 Zufallsvektoren. 13:02.880 --> 13:06.800 Wir brauchen einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, wir benötigen 13:06.800 --> 13:10.980 zwei Zufallsvektoren, X und Z, X ist n-dimensional, Z ist k 13:10.980 --> 13:14.960 -dimensional, es muss also weder n noch k gleich 1 sein in diesem 13:14.960 --> 13:15.260 Fall. 13:16.240 --> 13:19.020 Wir reden nämlich nicht über Erwartungswerte, sondern über 13:19.020 --> 13:21.840 Verteilungen, die haben was mit Wahrscheinlichkeiten zu tun. 13:22.080 --> 13:25.900 Wir nehmen ein kleines Z her, was angenommen wird mit positiver 13:25.900 --> 13:31.180 Wahrscheinlichkeit von Z und jetzt definieren wir etwas, nämlich, ich 13:31.180 --> 13:34.600 möchte diese Schreibweise verwenden, also wenn Sie dieses Groß-Z 13:34.600 --> 13:38.480 -gleich -Klein-Z da nicht stehen sehen würden, dann ist es genau die 13:38.480 --> 13:42.020 Wahrscheinlichkeit, dass der Vektor X in die Menge B fällt, also P 13:42.020 --> 13:46.160 oben X von B, und ich möchte gern den Bedingungsstrich vermeiden, 13:46.340 --> 13:50.120 insofern schreibe ich die Bedingung jetzt dran als Index, Groß-Z 13:50.120 --> 13:53.060 -gleich -Klein-Z, das ist nichts anderes als die bedingte 13:53.060 --> 13:56.680 Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvektor X in die Menge B fällt, 13:56.820 --> 14:01.320 unter der Bedingung, dass Groß-Z-gleich-Klein-Z ist, also im Sinne der 14:01.320 --> 14:03.620 bedingten Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Schnittes 14:03.620 --> 14:07.620 beider Ereignisse, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Groß-Z 14:07.620 --> 14:08.360 -gleich -Klein-Z. 14:08.760 --> 14:10.900 Das ist also nur eine normale bedingte Wahrscheinlichkeit. 14:11.220 --> 14:14.900 Das Entscheidende ist, wir betrachten das als Funktion B, der 14:14.900 --> 14:16.480 Teilmengen des R hoch N. 14:18.440 --> 14:22.900 Und wir wissen, bedingte Wahrscheinlichkeiten als Funktion der 14:22.900 --> 14:26.440 Ereignisse sind Wahrscheinlichkeitsmaße, das heißt, dieses 14:26.440 --> 14:30.440 Wahrscheinlichkeitsmaß, P oben X und die Bedingung steht unten dran, 14:30.840 --> 14:34.680 auf den Teilmengen des R hoch N nennt man die bedingte Verteilung von 14:34.680 --> 14:37.680 X unter dieser Bedingung Groß-Z-gleich-Klein-Z. 14:39.940 --> 14:43.320 Das ist also erstmal die Bedingte Verteilung. 14:43.440 --> 14:45.280 Wir werden gleich zwei Beispiele sehen. 14:45.780 --> 14:48.440 Wir werden auch noch weitere Beispiele in den Übungsaufgaben haben. 14:48.940 --> 14:50.280 Folgendes sollte man beachten. 14:51.140 --> 14:56.420 Wenn der Zufallsvektor X nur diese Werte Klein-X1, X2 und so weiter 14:56.420 --> 14:59.880 annehmen kann mit positiven Wahrscheinlichkeiten, also die sollen auch 14:59.880 --> 15:02.980 alle, das heißt hier brauche ich gar nicht, dass die alle positiv 15:02.980 --> 15:06.680 sind, wichtig ist, es können nur die Werte vorkommen mit positiven 15:06.680 --> 15:07.520 Wahrscheinlichkeiten. 15:08.060 --> 15:10.840 So gilt natürlich Folgendes, jetzt kommt die Additivität. 15:10.840 --> 15:14.720 Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist natürlich die Summe der 15:14.720 --> 15:18.800 Einzelwahrscheinlichkeiten Groß-X-gleich-Klein-X-J unter dieser 15:18.800 --> 15:22.300 Bedingung, über die J summiert mit der Eigenschaft X-J aus B. 15:23.540 --> 15:25.900 Das ist nichts anderes als die Sigma-Additivität. 15:26.220 --> 15:28.700 Das heißt, Sie sehen, Sie brauchen eigentlich nur diese 15:28.700 --> 15:31.280 Einzelwahrscheinlichkeiten zu haben und können dann die 15:31.280 --> 15:34.340 Wahrscheinlichkeit, dass X in eine Menge B fällt, unter dieser 15:34.340 --> 15:36.340 Bedingung durch Summation erhalten. 15:37.060 --> 15:40.000 So, letztlich kommt es bei der bedingten Verteilung also nur auf 15:40.000 --> 15:43.860 dieses System an, der Wahrscheinlichkeiten Groß-X-gleich-Klein-X-J 15:43.860 --> 15:47.800 unter der Bedingung Groß-Z-gleich-Klein-Z durch dieses System ist die 15:47.800 --> 15:49.860 bedingte Verteilung eindeutig bestimmt. 15:50.480 --> 15:53.180 Wir werden uns also nur mit solchen Wahrscheinlichkeiten beschäftigen, 15:53.260 --> 15:55.560 ganz elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten. 15:56.260 --> 16:00.940 Und wir werden jetzt ein sehr instruktives Beispiel haben aus meiner 16:00.940 --> 16:06.140 Sicht, was auch wichtig ist, sogar für die Statistik, nämlich die 16:06.140 --> 16:10.320 hypergeometrische Verteilung, die wir kennengelernt haben, als 16:10.320 --> 16:15.820 Verteilung der Anzahl der roten Kugeln beim Ziehen aus einer Urne mit 16:15.820 --> 16:19.680 roten und schwarzen Kugeln rein zufällig, und zwar ohne Zurücklegen. 16:20.040 --> 16:23.480 N-mal ziehen, so entstand die hypergeometrische Verteilung. 16:23.980 --> 16:27.400 Wir werden Sie jetzt sehen, die entsteht als bedingte Verteilung im 16:27.400 --> 16:31.680 Zusammenhang mit zwei Zufallsvariablen, nennen wir sie x und y, die 16:31.680 --> 16:35.740 unabhängig sind, ist die Voraussetzung, und x ist binomial verteilt 16:35.740 --> 16:44.260 mit m und p, und y ist auch binomial verteilt mit n und p, das gleiche 16:44.260 --> 16:49.300 p, p' zwischen 0 und 1, und dann wird behauptet, die bedingte 16:49.300 --> 16:55.620 Verteilung von x unter der Bedingung, dass die Summe x plus y den Wert 16:55.620 --> 16:59.500 k annimmt, diese bedingte Verteilung ist die hypergeometrische 16:59.500 --> 17:04.840 Verteilung mit den Parametern k, m und n, die hängt also überhaupt 17:04.840 --> 17:05.920 nicht von p ab. 17:08.120 --> 17:10.440 Das ist überraschend auf den ersten Blick. 17:11.080 --> 17:14.700 Also nochmal die Situation, zwei unabhängige binomial verteilte 17:14.700 --> 17:19.020 Zufallsvariablen mit dem gleichen p, ich bekomme die Information, die 17:19.020 --> 17:25.230 Summe nimmt den Wert k an, und dann ist die bedingte Verteilung von x 17:25.230 --> 17:29.630 unter dieser Information, diese hypergeometrische Verteilung, die wir 17:29.630 --> 17:30.930 so kennengelernt haben. 17:31.570 --> 17:37.370 Wir werden erstmal rechnen und werden dann später sehen, dass man das 17:37.370 --> 17:43.370 auch so einsehen kann ohne Rechnen, nur durch Erzeugungsweise der 17:43.370 --> 17:46.330 Verteilung, auch der Binomialverteilung, also Beweis. 17:47.130 --> 17:51.010 Nun, wir müssen ausrechnen, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass x 17:51.010 --> 17:54.870 den Wert j annimmt, unter der Bedingung x plus y gleich k, das ist 17:54.870 --> 17:57.550 also unsere Bedingung, und hier muss rauskommen, es muss eine 17:57.550 --> 17:59.590 hypergeometrische Wahrscheinlichkeit sein. 18:00.330 --> 18:02.630 Insbesondere soll sie eben nicht abhängen von dem p. 18:03.010 --> 18:08.030 Die Definition besagt, es ist die Wahrscheinlichkeit des ersten 18:08.030 --> 18:11.530 Ereignisses unzugleich des zweiten, dividiert durch die 18:11.530 --> 18:12.830 Wahrscheinlichkeit der Bedingung. 18:13.670 --> 18:16.510 Das ist nur die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. 18:17.690 --> 18:19.230 Jetzt schauen Sie sich oben das Ereignis an. 18:19.330 --> 18:22.650 Hier ist die Wahrscheinlichkeit der Menge aller kleinen Omega, mit x 18:22.650 --> 18:26.210 von Omega ist j und x von Omega plus y Omega ist k. 18:26.670 --> 18:30.050 Da können Sie messerscharf schließen, für diejenigen Omega gilt x von 18:30.050 --> 18:33.190 Omega gleich j und y von Omega ist k minus j. 18:33.690 --> 18:35.350 Und umgekehrt können Sie genauso schließen. 18:35.670 --> 18:38.950 Das heißt, die Schnitte dieser beiden Ereignisse, x gleich j und x 18:38.950 --> 18:43.750 plus y gleich k und auf der anderen Seite x gleich j und y gleich k 18:43.750 --> 18:45.070 minus j sind gleich. 18:45.250 --> 18:46.250 Gleiche Ereignisse. 18:47.130 --> 18:49.710 Ich teile nochmal durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung. 18:50.570 --> 18:54.410 So, jetzt nutze ich aus, dass x und y stochastisch unabhängig sind. 18:54.510 --> 18:55.510 Schauen Sie sich den Zähler an. 18:55.910 --> 18:59.110 Aus dem Grunde ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler das Produkt der 18:59.110 --> 19:00.170 beiden Wahrscheinlichkeiten. 19:00.830 --> 19:03.830 Das heißt, ich habe die Wahrscheinlichkeit x gleich j mal die 19:03.830 --> 19:07.150 Wahrscheinlichkeit, dass y gleich k minus j ist, dividiert durch die 19:07.150 --> 19:10.270 Wahrscheinlichkeit, dass x plus y gleich k ist. 19:11.530 --> 19:13.850 Bislang habe ich nur die Unabhängigkeit ausgenutzt. 19:14.830 --> 19:16.490 Jetzt kommt die Binomialverteilung. 19:17.250 --> 19:20.310 Wir sehen, alle Wahrscheinlichkeiten, die da stehen, die drei, sind 19:20.310 --> 19:21.530 Binomialwahrscheinlichkeiten. 19:21.790 --> 19:25.170 x ist binomialverteilt mit m und p, also die Wahrscheinlichkeit, dass 19:25.170 --> 19:30.010 x gleich j ist, ist m über j mal p hoch j mal 1 minus p hoch m minus 19:30.010 --> 19:30.350 j. 19:31.310 --> 19:35.130 Und y ist auch binomialverteilt mit n und p, also die 19:35.130 --> 19:40.230 Wahrscheinlichkeit, dass y gleich k minus j ist, ist n über k minus j 19:40.230 --> 19:45.590 mal p hoch k minus j mal 1 minus p hoch n minus, Klammer auf, k minus 19:45.590 --> 19:46.370 j, Klammer zu. 19:47.850 --> 19:51.070 Jetzt wissen wir aber, wenn ich zwei unabhängige binomialverteilte 19:51.070 --> 19:54.650 Zufallsvariablen habe mit gleichem p, dann ist die Summe auch 19:54.650 --> 19:56.990 binomialverteilt und es addieren sich m und n. 19:57.650 --> 20:00.970 Das bedeutet im Nenner die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert 20:00.970 --> 20:06.690 k annimmt, ist m plus n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch m plus 20:06.690 --> 20:07.490 n minus k. 20:09.710 --> 20:10.910 Jetzt sehen Sie sich das an. 20:13.170 --> 20:16.870 Das Entscheidende ist, Sie finden hier p hoch j, Sie finden p hoch k 20:16.870 --> 20:20.370 minus j und wenn Sie die Exponenten addieren, kommen Sie auf k, das 20:20.370 --> 20:22.710 kürzt sich wunderbar weg, gegen p hoch k. 20:23.830 --> 20:25.030 Was finden Sie noch? 20:25.450 --> 20:30.190 Sie finden 1 minus p hoch m minus j, 1 minus p hoch n minus k minus j 20:30.190 --> 20:34.730 und wenn Sie die Exponenten addieren, dann addieren sich m und n minus 20:34.730 --> 20:36.370 k, aber das j hebt sich weg. 20:37.150 --> 20:40.810 Das heißt, es bleibt über 1 minus p hoch m plus n minus k. 20:40.810 --> 20:46.690 Alles, was mit p zu tun hat, geht komplett raus und was bleibt über? 20:46.830 --> 20:52.810 Es bleibt über m über j mal n über k minus j dividiert durch m plus n 20:52.810 --> 20:53.190 über n. 20:53.650 --> 20:56.090 Und das ist eine hypergeometrische Wahrscheinlichkeit. 20:57.650 --> 20:58.550 Das war zu zeigen. 21:01.230 --> 21:02.870 Und schon sind wir beim Ohrenmodell. 21:03.110 --> 21:05.590 Man fragt sich natürlich begrifflich, also wir haben jetzt gerechnet, 21:05.770 --> 21:08.930 ganz brav, alles ausgenutzt, kann ich das irgendwie einsehen? 21:09.770 --> 21:12.470 Also hier können wir auf jeden Fall einen Haken dran machen. 21:12.570 --> 21:14.270 Nun kann ich es einsehen, ich kann es einsehen. 21:15.130 --> 21:19.610 Also das Memo nochmal, x und y unabhängige Zufallsvariable, x 21:19.610 --> 21:24.710 binomialverteilt mit m und p und y mit n und p, p zwischen 0 und 1, 21:24.810 --> 21:27.490 das ist also hier unsere Voraussetzung, die wir haben. 21:28.190 --> 21:32.750 Und das haben wir gerade bewiesen, die bedingte Verteilung von x bei 21:32.750 --> 21:35.990 gegebener Summe, Summe gleich k, ist diese hypergeometrische 21:35.990 --> 21:36.810 Verteilung. 21:36.810 --> 21:41.090 Die Frage ist, erhält man hier das Ganze auch durch scharfes 21:41.090 --> 21:42.390 Hingucken, ohne Rechnen? 21:42.510 --> 21:43.630 Warum muss das so sein? 21:43.790 --> 21:47.670 Und das muss so sein aus dem ganz einfachen Grunde, wir können die 21:47.670 --> 21:51.350 Binomialverteilung erzeugen als Trefferanzahl in der Bernoulli-Kette, 21:52.050 --> 21:52.770 Trefferwahrscheinlichkeit p. 21:53.050 --> 21:56.430 Wir gehen wieder zurück ins deutsche Gymnasium, 10. 21:56.570 --> 21:56.890 Klasse. 21:58.390 --> 22:01.990 Bernoulli-Kette, wir machen jetzt mal eine der Länge m plus n mit 22:01.990 --> 22:03.170 Trefferwahrscheinlichkeit p. 22:05.250 --> 22:09.090 Das seien insgesamt m plus n Kästchen, in jedes könnten wir 22:09.090 --> 22:10.810 reinschreiben, Treffer oder Niete. 22:10.970 --> 22:11.850 Wir fangen links an. 22:12.830 --> 22:15.350 Die ersten m Kästchen, das sind die, und das sind die restlichen. 22:16.310 --> 22:21.330 Das Entscheidende ist, das x beschreibt mir die Trefferanzahl aus den 22:21.330 --> 22:25.010 ersten m Versuchen, das ist dann binomialverteilt mit m und p, und das 22:25.010 --> 22:29.030 y beschreibt mir die Trefferanzahl aus den letzten Versuchen, dann ist 22:29.030 --> 22:32.570 natürlich die Summe x plus y binomialverteilt mit m plus n und p. 22:32.570 --> 22:35.650 Das heißt, wir haben die Situation konkret erzeugt in so einer 22:35.650 --> 22:37.690 Bernoulli -Kette der Länge m plus n. 22:38.090 --> 22:39.570 Was wir jetzt machen, ist Folgendes. 22:40.070 --> 22:41.230 Jetzt kommt diese Info. 22:42.570 --> 22:48.210 Wir bekommen aus dem Nachbarraum die Information, es sind insgesamt k 22:48.210 --> 22:49.350 Treffer aufgetreten. 22:50.910 --> 22:53.470 Die Versuche sind alle gleichberechtigt, unabhängig, 22:53.510 --> 22:54.530 Trefferwahrscheinlichkeit p. 22:54.630 --> 22:58.890 Unter dieser Information soll ich gerne mal diese k Treffer platzieren 22:58.890 --> 23:00.690 auf die m plus n Versuche. 23:00.690 --> 23:03.990 Nun, hier regiert der reine Zufall, das heißt, unter dieser 23:03.990 --> 23:10.390 Information ist die Auswahl von insgesamt k Plätzen für die Treffer, 23:11.110 --> 23:13.430 auf die anderen landen dann die Mieten, gleichwahrscheinlich. 23:14.390 --> 23:15.690 Das ist das Entscheidende hier. 23:16.050 --> 23:20.610 Das bedeutet, das ist die Information, x plus y gleich k, dann und nur 23:20.610 --> 23:22.530 dann, wenn genau k Treffer auftreten. 23:22.530 --> 23:27.130 Und das ist das, was ich gerade sagte, jede Auswahl von k dieser 23:27.130 --> 23:30.290 insgesamt m plus n Versuche für die Treffer ist gleichwahrscheinlich. 23:31.210 --> 23:34.630 Jetzt mache ich Folgendes, ich will zum Urnenmodell, ich will zu roten 23:34.630 --> 23:35.550 und schwarzen Kugeln. 23:36.090 --> 23:39.450 Nun, ich interpretiere die Versuche als Kugeln, die durchnummeriert 23:39.450 --> 23:42.190 sind von 1 bis m plus n in der Urne. 23:43.090 --> 23:48.410 So, die ersten m Kugeln, die seien rot, das sind die roten, und die 23:48.410 --> 23:49.310 anderen seien schwarz. 23:49.310 --> 23:52.470 Jetzt habe ich meine Urne mit roten und schwarzen Kugeln. 23:53.690 --> 23:54.530 Was mache ich jetzt? 23:57.690 --> 24:00.390 Rein zufällig wähle ich k aus. 24:02.230 --> 24:04.150 Da sollen die Treffer sein. 24:04.230 --> 24:05.930 Was heißt rein zufällig k auswählen? 24:06.230 --> 24:10.210 Das heißt, in diese Urne greifen und k rausziehen, blind, 24:10.490 --> 24:11.030 nacheinander. 24:15.400 --> 24:20.500 Das heißt, ich ziehe k Kugeln rein zufällig, ohne zurücklegen, und das 24:20.500 --> 24:22.740 Entscheidende ist, die Kugelnummern entsprechen natürlich den 24:22.740 --> 24:23.980 Versuchsnummern mit Treffern. 24:24.600 --> 24:25.200 Das ist klar. 24:26.040 --> 24:27.580 Und das Entscheidende ist, ich zähle. 24:27.880 --> 24:30.220 Ich will da sehen, was ist die bedingte Verteilung von x. 24:30.580 --> 24:31.680 Wie viele Treffer habe ich vorne? 24:31.760 --> 24:32.900 Das sind dabei die roten Kugeln. 24:32.980 --> 24:34.600 Ich zähle jetzt genau die roten Kugeln. 24:35.620 --> 24:37.700 Und schon habe ich die begriffliche Einsicht. 24:38.980 --> 24:43.700 Das ist nichts anderes als unser Urnenmodell unter dieser Bedingung, 24:44.060 --> 24:44.780 das wir haben. 24:44.780 --> 24:49.620 Wir interpretieren einfach die ersten M-Versuche als Nummern von roten 24:49.620 --> 24:54.360 Kugeln, und die anderen sind eben dann Nummern von Versuchen mit 24:54.360 --> 24:55.120 schwarzen Kugeln. 24:55.980 --> 24:59.560 Das ist die begriffliche Einsicht in diese Verteilung. 25:02.060 --> 25:04.160 Entscheidend ist, dass p verschwindet komplett. 25:04.280 --> 25:05.260 Es hängt nicht davon ab. 25:06.120 --> 25:09.080 Natürlich ist klar, wenn das p klein ist, werde ich wahrscheinlich 25:09.080 --> 25:10.180 wenige Treffer haben. 25:10.240 --> 25:11.780 Wenn p groß ist, habe ich mehr Treffer. 25:15.320 --> 25:19.980 Aber es dreht sich dann nur darum, wie viele Kugeln ich dann insgesamt 25:19.980 --> 25:20.300 ziehe. 25:24.880 --> 25:25.840 Zweites Beispiel. 25:27.520 --> 25:31.060 Wir haben hier Verteilung gehabt, und zwar die Gleichverteilung auf 25:31.060 --> 25:34.240 einer endlichen Menge zunächst mal, und die geometrische Verteilung. 25:34.800 --> 25:39.620 Die entstand beim Warten auf den ersten Treffer in der Bernoulli 25:39.620 --> 25:39.940 -Kette. 25:39.940 --> 25:42.580 Hier zählte die Zahl der Nieten vor dem ersten Treffer. 25:44.300 --> 25:47.360 Zwei Zufallsvariablen, die seien stochastisch unabhängig und je 25:47.360 --> 25:49.440 geometrisch verteilt mit Parameter p. 25:51.700 --> 25:53.480 p wieder strikt zwischen 0 und 1. 25:54.520 --> 25:59.960 Und allgemein sei dieses u, u steht für uniform, also gleichmäßig, die 25:59.960 --> 26:02.100 Gleichverteilung auf einer endlichen Menge m. 26:03.500 --> 26:07.960 Jetzt wird behauptet, für jedes K aus N0 gilt die bedingte Verteilung 26:07.960 --> 26:12.560 von x beigegebener Summe x plus y gleich k ist die Gleichverteilung 26:12.560 --> 26:14.060 auf den Werten von 0 bis k. 26:14.920 --> 26:15.960 Hier rechne ich mal nicht. 26:17.100 --> 26:18.780 Die Frage ist, sieht man das direkt ein? 26:19.340 --> 26:21.580 Wir sollten das direkt einsehen, aber wir sollten es auch durch 26:21.580 --> 26:22.540 Rechnen rausbekommen. 26:23.520 --> 26:25.700 Wir sollten auch noch etwas Allgemeineres rausbekommen. 26:26.760 --> 26:29.960 Jetzt kommt die Erzeugungsweise der geometrischen Verteilung. 26:30.700 --> 26:31.900 Was ist x plus y? 26:33.440 --> 26:36.400 Zwei unabhängige geometrisch verteilte Zufallsvariablen. 26:36.400 --> 26:39.600 Sie können sagen, x beschreibt die Anzahl der Nieten vor dem ersten 26:39.600 --> 26:42.820 Treffer in der Bernoulli-Kette, dann kommt der erste Treffer und 26:42.820 --> 26:47.260 danach warte ich auf den nächsten Treffer, y ist dann die Zahl der 26:47.260 --> 26:49.240 Nieten, die ich habe, bis ich den zweiten Treffer habe. 26:49.460 --> 26:52.220 Wir wissen, so entsteht auch eine negative Binomialverteilung. 26:52.540 --> 26:56.580 Das heißt, x plus y gibt mir an, die Zahl der Nieten vor dem zweiten 26:56.580 --> 26:58.280 Treffer in der Bernoulli-Kette. 27:01.180 --> 27:05.700 Jetzt kommt die Info, du hast genau k Nieten vor dem zweiten Treffer. 27:05.700 --> 27:07.160 Das ist die Information. 27:08.700 --> 27:12.700 Unter dieser Bedingung ist die Frage, wie viele Nieten habe ich denn 27:12.700 --> 27:13.660 vor dem ersten Treffer. 27:16.040 --> 27:18.620 Also ich habe jetzt k Nieten vor dem zweiten Treffer. 27:19.080 --> 27:22.020 Natürlich, irgendwo ist jetzt dieser eine Treffer. 27:23.240 --> 27:26.240 Es kommt auch die Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung. 27:26.300 --> 27:30.540 Dieser erste Treffer kann genauso ganz vorne sein wie an der zweiten 27:30.540 --> 27:33.180 Stelle, an der dritten Stelle und so weiter. 27:33.180 --> 27:37.160 Es muss die Gleichverteilung entstehen auf den Werten von 0 bis k. 27:38.060 --> 27:40.800 Es ist genauso wahrscheinlich, dass unter dieser Bedingung der erste 27:40.800 --> 27:44.520 Treffer ganz vorne ist, an der zweiten Stelle, oder direkt vor dem 27:44.520 --> 27:45.260 zweiten Treffer. 27:48.480 --> 27:50.120 Sie können das auch sofort verallgemeinern. 27:50.260 --> 27:54.360 Sie können sagen, stellen Sie sich vor, wir warten auf den 27:54.360 --> 27:56.280 Ertentreffer in der Bernoulli-Kette. 27:56.980 --> 27:57.700 Auf den Erten. 27:59.180 --> 28:02.140 Und ich würde Ihnen sagen, der Ertentreffer in so einer Bernoulli 28:02.140 --> 28:03.840 -Kette tritt im 28. 28:04.240 --> 28:04.980 Versuch auf. 28:06.220 --> 28:09.240 Dann soll ich Sie fragen, unter dieser Bedingung, wie sind denn die r 28:09.240 --> 28:13.040 -1 Treffer vorher verteilt unter den 27 Versuchen? 28:13.540 --> 28:15.180 Ich habe ja vorher 27 Versuche. 28:15.740 --> 28:18.940 Davon sind r-1 Treffer und die anderen sind Nieten. 28:19.060 --> 28:23.620 Wie ist denn die gemeinsame Verteilung der Position dieser Treffer? 28:23.620 --> 28:28.800 Und Sie sollten intuitiv sofort einsehen, naja, jede Auswahl von 28:28.800 --> 28:32.420 insgesamt r-1 Versuchen vorher, wo die Treffer sind, ist 28:32.420 --> 28:33.240 gleichwahrscheinlich. 28:34.000 --> 28:35.440 Das ist hier nur ein Spezialfall. 28:38.160 --> 28:40.400 Das heißt, hier ist es wichtig, dass Sie auch die stochastische 28:40.400 --> 28:44.060 Intuition mittrainieren, aber Sie sollten natürlich auch in der Lage 28:44.060 --> 28:47.800 sein, das genauso über bedingte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, wie 28:47.800 --> 28:48.780 wir das eben gemacht haben. 28:48.780 --> 28:52.720 Aber das ist jetzt kein großer Akt, da wenden wir nur die Formel von 28:52.720 --> 28:55.560 der bedingten Wahrscheinlichkeit an und setzen eben die geometrische 28:55.560 --> 28:56.320 Verteilung ein. 28:56.700 --> 28:58.940 Und da wird sich auch das p wegheben. 28:59.660 --> 29:00.480 Bitte machen Sie das. 29:04.280 --> 29:06.760 Aber Sie sollten es begrifflich auch verstanden haben, das ist mir 29:06.760 --> 29:07.080 wichtig. 29:12.140 --> 29:15.360 Ich komme zu einem neuen Kapitel, erzeugende Funktionen. 29:16.020 --> 29:19.960 Sie haben das sicherlich schon im ersten Studienjahr kennengelernt, 29:20.060 --> 29:21.360 vielleicht nicht unter dem Begriff. 29:21.360 --> 29:24.960 Kam der Begriff erzeugende Funktionen vor im ersten Studienjahr? 29:25.340 --> 29:26.000 Ja oder nein? 29:27.440 --> 29:28.080 Kam er vor? 29:29.780 --> 29:30.500 Irgendwann mal? 29:30.620 --> 29:32.880 Kann überhaupt nur in der Analyse vorgekommen sein. 29:33.700 --> 29:35.200 Also das scheint nicht der Fall zu sein. 29:35.440 --> 29:37.800 Gut, dann definieren wir das, aber Sie kennen das. 29:38.220 --> 29:40.140 Erzeugende Funktion einer Zahlenfolge. 29:40.640 --> 29:44.280 So, A sei eine reelle Zahlenfolge, ich beginne hier die Nummerierung 29:44.280 --> 29:49.880 der Komponenten bei 0 und jetzt kommt eine Funktion, G-Index A von T, 29:50.000 --> 29:53.160 die hängt also von dieser Folge ab, das ist nichts anderes als eine 29:53.160 --> 29:57.120 Potenzreihe, Summe K von 0 bis unendlich, AK, T hoch K, diese 29:57.120 --> 30:01.760 Potenzreihe A nennt man die erzeugende Funktion dieser Folge. 30:03.720 --> 30:04.240 Potenzreihe. 30:04.320 --> 30:05.140 Analysis 1. 30:05.800 --> 30:10.620 Ich setze voraus, dass der Konvergenzradius positiv ist. 30:11.120 --> 30:12.220 Wie rechnet man den aus? 30:12.220 --> 30:16.400 Der Rho nenne ich den 1 durch Limit Superior, K gegen unendlich, 30:16.780 --> 30:18.660 Katewurzel aus AK-Betracht. 30:18.880 --> 30:22.400 So, das sei positiv, eventuell unendlich. 30:23.680 --> 30:25.640 Das ist die Grundvoraussetzung hierbei. 30:26.200 --> 30:29.920 Okay, Konvergenzradius ist positiv, eventuell unendlich und das 30:29.920 --> 30:33.860 bedeutet, jetzt sehen Sie oben, das T ist auf jeden Fall zwischen 30:33.860 --> 30:35.000 Minus -Rho und Rho. 30:35.960 --> 30:36.960 Rho ist positiv. 30:36.960 --> 30:39.160 Dann sollten Sie Folgendes gelernt haben. 30:40.540 --> 30:42.160 Also machen wir erst ein Beispiel. 30:42.240 --> 30:43.640 Beispiel, eine sehr einfache Folge. 30:44.280 --> 30:48.440 Für ein positives Q kann ich nehmen, AK ist Q hoch K. 30:49.060 --> 30:52.420 Jetzt sieht man sofort, das harmoniert natürlich mit dem T hoch K. 30:52.820 --> 30:56.800 Das heißt, wenn ich das einsetze, GA von T, setze ich jetzt ein, Summe 30:56.800 --> 31:01.700 K von 0 bis unendlich, Q hoch K mal T hoch K ist also Q mal T hoch K. 31:01.700 --> 31:05.640 Und es kommt darauf an, wenn Q mal T den Betrag nach kleiner 1 ist, 31:05.880 --> 31:07.440 komme ich auf die geometrische Reihe. 31:07.720 --> 31:10.440 Das heißt, ich kann das so schreiben und das ist dann natürlich 1 31:10.440 --> 31:12.020 durch 1 minus Q mal T. 31:12.300 --> 31:16.620 Wenn Q mal T den Betrag nach kleiner 1 ist, was gleichbedeutend ist, T 31:16.620 --> 31:18.300 -Betrag kleiner 1 durch Q. 31:18.440 --> 31:22.000 Jedenfalls ein positiver Konvergenzradius, also führt auf die 31:22.000 --> 31:22.940 geometrische Reihe. 31:23.380 --> 31:24.100 Das kennt man. 31:24.620 --> 31:28.600 Jetzt kommt das, was ich sagte, was man vielleicht ein bisschen in 31:28.600 --> 31:30.640 Erinnerung rufen sollte, mit Potenz rein. 31:31.340 --> 31:35.040 Das ist das MEO, die erzeugende Funktion so einer Folge. 31:36.000 --> 31:40.040 Erstens, so eine Potenzreihe ist beliebig oft differenzierbar im 31:40.040 --> 31:43.500 Innern des Konvergenzintervalls. 31:44.740 --> 31:45.600 Das ist wichtig. 31:45.800 --> 31:48.280 Ich kann beliebig oft, und zwar dann unter dem Summenzeichen, 31:48.820 --> 31:49.340 differenzieren. 31:49.800 --> 31:53.660 Das heißt zum Beispiel, wenn ich die erste Ableitung bilde, dann habe 31:53.660 --> 31:56.720 ich hier die Summe, die geht von K dann de facto los, weil der Faktor 31:56.720 --> 31:57.700 K nach unten kommt. 31:57.700 --> 32:00.260 Wir sehen K gleich 0, könnte ich auch schreiben, aber es würde nichts 32:00.260 --> 32:00.660 ändern. 32:01.180 --> 32:03.080 Mal AK mal T hoch K minus 1. 32:03.180 --> 32:04.740 Ich kann aber beliebig oft differenzieren. 32:04.860 --> 32:06.720 Ich kann eben auch die zweite Ableitung bilden. 32:07.020 --> 32:10.260 Dann kommt noch mal K minus 1 runter vom Exponenten und die Summe geht 32:10.260 --> 32:11.060 ab 2 los. 32:11.520 --> 32:15.480 Das heißt K mal K minus 1 mal AK mal T hoch K minus 2. 32:15.780 --> 32:17.160 Und ich kann es gleich allgemein machen. 32:17.560 --> 32:21.400 Ich kann sagen, die erste Ableitung dieser Potenzreihe ist eben eine 32:21.400 --> 32:23.280 Summe, die erst bei R losgeht. 32:23.280 --> 32:27.480 Dann habe ich diese absteigenden Faktoren K mal K minus 1 mal K minus 32:27.480 --> 32:27.840 2. 32:28.140 --> 32:30.100 Am Ende habe ich K minus R plus 1. 32:30.440 --> 32:32.820 Dann habe ich AK und dann habe ich T hoch K minus R. 32:33.420 --> 32:37.020 Das sind also die Regeln, die man kennt von Potenzreihen. 32:37.740 --> 32:39.240 Okay, T-Betrag kleinero. 32:39.900 --> 32:44.320 Und hieraus ergibt sich sofort, diese erzeugende Funktion legt die 32:44.320 --> 32:45.040 Folge fest. 32:45.180 --> 32:47.660 Wenn ich also die Funktion kenne, kenne ich auch die Koeffizienten. 32:47.720 --> 32:50.540 Ich muss nur ableiten und die Ableitung im Nullpunkt betrachten. 32:50.540 --> 32:54.540 Das bedeutet, die R-Ableitung an der Stelle T gleich 0 ist nichts 32:54.540 --> 32:56.340 anderes als R-Fakultät mal AR. 32:56.800 --> 32:59.480 Das gilt auch für R gleich 0, da leiten Sie nicht ab, da haben Sie 32:59.480 --> 33:03.660 gleich die Funktion g. Das heißt, das ist der Identitätssatz. 33:05.000 --> 33:06.700 Das haben Sie alles gehabt in der Analyse. 33:07.180 --> 33:10.420 Und Sie haben noch folgenden Satz gehabt, den sogenannten Abelschen 33:10.420 --> 33:13.100 Grenzwertsatz, wenn Rho endlich ist. 33:13.840 --> 33:16.800 Der Abelsche Grenzwertsatz besagt folgendes, den brauchen wir auch 33:16.800 --> 33:17.180 nachher. 33:17.800 --> 33:20.880 Konvergiert die Potenzreihe im rechten Randpunkt des 33:20.880 --> 33:26.320 Konvergenzintervalls, dann ist die Funktion, das ist jetzt auf jeden 33:26.320 --> 33:29.820 Fall in dem Bereich erklärt, sie ist im Punkt Rho stetig. 33:30.760 --> 33:34.280 Das heißt, wenn wir uns von links annähern, im Limes, bekomme ich auch 33:34.280 --> 33:35.140 den Funktionswert. 33:35.260 --> 33:39.540 Das heißt, es gilt, wenn ich jetzt für T gleich Rho setze, das ist 33:39.540 --> 33:43.620 nichts anderes als der Grenzwert, wenn T von unten, von links, gegen 33:43.620 --> 33:45.220 Rho geht, GA von T. 33:45.320 --> 33:47.840 Das ist der Abelsche Grenzwertsatz für Potenzreihe. 33:49.460 --> 33:52.920 Der war auf jeden Fall dran, ich habe mich da schlau gemacht. 33:54.800 --> 33:57.900 Gut, also das sind erstmal so ein paar technische Dinge, die man hier 33:57.900 --> 33:58.200 braucht. 33:58.820 --> 34:02.140 Und jetzt fragen Sie sich natürlich, was hat das überhaupt mit 34:02.140 --> 34:03.100 Stochastik zu tun? 34:03.480 --> 34:07.160 Ich meine, ich wiederhole gerne Analyse 1 und freue mich, dass ich 34:07.160 --> 34:10.760 mich an gewisse Dinge erinnere, die mal dran waren, aber in der 34:10.760 --> 34:15.560 Stochastik kann man das brauchen, aber Sie sehen, ich war schon 34:15.560 --> 34:19.320 gedanklich bei Zufallsvariablen, ich mache noch ein Beispiel. 34:19.420 --> 34:21.760 Das Beispiel sollten Sie auch kennen, Fibonacci-Zahlen. 34:23.400 --> 34:27.400 Eine der berühmtesten Zahlenfolgen, die eben mit 1 und 1 losgeht, das 34:27.400 --> 34:30.180 sind die ersten beiden Folgen, und das nächste ist dann immer die 34:30.180 --> 34:32.860 Summe der beiden davor, das ist die Rekursionsformel. 34:34.020 --> 34:38.420 Man sieht dann sofort ein, durch scharfes Hingucken, AK kann höchstens 34:38.420 --> 34:41.600 2 hoch K sein, sodass, wenn wir jetzt die Potenzreihe bilden, hat die 34:41.600 --> 34:43.700 mindestens den Konvergenzradius ein Halb. 34:45.960 --> 34:48.960 Also auf jeden Fall einen positiven Konvergenzradius, das ist wichtig. 34:49.760 --> 34:54.460 Das heißt, ich schreibe das mal hin, ich fange jetzt an, K gleich 0 34:54.460 --> 35:00.040 ist A0, ziehe ich raus, ich ziehe auch A1 mal T raus, und jetzt ab K 35:00.040 --> 35:02.400 gleich 2 nutze ich die Rekursionsformel aus. 35:02.460 --> 35:06.820 Das heißt, hier schreibe ich AK minus 1 plus AK minus 2 mal T hoch K. 35:08.320 --> 35:15.000 Und jetzt setze ich ein, A0 ist 1, A1 ist 1, also 1 plus T, und die 35:15.000 --> 35:18.600 beiden Summen ziehe ich auseinander, was ich immer darf im 35:18.600 --> 35:18.840 Konvergenzintervall. 35:20.080 --> 35:23.200 Das heißt, ich habe hier einmal diese Summe und dann die letzte mit 35:23.200 --> 35:24.320 dem AK minus 2. 35:25.460 --> 35:29.760 Und jetzt erkennt man, wenn ich bei der Summe von K von 2 bis unten, 35:29.780 --> 35:33.800 wenn ich bei dieser ersten einmal T ausklammer, mache ich das mal, ich 35:33.800 --> 35:39.020 klammern T aus, dann habe ich jetzt noch die Summe AK minus 1 T hoch K 35:39.020 --> 35:39.640 minus 1. 35:39.760 --> 35:42.440 Das harmoniert natürlich wunderbar mit der erzeugenden Funktion. 35:42.840 --> 35:44.320 Da fehlt nur das allererste Glied. 35:44.480 --> 35:47.500 Das ist also nichts anderes als die erzeugende Funktion minus, ich 35:47.500 --> 35:48.920 muss das erste Glied subtrahieren. 35:49.360 --> 35:52.600 Und bei der zweiten Summe klammere ich mal T quadrat aus, wenn ich das 35:52.600 --> 35:57.120 mache, dann entsteht da die Summe, jetzt habe ich AK minus 2 T hoch K 35:57.120 --> 36:01.660 minus 2, aber wenn K von 2 bis unten endlich geht, läuft K minus 2 von 36:01.660 --> 36:02.280 0 bis unten hin. 36:02.280 --> 36:04.080 Ich habe nichts anderes als die erzeugende Funktion. 36:04.420 --> 36:05.720 Dahinten steht die erzeugende Funktion. 36:05.980 --> 36:10.200 Das bedeutet, ich habe 1 plus T plus T mal und Sie sehen, das ist 36:10.200 --> 36:13.580 nichts anderes als die erzeugende Funktion GA von T minus, das 36:13.580 --> 36:16.880 Anfangsglied des 1 und dahinten steht die erzeugende Funktion 36:16.880 --> 36:18.680 multipliziert mit T quadrat. 36:19.340 --> 36:22.020 Sie sehen, diese Gleichung können Sie wunderbar auflösen nach der 36:22.020 --> 36:23.860 erzeugenden Funktion, das ist jetzt hier der Witz. 36:24.260 --> 36:27.180 Das heißt, Sie bekommen die erzeugende Funktion dieser Folge 36:27.180 --> 36:31.880 unmittelbar, indem Sie die Anfangsbedingungen und die Rekursionsformel 36:31.880 --> 36:32.500 ausnutzen. 36:33.540 --> 36:35.860 Das Entscheidende ist nur noch, wir müssen das jetzt in der 36:35.860 --> 36:38.820 Potenzreihe entwickeln und dann können wir die Koeffizienten direkt 36:38.820 --> 36:40.280 ablesen, Identitätssatz. 36:41.720 --> 36:43.680 Wie entwickle ich das in der Potenzreihe? 36:44.140 --> 36:47.400 Sie sehen, dort unten haben Sie ein quadratisches Polynom, bestimmen 36:47.400 --> 36:50.180 Sie die Nullstellen, dann haben Sie Linearfaktoren, dann machen Sie 36:50.180 --> 36:51.560 Partialbruchzerlegung. 36:52.100 --> 36:52.980 Analysis 1. 36:54.080 --> 36:57.160 Das bedeutet, und dann können Sie mit der geometrischen Reihe 36:57.160 --> 36:59.040 arbeiten, ich gebe Ihnen das Ergebnis an. 37:00.100 --> 37:03.040 Es kommt Folgendes raus, Sie sehen, Summe K von 0 bis unendlich, 37:03.120 --> 37:07.540 hinten steht T hoch K, und es kommt ein komplizierter Ausdruck raus, 37:07.780 --> 37:08.720 nämlich das kommt raus. 37:08.880 --> 37:10.400 Das ist nichts anderes als das AK. 37:11.060 --> 37:13.560 Sie erkennen also hier Wurzel 5 drin. 37:14.000 --> 37:14.880 Machen Sie das mal. 37:15.680 --> 37:18.880 Sie haben ja gesagt, die Fibonacci-Zahlen waren dran, also irgendwie 37:18.880 --> 37:20.460 müssen Sie sich mit denen beschäftigt haben. 37:20.460 --> 37:23.420 Vielleicht kam das sogar alles dran, was ich gerade gemacht habe. 37:23.500 --> 37:26.480 Insofern ist das dann auch eine schöne Wiederholung nochmal gewesen. 37:26.660 --> 37:29.180 Also wir haben hier wirklich eine ganz berühmte Folge. 37:29.680 --> 37:32.260 Sie können sich so selbst überlegen, was ist, wenn ich ein bisschen 37:32.260 --> 37:32.470 modifiziere. 37:33.120 --> 37:35.940 Ich könnte zum Beispiel die Anfangsbedingungen lassen, und bei der 37:35.940 --> 37:41.600 Rekursionsformel könnte ich sagen, AK ist AK-1 plus 2 mal AK-2. 37:41.820 --> 37:42.960 Ich ändere das ein bisschen ab. 37:43.940 --> 37:46.340 Da wäre ja die Frage, bekomme ich dann auch was raus. 37:49.280 --> 37:50.560 Okay, gut. 37:50.840 --> 37:51.880 Jetzt kommt die Stochastik. 37:52.800 --> 37:54.380 Das ist das, was ich eben schon sagte. 37:54.920 --> 37:57.480 Die erzeugende Funktion einer ernullwertigen Zufallsvariable. 37:58.220 --> 38:02.100 Wenn X ernullwertig ist, also nur die Werte 0, 1, 2, 3 annimmt, das 38:02.100 --> 38:05.960 darf abbrechen, das heißt, das ist die Voraussetzung, die 38:05.960 --> 38:09.600 Wahrscheinlichkeit, dass X einen nicht-negativen ganzzahligen Wert 38:09.600 --> 38:10.620 annimmt, ist 1. 38:11.800 --> 38:15.620 Dann nennt man eine Potenzreihe, jetzt haben wir das X dran als 38:15.620 --> 38:20.780 Zufallsvariable, wir sehen Summe K von 0 bis unendlich und die 38:20.780 --> 38:23.720 Koeffizienten sind P von X gleich K mal T hoch K. 38:24.320 --> 38:28.740 Das nennt man die erzeugende Funktion der Verteilung von X. 38:29.000 --> 38:31.900 Hier habe ich sogar dran geschrieben, T-Betrag kleiner gleich 1. 38:32.500 --> 38:36.100 Auf jeden Fall sehen wir, der Mindestkonvergenzradius ist 1, denn Sie 38:36.100 --> 38:39.380 können für das T sofort 1 einsetzen, dann steht da die Summe der 38:39.380 --> 38:40.700 Wahrscheinlichkeiten und die ist 1. 38:41.140 --> 38:44.360 Das heißt, jede erzeugende Funktion einer ernullwertigen 38:44.360 --> 38:47.540 Zufallsvariable hat den Konvergenzradius mindestens 1. 38:48.820 --> 38:53.640 So, beachte, dieses GX ist nichts anderes als die erzeugende Funktion 38:53.640 --> 38:55.840 dieser Folge der Wahrscheinlichkeiten. 38:56.140 --> 38:59.200 Die AKs sind hier einfach nur die Wahrscheinlichkeiten X gleich K. 39:02.820 --> 39:06.080 Und GX von 1, das ist das, was ich eben schon sagte, ist die Summe der 39:06.080 --> 39:09.580 Wahrscheinlichkeiten, ist 1 und insofern ist der Konvergenzradius 39:09.580 --> 39:13.080 mindestens 1, das ist oben schon in der Definition mit drin. 39:16.040 --> 39:19.620 Die Verteilung wird festgelegt durch das GX, das ist genau dieser 39:19.620 --> 39:23.200 Identitätssatz, ich werde das gleich sogar nochmal formulieren, wenn 39:23.200 --> 39:27.460 ich die erzeugende Funktion kenne, kann ich durch Differentiation an 39:27.460 --> 39:29.640 diese Wahrscheinlichkeiten kommen, X gleich K. 39:31.500 --> 39:36.460 Und Folgendes sollte man beachten, X ist eine Zufallsvariable, 39:36.740 --> 39:39.500 mathematisch eine Abbildung, da steckt ein Omega hinter, 39:40.180 --> 39:42.820 Definitionsbereich, aber das taucht hier gar nicht auf. 39:43.660 --> 39:47.040 Nämlich, das Entscheidende ist, das taucht implizit nur hier auf, das 39:47.040 --> 39:49.960 ist ja die Wahrscheinlichkeit der Menge aller kleinen Omega aus Omega 39:49.960 --> 39:54.980 mit Groß X von Omega gleich klein K, unsere Abkürzung. 39:55.440 --> 40:00.640 Aber der Grundraum selbst, wie der aussieht, da kommt es nicht darauf 40:00.640 --> 40:02.880 an, sondern es kommt nur auf die Verteilung an. 40:03.600 --> 40:08.280 So, letzte Eigenschaft, die ist auch wichtig für späte Überlegungen. 40:08.920 --> 40:11.920 Diese erzeugende Funktion ist nichts anderes als der Erwartungswert 40:11.920 --> 40:15.220 von T hoch X, denn schauen Sie in die Definition, da steht ja gerade T 40:15.220 --> 40:18.740 hoch K mal Wahrscheinlichkeit X gleich K. 40:19.500 --> 40:23.760 Wir haben allgemein gelernt, der Erwartungswert einer Funktion G von X 40:23.760 --> 40:29.780 ist gerade Summe der G von Wert mal Wahrscheinlichkeit des Wertes. 40:29.780 --> 40:32.360 Also G von K mal Wahrscheinlichkeit X gleich K. 40:32.600 --> 40:36.960 Und G ist hier nichts anderes als diese Potenzbildung, das heißt, Sie 40:36.960 --> 40:40.680 sehen hier T hoch X, also sind es die Werte T hoch K, die 40:40.680 --> 40:41.720 multipliziert werden. 40:42.040 --> 40:46.820 Die erzeugende Funktion ist deutbar als so ein Erwartungswert. 40:47.360 --> 40:51.420 Wir werden das gleich sofort benötigen, diese Deutung ist wichtig. 40:55.280 --> 40:55.760 Beispiel. 40:58.480 --> 41:02.860 Binomialverteilung, im Fall dieser Binomialverteilung ist das sehr 41:02.860 --> 41:08.540 schön, nämlich in dem Fall ist die erzeugende Funktion gar keine echte 41:08.540 --> 41:11.740 Potenzreihe, sondern nur ein Polynom, denn die Binomialverteilung 41:11.740 --> 41:15.040 nimmt nur endlich viele Werte an, mit positiver Wahrscheinlichkeit. 41:15.140 --> 41:18.620 Das heißt, ich habe Summe, die Werte gehen hier von 0 bis N, die 41:18.620 --> 41:21.240 Wahrscheinlichkeit, dass der Wert angenommen wird, wissen wir, ist N 41:21.240 --> 41:25.520 über K mal P hoch K mal 1 minus P hoch N minus K und dann steht noch T 41:25.520 --> 41:26.820 hoch K. 41:27.080 --> 41:29.800 Und hier sehen Sie natürlich, dass Sie wunderbar mit Exponenten 41:29.800 --> 41:33.220 spielen können, nämlich vorne steht P hoch K, hinten steht T hoch K, 41:33.340 --> 41:38.040 das ist P mal T hoch K, also steht da Summe N über K mal P mal T hoch 41:38.040 --> 41:41.880 K mal 1 minus P hoch N minus K und jetzt verwenden Sie einfach die 41:41.880 --> 41:45.480 binomische Formel, die sagt Ihnen, und das ist nichts anderes als 1 41:45.480 --> 41:48.640 minus P plus P mal T in Klammern hoch N. 41:50.140 --> 41:55.180 X plus Y in Klammern hoch N ist eben Summe N über K mal X hoch K mal Y 41:55.180 --> 41:56.300 hoch N minus K. 41:57.020 --> 42:01.560 Also das bedeutet, wir haben hier eine sehr schöne, einfache Formel 42:01.560 --> 42:05.520 für die erzeugende Funktion einer binomialverteilten Zufallserhöhung. 42:06.220 --> 42:09.620 So, wie sieht das aus bei einer zweiten wichtigen Verteilung, 42:09.700 --> 42:11.500 Poissonverteilung mit Parameter Lambda? 42:12.760 --> 42:17.180 Die Poissonverteilung nimmt jede nicht negative ganze Zahl mit 42:17.180 --> 42:20.100 positiver Wahrscheinlichkeit an, also haben wir hier eine echte 42:20.100 --> 42:20.500 Potenzreihe. 42:21.860 --> 42:25.140 Also Gx von T, Summe K von 0 bis N endlich. 42:25.420 --> 42:26.420 Echte Potenzreihe. 42:26.740 --> 42:28.820 Jetzt kommen die Wahrscheinlichkeiten, X gleich K. 42:29.080 --> 42:31.240 Was war das bei der Poissonverteilung? 42:31.660 --> 42:36.520 Das war E hoch minus Lambda mal Lambda hoch K durch K-Fakultät, also 42:36.520 --> 42:40.580 das ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert K annimmt, mal T hoch 42:40.580 --> 42:41.560 K, nicht vergessen. 42:42.920 --> 42:46.940 Auch hier ist es natürlich wunderbar, nämlich E hoch minus Lambda 42:46.940 --> 42:50.440 können Sie gleich vor die Summe ziehen und dahinter können Sie 42:50.440 --> 42:53.640 natürlich Lambda hoch K mal T hoch K zusammenpacken, Lambda mal T in 42:53.640 --> 42:56.540 Klammern hoch K durch K-Fakultät und schon kommen Sie auf die 42:56.540 --> 42:57.480 Exponentialreihe. 42:57.920 --> 43:01.400 Das heißt, wir haben E hoch minus Lambda, das ist von vorne, können 43:01.400 --> 43:04.920 wir ausklammern, und dann haben wir noch E hoch Lambda mal T. 43:06.280 --> 43:10.240 Und jetzt können wir wieder mit Exponenten arbeiten, Produkt von 43:10.240 --> 43:14.080 solchen Ausdrücken ist E hoch, Summe der Exponenten, was haben wir? 43:14.140 --> 43:17.400 Lambda T minus Lambda, da können Sie Lambda ausklammern und da bleibt 43:17.400 --> 43:20.160 nichts anderes über als E hoch Lambda mal T minus 1. 43:20.780 --> 43:23.860 Und schon haben wir eine wunderbare Darstellung der erzeugenden 43:23.860 --> 43:26.740 Funktion einer Poissonverteilten Zufallsvariante. 43:27.080 --> 43:29.500 Machen wir noch ein drittes Beispiel, aber das würde ich Ihnen 43:29.500 --> 43:34.020 empfehlen als Übungsaufgabe, nämlich die negative Binomialverteilung, 43:34.060 --> 43:37.020 die enthält ja speziell die geometrische, wie wir wissen, für R gleich 43:37.020 --> 43:37.420 1. 43:38.180 --> 43:42.160 So, da kommt folgendes raus, das Gx von T ist hier dieser Ausdruck, 43:42.340 --> 43:46.280 Sie sehen P dividiert durch 1 minus, 1 minus P in Klammern mal T, das 43:46.280 --> 43:48.880 Ganze in Klammern hoch R, also in dem Bereich. 43:49.840 --> 43:54.120 Wenn Sie das machen wollen, ist einfach ein Stichwort, ist eine 43:54.120 --> 43:58.400 Übungsaufgabe, Stichwort, verwenden Sie die Binomialreihe, die hilft 43:58.400 --> 43:58.660 hier. 43:58.660 --> 44:02.400 Wir haben ja gesehen, die negative Binomialverteilung heißt negative 44:02.400 --> 44:06.040 Binomialverteilung, wie wir schreiben können, mit minus R über K mal 44:06.040 --> 44:06.520 irgendwas. 44:08.320 --> 44:10.980 Und die müssen wir aufsummieren über die Ks. 44:12.000 --> 44:14.940 Stichwort Binomialreihe, und dann sieht man auch sehr schnell, dass 44:14.940 --> 44:17.660 das die Gestalt ist dieser erzeugenden Funktion. 44:21.540 --> 44:24.340 Der Eindeutigkeitssatz, das ist das, was ich eben schon sagte, folgt 44:24.340 --> 44:26.820 direkt aus dem Identitätssatz für Potenzreihen. 44:26.820 --> 44:31.220 Wenn ich zwei Nullwertige Zufallsvariablen habe, nennen wir sie X und 44:31.220 --> 44:36.280 Y, und die erzeugende Funktion sei G-Index X und G-Index Y, dann gilt, 44:36.640 --> 44:39.720 nun, die beiden erzeugenden Funktionen sind gleich, genau dann, wenn 44:39.720 --> 44:42.800 die Verteilungen gleich sind, dafür haben wir so geschrieben, X 44:42.800 --> 44:45.680 -Schlange Y, das heißt mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, 44:45.780 --> 44:49.280 dass X den Wert K annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y den Wert 44:49.280 --> 44:51.140 K annimmt für jedes K größer gleich 0. 44:51.780 --> 44:52.260 Identitätssatz. 44:53.000 --> 44:55.440 Also erzeugende Funktion bestimmt die Verteilung. 44:56.060 --> 45:00.540 Ein zweiter Satz, Multiplikationsformel, die ist auch wichtig für 45:00.540 --> 45:02.220 erzeugende Funktionen, was besagt die? 45:03.160 --> 45:06.760 Ich habe wieder Zufallsvariablen, nennen wir sie X und Y, die seien 45:06.760 --> 45:08.460 unabhängig, das ist wichtig. 45:08.640 --> 45:13.000 Voraussetzung, unabhängige Zufallsvariablen, Nullwertig, und die 45:13.000 --> 45:16.880 erzeugenden Funktionen seien wieder G-X und G-Y, und jetzt kommt die 45:16.880 --> 45:22.380 Behauptung, dann gilt, die erzeugende Funktion der Summe X plus Y ist 45:22.380 --> 45:26.300 nichts anderes als das Produkt der erzeugenden Funktionen dieser 45:26.300 --> 45:28.920 beiden einzelnen Zufallsvariablen. 45:29.360 --> 45:31.160 Das ist die Multiplikationsformel. 45:32.440 --> 45:34.400 Woran liegt die Multiplikationsformel? 45:34.460 --> 45:35.960 Ich habe oben ein bisschen Platz gelassen. 45:36.600 --> 45:39.720 Ich kann mal ein Memo zeigen, an das wir uns jetzt erinnern sollten, 45:39.800 --> 45:40.560 für den Beweis. 45:41.060 --> 45:44.980 Nämlich, wenn X und Y unabhängig sind, sind auch Funktionen U von X 45:44.980 --> 45:47.120 und V von Y stochastisch unabhängig. 45:47.200 --> 45:49.260 Das haben wir früher gehabt bei der Unabhängigkeit. 45:49.260 --> 45:53.440 Und zur Erinnerung, die erzeugende Funktion lässt sich schreiben als 45:53.440 --> 45:56.160 Erwartungswert von T hoch X. 45:57.500 --> 45:58.580 Und wir haben noch was gehabt. 45:58.740 --> 46:01.940 Nämlich, wenn ich zwei unabhängige Zufallsvariablen habe, aus 46:01.940 --> 46:05.280 didaktischen Gründen sind das jetzt andere Buchstaben, S und T, dann 46:05.280 --> 46:07.840 ist der Erwartungswert des Produktes gleich dem Produkt der 46:07.840 --> 46:08.580 Erwartungswerte. 46:08.640 --> 46:11.360 Wir setzen natürlich immer voraus, dass die Erwartungswerte alle 46:11.360 --> 46:11.920 existieren. 46:12.180 --> 46:13.000 Das haben wir auch gehabt. 46:13.980 --> 46:15.800 Multiplikationsformel für Erwartungswerte. 46:15.800 --> 46:16.740 Das ist alles. 46:17.400 --> 46:19.100 Der Beweis ist jetzt in einer Zeile. 46:19.300 --> 46:20.740 T betracht kleiner gleich eins. 46:21.200 --> 46:25.040 Dann kann ich sagen, die erzeugende Funktion von X plus Y an der 46:25.040 --> 46:28.940 Stelle T ist ja nichts anderes als der Erwartungswert von T hoch X 46:28.940 --> 46:29.480 plus Y. 46:29.940 --> 46:33.240 Das ist die Darstellung im obersten Memo ganz rechts. 46:34.320 --> 46:37.400 T hoch X plus Y ist T hoch X mal T hoch Y. 46:38.060 --> 46:41.060 Also ist das der Erwartungswert T hoch X mal T hoch Y. 46:41.060 --> 46:44.960 Mit X und Y sind auch Funktionen von denen unabhängig, also sind auch 46:44.960 --> 46:47.320 T hoch X und T hoch Y unabhängig. 46:47.580 --> 46:50.540 Und der Erwartungswert des Produktes dieser Unabhängigen ist Produkt 46:50.540 --> 46:51.500 der Erwartungswerte. 46:52.140 --> 46:54.660 Das ist die Multiplikationsformel für Erwartungswerte. 46:55.100 --> 46:58.820 Und der erste Faktor ist die erzeugende Funktion von X und der zweite 46:58.820 --> 47:00.340 ist die erzeugende Funktion von Y. 47:00.600 --> 47:03.060 Das heißt, wir haben GX von T mal GY von T. 47:03.360 --> 47:05.200 Das war die Multiplikationsformel. 47:05.200 --> 47:09.440 Da muss ich nur im richtigen Augenblick an das erinnern, was man 47:09.440 --> 47:10.340 vorher schon mal hatte. 47:12.160 --> 47:14.840 Okay, also die werden wir gleich auch brauchen. 47:16.380 --> 47:19.680 Sie sehen, ich starte mal mit einer Binomialverteilung und ich habe 47:19.680 --> 47:21.400 das N hier so hervorgehoben. 47:21.840 --> 47:23.500 X habe diese Binomialverteilung. 47:24.560 --> 47:27.700 Dann wissen wir, das ist genau dann der Fall, wenn die erzeugende 47:27.700 --> 47:29.460 Funktion dieser Ausdruck ist. 47:29.700 --> 47:32.440 In dem Fall kann ich sogar sagen für alle T, denn es sind Polynomen. 47:33.920 --> 47:37.340 Die Umkehrung von rechts nach links ist eben der Eindeutigkeitssatz. 47:37.560 --> 47:41.640 Wenn ich das hier vorliegen habe, eine erzeugende Funktion, 1-P plus P 47:41.640 --> 47:44.740 mal T hoch N, dann bekomme ich einfach durch Differentiation auch die 47:44.740 --> 47:45.960 Wahrscheinlichkeiten alle raus. 47:46.100 --> 47:47.960 Es ist so eine Binomialverteilung. 47:48.560 --> 47:52.380 Genauso, Sie sehen ein Y, hier habe ich ein potenziell anderes M 47:52.380 --> 47:56.940 hervorgehoben, hat die erzeugende Funktion auch diese Richtung mit 47:56.940 --> 47:57.920 Satz 18.5. 47:57.920 --> 48:01.780 Stellen Sie sich vor, die beiden seien stochastisch unabhängig, X und 48:01.780 --> 48:02.020 Y. 48:02.500 --> 48:05.280 Dann haben wir eben gesehen, die erzeugende Funktion der Summe ist das 48:05.280 --> 48:05.720 Produkt. 48:07.000 --> 48:11.380 Das heißt, wir wissen, G von X plus Y, T ist nichts anderes als das 48:11.380 --> 48:11.800 Produkt. 48:12.040 --> 48:15.180 Und jetzt schauen Sie sich die beiden erzeugenden Funktionen an, die 48:15.180 --> 48:18.120 unterscheiden sich nur um diesen Exponenten. 48:18.280 --> 48:20.980 Und wenn ich die multipliziere, addieren sich die Exponenten. 48:21.140 --> 48:25.500 Das heißt, es kommt hier raus, 1-P plus P mal T in Klammern hoch M 48:25.500 --> 48:26.200 plus N. 48:27.280 --> 48:30.980 Aber das ist wieder nach dem Eindeutigkeitssatz die erzeugende 48:30.980 --> 48:37.220 Funktion einer Binomialverteilung mit M plus N und P. Das ist jetzt 48:37.220 --> 48:41.200 der Satz 18.6, das war die Multiplikationsregel, und Satz 18.5 ist der 48:41.200 --> 48:45.440 Eindeutigkeitssatz, der besagt, X plus Y ist binomialverteilt mit M 48:45.440 --> 48:49.180 plus N und P. Wir haben also mit Hilfe erzeugender Funktionen das 48:49.180 --> 48:52.960 Additionsgesetz hergeleitet für die Binomialverteilung, was wir schon 48:52.960 --> 48:56.660 mit der Faltungsformel hergeleitet hatten, und auch rein begrifflich 48:56.660 --> 48:57.660 über Bernoulli-Ketten. 48:58.480 --> 49:00.520 Wenn Sie so wollen, ist das jetzt der dritte Beweis. 49:03.400 --> 49:05.520 Schauen Sie sich das mal an bei einer Poissonverteilung. 49:05.600 --> 49:08.740 Da haben wir eben gesehen, wenn X Poissonverteilt ist, ist die 49:08.740 --> 49:12.980 erzeugende Funktion von dieser Bauart E hoch, Parameter Lambda steht 49:12.980 --> 49:15.260 im Exponenten, mal T minus 1. 49:16.120 --> 49:20.840 Und wenn X negativ binomialverteilt ist mit R und P, ich erzähle das R 49:20.840 --> 49:23.800 hervor, dann haben wir auch eine Darstellung, die sieht so aus, da 49:23.800 --> 49:25.640 steht das R auch im Exponenten. 49:26.000 --> 49:28.840 Stellen Sie sich vor, bei der Poissonverteilung, Sie hätten ein Y, was 49:28.840 --> 49:31.820 unabhängig wäre von X, und eine Poissonverteilung mit µ hätte. 49:32.480 --> 49:35.420 Nach der gleichen Regel oben, die erzeugende Funktion der Summe ist 49:35.420 --> 49:36.020 das Produkt. 49:36.860 --> 49:40.960 Sie haben hier einmal E hoch Lambda mal T minus 1 mal E hoch µ mal T 49:40.960 --> 49:43.740 minus 1, das ist E hoch Lambda plus µ mal T minus 1. 49:44.180 --> 49:46.900 Und das ist wieder die erzeugende Funktion einer Poissonverteilung mit 49:46.900 --> 49:47.720 Lambda plus µ. 49:48.320 --> 49:51.640 Also haben wir genauso das Additionsgesetz für die Poissonverteilung. 49:52.220 --> 49:54.900 Schauen Sie auf die negative binomialverteilung, da steht das R im 49:54.900 --> 49:55.860 Exponenten. 49:56.040 --> 50:00.520 Wenn Sie ein anderes Y hätten, was auch negativ binomialverteilt wäre 50:00.520 --> 50:04.340 und unabhängig von X mit S und P, dann würden Sie ja diese beiden 50:04.340 --> 50:08.420 erzeugenden Funktionen multiplizieren und R und S addieren sich. 50:08.740 --> 50:11.920 Und nach dem Eindeutigkeitssatz haben Sie sofort wieder eine negative 50:11.920 --> 50:16.200 binomialverteilung mit R plus S und P. Das bedeutet, wir haben die 50:16.200 --> 50:19.560 drei Additionsgesetze, die wir vorher schon hatten, für diese 50:19.560 --> 50:23.400 Verteilung nämlich einmal, wenn X und Y unabhängig sind, einmal wenn 50:23.400 --> 50:27.480 sie binomialverteilt sind, dann ist die Summe auch binomialverteilt 50:27.480 --> 50:32.000 bei gleichem P, die anderen Parameter addieren sich, M und N. 50:32.400 --> 50:34.860 Bei der Poissonverteilung, wenn wir X haben mit dieser 50:34.860 --> 50:39.440 Poissonverteilung, Y mit der, unabhängig wieder, dann addieren sich 50:39.440 --> 50:43.280 auch die Parameter bei der negativen Binomialverteilung genauso. 50:43.720 --> 50:47.120 R und P und S und P, dann hat die Summe auch wieder eine negative 50:47.120 --> 50:51.840 Binomialverteilung mit R plus S und P. Das heißt, die drei 50:51.840 --> 50:54.700 Additionsgesetze, die wir vorher hatten, die wir auch begrifflich 50:54.700 --> 50:58.380 eingesehen haben, zumindest bei der negativen Binomialverteilung haben 50:58.380 --> 51:00.920 wir es auch begrifflich eingesehen, weil wir gesagt haben, einmal, das 51:00.920 --> 51:03.780 ist die Zahl der Nieten vom Erdentreffer, einmal die Zahl der Nieten 51:03.780 --> 51:06.360 vom S-Treffer, ich kann aber sagen, ich nehme die Zahl der Nieten vom 51:06.360 --> 51:09.760 Erdentreffer, dann habe ich den Erdentreffer und dann warte ich 51:09.760 --> 51:14.720 weiter, S weiteren Nieten, dann betrachte ich das insgesamt. 51:15.140 --> 51:16.160 Das haben wir auch eingesehen. 51:19.020 --> 51:24.560 So, jetzt kommt das Glanzlicht bei erzeugenden Funktionen, nämlich 51:24.560 --> 51:27.100 Augensummenverteilung beim mehrfachen Würfelwurf. 51:27.840 --> 51:31.820 Sie kennen die Augensummenverteilung beim zweifachen Würfelwurf, die 51:31.820 --> 51:34.740 haben wir mal gesehen, das Stabdiagramm war so eine 51:34.740 --> 51:39.080 Dreiecksverteilung, 7 war am wahrscheinlichsten, und vielleicht hatten 51:39.080 --> 51:42.240 Sie sich mal beschäftigt mit der Augensummenverteilung beim dreifachen 51:42.240 --> 51:44.540 Würfelwurf, das ist schon komplizierter. 51:44.980 --> 51:48.160 Wir werden jetzt mit Hilfe erzeugender Funktionen eine geschlossene 51:48.160 --> 51:52.680 Formel herleiten, für die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim N-maligen 51:52.680 --> 51:55.560 Werfen eines Würfels eine ganz bestimmte Augensumme haben. 51:55.620 --> 51:59.400 Also Sie werfen einen echten Würfel 124 Mal, wie groß ist die 51:59.400 --> 52:01.860 Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 218 ist? 52:01.860 --> 52:02.940 Exakte Formel. 52:05.000 --> 52:09.020 Oder Sie haben keinen echten Würfel, Sie nehmen vielleicht so etwas 52:09.020 --> 52:12.160 wie einen Tetraeder, der hat also vier gleichwahrscheinliche Seiten, 52:12.840 --> 52:16.700 eine landet immer unten, das heißt, Sie haben einen vierseitigen 52:16.700 --> 52:18.120 Würfel in Gänsefüßchen. 52:18.880 --> 52:20.520 Das heißt, wir machen das sogar allgemeiner. 52:21.120 --> 52:26.180 Das bedeutet, x1 bis xn seien unabhängig und jeweils gleich verteilt 52:26.180 --> 52:30.920 auf den Werten von 1 bis s, s ist mindestens 2, beim Würfel ist s 52:30.920 --> 52:33.580 gleich 6, beim Tetraeder wäre s gleich 4. 52:35.160 --> 52:38.800 Sie können geometrisch auch zum Beispiel einen Dodekaeder betrachten, 52:38.900 --> 52:42.260 das ist so ein Zwölfflächner, also Sie schreiben die Zahlen von 1 bis 52:42.260 --> 52:43.360 12 drauf und werfen. 52:44.480 --> 52:46.260 Alles gleich wahrscheinlich, wäre s gleich 12. 52:46.440 --> 52:49.460 Also Sie sehen schon hier einen Grad von Allgemeinart, der über den 52:49.460 --> 52:50.640 Würfel weit hinausgeht. 52:52.620 --> 52:55.720 Welche Verteilung besitzt sn und sn ist die Augensumme? 52:55.720 --> 52:59.660 Wir werden Sie jetzt herleiten, und zwar mit erzeugenden Funktionen. 53:00.020 --> 53:04.040 Das, was wir brauchen, ist nur die geometrische Reihe und die 53:04.040 --> 53:05.840 binomiale Reihe, sonst brauchen wir nichts. 53:07.200 --> 53:08.020 Wie gehen wir vor? 53:09.620 --> 53:13.980 G von t sei die erzeugende Funktion von x1. 53:16.180 --> 53:20.980 Also ein Wurf, da sind die Zahlen von 1 bis s gleich wahrscheinlich. 53:21.940 --> 53:25.160 Die erzeugende Funktion heißt immer Summe, die Wahrscheinlichkeit, 53:25.300 --> 53:27.900 dass der Wert angenommen wird, das ist immer 1 durch s, ich kann 1 53:27.900 --> 53:33.180 durch s nach vorne ziehen, mal t hoch k, k läuft hier von 1 bis s. 53:33.280 --> 53:36.960 Das bedeutet, ich kann 1 durch s rausziehen und dann habe ich t plus 53:36.960 --> 53:38.780 t² und so weiter plus t hoch s. 53:40.180 --> 53:43.500 Der Wert 1 kann angenommen werden, t hoch 1, t hoch 2 und so weiter 53:43.500 --> 53:43.960 bis s. 53:44.300 --> 53:47.860 Das heißt, die erzeugende Funktion eines einzelnen Summan ist dieser 53:47.860 --> 53:48.400 Ausdruck. 53:48.400 --> 53:51.440 Wenn man das erst mal eingesehen hat, sieht man, ich kann den t 53:51.440 --> 53:54.980 ausklammern, das heißt, ich habe 1, also nach der Multiplik... 53:54.980 --> 53:57.100 Entschuldigung, wir machen erst mal was anderes. 53:57.500 --> 54:02.000 Jetzt kommt die Multiplikationsformel, die besagt, ok, das Sn ist eine 54:02.000 --> 54:05.440 Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen und die 54:05.440 --> 54:08.000 Multiplikationsformel gilt natürlich nicht nur für zwei Summanen, 54:08.040 --> 54:09.840 sondern induktiv für endlich viele. 54:10.460 --> 54:13.520 Das heißt, die erzeugende Funktion von Sn ist nichts anderes als das 54:13.520 --> 54:15.940 Produkt dieser erzeugenden Funktion. 54:17.340 --> 54:21.760 Das ist immer die gleiche, das heißt, es ist nichts anderes als die n 54:21.760 --> 54:23.940 -fache Potenz, Multiplikationsregel. 54:24.620 --> 54:29.140 Also, ich habe GSn von t, das ist nichts anderes als dieses G von t in 54:29.140 --> 54:29.900 Klammern hoch n. 54:31.760 --> 54:34.620 Jetzt setze ich ein, das habe ich, s ist da, das heißt, ich habe 1 54:34.620 --> 54:37.840 durch s hoch n und jetzt muss ich das andere noch hoch n nehmen, das 54:37.840 --> 54:40.520 heißt, ich habe t plus t² und so weiter plus t hoch s hoch n. 54:40.520 --> 54:42.600 Das heißt, ich habe schon die erzeugende Funktion. 54:43.140 --> 54:46.580 Leider habe ich noch nicht die richtige Darstellung. 54:46.680 --> 54:51.260 Ich möchte eine Summe haben, Summe K von allgemein 0 bis unendlich, 54:51.320 --> 54:54.020 geht natürlich nicht von 0 bis unendlich, denn die Augensumme beim n 54:54.020 --> 54:59.680 -fachen Würfelwurf ist mindestens n und höchstens s mal n. 55:01.140 --> 55:02.760 Das heißt, nur die Werte können angenommen werden. 55:02.760 --> 55:06.860 Aber ich möchte gerne ein Polynom haben, wobei hinten steht t hoch K. 55:07.580 --> 55:10.220 Und dann lese ich den Vorfaktor ab, darauf will ich hinaus. 55:10.840 --> 55:14.080 Das heißt, alles dreht sich jetzt darum, rein analytisch dies 55:14.080 --> 55:14.760 umzuformen. 55:16.800 --> 55:17.740 So, wie machen wir das? 55:17.860 --> 55:19.780 Nun, 1 durch s hoch n kann ich nach vorne ziehen. 55:20.140 --> 55:21.920 Jetzt sehen Sie, ich kann ein t ausklammern. 55:22.920 --> 55:25.580 Aus dieser Klammer und dann habe ich hoch n, das heißt, ich habe ein t 55:25.580 --> 55:26.700 hoch n ausgeklammert. 55:26.700 --> 55:31.160 Was dann überbleibt ist 1 plus t und so weiter plus t hoch s minus 1, 55:31.320 --> 55:33.340 also diese Summe in Klammern hoch n. 55:36.810 --> 55:38.990 Das ist der allererste Schritt. 55:39.630 --> 55:43.310 So, diese endliche Summe, da gibt es aber einen geschlossenen Ausdruck 55:43.310 --> 55:47.390 für, wenn t ungleich 1 ist, das ist also t hoch n durch s hoch n, Sie 55:47.390 --> 55:50.470 sehen, ich habe das t hoch n über den Bruch geschrieben, und dann ist 55:50.470 --> 55:54.370 das nichts anderes als t hoch s minus 1 dividiert durch t minus 1, 55:54.430 --> 55:57.470 natürlich hoch n muss ich das nehmen, wenn t ungleich 1 ist. 55:58.150 --> 56:01.610 Auf die Stelle 1 kommt es nicht an, das Entscheidende ist ja nur, ich 56:01.610 --> 56:05.930 muss es in der Umgebung von 0 haben, denken Sie an potenzfrei, in dem 56:05.930 --> 56:07.070 Fall ist es nur ein Polynom. 56:08.690 --> 56:10.210 Das ist das Erste. 56:11.470 --> 56:15.450 Wir haben hier eine Summenformel ausgenutzt, die Sie kennen vom ersten 56:15.450 --> 56:16.270 Studienjahr her. 56:16.650 --> 56:17.710 Nun, was machen wir jetzt? 56:17.830 --> 56:21.330 Wir nehmen t hoch n, dividiert durch s hoch n, und jetzt sehen Sie, 56:21.350 --> 56:24.190 haben Sie t minus 1 hoch n, das schreibe ich mal, also ich schreibe es 56:24.190 --> 56:28.170 als t minus 1 hoch minus n, und dann haben wir eben t hoch s minus 1 56:28.170 --> 56:28.530 hoch n. 56:31.110 --> 56:34.890 Das Letzte müsste ich mit der binomischen Formel ausrechnen, das mache 56:34.890 --> 56:39.010 ich gleich, und das Erste führt auf die Binomialreihe. 56:39.270 --> 56:42.690 Das heißt, ich habe t hoch n durch s hoch n, und hier klammere ich mal 56:42.690 --> 56:47.330 minus 1 aus, also ist das 1 minus t hoch minus n, ich habe aus dem t 56:47.330 --> 56:51.770 minus 1 ein 1 minus t gemacht, also muss ich multiplizieren mit minus 56:51.770 --> 56:53.210 1 hoch n, damit das wieder stimmt. 56:53.770 --> 56:54.990 Und was mache ich hinten? 56:55.130 --> 56:59.950 Aus dem t hoch s minus 1 mache ich ein 1 minus t hoch s hoch n, also 56:59.950 --> 57:03.110 muss ich wieder den Faktor minus 1 hoch n haben, um das wieder 57:03.110 --> 57:03.330 auszugleichen. 57:04.150 --> 57:07.630 Sie sehen, minus 1 hoch n mal minus 1 hoch n ist jetzt minus 1 hoch 2, 57:07.730 --> 57:08.450 und das ist 1. 57:08.650 --> 57:11.370 Also die minus 1 kann ich jetzt vergessen. 57:12.550 --> 57:13.570 Okay, t hoch n. 57:14.090 --> 57:17.450 Nun, das Erste ist natürlich die Binomialreihe. 57:17.730 --> 57:20.790 1 minus t hoch n ist genau dieser Ausdruck, ich habe ihn gleich so 57:20.790 --> 57:26.570 hingeschrieben, also nicht mit dem Minus in dem Binomialkoeffizient, 57:26.650 --> 57:30.650 sondern so, wie wir ihn auch zuerst kennengelernt haben, als wir die 57:30.650 --> 57:33.810 negative Binomialverteilung eingeführt haben. 57:34.270 --> 57:35.630 Also das ist die Binomialreihe. 57:37.010 --> 57:41.350 Und bei dem letzten 1 minus t hoch s in Klammern hoch n habe ich 57:41.350 --> 57:45.270 einfach die binomische Formel, Summe i von 0 bis n, minus 1 hoch i mal 57:45.270 --> 57:47.190 n über i mal t hoch i mal s. 57:48.950 --> 57:50.810 Also t hoch s hoch i. 57:51.510 --> 57:52.310 t hoch i mal s. 57:52.470 --> 57:53.530 Nur die binomische Formel. 57:54.050 --> 57:58.770 Sie sehen, der Vorteil dieser Darstellung ist schon, ich habe Potenzen 57:58.770 --> 57:59.170 von t. 57:59.290 --> 58:02.570 Ganz vorne steht t hoch n, in der Mitte steht t hoch j, hinten steht t 58:02.570 --> 58:03.170 hoch i mal s. 58:04.030 --> 58:06.930 Und jetzt muss ich das Ganze nur noch ein bisschen bearbeiten und bin 58:06.930 --> 58:07.350 fertig. 58:08.310 --> 58:11.110 Ich schreibe das mal als Memo hin, diese letzte Darstellung. 58:11.670 --> 58:14.770 Das heißt, das ist nichts anderes als dieser Ausdruck, den wir gerade 58:14.770 --> 58:15.070 hatten. 58:15.850 --> 58:17.830 Okay, und was mache ich jetzt? 58:18.690 --> 58:21.070 Ich nehme mal das 1 durch s hoch n, das bleibt. 58:21.550 --> 58:24.150 Dann nehme ich diese Summe, j von 0 bis unendlich. 58:24.710 --> 58:28.450 Und dann nehme ich diese zweite Summe, i von 0 bis n, minus 1 hoch i, 58:28.530 --> 58:29.090 n über i. 58:29.330 --> 58:31.270 Und Sie sehen, die t fasse ich alle zusammen. 58:31.570 --> 58:35.230 Vorne habe ich t hoch n, dann t hoch j, dann t hoch i mal s. 58:35.370 --> 58:38.490 Also ist das t hoch n plus i mal s plus j. 58:38.790 --> 58:39.910 Ich schreibe es also in dieser Form. 58:41.350 --> 58:42.870 Und das ist schon fast, was ich haben will. 58:42.870 --> 58:45.630 Es ist natürlich jetzt noch ein bisschen blöd mit der Doppelsumme. 58:45.930 --> 58:48.690 Ich möchte gerne dort oben den Exponenten k haben. 58:49.450 --> 58:51.670 Also führe ich einfach mal den Exponenten k ein. 58:52.590 --> 58:57.190 Das heißt, der Wunsch ist natürlich, das soll sein, Summe k von 0 bis 58:57.190 --> 59:01.330 unendlich, Wahrscheinlichkeit s n gleich k mal t hoch k, das ist das 59:01.330 --> 59:01.650 Ziel. 59:02.430 --> 59:04.530 Und dann lese ich natürlich vor dem t hoch k ab. 59:05.510 --> 59:07.830 Und das sind genau meine Wahrscheinlichkeiten, die ich suche. 59:08.670 --> 59:10.570 Ich muss wissen, wo ich hin will. 59:11.810 --> 59:15.710 Ich setze einfach mal k gleich n plus i mal s plus j. 59:16.070 --> 59:19.230 Dieser Exponent da in der zweiten Zeile ganz rechts. 59:19.790 --> 59:23.670 Nun, ich kann auf die Art und Weise die Summe über j jetzt anders 59:23.670 --> 59:24.130 schreiben. 59:24.350 --> 59:26.830 Nämlich, das ist genau dann der Fall, ich löse mal nach dem j auf. 59:26.930 --> 59:31.450 Genau dann der Fall, wenn j gleich k minus n minus i mal s ist. 59:33.750 --> 59:35.210 Wo taucht das j auf? 59:35.290 --> 59:39.970 Das j taucht auf in dem Binomial-Koeffizient n plus j minus 1 über j. 59:41.770 --> 59:44.470 Also insbesondere, ich ersetze jetzt das j. 59:44.690 --> 59:50.670 Dieses n plus j minus 1 über j ist dann k minus i s minus 1. 59:51.070 --> 59:54.390 Setzen Sie einfach für das j ein, dann hebt sich das n weg. 59:54.590 --> 59:57.930 Ist ja k minus n, vorne steht n, hebt sich das n weg. 59:58.250 --> 01:00:02.170 Bleibt über k minus i s minus 1 und für das j direkt eingesetzt haben 01:00:02.170 --> 01:00:04.150 Sie k minus i s minus n. 01:00:05.010 --> 01:00:08.070 Das Entscheidende ist, aufgrund der Symmetrie der Binomial 01:00:08.070 --> 01:00:11.510 -Koeffizienten, Stichwort paschalsches Dreieck, ist das nichts anderes 01:00:11.510 --> 01:00:15.650 als k minus i s minus 1 über n minus 1. 01:00:16.610 --> 01:00:19.850 Wie man unschwer sieht, Sie müssen also die beiden unteren Teile der 01:00:19.850 --> 01:00:23.350 beiden Binomial-Koeffizienten addieren, dann kommen Sie genau auf das, 01:00:23.470 --> 01:00:24.950 was da oben steht. 01:00:25.610 --> 01:00:27.810 Man kann ja beim Binomial-Koeffizienten nicht von Zähler und Nenner 01:00:27.810 --> 01:00:30.130 sprechen, aber es gibt was oben und es gibt was unten. 01:00:32.410 --> 01:00:35.850 Jetzt schauen Sie sich den Binomial-Koeffizienten an. 01:00:35.850 --> 01:00:40.390 Der ist natürlich null, wenn das, was oben steht, kleiner ist als das, 01:00:40.570 --> 01:00:41.330 was unten steht. 01:00:42.610 --> 01:00:47.930 Das heißt, das k minus i s minus 1 muss mindestens n minus 1 sein, 01:00:48.250 --> 01:00:50.410 damit da was Positives rauskommen kann. 01:00:51.110 --> 01:00:54.550 Und das können Sie auflösen, das ist genau dann der Fall, wenn i mal s 01:00:54.550 --> 01:00:56.970 kleiner gleich k minus n ist. 01:00:57.550 --> 01:01:00.690 Dann bringen wir das n rüber, die minus 1, die heben Sie schon weg. 01:01:01.430 --> 01:01:04.630 Und das Entscheidende ist, ich möchte hier eine Ungleichung für i 01:01:04.630 --> 01:01:05.090 haben. 01:01:05.350 --> 01:01:09.330 Das i ist dann kleiner gleich k minus n durch s, genau dann, wenn... 01:01:09.330 --> 01:01:12.630 und da i ganzzahlig ist, kann ich sagen kleiner gleich Gauss-Klammer. 01:01:13.470 --> 01:01:17.910 Also wenn k minus n durch s keine ganze Zahl ist, ist ja kleiner 01:01:17.910 --> 01:01:21.030 gleich und es ist nur ganzzahlig, also kann ich Gauss-Klammer 01:01:21.030 --> 01:01:21.450 schreiben. 01:01:21.930 --> 01:01:25.370 Wir sehen, das i ist dann höchstens so groß, damit dieser letzte 01:01:25.370 --> 01:01:27.830 Binomial -Koeffizient auf jeden Fall positiv sein kann. 01:01:27.830 --> 01:01:29.750 Jetzt sollte man Folgendes noch beachten. 01:01:30.290 --> 01:01:35.090 Das k als mögliche Augensumme ist immer größer gleich n. 01:01:35.870 --> 01:01:38.470 Das ist der Extremfall, wenn jeder Würfel die 1 zeigt. 01:01:39.630 --> 01:01:43.090 Und maximal n mal s, wenn jeder Würfel die s zeigt. 01:01:43.190 --> 01:01:45.410 Die Seiten sind ja von 1 bis s beschriftet. 01:01:47.510 --> 01:01:49.310 Andernfalls ist eben die Wahrscheinlichkeit 0. 01:01:49.670 --> 01:01:52.890 Das heißt, Sie sehen, das k läuft gar nicht von 0 bis unendlich in der 01:01:52.890 --> 01:01:55.950 dritten Zeile, sondern nur von n bis n mal s. 01:01:55.950 --> 01:01:58.350 Das heißt, wir erhalten Folgendes. 01:01:58.510 --> 01:02:02.330 Gsn von t ist eine Summe, die geht von n bis n mal s. 01:02:03.730 --> 01:02:04.750 So, jetzt setzen wir ein. 01:02:05.710 --> 01:02:08.650 Dieses n plus j minus 1 über j haben wir ersetzt. 01:02:09.070 --> 01:02:12.330 Also die zweite Summe noch von i, die geht jetzt von 0 bis dahin. 01:02:12.770 --> 01:02:14.270 Haben wir gesehen, weiter kann die nicht gehen. 01:02:15.050 --> 01:02:15.970 Jetzt setzen wir ein. 01:02:16.330 --> 01:02:20.890 Dieser Binomial-Koeffizient ist jetzt k minus is minus 1 über n minus 01:02:20.890 --> 01:02:21.610 1 geworden. 01:02:21.990 --> 01:02:23.970 Was haben wir noch in dieser zweiten Zeile? 01:02:23.970 --> 01:02:26.150 Wir haben noch ein minus 1 hoch i. 01:02:26.610 --> 01:02:29.250 Dann haben wir noch den Binomial-Koeffizienten n über i, den dürfen 01:02:29.250 --> 01:02:29.950 wir nicht vergessen. 01:02:30.530 --> 01:02:34.170 Und dann haben wir 1 durch s hoch n, das habe ich von ganz vorne, vor 01:02:34.170 --> 01:02:36.290 der ersten Summe, das habe ich jetzt nach hinten gezogen. 01:02:36.730 --> 01:02:38.410 Und dann habe ich noch ein t hoch k. 01:02:39.810 --> 01:02:43.610 Und Sie sehen jetzt wunderbar, wir haben eine Summe k von n bis n mal 01:02:43.610 --> 01:02:46.030 s und jetzt haben wir so einen komischen Ausdruck, so eine Summe. 01:02:47.030 --> 01:02:49.150 Der hört also irgendwann vor t hoch k auf. 01:02:49.250 --> 01:02:50.710 Das ist unsere Wahrscheinlichkeit. 01:02:52.010 --> 01:02:55.690 Wir haben den Koeffizienten identifiziert und wir sehen sofort, dieser 01:02:55.690 --> 01:02:58.790 Koeffizientenvergleich besagt, wir können zeigen, 01:02:58.910 --> 01:03:02.970 Augensummenverteilung beim einfachen Würfelwurf, wenn die stochastisch 01:03:02.970 --> 01:03:06.830 unabhängig sind und jeweils gleich verteilt auf diesen Werten von 1 01:03:06.830 --> 01:03:07.430 bis s. 01:03:08.630 --> 01:03:11.530 Und sn ist die Augensumme, ich wiederhole das, was wir am Anfang 01:03:11.530 --> 01:03:11.830 hatten. 01:03:12.310 --> 01:03:16.410 Dann gilt, die Wahrscheinlichkeit, dass sn den Wert k annimmt, ist 01:03:16.410 --> 01:03:18.390 exakt dieser Ausdruck. 01:03:18.390 --> 01:03:22.430 Und hier läuft k von n bis n mal s, ansonsten ist die 01:03:22.430 --> 01:03:23.270 Wahrscheinlichkeit null. 01:03:23.830 --> 01:03:27.630 Sie sehen also, über erzeugende Funktionen haben wir für etwas, wo Sie 01:03:27.630 --> 01:03:30.950 von Anfang an gesagt hätten, wie soll ich die Verteilung der 01:03:30.950 --> 01:03:35.350 Augensumme beim 124-maligen Werfen eines echten Würfels überhaupt 01:03:35.350 --> 01:03:38.350 rauskriegen, wenn ich mich schon angestrengt habe, überhaupt für den 01:03:38.350 --> 01:03:41.090 dreifachen Würfelwurf irgendwas rauszubekommen. 01:03:42.730 --> 01:03:43.550 Erzeugende Funktion. 01:03:45.070 --> 01:03:47.610 Sie können jetzt, wenn Sie wollen, Maple anwerfen. 01:03:48.530 --> 01:03:49.510 Ich zeige Ihnen mal ein Bild. 01:03:50.570 --> 01:03:54.450 Das wäre die Verteilung der Augensumme beim 5-fachen Würfelwurf, jetzt 01:03:54.450 --> 01:03:55.590 ganz normaler Würfel. 01:03:57.190 --> 01:04:00.110 Das heißt, es kann theoretisch der Wert 5 rauskommen, aber das ist so 01:04:00.110 --> 01:04:02.490 unwahrscheinlich, dass man hier kaum was sieht. 01:04:02.670 --> 01:04:05.270 Ich glaube, bei 5 sieht man jetzt, hier ist ein bisschen was blau 01:04:05.270 --> 01:04:05.730 aufgepeppt. 01:04:05.810 --> 01:04:07.590 Bei 6, Augensumme 6, auch noch nichts. 01:04:07.690 --> 01:04:09.170 Bei 7 geht es so langsam los. 01:04:09.490 --> 01:04:10.790 8, 9, 10. 01:04:10.790 --> 01:04:14.970 Also erstmal sollte man sagen, 5-facher Würfelwurf pro Wurf, 3,5, der 01:04:14.970 --> 01:04:15.670 Erwartungswert. 01:04:15.890 --> 01:04:19.970 Der Erwartungswert der Augensumme ist 5 mal 3,5, das ist 17,5. 01:04:20.370 --> 01:04:22.410 Das würde ich als Erwartungswert haben. 01:04:23.070 --> 01:04:24.650 Das heißt, es steigt natürlich an. 01:04:25.150 --> 01:04:26.850 15, 16, 17, 18. 01:04:27.330 --> 01:04:29.450 Oh, Sie sehen auch eine Symmetrie, da fällt es ab. 01:04:29.890 --> 01:04:32.530 Der Erwartungswert ist genau der Schwerpunkt 17,5. 01:04:33.910 --> 01:04:36.450 Die Werte 17 und 18 sind gleich wahrscheinlich. 01:04:36.450 --> 01:04:39.390 Wir sehen ein glockenförmiges Diagramm. 01:04:39.470 --> 01:04:43.130 Wir werden später einen Satz kennenlernen, der im Grenzwert 01:04:43.130 --> 01:04:46.850 endgegenunendlich, wenn wir hier standardisieren, wir ziehen den 01:04:46.850 --> 01:04:51.890 Erwartungswert ab und teilen durch die Standardabweichung, dann sehen 01:04:51.890 --> 01:04:55.070 wir im Limes eine ganz berühmte Verteilung, nämlich die 01:04:55.070 --> 01:04:56.650 Standardnormalverteilung. 01:04:57.010 --> 01:04:58.510 Das ist ein ganz berühmter Grenzwertsatz. 01:04:59.510 --> 01:05:02.430 Das heißt, Sie sehen hier eine konkrete Darstellung der 01:05:02.430 --> 01:05:05.350 Augensummenverteilung beim 5-fachen Würfelwurf. 01:05:07.050 --> 01:05:10.070 Ich möchte noch Folgendes thematisieren, kurz. 01:05:11.510 --> 01:05:13.270 Erzeugende Funktionen und Momente. 01:05:13.950 --> 01:05:15.170 Was meine ich damit? 01:05:16.070 --> 01:05:18.290 Sie können mit erzeugenden Funktionen sehr einfach 01:05:18.290 --> 01:05:22.050 Erwartungswertvarianz, aber auch sowas wie e von x hoch 3, e von x 01:05:22.050 --> 01:05:23.510 hoch 4 bestimmen, wie folgt. 01:05:23.990 --> 01:05:27.710 Wenn ich eine Nullwertige Zufallsvariable habe und habe eine 01:05:27.710 --> 01:05:32.230 natürliche Zahl r, dann sind folgende Aussagen äquivalent, das ist 01:05:32.230 --> 01:05:35.990 erstmal wichtig, dieser Erwartungswert existiert, Sie sehen x mal x 01:05:35.990 --> 01:05:38.270 minus 1, bis Sie r Faktoren haben. 01:05:38.610 --> 01:05:43.430 Für r gleich 1 wäre das e von x, für r gleich 2 wäre das e von x mal x 01:05:43.430 --> 01:05:44.110 minus 1. 01:05:44.550 --> 01:05:50.570 Genau dann, wenn die linksseitige r-te Ableitung der erzeugenden 01:05:50.570 --> 01:05:54.790 Funktion an der Stelle 1 existiert, die linksseitige Ableitung. 01:05:55.950 --> 01:05:57.350 Wir nähern uns also von links. 01:05:57.350 --> 01:06:02.170 Im Fall der Existenz ist eben dieser Erwartungswert genau diese 01:06:02.170 --> 01:06:03.410 linksseitige Ableitung. 01:06:04.390 --> 01:06:08.030 Der Beweis ist nichts anderes als der abelsche Grenzwertsatz aus der 01:06:08.030 --> 01:06:08.490 Analyse. 01:06:09.010 --> 01:06:12.930 Nämlich der Beweis läuft so ab, dieser Erwartungswert existiert da 01:06:12.930 --> 01:06:16.630 oben, genau dann, wenn die Summe, Sie sehen Sie müssen jetzt die Werte 01:06:16.630 --> 01:06:21.210 nehmen, k mal k minus 1, bis k minus r plus 1, mal diese 01:06:21.210 --> 01:06:23.890 Wahrscheinlichkeit, das muss ein endlicher Wert sein. 01:06:24.010 --> 01:06:26.170 Das ist genau die Existenz des Erwartungswertes. 01:06:28.310 --> 01:06:32.070 Das Erwartungswert einer Funktion einer Zufallsvariante existiert. 01:06:32.390 --> 01:06:33.910 Das ist also Teil A. 01:06:34.410 --> 01:06:37.710 Das ist genau dann der Fall, jetzt führen Sie, ich habe das Gleiche 01:06:37.710 --> 01:06:40.590 hingeschrieben, ich führe nur t hoch k minus r ein, insofern habe ich 01:06:40.590 --> 01:06:44.310 jetzt die r-te Ableitung der erzeugenden Funktion an der Stelle t. 01:06:46.170 --> 01:06:48.850 Diese Potenzreihe konvergiert für t gleich 1. 01:06:49.430 --> 01:06:52.150 Nämlich wenn ich t gleich 1 einsetze, habe ich genau das, was oben 01:06:52.150 --> 01:06:52.330 ist. 01:06:52.630 --> 01:06:55.750 Das heißt sie konvergiert im rechten Endpunkt des 01:06:55.750 --> 01:06:56.710 Konvergenzintervalls. 01:06:57.510 --> 01:07:02.230 Und das ist hier nichts anderes als die r-te Ableitung der erzeugenden 01:07:02.230 --> 01:07:03.690 Funktion an der Stelle t. 01:07:04.610 --> 01:07:08.730 Und das ist eben gleichbedeutend mit b und das ist der abelsche 01:07:08.730 --> 01:07:09.430 Grenzwertsatz. 01:07:09.810 --> 01:07:13.530 Das heißt, Sie sehen, Sie können mit erzeugenden Funktionen solche 01:07:13.530 --> 01:07:17.890 Erwartungswerte ausrechnen, und wenn wir uns das im Spezialfall mal 01:07:17.890 --> 01:07:22.670 ansehen, das ist hier die Formel, das ist also wichtig, der 01:07:22.670 --> 01:07:25.810 Erwartungswert, da haben Sie r gleich 1, ist nichts anderes als die 01:07:25.810 --> 01:07:27.070 linksseitige Ableitung. 01:07:28.110 --> 01:07:31.770 Wenn ich r gleich 2 setze, habe ich das, das ist die zweite Ableitung. 01:07:32.950 --> 01:07:35.770 Aus den beiden kann ich aber auch die Varianz ausrechnen. 01:07:36.010 --> 01:07:40.110 Zum Beispiel die Varianz wissen wir, ist e von x² minus e von x in 01:07:40.110 --> 01:07:41.190 Klammern zum Quadrat. 01:07:42.270 --> 01:07:46.230 Und diesen Trick hatten wir auch schon, e von x mal x minus 1 plus e 01:07:46.230 --> 01:07:48.570 von x minus e von x in Klammern zum Quadrat. 01:07:48.570 --> 01:07:52.370 Und die drei Größen drücken sich aus mit den Ableitungen. 01:07:52.510 --> 01:07:56.030 Also habe ich zweite Ableitung an der Stelle 1, ich spreche nicht mehr 01:07:56.030 --> 01:07:59.050 von linksseitig, in den Beispielen, die wir haben, ist die Funktion 01:07:59.050 --> 01:08:01.950 auch differenzierbar, sodass ich das linksseitig weglassen kann. 01:08:02.790 --> 01:08:06.610 Plus erste Ableitung, minus erste Ableitung zum Quadrat. 01:08:06.970 --> 01:08:08.490 Das wäre dann die Varianz. 01:08:08.930 --> 01:08:11.250 Und das wäre zum Beispiel dann der nächste Fall, und das ist nichts 01:08:11.250 --> 01:08:13.250 anderes als die dritte Ableitung an der Stelle 1. 01:08:13.250 --> 01:08:16.530 Hieraus kann ich dann zum Beispiel auch e hoch x hoch 3 ausrechnen, 01:08:16.690 --> 01:08:19.950 indem ich hier die Linearität des Erwartungswertes ausnutze. 01:08:20.370 --> 01:08:24.690 Sie kommen also auch an höhere Momente mithilfe der erzeugenden 01:08:24.690 --> 01:08:26.310 Funktion und so weiter. 01:08:28.030 --> 01:08:28.470 Gut. 01:08:29.910 --> 01:08:31.950 Ja, machen wir an dieser Stelle Schluss. 01:08:32.110 --> 01:08:34.150 Ich bedanke mich für die Aufmerksamkeit.