Ich möchte fortfahren, hier mit einer wichtigen Regel, die
Substitutionsregel, die ist so einfach, wir werden gleich den Beweis
sehen, das ist also fast eine Trivialität, wie man so gerne sagt in
der Mathematik, die besagt folgendes.
Ich habe einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Ich setze jetzt das Omega, Sie werden später sehen, es kommt kein
Omega -Null-Vergleich als abzehbar voraus.
Wenn das nicht der Fall ist, dann müssen Sie später summieren über
Omega -Null.
Sie haben hier einen Zufallsvektor, Sie sehen, das X geht hier in den
R auf N, was anderes als vorher, kann allgemein sein, N muss nicht
notwendig 1 sein.
Und Sie haben einen zweiten Zufallsvektor Z, wie eben, der geht in den
R auf K.
Das Entscheidende ist, wir reden gleich über Erwartungswerte, ich muss
das Ganze realwertig machen.
Sie sehen, Sie haben jetzt eine Funktion G, die ist definiert aus dem
R auf N, kreuz R auf K in R, und Sie sehen, was ich hier mache.
Ich kann natürlich hier die Zufallsvektoren einsetzen.
Das ist jetzt insgesamt ein N plus K-dimensionaler Zufallsvektor, und
auf dessen Realisierung kann ich die Funktion G schalten.
Dann bekomme ich etwas Reellwertiges, also G von X, Z ist eine
reellwertige Zufallsvariable, und davon der Betrag, davon muss der
Erwartungswert existieren.
Das ist die Grundvoraussetzung hier.
Dann gilt, das ist jetzt hier die Regel, für jedes feste Z, was von
dem Zufallsvektor Groß-Z mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen
wird, ist der bedingte Erwartungswert von dieser Zufallsvariable G von
X, Z unter dieser Bedingung Groß-Z gleich Klein-Z, und schauen Sie auf
die rechte Seite, da hat sich nicht viel getan, da ist nur vor dem
Bedingungsstrich das große Z durch das kleine Z ersetzt worden, mehr
ist nicht passiert.
Die Botschaft soll einfach die sein, wenn hier die Bedingung ist Groß
-Z gleich Klein-Z, dann kann ich, wenn links irgendwo das Groß-Z
auftritt, dieses Groß-Z links durch Klein-Z ersetzen.
Substitution.
Das ist die Botschaft.
So, der Beweis, wir sehen uns den Beweis an, wir sehen uns konkret
diesen Erwartungswert an.
Da steht der Erwartungswert von einer Zufallsvariable unter einem
Ereignis, und das ist 1 durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses,
die Wahrscheinlichkeit Groß-Z gleich Klein-Z, und jetzt kommt die
Summe, und was war das, die Summe ist jetzt nur über die kleinen
Omegan, die in A sind, das Ereignis A ist natürlich hier Groß-Z gleich
Klein -Z, das muss also gelten für so ein Omega, Groß-Z von Omega ist
Klein -Z, das ist die Bedingung.
Sie sehen, ich setze hier voraus, dass Omega abzehrbar ist, sonst
müsste ich Omega 0 schreiben.
Aber ansonsten ist das, und jetzt steht da eben G von, das ist also
unsere Zufallsvariable, das ist G von X, Z, also G von X von Omega, Z
von Omega mal die Wahrscheinlichkeit von Omega.
Also nach Definition direkt des bedingten Erwartungswertes.
So, Sie sehen aber jetzt, es wird summiert über die kleinen Omega mit
Z von Omega gleich Klein-Z.
Ich kann also rechts in der Summe das Z von Omega durch Klein-Z
ersetzen.
Weil das ja in der Bedingung steht, das heißt, ich mache das Ganze
genauso und jetzt ersetze ich nur das Groß-Z von Omega durch das Klein
-Z.
Aber wenn Sie das jetzt wieder sehen, das ist nach Definition der
bedingte Erwartungswert von G von Groß-X, Klein-Z unter der Bedingung
Groß -Z gleich Klein-Z.
Das heißt, wenn Sie jetzt von unten eine Etage höher gehen, das letzte
Gleichheitszeichen, fangen Sie unten an, nach der gleichen Regel, ich
muss teilen durch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dann muss
ich diese Zufallsvariable neben G von Groß-X, Klein-Z, das ist aber an
der Stelle Omega, ist gerade G von X von Omega, Klein-Z und das steht
da, mal der Wahrscheinlichkeit.
Das heißt, diese Substitutionsregel ist unmittelbar einzusehen und wir
wollen sie mal direkt in Aktion sehen.
Sehen wir uns das an.
Und zwar, wir werden die Augensumme bei einer zufälligen Wurfanzahl
betrachten.
Wir werden jetzt mit etwas konfrontiert werden, zum ersten Mal, was
oft vorkommt, mit einer sogenannten randomisierten Summe.
Was wird gemacht?
Ich werfe einen echten Würfel einmal.
So in Abhängigkeit von dessen Augenzahl, tritt dort J auf, werfe ich
danach noch J echte Würfel oder Sie können sagen, einen echten Würfel
nach gutem Schüttel J mal hintereinander.
Dann betrachten wir als Zufallsvariable die insgesamt geworfene
Augensumme.
Die Extremfälle sind die, ich werfe nur eins beim ersten Wurf, dann
werfe ich noch einmal danach, werfe ich eine sechs, werfe ich noch
sechsmal danach.
Also maximal habe ich insgesamt sieben Würfe, minimal habe ich zwei
Würfe und die Anzahl der Würfe insgesamt wird bestimmt durch den
ersten Wurf Wir fragen uns, was ist der Erwartungswert von X?
Von dieser Zufallsvariable.
So, wenn jetzt jemand von Stochastik so gut wie keine Ahnung hat,
versetzen Sie sich mal in die Schule und vergessen Sie alles, was Sie
gelernt haben, dann sieht man sofort, was rauskommen muss.
Nämlich, was muss rauskommen?
Man fragt sich, wie oft wird denn im Schnitt geworfen?
Pro Wurf habe ich 3,5 im Schnitt, der Erwartungswert, das wissen wir.
Im Schnitt wird geworfen einmal, ja und dieser erste Würfel zeigt er
im Schnitt 3,5.
Also wird im Schnitt 4,5 mal geworfen.
Und jedes Mal ergibt sich im Schnitt 3,5, also muss rauskommen 4,5 mal
3,5.
4,5 ist 4 plus ein halb, 3,5 ist 4 minus ein halb, also 4 plus ein
halb mal 4 minus ein halb, dritte binomische Formel, ist 4 Quadrat
minus ein Halbquadrat, 4 Quadrat ist 16, ein Halbquadrat ist ein
Viertel, es muss rauskommen 15,75.
So, die Frage ist natürlich, ob wir das auch mit höherer Stochastik
rausbekommen.
Das muss rauskommen.
Also vergessen Sie nie, den gesunden Menschenverstand auszuschalten.
Wir modellieren das.
Nun, wir werfen ja maximal sieben Mal.
Es ist ein Modell, bei dem wir sieben Tupel haben, die wir vielleicht
gar nicht ganz brauchen.
Das heißt, die kleinen Omegas sind hier sieben Tupel, Sie sehen, ich
fange hier mit Omega 0 an, und es sind alles Zahlen von 1 bis 6, ich
modelliere so einen siebenfachen Würfelwurf.
Mit der Gleichverteilung auf Omega, also alle sieben Tupel sind
gleichwahrscheinlich.
Und ich setze jetzt Zufallsvariablen an, wenn Sie wollen, Koordinaten,
Abbildung oder Projektion, Xi von Omega ist einfach Omega i.
Und das Entscheidende ist, diese Zufallsvariablen, wir haben ein
Produktexperiment, Produktrahmen sind stochastisch unabhängig, weil
sie sich auf verschiedene Komponenten des Tupels beziehen.
Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen haben wir gehabt.
So, jetzt modellieren wir die insgesamt geworfene Augensumme.
Für so einen Tupel ist natürlich klar, es ist erstmal X0 von Omega,
das soll unser allererster Wurf sein.
Und in Abhängigkeit von diesem X0 von Omega, die Realisierung ist das
klein j, was ich eben sagte, zeigt ja die Zahl j, werden j weitere
Würfel geworfen.
Das heißt, jetzt kommt noch eine Summe dazu mit einem oberen
Summationsindex, der eben von diesem kleinen Omega abhängt.
Summe i von 1 bis X0 von Omega und dann Xi von Omega.
Also unter Umständen, je nachdem wie das X0 von Omega ausfällt,
brauche ich gar nicht alle Komponenten, sondern im extremen Fall
brauche ich vielleicht nur noch den nächsten Wurf, also das kleine
Omega 1.
Also das wäre die Modellierung.
Wir sehen hier eine randomisierte Summe.
Das Entscheidende ist, der obere Summationsindex hängt vom Zufall ab
in dieser zweiten Summe.
Ich schreibe das jetzt mal kurz, ich lasse jetzt mal die Argumente
Omega alle weg und schreibe nur ganz kurz, also das kann ich machen
für jedes Omega natürlich, schreibe kurz, dass X ist einfach X0 plus
diese Summe i von 1 bis X0 von Xi.
Jetzt rechnen wir aus.
Was ist der bedingte Erwartungswert von X unter der Bedingung X0
gleich J?
Es ist natürlich klar, dass wir so rangehen werden, denn die
Schwierigkeit liegt ja nur darin, dass wir nicht wissen, wie oft
insgesamt geworfen wird.
Also müssen wir den Zufall insofern bändigen, als wir sagen, okay,
bitte teil mir doch mit, was beim ersten Mal rauskommt, dann bin ich
schlauer.
Also die Bedingung ist jetzt X0 gleich J, erster Wurf ergibt Augenzahl
J.
Nun, jetzt setze ich ein, das ist diese Zufallsvariable unter der
Bedingung X0 gleich J.
Ich habe nur für das X diesen Ausdruck eingesetzt.
Jetzt kommt die berühmte Substitutionsregel.
Das X0 da oben ist das, was bei uns eben Z war.
Die Regel sagte, alles, wo jetzt links X0 steht, darfst du J
einsetzen.
Machen wir das.
Da darf ich J einsetzen für das X0 und da oben darf ich auch für das
X0 das J einsetzen.
Die Bedingung bleibt, das ist die Substitutionsregel in Aktion.
So jetzt ist der Zufall wirklich teilweise gebändigt, natürlich habe
ich noch diese XI da stehen, aber jetzt nutze ich aus die Linearität
des bedingten Erwartungswertes.
Das heißt, ich habe einmal eine Konstante, das ist also der
Erwartungswert von diesem J da unter der Bedingung X0 gleich J, plus,
jetzt habe ich die Summe, da kann ich die Summe nach vorne ziehen, I
von 1 bis J, Erwartungswert XI unter der Bedingung X0 gleich J.
Das heißt, ich habe nur die Additivität ausgenutzt, auch des bedingten
Erwartungswertes.
Mehr habe ich nicht gemacht.
So, der Erwartungswert dieser konstanten Zufallsvariablen, das ist
immer die Konstante selbst,
also das ist immer die Konstante selbst, das heißt, das ist J und
jetzt sehen Sie, die Summe kann ich nach vorne ziehen und jetzt kommt
es, dieser bedingte Erwartungswert von XI unter der Bedingung X0
gleich J ist der Erwartungswert von XI und wir haben gesehen, XI, I
ist ja größer als 1, ist von X0 stochastisch unabhängig und deshalb
kann ich die Bedingung weglassen bei dem bedingten Erwartungswert,
wenn stochastische Unabhängigkeit besteht.
So, und jetzt, diese Erwartungswerte kenne ich alle, die sind alle 3
,5.
Also kommt daraus J plus J mal 3,5.
Ich habe also diesen bedingten Erwartungswert, wenn Sie so wollen, ist
das 4,5 mal J.
So, und jetzt kann ich einsetzen, iterierte Erwartungswertbildung oder
Formel vom totalen Erwartungswert besagt, okay, der Erwartungswert von
X ist jetzt diese Summe dieser bedingten Erwartungswerte mal die
Wahrscheinlichkeit X0 gleich J.
Und die Wahrscheinlichkeit X0 gleich J ist ein Sechstel.
Das ist konstant, das kann ich rausziehen.
Und dann habe ich jetzt diese bedingten Erwartungswerte, da haben wir
sie, das ist immer 4,5 und jetzt kann ich das 4,5 rausziehen mal J und
jetzt muss ich die Summe bilden.
Und die Summe der Zahlen J von 1 bis 6 ist 21, 21 durch 6 können Sie
teilen, also 3,5, also kommt daraus 4,5 mal 3,5 und das ist 15,75, was
unser gesunder Menschenverstand uns schon am Anfang gesagt hat.
Also keine Hexerei, aber Sie sehen einfach hier, wie man vorgeht, wenn
eine Situation kompliziert ist, man bedingt geeignet, man kommt
vielleicht leicht an die bedingten Erwartungswerte und so kann man
dann den Erwartungswert über unsere Formel vom totalen Erwartungswert
ausrechnen.
Okay?
Gut, jetzt kommt ein Begriff, der sich unmittelbar anschließt, die
bedingte Verteilung.
Wir haben schon gesprochen von der bedingten Verteilung von P, eines
Wahrscheinlichkeitsmaßes, unter der Bedingung A, wenn A ein Ereignis
ist.
So, wir heben das einfach nur auf die Ebene der Zufallsvariablen oder
Zufallsvektoren.
Wir brauchen einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum, wir benötigen
zwei Zufallsvektoren, X und Z, X ist n-dimensional, Z ist k
-dimensional, es muss also weder n noch k gleich 1 sein in diesem
Fall.
Wir reden nämlich nicht über Erwartungswerte, sondern über
Verteilungen, die haben was mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.
Wir nehmen ein kleines Z her, was angenommen wird mit positiver
Wahrscheinlichkeit von Z und jetzt definieren wir etwas, nämlich, ich
möchte diese Schreibweise verwenden, also wenn Sie dieses Groß-Z
-gleich -Klein-Z da nicht stehen sehen würden, dann ist es genau die
Wahrscheinlichkeit, dass der Vektor X in die Menge B fällt, also P
oben X von B, und ich möchte gern den Bedingungsstrich vermeiden,
insofern schreibe ich die Bedingung jetzt dran als Index, Groß-Z
-gleich -Klein-Z, das ist nichts anderes als die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass der Zufallsvektor X in die Menge B fällt,
unter der Bedingung, dass Groß-Z-gleich-Klein-Z ist, also im Sinne der
bedingten Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Schnittes
beider Ereignisse, dividiert durch die Wahrscheinlichkeit von Groß-Z
-gleich -Klein-Z.
Das ist also nur eine normale bedingte Wahrscheinlichkeit.
Das Entscheidende ist, wir betrachten das als Funktion B, der
Teilmengen des R hoch N.
Und wir wissen, bedingte Wahrscheinlichkeiten als Funktion der
Ereignisse sind Wahrscheinlichkeitsmaße, das heißt, dieses
Wahrscheinlichkeitsmaß, P oben X und die Bedingung steht unten dran,
auf den Teilmengen des R hoch N nennt man die bedingte Verteilung von
X unter dieser Bedingung Groß-Z-gleich-Klein-Z.
Das ist also erstmal die Bedingte Verteilung.
Wir werden gleich zwei Beispiele sehen.
Wir werden auch noch weitere Beispiele in den Übungsaufgaben haben.
Folgendes sollte man beachten.
Wenn der Zufallsvektor X nur diese Werte Klein-X1, X2 und so weiter
annehmen kann mit positiven Wahrscheinlichkeiten, also die sollen auch
alle, das heißt hier brauche ich gar nicht, dass die alle positiv
sind, wichtig ist, es können nur die Werte vorkommen mit positiven
Wahrscheinlichkeiten.
So gilt natürlich Folgendes, jetzt kommt die Additivität.
Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist natürlich die Summe der
Einzelwahrscheinlichkeiten Groß-X-gleich-Klein-X-J unter dieser
Bedingung, über die J summiert mit der Eigenschaft X-J aus B.
Das ist nichts anderes als die Sigma-Additivität.
Das heißt, Sie sehen, Sie brauchen eigentlich nur diese
Einzelwahrscheinlichkeiten zu haben und können dann die
Wahrscheinlichkeit, dass X in eine Menge B fällt, unter dieser
Bedingung durch Summation erhalten.
So, letztlich kommt es bei der bedingten Verteilung also nur auf
dieses System an, der Wahrscheinlichkeiten Groß-X-gleich-Klein-X-J
unter der Bedingung Groß-Z-gleich-Klein-Z durch dieses System ist die
bedingte Verteilung eindeutig bestimmt.
Wir werden uns also nur mit solchen Wahrscheinlichkeiten beschäftigen,
ganz elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Und wir werden jetzt ein sehr instruktives Beispiel haben aus meiner
Sicht, was auch wichtig ist, sogar für die Statistik, nämlich die
hypergeometrische Verteilung, die wir kennengelernt haben, als
Verteilung der Anzahl der roten Kugeln beim Ziehen aus einer Urne mit
roten und schwarzen Kugeln rein zufällig, und zwar ohne Zurücklegen.
N-mal ziehen, so entstand die hypergeometrische Verteilung.
Wir werden Sie jetzt sehen, die entsteht als bedingte Verteilung im
Zusammenhang mit zwei Zufallsvariablen, nennen wir sie x und y, die
unabhängig sind, ist die Voraussetzung, und x ist binomial verteilt
mit m und p, und y ist auch binomial verteilt mit n und p, das gleiche
p, p' zwischen 0 und 1, und dann wird behauptet, die bedingte
Verteilung von x unter der Bedingung, dass die Summe x plus y den Wert
k annimmt, diese bedingte Verteilung ist die hypergeometrische
Verteilung mit den Parametern k, m und n, die hängt also überhaupt
nicht von p ab.
Das ist überraschend auf den ersten Blick.
Also nochmal die Situation, zwei unabhängige binomial verteilte
Zufallsvariablen mit dem gleichen p, ich bekomme die Information, die
Summe nimmt den Wert k an, und dann ist die bedingte Verteilung von x
unter dieser Information, diese hypergeometrische Verteilung, die wir
so kennengelernt haben.
Wir werden erstmal rechnen und werden dann später sehen, dass man das
auch so einsehen kann ohne Rechnen, nur durch Erzeugungsweise der
Verteilung, auch der Binomialverteilung, also Beweis.
Nun, wir müssen ausrechnen, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass x
den Wert j annimmt, unter der Bedingung x plus y gleich k, das ist
also unsere Bedingung, und hier muss rauskommen, es muss eine
hypergeometrische Wahrscheinlichkeit sein.
Insbesondere soll sie eben nicht abhängen von dem p.
Die Definition besagt, es ist die Wahrscheinlichkeit des ersten
Ereignisses unzugleich des zweiten, dividiert durch die
Wahrscheinlichkeit der Bedingung.
Das ist nur die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Jetzt schauen Sie sich oben das Ereignis an.
Hier ist die Wahrscheinlichkeit der Menge aller kleinen Omega, mit x
von Omega ist j und x von Omega plus y Omega ist k.
Da können Sie messerscharf schließen, für diejenigen Omega gilt x von
Omega gleich j und y von Omega ist k minus j.
Und umgekehrt können Sie genauso schließen.
Das heißt, die Schnitte dieser beiden Ereignisse, x gleich j und x
plus y gleich k und auf der anderen Seite x gleich j und y gleich k
minus j sind gleich.
Gleiche Ereignisse.
Ich teile nochmal durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung.
So, jetzt nutze ich aus, dass x und y stochastisch unabhängig sind.
Schauen Sie sich den Zähler an.
Aus dem Grunde ist die Wahrscheinlichkeit im Zähler das Produkt der
beiden Wahrscheinlichkeiten.
Das heißt, ich habe die Wahrscheinlichkeit x gleich j mal die
Wahrscheinlichkeit, dass y gleich k minus j ist, dividiert durch die
Wahrscheinlichkeit, dass x plus y gleich k ist.
Bislang habe ich nur die Unabhängigkeit ausgenutzt.
Jetzt kommt die Binomialverteilung.
Wir sehen, alle Wahrscheinlichkeiten, die da stehen, die drei, sind
Binomialwahrscheinlichkeiten.
x ist binomialverteilt mit m und p, also die Wahrscheinlichkeit, dass
x gleich j ist, ist m über j mal p hoch j mal 1 minus p hoch m minus
j.
Und y ist auch binomialverteilt mit n und p, also die
Wahrscheinlichkeit, dass y gleich k minus j ist, ist n über k minus j
mal p hoch k minus j mal 1 minus p hoch n minus, Klammer auf, k minus
j, Klammer zu.
Jetzt wissen wir aber, wenn ich zwei unabhängige binomialverteilte
Zufallsvariablen habe mit gleichem p, dann ist die Summe auch
binomialverteilt und es addieren sich m und n.
Das bedeutet im Nenner die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe den Wert
k annimmt, ist m plus n über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch m plus
n minus k.
Jetzt sehen Sie sich das an.
Das Entscheidende ist, Sie finden hier p hoch j, Sie finden p hoch k
minus j und wenn Sie die Exponenten addieren, kommen Sie auf k, das
kürzt sich wunderbar weg, gegen p hoch k.
Was finden Sie noch?
Sie finden 1 minus p hoch m minus j, 1 minus p hoch n minus k minus j
und wenn Sie die Exponenten addieren, dann addieren sich m und n minus
k, aber das j hebt sich weg.
Das heißt, es bleibt über 1 minus p hoch m plus n minus k.
Alles, was mit p zu tun hat, geht komplett raus und was bleibt über?
Es bleibt über m über j mal n über k minus j dividiert durch m plus n
über n.
Und das ist eine hypergeometrische Wahrscheinlichkeit.
Das war zu zeigen.
Und schon sind wir beim Ohrenmodell.
Man fragt sich natürlich begrifflich, also wir haben jetzt gerechnet,
ganz brav, alles ausgenutzt, kann ich das irgendwie einsehen?
Also hier können wir auf jeden Fall einen Haken dran machen.
Nun kann ich es einsehen, ich kann es einsehen.
Also das Memo nochmal, x und y unabhängige Zufallsvariable, x
binomialverteilt mit m und p und y mit n und p, p zwischen 0 und 1,
das ist also hier unsere Voraussetzung, die wir haben.
Und das haben wir gerade bewiesen, die bedingte Verteilung von x bei
gegebener Summe, Summe gleich k, ist diese hypergeometrische
Verteilung.
Die Frage ist, erhält man hier das Ganze auch durch scharfes
Hingucken, ohne Rechnen?
Warum muss das so sein?
Und das muss so sein aus dem ganz einfachen Grunde, wir können die
Binomialverteilung erzeugen als Trefferanzahl in der Bernoulli-Kette,
Trefferwahrscheinlichkeit p.
Wir gehen wieder zurück ins deutsche Gymnasium, 10.
Klasse.
Bernoulli-Kette, wir machen jetzt mal eine der Länge m plus n mit
Trefferwahrscheinlichkeit p.
Das seien insgesamt m plus n Kästchen, in jedes könnten wir
reinschreiben, Treffer oder Niete.
Wir fangen links an.
Die ersten m Kästchen, das sind die, und das sind die restlichen.
Das Entscheidende ist, das x beschreibt mir die Trefferanzahl aus den
ersten m Versuchen, das ist dann binomialverteilt mit m und p, und das
y beschreibt mir die Trefferanzahl aus den letzten Versuchen, dann ist
natürlich die Summe x plus y binomialverteilt mit m plus n und p.
Das heißt, wir haben die Situation konkret erzeugt in so einer
Bernoulli -Kette der Länge m plus n.
Was wir jetzt machen, ist Folgendes.
Jetzt kommt diese Info.
Wir bekommen aus dem Nachbarraum die Information, es sind insgesamt k
Treffer aufgetreten.
Die Versuche sind alle gleichberechtigt, unabhängig,
Trefferwahrscheinlichkeit p.
Unter dieser Information soll ich gerne mal diese k Treffer platzieren
auf die m plus n Versuche.
Nun, hier regiert der reine Zufall, das heißt, unter dieser
Information ist die Auswahl von insgesamt k Plätzen für die Treffer,
auf die anderen landen dann die Mieten, gleichwahrscheinlich.
Das ist das Entscheidende hier.
Das bedeutet, das ist die Information, x plus y gleich k, dann und nur
dann, wenn genau k Treffer auftreten.
Und das ist das, was ich gerade sagte, jede Auswahl von k dieser
insgesamt m plus n Versuche für die Treffer ist gleichwahrscheinlich.
Jetzt mache ich Folgendes, ich will zum Urnenmodell, ich will zu roten
und schwarzen Kugeln.
Nun, ich interpretiere die Versuche als Kugeln, die durchnummeriert
sind von 1 bis m plus n in der Urne.
So, die ersten m Kugeln, die seien rot, das sind die roten, und die
anderen seien schwarz.
Jetzt habe ich meine Urne mit roten und schwarzen Kugeln.
Was mache ich jetzt?
Rein zufällig wähle ich k aus.
Da sollen die Treffer sein.
Was heißt rein zufällig k auswählen?
Das heißt, in diese Urne greifen und k rausziehen, blind,
nacheinander.
Das heißt, ich ziehe k Kugeln rein zufällig, ohne zurücklegen, und das
Entscheidende ist, die Kugelnummern entsprechen natürlich den
Versuchsnummern mit Treffern.
Das ist klar.
Und das Entscheidende ist, ich zähle.
Ich will da sehen, was ist die bedingte Verteilung von x.
Wie viele Treffer habe ich vorne?
Das sind dabei die roten Kugeln.
Ich zähle jetzt genau die roten Kugeln.
Und schon habe ich die begriffliche Einsicht.
Das ist nichts anderes als unser Urnenmodell unter dieser Bedingung,
das wir haben.
Wir interpretieren einfach die ersten M-Versuche als Nummern von roten
Kugeln, und die anderen sind eben dann Nummern von Versuchen mit
schwarzen Kugeln.
Das ist die begriffliche Einsicht in diese Verteilung.
Entscheidend ist, dass p verschwindet komplett.
Es hängt nicht davon ab.
Natürlich ist klar, wenn das p klein ist, werde ich wahrscheinlich
wenige Treffer haben.
Wenn p groß ist, habe ich mehr Treffer.
Aber es dreht sich dann nur darum, wie viele Kugeln ich dann insgesamt
ziehe.
Zweites Beispiel.
Wir haben hier Verteilung gehabt, und zwar die Gleichverteilung auf
einer endlichen Menge zunächst mal, und die geometrische Verteilung.
Die entstand beim Warten auf den ersten Treffer in der Bernoulli
-Kette.
Hier zählte die Zahl der Nieten vor dem ersten Treffer.
Zwei Zufallsvariablen, die seien stochastisch unabhängig und je
geometrisch verteilt mit Parameter p.
p wieder strikt zwischen 0 und 1.
Und allgemein sei dieses u, u steht für uniform, also gleichmäßig, die
Gleichverteilung auf einer endlichen Menge m.
Jetzt wird behauptet, für jedes K aus N0 gilt die bedingte Verteilung
von x beigegebener Summe x plus y gleich k ist die Gleichverteilung
auf den Werten von 0 bis k.
Hier rechne ich mal nicht.
Die Frage ist, sieht man das direkt ein?
Wir sollten das direkt einsehen, aber wir sollten es auch durch
Rechnen rausbekommen.
Wir sollten auch noch etwas Allgemeineres rausbekommen.
Jetzt kommt die Erzeugungsweise der geometrischen Verteilung.
Was ist x plus y?
Zwei unabhängige geometrisch verteilte Zufallsvariablen.
Sie können sagen, x beschreibt die Anzahl der Nieten vor dem ersten
Treffer in der Bernoulli-Kette, dann kommt der erste Treffer und
danach warte ich auf den nächsten Treffer, y ist dann die Zahl der
Nieten, die ich habe, bis ich den zweiten Treffer habe.
Wir wissen, so entsteht auch eine negative Binomialverteilung.
Das heißt, x plus y gibt mir an, die Zahl der Nieten vor dem zweiten
Treffer in der Bernoulli-Kette.
Jetzt kommt die Info, du hast genau k Nieten vor dem zweiten Treffer.
Das ist die Information.
Unter dieser Bedingung ist die Frage, wie viele Nieten habe ich denn
vor dem ersten Treffer.
Also ich habe jetzt k Nieten vor dem zweiten Treffer.
Natürlich, irgendwo ist jetzt dieser eine Treffer.
Es kommt auch die Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung.
Dieser erste Treffer kann genauso ganz vorne sein wie an der zweiten
Stelle, an der dritten Stelle und so weiter.
Es muss die Gleichverteilung entstehen auf den Werten von 0 bis k.
Es ist genauso wahrscheinlich, dass unter dieser Bedingung der erste
Treffer ganz vorne ist, an der zweiten Stelle, oder direkt vor dem
zweiten Treffer.
Sie können das auch sofort verallgemeinern.
Sie können sagen, stellen Sie sich vor, wir warten auf den
Ertentreffer in der Bernoulli-Kette.
Auf den Erten.
Und ich würde Ihnen sagen, der Ertentreffer in so einer Bernoulli
-Kette tritt im 28.
Versuch auf.
Dann soll ich Sie fragen, unter dieser Bedingung, wie sind denn die r
-1 Treffer vorher verteilt unter den 27 Versuchen?
Ich habe ja vorher 27 Versuche.
Davon sind r-1 Treffer und die anderen sind Nieten.
Wie ist denn die gemeinsame Verteilung der Position dieser Treffer?
Und Sie sollten intuitiv sofort einsehen, naja, jede Auswahl von
insgesamt r-1 Versuchen vorher, wo die Treffer sind, ist
gleichwahrscheinlich.
Das ist hier nur ein Spezialfall.
Das heißt, hier ist es wichtig, dass Sie auch die stochastische
Intuition mittrainieren, aber Sie sollten natürlich auch in der Lage
sein, das genauso über bedingte Wahrscheinlichkeiten auszurechnen, wie
wir das eben gemacht haben.
Aber das ist jetzt kein großer Akt, da wenden wir nur die Formel von
der bedingten Wahrscheinlichkeit an und setzen eben die geometrische
Verteilung ein.
Und da wird sich auch das p wegheben.
Bitte machen Sie das.
Aber Sie sollten es begrifflich auch verstanden haben, das ist mir
wichtig.
Ich komme zu einem neuen Kapitel, erzeugende Funktionen.
Sie haben das sicherlich schon im ersten Studienjahr kennengelernt,
vielleicht nicht unter dem Begriff.
Kam der Begriff erzeugende Funktionen vor im ersten Studienjahr?
Ja oder nein?
Kam er vor?
Irgendwann mal?
Kann überhaupt nur in der Analyse vorgekommen sein.
Also das scheint nicht der Fall zu sein.
Gut, dann definieren wir das, aber Sie kennen das.
Erzeugende Funktion einer Zahlenfolge.
So, A sei eine reelle Zahlenfolge, ich beginne hier die Nummerierung
der Komponenten bei 0 und jetzt kommt eine Funktion, G-Index A von T,
die hängt also von dieser Folge ab, das ist nichts anderes als eine
Potenzreihe, Summe K von 0 bis unendlich, AK, T hoch K, diese
Potenzreihe A nennt man die erzeugende Funktion dieser Folge.
Potenzreihe.
Analysis 1.
Ich setze voraus, dass der Konvergenzradius positiv ist.
Wie rechnet man den aus?
Der Rho nenne ich den 1 durch Limit Superior, K gegen unendlich,
Katewurzel aus AK-Betracht.
So, das sei positiv, eventuell unendlich.
Das ist die Grundvoraussetzung hierbei.
Okay, Konvergenzradius ist positiv, eventuell unendlich und das
bedeutet, jetzt sehen Sie oben, das T ist auf jeden Fall zwischen
Minus -Rho und Rho.
Rho ist positiv.
Dann sollten Sie Folgendes gelernt haben.
Also machen wir erst ein Beispiel.
Beispiel, eine sehr einfache Folge.
Für ein positives Q kann ich nehmen, AK ist Q hoch K.
Jetzt sieht man sofort, das harmoniert natürlich mit dem T hoch K.
Das heißt, wenn ich das einsetze, GA von T, setze ich jetzt ein, Summe
K von 0 bis unendlich, Q hoch K mal T hoch K ist also Q mal T hoch K.
Und es kommt darauf an, wenn Q mal T den Betrag nach kleiner 1 ist,
komme ich auf die geometrische Reihe.
Das heißt, ich kann das so schreiben und das ist dann natürlich 1
durch 1 minus Q mal T.
Wenn Q mal T den Betrag nach kleiner 1 ist, was gleichbedeutend ist, T
-Betrag kleiner 1 durch Q.
Jedenfalls ein positiver Konvergenzradius, also führt auf die
geometrische Reihe.
Das kennt man.
Jetzt kommt das, was ich sagte, was man vielleicht ein bisschen in
Erinnerung rufen sollte, mit Potenz rein.
Das ist das MEO, die erzeugende Funktion so einer Folge.
Erstens, so eine Potenzreihe ist beliebig oft differenzierbar im
Innern des Konvergenzintervalls.
Das ist wichtig.
Ich kann beliebig oft, und zwar dann unter dem Summenzeichen,
differenzieren.
Das heißt zum Beispiel, wenn ich die erste Ableitung bilde, dann habe
ich hier die Summe, die geht von K dann de facto los, weil der Faktor
K nach unten kommt.
Wir sehen K gleich 0, könnte ich auch schreiben, aber es würde nichts
ändern.
Mal AK mal T hoch K minus 1.
Ich kann aber beliebig oft differenzieren.
Ich kann eben auch die zweite Ableitung bilden.
Dann kommt noch mal K minus 1 runter vom Exponenten und die Summe geht
ab 2 los.
Das heißt K mal K minus 1 mal AK mal T hoch K minus 2.
Und ich kann es gleich allgemein machen.
Ich kann sagen, die erste Ableitung dieser Potenzreihe ist eben eine
Summe, die erst bei R losgeht.
Dann habe ich diese absteigenden Faktoren K mal K minus 1 mal K minus
2.
Am Ende habe ich K minus R plus 1.
Dann habe ich AK und dann habe ich T hoch K minus R.
Das sind also die Regeln, die man kennt von Potenzreihen.
Okay, T-Betrag kleinero.
Und hieraus ergibt sich sofort, diese erzeugende Funktion legt die
Folge fest.
Wenn ich also die Funktion kenne, kenne ich auch die Koeffizienten.
Ich muss nur ableiten und die Ableitung im Nullpunkt betrachten.
Das bedeutet, die R-Ableitung an der Stelle T gleich 0 ist nichts
anderes als R-Fakultät mal AR.
Das gilt auch für R gleich 0, da leiten Sie nicht ab, da haben Sie
gleich die Funktion g. Das heißt, das ist der Identitätssatz.
Das haben Sie alles gehabt in der Analyse.
Und Sie haben noch folgenden Satz gehabt, den sogenannten Abelschen
Grenzwertsatz, wenn Rho endlich ist.
Der Abelsche Grenzwertsatz besagt folgendes, den brauchen wir auch
nachher.
Konvergiert die Potenzreihe im rechten Randpunkt des
Konvergenzintervalls, dann ist die Funktion, das ist jetzt auf jeden
Fall in dem Bereich erklärt, sie ist im Punkt Rho stetig.
Das heißt, wenn wir uns von links annähern, im Limes, bekomme ich auch
den Funktionswert.
Das heißt, es gilt, wenn ich jetzt für T gleich Rho setze, das ist
nichts anderes als der Grenzwert, wenn T von unten, von links, gegen
Rho geht, GA von T.
Das ist der Abelsche Grenzwertsatz für Potenzreihe.
Der war auf jeden Fall dran, ich habe mich da schlau gemacht.
Gut, also das sind erstmal so ein paar technische Dinge, die man hier
braucht.
Und jetzt fragen Sie sich natürlich, was hat das überhaupt mit
Stochastik zu tun?
Ich meine, ich wiederhole gerne Analyse 1 und freue mich, dass ich
mich an gewisse Dinge erinnere, die mal dran waren, aber in der
Stochastik kann man das brauchen, aber Sie sehen, ich war schon
gedanklich bei Zufallsvariablen, ich mache noch ein Beispiel.
Das Beispiel sollten Sie auch kennen, Fibonacci-Zahlen.
Eine der berühmtesten Zahlenfolgen, die eben mit 1 und 1 losgeht, das
sind die ersten beiden Folgen, und das nächste ist dann immer die
Summe der beiden davor, das ist die Rekursionsformel.
Man sieht dann sofort ein, durch scharfes Hingucken, AK kann höchstens
2 hoch K sein, sodass, wenn wir jetzt die Potenzreihe bilden, hat die
mindestens den Konvergenzradius ein Halb.
Also auf jeden Fall einen positiven Konvergenzradius, das ist wichtig.
Das heißt, ich schreibe das mal hin, ich fange jetzt an, K gleich 0
ist A0, ziehe ich raus, ich ziehe auch A1 mal T raus, und jetzt ab K
gleich 2 nutze ich die Rekursionsformel aus.
Das heißt, hier schreibe ich AK minus 1 plus AK minus 2 mal T hoch K.
Und jetzt setze ich ein, A0 ist 1, A1 ist 1, also 1 plus T, und die
beiden Summen ziehe ich auseinander, was ich immer darf im
Konvergenzintervall.
Das heißt, ich habe hier einmal diese Summe und dann die letzte mit
dem AK minus 2.
Und jetzt erkennt man, wenn ich bei der Summe von K von 2 bis unten,
wenn ich bei dieser ersten einmal T ausklammer, mache ich das mal, ich
klammern T aus, dann habe ich jetzt noch die Summe AK minus 1 T hoch K
minus 1.
Das harmoniert natürlich wunderbar mit der erzeugenden Funktion.
Da fehlt nur das allererste Glied.
Das ist also nichts anderes als die erzeugende Funktion minus, ich
muss das erste Glied subtrahieren.
Und bei der zweiten Summe klammere ich mal T quadrat aus, wenn ich das
mache, dann entsteht da die Summe, jetzt habe ich AK minus 2 T hoch K
minus 2, aber wenn K von 2 bis unten endlich geht, läuft K minus 2 von
0 bis unten hin.
Ich habe nichts anderes als die erzeugende Funktion.
Dahinten steht die erzeugende Funktion.
Das bedeutet, ich habe 1 plus T plus T mal und Sie sehen, das ist
nichts anderes als die erzeugende Funktion GA von T minus, das
Anfangsglied des 1 und dahinten steht die erzeugende Funktion
multipliziert mit T quadrat.
Sie sehen, diese Gleichung können Sie wunderbar auflösen nach der
erzeugenden Funktion, das ist jetzt hier der Witz.
Das heißt, Sie bekommen die erzeugende Funktion dieser Folge
unmittelbar, indem Sie die Anfangsbedingungen und die Rekursionsformel
ausnutzen.
Das Entscheidende ist nur noch, wir müssen das jetzt in der
Potenzreihe entwickeln und dann können wir die Koeffizienten direkt
ablesen, Identitätssatz.
Wie entwickle ich das in der Potenzreihe?
Sie sehen, dort unten haben Sie ein quadratisches Polynom, bestimmen
Sie die Nullstellen, dann haben Sie Linearfaktoren, dann machen Sie
Partialbruchzerlegung.
Analysis 1.
Das bedeutet, und dann können Sie mit der geometrischen Reihe
arbeiten, ich gebe Ihnen das Ergebnis an.
Es kommt Folgendes raus, Sie sehen, Summe K von 0 bis unendlich,
hinten steht T hoch K, und es kommt ein komplizierter Ausdruck raus,
nämlich das kommt raus.
Das ist nichts anderes als das AK.
Sie erkennen also hier Wurzel 5 drin.
Machen Sie das mal.
Sie haben ja gesagt, die Fibonacci-Zahlen waren dran, also irgendwie
müssen Sie sich mit denen beschäftigt haben.
Vielleicht kam das sogar alles dran, was ich gerade gemacht habe.
Insofern ist das dann auch eine schöne Wiederholung nochmal gewesen.
Also wir haben hier wirklich eine ganz berühmte Folge.
Sie können sich so selbst überlegen, was ist, wenn ich ein bisschen
modifiziere.
Ich könnte zum Beispiel die Anfangsbedingungen lassen, und bei der
Rekursionsformel könnte ich sagen, AK ist AK-1 plus 2 mal AK-2.
Ich ändere das ein bisschen ab.
Da wäre ja die Frage, bekomme ich dann auch was raus.
Okay, gut.
Jetzt kommt die Stochastik.
Das ist das, was ich eben schon sagte.
Die erzeugende Funktion einer ernullwertigen Zufallsvariable.
Wenn X ernullwertig ist, also nur die Werte 0, 1, 2, 3 annimmt, das
darf abbrechen, das heißt, das ist die Voraussetzung, die
Wahrscheinlichkeit, dass X einen nicht-negativen ganzzahligen Wert
annimmt, ist 1.
Dann nennt man eine Potenzreihe, jetzt haben wir das X dran als
Zufallsvariable, wir sehen Summe K von 0 bis unendlich und die
Koeffizienten sind P von X gleich K mal T hoch K.
Das nennt man die erzeugende Funktion der Verteilung von X.
Hier habe ich sogar dran geschrieben, T-Betrag kleiner gleich 1.
Auf jeden Fall sehen wir, der Mindestkonvergenzradius ist 1, denn Sie
können für das T sofort 1 einsetzen, dann steht da die Summe der
Wahrscheinlichkeiten und die ist 1.
Das heißt, jede erzeugende Funktion einer ernullwertigen
Zufallsvariable hat den Konvergenzradius mindestens 1.
So, beachte, dieses GX ist nichts anderes als die erzeugende Funktion
dieser Folge der Wahrscheinlichkeiten.
Die AKs sind hier einfach nur die Wahrscheinlichkeiten X gleich K.
Und GX von 1, das ist das, was ich eben schon sagte, ist die Summe der
Wahrscheinlichkeiten, ist 1 und insofern ist der Konvergenzradius
mindestens 1, das ist oben schon in der Definition mit drin.
Die Verteilung wird festgelegt durch das GX, das ist genau dieser
Identitätssatz, ich werde das gleich sogar nochmal formulieren, wenn
ich die erzeugende Funktion kenne, kann ich durch Differentiation an
diese Wahrscheinlichkeiten kommen, X gleich K.
Und Folgendes sollte man beachten, X ist eine Zufallsvariable,
mathematisch eine Abbildung, da steckt ein Omega hinter,
Definitionsbereich, aber das taucht hier gar nicht auf.
Nämlich, das Entscheidende ist, das taucht implizit nur hier auf, das
ist ja die Wahrscheinlichkeit der Menge aller kleinen Omega aus Omega
mit Groß X von Omega gleich klein K, unsere Abkürzung.
Aber der Grundraum selbst, wie der aussieht, da kommt es nicht darauf
an, sondern es kommt nur auf die Verteilung an.
So, letzte Eigenschaft, die ist auch wichtig für späte Überlegungen.
Diese erzeugende Funktion ist nichts anderes als der Erwartungswert
von T hoch X, denn schauen Sie in die Definition, da steht ja gerade T
hoch K mal Wahrscheinlichkeit X gleich K.
Wir haben allgemein gelernt, der Erwartungswert einer Funktion G von X
ist gerade Summe der G von Wert mal Wahrscheinlichkeit des Wertes.
Also G von K mal Wahrscheinlichkeit X gleich K.
Und G ist hier nichts anderes als diese Potenzbildung, das heißt, Sie
sehen hier T hoch X, also sind es die Werte T hoch K, die
multipliziert werden.
Die erzeugende Funktion ist deutbar als so ein Erwartungswert.
Wir werden das gleich sofort benötigen, diese Deutung ist wichtig.
Beispiel.
Binomialverteilung, im Fall dieser Binomialverteilung ist das sehr
schön, nämlich in dem Fall ist die erzeugende Funktion gar keine echte
Potenzreihe, sondern nur ein Polynom, denn die Binomialverteilung
nimmt nur endlich viele Werte an, mit positiver Wahrscheinlichkeit.
Das heißt, ich habe Summe, die Werte gehen hier von 0 bis N, die
Wahrscheinlichkeit, dass der Wert angenommen wird, wissen wir, ist N
über K mal P hoch K mal 1 minus P hoch N minus K und dann steht noch T
hoch K.
Und hier sehen Sie natürlich, dass Sie wunderbar mit Exponenten
spielen können, nämlich vorne steht P hoch K, hinten steht T hoch K,
das ist P mal T hoch K, also steht da Summe N über K mal P mal T hoch
K mal 1 minus P hoch N minus K und jetzt verwenden Sie einfach die
binomische Formel, die sagt Ihnen, und das ist nichts anderes als 1
minus P plus P mal T in Klammern hoch N.
X plus Y in Klammern hoch N ist eben Summe N über K mal X hoch K mal Y
hoch N minus K.
Also das bedeutet, wir haben hier eine sehr schöne, einfache Formel
für die erzeugende Funktion einer binomialverteilten Zufallserhöhung.
So, wie sieht das aus bei einer zweiten wichtigen Verteilung,
Poissonverteilung mit Parameter Lambda?
Die Poissonverteilung nimmt jede nicht negative ganze Zahl mit
positiver Wahrscheinlichkeit an, also haben wir hier eine echte
Potenzreihe.
Also Gx von T, Summe K von 0 bis N endlich.
Echte Potenzreihe.
Jetzt kommen die Wahrscheinlichkeiten, X gleich K.
Was war das bei der Poissonverteilung?
Das war E hoch minus Lambda mal Lambda hoch K durch K-Fakultät, also
das ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert K annimmt, mal T hoch
K, nicht vergessen.
Auch hier ist es natürlich wunderbar, nämlich E hoch minus Lambda
können Sie gleich vor die Summe ziehen und dahinter können Sie
natürlich Lambda hoch K mal T hoch K zusammenpacken, Lambda mal T in
Klammern hoch K durch K-Fakultät und schon kommen Sie auf die
Exponentialreihe.
Das heißt, wir haben E hoch minus Lambda, das ist von vorne, können
wir ausklammern, und dann haben wir noch E hoch Lambda mal T.
Und jetzt können wir wieder mit Exponenten arbeiten, Produkt von
solchen Ausdrücken ist E hoch, Summe der Exponenten, was haben wir?
Lambda T minus Lambda, da können Sie Lambda ausklammern und da bleibt
nichts anderes über als E hoch Lambda mal T minus 1.
Und schon haben wir eine wunderbare Darstellung der erzeugenden
Funktion einer Poissonverteilten Zufallsvariante.
Machen wir noch ein drittes Beispiel, aber das würde ich Ihnen
empfehlen als Übungsaufgabe, nämlich die negative Binomialverteilung,
die enthält ja speziell die geometrische, wie wir wissen, für R gleich
1.
So, da kommt folgendes raus, das Gx von T ist hier dieser Ausdruck,
Sie sehen P dividiert durch 1 minus, 1 minus P in Klammern mal T, das
Ganze in Klammern hoch R, also in dem Bereich.
Wenn Sie das machen wollen, ist einfach ein Stichwort, ist eine
Übungsaufgabe, Stichwort, verwenden Sie die Binomialreihe, die hilft
hier.
Wir haben ja gesehen, die negative Binomialverteilung heißt negative
Binomialverteilung, wie wir schreiben können, mit minus R über K mal
irgendwas.
Und die müssen wir aufsummieren über die Ks.
Stichwort Binomialreihe, und dann sieht man auch sehr schnell, dass
das die Gestalt ist dieser erzeugenden Funktion.
Der Eindeutigkeitssatz, das ist das, was ich eben schon sagte, folgt
direkt aus dem Identitätssatz für Potenzreihen.
Wenn ich zwei Nullwertige Zufallsvariablen habe, nennen wir sie X und
Y, und die erzeugende Funktion sei G-Index X und G-Index Y, dann gilt,
nun, die beiden erzeugenden Funktionen sind gleich, genau dann, wenn
die Verteilungen gleich sind, dafür haben wir so geschrieben, X
-Schlange Y, das heißt mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit,
dass X den Wert K annimmt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Y den Wert
K annimmt für jedes K größer gleich 0.
Identitätssatz.
Also erzeugende Funktion bestimmt die Verteilung.
Ein zweiter Satz, Multiplikationsformel, die ist auch wichtig für
erzeugende Funktionen, was besagt die?
Ich habe wieder Zufallsvariablen, nennen wir sie X und Y, die seien
unabhängig, das ist wichtig.
Voraussetzung, unabhängige Zufallsvariablen, Nullwertig, und die
erzeugenden Funktionen seien wieder G-X und G-Y, und jetzt kommt die
Behauptung, dann gilt, die erzeugende Funktion der Summe X plus Y ist
nichts anderes als das Produkt der erzeugenden Funktionen dieser
beiden einzelnen Zufallsvariablen.
Das ist die Multiplikationsformel.
Woran liegt die Multiplikationsformel?
Ich habe oben ein bisschen Platz gelassen.
Ich kann mal ein Memo zeigen, an das wir uns jetzt erinnern sollten,
für den Beweis.
Nämlich, wenn X und Y unabhängig sind, sind auch Funktionen U von X
und V von Y stochastisch unabhängig.
Das haben wir früher gehabt bei der Unabhängigkeit.
Und zur Erinnerung, die erzeugende Funktion lässt sich schreiben als
Erwartungswert von T hoch X.
Und wir haben noch was gehabt.
Nämlich, wenn ich zwei unabhängige Zufallsvariablen habe, aus
didaktischen Gründen sind das jetzt andere Buchstaben, S und T, dann
ist der Erwartungswert des Produktes gleich dem Produkt der
Erwartungswerte.
Wir setzen natürlich immer voraus, dass die Erwartungswerte alle
existieren.
Das haben wir auch gehabt.
Multiplikationsformel für Erwartungswerte.
Das ist alles.
Der Beweis ist jetzt in einer Zeile.
T betracht kleiner gleich eins.
Dann kann ich sagen, die erzeugende Funktion von X plus Y an der
Stelle T ist ja nichts anderes als der Erwartungswert von T hoch X
plus Y.
Das ist die Darstellung im obersten Memo ganz rechts.
T hoch X plus Y ist T hoch X mal T hoch Y.
Also ist das der Erwartungswert T hoch X mal T hoch Y.
Mit X und Y sind auch Funktionen von denen unabhängig, also sind auch
T hoch X und T hoch Y unabhängig.
Und der Erwartungswert des Produktes dieser Unabhängigen ist Produkt
der Erwartungswerte.
Das ist die Multiplikationsformel für Erwartungswerte.
Und der erste Faktor ist die erzeugende Funktion von X und der zweite
ist die erzeugende Funktion von Y.
Das heißt, wir haben GX von T mal GY von T.
Das war die Multiplikationsformel.
Da muss ich nur im richtigen Augenblick an das erinnern, was man
vorher schon mal hatte.
Okay, also die werden wir gleich auch brauchen.
Sie sehen, ich starte mal mit einer Binomialverteilung und ich habe
das N hier so hervorgehoben.
X habe diese Binomialverteilung.
Dann wissen wir, das ist genau dann der Fall, wenn die erzeugende
Funktion dieser Ausdruck ist.
In dem Fall kann ich sogar sagen für alle T, denn es sind Polynomen.
Die Umkehrung von rechts nach links ist eben der Eindeutigkeitssatz.
Wenn ich das hier vorliegen habe, eine erzeugende Funktion, 1-P plus P
mal T hoch N, dann bekomme ich einfach durch Differentiation auch die
Wahrscheinlichkeiten alle raus.
Es ist so eine Binomialverteilung.
Genauso, Sie sehen ein Y, hier habe ich ein potenziell anderes M
hervorgehoben, hat die erzeugende Funktion auch diese Richtung mit
Satz 18.5.
Stellen Sie sich vor, die beiden seien stochastisch unabhängig, X und
Y.
Dann haben wir eben gesehen, die erzeugende Funktion der Summe ist das
Produkt.
Das heißt, wir wissen, G von X plus Y, T ist nichts anderes als das
Produkt.
Und jetzt schauen Sie sich die beiden erzeugenden Funktionen an, die
unterscheiden sich nur um diesen Exponenten.
Und wenn ich die multipliziere, addieren sich die Exponenten.
Das heißt, es kommt hier raus, 1-P plus P mal T in Klammern hoch M
plus N.
Aber das ist wieder nach dem Eindeutigkeitssatz die erzeugende
Funktion einer Binomialverteilung mit M plus N und P. Das ist jetzt
der Satz 18.6, das war die Multiplikationsregel, und Satz 18.5 ist der
Eindeutigkeitssatz, der besagt, X plus Y ist binomialverteilt mit M
plus N und P. Wir haben also mit Hilfe erzeugender Funktionen das
Additionsgesetz hergeleitet für die Binomialverteilung, was wir schon
mit der Faltungsformel hergeleitet hatten, und auch rein begrifflich
über Bernoulli-Ketten.
Wenn Sie so wollen, ist das jetzt der dritte Beweis.
Schauen Sie sich das mal an bei einer Poissonverteilung.
Da haben wir eben gesehen, wenn X Poissonverteilt ist, ist die
erzeugende Funktion von dieser Bauart E hoch, Parameter Lambda steht
im Exponenten, mal T minus 1.
Und wenn X negativ binomialverteilt ist mit R und P, ich erzähle das R
hervor, dann haben wir auch eine Darstellung, die sieht so aus, da
steht das R auch im Exponenten.
Stellen Sie sich vor, bei der Poissonverteilung, Sie hätten ein Y, was
unabhängig wäre von X, und eine Poissonverteilung mit µ hätte.
Nach der gleichen Regel oben, die erzeugende Funktion der Summe ist
das Produkt.
Sie haben hier einmal E hoch Lambda mal T minus 1 mal E hoch µ mal T
minus 1, das ist E hoch Lambda plus µ mal T minus 1.
Und das ist wieder die erzeugende Funktion einer Poissonverteilung mit
Lambda plus µ.
Also haben wir genauso das Additionsgesetz für die Poissonverteilung.
Schauen Sie auf die negative binomialverteilung, da steht das R im
Exponenten.
Wenn Sie ein anderes Y hätten, was auch negativ binomialverteilt wäre
und unabhängig von X mit S und P, dann würden Sie ja diese beiden
erzeugenden Funktionen multiplizieren und R und S addieren sich.
Und nach dem Eindeutigkeitssatz haben Sie sofort wieder eine negative
binomialverteilung mit R plus S und P. Das bedeutet, wir haben die
drei Additionsgesetze, die wir vorher schon hatten, für diese
Verteilung nämlich einmal, wenn X und Y unabhängig sind, einmal wenn
sie binomialverteilt sind, dann ist die Summe auch binomialverteilt
bei gleichem P, die anderen Parameter addieren sich, M und N.
Bei der Poissonverteilung, wenn wir X haben mit dieser
Poissonverteilung, Y mit der, unabhängig wieder, dann addieren sich
auch die Parameter bei der negativen Binomialverteilung genauso.
R und P und S und P, dann hat die Summe auch wieder eine negative
Binomialverteilung mit R plus S und P. Das heißt, die drei
Additionsgesetze, die wir vorher hatten, die wir auch begrifflich
eingesehen haben, zumindest bei der negativen Binomialverteilung haben
wir es auch begrifflich eingesehen, weil wir gesagt haben, einmal, das
ist die Zahl der Nieten vom Erdentreffer, einmal die Zahl der Nieten
vom S-Treffer, ich kann aber sagen, ich nehme die Zahl der Nieten vom
Erdentreffer, dann habe ich den Erdentreffer und dann warte ich
weiter, S weiteren Nieten, dann betrachte ich das insgesamt.
Das haben wir auch eingesehen.
So, jetzt kommt das Glanzlicht bei erzeugenden Funktionen, nämlich
Augensummenverteilung beim mehrfachen Würfelwurf.
Sie kennen die Augensummenverteilung beim zweifachen Würfelwurf, die
haben wir mal gesehen, das Stabdiagramm war so eine
Dreiecksverteilung, 7 war am wahrscheinlichsten, und vielleicht hatten
Sie sich mal beschäftigt mit der Augensummenverteilung beim dreifachen
Würfelwurf, das ist schon komplizierter.
Wir werden jetzt mit Hilfe erzeugender Funktionen eine geschlossene
Formel herleiten, für die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim N-maligen
Werfen eines Würfels eine ganz bestimmte Augensumme haben.
Also Sie werfen einen echten Würfel 124 Mal, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 218 ist?
Exakte Formel.
Oder Sie haben keinen echten Würfel, Sie nehmen vielleicht so etwas
wie einen Tetraeder, der hat also vier gleichwahrscheinliche Seiten,
eine landet immer unten, das heißt, Sie haben einen vierseitigen
Würfel in Gänsefüßchen.
Das heißt, wir machen das sogar allgemeiner.
Das bedeutet, x1 bis xn seien unabhängig und jeweils gleich verteilt
auf den Werten von 1 bis s, s ist mindestens 2, beim Würfel ist s
gleich 6, beim Tetraeder wäre s gleich 4.
Sie können geometrisch auch zum Beispiel einen Dodekaeder betrachten,
das ist so ein Zwölfflächner, also Sie schreiben die Zahlen von 1 bis
12 drauf und werfen.
Alles gleich wahrscheinlich, wäre s gleich 12.
Also Sie sehen schon hier einen Grad von Allgemeinart, der über den
Würfel weit hinausgeht.
Welche Verteilung besitzt sn und sn ist die Augensumme?
Wir werden Sie jetzt herleiten, und zwar mit erzeugenden Funktionen.
Das, was wir brauchen, ist nur die geometrische Reihe und die
binomiale Reihe, sonst brauchen wir nichts.
Wie gehen wir vor?
G von t sei die erzeugende Funktion von x1.
Also ein Wurf, da sind die Zahlen von 1 bis s gleich wahrscheinlich.
Die erzeugende Funktion heißt immer Summe, die Wahrscheinlichkeit,
dass der Wert angenommen wird, das ist immer 1 durch s, ich kann 1
durch s nach vorne ziehen, mal t hoch k, k läuft hier von 1 bis s.
Das bedeutet, ich kann 1 durch s rausziehen und dann habe ich t plus
t² und so weiter plus t hoch s.
Der Wert 1 kann angenommen werden, t hoch 1, t hoch 2 und so weiter
bis s.
Das heißt, die erzeugende Funktion eines einzelnen Summan ist dieser
Ausdruck.
Wenn man das erst mal eingesehen hat, sieht man, ich kann den t
ausklammern, das heißt, ich habe 1, also nach der Multiplik...
Entschuldigung, wir machen erst mal was anderes.
Jetzt kommt die Multiplikationsformel, die besagt, ok, das Sn ist eine
Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen und die
Multiplikationsformel gilt natürlich nicht nur für zwei Summanen,
sondern induktiv für endlich viele.
Das heißt, die erzeugende Funktion von Sn ist nichts anderes als das
Produkt dieser erzeugenden Funktion.
Das ist immer die gleiche, das heißt, es ist nichts anderes als die n
-fache Potenz, Multiplikationsregel.
Also, ich habe GSn von t, das ist nichts anderes als dieses G von t in
Klammern hoch n.
Jetzt setze ich ein, das habe ich, s ist da, das heißt, ich habe 1
durch s hoch n und jetzt muss ich das andere noch hoch n nehmen, das
heißt, ich habe t plus t² und so weiter plus t hoch s hoch n.
Das heißt, ich habe schon die erzeugende Funktion.
Leider habe ich noch nicht die richtige Darstellung.
Ich möchte eine Summe haben, Summe K von allgemein 0 bis unendlich,
geht natürlich nicht von 0 bis unendlich, denn die Augensumme beim n
-fachen Würfelwurf ist mindestens n und höchstens s mal n.
Das heißt, nur die Werte können angenommen werden.
Aber ich möchte gerne ein Polynom haben, wobei hinten steht t hoch K.
Und dann lese ich den Vorfaktor ab, darauf will ich hinaus.
Das heißt, alles dreht sich jetzt darum, rein analytisch dies
umzuformen.
So, wie machen wir das?
Nun, 1 durch s hoch n kann ich nach vorne ziehen.
Jetzt sehen Sie, ich kann ein t ausklammern.
Aus dieser Klammer und dann habe ich hoch n, das heißt, ich habe ein t
hoch n ausgeklammert.
Was dann überbleibt ist 1 plus t und so weiter plus t hoch s minus 1,
also diese Summe in Klammern hoch n.
Das ist der allererste Schritt.
So, diese endliche Summe, da gibt es aber einen geschlossenen Ausdruck
für, wenn t ungleich 1 ist, das ist also t hoch n durch s hoch n, Sie
sehen, ich habe das t hoch n über den Bruch geschrieben, und dann ist
das nichts anderes als t hoch s minus 1 dividiert durch t minus 1,
natürlich hoch n muss ich das nehmen, wenn t ungleich 1 ist.
Auf die Stelle 1 kommt es nicht an, das Entscheidende ist ja nur, ich
muss es in der Umgebung von 0 haben, denken Sie an potenzfrei, in dem
Fall ist es nur ein Polynom.
Das ist das Erste.
Wir haben hier eine Summenformel ausgenutzt, die Sie kennen vom ersten
Studienjahr her.
Nun, was machen wir jetzt?
Wir nehmen t hoch n, dividiert durch s hoch n, und jetzt sehen Sie,
haben Sie t minus 1 hoch n, das schreibe ich mal, also ich schreibe es
als t minus 1 hoch minus n, und dann haben wir eben t hoch s minus 1
hoch n.
Das Letzte müsste ich mit der binomischen Formel ausrechnen, das mache
ich gleich, und das Erste führt auf die Binomialreihe.
Das heißt, ich habe t hoch n durch s hoch n, und hier klammere ich mal
minus 1 aus, also ist das 1 minus t hoch minus n, ich habe aus dem t
minus 1 ein 1 minus t gemacht, also muss ich multiplizieren mit minus
1 hoch n, damit das wieder stimmt.
Und was mache ich hinten?
Aus dem t hoch s minus 1 mache ich ein 1 minus t hoch s hoch n, also
muss ich wieder den Faktor minus 1 hoch n haben, um das wieder
auszugleichen.
Sie sehen, minus 1 hoch n mal minus 1 hoch n ist jetzt minus 1 hoch 2,
und das ist 1.
Also die minus 1 kann ich jetzt vergessen.
Okay, t hoch n.
Nun, das Erste ist natürlich die Binomialreihe.
1 minus t hoch n ist genau dieser Ausdruck, ich habe ihn gleich so
hingeschrieben, also nicht mit dem Minus in dem Binomialkoeffizient,
sondern so, wie wir ihn auch zuerst kennengelernt haben, als wir die
negative Binomialverteilung eingeführt haben.
Also das ist die Binomialreihe.
Und bei dem letzten 1 minus t hoch s in Klammern hoch n habe ich
einfach die binomische Formel, Summe i von 0 bis n, minus 1 hoch i mal
n über i mal t hoch i mal s.
Also t hoch s hoch i.
t hoch i mal s.
Nur die binomische Formel.
Sie sehen, der Vorteil dieser Darstellung ist schon, ich habe Potenzen
von t.
Ganz vorne steht t hoch n, in der Mitte steht t hoch j, hinten steht t
hoch i mal s.
Und jetzt muss ich das Ganze nur noch ein bisschen bearbeiten und bin
fertig.
Ich schreibe das mal als Memo hin, diese letzte Darstellung.
Das heißt, das ist nichts anderes als dieser Ausdruck, den wir gerade
hatten.
Okay, und was mache ich jetzt?
Ich nehme mal das 1 durch s hoch n, das bleibt.
Dann nehme ich diese Summe, j von 0 bis unendlich.
Und dann nehme ich diese zweite Summe, i von 0 bis n, minus 1 hoch i,
n über i.
Und Sie sehen, die t fasse ich alle zusammen.
Vorne habe ich t hoch n, dann t hoch j, dann t hoch i mal s.
Also ist das t hoch n plus i mal s plus j.
Ich schreibe es also in dieser Form.
Und das ist schon fast, was ich haben will.
Es ist natürlich jetzt noch ein bisschen blöd mit der Doppelsumme.
Ich möchte gerne dort oben den Exponenten k haben.
Also führe ich einfach mal den Exponenten k ein.
Das heißt, der Wunsch ist natürlich, das soll sein, Summe k von 0 bis
unendlich, Wahrscheinlichkeit s n gleich k mal t hoch k, das ist das
Ziel.
Und dann lese ich natürlich vor dem t hoch k ab.
Und das sind genau meine Wahrscheinlichkeiten, die ich suche.
Ich muss wissen, wo ich hin will.
Ich setze einfach mal k gleich n plus i mal s plus j.
Dieser Exponent da in der zweiten Zeile ganz rechts.
Nun, ich kann auf die Art und Weise die Summe über j jetzt anders
schreiben.
Nämlich, das ist genau dann der Fall, ich löse mal nach dem j auf.
Genau dann der Fall, wenn j gleich k minus n minus i mal s ist.
Wo taucht das j auf?
Das j taucht auf in dem Binomial-Koeffizient n plus j minus 1 über j.
Also insbesondere, ich ersetze jetzt das j.
Dieses n plus j minus 1 über j ist dann k minus i s minus 1.
Setzen Sie einfach für das j ein, dann hebt sich das n weg.
Ist ja k minus n, vorne steht n, hebt sich das n weg.
Bleibt über k minus i s minus 1 und für das j direkt eingesetzt haben
Sie k minus i s minus n.
Das Entscheidende ist, aufgrund der Symmetrie der Binomial
-Koeffizienten, Stichwort paschalsches Dreieck, ist das nichts anderes
als k minus i s minus 1 über n minus 1.
Wie man unschwer sieht, Sie müssen also die beiden unteren Teile der
beiden Binomial-Koeffizienten addieren, dann kommen Sie genau auf das,
was da oben steht.
Man kann ja beim Binomial-Koeffizienten nicht von Zähler und Nenner
sprechen, aber es gibt was oben und es gibt was unten.
Jetzt schauen Sie sich den Binomial-Koeffizienten an.
Der ist natürlich null, wenn das, was oben steht, kleiner ist als das,
was unten steht.
Das heißt, das k minus i s minus 1 muss mindestens n minus 1 sein,
damit da was Positives rauskommen kann.
Und das können Sie auflösen, das ist genau dann der Fall, wenn i mal s
kleiner gleich k minus n ist.
Dann bringen wir das n rüber, die minus 1, die heben Sie schon weg.
Und das Entscheidende ist, ich möchte hier eine Ungleichung für i
haben.
Das i ist dann kleiner gleich k minus n durch s, genau dann, wenn...
und da i ganzzahlig ist, kann ich sagen kleiner gleich Gauss-Klammer.
Also wenn k minus n durch s keine ganze Zahl ist, ist ja kleiner
gleich und es ist nur ganzzahlig, also kann ich Gauss-Klammer
schreiben.
Wir sehen, das i ist dann höchstens so groß, damit dieser letzte
Binomial -Koeffizient auf jeden Fall positiv sein kann.
Jetzt sollte man Folgendes noch beachten.
Das k als mögliche Augensumme ist immer größer gleich n.
Das ist der Extremfall, wenn jeder Würfel die 1 zeigt.
Und maximal n mal s, wenn jeder Würfel die s zeigt.
Die Seiten sind ja von 1 bis s beschriftet.
Andernfalls ist eben die Wahrscheinlichkeit 0.
Das heißt, Sie sehen, das k läuft gar nicht von 0 bis unendlich in der
dritten Zeile, sondern nur von n bis n mal s.
Das heißt, wir erhalten Folgendes.
Gsn von t ist eine Summe, die geht von n bis n mal s.
So, jetzt setzen wir ein.
Dieses n plus j minus 1 über j haben wir ersetzt.
Also die zweite Summe noch von i, die geht jetzt von 0 bis dahin.
Haben wir gesehen, weiter kann die nicht gehen.
Jetzt setzen wir ein.
Dieser Binomial-Koeffizient ist jetzt k minus is minus 1 über n minus
1 geworden.
Was haben wir noch in dieser zweiten Zeile?
Wir haben noch ein minus 1 hoch i.
Dann haben wir noch den Binomial-Koeffizienten n über i, den dürfen
wir nicht vergessen.
Und dann haben wir 1 durch s hoch n, das habe ich von ganz vorne, vor
der ersten Summe, das habe ich jetzt nach hinten gezogen.
Und dann habe ich noch ein t hoch k.
Und Sie sehen jetzt wunderbar, wir haben eine Summe k von n bis n mal
s und jetzt haben wir so einen komischen Ausdruck, so eine Summe.
Der hört also irgendwann vor t hoch k auf.
Das ist unsere Wahrscheinlichkeit.
Wir haben den Koeffizienten identifiziert und wir sehen sofort, dieser
Koeffizientenvergleich besagt, wir können zeigen,
Augensummenverteilung beim einfachen Würfelwurf, wenn die stochastisch
unabhängig sind und jeweils gleich verteilt auf diesen Werten von 1
bis s.
Und sn ist die Augensumme, ich wiederhole das, was wir am Anfang
hatten.
Dann gilt, die Wahrscheinlichkeit, dass sn den Wert k annimmt, ist
exakt dieser Ausdruck.
Und hier läuft k von n bis n mal s, ansonsten ist die
Wahrscheinlichkeit null.
Sie sehen also, über erzeugende Funktionen haben wir für etwas, wo Sie
von Anfang an gesagt hätten, wie soll ich die Verteilung der
Augensumme beim 124-maligen Werfen eines echten Würfels überhaupt
rauskriegen, wenn ich mich schon angestrengt habe, überhaupt für den
dreifachen Würfelwurf irgendwas rauszubekommen.
Erzeugende Funktion.
Sie können jetzt, wenn Sie wollen, Maple anwerfen.
Ich zeige Ihnen mal ein Bild.
Das wäre die Verteilung der Augensumme beim 5-fachen Würfelwurf, jetzt
ganz normaler Würfel.
Das heißt, es kann theoretisch der Wert 5 rauskommen, aber das ist so
unwahrscheinlich, dass man hier kaum was sieht.
Ich glaube, bei 5 sieht man jetzt, hier ist ein bisschen was blau
aufgepeppt.
Bei 6, Augensumme 6, auch noch nichts.
Bei 7 geht es so langsam los.
8, 9, 10.
Also erstmal sollte man sagen, 5-facher Würfelwurf pro Wurf, 3,5, der
Erwartungswert.
Der Erwartungswert der Augensumme ist 5 mal 3,5, das ist 17,5.
Das würde ich als Erwartungswert haben.
Das heißt, es steigt natürlich an.
15, 16, 17, 18.
Oh, Sie sehen auch eine Symmetrie, da fällt es ab.
Der Erwartungswert ist genau der Schwerpunkt 17,5.
Die Werte 17 und 18 sind gleich wahrscheinlich.
Wir sehen ein glockenförmiges Diagramm.
Wir werden später einen Satz kennenlernen, der im Grenzwert
endgegenunendlich, wenn wir hier standardisieren, wir ziehen den
Erwartungswert ab und teilen durch die Standardabweichung, dann sehen
wir im Limes eine ganz berühmte Verteilung, nämlich die
Standardnormalverteilung.
Das ist ein ganz berühmter Grenzwertsatz.
Das heißt, Sie sehen hier eine konkrete Darstellung der
Augensummenverteilung beim 5-fachen Würfelwurf.
Ich möchte noch Folgendes thematisieren, kurz.
Erzeugende Funktionen und Momente.
Was meine ich damit?
Sie können mit erzeugenden Funktionen sehr einfach
Erwartungswertvarianz, aber auch sowas wie e von x hoch 3, e von x
hoch 4 bestimmen, wie folgt.
Wenn ich eine Nullwertige Zufallsvariable habe und habe eine
natürliche Zahl r, dann sind folgende Aussagen äquivalent, das ist
erstmal wichtig, dieser Erwartungswert existiert, Sie sehen x mal x
minus 1, bis Sie r Faktoren haben.
Für r gleich 1 wäre das e von x, für r gleich 2 wäre das e von x mal x
minus 1.
Genau dann, wenn die linksseitige r-te Ableitung der erzeugenden
Funktion an der Stelle 1 existiert, die linksseitige Ableitung.
Wir nähern uns also von links.
Im Fall der Existenz ist eben dieser Erwartungswert genau diese
linksseitige Ableitung.
Der Beweis ist nichts anderes als der abelsche Grenzwertsatz aus der
Analyse.
Nämlich der Beweis läuft so ab, dieser Erwartungswert existiert da
oben, genau dann, wenn die Summe, Sie sehen Sie müssen jetzt die Werte
nehmen, k mal k minus 1, bis k minus r plus 1, mal diese
Wahrscheinlichkeit, das muss ein endlicher Wert sein.
Das ist genau die Existenz des Erwartungswertes.
Das Erwartungswert einer Funktion einer Zufallsvariante existiert.
Das ist also Teil A.
Das ist genau dann der Fall, jetzt führen Sie, ich habe das Gleiche
hingeschrieben, ich führe nur t hoch k minus r ein, insofern habe ich
jetzt die r-te Ableitung der erzeugenden Funktion an der Stelle t.
Diese Potenzreihe konvergiert für t gleich 1.
Nämlich wenn ich t gleich 1 einsetze, habe ich genau das, was oben
ist.
Das heißt sie konvergiert im rechten Endpunkt des
Konvergenzintervalls.
Und das ist hier nichts anderes als die r-te Ableitung der erzeugenden
Funktion an der Stelle t.
Und das ist eben gleichbedeutend mit b und das ist der abelsche
Grenzwertsatz.
Das heißt, Sie sehen, Sie können mit erzeugenden Funktionen solche
Erwartungswerte ausrechnen, und wenn wir uns das im Spezialfall mal
ansehen, das ist hier die Formel, das ist also wichtig, der
Erwartungswert, da haben Sie r gleich 1, ist nichts anderes als die
linksseitige Ableitung.
Wenn ich r gleich 2 setze, habe ich das, das ist die zweite Ableitung.
Aus den beiden kann ich aber auch die Varianz ausrechnen.
Zum Beispiel die Varianz wissen wir, ist e von x² minus e von x in
Klammern zum Quadrat.
Und diesen Trick hatten wir auch schon, e von x mal x minus 1 plus e
von x minus e von x in Klammern zum Quadrat.
Und die drei Größen drücken sich aus mit den Ableitungen.
Also habe ich zweite Ableitung an der Stelle 1, ich spreche nicht mehr
von linksseitig, in den Beispielen, die wir haben, ist die Funktion
auch differenzierbar, sodass ich das linksseitig weglassen kann.
Plus erste Ableitung, minus erste Ableitung zum Quadrat.
Das wäre dann die Varianz.
Und das wäre zum Beispiel dann der nächste Fall, und das ist nichts
anderes als die dritte Ableitung an der Stelle 1.
Hieraus kann ich dann zum Beispiel auch e hoch x hoch 3 ausrechnen,
indem ich hier die Linearität des Erwartungswertes ausnutze.
Sie kommen also auch an höhere Momente mithilfe der erzeugenden
Funktion und so weiter.
Gut.
Ja, machen wir an dieser Stelle Schluss.
Ich bedanke mich für die Aufmerksamkeit.