Guten Morgen an alle, Sie sehen einen weiten Schnitt, eine kurze
Summe.
In der letzten Lektion haben wir gelernt, wie man einen randomen
Vektor So geht es.
Wir haben mit einer Probabilitätsmessung auf dem Sigma-Feld des Borel
-Satzes im nuklearen Raum der Dimension K angefangen Und dann haben
wir einen Markov-Körner P sub 1,2 aus dem nuklearen Raum der Dimension
K zur Dimension L Und dann haben wir einen randomen Vektor konstruiert
Das ist also die Existenz, ein k-dimensionales randomes Vektor Z und
ein l-dimensionales Vektor X so dass, wenn wir unsere
Probabilitätsmessung P sub 1 mit diesem Markov-Körner machen, wissen
wir, dass wir jetzt eine Probabilitätsmessung auf dem Sigma-Feld des
Borel -Satzes haben im nuklearen Raum der Dimension K plus L Das ist
nichts anderes als die gemeinsame Distribution von Z und X Also haben
wir diese randomen Vektoren mit der Identitätsmessung auf dem
nuklearen Raum der Dimension K plus L Und dann haben wir gesehen, dass
dieses P1 nichts anderes als die marginale Distribution von Z ist und
der Markov-Körner ist dieses P wo man den Superskript X sieht und den
Subskript Z und das nennen wir die konditionale Distribution von X
gegebenenfalls der Vektor Z Also war das eine triviale Konstruktion in
irgendeinem Sinne Auf der anderen Seite gab ich euch ein Theorem Sagen
wir, dass ihr einen arbitraren Wahrscheinlichkeitsraum habt und wir
haben ein Mapping Z von Omega zu der Dimension K und ein Mapping X zu
der Dimension L also randomen Vektoren Das sind messbare Mappungen
Dann kann die gemeinsame Distribution von Z und X abgebildet werden
Manche sagen, dass sie abgebildet werden nach dem Also seht ihr die
gemeinsame Distribution und das kann geschrieben werden in Bezug auf
die marginale Distribution von Z und jetzt seht ihr diesen Markov
-Körner welcher wie zuvor
seht ihr das ist eine Funktion die zwei Argumente hat Das erste
Argument sind die kleinen Z die zu der Euclidean-K-Spitze gehören und
das zweite Argument sind Borel-Sätze in der Euclidean-Spitze der
Dimension L Das ist ein Markov-Körner von einem RK mit Borel-Sätzen in
der Euclidean-Spitze der Dimension L und dieser Markov-Körner Die Z
-Distribution ist wie zuvor die Z-Distribution der x-Distribution
genannt.
Für eine fixierte Z-Distribution sehen Sie die kleine Z-Distribution
in Rk.
Diese Wahrnehmungsmaßnahme ist nichts anderes als diese Z
-Distribution.
Sie sehen, das erste Argument, die kleine Z-Distribution, ist auf eine
andere Art geschrieben.
Jetzt stressen wir, dass dies eine Wahrnehmungsmaßnahme ist, auf dem
Sigma -Feld von Borel-Sätzen in Rk.
Und dies nennt sich die zentrale Z-Distribution, wenn das oder die Z
-Distribution eine kleine Z-Distribution ist.
Das war der Theorem.
Und jetzt werden wir diesen Theorem in einem wichtigen, speziellen
Fall prüfen.
Sie sehen jetzt schon den Satz, was ich gerade andeutete.
Wir werden konkret so eine bedingte Verteilung konstruieren.
In der Situation, dass der Zufallsvektor aus den Komponenten Z und X,
die selbst wieder Zufallsvektoren dann sind von gewissen Dimensionen,
dass eine gemeinsame Dichte existiert.
Das ist also jetzt der Punkt.
In dem Satz, den wir eben hatten, besitze jetzt dieser Zufallsvektor
eine Dichte f.
Und Sie sehen, da ist ein Produktmaß µ kreuz µ.
Ich muss sagen, was das für Maße sind.
Das seien sigma-endliche Maße, einmal µ und einmal µ.
Und zwar worauf?
Das µ auf den Borellmengen des R hoch K und das µ auf den Borellmengen
des R hoch L.
Man sollte erst mal sehen, dass das eine recht allgemeine Situation
ist.
Insbesondere können µ und µ jeweilige Borellwegmaße sein.
Es kann aber auch sein, dass µ oder µ oder auch beide diskrete Maße
sind.
Entschuldigung, nicht diskrete Maße, genauer Zählmaße.
Das heißt, wir haben dann diskrete Verteilungen vorliegen oder
Kombinationen davon.
Man stellt sich vor µ ist ein Zählmaß und µ ist das Borellwegmaß oder
umgekehrt.
Jetzt machen wir Folgendes.
Ich definiere eine Funktion f1 von Z.
Was ich mache, ist einfach Folgendes.
Ich integriere über den R hoch L.
Ich nehme jetzt diese Dichte Fr, die da oben steht.
Die hat zwei Argumente, nämlich klein Z und klein X.
Und die wird jetzt integriert.
Sie sehen vorne Z ist festbezüglich X.
Und da habe ich eben dieses Maß µ, µdx.
Das kann ich machen für jedes Z aus dem R hoch K.
Und so erhalte ich die marginale Dichte von Z.
Dahinter steht jetzt also nichts anderes als der Satz auch von Tunnel.
Das bedeutet, je nachdem was das µ ist, ist das ein normales Lebesgue
-Integral oder vielleicht ist es auch einfach nur eine Summe, wie wir
das in der Einführungsvorlesung auch schon gehabt haben.
Das ist jetzt eben nur allgemein maßtheoretisch formuliert.
Also solche Bildung haben wir schon gehabt.
Marginalverteilungsbildung sowohl für Dichten, also wenn wir
integriert haben bezüglich des Borrel-Lebesgue-Maßes, als auch schon
ganz früh in der Einführungsvorlesung, als wir Summen gebildet haben.
Da haben wir einfach so eine gemeinsame Verteilung auch
veranschaulicht in so einer Matrix, die gemeinsamen
Wahrscheinlichkeiten und haben dann Spalten oder Zeilensummen
gebildet.
All das ist hier jetzt nur sehr allgemein formuliert.
Die marginale Dichte.
So, was wir jetzt machen, wir nehmen uns noch eine Funktion her.
Wir werden gleich sehen, warum.
Die ist eigentlich überflüssig, aber die benötigen wir, damit das, was
wir vorher gemacht haben, auch dann komplett erfüllt ist.
Wir werden es gleich sehen.
G0, eine Funktion auf dem R auf L, nicht negative Werte, eine
beliebige, das ist hier wichtig, messbare Funktion.
Und die soll nur die Eigenschaft haben, dass sie zu 1 aufintegriert.
Also sie haben eine Wahrscheinlichkeitsdichte.
Das bedeutet bezüglich Nu, G0 ist nichts anderes als eine
Wahrscheinlichkeitsdichte.
Wir werden gleich sehen, wofür wir die brauchen.
Okay, jetzt mal Folgendes.
Wir sehen hier einen Strich in der Mitte, sehen eine Funktion F, jetzt
sehen Sie ein X und dann einen Strich und dann ein Z.
Dieser Strich ist das, was wir früher schon gehabt haben, so ein
Bedingungsstrich für bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Jetzt wollen wir eine bedingte Dichte konstruieren.
Also stellen Sie sich vor, das F wäre ein B und das X wäre ein A und
ein großes A und das Z wäre ein großes B.
Dann hat das hier so eine Analogie von der Beschreibung her wie eine
bedingte Wahrscheinlichkeit, P von A unter der Bedingung B.
Das haben wir damals gemacht, wir haben Quotienten gebildet.
Nämlich oben stand nichts anderes als P von A geschnitten B.
Das ist jetzt die gemeinsame Dichte, F, Z, X.
Jetzt diffidieren wir, damals war es P von B, jetzt ist nichts anderes
als diese marginale Dichte, die wir oben eingeführt haben.
Das können wir natürlich nur dann machen, wenn F1 von Z positiv ist,
denn durch 0 dürfen wir nicht teilen.
Wenn aber F1 von Z 0 ist, dann nehmen wir dieses G0 von X.
Völlig beliebig.
Wir werden sehen, das machen wir nur auf einer Nullmenge.
Das Entscheidende ist ja, wenn das F1 von Z, da haben wir ein ganzes
Integral, ein Integral verschwindet.
Wir werden sehen, dass es auf diese Menge nicht ankommt.
Man nennt das eine sogenannte bedingte Nulldichte von X unter Groß-Z
gleich Klein-Z.
Also wir machen im Grunde etwas, was wir ganz analog zu bedingten
Wahrscheinlichkeiten gemacht haben in der Einführungsvorlesung.
So, dann definiert, jetzt sehen Sie schon, die Bezeichnung für so eine
bedingte Verteilung von X unter der Bedingung Groß-Z gleich Klein-Z
von B.
Was machen wir jetzt?
Wir integrieren über B und wir integrieren jetzt diese Dichte, die wir
eben eingeführt haben, F1 von X, unter der Bedingung Z.
Genüge X, das können wir machen für jedes Z aus dem R auch K.
Das ist jetzt das Entscheidende.
Wir können es für jedes Z machen.
Wir können es auch für die Z machen, für die oben F1 von Z Null ist.
Und da haben wir nämlich das G0 von X eingeführt.
Wir benötigen für jedes Klein-Z ein Wahrscheinlichkeitsmaß, damit wir
einen Markov-Kern bekommen, eine Übergangswahrscheinlichkeit.
So, B beliebig, eine beliebige Borellmenge im R auch L definiert das
hier eine bedingte Verteilung von X unter der Bedingung Groß-Z gleich
Klein -Z.
Also eine ganz konkrete Vorschrift, was man macht, wenn man mit einer
gemeinsamen Dichte startet.
Okay, Achtung.
Das G0 wird nur benötigt, sagte ich eben schon, damit für jedes Klein
-Z ein Wahrscheinlichkeitsmaß entsteht von dieser Power Art.
Also auch für die Z mit F1 von Z gleich Null.
Der Beweis.
Was müssen wir uns überlegen?
Erstmal die rechte Seite, die wir da haben, die ist integral, die
rechte Seite von Acht Acht, ist bei festem Z ein
Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Borellmengen des R auch L.
Das heißt, wir haben die beiden Fälle, nehmen wir erst den Fall mit
dem G0 von X.
Wenn F1 von Z gleich Null wäre, würde integriert werden über die
Dichte G0, das ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wir erhalten ein
Wahrscheinlichkeitsmaß.
Aber auch in dem ersten Fall, wo wir den Quotienten haben, denn wenn
F1 von Z größer Null ist, schauen Sie sich den Quotienten an, wenn Sie
jetzt integrieren über X, der Nenner ist konstant, F1 von Z.
Und den Zähler erhalten Sie beim Integral über X.
Das, was wir da oben in der zweiten Pfeile haben, da erhalten Sie F1
von Z.
Das heißt, der Zähler integriert sich auch zu 1 auf.
Wir haben auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Wir haben gerade nummiert durch F1 von Z geteilt.
Das ist der Punkt.
Wir haben auf jeden Fall ein Wahrscheinlichkeitsmaß.
Bei festem B haben wir aber auch nach allgemeinen Sätzen jetzt der
Maßtheorie eine messbare Funktion von Z.
Kann man sich mal in einer ruhigen Minute überlegen.
Also wir haben auch eine messbare Funktion von Z bei festem B.
Muss man jetzt Rechenregeln über messbare Funktionen auf Quotienten,
dann haben wir eben auf einer Menge, die auch wieder messbar ist, dort
eine Funktion G0 von X definiert, da dort also im Grunde was konstant
gesetzt.
So, wir zeigen folgendes.
Wir müssen wissen, was wir zeigen müssen.
Für beliebige Mengen, Borellmengen A im R auf K und B im R auf L gilt,
sodass hier die gemeinsame Verteilung und zwar auf dieser
Rechteckmenge mit anderen Worten die Wahrscheinlichkeit, dass der
Zufallsvektor Z in die Menge A fällt und zugleich, dass X in die Menge
B fällt, lässt sich schreiben als Integral über A und jetzt kommt das,
was in 8.8 steht, diese bedingte Verteilung von X unter der Bedingung
Groß -Z gleich Klein-Z für die Borellmenge B und dann wird integriert
bezüglich Z.
Das müssen wir zeigen und dann sind wir fertig, weil eben die
gemeinsame Verteilung eindeutig bestimmt ist durch die Werte auf
diesen Rechteckmengen.
Wenn man sich das überlegt hat, sehen wir uns das an, nochmal Memo,
was wir zeigen müssen, das muss rauskommen für beliebige Borellmengen.
Da sehen wir uns ein zweites Memo an, dass wir uns noch erinnern, was
war also diese bedingte Dichte.
Sie war definiert einmal als der Quotient gemeinsamer Dichte dividiert
durch marginale Dichte von dem Vektor Z unter der Bedingung, dass F1
von Z positiv ist.
Ansonsten hatten wir diese Funktion G0 gehabt, G0 von X sonst.
Das war hier definiert und F1 von Z war das Integral, haben wir über
den ganzen L integriert, die gemeinsame Dichte F von ZX und dann
integriert bezüglich X, bezüglich dieses Maßes Null, also das als
Erinnerung.
So, jetzt rechnen wir das mal aus.
Was ist das hier?
Das ist die gemeinsame Verteilung auf einer ausgewertet, für eine ganz
bestimmte Menge.
Die gemeinsame Verteilung, das war unser Startpunkt, hat eine Dichte
bezüglich des Produktmaßes Null, Kreuz Null.
Also können wir das so schreiben.
Integral F über diese Menge.
So, jetzt wissen wir nach dem Satz von Tonelli, F ist nicht negativ,
wir können iteriert integrieren.
Das bedeutet, wir können erstmal ein Integral über A bilden, dann ein
Integral über B und jetzt setze ich einfach bei dem F nur noch die
Argumente ein.
Die Argumente sind Z und X.
Das heißt, ich habe hier F von Z und X und dann integrieren wir hier
bezüglich Null, innen und außen bezüglich Null.
Das heißt, so können wir das nachsetzen, wie wir es in der Maßtheorie
machen.
Jetzt sehen wir uns das mal an.
Schauen Sie sich mal den Integranten an, in der eckigen Klammer.
Wenn der Null ist, dann brauchen wir natürlich, über den Bereich
brauchen wir nicht zu integrieren, wo der Integrant Null ist.
Wo ist der Integrant Null?
Schauen Sie sich an, wie dieses F1 von Z hier oben definiert war.
Da wird über den ganzen R hoch L integriert.
Wenn F1 von Z Null ist, ist auf jeden Fall dieser Integrant, da wird
nur über B integriert, auch Null.
Das heißt, über den Bereich, wo F1 von Z Null ist, brauchen wir gar
nicht integrieren.
Wir können sofort sagen, ich integriere nur über den Teil von A, wo
auch noch F1 strikt positiv ist.
Das bedeutet, ich integriere nur über den Bereich, was ich gerade
sagte, diejenigen kleinen Omega, die in A liegen und zugleich, die
kleinen Z muss ich hier sagen, die in A liegen und zugleich F1 von Z
strikt positiv ist.
Dann kann ich natürlich Folgendes machen.
In dem Fall sehe ich mir die Definition an von dieser bedingten Dichte
und jetzt kann ich natürlich diese gemeinsame Dichte schreiben, wenn
Sie in diesen ersten Teil der Definition gehen, als Produkt.
Ich kann das F1 von Z hochbringen und sehe, die gemeinsame Dichte ist
eben die bedingte Dichte F von X unter der Bedingung Z mal F1 von Z.
Und das schreibe ich jetzt.
Ich nehme erstmal Integral über B.
Jetzt schreibe ich das.
Den Teil F1 von Z, den kann ich rausziehen.
F1 von Z µ Z.
Im inneren Integral wird natürlich integriert bezüglich X.
Ich kann es so schreiben.
Jetzt sieht man in der eckigen Klammern, das ist nichts anderes, so
haben wir das eingeführt.
Das ist diese bedingte Verteilung von X unter der Bedingung Groß Z
gleich Klein Z von B.
Das war aber definiert, diese Größe, die da jetzt im Blau steht,
definiert für jedes Z.
Jetzt sieht man sofort, naja, da hinten steht das F1 von Z.
Ich kann das jetzt aber wieder rückgängig machen.
Nämlich, wenn F1 von Z gleich 0 ist, dann integriere ich hier
natürlich über die 0, den Teil brauche ich nicht.
Das bedeutet, ich kann jetzt wieder das erste, was ich gemacht habe,
rückgängig machen.
Ich integriere über A, dann habe ich das und dann integriere ich über
F1 von Z µ DZ.
Und das Integral, was Sie da sehen, F1 von Z µ DZ, ist nichts anderes
als das Integral bezüglich der Verteilung von Z.
Sie sehen, das ist nichts anderes als P oben, Z DZ.
Und das war zu zeigen.
Man sieht sofort, ich habe das G0 hier gar nicht gebraucht.
Ich habe es gebraucht, damit dort wirklich ein Markov-Kern entstand,
damit wir für jedes Klein Z wirklich eine bedingte Verteilung hatten.
Aber Sie sehen, wir integrieren hier.
Ich habe eine Nullmenge bezüglich der Verteilung von Z und die ist
irrelevant für die Integrale.
Das ist einfach der Punkt.
Okay.
Ich spezialisiere das nochmal jetzt mit etwas anderen Bezeichnungen,
damit man da etwas flexibler ist.
Also wirklich ganz konkret, wir sind im R2, also µ gleich µ, sogar
Borelle -Weckmaß.
Ich habe dann eine Dichte in der Ebene.
Wirklich eine Dichte bezüglich Lambda 2.
Und jetzt nenne ich den Zufallsvektor xy.
Da habe ich die Lambda 2 dicht und jetzt sehen Sie, habe ich die
Zufallsvariablen auch als Indizes dran geschrieben, was eben nur das f
war, ist jetzt f-Index xy und dann klein xy.
Achtung, also Zx ist hier xy.
Das Z entspricht dem x und das x entspricht dem y.
So, was mache ich jetzt?
Die gleiche Bildung wie eben.
Wir sehen, jetzt steht die Zufallsvariable als Index an der Dichte.
Das soll die Dichte von x werden.
Und marginale Dichte, was machen wir?
Wir integrieren über die gemeinsame Dichte bezüglich y, wie wir das
schon in der Einführungsvorlesung gemacht haben.
Für jedes x aus R können wir das machen.
Das ist die marginale Dichte von x.
Jetzt kommt die bedingte Dichte.
Wir sehen jetzt auch hier eine Bezeichnung, die üblich ist, damit Sie
eine gewisse Flexibilität bekommen.
Sie sehen jetzt hier y unter der Bedingung x vorne und auch in den
Argumenten.
Klein y, Bedingungstrich x.
Nun, das ist nichts anderes als die gemeinsame Dichte dividiert durch
die marginale Dichte, falls die marginale Dichte positiv ist.
Das ist das, was eben das f1 war.
Das ist eine bedingte Dichte von y unter der Bedingung Groß x gleich
Klein x.
Und das Entscheidende ist, ich definiere hier gar kein g0, falls eben
die Dichte null ist, die marginale Dichte, kann das beliebig definiert
werden.
Als Dichte.
Aber es kommt nicht darauf an, haben wir gesehen.
Es kommt, sagen wir hier, nur darauf an, auf den Fall, dass die
marginale Dichte positiv ist.
So folgendes sollte man beachten, damit man das jetzt auch
interpretieren kann.
Stellen Sie sich vor, dieser Punkt in der Ebene mit den Koordinaten x,
y sei eine Stetigkeitsstelle dieser gemeinsamen Dichte in der
Situation von eben.
Das wissen wir dann.
Wenn wir eine Stetigkeitsstelle haben, wissen wir schon, ist das
Integral, wenn ich dort an die Stelle gehe und integriere über einen
kleinen Bereich, zum Beispiel einen kleinen Kreis die gemeinsame
Dichte, dann ist das in erster Näherung Dichte im Mittelpunkt des
Kreises mal Fläche des Kreises.
Jetzt mache ich folgendes, ich integriere nicht über einen Kreis, wir
nehmen einen etwas anderen Bereich.
Stellen Sie sich auch noch vor, dass x sei eine Stetigkeitsstelle
dieser marginalen Dichte von x und dort sei die Dichte positiv.
Das ist alles, was wir jetzt brauchen.
Wir werden gleich sehen, dadurch teilen wir nicht durch 0.
So gilt.
Sehen Sie sich mal die gemeinsame Dichte an, an der Stelle x, y.
Ich behaupte, die erhalte ich als einen Grenzwert, wenn y positive
Zahl gegen 0 konvergiert.
Wovon?
Eines Prozent.
In den Zähler schreibe ich die Wahrscheinlichkeit, dass die
Zufallsvariable x in ein Intervall fällt.
Sie sehen linker Endpunkt x, rechter x plus y, kleines Intervall, y
wird gegen 0 gehen und zugleich y als Zufallsvariable auch größer
gleich klein y ist und kleiner gleich y plus y.
Das wäre ein Bereich in der Ebene, den können Sie als Quadrat
interpretieren.
Der linke Endpunkt ist xy und dann haben Sie jeweils die Seitenlänge
y, kleines Quadrat.
Das Entscheidende ist, die Dichte ist an der Stelle xy stetig,
Stetigkeitspunkt.
Sie integrieren über einen kleinen Bereich.
Zwar ist jetzt nicht x irgendwie Mittelpunkt eines Kreises, aber das
spielt keine Rolle, wenn es eine Stetigkeitsstelle ist.
In erster Näherung ist das y Quadrat die Fläche des Quadrates
multipliziert mit der Dichte an dieser Stelle xy.
Das bedeutet, ich teile durch y Quadrat.
Dann bekomme ich das raus.
Stetigkeitsstelle.
Elementare Analyse 2.
Das Gleiche kann ich machen für die marginale Dichte von x.
Auch hier Grenzwert y gegen 0.
Was habe ich hier?
Hier habe ich auch ein Quotienten.
Oben sehen Sie jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass x in dieses kleine
Intervall fällt von x bis x plus y, dividiert durch die Länge dieses
Intervalls y.
Das heißt, die Dichte an der Stelle x erhalten Sie so.
Ich würde den gleichen Grenzwert erhalten, wenn ich oben die
Wahrscheinlichkeit im Zähler hätte, Groß x liegt zwischen x minus y
und x plus y, ein zweiseitiges Intervall, und durch zwei y teilen
würde, käme es gleich raus.
Hieraus folgt, wenn ich jetzt den Quotienten bilde, diese bedingte
Dichte von y unter der Bedingung x, ist nichts anderes als dieser
Quotient.
Das heißt, wir haben ein Quotient von diesen beiden Grenzwerten.
Ich kann also die beiden Brüche dort oben durcheinander dividieren,
dann sehen Sie, bleibt nur noch ein y über, denn beim y² und dem y, da
hebt sich ein y weg, aber Sie dividieren dann auch die Zähler
durcheinander.
Das heißt, der Zähler ganz oben wird dividiert durch den anderen
Zähler und da entsteht eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Das heißt, was entsteht da?
Also erstmal Linie ist y gegen 0 und hier haben Sie die
Wahrscheinlichkeit, dass y in dieses Intervall fällt, größer gleich
klein y und kleiner gleich y plus y unter der Bedingung, dass x in das
Intervall fällt.
Das ist jetzt eine elementare bedingte Wahrscheinlichkeit, p von a
unter der Bedingung b.
Das ist p von a geschnitten b, das steht oben, der Zähler oben und p
von b ist der Zähler, dort die Wahrscheinlichkeit, dass x zwischen x
und x plus y liegt.
So jetzt bleibt über von den y² und y bleibt nur noch ein y über.
Das ist eine wichtige Interpretation dieser bedingten Dichte.
Sehen Sie, die Bedingung ist jetzt hier elementare bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass x in ein kleines Intervall fällt.
Stellen Sie sich vor, winzig klein y10 minus 80.
Also das bedeutet letztlich x nimmt den Wert klein x an.
Obwohl das hat die Wahrscheinlichkeit 0, aber für jedes positive y
haben Sie eine positive Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser
Bedingung das y dann auch in so ein kleines Inkrement fällt, von klein
y bis y plus y.
Und das dividiert durch y.
Das ist eine wichtige Interpretation auch dieser bedingten Dichte in
diesem Fall.
Ich mache Ihnen noch ein Beispiel, was hier nicht in diese Klasse
fällt.
Also das bietet natürlich was für jemanden, Stoff auch für
Übungsaufgaben, vielleicht auch nur eine Klausuraufgabe, weil das eben
ganz konkrete Dinge sind.
Man soll dann auch Fertigkeiten nachweisen und mal eine gemeinsame
Dichte, marginale Dichte, bedingte Dichte und dann vielleicht noch was
ausrechnen.
Also bedingte Verteilung von x unter der Bedingung x-Betrag.
Das ist jetzt was anderes.
Und zwar stellen Sie sich vor, der Zufallsvektor, die Zufallsvariable
x habe eine Dichte, Lambda1-Dichte f.
Welche bedingte Verteilung hat denn x, wenn ich sage x-Betrag nimmt
den Wert t an, positives t.
Ich gebe Ihnen den Wert von x-Betrag.
Sie werden sofort sagen, naja, unter dieser Bedingung, wenn Sie den
Wert x-Betrag gleich t angeben, kann x nur den Wert entweder minus t
annehmen oder plus t.
Das bedeutet, unter dieser Bedingung hat das x eine
Zweipunktverteilung, eine diskrete Verteilung.
x hat eine Dichte, x-Betrag hat auch eine Dichte, aber unter dieser
Bedingung gibt es nur zwei Möglichkeiten, t oder minus t.
Die Frage ist einfach nur, mit welchen Wahrscheinlichkeiten treten die
auf?
Ich habe eine diskrete Verteilung.
Es sollte gelten, die bedingte Verteilung von x unter der Bedingung x
-Betrag gleich t, na mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p von t,
wird der Wert t angenommen, da steht für das Dirac-Maß im Punkt t, die
Einpunktverteilung und mit der komplementären Wahrscheinlichkeit 1
minus p von t, wird der Wert minus t angenommen, Dirac-Maß an der
Stelle minus t.
So kann das nur aussehen.
Dabei ist p von t eine Wahrscheinlichkeit, Zahl zwischen 0 und 1 und
ganz allgemein Delta x, ist das Dirac-Maß in x, also einmal x gleich
t, einmal x gleich minus t.
Die Frage ist einfach nur, wie sieht die Wahrscheinlichkeit aus, p von
t?
Jetzt kommt die Überlegung im Grunde wie eben.
Wir nehmen an, f von t ist positiv, auf den anderen Fall kommt es
nicht an, das ist immer wichtig, die Dichte 0 ist.
Da würde man über Nullmengen integrieren.
f von t positiv, y größer 0 beliebig.
Wir werden aber gleich y gegen 0 gehen lassen.
Sehen wir uns mal die Wahrscheinlichkeit an, dass x in das Intervall
von t bis t plus y fällt, unter der Bedingung, sehen Sie, x-Betrag ist
größer gleich t und kleiner gleich t plus y.
Ich füge also hier die Bedingung ein, das x-Betrag, da oben steht ja x
-Betrag gleich t, aber ich gebe sozusagen dort mal ein kleines y zu,
nachher lasse ich y gegen 0 gehen.
Ich will letztlich sehen, was das p von t sein muss.
Das ist das Ziel.
Sehen Sie, da steht p von a unter der Bedingung b.
Na ja, t ist positiv.
Sie sehen, aus a folgt b.
Wenn x größer gleich t ist und kleiner gleich t plus y, ist x-Betrag
größer gleich t und kleiner gleich t plus y.
Also ist p von a geschnitten, b gleich p von a.
Also steht da, p von a dividiert durch p von b.
Elementare bedingte Wahrscheinlichkeit.
Jetzt sehen wir uns oben den Zähler an.
Die Wahrscheinlichkeit, dass x in dieses kleine Intervall fällt,
wissen wir aber, ist in erster Näherung Dichte an der Stelle t mal
Intervallbreite, das ist y, ich lasse gleich y gegen 0 gehen, plus ein
klein o von y.
Das bedeutet, das ist etwas, was durch y geteilt im Limes 0 ist.
Das ist nichts anderes als diese Wahrscheinlichkeit, dividiert durch y
und konvergiert für y gegen 0 gegen f von t.
Nur anders ausgedrückt.
So, was ist im Nenner?
Im Nenner a, x-Betrag liegt in diesen Grenzen.
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten.
Also entweder, ich kann das Ereignis zerlegen, dass x ist zwischen t
und t plus y oder, dass x liegt zwischen minus t, minus y und minus t.
Muss nur spiegeln am Nullpunkt.
Aber jedes Mal habe ich ein kleines Intervall der Breite y und einmal
ist f von t beteiligt und einmal der Punkt minus t.
Das bedeutet hier, es ist einmal f von t plus y.
Eigentlich muss ich jetzt noch plus o von y schreiben, das schreibe
ich aber erst später.
Und dann haben wir noch f von minus t mal y und jetzt kommt noch plus
klein o von y.
Und wenn Sie jetzt sehen, Sie lassen y gegen 0 gehen, dann konvergiert
das.
Teilen Sie alles durch Zähler und Nenner durch y und dann sehen Sie
den Grenzwert, das ist f von t dividiert durch f von t plus f von
minus t für y gegen 0.
Also das bedeutet, also hier das Intervall schrumpft gegen 0, jetzt
haben Sie die Information, x-Betrag ist t.
Jetzt sehen Sie, sollte das p von t da oben, Sie wollen ja jetzt
wissen unter der Bedingung, mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt x den
Wert t an sollte nichts anderes sein als dieser Quotient f von t durch
f von t plus f von minus t.
Stellen Sie sich einen Spezialfall vor, wenn die Dichte symmetrisch
ist um 0, dann wäre f von t gleich f von minus t und Sie sehen, der
Quotient wäre in halb.
Bei einer symmetrischen Verteilung um 0 würden Sie sofort sagen okay,
wenn mir der Wert t von x-Betrag gegeben ist, dann nimmt x die Werte
minus t und t mit gleicher Wahrscheinlichkeit in halb an.
Wenn aber die Dichte an der Stelle t wesentlich höher ist als die an
der Stelle minus t, ist völlig klar, dass Sie sagen würden, die
Wahrscheinlichkeit unter dieser Bedingung, dass x den Wert t annimmt,
die muss wesentlich größer sein.
Und das ist genau gegeben durch diesen Quotient.
Also es sollte gelten, p von t ist der Quotient f von t dividiert
durch f von t plus f von minus t.
Wenn Sie so wollen, war das jetzt ein bisschen eine heuristische
Betrachtung.
Aber jetzt kommt eine Übungsaufgabe.
Jetzt haben wir eine begründete Vermutung für diese bedingte
Verteilung, wie sie wirklich aussieht.
Jetzt müssten wir eigentlich noch nachweisen, die Wahrscheinlichkeit,
x -Betrag fällt in eine Menge a und zugleich x fällt in eine Menge b,
ist integral über a.
Und jetzt kommt das hier, die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass x in b
fällt unter der Bedingung x gleich t, p um x-Betrag dt.
Wenn a und b beliebige Borellmengen sind, dass das gilt.
Das wäre zu zeigen, Übungsaufgabe.
Sie sehen, die bedingte Verteilung haben wir oben hingeschrieben.
Das ist diese Zweipunktverteilung.
Sie sollten erkennen, dass wir hier gar nicht beliebige Borellmengen
brauchen, dass das einfacher geht in diesem Zusammenhang.
Versuchen Sie erstmal gedanklich zu reduzieren, was man wirklich
zeigen muss.
Aber wir haben jetzt eigentlich erstmal nur gesehen, es kann nur eine
Zweipunktverteilung sein.
Dann haben wir die Wahrscheinlichkeit identifiziert.
Es kann nur die Wahrscheinlichkeit sein.
Und jetzt müssen wir auch formal mal was nachrechnen.
Manchmal muss man erstmal Ideen haben, wie so eine bedingte Verteilung
aussieht.
Und dann ist der zweite Schritt, dort dann wirklich was nachzurechnen,
was die allgemeine Definition sagt.
Ich möchte noch zu einem letzten Beispiel kommen.
Bivariate Normalverteilung, das haben wir schon mal gehabt in 8.13.
Das, was ich hier sage, gilt auch allgemein für eine Multivariate
Normalverteilung.
Ich möchte das aber nicht in dieser Allgemeinheit betrachten.
Das ist der Ausgangspunkt.
Eine Bivariate Normalverteilung, X und Y ist der Vektor.
Rein formal hätte ich ein Transponierungszeichen dran schreiben
sollen.
Das ist nämlich auch hier ein Spaltenvektor.
Ich schreibe ja auch µ und µ ein Spaltenvektor.
Sie sehen µ ist der Erwartungswert von X, µ ist der Erwartungswert von
Y.
Dann haben wir die Kovarianzmatik.
Sigma-Quadrat und Tau-Quadrat sind die Varianzen von X beziehungsweise
Y.
Und das, der Rho ist der Korrelationskoeffizient zwischen X und Y.
Wir setzen voraus, dass der betragsmäßig kleiner 1 ist.
µ beliebig.
Sigma und Tau als Standardabweichungen, Wurzeln aus den Varianzen und
Rho -Betrag kleiner 1.
Es gilt.
Das ist die gemeinsame Dichte.
Also die sieht auf den ersten Blick kompliziert aus.
Es wird sogar kompakter, wenn man es allgemein hinschreibt.
Wir haben es allgemein gehabt in der Einführungsvorlösung für k
-dimensionale Normalverteilung.
Da war die Inverse der Kovarianzmatik eine quadratische Form.
Was man sieht, ist eine Normierungskonstante vorne.
Die muss man dann ausrechnen und dann sehen Sie eine quadratische
Form.
Einmal haben wir X minus µ steht immer und Y minus µ.
Es wird natürlich hier viel einfacher, wenn µ und µ beide Null sind,
wenn die Erwartungswerte Null sind zum Beispiel.
Und Sigma-Quadrat und Tau-Quadrat sind vielleicht 1.
Das wäre dann ein Normierungsfall.
So wie die marginale Dichte ist natürlich die Normalverteilung von X
mit Variant Sigma-Quadrat und Erwartungswert µ.
Und jetzt muss man rechnen.
Sie sehen, Sie müssten jetzt hier den Quotienten bilden.
Gemeinsame Dichte dividiert durch marginale Dichte.
Und das ist eine endliche Rechnung.
Sie sehen, Sie dividieren auch durch solche Exponential- Ausdrücke.
Das bedeutet, es führt dann wieder auf so eine Addition, wenn Sie
dividieren von dem, was dort steht, von diesem Minus X minus µ-Quadrat
durch 2 Sigma-Quadrat.
Also da wird X minus µ-Quadrat durch 2 Sigma-Quadrat addiert im
Exponenten und dann rechnen Sie konkret aus.
Das ist also jetzt hier wirklich eine Rechnung.
Ein paar Zeilen rechnen Sie und die bedingte Dichte sieht so aus.
Also das war das Rezept.
Teilen Sie durch.
Und da kommt das raus.
Hier sieht man offenbar, ja, das Quadrat hier ist zu viel.
Das werde ich noch ändern müssen.
Also das,
dieses hier, das ist zu viel.
Ein Quadrat zu viel.
Ich glaube, das hatten wir schon mal.
Das habe ich dann vergessen zu ändern.
Das kommt dann weg.
Jedenfalls erkennt man eine Normalverteilung.
Die Varianz hat sich geändert.
Sie sehen dort im Exponenten, im Nenner, Faktor 2 und dann kommt
dieses Tau-Quadrat, was da steht, mal 1 minus O-Quadrat.
Und das Argument ist ja Y.
Sie sehen, was im Zähler abgezogen wird.
Von Y wird abgezogen das µ und dann nur pro mal Tau durch Sigma mal X
minus µ.
Das heißt, die bedingte Verteilung von diesem Y unter dieser Bedingung
dient die Normalverteilung.
Das ist der Erwartungswert und das ist die Varianz.
Wir hatten das Beispiel schon gehabt, dass wir gestartet waren mit der
marginalen Verteilung und haben dann die bedingte Dichte angegeben und
haben dann multipliziert.
Das heißt, wir haben eigentlich diese Gleichung, die dort steht.
Also die bedingte Dichte wird ausgerechnet als gemeinsame Dichte.
Da haben wir mit dem f von X multipliziert und haben die gemeinsame
Dichte bestimmt aus der marginalen Dichte und der bedingten Dichte.
Das war also nur eine etwas andere Sichtweise.
Das war die Konstruktion.
Und hier sehen wir, wenn die gemeinsame Dichte gegeben ist, dann ist
die bedingte Dichte wieder die einer Normalverteilung.
Okay.
Gut, das waren einige Beispiele hierzu.
Und ich möchte jetzt ein neues Kapitel beginnen, möchte Sie aber bei
diesem Kapitel, was wieder etwas länger ist und durchaus zum Teil
recht schwierig und man braucht eigentlich eine gewisse Zeit, um da
reinzukommen.
Aber es ist unumgänglich.
Je nachdem, was Sie später in der Stochastik weitermachen.
Es ist unumgänglich.
Das Kapitel heißt bedingte Erwartungswerte und bedingte Erwartungen.
Also hier der Unterschied ist erstmal ganz einfach der, ein bedingter
Erwartungswert ist eine Zahl und eine bedingte Erwartung ist eine
Zufallsvariante.
Das haben wir schon gehabt in der Einführungsvorlesung.
Wir wollen uns jetzt mal erinnern, was dran war.
Wiederholung aus der Einführung in die Stochastik und zwar in Kapitel
17.
Und was haben wir da gemacht?
Wir hatten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir hätten uns damals über Sigmal geben und keine Gedanken machen
müssen.
Okay.
Wir haben eine Zufallsvariante X.
Abbildung von Omega nach R.
Die habe einen existierenden Erwartungswert.
Dann haben wir noch ein Ereignis, A Teil Menge Omega und das Ereignis
habe eine positive Wahrscheinlichkeit.
Das war der Ausgangspunkt.
Und dann haben wir was definiert, sowas.
Das ist dann der Erwartungswert von X, der bedingte Erwartungswert von
X unter der Bedingung A.
Das haben wir damals so eingeführt.
Wir haben durch P von A geteilt und damals hat man eine Summe über
klein Omega aus A.
Stellen Sie sich vor, die Menge Omega ist hier abzählbar.
Ansonsten leben die Wahrscheinlichkeiten auf einer abzählbaren
Teilmenge.
Die haben wir Omega 0 genannt.
Aber das ist das Omega seiner abzählbaren Menge.
Ich summiere X von Omega mal P von ein elementiger Teilmenge, die nur
aus Omega besteht.
Das kann man auch so schreiben, dass nichts anderes als 1 durch P von
A und oben steht der Erwartungswert von X mal Indikator von A.
Denn wenn Sie den bilden würden, X mal Indikator von A würden Sie
summieren über alle kleinen Omega aus Omega.
Aber dann würden Sie immer haben X mal Indikator A von Omega.
Das ist aber X von Omega mal Indikator A von Omega.
Und Sie sehen, die Summanen sind nur bei 0 verschieden, wenn Omega in
A ist.
Deshalb die Summation gleich über Omega aus A.
Das ist also nichts anderes als das.
Und da sieht man, 1 durch P von A kann ich schreiben und dieser
Erwartungswert X mal Indikator A, den kann ich natürlich jetzt auch so
schreiben, Sie haben jetzt Maßtheorie gemacht, den kann ich schreiben
als Integral X dP über A.
Auch in diesem diskreten Fall stimmt das.
Wir sehen also, diese Bildung hat jetzt, das können wir auch
allgemeiner machen, das Entscheidende ist jetzt nur, P von A muss noch
positive Wahrscheinlichkeit haben.
Wir haben das erst mal genannt, bedingter Erwartungswert von X unter
der Bedingung A.
Das war eine Zahl.
Wir haben dann gesehen, bei fester Bedingung galten Rechenregeln, auch
so Linearität, also da blieb im Grunde alles erhalten.
Auch der bedingte Erwartungswert haben wir gesehen, das ist ein ganz
normaler Erwartungswert, nur bezüglich der bedingten Verteilung von P
unter der Bedingung A.
Ganz normaler Erwartungswert.
Okay, dann haben wir Folgendes gemacht, wir haben uns einen
Zufallsvektor Z hergenommen, k-dimensional, der nehme Werte klein zj
an, mit positiven Wahrscheinlichkeiten, j größer gleich 1, das dürfen
absehbar viele sein, aber unter Umständen auch nur endlich viele.
Das Entscheidende ist, die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1.
So ein Ereignis A da oben, könnte jetzt speziell sein, das Ereignis Z
gleich zj hat eine positive Wahrscheinlichkeit.
Wir haben dann auch eingeführt, den bedingten Erwartungswert von X
unter der Bedingung Groß Z gleich Klein zj.
Aber wir haben auch Folgendes gemacht, wir haben eine Funktion H
gesucht, vom R auf K nach R, mit folgender Eigenschaft.
Es sollte der Erwartungswert von X minus diese Funktion von Z in
Klammern zum Quadrat, das nennen wir mittlere quadratische Abweichung,
der Differenz, X minus H von Z sollte minimal werden.
Ich schreibe jetzt hier nicht drüber, worüber minimal.
Es sind natürlich die alle Funktionen von der Bauart oben, für die
dieser Erwartungswert endlich ist.
Wir haben gesehen, dass das Problem eine Lösung hat.
Wir haben zunächst mal nur spezielle Funktionen gesucht, wenn Sie sich
erinnern, in dem Kapitel über Kovarianz, da haben wir nur affine
Funktionen gesucht von Z, vom Typ A, Z plus B.
Das waren nur spezielle und haben gesehen, das konnte man auch lösen,
das Approximationsproblem und das führte auf den
Korrelationskoeffizienten.
Das spielte da eine große Rolle.
Dann war die Funktion allgemeiner und wir haben gesehen, auch das
Problem konnten wir lösen, nämlich erstmal, das ist das Ziel, beste
Vorhersage von X durch eine Funktion von Z im Sinne der mittleren
quadratischen Abweichung.
Wir müssen sehen, Hauptaufgaben von Stochastikerinnen und
Stochastikern sind, Vorhersagen zu machen.
Das ist jetzt ein bestimmtes Kriterium.
Die Lösung führt auf folgendes.
Lösung, diese Funktion H von Z ist nichts anderes als der bedingte
Erwartungswert von X unter der Bedingung Groß Z gleich Klein ZJ, falls
Z irgendeines dieser ZJ ist, die mit strikt positiver
Wahrscheinlichkeit angenommen werden.
Ansonsten ist das beliebig.
Wir haben die Lösung dann zu Null gesetzt.
Null sonst.
Was Z im R auch klar ist, aber keiner dieser Werte ist.
Ganz konkrete Lösung.
So sehen wir uns das nochmal an.
Der erste Memo, also der Erwartungswert X mal Indikator A ist eben
dieses hier.
E von X unter der Bedingung A mal P von A.
Das ist eine Memo.
Das zweite Memo.
Diese Funktion H von Z sieht so aus, falls Z so ein ZJ ist.
Ansonsten war H beliebig.
Es kam nicht drauf an.
Dann haben wir eine Zufallsvariable eingeführt.
Das ist jetzt wichtig.
E von X und jetzt steht unter der Bedingung Groß Z.
Was war das?
Abbildung von Omega nach R.
Zufallsvariable.
Folgendermaßen definiert.
Diese Zufallsvariable nimmt an der Stelle kleinen Omega folgenden Wert
an.
Ist nichts anderes als H von Z von Omega.
Es kommt darauf an, was jetzt Z von Omega ist.
Das ist eben der bedingte Erwartungswert XZ gleich Groß Z von Omega,
falls das Z von Omega eines dieser Z1, Z2 und so weiter ist.
Ansonsten Null.
Diese Zufallsvariable haben wir genannt bedingte Erwartung von X bei
gegebenem Z.
Sie sehen also hier das, was ich sagte.
Also eine Zufallsvariable ist eine bedingte Erwartung.
Ganz wichtig.
Zufallsvariable.
Im Unterschied zum bedingten Erwartungswert.
Folgendes sollte man beachten.
Diese Zufallsvariable, also E von X unter der Bedingung Z, können wir
so schreiben.
Summe J größer gleich 1.
Sie sehen, das ist der Wert, den sie annimmt, wenn dort oben steht ja
Z von Omega gleich ZJ ist.
Also mal Indikator Z gleich ZJ.
Setzen Sie links ein kleinen Argument Omega ein.
E von X, Z.
An der Stelle Omega.
Dann sehen Sie, bei dieser Summe ist nur ein einziger Summand von Null
verschieden.
Nämlich, wenn eben die Z von Omega gleich ein ZJ ist.
Und dann kommt genau das raus, was rauskommen soll.
Das heißt, wir können diese bedingte Erwartung in dieser Form
schreiben.
Das bedeutet, diese bedingte Erwartung als Zufallsvariable ist
konstant auf gewissen Teilmengen von Omega.
Nämlich auf jeder dieser Mengen Z gleich ZJ.
Ist sie konstant.
Und damit ist sie als Abbildung, weil sie auf Teilen konstant ist,
prinzipiell einfacher als das X.
Aber es hat natürlich was mit dem X zu tun.
Wir werden sehen, es ist eine gewisse Approximation von X.
Wir haben ja hier auch ein Approximationsproblem gelöst.
Mittlere quadratische Abweichung sollte möglichst klein werden.
Folgendes gilt noch.
Schauen Sie sich hier mal den Erwartungswert von X an.
Multiplizieren Sie das mit diesem Indikator.
Z gleich ZJ können Sie als Menge A deuten.
Da oben in den Memo sehen Sie, also erstmal brauchen wir das Memo
nicht.
Ich schreibe erstmal Folgendes hin.
Wir haben hier den Erwartungswert von X mal Indikator Z gleich ZJ.
Das heißt, das Entscheidende ist ja hier nur der Bereich Z gleich ZJ,
auf dem der Indikator 1 ist.
Auf diesem Bereich stimmt aber X überein als Zufallsvariable mit der
Zufallsvariable E von X, Z.
Die liefern gleiche Werte darauf.
Das bedeutet, diese Erwartungswerte sind gleich.
Für jedes J.
Das ist hier wichtig.
Und das können Sie natürlich jetzt deuten, also mit dem Memo, das ist
nichts anderes als der Erwartungswert von X unter der Bedingung Z
gleich ZJ mal diese Wahrscheinlichkeit.
Aber das Entscheidende ist eben dieser Punkt, den ich gerade schon
angesprochen habe.
Die Zufallsvariable X und diese bedingte Erwartung liefern gleiche
Erwartungswerte und Erwartungswerte sind bei uns Integrale über diese
Mengen Z gleich ZJ, über diese Teilmengen von Omega und zwar für jedes
J größer gleich 1.
Gleiche Integrale.
Und das wird jetzt der Punkt sein, wo wir ansetzen und dort gleich
allgemeiner werden.
Wir betrachten jetzt eine allgemeinere Situation.
Ich stelle uns vor, wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum.
Wir haben eine Zufallsvariable X.
Ich verwende jetzt mal diese Bezeichnung L1, die Sie auch aus der
Analysis 3 kennen.
Das bedeutet nichts anderes, als dass der Erwartungswert von X
existiert.
Jetzt kommt was Neues.
Wir sehen dort ein calligraphisches G, Teilmenge unserer Sigma-Algebra
A.
Was ist damit gemeint?
Es ist eine beliebige Sub-Sigma-Algebra von A.
Dann folgende Frage.
Gibt es eine Zufallsvariable Y auf Omega, die folgende Eigenschaften
besitzt?
Erstens, der Erwartungswert soll existieren.
Das ist allein schon nicht schwierig.
Dann können Sie sagen, ich nehme gleich das X oder nehme jede
Konstante.
Kein Problem.
Aber jetzt wird es interessant.
Y soll g-messbar sein.
Das ist natürlich eine Einschränkung, und zwar eine umso stärkere
Forderung, je kleiner g ist.
Hier soll jetzt gelten, das Urbild Y-1 von einer beliebigen
Borellmenge soll in g liegen.
Stellen Sie sich vor, g ist eine ganz kleine Sigma-Algebra, besteht
nur aus der leeren Menge und Omega.
Dann werden Sie erkennen, das können nur noch konstante Abbildungen.
Je kleiner g ist, desto schwieriger wird diese Messbarkeit.
Dritter Punkt.
Das Integral von Y über eine Menge A bezüglich P soll gleich dem
Integral von X sein über die Menge A.
Das soll gelten für jede Menge A in dieser Sigma-Algebra A.
Das bedeutet, das Y muss direkt was mit dem X zu tun haben.
Gleiche Integrale über gewisse Mengen jetzt in der Sub-Sigma-Algebra.
Wenn man so will, soll Y von einfacherer Bauart sein als X, g-messbar,
aber auf der anderen Seite gleiche Integrale liefern.
Identische Integrale über diese Mengen aus g. Das ist der dritte
Punkt.
Nehmen wir uns mal zwei Extremfälle an.
Der erste Extremfall, g ist diese triviale Sigma-Algebra, die gröbste
Sigma -Algebra, die es überhaupt gibt über Omega, die besteht nur aus
der leeren Menge und das Omega.
Nur konstante Abbildungen sind g-messbar in diesem Fall.
Kleine Überlegung.
Nur konstante Abbildungen.
Jetzt sehen Sie, es gibt dann nur eine einzige, die das erfüllt.
Es muss eine Konstante sein aufgrund der g-Messbarkeit.
Gleiche Integrale, ich habe nur zwei Mengen zur Verfügung, die leere
Menge und Omega.
Integral über die leere Menge ist jeweils Null.
Und über Omega heißt, Integral einer Konstanten über Omega soll gleich
dem Integral von x sein über Omega, das ist der Erwartungswert von x.
Also kann die Konstante nur der Erwartungswert sein.
Das bedeutet, y ist identisch e von x als Abbildung auf Omega.
Das heißt, nur der Erwartungswert als konstante Abbildung erfüllt
diese drei Eigenschaften.
Der andere Extremfall ist natürlich das, wenn g gleich ganz a ist,
dann habe ich natürlich überhaupt keine Einschränkung bezüglich der
Messbarkeit.
Dann könnte ich sofort die Zufallswahl x selbst nehmen.
Ich könnte aber auch sagen, naja gut, warum muss es x selbst sein?
Das Entscheidende ist ja nur, die Integrale müssen übereinstimmen.
Ich kann natürlich auf Nullmengen abändern.
Das bedeutet, jede Zufallswahl y, die mit x p-fass sicher
übereinstimmt, erfüllt alle Bedingungen.
Also offenbar interessant sind nur die Fälle, die dazwischen liegen.
Sehen wir uns mal einen Fall an.
Also das ist das Memo.
Wir haben eine Zufallswahl gegeben.
Der Erwartungswert existiert, x ist in L1.
Was ist der Wunsch?
Wir möchten gerne ein y haben mit den Eigenschaften.
Erwartungswert soll existieren.
y soll g-messbar sein.
Und die Integrale von y und x sollen übereinstimmen über alle Mengen a
aus dieser Teilsigmaalgebra g. Beispiel.
Instruktives Beispiel.
Bisschen allgemeiner, als wir das eben hatten mit diesem Zufallsvektor
z im diskreten Fall.
Von einer Zerlegung erzeugte Sigmaalgebra.
Also stellen Sie sich vor, das Omega ist zerlegt.
Ich schreibe Summe immer für eine Vereinigung von paarweise desjunkten
Mengen.
In welchen Mengen aj, j durchläuft eine Menge s.
Eine Zerlegung von Omega sei das.
Paarweise desjunkte Mengen aj, die sollen alle in der Sigmaalgebra
liegen, das ist klar.
j aus s.
s ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Ich fordere nur, dass sie mindestens zwei Elemente hat.
Das bedeutet, es kann auch eine endliche Zerlegung sein.
Eine Zerlegung in maximal abzählbar viele Mengen.
Und ich setze voraus, die Wahrscheinlichkeiten sind alle strikt
positiv.
Weil ich gleich auch elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten hier mit
drin habe.
Jetzt kommt die Teilsigmaalgebra.
Die Teilsigmaalgebra wird erzeugt von diesen Mengen, also die kleinste
Sigmaalgebra über Omega, die alle diese Mengen a1, a2 usw.
enthält.
Wir können sofort sehen, wie die aussieht.
Als Sigmaalgebra muss sie natürlich mit diesen Mengen a1, a2 auch
abzählbare Vereinigungen enthalten.
Das ist eine Sigmaalgebra, eine Sigmaalgebra mit abzählbar vielen
Mengen, auch deren Vereinigung.
Das bedeutet, die Vereinigung kann ich aber so schreiben als eine
Vereinigung, Sie sehen aj, j aus t, wobei t eine beliebige Teilmenge
ist von s.
Man sieht sofort, dass auf der rechten Seite aber auch eine
Sigmaalgebra steht.
Setzen Sie t gleich der leeren Menge, dann erhalten Sie die leere
Menge.
Wenn Sie eine Menge von der Bauart haben, die so aussieht, die
Vereinigung, dann ist sofort das Komplement mit drin.
Sie brauchen sozusagen nur für das t, t-Komplement schreiben oder s
vermindert um t.
Man sieht auch sehr schnell, dass dort mit abzählbar vielen Mengen von
der Bauart auch die Vereinigungsfeder von der Bauart ist.
Das heißt, die davon erzeugte Sigmaalgebra sind genau solche
Vereinigungen, endliche oder auch abzählbare Vereinigungen, derart
hier j durchläuft eine Menge t, t Teilmenge s, ist eine Sigmaalgebra.
Für eine Zufallsweise y auf Omega gilt, das ist jetzt eine kleine
Überlegung, Übungsaufgabe, y ist g-messbar, also bezüglich dieser
Sigmaalgebra, dann und nur dann, wenn y konstant ist auf jeder der
Mengen a j.
So, das bedeutet, ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem j aus s
einen Wert gibt, a j, reelle Zahl, derart, dass y von Omega gleich a j
ist, für jedes Omega aus groß a j.
Das ist genau das, was ich eben sagte, y ist als Abbildung konstant.
Natürlich kann die Konstante variieren auf den Teilmengen, für jedem,
zu jedem j habe ich ein a j, derart, dass der Wert klein a j
angenommen wird, auf der Menge groß a j.
Folgendes sollte man beachten hier.
Ich bilde mal das Integral von y dp und das Integral soll ja, das ist
ja oben einer der Wünsche, übereinstimmen mit dem Integral von x über
a j.
Integral x dp über a j.
Das ist genau dann der Fall, wenn, naja, das Integral links können wir
jetzt sofort ausrechnen.
Auf der Menge a j, über die ja integriert wird, ist y konstant gleich
klein a j.
Ich kann also die Konstante vorziehen und dann integriere ich die 1
über a j.
Das ist nichts anderes als p von a j.
Das heißt, die linke Seite von dem Gleichheitszeichen ist nichts
anderes als klein a j mal groß p von a j.
Das soll gleich dem Integral sein.
Diese Gleichung kann ich auflösen.
Ich kann sogar den Funktionswert direkt angeben.
Also das ist genau dann der Fall, wenn das a j ist.
Ich muss teilen durch p von a j.
Das war als Positiv vorausgesetzt.
1 durch p von a j mal Integral x dp über a j.
Ich kann den Funktionswert angeben.
Es ist ein Mittel von x über die Menge a j.
Der Funktionswert.
Das ist hier eine wichtige Erkenntnis.
Sieht so aus.
Es folgt.
Nun, ich behaupte, ich kann y sofort hinschreiben, was ich dort suche.
Nämlich, ich setze es an, Summe j aus s.
1 durch p von a j mal Integral über x dp über a j mal Indikator a j.
Also nur ein Summand ist von Null verschieden.
Ich behaupte, dieses y leistet das Verlangte.
Ich hatte hier noch hingeschrieben, warum.
Wir überlegen uns das jetzt.
Sie sehen, eine Abbildung, die ist im Prinzip einfacher als das x.
Sie sehen, das x natürlich drin, das steckt drin in dem Integral.
Ansonsten ist das zusammengestückelt.
Sie sehen, auf der Menge a j ist es konstant.
Nur ein Indikator ist eins, die anderen sind Null, weil die
Mengenpaarweise disjunkt sind.
Warum?
Also behauptet wir, das leistet das Verlangte und wir überlegen uns,
warum.
Memo nochmal, was ist g?
g war die Sigma-Algebra, die von diesen a 1, a 2 und so weiter erzeugt
wird.
Und die Mengen sehen alle so aus.
Das ist die Sigma-Algebra.
Das y, erstmal als Abbildung, ist g-messbar.
Da konstant auf jeder der Mengen a j.
Das sieht man an der Bauart.
Erdnach habe ich eine g-messbare Abbildung konstruiert.
O b d a kann ich voraussetzen, dass unsere zufallsvariable x, die wir
vorliegen haben, größer gleich Null ist.
Wenn sowas kommt, dann ist eigentlich immer, warum kann ich das O b d
a machen?
Das x kann ich zerlegen immer in Positivteil minus Negativteil und die
Überlegung, die ich mache, mache ich für den Positivteil dann einzeln.
Wenn ich also ein y finde für den Positivteil, nehmen wir das y 1 und
ein y für den Negativteil, dann kann ich hinter die Differenz bilden.
y 1 minus y 2, wenn y 2 die Variable ist für die Negative.
Also sagen wir, x ist größer gleich Null, ohne Beschränkung der
Allgemeinheit.
Es gilt.
Nun, was ist der Erwartungswert von y?
Ich muss zeigen, dass der existiert.
Das war die nächste Forderung.
x ist größer gleich Null.
Eventuell kann jetzt unendlich rauskommen.
Wenn x größer gleich Null ist, sieht man sofort, ist auch y größer
gleich Null.
Denn wenn x größer gleich Null ist, sind auch diese Integrale, die da
oben stehen, alle größer gleich Null.
Also das ist Integral y dp.
Jetzt setze ich für y ein.
Also ich habe Integral über Omega und ich setze jetzt für y das ein,
was da oben steht.
Also wirklich nur eingesetzt und das wird integriert.
Alles, was da steht, ist nicht negativ.
Ich habe hier eine endliche Summe oder auch es kann absehbar unendlich
sein.
Eventuell steht da eine unendliche Reihe.
Ich behaupte, ich kann die Summe nach vorne ziehen.
Ich vertausche also Integral mit Lineis.
Das garantiert mir einen Satz der Mastery.
Alles ist nicht negativ.
Das ist in dem Fall der Satz der monotonen Konvergenz.
Ich darf also die Summe nach vorne ziehen.
Dann ziehe ich Konstanten nach vorne, p von aj.
Dann habe ich auch noch eine Konstante.
Integral xdp über aj ist eine Zahl.
Und was bleibt dann über?
Dann bleibt über Integral über Omega Indikator ajdp.
Nun aber Indikator aj integriert über Omega, das ist nichts anderes
als p von aj.
Und Sie sehen, p von aj kürzt sich gegen das p von aj davor weg, was
im Nenner steht.
Und ich erhalte Summe j aus s Integral xdp über aj.
Nun, das Integral über aj ist natürlich nichts anderes als Integral
über Omega.
Und dann steht da x mal Indikator aj.
Alles ist nicht negativ.
Ich darf auch hier die Summe und Integral vertauschen.
Wenn ich das mache, das Entscheidende ist, die Summe der Indikatoren
über die aj ist 1, weil die eine Zerlegung bilden.
Das bedeutet, das ist nichts anderes als Integral xdp.
A, das ist der Erwartungswert von x und der war als endlich
vorausgesetzt.
Also sehen wir, der Erwartungswert von y ist gleich dem Erwartungswert
von x und ist endlich.
Die Bedingung haben wir auch.
G-Messbarkeit, Erwartungswert existiert.
Jetzt brauchen wir noch diese Bedingung mit den gleichen Integralen
über die Mengen aus A.
Also, ich nehme mal eine Menge her, die von der Bauart ist, dass sie
in der Sigma-Algebra G ist.
A ist also so eine Vereinigung, die liegt in G und ich muss jetzt
zeigen, dass hier die gleichen Integrale rauskommen.
Integral y über aj ist schon über A ist natürlich folgendes.
Also eigentlich müsste ich y oben wieder einsetzen.
Sie sehen, ich integriere jetzt aber über die Menge A und die Menge A
hat diese Bauart, dann läuft j nur in t.
t ist eine Teilmenge von s.
Sie sehen, gewisse Indikatoren, die da oben noch eins sind, die kommen
hier gar nicht mehr vor.
Das heißt, aus dem Grunde kann ich gleich schreiben, summe j aus t.
Oben bin ich noch, habe ich alle Indizes, jetzt habe ich nur gewisse.
Ja, dann kann ich das Gleiche hinschreiben wie oben.
Integral und dann Integral über den Indikator.
Das hinten ist wieder p von aj.
Das kürze ich weg, wie eben.
Das heißt, ich habe hier Summe, jetzt j aus t.
Integral aj x dp und auch hier, das Integral ist eigentlich über
Omega, aber dann müsste ich schreiben x mal Indikator aj.
Wenn ich das wieder mache, Sie dürfen wieder Summe und Integral
vertauschen, dann haben Sie ein Integral außen über Omega und dann
summieren Sie x mal, und jetzt kommt die Summe j aus t Indikator aj,
aber das ist nichts anderes als der Indikator von a.
Denn a ist nichts anderes als die disjunkte Vereinigung dieser
paarweisen Disjunkten.
Das ist nichts anderes als Integral x dp über a.
Wir sehen also, ganz egal, wie das a war, wir haben gleiche Integrale.
Nach Konstruktion sind die Integrale eben gleich über jede einzelne
Menge aj und dann natürlich auch monotone Konvergenz über Vereinigung
von absehbar vielen dieser Mengen oder auch endlich vielen.
Das ist hier der Punkt, der entscheidende.
Gut, das war jetzt ein bisschen vorgeplänkelt.
Machen wir ein ganz konkretes Beispiel, dass man das auch mal in
Aktion sieht.
Ich nehme Omega her als Einheitsintervall.
Es hat rein technische Gründe, warum ich die 0 jetzt nicht mit drin
habe und die 1 mit drin.
Wir werden das gleich sehen, dann kann ich schneller oder
einheitlicher was definieren.
Die Sigma-Algebra a seien die Borellmengen in diesem Intervall und das
Wahrscheinlichkeitsmaß sei das Borellwegmaß.
Wir nennen das dann auch die Gleichverteilung auf diesem Intervall.
Die Abbildung X sei die Identität darauf, also Identität auf Omega.
Und jetzt mache ich die Zerlegung.
Und Sie sehen, ich habe hier Intervalle, die auch halb offen sind.
Das geht von J-1 Viertel bis J Viertel.
J von 1 bis 4.
Jetzt sehen Sie, der Vorteil ist eben, dass ich links offen habe, die
0 nicht mit drin und die 1 mit drin, sodass ich sofort sagen kann, die
Vereinigung dieser paarweisen Disjunktintervalle ist genau das Omega.
Das sind alles Borellmengen.
Die Sigma-Algebra G sei eben die von diesen vier Mengen erzeugte,
sagen wir nur 4, das heißt, das S ist hier die Menge, was wir vorher
hatten, der Zahlen von 1 bis 4.
Also ist das die Vereinigung dieser aj, paarweise disjunkt über eine
Menge t.
t ist eine Teilmenge der Zahlen von 1 bis 4, also ganz konkret.
Jetzt sehen wir uns mal an, wie das aussieht.
Unten sehen Sie das Einheitsintervall, da auch.
X ist die Identität.
Hier läuft Omega.
Hier sehen Sie jetzt diese Intervalle, halb offen.
Das sind die Teilungspunkte, ein Viertel, ein Halb, drei Viertel und
eins.
Und hier ist eben die Menge A1, das erste Intervall, A2, A3, A4, also
die Zerlegung des Einheitsintervalls.
Sie haben dann die Abbildung X, also hier habe ich die Y-Achse
beschriftet nochmal.
Wir sehen, diese Feinheit brauchen wir gleich, damit es ganz deutlich
wird, also auch von 0 bis 1.
Und das ist die Abbildung, der Graph eben dieser Identität.
Omega geht über in X von Omega gleich Omega, die Winkelhalbierende in
dem Intervall.
Also Sie sehen hier die Identität, also Omega geht über in X von
Omega.
Und jetzt ist natürlich die Frage, wie sieht unsere bedingte Erwartung
aus?
Wir haben ja gesehen, es kommt darauf an.
Das ist der Funktionswert, den unser Y, unsere bedingte Erwartung
annehmen soll auf der Menge aj, nämlich 1 durch p von aj mal Integral
xdp über aj.
So p von aj, sehen Sie, ist ein Viertel.
Jedes Intervall hat eine Länge ein Viertel, können Sie einsetzen.
Sie können aber auch das x integrieren.
Sie haben eine Stammfunktion von x, das ist x Quadrathalbe in den
jeweiligen Grenzen.
Das heißt, Sie können für jedes Intervall konkret rechnen und bekommen
raus eine geschlossene Formel, nämlich das ist nichts anderes als 2j
minus 1 Achtel, wenn Sie rechnen.
Für jedes j von 1 bis 4.
Insbesondere setzen Sie j gleich 1.
2 mal 1 ist 2, minus 1 ist 1, ein Achtel.
Das heißt, hier wäre der Funktionswert auf diesem ersten Intervall ein
Achtel.
Und die Abbildung, die wir haben, unsere bedingte Erwartung, unser Y,
was wir dann so geschrieben haben, e von xg, ist in dieser Form
schreibbar, nämlich 2j minus 1 Achtel, auf der Menge aj, mal Indikator
aj.
Und der Graph sieht dann so aus.
Wir sehen hier konstant, der rechte Endpunkt ist mit drin.
Dann auf dem zweiten Intervall ist der Funktionswert konstant 3
Achtel, dann 5 Achtel und dann 7 Achtel.
Das bedeutet, das wäre die Approximation von x, ganz konkret.
Sie sehen, die Abbildung ist einfacher.
Es ist eine Treppenfunktion, diese bedingte Erwartung.
Und in dem Sinne eine Approximation, sie liefert eben auf diesen vier
Intervallen das gleiche Integral wie das x.
Also ganz konkret angegeben und hingeschrieben.
Okay.
Jetzt kommt die Definition, die Allgemeine der bedingten Erwartung.
Ich habe eben sogar schon eine Bezeichnung verwendet.
Ich habe geschrieben E von x und dann Strich und dann steht die Sigma
-Algebra als Bedingung da.
Die habe ich schon verweggenommen, diese Bezeichnung.
Ein Wahrscheinlichkeitsraum, Ausgangspunkt, eine integrierbare
Zufallsvariable, also x ist aus L1, der Erwartungswert existiere, eine
Teil -Sigma-Algebra, G von A, sehr allgemeine Situation, eine
Zufallsvariable Y von Omega nach R heißt bedingte Erwartung von x
gegeben G, gegeben diese Teil-Sigma-Algebra und da schreiben wir das
kurz.
Das habe ich eben schon in dem Beispiel vorweggenommen.
Das Y wird so geschrieben, bedingte Erwartung von x gegeben diese Teil
-Sigma -Algebra, falls gilt und der Erwartungswert von Y existiert,
erste Bedingung, zweite Bedingung, Y ist G-messbar, schränkt eben ein,
je kleiner G ist, desto stringenter wird diese Forderung und dann
Integral von Y über A dp ist Integral von x über A dp, schreibe ich
jetzt mal kurz so und zwar ganz egal, wie diese Menge A ist in dieser
Sigma -Algebra G.
Das bedeutet gleiche Integrale.
Das ist jetzt die Definition.
Die Frage ist natürlich, gibt es das überhaupt?
Satz, Existenz und Eindeutigkeit dieser bedingten Erwartung.
Der Satz ist, das existiert, so eine Zufallswahl habe und sie ist
zugleich mit Wahrscheinlichkeit 1 eindeutig bestimmt.
Ich werde jetzt Ihnen für die Existenz einen ersten Beweis angeben,
werden später einen zweiten Beweis sehen, der konstruktiver ist.
Aber die Existenz bekommt man sehr einfach, wenn man sich auf einen
Satz beruft, einen tiefliegenden Satz der Maßtheorie.
Und zwar wie folgt, Memo, also es soll sein, der Erwartungswert von Y
soll existieren, Y soll G-messbar sein und die Integrale von Y und X
sollen übereinstimmen über jede Menge A in dieser Teilsigmare.
Das sind die drei Forderungen.
Beweis, Existenz.
Also X plus sei das Maximum von X und 0.
Ich hätte auch gleich sagen können, O B D A X größer gleich 0.
Jetzt führe ich ein den Positivteil und ich führe den Negativteil an,
beides sind nicht negative Zufallsvariablen.
Jetzt sehen Sie schon, eine kompakte Schreibweise, Nü plus minus, soll
heißen einmal Nü plus von A und einmal Nü minus von A.
Ich möchte das gerne in eine Definition verpacken.
Nun, Nü riecht nach Maß, wenn ich so eine Bezeichnung einführe.
Das ist nichts anderes als das Integral über A.
Sie sehen, einmal bei Nü plus wäre es das Integral von X plus dP und
bei Nü minus wäre es das Integral von X minus dP.
So, wir haben gelernt, also erst einmal kann man das schreiben auch
als Erwartungswert.
Sie sehen, das ist einmal der Erwartungswert von X plus mal Indikator
von A und einmal der Erwartungswert von X minus mal Indikator von A.
Das kann ich machen für jede Menge A.
Ich durchlaufe jetzt mal nur die Mengen aus G.
Natürlich könnte ich das machen für jedes A aus der Sigma-Algeba A,
aber ich nehme jetzt mal nur die aus der Teil-Sigma-Algeba G.
So, wir haben gesehen, wo ein Maß ist, ist auch ein Integral.
Und wenn ich, das war das Erste, und wenn ich natürlich jetzt eine
nicht negative Funktion habe, wie zum Beispiel X plus und dann
Integrale bilde, dann entstehen neue Maße.
Was ich jetzt hier betrachte, ist Folgendes.
Nü plus und Nü minus sind endliche Maße auf G.
Endliche Maße deshalb, weil das Integral über X plus über den ganzen
Raum Omega endlich ist.
Der Erwartungswert von X existiert.
Also das Integral X plus endlich und das Integral X minus endlich
auch.
Es ist auch endlich.
Also ich halte zwei endliche Maße, einmal Nü plus und einmal Nü minus.
Und zwar, ich schränke mich ein auf G.
Ich würde sogar Maße erhalten auf ganz Omega, wenn ich da oben auch
das A, auf der Sigma-Algeba A, nicht nur die Teil-Sigma-Algeba
durchlaufen lassen würde, sondern die gesamte Sigma-Algeba.
Aber ich habe auf jeden Fall zwei endliche Maße auf der Teil-Sigma
-Algeba G.
So, de facto schränke ich mich ein.
Ich betrachte die Restriktion von P auf die Teil-Sigma-Algeba G.
Das ist natürlich auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dieser Teil
-Sigma -Algeba.
Das ist die übliche Bezeichnung für so eine Restriktion.
Ich nehme also nur die Mengen aus der Teil-Sigma-Algeba.
Dann habe ich absolute Stetigkeit.
Das haben wir eingeführt.
Das war schon im ersten Kapitel.
Das heißt, wenn ich eine Nullmenge habe unter P, die in G liegt, also
P von der Menge ist Null, dann kommt auch das Integral Null raus.
Das heißt, es ist auch µ± von der Menge gleich Null.
Auch µ±.
Ich habe absolute Stetigkeit.
So, und jetzt gibt es diesen tiefliegenden Satz.
Satz von Radon-Nykodym.
Den haben wir nicht bewiesen.
Satz von Radon-Nykodym.
Wenn man den jetzt heranzieht, ist man sofort fertig.
Dieser Satz sagt, naja, das µ± hat eine Dichte und das µ± hat auch
eine Dichte bezüglich dieser Restriktion.
Aber ich habe hier G-Messbarkeit.
Diese Dichten, diese Funktionen sind jetzt G-messbar.
Das ist das Schöne.
Also Radon-Nykodym-Dichten, die einen nennen wir µ±, die anderen
nennen wir µ±.
Mit folgender Eigenschaft, für jedes A aus G ist eben das µ± von A,
ist das Integral µ±, integriert bezüglich dieser Restriktion auf G und
entsprechend bei µ± genauso.
Aber diese Integrale sind die gleichen, als wenn sie bezüglich P
integrieren würden.
Alle Mengen und hier die Funktionen sind G-messbar, dann sind sie
natürlich auch A-messbar.
Das ist hier das Entscheidende für alle A aus G.
Wir sehen, ich habe hier µ± ist ein Integral über µ± und µ± ist ein
Integral über µ±.
Das ist wieder der Erwartungswert von µ± mal Indikator A und der
Erwartungswert von µ± mal Indikator von A.
Und die Zufallsweibe, die wir hier haben, µ± µ±, die erfüllt alle
Eigenschaften im Memo.
Das heißt, ich hätte sogar noch einfacher vorgehen können und Ihnen
überlassen können, obda x größer gleich 0.
Jetzt habe ich wirklich die Zerlegung durchgeführt.
Sie sehen, ich habe getrennt für den Positivteil eine Funktion y±
gefunden.
G -messbar, wobei die Integrale dort dann gleich sind.
Da oben sehen Sie das Integral über x, dann über y.
Wir haben also hier die Gleichheit dieser Integrale und ich bilde die
Differenz, bleibt eine g-messbare Funktion und alle Eigenschaften sind
erfüllt nach Konstruktion und damit wären wir fertig.
Ich springe schon zur Eindeutigkeit.
Also Sie sehen mit dem Satz von Radonukodym und nur der kleinen
Überlegung, dass ich einfach das P einschränke auf diese Teil-Sigma
-Algebra und dort mit Positiv- und Negativteil getrennt arbeite,
bekomme ich zwei messbare Funktionen.
Das sind dann die Dichten, die Radonukodym-Dichten.
Eine nenne ich y±, die andere y± und dann bilde ich die Differenz.
Das löst natürlich Unbehagen aus, weil wir auch den Satz nicht
bewiesen haben.
Das ist jetzt sehr, sehr abstrakt.
Wir werden aber gleich konkreter werden und werden dann mithilfe eines
konkreteren Resultates einen weiteren Beweis hier angeben, durch ein
Approximationsargument.
Jetzt kommt die P-fasssichere Eindeutigkeit.
Also Annahme.
Stellen Sie sich vor, wir hätten zwei Zufallsvariablen, die
Eigenschaften E-Memo haben.
Zwei.
Nehmen wir die eine y und die andere y-Schlange.
Wir müssen zeigen, dass die P-fasssicher übereinstimmen.
Dann gilt.
Nun, Integral y dp muss natürlich gleich y-Schlange dp sein, ist
zugleich Integral x dp.
Das heißt aber, die liefern gleiche Integrale über die Mengen aus a
für alle a aus g. Zwei messbare Funktionen, gleiche Integrale.
Ich behaupte, diese Menge, also die Klein-Omega, für die gilt y von
Klein -Omega größer als y-Schlange von Klein-Omega, das ist eine
Menge, die in der Sigma-Algebra g liegt.
Und auch, wenn ich größer durch kleiner ersetze.
Die Frage ist, warum sind die beiden Mengen in der Sigma-Algebra g?
Naja, y und y-Schlange sind g-messbare Abbildungen.
Das haben Sie in der Analyse 3 gelernt, dass dann Ereignisse oder
Teilmengen von Omega von dieser Bauart, Sie können natürlich auch
sagen, das ist nichts anderes als y von Omega minus y-Schlange von
Omega größer 0.
Und die Differenz ist natürlich dann auch g-messbar.
Dass die Differenz größer 0 ist, ist nichts anderes als ein Urbild des
Intervalls von 0 bis unendlich.
Das heißt, wir haben Mengen, die in der Teil-Sigma-Algebra g liegen.
So, folgt, naja, jetzt nutze ich diese Gleichheit der Integrale aus.
Ich rechne mal den Erwartungswert aus des Betrages von y minus y
-Schlange.
Und ich muss integrieren, ich spalte den Integrationsbereich auf.
Einmal integriere ich über diejenigen Omega, wo y von Omega größer ist
als y-Schlange.
Dann ist natürlich dieser Integrant, da brauche ich keinen Betrag
schreiben, y minus y-Schlange dp.
Der Bereich, wo y gleich y-Schlange ist, den brauche ich nicht zu
betrachten.
Dann ist natürlich sofort der Integrant gleich 0.
Also muss ich noch den betrachten, wo y kleiner ist als y-Schlange.
Dann ist natürlich der Betrag dieser Differenz nichts anderes als y
-Schlange minus y, damit es wieder positiv wird, dp.
Also ich habe den Erwartungswert des Betrages ausgerechnet.
Jetzt sehen wir uns an, die Mengen, über die integriert wird, sind
beide in g. Das heißt, da haben wir ein Integral über eine Menge aus
g, das erste Integral, da steht y dp minus das gleiche Integral y
-Schlange dp.
Ich habe das nur zusammengefasst, dass ich den Integranten y minus y
-Schlange geschrieben habe.
Nach dem, was da oben steht, ist das erste Integral 0.
Und genauso das zweite.
Die liefern ja gleiche Integrale y und y-Schlange über die Mengen aus
g. Wenn ich also subtrahiere y minus y-Schlange und integriere über
die Mengen aus g, kommt 0 raus.
Das bedeutet, da kommt 0 raus.
Jetzt haben wir aber erhalten, dass das Integral, Erwartungswert ist
ein Integral, über eine nicht negative Funktion, der Betrag ist nicht
negativ, 0 ist.
Und das war eine Folgerung aus der Markov-Ungleichung, weit in der
Integrationstheorie, muss man sich mal wieder daran erinnern, denn
dieser Integrant ist mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 0, das heißt y
minus y-Schlange ist mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich 0 und damit y
gleich y-Schlange mit Wahrscheinlichkeit 1.
Das heißt, wir haben auf jeden Fall diese p-fasssichere Gleichheit.
Ich möchte das noch definieren.
Es ist folgendes üblich einzuführen, die Menge, eine Menge so zu
bezeichnen.
Sie sehen, was ist das?
E von x, g war für uns eine Zufallsverjahre, E von x unter der Bindung
g. Aber manchmal wird es so definiert, die Menge aller y, die
integrierbar sind, und L1, jetzt sehen Sie die g-Messbarkeit, steckt
in dem notierten blauen g, g-messbar, die die Eigenschaft haben, dass
sie gleiche Integrale liefern mit x über die Mengen aus g, dass man
die Menge als bedingte Erwartung von x unter g bezeichnet, diese
Menge.
Aber je zwei, die da drin sind in der Menge, haben wir eben gesehen,
stimmen mit Wahrscheinlichkeit 1 überein, das war diese p-faszischere
Eindeutigkeit.
Das ist natürlich die Frage, will man jetzt formal immer mit der Menge
rechnen?
Es hat sich eigentlich herausgestellt, man muss das mal gesehen haben,
dass eigentlich sozusagen je zwei, die da drin sind, mit
Wahrscheinlichkeit 1 übereinstimmen.
Man nennt dann jedes y, wenn man mit der Menge arbeitet, was da drin
ist, nennt man eine Version der bedingten Erwartung von x unter g.
Also wenn Sie das mal sehen, spricht man von Versionen.
Man nimmt sich eine beliebige Version dann raus und macht dann was mit
der.
Das heißt, wir werden im Folgenden aber Folgendes machen, für uns
steht e von x, g wirklich für so eine Zufallsvariable und für eine
beliebige Version im obigen Sinne.
Das ist hier etwas, was ich noch sagen wollte, also das finden Sie
manchmal, dass Sie wirklich sagen, formal ist es eine Menge, machen
Sie sich das klar.
Aber das sind natürlich ähnliche Überlegungen.
Denken Sie daran, als Sie Maßtheorie gemacht haben, man muss
vielleicht Funktionen identifizieren, die fast überall übereinstimmen.
Für Integrale kann man das sofort machen.
Wenn Sie mit den Klassen dann arbeiten, Äquivalenzrelationen
einführen, Sie sehen zwei Funktionen als identisch an, wenn sie fast
alle übereinstimmen, dann bekommen Sie zum Beispiel gewisse
Eigenschaften, dass plötzlich gewisse Funktionenräume normierte Räume
werden.
Vorher hätten Sie nur sagen können, wenn das Integral null ist, einer
nicht negativen Funktion, ist sie fast überall gleich null.
Wenn Sie aber in der Klasse arbeiten, können Sie sagen, da ist die
Nullfunktion drin.
Das ist die Nullklasse und dann können Sie von Norm sprechen.
Wir werden dann Ähnliches auch im Folgenden machen.
Ich werde dann auch mal von Norm oder Skalarprodukt sprechen im
Folgenden.
Das sollte man aber jetzt gesehen haben.
Je zwei Versionen stimmen mit Wahrscheinlichkeit 1 überein.
Und manchmal wird die Menge als bedingte Erwartung bezeichnet, wir
bezeichnen aber zufallsweise die drin sind als bedingte Erwartungen
und haben immer im Kopf, dass je zwei von ihnen mit Wahrscheinlichkeit
1 übereinstimmen.
Okay, dann danke ich Ihnen ganz herzlich.