Willkommen in der heutigen Lektion.
Ich möchte die grundlegende Definition und ein grundlegendes Ergebnis
erinnern.
Wir haben eine Probabilität, und wir haben eine randome Variante X,
die wir erwarten, dass sie existiert.
Also ist sie in L1.
Dann haben wir ein weiteres Sigma-Algebra.
Hier seht ihr das G, das Sub-Sigma-Feld von A.
Dann stellen wir eine Frage vor.
Gibt es eine randome Variante, nennen wir sie Y, mit den folgenden
Eigenschaften?
Erstens, die Erwartung, dass Y existiert.
Zweitens, dass Y mit Bezug auf das Sub-Sigma-Feld G ermittelt wird,
was eine echte Restriktion ist, wenn G wirklich ein echter Sub-Sigma
-Feld von A ist.
Ein extremer Fall wäre, dass G nur mit Bezug auf das emtliche Feld und
Omega besteht.
Dann sind die einzigen messbaren Funktionen die Konstante.
Drittens, was hat Y mit dem X zu tun?
Ihr seht also, dass die Integrale von Y mit Bezug auf P und von X mit
Bezug auf P gleich sein sollten, wenn alle Sätze in diesem Sub-Sigma
-Feld G integriert sind.
Das war die Frage.
Das Hauptresultat war die Theorie, dass ein solches Y existiert.
Wir haben es so geschrieben.
Ihr seht eine Erwartung.
Ihr seht die randome Variante X.
Und ihr seht eine Bedingung.
Diese Linie ist auf dem Sub-Sigma-Feld G bedingt.
Und dieses Y ist einzigartig mit Probabilität 1 bestätigt.
Wenn wir also noch ein anderes Y haben, nennen wir es Y-Tilde, dann
würden Y und Y-Tilde auf einer Probabilität-1-Linie einstehen.
Dieses Y nennt sich die conditionale Erwartung von X auf G.
Und es ist eine randome Variante.
Wir hatten, ich hoffe, ein erfreuliches Beispiel.
Also, wenn die Omega dekomponiert ist, seht ihr finitiv oder zahllos
viele paarweise verzerrte Sätze, A, N, die zu unserem Sigma-Feld
gehören.
Und wenn die Probabilität von A, N für jedes N strikt positiv ist,
dann bezeichnen wir das Sigma-Feld, das von diesen Ereignissen
generiert wird.
Und dies ist nichts anderes als das Set der ganzen Union von diesen
Ereignissen, die bezeichnet werden können.
Also, ihr seht, der J läuft durch ein Set T und T ist ein Subset.
Jetzt nehme ich hier das Set von Integernummern.
Okay, jetzt, mit Bezug auf dieses Sigma-Feld, ist die conditionale
Erwartung eine randome Variante, die so aussieht.
Es ist eine Summe von all diesen Enden.
Und jetzt seht ihr, dass wir die Probabilität von A, J unterscheiden
und die X mit Bezug auf P über dieses A, J integrieren.
Okay, also ist dies eine Art Integralmeine der randomen Variante X
über das Set A, J.
Und dann multiplizieren wir das Indikator von A, J.
Also bedeutet dies, dass nur einer der Indikatoren 1 ist, die anderen
sind 0.
Also ist diese Funktion konstant über diese Sätze A, J und auf A, J
ist die Wertung, die sie nimmt, die Meine von X über dieses Set A, J.
Ja,
ich denke, das war vielleicht wirklich ein erhellendes Beispiel.
Ich möchte fortfahren mit etwas, was wir schon hatten.
Eine Bemerkung, die möchte ich noch mal aufgreifen.
Man bezeichnet auch die Menge aller dieser Zufallsvariablen, die die
Eigenschaften erfüllen.
Also alle Zufallsvariablen, die integrierbar sind, das steckt in L1,
in der 1 oben.
Die messbar sind bezüglich g, das steckt in diesem g drin, bezüglich
der Teil-Sigma-Algebra.
Und derart, dass die Integrale von Y und X übereinstimmen über alle
diese Mengen aus g, bezeichnet man gern als bedingte Erwartung von X
unter g. Also eine Menge von Zufallsvariablen.
Wir wissen aber, je 2, die in der Menge sind, sind mit
Wahrscheinlichkeit 1 gleich.
Wenn wir also Zufallsvariablen identifizieren, die mit
Wahrscheinlichkeit 1 gleich sind, die Eigenschaften erfüllen, wir
würden eine Äquivalenzrelation definieren, und das wären dann die
Klassen.
Das heißt, so eine Identifizierung, auch Myphast überall, die haben
sie auch in der Analyse gemacht.
Ich komme da später noch mal drauf.
Nullmengen interessieren einfach nicht.
Man nennt dann jedes Y, was dort wirklich als Zufallsvariable drin
ist, eine Version dieser bedingten Erwartung.
Aber ich will mich dieser Sprechweise nicht anschließen.
Das heißt, ich sage wirklich im Folgenden, dieses E von X unter der
Bedingung g steht für eine beliebige Version in diesem Sinne.
Es ist eine Zufallsvariable und keine Menge von Zufallsvariablen.
Jetzt kommt eine weitere Erkenntnis über diese bedingte Erwartung.
Nämlich bedingte Erwartung als Orthogonalprojektion.
Wenn Sie das Wort Orthogonalprojektion hören, dann sollten Sie sich an
irgendeine Vorlesung erinnern in der Linie an Algebra.
Denken Sie an den ganz normalen n-dimensionalen euklidischen Raum.
Oder denken Sie vielleicht an einen allgemeineren Raum mit
Skalarprodukt.
Vielleicht haben Sie auch schon Kilberträume kennengelernt.
Das bedeutet, da gibt es die Begriffe senkrecht stehen.
Schon im RN können Sie auf irgendeine Ebene projizieren,
Orthogonalprojektion.
Sie bekommen da ein Lot, Fußpunkt.
Und man hat auch eine geometrische Vorstellung, was da abläuft.
Und hier kann man das auch so sehen.
Und zwar sehen Sie, wenn das X quadratisch integrierbar ist.
Sie sehen oben die 2.
Es ist jetzt in L2.
Das ist natürlich etwas Besonderes.
Eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert, da muss nicht
der Erwartungswert des Quadrates existieren.
Andersherum ja.
Aber wir haben jetzt eine spezielle Voraussetzung.
X ist jetzt in L2.
Dann wird behauptet, diese bedingte Erwartung ist eine
Orthogonalprojektion.
Auf was?
Von X auf einen Teilraum dieses Raums, denn der Raum ist ein
Vektorraum.
Und der Teilraum sind einfach diejenigen Funktionen, die da drin
liegen, Zufallsvariablen, die messbar sind bezüglich G.
Jetzt brauchen Sie Rechenregeln über messbare Funktionen.
Das ist wirklich dann auch ein Untervektorraum.
Und zwar kommt wieder was bezüglich was?
Eines Skalarproduktes, aber ich sage mal vorsichtig, positiv
semidefiniten Skalarproduktes.
Wir werden gleich sehen, warum.
Das liegt genau an dem, was ich eben sagte.
Ich kann, wenn eine Funktion nicht negativ ist und der Integral ist 0,
dann weiß ich nicht notwendig, es ist die 0-Funktion.
Aber ich weiß, sie muss fast überall gleich der 0-Funktion sein.
Das steckt hier immer hinter, dass es nicht positiv definit ist.
So ein Skalarprodukt ist einfach das.
Sie sehen dort Zufallsvariablen UV.
Sie sehen auch Klammern, die Sie vielleicht schon kennen.
Übliche Bezeichnung von einem Skalarprodukt.
Und das ist nichts anderes als der Erwartungswert von U mal V.
Man sollte sofort sehen, das ist erstmal wohl definiert, der
Erwartungswert existiert, denn wir sind in L2.
Also der Erwartungswert von U² existiert und der von V².
Da gibt es die Cauchy-Schwarzschuh-Ungleichung, Spezialfall der Hölder
-Ungleichung.
So, das ist wohl definiert, der Erwartungswert des Produktes.
Man sieht natürlich hier, wenn ich für V U einsetze, U, U, dann steht
der Erwartungswert von U².
Aber wenn da 0 rauskommt, dann hätte ich gern, dass U die 0-Funktion
ist, die konstante 0.
Aber ich weiß eben nur, fast überall gleich 0.
Deshalb sage ich positiv semidefinit, spreche aber trotzdem von
Skalarprodukt.
Man sieht insbesondere, das ist symmetrisch in U und V.
Und wenn Sie anstelle von U irgendeine Linearkombination einsetzen,
dann zieht sich alles raus.
Sie haben Linearität in jeder der beiden Argumente, auch in V.
Wenn Sie anstelle von V was einsetzen, das liegt einfach an
Rechenregeln über den Erwartungswert.
Und zwar, wir betrachten das natürlich, das Skalarprodukt ist auf ganz
L2ωAP definiert.
So, es gilt, jetzt kommt eine Bezeichnung, Sie sehen auch dort, das
sieht nach Quadrat einer Norm aus.
Diese Norm ist aber auch nur eine Seminorm.
Wenn die Norm jetzt hier von dem U Null ist, ich spreche von Norm,
dann weiß ich eben auch nur, das ist fast überall die Nullfunktion.
Weil das ist hier das Skalarprodukt von U mit sich selbst, mit anderen
Worten ist der Erwartungswert von U².
Das ist jetzt die Bezeichnung.
So, Sie sehen dort, Norm², also da steht nichts anderes als
Erwartungswert von X minus dieser bedingten Erwartung zum Quadrat.
Auf jeden Fall wissen wir, diese bedingte Erwartung von X unter G
existiert.
Denn das X ist auf jeden Fall auch in L1.
Wir wissen noch nicht, ob das überhaupt hier definiert ist, ob das
auch in L2 liegt.
Wir werden das gleich sehen.
Aber das ist das Infimum.
Jetzt sehen Sie, kommt eine Approximation, eine Bestapproximation im
Sinne dieser mittleren quadratischen Abweichung, Erwartungswert von
irgendwas minus irgendwas zum Quadrat, X minus W, Norm² mit der
Eigenschaft, dass W in diesem Teilraum ist, L2, Omega, G, P.
Sowie, es kommt noch mehr, jetzt kommt das senkrecht Stehen.
Jetzt sehen Sie das Skalarprodukt, jetzt sehen Sie so ein Element W in
diesem Teilraum, und jetzt sehen Sie das X, und wir ziehen jetzt ab
den Lotfußpunkt.
Das ist jetzt das, was wirklich senkrecht draufsteht, die Differenz, X
minus diese bedingte Erwartung, und Sie sehen das Skalarprodukt mit W,
da kommt 0 raus.
Das ist eben das senkrecht Stehen für jedes W in L2, Omega, G, P. Also
das ist erstmal der Satz.
Wenn zwei Zufallsvariablen den Erwartungswert 0 haben, sagen wir E von
U ist 0 und E von V ist 0, dann ist natürlich der Erwartungswert von U
mal V ist nichts anderes als die Kovarianz zwischen den beiden.
Die Kovarianz ist der Erwartungswert des Produktes minus Produkt der
Erwartungswerte.
Das heißt, es würde unkorreliert bedeuten.
Also Skalarprodukt 0 bei zentrierten Zufallsvariablen ist eben direkt
Kovarianz 0.
Memo.
Was ist zu zeigen?
Ich greife das nochmal auf.
Wenn also der Erwartungswert von X² existiert, X ist in L2, dann kann
ich schließen, diese bedingte Erwartung ist eine Orthogonalprojektion
auf diesen Teilraum.
Ich muss also jetzt mehrere Dinge zeigen.
Wir gehen dann mal ran an den Beweis.
Und zwar möchte ich erstmal abkürzen.
Ich bezeichne kurz mit L2 von G diesen Raum.
Ich schleppe also das Omega nicht mit und auch das P nicht mit.
Also das ist dieser Teilraum.
Jetzt definiere ich dieses Infimum Delta, sei dieses Infimum der
Abständenorm von X-W derart, dass W in diesem Teilraum ist.
Das Infimum.
Wir werden gleich sehen, dass dieses Infimum angenommen wird.
Wir zeigen zunächst, das ist der erste Schritt, es gibt ein Y in
diesem Teilraum mit der Eigenschaft, dass das Infimum wirklich
angenommen wird.
Und wir werden dieses Y identifizieren als bedingte Erwartung.
Das ist dann der zweite Schritt.
Erstmal die Existenz.
Gut, nehmen wir uns das erstmal vor.
Nach Definition von diesem Infimum gibt es dann eine Folge in dem
Teilraum, also nennen wir sie Yn in diesem Teilraum, derart, dass
diese Abstände von X und Yn für n gegen und endlich gegen dieses Delta
konvergieren.
Das ist einfach die Definition des Infimums.
An diese Yn klammern wir uns jetzt.
Und das Ziel wird sein zu zeigen, diese Yns bilden eine Cauchy-Folge.
Das ist der erste Schritt.
So, wir rechnen jetzt mal folgendes aus.
Norm von X-Yn zum Quadrat, also ich spreche von Norm, aber immer daran
denken, es ist nur eine Halbnorm, also mit anderen Worten
Erwartungswert von X-Yn in Klammern zum Quadrat.
Kann man ausrechnen nach Rechenregeln des Erwartungswertes.
Ich mache das gleiche und addiere den Erwartungswert von X-Yn in
Klammern zum Quadrat.
So, wenn Sie das ausrechnen und rechnen jetzt mal etwas anderes aus.
Ich behaupte, wenn Sie das ausrechnen zweimal und hier sehen Sie Norm
von X- und was da steht ist interessant, das ist gerade das
arithmetische Mittel von Yn und Ym zum Quadrat.
Dann werden Sie nicht auf die linke Seite kommen, aber wenn Sie dann
noch das addieren, ein Halbmal Ym-Yn Norm zum Quadrat.
Direktes Rechnen mit Erwartungswerten Rechenregeln liefert Ihnen diese
Gleichung.
Das rechne ich jetzt nicht weiter vor, weil das immer nur
Erwartungswert von irgendwas in Klammern zum Quadrat ist.
Wenn man sieht z.B.
sofort links haben Sie auf jeden Fall, wenn Sie ausrechnen, Norm von X
-Quadrat vom ersten Summand und nochmal Norm von X-Quadrat beim
zweiten Summand.
Auf jeden Fall haben Sie links stehen zweimal Norm von X-Quadrat auf
der linken Seite.
Das sehen Sie natürlich auf der rechten Seite auch, denn bei dem
ersten Norm-Quadrat haben Sie X stehen und davor den Faktor 2.
Sie sehen sofort zweimal Norm von X-Quadrat und da kommt auch rechts
vor.
Und so liefert direktes Rechnen, dass also diese Gleichung stimmt.
Die glauben wir jetzt.
Okay.
Ich behaupte, ich kann das jetzt nach unten abschätzen.
Nämlich schauen Sie sich jetzt dieses an, dieses arithmetische Mittel,
was da steht.
Das Entscheidende ist natürlich hier, dieses arithmetische Mittel ist
ein Vektor in unserem Untervektorraum, denn Ym und Yn sind drin, also
auch die Summe, also auch geteilt durch 2.
Okay.
Das heißt, da wird der Abstand gebildet, Quadrat des Abstandes von X
zu diesem Vektor und auf jeden Fall, Sie sehen oben, Delta war ja das
Infimum.
Das heißt, das Norm-Quadrat, was da steht, muss größer gleich Delta
-Quadrat sein.
Das heißt, ich kann sofort abschätzen, den ersten Summan nach unten
durch zweimal Delta-Quadrat.
Das andere lasse ich stehen, was da hinten steht.
Okay.
Ich behaupte, das gilt für jedes m und n größer gleich 1.
Ich behaupte, hieraus folgt, dass die Folge Yn eine Cauchy-Folge ist.
Das kann ich hieraus ablesen.
Warum?
Also schauen Sie sich jetzt diese beiden ersten Punkte an.
Das heißt, Sie haben einmal das X-Ym-Quadrat, das konvergiert auf
jeden Fall gegen Delta-Quadrat, wenn m gegen unendlich geht.
Es konvergiert aber auch für n gegen unendlich, das konvergiert auch
gegen Delta-Quadrat.
Das heißt, die linke Seite konvergiert gegen 2 Delta-Quadrat.
Auf der anderen Seite ist das immer größer gleich für jede Wahl von m
und n 2 Delta-Quadrat plus etwas da hinten.
Und da bleibt dem, was dahinter kommt, den 1 halb Ym-Yn-Quadrat nichts
anderes übrig, als gegen 0 zu gehen.
Das geht nicht anders.
Also sieht man, wir haben wirklich eine Cauchy-Folge.
So, jetzt kommt der nächste Punkt.
Dieser Raum ist vollständig.
Das haben Sie ganz allgemein für Maßräume gezeigt in der Analysis 3.
Das ist eben das Interessante bei solchen Räumen.
Die LP-Räume, berühmter Satz, sind vollständig.
Ich habe eine Cauchy-Folge.
Jetzt weiß man, Cauchy-Folge und Vollständigkeit, was Schöneres gibt
es nicht.
Ich habe einen Grenzwert.
Ich kann sofort schließen, es gibt einen Grenzwert, den nenne ich Y,
der ist in diesem Raum, also sehe ich schon, dass Y ist quadratisch
integrierbar, was ich jetzt habe.
Sehr schön mit der Eigenschaft, dass wirklich Yn-Yn diese Norm gegen 0
konvergiert, für n gegen unendlich.
Das habe ich jetzt erreicht.
Ich habe ein Element.
Jetzt müssen wir über das Y was erfahren.
An das klammern wir uns jetzt.
Und was haben wir?
Ich betrachte mal den Abstand zwischen X und Y, also diese Norm, und
für diese P-Normen, also hier immer dran denken, Halbnormen, gibt es
eine Dreiecksungleichung.
Kleiner gleich x-yn plus Norm von Yn-Yn.
Ich behaupte, hier was folgt für n gegen unendlich.
Nun sehen wir uns das an.
Nun, wir wissen, x-yn, das geht auf jeden Fall, das geht gegen Delta.
Das steht also dort in der vierten Zeile, da steht Limes, n gegen
unendlich, x-yn-Norm gleich Delta.
Das heißt, der erste Summand geht gegen Delta, und der zweite geht
gegen 0.
Das heißt, ich halte sofort, das x-y-Norm muss kleiner oder gleich
Delta sein.
Oh, ich behaupte sogar, Norm ist gleich Delta.
Also ich habe eben nur nachgewiesen, kleiner oder gleich Delta.
Warum ist es größer oder gleich?
Naja, das y ist ein Element in unserem Unterraum.
Und Delta war das Infimum.
Das heißt, dieser Abstand von x zu y muss größer gleich Delta sein.
Auf der anderen Seite ist er kleiner gleich Delta, haben wir eben
gesehen, also muss er gleich Delta sein.
Das heißt, hier wirklich, dieses Infimum wird angenommen.
Wir haben es.
Und jetzt ist natürlich die Frage, was können wir über dieses y weiter
schließen?
Nun, wir können Folgendes schließen.
Das sollten wir schon an der Stelle beachten.
Erstmal existiert der Erwartungswert von y.
Kleine Frage, warum?
Na, oben drüber steht schon, das y ist in L2, also der Erwartungswert
des Quadrates existiert.
Da weiß man, dann existiert erst recht der Erwartungswert.
Also das haben wir.
Zum anderen ist das y auch gemessbar, denn es ist in diesem Teilraum.
Ist ja in L2 Omega gp.
Also wir haben schon die Messbarkeit und Existenz des
Erwartungswertes.
Jetzt ist natürlich noch die Frage, damit wir zeigen können, es ist
die bedingte Erwartung, wir brauchen noch so was wie Gleichheit von
Integralen.
Es muss was mit dem x natürlich jetzt zu tun haben.
Sehen wir uns mal an, wie das läuft.
Memo.
Was müssen wir noch zeigen?
Für dieses y müssen wir zeigen, die Integrale stimmen überein.
Über alle Mengen a jetzt in g, die Integrale von y mit denen von x.
Da haben wir alles nachgewiesen.
So, wie geht das?
Jetzt kommt noch ein zweites Memo.
Also nochmal, das x-y, diese Norm, ist das Infimum, das ist wichtig.
Norm von x-w, w durchläuft diesen Teilraum L2 von g. So, was wir jetzt
machen, ist folgendes.
Wir nehmen uns ein beliebiges w her in diesem L2 von g und wir nehmen
uns ein beliebiges t her, real und betrachten diese Linearkombination.
y plus k mal w.
Da L2 von g ein Vektorraum ist, ist auch y plus t mal w in L2 von g.
Wir gehen jetzt in Richtung w weg.
In eine beliebige Richtung von dem y.
Faktor t.
So, es folgt.
Also schauen wir uns das mal an.
Das wäre jetzt, was dort abgezogen wird, Sie können auch vor dem y
eine Klammer machen.
Dann würden Sie abziehen, y plus t mal w und dann eine Klammer zu.
Wir bilden also den Abstand von x zu y plus t mal w.
Und dieser Abstand, Abstandsquadrat muss größer gleich Deltaquadrat
sein.
Das muss größer gleich dem Infimum sein.
Und das Infimum ist nichts anderes als x minus y.
Das heißt, das muss größer oder gleich sein.
Deltaquadrat und das ist Abstand von x minus y Quadrat.
Und zwar muss das gelten für jedes g und für jedes t.
So, wenn Sie jetzt die linke Seite ausrechnen, x minus y minus t mal w
Normquadrat, dann kommt raus x minus y Quadrat.
Man könnte es im Grunde mit einer binomischen Formel machen.
Minus 2t und jetzt kommt ein Skalarprodukt von x minus y und w plus
die Norm von t mal w zum Quadrat.
Das ist t Quadrat mal Normquadrat von w.
Und Sie sehen, das erste steht auch auf der rechten Seite.
Norm von x minus y Quadrat, das können Sie subtrahieren.
Da bleibt Folgendes über.
Minus 2t, Skalarprodukt von w und x minus y plus t Quadrat mal Norm
von w Quadrat ist größer oder gleich null.
Und wohlgemerkt, das gilt für jedes t aus r und es gilt für jedes w,
was in diesem Unterraum ist, L2 von g. Sie bekommen diese Ungleichung.
Sie können das sofort, gehen Sie zurück ins Gymnasium, neunte Klasse,
als Parabel interpretieren in t, eine quadratische Funktion in t.
Da fehlt das konstante Glied.
Geht sogar durch den Nullpunkt.
So, das kann überhaupt nur größer gleich null sein, wenn dieses
lineare Glied null ist.
Erstmal sieht man, dieses Skalarprodukt ist nichts anderes als der
Erwartungswert von w mal Klammer auf x minus y Klammer zu.
Und dadurch, dass das für jedes t größer gleich null ist, folgt
notwendigerweise, dass dieses gleich null ist.
Sonst kann das gar nicht für jedes t nicht negativ sein.
So, und das gilt für jedes w aus L2 von g. Das ist jetzt wichtig.
Das ist schon dieses senkrecht Stehen, was wir gleich dann auch
bekommen.
Also hier steht sozusagen das w senkrecht auf der Differenz x minus y.
So, wenn wir gleich y identifiziert haben, als bedingte Erwartung, wir
brauchen ja oben noch das, was im Memo steht, dann haben wir auch
dieses senkrecht Stehen gezeigt.
Speziell.
Ich könnte jetzt zum Beispiel Folgendes machen, ich setze w an als
Indikatorfunktion eines Ereignisses a und a liegt in g. Das ist ein
spezielles, liegt natürlich in L2, da der Indikator Quadrat des
Indikator ist integrierbar.
Erwartungswert des Indikators ist die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses.
Also kein Problem, das kann ich machen.
So, was erhalte ich dann?
Naja, was ist Integral x dp?
Also am Ende soll stehen Integral y dp, dann bin ich fertig.
Wenn ich hier integrieren würde, was würde ich machen?
Ich könnte über Omega integrieren, dann muss ich das a da wegnehmen
unten und muss schreiben Indikator a.
Das ist das gleiche wie Integral über Omega, Indikator a mal x.
Aber Integral über Omega dp ist ein Erwartungswert.
Also ich kann schreiben Erwartungswert von Indikator a mal x.
Das ist also nichts anderes als Erwartungswert Indikator a mal x.
So, ich behaupte, ganz frech, das ist Erwartungswert Indikator a mal
y.
Warum?
Na, jetzt schauen Sie dort, zwei Zeilen drüber, da steht der
Erwartungswert von w mal x minus y ist 0.
Und wenn wir für w so einen Indikator einsetzen, dann steht da
Erwartungswert Indikator a mal x minus y in der Klammer ist 0.
Das heißt aber gerade Erwartungswert Indikator a mal x minus, der
Erwartungswert ist linear, Indikator a mal y ist 0.
Oder, was gleichbedeutend ist, dieses Gleichheitszeichen.
Und das ist natürlich wieder Integral y dp.
Ja, damit sind wir fertig.
Das heißt, wir haben gezeigt, diese bedingte Erwartung ist in dem Fall
auch quadratisch integrierbar, sogar ein Element aus L2.
Wir haben die senkrecht stehenden jetzt gezeigt.
Wir haben alles nachgewiesen und haben natürlich jetzt durchaus auch
eine gewisse abstrakte geometrische Vorstellung von der bedingten
Erwartung.
Bestapproximation in einer gewissen Weise, im quadratischen Mittel.
Projektion auf den Unterraum.
Okay?
Wir sehen uns mal zunächst einige elementare Eigenschaften an und eine
dieser Eigenschaften werden wir dann verwenden, um einen neuen Beweis
zu führen, ohne Radon-Nikodym für die Existenz der bedingten
Erwartung, wenn ich nur weiß, die Zufallsvariable besitzt einen
Erwartungswert.
Hier haben wir mehr angenommen quadratische Integrierbarkeit.
Also nochmal das Memo.
Wir wissen, die bedingte Erwartung ist g-messbar und wir wissen, die
bedingte Erwartung liefert gleiche Integrale wie die Zufallsvariable x
über alle Mengen a aus g. Das sollte man sich immer wieder vor Augen
halten.
Eigenschaften.
Sie sehen also in römisch 1, es kommt noch eine zweite Box mit
Eigenschaften und es gibt noch weitere Eigenschaften.
Wir haben den Wahrscheinlichkeitsraum.
Okay?
Wir haben eine Teil-Sigma-Algebra von a, die hatten wir immer g
genannt.
Das bleibt also so.
Und wir haben zwei Zufallsvariable und sehen jetzt zu einem x kommt
noch ein y hinzu.
Die beiden seien integrierbar.
Und dann gelten und zwar schreibe ich schon dazu, damit man sieht,
dass ich da sensibel bin, bei b und d immer p fast sicher.
Ich lasse das meistens weg, es ist so selbstverständlich, dass ich
dann das oft nicht dazuschreibe.
Nun erstens, sehen Sie mal sich den Erwartungswert an dieser bedingten
Erwartung.
Und schauen Sie oben ins Memo.
Sie können in dem Memo in dem rechten Teil, können Sie insbesondere
für a den ganzen Raum Omega einsetzen.
Denn da liegt in der Teil-Sigma-Algebra g. Was erhalten Sie dann?
Dann steht da a Integral über Omega der bedingten Erwartung.
Das ist nichts anderes als der Erwartungswert der bedingten Erwartung.
Die habe ich dorthin geschrieben.
Auf der rechten Seite steht Integral über Omega x dp.
Das ist aber der Erwartungswert von x.
Also haben wir schon a bewiesen.
So etwas nennt man iterierte Erwartungswertbildung.
Wenn Sie mal an das Beispiel denken, was wir hatten mit dieser
Zerlegung von Omega in diesen Mengen.
Da würde ich zunächst mal bedingen nach diesen Mengen und dann nochmal
ein Integral bilden.
Das kennen wir aus der Einführungsvorlösung in die Storastik.
Wenn die Zufallshalle Indikator ist eines Ereignisses, ist das die
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit.
Nichts anderes.
Und später war es die Formel vom totalen Erwartungswert, wenn Sie sich
daran erinnern.
Wintersemester.
Das ist jetzt nur auf höherer Ebene.
Iterierte Erwartungswertbildung.
Wenn die Zufallshalle x schon g messbar ist, dann behaupte ich, die
bedingte Erwartung ist x.
Immer dran denken, p fast sicher.
Das Argument haben wir auch schon gehabt.
Denn wir suchen ja gerade eine g messbare Zufallsvariable y.
Und wenn das x schon g messbar ist, brauchen wir gar nicht weiter
suchen.
Trivialerweise existiert der Erwartungswert, weil der von x existiert.
Und trivialerweise stimmen die Integrale überein.
Das bedeutet, wenn das x schon g messbar ist, brauche ich gar nicht
mehr weitermachen.
Ich habe schon die bedingte Erwartung.
So, dritte Eigenschaft.
Hier sehen Sie eine Linearitäts- Eigenschaft auch der bedingten
Erwartung.
Also die bedingte Erwartung einer Linearkombination a mal x plus b mal
y, a und b reelle Zahlen, ist nichts anderes als die Linearkombination
der betreffenden bedingten Erwartungen.
Das ist also die Linearität, könnte man sie nennen.
Letzte Eigenschaft.
d.
Wenn x kleiner gleich y ist mit Wahrscheinlichkeit 1, dann überträgt
sich das auch auf die bedingten Erwartungen.
Auch hier könnte ich dahinter schreiben p fast sicher.
Also auch eine Monotonie, die wir haben bei Erwartungswerten,
überträgt sich auf die bedingten Erwartungen.
Die Eigenschaft wird gleich wichtig sein für einen neuen Beweis der
Existenz der bedingten Erwartung, wenn x nur integrierbar ist.
Das ist die Monotonie.
Sehen wir uns an, a und b haben wir eben schon bewiesen, folgen direkt
aus der Definition.
Ich mache nochmal ein rotes Ausrufezeichen dahinter.
Aber ich denke, das haben wir eben schon ganz gut begründet.
Sehen wir uns mal c an.
Die rechte Seite, die wir da sehen, ist auf jeden Fall eine g-messbare
Funktion, denn die bedingte Erwartung von x bezüglich g ist g-messbar.
Auch die von y.
Und Sie wissen, Linearkombinationen von messbaren Funktionen sind
messbar.
Das ist jetzt hier die g-Messbarkeit.
Die Frage ist, liefert das wirklich eine bedingte Erwartung dieser
Linearkombination a, x plus b, y?
Auf jeden Fall ist die rechte Seite auch p-integrierbar.
Das ist immer wichtig bei so einer bedingten Erwartung.
Und jetzt kommt diese Integraleigenschaft.
Wenn ich eine Menge a hernehme in dieser Teil-Sigma-Algebra und bilde
mal das Integral über a von dieser Linearkombination der bedingten
Erwartungen bezüglich p, dann wissen wir, das Integral ist linear.
Ich kann auf jeden Fall Konstanten vorziehen und kann die Summe
sozusagen aufbröseln in zwei Summanden.
Also a kann ich vorziehen, dann habe ich das Integral der bedingten
Erwartung von x bezüglich g dp und dann kommt noch plus b Integral der
bedingten Erwartung von y bezüglich g. Jetzt muss ich natürlich
ausnutzen die Eigenschaft, dass das Integral über so eine Menge a aus
g der bedingten Erwartung von x unter g gleich dem Integral über x
ist.
Das ist hier die entscheidende Eigenschaft.
Schauen Sie wieder ins Memo oben rechts.
Das heißt, das ist nichts anderes als a mal Integral x dp plus b mal
Integral y dp.
Jetzt kommt die Eigenschaft der bedingten Erwartung.
Und jetzt kann ich natürlich wieder Linearität des Integrals, kann das
Integral nach vorne ziehen und sagen Integral über a a x plus b y dp.
Das heißt, man sieht, ganz egal wie die Menge a gewählt wird, das
Integral von diesem Ausdruck links von der Linearkombination der
bedingten Erwartungen ist Integral über a, a mal x plus b mal y.
Auf der anderen Seite ist natürlich das Integral, was da rechts steht,
gleich dem Integral über diese linke Seite in c, der bedingten
Erwartung von a x plus b y unter g. Damit haben wir diese Gleichheit
nachgewiesen.
So, sehen wir uns d an.
Also, ich betrachte mal dieses Ereignis.
a sei das Ereignis, dass die bedingte Erwartung von x unter g einen
größeren Wert liefert, als die bedingte Erwartung von y unter g. Oder
ausführlich die Menge aller kleinen Omega in unserem Grundraum
Großomega mit der Eigenschaft bedingte Erwartung von x unter g an der
Stelle Omega größer als bedingte Erwartung von y unter g an der Stelle
Omega.
Okay.
Auf jeden Fall ist das ein Ereignis, was in dieser Subsigma-Algebra g
liegt.
So, jetzt nutze ich aus, dass x kleiner gleich y ist mit
Wahrscheinlichkeit 1, p-versicher.
Das steckt ja in der Prämisse drin.
So, ich behaupte erstmal, irgendetwas ist größer gleich 0, ein
Erwartungswert.
Erwartungswert ist ein Integral.
Nun schauen wir uns an, warum ist das größer gleich 0?
Naja, x kleiner gleich y heißt y größer gleich x, p-versicher, oder y
minus x, da steht da größer gleich 0, p-versicher, multipliziert mit
dem Indikator, der ist größer gleich 0.
Das bedeutet, der Integrant ist mit Wahrscheinlichkeit 1 größer gleich
0 und damit auch das Integral der Erwartungswerte.
Auf jeden Fall, was größer gleich 0 ist.
Auf der anderen Seite wird hier integriert über eine Menge a aus g und
zwar wird einmal y integriert und dann könnte ich das getrennt machen
für x und da steht ein Minuszeichen.
Das ist eigentlich eine Differenz von zwei Integralen.
So, jetzt kommt die Eigenschaft mit den bedingten Erwartungen.
So, das bedeutet, das ist der Erwartungswert, Indikator a und für y
kann ich jetzt schreiben, die bedingte Erwartung von y unter g. Dieser
Erwartungswert, Indikator a mal diese bedingte Erwartung ist gleich.
Links, Erwartungswert Indikator a mal y.
Weil das ist nichts anderes als ein Integral.
Einmal von y und einmal von der bedingten Erwartung über eine Menge
aus a.
Und jetzt sehen Sie, das Gleiche kann ich für x machen.
Gleiches Argument, deshalb ziehe ich jetzt hier rein, Minus e von x
mal g. Auch das wird natürlich mit dem Indikator multipliziert.
Jetzt kommt wieder nur die Eigenschaft im Memo oben rechts.
Immer die gleiche Eigenschaft.
So, jetzt schauen wir uns mal hier den Integranten an.
Indikator a ist größer gleich null.
Was ist denn mit dem anderen?
Da wird was ran multipliziert.
Naja, da steht e y unter g minus e x unter g. Naja, auf der Menge a,
also außerhalb von a ist der Integrant null.
Interessant ist, was auf a passiert.
Auf der Menge a, a ist aber das Ereignis, das steht drüber.
Da ist offenbar die bedingte Erwartung von x unter g strikt größer als
die von y unter g. Das bedeutet, die bedingte Erwartung von y unter g
minus bedingte Erwartung von x unter g ist strikt kleiner null.
Das heißt, es wird integriert über eine Menge a und der Integrant ist
auf dieser Menge a strikt kleiner als null.
Und da soll aber null rauskommen oder soll was rauskommen, was größer
gleich null ist.
Das kann nicht gehen.
Es sei denn, es sei denn, a hat die Wahrscheinlichkeit null.
Nur dann kann das passieren.
Das ist jetzt nichts anderes als direkt Maßtheorie angewandt.
Das bedeutet, wir erhalten die Wahrscheinlichkeit von a ist null.
Sie sehen, wie das Ereignis a gebildet wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die bedingte Erwartung von x größer ist
als die von y unter g ist null.
Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit ist 1, dass die umgekehrte
Ungleichung gilt und die steht in d, e von x unter g kleiner gleich e
von y unter g. P fast sicher.
Ich habe oben geschrieben, b bis d sollen jeweils P fast sicher
gelten.
Das heißt, das sind hier die ersten Eigenschaften.
Mit diesen Eigenschaften, wir nehmen uns jetzt die letzte vor.
Die brauchen wir gleich.
Beweisen jetzt ohne Radon-Nikotin.
Und das beruhigt nochmal so ein bisschen, weil Radon-Nikotin nie
bewiesen wurde.
Es sei denn, sie haben sich den Beweis angesehen.
Jedenfalls, es kam nicht in der ANA 3 vor und es kam auch nicht in
dieser Vorlesung vor.
Also...
Alternativer Nachweis der Existenz dieser bedingten Erwartung.
Und zwar wie folgt.
Das war 9.4.
Da haben wir die bedingte Erwartung eingeführt.
Die Zufallswahl x, die wir dort hatten, können wir ohne Beschränkung
der Allgemeinheit als nicht negativ annehmen.
Sonst betrachten wir eben getrennt wieder positiv und negativ teil.
Das haben wir auch damals gemacht.
Machen es einzeln.
Und bilden dann später, wenn wir einzeln bedingte Erwartungen erhalten
haben, die Differenz.
Okay.
Ich mache jetzt Folgendes.
Ich definiere eine neue Zufallsvariable.
Für jede natürliche Zahl n sei xn elementweise auf Omega das Minimum
von x und n.
Also xn von Omega ist das Minimum von x von Omega und n.
Auf jeden Fall sieht man, wenn ich n laufen lasse, habe ich eine
aufsteigende Folge.
Und die geht punktweise von unten gegen x.
Ich habe eine Funktion Folge auf unserem Raum, die punktweise von
unten gegen x konvergiert.
Richtig.
Monotonie.
Folgendes sollte man beachten, dass xn ist quadratisch integrierbar.
Denn das ist größer gleich 0 und auf jeden Fall kleiner gleich n.
Wir sehen sofort, dass xn² ist höchstens n² und das ist eine
Konstante, die ist integrierbar.
Wir haben Wahrscheinlichkeitsmaße.
Das bedeutet, durch dieses Abschneiden erhalten wir quadratische
Integrierbarkeit.
So, jetzt kann ich diesen Satz anwenden, den wir hatten, mit der
Orthogonalprojektion.
So, wir haben gesehen, nach Satz 9.7, das war der, existiert ein yn
und das ist eben die bedingte Erwartung von xn unter g. Das gilt für
jedes n.
Liegt natürlich jetzt auch in L2.
Das haben wir.
Für jedes n.
Jetzt kommt diese Monotonie.
xn kleiner gleich xn plus 1.
Kombiniert von unten monoton gegen das x.
Schließen wir jetzt, das war gerade diese letzte Eigenschaft aus
diesem Satz, yn kleiner gleich yn plus 1 pfaßsicher für jedes n.
Ich habe jetzt nur noch pfaßsicher.
Aber das Entscheidende ist, es kommt auf Nullmengen nicht an.
Also für jedes n habe ich jetzt eine Einsmenge, auf der yn kleiner
gleich yn plus 1 ist.
Wir wissen, der Schnitt von endlich vielen Einsmengen ist wieder eine
Einsmenge, hat auch die Wahrscheinlichkeit 1 und wegen Stetigkeit von
oben sogar der Schnitt von unendlich vielen.
Oder nehmen Sie Komplimente.
Sigma-Subadditivität.
So, das bedeutet, ich kann diese Ausnahmemengen sozusagen alle
zusammenpacken.
Jedenfalls auf einer Einsmenge habe ich hier sogar wirklich monotone
Konvergenz auch der y.
Das heißt, ich mache folgendes, ich setze an y, also diesen Limes der
yn, das kann ich machen auf dieser Einsmenge.
Und außerhalb der Einsmenge ist es egal, wie ich das mache, ich
definiere dann das y als Null.
Nur damit es definiert ist.
So, das Entscheidende ist, was ich hier erhalten habe, das y ist auf
jeden Fall eine g-messbare Abbildung.
Hier muss man natürlich kurz immer drüber nachdenken, aber es gibt
allgemeine Rechenregeln über messbare Abbildungen.
Sie sehen dort auch auf dieser Einsmenge sind die yn alle messbar.
So ein Limes von messbaren Funktionen ist messbar.
Und auf einer anderen Menge, die auch messbar ist, habe ich sie als
Null definiert.
Das geht die Messbarkeit nicht verloren.
Ich habe eine messbare Abbildung.
So, jetzt kommt es für jedes a aus g. Jetzt muss ich was nachweisen.
Nämlich Integral y dp.
Es soll rauskommen, Integral x dp.
Wenn ich das hätte, dann wäre auch die letzte Eigenschaft der
bedingten Erwartung noch geklärt.
Okay, fangen wir an.
Nun, das ist, kann ich schreiben als Erwartungswert y mal Indikator
von a.
Ist nur anders geschrieben, wir haben das eben schon mal gehabt.
Ah, das y ist Limes yn, auf die Nullmenge kommt es nicht an, mal
Indikator a.
Ich kann das so schreiben.
Das mache ich dann im nächsten Schritt.
Na gut, ich ziehe die Klammer.
Ich schreibe das eben als Limes yn mal Indikator a.
Indikator a ist eine feste Funktion.
Das ist kein großer Akt.
Was ich jetzt mache, ist, ich schreibe den Limes mal vor, den
Erwartungswert.
Ich vertausche Limes und Erwartungswert.
Und hier muss man sich immer kurz fragen, warum?
Warum darf ich hier vertauschen?
Ich vertausche Integral wieder mit einer Limes-Bildung und die haben
wir natürlich Monotonie von unten und da gibt es den wunderschönen
Satz der monotonen Konvergenz.
Begründung monotone Konvergenz für dieses Warum.
So, wie geht es weiter?
Na gut, hier behaupte ich, Erwartungswert von yn Indikator a ist der
gleiche wie Erwartungswert in die xn mal Indikator a.
Da steht schon, das gilt für jedes n, erst recht im Limes.
Nächstes Warum.
Also warum gilt für jedes n Erwartungswert yn Indikator a gleich
Erwartungswert xn mal Indikator a.
Naja, das ist ein Integral.
Da wird yn integriert über eine Menge a aus der Teilsigma-Algebra.
Da soll das gleiche rauskommen wie Integral xn über die Teilsigma
-Algebra.
Da oben steht doch gerade yn ist die bedingte Erwartung von xn unter
g. Das ist schon die Begründung.
Das bedeutet, deshalb muss ein Integral über yn über so eine Menge a
übereinstimmen, also was das gleiche ist wie Erwartungswert Indikator
a mal das yn wie entsprechend bei dem x.
Hier geht die Definition ein.
yn ist die bedingte Erwartung von xn unter g.
Ach, was mache ich denn hier?
Sehend wieder den Erwartungswert habe ich nach vorne gezogen.
Den Limes habe ich reingezogen.
Wieder ein Warum.
Gleiche Begründung wie eben.
Ich habe wieder Erwartungswert und Integralbildung als Integral- und
Limesbildung vertauscht.
Ich habe wieder Monotonie.
Die xn steigen auf.
Monotone Konvergenz.
Also auch hier bei dem Warum die Antwort ist, sind nur drei
Buchstaben, großes M, großes O, großes N.
Monotone Konvergenz.
Immer wieder verfolgen einen diese Sätze aus der Maßtheorie.
Ja, und Limes ist xn ist x.
Also ist das Erwartungswert x mal Indikator a.
Das ist das Integrale bei xdp über a.
Und damit sind wir fertig.
Sie sehen, wir brauchen Radionukotien gar nicht.
Wenn wir das in L2 gelöst haben, dann können wir über so eine
Approximation einer Funktion aus L1 über L2 Funktion mit diesem
Minimum, ich schneide einfach ab, bekomme ich auch das Resultat.
Also wichtige Erkenntnis.
Sie sehen dort einen zweiten Block von Eigenschaften für die bedingte
Erwartung.
In der Situation, die wir eben hatten, gelten jeweils mit
Wahrscheinlichkeit 1 folgende wichtige Eigenschaft.
Sie sehen dort x und y, zwei Zufallsvariablen.
Ich setze voraus, dass das Produkt integrierbar ist.
Also Erwartungswert des Betrages des Produktes ist endlich.
y soll g-messbar sein.
Dann folgt, jetzt kommt eine interessante Eigenschaft, jetzt sehen Sie
den Erwartungswert, die bedingte Erwartung des Produktes bezüglich g.
Und hier passiert folgendes.
Sie sehen, dass y kommt vor diese bedingte Erwartung.
Also y mal bedingte Erwartung von x unter g. Das bedeutet, die
Botschaft ist, so ein g-messbarer Faktor, wenn Sie einen Faktor drin
stehen haben, x mal y, der Faktor ist y, wenn der schon g-messbar ist,
dann kann man ihn rausziehen vor die bedingte Erwartung.
Er wirkt sozusagen in Bezug auf die bedingte Erwartung wie eine
Konstante.
Einer der wichtigsten Regeln im Umgang mit bedingten Erwartungen.
Zweite Eigenschaft.
Wenn f eine weitere Teilsigmaalgebra ist, und zwar jetzt eine
Subsigmaalgebra von g, dann gilt, ich kann die bedingte Erwartung
natürlich von x bezüglich dieser jetzt noch kleineren Sigmaalgebra
bilden, f, und dann heißt es, naja, ich kann es in zwei Schritten
machen.
Ich nehme erstmal hier die bedingte Erwartung von x bezüglich g als
Zufallsvariable, die ist jetzt g-messbar, und von dieser
Zufallsvariable nehme ich die bedingte Erwartung bezüglich f.
Ich mache das sozusagen in zwei Schritten.
So, wenn Sie dran denken, wenn Sie an L2 denken, okay, dann haben Sie
noch einen weiteren Teilraum, also L2g, jetzt haben Sie L2f, noch
einen weiteren Teilraum.
Sie können natürlich die orthogonale Projektion in zwei Schritten
bilden.
Sie können gleich projizieren, auf den ganz kleinen, oder in zwei
Schritten.
Aber wir sind hier in L1, wir sind hier nicht in L2.
Unter Umständen haben wir keine quadratische Hintergeberkeit.
Und trotzdem ist das, was ich eben sagte, wichtig, auch um sowas zu
behalten.
Als Regel.
Man nennt das die sogenannte Turmeigenschaft, also man hat quasi Türme
von Sigma-Algebren.
Hier sehen Sie den Betrag dieser bedingten Erwartung als
Zufallsvariable behauptet wird, das ist kleiner oder gleich, bedingte
Erwartung des Betrags.
Auch hier natürlich mit Wahrscheinlichkeit 1 immer.
Also diese ist eine Ungleichung zwischen Zufallsvariablen.
P fast sicher.
Das ist die Dreiecksungleichung für bedingte Erwartungen.
Letzte Eigenschaft, auch wichtig, wir werden die gleich noch
verallgemeinern, wenn X und G unabhängig sind.
Aber was heißt das überhaupt?
Eine Zufallsvariable und eine Sigma-Algebra sind unabhängig.
Das habe ich doch überhaupt nicht definiert.
Wir haben gesehen in der Einführung Unabhängigkeit von
Zufallsvariablen.
Okay.
Später haben wir Unabhängigkeit von Mengensystemen gehabt.
Dann haben wir allgemein Unabhängigkeit von Zufallsvariablen auf die
von Mengensystemen zurückgeführt.
X und Y sind unabhängig als abstraktwertige Zufallsvariablen, wenn die
erzeugten Sigma-Algebren unabhängig sind.
Also wenn ein X steht und eine Sigma-Algebra, kann das nur bedeuten,
Sigma von X als Mengensystem und das G sind unabhängig.
Und das ist damit gemeint.
Okay.
Oh, dann ist die bedingte Erwartung von X unter G die konstante E von
X.
Im Englischen habe ich das mal so gelesen, die können das immer so
salopp forget about independent stuff.
Also wenn irgendwas ist, das X ist unabhängig von dem G, dann streicht
das G komplett durch.
Brauchst du nicht.
Okay?
Sehen wir uns das an.
Beweis.
Teil A.
Das ist interessant.
OBDA können wir wieder X und Y beide als nicht negativ voraussetzen.
Hier natürlich auch wieder warum.
Das einzige was wir haben, sind immer die Zerlegungen.
Wir können X schreiben in X plus minus X minus und Y genauso in Y plus
minus Y minus.
Wir müssen uns nur überlegen, wenn wir einzeln für die vier Teile was
gefunden haben, dass wir das dann wieder zusammenbauen können am Ende.
Man sieht natürlich, was da rauskommt.
Wir haben ja hier solche Produkte.
Ich nutze natürlich dann Linearitäten aus.
Also das ist einfach der Punkt, den man sich überlegen muss.
Wir würden es sonst getrennt machen.
Für positiv und negativ Teile.
So, die rechte Seite, da oben in A, ist auf jeden Fall G messbar.
Wenn Y ist G messbar, steht das Produkt von Y mit der bedingten
Erwartung, die ist auch G messbar.
Ich habe auf jeden Fall eine messbare Funktion.
Das Entscheidende ist, die soll mir jetzt liefern, die bedingte
Erwartung von X mal Y gegeben G.
Das heißt, ich muss natürlich nachweisen, so Gleichheit von
Integralen.
Eine Integrierbarkeit habe ich auch, sieht man sofort.
Ich muss Folgendes zeigen.
Ich muss zeigen, dass Integral von dieser rechten Seite, Y mal
bedingte Erwartung, bezüglich P integriert, über A, muss gleich dem
Integral sein von X mal Y über A dP.
Und das Recht ist natürlich wieder gleich dem Integral über A der
bedingten Erwartung von X mal Y.
Wenn ich diese Gleichheit habe, dann weiß ich, dieser Integrant, der
da drin steht, ist wirklich die bedingte Erwartung von X mal Y unter
G.
Diese Gleichheit muss ich zeigen.
Das sieht auf den ersten Blick jetzt schwierig aus, aber die Idee ist
natürlich hier wieder die, wir machen uns das Leben mal erst mal
einfach.
Wir wissen zwar nicht, wie das Y aussieht.
Wir haben jetzt gesagt, es sei nicht negativ erst mal.
Das war der erste Schritt.
Das können wir machen.
Wegen Positiv und Negativ.
Wir nehmen mal einen ganz einfachen Fall an.
Wir müssen uns das zeigen, das habe ich noch vergessen.
Für jedes A aus G.
Wir nehmen mal was ganz Einfaches an.
Wir nehmen Y als ersten Indikator an.
Soll G messbar sein?
Das bedeutet, dass B muss auf jeden Fall in der Subsigma Algebra G
sein.
Jetzt haben wir ein spezielles Y.
Wir probieren mal, ob die Gleichung da oben für dieses gilt, für
dieses spezielle Y.
Und was passiert dann?
In was geht jetzt neuen 1 über?
Schauen Sie sich mal die linke Seite an.
Da steht Integral über A und für das Y haben wir jetzt Indikator B.
Aber Integral über A ist Integral über Omega, wenn ich auch noch einen
Indikator A reinschreibe.
Also steht da Indikator A mal Indikator B mal irgendetwas.
Aber Indikator A mal Indikator B ist Indikator A geschnitten B.
Also habe ich ein Integral über Omega, Indikator A geschnitten B.
Das kann ich aber schreiben als Integral über A geschnitten B.
Und jetzt steht da noch E von XG dP.
Das ist die linke Seite.
So schauen wir uns die rechte an.
Bei der rechten Seite steht auch Y ist Indikator B.
Ich kann das gleiche machen.
Integral über A schreibe ich als Integral über Omega, hole Indikator A
hoch, habe genauso Indikator A mal Indikator B drin stehen, ist
Indikator A geschnitten B.
Also habe ich Integral A geschnitten B X dP.
Das wäre die Gleichheit.
So stimmt die denn?
Na, ich behaupte, neuen 1 gilt.
Und warum?
Schauen Sie sich die Mengen an.
Die Menge A ist in G und die Menge B ist in G und G ist ein Sigma
-Algebra.
Also ist auch der Schnitt drin.
A geschnitten B ist eine Menge in G.
Und wir wissen, Integrale von X über Mengen aus G sind Integrale über
die bedingte Erwartung von X unter G über die Mengen aus B.
Das ist identisch.
Das ist die ganze Begründung.
So, das bedeutet, das, was wir zeigen müssen in A, gilt für
Indikatorfunktion.
So.
Oh, bin ich nicht fertig?
Stichwort algebraische Induktion.
Sie sehen sofort, wenn ich irgendwelche endlichen Linearkombinationen
von solchen Indikatorfunktionen habe, das geht nicht kaputt.
Ich habe Integrale.
Es gilt also auf der Menge der Elementarfunktionen.
Nicht negativ.
Und jetzt habe ich eine nicht negative Funktion.
Jetzt kommt nur noch Approximation von unten.
Das gilt auch nicht kaputt, die im Leben ist.
So war gerade das Integral eingeführt worden.
Das heißt, ich habe einmal die Linearität, dann komme ich auf
Elementarfunktionen und dann habe ich noch monotone Konvergenz von
unten.
So, das bedeutet, es reicht hier der Indikator aus.
Wichtige Eigenschaft.
Und hier sieht man nochmal, wie wichtig das ist an manchen Stellen,
sich das Leben erstmal einfacher zu machen und zu sagen, probieren wir
es doch mal mit so einer ganz speziellen Funktion.
Und dann ist es sofort die Definition der bedingten Erwartung, die wir
hier ausnutzen.
Okay.
B, was müssen wir da zeigen?
In B müssen wir zeigen, f sub sigma algebra von g, dann soll die
bedingte Erwartung von x gegeben f gleich der bedingten Erwartung der
bedingten Erwartung von g sein und dann bedingt nach f.
Also sozusagen in zwei Schritten.
Okay.
Wir nehmen uns mal eine Menge a aus f her.
Und wenn nach f bedingt wird, müssen wir ja später zeigen, Gleichheit
von Integralen über die Mengen aus f.
Nehmen wir mal a aus f her.
Erste Überlegung ist, f ist sub sigma algebra von g. Auf jeden Fall
ist das a auch in g. Das müssen wir, werden wir gleich brauchen.
Weil wir diese Inklusion haben.
Fangen wir mal an.
Integral über a.
Nehmen wir uns mal diese komplizierte Sache her, die wir da haben auf
der rechten Seite.
Also da sehen Sie eine Zufallsvariable, nämlich die bedingte Erwartung
von x unter g. Und von der wird die bedingte Erwartung bezüglich f
gebildet und wir integrieren bezüglich p.
Da die Menge a in f ist, muss da das gleiche Integral rauskommen, wie
das Integral über die Zufallsvariable, die wir dann bezüglich f
bedingen.
Das ist aber gerade die bedingte Erwartung von x bezüglich g dp.
Ist die Ausgangszufallsvariable.
Okay.
Naja, die Menge a ist auf jeden Fall jetzt in g. Sie sehen das
Integral der bedingten Erwartung von x unter g über so eine Menge muss
gleich dem Integral von x sein.
Über diese Menge.
Das ist die Teil der Definition der bedingten Erwartung.
Und jetzt nehmen wir uns wieder her.
Naja, die Menge a ist ja in f, die Ausgangsmenge.
Das muss auch das Integral sein, wenn ich die bedingte Erwartung von x
bezüglich f bilde.
Menge a ist in f.
Wiedereigenschaft der bedingten Erwartung.
Das heißt, man sieht, okay, wunderbar, die Integrale über a stimmen
überein.
Von linker und rechter Seite.
Und damit sind wir fertig.
Das ist also hier der Punkt, dass wir hier diese Inklusion haben.
Schauen wir uns c an.
Was war da nochmal zu zeigen?
Ah, Dreiecksungleichung.
Betrag der bedingten Erwartung kleiner gleich bedingte Erwartung des
Betrages.
Ungleichung zwischen Zufallsvariablen.
Sonst kannte man nur Ungleichungen zwischen Dreiecksungleichungen und
Zufallsvariablen.
Der Erwartungswert von x ist dem Betrag danach kleiner oder gleich e
von x Betrag.
Das ist jetzt auf der Ebene der bedingten Erwartungen haben wir jetzt
Zufallsvariablen.
So, was ist die Idee?
Auf jeden Fall können wir x schreiben als x plus minus x minus.
Zerlegung.
Und wir können schreiben auch Betrag von x, das ist gerade x plus plus
x minus.
Okay.
Dann wissen wir, auch die bedingte Erwartung haben wir eben gesehen,
bezüglich so einer Sigma-LGBP ist linear.
Der Punkt steht für das Argument.
Ich kann dort Zufallsvariablen einsetzen und auch Linearkombinationen
einsetzen.
Das ist also hier Linearität.
Was bedeutet das?
Nun, das bedeutet der Erwartungswert Betrag von x unter g und Betrag
von x nutze ich aus oben, x plus plus x minus ist der Erwartungswert
von x plus unter g plus die bedingte Erwartung von x minus unter g.
Das hat da sozusagen eins schon.
Okay.
Dann weiß ich noch, der Erwartungswert von x unter g, ich mache das
gleiche, jetzt haben wir nur x plus minus x minus ist die bedingte
Erwartung von x plus unter g minus bedingte Erwartung von x minus
unter g. Jetzt haben wir eigentlich alle Bestandteile zusammen.
Um das zu zeigen, ich weiß noch x plus ist größer gleich null.
x minus ist auch größer gleich null.
Positiv und Negativteil sind beide größer gleich null.
Und jetzt hatten wir gesehen, wenn ich so eine Beziehung habe, eins
ist größer gleich dem anderen, dann überträgt sich das auf die
bedingten Erwartungen.
Und die bedingte Erwartung von so einer konstanten Null ist die Null.
Kleine Überlegung.
Die Konstante selbst.
Also ist die bedingte Erwartung von x plus unter g nicht negativ, mit
Wahrscheinlichkeit 1 immer.
Und auch die bedingte Erwartung von x minus unter g auch größer gleich
null, mit Wahrscheinlichkeit 1.
Die Monotonie haben wir.
So.
Damit behaupte ich, folgt die Behauptung.
Jetzt müssen wir nur noch mal zusammenbröseln.
Was steht denn da?
Auf der linken Seite würde stehen, was dem zu zeigen ist.
Steht natürlich dann der Erwartungswert von x plus unter g minus
bedingte Erwartung von x minus unter g Betrag.
Das ist natürlich kleiner oder gleich.
Summe der Beträge.
Das ist klar.
Ich habe dann auf der rechten Seite stehen, Betrag von Erwartungswert
x plus unter g plus Betrag von Erwartungswert x minus unter g. Aber da
die nicht negativ sind, kann ich die Beträge weglassen.
Also steht auf der rechten Seite wirklich nur noch die Summe, die wir
hier stehen haben.
Zwei Zeilen unter dem Memo und das ist der Erwartungswert von x Betrag
unter g. Das heißt, wir haben diese Ungleichung gezeigt.
Also 3x-Ungleichung für bedingte Erwartungen.
Was bleibt noch über?
Das haben wir hier noch in d zu zeigen.
x und g unabhängig.
Dann folgt die bedingte Erwartung von x unter g ist der Erwartungswert
von x.
Die Konstante.
Eine konstante Zufallsvariable.
Naja, warum?
Die konstante Abbildung e von x ist auf jeden Fall g messbar.
Konstante Abbildungen sind messbar bezüglich der kleinsten Sigma
-Algebra, die es gibt, die nur aus der leeren Menge und Omega besteht
und damit auch bezüglich jeder größeren Sigma-Algebra.
Konstante Abbildung.
Ich nehme mir ein beliebiges a her in dieser Sigma-Algebra g und dann
behaupte ich, die Zufallsvariable x und Indikator a sind unabhängig.
Das liegt natürlich daran, dass ich sagte, die Unabhängigkeit heißt
einmal Sigma-x und dann das g und das x ist natürlich messbar
bezüglich Sigma-x und der Indikator a ist messbar bezüglich g. Wir
haben auf jeden Fall diese Unabhängigkeit.
So, was folgt?
Was kann ich damit schließen?
Ich bilde mal das Integral dieser bedingten Erwartung von x unter g
über a.
So, nach Definition der bedingten Erwartung ist das Integral x dp über
a.
Liefern gleiche Integrale, die Menge a ist in g. So, was ist der
Erwartungsfeld von x dp über a?
Das kann ich aber jetzt wieder so schreiben.
Ich kann das a hochholen als Indikator.
Dann habe ich ein Integral über Omega.
Indikator a mal x dp und das kann ich als Erwartungswert schreiben.
Das ist also nichts anderes als der Erwartungswert von x mal Indikator
a.
Jetzt habe ich zwei unabhängige Zufallsvarianten.
x und Indikator a sind unabhängig und da hatten wir schon in der
Einführung in die Stochastik eine Regel.
Der Erwartungswert des Produktes von unabhängigen Zufallsvarianten ist
Produkt der Erwartungswerte.
Also ist das, was hier steht, der Erwartungswert von x mal
Erwartungswert des Indikators von a.
Der ist p von a.
Das kann ich aber jetzt so schreiben als Integral e von x dp.
Ich könnte die Konstante e von x vor das Integral schreiben.
Da steht dann noch die 1 und die 1 integriert über a ist
Integralindikator a und das ist p von a.
Sie sehen also, die Konstante e von x und die bedingte Erwartung
liefern gleiche Integrale, um das mal zu zeigen.
Ich habe also eine Lösung des Problems erhalten.
Ich kann das g wirklich vergessen.
Wir werden das aber noch verallgemeinern.
Es kommt noch, was das enthält und was also dann natürlich noch
wichtiger ist.
Aber das war hier so ein erster Schritt.
Okay.
So, es gibt natürlich jetzt auch bedingte Versionen der
Konvergenzsätze.
Ich will Ihnen zwei mal vorstellen.
Wir sehen dort jetzt eine ganze Folge von Zufall zwei Jahren, einmal
ein x und dann eine ganze Folge x1, x2.
Alle mögen existierende Erwartungswerte haben.
Und g sei wieder eine Subsigma-Algebra von a.
Wir bilden wieder bedingte Erwartungen.
Dann gilt.
Wir sehen, sind die xn größer gleich 0 und konvergieren sie von unten
gegen x.
Monotone Konvergenz dieser Funktionenfolge.
Dann können wir schließen, dass die bedingten Erwartungen von xn unter
g als Folge von Zufall zwei Jahren mit Wahrscheinlichkeit 1
konvergieren gegen die bedingte Erwartung von x bezüglich g. Das würde
sozusagen der monotonen Konvergenz entsprechen.
Das ist jetzt eben nur auf der Ebene der bedingten Erwartungen.
Wenn ich die normale monotone Konvergenz mit mon abkürze, dann könnte
man das abkürzen mit cmon, nämlich conditional.
Und dann monotone Konvergenz.
Dann muss auch was gelten, was der dominierten Konvergenz entspricht.
Also stellen Sie sich vor, die Folge xn konvergiert mit
Wahrscheinlichkeit 1 gegen x, fast sicher.
Und ich habe eine Beschränktheit xn Betrag kleiner gleich y mit
Wahrscheinlichkeit 1 für jedes n derart, dass eine Zufall zwei y hier
vorliegt, die einen existierenden Erwartungswert hat.
Das ist die Dominiertheit dieser Folge.
Dann kann ich das gleiche schließen, was oben steht.
Dann konvergiert auch mit Wahrscheinlichkeit 1 die Folge dieser
bedingten Erwartungen gegen die bedingte Erwartung dementsprechend von
x unter g. Sie werden das finden auf dem neuen Übungsblatt.
Teil A sollte recht einfach sein.
Wir haben Monotonie, da haben wir eben schon was gehabt.
Bei Teil B habe ich Ihnen noch einen kleinen Hinweis gegeben.
Also es hilft, wenn man zum Beispiel mal solche Zn's einführt, die
Suprema über k größer gleich n xk minus x Betrag und sich bei dieser
Folge überlegt, dass sie von oben p fast sicher gegen 0 konvergiert.
Und da haben wir eben ein Resultat eben gehabt und noch ein zweites
Resultat.
Schauen Sie nach.
Dann muss weiter gelten.
Ausrufezeichen ist ja nur ein Hinweis.
Jetzt haben wir diese Ungleichung.
Die bedingte Erwartung von xn unter g minus bedingte Erwartung von x
unter g, dem Betrage nach, kann ich nach oben abschätzen durch den
Erwartungswert.
Die bedingte Erwartung von zn unter g. Damit kommt man eigentlich ganz
gut weiter.
Also das wäre dann für Sie jetzt mal eine Übungsaufgabe.
Okay.
So was wir jetzt machen, ist auch eine wichtige Ungleichung für
bedingte Erwartungen.
Die Jensen Ungleichung.
So wenn Sie sich an die Jensen Ungleichung erinnern, die hatten wir in
der Einführung in die Stochastik gehabt, das hat was mit konvexen
Funktionen zu tun.
Wenn x eine Zufallsvariable ist, alle Erwartungswerte, die wir jetzt
gebildet werden, existieren, dann ist der Erwartungswert einer
konvexen Funktion von x, sagen wir g von x, ist größer oder gleich
konvexe Funktion g an der Stelle des Erwartungswertes von x.
Ich habe eine Ungleichung.
Normalerweise kann man bei Erwartungswerten von Funktionen die
Funktion und Erwartungswert vertauschen.
Das geht bei Linearität, wenn ich so lineare Funktionen habe.
Bei der Erwartungswerte einer Linearkombination ist Linearkombination
der Erwartungswerte.
Aber wenn die Funktion anders ist, also hier bei einer konvexen
Funktion, hätte man eine Ungleichung in einer Richtung.
Bei einer konkaven Funktion eine Ungleichung in der anderen Richtung.
Wie überträgt sich sowas auf bedingte Erwartungen?
Stellen Sie sich vor, Sie haben eine konvexe Funktion.
Es gibt hinreichende Bedingungen, auch über Differenzierbarkeit, wenn
man zweimal Differenzierbarkeit hat, zweite Ableitung, größer oder
gleich 0.
Ich habe eine Zufallsvariante, die integrierbar ist, x1 und ich muss
voraussetzen, der Erwartungswert von g von x existiert.
Wenn ich dann eine Subsigma-Algebra habe, die bezeichnen wir dann mit
g, dann gilt folgendes für diese Subsigma-Algebra.
Jetzt sehen Sie die bedingte Erwartung der Zufallsvariante g von x
nach g. Also erstens ist das wohl definiert, weil das g von x eine
integrierbare Zufallsvariante ist.
Es gibt hier eine Zufallsvariante, die da steht.
Und es wird behauptet, diese Zufallsvariante ist größer oder gleich
einer anderen Zufallsvariante.
Natürlich hätte ich wieder schreiben müssen p fast sicher, aber ich
bin da einfach schreibvoll.
Wichtig ist immer solche Ungleichung, alles mit bedingten Erwartungen,
immer mit Wahrscheinlichkeit 1.
So, der andere, nämlich Sie haben die bedingte Erwartung von g von x
nach g sind Zufallsvariable und dann setzen Sie die Funktion g drauf.
Wenn die Bedingung nicht da stehen würde, das g, dann hätte ich Zahl.
Dann hätte ich den Erwartungswert von g von x größer oder gleich g von
e von x.
Das ist das, was die ganz normale Jensen- Ungleichung aussagt.
Wie geht der Beweis?
Nun, der Beweis nutzt natürlich was aus über konvexe Funktionen.
Also wenn Sie mal Graphen gesehen haben, das Entscheidende ist, die
Graphen sind dann so nach oben gekrümmt, aber sie müssen nicht überall
differenzierbar sein.
Es kann auch so Knickstellen geben.
Das Entscheidende ist aber, für jedes x aus R gibt es etwas, ich
bezeichne das mit d plus von g von x, das ist die maximale
Tangentensteigung von g an der Stelle x.
Also eigentlich müsste ich dann sagen Sekantensteigung, wenn ich gar
keine Tangente habe.
Die Tangente ist natürlich dann eindeutig, bei solchen Knickstellen
kann ich ein bisschen dran drehen.
Das ist dann die maximale Steigung, die ich dort bekommen kann.
Also der maximale Wert t mit folgender Eigenschaft, dass dann eben für
jedes y aus R, Sie sehen g von y größer oder gleich t mal y minus x
ist plus g von x.
Sie sehen dort auf der rechten Seite eine Gradengleichung als Funktion
von y.
Das t hängt natürlich von x ab.
Ich müsste eigentlich schreiben t gleich t von x.
Die Funktion liegt oberhalb, der Graph liegt oberhalb einer
Stützgraden an der Stelle x.
Das t hängt von x ab.
Bei Differenzierbarkeit ist das t nichts anderes als die Ableitung an
der Stelle x.
Also davon gehen wir aus.
Die Abbildung, die jetzt jedem x aus R zuordnet, dieses d plus von g
von x ist monoton wachsend.
Das liegt an der Konvexität.
Das ist wichtig.
Das ist eine monoton wachsende Abbildung.
Sie haben gelernt schon in der Analyse 3, solche monotonen Funktionen
sind messbar.
Die Überlegung war sehr, sehr einfach.
Ich muss nicht zeigen, dass das Urbild jeder Borellmenge wieder eine
messbare Menge ist, sondern nur für gewisse, für Intervalle.
Und dann sieht man sofort, bei monotonen Funktionen ist das also sehr,
sehr einfach.
Also monotone Funktion ist hier, das heißt, ich habe eine messbare
Abbildung, das ist alles wohl definiert.
Jetzt kann ich eben dort die Zufallsvariable einsetzen, e von xg als
Abbildung auf Omega.
Die Realisierungen sind natürlich dann jetzt diese kleinen ys, die da
oben stehen.
Ich habe auf jeden Fall auch eine messbare Zufallsvariable.
Das e von x nach g ist schon messbar, die bedingte Erwartung und ich
schalte das einfach nur drauf.
Das d plus von g. Jetzt folgt, jetzt kommen einfach die
Ungleichheiten.
Ich nutze hier jetzt folgendes aus.
Sie sehen, das kleine y, was da drei Zeilen drüber steht, das ist
jetzt x und die Realisierung sind die Groß x von Omega.
Da steht jetzt die Zufallsvariable drin.
Ich nehme mal jetzt die Ungleichheit von oben und für das x setze ich
die bedingte Erwartung ein.
Das ist hier, Sie sehen, das ist das t, was dementsprechend drei
Zeilen drüber, das ist jetzt dieses d plus von g an dieser Stelle.
Jetzt kommt y minus x, das y ist jetzt das Groß x.
Die Realisierung sind die kleinen ys.
Minus, das kleine x ist eben diese bedingte Erwartung plus g von, für
das kleine x oben wird die bedingte Erwartung eingesetzt.
Diese Ungleichung besteht elementweise auf Omega.
Das sind Abbildungen, Zufallsvariablen auf Omega.
Das ist einfach der Punkt.
So, was ich jetzt mache, wir haben hier eine Zufallsvariable, ist
größer oder gleich einer anderen.
Dann haben wir gesehen, das überträgt sich auf die bedingten
Erwartungen.
Das größer gleich gilt dann mit Wahrscheinlichkeit 1.
Das haben wir gesehen.
Monotonie.
Ich mache jetzt folgendes, ich bilde einfach mal, Sie sehen die
bedingte Erwartung von diesem g von x, was da drin steht, unter g. Das
muss also jetzt größer oder gleich sein.
Ich nehme die ganze rechte Seite, bilde die bedingte Erwartung nach g.
So, das bedeutet, Sie sehen die Erwartung.
Jetzt kommt die ganze rechte Seite und ganz am Ende sehen Sie den
Bedingungsstrich nach g. Diese Ungleichung gilt mit Wahrscheinlichkeit
1.
Ich verkneife mir wieder dieses p-Faß sicher.
So, jetzt rechnen wir.
Jetzt sehen Sie, ich habe hier Erwartungsfälle.
Oh, da steht auf jeden Fall eine Summe.
Irgendwo ist ein Plus.
Ich habe zwei Summanden.
Wir haben gelernt, bedingte Erwartungen sind auch linear.
Ich kann das einzeln schreiben.
Machen wir das.
Also, das war jetzt erstmal 9achd, das war diese Ungleichung, die wir
eben verwendet haben.
Wenn x kleiner gleich y ist, dann ist auch e von x unter g kleiner
gleich e von y unter g mit Wahrscheinlichkeit 1.
So, jetzt kommen Sie sehen, das ist die bedingte Erwartung.
Jetzt das erste Summanden vor dem Plus, aber bedingt nach g. Und jetzt
kommt noch die bedingte Erwartung von dem da hinten, auch nach g. Ich
habe also nur hier ausgenutzt, das war 9achd, die Linearität.
In dem Fall nur die Additivität.
So, wie komme ich jetzt weiter?
Naja, jetzt schauen Sie sich mal folgendes an.
Das ist jetzt interessant.
Irgendwie muss es jetzt weiter gehen und man muss den Durchblick
behalten.
Also der Durchblick würde jetzt geschärft, wenn wir sehen, naja, hier
links steht ein Produkt.
Ich habe hier einen Faktor da vorne.
Da steht das mal irgendwas.
Aber dieser Faktor, der da vorne steht, der ist auf jeden Fall g
-messbar.
Denn die bedingte Erwartung von x unter g ist g-messbar und ich
schalte die Funktion drauf, dieses d plus g von.
Ich habe auf jeden Fall die g-messbare Funktion und hinten steht nach
g bedingt.
Da ist die bedingte Erwartung nach g. Und da haben wir eben gelernt,
ich kann so einen Faktor, der messbar ist, nach vorne ziehen.
Vor die bedingte Erwartung.
Das mache ich jetzt im nächsten Schritt.
So, das bedeutet, im nächsten Schritt sehen Sie, ich habe diesen
Faktor rausgezogen und jetzt kommt erst die bedingte Erwartung von dem
Rest.
x minus e von x g unter g und den Rest lasse ich.
Ich habe also das ausgenutzt, was wir in 9.10a gemacht haben.
Der Faktor ist nach vorne gezogen worden.
Und jetzt schauen Sie sich an, was wir hier haben.
Naja, jetzt haben wir hier natürlich hier was Interessantes stehen,
nämlich diesen Ausdruck.
Der ist jetzt interessant.
Schauen Sie sich diesen Ausdruck an.
Den können Sie auch auseinander friemeln.
Da ist ein Minus drin.
Die bedingte Erwartung ist linear.
Also wäre das der Erwartungswert von x unter g minus der bedingten
Erwartung unter g. Da haben wir aber gesehen, iterierte
Erwartungswertbildung.
So, das bedeutet, der Erwartungswert von x unter g minus und was
abgezogen wird, ist auch der Erwartungswert von x unter g. Hier
brauchen wir gar nichts weiter machen, weil ich schon eine g-messbare
Abbildung habe.
Das war die Begründung.
E von xg ist schon messbar, ist schon g-messbar.
Die bedingte Erwartung, wenn ich nochmal nach g bedinge, passiert
nichts mehr.
Ich brauche nicht mehr weitersuchen.
So, das bedeutet, was da in dieser Klammer steht, ist null.
Dieser Faktor ist null.
Das bedeutet, es kommt nur noch auf den Rest an.
Also es bleibt nur noch über, ich behaupte, es bleibt nur noch das
über, nämlich auch hier die gleiche Begründung.
Hinten steht noch die bedingte Erwartung von irgendwas unter g, aber
das irgendwas ist schon g-messbar, da wird schon nach g bedingt.
Ich brauche nicht mehr weitersuchen.
So, ich kann dieses letzte Bedingen nach g weglassen.
Aus dem Grunde steht hier nur noch g von dieser bedingten Erwartung.
Das war die Eigenschaft, ist x schon g-messbar?
Dann ist der Erwartungswert von x unter g schon x selbst.
Das geht hier ein.
Und damit haben wir die Ungleichung bewiesen.
Also das war jetzt hier 9.8b.
Das war diese zweite Eigenschaft, die wir da hatten.
Also es ist immer wichtig, dass man sich wirklich die Eigenschaften,
die wir jetzt hier haben, klar macht, wie sie dann in Aktion wirken.
Okay, Jensen'sche Ungleichung.
Ich möchte Ihnen dieses Ergebnis noch zeigen.
Also ein Satz, einer von x und g unabhängige Sigma-Algebra ist
irrelevant.
Also ich sagte schon, forget about independent stuff.
Was steckt dahinter?
Das war die Situation 9.8, also mit unserer Sub-Sigma-Algebra.
Ich nenne die jetzt mal hier eine weitere, sei h.
Und g hatten wir schon gehabt.
Und jetzt kommt die Bedingung.
Wir sehen das h und eine Sigma-Algebra, die sehen Sigma von x erstmal,
die von x erzeugte, die vereinigen sie mit g und bilden dann die
erzeugte Sigma-Algebra und h.
Und dieses Mengensystem soll stochastisch unabhängig sein.
Okay, dann soll folgendes gelten.
Die bedingte Erwartung von x unter g soll gleich der bedingten
Erwartung von x sein.
Jetzt sehen sie dort auf der rechten Seite die von der Vereinigung von
g und h erzeugte Sigma-Algebra.
Die Botschaft ist also, sie können das h vergessen.
Hier geht die stochastische Unabhängigkeit, also wenn wirklich das h
stochastisch unabhängig ist, von allem, wo sie das x und das g
zusammenpacken, sag ich mal.
Dann spielt so ein h da hinten überhaupt keine Rolle.
Das ist die Botschaft.
So, werden wir mal sehen, ob wir das beweisen können.
Beweis.
Wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit, x größer gleich 0, nur
noch ein Ausrufezeichen, positiv und negativ teilgetrennt betrachten.
Jetzt kommt eine interessante Bildung.
Sie sehen ein Buchstabe µ.
Den habe ich, glaube ich, nur in der ersten Stunde gebraucht, als wir
so eine Verbindung zu Analysis 3 hergestellt haben.
Der Buchstabe µ, der riecht so nach Maß.
Sonst würde ich den gar nicht verwenden.
Also schauen wir mal, ob da wirklich was rauskommt.
Ich integriere x über die Menge a.
dp und a.
Ich habe noch µ von a und µ von a sei integral über a.
Jetzt nehmen wir die bedingte Erwartung von x unter g dp.
Und das mache ich aber jetzt.
Und das ist interessant.
Für jedes a, was in dieser Sigma-Algebra ist.
Sie sehen in der von der Vereinigung von g und h erzeugten Sigma
-Algebra.
Auf jeden Fall x ist größer gleich null und integrierbar, ich erhalte
zwei endliche Maße.
µ und µ auf dieser Sigma-Algebra.
Ich kann ganz Omega einsetzen, da kommt was Endliches raus.
Was weiß ich noch über die Maße?
Stellen Sie sich vor, die Menge a wäre, ich wüsste sogar, die sei
schon in g. Ich weiß doch zunächst mal nur, die ist in Sigma von g
vereinigt h.
Und ich weiß, dass sie in g ist, die Menge a.
Dann würde ich ja integrieren Integral x dp über eine Menge aus g und
dann auf der rechten Seite steht Integral der bedingten Erwartung von
x unter g über diese Menge aus g und da stimmen die doch überein.
Das war die Definition der bedingten Erwartung.
Mit anderen Worten, ich kann sagen, wenn ich diese beiden Maße µ und
µ, wenn ich die Einschränkungen bilde auf g, dann stimmen die überein.
Wenn ich nur Mengen aus g betrachte, ist das die Definition der
bedingten Erwartung.
Die beiden Maße stimmen überein auf g. Wenn ich zeigen könnte, dass
sie übereinstimmen auf der größeren Sigma-Algebra, wäre ich fertig.
Das muss man sich klar machen.
Ich weiß nur, sie stimmen da überein.
Wenn ich zeigen könnte, ich könnte jetzt a beliebig setzen, da drin,
und es käme das gleiche raus bei den Integralen, dann hätte ich genau
das gezeigt, was da oben steht.
Das ist das Ziel.
Wenn man das jetzt gesehen hat, das hat was mit Maßen zu tun, die
jetzt übereinstimmen auf gewissen Mengen in der Sigma-Algebra, dann
denkt man sofort, Mensch, da gibt es doch diesen Eindeutigkeitssatz
für Maße, also Gleichheit von zwei Maßen.
Wenn ich irgendwas weiß über die Maße, auf gewissen Mengen stimmen die
überein, kann ich das dann hochziehen.
Das ist alles.
Vielleicht kommt dieser Satz jetzt in Aktion vor.
Das Warum habe ich eben schon beantwortet.
Warum die da übereinstimmen, das liegt ganz einfach daran an der
Definition der bedingten Erwartung.
Wenn die Menge a aus g ist, dann haben wir hier Gleichheit dieser
Integrale.
So beachte.
Diese bedingte Erwartung von x nach g ist auf jeden Fall integrierbar,
sie ist in L1 und sie ist messbar bezüglich g, also ist sie erst recht
messbar bezüglich der größeren Sigma-Algebra, die von g verheinigt h
erzeugt wird, also sie ist in diesem Raum.
Okay.
Ich muss also nur noch zeigen, dass my und übereinstimmen.
Also jetzt muss ich sozusagen sehen, ich muss eine beliebige Menge in
dieser erzeugten Sigma-Algebra hernehmen.
Das versuche ich natürlich zu vermeiden, weil ich gar nicht genau
weiß, wie diese erzeugte Sigma-Algebra konkret aussieht, wie die
Mengen aussehen.
Ich definiere mir ein Mengensystem M.
Das nehme ich an, oh ich nehme Schnitte.
g geschnitten h.
Das g sei aus dieser Sigma-Algebra kaligrafisch g und das h sei aus
der Sigma-Algebra kaligrafisch h.
Betrachte solche Schnitte.
Okay.
Dann behaupte ich erstmal, das Mengensystem M ist durchschnittsstabil.
Wenn ich zwei Mengen von der Bauart habe, ist die eine g1 geschnitten
h1, die andere ist g2 geschnitten h2.
Wenn ich die schneide, komme ich auf g1 geschnitten g2 geschnitten h1
geschnitten h2.
g1 geschnitten g2 ist in g, weil das eine Sigma-Algebra ist.
h1 geschnitten h2 ist in h, weil das eine Sigma-Algebra ist.
Also habe ich ein durchschnittsstabiles Mengensystem.
So, jetzt kommt noch was.
Ich behaupte, die erzeugte Sigma-Algebra von M ist die gleiche wie
die, die von g vereinigt h erzeugt wird.
Auch hier immer die Frage, kann man sich das schnell klar machen?
Hier stehen Sigma von einem Mengensystem ist Sigma vom anderen
Mengensystem.
Da hat man eine Beweisidee.
Wir haben früher gelernt, wenn M1 Teilmenge Sigma von M2 ist und M2
Teilmenge Sigma von M1, dann gilt Sigma von M1 gleich Sigma von M2.
Das heißt, ich bräuchte einfach nur zu zeigen, ist M ein Teilsystem
von rechts von dieser erzeugten Sigma-Algebra von g vereinigt h, da
sieht man in M liegen solche Schnitte.
Na gut, also g ist in der einen, h in der anderen.
In der Sigma-Algebra, die von g vereinigt h erzeugt wird, müssen
solche Schnitte liegen.
Das heißt, M ist Teilsystem davon und dann erst richtig Sigma von M.
Auf der anderen Seite muss ich zeigen, wenn g von h, g vereinigt h,
sozusagen ein Teilsystem von Sigma von M ist, was es auch ist, sieht
man sofort, dann natürlich auch erst recht Sigma von g vereinigt h,
Teilmenge Sigma von M.
Das heißt, mit diesem Trick Arbeitstechniken für Erzeuger haben wir
das genannt, sieht man, dass die gleich sind.
Okay.
Zeige.
Mü von M gleich Mü von M.
Wenn ich das zeigen könnte für jedes M aus M, wäre ich fertig.
Jetzt kommt der Maßeindeutigkeitssatz.
Durchschnittsstabiler Erzeuger.
Nur noch die Gleichheit auf M.
Nun, sehen wir uns mal an.
Wir nehmen mal zwei Mengen her, g aus g und h aus h.
Jetzt wissen wir, g geschnitten, h ist in M.
Jetzt kommt die Voraussetzung.
Die Voraussetzung sagt, wegen der Unabhängigkeit dieser Sigma-Algebra,
diese beiden Zufallsvariablen sind nicht stochastisch unabhängig.
Das ist das Entscheidende.
Hier geht die Unabhängigkeit ein, dieser einmal h und dann Sigma von
Sigma von x vereinigt g unabhängig.
Und ich habe schon die Begründung gegeben.
Jetzt geht das ein.
Jetzt mache ich wieder folgendes.
Jetzt integriere ich, g geschnitten h ist die Menge aus M, x dp.
Das Entscheidende ist, das ist nach Definition, Mü von g geschnitten
h.
So ist Mü von a allgemein eingeführt.
Mü von g geschnitten h ist aber nichts anderes.
Hier ist das Integral.
Das können Sie wieder als Erwartungswert schreiben.
Indikator h mal x mal Indikator g. Gleicher Trick wie eben.
Und die sind unabhängig.
Erwartungswert eines Produktes von Unabhängigen ist Produkt der
Erwartungswerte.
Erwartungswert Indikator h mal Erwartungswert Indikator x,
Entschuldigung, Erwartungswert x mal Indikator g. Und der
Erwartungswert Indikator h ist p von h.
Und das andere ist natürlich nach Definition wieder Mü von g. Integral
x über g ist Mü von g. Das Gleiche können Sie machen, da dieser
Indikator und auch das unabhängig ist, denn die bedingte Erwartung ist
g messbar.
Mal Indikator g. Sie haben was g messbares und dieser Indikator ist
unabhängig davon.
Nach der gleichen Bedingung können Sie das Gleiche nochmal machen und
erhalten Mü von g geschnitten h ist auch p von h mal Mü von g. Jetzt
wissen wir aber, Mü und g stimmen überein auf den Mengen g. Das war
die Restruktion, sind gleich.
Also haben wir hier die Gleichheit.
p von h ist der gleiche Vorfaktor.
Das heißt, wir haben hier wirklich, dass die überein stimmen und haben
dann diesen Satz bewiesen.
Den werden wir dann auch beim nächsten Mal anwenden.
Aber für heute ist, denke ich, genug getan und ich danke Ihnen und
wünsche Ihnen noch eine schöne Restwoche.
Dann bis nächsten Montag.