Und bevor wir jetzt irgendwas machen, ein ganz wichtiger Hinweis.
Ich werde versuchen, da die nächsten paar Vorlesungen auch dran zu
denken.
Ansonsten kann mich jemand bitte daran erinnern.
Ganz wichtig, Datenschutz.
Wir zeichnen die Vorlesung per Video auf.
Das heißt jetzt nicht, dass Sie nicht mehr in die Vorlesung kommen
sollen, sondern das ist eigentlich gedacht als kleiner Service, dass
wenn mal wichtige Gründe, was weiß ich, Beerdigung der Oma, Opa oder
sonstige Dinge, Krankheit, man die Vorlesung verpasst, dass man die
sich nacharbeiten kann anhand von so einem Video.
Und dass man im Zuge der Prüfungsvorbereitung nochmals die Gelegenheit
hat, wenn einem etwas unklar ist, das anhand der Videos
nachzuvollziehen.
Die Videos werden normalerweise in der Bibliothek hinterlegt.
Wir haben mittlerweile auch, wenn ich es richtig weiß, einen YouTube
-Kanal.
An all diejenigen, die es vorziehen, die Vorlesung zu Hause
anzuschauen.
Also ich kann Ihnen versichern, es gibt eigentlich nichts Schöneres,
als sich neben eine nette Kommilitonin oder einen netten Kommilitonen
zu setzen und dann live hier anwesend zu sein.
Ich würde mir die Gelegenheit nicht ausgehen lassen.
Ich kann Ihnen auch aus Erfahrung sagen, dieses, ach in die Vorlesung
gehe ich nicht, da lese ich lieber ein gutes Buch oder schaue mir das
Video an.
Das ist in der Theorie ein hehres Ziel, die Praxis scheitert meist an
der Realität.
Also ich halte jetzt schon Vorlesungen seit so und so vielen Jahren
und die Jahrgänge sind immer dieselben.
Auch im eigenen Bekanntenkreis musste ich schon welche auf Vordermann
bringen, die dachten, na gut, Vorlesung, warum muss ich da hin?
Mir hat mal ein Bekannter von mir gesagt, ach, die werden es schon
nicht so schwer machen in der Prüfung.
Das hat dann natürlich nicht ganz geklappt, also denken Sie daran, Sie
sitzen a in der Vorlesung und b in der Übung.
Zunächst mal als erstes Ziel, um die entsprechende Prüfung zu
bestehen.
Sie sollten auch immer dran denken, Prüfungen nicht nur einfach zu
bestehen, sondern ganz wichtig in Deutschland, die mit einer guten
Note zu bestehen.
Also alle unsere Mitarbeiter, die haben sicherlich die Mechanik mal
mit einer sehr guten Note abgeschlossen und
viele Personaler dürften wahrscheinlich ein Augenmerk auf die
sogenannten Pflichtvorlesungen haben.
Warum?
Nun, weil dort noch Noten vergeben werden, wie in der Schule, wenn sie
mal im Masterbereich sind oder in irgendwelchen Kürvorlesungen.
Dort sind die Noten meistens immer gut oder wie schreibt der Heiko
Mell in den VDI Nachrichten, wenn die jemand kennt, also eine 2 in der
Masterarbeit ist eigentlich schon eine sehr, sehr schlechte Note.
Also man sollte mindestens eine 1 oder eine 1,3 oder sowas in der
Richtung haben, um da eine entsprechende Leistung gezeigt zu haben.
Das vielleicht als kleine Vorbemerkung.
Ich warne auch all diejenigen, die zunächst in den ersten Vorlesungen
und Übungen denken, ach in der TM3, das ist alles so einfach, das
kenne ich von der Schule.
Das rührt einfach daher, dass wir zunächst mal alle auf einen
gemeinsamen Stand bringen müssen.
Da sind dann am Anfang natürlich ein paar leichtere Themenstellungen
drin.
Was weiß ich, die Bewegung von dem Massenpunkt, erstens mal die
Beschreibung der Kinematik, dann die Kinetik dazu, das Nudensche
Grundgesetz.
Die meisten kennen das natürlich irgendwoher, aber irgendwann wird es
dann schwieriger und das wird dann im Endeffekt so schwierig, dass
eben viele in der Prüfung dann letztendlich durchfallen.
Und man hat dann die Möglichkeit, die Prüfung ein zweites Mal zu
schreiben, vielleicht auch in eine mündliche Prüfung zu gehen.
Und leider zeigt sich, dass auch dort noch einige durchfallen.
Also nehmen Sie das Ganze nicht auf die ganz leichte Schulter.
Sie sollten auch das Studium zunächst mal als wie so eine Art Beruf
auffassen.
Denken Sie daran, Ihre gleichaltrigen Kameraden oder Kameradinnen, die
sind vielleicht schon an einer Arbeitsstelle, die müssen morgens um,
das weiß ich, um sieben oder wenn sie Bäcker sind, vielleicht noch
früher aufstehen und dann relativ lange arbeiten, verdienen einen
Bruchteil von dem, was Sie hoffentlich später verdienen und
finanzieren letztendlich Ihr Studium.
Denken Sie immer daran, irgendjemand hat mir mal auf den Zettel
geschrieben, die Prüfungen sind der Imperativ der Gesellschaft auf die
Studenten und ich habe dann nur gedacht, solange ich so viel Steuer
zahle, will ich diesen Imperativ dann doch gerne ausüben.
So, das vielleicht als kleine Bemerkungen.
So im Laufe der einzelnen Vorlesungen werde ich vielleicht hin und
wieder auch was dazu sagen, was dazu dienen soll, dass Sie auch in der
Prüfung dann letztendlich bestehen.
Es gibt so gewisse Mindestanforderungen, die sage ich dann zum Teil in
der Vorlesung.
Also wer das nicht kann, der kann bei der mündlichen Prüfung sofort
wieder rausgehen.
Leider gehen dann auch einige sofort wieder raus.
Ich hoffe, dass Sie nicht dazugehören.
Und jetzt muss ich mal überlegen, was ich so vergessen habe in der
Ankündigung.
Vorlesung.
Sie sehen, hinter mir stehen zwei Herren.
Das sind Mitarbeiter, die also mal sehr gut in Mechanik abgeschlossen
haben.
Die sind für die Übung verantwortlich.
Das ist zum einen der Herr Aramendis mit dem Bart,
der eine schwarze Farbe hat.
Zum anderen der Herr Römer, der auch einen Bart hat, allerdings einen
etwas rötlichen.
So kann man die gut unterscheiden.
Der Herr Römer wird allerdings nur die Übungen des halben Semester
halten.
Dann wird es da einen Wechsel geben.
Das wird dann der Herr Kapelke sein.
Ich denke, bis dahin hat es noch Zeit.
Wenn wir den jetzt auch noch vorstellen, dann haben Sie das vergessen.
Aber die Übungen sind natürlich ganz wichtig.
Die sind dazu da, dass sie eigentlich immer am Ball bleiben, was den
Stoff anbelangt.
Und damit sie das auch wirklich tun, gibt es nicht nur die Übungen und
die Übungsaufgaben, sondern es gibt auch eine entsprechende Korrektur
der Übungsaufgaben.
Und mangels finanzieller Mittel können wir leider nur eine der
Aufgaben von jedem Übungsblatt korrigieren.
Das Übungsblatt selbst wird allerdings nur anerkannt, wenn diese
korrigierte Aufgabe, und das weiß man vorher nicht, welche das ist,
wenn die von hinten bis vorne richtig ist, ist da irgendwas falsch.
Dann kriegt man das Übungsblatt zurück, muss den Fehler bearbeiten,
gibt das Ganze noch mal ab, dann wird es noch mal korrigiert, hat man
wieder einen Fehler drin, kriegt man es noch mal zurück, muss noch mal
abgeben, bis das Übungsblatt endgültig anerkannt ist.
Oder was vielleicht der schlimmere Fall ist, endgültig nicht
anerkannt.
Wenn Sie also irgendwie Aufgaben haben und lassen einfach Teile davon
weg, dann kriegen Sie sofort ein endgültig nicht anerkannt.
Sie sollten also immer die Aufgaben vollständig bearbeiten, das ist
eine.
Und jetzt zur Zahl der Übungsblätter, lautet die Regel so, bei N
Übungsblättern, die im Semester zu bearbeiten sind, müssen mindestens
N -1 anerkannt sein.
Das heißt, wenn Sie je ein Übungsblatt endgültig nicht anerkannt
haben, ist es absolut notwendig, die restlichen anerkannt zu bekommen.
Sie müssen allerdings bedenken, dass da immer ein gewisser Zeitverzug
besteht.
Wenn Sie jetzt ein Übungsblatt zur Bearbeitung bekommen, geben Sie das
eine Woche später ab.
Dann wird es korrigiert.
Eine Woche später erfahren Sie, ob es anerkannt ist oder nicht.
Also zwischen Ausgabe der Übung und zugehöriger Übung und anerkannt
oder nicht anerkannt vergehen also 14 Tage.
Das heißt, wenn Sie jetzt bei zwei Übungsblättern hintereinander
irgendwas weglassen, dann haben Sie sofort einen Kredit verspielt und
das heißt ein Jahr, in einem Jahr die Übungen noch mal machen.
Also denken Sie daran, das kann gravierende Auswirkungen haben.
Jetzt empfinden die Studenten das immer so als eine gewisse
Unterdrückung.
Ich muss die Übungsblätter machen.
Denken Sie daran, wir machen die Übungsblätter oder die Zwangsweise
Bearbeitung der Übungsblätter, das machen Sie nicht für mich oder für
das Institut oder für sonst jemand.
Das machen Sie einfach, um das zu üben.
Deshalb ist es eigentlich auch sinnlos, das abzuschreiben.
Natürlich können Sie das abschreiben, aber das ist wieder so ein
Selbstbetrug.
Dann hat man immer das Gefühl, man kann es ja, man kann es ja und dann
in der Prüfung klappt es dann doch nicht.
Denken Sie daran, die Übungen und die Übungsblätter, wir beschäftigen
da ein Herr von von Hiwis, die kosten uns alle Geld.
Das würden wir viel lieber für andere Dinge ausgeben.
Also ich sage mal in der Größenordnung wahrscheinlich das Semester so
um die 100.000 Euro, um mal da eine Hausmarke zu nennen.
Wenn man das für abgeschriebene Übungsblätter ausgibt, ist es
eigentlich ziemlich sinnlos.
Wie gesagt, es ist ein Service für Sie.
Die Organisation der Übungen, die wird jetzt einer der
Übungsassistenten erklären.
Dazu aber noch kurz ein Hinweis.
Natürlich haben wir am Anfang noch nicht genügend zu üben, weil wie
die Übungsblätter funktionieren und so weiter haben wir jetzt schon
eine Viertelstunde verbraten.
Deshalb brauchen wir am Anfang ein paar Vorlesungen Vorlauf.
Deshalb kommt zunächst die schlechte Nachricht, also die Übung am
Donnerstag und nächste Woche am Donnerstag, die fällt aus.
Aber zu jeder schlechten Nachricht gibt es ja bekanntlich eine gute
Nachricht und die gute Nachricht lautet, dass wir stattdessen
Vorlesungen haben.
Da jetzt zwei Übungshörsäle angegeben sind, müssen wir uns darauf
einigen.
Die Übungen sind im Daimler und im Benz.
Wir werden die dann im Benz, das ist der untere Hörsaal, abhalten.
Also nächsten Donnerstag 14 Uhr Vorlesung und in einer Woche ebenfalls
Vorlesung.
So jetzt die konkrete Organisation der Übung, da übergebe ich mal.
Hallo, auch herzlich willkommen meinerzeit zu der TM3 Vorlesung.
Die Übungen, wie der Herr Seemann schon mitgeteilt hat, werden in zwei
Hörsäle geteilt.
Wir machen das einfach, damit wir ein bisschen mehr Raum haben,
einfach durch die Reihen zu gehen und auch ihre Fragen zu beantworten.
Dementsprechend werdet ihr nach euren Nachnamen in den entsprechenden
Hörsaal zugeteilt.
A bis K beziehungsweise L ist dann der eine Hörsaal und an den anderen
auch die restlichen Buchstaben.
Vielleicht noch zum Übungsablauf.
Wir rechnen dann eine Aufgabe vor und ihr habt auch ein bisschen Zeit,
ihr Übungsblatt oder ihr Aufgabe dann für die Woche zu rechnen.
Das heißt, es ist auch sehr lohnenswert, wenn ihr auch die
Übungsblätter ausgedruckt mitnehmt, damit ihr auch die
Aufgabenstellung vor Augen habt.
Und die Anmeldung wird noch zur Vorleistung diese Woche freigeschaltet
und ich würde euch dringend empfehlen, dann so nah wie möglich die
Vorleistung anzumelden.
So,
dann kommen wir zum nächsten leidigen Thema.
Studenten sind es mittlerweile gewöhnt, dass sie alles irgendwo
digital bekommen.
Nun die Vorlesungsaufzeichnung, das habe ich schon erwähnt.
Die Studenten meinen auch immer, es muss zu jeder Vorlesung ein Skript
geben, wo genau das drinsteht, was der vorne erzählt, wo das minutiös
nachvollzogen werden kann und das war's.
Bei uns gibt es das in der Weise nicht.
Erstens mal, Sie sollten überlegen, Sie sind Studentin oder Student
einer technischen Universität.
Das heißt, Sie sollten lernen, sich selbst mit der Materie zu
beschäftigen.
Also die Vorlesung ist im Grunde genommen nur eine Anregung, um sich
mit der Materie noch etwas näher zu beschäftigen.
Es gibt unzählige Bücher über technische Mechanik.
Dann kann man natürlich das 95.
Buch schreiben, das ist das eine.
Oder das, was wichtig ist, dass Sie die Mechanik an sich verstehen.
Weshalb ich ebenfalls nicht ein explizites Skript rausgebe, das sind
diese zwei Wege.
Das eine, das kennen Sie vielleicht schon aus der TM1 und der TM2, den
Hibberler.
Ein Kollege von mir und ich, wir haben das mal aus dem Amerikanischen
übertragen in die deutsche Form.
Das war sehr, sehr viel Arbeit, weil die Amerikaner direkt in der
ersten Seile Zahlenwerte einsetzen, dann alles mit Zahlenwerten und
Vierstellengenauigkeit durchrechnen und wenn plötzlich die Länge ein
bisschen sich ändert, dann müssen sie das Ganze nochmal machen.
Das ist nicht der deutsche Stil.
Beim deutschen Stil erhält man am Ende ein Ergebnis, bei dem man nur
einen Taschenrechner braucht, wenn man konkretes Problem einsetzt.
Also was weiß ich, wenn der Biegepfeil dann für eine bestimmte
Biegesteifigkeit oder eine bestimmte Länge des Balkens dann bestimmt
werden soll, um das mal für ein Beispiel aus der Festigkeitslehre zu
machen.
Dieses TM3, wenn Sie das gut können und die Aufgaben, alle brauchen
Sie glaube ich nicht durchrechnen.
Also es sind sehr viele auf jeden Fall, es sind auch anschauliche
Bilder dabei, so dass auch diejenigen, die etwas mit der Abstraktion
der technischen Mechanik Schwierigkeiten haben, durchaus was damit
anfangen können.
Also wenn Sie das können, dann müssen Sie die Prüfung bestehen.
Zum anderen gibt es, ich sage immer, die Bibel des Maschinenbaus.
Dort gibt es auch ein paar Kapitel über Mechanik bei der TM3 und TM4.
Da ist jetzt ein Kollege von der Fachhochschule beteiligt und auch ich
habe da drei Kapitel beigetragen.
Das eine ist die Bewegung des starren Körpers.
In der TM3 ist das ein wichtiges Gebiet für die ebene Bewegung eines
starren Körpers.
In der TM4 dann die räumliche Bewegung eines starren Körpers und die
analytische Mechanik, wo man mit Energiemethoden dann entsprechende
Bewegungsgleichungen herleitet.
Also wie gesagt, diese Kapitel, die ich darin geschrieben habe, die
orientieren sich praktisch direkt an der Vorlesung.
Dort kann man dann auch wirklich das im Prinzip Schritt für Schritt
nachvollziehen.
Beim Kapitel zum Massenpunkt und auch bei den Schwingungen, da waren
das andere Kollegen, da müssen sie halt ein bisschen noch das blaue
Buch benutzen oder andere Literatur verwenden.
Wenn Sie vielleicht entweder nach der Vorlesung wieder hier sind, um
die Modelle zurückzutragen.
Um vielleicht mal das ein bisschen zu demonstrieren, hier habe ich ein
ganz einfaches Beispiel mitgebracht.
Man sieht, das sind zwei Körper.
Jetzt kommt natürlich ins Spiel, die besten Plätze sind immer in der
Vorlesung vorne, weil die Modelle bei mir oft nicht ganz so groß sind.
Wenn man also was sehen will, sitzt man am besten immer in der ersten
Reihe, nicht unbedingt beim ZDF oder ARD, sondern bei mir.
Hier hat man zwei Körper, so ein Pendel und eine Stange, die sich
ebenfalls drehen kann.
Und wenn ich das einfach mal so ein bisschen anstoße, dann sieht man
hoffentlich, dass das irgendwann auch mal lustige Bewegungen macht.
Irgendwann winkt es Ihnen auch so ein bisschen zu.
Eine ebene Bewegung des starren Körpers ist sehr sehr viel einfacher
als die räumliche Bewegung eines starren Körpers.
Und dazu habe ich einfach mal so einen Glotz mitgebracht.
Das kennen wir alle.
Wenn ich den Glotz irgendwie hochwerfe, dann fällt er natürlich runter
durch die Schwerkraft und er dreht sich aber auch.
So ist das eigentlich nichts Wildes.
Wenn ich den so hochwerfe, dann dreht er sich auch und geht hoch und
runter.
Wenn ich den aber jetzt so hochwerfe, dann sieht man, der dreht sich
nicht mehr ganz so schön um diese Achse, sondern er fängt auch
gleichzeitig an zu taumeln.
Und das Problem ist natürlich, warum macht er das?
Nun die Grundlagen, sprich die Bewegungsgleichungen für so eine
räumliche Bewegung, die leiten wir noch in der TM4 dann her.
Warum der dann taumelt, das ist dann schon wieder Stoff von
weiterführenden Vorlesungen.
Das geht Richtung Stabilitätstheorie.
Warum?
Wenn ich mich ganz arg anstrenge und versuche, den gut zu werfen, dann
taumelt er noch nicht, aber es ist eine instabile Bewegung.
Ich hätte mehr üben sollen.
So, als letztes habe ich noch zwei einfache Beispiele mitgebracht.
Ich versuche mal, das hier zu machen und hoffe, dass Sie das alle
sehen können.
Ich habe eine schiefe Ebene und habe jetzt zwei Rollen, die da runter
rollen können.
Sie sehen, die sind ein bisschen unterschiedlich.
Gibt es da eine schnellere und eine langsamere?
Er schüttelt den Kopf.
Ich mache oft Umfragen.
Gelebte Demokratie.
Wer denkt, dass eine der beiden schneller ist?
Ein paar wenige.
Wer denkt, dass beide gleich schnell sind?
Der überwiegende Mehrheit, wobei die absolute Mehrheit war, glaube
ich, ist unschlüssig oder hat keine Meinung.
Jetzt schauen wir mal.
Und, sind sie gleich schnell?
Haben sie doch recht gehabt.
Alle wach.
Anscheinend aber doch nicht.
Warum, dass die unterschiedlich schnell runter rollen, das ist so eine
typische Fragestellung.
Das sind natürlich ganz einfache Beispiele der TM3, aber das sind eben
die Grundlagen, die man braucht, um später kompliziertere technische
Systeme analysieren zu können, voraussagen zu können.
Voraussagen heißt ja, ich will möglichst mein System schon auf dem
Rechner konzipieren.
Ich will schauen, wie bewegt sich das, was für Kräfte treten unter
Umständen auf, wenn eine bestimmte Bewegung vorliegt.
Ganz wichtig zum Beispiel bei Achterbahnen, wenn sie eine Achterbahn
bauen und stellen dann fest, die Beschleunigungen, die auftreten, die
hält ein normaler Mensch nicht aus, dann dürfen sie die nicht
betreiben.
Also das sind so typische Fragestellungen.
Und jetzt haben wir wieder unser einfaches Beispiel.
Und wie die Bewegung hier aussieht, haben sie gesehen, so ungefähr,
die hängt natürlich von vielen Dingen ab.
Die Bewegung selbst hängt ab von der Geometrie der beteiligten Körper,
die hängt ab von der Erdbeschleunigung, die hängt ab vom Gewicht der
Körper und so weiter.
Ach ja,
ich versuche es mal mit einem Neustart, das Ganze,
um die Zeit etwas zu überbrücken.
Habe ich noch mal was mitgebracht.
Sie können mir sagen, wenn das Ganze hoch gefahren ist, wer tritt
gegen mich an?
Wer wagt es, gegen mich anzutreten?
Sie?
Gerne auch Damen, aber jetzt hat sich wieder ein Herr gemeldet.
Ruhig nach vorne kommen.
So, sie setzen jetzt das Teil hier drauf, das rollt runter und Ziel
ist es, dass es auch wirklich unten ankommt.
3, 2, 1, los!
Ah, gut, noch mal.
Moment, jetzt heißt das Ding Touchdown.
Das heißt, ich gebe ein Kommando, Sie legen das drauf und lassen
sofort los.
1, 2, 3, Touchdown.
Das war nicht so gut.
So, jetzt bin ich dran, oder?
1, 2, 3, Touchdown.
Oh, immerhin bin ich weitergekommen.
Warum habe ich es besser gekonnt als er?
Ich hatte natürlich einen kleinen Malus.
Normalerweise mache ich das immer so im Stehen.
Das Bücken fällt mir, mein dicker Bauch ist dann manchmal ein bisschen
schwer.
Da hat er enorme Vorteile.
Deshalb hat er es trotzdem noch erstaunlich gut hingebracht.
Aber er hat jetzt eine Erklärung.
Ah,
jetzt zeichnet sich es wieder aus, wenn man vorne sitzt.
Punkt 1 und gut beobachten kann.
Punkt 2.
Ich habe gar nicht seinen Körper entnommen, ich habe einen anderen
Körper entnommen, der eine etwas andere Geometrie hat.
Jetzt machen Sie noch mal einen Touchdown.
Sie nehmen das so in die Hand, setzen das drauf.
Also das Teil, das kann man relativ gut ausgerichtet draufsetzen.
Man schafft es praktisch nicht, dass das runter geht.
Warum?
Es hat wieder eine andere Form.
Wo wird dieses Prinzip angewandt?
Wer weiß es?
Bei der Eisenbahn.
Und wo?
Bei den Rädern.
Die Räder haben im Prinzip, wenn Sie jetzt mal, weiß ich nicht ob man
sieht, das hat so einen chronischen Verlauf und allein aufgrund der
Kinematik, also Kinematik ist ein wichtiger Teil von der Mechanik, ist
es einfach so, dass wenn es so runter rollt und zu weit rechts ist,
dann ist innen ein kleinerer Radius als außen.
Dann überholt praktisch die rechte Seite die linke.
Das heißt, es geht wieder nach links.
Sollte es zu weit nach links gehen, dann ist der Radius auf der linken
Seite größer als auf der rechten Seite und geht deshalb wieder nach
rechts.
Das ist genau das, was bei den Eisenbahnrädern angewandt wird.
Also die Eisenbahnräder, wenn die mal die Wangen da brauchen, um in
der Schiene zu brauchen, dann ist schon was schief gegangen.
So, jetzt wollte ich das nehmen, um kurz zu überbrücken.
Sie dürfen jetzt wieder hinsetzen, vielleicht einen kleinen Applaus
für ihn.
Ein Selfie?
Nicht, dass Ihre Freundin neidisch wird.
Also er hat keine, es ist noch frei.
Also ich muss ganz ehrlich gestehen, ich kriege es jetzt auf die
Stelle nicht hin, meinen Bildschirm da drauf zu kriegen.
Vielleicht gibt es irgendwo die Windows-Expert.
Ich schlage vor, wir holen das am nächsten Donnerstag nach, wo ich
einfach mal zeige, wie man mit ein paar wenigen Klicks letztendlich
die Bewegung, die wir hier beobachten, wie man die auf dem Rechner
simulieren kann.
Was ich noch sagen wollte, Sie können mir das Bild vielleicht
schicken, die E-Mail-Adresse ist ganz einfach seemann.it.
Ich muss ja zusagen, mein Junior studiert auch Maschinenbau im
gleichen Semester, allerdings nicht hier.
Harte Konkurrenz.
Er hat auch einen Spion hier eingeschleust, denke ich mal, um zu
sehen, ob hier die Vorlesungen besser sind als in Kaiserslautern.
Ich hoffe es natürlich.
Es wird mir natürlich helfen, wenn Sie zahlreich immer in den nächsten
Vorlesungen kommen, um das letztendlich zu untermauern.
So, nach diesem Vorgeplänkel kommen wir jetzt zur Mechanik, zur
richtigen TN3 zurück.
Allerdings am Anfang zunächst mal eine kleine Einleitung.
Sie werden sehen, ich bin doch so ein alter Dinosaurier, der die
Vorlesung an die Tafel anschreibt.
Das hat aber den Vorteil, dass das Schreibtempo, das Sie
wahrscheinlich immer noch als schnell empfinden, etwas langsamer ist,
als wenn man das auf einem Overhead oder auf einem Smartboard
schreibt.
Und wie gesagt, da die Vorlesung aufgezeichnet wird, können Sie das
jederzeit nachvollziehen.
So, ich hatte es schon erwähnt, wir haben bei der Mechanik zunächst
einmal die Kinematik.
Was ist die Kinematik?
Die beschreibt einfach die Bewegung von Punkten,
das heißt Ortsvektor als Funktion der Zeit, Geschwindigkeit zu einem
Punkt als Funktion der Zeit, Beschleunigung von einem Punkt als
Funktion der Zeit.
Wir werden sehen, das können wir bei einem Punkt,
jetzt wenn wir ein Bezugssystem gewählt haben, dann können wir die
Koordinaten in diesem Bezugssystem ebenfalls noch verschieden wählen,
nämlich wir könnten dann, kennen Sie alles, ein kathesisches
Koordinatensystem einführen, ein zylindrisches Koordinatensystem, ein
Kugelkoordinatensystem oder natürliche Koordinaten.
Also Bewegung von Punkten.
Später, wenn wir starre Körper betrachten, dann wird wichtig, nicht
nur die Bewegung von einem Punkt, weil wenn wir einen Bezugspunkt
nehmen des starren Körpers, zum Beispiel den Schwerpunkt oder
irgendeinen Eckpunkt, denken Sie an meinen Quader und die Lage dieses
Punktes beschreiben, dann kann die Lage des Körpers trotzdem noch
verschieden sein, nämlich es kommt dann auch auf die Orientierung des
Körpers an.
Also von Punkten und Körpern und
zum anderen die Kinetik.
Was haben wir da, wenn wir einen Punkt haben, dann nehmen wir an,
dieser Punkt besitzt eine Masse und diese Masse bewegt sich dann unter
der Einwirkung von Kräften.
Da brauchen wir dann also unser erstes Axiom, das Nyunji Axiom.
Also Bewegung von Massenpunkten, ich kürze das mal so ab, MP als
Massenpunkten oder Körpern
und zwar unter der Einwirkung von Kräften oder
eben von Momenten.
Dazu zählt natürlich auch die Aufgabe, ich habe nicht die Kräfte und
die Momente gegeben, sondern ich will mir eine bestimmte Bewegung vom
Massenpunkt oder vom Körper oder vom Massenpunktsystem vorgeben und
die Frage ist dann, welche Kräfte beziehungsweise welche Momente
brauche ich dazu.
So, was wir in der Mechanik gar nicht so lernen, was aber dann wichtig
ist, das sind verschiedene Stufen der Modellbildung.
Wir haben ein gegebenes System, müssen das modellieren.
Wahrscheinlich war Ihnen das in der TM2 schon ein bisschen ein
Problem.
Ich habe ein System, ist es jetzt ein einfaches Fachwerk oder sind das
zusammengesetzte, fest verbundene Einzelkörper, die sich verformen
können.
Dann hätten wir vielleicht irgendwelche statisch überbestimmten
Systeme.
Je nachdem kommt es dann auch auf die Fragestellung an.
Genauso bei uns in der TM3 und TM4.
Und die einfachste Modellbildung ist die, wir modellieren unser System
als Massenpunkt.
Das ist natürlich das einfachste Modell.
Wenn ich jetzt meine übrig gebliebene Kreide, die sehr klein ist,
durch den Hörsaal werfe, dann wird jeder sagen, das ist in sehr guter
Ernährung ein Massenpunkt.
Wir wissen zwar, auch die Kreide wird sich dann während des Fliegens
irgendwie drehen, aber das scheint weniger wichtig, weil es ja so ein
kleiner Massenpunkt ist.
Aber letztendlich, wie gesagt, wir haben einen Massenpunkt und der
bewegt sich jetzt irgendwie auf einer Bahn.
Und wichtig für uns ist, wie sieht diese Bahn aus unter gegebenen
Kräften und so weiter.
Oder welche Beschleunigungen sind da notwendig.
Und wenn ich Beschleunigungen wirklich realisieren will, was für
Kräfte brauche ich dann.
Aber ein Massenpunkt muss eben nicht unbedingt nach unseren
Vorstellungen klein sein.
Wenn Sie zurückdenken vor ein paar hundert Jahren, da haben sich die
Leute sehr viel mit Himmelsmechanik beschäftigt.
Da gibt es verschiedene Himmelskörper.
Die einzelnen Himmelskörper, die sind sicherlich doch ein bisschen
größer als mein Massenpunkt.
Und trotzdem hat man die letztendlich als Massenpunkt modelliert, weil
eben die Bahnen entsprechend groß sind und die eigenen Drehungen und
das Ganze dann für die Bahn letztendlich unwichtig ist.
Also ob ich jetzt ein System als Massenpunkt beschreibe oder als
starren Körper, das hängt nicht unbedingt von der Größe ab.
Das hängt auch ein bisschen davon ab, was ich wissen will.
Das nächste ist dann ein System von Massenpunkten.
Diese einzelnen Massenpunkte stehen dann in Wechselwirkung zueinander.
Entweder über irgendwelche kinematischen Bindungen oder auch über
Kräfte.
Also wenn ich ein System aus zwei Massen habe.
Wenn Sie heute Abend ins Studio gehen, dann legen Sie mal links und
rechts so 100 Kilo auf.
Dann können Sie im Grunde genommen die Verbindungsstange als Gewicht
fast vernachlässigen.
Dann haben wir praktisch rechts einen Massenpunkt, links einen
Massenpunkt und es gibt eine Bindung zwischen beiden.
Nämlich der Abstand muss dann konstant bleiben.
Das wäre eine Möglichkeit.
Oder wir haben zwei Massenpunkte wie die Erde und den Mond.
Die ziehen sich gegenseitig an, die beeinflussen sich also
gegenseitig.
Das heißt, die Bewegung von beiden ist nicht unabhängig, sondern die
bewegen sich im Verbund.
Und wenn man das ein bisschen weiter denkt, hat man sofort ein System
von Massenpunkten, zum Beispiel das Sonnensystem oder auch dann die
einzelnen Sonnensysteme zueinander oder sogar ganze Galaxien.
Also die Größe ist nicht unbedingt ausschlaggebend und wenn man
heutzutage von Molekulardynamik spricht, dann ist das eigentlich
nichts anderes, als dass man die einzelnen Moleküle als Massenpunkte
betrachtet, die miteinander in Wechselwirkung stehen.
Die Kräfte, die zwischen den Molekülen wirken, die werden nach
bestimmten Gesetzmäßigkeiten bestimmt und das Ganze wird dann eben
beschrieben durch was weiß ich wie viele Millionen
Bewegungsgleichungen, die dann letztendlich integriert werden müssen.
Das braucht natürlich eine entsprechende Rechenpower, das haben Sie
wahrscheinlich schon alle mitgekriegt.
Und dann kommt man eben zur Bewegung der einzelnen Moleküle in
Abhängigkeit der Zeit und kann so auch in der Mikrowelt bestimmte
Dinge untersuchen.
Die Grundlagen dazu, aber wie gesagt, sind einfach Systeme von
Massenpunkten.
Als nächstes dann der starre Körper.
Ich hatte es schon erwähnt, zur Beschreibung der Bewegung des starren
Körpers brauchen wir nicht nur die Position, sondern auch die
Orientierung.
Spätestens beim starren Körper brauchen wir auch ein zweites Axiom und
eigentlich brauchen wir das auch schon beim System von Massenpunkten,
nämlich den sogenannten Trallsatz.
Wird schon mal was von Trallsatz gehört?
Die einfachste Möglichkeit, die Auswirkungen des Trallsatz mal zu
untersuchen, experimentell ist, Sie setzen sich auf einen Drehstuhl,
nehmen zwei Maß Bier, gut gefüllt, in die Hand, strecken das zur
Seite, ein Kommelitone setzt Sie in Bewegung und dann versuchen Sie
gleichzeitig die Maß Krüge zu trinken.
Sie müssen nicht unbedingt das wirklich trinken, sondern der Effekt
ist einfach der, das wissen Sie, in dem Moment, wo ich die Massen in
Richtung der Drehachse verlagere, dreht sich das Ganze plötzlich
schneller und wenn ich die Arme wieder zur Seite strecke, dann wird
das Ganze wieder langsamer.
Das ist der gleiche Effekt, den auch ein Salto-Springer ausnützt.
Wenn Sie mal einen Salto springen wollen, gut, wenn Sie ganz geübt
sind, können Sie das ausgestreckt machen.
Die meisten werden dann aber Schwierigkeiten bei der Landung haben.
Diejenigen, die auf der sicheren Seite sind oder sein wollen, die
sollten vielleicht abspringen und dann Arme und Beine alles ganz eng
zusammenziehen.
Was machen wir dann?
Dann drehen wir uns schneller und deshalb lassen Salto-Springer dann
auch die Augen offen.
Er muss nämlich im entscheidenden Augenblick wieder sich aufrichten
und die Beine strecken, dass er langsam wird und sicher landet.
Das sind alles Dinge, die wir aus dem täglichen Leben kennen.
Also starrer Körper,
nudensches Axiom und der Rallsatz werden da wichtig.
Nun, wenn wir eine ebene Bewegung haben, ich habe es schon angedeutet,
mit einem Doppelpendel, dann ist das noch relativ einfach für die
Studenten.
In dem Fall, wenn das Ganze räumlich wird und eine dreidimensionale
Bewegung auftritt, dann wird es komplizierter.
Das macht dann auch wirklich vielen Studenten Schwierigkeiten.
Aber denken Sie daran, ein Maschinenbauer und jetzt muss ich mich an
die Mechatroniker wenden.
Die Mechatroniker, wer ist Mechatroniker oder Mechatronikerin?
Immerhin eine ganze Menge.
Die klinken sich ja nach der TM3 aus, dürfen aber... Wer hat die Huhe
geschrien?
Sind Sie Mechatroniker?
Der ist notiert.
Viele Mechatroniker machen die TM4 trotzdem.
Eigentlich ist die TM4 für die Mechatroniker eigentlich mindestens
genauso wichtig.
Wenn sie irgendwas in Richtung Robotik machen, dann die Roboter führen
halt in den wenigsten Fällen eine ebene Bewegung aus, sondern die
müssen irgendwas Räumliches machen und schon hat man, Entschuldigung,
die Kacke am Dampfen, weil das Ganze recht kompliziert wird.
Also ebene Bewegung, Schmalspurmechanik, TM3, räumliche Bewegung und
mein Credo ist ein Karlsruher Maschinenbauer, da sollte durchaus auch
die räumliche Bewegung und jetzt habe ich Maschinenbauer gesagt, nicht
Mechatroniker.
Ein bisschen entgegenkommen muss ja sein.
Der sollte durchaus in der Lage sein, die räumliche Bewegung von einem
starren Körper zu händeln.
Was haben wir dann?
Als nächstes das, was ich gerade eben schon angedeutet hatte, nämlich
ein System von starren Körpern.
Und bei einem System von starren Körpern, da haben wir wieder, wie
schon in der Statik, die Möglichkeit, dass wir jeden einzelnen Körper
getrennt für sich betrachten und die Kräfte, die zwischen den Körpern
wirken, entweder über physikalische Gesetzmäßigkeiten bestimmen, zum
Beispiel bei einer Federkraft oder einer Dämpferkraft, da ist es eine
physikalische Gesetzmäßigkeit, oder wenn ein Gelenk vorliegt, ähnlich
wie in der Statik, dann ist es natürlich so, dass da Gelenkkräfte oder
Momente wirken, die wir nicht kennen, die wir also als Unbekannte dann
auch einführen müssen.
Und dann stellen wir eben Bewegungsgleichungen auf für die einzelnen
Körper, müssen dann die unbekannten Gelenkreaktionen eliminieren und
erhalten dann zum Schluss die Bewegungsgleichungen.
Das ist auch so ein Thema.
Wir machen relativ viel, um Bewegungsgleichungen herzuleiten.
Was sind das?
Das sind Differentialgleichungen, die uns die Bewegung beschreiben.
Das sind also Gleichungen, da treten verschiedene Ableitungen nach der
Zeit auf.
Es sind mehrere Gleichungen, je nachdem wie viel Freiheitsgrade das
System hat.
Im Allgemeinen sind die nicht linear und sind gekoppelt.
Dann die Studenten natürlich Schwierigkeiten, weil warum leite ich
überhaupt so eine Differentialgleichung her?
Gut, andere lösen Kreuzfahrtsrätsel, wir leiten
Differentialgleichungen her, aber im Berufsleben macht man das
natürlich nicht des Spaßeswillens, sondern man verfolgt ein Ziel.
Zum einen kann man jetzt eben über numerische Verfahren versuchen, die
Differentialgleichungen zu lösen.
Das nennt sich die numerische Integration.
Nachteil dabei, wenn ich irgendwas numerisch machen will, brauche ich
für jeden Parameter einen entsprechenden Wert.
Dann muss ich also die Länge einsetzen, 2,5 Meter oder 4 Meter, je
nachdem.
Ich muss für die Masse einen bestimmten Wert einsetzen.
Ich muss für die Dämpferkonstante einen bestimmten Wert einsetzen.
All diese Dinge muss ich numerisch einsetzen.
Aber nicht nur das, wenn man Differentialgleichungen numerisch löst,
muss man auch die Anfangsbedingungen vorgeben als numerische Werte.
Und wenn Sie jetzt mal daran denken, so ein System wie dieses hier,
das reagiert natürlich relativ empfindlich auf die Anfangsbedingungen.
Wenn ich da ein bisschen eine andere Anfangsbedingung vorgebe, dann
wird es natürlich schwierig, genau die Bewegung vorher zu bestimmen,
weil ja, wenn ich eine etwas andere Anfangsbedingung vorgebe, sich das
nach einer gewissen Zeit total ändert.
Aber zumindest kennt man dann die Charakteristik, wie sich das Ganze
bewegt.
Das ist das eine.
Also ein Ziel wäre vielleicht unter gegebenen Kräften und
Antriebskräften oder Leistungen, vielleicht auch unter Einbeziehung
einer entsprechenden Regelung.
Was ist eine Regelung?
Und es ist eine mathematische Gesetzmäßigkeit, wie ein Aktor wieder
Kräfte auf das System ausübt oder Momente auf das System ausübt, zu
schauen, wie verhält sich das System als Funktion der Zeit.
Oder ich berechne mir, und vorher hatten wir die extra eliminiert in
meiner Denkweise, nämlich die Zwangskräfte und die Zwangsmomente, die
in den Gelenken zum Beispiel wirken, die muss ich ja als
Maschinenbauer durchaus auch kennen.
Warum?
Irgendwann haben sie jetzt die Maschinenkonstruktionslehre, sie müssen
dann Lager auslegen.
Die Lager, die sie auswählen, das hängt davon ab, von was, von den
Kräften, die da wirken, von den Momenten, die die übertragen müssen.
Also ist wichtig, wie groß muss überhaupt so ein Weltslager sein, um
eine gewisse Lebensdauer zu erreichen.
Da muss ich die Belastungen kennen und muss dazu unter Umständen eben
die Bewegung kennen.
Das sind all die Dinge, die sowohl bei Massenpunktsystemen, wie auch
bei starren Körpern wichtig werden.
Und wenn wir jetzt schon bei der Modellbildung sind, dann kann es
natürlich noch eine Steigerung geben.
Nämlich, ich nehme nicht nur Starkkörper, um mein System zu
modellieren, sondern elastische Körper.
Und das müsste jetzt wieder den Mechatroniker ein bisschen
interessieren.
Jetzt wird er hoffentlich wach.
Warum?
Früher hat man Maschinen gebaut, die waren sehr massiv, die haben
große Massen gehabt, um eine hohe Genauigkeit zu erzielen.
Heutzutage versucht man das mit weniger massiven Systemen zu erreichen
und trotzdem eine hohe Genauigkeit zu erreichen.
Dazu muss ich aber messen und muss eine entsprechende Regelung
einbauen.
Das macht ja der Mechatroniker dann schon wieder ein bisschen, oder?
Das heißt, wenn ich irgendwo so nachgiebige Teile habe, muss ich die
entstehenden Fehler durch die Nachgiebigkeiten irgendwo voraussagen
können und muss das auch ausgleichen können.
Besonders wichtig natürlich, wenn Sie irgendwelche Anwendungen im
Weltall haben, da ist jedes Kilo, das Sie hochschießen müssen,
bedeutet bares Geld.
Also sollen die Systeme möglichst leicht sein.
Möglichst leicht heißt eigentlich, sie werden wieder flexibel und dann
wird eben wichtig, wie groß sind die Verformungen, wie sieht die
Bewegung aus, die sich unter Einbeziehung dieser Verformungen ergibt.
Deshalb elastische Mehrkörpersysteme.
Wenn man das jetzt mal aufmalt von 1 bis 5,
dann sieht man natürlich von 1 nach 2 über 3, 4 und 5, da nimmt die
Komplexität zu.
Und von 5 in Richtung 1 nimmt eben die Abstraktion zu.
Und wenn man jetzt daran denkt, wie schwer das die TM3 und später auch
die TM4 sein kann, dann sage ich immer, ist fast ein bisschen
deprimierend, wenn man letztendlich sich überlegt, um das zu machen,
brauchen wir eigentlich nur zwei Axiome.
Das Nudensche Grundgesetz und den Rallsatz.
Und trotzdem haben seit vielen, vielen Jahren die Studenten enorme
Schwierigkeiten damit.
Also wenn sie irgendwie Schwierigkeiten mit einem Fach haben,
reagieren sie nicht so, dass sie nicht mehr in die Vorlesung gehen,
sondern gehen sie dann gezielt in die Vorlesung, fragen sie bei uns in
den Sprechstunden nach.
Also auch wir haben dann studentische Hilfskräfte, die unter der Woche
Sprechstunden anbieten.
Die können sie dann fragen, wenn irgendwas unklar ist, auch zum
Übungsblatt.
Falls die nicht alle Fragen beantworten können, dann können sie zu
einem der Assistenten gehen.
Wenn auch die keine Antwort wissen, dann dürfen sie zu mir gehen.
Wenn auch ich keine Antwort weiß,
vielleicht bleibt uns da noch die Kirche, ich weiß es nicht.
So, wie allerdings, und ich habe gesagt, es ist ein bisschen
gefährlich für diejenigen Studenten, die schon eine gewisse Kenntnis
von den Grundlagen haben, gerade von den einfachen.
Wir beschäftigen uns jetzt mal mit der Bewegung von einem einzigen
Massenpunkt.
Das ist natürlich die größte Abstraktion, die man machen kann,
gleichzeitig aber auch das einfachste Modell.
Und wie schon erwähnt, fangen wir dazu mit der Kinematik an.
Was ist das Ziel dabei?
Wir wollen die Bewegung des Massenpunktes wissen, oder des Punktes.
Und an der Stelle, weil wir jetzt Kinematik machen, ist die Masse
völlig belanglos.
Wir sprechen also nur noch von dem Punkt.
Das heißt, wichtig sind Ortsvektor, Geschwindigkeit und
Beschleunigung.
Wie können wir das machen?
Also Hilfsmittel.
Und wahrscheinlich denken die Studenten da immer an
Koordinatensysteme.
Aber bevor wir an Koordinatensysteme denken, brauchen wir eigentlich
immer erst ein Bezugssystem.
Was ist der Unterschied zwischen dem Bezugssystem und dem
Koordinatensystem?
Ganz einfach, man kann verschiedene Bezugssysteme haben.
Sie wissen alle, es gibt ein Inertialsystem oder mehrere
Inertialsysteme.
Kommen wir noch darauf zu sprechen.
Ein System, das, wenn man es einfach ausdrückt, einfach in Ruhe ist,
sich nicht bewegt.
Gleichzeitig, aus unserer Erfahrung würden wir sagen, na gut, die Erde
ist ja auch ein gutes Bezugssystem.
Oder wenn wir uns hier drin befinden im Hörsaal, der Hörsaal am
Fasanengarten ist auch ein gut geeignetes Bezugssystem.
Allerdings müssen wir beachten, dieser Hörsaal ist, wenn man es ganz
genau nimmt, eigentlich kein Inertialsystem, weil er fest mit der Erde
verbunden ist und die Erde sich dreht.
Werden wir noch sehen.
Also es gibt verschiedene Bezugssysteme.
Oder wenn sie mit der Straßenbahn oder mit dem Zug zur Uni fahren,
dann könnte auch die Straßenbahn oder der Zug ein geeignetes
Bezugssystem sein.
Ebenfalls kein Inertialsystem.
Innerhalb eines Bezugssystems brauchen wir dann aber
Koordinatensysteme.
Das heißt, wir machen dann ein System mit dem Bezugssystem fest.
Ein Bezugssystem selbst.
Und das zu beschreiben, brauche ich nur drei Einheitsvektoren.
Wir wählen die meistens irgendwie orthonormal.
Einheitsvektoren heißt ja, sie sind normiert.
Und dann noch, wenn die senkrecht aufeinander stehen, dann wird die
Beschreibung sehr einfach.
Sonst wird das Skalarprodukt ein bisschen schwieriger.
Und für das Koordinatensystem, wahrscheinlich denken die meisten dann
direkt an ein kathesisches Koordinatensystem, wenn ich schon
Einheitsvektoren habe, die senkrecht aufeinander stehen.
Dann kann ich ja einen Einheitsvektor in x-Richtung, einen in y- und
einen in z-Richtung nehmen.
Das wäre ein kathesisches Koordinatensystem.
Da sind innerhalb des Bezugssystems die Richtungen der
Einheitsvektoren immer dieselben.
Wir werden noch sehen, wenn wir ein polares Koordinatensystem
einführen, dann müssen wir wie beim kathesischen Koordinatensystem
auch einen Koordinatenursprung festlegen, weil alle Koordinaten null
sind.
Wenn wir den ändern, dann führen wir ein anderes Koordinatensystem
ein, das ist das eine.
Aber beim zylindrischen Koordinatensystem, werden wir noch sehen, da
hängen die Richtungen der zugehörigen Einheitsvektoren vom Punkt ab.
Also wenn wir an einem anderen Punkt sind, kann sein, dass die
Richtung der Einheitsvektoren sich ändern im Vergleich zu einem
vorhergehenden Punkt.
Deshalb Koordinatensysteme.
Und wenn wir ein Koordinatensystem eingeführt haben, dann brauchen wir
natürlich noch entsprechende Koordinaten,
um eben diese Vektoren, Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung
zu bestimmen.
Und die Geschwindigkeit im Deutschen, das ist ein bisschen
ungeschickt, die kann zwei Bedeutungen haben, das Wort.
Nämlich, wir können damit den Geschwindigkeitsvektor meinen, das ist
also eine Vektorgröße.
Und gleichzeitig können wir aber auch den Betrag des Vektors als
Geschwindigkeit bezeichnen.
Also wenn wir eine Geschwindigkeitsübertretung im Straßenverkehr
haben, dann kommt es auf die Richtung nicht an, da kommt es nur auf
den Betrag an.
Wohingegen, wenn wir in der Mechanik von der Geschwindigkeit reden,
dann kommt es eben sehr oft auch auf die Richtung an.
Und wenn der Geschwindigkeitsvektor sich ändert, dann haben wir
entsprechende Beschleunigung.
Das heißt, auch bei konstantem Betrag der Geschwindigkeit kann es
sein, dass der Geschwindigkeitsvektor nicht konstant ist.
So, jetzt kommen wir zunächst mal zum Ortsvektor, beziehungsweise
Ortsvektor Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Und dabei zunächst mal zum Ortsvektor selbst.
Und an der Stelle weiß ich, dass ich mir wieder den Unmut der
Studenten auf mich ziehe.
Warum?
Ich würde fast schon sagen, aus historischen Gründen schreiben wir
zunächst mal in der Grundlagenvorlesung den Vektor mit einer Tilde
unten.
Sie dürfen das in Ihrem Skript gern auch mit Pfeil oben vermerken, Sie
müssen aber wissen, bei uns kennzeichnet ein Vektor diese Tilde.
Wohingegen, wenn wir ein Symbol haben, ohne Tilde, ist das fast in
allen Fällen, nicht immer, aber fast in allen Fällen einfach der
Betrag dieses Vektors.
Also ein F mit einer Tilde wäre ein Kraftvektor, ein F ohne Tilde wäre
der Betrag des Kraftvektors.
Und in der Dynamik hängt der Ortsvektor natürlich von der Zeit ab.
Also beschreibt die Lage.
Das heißt, wir haben jetzt irgendwo die Bahn des Punktes als Funktion
der Zeit.
Um das zu beschreiben, wie gesagt, führen wir ein Bezugssystem ein.
Im Bezugssystem dann ein entsprechendes Koordinatensystem, unter
Umständen als
kathesisches Koordinatensystem, also irgendwo x, y und z-Achse mit den
Einheitsvektoren in Richtung der entsprechenden Achsen, also Ex in x
-Richtung, Ey in y-Richtung, Ez in z-Richtung und den Ortsvektor
selbst, R von t, der lässt sich dann eben sehr leicht darstellen.
Das war der Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt.
Hier haben wir den Koordinatenursprung O, ist dann eben gegeben als x
-Koordinate in x-Richtung, also x, Ex plus y, Ey plus z, Ez.
x, y und z sind die entsprechenden Koordinaten, x mal Ex ist die x
-Komponente, y mal Ey die y-Komponente und z mal Ez die z-Komponente.
Ich hatte es schon erwähnt, andere Koordinatensysteme möglich,
zum Beispiel ein zylindrisches Koordinatensystem, ein
Kugelkoordinatensystem oder auch natürliche Koordinaten und
wie gesagt, R wäre im Regelfall der Betrag von R.
Einheit des Ortsvektors dann natürlich in Meter.
Als nächstes die Geschwindigkeit,
das ist wiederum Vektor V von t.
Die Geschwindigkeit kennzeichnet die Änderung des Ortsvektors mit der
Zeit.
Ich schreibe es mal so von R mit der Zeit t.
Das heißt, wenn wir die Bahn haben und hier haben wir irgendwo unser
Koordinatensystem festgelegt, ich deute das nur mal so an, dann haben
wir zum einen den Ortsvektor zur Zeit t, also R zum Zeitpunkt t, dann
haben wir den Ortsvektor zu einem späteren Zeitpunkt, R von t plus
Delta t.
Das heißt, die Änderung während des Zeitintervalls Delta t ist gerade
Delta r.
Man sieht, das Delta r ist auch ein Vektor, das Delta r kennzeichnet
also die Nachbarlage.
Dann können wir definieren zum einen das Delta r durch Delta t,
das ist also R von t plus Delta t minus R von t dividiert durch Delta
t.
Als mittlere Geschwindigkeit,
jetzt sehen wir, wenn ich das Delta t relativ groß mache, ich sage
jetzt habe ich t und jetzt haben wir immer noch nicht t plus Delta t,
sondern jetzt haben wir t plus Delta t, dann ist die Änderung Delta r
relativ klein.
Also die mittlere Geschwindigkeit muss nicht unbedingt der momentanen
Geschwindigkeit entsprechen.
Wenn allerdings das Delta t gegen 0 geht,
dann ergibt das eben gerade die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.
Und man sieht, wenn das Delta t gegen 0 geht, dann geht das Delta r
über in einen Vektor, der zwar klein wird, der aber immer noch
ungleich 0 ist, wenn wirklich eine Geschwindigkeit vorliegt und dessen
Richtung aber tangential an die Bahn verläuft.
Also Vektor
mit Richtung entlang der Bahn.
Und jetzt sehen wir, der Betrag der Geschwindigkeit,
der ist ja Betrag von dr über dt.
Die Zeit ist eine Skalaregröße, deshalb können wir das auch schreiben
als Betrag von dr über dt.
Jetzt wie groß ist der Betrag von dr?
Nun man sieht, das ist gerade die Änderung der Bogenlänge entlang der
Bahn.
Also kann ich dafür schreiben ds durch dt.
Das ist gerade der Betrag der Geschwindigkeit, das V.
Wir haben gesehen, die Richtung der Geschwindigkeit geht in Richtung
der Bahn.
Das heißt, wenn ich die Geschwindigkeit einzeichne, ist es gerade ein
Vektor tangential an die Bahn und ein Einheitsvektor in Richtung der
Tangente, den nennen wir einfach Et.
Sodass sich für die Geschwindigkeit V ergibt.
V gleich Betrag der Geschwindigkeit.
Und im Allgemeinen wissen wir, der Betrag der Geschwindigkeit hängt
von der Zeit ab.
Mal Einheitsvektor Et.
Das T heißt jetzt aber nicht bezogen auf die Zeit T, sondern ist
einfach Tangenteneinheitsvektor.
Und wenn wir jetzt schauen, der Tangenteneinheitsvektor hat natürlich
immer die Länge 1, aber die Richtung hängt von der Bahn ab.
Also ist auch eine Funktion der Zeit T.
Also Et ist Tangenteneinheitsvektor.
Zum Schluss dann letztlich die Beschleunigung,
bezeichnen wir mit A von T, ebenfalls ein Vektor.
Der Beschleunigungsvektor kennzeichnet jetzt die Änderung der
Geschwindigkeit, so wie die Geschwindigkeit die Änderung des
Ortsvektors bezeichnet hat oder gekennzeichnet hat.
Das heißt, wenn wir jetzt die Bahn haben, dann können wir zum
Zeitpunkt T die Geschwindigkeit V von T einzeichnen.
Zu einem späteren Zeitpunkt, T plus Delta T, haben wir ebenfalls
Tangential, also mit einer Richtungsänderung.
Und ich übertreibe mal hier ein bisschen, das ist das V von T plus
Delta T, ein Vektor, der eine andere Richtung hat und auch eine andere
Länge.
Dann können wir also das
genauso wieder schreiben.
Delta V durch Delta T gleich mittlere Beschleunigung.
Allerdings müssen wir da das Delta V dann so bestimmen, dass wir
sozusagen den Geschwindigkeitsplan einführen mit einem Ursprung für
die Geschwindigkeitsvektoren O'.
Dann haben wir zum einen den Geschwindigkeitsvektor V von T,
zum anderen den Geschwindigkeitsvektor V von T plus Delta T.
Damit das Delta V,
man sieht für die Bahn, da hatten wir im Prinzip einfach einen
Lageplan, wobei wir beachten müssen, wenn wir das hier auf der Tafel
machen, dass natürlich die Bahn und damit Geschwindigkeit und
Beschleunigung räumliche Größen sind.
Im Dreidimensionalen haben wir jetzt hier den Geschwindigkeitsplan,
also Geschwindigkeit zu den verschiedenen Zeitpunkten.
Und jetzt sieht man, entlang der Bahn hat sich eben die
Geschwindigkeit von V von T bis zu V von T plus Delta T geändert.
Wenn das stetig erfolgt, wurden also irgendwo zwischen den beiden
Pfeilspitzen die Geschwindigkeitsverläufe als Kurve praktisch
erhalten, sodass sich für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit
letztendlich im Geschwindigkeitsplan eine entsprechende Linie ergibt.
Wenn wir jetzt den Grenzübergang machen für die Beschleunigung, dann
wissen wir natürlich, Limes Delta T für Delta T gegen 0 gibt gerade
den Beschleunigungsvektor A von T.
Allerdings müssen wir da aufpassen,
denn die Beschleunigung ist
im Allgemeinen nicht tangential an die Bahn gerichtet.
Wenn die Beschleunigung tangential an die Bahn gerichtet wäre, würde
sich ja nur der Betrag ändern, nicht aber die Richtung.
Damit die Richtung sich ändert, muss auch eine Beschleunigung
senkrecht zur Bahn wirken, im Allgemeinen nicht tangential.
Ich hatte erwähnt, der Ortsvektor hat die Dimension Meter, die
Geschwindigkeit hat die Dimension Meter pro Sekunde, ich schreibe das
jetzt nicht explizit an die Tafel.
Der Beschleunigungsvektor hat die Dimension Meter pro Sekunde Quadrat.
Und jetzt könnte man natürlich fragen, gibt es auch weitere
Ableitungen in der Mechanik, dass wir also die Ableitung der
Beschleunigung bestimmen.
Für die Mechanik selbst ist das unerheblich, für technische
Anwendungen ist das durchaus von Belang.
Warum?
Nun ganz einfach, nehmen Sie mal an, Sie fahren im Auto oder mit dem
Fahrrad oder wie auch immer geradeaus, plötzlich kommt eine Kurve in
Form eines Kreisbogens.
Wir werden noch sehen, wenn Sie den Kreisbogen mit einer konstanten
Geschwindigkeit, also einem Betrag der Geschwindigkeit, durchfahren,
dann ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit nicht, der
Geschwindigkeitsvektor ändert aber ständig die Richtung, das heißt Sie
haben plötzlich eine Beschleunigung.
Das heißt auf dem geraden Stück haben Sie keine Beschleunigung quer
zur Fahrbahn, auf der Kurve haben Sie plötzlich eine Beschleunigung
quer zur Fahrbahn.
Nun beim Fahrrad macht das noch nicht so viel aus, beim Auto kann das
dazu führen, dass es plötzlich anfängt zu wackeln, bei einem LKW wäre
das noch viel fataler, wenn er Ladung irgendwie hat.
Das heißt, Beispiel bei einer Kurve, man versucht die Beschleunigung
langsam von null auf einen bestimmten Wert zu steigern, die
Querbeschleunigung, das ergibt dann eine bestimmte Kurvenform, das ist
eine Anwendung oder eine andere Anwendung, wir sind gleich am Ende.
Bei der Bahntechnik, auch da versucht man die Änderung der
Beschleunigung nach einer bestimmten Gesetzgebung zu machen.
Nun die Änderung der Beschleunigung, die hat noch einen Namen, das ist
der sogenannte Ruck.
Also der Ruck ist die Ableitung der Beschleunigung.
Soweit für heute, wir sehen uns wieder am nächsten Donnerstag um 14
Uhr.
Vielen Dank.