Guten Tag, meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung recht
herzlich begrüßen.
Wenn Sie den Lärmpegel etwas senken, dann muss ich nicht zu laut
schreien.
Ich weise nochmals darauf hin, aus Datenschutzgründen, dass wir die
Vorlesung aufzeichnen, speziell wenn Sie vielleicht im vorderen
Bereich sitzen.
Ich glaube zwar nicht, dass jemand auf den Film draufkommt, aber wenn
Sie Befürchtungen haben, das nicht möchten, dann werden Sie gebeten,
sich etwas umzusetzen.
Wie gesagt, wir zeichnen die Vorlesung auf, gedacht eigentlich als
Service an Sie.
Nicht, dass Sie der Vorlesung dadurch fernbleiben sollen, sondern,
wenn man durch Krankheit oder sonstige Verhinderungsgründe nicht an
einer Vorlesung teilnehmen kann oder man sich für bestimmte Themen vor
der Klausur nochmals vorbereiten will, dann bietet es eigentlich eine
gute Gelegenheit, sich das nochmal anzuschauen.
Wir hatten in der letzten Vorlesung Zylinderkoordinaten gehabt,
beziehungsweise Polarkoordinaten und haben dann gesehen, wenn wir uns
speziell auf einer Kreisbahn bewegen und nicht mit einer konstanten
Geschwindigkeit, in dem Sinne eines konstanten Betrags der
Geschwindigkeit, dann ergibt sich im Allgemeinen die Beschleunigung
durch zwei Anteile, nämlich einen Anteil in Richtung der Bahn und
einen Anteil senkrecht dazu.
Ich hatte dann auch gesagt, dass wir uns eine allgemeine Bahn
zusammengesetzt denken können, so aus infinitesimal kleinen
Kreisbogenelementen.
Das führt uns dann zu sogenannten natürlichen Koordinaten.
Das Bild hatte ich zwar in der letzten Vorlesung nicht angegeben, aber
man kann es sich relativ leicht vorstellen.
Ich habe die Bahn des Punktes, habe in tangentialer Richtung den
Tangenteneinheitsvektor, habe den normalen Einheitsvektor senkrecht
zur Bahn in Richtung des Krümmungsmittelpunktes.
Das heißt, irgendwo hätten wir jetzt hier den Krümmungsmittelpunkt,
der Kreisbogen an der Stelle, an der sich der Punkt befindet auf der
Bahn, der hat auch einen Krümmungsradius, nennen wir den mal Rho.
Dann können wir also einteilen, wir haben so die Schmiekebene, die
gebildet wird aus Et und En.
Vielleicht gehen wir es nochmal an, das war der
Tangenteneinheitsvektor.
Das war der normale Einheitsvektor.
Aus beiden wird dann die Schmiekebene gebildet, also Schmiekebene aus
Et und En.
Und das M, das war der Krümmungsmittelpunkt.
Was wir dann noch einführen können, ist einfach eine Bogenlänge
entlang der Bahn.
Also irgendwo führen wir dann ein, da haben wir S gleich Null.
Und entlang der Bahn nimmt dann eben die Bogenlänge S stetig zu.
Wir haben dann noch den roten Einheitsvektor Eb.
Wir wissen, der Tangenteneinheitsvektor und der normale Einheitsvektor
stehen senkrecht aufeinander.
Um den beliebigen Vektor zerlegen zu können, brauchen wir ein
Basissystem, am besten ein orthonormiertes Basissystem.
Das heißt, wir brauchen jetzt noch einen dritten Basisvektor, der
senkrecht auf dem Tangenteneinheitsvektor und dem normalen
Einheitsvektor steht.
Das ist dann gerade der binormale Vektor Eb,
der eben sich bildet aus dem Kreuzprodukt des Tangenteneinheitsvektors
mit dem normalen Einheitsvektor.
Und ganz klar, über das Kreuzprodukt erhalten wir einen Vektor, der
senkrecht steht auf den beiden anderen Vektoren jeweils.
Und wie gesagt, jetzt etwas, was von der Vorlesung etwas abschweift.
Vielleicht wissen einige das schon, ich selbst bin verantwortlich für
zwei Doppelabschlussprogramme zwischen dem KIT und französischen
Hochschulen.
Ich weiß natürlich, dass im Moment Frankreich so bei der Jugend
wahrscheinlich auch nicht das beste Ansehen hat.
Nichtsdestotrotz gibt es da sehr viele Absolventen.
Wir haben auch jüngstens ein deutsch-französisches Institut, Industrie
de Futur, also im Grunde genommen Industrie 4.0, nur eben zwischen
Deutschland und Frankreich gegründet, zwischen der Ensam und dem KIT,
politisch auch relativ hoch angesiedelt.
Ziel ist es, wenn man so ein Doppelabschlussprogramm macht, dass man
unter Umständen dann die Bachelorarbeit oder auch die Masterarbeit in
dem Zusammenhang mit dem deutsch-französischen Institut schreibt.
Also eigentlich eine gute Sache, international ausgerichtet, zwei
Abschlüsse, einen von Deutschland, einen von Frankreich, international
mobil, gefördert durch die deutsch-französische Hochschule.
Ich kann es eigentlich nur empfehlen.
Ich weiß auch, dass viele sprachliche Schwierigkeiten da ins Felde
ziehen.
Sie sind jetzt am Anfang des dritten Semesters, da besteht eigentlich
noch genügend Zeit, sich mit Sprachkursen darauf vorzubereiten.
Die Studenten, die solche Doppelabschlussprogramme machen, die
sprechen innerhalb kürzester Zeit eigentlich, das zeigt die Erfahrung,
doch ein sehr viel besseres Französisch als ich, der sowas nie gemacht
hat, aber dafür verantwortlich bin und ich kann es Ihnen nur ans Herz
legen.
Ich lege das mal hier auf.
Moment.
Hier ist so ein bisschen angedeutet, was für Möglichkeiten, dass es
gibt.
Wir sind angesiedelt in Karlsruhe, ganz nah an der französischen
Grenze, allerdings sind die Hochschulsysteme dann doch etwas
verschieden.
In Frankreich, da sollte man Maschinenbau nicht unbedingt an der
Universität studieren.
Da sagt jeder, gut, für die Grande Ecole hat es nicht gereicht, also
es gibt dort die sogenannten Grande Ecole.
Interessant in dem Zusammenhang, wir haben jetzt drei, beziehungsweise
vier verschiedene Hochschulen aufgeführt.
Zum einen Arémétier ParisTech, da verbirgt sich die Ensam dahinter,
die mal in Metz speziell für dieses deutsch-französische
Doppelabschlussprogramm ein eigenes Zentrum gebaut hat.
Dann in Grenoble, interessant für die, die gerne Bergsteigen und
Skifahren gehen, eine relativ renommierte Hochschule im Bereich
Maschinenbau.
Genauso das INSA in Lyon, immerhin die zweitgrößte Stadt von
Frankreich, auch da gibt es ein Doppelabschlussprogramm.
Und dann noch die Ecole Polytechnique in Paris und wie gesagt
interessant, dass vor vielen Jahren mal die Universität Karlsruhe,
damals war es sogar nicht eine Universität, sondern eine
Polytechnische Hochschule, die wurde gegründet nach dem Vorbild der
Ecole Polytechnique und was man mal so erhält, das gibt man manchmal
auch wieder zurück.
Vor 50 bis 60 Jahren wurde dann das INSA in Lyon gegründet in
Anlehnung an die Universität Karlsruhe.
Also da kam das Ganze wieder irgendwo zurück.
Wie gesagt, überlegen Sie sich das Ganze mal und in dem Zusammenhang
ein anderer Hinweis, nämlich, Sie können es sich schon mal vermerken,
am 15.11., ich weiß nicht, ob Sie das schon irgendwo mitgeteilt
bekommen haben, findet der sogenannte internationale Nachmittag des
Maschinenbaus im Benz Hörsaal statt.
Das ist auch der Hörsaal, wo wir am Donnerstag nochmals anstatt Übung
Vorlesung haben.
Dort beginnt es gerade mit den Frankreich-Programmen, die da nochmals
detaillierter vorgestellt werden, wie die Doppelabschlussprogramme
aussehen, was für Erfordernisse es gibt, wie das Ganze gefördert wird.
Also für die Auslandsphase gibt es eine Mobilitätsbeihilfe und all die
Dinge.
Gibt es speziell dazu Fragen?
Dann kommen wir wieder zur TM3 zurück.
Wir haben gesehen, ich führe ausgehend von der Bahn drei
Einheitsvektoren ein und weiß jetzt, ja gut, wenn ich den Ortsvektor
zum Punkt haben will, dann muss ich irgendwo einen Ursprung O
einführen und habe dann den Ortsvektor R, der abhängt von der
Bogenlänge S.
Der Begriff natürliche Koordinaten, das sieht man glaube ich an der
Stelle auch schon, der rührt eben daher, dass das Ganze in natürlicher
Weise sich aus der Bahn des Punktes ergibt.
Das heißt, wir haben jetzt den Ortsvektor R, der in dem Falle abhängt
von der Bogenlänge und die Bogenlänge selbst ist dann natürlich wieder
eine Funktion der Zeit T.
Die Geschwindigkeit, die ergibt sich durch Ableitung des Ortsvektors
nach der Zeit.
Es war also gerade R Punkt oder dr nach dt.
Und jetzt sehen wir, da brauchen wir die Kettenregel, R hängt von S
ab, aber das S hängt wieder implizit von T ab.
Also haben wir da die Patze, die Ableitung von R nach S multipliziert
mit der Ableitung von S nach der Zeit.
Also ds nach dt, ds nach dt können wir wieder schreiben als S Punkt,
also dr nach ds mal S Punkt.
Nun, wenn wir die Bahn betrachten, dann sehen wir, wir haben zum einen
den Ortsvektor R von S.
Zu einem Zeitpunkt später haben wir den Ortsvektor R von S plus Delta
S.
Das ergibt dann die Differenz Delta R.
Was wir noch einzeichnen können, das ist der Tangenteneinheitsvektor
Et.
Wir sehen, der Betrag von Delta R ist ungefähr, wenn wir endliche
Größen haben, Delta S.
Wenn wir auf infinitesimal kleine Größen übergehen, dann ist die
infinitesimale Änderung des Ortsvektors gerade ds, die Änderung der
Bogenlänge.
Also beim Grenzübergang haben wir dann den Betrag von dr gleich ds.
Und wir sehen, der Vektor dr, den wir oben brauchen, den können wir
zusammensetzen aus dem Betrag, multipliziert mit einem Einheitsvektor
in Richtung des Vektors.
Und wir sehen jetzt aber, wenn das Delta R infinitesimal klein wird,
dann ist die Richtung von dr gerade die Richtung des
Tangenteneinheitsvektors.
Also Richtung von dr ist dann gerade Et.
Damit haben wir dr nach...
Dr war ja Betrag des Vektors, das war ds, mal Richtungsvektor, das war
Et.
Jetzt dividieren wir das durch ds, das brauchen wir für die Ableitung
von r nach s, dann sehen wir, das gibt gerade Tangenteneinheitsvektor
Et.
Also sehen wir jetzt, die Geschwindigkeit v ergibt sich dr nach ds,
das war Et, also s Punkt mal Et.
Und das s Punkt, das entspricht jetzt gerade wieder dem Betrag der
Geschwindigkeit, das ist ja die Strecke entlang der Bahn.
Und wenn wir die Strecke nach der Zeit ableiten, gibt es als Betrag
dann den Betrag der Geschwindigkeit, ist also in dem Falle v von t mal
Et.
Wobei wir beachten müssen, auch der Tangenteneinheitsvektor ist
natürlich eine Funktion von der Zeit t.
Und jetzt sehen wir, eine gleichförmige Geschwindigkeit liegt
natürlich nur dann vor,
wenn v von t, der Betrag der Geschwindigkeit, konstant ist und eben
die Richtung sich nicht ändert.
Und Et ein konstanter Vektor ist.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn wir aus der Geschwindigkeit die Beschleunigung bestimmen wollen,
dann haben wir a, die Beschleunigung war v Punkt von t.
Und da sehen wir, das ist formal v Punkt mal Et plus Produktregel v
mal Et Punkt.
Und die Frage ist jetzt, wie groß ist eigentlich die Ableitung des
Tangenteneinheitsvektors?
Nun, die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors, da wissen wir, der
Betrag des Einheitsvektors bleibt immer 1, also der ändert sich nicht.
Das Einzige, was sich ändern kann bei einem Einheitsvektor, ist die
Richtung.
Und zwar, wenn sich der Punkt entlang der Bahn bewegt, dann sehen wir,
dann ändert sich die entsprechende Richtung eben, der dreht sich jetzt
auf der Tafelebene nach unten.
Das heißt, wenn wir uns mal die Bahn betrachten, dann haben wir den
Tangenteneinheitsvektor Et und zu einem Zeitpunkt später, haben wir
den Tangenteneinheitsvektor Et plus eine Änderung.
Wobei die Änderung natürlich so ist, dass das Resultat wieder ein
Einheitsvektor ergibt, also ein Vektor der Länge 1.
Wenn wir uns die mal hier anzeichnen, dann haben wir Et, an der Stelle
haben wir dann Et plus Det.
Folglich muss das gerade Det sein, die Änderung, die Differenzielle
des Tangenteneinheitsvektors.
Und man sieht, hier haben wir die Länge 1 jeweils, das heißt, aus dem
Tangenteneinheitsvektor Et wird der Tangenteneinheitsvektor Et plus
Det durch eine Drehung um den Winkel Phi.
Und jetzt sehen wir, an der Stelle haben wir ja einen infinitesimalen
Kreisbogen.
Das heißt, wenn ich mir das mal so anzeichne,
dann habe ich da jeweils die Normale mit dem entsprechenden
Krümmungsradius.
Ich habe hier den Krümmungsmittelpunkt.
Der Krümmungsradius hat sich von dem Punkt zum differenziell
veränderlichen Punkt etwas geändert.
Der Radius und auch die Lage des Mittelpunktes.
Aber diese Änderungen des Radius und des Mittelpunktes, die sind
wieder differenziell klein.
Sodass die zusammen mit dieser differenziellen Änderung, ich zeichne
jetzt mal hier ein, das dS und auch nochmal den Winkel dPhi.
Warum ist das die gleiche Änderung?
Ja gut, hier bewegen wir uns auf einem Kreisbogen, das heißt, die
Winkeländerung, die der Tangenteneinheitsvektor durchläuft, entspricht
gerade der Winkeländerung hier.
Und wir wissen, wenn wir an der Stelle das Rho haben und hier das Rho
plus dRho, weil sich das ein bisschen geändert hat, dann ist dS, der
Kreisbogen oder die Länge des Kreisbogens, gerade Radius mal
eingeschlossener Winkel.
Und jetzt sehen Sie, wenn Sie das machen und anstatt dem
Krümmungsradius Rho, den Krümmungsradius Rho plus dRho einsetzen an
der Stelle, dann haben Sie Rho mal dPhi plus dRho mal dPhi, aber das
dRho mal dPhi, das war wie gesagt dann zweiter Ordnung, das fällt also
raus.
So, die Änderung des Tangenteneinheitsvektors beträgt dann
betragsmäßig gerade, auch hier haben wir praktisch so eine Art
Kreisbogen, infinitesimal klein, die Länge des Kreisbogens entspricht
dann gerade der Länge von dEt.
Radius mal eingeschlossener Winkel, der Radius war bei 1, weil es ein
Einheitsvektor oder weil beides Einheitsvektoren sind, mal dem
eingeschlossenen Winkel, das ist also dPhi.
Richtung dieses Vektors dEt, das sehen wir, der muss natürlich
senkrecht stehen zum Tangenteneinheitsvektor und zeigt gerade in
Richtung des Krümmungsradius.
Und der Einheitsvektor, der dies macht, das war, wenn wir links oben
schauen, gerade der normalen Einheitsvektor En.
Das heißt dEt nach dT, das war das, was wir bei der formalen
Bestimmung der Beschleunigung benötigen, auf der rechten Seite haben
wir ja V mal Et Punkt, das war dEt nach dT.
Das rechnet sich aus, dEt ist einmal dPhi mal En, also dPhi mal En
dividiert durch dT.
Und jetzt sehen wir, dPhi ist aber dS dividiert durch Rho, ist also dS
dividiert durch Rho, dT mal En.
dS dividiert durch dT, das war aber gerade die Geschwindigkeit entlang
der Bahn, gibt also V dividiert durch Rho mal En.
Damit haben wir jetzt die zeitliche Ableitung des
Tangenteneinheitsvektors, können das in unsere Gleichung für die
Beschleunigung einsetzen und erhalten so...
Beschleunigung A gleich, da hatten wir V Punkt mal Et, das war also V
Punkt, was von der Zeit abhängt, mal Tangenteneinheitsvektor, der
ebenfalls zeitabhängig ist, plus jetzt V von T mal Et Punkt, da haben
wir gerade V durch Rho mal En, gibt also V von T zum Quadrat dividiert
durch den Krümmungsradius der Bahn Rho, der ebenfalls von der Zeit
abhängen kann, mal den normalen Einheitsvektor En, der ebenfalls
zeitabhängig ist.
Man sieht, der Beschleunigungsvektor hat somit zwei Komponenten, eine
in Richtung des Tangenteneinheitsvektors, eine in Richtung des
normalen Einheitsvektors, also At mal Einheitsvektor Et plus An mal
Einheitsvektor En.
Das heißt, wenn wir die Bahn haben, haben wir den Punkt an der Stelle,
dann können wir Einheitsvektoren einzeichnen Et und En,
somit die entsprechenden Komponenten in Tangentialrichtung und
normalen Richtung, meinetwegen in Tangentialrichtung sei das At, in
normalen Richtung An, und dann erhalten wir eben entsprechend der
Parallelogrammregel dann die Gesamtbeschleunigung des Punktes A.
Und wie gesagt, die Tangentialbeschleunigung, die ergibt sich aus der
Änderung des Betrags der Geschwindigkeit, die Normalbeschleunigung,
die beträgt v² dividiert durch ρ.
Wir wissen, es liegt eine Beschleunigung in Tangentenrichtung vor,
wenn v nicht konstant ist,
und An ist ungleich Null im Allgemeinen auch dann,
Gesundheit, wenn v konstant ist und sich nur die Richtung ändert.
Zum Beispiel eine Bewegung auf einer Kreisbahn mit einer konstanten
Geschwindigkeit.
In Tangentialrichtung haben wir keine Beschleunigung, aber stets eine
Beschleunigung senkrecht zur Bahn.
Gibt es
soweit noch Fragen?
Schauen wir uns mal an, wie sieht es eigentlich aus bei unserer
Rutsche oder unserem Parkhaus.
Dort hatten wir in der letzten Vorlesung bestimmt die Geschwindigkeit
und die Beschleunigung.
Und wenn wir jetzt zum Beispiel wissen wollen, wie groß ist die
Beschleunigung senkrecht zur Bahn, also in Richtung von An, dann
wissen wir, es gibt eine Beschleunigung, die einen Anteil in
tangentialer Richtung hat, und dann gibt es die Beschleunigung normal
zur Bahn.
Die Beschleunigung normal zur Bahn, die ist gegeben dadurch, dass wir
die Beschleunigung, die Gesamtbeschleunigung, die wir ja bestimmt
haben, dass wir von der die Beschleunigung in tangentialer Richtung
abziehen zum Beispiel.
Das heißt, wir müssten dann wissen, wie groß ist die Beschleunigung
bei der Bewegung in Richtung der Bahn.
Dazu habe ich als kleine Gedächtnisstütze nochmal das Beispiel
mitgebracht.
Also hier sehen wir nochmal das Parkhaus, so eine Helix.
Wir nehmen mal wieder an, wir durchfahren das mit einer konstanten
Geschwindigkeit.
An der Stelle haben wir jetzt nochmal die Bahn so dreidimensional
angezeichnet, das sieht wirklich aus wie eine Helix.
Man sieht es auch jetzt besser, dass das wirklich die Bahn eines
Punktes ist.
Ein Automobil ist ja immer ein bisschen ausgedehnt.
Und wenn wir uns nochmal das Ganze für eine konstante Geschwindigkeit
anschauen, dann sehen wir,
die Geschwindigkeit ist x Punkt, also v gleich x Punkt mal Ex plus y
Punkt Ey plus z Punkt mal Ez.
Setzen wir das vielleicht gerade noch ein.
Das war Rk1cosk1t in Richtung von Ex.
Dann haben wir minus Rk1sinusk1t in Richtung von Ey.
Minus k2 in Richtung von Ez.
Also das haben wir bestimmt.
Wie erhalten wir jetzt den Tangenteneinheitsvektor?
Nun, da müssen wir einfach den Vektor V, der zeigt in
Tangentenrichtung.
Jetzt brauchen wir nur den entsprechenden Einheitsvektor dazu.
Dazu müssen wir V durch den Betrag von V dividieren.
Also V dividiert durch den Betrag von V.
Und der Betrag von V, das sehen wir jetzt nochmal angegeben, das
hatten Sie auch auf der Folie.
Das war R²k1² plus k2² und daraus die Wurzel.
Also müssen wir alle Koordinaten hier durch diesen Term dividieren.
Dann ergibt sich Rk1cosk1t, dividiert durch die Wurzel aus R²k1² plus
k2² in Richtung von Ex.
Minus Rk1sinusk1t, dividiert durch dieselbe Wurzel aus R²k1² plus k2²
in Richtung von Ey.
Minus k2, dividiert durch die Wurzel aus R²k1² plus k2² in Richtung
von Ez.
Und jetzt sehen wir die Beschleunigung A.
Die war minus Rk1²sinusk1t in
Richtung von Ex.
Minus Rk1²sinusk1t in
Richtung von Ey.
Und die Tankenzialbeschleunigung in dem Falle,
die ist dann einfach gegeben durch den Vektor multipliziert mal dem
Einheitsvektor in Richtung dessen wir die entsprechende Koordinate
wissen wollen.
Das wäre also in dem Falle der Einheitsvektor At.
Also A, skalar multipliziert mit dem Einheitsvektor in Richtung der
Geschwindigkeit.
Das war Et, ich hätte das auch Ev nennen können, dann wäre es
vielleicht klarer gewesen, dem Einheitsvektor in V-Richtung.
Und jetzt sehen wir das Skalarprodukt, das war relativ einfach.
x-Koordinate mit x-Koordinate multipliziert plus y-Koordinate mit y
-Koordinate.
Ah gut, hier haben wir keine z-Koordinate, also die z-Koordinate
bringt keinen Beitrag.
Müssen wir also gerade die Koordinate mit der Koordinate
multiplizieren, dann sehen wir, da haben wir r²k1³ mit
Minuszeichen, bzw.
r²k1², bringen wir erst noch die Wurzel.
Dann haben wir nämlich Wurzel aus r²k1² plus k²2.
Und dann fehlt noch das Minussinusk1t mal Kosinus, also Minussinusk1t
Kosinusk1t.
Wenn wir y-Koordinate mit y-Koordinate multiplizieren, dann fällt zum
einen das negative Vorzeichen wieder weg, gibt ein Pluszeichen, dann
haben wir r²k1³ als Vorfaktor.
Die Wurzel im Nenner haben wir auch als Vorfaktor, das können wir also
rausziehen, dann steht hier Plus.
Und dann haben wir Kosinusk1t mal Sinusk1t.
Und wir sehen, in der runden Klammer heben sich die Therme gerade weg.
Also für den Fall, dass wir einen konstanten Betrag der
Geschwindigkeit haben, haben wir die Tangentialbeschleunigung gerade
0.
0 hätten wir auch erwartet, weil wir haben ja eigentlich schon
vorausgeahnt, wenn die Geschwindigkeit konstant ist der Betrag, dann
sollte natürlich die Tangentialbeschleunigung 0 sein.
Das war jetzt nur ein Beispiel, um zu zeigen, dass ich wirklich in
Normal - und Tangentialbeschleunigung aufteilen kann.
Wenn ich vielleicht später das andersrum machen muss, nämlich wenn ich
Kräfte auf den Massenpunkt habe, dann ergeben sich ja aus dem
jüdischen Grundgesetz, die das nicht kennen, die müssen ein bisschen
noch warten, im Laufe der Vorlesung kommt das irgendwann, nicht heute,
aber im Laufe des Semesters, dann ergeben sich die Beschleunigungen
als Funktion der äußeren Kräfte.
Jetzt denken wir mal an ein Flugzeug.
Ein Flugzeug, das wird meistens angetrieben durch ein Strahltriebwerk
oder Propeller, also das ist eine Kraft, die bezüglich dem Flugzeug
eine bestimmte Richtung hat.
Dann hat man die Tragflügel und den Rumpf, das gibt, das weiß jeder,
einen Auftrieb, eine Auftriebskraft und eine Widerstandskraft.
Auch die sind eigentlich am besten zu beschreiben in natürlichen
Koordinaten.
Und dann kenne ich natürlich sofort die Beschleunigungen in den
entsprechenden natürlichen Koordinaten.
Was das dann letztendlich wieder für die Bahn heißt, das muss man dann
überlegen.
Bloß als kleine Motivation, warum man das überhaupt macht.
So, das letzte Mal hatte ich für die Rutsche oder das Parkhaus auch
den Fall angegeben, dass die Geschwindigkeit sich mit der Zeit ändert.
Das können Sie im Video nachschauen oder, jetzt weiß ich gar nicht, ob
es hochgeladen wurde, ins Ilias.
Vielleicht sollten wir das noch nachholen, wenn es nicht der Fall ist,
dass Sie das dort nachschauen können.
Also bei linear zunehmender Geschwindigkeit,
da können Sie das Ganze mal zu Hause probieren.
Da hat man natürlich dann als Ergebnis, wenn Sie das wieder so
durchführen, wie ich das gerade eben gemacht habe, also
Geschwindigkeitskoordinaten einsetzen, Einheitsvektor in Richtung der
Geschwindigkeit bestimmen, diesen mit der Beschleunigung als Vektor
multiplizieren, Skalar, dann ergibt sich wieder eine Skalargröße,
nämlich die Tangentialbeschleunigung und wie gesagt, At gleich
Einheitsvektor A mal dem Einheitsvektor in Richtung der
Geschwindigkeit, das ist ja gerade Et, ergibt dann zweimal Wurzel aus
r² k1² plus k2² müsste das ergeben.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zu sogenannten Relativsystemen bzw.
zur Relativbewegung.
Wie kann man sich das Ganze vorstellen?
Wir wissen, wir können, wenn wir hier im Hörsaal was machen, wenn ich
mich hier bewege, dann können wir die Bewegung bezüglich diesem
Hörsaal sehr leicht beschreiben.
Wir können den Hörsaal als Bezugssystem wählen, können entsprechende
Koordinatensysteme einführen, zum Beispiel ein kathesisches, ich habe
hier mal entsprechende Koordinatenachsen mitgebracht bzw.
Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen.
Wir könnten auch, na gut für den Hörsaal ist das jetzt vielleicht
wenig geeignet, ein zylindrisches Koordinatensystem einführen, aber
wenn wir ein rundes Hochhaus hätten, vielleicht wäre dann sogar ein
zylindrisches Koordinatensystem besser.
Aber, wenn wir uns das richtig überlegen und wir das mal ganz genau
machen wollen, dann wissen wir natürlich später, wenn es um die
Mechanik geht und die Anwendung der Axiome, dann brauchen wir
eigentlich ein ruhendes Bezugssystem oder, was wir noch sehen werden,
ein gleichförmig bewegtes.
Und wenn wir unseren Hörsaal anschauen, dann ist der eben mit der Erde
verbunden.
Die Erde, die dreht sich um die Polachse, also dreht sich auch der
Hörsaal.
Also letztendlich ist der Hörsaal kein geeignetes Bezugssystem oder
kein Inertialsystem, aber es wäre gut geeignet zur Beschreibung der
Bewegung.
Oder denken Sie an einen Roboter, wenn Sie so einen mehrarmigen
Roboter haben oder so einen mehrsegmentigen, dann sind das meistens
Arme, die über irgendwelche Drehgelenke miteinander verbunden sind.
Die Bewegung der einzelnen Segmente zueinander, die lassen sich sehr
leicht beschreiben.
Also die Bewegung, wenn ich jetzt mich als Bezugssystem nehme und ich
nehme meinen Unterarm, dann ist die Bewegung der Punkte auf meinem
Unterarm, die kann ich sehr leicht beschreiben im Bezugssystem
Seemann.
Wenn ich jetzt so eine etwas kompliziertere Bewegung mache, dann kann
ich meinen Oberarm bezüglich dem Bezugssystem Seemann sehr leicht
beschreiben, dementsprechend auch die Bewegung der Punkte hier.
Ich kann die Bewegung der Punkte meines Unterarms bezüglich dem
Oberarm, die kann ich wieder relativ leicht darstellen.
Und wenn ich noch irgendwie die Handfläche da bewege, kann ich die
Bewegung bezüglich dem Unterarm relativ einfach darstellen.
Aber was mich natürlich interessieren würde, das wäre, wenn ich jetzt
hier einen Punkt festhalte, wie bewegt sich der Punkt im Raum.
Das heißt, Hintergrund ist der, ich kann in bestimmten Bezugssystemen
die Bewegung sehr einfach darstellen, brauche aber die Bewegung in
einem anderen Bezugssystem.
Ich schreibe mal bewusst, Relativbewegung von Bezugssystemen.
Wir sollten an der Stelle genau unterscheiden zwischen Bezugssystemen
und Koordinatensystemen.
Für ein Bezugssystem wird immer nur wichtig, dass ich dann
irgendwelche Einheitsvektoren einführe, die ich benötige, um Vektoren
zu beschreiben.
Und diese Einheitsvektoren, die mache ich fest mit dem Bezugssystem,
wie die drei Einheitsvektoren hier.
Wir wissen, Einheitsvektoren, die kann ich irgendwo hinsetzen.
Wenn ich jetzt aber eine Bewegung in einem Bezugssystem beschreiben
will, dann muss ich Koordinatensysteme einführen mit einem
entsprechenden Koordinatenursprung.
Und wenn es kathedrische Koordinaten sind, mit irgendwelchen
Koordinatenachsen, die vielleicht nicht unbedingt die gleichen sein
müssen wie die Einheitsvektoren, aber natürlich bietet es sich an,
wenn ich, was weiß ich, XYZ-Koordinaten einführe, oder
Koordinatenachsen, dann wähle ich auch zur Beschreibung von Vektoren
die entsprechenden Einheitsvektoren EX, EY und EZ.
Also wie gesagt, deshalb unterscheiden wir das ein bisschen.
Ich kann in einem Bezugssystem verschiedene Koordinatensysteme
einführen, das hat aber nichts mit Relativbewegung zu tun, sondern
Relativbewegung heißt, ich beschreibe die Bewegung in einem
Bezugssystem und will aber die Bewegung im anderen Bezugssystem
wissen, was mit einschließt, Ortsvektor, Geschwindigkeitsvektor und
Beschleunigung.
Also, jetzt Beschreibung der Bewegung in
einem bewegten Bezugssystem.
Nur ein bewegtes Bezugssystem kann auch vorliegen, wenn sich das
dreht.
Deshalb schreibe ich auch mal zur Verdeutlichung unter Umständen
Drehhänden, Bezugssystem und
was können so Bezugssysteme sein?
Ich habe das gerade versucht mit dem Roboter zu motivieren oder mit
dem Hörsaal.
Zum Beispiel Hörsaal oder wenn Sie in der Straßenbahn sitzen, dann
liegt es nahe, wenn Sie irgendwie was greifen wollen, Sie wollen sich
festhalten, dann greifen Sie, dann beschreiben Sie natürlich eine Bahn
innerhalb der Straßenbahn, die Richtung Stange geht, wo Sie sich auch
wirklich festhalten können.
Da machen Sie sich keine Gedanken, welche Bewegung macht die Stange
auf der Erde, sondern Sie wählen dann praktisch Ihr bewegtes
Bezugssystem zur Beschreibung.
Und
die Frage ist, was bedeutet das jetzt für die kinematischen Größen?
Also speziell für Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Dazu verwenden wir zunächst mal einfach den Vektor Q.
Und wir wissen ja gut, der Vektor Q, wenn wir allgemein von Vektoren
reden, dann könnte es sein eine Kraft, ein Moment, ein Ortsvektor, ein
Geschwindigkeitsvektor, ein Beschleunigungsvektor, später auch ein
Winkelgeschwindigkeitsvektor.
Bis jetzt haben wir nur Winkelgeschwindigkeiten gehabt, in dem Sinne,
dass wir einen Winkel nach der Zeit abgeleitet haben.
Aber es gibt auch in der Mechanik sogenannte
Winkelgeschwindigkeitsvektoren, die brauchen wir auch in Kürze.
Es gibt auch andere Vektoren, die man unter Umständen ableiten muss.
Zum Beispiel den Impuls, da wissen wir im Newtonischen Grundgesetz,
Ableitung des Impulses gleich Summe der äußeren Kräfte bei einem
Massenpunkt.
Oder wenn es um den Trallsatz geht, ich greife schon mal ein bisschen
vor, das ist auch ein Vektor der Kinetik und der Trallsatz besagt
Ableitung des Tralls und jetzt wird halt bei Newton und Trallsatz
immer wichtig, im Inertialsystem, das heißt in einem ganz bestimmten
Bezugssystem, entspricht beim Trallsatz der Summe der äußeren Momente.
Das heißt, ich kann jetzt hergehen und kann mir zunächst mal drei
Einheitsvektoren in dem Bezugssystem A wählen.
Also A1, A2 und A3.
Wenn ich irgendwie einen Ortsvektor haben will, dann wähle ich im
Bezugssystem A natürlich noch ein entsprechendes Koordinatensystem.
Das würde ich dann vielleicht so machen, dass ich gerade hier den
Ursprung O festlege und dann in dem Falle die drei Koordinatenachsen
habe, in Richtung der Einheitsvektoren, was weiß ich, x, y, z.
Und ich habe mein zweites Bezugssystem B,
da habe ich natürlich andere Einheitsvektoren,
B1, B2 und B3.
Und falls ich einen Ortsvektor habe, dann führe ich eventuell
Koordinaten ein.
Und ein Koordinatensystem mit Ursprung an der Stelle, nennen wir das
mal Q, Koordinatenursprung Q mit entsprechenden Koordinatenachsen.
Das läuft bei SWR3 gerade das große Gewinnspiel, wer das gehört, wo
geht es hin?
Niemand hört heutzutage noch SWR3?
Haben Sie nichts verpasst?
Hätte man eine Reise nach Rhodos gewinnen können?
Jetzt dachte ich, dass vielleicht eine Gewinnerin oder ein Gewinner
unter uns sitzt, warum?
In Rhodos spricht man Griechisch und in der Mechanik, da verwenden wir
sehr oft griechische Symbole, sehr zum Leidwesen der Studenten.
Die sind dann allerdings immer fit, wenn es sich um den
Griechenlandurlaub dreht.
Also die X-Achse wird zur Xi-Achse, die Y-Achse wird zur Eta-Achse und
die Z-Achse zur Zeta-Achse.
Jetzt müssen wir den Vektor Q, das ja ein beliebiger Vektor sein soll,
über die entsprechenden Einheitsvektoren in beiden Bezugssystemen
darstellen.
Also der beliebige Vektor Q.
Für den gilt natürlich Q, wenn wir den darstellen über die
Einheitsvektoren A1, A2 und A3, dann ergibt sich gerade X mal A1 plus
Y mal A2 plus Z mal A3.
X, Y und Z sind dann eben die entsprechenden Koordinaten in Richtung
der jeweiligen Einheitsvektoren.
Wenn das eine Kraft wäre, dann wäre das die Kraft Fx, Fy und Fz.
Oder wir stellen den Vektor Q dar über Xi B1 plus Eta B2 plus Zeta B3.
Also Xi B1 plus Eta B2 plus Zeta B3.
Und
wenn wir das machen wie die Studenten, dass wir nämlich die
Koordinaten immer so schön untereinander schreiben, dann sieht man,
jetzt haben wir zwei unterschiedliche Vektoren.
Wenn wir die Koordinaten einfach in eine Matrix reinschreiben, dann
ändert sich natürlich die Matrix, aber ihr habt es ganz klar erkannt,
es ist ja in beiden Fällen derselbe Vektor.
Weil ein Vektor wird charakterisiert durch den Betrag und die
Richtung.
Und das versuchen wir dann natürlich, wenn wir das irgendwie
darstellen müssen, beziehen wir uns auf eine Basis und sehr oft werden
dann nur noch die Koordinaten in eine Matrix reingeschrieben.
Und wenn ich andere Basisvektoren wähle, dann ergibt sich eine andere
Matrix.
Das impliziert dann, dass der Vektor sich geändert hat, aber der
Vektor hat sich natürlich nicht geändert.
Man muss dann aber, wenn man so eine Schreibweise verwendet, immer
peinlich genau buchführen, bezüglich welcher Einheitsvektoren.
Und das ist unter Umständen gar nicht so leicht, vor allen Dingen,
wenn man wie bei so einem 5-Segment- oder 6- oder 7-Segment-Roboter
verschiedene Bezugssysteme hat, mit entsprechenden Einheitsvektoren,
dann muss man immer angeben, welches Bezugssystem man gerade
verwendet.
Also es wird einem gar nicht mehr so leicht, das darzustellen.
Und bei den Zeitableitungen,
was erhalten wir da?
Und wenn wir die erste Form nehmen, dann haben wir als Zeitableitung x
Punkt mal a1 plus y Punkt mal a2 plus z Punkt mal a3.
Und wenn wir die zweite Darstellungsform nehmen, dann haben wir xi
Punkt mal b1 plus eta Punkt mal b2 plus zeta Punkt mal b3.
So sind wir das ja gewohnt, dass wir nur die Koordinaten ableiten.
Jetzt haben wir nur eine Schwierigkeit.
Gefühlsmäßig wissen wir natürlich, wenn die beiden Bezugssysteme sich
zueinander bewegen und speziell auch drehen, dann drehen sich
natürlich die Einheitsvektoren, die in jedem Bezugssystem fest sind,
zwischen den Bezugssystemen gegenseitig.
Also kommt es da zu einer zeitlichen Änderung.
Ja, wie machen wir das kenntlich?
Da führen wir einfach ein, dass wir sagen, im ersten Fall, das liegt
vor, wenn wir den Vektor q nach der Zeit ableiten im Bezugssystem a.
Das erfolgt dann einfach so, dass die Einheitsvektoren im Bezugssystem
a bei einer Ableitung in a keine zeitliche Ableitung haben oder die
zeitliche Ableitung verschwindet.
Entsprechend im zweiten Fall haben wir einfach die Ableitung des
Vektors q nach der Zeit im Bezugssystem b.
Und auch dort verfahren wir so.
Eine Ableitung in b heißt, dass wir die Einheitsvektoren b1, b2, b3
als zeitlich konstant ansehen.
Jetzt müssen wir allerdings aufpassen, denn im Allgemeinen gilt
nämlich, dass die Ableitung von q nach der Zeit in a, ungleich der
zeitlichen Ableitung von q in b ist.
Ich führe das gleich mal vor, ich muss aber kurz die Tafel wischen.
Nun, dass das wirklich so ist, dass sie nicht gleich sind, das machen
wir jetzt mal einem Beispiel klar.
Ich habe hier einen kleinen Vektor mitgebracht, von dem Punkt zu dem
Punkt, den ich jetzt mal im Bezugssystem c festmache.
Und jetzt sehen Sie, wenn das Bezugssystem c-MAN sich bezüglich dem
Hörsaal bewegt, na gut, die Länge dieses Vektors ändert sich auch im
Hörsaal nicht, aber die Richtung ändert sich, das heißt man hat eine
zeitliche Ableitung dieses Vektors.
Wenn ich aber diesen Vektor im Bezugssystem c-MAN ableite, ist es ein
konstanter Vektor, hat also die Ableitung 0.
Folglich können Ableitung im Hörsaal und Ableitung im Bezugssystem c
-MAN nicht gleich sein.
Und jetzt ist die Frage, wie kann ich eigentlich die Ableitung dieses
Vektors im Hörsaal bestimmen, wenn ich weiß, dass ich im Bezugssystem
c -MAN den so gut beschreiben kann.
Das ist also das Ziel, die Ableitung von einem Vektor im einen
Bezugssystem zu bestimmen, obwohl wir den im anderen Bezugssystem
beschreiben.
Beziehungsweise sagen wir es anders, obwohl wir die Ableitung des
Vektors im anderen Bezugssystem besser bestimmen können, so müssen wir
eigentlich sagen.
Nun im Folgenden führen
wir einfach ein, definitionsgemäß, wenn wir eine Größe ableiten, nach
der Zeit...
Na gut, für Skalaregrößen müssen wir das nicht einführen, weil
Skalaregrößen brauchen kein Bezugssystem.
Aber wenn es sich hier um einen Vektor handelt, den wir im
Bezugssystem A ableiten, dann sagen wir, das ist einfach diese Größe
mit einem Punkt.
Also Punkt heißt jetzt für Vektoren Ableitung im Bezugssystem A, nicht
im Bezugssystem B.
Dann können wir die Ableitung des Vektors Q nochmal anschreiben.
Dann haben wir nämlich Q Punkt ist...
Und ich nehme jetzt einfach mal diese Darstellung.
Xi mal B1 plus Eta mal B2 plus Zeta mal B3.
Wir wissen die Einheitsvektoren B1, B2 und B3.
Die müssen wir in A ebenfalls ableiten, wenn wir ableiten.
Gibt also nach der Produktregel, zunächst mal Ableitung der
Koordinaten, mal den entsprechenden Einheitsvektoren.
Das war Xi Punkt B1 plus Eta Punkt B2 plus Zeta Punkt B3.
Allerdings brauchen wir jetzt noch die Ableitungen der
Einheitsvektoren, also plus Xi mal B1 Punkt plus Eta mal B2 Punkt plus
Zeta mal B3 Punkt.
Und wir sehen,
Xi Punkt mal B1 plus Eta Punkt mal B2 plus Zeta Punkt mal B3.
Das war gerade das, was ich als Ableitung des Vektors Q im
Bezugssystem B bezeichnet habe.
Also die ersten drei Anteile ergeben zusammen DQ nach DT in B.
Und die Frage ist jetzt, wie groß sind eigentlich B1 Punkt, B2 Punkt
und B3 Punkt.
Dabei wissen wir, die Einheitsvektoren B1, B2 und B3, die können sich
im Bezugssystem A nur mit der Zeit ändern, wenn sich beide
Bezugssysteme zueinander verdrehen.
Wenn die sich nur translatorisch zueinander bewegen, dann ändern sich
ja die Einheitsvektoren nicht.
Also ob die verschoben werden oder nicht, ist denen egal.
Die Ableitung der Einheitsvektoren ist nur dann ungleich, nur wenn die
die Richtung ändern.
Und wenn es weiß, solche Bezugssysteme sich zueinander verdrehen, dann
haben beide zueinander eine Winkelgeschwindigkeit.
Und in dem Fall ist die Winkelgeschwindigkeit nicht einfach eine
Ableitung von einem Winkel.
Jetzt könnte man ja sagen, die Erde, die dreht sich, das ist also ein
Bezugssystem, das sich dreht, die dreht sich ja um eine Achse, die
kennen wir, die Polachse.
Und die Winkelgeschwindigkeit selbst, das wäre dann die Änderung der
Position, also infolge der Drehung.
Wir wissen, wenn wir uns an die erste Vorlesung zurückdenken, wenn ich
den Glotz hochwerfe, dann fängt der plötzlich an zu taumeln.
Der macht also eine räumliche Drehung, das heißt die
Winkelgeschwindigkeit ist dort eine Drehung um eine Achse und diese
Achse ändert sich auch mit der Zeit.
Nichtsdestotrotz haben wir momentan die Winkelgeschwindigkeit als
Drehung um eine Achse gekennzeichnet.
Zum einen durch die Größe, also wie schnell sich das um die Achse
dreht, und zum anderen durch die Richtung der Achse.
Also ist die Winkelgeschwindigkeit letztendlich ein Vektor, gebildet
durch Betrag und Richtungsvektor, gebildet am besten durch die Achse,
um die das momentan dreht.
Also die Änderung Bi Punkt, die erfolgt infolge Drehung beider
Bezugssysteme zueinander.
Mit der Winkelgeschwindigkeit,
die nennen wir Omega, wie gesagt das ist ein Vektor.
Und wir führen jetzt, das machen nicht alle in Deutschland, aber wir
führen das so ein, weil es eigentlich viel besser ist sich das zu
merken, noch folgende Bezeichnungskonvention ein.
Wir benennen noch die beiden Bezugssysteme.
Das hat vor allen Dingen den Vorteil, wenn Sie viele Bezugssysteme
haben, dann müssen Sie das irgendwie wiederkenntlich machen, welches
Bezugssystem meinen Sie eigentlich gerade und bezüglich wessen
Bezugssystem dreht sich das.
Deshalb sagen wir, das ist die Winkelgeschwindigkeit Omega von
Bezugssystem B bezüglich dem Bezugssystem A.
Wenn es nur ein Bezugssystem gibt, das sich relativ zum Inertialsystem
dreht, dann können wir das A und das B natürlich auch weglassen.
Oder können, wenn wir sagen, das eine ist ein Inertialsystem oder ein
jüdisches Bezugssystem, dann können wir das I oder das N auch
weglassen, wenn es eindeutig ist.
Aber im Allgemeinen, wenn mehrere Bezugssysteme verwendet werden, ist
es eben einfacher, die direkt bei der Winkelgeschwindigkeit mit
anzugeben.
Der Betrag von Omega von B in A,
der geht an, wie schnell die sich momentan zueinander drehen.
Und die Richtung von Omega von B in A entspricht
der Drehachse.
Wenn ich jetzt sage, entspricht der Drehachse, bedeutet das eigentlich
nur, entspricht der Richtung der Drehachse.
Warum?
Nun, wenn ich jetzt hier einen Einheitsvektor habe und der ändert sich
infolge der Drehung der Erde, dann ist die Drehachse der Erde zwar die
Achse, die durch beide Pole geht,
aber das ist für die Änderung dieses Vektors nicht entscheidend.
Wichtig ist nur, dass er sich praktisch um eine Achse parallel zur
Polachse gedreht hat.
Also wir haben zunächst mal den Einheitsvektor Bi und
der schließt gegenüber der Richtung der Achse, um die sich die beiden
Bezugssysteme zueinander drehen, den Winkel Beta ein.
Und wenn die sich momentan gegeneinander drehen, dann heißt das, im
Bezugssystem A beschreibt die Spitze des Einheitsvektors Bi praktisch
so eine Kreisbahn.
Das wäre also die Drehachse,
das machen wir später, das ist die Drehmatrix.
Uns geht es im Moment nur, wie bestimme ich die Ableitung der
Einheitsvektoren Bi im Bezugssystem A.
So, man sieht, der Kreis, auf dem sich die Spitze des Einheitsvektors
dreht, der hat gerade den Radius R.
Und die Änderung des Einheitsvektors Bi, die steht da natürlich
senkrecht auf Bi, liegt in der Kreisebene, steht also auch senkrecht
zur Drehachse.
Und wenn wir differenziell kleine Größen haben, dann sehen wir,
dann hat sich praktisch der Drehwinkel hier differenziell geändert.
Diese differenzielle Änderung ist gerade der Betrag der
Winkelgeschwindigkeit mal dt.
Also, der Betrag von dBi ist gerade dPhi mal R.
Und wie gesagt, das dPhi, das wäre jetzt dieser, also hier der Winkel
in der Kreisebene, der ist natürlich differenziell klein, ich habe das
jetzt nochmal größer gezeichnet, damit es klarer wird.
Das war dPhi.
Oder wenn wir das hier unten anzeichnen, dann haben wir praktisch
entsprechend der rechten Handregel, die Winkelgeschwindigkeit Omega
von B in A, beziehungsweise der Verdrehwinkel dPhi geht auch in der
Richtung.
Also die Änderung des Einheitsvektors beträgt betragsmäßig Radius
dieses Kreises mal dPhi.
Der Radius dieses Kreises ist aber gerade Länge des Einheitsvektors,
das ist 1 mal Sinus von Beta.
Also R gleich 1 mal Sinus Beta gleich Betrag von Bi mal Sinus Beta.
Oder dPhi,
haben wir gesagt, ist Betrag von Omega von B in A mal dT.
Das ergibt letztendlich dPhi betragsmäßig gleich Betrag von Bi mal
Betrag von Omega von B in A mal Sinus Beta mal dT.
Und jetzt sehen wir, Bi betragsmäßig multipliziert mit Omega von B in
A betragsmäßig multipliziert mit dem Sinus des eingeschlossenen
Winkels.
Das ist gerade der Betrag des Kreuzproduktes von Bi mit Omega.
Also gleich Betrag und wir können auch schreiben Omega von B in A
Kreuz Bi mal dT.
Das ändert ja nur das Vorzeichen, ob ich das Omega Kreuz B oder B
Kreuz Omega schreibe, beim Betrag fällt es eh wieder raus.
Jetzt die Richtung.
Wir haben gesagt, die Richtung von dBi, das ist zum einen in der
Kreisebene, also senkrecht zu Bi und auch senkrecht zu Omega.
Dann wissen wir, dBi können wir darstellen als
dBi als Betrag von dBi mal den Einheitsvektor E.
Der in Richtung von dBi zeigt und wir sehen einen Einheitsvektor, der
senkrecht auf den beiden Achsen steht, nämlich Bi und Omega von B in
A.
Den haben wir als Omega von B in A Kreuz Bi.
Das ist jetzt aber nicht unbedingt ein Einheitsvektor, damit wir
daraus einen Einheitsvektor erhalten, müssen wir den noch dividieren
durch den Betrag des Kreuzproduktes.
Und jetzt sehen wir, das ergibt also dBi war Betrag von Omega von B in
A Kreuz Bi, dBi dividiert durch Omega von B in A Betragsmäßig Kreuz Bi
mal Omega von B in A Kreuz Bi.
Jetzt haben wir nur eine Schwierigkeit, wir müssen noch überprüfen, ob
wir auch die richtige Richtung haben, nämlich Kreuzprodukt von Omega
mit B gibt auf jeden Fall einen Einheitsvektor, der senkrecht steht
auf beiden.
Allerdings die Richtung selbst, die ändert sich, wenn wir die
Reihenfolge des Kreuzproduktes vertauschen.
Jetzt müssen wir schauen, ob wir die richtige Reihenfolge haben und
dann sehen wir Omega Kreuz Bi ergibt in dem Falle wirklich die
richtige Richtung von dBi.
Hätten wir stattdessen Bi Kreuz Omega von B in A genommen, dann würde
der Einheitsvektor in die negative Richtung gehen.
Dann müssten wir das Ganze umdrehen oder das Negative davon nehmen,
das Negative vom Kreuzprodukt ist einfach Reihenfolge vertauschen.
Also wir sehen, das können wir rauskürzen, den Betrag.
Es fehlt noch eines, habe ich gesehen, nämlich das DT.
Niemand hat es gemerkt, da fehlt noch das DT, auch da fehlt dann das
DT.
Und wir erhalten dBi gleich Omega von B in A Kreuz Bi mal DT und damit
Bi Punkt gleich dBi durch DT.
Und da sehen wir, da fällt dann gerade das DT raus, es verbleibt Omega
von B in A Kreuz Bi.
Das bedeutet, B1 Punkt ist dann gerade Omega von B in A Kreuz B1.
Das B2 Punkt ist Omega von B in A Kreuz B2 und das B3 Punkt dann Omega
von B in A Kreuz B3.
Und das sind genau die Anteile, die wir jetzt in der Gleichung für Qi
Punkt einsetzen können.
Dann ergibt sich nämlich für Qi Punkt als dQ nach dT in B, das war der
erste Anteil, den ich gelb unterlegt hatte, plus Xi mal B1 Punkt plus
Eta B2 Punkt plus Zeta B3 Punkt.
Wir sehen bei den Ableitungen der Einheitsvektoren haben wir jeweils
das Omega von B in A drinstehen.
Das kann ich ausklammern, also plus Omega von B in A Kreuz und jetzt
steht Xi mal B1 plus Eta mal B2
plus vom letzten Term kommt dann Zeta mal B3 Punkt, Zeta mal B3,
sodass wir sehen, das war ja gerade, da schauen wir rechts, das war
der Vektor Q.
Also Q Punkt ist demnach, das war die Ableitung von Q in Bezug System
A, die Ableitung von Q nach der Zeit in Bezug System B plus Omega von
dem Bezugssystem, in dem wir zunächst ableiten, das ist B, bezüglich
dem Bezugssystem, in dem die Ableitung erfolgen soll, das ist das
Bezugssystem A, kreuzt den Vektor selbst.
Eine ganz, ganz wichtige Formel.
Gibt es soweit Fragen?
Ich werde am Donnerstag nochmal ganz kurz drauf eingehen, es hat sich
jetzt nur angeboten, das noch jetzt vollends zu machen.
Wenn es keine Fragen mehr gibt, vielen Dank, wir sehen uns dann am
Donnerstag wieder.