WEBVTT 00:10.440 --> 00:14.580 Hallo, ich begrüße euch herzlich zur heutigen Vorlesung. 00:15.320 --> 00:21.280 Wir werden heute weitermachen mit Kapitel 3 Kinematik und wir werden 00:21.280 --> 00:26.120 den Rest der ersten Übung, also was ich das letzte Mal behandelt habe, 00:26.360 --> 00:30.200 am nächsten Donnerstag zusammen mit weiteren Aufgaben zu dem, was wir 00:30.200 --> 00:34.580 heute und am Montag zum Thema Kinematik hier kennenlernen werden. 00:35.740 --> 00:41.840 Okay, also es geht um die Modellierung von Robotern. 00:42.480 --> 00:46.780 Das heißt, wenn wir mit Robotern oder wenn wir Roboter programmieren, 00:47.460 --> 00:51.660 dann brauchen wir gewisse Modelle, die uns dabei unterstützen. 00:52.200 --> 00:55.840 Und in den nächsten Vorlesungen werden wir uns mit diesen Modellen, 00:55.920 --> 01:00.640 die man braucht für die Programmierung von Trajektoren eines Roboters, 01:00.640 --> 01:05.060 für die Kollisionsvermeidung, für die Kollisionsberechnungen, für 01:05.060 --> 01:08.680 irgendwelche Analysen von dem Arbeitsraum eines Roboters. 01:09.280 --> 01:13.360 Wir werden uns in den nächsten Vorlesungen mit diesen Themen 01:13.360 --> 01:14.100 beschäftigen. 01:14.940 --> 01:20.220 Wir werden sehen, dass geometrische Modelle von Robotern notwendig 01:20.220 --> 01:25.720 sind in unterschiedlichen Ausprägungen, zum Beispiel um Kollisionen zu 01:25.720 --> 01:29.660 berechnen, um Robotermodelle oder Roboter zu visualisieren. 01:31.480 --> 01:36.360 Das heißt, hier werden wir schauen, wie die Geometrie eines Roboters 01:36.360 --> 01:40.180 dargestellt werden kann. 01:40.940 --> 01:45.880 Geometrie ist nichts anderes als die mathematische Beschreibung der 01:45.880 --> 01:47.420 Form von Körpern. 01:48.120 --> 01:52.820 Das sind dann die Armsegmente beispielsweise eines Roboters oder die 01:52.820 --> 01:55.740 Segmente einer Roboterhand oder Ähnliches. 01:57.380 --> 02:02.680 Eine ganz zentrale Rolle wird hier die kinematische Modellierung eines 02:02.680 --> 02:03.580 Roboters spielen. 02:05.360 --> 02:11.360 Das heißt eigentlich, wie können wir Bewegungszustände von Robotern 02:11.360 --> 02:11.940 beschreiben. 02:12.700 --> 02:16.400 Kinematik als die Lehre der geometrischen und analytischen 02:16.400 --> 02:20.960 Beschreibung von Bewegungszuständen Michotronische Systeme, da werden 02:20.960 --> 02:25.420 wir uns hier mit dem Thema beschäftigen, also Zusammenhänge, die 02:25.420 --> 02:27.920 notwendig sind, um Bewegungen zu beschreiben. 02:28.780 --> 02:32.980 Und am Ende werden wir uns mit der dynamischen Modellierung eines 02:32.980 --> 02:37.420 Roboters beschäftigen, was ja essentiell und wichtig ist für einen 02:37.420 --> 02:46.120 modellbasierten Reglerentwurf, um Bewegungen eines Roboters zu 02:46.120 --> 02:46.740 generieren. 02:46.740 --> 02:52.900 Das heißt, bei der Dynamik werden wir sehen, dass wir hier Bewegungen 02:52.900 --> 02:58.900 von Mehrkörpersystemen betrachten, also Segmente des Roboters, und 02:58.900 --> 03:03.200 zwar nicht im statischen Zustand, sondern als Folge von einwirkenden 03:03.200 --> 03:05.540 Kräften und Momenten. 03:05.640 --> 03:09.580 Das ist noch ein bisschen zu viel, zu abstrakt, aber wir werden am 03:09.580 --> 03:13.860 Ende sehen, wie diese drei unterschiedlichen Modelle eines Roboters 03:13.860 --> 03:18.480 dazu beitragen, dass wir Roboter simulieren, dass wir Bewegungen 03:18.480 --> 03:23.440 beschreiben, dass wir Kräfte und Momente berechnen und entsprechend 03:23.440 --> 03:25.780 auch Regelungen bzw. 03:26.160 --> 03:28.740 Regler für einen Roboter entwerfen können. 03:30.080 --> 03:33.860 Fangen wir mal an, und das wird uns wahrscheinlich heute die ganze 03:33.860 --> 03:38.360 Vorlesung beschäftigen, mit dem kinematischen Modell, und später komme 03:38.360 --> 03:39.840 ich zum geometrischen Modell. 03:41.520 --> 03:45.520 Das kinematische Modell, also eigentlich, nachdem wir diese ganze 03:45.520 --> 03:50.160 Mathematik kennengelernt haben, mit der wir Beziehungen und 03:50.160 --> 03:54.140 Transformationen im Raum beschreiben können, also sowohl Rotationen 03:54.140 --> 03:58.000 als auch Translationen beschreiben können, ist es ja naheliegend, dass 03:58.000 --> 04:01.340 wir diese Mathematik, die wir kennengelernt haben, einsetzen, damit 04:01.340 --> 04:05.060 wir Beziehungen zwischen Armelementen, also z.B. 04:05.320 --> 04:07.860 zwischen der Hand und Oberarm, bzw. 04:08.260 --> 04:14.260 Unterarm, Oberarm, zwischen dem kompletten Arm und einer mobilen Basis 04:14.260 --> 04:15.680 des Roboters beschreiben können. 04:16.260 --> 04:21.300 Das heißt, ganz kurz werden wir die Begriffe kinematische Kette hier 04:21.300 --> 04:24.020 einführen und kennenlernen, was das ist. 04:24.140 --> 04:27.960 Wir werden ein paar Konventionen, speziell hier die sogenannte 04:27.960 --> 04:32.480 Denevith -Hartenberg-Konvention, die, wie wir sehen werden, eine 04:32.480 --> 04:37.260 Beschreibung von Relationen oder eine komplette Beschreibung der 04:37.260 --> 04:42.240 Kinematik eines Roboterarmes erlaubt, mithilfe einer minimalen Anzahl 04:42.240 --> 04:43.080 von Parametern. 04:44.300 --> 04:46.900 Dann werden wir zwei wichtige Probleme kennenlernen. 04:47.040 --> 04:51.360 Einmal das sogenannte direkte kinematische Problem und das inverse 04:51.360 --> 04:53.700 kinematische Problem anhand von Beispielen. 04:53.700 --> 04:59.200 Und wir werden uns nochmal mit einer sehr bekannten Matrix aus der 04:59.200 --> 05:03.380 Mathematik beschäftigen, die sogenannte Jacobi-Matrix, und werden 05:03.380 --> 05:07.280 sehen, wozu diese Jacobi-Matrix, die wir aus der Mathematik kennen, 05:10.700 --> 05:15.860 wozu oder wofür sie im Kontext der Robotik hier eingesetzt wird. 05:15.860 --> 05:21.820 Dann auf weitere Aspekte, die Singularitäten eines Roboterarms, bzw. 05:22.140 --> 05:26.500 die Manipulierbarkeit eines Roboterarms und dann, wie man 05:26.500 --> 05:31.600 Erreichbarkeiten im Arbeitsraum eines Roboters rechnergestützt 05:31.600 --> 05:35.320 berechnen kann und repräsentieren kann, damit man schnell zum Beispiel 05:35.320 --> 05:40.080 darauf zugreifen kann, wenn es um eine Online-Planung von einer 05:40.080 --> 05:40.860 Trajektorie geht. 05:41.340 --> 05:44.320 Und später, wie ich bereits gesagt habe, auf die geometrischen 05:44.320 --> 05:44.680 Modelle. 05:44.680 --> 05:47.620 Fangen wir mal an mit dem kinematischen Modell. 05:48.620 --> 05:52.360 Und ganz vereinfacht zunächst einmal, was ist das kinematische Modell 05:52.360 --> 05:53.340 eines Roboters? 05:53.540 --> 05:57.180 Das kinematische Modell eines Roboters ist ein Modell, das die 05:57.180 --> 06:00.480 Zusammenhänge zwischen zwei Räumen beschreibt. 06:00.680 --> 06:06.700 Einmal der Raum der Gelenkwinkel, also Theta 1 bis Theta 7 bei einem 06:06.700 --> 06:10.780 Roboterarm mit sieben Freiheitsgraden, also Raum, wo die Gelenkwinkel 06:10.780 --> 06:11.100 sind. 06:11.260 --> 06:13.100 Wir nennen das jetzt Gelenkwinkelraum. 06:13.100 --> 06:19.580 Man nennt das auch Konfigurationsraum eines Roboters oder Raum der 06:19.580 --> 06:23.960 Roboterkoordinaten, wobei die Koordinaten sich dann auf die 06:23.960 --> 06:25.700 Gelenkwinkel des Roboters beziehen. 06:26.300 --> 06:30.080 Also die Beziehungen zwischen diesem Raum und dem Raum, in dem 06:30.080 --> 06:31.860 tatsächlich der Roboter operiert. 06:32.140 --> 06:36.140 Also zum Beispiel jetzt hier der karthesische Raum, in dem wir uns 06:36.140 --> 06:37.400 befinden. 06:38.060 --> 06:42.600 Also wenn der Armer beispielsweise in der Küche ist, dann hat er 06:42.600 --> 06:43.400 seinen Gelenkwinkelraum. 06:44.180 --> 06:47.240 Mit sieben Gelenken ist es ein siebendimensionaler Raum. 06:47.440 --> 06:50.420 Das ist der Raum der Gelenkwinkel des Roboters. 06:51.120 --> 06:54.340 Und der Raum, in dem der Roboter natürlich arbeitet und sinnvolle 06:54.340 --> 06:58.980 Aufgaben verrichten soll, ist dieser sechstimensionale Raum, in dem 06:58.980 --> 07:00.480 wir uns befinden. 07:00.480 --> 07:03.780 Das nennt man auch den Arbeitsraum bzw. 07:05.620 --> 07:06.920 den karthesischen Raum. 07:07.720 --> 07:09.940 Und warum braucht man diese kinematischen Modelle? 07:10.220 --> 07:11.780 Das ist ja sehr naheliegend. 07:12.040 --> 07:19.000 Wir wollen wissen, wie soll ein Roboter beispielsweise seine Gelenke 07:19.000 --> 07:20.700 oder seinen Arm stellen. 07:20.960 --> 07:26.000 Welche Konfigurationen der Gelenke des Armes sind notwendig, damit der 07:26.000 --> 07:31.640 Roboter mit seiner Hand an der Tasse ist oder am Griff der Tür ist und 07:31.640 --> 07:33.380 diese Tür beispielsweise aufmacht. 07:34.260 --> 07:38.960 Also Zusammenhang zwischen Gelenkwinkelraum und Stellungen des 07:38.960 --> 07:42.780 Roboters, also karthesische Stellungen des Endeffektes des Roboters. 07:43.420 --> 07:47.280 Zum Zweiten, mithilfe von diesem Modell können wir etwas über die 07:47.280 --> 07:49.180 Erreichbarkeit eines Roboters machen. 07:49.420 --> 07:55.260 Das heißt, wir können etwas über die Erreichbarkeit sagen. 07:55.260 --> 08:01.060 Das heißt, wenn ich weiß, dass das kinematische Modell der Arm maximal 08:01.060 --> 08:06.420 90 cm lang ist, dann weiß ich, dass ein Objekt, das sich im Abstand 08:06.420 --> 08:10.880 von 120 cm befindet, nicht erreichbar ist. 08:11.180 --> 08:15.120 Das ist natürlich sehr trivial, aber wir werden sehen, dass wir 08:15.120 --> 08:19.180 mithilfe von diesem Modell auch Aussagen darüber machen können, wie 08:19.180 --> 08:24.660 gut eine Position im Raum für einen Roboter erreichbar ist. 08:24.660 --> 08:30.660 Das heißt, mit wie vielen Gelenkwinkelmöglichkeiten kann der Roboter 08:30.660 --> 08:33.140 diese Position im Raum erreichen. 08:34.460 --> 08:38.340 Natürlich die Relation zwischen den Körpern des Roboters. 08:38.540 --> 08:42.500 Wenn wir diese Modelle haben, dann können wir auch Aussagen darüber 08:42.500 --> 08:48.260 machen, ob beispielsweise jetzt der Unterarm mit dem Torso kollidiert 08:48.260 --> 08:54.260 bei einer bestimmten Gelenkwinkelkonfiguration oder der Oberarm mit 08:54.260 --> 08:57.600 dem Unterarm kollidiert, beispielsweise bei einem bestimmten 08:57.600 --> 08:59.390 Gelenkwinkel vom Ellenbogen. 08:59.980 --> 09:02.160 Und dann können wir sowas beispielsweise vermeiden. 09:02.720 --> 09:05.740 Also alle Kollisionen des Roboters mit sich selbst. 09:06.480 --> 09:09.360 Wenn wir das Modell vom Roboter, natürlich nicht nur die reine 09:09.360 --> 09:12.600 Kinematik, wir brauchen hierzu noch die geometrischen Modelle vom 09:12.600 --> 09:16.160 Roboter, dann können wir natürlich hier die Selbstkollisionen 09:16.160 --> 09:17.300 berechnen. 09:17.300 --> 09:20.620 Und dann können wir natürlich mithilfe von diesen Modellen die 09:20.620 --> 09:24.480 Relation eines Roboters in der Umgebung, also zu Objekten in der 09:24.480 --> 09:28.360 Umgebung und somit nicht nur Selbstkollisionen, sondern Kollisionen 09:28.360 --> 09:32.140 mit Gegenständen in der Umgebung erkennen bzw. 09:33.640 --> 09:34.240 berechnen. 09:35.660 --> 09:40.260 Nun denke ich, das ist motivierend genug und jeder glaubt, dass wir so 09:40.260 --> 09:41.400 ein Modell brauchen. 09:41.400 --> 09:45.920 Egal, ob dieses Modell jetzt analytisch, wie wir das in dieser 09:45.920 --> 09:51.680 Vorlesung herleiten werden, zur Verfügung steht, also mithilfe von 09:51.680 --> 09:57.140 allem, was wir aus der Mathematik, Physik und Geometrie und Mechanik 09:57.140 --> 10:02.280 kennen, oder ob diese Modelle auch gelernt werden, zum Beispiel aus 10:02.280 --> 10:04.080 Daten, genauso wie Menschen. 10:04.080 --> 10:09.120 Also ein Kind, wenn er anfängt Objekte zu greifen, der lernt das ja 10:09.120 --> 10:14.080 einfach aus seiner Erfahrung, aus sensorischen Daten. 10:14.360 --> 10:18.100 Und da gibt es natürlich heutzutage auch Forschungsarbeiten auf dem 10:18.100 --> 10:21.440 Gebiet, wo man sagt, all diese Modelle können wir lernen. 10:22.320 --> 10:26.800 Zum Beispiel, dass ein Roboter fängt seinen Arm irgendwie willkürlich 10:26.800 --> 10:31.240 mal zu bewegen und daraus ein kinematisches Modell, der sagt, wie 10:31.240 --> 10:34.680 viele Gelenke vielleicht der Roboterarm hat und wie die Gelenke sich 10:34.680 --> 10:36.340 bewegen und so weiter und so fort. 10:36.800 --> 10:41.820 Ist sehr legitim und wir sind ja im Zeitalter von maschinellem Lernen 10:41.820 --> 10:47.740 und so weiter, wo jeder versucht, alles zu erschlagen mit maschinellem 10:47.740 --> 10:48.120 Lernen. 10:48.540 --> 10:52.760 Aber wenn wir so viel wissen über die Welt und über die Physik und die 10:52.760 --> 10:58.400 Mathematik, warum immer alles vom Scratch eigentlich versuchen zu 10:58.400 --> 10:58.620 lernen? 10:58.620 --> 11:02.960 Also zwei Varianten, die hier aktuell natürlich in der Forschung 11:02.960 --> 11:03.620 existieren. 11:04.540 --> 11:11.140 So, nun gehen wir weiter und ich will, bevor ich jetzt anfange mit dem 11:11.140 --> 11:17.380 kinematischen Modell, nochmal die Idee anhand von diesen zwei 11:17.380 --> 11:21.180 wichtigen Problemen, die wir im Kontext von kinematischen Modellen 11:21.180 --> 11:23.020 hier kennenlernen werden. 11:23.020 --> 11:28.180 Einmal das sogenannte direkte kinematische Problem, das heißt, ich 11:28.180 --> 11:34.600 habe ja einen Becher hier auf dem Tisch und ich will ja diesen Becher 11:34.600 --> 11:35.200 greifen. 11:35.440 --> 11:38.660 Und dazu muss ich wissen, wo ist eigentlich meine Hand gerade. 11:39.700 --> 11:43.500 Und diese Information, wie man sieht, wenn man hier die Gelenkwinkel 11:43.500 --> 11:48.380 von dem Armer mal anschaut, dann weiß man eigentlich, es gibt ja eine 11:48.380 --> 11:52.300 Beziehung zwischen der Endposi, also wo die Hand oder der Endeffektor 11:52.300 --> 11:54.600 ist, und der Stellung dieser Gelenke. 11:55.260 --> 11:59.700 Das ist, was wir als das direkte kinematische Problem bezeichnen und 11:59.700 --> 12:00.780 kennenlernen werden. 12:00.920 --> 12:04.800 Das heißt, wir wollen die Lagie, und mit Lagie meine ich immer 12:04.800 --> 12:10.960 Position und Orientierung, also einen 6D-Vektor vom Endeffektor, aus 12:10.960 --> 12:14.640 den Gelenkwinkelstellungen des Roboters hier bestimmen. 12:16.140 --> 12:19.320 Eigentlich, wenn ich die Gelenkwinkel aus den Sensoren, aus den 12:19.320 --> 12:24.620 Encodern ablesen kann, und ich habe ja eine Art Beziehungen, die mir 12:24.620 --> 12:30.040 die Rotationen und Translationen der Gelenke zueinander beschreiben, 12:30.580 --> 12:33.680 dann kann ich natürlich dieses Problem hier lösen. 12:34.780 --> 12:42.360 Dramatischer wird es, wenn es andersrum, wenn das Problem anders ist. 12:42.360 --> 12:46.760 Das heißt, ich habe die Position von der Tasse, und es interessiert 12:46.760 --> 12:50.580 mich nicht, wo meine Hand ist, sondern es interessiert mich, wie komme 12:50.580 --> 12:51.800 ich zu dieser Tasse. 12:52.660 --> 12:56.000 Das heißt, wie soll ich den Arm jetzt hinstellen, damit ich überhaupt 12:56.000 --> 12:57.680 zu diesem Objekt auf dem Tisch stelle. 12:58.260 --> 13:05.900 Das heißt, gegeben ist die Zielposi hier von der Hand, und mit welchen 13:05.900 --> 13:09.120 Gelenkwinkelwerten erreiche ich diesen Becher. 13:10.740 --> 13:16.260 Das ist also das sogenannte inversi-kinematische Problem, welches für 13:16.260 --> 13:20.440 uns tatsächlich die Gelenkwinkel eines Roboters, jetzt im Falle von 13:20.440 --> 13:25.600 ARMA, die sieben Gelenkwinkel, die im Arm sind, aus der 6D-Posi von 13:25.600 --> 13:27.020 dem Becher auf dem Tisch bestimmt. 13:28.060 --> 13:31.980 Und das Problem ist natürlich wesentlich, weil jede Trajektorie, die 13:31.980 --> 13:35.320 wir ausführen mit einem Roboter, muss das Problem lösen. 13:35.320 --> 13:39.260 Für jede Trajektorie, die wir ausführen, müssen wir das Problem lösen. 13:39.380 --> 13:44.500 Wenn wir entlang einer bestimmten Bahn fahren müssen, ja, die Bahn ist 13:44.500 --> 13:48.060 gegeben im karthesischen Raum, dann müssen wir für jeden Punkt dieser 13:48.060 --> 13:50.680 Trajektorie das inversi-kinematische Problem lösen. 13:51.180 --> 13:56.960 Und die Leute, die sich so ein bisschen vielleicht mit dem Thema 13:56.960 --> 14:01.920 auskennen, die wissen beispielsweise, dass das Problem hier, oder 14:01.920 --> 14:05.780 könnten wissen, ja, das werden wir lernen, dass das Problem hier nicht 14:05.780 --> 14:10.140 immer trivial lösbar ist, wie das sogenannte direkte kinematische 14:10.140 --> 14:10.520 Problem. 14:11.200 --> 14:16.560 So, bevor wir jetzt hier einsteigen, ganz kurz ein paar Definitionen. 14:16.700 --> 14:18.160 Was ist eine kinematische Kette? 14:18.360 --> 14:21.500 Das, was wir machen hier, bezieht sich nicht nur auf kinematische 14:21.500 --> 14:24.600 Modelle auf Robotik, sondern auf beliebige kinematische Ketten. 14:25.380 --> 14:29.100 Und eine kinematische Kette ist zum Beispiel ein Roboterarm oder der 14:29.100 --> 14:29.920 gesamte Roboter. 14:29.920 --> 14:33.720 Das heißt, wir haben hier beispielsweise die Basis von einem 14:33.720 --> 14:37.900 Roboterarm, das im Gegensatz zu all diesen Beispielen, die wir in den 14:37.900 --> 14:43.020 Buschen sehen, wo man so ein paar Gelenke von einem statischen Arm, 14:43.700 --> 14:46.740 der irgendwo fixiert ist, in einem Basiskoordinatensystem. 14:46.900 --> 14:48.960 Wir nehmen immer den Armer hier als Beispiel. 14:49.160 --> 14:53.420 Das heißt, zum Beispiel die Basis von diesem Roboterarm ist das 14:53.420 --> 14:55.920 Schultergelenk, irgendwas in der Schulter hier. 14:56.650 --> 15:00.480 Dann haben wir natürlich Gelenke, also insgesamt drei hier, ein 15:00.480 --> 15:03.640 Ellenbogengelenk und zwei im Handgelenk hier. 15:04.140 --> 15:07.840 Und dann haben wir Segmenti, die diese Gelenke miteinander verbinden. 15:08.100 --> 15:11.200 Man nennt sie auch links auf Englisch, man nennt sie auf Deutsch 15:11.200 --> 15:13.940 Segmenti, beziehungsweise Glieder der kinematischen Kette. 15:14.640 --> 15:19.640 Und dann haben wir den Endeffektor, der ein einfacher Backengreifer 15:19.640 --> 15:24.200 sein kann, bei einem Roboter, oder eine fünffingerige Hand, wie hier 15:24.200 --> 15:26.220 in dem Beispiel angegeben ist. 15:26.720 --> 15:31.800 So, und das heißt, wenn man das Ganze jetzt ein bisschen allgemein, 15:31.880 --> 15:35.360 beziehungsweise hier wie das normalerweise dargestellt ist in der 15:35.360 --> 15:40.220 Literatur, eine kinematische Kette wird von mehreren Körpern gebildet, 15:40.360 --> 15:44.480 die durch Gelenke miteinander kinematisch verbunden sind, zum Beispiel 15:44.480 --> 15:45.440 ein Roboterarm. 15:45.440 --> 15:48.880 Und da sieht man, man unterscheidet zwischen sogenannten offenen 15:48.880 --> 15:51.900 kinematischen Ketten und geschlossenen kinematischen Ketten. 15:52.020 --> 15:57.060 Das heißt, hier gibt es eine Basis, zum Beispiel war die Schulter bei 15:57.060 --> 16:02.380 Arma und der Endeffektor hier die Hand von dem Roboter. 16:02.900 --> 16:06.140 Aber es gibt solche kinematischen Ketten, die geschlossen sind, also 16:06.140 --> 16:10.580 wo das erste und letzte Gelenk hier fest sind und dazwischen mehrere 16:10.580 --> 16:15.820 Segmenti, die mit Gelenken miteinander verbunden sind. 16:16.780 --> 16:20.540 So, das sind hier ein paar Definitionen. 16:20.660 --> 16:24.420 Also jedes Armelement entspricht einem starren Körper. 16:25.400 --> 16:28.680 Jedes Armelement ist mit dem nächsten durch ein Gelenk verbunden. 16:29.200 --> 16:31.720 Wir haben natürlich nicht nur Rotationsgelenke, sondern 16:31.720 --> 16:37.180 Translationsgelenke, beziehungsweise Schubgelenke, wie wir das in den 16:37.180 --> 16:39.020 ersten Vorlesungen kennengelernt haben. 16:39.020 --> 16:43.120 Und jedes dieser Gelenke, wir gehen jetzt noch davon aus, dass jedes 16:43.120 --> 16:46.520 Gelenk nur einen Bewegungsfreiheitsgrad hat. 16:47.020 --> 16:51.300 Das heißt, wir haben keine Gelenke mit zwei Freiheitsgraden oder mit 16:51.300 --> 16:55.540 drei Freiheitsgraden, wie ein Kugelgelenk oder wie ein Sattelgelenk, 16:55.640 --> 16:58.260 was wir im menschlichen Körper kennen, zum Beispiel die Schulter mit 16:58.260 --> 17:00.600 drei Freiheitsgraden oder ähnliches. 17:01.140 --> 17:05.700 So, das heißt, wir haben pro Gelenk hier einen Bewegungsfreiheitsgrad 17:06.380 --> 17:10.800 und der kann entweder eine Rotation sein oder eine Translation sein. 17:11.520 --> 17:12.680 Und das sind so Beispiele. 17:12.920 --> 17:16.180 Das ist eine Kinematik von einem humanoiden Roboter. 17:16.360 --> 17:20.300 Man sieht hier, man hat Armsegmente, das Unterschenkel, Oberschenkel, 17:20.460 --> 17:24.340 Unterarm, Oberarm, Torso und diese Segmente sind über Gelenke 17:24.340 --> 17:28.100 miteinander verbunden, in dem Beispiel hier von dem Roboter nur 17:28.100 --> 17:30.560 Rotationsgelenke. 17:30.560 --> 17:37.440 Und die Parameter, die man braucht, um die Lage vom Roboter im Raum zu 17:37.440 --> 17:40.600 beschreiben, sind natürlich Parameter dieser Gelenke. 17:41.400 --> 17:43.200 Was würde uns interessieren hier? 17:43.320 --> 17:46.840 Natürlich würde uns interessieren irgendwie die Rotationsachsen. 17:47.620 --> 17:51.200 Wo liegen die Rotationsachsen hier im Ellenbogen oder in der Schulter 17:51.200 --> 17:51.600 genau? 17:52.080 --> 17:53.260 Wie sind sie ausgerichtet? 17:53.960 --> 17:56.540 Wie liegen sie relativ zueinander? 17:57.220 --> 17:59.380 Wie weit kann sich ein Gelenk drehen? 18:01.020 --> 18:02.140 Also Gelenkwinkelbegrenzungen. 18:02.560 --> 18:04.120 Und wie weit sind z.B. 18:04.860 --> 18:07.800 die einzelnen Segmente in der kinematischen Kette? 18:07.980 --> 18:08.460 Also z.B. 18:08.640 --> 18:13.820 der Oberarm und Unterarm des Roboters. 18:14.600 --> 18:18.420 Das heißt, wir haben als kinematische Parameter z.B. 18:18.860 --> 18:22.540 Rotationsachsen steht hier, aber auch Transformationen zwischen diesen 18:22.540 --> 18:29.900 Gelenken, weil die Lage vom Knie im Bezug zu Fuß oder zum Sprunggelenk 18:29.900 --> 18:36.000 ist nicht nur der Abstand des Unterbeines, sondern auch die Rotation 18:36.000 --> 18:40.900 von dem Unterbein relativ zu dem Bezugskoordinatensystem. 18:42.460 --> 18:49.760 So, und man sieht hier ein Beispiel, auch von dem AMA 3, da sieht man 18:49.760 --> 18:55.220 hier ein Modell, ein geometrisches Modell zunächst mal hier von dem 18:55.220 --> 18:55.540 Arm. 18:56.580 --> 18:59.900 Und man sieht hier, dass man in jedem Gelenk eigentlich, wir haben 18:59.900 --> 19:06.460 hier drei Gelenke in der Schulter, hier eins im Ellenbogen, eins im 19:06.460 --> 19:08.520 Unterarm und zwei im Handgelenk. 19:08.720 --> 19:13.780 Und man sieht hier, dass Koordinatensysteme diesen Gelenken zugeordnet 19:13.780 --> 19:18.880 sind, anhand derer wir diese Transformationen beschreiben können. 19:19.740 --> 19:26.120 Das heißt, um das hier machen zu können, damit wir wissen z.B. 19:26.440 --> 19:30.240 wo die Hand ist, wenn wir bestimmte Gelenkwinkel hier haben, müssen 19:30.240 --> 19:33.800 wir zunächst mal die Lage der Gelenke zueinander spezifizieren. 19:34.460 --> 19:35.060 Also z.B. 19:36.120 --> 19:39.440 das sind zunächst mal feste Transformationen zwischen diesen 19:39.440 --> 19:40.540 Koordinatensystemen. 19:40.540 --> 19:47.500 Da sieht man hier mehrere Koordinatensysteme im gleichen Punkt, also 19:47.500 --> 19:53.300 Rot und Grün und Blau, das sind XYZ der lokalen Koordinatensysteme in 19:53.300 --> 19:54.540 den Gelenken. 19:55.140 --> 19:58.740 Man sieht hier, dass wir im Ellenbogen auch zwei Gelenke haben, also 19:58.740 --> 20:02.680 einmal die Ellenbogenflexion und Extension und einmal die 20:02.680 --> 20:03.680 Unterarmdrehung. 20:04.080 --> 20:07.160 Und man sieht auch, dass wir zwei Gelenke hier im Handgelenk haben. 20:08.110 --> 20:15.620 Das heißt, eigentlich kann die Beschreibung von diesem Arm darauf 20:15.620 --> 20:21.180 zurückgeführt werden, dass wir auf die Beschreibung der Beziehungen 20:21.180 --> 20:24.780 zwischen diesen unterschiedlichen Koordinatensystemen zurückgeführt 20:24.780 --> 20:25.560 werden. 20:25.680 --> 20:30.000 Und wie beschreiben wir Beziehungen zwischen zwei Koordinatensystemen? 20:30.720 --> 20:34.600 Oder Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem, also zum Beispiel 20:34.600 --> 20:39.380 Ursprung vom Koordinatensystem vom Ellenbogen im Koordinatensystem der 20:39.380 --> 20:39.780 Schulter. 20:40.140 --> 20:43.420 Was brauchen wir oder was müssen wir überhaupt machen, um die Lage 20:43.420 --> 20:49.060 eines Gelenks, zum Beispiel Ellenbogen im Koordinatensystem der 20:49.060 --> 20:50.000 Schulter zu beschreiben? 20:52.260 --> 20:53.400 Enttäuscht mich nicht. 20:55.960 --> 20:59.340 Wie viele Parameter sind das oder welche Methoden haben wir 20:59.340 --> 21:01.480 kennengelernt, um das zu machen? 21:01.940 --> 21:03.480 Naja, viele Methoden eigentlich. 21:04.180 --> 21:11.040 Wir müssen die Translation des Ellenbogens im 21:11.040 --> 21:14.420 Schulterkoordinatensystem haben und wir müssen die Rotation vom 21:14.420 --> 21:16.480 Ellenbogen im Schulterkoordinatensystem haben. 21:17.240 --> 21:20.360 Und wir wissen, die Translation, das ist ein Translationsvektor, und 21:20.360 --> 21:23.820 für die Rotation haben wir einen Haufen an Methoden kennengelernt. 21:24.680 --> 21:28.360 Wir haben 3x3 Rotationsmatrizen, wir haben Eulerwinkel, wir haben Roll 21:28.360 --> 21:31.720 -Picot -Winkel, wir haben Quaternionen und so weiter und so fort. 21:32.200 --> 21:38.100 Das brauchen wir alles, damit wir am Ende tatsächlich sagen können, wo 21:38.100 --> 21:41.920 ist die Hand des Roboters im Basiskoordinatensystem. 21:42.800 --> 21:46.380 Das sind aufeinanderfolgende Gelenke, aufeinanderfolgende 21:46.380 --> 21:48.960 Transformationsmatrizen, zum Beispiel homogene 21:48.960 --> 21:53.440 Transformationsmatrizen, die, wie wir wissen, man miteinander 21:53.440 --> 21:58.240 verketten kann durch Multiplikation, um die gesamte Transformation zu 21:58.240 --> 22:03.980 beschreiben von Gelenk 0 bis Gelenk N oder vom Koordinatensystem 0 bis 22:03.980 --> 22:05.160 Koordinatensystem N. 22:06.360 --> 22:11.740 Also was wir machen müssen, wir haben feste Transformationen zwischen 22:11.740 --> 22:16.480 den Gelenken, weil wir nehmen an, das ist ein starrer Roboter, es sind 22:16.480 --> 22:22.020 keine deformierbaren Segmente, Oberarm und Unterarm, die Beziehungen 22:22.020 --> 22:27.940 sind immer gleich, die Beziehungen zwischen Punkten auf den 22:27.940 --> 22:31.500 Armelementen, die bleiben immer gleich bei der Bewegung. 22:32.160 --> 22:36.760 Und was man machen muss, ist so lokale Koordinatensysteme der Gelenke 22:36.760 --> 22:42.180 definieren, wie hier skizziert ist, und dann Transformationen von 22:42.180 --> 22:48.240 Gelenk I-1 zu Gelenk I durch Transformationsmatrizen, zum Beispiel 22:48.240 --> 22:51.760 homogene Transformationsmatrizen, die wir kennengelernt haben, 22:52.060 --> 22:52.340 bestimmen. 22:53.920 --> 22:58.340 Und wir wissen, für jedes Gelenk muss dann eine Transformation 22:58.340 --> 23:03.440 bestimmt werden und diese Transformation hat drei Rotationsparameter 23:03.440 --> 23:05.780 und drei Translationsparameter. 23:05.780 --> 23:10.100 Also insgesamt eigentlich brauchen wir für die Beschreibung von 23:10.100 --> 23:13.960 Beziehungen zwischen Koordinatensystemen hier in diesem Arm sechs 23:13.960 --> 23:17.960 Parameter pro Beziehung zwischen Gelenk I-1 und I. 23:18.500 --> 23:23.560 Drei Translationen und drei Rotationen, wenn wir mit Winkeln arbeiten, 23:23.760 --> 23:25.660 mit Euler oder mit Roll-Picot. 23:27.680 --> 23:34.300 Die Frage ist jetzt, geht es mit weniger Parameter als sechs 23:34.300 --> 23:34.900 Parameter? 23:36.000 --> 23:42.540 Und das ist tatsächlich, was ein Herr Denevitt-Hartenberg festgestellt 23:42.540 --> 23:47.660 hat oder vorgeschlagen hat und wo er eine Konvention eingeführt hat, 23:47.820 --> 23:53.720 die eigentlich nichts Neues ist, sondern durch diese Konvention kann 23:53.720 --> 23:59.980 man die Festlegung der Koordinatensysteme in den Gelenken so geschickt 23:59.980 --> 24:04.800 machen, dass man mit vier Parametern statt mit sechs Parametern 24:04.800 --> 24:05.560 auskommt. 24:06.560 --> 24:12.640 Das heißt, es gibt irgendein Kochrezept, mit dem man diese lokalen 24:12.640 --> 24:16.740 Koordinatensysteme in den Gelenken geschickt festlegt, sodass man die 24:16.740 --> 24:21.320 Anzahl der Parameter, die notwendig sind, um die Beziehungen zwischen 24:21.320 --> 24:25.440 zwei aufeinanderfolgenden Gelenken zu definieren oder zu beschreiben, 24:26.440 --> 24:26.900 reduziert. 24:26.900 --> 24:29.680 So, wie funktioniert das? 24:32.980 --> 24:39.180 Man hat zunächst mal, wie wir schon wissen, eine systematische 24:39.180 --> 24:40.540 Beschreibung der Beziehungen. 24:40.800 --> 24:44.940 Das sind Translationen und Rotationen zwischen benachbarten Gelenken. 24:45.920 --> 24:50.820 Und in diesem Paper hier von Denevitt-Hartenberg von 1955 aus der 24:50.820 --> 24:55.780 Mechanik, wie man sieht, Journal of Applied Mechanics, kann man die 24:55.780 --> 24:59.820 Anzahl der Parameter, die notwendig sind, also bis jetzt wissen wir 24:59.820 --> 25:01.640 eigentlich, was wir gelernt haben. 25:01.780 --> 25:05.880 Wir brauchen sechs Parameter, um diese Transformation mal zu 25:05.880 --> 25:06.420 beschreiben. 25:07.180 --> 25:10.960 Und mit Hilfe von dieser Konvention können wir die Anzahl der 25:10.960 --> 25:12.960 Parameter von sechs auf vier beschreiben. 25:13.100 --> 25:14.020 Wie macht er das? 25:15.400 --> 25:22.160 Man definiert natürlich ein Koordinatensystem in jedem Gelenk. 25:22.420 --> 25:26.420 Jedes Koordinatensystem wird auf Basis von drei Regeln bestimmt. 25:26.940 --> 25:33.100 Jedes Gelenkkoordinatensystem wird auf Basis von drei Regeln bestimmt. 25:33.100 --> 25:41.680 Die erste Regel sagt, dass die ZI-1-Achse, also zum Beispiel Z1, liegt 25:41.680 --> 25:44.600 entlang der Bewegungsachse vom Gelenk 2. 25:46.000 --> 25:55.960 Also die ZI-1-Achse oder Gelenk liegt entlang der Bewegungsachse des 25:55.960 --> 25:56.800 Ethengelenks. 25:56.800 --> 26:02.460 Dann die XI-Achse, also die X-Achse beim Ethengelenk, verläuft entlang 26:02.460 --> 26:07.460 der gemeinsamen Normalen auf den zwei Z-Achsen, also auf die Z-Achse 26:07.460 --> 26:15.860 vom Gelenk I-1 und Gelenk I und zeigt von der ZI-1-Achse weg. 26:16.620 --> 26:24.780 Und die Y-Achse vervollständigt das Ganze zu einem rechtwinkligen oder 26:24.780 --> 26:28.580 zu einem Koordinatensystem entsprechend der Rechthandregel. 26:29.400 --> 26:35.120 Und das macht man für jedes Gelenk, angefangen mit der Basis bis hin 26:35.120 --> 26:36.840 zum letzten Gelenk. 26:37.540 --> 26:41.320 Was wir hier präsentieren in dieser Vorlesung ist nur eine Variante, 26:41.760 --> 26:45.220 wie man diese Parameter bestimmt beziehungsweise wie man die 26:45.220 --> 26:50.520 Koordinatensysteme festlegt, um diese Reduktion der Anzahl der 26:50.520 --> 26:52.580 beschreibenden Parameter zu erreichen. 26:52.860 --> 26:56.920 Also aufgepasst, wenn ihr in unterschiedlichen Büchern mal nach den 26:56.920 --> 27:01.480 David -Hartenberg-Notationen sucht, dann wundert ihr euch nicht, dass 27:01.480 --> 27:05.460 die Beschreibungen in den unterschiedlichen Büchern unterschiedlich 27:05.460 --> 27:05.680 sind. 27:07.020 --> 27:10.760 So, wir wollen gucken, wie das funktioniert und wie kommt man wirklich 27:10.760 --> 27:11.980 auf diese vier Parameter. 27:11.980 --> 27:16.860 Also eigentlich, das Problem ist, ich habe ein Gelenk hier I plus 1 27:16.860 --> 27:19.160 und ich habe hier ein Gelenk I, wie hier dargestellt. 27:19.660 --> 27:23.240 Dazwischen die zwei Gelenke sind verbunden mit einem Armelement I, 27:23.400 --> 27:25.200 also zum Beispiel Schulter und Ellenbogen. 27:25.820 --> 27:30.220 Und das Ganze geht hier weiter am Element I plus 1 und hier am Element 27:30.220 --> 27:31.900 I minus 1. 27:32.720 --> 27:37.620 Und die Frage, was wir gerade suchen, wir suchen die Transformation, 27:38.040 --> 27:40.240 die diese zwei Gelenke ineinander bringt. 27:40.930 --> 27:47.140 Und man sieht hier zum Beispiel, was der Hartenberg vorschlägt. 27:47.260 --> 27:52.960 Er sagt, die ZI minus 1 Achse muss entlang der Achse vom Gelenk I. 27:53.400 --> 27:57.640 Deshalb hier ZI minus 1 und hier ZI bei Gelenk I plus 1. 27:58.580 --> 28:04.320 Dann als nächstes, die zweite Regel ist, oder was man schon daraus 28:04.320 --> 28:10.100 eigentlich ablesen kann, die Armelementlänge AI, die beschreibt jetzt 28:10.100 --> 28:14.400 den Abstand zwischen diesen zwei Achsen entlang der gemeinsamen 28:14.400 --> 28:14.980 Normali. 28:15.460 --> 28:20.360 Also das ist die Normali auf ZI und ZI minus 1 und der Abstand 28:20.360 --> 28:22.740 zwischen denen, das ist ein Parameter AI. 28:23.340 --> 28:26.980 Das ist natürlich sehr wichtig und das gibt uns mehr oder weniger die 28:26.980 --> 28:29.020 Länge vom Oberarm in unserem Beispiel. 28:29.020 --> 28:30.940 Also im Armer-Beispiel. 28:31.740 --> 28:40.240 So, dann die nächste Regel heißt, XI liegt entlang der Normalen von ZI 28:40.240 --> 28:43.940 minus 1 zu ZI und zeigt von ZI weg. 28:44.240 --> 28:47.440 Also er zeigt XI in die Richtung und nicht in die Richtung. 28:47.900 --> 28:50.420 Das ist auch nichts Schlimmes. 28:51.080 --> 28:55.040 Also auch senkrecht auf dem hier, das heißt, es ist ein legitimes, 28:55.120 --> 28:57.480 rechtswinkliges Koordinatensystem. 28:57.480 --> 29:04.040 Und die nächste Regel sagt, oder was man daraus schon jetzt hier sehen 29:04.040 --> 29:10.220 kann, man kann sehen, dass dieser Versatz der Gelenke oder wie schräg 29:10.220 --> 29:14.720 die Gelenke relativ zueinander sind, kann man beschreiben anhand von 29:14.720 --> 29:16.000 dem Winkel Alpha I. 29:16.000 --> 29:23.940 Und zwar Alpha I ist der Winkel eigentlich zwischen ZI minus 1 und ZI 29:23.940 --> 29:30.960 im Ursprung vom Koordinatensystem I. 29:31.520 --> 29:38.680 Und zwar, wie soll ich ZI minus 1 um die XI-Achse drehe, damit ZI 29:38.680 --> 29:41.700 minus 1 in ZI hineingeht. 29:42.660 --> 29:45.760 Das heißt, man kann sich vorstellen, wenn ich ZI minus 1 hierher 29:45.760 --> 29:51.680 verschiebe, dann drehe ich ZI minus 1 um die XI-Achse, solange bis ZI 29:51.680 --> 29:54.320 minus 1 in Übereinstimmung mit ZI ist. 29:54.460 --> 29:56.280 Und das ist ein Winkel Alpha. 29:57.000 --> 30:00.420 Und dieser Winkel natürlich beschreibt für uns, wie schräg die Achsen 30:00.420 --> 30:01.720 relativ zueinander sind. 30:03.360 --> 30:05.200 Also, das heißt, was haben wir bis jetzt? 30:05.260 --> 30:06.320 Wir haben zwei Parameter. 30:06.420 --> 30:09.060 Wir haben Alpha I, AI und Alpha I. 30:09.060 --> 30:10.640 Was haben wir noch? 30:11.620 --> 30:15.720 Wir haben jetzt natürlich die zwei Gelenke, die können weit weg 30:15.720 --> 30:20.600 voneinander sein, also Alpha AI entfernt voneinander sein, aber die 30:20.600 --> 30:22.860 können auch versetzt im Raum sein. 30:23.700 --> 30:28.540 Und diesen Versatz kann man natürlich hier ablesen anhand von dem 30:28.540 --> 30:34.840 Abstand, also das nennt man auch Gelenkabstand, zwischen der XI minus 30:34.840 --> 30:37.360 1 Achse und der XI-Achse. 30:37.360 --> 30:42.760 Und zwar entlang der ZI I minus 1 Achse. 30:42.880 --> 30:45.840 Das heißt, wenn wir das hier verlangen, das ist die gemeinsame 30:45.840 --> 30:48.940 Normali, das ist auch XI, schneidet hier. 30:49.580 --> 30:53.840 Und das ist unser XI, der Ursprung von dem hier, also der Ursprung vom 30:53.840 --> 30:56.220 Gelenk I sollte hier sein. 30:56.780 --> 30:59.720 Und diese Differenz hier ist nichts anderes als DI. 31:00.440 --> 31:03.700 Das braucht man natürlich, weil da wissen wir, wie versetzt die 31:03.700 --> 31:07.700 Gelenke gegeneinander entlang der X-Achse sind. 31:08.500 --> 31:10.820 Das heißt, wie viele Parameter haben wir jetzt? 31:11.320 --> 31:14.520 Wir haben AI und wir haben DI und wir haben Alpha I. 31:14.640 --> 31:15.580 Was fehlt uns noch? 31:16.080 --> 31:20.220 Es fehlt uns natürlich, wie die Gelenke zueinander gedreht sind. 31:20.420 --> 31:24.580 Und zwar tatsächlich, wie sie rotiert zueinander sind. 31:24.580 --> 31:29.520 Also eigentlich, wir haben jetzt XI und ZI und jetzt müssen wir 31:29.520 --> 31:35.320 gucken, dass diese zwei Koordinatensysteme, also vom Koordinatensystem 31:35.320 --> 31:40.480 I und vom Koordinatensystem I minus 1 so gedreht werden, dass sie 31:40.480 --> 31:42.440 ineinander überführt werden. 31:42.440 --> 31:50.260 Und zwar, wir müssen also dieses Koordinatensystem I minus 1 um ein 31:50.260 --> 31:54.580 TTI drehen, damit XI minus 1 parallel zu XI ist. 31:54.680 --> 31:57.800 Und dann haben wir eigentlich die zwei Gelenke aufeinander gebracht. 31:59.120 --> 32:00.460 So, was bedeutet das? 32:00.560 --> 32:04.060 Das bedeutet eigentlich, wir kennen den Abstand, wir kennen den 32:04.060 --> 32:07.960 Versatz, wir wissen, wie die Gelenke schräg zueinander liegen und wir 32:07.960 --> 32:12.160 wissen, wie die zwei Koordinatensysteme hier verschoben oder gedreht 32:12.160 --> 32:15.480 werden müssen, damit sie ineinander überführt werden. 32:16.120 --> 32:17.280 Und mehr brauchen wir nicht. 32:18.320 --> 32:22.500 Das heißt, mithilfe von diesen vier Parametern können wir tatsächlich 32:22.500 --> 32:28.020 jetzt die kompletten Beziehungen, die Transformationen, also Lagen von 32:28.020 --> 32:32.420 Punkten, zum Beispiel hier im Gelenk I plus 1 im 32:32.420 --> 32:35.620 Basiskoordinatensystem vom Gelenk I beschreiben. 32:36.680 --> 32:40.380 Okay, das war ja eine schöne Visualisierung jetzt, wir müssen das ein 32:40.380 --> 32:42.340 bisschen mathematisch formulieren. 32:43.060 --> 32:46.740 Eigentlich sind diese Parameter nichts anderes als Parameter von 32:46.740 --> 32:48.760 irgendwelchen Transformationen. 32:49.120 --> 32:53.100 Und diese Transformationen, vielleicht ganz kurz, ich habe ja das 32:53.100 --> 32:57.720 Beispiel jetzt nur für Rotationsgelenke gemacht, wo natürlich der 32:57.720 --> 33:02.960 letzte Winkel hier, V, ist die unabhängige Variable, weil das ist die 33:02.960 --> 33:04.160 Drehung von dem Gelenk. 33:04.160 --> 33:09.860 Bei einem Schubgelenk oder bei einem Lineargelenk ist natürlich die 33:09.860 --> 33:14.200 Variable hier, die unabhängige Variable, ist natürlich D und nicht 33:14.200 --> 33:14.540 Theta. 33:15.220 --> 33:20.340 Also die Verschiebung entlang, D war die Verschiebung entlang der ZI 33:20.340 --> 33:22.920 -Achse zwischen den zwei Koordinatensystemen. 33:23.200 --> 33:25.980 Stellt euch mal vor, es gibt hier ein Gelenk, der bewegt sich hoch und 33:25.980 --> 33:29.540 runter, natürlich D würde sich verändern und nicht Theta. 33:30.920 --> 33:36.000 Gut, jetzt versuchen wir mal das mathematisch zu beschreiben. 33:36.420 --> 33:39.400 Also, das heißt, um diese zwei Koordinatensysteme ineinander zu 33:39.400 --> 33:45.660 überführen, haben wir zunächst mal eine Rotation Theta I, um die die 33:45.660 --> 33:51.120 ZI -Achse und damit die XI-Achse parallel zur XI-Achse liegt. 33:51.120 --> 33:54.900 Und das ist eine Rotation um eine Z-Achse und das können wir 33:54.900 --> 34:01.160 dargestellt hier mithilfe von homogenen Koordinaten, homogenen 34:01.160 --> 34:05.140 Matrizen, Rotation um die Z-Achse und dann unser Cosinus minus Sinus 34:05.140 --> 34:06.980 und Sinus Cosinus. 34:07.360 --> 34:11.980 Und zwar die Rotation um einen Winkel Theta I, deshalb Cosinus Theta I 34:11.980 --> 34:14.020 minus Sinus Theta I und so weiter und so fort. 34:14.020 --> 34:16.680 Was war die nächste Sache, die wir gemacht haben? 34:16.760 --> 34:24.460 Wir haben eine Transformation um DI von dem Koordinatensystem I minus 34:24.460 --> 34:25.340 1 zu I. 34:25.700 --> 34:34.160 Das heißt, wir haben eine Translation entlang der Z-Achse und wir 34:34.160 --> 34:40.160 wissen, dass wir diese Translation mithilfe eines DI hier, mithilfe 34:40.160 --> 34:43.520 von DI in dieser homogenen Matrix beschreiben können. 34:43.800 --> 34:47.680 Man sieht hier, dass die 3x3 Rotationsmatrix die Einheitsmatrix ist, 34:47.780 --> 34:50.560 weil wir haben bei dieser Transformation keine Rotation. 34:51.960 --> 34:55.220 So, das heißt Theta I und DI haben wir. 34:55.460 --> 34:56.280 Was haben wir noch? 34:56.420 --> 34:59.500 AI war eine Verschiebung entlang der X-Achse. 34:59.500 --> 35:03.260 Das ist eine Translation entlang der X-Achse. 35:05.720 --> 35:09.000 Rotationsmatrix ist die Einheitsmatrix und Translation um die X-Achse 35:09.000 --> 35:09.720 sieht man hier. 35:10.540 --> 35:15.640 So, und die vierte Variante war die Rotation um die XI-Achse und zwar 35:15.640 --> 35:17.360 um den Winkel Alpha I. 35:18.020 --> 35:22.540 Rotation um die X-Achse um Alpha I, das ist unsere Rotationsmatrix und 35:22.540 --> 35:23.380 keine Translation. 35:24.140 --> 35:28.700 So, und mithilfe von all diesen vier Transformationsmatrixen können 35:28.700 --> 35:32.940 wir tatsächlich jetzt die Lage vom Koordinatensystem I im 35:32.940 --> 35:35.380 Koordinatensystem I-1 beschreiben. 35:35.660 --> 35:36.920 Wie bekommen wir das? 35:37.520 --> 35:40.060 Wir multiplizieren alle diese vier Matrixen miteinander. 35:40.740 --> 35:44.460 Das heißt, wenn ich diese vier Matrixen miteinander multipliziere, die 35:44.460 --> 35:48.560 ich vorher gesehen habe, dann kommen wir auf eine Matrix, die gibt uns 35:48.560 --> 35:52.660 immer die Transformation, also auf eine homogene Matrix auch, man 35:52.660 --> 35:58.420 sieht hier 0001, die gibt uns die Transformation zwischen Gelenk I-1 35:58.420 --> 35:58.960 und I. 36:00.160 --> 36:05.420 Und diese Matrix, wie man sieht hier, hat nur oder enthält nur, 36:05.600 --> 36:09.140 abgesehen von den trigonometrischen Funktionen, nur die Parameter 36:09.140 --> 36:17.120 Theta, Alpha, D und A, die wir vorher hatten, um überhaupt diese 36:17.120 --> 36:18.380 Transformation zu bestimmen. 36:18.740 --> 36:24.320 Also Theta I, Alpha I, A I und D I. 36:25.680 --> 36:31.680 So, und nun wollen wir nicht immer die Beziehungen oder die Lage vom 36:31.680 --> 36:36.820 Koordinatensystem I im I-1, sondern manchmal interessiert uns 36:36.820 --> 36:40.200 vielleicht die Lage vom Koordinatensystem I-1 im I. 36:40.400 --> 36:41.720 Was müssen wir also machen? 36:42.120 --> 36:45.660 Wir müssen nur diese Transformationsmatrix invertieren. 36:46.360 --> 36:49.820 Und die invertierte Transformationsmatrix sieht so aus. 36:50.380 --> 36:54.100 Und man sieht hier bei dieser invertierten Transformationsmatrix, dass 36:54.100 --> 37:00.760 natürlich die 3x3 Matrix hier, also dieser Teil hier von dieser 4x4 37:00.760 --> 37:06.620 Matrix, nichts anderes als die transponierte Matrix von dieser 3x3 37:06.620 --> 37:09.280 Matrix hier in der ersten Transformation. 37:09.660 --> 37:14.020 Das spart viel Zeit und viel Aufwand, wenn man solche Tricks hier 37:14.020 --> 37:19.140 kennt, weil wir wissen ja, die Inversi-Matrix von Rotationsmatrixen, 37:19.200 --> 37:26.760 dass sie ja orthogonal sind, identisch ist mit der transponierten 37:26.760 --> 37:27.160 Matrix. 37:27.640 --> 37:32.220 Also hier haben wir Cosinus minus Sinus, Cosinus und Sinus, Sinus. 37:32.420 --> 37:36.700 Und man sieht hier Cosinus minus Cosinus, Sinus, Sinus in der ersten 37:36.700 --> 37:37.220 Spalte. 37:37.220 --> 37:42.080 Natürlich hier sieht die Welt anders aus, das ist nicht transponierte 37:42.080 --> 37:45.800 für die komplette Matrix, sondern nur für die 3x3 Rotationsmatrix. 37:46.900 --> 37:49.060 Okay, gibt es Fragen dazu? 37:50.060 --> 37:53.140 Alles klar, dann sieht die Sache einfach aus. 37:56.300 --> 38:01.280 Also haben wir jetzt eine 4x4 Matrix, die nur von vier Parametern 38:01.280 --> 38:06.360 abhängt, mit der wir Beziehungen zwischen Koordinatensystemen 38:06.360 --> 38:06.780 beschreiben. 38:07.180 --> 38:10.640 Wenn wir das jetzt für den kompletten Roboterarm machen wollen, also 38:10.640 --> 38:14.300 von der Basis bis zum letzten Gelenk, dann haben wir natürlich nichts 38:14.300 --> 38:17.960 anderes als eine Multiplikation von diesen Transformationsmatrixen. 38:18.220 --> 38:22.540 Also eine Transformation von der Basis, zum Beispiel Gelenk 0 nach 1, 38:22.680 --> 38:26.400 der hängt natürlich nur von Theta 1, von der Drehwinkel Theta 1. 38:27.020 --> 38:31.420 Transformation von Gelenk 1 nach 2 hängt natürlich nur von Theta 2, 38:32.120 --> 38:37.920 und so weiter und so fort, bis Transformation von M-1 zu M, und das 38:37.920 --> 38:40.500 hängt natürlich vom letzten Gelenkwinkel M. 38:40.680 --> 38:46.200 Und man sieht also, dass man auf diese Art und Weise die Position von 38:46.200 --> 38:51.020 dem Endeffektor, also vom letzten Gelenk, im Basiskoordinatensystem 38:51.020 --> 38:52.460 des Armes beschreiben kann. 38:53.760 --> 39:01.140 So, und wenn wir jetzt beispielsweise die Gelenkwinkel verändern, dann 39:01.140 --> 39:03.460 kriegen wir automatisch immer die Position, oder? 39:04.100 --> 39:07.080 Also wenn ich die Gelenkwinkel hier verändere, dann verändern sich 39:07.080 --> 39:09.940 diese Matrizen, und durch die Multiplikation kriege ich eine andere 39:09.940 --> 39:12.300 Positionorientierung vom Handgelenk. 39:13.180 --> 39:14.080 Und was ist das? 39:14.620 --> 39:17.100 Das ist nichts anderes als das direkte kinematische Problem. 39:17.280 --> 39:21.380 Das heißt, ich habe jetzt eine Beziehung hier, Multiplikation von 39:21.380 --> 39:25.480 Matrizen, das ist wiederum eine 4x4 Matrix, in der natürlich 39:25.480 --> 39:30.280 trigonometrische Funktionen auftauchen, die von Theta 1 bis Theta M 39:30.280 --> 39:31.100 abhängen. 39:31.640 --> 39:36.480 Und wenn ich jetzt die Thetas kenne, also die Gelenkwinkel vom Arm 39:36.480 --> 39:40.200 kenne, ich setze sie nur ein in dieser Matrix, und dann kriege ich die 39:40.200 --> 39:44.160 Position, die neue Positionorientierung von dem Endeffektor. 39:44.460 --> 39:47.620 Und das ist was wir, nichts anderes als das direkte kinematische 39:47.620 --> 39:50.020 Problem, was wir vorher gesehen haben. 39:50.260 --> 39:53.740 Das heißt, ich will wissen, wo ist meine Hand bei bestimmten 39:53.740 --> 39:58.240 Konfigurationen, oder bei bestimmten Gelenkwinkelwerten, und das ist 39:58.240 --> 40:03.080 tatsächlich, was diese DH-Transformationen uns hier liefern. 40:03.740 --> 40:05.780 So, Zusammenfassung. 40:05.920 --> 40:11.060 Wie geht man also vor, wenn man für einen Roboterarm diese DH 40:11.060 --> 40:14.020 -Transformation oder die DH-Parameter bestimmen will? 40:14.020 --> 40:18.560 Man macht zunächst mal sich eine Skizze von dem Roboter, die bekommt 40:18.560 --> 40:22.700 man vielleicht auch von den Konstruktoren, oder kann man selber auch 40:22.700 --> 40:24.500 ableiten. 40:25.160 --> 40:29.320 Man identifiziert und nummeriert die Gelenke, also angefangen mit 40:29.320 --> 40:31.920 Gelenk 1 und das letzte Gelenk ist N. 40:32.640 --> 40:38.840 Man zeichnet die XI-1-Achse im Gelenk I, also laut den Regeln von 40:38.840 --> 40:39.620 Hartenberg. 40:39.620 --> 40:44.920 Man bestimmt die Parameter AI, und zwar das ist der Abstand zwischen 40:44.920 --> 40:49.400 den ZI-1 und ZI-Achsen entlang der gemeinsamen Normalie. 40:50.260 --> 40:55.040 Und man zeichnet dann die XI-Achse, und zwar senkrecht auf der ZI 40:55.040 --> 40:59.060 entlang dieser gemeinsamen Normalie, aber zeigt von ZI-1 weg. 40:59.660 --> 41:03.200 Ich weiß nicht, ob mir jemand folgen kann bei diesen ganzen Sachen. 41:04.360 --> 41:14.020 Und dann man bestimmt den Parameter AI, also wie die Verwindung um die 41:14.020 --> 41:14.900 XI -Achsen. 41:15.880 --> 41:20.800 Anschließend den Parameter D, das heißt der Abstand der Achsen 41:20.800 --> 41:25.640 voneinander entlang der ZI-1-Achse bei dem Parameter DI. 41:25.640 --> 41:31.500 Und anschließend den Rotationswinkel, das heißt die Rotation der X 41:31.500 --> 41:35.260 -Achse um die ZI-1-Achse, damit wir dieses DTE bekommen. 41:35.720 --> 41:41.020 Und dann bestimmt man diese Gelenktransformationsmatrizen, also AI-1 41:41.020 --> 41:45.440 zu AI, und verknüpft sie miteinander, wie wir das gerade hier gemacht 41:45.440 --> 41:45.700 haben. 41:46.580 --> 41:49.320 Gut, gehen wir weiter. 41:49.480 --> 41:54.580 Das habe ich bereits erwähnt, dass wir hiermit auch auf eine einfache 41:54.580 --> 41:57.720 Art und Weise das sogenannte direkte kinematische Problem lösen. 41:58.280 --> 42:02.200 Und das direkte kinematische Problem zur Erinnerung war nichts anderes 42:02.200 --> 42:05.300 als das, wo ist meine Hand. 42:05.820 --> 42:11.600 Ich habe bestimmte Gelenkwinkelstellungen hier in meiner kinematischen 42:11.600 --> 42:15.060 Kette und ich will wissen, wo ist der Endeffektor oder die Hand. 42:15.060 --> 42:17.700 Also die Position und Orientierung. 42:18.220 --> 42:21.760 Und da wir jetzt diese Transformation zwischen Schulter 1, Schulter 2, 42:21.900 --> 42:25.000 Schulter 2 Ellenbogen, Ellenbogen-Handgelenk usw. 42:25.140 --> 42:25.380 usf. 42:26.000 --> 42:29.620 wissen wir, dass diese Beziehung eigentlich durch eine 4x4 Matrix 42:29.620 --> 42:32.180 angegeben werden kann. 42:32.660 --> 42:38.120 Und dass in dieser 4x4 Matrix die ersten drei Elemente von der letzten 42:38.120 --> 42:40.020 Spalte die Position sind. 42:40.020 --> 42:48.260 Und dass wir in der oberen linken 3x3 Matrix die Orientierung von der 42:48.260 --> 42:53.040 Hand im Bezug-Koordinatensystem, also im ersten Koordinatensystem 42:53.040 --> 42:54.340 ablesen können. 42:54.340 --> 43:00.420 So nun haben wir das gerade gesehen, das heißt eigentlich die 43:00.420 --> 43:02.420 Gelenkwinkel sind vorgegeben hier. 43:02.620 --> 43:06.880 Die Stellung vom Tool Center Point oder vom Endeffektor hier ergibt 43:06.880 --> 43:12.340 sich aus der oberen Gleichung durch Einsetzen der Gelenkwinkel. 43:13.280 --> 43:16.300 So nun wollen wir ein paar Beispiele kennenlernen. 43:16.300 --> 43:21.640 Das ist zum Beispiel hier ein Roboterarm mit drei Gelenken. 43:21.980 --> 43:25.760 Das ist ein planarer Roboterarm, könnte man sich vorstellen. 43:25.900 --> 43:32.200 Das sind die Drehachsen, die Achse 1 mit dem Gelenkwinkel Theta 1, die 43:32.200 --> 43:36.640 Achse 2 mit dem Gelenkwinkel Theta 2 und die Achse 3 hier mit dem 43:36.640 --> 43:37.840 Gelenkwinkel Theta 3. 43:38.040 --> 43:41.780 Also das sind die drei Gelenkwinkel von diesem planaren Arm. 43:41.780 --> 43:46.140 Und was man macht natürlich ist hier nichts anderes als diese 43:46.140 --> 43:49.480 Konventionen oder diese Regeln, die ich gerade präsentiert habe. 43:50.160 --> 43:56.600 Das heißt die Z-Achse kommt hier raus, die X-Achse geht zur Seite bei 43:56.600 --> 43:58.800 X0 und Y geht nach oben. 43:59.540 --> 44:02.600 Dann haben wir das erste Koordinatensystem auf die gleiche Art und 44:02.600 --> 44:04.200 Weise das zweite Koordinatensystem. 44:04.200 --> 44:10.680 Also die Z-Achsen gehen raus hier aus der Zeichnungsebene und X0 und Y 44:10.680 --> 44:11.900 in die andere Richtung. 44:12.540 --> 44:17.120 Und man sieht hier in diesem Beispiel natürlich der Abstand der Achsen 44:17.120 --> 44:20.820 voneinander AI ist nichts anderes als die Segmentlänge hier. 44:20.960 --> 44:24.620 Der Abstand hier ist nichts anderes als A2, der Abstand hier ist 44:24.620 --> 44:26.020 nichts anderes als A3. 44:27.940 --> 44:33.500 Und was man hier machen kann, man kann natürlich jetzt diese DH 44:33.500 --> 44:34.800 -Parameter ablesen. 44:35.520 --> 44:40.360 Zum Beispiel habe ich bereits erwähnt, dass AI vor Gelenk 1 ist nichts 44:40.360 --> 44:41.680 anderes als das hier. 44:42.520 --> 44:46.400 Die zwei Achsen, die sind eigentlich ausgerichtet, das heißt Alpha I 44:46.400 --> 44:50.220 ist 0, weil beide Z-Achsen gehen in die Ebene. 44:50.220 --> 44:57.740 Es gibt überhaupt keinen Versatz zwischen dem Ursprung hier von Gelenk 44:57.740 --> 45:02.320 1 und Gelenk 0 entlang der X1-Achse. 45:02.520 --> 45:04.020 Deshalb ist DI gleich 0. 45:04.680 --> 45:08.140 Und natürlich die unabhängige Komponente hier oder unabhängige 45:08.140 --> 45:12.040 Variable bei einem Rotationsgelenk ist Theta 1. 45:12.040 --> 45:20.380 Und zwar ist das der Winkel, um den wir das Koordinatensystem X0 45:20.380 --> 45:26.960 drehen müssen, damit die X-Achsen X0 und X1 in Übereinstimmung sind, 45:27.500 --> 45:28.280 also Theta 1. 45:28.840 --> 45:31.560 Und man sieht von Gelenk 2 und Gelenk 3 ist es ähnlich. 45:31.800 --> 45:34.800 Also man kommt hier auf diese Parameter und mithilfe von diesen 45:34.800 --> 45:38.760 Parametern kann man natürlich hier die Transformationsmatrizen 45:38.760 --> 45:39.160 bestimmen. 45:39.160 --> 45:46.800 Da wir so viele Nullen hier haben, also Alpha I ist 0 und DI ist 0, 45:47.260 --> 45:51.620 deshalb verschwinden so viele Termine in dieser Gleichung, die wir 45:51.620 --> 45:52.680 vorher gesehen haben. 45:52.680 --> 45:57.660 Das heißt, wenn ich hier ein paar mal zurückgehe, sorry, aber 45:57.660 --> 45:59.560 vielleicht ist es interessant, das zu sehen. 46:00.220 --> 46:07.880 Da zum Beispiel Alpha I ist 0 und DI ist 0, verschwinden eigentlich AI 46:07.880 --> 46:08.580 ist 0. 46:09.140 --> 46:14.100 Nein, AI war nicht 0, sondern Alpha I und DI waren 0, deshalb tauchen 46:14.100 --> 46:16.320 natürlich nur hier Cosinus und Sinus. 46:17.000 --> 46:19.580 Alpha I ist, wie viel war Alpha? 46:19.940 --> 46:21.420 Alpha war 0, oder? 46:22.880 --> 46:26.980 Alpha war 0, das heißt Cosinus Alpha I ist 1 und deshalb vereinfachen 46:26.980 --> 46:32.980 sich natürlich die Matrizen, wie wir auf der nächsten Folie sehen 46:32.980 --> 46:33.320 werden. 46:34.260 --> 46:37.680 So, das heißt die Matrizen, man sieht hier die 1, die ich gerade 46:37.680 --> 46:41.780 angesprochen habe, der Rest ist Nullen und somit kann man mithilfe von 46:41.780 --> 46:43.720 diesen Parametern jetzt einsetzen. 46:43.720 --> 46:49.940 Also von 0 nach 1, dann setzt man hier die Gelenkwinkel hier, also A1 46:49.940 --> 46:54.300 vor AI und dann ist es Cosinus Delta I und Sinus Delta I und so weiter 46:54.300 --> 46:54.880 und so fort. 46:55.260 --> 46:57.940 Und kann man diese 4x4 Matrizen eingeben. 46:58.480 --> 47:02.060 Das heißt, wenn wir das hier machen, dann bekommen wir so einen 47:02.060 --> 47:10.600 Ausdruck und in diesem Ausdruck haben wir immer hier die Rotation von 47:10.600 --> 47:13.940 der Hand oder vom Endeffektor im Basiskoordinatensystem. 47:14.680 --> 47:18.740 Die ist hier dargestellt in dieser Rotationsmatrix und man sieht, da 47:18.740 --> 47:22.800 wir jetzt diesen Planarenfall betrachtet haben, dass eine Rotation um 47:22.800 --> 47:26.820 die Z-Achse erkennt man anhand von dieser 3x3 Matrix, dass man die 1 47:26.820 --> 47:31.160 hier hat und die Position natürlich ändert sich in Abhängigkeit von 47:31.160 --> 47:34.540 den Gelenkwinkeln, von Delta I, Delta II, Delta III. 47:35.020 --> 47:37.900 Das könnte man sich vorstellen, die Position hier ändert sich in 47:37.900 --> 47:42.060 Abhängigkeit von den Gelenken Delta I, Delta II und Delta III. 47:43.380 --> 47:51.900 Das heißt, wir haben eigentlich jetzt unser Vorwärtskinematikproblem 47:51.900 --> 47:52.980 ganz einfach. 47:53.160 --> 48:00.080 Wenn ich jetzt weiß, Delta I ist gleich 90°, Delta II ist gleich 90° 48:00.080 --> 48:03.520 und so weiter und so fort, dann kann ich nur hier einsetzen und dann 48:03.520 --> 48:07.040 kriege ich die Orientierung und die Position für eine bestimmte 48:07.040 --> 48:08.360 Gelenkwinkelkonfiguration. 48:08.980 --> 48:15.540 Das ist ein zweites Beispiel, das heißt, das Besondere ist hier das 3D 48:15.540 --> 48:20.100 -Beispiel, wo man Delta I hier hat und anschließend Delta II und dann 48:20.100 --> 48:23.320 hat man hier ein translatorisches Gelenk, also kein rotatorisches 48:23.320 --> 48:30.280 Gelenk, sondern ein Translationsgelenk. 48:30.280 --> 48:32.860 Und was man hier natürlich machen muss zunächst mal, die 48:32.860 --> 48:38.060 Koordinatensysteme gemäß den Regeln, die wir kennengelernt haben, 48:38.140 --> 48:38.620 festlegen. 48:38.740 --> 48:41.620 Man sieht hier zum Beispiel, dass der Ursprung vom Koordinatensystem 48:41.620 --> 48:48.000 Z0 und Z1, also für das erste Gelenk und das zweite Gelenk auch 48:48.000 --> 48:49.220 übereinstimmen können. 48:49.920 --> 48:54.140 Das ist natürlich ein Vorteil, weil dann habe ich ein Parameter, der 0 48:54.140 --> 48:54.540 ist. 48:54.540 --> 48:59.680 Diese Verschiebung zwischen den zwei Gelenken, das vereinfacht vieles 48:59.680 --> 49:00.800 in diesen Matrizen. 49:01.440 --> 49:04.960 Und wie wir sehen werden, werden die Matrizen dann einfacher und 49:04.960 --> 49:10.260 später werden wir das auch sehen, wird die Lösung von einem inversen 49:10.260 --> 49:13.100 kinematischen Problem, was für die Realisierung einer Steuerung 49:13.100 --> 49:14.840 notwendig ist, auch noch einfacher. 49:15.520 --> 49:19.540 Man bestimmt die Parameter hier und man sieht natürlich hier 49:19.540 --> 49:24.300 besonders, dass die unabhängige Variable bei diesem Gelenk hier ist 49:24.300 --> 49:25.000 D3. 49:26.080 --> 49:29.760 Weil D3 ist das, was sich verschiebt, hoch und runter geht. 49:29.860 --> 49:31.620 Es ist nicht ein Gelenk, was sich dreht. 49:32.940 --> 49:37.960 D2 ist hier natürlich der Abstand zwischen diesem Punkt und diesem 49:37.960 --> 49:38.460 Punkt. 49:38.820 --> 49:43.580 Aber D3 ist natürlich die Verschiebung entlang dieser Z2 Achse hier. 49:44.140 --> 49:47.700 Und auf die gleiche Art und Weise kann man die Matrizen hier eingeben. 49:49.380 --> 49:52.200 Matrize 1 zu 2 und 2 zu 3. 49:52.360 --> 49:57.280 Und man sieht, die Transformation 2 zu 3, das ist diese 49:57.280 --> 50:02.040 Translationsachse, da ist im Gegensatz zu dem hier, also 0 zu 1, da 50:02.040 --> 50:03.460 haben wir hier eine Rotation. 50:05.100 --> 50:07.980 1 zu 2 haben wir auch hier eine Rotation. 50:08.240 --> 50:11.840 Und D2 ist konstant, das ist der Abstand hier. 50:11.840 --> 50:17.840 Aber 2 zu 3, da haben wir die Einheitsmatrix hier, also keine Rotation 50:17.840 --> 50:18.600 in dem Fall. 50:18.740 --> 50:22.520 Wenn D3 sich verändert, bleibt die Rotation gleich, die Orientierung 50:22.520 --> 50:26.680 vom Endeffektor gleich, nur die Position ändert sich. 50:27.340 --> 50:33.300 Und zwar nur der Z-Wert der Position ändert sich, weil das ist die 50:33.300 --> 50:36.240 unabhängige Variable der Translationsachse. 50:37.320 --> 50:40.820 So, jetzt war eine Frage hier, glaube ich, oder ist es schon erledigt? 50:40.820 --> 50:48.780 Nein, nein, das ist eine ganz, also das ist nur eine, also C1, 50:50.380 --> 50:52.820 Entschuldigung, das habe ich natürlich nicht erwähnt, aber ich dachte, 50:52.960 --> 50:54.140 das ist ja einfach. 50:54.940 --> 50:58.120 Also ich will jetzt, statt diese Termin hier aufzuschreiben in dieser 50:58.120 --> 51:00.380 Matrix, ich will irgendwelche Abkürzungen haben. 51:04.520 --> 51:06.640 Du kannst es X nennen von mir aus. 51:07.360 --> 51:11.600 Nein, nein, das ist nur eine Abkürzung, wie ich diesen Term bezeichne, 51:11.600 --> 51:16.280 was Cosinus Theta 1 plus Theta 2 plus Theta 3 ist, ist noch 51:16.280 --> 51:17.520 uninteressant. 51:18.900 --> 51:22.780 Ich weiß, also wenn du zum Beispiel Cosinus Theta 1 plus Theta 2 hast, 51:22.880 --> 51:24.280 wie würdest du das hinschreiben? 51:24.820 --> 51:29.020 Okay, er ist nicht so ganz einverstanden, aber gibt es hier 51:29.020 --> 51:33.680 Unklarheiten, was das angeht, dass das eine Abkürzung ist und das ist 51:33.680 --> 51:38.240 nicht eigentlich, nicht gemeint, dass ich jetzt beispielsweise die 51:38.240 --> 51:40.300 Winkel addiere und Cosinus davon nehme. 51:40.300 --> 51:45.260 Also ist mir bekannt, dass ich Cosinus Theta 1 plus Theta 2 ist gleich 51:45.260 --> 51:45.720 irgendwas. 51:46.620 --> 51:50.720 Aber das nur, damit wir wirklich eine verkürzte Schreibweise von 51:50.720 --> 51:52.940 diesen Termen, die auftreten, hier haben. 51:54.680 --> 52:00.500 Okay, so ich glaube es gibt noch ein drittes Beispiel, und zwar das 52:00.500 --> 52:05.960 ist so ein Beispiel von dem ARMA 1 Roboter ARM. 52:05.960 --> 52:11.280 Und zwar, da sieht man hier die DH-Parameter, das sind sieben Achsen, 52:11.740 --> 52:18.500 das sind alle rotatorische Achsen, Theta 1 bis Theta 7. 52:19.560 --> 52:25.600 Und man sieht hier natürlich, ein paar Sachen kann man aus diesen 52:25.600 --> 52:27.040 Tabellen auch ablesen. 52:27.600 --> 52:32.000 Also zum Beispiel dieser Abstand hier, D3 ist nichts anderes als die 52:32.000 --> 52:37.880 Länge vom Oberarm vom Roboter und der Abstand hier, D5, ist nichts 52:37.880 --> 52:43.160 anderes als die Länge vom Unterarm, also 27 cm und 22 cm. 52:44.020 --> 52:48.080 Und man sieht hier natürlich die AIs, die Alpha-Is, die sind immer 90 52:48.080 --> 52:49.400 plus 90 usw. 52:49.700 --> 52:55.380 Und natürlich durch ein geschicktes Design, beziehungsweise durch ein 52:55.380 --> 53:00.140 geschicktes kinematisches Modell von einem Roboter, kann man natürlich 53:00.140 --> 53:07.040 die DH-Parameter Tabellen bekommen, wo viele Nullen dort auftreten. 53:07.480 --> 53:10.020 Und keine Offsets, wie bei den Gelenken. 53:10.200 --> 53:12.840 Also bei den Gelenken haben wir hier zum Beispiel ein Offset von Theta 53:12.840 --> 53:18.300 2 bis Theta 3 und Theta 3 plus 90 und nicht nur ein Theta 3 oder hier 53:18.300 --> 53:20.020 Theta 6 plus 90. 53:20.380 --> 53:23.620 Gut, war der erste ARM, den ich in meinem Leben überhaupt realisiert 53:23.620 --> 53:26.920 habe, aber trotzdem ist er nicht so dramatisch. 53:27.180 --> 53:31.600 Statt dass man Cosinus Theta 6 berechnet, hat man ein Cosinus Theta 6 53:31.600 --> 53:32.280 plus 90. 53:32.420 --> 53:36.020 Manchmal ist es vielleicht auch vorteilhaft, aber im Allgemeinen 53:36.020 --> 53:40.400 sollte man vielleicht versuchen, wenn man jetzt hier von irgendeiner 53:40.400 --> 53:46.160 Großfirma beauftragt wird, so eine neue Kinematik für einen Roboter 53:46.160 --> 53:49.480 -ARM zu entwickeln, dann sollte man sich überlegen, dass man 53:49.480 --> 53:53.440 vielleicht hier so viele Nullen wie möglich in diesen DH-Parameter 53:53.440 --> 53:56.600 -Tabellen hat, weil das würde vieles vereinfachen. 53:57.280 --> 54:03.660 Gut, nun können wir jetzt mithilfe von diesen homogenen 54:03.660 --> 54:09.320 Transformationen, aufeinanderfolgende Transformationsmatrizen, die wir 54:09.320 --> 54:14.480 eindeutig bestimmen können, mithilfe von nur vier Parametern für zwei 54:14.480 --> 54:19.920 aufeinanderfolgende Gelenke, können wir eigentlich das Problem der 54:19.920 --> 54:25.200 Vorwärtskinematik lösen. 54:25.680 --> 54:29.380 Jetzt machen wir ein bisschen weiter und schauen, ob es nicht so 54:29.380 --> 54:35.340 andere Methoden gibt, mit denen man das Problem vielleicht allgemeiner 54:35.340 --> 54:39.680 und weniger geometrisch, vielleicht mehr numerisch hier lösen kann. 54:40.580 --> 54:43.600 Und da kommen wir auf die sogenannten Jacobi-Matrizen. 54:43.600 --> 54:49.200 Und zwar, wir wissen jetzt schon, dass die Beziehungen zwischen 54:49.200 --> 54:53.880 Gelenkwinkelstellungen oder Konfigurationen eines Roboterarms und 54:53.880 --> 54:59.200 Endposi, also Lage und Orientierung vom Endeffektor im Raum, durch die 54:59.200 --> 55:02.360 Beziehung der Vorwärtskinematik beschrieben werden kann. 55:02.880 --> 55:07.520 Aber das ist nicht alles, was einem interessiert, wenn man eine 55:07.520 --> 55:13.620 Steuerung für einen Roboter realisieren will, sondern es interessieren 55:13.620 --> 55:19.180 uns auch die Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten vom Tool 55:19.180 --> 55:24.480 Center Point und den Winkelgeschwindigkeiten der einzelnen Gelenke. 55:25.400 --> 55:29.020 Also nicht nur wirklich, hier ist meine Gelenkwinkelkonfiguration, 55:29.300 --> 55:32.440 hier ist meine Hand, sondern wir wollen zum Beispiel mit einer 55:32.440 --> 55:35.880 bestimmten Trajektorie, mit einer bestimmten Geschwindigkeit des 55:35.880 --> 55:38.660 Endeffektors, also der Hand, ausführen. 55:38.660 --> 55:44.260 Welche Gelenkwinkelgeschwindigkeiten in der Schulter, Ellenbogen und 55:44.260 --> 55:49.900 Handgelenk sind notwendig, um zum Beispiel diese Trajektorie mit einer 55:49.900 --> 55:51.780 bestimmten Geschwindigkeit anfahren zu können? 55:52.660 --> 55:56.960 Das heißt, die Beziehungen zwischen Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, 55:57.140 --> 56:00.660 also Gelenkwinkelgeschwindigkeit von der Schulter, vom Ellenbogen und 56:00.660 --> 56:04.640 so weiter, und die kathesischen Geschwindigkeiten vom Endeffektor. 56:04.640 --> 56:07.620 Weil die kathesische Geschwindigkeit ist zum Beispiel die 56:07.620 --> 56:12.620 Geschwindigkeit, mit der ein Roboter eine Bahn abfährt, irgendwas 56:12.620 --> 56:18.880 abschweißt oder lasert oder was sonst. 56:19.360 --> 56:23.680 Also wie sehen diese Beziehungen aus zwischen Geschwindigkeiten, im 56:23.680 --> 56:25.800 Geschwindigkeitsraum und nicht im Positionsraum? 56:26.960 --> 56:32.580 Und zum Zweiten, wir wollen gerne auch wissen, was die Dynamik angeht 56:32.580 --> 56:36.500 von einem Roboter, wie die Beziehungen zwischen den Drehmomenten in 56:36.500 --> 56:43.680 den Gelenken und den Kräften, die am Endeffektor auswirken, sind. 56:44.580 --> 56:49.220 Ja, also stellt euch mal vor, ein Roboterarm soll jetzt 10 Kilo 56:49.220 --> 56:49.620 tragen. 56:50.440 --> 56:55.900 10 Kilo ist eine Kraft, die am Endeffektor auswirkt. 56:56.300 --> 56:59.780 Und die Frage ist, welche Drehmomente müssen jetzt die jeweiligen 56:59.780 --> 57:05.500 Aktoren oder Antriebe in den Gelenken aufbringen, damit ich diese 10 57:05.500 --> 57:10.900 Kilo halten kann beziehungsweise entlang einer Trajektorie auch 57:10.900 --> 57:11.740 bewegen kann. 57:13.500 --> 57:19.920 Das heißt, ohne die Beantwortung dieser Fragen können wir überhaupt 57:19.920 --> 57:25.900 keine Roboter realisieren, die solche dynamischen Eigenschaften oder 57:25.900 --> 57:28.220 dynamische Randbedienungen berücksichtigen. 57:28.220 --> 57:33.380 Und Roboter müssen ja eigentlich was manipulieren, was tragen, 57:33.720 --> 57:37.480 irgendwelche Operationen natürlich mit einer bestimmten 57:37.480 --> 57:40.920 Geschwindigkeit ausführen und auch Präzision. 57:41.420 --> 57:44.640 Und deshalb müssen wir gucken, wie können wir diese Fragen tatsächlich 57:44.640 --> 57:45.420 beantworten. 57:45.780 --> 57:49.580 Also einmal die Beziehungen im Gelenk im Geschwindigkeitsraum und 57:49.580 --> 57:53.080 einmal die Beziehungen im Kraft- oder Drehmomentraum. 57:53.900 --> 57:59.500 Und der Ansatz, den man hier hat, ich meine wir haben jetzt durch dem, 57:59.600 --> 58:03.440 was wir bis jetzt kennengelernt haben, haben wir eigentlich nichts 58:03.440 --> 58:05.660 anderes als eine Funktion. 58:10.180 --> 58:16.420 Eine Funktion, die heißt x und x ist natürlich ein Vektor und das ist 58:16.420 --> 58:18.020 eine Funktion von Theta. 58:19.880 --> 58:28.360 Und wir wissen, dass diese x hier aus, also x, wenn wir im 58:28.360 --> 58:35.280 kartesischen Raum sind, dann ist es natürlich aus R6 und Theta sind 58:35.280 --> 58:44.940 die Gelenkwinkel eines Roboters und das ist natürlich aus Rn, wobei n 58:44.940 --> 58:47.120 die Anzahl der Gelenkwinkel vom Roboter ist. 58:47.870 --> 58:51.860 Das heißt eigentlich, wir haben jetzt gerade gesehen, dass zum 58:51.860 --> 58:57.320 Beispiel mit Hilfe von homogenen Transformationsmatrizen, dass wir 58:57.320 --> 59:03.760 diese Funktion f, das ist ungleich, aber die Funktion f von Theta 59:05.100 --> 59:12.440 nichts anderes als 4x4 Matrix ist und in dieser 4x4 Matrix steht hier 59:12.440 --> 59:17.380 die Orientierung und hier die Position vom Endeffektor. 59:17.820 --> 59:23.300 Also hier in dem Vektor stehen die ersten drei Komponenten von x und 59:23.300 --> 59:28.260 in dieser Matrix stehen die drei Rotationswinkel, die ich als weitere 59:28.260 --> 59:29.580 Komponenten von x habe. 59:30.120 --> 59:36.260 Weil x muss man sich vorstellen hier als ein 6-dimensionaler Vektor 59:36.260 --> 59:47.680 mit x, y, z, Alpha, Beta, Gamma und x, y, z sind der Vektor und Alpha, 59:47.800 --> 59:52.040 Beta, Gamma sind die drei Winkel, die in der Rotationsmatrix 59:52.040 --> 59:53.600 beschrieben sind. 59:54.060 --> 59:59.620 Aber im Allgemeinen haben wir so eine Funktion hier und diese Funktion 59:59.620 --> 01:00:03.340 beschreibt alles im Gelenkwinkelraum bzw. 01:00:04.220 --> 01:00:06.980 im karthesischen Raum, das sind Positionen. 01:00:08.080 --> 01:00:10.100 Und jetzt interessieren uns Geschwindigkeiten. 01:00:10.100 --> 01:00:11.460 Was macht man? 01:00:16.100 --> 01:00:17.060 Differenzieren, ableiten. 01:00:17.540 --> 01:00:21.080 Ja, also wir leiten zum Beispiel diese Gleichung her. 01:00:21.900 --> 01:00:24.380 Ich mache es nicht an der... oder soll ich es an der Tafel machen? 01:00:24.960 --> 01:00:29.420 Das Blöde ist, dass die Vorlesung aufgezeichnet wird für euch und wenn 01:00:29.420 --> 01:00:33.040 ich an der Tafel hier was schreibe, dann weiß ich nicht, wie es 01:00:33.040 --> 01:00:33.500 aussieht. 01:00:33.640 --> 01:00:36.440 Ich hatte keine Zeit, um die letzte Übung mal anzugucken. 01:00:38.540 --> 01:00:43.240 Aber ich mache es trotzdem an der Tafel hier, weil es mir viel lieber 01:00:43.240 --> 01:00:46.200 ist, als jetzt durch die Folien hier durchzuholen. 01:00:48.280 --> 01:00:51.380 Wie differenziert man nach der Zeit? 01:00:52.300 --> 01:00:56.000 Also das sind Vektoren, das ist ein Funktional und das ist auch ein 01:00:56.000 --> 01:00:56.700 Vektortäter. 01:00:57.500 --> 01:01:07.720 Und was wir machen, wir machen eigentlich Delta X nach DT, DX nach DT, 01:01:08.600 --> 01:01:11.960 wenn Position abgeleitet wird nach der Zeit. 01:01:12.180 --> 01:01:12.580 Was haben wir? 01:01:14.000 --> 01:01:14.680 Geschwindigkeiten. 01:01:16.360 --> 01:01:22.840 Und was ist die Ableitung von F nach T, Vektor der partiellen 01:01:22.840 --> 01:01:23.440 Ableitung? 01:01:25.580 --> 01:01:26.540 Naja, nicht ganz. 01:01:28.760 --> 01:01:31.920 Was hängt hier von der Zeit ab, hier in F von T? 01:01:31.920 --> 01:01:39.520 Nein, die Tetas, die Gelenkwinkel, eigentlich hängt hier auch X von T, 01:01:39.640 --> 01:01:43.720 die Position von T und hier hängen die Tetas von T. 01:01:46.180 --> 01:01:50.260 Und wenn ich jetzt differenziere, was muss ich hier machen? 01:01:51.540 --> 01:02:00.040 Ich muss natürlich zunächst mal ein Delta F von Teta von T nach Delta 01:02:00.040 --> 01:02:06.500 Teta zunächst mal ableiten und dann muss ich hier, ja ist egal, Delta 01:02:06.500 --> 01:02:12.780 Teta von T nach Delta T machen, also Kettenregel eigentlich. 01:02:13.700 --> 01:02:15.300 Und was haben wir hier? 01:02:15.740 --> 01:02:19.800 Wir haben hier nichts anderes als X-Punkt und X-Punkt sind die 01:02:19.800 --> 01:02:23.800 Geschwindigkeiten, also die Geschwindigkeit in XYZ-Richtung und die 01:02:23.800 --> 01:02:28.360 Geschwindigkeit vom Tool Center Point, also vom Endeffektor entlang, 01:02:28.620 --> 01:02:34.060 also die Winkelgeschwindigkeit entlang der drei Richtungen oder um die 01:02:34.060 --> 01:02:41.680 drei Rotationsachsen ist gleich dieses Delta F von Teta durch Delta 01:02:41.680 --> 01:02:42.200 Teta. 01:02:43.620 --> 01:02:46.320 Und was ist die Ableitung von Teta nach T? 01:02:46.520 --> 01:02:48.260 Ist eigentlich Teta-Punkt. 01:02:49.560 --> 01:02:51.440 Und was sind Teta-Punkte? 01:02:51.540 --> 01:02:57.860 Wenn Teta der Gelenkwinkelvektor war, dann ist Teta-Punkt der 01:02:57.860 --> 01:03:00.660 Gelenkgeschwindigkeitsvektor. 01:03:01.960 --> 01:03:05.780 Das heißt, wir haben eigentlich eine Beziehung, das was wir suchen, 01:03:07.940 --> 01:03:10.380 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, das sind Teta-Punkt, 01:03:14.760 --> 01:03:17.340 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und kartesischen Geschwindigkeiten oder 01:03:17.340 --> 01:03:19.420 Endeffektor -Geschwindigkeiten. 01:03:19.820 --> 01:03:22.300 Was wissen wir noch nicht? 01:03:25.560 --> 01:03:27.480 Das hier, das kennen wir noch nicht. 01:03:28.640 --> 01:03:32.180 Kennt jemand von euch dieses Delta F nach Delta Teta? 01:03:33.620 --> 01:03:37.920 Also, das ist eigentlich nichts anderes als die Jacobi-Matrix. 01:03:39.320 --> 01:03:44.140 Und zwar, wir haben hier bei der Jacobi-Matrix, wie wir wissen aus der 01:03:44.140 --> 01:03:48.060 Mathematik, eine differenzierbare Funktion, die ist zum Beispiel 01:03:48.060 --> 01:03:50.680 definiert auf Rn, nimmt Werte in Rm. 01:03:51.440 --> 01:03:55.660 Und die Jacobi-Matrix enthält sämtliche partielle Ableitungen in 01:03:55.660 --> 01:03:57.160 erster Ordnung von F. 01:03:58.040 --> 01:04:04.260 Wo jetzt ein Punkt im Rn, also ein A im Rn, ist diese Jacobi-Matrix 01:04:04.260 --> 01:04:07.720 nichts anderes als die partiellen Ableitungen der 01:04:07.720 --> 01:04:12.600 Komponentenfunktionen von F nach den unabhängigen Variablen, also nach 01:04:12.600 --> 01:04:14.460 den Koordinaten von A. 01:04:15.300 --> 01:04:19.940 Also A ist ein Punkt, also besteht ein Punkt im n-dimensionalen Raum, 01:04:20.160 --> 01:04:21.520 also x1 bis xn. 01:04:22.600 --> 01:04:27.060 Und deshalb ist die Jacobi-Matrix nichts anderes als die Ableitung der 01:04:27.060 --> 01:04:29.420 Komponentenfunktionen, also in der ersten Spalte 01:04:29.420 --> 01:04:37.820 Komponentenfunktionen, F1 nach x1, F2 nach x1 bis Fm nach x1. 01:04:38.380 --> 01:04:43.640 Und in der letzten Spalte, wie man sieht hier, die Ableitung der 01:04:43.640 --> 01:04:49.620 ersten Funktionen nach der ersten, zweiten, dritten, ämteren 01:04:49.620 --> 01:04:54.080 Komponentenfunktionen nach der unabhängigen Variable xn. 01:04:54.080 --> 01:04:57.800 So, und das ist nichts anderes als das hier. 01:04:58.960 --> 01:05:04.860 Das heißt, eigentlich jeder Manipulator, jeder Roboterarm kann 01:05:04.860 --> 01:05:07.340 beschrieben werden durch eine Jacobi-Matrix. 01:05:08.620 --> 01:05:12.460 Also der kann beschrieben werden durch die h-Parameter, die wir gerade 01:05:12.460 --> 01:05:15.120 heute gesehen haben, aber der kann beschrieben werden durch eine 01:05:15.120 --> 01:05:16.000 Jacobi -Matrix. 01:05:16.400 --> 01:05:20.060 Und diese Jacobi-Matrix, die hängt natürlich von den Gelenkwinkeln. 01:05:20.960 --> 01:05:30.180 Ja, weil Theta hier in dieser Jacobi-Matrix, Theta ist aus Rn, also 01:05:30.180 --> 01:05:34.000 ein n-dimensionaler Vektor und n ist die Anzahl der Gelenke eines 01:05:34.000 --> 01:05:34.680 Roboterarms. 01:05:36.060 --> 01:05:40.720 So, also, das heißt, damit haben wir eigentlich so eine mathematische 01:05:40.720 --> 01:05:45.440 Mutation, alles was wir wissen über die Jacobi-Matrix, um tatsächlich 01:05:45.440 --> 01:05:48.320 diese Beziehungen, die uns interessieren, zwischen 01:05:48.320 --> 01:05:53.120 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und Geschwindigkeiten vom Endeffektor zu 01:05:53.120 --> 01:05:53.940 beschreiben. 01:05:54.400 --> 01:05:58.320 So, wir gucken uns das mal ein bisschen die Herleitung an. 01:05:58.480 --> 01:06:01.740 Natürlich die Vorwärtskinematik, wie wir bis jetzt definiert haben, 01:06:02.400 --> 01:06:11.080 war eine Abbildung von Rn auf Se3, also auf Position und Orientierung 01:06:11.080 --> 01:06:13.900 im Raum, wie wir das gesehen haben mit den homogenen Matrizen. 01:06:13.900 --> 01:06:18.640 Und da wissen wir hier eigentlich, für diese Darstellung, die wir 01:06:18.640 --> 01:06:22.960 vorher gesehen haben, ist die Jacobi-Matrix nicht definiert. 01:06:23.640 --> 01:06:28.920 Stattdessen, wir machen eine vektorwertige Repräsentation, zum 01:06:28.920 --> 01:06:35.420 Beispiel, wie ich bereits gesagt habe, eine Abbildung von R6 oder Rn 01:06:35.420 --> 01:06:41.820 auf R6, also n Anzahl der Gelenke vom Roboter und R6 ist der 01:06:41.820 --> 01:06:44.800 karthesische Raum, in dem wir uns befinden. 01:06:46.320 --> 01:06:50.780 Und wir nehmen an jetzt unsere kinematische Kette, die bewegt sich 01:06:50.780 --> 01:06:52.260 entlang einer Trajektorie. 01:06:52.860 --> 01:06:56.540 Und die Trajektorie, die können wir natürlich beschreiben mit einer 01:06:56.540 --> 01:07:01.580 Abbildung von R auf Rn, also die Trajektur auf Rn. 01:07:02.140 --> 01:07:07.360 Dann gilt für die Endeffektoposi x aus R6 zu jedem Zeitpunkt, dass x 01:07:07.360 --> 01:07:08.600 ist gleich f von t. 01:07:08.600 --> 01:07:10.520 Das ist, was wir auf der Folie hier hatten. 01:07:11.280 --> 01:07:14.320 Und die Endeffektogeschwindigkeiten, die hängen dann linear von den 01:07:14.320 --> 01:07:17.620 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten nach diesem Kettenregel. 01:07:17.880 --> 01:07:23.660 Also die Endeffektogeschwindigkeiten x-Punkt ist nichts anderes als 01:07:23.660 --> 01:07:28.880 die Jacobi-Matrix der Funktion f, die hängt natürlich von den 01:07:28.880 --> 01:07:34.400 Gelenkwinkeln, die wiederum zeitabhängig sind, multipliziert mit den 01:07:34.400 --> 01:07:36.080 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten. 01:07:37.080 --> 01:07:45.580 Das heißt, diese Jacobi-Matrix setzt für uns jetzt die kathesischen 01:07:45.580 --> 01:07:50.900 Endeffektogeschwindigkeiten in Relation zu den Gelenkwinkeln vom 01:07:50.900 --> 01:07:51.320 Roboter. 01:07:52.220 --> 01:07:54.880 Und damit kann man folgende Probleme lösen. 01:07:55.100 --> 01:07:59.520 Wenn ich jetzt hier irgendeine gewünschte Endeffektogeschwindigkeit 01:07:59.520 --> 01:08:05.040 oder Geschwindigkeitsprofil habe, ich muss eine Trajektorie mit einer 01:08:05.040 --> 01:08:08.060 bestimmten Geschwindigkeit vom Endeffektor oder von der Hand 01:08:08.060 --> 01:08:12.460 ausführen, die Frage ist, welche Gelenkwinkelgeschwindigkeiten sind 01:08:12.460 --> 01:08:14.180 notwendig, um das zu realisieren. 01:08:15.040 --> 01:08:17.780 Das ist genau, was diese Beziehung hier uns liefert eigentlich. 01:08:18.500 --> 01:08:25.100 Ich wünsche mir irgendeinen x-Punkt hier und natürlich muss ich jetzt 01:08:25.100 --> 01:08:27.680 hier die Theta-Punkte berechnen. 01:08:27.680 --> 01:08:31.080 Das heißt, ich muss eigentlich nur die Jacobi-Matrix invertieren. 01:08:31.840 --> 01:08:45.730 Wenn ich hier x-Punkt ist gleich j von Theta mal Theta-Punkt hier habe 01:08:46.590 --> 01:08:54.190 und gegeben ist irgendeine Geschwindigkeit vom Endeffektor x-Punkt und 01:08:54.190 --> 01:08:58.950 ich suche die Geschwindigkeiten der Gelenke hier, dann muss ich 01:08:58.950 --> 01:09:04.590 eigentlich nichts anderes machen als zum Beispiel mit j-1 hier 01:09:04.590 --> 01:09:08.350 multiplizieren, mal x-Punkt, was hier gegeben ist und die Jacobi 01:09:08.350 --> 01:09:13.330 -Matrix kennen wir natürlich von dem Manipulator, ist gleich Theta 01:09:13.330 --> 01:09:14.550 -Punkt. 01:09:15.690 --> 01:09:19.230 Ja, klingt sehr einfach, oder? 01:09:19.230 --> 01:09:22.430 Das heißt, wenn das gegeben ist, dann kann ich nur über die 01:09:22.430 --> 01:09:25.970 Invertierung dieser Matrix, also muss man aufpassen, die Matrix muss 01:09:25.970 --> 01:09:29.890 invertiert werden, also wie macht man Matrix-Invertierung? 01:09:30.390 --> 01:09:33.010 Oder was sind überhaupt die Bedienungen für die Invertierbarkeit einer 01:09:33.010 --> 01:09:33.410 Matrix? 01:09:35.550 --> 01:09:36.970 Quadratisch praktisch gut, oder? 01:09:42.720 --> 01:09:46.100 Singulär und ähnliches, das kennen wir aber, das besprechen wir noch. 01:09:46.940 --> 01:09:50.680 Der zweite Punkt, wenn die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten gegeben sind, 01:09:50.680 --> 01:09:55.840 also wenn Theta-Punkt hier gegeben ist, dann welche 01:09:55.840 --> 01:09:58.960 Endeffektorgeschwindigkeiten hier auftreten, das nur einsetzen. 01:09:59.840 --> 01:10:03.020 Ja, das ist eigentlich trivial, das wäre das sogenannte 01:10:03.020 --> 01:10:07.900 Vorwärtsproblem und das andere wäre das Inversi-Problem, aber im 01:10:07.900 --> 01:10:08.760 Geschwindigkeitsraum. 01:10:09.780 --> 01:10:15.200 So, jetzt nehmen wir weiterhin an, es interessieren uns Kräfte und 01:10:15.200 --> 01:10:15.680 Momente. 01:10:16.560 --> 01:10:21.320 Und nach wie vor die gleiche Annahme, diese kinematische Kette oder 01:10:21.320 --> 01:10:24.120 der Roboterarm soll irgendwann eine Trajektorie ausführen, die 01:10:24.120 --> 01:10:26.640 Trajektorie Theta-R nach Rn. 01:10:27.480 --> 01:10:35.500 Und wir wissen eigentlich, dass die Energie oder die Arbeit, die 01:10:35.500 --> 01:10:39.580 geleistet werden muss, wenn der Roboter diese Trajektorie ausführt, 01:10:41.880 --> 01:10:47.640 angegeben werden kann als die Kraft, die am Endeffektor auftritt, 01:10:48.860 --> 01:10:53.480 multipliziert natürlich mit dem Weg und der Weg hier ist angegeben als 01:10:53.480 --> 01:10:55.940 x -Punkt, also die Geschwindigkeit mal dt. 01:10:57.340 --> 01:11:02.200 Aber diese Energie oder diese Arbeit, die geleistet werden muss, um 01:11:02.200 --> 01:11:07.440 die Trajektorie auszuführen, muss eigentlich von den Antrieben eines 01:11:07.440 --> 01:11:09.540 Roboterarmes aufgebracht werden. 01:11:10.400 --> 01:11:15.540 Das heißt, diese Arbeit, die die einzelnen Antriebe aufbringen müssen, 01:11:16.280 --> 01:11:20.560 ist auch Kraft, aber nicht Kraft, sondern Drehmoment in dem Fall. 01:11:20.760 --> 01:11:26.520 Das ist Tau multipliziert mit dem Weg hier, also Theta-Punkt mal dt. 01:11:27.400 --> 01:11:31.200 Das ist Gelenkwinkelgeschwindigkeit multipliziert mit Zeit, nichts 01:11:31.200 --> 01:11:35.120 anderes als der Weg, also der Gelenkwinkelweg für ein bestimmtes 01:11:35.120 --> 01:11:35.620 Gelenk. 01:11:35.620 --> 01:11:38.640 Und das zum Beispiel von T1 bis T2. 01:11:39.500 --> 01:11:44.280 Das heißt, eigentlich diese Arbeit, die dort auftritt am Toolcenter 01:11:44.280 --> 01:11:50.120 -Punkt, durch die Bewegung mit Geschwindigkeit x-Punkt, muss 01:11:50.120 --> 01:11:56.040 aufgebracht werden durch Drehmomente in den einzelnen Gelenken des 01:11:56.040 --> 01:11:58.580 Roboters, die sich dann mit einer bestimmten 01:11:58.580 --> 01:12:00.920 Gelenkwinkelgeschwindigkeit bewegen müssen. 01:12:01.580 --> 01:12:05.000 Das heißt, wir können eigentlich diese Gleichung hier hinschreiben. 01:12:05.000 --> 01:12:08.820 Und das sind hier die Bezeichnungen, also Gelenkwinkelgeschwindigkeit 01:12:08.820 --> 01:12:13.560 in Theta-Punkt, Drehmomente in den Gelenken und das Ganze hier 01:12:13.560 --> 01:12:15.780 integriert von T1 bis T2. 01:12:15.960 --> 01:12:19.960 Dann haben wir die geleistete Arbeit und auf der anderen Seite im 01:12:19.960 --> 01:12:23.580 karthesischen Raum haben wir natürlich die Endeffektorgeschwindigkeit 01:12:23.580 --> 01:12:27.180 x -Punkt und dann haben wir die Kräfte bzw. 01:12:27.560 --> 01:12:32.000 einen Kraftmomentwektor, der am Endeffektor auswirkt. 01:12:32.000 --> 01:12:36.900 Zum Beispiel, wenn der Roboter irgendetwas hält während der Bewegung. 01:12:41.780 --> 01:12:44.280 So, was bedeutet das für uns eigentlich? 01:12:44.980 --> 01:12:49.580 Das bedeutet, wenn ich jetzt diese Gleichung mal so angucke, dass ich 01:12:49.580 --> 01:12:51.240 davor Folgendes schreiben kann. 01:12:51.920 --> 01:12:55.120 Ich kann also diese Gleichung hier nehmen und diese Gleichung muss 01:12:55.120 --> 01:12:57.000 natürlich gelten in jedem Zeitintervall. 01:12:57.000 --> 01:13:01.120 Das heißt, ich kann eigentlich diese Integral hier wegmachen und kann 01:13:01.120 --> 01:13:06.960 einfach schreiben, Theta-Punkt mal Tau, also vektormäßig, deshalb 01:13:06.960 --> 01:13:10.780 transponiert, ist gleich x-Punkt transponiert mal F. 01:13:11.960 --> 01:13:16.460 Wie gesagt, x-Punkt ist die Geschwindigkeit vom Endeffektor von der 01:13:16.460 --> 01:13:23.060 Hand, F sind die Kräfte und Momente, die auf die Hand oder auf den 01:13:23.060 --> 01:13:28.180 Endeffektor einwirken und Theta-Punkt sind die Geschwindigkeiten der 01:13:28.180 --> 01:13:33.000 Gelenke, also Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und Tau sind Drehmomente, 01:13:33.320 --> 01:13:37.480 also letztendlich proportional zum Strom, der durch einen elektrischen 01:13:37.480 --> 01:13:40.380 Motor fließt, der dieses Gelenk mal antreibt. 01:13:41.460 --> 01:13:48.080 Und wir wissen, dass x-Punkt gleich J mal Theta-Punkt ist. 01:13:48.080 --> 01:13:51.060 Ja, das haben wir vorher differenziert, die Beziehung. 01:13:51.600 --> 01:13:56.720 Wir haben gesagt, okay, wenn wir die Beziehung x ist gleich f von 01:13:56.720 --> 01:14:03.040 Theta ableiten, dann bekommen wir Jakobi-Matrix mal Theta-Punkt. 01:14:03.200 --> 01:14:07.360 Das heißt, für x-Punkt transponiert, es ist nichts anderes als Theta 01:14:07.360 --> 01:14:12.280 -Punkt transponiert, multipliziert mit der transponierten Jakobi 01:14:12.280 --> 01:14:12.740 -Matrix. 01:14:12.740 --> 01:14:16.020 Und wie man hier sieht, kann ich auf beiden Seiten die 01:14:16.020 --> 01:14:20.640 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten hier wegmachen, abkürzen und dann 01:14:20.640 --> 01:14:28.300 bekomme ich eine tolle Beziehung hier, die heißt Tau von T ist gleich 01:14:28.300 --> 01:14:34.420 transponierte Jakobi-Matrix, hängt natürlich von den Gelenkwinkeln zu 01:14:34.420 --> 01:14:38.200 einem bestimmten Zeitpunkt, multipliziert mit den Kräften, die am 01:14:38.200 --> 01:14:39.200 Endeffektor auftreten. 01:14:40.180 --> 01:14:47.340 So, das heißt, diese Jakobi-Matrix, wo wir dachten, ich dachte auch 01:14:47.340 --> 01:14:50.400 damals, als ich die Jakobi-Matrix in der Mathematik gelernt habe, wozu 01:14:50.400 --> 01:14:51.080 braucht man sie? 01:14:52.220 --> 01:14:55.520 Aber dann habe ich angefangen Robotik zu machen und habe gesehen, mein 01:14:55.520 --> 01:14:58.820 Gott, ohne die Jakobi-Matrix können wir in der Robotik überhaupt nicht 01:14:58.820 --> 01:14:59.440 überleben. 01:15:00.680 --> 01:15:04.480 Also, das heißt, die Jakobi-Matrix, auf der einen Seite gibt sie uns 01:15:04.480 --> 01:15:08.180 die Beziehungen zwischen Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und 01:15:08.180 --> 01:15:11.760 kartesischen Geschwindigkeiten vom Endeffektor und auf der anderen 01:15:11.760 --> 01:15:16.840 Seite gibt sie uns die Beziehungen, also die transponierte Jakobi 01:15:16.840 --> 01:15:22.660 -Matrix hier, zwischen Kräften und Momenten, die an der Hand 01:15:22.660 --> 01:15:27.440 auftreten, am Endeffektor auftreten und Drehmomente, die in den 01:15:27.440 --> 01:15:31.780 Gelenken eines Roboterarmes auftreten oder aufgebracht werden müssen, 01:15:31.780 --> 01:15:36.220 damit man eine bestimmte Bewegung realisiert. 01:15:37.120 --> 01:15:42.040 Okay, das heißt, zusammengefasst haben wir etwas ganz Tolles hier und 01:15:42.040 --> 01:15:46.200 deshalb müssen wir in der Lage sein, natürlich mit diesen Matrizen 01:15:46.200 --> 01:15:48.440 oder diesen Beziehungen umzugehen. 01:15:48.940 --> 01:15:55.100 Und mithilfe dieser zweiten Beziehung können wir nochmal zwei Probleme 01:15:55.100 --> 01:15:55.780 erledigen. 01:15:55.780 --> 01:16:01.880 Und zwar das erste Problem, wenn die Kräfte am Endeffektor eingegeben 01:16:01.880 --> 01:16:07.180 sind, welche Drehmomente treten in den einzelnen Gelenken. 01:16:08.100 --> 01:16:11.560 Das heißt, ihr müsst so einen Roboter entwerfen, der zum Beispiel eine 01:16:11.560 --> 01:16:15.240 Tour von einem Auto transportiert und montiert. 01:16:15.340 --> 01:16:18.740 Das sind bestimmte Kräfte und Momente, die am Endeffektor auftreten. 01:16:19.260 --> 01:16:23.500 Und ihr müsst natürlich die Motoren für die Gelenke so auslegen, dass 01:16:23.500 --> 01:16:26.800 sie genügend Drehmomente haben, damit man diese Kräfte und Momente 01:16:26.800 --> 01:16:28.320 realisieren kann. 01:16:28.820 --> 01:16:32.160 Das heißt, es wäre das erste Problem, gegeben sind die Kräfte, die wir 01:16:32.160 --> 01:16:36.620 am Endeffektor haben wollen, welche Drehmomente in den Gelenken 01:16:36.620 --> 01:16:37.620 notwendig sind. 01:16:38.180 --> 01:16:43.300 Und zum zweiten, wenn die Drehmomente in den Gelenken, wenn ich meinen 01:16:43.300 --> 01:16:49.860 Roboter mit bestimmten Drehmomentverläufen betreibe, welche Kräfte und 01:16:49.860 --> 01:16:52.480 Momente werden am Endeffektor auftreten. 01:16:52.880 --> 01:16:55.260 Sind sie gefährlich für einen Mensch, würden sie einen Menschen zum 01:16:55.260 --> 01:16:56.220 Beispiel umhauen. 01:16:57.160 --> 01:17:02.960 Das heißt, gegeben die hier und gesucht die hier, dann müssen wir 01:17:02.960 --> 01:17:06.300 natürlich die Gleichung hier invertieren, wie wir das vorher auch 01:17:06.300 --> 01:17:08.900 gemacht haben für die Geschwindigkeiten. 01:17:10.340 --> 01:17:11.820 Gut, so viel dazu. 01:17:12.020 --> 01:17:12.700 Gibt es Fragen? 01:17:16.490 --> 01:17:18.150 Wie berechnet man das? 01:17:19.110 --> 01:17:21.150 Das ist ja alles so eine trockene Theorie. 01:17:22.190 --> 01:17:25.650 Ihr kennt das aus der Mathematik, wie man die Jacobi-Matrix berechnet. 01:17:26.350 --> 01:17:28.550 Aber hier kurz zur Erinnerung. 01:17:30.570 --> 01:17:34.350 Natürlich berechnet man die Jacobi-Matrix jetzt hier spaltenweise, wie 01:17:34.350 --> 01:17:36.330 in der Definition auch eingegeben ist. 01:17:36.490 --> 01:17:41.490 Das heißt, diese Funktion f wird hier nach Theta 1 bzw. 01:17:41.790 --> 01:17:44.390 hier nach Theta n abgeleitet. 01:17:45.390 --> 01:17:51.270 Man hat aber andere Möglichkeiten, als zum Beispiel zur geometrischen 01:17:51.270 --> 01:17:55.550 Berechnung von dieser Jacobi-Matrix, wo man unterscheidet zwischen 01:17:55.550 --> 01:17:58.330 Translationsgelenken und Rotationsgelenken. 01:17:59.050 --> 01:18:05.750 Das heißt, eigentlich diese Ableitungen, die korrespondieren zu einem 01:18:05.750 --> 01:18:07.990 Gelenk in der kinematischen Kette. 01:18:07.990 --> 01:18:15.330 Und wenn wir diese Einzelableitungen für ein Gelenk berechnen können, 01:18:15.470 --> 01:18:17.610 dann haben wir natürlich die gesamte Jacobi-Matrix. 01:18:18.330 --> 01:18:22.250 Und man kann hier nachweisen, werden wir in der Übung auch sehen, wie 01:18:22.250 --> 01:18:26.550 das funktioniert, dass man im Falle von einem Translationsgelenk die 01:18:26.550 --> 01:18:33.990 Ableitung hier nach einer Komponente oder nach einem Gelenkwinkel, wo 01:18:33.990 --> 01:18:40.110 ein Gelenk eine Translation in Richtung von einem Einheitsvektor vj 01:18:40.110 --> 01:18:46.270 ausführt, dass diese Ableitung hier nichts anderes als vj und 0 ist. 01:18:46.630 --> 01:18:52.370 Und im Falle von einem Rotationsgelenk, also ein Gelenk, was eine 01:18:52.370 --> 01:18:56.750 Rotation um eine Rotationsaxe vj ausführt, an einer bestimmten 01:18:56.750 --> 01:19:01.140 Position, also ob das Ellenbogengelenk hier die Rotation ausführt oder 01:19:01.140 --> 01:19:05.000 hier, das heißt die Position von dem Gelenk muss bekannt sein. 01:19:05.860 --> 01:19:09.560 Und die Rotationsaxe ist ja auch bekannt, weil das ist ja unser 01:19:09.560 --> 01:19:09.820 Gelenk. 01:19:10.400 --> 01:19:15.900 Dann lässt sich diese Ableitung hier ganz einfach als, also so einfach 01:19:15.900 --> 01:19:18.340 ist es nicht, werden wir auch sehen, in der Übung machen wir ein 01:19:18.340 --> 01:19:25.920 Beispiel dazu, als vj hier und dann oben ist nochmal ein Vektor, also 01:19:25.920 --> 01:19:30.800 das sind 6x1 Vektoren hier, die auftreten. 01:19:32.080 --> 01:19:38.360 Ein Kreuzprodukt zwischen dieser Rotationsaxe vj mit einem weiteren 01:19:38.360 --> 01:19:43.500 Vektor, und zwar der Abstand zwischen der aktuellen Axe und Tool 01:19:43.500 --> 01:19:44.200 Center Point. 01:19:44.400 --> 01:19:50.180 Also wo gerade sich der Arm befindet und wo die Position des Gelenks. 01:19:50.780 --> 01:19:54.180 Und wenn man die zwei voneinander abzieht, dann ist es nichts anderes 01:19:54.180 --> 01:19:59.060 als der Vektor, der die Position oder den Unterschied zwischen dem 01:19:59.060 --> 01:20:01.820 aktuellen Gelenk und Tool Center Point beschreibt. 01:20:01.980 --> 01:20:05.720 Und wenn man das Kreuzprodukt hier bildet, kommt ein 3er Vektor, ein 01:20:05.720 --> 01:20:13.300 3x1 Vektor und zusammen mit der Rotationsaxe vj hat man die komplette 01:20:13.300 --> 01:20:16.520 Spalte vor der Jacobi Matrix hier berechnet. 01:20:17.450 --> 01:20:22.580 So, insgesamt die Eigenschaften von der Jacobi Matrix, die beschreibt 01:20:22.580 --> 01:20:26.380 die Beziehungen zwischen Geschwindigkeiten der Gelenkwinkel, n 01:20:26.380 --> 01:20:31.500 -dimensional bei einem Roboter mit n Gelenken und Geschwindigkeiten 01:20:31.500 --> 01:20:35.860 des Endeffektors, die sind im karthesischen Raum 6-dimensional, 01:20:36.520 --> 01:20:40.820 Drehmomente in den Gelenken, wiederum genauso viel wie Gelenke und 01:20:40.820 --> 01:20:45.660 Kräfte und Momente am Endeffektor, auch 6-dimensional und natürlich 01:20:45.660 --> 01:20:52.640 die Jacobi Matrix, die ist immer als eine Matrix zu betrachten, die 01:20:52.640 --> 01:20:55.180 von bestimmten Gelenkwinkelstellungen abhängt. 01:20:55.660 --> 01:21:00.080 Deshalb haben wir immer J von Theta geschrieben. 01:21:01.420 --> 01:21:04.540 Gucken wir uns das mal an, wie man sowas berechnet, anhand von einem 01:21:04.540 --> 01:21:05.000 Beispiel. 01:21:05.240 --> 01:21:09.540 Nehmen wir an, wir haben so einen Manipulator oder einen Arm, der hat 01:21:09.540 --> 01:21:15.120 zwei Gelenke, Theta 1 und Theta 2 und das sind die Längen L1 und L2 01:21:15.120 --> 01:21:18.000 und was müssen wir machen, um die Jacobi Matrix zu berechnen? 01:21:18.140 --> 01:21:20.360 Wir müssen diese Beziehung zunächst mal herstellen. 01:21:20.700 --> 01:21:25.800 X, irgendeine Funktion, die beschreibt uns den Zusammenhang zwischen 01:21:25.800 --> 01:21:29.100 karthesischen Koordinaten und Gelenkwinkelkoordinaten. 01:21:29.980 --> 01:21:33.400 So, und das ist natürlich in 2D jetzt hier sehr einfach, weil zum 01:21:33.400 --> 01:21:39.120 Beispiel die karthesischen Koordinaten sind hier X1 und X2 und wenn 01:21:39.120 --> 01:21:43.320 ich zum Beispiel X1 berechnen will, dann ist es nichts anderes als L1 01:21:43.320 --> 01:21:48.740 mal Cosinus Theta 1 plus L2 Cosinus Theta 1 plus Theta 2. 01:21:48.960 --> 01:21:50.240 Kann man geometrisch ablesen. 01:21:51.020 --> 01:21:52.000 Y bzw. 01:21:52.300 --> 01:21:58.700 X2 ist L1 mal Sinus Theta 1 plus L2 Sinus Theta 1 plus Theta 2. 01:21:59.140 --> 01:21:59.880 Was habe ich? 01:21:59.960 --> 01:22:03.380 Ich habe meinen X-Vektor und mein X-Vektor besteht aus den zwei 01:22:03.380 --> 01:22:04.540 Komponenten. 01:22:05.940 --> 01:22:13.000 Also mein X-Vektor besteht aus den zwei Komponenten X1 und X2. 01:22:14.480 --> 01:22:16.800 Und was wir immer suchen, wir suchen das. 01:22:16.980 --> 01:22:19.780 X-Punkt ist gleich J mal Theta-Punkt. 01:22:19.940 --> 01:22:23.040 Eigentlich, was ich machen muss, damit ich die Jacobi-Matrix bekomme, 01:22:23.640 --> 01:22:27.520 ich muss diese zwei Komponenten nur differenzieren, damit ich X-Punkt 01:22:27.520 --> 01:22:27.960 bekomme. 01:22:27.960 --> 01:22:30.260 Und das ist ja ziemlich einfach. 01:22:30.600 --> 01:22:34.860 Also für X1, das ist natürlich die Ableitung von Cosinus. 01:22:35.240 --> 01:22:41.220 Theta 1 ist minus L1 mal Cosinus Theta 1 mal die innere Ableitung, 01:22:41.380 --> 01:22:42.060 also immer Kettenregel. 01:22:42.580 --> 01:22:47.380 Wir leiten nach der Zeit ab und Cosinus abgeleitet nach der Zeit ist 01:22:47.380 --> 01:22:49.720 natürlich Sinus Theta mal Theta-Punkt. 01:22:49.720 --> 01:22:57.160 Und die Ableitung von Cosinus Theta 1 plus Theta 2 nach der Zeit ist 01:22:57.160 --> 01:22:58.780 natürlich minus Sinus. 01:22:58.940 --> 01:23:02.540 Und dann natürlich die zwei inneren Ableitungen von Theta 1 und Theta 01:23:02.540 --> 01:23:02.920 2. 01:23:03.720 --> 01:23:07.360 Und das gleiche machen wir für X2 und dann, wenn man sieht, hier haben 01:23:07.360 --> 01:23:12.700 wir unser X-Punkt, ist gleich das hier, X-Punkt. 01:23:12.800 --> 01:23:15.240 Man sieht hier, hier ist Theta-Punkt. 01:23:16.040 --> 01:23:21.300 Also das ist L1 Sinus Theta 1 minus L2 Sinus Theta 1 plus Theta 2 01:23:21.300 --> 01:23:23.340 multipliziert mit Theta 1-Punkt. 01:23:24.080 --> 01:23:28.700 Und dann mit Theta 2-Punkt ist nur minus L2 mal Sinus Theta 1 plus 01:23:28.700 --> 01:23:30.500 Theta 2 und das gleiche hier unten. 01:23:31.080 --> 01:23:34.400 Man sieht also die zwei Spalten der Jacobi-Matrix, die sind hier 01:23:34.400 --> 01:23:35.120 eingegeben. 01:23:35.120 --> 01:23:39.160 Und wenn wir jetzt mit dieser Jacobi-Matrix irgendwas machen wollen, 01:23:39.260 --> 01:23:41.980 zum Beispiel wollen wir die Gelenkwinkel, wir wollen das inverse 01:23:41.980 --> 01:23:45.580 kinematische Problem, die Gelenkwinkel bestimmen für eine gegebene 01:23:45.580 --> 01:23:49.280 Position der Hand, dann müssen wir diese Matrix invertieren. 01:23:50.400 --> 01:23:54.180 Die Matrix ist natürlich quadratisch, das ist eine 2x2-Matrix, wie man 01:23:54.180 --> 01:23:54.600 sieht. 01:23:55.140 --> 01:23:58.460 Aber bei bestimmten Konfigurationen kann diese Matrix zum Beispiel 01:23:58.460 --> 01:23:59.440 singulär sein. 01:23:59.440 --> 01:24:00.880 Also wenn z.B. 01:24:00.940 --> 01:24:02.760 zwei Spalten linear abhängig sind. 01:24:06.690 --> 01:24:15.430 Ja, da kann es auch krachen, wenn ein Roboterarm durch eine singuläre 01:24:15.430 --> 01:24:16.610 Stellung z.B. 01:24:16.950 --> 01:24:17.690 durchfährt. 01:24:19.470 --> 01:24:24.310 Naja, aber man sieht hier z.B., wenn Theta 2 0 ist, also wenn 01:24:24.310 --> 01:24:32.250 Gelenkwinkel 2 0 ist, dann verschwindet natürlich das hier, dann haben 01:24:32.250 --> 01:24:38.810 wir hier minus L1 Sinus, minus L2 Sinus und dann haben wir hier minus 01:24:38.810 --> 01:24:47.570 L2 Sinus und hier haben wir L1 Cosinus und L2 Cosinus und hier haben 01:24:47.570 --> 01:24:53.990 wir L2 Cosinus und da sieht man also, wenn Theta 2 0 ist, was passiert 01:24:53.990 --> 01:24:54.730 mit der Matrix? 01:24:55.190 --> 01:25:00.430 Genau, weil die Spalten, die zwei Spalten, also minus L1, minus L2 01:25:00.430 --> 01:25:06.030 Sinus das hier und Cosinus sind natürlich voneinander abhängig. 01:25:06.030 --> 01:25:12.110 So, also das heißt für diese Matrix können wir natürlich schreiben, x 01:25:12.110 --> 01:25:19.490 Punkt ist gleich J1 Theta mal Theta 1 Punkt plus J2 Theta mal Theta 2 01:25:19.490 --> 01:25:23.250 Punkt und solange natürlich diese zwei nicht linear abhängig 01:25:23.250 --> 01:25:27.330 voneinander sind, können wir natürlich hier den Tool Center Point in 01:25:27.330 --> 01:25:29.810 beliebiger Richtung in der Ebene bewegen. 01:25:29.810 --> 01:25:35.890 Man sieht aber, dass wenn die zwei Spaltenvektoren, zum Beispiel der 01:25:35.890 --> 01:25:40.850 Matrix, also J1 und J2 linear abhängig sind, dann die Matrix wird 01:25:40.850 --> 01:25:46.550 zingulär, zum Beispiel bei Theta 2 gleich 0, wo dann die Bewegung von 01:25:46.550 --> 01:25:49.910 dem Endeffektor in solchen Situationen sehr eingeschränkt ist. 01:25:50.850 --> 01:25:56.370 Okay, somit sind wir auch zu einem noch spannenderen Thema gekommen 01:25:56.370 --> 01:26:01.910 und zwar, wie geht man mit solchen Situationen, wenn alles auf der 01:26:01.910 --> 01:26:03.510 Jacobi Matrix basiert. 01:26:04.910 --> 01:26:08.910 Ich mache gleich Schluss, die Minute ist noch nicht vorbei, also 01:26:08.910 --> 01:26:11.070 gerade jetzt. 01:26:12.790 --> 01:26:16.550 Okay, dann vielen Dank für die Aufmerksamkeit, wir sehen uns am Montag.