Hallo, ich begrüße euch zur heutigen Vorlesung, ähm, Hm, heute wollen wir uns mit dem Thema, äh, Bahnsteuerung,
Beziehungsweise, Traktorenplanung beschäftigen, was das bedeutet, werden wir, ähm, im Laufe der Vorlesung, äh, sehen,
das heißt wir müssen, äh, ähm, vorgegebene Start und Zielkonfigurationen Eine bestimmte bahn Für den endeffekt
Beziehungsweise, äh, Bahnen für die gelenkwinkel Eines roboter armes äh, bestimmen, und gewisse, äh, zeitliche
Randbedingungen bei der Ausführung der Bewegung hier berücksichtigen, so wir werden, ähm, zunächst mal eine Einführung,
was bedeutet Bahnsteuerung? äh, dann werden wir schauen, was sind so typische Programmiermethoden in der Robotik, die
man normalerweise benutzt, um solche Trajektorien zu planen, äh, dann werden wir schauen, wie, äh, vorgegebene
Traktoren, die letztendlich eine Funktion im Raum Funktion der Zeit normalerweise beschreiben, wie diese Traktoren
interpoliert werden müssen, damit sie, äh, ausgeführt werden. Äh, ähm, wir werden unterscheiden zwischen einer exakten
Trajektorienplanung, also die Ausführung einer exakten Trajektorie beziehungsweise werden wir, äh, Möglichkeiten oder
Methoden kennenlernen, mit denen wir eine Trajektorie approximieren können. Deshalb, wenn wir darüber nachdenken, dann
ist das nichts anderes als Methoden, die wir schon kennen, aus der Mathematik, die man nutzt, um eine gegebene Funktion,
eine gegebene Bahn zu approximieren durch Polygon Zuge durch Polonomie, äh, Polynome, enter Ordnung durch Visier, kurben
und so weiter und sofort all diese mathematischen Werkzeuge, die wir kennen zur Approximation von Funktionen oder von
Trajektorien werden wir hier auch in der Robotik um so eine approximierte Bahnsteuerung oder Trajektorienplanung zu
realisieren. Ich werde den Begriff " Bahnsteuerung " und " Trajektorienplanung " als Synonym betrachten. Äh, im
Deutschen sagt man Bahnsteuerung vor allem auch so in der Industrie Robotik, ähm auch die Anfänge, äh, aber in der
englischsprachigen Literatur findet man oder ist das Thema mit dem Begriff, äh, äh, Trajektorienplanung verbunden. Beide
sind Synonym und wenn ich Traktoren Planung oder Beansteuerung sage, dann meine ich das gleich a, so was bedeutet das?
ähm, äh, Bahnsteuerung oder Trajektorienplanung, das heißt wir müssen die Bewegungen Von dem roboter Irgendwie
beschreiben Formalisieren Mathematisch Auffassen, äh, und das sind irgendwelche natürlich Änderungen. Ich habe den
Begriff hier Zustandsänderungen verwendet zu verwechseln, jetzt mit dem Zustandsänderung oder Zustandsbegriff eines
Automaten, also eines Schaltwerks, beispielsweise Sondern das ist so ein Vektor, der für uns den gesamten Zustand
eines Roboters im Sinne von aktueller Position aktuelle Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Und so weiter und sofort
beschreibt, das heißt das sind die Änderungen von solchen Vektoren über die Zeit und die relativ zu einem festen
Koordinatensystem, natürlich, das ist ein Koordinatensystem im kartesischen Raum oder ein gelenkwinkelkoordinatensystem
Wenn, es darum geht eine, Trajektorie für ein Gelenk Zu beschreiben Und Natürlich haben wir nicht nur die
Verläufe der Traktoren, sondern wir haben ja bestimmte Randbedingungen oder kontrahen Zwangsbedingungen,
Nebenbedienungen, äh, wie Anfangsgeschwindigkeit, Maximale, geschwindigkeiten Die, nicht überschritten werden sollen
maximale Kräfte beispielsweise, ähm, aber auch, äh, wie gut soll eine Trajektorie, äh, ähm, äh, angenähert werden,
beziehungsweise ausgeführt werden, das heißt wie, äh, groß darf die Differenz oder die Abweichung zwischen Vorgegebenen
soll Trajektorie und der tatsächlich von einem roboter auszuführenden Trajektorie, wenn man, wenn man das Ganze hier mal
versucht, ein bisschen so Mathematisch zu betrachten, dann wissen wir, dass wir eigentlich sowas auf einfache Art und
Weise beschreiben, das heißt im in der ganzen Vorlesung werden wir, äh, äh, zwischen beispielsweise hier eine Traktorie
im kartesischen Raum, ähm, wir machen jetzt zu hier Zweidimensional, äh, das heißt, wir haben hier irgendeine
Trajektorie und wir müssen diese Trajektorie beschreiben, das ist stark, und das ist ziel hier natürlich na, man kann
die x Achse auch ein bisschen größer machen hier, äh, natürlich braucht man irgendeine mathematische Beschreibung für
diese Trajektorie, die wir gerade in dieser Vorlesung kennenlernen werden, aber es kann sein, dass wir, äh, ähm, dass
wir beispielsweise, äh, nicht nur die Traktorie im kartesischen Raum, sondern die Trajektorie von theta Ellenbogen a ja,
die Traktorie vom Ellenbogen soll beispielsweise so sein, dass das das wäre jetzt hier konfiguration Oder ähm, der, wert
Vom äh, vom Ellenbogengelenk zu beginnen. Und das ist hier der Wert vom Ellenbogengelenk am Ende ja, sind ja
nacheinander, wie man sieht, aber natürlich wollen wir, damit wir eine bestimmte Aufgabe ausführen wollen wir diesen
Verlauf von diesem gelenkwinkel Approximieren allgemein lässt sich so eine Trajektorie natürlich beschreiben als, ähm
Pramm, äh, in in Parametrischer form Als eine funktion Ähm, ich nehme mal, ähm, naja, irgendein Tolles ein Tollen
Buchstaben, ja ein Psi beispielsweise und, äh, das ist natürlich eine Abbildung, äh, von Null Eins, wo ich wo? Null und
Eins, also P hängt jetzt von irgendeinem Parameter, unser Parameter sei beispielsweise s, und wenn es jetzt null ist,
dann bin ich am Anfang von meiner Traktorie, egal ob im kartesischen Raum oder im Konfigurationsraum Und, wenn es gleich
eins ist dann bin ich am Ende meiner Trajektorie und ich habe Zeitpunkt t, wobei t dann vielleicht die Dauer der
Kompletten Bewegung ist, das heißt, letztendlich habe ich solche Abbildung, ja, das ist hier das Intervall für mein
Parameter S hier, Null und Eins, und ich habe hier immer letztendlich in ein bei einem Roboter eine Abbildung dieses
Parameters auf eine bestimmte konfiguration Der gelenke Eines roboters Das heißt ich habe eine Abbildung in den
Konfigurationsraum Theta Wo, diese theta So Theta ist ein Vektor aus Rn und N Anzahl der Gelenke eines Roboters, so das
ist so der alte Beschreibung, das ist nichts Neues für euch wahrscheinlich, das kennt jeder aus der aus der Mathematik
und wir wollen gucken, was gibt es hier für Methoden und was wird überhaupt heutzutage eingesetzt, so das heißt, das
Problem lässt sich wie folgt formulieren gegeben sei eine startkonfiguration Also, zustand Zum startzeitpunkt T Null
also, wo unser Parameter s gleich Null ist und Ziel Ja? das, ist der Zustand zum Zeitpunkt, äh, t ja, also
beispielsweise, das ist Zeitpunkt t gleich Null und das ist hier Zeitpunkt t gleich t, wobei t die Dauer dieser ganzen,
äh, Bewegung ist, äh, beispielsweise das jetzt hier der Startpunkt, der Roboter greift hier diese Tasse, äh, oder hat
die Tasse in der Hand und Ziel Ist dass, die tasse In im äh, in der Geschirrspülmaschine abgestellt ist und was wir
suchen sind Zwischenzustände, äh, ja beziehungsweise Stützpunkte der Trajektorie, äh, diese Traktorie Glatt und stetig
und natürlich möglichst genau oder also möglichst genau an einem vorberechneten Bahn oder vorgegebenen Bahn ausgeführt
wird. So, ähm, in anderen Wort, wenn ich jetzt zurückgehe hier, dann suchen wir, äh, irgendwelche Punkte hier auf dieser
Trajektorie, die unsere Trajektorie approximieren ja, und man kann sich vorstellen, jetzt, ich kann mal vielleicht diese
Traktorie mit Linear, mit Linearen, mit Polygonzügen approximieren. Ich kann natürlich andere Approximations Techniken
nehmen das Gleiche auch hier, das heißt wir suchen diese Stützpunkte und diese Stützpunkte, die werden letztendlich an
einem Lo Level Controller geschickt, ja zum Beispiel an dem Motto Controller, der dann die entsprechende Bewegung also
Teta, Ellenbogen zum Zeitpunkt, zehn dreiunddreißig Komma, fünf Grad, ja, das sind die Sachen, die wir suchen und die
suchen wir auch hier, äh, ja, so, ähm und, ähm, das ist, das ist so das Problem oder womit wir uns hier beschäftigen,
und da werden wir unterschiedliche Varianten hier heute kennenlernen, hier hier sei ein Beispiel für ein Gelenk, das
sind jetzt nicht nur irgendwie das dieses Gelenk hier, von von Null bis Siebzig oder Fünfundsiebzig Grad sich bewegt
innerhalb von drei Sekunden, wie man hier sieht, sondern während der Bewegung wollen wir diesen Geschwindigkeitsverlauf
oder winkelgeschwindigkeitsverlauf das ist grad pro Sekunde und wollen, äh, diesen Beschleunigungsverlauf haben also
Grad pro Sekunde zum Quadrat, wie man sieht, und man sieht hier, wie man das Problem dann formuliert, das heißt die
Anfangsbedingungen. Wir sind hier bei fünfzehn Grad, die die aktuelle Stellung vom Arm zum Zeitpunkt t gleich Null und
wir wollen hier auf fünfundsiebzig Grad gehen. Wir haben hier eine ganze Reihe von weiteren Anfangs und Endbedingungen
hinsichtlich der Geschwindigkeit, also die Ableitung einer generalisierten Koordinate hier, die ist Null und die soll am
Ende auch Null sein, das heißt, wir legen los vom hohe Zustand und am Ende soll dieses Gelenk auch zum Ruhe kommen, zum
Stillstand kommen und die Anfangsbeschleunigung hier, wie man sieht, vierzig Grad pro Sekunde zum Quadrat und am Ende
minus vierzig, ähm, äh, Grad prosig und bis zum Quadrat, ok? ähm nochmal, vielleicht die zu diesen zwei Diagrammen, die
ich einführend auf der Folie eingeführt habe, das heißt, entweder planen wir jetzt solche Traktoren in einem
kartesischen Raum, wie man hier sieht, das ist so ein roboter arm mit drei Gelenken. Q Null, das ist Q Null hier, wie
man sieht, q eins und q zwei, das ist unser Tool Center Point am Ende, und das ist die Bahn oder die Trajektorie von
diesem Endeffekt oder vom Tool Center Point von der Startkonfiguration Also, das wäre jetzt s hier beispielsweise, und
das ist unser Z-Sieg Und natürlich ähm, habe, ich jetzt hier ein Hindernis, das ist nicht Thema der heutigen Vorlesung,
also wie diese Bahn generiert wird, die Bahn ist gegeben, wir wollen gucken, wie wir diese Bahn abfahren, das ist worum
es geht bei Trajektorienplanung kollisionsfreien Bewegungsplanung Geht es darum diese, blaue Bahn zu generieren also,
und die zweite Möglichkeit, wenn wir jetzt die die Traktoren im äh sogenannten gelenkwinkel Raum Oder konfigurationsraum
Ausführen Äh dann, haben wir hier natürlich der konfigurationsraum Der, wird aufgespannt von den äh Gelenken des
Roboters, also Q Null, Q Eins und Q zwei, das ist die Darstellung von dieser von diesem Raum hier, von diesem für uns
Menschen so anschaulichen Raum, das ist irgendeine Säule hier in der Mitte, und das ist ein Roboter mit drei Gelenken,
das ist die Darstellung von diesem Arbeitsraum im gelenkwinkelraum A diese blauen flächen Hier das sind tatsächlich, das
ist die Abbildung von diesem Hindernis hier in dem Raum der gelenkwinkel Aber, mehr dazu im nächsten Kapitel
Bewegungsplanung Also wie, wir praktisch Hindernisse im kartesischen Raum, äh, im konfigurationsraum Darstellen können
und wie wir kollisionsfreie Bahn generieren, aber die Trajektorie, die wir erzeugen, um das hier zu realisieren, also um
diese blaue blaue Bahn hier, äh, ähm, was wollt ihr welche Farbe hundertfünfzighundertdreißig, also kit grün, ähm, das
heißt diese Bahn hier im kartesischen Raum, die um diese Bahn zu realisieren. Im kartesischen Raum führen wir diese Bahn
aus im gelenkwinkelraum Also, diese diese gelbe Trajektorie im gelenkwinkelraum Ist die trajektorie Das, sind die
Änderungen der gelenkwinkel Hier von diesem roboter Damit wir mit dem Tool Center Point von S nach Z und nochmal, die
Betonung hier, die Trajektorie ist jetzt vorgegeben, und zwar ohne Kollision, mit dem Hindernis, wie das Zustande kommt,
werden wir das nächste Mal im nächsten Kapitel kennenlernen. Also welche Methoden gibt es, mit denen wir kollisionsfreie
Trajektorien generieren. Heute geht es nur darum, wie wir diese Trajektorie approximieren und wie sollen wir die
einzelnen Gelenke bewegen, damit wir entlang dieser Bahn, ähm, damit der Roboter sich entlang dieser Bahn bewegt, so das
heißt, äh, zusammengefasst Können, wir sagen dass, äh, als Grundlagen haben wir irgendwelche Zustände und diese Zustände
können wir entweder im Konfigurationsraum Darstellen oder im kartesischen Raum also als Positionen und Orientierungen
Also, als elemente Von s O drei, wie wir wissen, und eine Bahnsteuerung im gelenkwinkelraum Ist natürlich näher an der
tatsächlichen Ansteuerung der Teilsysteme, weil das sind letztendlich irgendwelche Werte, die, äh, also
gelenkwinkelwerte Die, direkt auf irgendwelche Kommandos der Antreibenden der Antriebe oder der Aktoren abgebildet
werden. Äh, Bahnsteuerung im kartesischen Raum, äh, ist für uns näher zu verstehen, weil die ist direkt assoziierbar,
äh, mit der Aufgabe, die wir lösen wollen, die Aufgabe ist von s nach Z zu gehen und diesen Hindernis beispielsweise zu
vermeiden, was auf der Folie vorher war aber natürlich, wenn die Vorgaben in diesem Katholischen Raum erfolgen für den
Tod Center Point und wir müssen gelenkwinkel Nach unten schicken äh, müssen wir unser Lieblingsproblem immer lösen ja
das sogenannte Inverse kinematische Problem bei jedem Taktzyklus, eventuell auch, äh, lösen, ähm, genau, das heißt man
hat die die zwei Varianten. Und natürlich, wenn ich da, wenn ich zurückgehen darf, ich kann natürlich hier das Inverse
kinematische Problem für " Z " lösen, dann kriege ich hier irgendeine gelenkwinkelkonfiguration Theta Z Äh ich stehe,
hier, äh, arm steht hier bei irgendeiner Konfiguration Ich, bezeichne sie mit äh, theta, s, und um diese Bahn jetzt
abzufahren, wie wir vorher, ähm, festgestellt haben, müssen wir die Stützpunkte entlang der Bahn finden. Eigentlich
müssen wir interpolieren zwischen, äh, theta, s und Theta, äh, Z beziehungsweise müssen wir interpolieren zwischen S und
Z im kartesischen Raum, und das sind die zwei unterschiedlichen Varianten, die man hat, das heißt man hat irgendwelche
Start und Zielkoordinaten, äh, das sind natürlich, äh, irgendwas aus s? O drei, also Position plus Orientierung Ähm, äh,
interpolieren, wir das bekommen wir die interpolierten Koordinaten und für jede interpolierte Koordinate lösen wir
kinematische Problem, bekommen wir natürlich die zugehörigen gelenkwinkel Zu den interpolierten koordinaten Also,
interpolierte gelenkwinkel Oder äh, man, interpoliert man hat die Start und Ziel Ähm? koordinaten Also, s und z plus,
wie ich bereits gesagt habe, Inverse Kinematik, dann kriegt man Theta s und Theta Z für Start und Ziel Und, dann
interpoliert man nur diese gelenkwinkel Und hat man am Ende interpolierte Koordinaten, die die Gelenke, äh, Lenkwinkel,
Trajektorien, äh, beschreiben und die man zum Beispiel als Sollwerte an einem Pd D. Regler Weitergeben Kann das
sind die zwei Prinzipiellen Äh, vorgehensweisen, Die, wir hier haben, äh, also hier bekommen wir unsere Thats? äh aus? n
aus? rn alle gelenkwinkel Hier äh, haben, wir ich schreibe vielleicht damit man den Bezug zu den Folien vorher, das sind
unsere Startkoordinaten S. Und und dann kriegen wir hier irgendwelche s? I oder kriegen wir nicht Si, sondern kriegen
wir irgendwelche Punkte Pi zwischen S und Z und hier die Interpolierten, äh, Koordinaten, natürlich, das ist ein Vektor
und natürlich, als Interpolation benutze ich mal auch hier diesen Index i ähm, im Gegensatz dazu hier haben wir unser s
und Z? äh, dann kriegen wir unsere gelenkwinkel Also, ich hätte es Theta Z von von der Folie vor, und da müssen wir
zwischen Theta S und t z interpolieren natürlich unter unter den unter Berücksichtigung von allen vorliegenden
Randbedingungen, nicht nur die sich nicht nur auf, äh, Start und Ziel vom gelenkwinkel Sondern Auf, geschwindigkeiten
und beschleunigungen Sich beziehen okay, , Das, Heißt, die Bahnsteuer im Gelenkwinkelraum äh kann man als
Funktion der gelenkwinkelzustände Verlauf der punktweise Im gelenkwinkelraum Spezifizierten Bahn Muss im kartesischen
Raum nicht notwendigerweise definiert sein, die, äh, das Abfahren dieser punktweise Approximierten oder Spezifisch,
Entschuldigung noch nicht approximiert Spezifizierten Trajektorie kann entweder als Synchron oder Synchron sein. Das
heißt, wenn ich jetzt irgendwelche gelenkwinkelvektoren Habe zum zeitpunkt Null Zum Zeitpunkt eins, zwei und so weiter
und so fort, dann kann ich sagen, na, Ok, ähm, wenn jetzt der Ellenbogen sich mit, äh, hundert Grad pro Sekunde sich
beschleunigen kann, dann soll er mal zeigen, was er so kann, also mit der maximalen Beschleunigung, die, äh,
Geschwindigkeit und Beschleunigung, die er ausführen kann, loslegen, um den nächsten Punkt zu erreichen. Hand Handgelenk
ist beispielsweise vielleicht nicht so stark oder nicht so schnell im Sinne von Geschwindigkeit und Beschleunigung, wie
Ellbogen, das heißt, er würde sich auch mit mit der Kraft, die er so hat mal sich bewegen, das heißt die Bewegungen Der
einzelnen achse In diesem Asynchronen fall Die, sind unabhängig voneinander ähm, im zweiten Fall das sind so typische
Punktschweißaufgaben in der in der Industrie Robotik im zweiten Fall, das sind sogenannte Synchrone Steuerungen, also
Achsen, interpoliert die Steuerungen, bei denen, äh, im Gegensatz zu der asynchronensteuerung Die, bewegung Aller
gelenke Zum gleichen Zeitpunkt anfängt und zum gleichen Zeitpunkt aufhört ja, das heißt nicht Der Ellenbogen der
Kann, mit mit großer Geschwindigkeit sich bewegen, der kann natürlich sein sein Delta sehr schnell erreichen, während
das Handgelenk noch noch nicht da ist ja Hier Bewegen sich oder müssen sich bei dieser synchronen steuerung Alle
gelenke So schnell bewegen, dass sie alle zum gleichen Zeitpunkt, zum Stillstand kommen, und natürlich gibt es hier eine
Leit Achse. Man kann sich vorstellen, dass alle sich eigentlich an der an der, äh, langsamsten Achse sich orientieren
müssen ja, also, die langsamste Achse, wenn Sie zehn Grad zum Beispiel ausführen muss Mit Keine ahnung
beschleunigung Von zehn Grad pro Sekunde zum Quadrat, ähm, und Ellenbogen muss nur fünf Grad ausführen, hat aber
normalerweise eine größere Beschleunigung oder Geschwindigkeit, natürlich, die Ellenbogen sich extrem langsam bewegen,
sodass, äh, die, äh, Ellenbogen achse zum gleichen Zeitpunkt, äh, oder zum Stillstand, äh, kommt zum gleichen Zeitpunkt
wie das Handgelenk, das heißt diese langsamste Achse nennt man in dem Fall auch die Leitachse, und das sind so, äh,
typische Bahnsteuerungen, die bei Bandschweißen lackieren oder bei montieren normalerweise, äh, verwendet werden, äh, im
kartesischen Raum, ähm, die Eingabe der Traktoren erfolgt als Funktion der Zustände des Roboters mit so
Beschleunigungsvektor vom Tool Center, Point, Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung. Das sind immer die
Randbedingungen im gelenkwinkelraum Sind das Gelenkwinkelposition, Gelenkwinkelbeschleunigung,
Gelenkwinkelgeschwindigkeit, Der, Der, Faktor, folgt in Lage und einer definierten Bahn und wie wir sehen werden, gibt
es hier unterschiedliche Bahnen, dass man sagt, Ok, wir fahren Lineare Bahnen oder wir fahren irgendwelche Bahnen, die
durch Polynome beschrieben werden, oder Spliance oder Visier kurven Oder ähnliches so, wenn man das so gegenüberstellt,
dann hat man zwei Möglichkeiten, wie man vielleicht sieht, einmal eine Bahntraktorenplanung oder Bahnsteuerung im
kartesischen Raum A, das heißt, da können wir Menschen, die Bahn einfacher formulieren, spezifizieren, weil wir wissen,
wir wollen von S nach Z gehen Interpolation, es ist auch einfach natürlich negativ hier, wenn wir im kartesischen Raum
arbeiten, wir müssen das Inverse kinematische Problem für jeden Trajektorienpunkt lösen, damit wir für jeden
Trajektorien Punktvorgaben für die gelenkwinkelregler Machen können und, äh, wir, können keine Garantie angeben, dass
diese Traktoren, die wir so geplant haben, tatsächlich ausfuhrbar sind. Warum? weil es kann an bestimmten Punkten
interpolierten Trakt würde Demverse, Kinematik keine Lösung haben, aber vielleicht in einem Punkt, ganz nah dran, hat
Diverse Kinematik eine Lösung A wenn wir im gelenkwinkelraum Arbeiten dann, natürlich ist das eine sehr nah an der
Hardware, also Ansteuerung der Gelenke ist einfacher, die Traktorie ist eindeutig berücksichtigt, auch
gelenkwinkelbegrenzungen Ja, können, wir natürlich auch hier abfangen bei der Lösung der Inversen Kinematik, wenn eine
Lösung rauskommt, wo ein gelenkwinkel Außerhalb von von den gelenkwinkelbegrenzungen Liegt dann können wir das natürlich
abfangen, aber das bedeutet die Geplante Trakture ist nicht immer ausfuhrbar, weil da würde in dem Fall, äh, rauskommen,
dass wir keine Lösung bei die an diesem Punkt, äh, für das Inverse Kinematik für die Inverse Kinematik haben, ähm, man
kann natürlich diese Interpolation oder die Berechnung der Stützpunkte der Trajektorie für mehrere Gelenke machen kann
man auch hier machen, aber, ähm, äh, und Formulierung der Traktorie in diesem gelenkwinkelraum Ist natürlich sehr
umständlich also, wir haben vorher den Vergleich zwischen der blauen Trajektorie von Tour Centre Point und der Gelben
Traktor im gelenkwinkelraum Also, für euch oder für uns Menschen ist es natürlich sehr komplex, so eine drei Tore im
gelenkwinkelraum Zu beschreiben also, wie die einzigen Gelenke eines Roboters sich bewegen das so Propiererei, sage ich
mal so, wenn man die Traktorie auf diese Art und Weise programmieren will, so, ähm, nun, wie macht man das eigentlich?
wie programmiert man heute in der Robotik bei einigen Anwendungen zu diese Bahnen beziehungsweise Stützpunkte der
Trajektorie, äh, für einen Roboter, und da gibt es hier mehrere Möglichkeiten, äh, man spricht zum Beispiel von einer
direkten Programmierung, wenn man so ein, äh Chach in Pannel hat, das sind hier zwei Beispiele von zwei namhaft die
namhafte Roboterhersteller, ähm, und mit diesen Geräten, wie man sieht, da hat man viele Tasten natürlich drauf, äh, äh,
man kann zum Beispiel den Tool Center Point in unterschiedlicher Richtungen bewegen plus x minus x plus y minus y. Äh,
äh, man kann auch die Orientierungen Spezifizieren man, kann irgendwelche Punkte die man dann anfährt also wenn man
Auf Auf dem plus x Banal Drückt Dann natürlich bewegt sich der Arm in plus x oder im konfigurationsraum Vor
ellenbogen In, dem bewegt sich Ellenbogen Gelenk und dann kann man diese Anfahrpunkte speichern, aber auch löschen mit
diesem mit diesem Panel eigentlich den man hier hat, man kann zusätzlich auch geschwindigkeiten Angeben also, an jedem
Punkt zum Beispiel, was man speichert kann, man sagen ich, will an durch diesen Punkt mit dieser Geschwindigkeit
beziehungsweise, mit irgendwelchen weiteren, ähm Anforderungen durchfahren, man kann auch zusätzlich hier befehle,
spezifizieren oder eingeben in das Programm, also man generiert eigentlich mit den mit diesem, äh, Teach in Panel
generiert man das Programm in Form von Stützpunkte der Traktorie, die abgefahren werden muss, und natürlich muss man
hier oder braucht man hier irgendwelche Befehle oder Möglichkeiten, mit denen man den Greifer bedient. Ja, ähm, das
heißt, wenn man jetzt hier zum Beispiel den Greifer hier die Tasse auf den Tisch stellt, dann wäre das jetzt ein Zustand
und der zweite Zustand natürlich an der gleichen Position der gleichen Orientierung Aber, wo der greifer Aufhat ja, das
sind solche Sachen, die muss man natürlich mit solchen Programmiergeräten Haben Also diese möglichkeiten muss man
haben, und das ist tatsächlich wie Industrieroboter heute programmiert werden, also die meisten vielleicht, ich weiß
nicht, ich mache jetzt keine Prozent aussage Aber, die meisten Industrieroboter in in echten Anwendungen, die werden
mithilfe von diesen, ähm Featuren, oder mit diesem Panals, hier programmiert unser ziel unserer forschung Hier dass, wir
komplett davon wegkommen, ja, das wir, äh, eine sehr intuitive Programmierung von von Robotern, äh, erreichen. Wir
wollen eine intuitive Programmierung erreichen, indem wir schauen, wie Menschen aufgaben, ausführen und daraus, wie man
hier Programme für den Roboter Generiert, die auch Generalisierbar sind das. Thema Wird uns am Ende vom Semester
beschäftigen also im Kontext von Programmier durch Vormachen, Beziehungsweise, Imitationslernen, und da habe ich hier
ein Beispiel, ähm, äh, sieht man hier wie Praktisch Dieser roboterarm hier Mit Hilfe von diesem Panel, da gibt es
hier auch sogar einen Joystick, wie man sieht, da kann man also sechs D. Äh, Joystick, und da kann man der Roboter in
den unterschiedlichen Richtungen bewegen also entlang der der sechs Freiheitsgrade im kartesischen Raum und kann man
natürlich die Punkte abspeichern und somit hier diese Trajektorien, äh, Programmieren oder die Stützpunkte oder die
Schlüsselpunkte hier Festlegen man kann natürlich man muss natürlich die gelenkwinkel Hier speichern und diese
gespeicherten werte Mit Zusätzlichen Parametern die notwendig sind für eine Aufgabe Erreichen Also beispielsweise,
bei einer Flugeoperation muss man zum Beispiel in dieser Situation mit einer bestimmten Kraft mal sich bewegen in eine
bestimmte Richtung, damit überhaupt vielleicht jetzt dieser Stift hier in dieses Loch reinkommen kann, trotz Reibungen
und ähnlich so, ähm, dann habe ich ein weiteres Beispiel, das kommt gleich die andere Möglichkeit. Also, das war jetzt
eine direkte Programmierung mit diesen Teach in, ähm Pennels, die andere Möglichkeit ist, naja, eigentlich, wenn wenn
man in der Lage ist, so einen Roboter einmal zu bewegen, ganz leicht zu bewegen, also an der Hand zu führen, wie man
einem Kind das macht ja, könnte man auch diese Traktoren, die man realisieren will, abspeichern, also den Arm zu führen,
Traktoren abspeichern, dann hat man diese Bahn, die man, die wir gerade suchen, so das heißt hier ist natürlich die
Notwendigkeit, dass man in der Lage ist, diese Arme, äh also man muss in der Lage sein, diese Arme oder ein roboter Arm
zu führen zum Beispiel im Sero Force Control Mor oder bei Drehmoment geregelte roboter Army tatsächlich die Roboter auf
Kräfte auf Interaktionskräfte agieren und wo man der Roboter so ähm, äh, durch physikalische Interaktion, also durch
Anfassen, eigentlich und drücken und bewegen tatsächlich in die geeignete Konfiguration Bringen kann ähm, also, man kann
die Bahn abfahren, man kann die Werte abspeichern und, äh, natürlich ist es sehr, sehr interessant und sehr wichtig,
wenn es darum geht, irgendwelche Verläufe der Trajektorien zu programmieren, die man mathematisch nicht formulieren
kann, irgendwelche Traktori, wo sehr komplex ist, eine genaue geschlossene mathematische Repräsentation zu finden, die
diese beim beschreibt, dann kann man dann diese Bahn abfahren, ja? und die Traktore speichern, ähm, ein Einsatzgebiete
klar in in vielen gebieten Das, ist so wo die wo die Tendenz hingeht eigentlich, dass man diese Roboter auch intuitiver
als jetzt mit einem Teach Banal her programmiert. Ich habe hier auch ein Video mitgebracht? wo? ähm, wo man sieht, wie
das bei so einem Drehmoment geregelten roboter arm, das ist der, äh, dlr. Cook, Light, arm oder Leichtbau, arm, äh, äh,
der hat Drehmoment Gelenke in jedem Drehmoment Sensoren in jedem Gelenk, so dass man, wie man gleich sehen wird, äh, der
roboter, äh, beliebig bewegen kann, indem man Kräfte zum Beispiel am am Endeffekt oder an den einzelnen Segmenten mal
ähm ausübt. Und da sieht man hier, dass man zunächst mal die, äh, äh, man speichert hier die position Indem man so einen
Knopf? äh, der hier jetzt Platziert ist, drückt und wenn man jetzt Interesse hat an mehreren Punkten im Raum, dann würde
jetzt ein Mensch beispielsweise, äh, dem Roboter, das zeigen, indem man den umfasst, ja, man sieht hier, äh, das wird
die, kann man jetzt den Roboter bewegen. Jetzt wird der Punkt B eins gespeichert jetzt. Wird der punkt B zwei das ist so
ganz nah am am Werkstück, was man hier manipulieren will. Der dritte Punkt wird gespeichert, ja und dann natürlich Punkt
vier wird gesprochen, man will dorthin, deshalb muss man nach oben, damit man die Kollision mit diesem Hindernis
vermeidet also eigentlich die komplette Intelligenz kommt ja vom Menschen in dem Fall der Roboter der macht hier gar
nichts, außer, äh, hinzufahren. Jetzt hat man fünf und b sechs, und das ist die Bahn eins, zwei, drei, vier, fünf,
sechs, ja, wenn wir diese Punkte gespeichert haben natürlich, mit Zusatzparameter Wie Geschwindigkeit Und so weiter und
so fort, dann kann der Roboter natürlich diese Punkte hier anfahren und man sieht hier, dass der Roboter beispielsweise
in jedem Punkt stehen bleibt ja " Aha, fünf " stehen bleibt und dann Null, was bedeutet das eigentlich? das bedeutet die
geschwindigkeitsprofile Für alle achsen Die, sehen irgendwie so aus, ja? äh, die sehen zwischen diesen Punkten hier,
wenn wenn wir jetzt irgendeinem geschwindigkeitsprofil Für irgendeine achse Jetzt, ähm, ähm, dann haben wir die
Zeitachse hier t, und nehmen wir mal an irgendein Gelenk jetzt bei dieser Bewegung, tteri a Punkt, also die
geschwindigkeiten Und wir nehmen an das Ganze beschleunigt irgendwie a? Ten da, das ist b, das ist p zwei, dann
beschleunigt nochmal da, das ist P, drei B, ja, also das ist zum Beispiel. Ich weiß nicht, wo wir angefangen haben, wenn
wir hier angefangen haben, dann ist das hier p zwei, dann ist es wie Ep drei und so weiter und so fort, was ist, ok ist
ja, aber natürlich, das ist eine eine Belastung für die komplette Mechanik, ja, wenn man ständig dieses Abbremsen,
dieses beschleunigen, fahren, Abbremsen, interessant wäre, die wir gesehen haben. Ich sehe kein Grund, warum wir
eigentlich n? P vier anhalten müssen, äh, klar, vielleicht ein P zwei, wo wir jetzt diese Fugeoperation oder am Ende
müssen wir anhalten, aber die, äh, geschwindigkeiten Beziehungsweise die bewegungen In Der äh, in, den Zwischenpunkten,
äh, also zum Beispiel P zwei P vier E zwei p vier und sind wir gleich, muss dort nicht anhalten, man kann ja mit einer
gewissen Geschwindigkeit durchfahren, also ich muss nicht unbedingt hier ein P zwei anhalten, geschwindigkeitsprofil
Wieder auf null Und dann hier muss ich anhalten, damit ich überhaupt greifen kann und jetzt bei P vier, muss ich
überhaupt nicht anhalten, da kann ich weiterfahren, aber durch B vier fahren, damit ich diesen Hindernis vermeide. Hier
muss ich auch nicht anhalten. Bei P sechs muss ich anhalten, damit diese Voge Operation erfolgt, weil das wäre ja
natürlich eine Entlastung oder eine eine Verschonung eigentlich für, äh, die Kompletten antriebe und komplette und das
System insgesamt, ja, das ist etwas, was aus Karlsruhe auch kommt, das ist Art Mainz, ja, und die sind extrem
erfolgreich, auch hier mit dieser Art der der Programmierung. Also, dass man hier, wie man sieht, , Ganz Leicht
einen anderen Roboterarm das ist der You are Pfy, glaube ich, fünf oder oder zehn? Nein, das sieht nach einem, na
egal, man sieht den ganzen Arm nicht, deshalb kann man nicht sagen, ob das der kleine oder der große, aber auf diese Art
und Weise kann man diese Punkte hier programmieren, Ok? das heißt, wenn man jetzt das Ganze hier mal betrachtet diese
direkte Programmierung, dann hat man Vorteile und Nachteile, das ist schnell, auch für komplexe Bahnen, die wir
Mathematisch nicht beschreiben können. Das ist auch intuitiv, weil die ganze Programmierung erfolgt im kartesischen
Raum, also wir sehen, wo Hindernisse sind und welche Zwischenpunkte oder Stützpunkte wir einführen müssen, damit hier
keine Kollision mit den Hindernissen haben, äh, setzt natürlich voraus, dass wir diese Roboter so leicht bewegen können,
das heißt, wenn wir jetzt einen Roboter haben, der Flugzeuge beispielsweise reinigen soll, also von außen reinigen soll,
das ist alle alle Flugzeuge, die werden so mit Mithilfe von äh, von Waschanlagen, aber das sind so roboter, die
tatsächlich, äh, , Über die, die flugzeuge mal fahren müssen und die das sind auch schwere Trajektorien, die man
programmieren programmieren muss, und wenn wir sie auf die Art und Weise programmieren wollen, dann müssen wir in der
Lage sein, solche schweren Roboter zu bewegen wir als Mensch oder irgendwelche natürlich schnittstellen Oder
technologien Die, uns erlauben das so intuitiv zu machen. Ähm, wenn diese Roboter in in Fertigungszellen eingesetzt
werden, dann sind sie natürlich in, äh, in einem Bereich, der nur für die Roboter geschaffen ist, das heißt, es gibt
meistens nicht so viel Platz für einen Arbeiter, der dort tatsächlich die Programmierung vornimmt, also wenig Platz in
engen Fertigung, Zellen für einen Bediener, und da hat man natürlich schlechte Korrekturmöglichkeiten, also bei den
meisten Methoden, die ich kenne, die momentan eingesetzt werden, wenn man jetzt einen Fehler bei einem Punkt gemacht
hat, dann kann man nicht so leicht diesen Fehler, ähm, äh, Weg, äh, diesen fehlerhaften oder ungünstigen Punkt aus der
Bahn, äh, rausnehmen, sondern man muss, äh, die Bahn komplett neu programmieren, das heißt wir brauchen auf jeden Fall
Übers Besseres, und das werden wir, wie gesagt, in Kapitel neun, das heißt Programmieren durch Vormachen hier in dieser
Vorlesung kennenlernen, aber es gibt, äh, bei der bei der Traktorenplanung viel mehr darum, wie wir tatsächlich diese
Bahnen abfahren, ja, mit welchen Beschleunigungen mit welchen Geschwindigkeitsprofilen Ähm? soll, das ganze Äh,
funktionieren und, äh, das ist, was man mit diesen Interpolationsarten von Bahnen hier beschreibt, das heißt einmal eine
sogenannte Punkt zu Punktinterpolation oder Pt P P Point Interpolation Lineare oder Zirkulare Interpolationsplan
Interpolation für Exakte Bahnen und dann approximierte Trajektorien Plan, so das heißt, ähm, das ist nichts Neues, das
so ein bisschen Schul Mathematik. Also, wenn wir hier unser Startpunkt und Zielpunkt haben, das wäre ja eine Lineare
Interpolation, äh, oder eine Interpolationsart auf einer linearen Bahn, eine zirkulare Bahn, wie man hier sieht, und das
sind hier die Banken, die sich ergeben, wenn man eine sogenannte Ptp Synchronik Oder asynchronik P P Steuerung hat zum
Synchron haben wir vorher schon, äh, eingeführt, zum Chrom bedeutet, dass alle Achsen gleichzeitig mit der Bewegung
loslegen und zum gleichen Zeitpunkt zum Stillstand kommen, das heißt die Bahn, die ist irgendwie kontrollierbar,
beziehungsweise, man kann die Bahn, die ist noch berechenbar, man weiß, wie die Tool Centre Point Position aussieht,
während bei asynchronersteuerung Dadurch dass, die eine Achse schneller als die andere oder jede Achse mit der
Maximalen, äh, Beschleunigung loslegt, können wir jetzt hier die Bahn nicht so, ähm, man kann sie natürlich beschreiben,
aber die Bahn, die, die weiß ab von der von einer Synchron P Db, oder die andere Variante, dass man sagt, wenn ich hier
diese zwei Punkte habe, ich kann natürlich irgendeine, äh, äh, ich ganz Splian zwischen unterschiedlichen Stützpunkten
sind hier legen und dann entlang dieser generierten Bahn fahren, so das ist, was wir kennenlernen werden, und wir fangen
mit der Ptp also von Point Point oder Punkt zu Punktsteuerung, ähm, das heißt die Vorteile hier, die Berechnung der
gelenkwinkeltraktoren Ist sehr einfach keine Probleme mit Singularitäten, weil die Singularitäten ich meine, wir sind ja
auch hier im im gelenkwinkelraum Können Wir solche singularitäten auch vermeiden, mathematisch betrachtet, wir
haben ja eine Sequenz von gelenkwinkel Äh, vektoren, Ja, a, Wo, jetzt hier die einzelnen, äh, Vektoren, hier, Winkel vom
Eaton gelenkt zum Zeitpunkt, J? äh, beschreiben, ja, und was wir suchen, oder? und wir haben zusätzlich eine ganze Menge
von Randbedingungen als zum Beispiel Start, Und, Zielzustand fuhr Die einzigen Gelenke hier oder für den
gelenkwinkelvektor Geschwindigkeiten zu Beginn und am Ende und natürlich die gelenkwinkelbeschränkungen Dass, jedes
jeder gelenkwinkel innerhalb von bewegungsraum Des Gelenks ist und dass zum Beispiel eine maximale Geschwindigkeit und
maximale Beschleunigung nicht überschritten werden dürfen, sowohl für das Beschleunigen als auch für das Abbremsen, ja,
die, das heißt, wir haben alles, äh, alle, ähm, ähm Daten, die wir brauchen und was man hier jetzt, äh, machen muss, man
muss, ähm, bei dieser Synchronen p t b steuerung Und Synchron bedeutet nochmal, dass alle geränge, äh, zum gleichen
Zeitpunkt, egal wie lange, der Weg, der die einzelnen Gelenke zurücklegen müssen, ist standkommen, das heißt, wir müssen
eigentlich diese Fahrzeit, die Gesamtfahrzeit, die notwendig ist, um die Bewegung auszuführen, also wie wie lange
brauchen wir, um am am Ziel zu kommen also, das ist hier der Gel Gelenkwinkelvektor Q Z am ziel Und das ist der
gelenkwinkelvektor Am Start Ja und was unsere Parameter sind, die wir brauchen oder die wir haben, sind natürlich, äh,
die maximale Geschwindigkeit von einem Gelenk mit Vm bezeichnen die Maximale Beschleunigung Ausnahmsweise auf deutsch
ist ein B und nicht ein A für die Beschleunigung, äh, also Bm für Beschleunigung, Start und N Konfiguration A können wir
die zu fahren die Strecke beziehungsweise Winkelstrecke berechnen allgemein, egal ob wir im Gelenk oder im, äh, äh, im
gelenkwinkelraum Oder im kartesischen raum Arbeiten wir das hier berechnen die Strecke, dann können wir natürlich anhand
von dieser Strecke und anhand von den Maximalen Geschwindigkeiten Und beschleunigungen Äh, können, wir die Zeiten
berechnen, die für das Beschleunigen, die für eine konstante Bewegung also für eine Bewegung mit konstanter
Geschwindigkeit und die für das Abbremsen notwendig sind, das heißt, wir berechnen die Zeit, die notwendig ist, hier die
Zeit für Beschleunigen und die Zeit, äh, äh, tv, ähm, äh, die wir brauchen, äh, oder wo, wo der Bremsvorgang, äh,
anfangen soll, äh, so und anhand von denen hier können wir wissen wir natürlich, wie unsere Trajektorie aussieht, also
sowohl s als auch s Punkt als auch s zwei Punkt und S. Wie gesagt, bezieht sich jetzt entweder auf einen gelenkwinkel
Oder bezieht sich auf eine kartesische Koordinate im kartesischen Raum. Natürlich müssen wir die gelenkwinkel Äh,
sollwerte Also, gelenk Sollwerte berechnen und dann anschließend aus diesen Vorgaben hier die Q, S, äh, und die die U? S
Punkt und Q S zwei Punkt berechnen, das heißt, ähm, für jeden, für jeden Punkt, was wir auf der Trajektorie ausführen,
haben wir im einfachsten Fall so ein Diagramm a Das, heißt, wir haben hier die Zeitachse t a die nehmen wir mal
an, hier die Geschwindigkeit Vich schreibe v also v kann jetzt die kartesische Geschwindigkeit oder ein
gelenkwinkelgeschwindigkeit Sein also, auch äh, omega, oder tter Punkt, was wir jetzt gerade hier haben, haben wir
folgende situation, das wir irgendwie beschleunigen, äh, mit einer konstanten Geschwindigkeit, und diese Geschwindigkeit
ist natürlich die maximale Geschwindigkeit, die ein Gelenk oder die ein Roboter in einer bestimmten Richtung, äh, hat
ja, bleiben wir bei einem Gelenk und dann natürlich die Zeit, die notwendig ist, um, na, ähm, um zum Ziel zu kommen ja,
das, ist unser se hier, da sind wir bei Te, E, äh, und man sieht hier, was man jetzt für eine Steuerung berechnen muss,
sind wirklich diese Parameter, ähm hier, wir wissen ja, dass die Steigung hier bei einem geschwindigkeitsprofil Ist
nichts anderes als bm äh, also nichts anderes als die Beschleunigung, das heißt eigentlich die Steigung hier von dieser
Kurve, äh, die wird beeinflusst durch die Maximale Beschleunigung Bm, äh, ich habe jetzt das Bild hier so schlecht
gezeichnet, dass wir eine, äh, unterschiedliche, unterschiedliche Beschleunigungen für die Beschleunigungsphase, also
äh, unterschiedliche Steigungen für die Beschleunigungsweise und Abbremsphase ist aber man kann davon auch ausgehen,
dass es, ähm, keine Einschränkung ist, normalerweise sind das hier gleich, das heißt, wenn ich das korrigiere, dann muss
ich so ein bisschen das diagramm anders zeichnen und was für eine Echtzeitsteuerung natürlich wichtig ist, sind auch
diese Zeitpunkte A, T, B, also wie lange muss ich beschleunigen mit dieser maximalen Beschleunigung, die mir zur
Verfügung steht. Und dann, wie lange darf ich mit der maximalen Geschwindigkeit vor m fahren, ähm, Konstant, irgendwas
Tv, wie lange darf ich fahren also zwischen T, B und T V, damit ich mit der gleichen, äh, Beschleunigung, oder, ähm, mit
der mit der gleichen, das machen wir jetzt auch gleich ungefähr Youps, äh, in etwa das ist De, und das sind diese Winkel
jetzt. Natürlich sind die Proportional Gesteigung hier in beiden Fällen zu der, äh, zu der Beschleunigung oder zur, äh,
zu Bremsung, ähm, und das heißt, was uns interessiert natürlich bei Te, äh, am ziel, se? und was jetzt für die Steuerung
tatsächlich wichtig ist, ist zu wissen, wo sind diese Zeitpunkten? also, ich muss für jeden Interpolationspunkt
tatsächlich diese Zeitpunkte berechnen und das, was ich vorher gezeigt habe, wenn wir die Punkte P eins bis p sechs
Programmieren und wo der Roboter zum Stillstand kommt, dass wir natürlich hier nach nacht nach s e eins, dann kommt ein
ist e zwei, dann haben wir so ein geschwindigkeitsprofil Äh, ähnliches, an ein ähnliches geschwindigkeitsprofil Aber
natürlich was, man ähm, gerne auch haben will, zumindest was ich gerne auch haben will, äh, ist Folgendes, dass ich
sage, ich habe hier mein äh geschwindigkeitsprofil Äh, was, haben wir v und ich fahre jetzt hier mit einer bestimmten
Beschleunigung hier und jetzt weiß ich irgendwie zufällig, dass jetzt ich zu einem nicht zu s e eins, sondern ich will
zu se zwei weiter, ja? und, ähm, maximale Geschwindigkeit dieses Gelenk zum Beispiel, äh, äh, äh, ist hier, das heißt
eigentlich, äh, der Roboter, der konnte nicht mal so soweit beschleunigen bis zur maximalen Geschwindigkeit, weil zum
Beispiel das erste Ziel Hier sehr nach war ja, machen wir s e eins hier, ja, wenn wir jetzt hier ganz normal machen,
dann würde das so aussehen, ja? und wenn wir aber dorthin kommen, dann würden wir natürlich mit dieser Beschleunigung
hier hochfahren, aber bis zur maximalen Geschwindigkeit Und dann mit der gleichen Steigung hier wieder Bremsen,
und das ist natürlich klar, jetzt für jeden Interpolationspunkt. Wir haben jetzt hier ein T Beschleunigung, wir haben
ein T V und wir haben hier ein Te im ersten Fall und im zweiten Fall haben wir natürlich auch die gleichen Punkte, aber
unser T B ist hier und unser Tv ist hier, unser Tee ist hier, ja, jetzt stellen wir uns mal vor, während wir uns hier
mal bewegen, ähm, sollen wir jetzt nicht zu diesem Zeitpunkt t fahren, sondern wir sollen zu S? E drei hierhin, äh, das
heißt, eigentlich sollte man dann jetzt hier berechnen, wo soll ich mal Abbremsen, damit ich diesen Punkt hier erreiche,
äh, ja, ohne zu stoppen Versuche jetzt anhand von diesem Diagramm alle möglichen so Fälle, die man haben haben kann,
abzudecken, aber die Messe ist, dass man tatsächlich diese zeitlichen Konstanten oder zeitlichen Abstände sehr genau
spezifizieren muss und ich hab immer stillschweigend und wir nehmen immer stillschweigend in den Folien oder jetzt in
dieser Vorlesung, in den vollen, die ihr noch sehen werdet, die Anfangsgeschwindigkeit zum Beispiel Null ist, aber ich
kann es ganz sein, dass ich, äh, wie wir, wie wir sehen hier zu diesem Zeitpunkt kriegen wir mit, dass wir nicht zu s e
eins, sondern Zuse drei fahren also, wir können weiter beschleunigen, das heißt, wie können wir diese Zeiten berechnen,
wenn die Anfangsgeschwindigkeit von einem gelenk ungleich null ist, da kriegt man natürlich unterschiedliche, es ist
nicht schwierig, wie wir gleich sehen werden, ich werde die Folien ganz schnell jetzt überfliegen, weil das ist nur ein
bisschen Geometrie und das sind die Gesetze, die wir kennen, v ist gleich arm mal t, und die Strecke ist gleich ein halb
m v Quadrat und so weiter und sofort alles, was wir eigentlich schon wissen und nichts besonderes neu ist so ein Gut,
das heißt Einfache Art zu Berechnung der Parameter, wir haben eine, äh, sprungförmige Aufschaltung der
Beschleunigung, das heißt, das würde dazu führen, dass man so ruckartige Bewegungen Hat und. Wenn man oft bei jedem
Punkt oder bei jedem Stützpunkt anfängt und aufhört, dann ist das natürlich eine oder nicht so gesund für für die
Mechanik und kann auch zu Eigenschwingungen von den mechanischen Teilen führen und wie man diese Zeiten berechnet ist
eigentlich, ähm, denke ich, äh, das, oder also, wenn wir dies Diagramm hier, äh, ich hatte das diagramm kopiert, wenn
wir dies diagramm hier betrachten und wir wollen T B berechnen, ja, kann jemand von euch t b berechnen? äh, wie wie
komme ich auf T B? das ist die Zeit, die Beschleunigung sei Steigung, haben wir, das ist die Maximale Beschleunigung Bm
und das ist die maximale Geschwindigkeit Vm äh, ja, genau das ist die maximale Geschwindigkeit durch Beschleunigung, und
das ist nichts Wildes, das sind die Gesetze, die wir kennen, also V? äh, V ist gleich a mal t, oder also wo a
Beschleunigung ist, das kennt ihr und s ist gleich ein halb ein halb was, was ist es?
a t Quadrat plus diese Anfangsgeschichten hier, also hier plus v. Null und so, das kennt ihr oder nein, mindestens einer
nickt ja, also das heißt Db können wir ganz einfach berechnen, äh, s, das heißt die Strecke, die Strecke, die wir
abgefahren, äh, äh, die wir abfahren, wenn wir bei T B sind, ist natürlich nichts anderes als, äh, als die Fläche von
diesem Dreieck hier und ist Dreieck, hat die, äh, die Höhe von v. M und die Breite, äh, oder die, die, äh, äh, die Kante
hier, die ist T, B, äh, und das ist natürlich ein halb, das heißt ein halb, äh, tb mal, ähm, Vm beziehungsweise ein halb
Bm mal t zum Quadrat, ähm, die Phase der äh gleichmäßigen pfad Wir, wissen die Beschleunigung ist null, die
Geschwindigkeit ist konstant, das heißt eigentlich die Strecke ist nichts anderes als konstante Geschwindigkeit mal t
Minus, äh, erste Teil, und der erste Teil ist nichts anderes als das, was wir in der Beschleunigungsphase abgefahren
sind, oder den Weg, den wir zurückgelegt haben in der Beschleunigungsphase, das heißt bis t B, das heißt ein halb b m
mal t b zum Quadrat, und das kann man umformulieren und so weiter das gleiche kann man machen, natürlich für die für die
Bremsphase und natürlich für die gesamte Fahrzeit, die notwendig ist, um bis zu diesem bis zu diesem Stützpunkt Se, äh,
fahren, ja, das ist ist e durch v m plus d b und wie man sieht hier, ähm, wenn das bekannt ist, unser Si V m Maximale
Geschwindigkeit und B m Maximale Beschleunigung, dann können wir das tatsächlich an anhand von allen, ähm, äh,
Eingabeparameter berechnen, das habe ich vorher auch ein bisschen angedeutet, falls diese Vm zu groß ist in Bezug auf
die Beschleunigung und die Bahnlänge, dann muss man natürlich so eine maximale Geschwindigkeit, äh, die erreicht werden
darf, damit man bei se ankommt, das heißt, man kommt nicht weiter, dass man eine konstante, äh, eine Phase der Bewegung
mit konstanter Geschwindigkeit, sondern man kommt zu irgendeinem Punkt, das ist, äh, die maximale, ähm, äh
Geschwindigkeit hier, natürlich kann man diese maximale Geschwindigkeit auch berechnen, weil s? E ist nichts anderes als
t b mal die maximale Geschwindigkeit hier a? ähm, also praktisch die Fläche von diesem Dreieck. Und wenn man das, äh,
wenn man einsetzt für T, B, was wir vorher berechnet haben, dann kann man das Ganze nach, äh, v, m, max, äh, auflösen
und das ist das ist das einzige Beispiel, was ich so durchgehen werde, weil die anderen Beispiele, die wir sehen, die
sind die gleichen Überlegungen, ja, das heißt, wenn wir jetzt statt diese, äh, diese äh, geschwindigkeitsprofile
Beispielsweise irgendwelche geschwindigkeitsprofile nehmen Mit abgerundeten kanten zum Beispiel sinoidem Profil ja, wie
in der Form hier, da sieht man, da hat man hier keine Kante, das ist natürlich sehr, sehr schonend für die Antriebe oder
für die für die Mechanik, ähm, dann muss man diese Überlegungen, die wir jetzt gemacht haben, natürlich auch für diese
Profile machen, und da sind die Beziehungen jetzt ähnlich Überlegungen, ähnlich wie man die Zeiten berechnet, aber wenn
ich hier eine sinusförmige Funktion habe statt einer linearen Funktion, dann sind natürlich die Beziehungen ein bisschen
komplizierter, ja, aber das sind die gleichen Ideen, und das will ich jetzt hier nicht nochmal mit euch durchgehen, das
heißt man kann auch Zeiten der unterschiedlichen Phasen berechnen. Man kann die Fahrzeit berechnen und hat man alle
Information, die notwendig ist, damit man tatsächlich diese, äh Punkte, äh, Stützpunkte der Trajektorie an die Steuerung
weiter schicken kann also mit mit der geschwindigkeiten Beschleunigungen, Und die zeitpunkte Also wie lange gedauert es
für die Beschleunigung für die konstante Bewegung und für die Abbremsbewegung, eigentlich langweiliges Zeug oder A? ne
geht so, also einige finden gefälscht wie, es aussieht zumindest, zwei habe ich gerade, na ja, Ok, und wenn man das
Ganze jetzt hier vergleicht also zum Beispiel Rampenfunktion, Rampen, Ram, Pen, Profile und Sinoidenprofile, dann
bekommt man natürlich diese Verläufe. Hier sind unsere geschwindigkeiten Das, sind die konstanten Beschleunigungen hier
natürlich keine konstanten Beschleunigungen, sondern diese Sigmoidförmigenförmigen und dann hier die Verläufe für die
geschwindigkeiten Beziehungsweise, für die strecke Also für s oder den zurückgelegten Weg, egal ob das im kartesischen
oder im so Vorgehen Bei also synchroner, äh Bahnsteuerung, ja, man, bestimmt für jedes Gelenk? I die P? t
Parameter und die P T Parameter ist tatsächlich Si, äh, Vm, Bm und die Fahrtzeit bei Synchron wissen wir, dass alle
Gelenke zum gleichen Zeitpunkt, zum Stillstand kommen müssen, das heißt, wir bestimmen diese, äh, längste Zeit, die
notwendig ist, und das ist die Zeit, die das langsam langsam sie glied, oder langsam sie Gelenk benötigt, ist unsere
sogenannte Leit Achse, also die Achse mit der maximalen Fahrzeit oder die langsamste Achse. Und dann setzt man natürlich
diese Te, äh, für diese Achsen, für alle Achsen auf de ja, das heißt, alle Achsen müssen sich jetzt mit dieser, äh,
längsten Zeit der langsamsten Achse sich bewegen, äh, der rest ist, ähm, ähm, eigentlich einfach, ja so, das heißt wenn
man das hier einsetzt in den Gleichungen, die wir vorher, äh, bestimmt haben, wo man für alle, äh, Achsen statt t? e i
ein Ti, was wir vorher berechnet haben, einsetzt, dann kommen natürlich hier die entsprechenden Berechnungen a so bei
der Synchronensteuerung Ist es nicht der Fall das heißt jedes Gelenk kann mit der mit der maximalen Geschwindigkeit Bmi
sich beschleunigen. Und wenn man so eine Trajektorie hat. A hat man natürlich hier ein T? Null und Q Null bei Punkt
Null, dann t eins und q eins, also das ist der Das Ist, der punkt im kartesischen Raum hier, das sind Punkte im
kartesischen Raum, die das sind unsere x und y Cous, äh, sind die gelenkwinkelwerte Weil, letztendlich brauchen wir
gelenkwinkelwerte Die zu dem kontrolle Runtergeschickt werden und hier jetzt Gelenk wird sofort mit der Maximalen, äh,
Beschleunigung angesteuert und jede gelenkbewegung Endet unabhängig von den anderen und das führt dazu, dass natürlich
die Verläufe der Traktoren im kartesischen Raum. Na, nicht unvorhersehbar sind aber nicht so Einfach Zu äh
berechnen, oder, beziehungsweise zu berechnen sind. Man sieht hier, dass der Verlauf der Traktorie nicht entlang einer
Geraden hier, sondern der Verlauf der Trakture zwischen P zwei und P drei beispielsweise so aussieht, weil die eine
Achse schneller als die andere sich bewegt hat, ja, das würde bei einem Synchron Interpolation nicht so aussehen, okay,
, Genau, Alle, gelenke beginnen Und wir enden ihre Bewegung gemeinsam, das ist die Synchrone Steuerung, das heißt
im Gegensatz zu dem Beispiel vorher, das war die Asynchrone Steuerung würde jetzt eine eine Ausführung der Bewegung
zwischen den gleichen Punkten mit Synchrona p T b so aussehen äh, man sieht hier beispielsweise der Unterschied, äh,
dieser Trajektorie zwischen P zwei und P drei zu dieser Trajektorie im, äh, okay, vergleich, wenn man, wenn man das, äh,
die geschwindigkeitsprofile Vergleicht dann, hat man natürlich hier bei Synchron solche Profile natürlich te e ist
gleich für alle bei Synchron, für Gelenk Eins bis Gelenk? n und äh, die Gelenke, die dürfen das sich natürlich nicht
beliebig, äh, schnell bewegen, sondern sie müssen sich so schnell bewegen. Das ist zum Beispiel v, und das wäre jetzt
hier v zwei Max für das zweite Gelenk, ja, die müssen sich so maximal so schnell bewegen, dass Sie alle zu diesem
Zeitpunkt hier zum Stillstand kommen aber bei einer asynchronensteuerung Sieht man das gelenk eins zum Beispiel hier
fertig war und gelenkt zwei hier fertig war, weil Gelenk eins mit einer größeren Geschwindigkeit, ähm v, eins Max, der
Dimensionierung der Motoren gelingt ein zum Beispiel, ein Ellenbogengelenk und gelenkt zwei ist beispielsweise ein
Handgelenk, was nicht so große maximale Geschwindigkeit hat, wie, äh, das Ellenbogen gelingt also würden die Profile
hier aussehen? Ok, gibt es Fragen dazu bis jetzt keine gut, dann, und zwar, äh, es gibt noch die sogenannte voll a voll
Symbole, P p B Steuerung und bei dieser sogenannten Vollsynchronen bitte b steuerung Berücksichtigt man zusätzlich, äh,
beschleunigt und man kann somit eine bessere Annäherung der Start und Zielpunkte im kartesischen Raum erreichen. Äh,
auch hier muss man die Leit Achse bestimmen und dann entsprechend hier einsetzen, das wäre die Zeit für die konstante
Fahrt mit T Minus Db der Nachteil ist, dass die Beschleunigung, äh, äh, von jeder Achse natürlich vorgegeben, äh werden
muss also keine Kleinigkeiten Sondern, modifikationen Oder alternativen Bei der Implementierung von dieser P ist
Synchron, P, D, B, Steuer und so, ähm, das sind die, sage ich mal, die zwei Möglichkeiten beziehungsweise, die die
einzige prinzipielle Vorgehensweise bei Der steuerung äh bei der Steuerung im gelenkwinkelraum Dass, wir diese
geschwindigkeitsprofile haben und dass wir diese Zeit Konstanten Beziehungsweise, Beschleunigung, Bremszeit und die Zeit
für die konstante Pfad mal berechnen, aber wir wollen auch Trajektor im kartesischen Raum interpolieren können und
ausführen, also das heißt, wir wollen kontinuierliche Bahnen abfahren, also stellen wir uns mal vor, es ein Roboter soll
mit seinem Arm irgendeinem Objekt Folgen und Treffen, und zwar genau die Traktorie von diesem Objekt, ja, das heißt, es
ist natürlich wichtig, dass wir diese Untersuchungen nicht im gelenkwinkelraum Äh, im, kartesischen raum Machen weil,
wenn wir jetzt ein paar Folien zurückgehen, äh, wenn wir beispielsweise interessiert sind, sowas zu machen, wenn wir
interessiert sind, dass wir diese Trajektorie abfahren, also die rote Trajektorie abfahren, äh, kann uns eine synchrone
asynchrone voll Synchrone, äh und Ptb überhaupt nicht helfen, weil die Bahn, die, die unser Tuch Center Point abfahren
würde, ist die grüne Bahn, während die Bahn, die uns interessiert, ist die Rote Bahn, äh, wenn es nicht drauf ankommt,
also wenn tatsächlich wir mit dem Ende Faktor zum Beispiel nicht entlang einer Linie schweißen müssen, dann ist uns
egal, wie die Bahn zwischen den Stützpunkten aussieht, und das können wir mit zum groen als Synchron P T P realisieren,
aber wenn es wichtig ist, dass wir tatsächlich entlang der Bahn fahren, dann müssen wir so eine Art, ähm, äh, also eine
Interpolation im, äh, im kartesischen Raum machen beziehungsweise ein sogenanntes Continus Continus Bads, ähm, ähm
Steuerung realisieren, das heißt der Endeffekt folgt in Lage und Orientierung Einer definierten bank Das ganze ist hier
nochmal dargestellt, das heißt wir haben die Position und wir haben die Orientierung Dieses omega Hier im kartesischen
Raum vom Start und vom Ziel Das, sind unsere angaben Natürlich, haben wir irgendwelche, äh, geschwindigkeiten Und
beschleunigungen Translatorisch, undutatorisch, also, translatorische Geschwindigkeit und rotatorische Geschwindigkeit
vom äh, ende effekt, äh, also winkelt Geschwindigkeit im kartesischen Raum vom Endeffektor, dann die Interpolation, äh,
dann kriegen wir diese Punkte im kartesischen Raum nach wie vor und müssen wir, wie ich bereits in den einführenden
Vorlesungen erklärt habe, mithilfe der Inversen Kinematik natürlich auf die gelenkwinkel Beziehung Wenn, wir an
geschlossene Inverse Kinematik bekommen wir direkt die gelenkwinkel Wenn, wir mit mit Jacobi basiert in welche Kinematik
arbeiten, dann würden wir gelenkwinkel Geschwindigkeiten bekommen Und diese gelenkwinkelgeschwindigkeiten sind dann
input für ein äh lo level regler, der die Gelenke antreibt und wie funktioniert das Ganze? äh so, ja, das heißt, wir
haben hier irgendein ein Punkt hier, unser Startpunkt Opps, das ist passiert, das ist unser Startpunkt, das ist unser
Zielpunkt, und, äh, natürlich, das Ganze in einem Basiskoordinatensystem, ja? A diesen Weg, den wir zurücklegen müssen,
ist natürlich S. E. Man sieht, das kann man mithilfe von Vektoren hier mal beschreiben. Das ist der Ortsvektor, von der
von der Startposition der Ortsvektor von der Zielposition, und das ist die aktuelle Position, wo wir gerade uns befinden
auf dieser Bank, und was müssen wir machen? wir müssen mehr oder weniger die gleichen Berechnungen, die wir vorher
gemacht haben, ähm, mit Rampen oder zum Beispiel mit, äh, Sinoiden, äh, Profil, äh, für alle gelenkwinkel Vom vom
roboter ja, die, ich werde jetzt hier auf die Details nicht eingehen, falls jemand, äh, Fragen hat, oder irgendjemand
das nicht versteht, dann soll er auf mich zukommen nach der Vorlesung, aber das zum Beispiel S zum Zeitpunkt Null ist
gleich Geschwindigkeit ist Gleich null und dann bei P? äh, haben wir auch Null Bedienungen, äh, v? m, die maximale
Geschwindigkeit ist gleich v, b und so weiter und so fort, also das sind die, äh, Bedingungen oder die
Anfangsbedingungen und Endbedingungen, die wir hier haben, und dann kann man natürlich jetzt vor jedem Zeitpunkt
Sowohl Äh, x y, z, als auch die orientierung Entlang der bahn Berechnen wir wissen, wie man Orientierungen,
Orientierungsdifferenzen, Nicht, Gerade in euler sondern vielleicht in Koordinionen, wie wir das erste Mal, oder in den
ersten Stunden der Vorlesung kennengelernt haben. Und dann können wir natürlich alle diese, ähm, äh, geschwindigkeiten
Berechnen die, die fahrtzeiten Für Position und vor orientierung Und dann je nachdem was, wir da hier einsetzen können
wir Diese Zeit, hier Äh also, für die Synchrone Steuerung, äh, ist die maximale Zeit für die translatorische
Bewegung, dann kommt so was für die, äh, rotatorische Geschwindigkeit, äh, wenn Tee also diese Leit? Achse mehr oder
weniger, aber Leit Achse im kartesischen Raum, äh, die Zeit, die notwendig ist, um den Peak entlang einer kartesischen
Koordinate oder Orientierung Abzufahren wenn, das äh, gleich, äh, wenn th e äh Omega, dann kommt natürlich für die
Geschwindigkeit, äh, der kartesischen Koordinaten Xyz, also der Position, kommt der Ausdruck hier aus, damit, wenn man
das hier macht, dann realisiert man tatsächlich, was man will, das heißt oder was die Aufgabe war, das heißt man fängt
hier bei P? Null und kann natürlich entlang hier dieser dieser Bahn die Traktorie sehr genau Treppen, also die, äh,
Trajektorie folgen jedem Punkt der Trajektorie mit einer Geschwind, äh, mit einer gegebenen oder mit einer gegebenen
Genauigkeit erreichen. Natürlich macht man das nicht so, ähm, beliebig fein, das sind ja keine kontinuierliche
Approximation von dieser Traktorie, sondern man hat irgendeine eine Abtastzeit, wo man immer wieder diese Werte an dem
Kontrolle schickt, wenn man diese Traktore vielleicht genauer mal anguckt, dann werden zwischen zwei, äh, abstrakte,
vielleicht Abweichungen auftreten, wo es dann Aufgabe der Regelung ist diese diese Abweichungen komplett zu
kompensieren, beziehungsweise auszureden. Ok, ähm, Zirkulare, äh, Interpolation, ähm, das heißt, dass man nicht auf, äh,
auf einer Geraden, äh, zwischen zwei Punkten fährt, sondern dass man auf einem Kreis äh fährt, das sind auch andere
geometrische Betrachtungen, die ähnliche geometrische Betrachtungen, die man anstellen muss, damit man auf die
Parameter, die notwendig sind für die Steuerung herzukommen, das, ähm, will ich an der Stelle nicht so weiter, äh,
Vertiefen, es gibt natürlich unterschiedliche, äh, , Die, Methoden, wie Man, so eine Bahn Interpolation macht also
zum Beispiel hier, da sieht man hier bei einer Interpolation, das nicht eine Traktorin Tracking, sondern eine
Interpolation wie Synchronisiert T B A natürlich die Interpolation verbessert und dass man näher an der Spezifizierten
Bahn kommt, wenn man beispielsweise, äh, die Endbedingungen für eine Teiltrajektorie, also die Endbedingungen zum
Beispiel für die erste Teiltraktorie, wie Richtung Geschwindigkeit, Beschleunigung, Anfangsbedingungen der nächsten
Trajektorie so aneinander angleicht. Ja, dass sie nicht so komplett unterschiedlich voneinander, also man interpoliert
sozusagen zwischen den Parametern am Ende der ersten Trajektorie und, äh, äh, den Werten der gleichen Parameter am
Anfang der nächsten Trajektorie, dann führt das zu dieser segmentweise Interpolation, äh, wo man jetzt hier natürlich
auch diese Teiltraktoren nicht als eine, äh, ähm, diese Teiltraktoren nicht jetzt mit einem, äh, mit einem linearen
Segment oder Silkular, sondern mit, ähm, mit, äh, anderen mathematischen Mitteln, beispielsweise Splines hier beschreibt
also das man sagt hier zwischen dem und dem lege ich einen Spline, kann ich die Parameter von Mines planen bei der am
Ende von diesem Segment hier an den Anpassen von denen vom nächsten segment und so weiter und sofort so ähm, als
Beispiel hier A Kubische Spliance oder Polynome Dritter Ordnung, wie wir, wie wir wissen, das heißt, wenn man zum
Beispiel zwischen zwei Punkten, äh, durch so ein Polynom Dritter Ordnung, das ganze approximieren oder beschreiben will,
dann hat man natürlich vor diesem Polynom Null plus a Eins t plus a zwei t quadrat plus a drei t hoch drei, und das sind
die koeffizienten Die, wir bestimmen also, die Bestimmung von diesem Polynom bedeutet nichts anderes als die
koeffizienten A null Bis a drei zu bestimmen Start und Zielpunkt sind angegeben, und was man hier macht, natürlich nicht
nur die Trajektorie, sondern haben Gerandbedingungen bezüglich geschwindigkeiten Und beschleunigungen Das, heißt ich
kann dieses Polynom zum Beispiel ableiten, dann kriege ich f Punkt, wie man sieht, Gleichung drei, ich kriege e f zwei
Punkte in Gleichung, äh, vier aus eins und zwei, äh, wir die Werte hier einsetzen, dann bekommen wir, äh, hier, wie man
sieht, a Null ist gleich s? äh start und wir bekommen diese Gleichung hier für die Werte am Ziel Die, können wir
natürlich weiterhin nutzen mit den weiteren Randbedingungen, äh, natürlich wissen wir, dass wir am Start? äh, eine
Geschwindigkeit v? start haben, und wenn man da einsetzt in der Ableitung f Punkt, dann ist es a eins a, wenn man ziel
in der ableitung Einsetzt dann, bekommt man eine zweite Gleichung aus diesen hier kann man, wie man sieht, hier das
Ganze nach a zwei, ähm auflösen, aber wir sind noch nicht da, weil wir lösen zwar nach a zwei, aber a drei ist noch
unbekannt, und die ist noch da, aber mit, äh, fünf, sechs, sieben und neun können wir a drei berechnen, und wenn wir Art
Reich so berechnen, können wir hier in neun einsätzen und bekommen wir, äh, den Wert für a zwei auf diese Art und Weise
haben wir eine komplette Spezifikation von von diesen Koeffizienten Von diesem kubischen sply oder von diesem, äh,
Polynom, und können wir damit die " äh Traktore beschreiben und da sieht man hier, äh, unterschiede also beispielsweise,
wenn wir hier eine Lineare Interpolation, das steht hier nicht auf der Folie, aber eine Lineare Interpolation zwischen
vier Punkten, das sind die vier Punkte hier, äh, zwischen denen wir hier linear interpolieren, das ist die, äh, x, z
Ebene x, y Ebene und z, und das ist hier im Dreidimensionalen, wo man um diesen Hindernis fahren will, äh, das heißt es
sind, deshalb muss man zwischen diesen Punkten interpoliert, da kriegt man diese Trajektorie während so eine Spline
Interpolation, äh, diese abgerundeten und stetigen, äh, Verläufe der unterschiedlichen Trajektorien, äh, , Hat,
also ja Realisiert oder als Ergebnis Rauskommen Ähm der, letzte, Punkt, äh, was ich gerne noch kurz
behandeln möchte ist sind weitere Möglichkeiten zur, äh, Repräsentation oder Darstellung oder Approximation von
Trajektorien, äh, und zwar mithilfe von sogenannten Bernsteinbühlen oder Polynomen. Wer von euch weiß, was Bernstein
Polynome sind Ok, so die sehen eigentlich so, äh, ne, die sehen noch nicht so aus, aber die Definition ist, ähm, die
ausgeführte Bahn verläuft durch alle Stützpunkte der Trajektorie. Das ist, was unsere unsere Bahn Interpolation, die wir
bis jetzt versucht haben zu realisieren und realisiert haben, entweder mit der Synchron oder Asynchronen steuerung Im
gelenkwinkelraum wo Wir, gesehen haben wir kommen auf jeden Fall durch jeden Punkt, durch, aber nicht unbedingt zwischen
den Punkten auf einer Bahn und wir haben gesehen, dass wir zum Beispiel, äh, mit den, ähm Spliance oder mit Linearer
Interpolation, wenn wir so ein, äh, continus treckend machen, dass wir das auch erreichen diese Approximationen, die
wir, die wir kennenlernen werden, die erlauben uns, sowas zu machen, das heißt die Kontrollpunkte, äh, wählen zum
Beispiel, die Stützpunkte der Trajektorie beeinflussen die Bahnverlauf und werden aber approximiert. Also man geht nicht
durch, ja, aber wir haben eine sehr genaue Annäherung an der ähm, äh, Annäherung der Traktoren, die wir, äh, als ziel
haben so, ähm genau, das habe ich schon mal erwähnt, glaube ich, das ist die gleiche Idee, das kann man auch hier
benutzen, das heißt man guckt hier zu einem gewissen Zeitpunkt zum Zeitpunkt T. J zum Beispiel Minus ein y die
Parameter, äh, von der Traktor i Minus eins auf die Parameter, äh, überführen und in der Regel hat man solche solche
Verläufe hier, und wie macht man das? äh, ähm, äh, man reicht sowas, also das wäre der Lineare, P, T, P, äh, die Lineare
Ptip Interpolation. Und wenn wir das so machen wie bereits, äh, erklärt dann, äh, würden wir jetzt durch diesen Punkt
hier nicht durchgehen, sondern wir haben so einen Überschleif, eine Überschleifkugel, also ein Zwischenpunkt mit einem
Überschleif Q, wo wir natürlich innerhalb dieses Kugels kommen aber nicht durch den Punkt, ja, das heißt mit einer
gewissen Annäherung, äh, erreichen wir die Traktore oder proxemieren wir die Traktore mit einer mit einer gewissen
Annäherung, aber nicht keine exakte, ähm exacte Ausführung dieser Traktoren so ähm, und ich will, das könnte mal lesen,
also Geschwindigkeit zu überschleifen oder Positionsüberschleifen, das heißt hier, äh, beginn, wenn die Geschwindigkeit
einen Festen Minimalwert Unterschreitet äh, nachteil, ist dass, das abhängig vom geschwindigkeitsprofil Ist und bei
positionsüberschleifen Also überschleifen hier, dass diese Überschleifkugeln für die Zwischenpunkte in Position oder
geschwindigkeitsraum Erfolgen können das. Heißt dass, man durch einen Punkt nicht exakt mit der Geschwindigkeit
durchfährt, sondern in der Nähe von dieser Geschwindigkeit durchfährt. Man beginnt hier, wenn zum Beispiel der, äh,
tool, center point in die Überschleifkugel hier eintritt ja, und dann kann man hier praktisch, äh, sagen, Ok, das, ähm,
äh und außerhalb von dieser von dieser Überschleifkugel soll dann die Bahn sehr exakt oder exakt eingehalten werden, und
das ist natürlich eine gute Sache, weil das kann man dann auch gut kontrollieren, ja. Und mit diesem B? äh, Bernstein,
Polynomen, a kann man sowas ganz gut realisieren die Bernstein Polynome, äh, die sind wie, äh, so definiert, also, äh,
beziehungsweise mit mit bisher Kurven lässt das man, äh, lässt sich das sehr gut, äh, realisieren und diese bisher
Kurven sind, äh, definiert durch so eine Kombination von Bernstein Polynomen, das ist zum Beispiel, äh, der Bernstein
Polynom I vom Grad N, das ist die N Die Bombenialkombination N Äh Über i und dann t hoch i mal eins minus t
n minus i, wie man hier sieht, ja, ähm, und im Unterschied zu den kopischen Splines, die wir jetzt kennengelernt haben,
verlaufen diese Visierkurve Nicht durch alle stützpunkte Sondern, werden von denen nur beeinflusst. Ja, also das man
steuert, wie die Traktorie an einem bestimmten Punkt, ob sie in diese Überschleifkuge reinkommt, äh oder äh oder nicht,
ähm, und der Vorteil, der man hier hat, man kann eine vorgegebene Trajektorie beliebig genau approximieren ja, und zwar
in Abhängigkeit von der Anzahl der Polynomen, die man, äh, die man verwendet, äh, man sieht hier so ein Beispiel für ein
Bernstein Polynom im kubischen Fall, das heißt, äh, vom Grad drei laut Definition sind dann diese Bernstein, äh,
Polynome, gegeben durch drei über i mal t hoch i mal eins, minus t drei Minus i, das war die Definition, die wir hier
für die Bernstein Polynome, jetzt haben wir von Grad drei, ähm, wenn wir jetzt so ein eine Visierkurve Dann, beschreiben
setzen, wir eins in diese Gleichung hier, äh, Kurve mit, äh, ich weiß nicht, wie viele End also n wahr ist drei hier in
unserem Beispiel, und dann haben wir, äh, x, äh, Stützpunkt, Ti, äh, beispielsweise hier, p? Null bis P drei, Null eins,
zwei, drei. Und dann würde man hier auf so eine, ähm, eine Gleichung oder ein ein Polynom kommen und je nachdem,
natürlich, wie hoch der Grad von diesem Polynom ist, kann man eine Genauere Oder, weniger genaue Approximation von
der Trajektorie, die man die man approximieren will, erreichen hier, äh, also an den Schutzpunkten Ne hat man sich, wie
man sieht, hier von unten, ja, so dass man ganz nah dran kommt und Natürlich Jetzt, hier in dieser Ordnung oder
mit diesem Polynom in dieser Ordnung kann man jetzt keine beliebige Form realisieren mit einer gewissen Ordnung kann man
jetzt bestimmt die Komplexität von Formen Erreichen So die, sind ein bisschen aufwendig zu berechnen, auch
rechentechnisch und da gibt es hier auch Methode, der sehen Sie, sehen wir hier quadratischen Polynome beziehungsweise
kupischen Bernstein Polynome aussehen für diese unterschiedliche I also das sind die Kubischen Fi gleich Null, also drei
drei Ober Null bei dieser Phänomenalform oder drei über eins oder drei über drei, wie man hier sieht und wie sind, ähm,
also, äh, sehr rechenaufwendig und gibt es aber einen interessanten Algorithmus hier, mit dem man, äh, diese, äh, man
Annäherungen an bisher Kurven auf eine sehr effiziente art Und weise Äh, berechnen, kann das heißt, man kann eine
Näherungsdarstellung von Visier kurven Sehr effizient äh, berechnen, und die Idee ist von diesem, äh, der Castellio
Algorithmus basiert darauf, dass man eine Visierkurve Teilt in zwei kurven Und äh, in zwei aufeinander, äh folgenden,
äh, Kurven wiederrum, auch, äh, bisher Kurven, dass man das Ganze hier iterativ berechnet. Somit kann man für große N,
also für Bernstein Polynome, großer Ordnung, Effiziente, Äh, effizient, das, ganze berechnen bei n Kontrollpunkten, äh,
fängt man natürlich bei dem ersten Punkt und hat man eine eine iterative Vorschrift hier, mit der man immer die
Einzelnen stützpunkten, die die Trajektorie beschreiben berechnen kann. Ja, Ok, ich glaube ich bin fertig. Das ist so
ein Beispiel, wo man, wie man sieht, dass man hier diese Traktore beispielsweise die Punkte P Null bis P drei, äh, p
Null bis P drei durch diese zwei bis Sekunden c, eins und c, zwei, äh, beschrieben werden kann, Ok, somit bin ich
fertig.