Ich nehme an, dass einige Studenten den heutigen Tag als Brückentag
ausnutzen, vor allen Dingen vor dem Hintergrund, dass wir die
Vorlesung aufzeichnen.
Das ist auch schon mein Stichwort.
Denken Sie daran, dass wir das weltweit freischalten.
Sollten Sie also wünschen, nicht ins Bild zu kommen, bitte zur Seite
platzieren oder nach hinten.
Ansonsten haben wir in der letzten Vorlesung relativ Mechanik
betrieben.
Das heißt, wir haben gesagt, ich nehme mal an, in dem bewegten
Bezugssystem lässt sich die Bewegung des Punktes sehr einfach
beschreiben.
Wir wollen aber wissen, wie sind die kinematischen Größen, vor allen
Dingen Geschwindigkeit und Beschleunigung in einem ruhenden
Bezugssystem oder zumindest in einem zweiten Bezugssystem.
Das führt dann dazu, dass sich die Geschwindigkeit zusammensetzt aus
Führungsgeschwindigkeit plus Relativgeschwindigkeit.
Das habe ich jetzt nicht mehr explizit angegeben.
Und bei der Beschleunigung, wenn ich schreibe A absolut, deutet das
schon darauf hin, dass wir in der Mechanik natürlich die
Beschleunigung letztendlich in einem Inertialsystem benötigen, in dem
die Axiome dann angewandt werden können.
Und die Beschleunigung setzt sich dann eben zusammen aus der
Beschleunigung des Koordinatenursprungs des bewegten Bezugssystems,
das war A von Q in I, plus jetzt Winkelbeschleunigung des bewegten
Bezugssystems kreuz dem Relativvektor.
Der Relativvektor ist der Vektor vom Ursprung des bewegten
Koordinatensystems zum Punkt, plus eben Omega-Kreuz, Omega-Kreuz, R
-Relativ.
Die drei Anteile zusammen ergeben gerade die Führungsbeschleunigung,
die könnten wir jetzt nochmal auftröseln, in Führungsbeschleunigung
aufgrund von Translation und Rotation.
Und dann gibt es eben noch einen Anteil in den Beschleunigungsthermen,
der abhängt, sowohl von der Bewegung des Relativsystems im
Rundbezugssystem, wie auch des Punktes im Relativsystem, das war
nämlich die Coriolisbeschleunigung.
Und ganz zum Schluss noch die Relativbeschleunigung, das ist die
Beschleunigung, die ein Beobachter misst, der fest mit dem bewegten
Bezugssystem verbunden ist.
Wir hatten dann den ersten Sonderfall gemacht, nämlich das bewegte
Bezugssystem macht eine reine Translationsbewegung, Omega und Alpha
sind da null.
Und ich hatte gesagt, ich habe es leider nicht zum Laufen gebracht,
ein einfaches Anwendungsbeispiel wäre hier, man sieht, da haben wir
auch so eine Parallelführung.
Die Kabine, in der die Menschen da drin sitzen, die macht zwar eine
Bewegung, aber die ändert die Orientierung im bewegten Bezugssystem
nicht, deshalb sind Omega und Alpha null, auch wenn natürlich von dem
roten Bus oder auch von den Passagieren jeder Punkt letztendlich eine
Bewegung auf einer Kreisbahn macht.
Das war dann der fliegende Teppich, den ich erwähnt hatte.
So, jetzt kommen wir zum nächsten Fall, nämlich wir nehmen an, wir
haben eine ebene Bewegung.
Bei einer
ebenen Bewegung, da bewegen sich die Punkte alle in Ebenen, wobei die
einzelnen Ebenen der einzelnen Punkte parallel zueinander sind.
Das bedeutet auch, dass die Winkelgeschwindigkeit des Relativsystems
dann natürlich so gewählt wird, dass die senkrecht steht zu den
Bewegungsebenen.
Das heißt, wenn wir jetzt zunächst mal unser rundes Bezugssystem
haben, wir schauen mal von oben drauf, also X, Y und entsprechend der
rechten Handregel kommt dann die Z-Achse aus der Zeichenebene heraus.
Die Punkte bewegen sich in der XY-Ebene.
Wir führen dann eben auch ein bewegtes Bezugssystem ein mit Xi- und
Eta -Achse.
Zeta-Achse hat dann dieselbe Richtung wie die Z-Achse.
Das war der Koordinatenursprung O des runden Bezugssystems.
Hier hatten wir den Koordinatenursprung O'.
Vorher hatten wir den zum Teil mit Q bezeichnet.
Also O' entspricht dem Punkt Q.
Koordinatenursprung des bewegten Bezugssystems, dann haben wir den
Punkt P und wir wissen, den Ortsvektor zum Punkt P, den können wir
natürlich darstellen als den Vektor zum Punkt O'.
Das war R nach O' plus eben den Relativvektor
Rrelativ.
Wir sehen, das bewegte Bezugssystem, das hat jetzt eine
Winkelgeschwindigkeit.
Ich deute das mal so an.
Wir hatten ja gesagt, wenn wir nur zwei Bezugssysteme haben, dann gibt
es auch nur eine Winkelgeschwindigkeit zwischen den beiden.
Deshalb sparen wir uns da die Angabe der Namen der Bezugssysteme.
Also wir haben einfach Omega und das Omega dreht also um die Z-Achse.
Das heißt, Omega selbst als Vektor ist ein Vektor in Richtung der Z-
beziehungsweise der Zeta-Achse.
Das heißt, Omega ist Omega E Zeta und wenn wir annehmen, alle Punkte
liegen in der XY-Ebene, dann liegt es natürlich nahe, dass wir die
Lage des Punktes P im Relativsystem beschreiben über Polarkoordinaten.
Das heißt, wir können dann einführen zwei Einheitsvektoren, nämlich ER
und E Phi.
ER war ja der Einheitsvektor vom Ursprung in Richtung P und dann
senkrecht dazu den Einheitsvektor E Phi.
Zusammen mit E Zeta bilden die drei Einheitsvektoren dann wieder so
ein Rechtssystem, Basisvektoren.
Und wir sehen,
wenn wir uns das mal notieren, R Relativ ist dann einfach R mal ER.
In den Ausdrücken für die Geschwindigkeit, das können Sie nachschauen,
da tritt dann auf ein Term.
Omega Kreuz R Relativ.
Omega Kreuz R Relativ ist aber gerade Omega E Zeta.
Kreuz R ER.
Und wir sehen, E Zeta Kreuz ER gibt gerade einen Vektor in Richtung
von E Phi.
Gibt also Omega R E Phi.
Das war die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Rotation.
Die Führungsgeschwindigkeit aufgrund der Bewegung des Punktes O
Strich, die gibt es natürlich nach wie vor.
Dann bei den Beschleunigungen hat man intern, ich habe den Alpha Kreuz
R Relativ genannt, können wir auch Omega Punkt Kreuz R Relativ nennen.
Winkelbeschleunigung Kreuz R Relativ.
Nun, wenn die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist, der sinkrecht zur
Bewegungsebene steht und in Richtung E Zeta gerichtet ist, dann ändert
sich die Richtung nicht.
Das einzigste, was sich dann ändern kann, ist das Omega.
Das Omega Punkt ist also Omega Punkt E Zeta.
Kreuz R Relativ.
R Relativ war aber R mal ER.
Und jetzt sehen wir, jetzt haben wir Omega Punkt mal R mal ein
Kreuzprodukt von E Zeta mit ER, das ist wieder E Phi.
Ist also Omega Punkt mal R E Phi.
Das ist jetzt eine Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation in
Richtung von E Phi, das ist so in transversaler Richtung.
Dann haben wir den nächsten Term, Omega Kreuz Omega Kreuz R Relativ.
Da sehen wir, Omega ist Omega E Zeta.
Das Kreuzprodukt von Omega mit R Relativ, das haben wir hier oben
schon, das ist Omega R mal E Phi.
Und jetzt sehen wir, das gibt Omega Quadrat mal R mal
E Zeta Kreuz E Phi.
E Zeta Kreuz E Phi ergibt aber gerade minus ER.
Ist also minus Omega Quadrat R mal ER, das ist dann die
Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation in radialer Richtung.
Das heißt, in so einem Fall können wir die einzelnen Anteile relativ
leicht in den Plan einzeichnen und durch Addition dann die
Gesamtbeschleunigung bestimmen.
Wie gesagt, die Führungsbeschleunigung aufgrund von Translation, die
tritt natürlich nach wie vor auf.
Die Coriolisbeschleunigung, die tritt natürlich nach wie vor auf.
Und das Omega Kreuz V Relativ, auch da wissen wir, das V Relativ ist
ein Vektor, der liegt in der Bewegungsebene.
Das Omega steht senkrecht dazu, also ergibt das letztendlich einen
Beschleunigungsanteil, der in der Bewegungsebene drin liegt und
senkrecht zur Relativgeschwindigkeit steht.
Und ebenfalls tritt natürlich die Relativbeschleunigung noch auf.
Wenn man jetzt mal in Gedanken hergeht und sagt, ja gut, das haben wir
jetzt gesagt, eben eine Bewegung, aber was ist, wenn der Punkt P im
Relativsystem noch in Richtung Z-Achse verschoben ist?
Dann würde das bedeuten an der Stelle, dass wir noch eine Komponente
in Zeta-Richtung haben.
Ich klammer das mal ein.
Dann sehen wir nämlich, Omega Kreuz R Relativ ergibt Omega E Zeta
Kreuz R E R plus Z E Zeta.
Und wir sehen, den ersten Anteil haben wir, den zweiten Anteil haben
wir E Zeta Kreuz E Zeta, der verschwindet.
Also das spielt auch gar keine Rolle.
Und genauso beim Omega Punkt Kreuz R Relativ, auch da haben wir dann,
wenn wir noch beim R Relativ eine Z-Komponente oder Zeta-Komponente
haben, hier beim Kreuzprodukt, da verschwindet es einfach.
Wichtig sind einfach letztendlich der Abstand des Punktes P von einer
Achse durch O Strich in Richtung der Zeta-Achse.
Also Abstand praktisch zur Drehachse.
Gibt es soweit Fragen?
Dann machen wir jetzt wieder unser Beispiel.
Das ist so eine ebene Bewegung.
Das hatten wir fast schon das letzte Mal, dort hatten wir es
allerdings als Beispiel für ein Relativsystem, das sich nur
translatorisch bewegt, nämlich über so eine Parallelführung.
So angedeutet, den Punkt, der sich auf der Stange bewegt, den sehen
Sie jetzt ein bisschen besser.
Jetzt machen wir was ähnliches.
Ich hoffe, dass es nur einigermaßen hinhaut.
Wir haben jetzt praktisch die einzelnen Seillängen hier nicht mehr
parallel, sondern die bilden so ein gleichzeitiges Dreieck.
Und wenn jetzt das Ganze sich bewegt, dann sieht man, unser Stab, auf
dem wir die Bewegung des Punktes sehr einfach beschreiben können, der
rotiert jetzt noch.
Also es gibt ein Omega und ein Alpha.
Also
Beispielpunkt auf Schaukel.
Da haben wir praktisch hier oben irgendwo das festgemacht.
Da haben wir das Ganze derart eingeführt.
Wir haben die Y-Achse, wir haben die X-Achse.
Wir haben den Punkt P mit dem Ortsvektor R.
Hier oben haben wir den Punkt O.
Und wie gesagt, der Punkt P, der kann sich entlang des Stabes bewegen,
deshalb wird es jetzt gut sein, ein Koordinatensystem einzuführen, bei
dem eine Richtung in Richtung der Stabachse geht.
Ich zeige das nochmal hier an.
Wir haben also hier den Punkt O'.
Wir haben den Punkt P.
Nun zur Beschreibung des Stabes oder zur Bewegung des Stabes wird es
jetzt natürlich nützlich sein, wenn wir hier irgendwo eine Achse
einzeichnen, die dann durch den Mittelpunkt des Stabes geht.
Und dann eben eine Koordinate Xi, die uns die Lage auf der Stange
beschreibt.
Xi ist 0, wenn praktisch der Punkt sich in der Mitte befindet.
Und jetzt haben wir aber mehrere Möglichkeiten.
Nämlich jetzt können wir das zum einen so machen, dass wir das als Eta
-Achse wählen und hier das als Xi-Achse.
Man sieht, man hat hier den Verdrehwinkel Phi, man hat da den
Verdrehwinkel Phi.
Und wenn wir die Xi- und die Eta-Achse derartig einführen, dann wissen
wir, das war O', dann ist O' identisch mit dem Koordinatenursprung O
des Rundenbezugssystems.
Wir könnten aber das Ganze natürlich auch so einführen, ich versuche
es nochmal anzudeuten.
Wir haben den Punkt P an der Stelle, wir haben jetzt hier die
Symmetrieachse und nehmen, also hier oben war O, und nehmen als
Koordinatenachsen zunächst mal wieder die Eta-Achse, aber die Xi-Achse
entlang des Stabes.
Das bedeutet, dass dann der Ursprung des bewegten Koordinatensystems
auf der Stange liegt.
Nun egal, mit welchem Relativsystem wir denn die Bewegung des Punktes
P beschreiben, am Ende muss sich dasselbe ergeben als Ergebnis für die
Beschleunigung.
Wenn wir allerdings die einzelnen Anteile anschauen, die da auftreten,
dann haben wir zum anderen eine andere Beschleunigung des Punktes O'.
Also in dem Fall haben wir A von O' gleich 0, weil ja der Punkt O'
sich im runden Bezugssystem nicht bewegt.
An der Stelle haben wir A vom Punkt O'.
Und da sehen wir, der Punkt O' bewegt sich auf einer Kreisbahn um den
Punkt O'.
Dann haben wir zum einen eine Beschleunigung in tangentialer Richtung
der Bewegung des Punktes O'.
Und ich setze jetzt einfach mal hier den Abstand H ein.
Das ist H mal Phi-2-Punkt in Richtung von Exi.
Und weil er sich auf einer Kreisbahn bewegt, haben wir ebenfalls eine
Zentripetalbeschleunigung in Richtung des Punktes O', das ist die
negative Eta-Richtung.
Minus H Phi-Punkt-Quadrat E Eta.
Wie gesagt, das war der erste Beschleunigungsterm.
Die Beschleunigung des Koordinatenursprungs des bewegten Bezugssystems
im runden Bezugssystem.
Als nächstes haben wir Alpha-Kreuz R-Relativ.
Und da müssen wir zunächst mal den Relativvektor einzeichnen.
Das ist im ersten Fall der Vektor.
Im zweiten Fall ebenfalls der Vektor von O' nach P,
R -Relativ.
Wenn wir jetzt die einzelnen Anteile Omega-Punkt-Kreuz-R-Relativ und
Omega -Kreuz-Omega-Kreuz-R-Relativ einzeichnen, dann sehen wir, das
machen wir am besten, wenn wir die entsprechenden Einheitsvektoren in
ER und E4-Richtung noch angeben.
In dem Fall haben wir also den Einheitsvektor ER in Richtung von E Xi,
den Einheitsvektor E Phi, den haben wir senkrecht darauf.
Jetzt müssen wir nur aufpassen.
E Xi, Eta,
Ceta, E
R, E Zeta, dann ist E Phi so gerichtet.
In dem Falle müssen wir aufpassen, da haben wir ER in Richtung von R
-Relativ.
Das heißt ER und ETA schließen den gleichen Winkel Alpha ein, der hier
auftritt.
Und ebenfalls senkrecht dazu.
Hier mit dem Winkel Alpha dann das E-Phi.
Das
heißt, zunächst einmal haben wir Alpha-Kreuz-R-Relativ.
Das gibt Phi-Zweipunkt mal den Betrag des Ortsvektors in Richtung von
E -Phi.
Das war also R mal Omega-Punkt ist Phi-Zweipunkt in Richtung von E
-Phi.
Ein bisschen verwirrend an der Stelle ist natürlich, dass gerade der
Ortsvektor scheinbar dem Relativvektor entspricht.
Aber wir müssen aufpassen, wir müssen das Ganze formal durchziehen,
weil eben wir das auch mit dem Bezugssystem machen.
Das nächste ist das Omega-Kreuz-Omega-Kreuz-R-Relativ.
Das ist ein Vektor in negative ER-Richtung.
Das ist also in dem Falle Minus-Phi-Punkt-Quadrat mal R-ER.
Bilden wir diese beiden Anteile mal für die rechte Seite.
Dann haben wir R mal Omega-Punkt ist Länge des Relativvektors, das ist
aber gerade Xi.
Omega-Punkt ist Phi-Zweipunkt in Richtung von E-Phi.
Das ist also ein Beschleunigungsanteil Xi-Phi-Zweipunkt-E-Phi.
Dann haben wir Omega-Kreuz-Omega-Kreuz-R-Relativ.
Das ist Phi-Punkt-Quadrat mal Betrag von R, das ist Xi, in negative ER
-Richtung.
Das ist also ein Beschleunigungsanteil hier.
Xi-Phi-Punkt-Quadrat-E-Xi.
Ich schreibe es mal so.
Also zeigt in negative Xi-Richtung, was ich durch das Minuszeichen
hier, wenn ich es vektoriell schreibe, praktisch jetzt eingeführt
habe.
Das waren die Führungsbeschleunigungsanteile, man sieht.
Hier haben wir eine ganz andere Aufteilung als für unser rechts
eingeführtes Koordinatensystem, obwohl wir eigentlich als Bezugssystem
immer den Stab eingeführt haben.
Also da kommt es auch wirklich noch darauf an, wie führe ich das
Koordinatensystem ein, wo liegt der Ursprung.
Als nächstes haben wir dann Coriolis-Anteil.
Nun da sehen wir, Omega ist ein Vektor, der aus der Zeichenebene
herauskommt.
Dann haben wir V-Relativ.
Was ist V-Relativ?
V-Relativ ist in beiden Fällen gerade Xi-Punkt-E-Xi.
Also V-Relativ ist Xi-Punkt-E-Xi.
Omega, haben wir gesagt, ist V-Punkt-E-Zeta.
Da müssen wir an der Stelle ein bisschen aufpassen, weil E-Zeta und E
-Zet.
Das E-Zeta, wenn ich das ER und das E-Phi so einsetze, geht aus der
Zarfelebene raus.
ER-Phi-Zeta.
Die Z-Achse, die geht X-Y, die geht praktisch in die Tafelebene rein.
Aber wir verstehen unter E-Zeta an der Stelle einen Einheitsvektor,
der aus der Tafelebene herauskommt.
Dann haben wir also Omega-Kreuz-V-Relativ.
Das ist in Richtung der Xi-Achse oder das Xi-Einheitsvektor gerichtet.
Ergibt die Coriolis-Beschleunigung, wenn wir auch den Faktor 2
dazunehmen.
Da sehen wir, das geht in negative Eta-Richtung.
Also haben wir hier die Coriolis-Beschleunigung.
Gleich minus 2-Phi-Punkt-Xi-Punkt-E-Eta.
Das ist natürlich dieselbe auf der rechten Seite, weil das Omega- und
das V-Relativ sich jetzt nicht geändert haben.
Also da haben wir auch A-Coriolis gleich minus Phi-Punkt-Xi-Punkt-E
-Eta, also in negative E-Eta-Richtung.
Und was jetzt noch fehlt, ist die Relativ-Beschleunigung.
Man sieht, im Bezugssystem ist die Beschleunigung des Punktes P. Egal,
ob ich jetzt den Ursprung bei O-Strich im Lager habe oder bei O-Strich
auf der Stange.
Das ist immer in Xi-Richtung, nämlich Xi-2-Punkt in Richtung von E-Xi.
Also das war A-Relativ gleich Xi-2-Punkt E-Xi.
Genauso wie hier.
Jetzt hätte ich das noch rot angeben sollen, dann hätten wir nämlich
alle Beschleunigungsanteile in rot.
Müssten die jetzt vektoriell überlagern und wenn wir alles richtig
gemacht haben, dann muss in beiden Fällen sich dasselbe Ergebnis
heraus ergeben.
Das heißt, wenn wir das einfach jetzt so mal machen, dann wird es
natürlich schwierig, weil zunächst mal links, da habe ich die Länge R
des Relativvektors eingesetzt.
Rechts habe ich dafür eine Größe H eingesetzt, den Abstand von O
-Strich nach O.
Dann haben wir verschiedene Einheitsvektoren.
Man sieht, es wäre vielleicht gut, alles in die Einheitsvektoren E-Xi
und E-Eta umzurechnen.
Und dann müssen wir an der Stelle links das ER darstellen.
Man sieht, das hat eine Komponente in Xi-Richtung, nämlich Sinus-Alpha
in Xi-Richtung und Cosinus-Alpha in Eta-Richtung.
E-Phi hat eine Komponente in Richtung der Xi-Achse, also Cosinus-Alpha
in Xi-Richtung, dann eine Komponente in negative Eta-Richtung, also
Minus -Sinus-Alpha in Eta-Richtung.
Rechts geht es ein bisschen einfacher, weil ER gerade E-Xi entspricht.
ER gleich E-Xi und E-Phi gleich Minus-E-Eta.
Allerdings haben wir hier noch R als Betrag des Relativvektors und wir
haben den Winkel Alpha.
Moment, das mache ich jetzt hier
auf die linke Tafelhälfte.
Dann sehen wir aber, der Betrag des Relativvektors, das war R, den
können wir leicht bestimmen, nämlich wir haben hier ein rechtwinkliges
Dreieck.
Das heißt, H² plus Xi² muss gerade R² ergeben, also R gleich Wurzel
aus H² plus Xi².
Und dann sehen wir, wir haben noch Sinus-Alpha bzw.
Cosinus-Alpha, da wissen wir aber, Sinus dieses Winkels ist gerade Xi
dividiert durch R.
Cosinus-Alpha ist gerade H dividiert durch R.
Und wenn wir dann alles richtig einsetzen, das mache ich jetzt hier
nicht an der Tafel, das können Sie mal zuhause machen, morgen oder
übermorgen, dann müsste eigentlich das Ergebnis übereinstimmen.
Um Ihnen mal zu zeigen, je nachdem was für ein Bezugssystem und auch
was für ein Koordinatensystem auf dem Bezugssystem ich einführe,
ergeben sich unterschiedliche Ausdrücke für die einzelnen Therme, die
da auftreten.
Aber das Endergebnis, nämlich A-Absolut, das muss natürlich in beiden
Fällen dasselbe sein.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann machen wir jetzt nochmals ein Beispiel, das ist
vielleicht für die Anwendung nicht ganz so wichtig,
aber vielleicht für die Maschinenbauer, nämlich wir betrachten einfach
mal ein Planetengetriebe, wer weiß denn was ein Planetengetriebe ist?
Fahren wir anders herum, wer weiß nicht was ein Planetengetriebe ist?
Also hätten eigentlich alle beim ersten Mal die Hand hochheben müssen.
Bei einem Planetengetriebe, da haben wir die verschiedensten Zahnräder
bzw.
Hohlräder, die mit Sänen versehen sind.
Wir haben ein Sonnenrad, wir haben ein Planeten, wir haben das Hohlrad
und wir haben natürlich noch einen Steg, der praktisch die
Planetenachsen miteinander verbindet.
Das sieht man jetzt an der Stelle vielleicht nicht ganz so gut, man
sieht auch so ein Getriebe, das kann relativ kompakt werden, hat viele
Zahnräder.
Hier sieht man es vielleicht mal ein bisschen besser.
Also speziell, wenn man hier vorne schaut, dann sieht man in der Mitte
gibt es so ein kleines Zahnrad, auf dem liegt ein anderes Zahnrad auf
und ganz außenrum hat es noch so ein Hohlrad mit einer
Innenverzahnung.
An der Stelle sehen wir das Ganze mal ein bisschen schematisch
dargestellt.
Man sieht also, man hat irgendwo so eine Welle in der Mitte, das
Zahnrad auf dieser Welle, das ist das Sonnenrad.
Dann hat man meistens, das kommt eben drauf an, mehrere Planetenräder,
die sind jetzt eigentlich nicht unbedingt notwendig, wenn man
praktisch alle Achsen ideal lagern würde.
Dann würde es natürlich reichen, wenn man ein Planetenrad hätte, aber
man will ja irgendwo auch mit der Bewegung des Planetenrades was
erreichen, deshalb nimmt man da meistens drei.
Durch die Planetenräder gehen auch Achsen, die da gelagert sein müssen
und wenn man die Achsen dann wieder verbindet, das ist wie so ein
Steg, dann dreht sich eben der Steg, je nachdem wie schnell die Achsen
der Planetenräder da umwandern.
Ich glaube ein bisschen besser sieht man es am nächsten Prinzipbild.
Da haben wir jetzt nur noch zwei Planetenräder, das Sonnenrad in der
Mitte, außenrum das Hohlrad und man sieht, wenn man jetzt die
Planetenräder da verbindet und dem praktisch noch eine Achse gibt,
dann haben wir relativ viele Winkelgeschwindigkeiten, die da auftreten
können.
Wir haben zum einen die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades, das
wäre vielleicht die Antriebsachse oder je nachdem.
Dann haben wir die Planetenräder, die drehen sich und gleichzeitig
machen die eine Translationsbewegung.
Wenn wir jetzt das Hohlrad anschauen, dann spricht natürlich nichts
dagegen, dass auch das Hohlrad sich bewegt mit einer bestimmten
Winkelgeschwindigkeit.
Und dann haben wir noch den gelben Steg mit der Achse A und man sieht,
wenn die Planetenräder da außenrum wandern, dann dreht sich natürlich
dieser gelbe Steg, also auch der hat eine Winkelgeschwindigkeit.
Das heißt, wir haben letztendlich vier Winkelgeschwindigkeiten und wir
können zwei vorgeben und die anderen beiden werden sich dann als
Funktion dieser beiden Vorgegebenen ergeben.
Was man zum Beispiel machen könnte ist, man könnte das Hohlrad
festlagern, dann ist die Winkelgeschwindigkeit, die jetzt mit Omega R
bezeichnet wird, die ist dann Null, dann habe ich die vorgegeben.
Und wenn ich dann die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades vorgebe,
wäre gut, dann ergeben sich die Winkelgeschwindigkeiten der
Planetenräder und die Winkelgeschwindigkeit des gelben Steges ganz
automatisch.
Man kann sich vielleicht auch vorstellen, wenn praktisch das Sonnenrad
einen relativ großen Durchmesser hat,
dann sind bei einer vorgegebenen Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades
die Winkelgeschwindigkeiten der Planetenräder sehr groß.
Wenn man den Durchmesser des Sonnenrades sehr klein wählt, dann muss
man das sehr oft drehen, bis praktisch außen sich was tut, dann sind
also die Winkelgeschwindigkeiten der Planetenräder ziemlich klein.
So könnte man dann eine relativ große Übersetzung erhalten.
Bloß um sich das mal irgendwo vorstellen zu können.
Ich glaube, das Bild kann ich jetzt wieder wegmachen.
Ich deute das Ganze nochmals hier an.
Wir haben also ein Sonnenrad mit einem Radius RS.
Wir haben ein Planetenrad,
beide berühren sich an einem Punkt mit einem Radius RP.
Und wir haben so ein Hohlrad,
das dann natürlich einen Radius haben muss, der nicht beliebig ist,
sondern der muss gerade entsprechen Radius des Sonnenrades plus
Durchmesser des Planetenrades, also RS plus 2 mal RP.
So, wir wissen, es gibt jetzt Winkelgeschwindigkeiten, nämlich zum
einen Omega S für das Sonnenrad, dann nehmen wir mal an, das Hohlrad
steht fest, hat also die Winkelgeschwindigkeit Null.
Wenn das die Winkelgeschwindigkeit Null hat und das Planetenrad dann
außen abrollt, rein anschauungsmäßig, muss sich dann das Planetenrad
entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wenn sich das Sonnenrad im
Uhrzeigersinn dreht, also Omega P. Nehmen wir mal so an.
Und dann haben wir noch den Steg, den zeichne ich jetzt extra mal so
gelb ein, das war praktisch der Steg.
Auf dem Steg war das Planetenrad gelagert.
Der Steg geht meist auf die andere Seite rüber.
Und jetzt fragen wir uns einfach mal, wie groß sind eigentlich die
Geschwindigkeiten der Punkte A, B und C.
A liegt auf einer Linie, die durch den Mittelpunkt des Planetenrades
geht und senkrecht zur gelben Linie steht, das war also Punkt A.
Dann haben wir Punkt B, den Kontaktpunkt zwischen Planeten- und
Sonnenrad, sowie den Punkt C.
Das war alles als Punkt des Planetenrades.
Und wenn wir die Geschwindigkeiten und vielleicht auch die
Beschleunigungen dieser Punkte wissen wollen, dann liegt es natürlich
jetzt nahe, dass wir ein bewegtes Bezugssystem einführen.
Also das Unbewegte, das wäre dann vielleicht ein Koordinatensystem,
was durch den Mittelpunkt des Sonnenrades geht, weil sich das nicht
bewegt oder der Punkt.
Dann haben wir das gelb eingezeichnete System mit einer Xi-Achse
senkrecht zur Eta-Achse und der Punkt O' liegt dann gerade im
Mittelpunkt des Planetenrades.
Nun die Winkelgeschwindigkeit des
Xi -Eta-Zeta-Systems, da haben wir Omega-P positiv eingeführt, wenn es
gegen den Uhrzeigersinn dreht.
Moment, das war das Planetenrad.
Das Xi-Eta-Zeta-System, das dreht sich je nachdem, wie die Mittelachse
des Planetenrades sich bewegt.
Das hat also eine Winkelgeschwindigkeit, jetzt müssen wir aufpassen,
wir führen mal an der Stelle den Winkel Phi ein, zwischen der
Vertikalen und
der Eta-Achse.
Dann sehen wir, die Winkelgeschwindigkeit ist Phi Punkt, die zeigt
aber in die Tafelebene rein, die Zeta-Achse kommt aus der Tafelebene
heraus, das heißt wir haben da gerade Minus Phi Punkt mal E Zeta.
Wie groß ist dann die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades
bezüglich des Xi-Eta-Systems?
Also relative Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades bezüglich Steg,
das war das Xi-Eta-Zeta-System.
Und da sehen wir, Omega vom Planetenrad bezüglich dem Steg ist gerade,
nun zum einen haben wir die absolute Winkelgeschwindigkeit des
Planetenrades ist Omega P mal E Zeta.
Allerdings dreht sich noch das gelbe Bezugssystem mit Phi Punkt
dagegen, das heißt insgesamt müssen wir diese beiden Anteile
aufsummieren, das gibt also Omega P plus Phi Punkt in Richtung von E
Zeta.
Wenn wir jetzt die Geschwindigkeit von einem der Punkte bestimmen
wollen, dann wissen wir, V von Punkt A setzt sich zusammen aus V von O
Strich, das war die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Translation,
plus Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Rotation, das war Omega
Kreuz R Relativ, plus eben die Relativgeschwindigkeit.
Und wenn wir das mal auswerten für den Punkt A,
dann sehen wir die Geschwindigkeit des Punktes O Strich, die ist
natürlich dieselbe, egal ob wir das für A, B oder C machen.
Dann wissen wir, V von O Strich, nun O Strich bewegt sich auf einer
Kreisbahn um den Ursprung O des Rundenbezugssystems.
Der Radius der Kreisbahn ist gerade Radius des Sonnenrades plus Radius
des Planetenrades, ist also R S plus R P.
Die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Punkt praktisch auf dem
Kreis bewegt, ist V Punkt,
und zwar in Richtung von E Xi,
also die Führungsgeschwindigkeit aufgrund von Translation des
Koordinatenursprungs, wie gesagt, dieselbe für A, B und C.
Allerdings haben wir jetzt Omega Kreuz R Relativ, das war der
Relativvektor für den Punkt A.
Omega Kreuz R Relativ ist in dem Fall für den Punkt A die
Winkelgeschwindigkeit des Bewegtbezugssystems, das ist Minus V Punkt
mal E Theta.
Die Winkelgeschwindigkeit des gelben Bezugssystems.
Kreuz und R Relativ ist einfach Radius des Planetenrades in Richtung
von E Xi, also R P, E Xi, da sehen wir E Theta Kreuz E Xi, ergibt E
Theta, mit dem Minuszeichen hier vorne ergibt es Minus V Punkt, R P, E
Theta, dann haben wir noch V Relativ,
nun der Punkt A, der bewegt sich im gelben Bezugssystem auf einer
Kreisbahn, die Winkelgeschwindigkeit dieser Kreisbahn, da ist aber
gerade wichtig, die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades bezüglich
dem Steg, das ist also Omega P plus V Punkt,
E Theta,
Kreuz, den Vektor, das ist R P, E Xi, man sieht, das ergibt Omega P
plus V Punkt,
mal R P,
E Theta, Kreuz, E Xi, ergibt E Theta, das heißt jetzt haben wir alle
Anteile zusammen, V A ist dementsprechend R S plus R P mal V Punkt, E
Xi, minus V Punkt, R P, E Theta, plus Omega P plus V Punkt, R P, E
Theta, der Anteil V Punkt, R P, E Theta, kürzt sich mit dem Anteil
weg, können wir also rausstreichen, den und den, dann bleibt übrig die
Geschwindigkeit des Punktes A, ist gerade R S plus R P, V Punkt, E Xi,
plus Omega P, R P,
E Theta.
Machen wir das noch für die Punkte B und C,
dann haben wir Punkt B,
Omega Kreuz, R Relativ,
und R Relativ für den Punkt B ist gerade der Vektor von O Strich zum
Punkt B, dann haben wir also Omega Kreuz, R Relativ,
Omega ist die Winkelgeschwindigkeit des gelben Bezugssystems, das war
minus V Punkt, E Theta, R Relativ geht in negative Eta-Richtung, also
Kreuz, minus R P, E Eta, E Theta, Kreuz, E Eta, ergibt minus E Xi, die
beiden Minuszeichen selbst heben sich weg, gibt also minus V Punkt, R
P, E Xi,
V Relativ,
dann haben wir wieder eine Bewegung auf einer Kreisbahn, ergibt in dem
Falle dann eben Omega P plus V Punkt, das ist die
Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Punkt bezüglich dem gelben
Koordinatensystem bewegt oder verdreht auf der Kreisbahn, können wir
gleich so angeben, mal R P,
aufgrund der Drehung in der Richtung sieht man aus der Anschauung,
dass die Relativgeschwindigkeit in Richtung der Xi-Achse ist, also
steht hier E Xi, sodass sich insgesamt ergibt V B gleich V von O
Strich, das war R S plus R P mal V Punkt, E Xi, minus V Punkt, R P, E
Xi, plus Omega P plus V Punkt mal R P, E Xi, also insgesamt ein
Vektor, der nur in Xi-Richtung gerichtet ist, das V Punkt, R P mit
Minuszeichen kürzt sich mit dem weg, ergibt dann also letztendlich R S
plus R P mal V Punkt plus Omega P mal R P in Xi-Richtung.
Und zum Schluss noch für den Punkt C,
was haben wir da,
da haben wir wieder dieselbe Geschwindigkeit von O Strich, brauchen
wir nicht angeben, Omega Kreuz R Relativ ist
in dem Falle Omega des gelben Bezugssystems oder Koordinatensystems
und R Relativ zum Punkt C ist ein Vektor, der von O Strich nach C
gerichtet ist, das war also V Relativ für den Fall C,
Omega war Minus V Punkt E Zeta, R Relativ ist R P in Richtung von E
Eta, da sehen wir E Zeta Kreuz E Eta ist Minus E Xi, ist also mit dem
Minuszeichen hier vorne plus V Punkt mal R P E
Xi, dann noch V Relativ, auch da bewegt sich der Punkt C um den Punkt
O Strich auf einer Kreisbahn, die Winkeländerung auf der Kreisbahn ist
gerade wieder V Punkt plus Omega P, der Radius ist R P, allerdings die
Richtung ist dann in negative Xi-Richtung, ist also in dem Falle Minus
Omega P plus V Punkt mal R P in Xi-Richtung.
Insgesamt ergibt das jetzt für die Geschwindigkeit des Punktes C R S
plus R P V Punkt E Xi, das war wieder die Geschwindigkeit des Punktes
O Strich, plus V Punkt R P E Xi,
Minus Omega P plus V Punkt R P E Xi, auch hier gehen alle
Geschwindigkeitsanteile in Xi-Richtung, das V Punkt R P mit dem
Minuszeichen hebt sich mit dem hier weg und es bleibt übrig als
Geschwindigkeit des Punktes C R S plus R P mal V Punkt, mit Minus
Omega P mal R P in
Richtung von E Xi.
Jetzt sieht man, jetzt haben wir noch drei Winkelgeschwindigkeiten
drin, nämlich zum einen V Punkt, die Winkelgeschwindigkeit des Steges,
Omega P, die Winkelgeschwindigkeit von so einem Planetenrad und Omega
S haben wir jetzt noch gar nicht drin, aber wir wissen bei so einem
Planetenrad, aufgrund der Verzahnung muss die Geschwindigkeit des
Planetenrades am Punkt B dieselbe sein wie die Geschwindigkeit des
Sonnenrades am Punkt B.
Am Punkt B hat das Sonnenrad eine Geschwindigkeit in Richtung der Xi
-Achse, der Punkt bewegt sich auf einer Kreisbahn, da haben wir gerade
Omega S mal R S in Xi-Richtung,
also V B gleich Omega S R S E Xi.
Genauso haben wir natürlich am Punkt C eine Kontaktbedingung, nämlich
wenn wir eine Verzahnung haben und das Hohlrad sich nicht dreht, dann
muss am Punkt C die Geschwindigkeit 0 sein.
Und jetzt sehen wir,
hieraus resultiert die Bedingung R S plus R P mal V Punkt plus R P R P
gleich Omega S R S.
Rechts resultiert eine Bedingung R S plus R P mal V Punkt minus Omega
P R P gleich 0.
Die Gleichungen 1 und 2 stellen jetzt bei gegebener
Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades ein System von linearen
Gleichungen dar mit den unbekannten Omega P und V Punkt.
Also bei gegebenem Omega S ergeben sich dann V Punkt beziehungsweise
Omega P. Jetzt könnten wir also einsetzen, Omega P mal R P ist ja
gerade R S plus R P mal V Punkt.
Dann sehen wir, wenn wir das hier einsetzen, dann haben wir 2 mal R S
plus R P mal V Punkt gleich Omega S R S.
Also V Punkt ist dann gerade Omega R S
dividiert durch 2 mal R S plus R P. Ich muss nochmal nachschauen, ob
ich auch keinen Fehler gemacht habe.
Das sieht noch gut aus.
Also man sieht, ist R S dividiert durch 2 mal R S plus R P mal Omega
S.
Also V Punkt ist direkt proportional dem Omega S, aber der
Proportionalitätsfaktor ist natürlich gegeben durch die Geometrien.
Und mit gegebenem V Punkt können wir dann ausrechnen, Omega P gleich R
S plus R P mal V Punkt.
Also R S plus R P mal V Punkt dividiert durch R P. Einfach das V Punkt
in die zweite Gleichung eingesetzt.
Setzen wir das V Punkt ein, dann ergibt sich R S plus R P dividiert
durch R P mal R S dividiert durch 2 mal R S plus R P mal Omega S.
Also das R S plus R P, das kürzt sich raus, das heißt gerade R S
dividiert durch 2 mal R P mal Omega S.
Wenn wir jetzt die Größen V Punkt und Omega P haben, dann können wir
natürlich auch an der Stelle die Geschwindigkeit des Punktes A in
Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades bestimmen.
Und genauso für den Punkt B beziehungsweise den Punkt C.
Gibt es soweit Fragen?
Machen wir sozusagen als Kür jetzt noch die Beschleunigung des Punktes
A.
Und zwar, wir nehmen mal an, dass die Winkelgeschwindigkeit des
Sonnenrades sich nicht ändert.
Also Omega S ist konstant.
Dann sehen wir aus unseren Formeln, dann sind natürlich auch die
Winkelgeschwindigkeiten V Punkt und Omega P konstant.
Wenn wir unsere allgemeine Formel anschauen, dann wissen wir, die
Beschleunigung des Punktes A setzt sich zusammen aus der
Beschleunigung des Punktes O Strich plus einer Führungsbeschleunigung
aufgrund der Rotation in transversaler Richtung.
Das war das Alpha-Kreuz-R-Relativ.
Plus A aufgrund des bewegten Bezugssystems in Folge Rotation in
radialer Richtung.
Also in Richtung von E-R oder von V-Relativ, Entschuldigung, von O.
Keiner hat es gemerkt da oben.
Das war natürlich nicht V-Relativ, hier hatte ich es richtig, das war
immer R-Relativ.
Und auch hier oben beim grünen Fall war es natürlich der Relativvektor
R -Relativ.
Also Beschleunigungsanteil aufgrund von Rotation in Richtung von einem
Vektor quer zu R-Relativ.
Und hier in Richtung von R-Relativ, das
hier war dann Omega-Kreuz, Omega-Kreuz, R-Relativ, dann haben wir die
Coriolis -Beschleunigung plus die Relativbeschleunigung.
Und jetzt schauen wir das mal für den Punkt O' an.
Für den Punkt O' haben wir einen einzigen Beschleunigungsanteil,
nämlich der Punkt O' bewegt sich auf einer Kreisbahn, allerdings
aufgrund dessen, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades und
damit auch die Winkelgeschwindigkeit V-Punkt konstant sind, mit einer
konstanten Geschwindigkeit betragsmäßig.
Es gibt also für den Punkt O' nur eine Beschleunigung in Richtung des
Mittelpunktes des Sonnenrades, also in negative Eta-Richtung.
Das heißt, O' ist dann, und der Punkt bewegt sich mit der
Winkelgeschwindigkeit V-Punkt entlang der Kreisbahn, gibt also Minus,
werden gesagt E-Eta, und der Betrag davon ist Abstand des Punktes O'
zum Mittelpunkt, das ist Rs plus Rp zum Quadrat mal V-Punkt.
Abstand mal V-Punkt Quadrat, dann haben wir A-Führung aufgrund von
Rotation in transversaler Richtung, das war Alpha-Kreuz-R-Relativ, das
ist Null, weil eben V
-Punkt gleich konstant ist.
Dann haben wir A-Führung aufgrund von Rotation in radialer Richtung,
das ist dann in negative R-Relativ-Richtung, da sehen wir, das ist die
negative Xi-Richtung, ist also etwas in Minus E-Xi-Richtung, und zwar
haben wir dort, man sieht es, Omega-Quadrat mal R, R war der Betrag
des Relativvektors, das ist aber gerade der Radius des Planetenrades,
also Minus Rp,
und das Omega, was an der Stelle auftritt, das ist das Omega des
bewegten Bezugssystems, also des gelben Bezugssystems, das ist aber V
-Punkt, also V-Punkt Quadrat.
Und was fehlt jetzt noch?
Jetzt fehlt die Coriolis-Beschleunigung,
da haben wir zweimal Omega-Kreuz-V-Relativ,
gemeint ist das Omega des gelben Bezugssystems im runden Bezugssystem,
das ist also Minus V-Punkt E-Zeta,
Kreuz und V-Relativ für den Punkt A haben wir ja gerade drüberstehen,
das ist Omega-P plus V-Punkt
mal Rp E-Eta,
wir sehen es gibt einen Ausdruck E-Zeta, Kreuz E-Eta, gibt Minus E-XI,
mit dem Minuszeichen hier vorne gibt es Plus E-XI, gibt also 2 V-Punkt
mal Omega-P plus V-Punkt mal Rp E-XI,
dann bleibt noch die Relativbeschleunigung und da hatten wir gesagt,
der Punkt A bewegt sich im gelben Bezugssystem auf einer Kreisbahn, in
dem Falle mit einer konstanten Geschwindigkeit betragsmäßig, die
konstante Geschwindigkeit war Abstand zum Mittelpunkt, das war Rp,
die Winkelgeschwindigkeit, mit der er sich da relativ zum gelben
Bezugssystem bewegt, ist V-Punkt plus Omega-P,
und zwar in Richtung von E-Eta, also ist die Relativbeschleunigung
Radius der Kreisbahn mal Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat in Richtung
von A zu O-Strich, also mal Minus E-Xi.
Jetzt haben wir alle Beschleunigungsanteile aufgeführt, man sieht, man
hat jetzt drinstehend das V-Punkt-Quadrat, V-Punkt können wir
allerdings ausdrücken durch die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades,
an dem Anteil haben wir ebenfalls V-Punkt drinstehen, auch das können
wir ausdrücken über die Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades, genauso
wie an der Stelle, Omega-P und V-Punkt haben wir beides bestimmt als
Funktion von Omega-S, genauso hier.
Ich gebe nur noch das Endergebnis an.
Es ergibt sich dann
letztendlich A
vom Punkt A als Minus RS-Quadrat durch 4 RS plus RP ... mal Omega S
-Quadrat E Eta minus R S-Quadrat dividiert durch 4 R P Omega S-Quadrat
in Richtung von E Xi.
Also man sieht, die Beschleunigung von dem Punkt, die wächst natürlich
quadratisch mit der Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades.
Sie müssen sich auch klar machen, wenn das Omega S und damit auch Phi
Punkt und Omega P zeitabhängig sind, wenn die sich also ändern, dann
kommen da noch weitere Anteile dazu.
Auf die haben wir jetzt aber mal an der Stelle verzichtet.
Ich denke, Sie haben gesehen, zum einen konnten wir jetzt die
Kinematik, also wie sich die einzelnen Teile von so einem
Planetengetriebe bewegen, sprich drehen, das konnten wir jetzt über
unsere Relativmechanik relativ leicht bestimmen.
Später, wenn wir den starren Körper behandeln und die Kinematik des
starren Körpers, auch da gibt es nochmal solche Rollbedingungen.
Nichts anderes liegt ja hier vor.
Die einzelnen Räder und Zahnräder, die rollen natürlich aufeinander
ab.
Beim Rollen eines Rades auf der Unterlage, da braucht man immer ein
gewissen Reibkoeffizient, dass das auch wirklich der Fall ist.
Bei so einem Zahnrad, gut, aufgrund der Verzahnung hat man einen
Formschluss, da können dann, wenn dann Kräfte ins Spiel kommen,
relativ große Kräfte realisiert werden.
Wir haben gesehen, man muss, wenn man so Relativmechanik macht, genau
buchführen, wie groß sind die einzelnen Beschleunigungs- und
Geschwindigkeitsanteile, wenn ich welches Bezugssystem einführe.
Und man muss dann auch formal das richtig durchziehen, um letztendlich
bei den richtigen Vorzeichen anzukommen.
Und jetzt würde ich sagen, aufgrund dessen, dass heute ein Brückentag
ist und wir jetzt sowieso ein neues Kapitel anfangen müssten, erlauben
wir uns, die Vorlesung ausnahmsweise mal drei Minuten früher
aufzuhören.
Vielleicht holen wir das noch nach.
Vielen Dank.