Guten Tag meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung herzlich
begrüßen.
Denken Sie daran, dass wir die Vorlesung aufzeichnen, wenn Sie nicht
ins Bild kommen wollen, um sich dann entsprechend umzusetzen.
Wir hatten in der letzten Vorlesung Kräfte betrachtet, die am
Massenpunkt wirken, die eine Besonderheit haben.
Nämlich, es handelt sich dabei um konservative Kräfte.
Das heißt, wenn wir den Massenpunkt zwischen R0 und R1 bewegen, dann
hängt die am Massenpunkt geleistete Arbeit nicht vom Weg ab, ist also
wegunabhängig, sondern nur von den Anfangs- und Endpunkten.
Und speziell, wenn man den Endpunkt gleich den Anfangspunkt wählt,
dann wird die gesamte Arbeit dementsprechend null.
Also wird die gesamte Arbeit letztendlich ganz zurückgewonnen.
Deshalb konservativ.
Wir haben gesehen, die Arbeit selbst, W, die berechnet sich dann aus
der Potentialdifferenz, V von R von T1 minus V von R von T0.
T1 ist der Zeitpunkt, an dem wir bei R1 sind, T0 der Zeitpunkt, an dem
wir bei R0 sind.
Und das ist dann gerade das Negative der Arbeit.
Das wird dann letztendlich auch ausgenutzt, um für konservative Kräfte
die entsprechenden Potenziale herzuleiten.
Also, wir wissen ja, eine Kraft hat das Aussehen.
Dann müssen wir zuerst überprüfen, hat diese Kraft überhaupt ein
Potenzial oder können wir da ein zugehöriges Potenzial formulieren?
Und wenn ja, dann können wir eben das Potenzial durch die unten
angegebene Vorschrift über die Berechnung der Arbeit dann bestimmen.
Jetzt kann man sich fragen, na gut, dann haben wir eigentlich nichts
gewonnen, weil hätten wir gleich die Arbeit direkt bestimmen können
und im Energiesatz einsetzen.
Aber es ist eben so, dass wir werden in der letzten Vorlesung das
Potenzial der Gewichtskraft kennengelernt.
Das tritt sehr häufig auf.
Also da kennen wir dann schon explizit das zugehörige Potenzial.
Und genauso wird es natürlich auch aussehen, wenn wir das machen für
eine Feder.
Deshalb als nächstes das Federpotenzial.
Zunächst nehmen wir an, wir haben die lineare Hugsche Feder.
Das bedeutet, dass ein linearer Zusammenhang zwischen der Kraft in der
Feder und der Federverlängerung besteht.
Das heißt, wenn wir die Feder haben, wird die charakterisiert durch
die Federsteifigkeit C, der Proportionalitätsfaktor zwischen
Verlängerung und Kraft.
Und dann wissen wir, irgendwo haben wir dann ein X0 als Bezug.
Wenn wir das allgemein auslenken, dann haben wir eben die Länge X,
haben dann die Federkraft F, die eben linear von X abhängt.
Das heißt, wenn wir das einsetzen, dann haben wir V von R ist V0
minus, jetzt haben wir Integral von R0 bis R1 und in dem Fall wirkt
die Kraft eben, wie man sieht, nur in X-Richtung.
Also haben wir da zunächst mal C mal X in EX-Richtung multipliziert
mit DR. DR haben wir gesagt, das ist DX in EX-Richtung plus, ich tue
jetzt mal so an, DY in EY-Richtung plus DZ in EZ-Richtung.
Man erkennt, das Skalarprodukt zwischen EX und EY ist Null, zwischen
EX und EZ ist Null.
Das fällt also raus, sodass sich insgesamt ergibt, V0 minus, jetzt
haben wir Integral, C mal X DX,
wie gesagt, die anderen Anteile bringen nichts, also müssen wir noch
integrieren von X0 bis X,
das können wir relativ leicht integrieren, gibt also V0 minus,
Stammfunktion zu CX² ist CX² halbe, X0 und X als Grenzen,
gibt dann V0 minus C halbe X² plus C halbe X0² und wenn wir jetzt noch
entsprechend das V0, die offene Konstante normieren, dann sehen wir,
gut, wenn wir die so normieren, dass die sich gerade mit C halbe X0²
weghebt, dann haben wir
V, in dem Falle dann von X gleich, dann bleibt noch übrig, minus C
halbe X², was hätten wir eigentlich erwartet?
Ein positives C halbe X², wo haben wir den Fehler gemacht, wenn wir
einen gemacht haben?
Hat jemand eine Idee, ohne jetzt in irgendein Skript zu schauen?
Ich muss an der Feder ziehen, oder?
Warum?
Der Feder zieht auch eine Kraft F nach rechts, oder?
Das kommt natürlich schon in die Richtung, wir dürfen nicht die Kraft
betrachten, die an der Feder zieht, sondern wir haben ja gesagt, wir
betrachten den Massenpunkt.
Also müssen wir eigentlich den Massenpunkt betrachten.
Das heißt, wenn wir den Massenpunkt hier betrachten, dann zieht an dem
natürlich genauso die Federkraft mit dem Betrag C mal X nach links.
Das heißt, die Kraft ist nicht C mal X, E, X, sondern minus C mal X,
E, X, deshalb habe ich ja schon ein bisschen Platz gelassen.
Das zieht sich dann natürlich durch.
Aus dem Minus, Minus wird dann ein Plus, aus dem wird ein Plus, und
dann haben wir natürlich entsprechend hier, und da muss ich es jetzt
einmal ein bisschen mit dem Finger korrigieren, also wir haben C halbe
X Quadrat, minus C halbe X null Quadrat, wenn wir jetzt V null gerade
mit C halbe X null Quadrat wählen, erhalten wir natürlich das
Potenzial, was wir erwartet hatten, nämlich C halbe X Quadrat.
Wie man sieht, das Potenzial ist dann stets positiv, egal ob die Feder
verlängert wird oder verkürzt.
Wenn wir das Ganze dreidimensional machen,
da kann man sich leicht vorstellen, wenn wir so eine Feder ziehen,
nennen Sie mal ein Gummi, in dem Moment, wo Sie eine Bewegung machen,
die senkrecht dazu verläuft, also auf so einer Kugelfläche, dann
müssen Sie natürlich keine Arbeit reinstecken, also letztendlich wird
nur wichtig die Federverlängerung, das heißt in dem Falle wäre dann
das V von R gerade, C halbe, R Quadrat, wenn R jetzt die
Federverlängerung gegenüber dem entspannten Zustand beträgt.
Also, R gleich Federverlängerung gegen
entspannte Länge, das kann natürlich auch eine Verkürzung sein,
theoretisch.
Und wenn wir eine nicht-lineare Federcharakteristik haben, also für
eine nicht-lineare Feder und
da wissen wir gut, in Wirklichkeit sind natürlich alle Federn, wenn
wir einen gewissen Bereich überschreiben, letztendlich nicht-linear,
denken Sie ans Auto, irgendwo muss da ein Anschlag sein, wo die
Federkraft dann sehr stark zunimmt, in Abhängigkeit von der
Auslenkung.
Oder es gibt dann auch degressive Federn, wenn es dann wie zu so einer
Art Durchschlagen kommt, auch das sollten Sie kennen.
Und dann ist die Frage, wie sieht das eigentlich aus mit dem Potenzial
für so eine nicht-lineare Feder.
Und letztendlich steckt wieder dahinter, dass das V von X dann gerade,
ich mache es mal wieder ausführlich, V0 minus Integral von X0 bis X,
Federkraft Ff abhängig von X, dx ist, und im Falle von einer kubischen
Kennlinie, da haben wir dann die Federkraft in Abhängigkeit von X,
gerade als minus C1x minus C2x hoch 3.
Wenn man sich das in einem Diagramm anschaut, dann wäre die lineare
Federkennlinie, das wäre sowas.
Wenn das C2 positiv ist,
das sei jetzt die Kraft, die letztendlich die Feder bewirkt, ich habe
es jetzt so positiv eingezeichnet, wenn wir den Massenpunkt
betrachten, würde das natürlich so sein, dass das negativ ist, aber im
Allgemeinen werden Federkräfte immer so aufgetragen.
Wenn das C2 positiv ist, dann wäre praktisch die Federkraft größer
betragsmäßig als im linearen Fall und entsprechend, also progressiv
oder bei einer degressiven Kennlinie, da nimmt dann die Feder
gegenüber dem linearen Fall dann ab, das wäre also ein Degressiv.
Sie können das natürlich mit Matlab sehr viel schöner zeichnen.
Setzen wir das ein, dann ergibt sich für das V von x gleich V0 minus
Integral, jetzt kann ich das Minuszeichen gleich rausziehen, dann
ergibt es ein Plus, Integral von x0 bis x und dann haben wir die
Federkraft mit dem negativen Vorzeichen da schon berücksichtigt, C1x
plus C2x hoch 3 dx.
Wir sehen, da brauchen wir die Stammfunktion zu C1x, das war C1x
quadrat halbe, die Stammfunktion zu C2x hoch 3, die ist jetzt
allerdings C2 viertel mal x hoch 4,
also V von x gleich V0 plus C1x quadrat halbe plus C2 viertel x hoch
4, x0 und x gibt dann V0 plus C1x quadrat halbe plus C2 viertel x hoch
4 minus C1 halbe x0 quadrat
Jetzt können wir wieder entsprechend normieren, das V0, sodass
letztendlich dann übrig bleibt, das V von X gleich C1 halbe X Quadrat
plus C2 Viertel X hoch 4.
Hier also das, was man so kennt mit dem 1 halb CX Quadrat, das gilt
wie gesagt nur beim Linearanfall, wenn die Feder irgendwie ein nicht
-lineares Verhalten hat, wird es eben ein bisschen anders.
Gibt es soweit Fragen?
Dann vielleicht noch eine Anmerkung zum Gravitationspotenzial.
Wir hatten das bestimmt für ein konstantes Gravitationsfeld, also wie
hier auf der Erde, auf der Erdoberfläche haben wir dann einfach G, das
zugängliche Potenzial war dann M mal G mal der Höhe H über einem noch
zu bestimmenden Nullniveau.
Allerdings, wenn wir uns praktisch in sehr große Höhen begeben, also
wenn Sie jetzt eine Rakete haben oder irgendeinen Satellit, den Sie
von der Erde irgendwo hochbringen müssen oder Sie haben den auf einer
Umlaufbahn und müssen den in eine andere Umlaufbahn bringen, dann geht
das natürlich nicht mehr ganz so einfach.
Dann muss man das allgemeine Gravitationspotenzial nehmen, und zwar
das, wenn wir zwei Massen letztendlich haben, also in dem Fall wäre
dann die Erde eine große Masse, der Satellit vielleicht eine kleine
Masse.
Also Gravitationspotenzial zweier
Massen, Groß-M und Klein-M,
da halten wir dann V von R als Minus K, K war die allgemeine
Gravitationskonstante, mal große Masse, mal kleine Masse, dividiert
durch den Betrag des Abstandes, das war also der Betrag von R, das war
die Gravitationskonstante,
deren Wert 6,66 mal 10 hoch minus irgendwas, das können Sie im
Physikbuch nachschauen.
Wie gesagt, wichtig, wenn wir irgendwelche Anwendungen im Weltall
haben.
Wenn man jetzt davon ausgeht, man ist hier auf der Erdoberfläche, man
linearisiert das für kleine Änderungen des Abstandes R von der kleinen
Masse, von sozusagen der großen Masse Erde, dann stellt man fest, das
führt gerade letztendlich wieder zu dem Potenzial, was wir hatten, als
wir das a priori für das Konstante Gravitationsfeld einführten.
Jetzt haben wir viel über Potenzialkräfte bzw.
Potenziale gehört und hergeleitet, kommen wir wieder zurück zum
Arbeitssatz.
Dann können wir feststellen, wir nehmen mal den Fall an, dass alle
Kräfte, die am Massenpunkt wirken, konservativ sind.
Also sind alle Kräfte konservativ, dann können wir für alle ein
Potenzial formulieren.
Und aus dem Arbeitssatz folgt,
die Arbeit der Kräfte am Massenpunkt war ja gerade, wir sehen es da
drüben, minus V1 minus V0, also minus V1 minus V0.
Die Arbeit entspricht aber gerade der Differenz der kinetischen
Energien am Punkt 1 bzw.
am Punkt 0, ist also T1 minus T0.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das minus V1 nach rechts bringen und das
minus T0 nach links, dann steht auf beiden Seiten jeweils ein
positives Vorzeichen.
Das heißt, das führt dann auf T1 plus V1 gleich T0 plus V0.
Das entspricht dann gerade der Gesamtenergie E, die in so einem Fall
konstant bleibt.
Das ist sozusagen der Energiesatz der Mechanik, ausgewertet für den
Fall, dass alle Kräfte, die am Massenpunkt angreifen, konservativ
sind.
Wenn irgendwelche Reibungskräfte angreifen, gilt das natürlich in der
Form nicht mehr.
Wir können uns vorstellen, der Arbeitssatz war schon nützlich, wenn
uns nicht die Lösung als Funktion der Zeit interessiert, sondern wir
praktisch nur zu bestimmten Positionen dann bestimmte Lösungen haben
wollen.
Ähnlich ist das jetzt für den Energiesatz.
Und als Beispiel nehmen wir mal ein mathematisches Pendel ohne
Luftwiderstand und Reibung.
Das heißt,
ich habe ein kleines Beispiel dabei, ob
das eine Pendelstange ist oder ein Seil, das spielt ja beim Pendel
keine Rolle.
Letztendlich bedeutet das nur, wir vernachlässigen Reibung, die ja
irgendwo hier auch auftritt, und wir vernachlässigen den
Luftwiderstand und dann macht das Pendel natürlich so eine Schwingung.
Und uns interessiert zunächst mal, wie sieht es aus bei den Zuständen
entlang der Bahn.
Also haben wir zunächst mal hier oben sozusagen das Lager des Pendels.
Wir haben dann die Pendelstange oder das Seil der Länge L.
Hier vorne haben wir den Massenpunkt, der bewegt sich natürlich auf
einer Kreisbahn.
Wir können Koordinaten einzeichnen, X und Y.
X horizontal, Y vertikal nach unten.
Vertikal nach unten wirkt auch die Erdbeschleunigung G.
Anstatt der zwei Koordinaten, die ja noch eine Zwangsbedingung
erfüllen müssen, nämlich die Pendellänge zum Quadrat, muss ja gerade
sein, X² plus Y², ist natürlich leichter.
In dem Falle den Winkel zwischen der Pendelstange und der Vertikalen
einzuführen als Koordinate.
Und gesucht ist dann die Winkelgeschwindigkeit V.
Für eine allgemeine Lage V, also in Abhängigkeit von V.
Und die Lösung, die erfolgt jetzt mit dem Energiesatz.
Und was wissen wir da?
Zunächst mal T plus V, kinetische Energie und potenzielle Energie
ergeben gerade die Gesamtenergie, die muss konstant sein.
Was wissen wir noch?
Ja gut, die kinetische Energie des Massenpunktes bei einer Bewegung um
eine Kreisbahn ist einfach m halben mal V², aber V bei einer Kreisbahn
war ja gerade V Punkt mal dem Radius.
Der Radius war L, ist also m halben V² beziehungsweise m halben L² V
Punkt².
Wie sieht es aus mit der potenziellen Energie?
Da wissen wir V gleich m mal g mal h.
Und h war die Höhe über einem noch einzuführenden Nullniveau.
Und jetzt sehen wir, wir könnten natürlich das Nullniveau einführen
bei y gleich 0.
Dann befindet sich der Massenpunkt bei y gleich minus L mal cos V.
Das wäre also zunächst mal, wenn es unten ist, negativ.
Wir können das aber auch so einführen, dass wir das Nullniveau an den
untersten Punkt legen.
Hier haben wir dann das Nullniveau und dann sehen wir, dann wird
wichtig die Höhe h über dem Nullniveau.
Die Höhe h über dem Nullniveau ist jetzt gerade die Differenz zwischen
Länge L, hier war y gleich minus L, da ist y gleich L mal cos V.
Also haben wir letztendlich m mal g mal L mal 1 minus cos V.
Setzen wir das Ganze in den Energiesatz ein, die kinetische Energie
haben wir, die potenzielle Energie haben wir, dann haben wir m halber
L Quadrat V Punkt Quadrat plus m mal g mal L mal
1 minus cos V gleich Gesamtenergie E.
Und jetzt sehen wir, jetzt können wir nach V Punkt auflösen.
Wir müssen also das mgl mal 1 minus cos V nach rechts bringen, mit 2
multiplizieren, durch m dividieren, durch L Quadrat dividieren und
dann von allem die Wurzel ziehen.
Machen wir das mal sukzessive vielleicht.
Also V Punkt Quadrat ergibt dann 2 dividiert durch mL Quadrat und was
haben wir da?
Da müssen wir das mgl wie gesagt nach rechts bringen, also E minus mgl
mal 1 minus cos V.
Sodass man sieht,
V Punkt ist dann die Wurzel aus dem Ganzen, also das 1 durch L Quadrat
können wir noch aus der Wurzel rausziehen, dann ergibt das 1 durch L.
Und dann haben wir die Wurzel aus und da bleibt drin stehen 2 durch m
mal E minus mgl 1 minus cos V und daraus die Wurzel.
Man sieht aber, wir hätten auch das Negative davon erhalten können.
Macht auch Sinn, wenn Sie das Pendel beobachtet haben, das bewegt sich
einmal nach links, einmal nach rechts, je nachdem.
Also da sind beide Geschwindigkeitsrichtungen möglich.
Die Frage ist, wie könnte man vielleicht die Gesamtenergie bestimmen,
die wird ja nicht beliebig sein.
Nun die hängt in dem Falle von den Anfangsbedingungen ab.
Ganz klar, wenn ich das nur ein wenig zur Seite lenke, dann ist die
maximale Geschwindigkeit kleiner, als wenn ich das relativ stark
auslenke und pendeln lasse.
Ich könnte das auch wenig auslenken, aber mit einer
Anfangsgeschwindigkeit versehen, dann wird die Maximalgeschwindigkeit
und die Maximalamplitude auch größer sein.
Also letztendlich die Gesamtenergie E wird aus den Anfangsbedingungen
bestimmt.
Zum Beispiel aus dem Größtausschlag.
Nehmen wir an, das ist der Fall bei Phi gleich Phi 1.
Phi Punkt beim Größtausschlag.
Nun da kehrt sich die Geschwindigkeit um, da muss also die
Geschwindigkeit bzw.
die Winkelgeschwindigkeit gerade 0 sein.
Das heißt, wenn wir den Größtausschlag Phi gleich Phi 1 einsetzen,
muss sich 0 ergeben.
Dann muss also das unter der Wurzel 0 sein.
Das heißt, E muss gerade sein.
Also der Faktor 2 durch m spielt keine Rolle.
E gleich m mal g mal l.
Mal 1 minus Cosinus von Phi 1.
Das Phi Punkt ist dann 1 durch l, Wurzel aus und jetzt steht da
drunter 2 durch m.
Und jetzt haben wir E ist m mal g mal l mal 1 minus Cosinus Phi 1.
Davon ziehen wir aber m mal g mal l mal 1 minus Cosinus Phi ab.
Das ergibt also minus 1 plus Cosinus Phi.
Oder Phi Punkt gleich 1 dividiert durch l, Wurzel aus.
Und jetzt sehen wir, das m kürzt sich dann raus.
2gl mal Cosinus Phi minus Cosinus Phi 1.
Wir
können das Ganze auch aus der Maximalgeschwindigkeit bestimmen.
Die liegt vor, das sehen wir.
Wenn Phi gleich 0 ist, also Phi gleich Phi 0 gleich 0.
Das Phi Punkt an der Stelle sei dann Phi 0 Punkt.
Dann haben wir Phi 0 Punkt, die Maximalwinkelgeschwindigkeit gleich 1
durch l.
Wurzel aus.
Und dann haben wir 2 durch m mal E minus mgl mal 1 minus und Cosinus
von Phi gleich Phi 0.
Das war Cosinus von 0, das ist aber gerade wieder 1.
Also sieht man, Phi 0 Punkt ist dann in dem Fall 1 dividiert durch l.
Wurzel aus 2 durch m mal E.
Oder E gleich, müssen wir quadrieren, l Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat
mal m dividiert durch 2.
Und das muss nicht sehr verwundern, wir haben das Nullniveau hier nach
unten gelegt, wenn also der Massenpunkt sich hier unten befindet.
Dann wird die potenzielle Energie gerade 0 sein an dem Punkt.
Dementsprechend entspricht die Gesamtenergie gerade der kinetischen
Energie an dem Punkt.
Das war ja gerade im Halbe, l Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat.
Das jetzt wieder einzusetzen, das spare ich mir an der Stelle.
Was wir noch angeben können, ist der Zusammenhang zwischen
Maximalamplitude und Maximalgeschwindigkeit.
Und da sehen wir, die Energie E entspricht gerade der potenziellen
Energie, wenn die kinetische Energie 0 ist.
Das ist aber gerade beim Maximalausschlag der Fall.
Beziehungsweise, das hatten wir gerade gesagt, die Gesamtenergie E
entspricht der kinetischen Energie, wenn das Potential 0 ist.
Das war aber gerade bei der Maximalgeschwindigkeit unten.
Wenn wir das beides gleichsetzen, dann sehen wir, im Halbe, l Quadrat
Phi 0 Punkt Quadrat muss dann also sein, m mal g mal l mal 1 minus
Cosinus Phi 1.
Oder man sieht, das m kürzt sich heraus, ein l kürzt sich heraus.
Wir müssen durch l dividieren, mit 2 multiplizieren, dann haben wir
Phi 0 Punkt Quadrat, g dividiert durch 2 l,
mal 1 minus Cosinus Phi 1, das war wie gesagt, Phi 0 Punkt Quadrat.
Um dann auf Phi 0 Punkt zu kommen, müssen wir nochmals die Wurzel
ziehen und erhalten so den entsprechenden Ausdruck.
Und man sieht, jetzt haben wir wirklich Phi Punkt als Funktion von Phi
und können das entsprechend einsetzen.
Gibt es dazu Fragen?
Und dann sieht man an dem Beispiel, wir haben letztendlich eine
Bewegungsgleichung, wir haben eine Koordinate, die sich mit der Zeit
verändert, in dem Fall war das der Winkel Phi.
Wenn ein Massenpunkt entlang irgendeiner Bahn sich bewegt und wir das
Ganze über den Energiesatz beschreiben können, dann können wir immer
auflösen, die Geschwindigkeit entlang dieser Bahn als Funktion der
Bahn selbst, wenn wir eben potenzielle und kinetische Energie
bestimmen.
Und genau das können wir ausnutzen, jetzt muss ich aber erst die Tafel
wischen.
Wenn wir nochmals integrieren wollen, und zwar den Ausdruck aus dem
Energiesatz.
Das ist das Energieintegral.
Also wir nehmen an, wir haben ein konservatives System,
einen Massenpunkt und aus dem Energiesatz kennen wir
M halbe R Punkt Quadrat, das war die kinetische Energie, plus
potenzielle Energie, die ebenfalls vom Ortsvektor abhängt, nur gleich
Gesamtenergie E.
Und wie gesagt, wenn wir einen einzigen Freiheitsgrad haben,
dann sehen wir, na gut, das R Punkt entspricht dann der
Geschwindigkeit irgendwo entlang dieses Freiheitsgrades.
Allerdings muss der Freiheitsgrad ja nicht unbedingt eine Auslenkung
sein.
Wir hatten dort bei unserem Pendel als Koordinate den Winkel Phi
eingeführt.
Das heißt, wir haben dann im Grunde genommen erhalten M halbe S Punkt
Quadrat, allerdings, wie gesagt, wenn wir auch Winkel zulassen, dann
ist das eine verallgemeinerte Masse.
Wenn wir vergleichen, dann wäre da die Masse M L Quadrat.
Und dann haben wir noch das Potential V, was abhängt von dieser
Koordinate.
Nun, wenn S so eine Art Bogenlänge ist, dann haben wir die Masse M
immer noch als Masse.
Wie gesagt, wenn wir Winkelkoordinaten einführen, dann müssten wir das
ein bisschen modifizieren.
Und das ist gerade die Gesamtenergie E.
Man sieht, an der Stelle, ich hatte das schon erwähnt, tritt aufgrund
des Energiesatzes, oder dass wir die Newton'sche Grundgleichung da
einmal hoch integrieren, treten jetzt nur noch erste Ableitungen auf,
das S Punkt in dem Falle, oder das R Punkt.
Und jetzt müssten wir, um das S oder das R zu erhalten, ja noch einmal
integrieren.
Wenn wir die Differenzialgleichung integrieren wollen, die ist nicht
linear, dann bräuchten wir wahrscheinlich ein Nährungsverfahren
irgendwo.
Wird schon mal eine Differenzialgleichung numerisch integriert?
Niemand, wer von Ihnen kennt MATLAB?
Bei Mabel muss man das auch können, ich kann aber nur Mathematica und
MATLAB.
In MATLAB, da schreibt man dann die Differenzialgleichung letztendlich
in ein Unterprogramm rein, ruft dann vordefinierte Befehle auf und
dann wird die Differenzialgleichung nährungsweise gelöst.
In der TM4 zeige ich das Prinzip, was dahinter steckt, auch mal kurz,
damit man sich das vorstellen kann.
Im Moment sind wir nur daran interessiert, mal Bewegungsgleichungen zu
haben.
Was man mit denen macht, das steht an einer anderen Stelle.
Wichtig ist, dass Sie jetzt das Werkzeug kennenlernen, wie man, wie
gesagt, solche Gleichungen hat.
Allerdings an der Stelle können wir jetzt nochmals integrieren,
zumindest formal.
Nämlich wir können das Ganze nach S-Punkt auflösen.
Dann sehen wir, S-Punkt ist Wurzel aus 2 dividiert durch m.
Ich lasse mal wieder das m stehen, obwohl ich oben m quer geschrieben
habe.
Wie gesagt, ich habe es erklärt.
Wenn S wirklich ein Weg ist, dann ist m auch die Masse.
Wenn S jetzt eine Winkelkoordinate wäre, dann müssten wir da für m
irgendetwas, Masse mal Länge zum Quadrat einsetzen.
Und dann haben wir, wie gesagt, 2 dividiert durch m mal e minus V von
S.
Daraus die Wurzel.
Wir wissen aber, S-Punkt ist ja dS dividiert durch dt.
Sodass wir jetzt Trennung der Veränderlichen machen können.
Wir bringen alles, was von T abhängt, auf eine Seite.
Alles, was von S abhängt, auf die andere Seite.
Da sehen wir, dass wir durch die Wurzel durchdividieren müssen, mit dt
multiplizieren.
Das ergibt dt gleich rechts bleibt stehen dS dividiert durch diese
Wurzel.
Also 2 dividiert durch m, dann haben wir e minus V von S.
Formal können wir jetzt integrieren.
Und zwar links von T0 bis T1.
Dementsprechend rechts von S gleich S0 bis S1.
Man sieht, das Integral dt ergibt einfach die Zeit T.
Obere Grenze eingesetzt ergibt T1.
Minus untere Grenze eingesetzt ergibt T0.
Das heißt, aus der Trennung der Veränderlichen haben wir nach der
Integration Links stehen T1 minus T0.
Rechts das Integral über dS dividiert durch die Wurzel.
Nun sind wir es eigentlich nicht gewohnt, dass wir die Zeit als
Funktion von S haben.
Wir haben das meistens eher umgekehrt.
Den Weg als Funktion der Zeit.
Dazu müssen wir das Ganze auswerten und dann die Umkehrfunktion
bilden.
Schreiben wir mal unter Umständen.
Numerischer Auswertung haben
wir dann die Zeit T als Funktion von S.
Und bilden der Umkehrfunktion
führt dann auf S von T bzw.
R von T.
Das heißt, wenn wir ein konservatives Ein-Massen-System haben mit
einem Freiheitsgrad, dann können wir aus dem Energiesatz formal das
Ganze noch einmal hoch integrieren.
Um das Integral zu lösen, müssen wir unter Umständen auch was
numerisch, also näherungsweise was machen.
Allerdings so ein Integral zu lösen, das nennt man eine Quadratur, die
geht im Allgemeinen sehr viel einfacher und genauer als eine
Differenzialgleichung numerisch zu integrieren.
Und das werden Sie wahrscheinlich noch kennenlernen bei so numerischen
Verfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen.
Da muss man aufpassen, da gibt es verschiedene Verfahren.
Da gibt es dann Schwierigkeiten manchmal bezüglich der Stabilität des
Verfahrens, dann die Schrittweite usw.
Da hat man es viel besser, wenn man nur ein Integral lösen muss.
Also, gehen wir das vielleicht noch an.
Also, numerische Lösung eines Integrals ist im Allgemeinen leichter
oder einfacher als
numerische Lösung eines Differenzials.
Einer Differenzialgleichung.
Gibt es soweit Fragen?
Dann machen wir jetzt noch ein Beispiel dazu.
Nämlich das mathematische Pendel.
Man sieht, aus dem Energiesatz hatten wir gerade mLquadrat-Phi
-Punktquadrat oder mHalbe-Lquadrat-Phi-Punktquadrat.
Plus mGL mal 1-Cosinus-Phi.
Gleich Gesamtenergie E.
Und im Falle, dass wir die Maximalauslenkung verwenden, dann war ja
gerade die Gesamtenergie E mG mal L mal 1-Cosinus von Phi1.
Das heißt, nach Phi-Punkt aufgelöst, ergab sich dann, das
können wir im Grunde genommen drüben abschreiben, 1 durch L mal
Wurzel aus 2GL.
Wenn wir das L jetzt wieder in die Wurzel reinziehen, dann sehen wir,
das ergibt in der Wurzel 2G dividiert durch L mal
Cosinus -Phi-Cosinus von Phi1.
Das war aber, sehe links oben, gerade dPhi dividiert durch dt.
Das heißt, jetzt bringen wir alles, was von Phi abhängt, auf eine
Seite, alles was von T abhängt, auf die andere Seite.
Das ergibt dann dt gleich dPhi dividiert durch die Wurzel, da können
wir schreiben durch die Wurzel aus 2G dividiert durch L.
Und dann haben wir noch drin stehen, Wurzel aus Cosinus-Phi
-Cosinus -Phi1.
Jetzt integrieren wir auf beiden Seiten.
Dann ergibt das links, wenn wir als allgemeine obere Zeitgrenze wieder
eine Zeit T einführen,
also links nach der Zeit integriert, untere Zeitgrenze T0, obere
Zeitgrenze T, ergibt dann T minus T0.
Rechts haben wir dann zu integrieren von Phi0 bis Phi.
Und dann steht da dPhi-Quer dividiert durch Wurzel aus 2G dividiert
durch L mal Wurzel aus
Cosinus -Phi-Quer minus Cosinus-Phi1.
Und das Integral ist natürlich jetzt nicht mehr ganz so leicht zu
lösen.
Wenn Sie das in Maple oder Mathematica eintippen, dann steht plötzlich
irgendwas da von elliptischen Integralen oder elliptischen Funktionen.
Wir werten das jetzt streng nicht aus,
also strenge Auswertung führt
auf elliptische Funktionen,
sodass dann
auch Phi in Abhängigkeit von T zur Verfügung steht.
Wer hat das Pendel schon mal im Physikunterricht gehabt?
Was ergab sich da als Bidifferenzialgleichung?
Was ergab sich als Lösung?
Wer weiß noch jemand eine Lösung?
Wer wagt es?
Das ergab im Physikunterricht wahrscheinlich Lösungen in Form von
Sinus -Omega-T bzw.
Cosinus-Omega-T.
Und ach, das Omega, das war... lang ist es her.
Weiß es niemand mehr.
Wurzel aus G durch L.
Also je länger das Pendel ist, desto niedriger ist die Frequenz, desto
kürzer das ist, desto höher ist die Frequenz.
Die Masse geht gar nicht ein, es geht noch die Erdbeschleunigung ein.
Warum haben wir jetzt so etwas Kompliziertes gemacht?
Oder sind die elliptischen Funktionen dann die harmonischen
Funktionen?
Wer hat eine Idee?
Aha, in der Schule hat man wohlweislich immer linearisiert, hat dann
eine lineare Differentialgleichung, die man auch anständig lösen kann.
Wenn man jetzt allerdings das Pendel oder die Bewegungsgleichung für
das Pendel mal richtig anschreibt, dann sieht man, na gut, für kleine
Auslenkungen, da ergibt sich dann wirklich etwas Unabhängiges für die
Frequenz, und zwar unabhängig von der Amplitude.
Wenn ich aber natürlich eine große Amplitude betrachte, man sieht es,
jetzt müsste ich wirklich eine Stange haben, weil ich die Auslenkung
da ein bisschen groß gewählt habe, aber man sieht, die Frequenz, die
nimmt jetzt zu oder nimmt die ab?
Unabhängig von der Amplitude?
Ah, das ist jetzt die Frage.
Jetzt schauen wir mal, wenn ich eine Stange hätte, könnte ich das
Pendel fast über Kopf stellen.
Und dann ist die Beschleunigung am Anfang sehr, sehr klein.
Weil das Moment aufgrund des Hebelarms sehr klein ist.
Und dann nimmt das Moment zu, ab hier nimmt es dann wieder ab.
Also lange Rede, kurzer Sinn, es wird hier oben relativ lang brauchen,
bis es überhaupt mal beschleunigt, im Vergleich zu dem linearen Fall.
Also, ingenieurmäßig kann man sich relativ leicht vorstellen, die
Frequenz nimmt mit zunehmender Amplitude ab.
Beziehungsweise die Periodendauer nimmt mit zunehmender Amplitude zu.
Sollte man also ingenieurmäßig sich schon ein bisschen überlegen
können.
Wenn man es jetzt hier vergleicht, ich glaube, man erkennt, es ist ein
bisschen schneller als die hier.
Und wie gesagt, in dem Fall hat man jetzt eben die Möglichkeit, dass
man das auch formelmäßig löst.
Wobei man natürlich die Schwierigkeit hat, wenn man das durch
elliptische Funktionen gelöst hat, oder als Lösung sich elliptische
Funktionen ergeben.
Dann muss man die elliptischen Funktionen natürlich auch irgendwie
sich wieder besorgen.
Das kann man natürlich numerisch berechnen heutzutage, tippt man das
Mathematica ein, kriegt sofort den Funktionswert.
Früher musste man in Tabellen nachschauen, aber letztendlich haben Sie
das gleiche Problem, wenn Sie Sinus und Kosinus haben.
Wenn Sie das für beliebige Werte wissen wollen, dann müssen Sie
entweder im Tabellenbuch nachschauen, das macht man heute nicht mehr,
dann tippt man das in ein Taschenrechner ein, da sind diese Funktionen
schon fest verdrahtet.
Gibt es dazu Fragen?
Dann kommen wir jetzt als nächstes zum Impuls- und Rallsatz in
integraler Form.
Für den Arbeitssatz bzw.
für den Energiesatz, da haben wir unsere Grundgleichung der Dynamik
für den Massenpunkt einmal nach dem Weg integriert.
Wenn wir jetzt wieder von der Grundgleichung ausgehen, das war ja F
gleich M mal A, das war M mal R2-Punkt bzw.
M mal dV nach dt, dann können wir die natürlich auch bezüglich der
Zeit formal integrieren.
Also, Integration bezüglich der Zeit, und zwar machen wir das auf zwei
verschiedene Art und Weisen.
Zunächst mal nehmen wir die Gleichung an sich, das ergibt dann den
Impulssatz, das heißt wir haben F gleich M mal dV dividiert durch dt.
Wir sehen, wenn wir formal bezüglich der Zeit integrieren, von t0 bis
t1, dann ergibt das auf der rechten Seite M mal dV.
Im Integral die Integrationsgrenzen, die müssen entsprechend angepasst
werden, ergibt dann also von V0 bis V1.
Wir sehen, M integriert bezüglich V ergibt einfach M mal V in den
Grenzen, V1 bzw.
V0 ergibt das M mal V1 minus V0, sodass sich der Impulssatz in
integraler Form als Integral von t0 bis t1 F dt gleich M mal V1 minus
M mal V0.
M mal V war ja gerade der Impuls P, also ergibt das den Impuls P1
minus Impuls P0, also Impulssatz.
Und bei der Namensgebung versteht man im Deutschen sowohl das Integral
über die Kraft F als Impuls wie auch die Bewegungsgröße M mal V.
Also Integral von t0 bis t1 F dt, das ist ein Impuls bzw.
ein Zeitintegral der Kraft,
Einheit dementsprechend Newtonsekunden.
Und P gleich M mal V,
auch das ist ein Impuls, allerdings eine Bewegungsgröße,
also auch Impuls genannt,
mit ebenfalls Einheit Newtonsekunde.
Man sieht, das Integral über die Kraft entspricht gerade der Änderung
des Impulses während eines Zeitintervalls.
Nun die differenzielle Form des Impulssatzes.
Also die differenzielle Form des Impulssatzes,
es war gerade ein dP nach dt gleich F,
die entspricht dem zweiten Newton-Grundgesetz.
Und ein Sonderfall liegt natürlich vor, wenn während eines
Zeitintervalls gar keine Kraft wirkt.
Also Sonderfall, wenn im Intervall
von t0 bis t1 keine Kraft wirkt.
Man sieht, für den Sonderfall ist natürlich auch das Integral über die
Kraft entsprechend 0.
Das bedeutet, M mal V1 muss gerade sein, M mal V0, bzw.
P gleich M mal V ist dann M mal V0, ein konstanter Vektor.
Das wäre quasi die Impulserhaltung.
Wie gesagt, Impulserhaltung nur, wenn keine Kraft wirkt.
Und man kann sich jetzt fragen, warum integrieren wir eigentlich hier
bezüglich der Zeit?
Da kommen wir später nochmal zurück drauf, am Ende der TM3.
Und zwar, wenn es um Stoßprobleme geht.
Und wenn irgendwo eine Feder zwischen zwei sich stoßenden Körpern oder
Massenpunkten auftritt, dann ist die Kraft, die können wir dann in
Abhängigkeit der Ernährung und so weiter bestimmen, das würde zu einer
Bewegungsgleichung führen.
Wenn jetzt aber zwei Körper richtig bei einem Stoß zusammenknallen,
dann wissen wir, die Stoßdauer ist im Allgemeinen sehr kurz.
Allerdings sind die Kräfte, die dabei auftreten, relativ groß.
Wir können die gar nicht so ohne weiteres bestimmen.
Und in dem Falle liegt es dann nahe, zu sagen, na gut, dann
integrieren wir einfach die Stoßkraft über das Stoßintervall.
Und ob das dann 5 Millisekunden dauert oder 2 Millisekunden, das mag
dann entscheidend dafür sein, ob plastische Verformungen im Material
auftreten.
Aber für uns in der Dynamik, wo es uns um die Bewegung geht, da spielt
das dann keine Rolle.
Wichtig ist dann nur der Impuls, der praktisch dazwischen ausgetauscht
wird.
Wer so ein bisschen Erfahrung mit Stoßproblemen hat, das Einfachste
wäre natürlich, wir nehmen einen Ball und lassen den gegen eine feste
Wand stoßen.
Dann haben wir einen Massenpunkt, der sich bewegt.
Das wäre genau das, was wir hier betrachten.
Der weiß aber natürlich, dass wir das Stoßproblem a priori gar nicht
ganz lösen können.
Warum?
Spätestens wenn man verschiedene Bälle oder verschiedene Massenpunkte
nimmt, sieht man, das was während des Stoßes passiert, das hängt nicht
nur von der Masse und der Höhe ab, sondern das hängt scheinbar auch
vom Material ab.
Wenn wir den Springball nehmen, dann kommt er fast wieder so weit
hoch, wie wir den losgelassen haben.
Wenn wir eine schwabbelige Masse nehmen, ein bisschen Viskose, dann
wissen wir, die Knete bleibt dann praktisch gleich unten liegen.
Also da kommt gar nichts mehr zurück.
Also muss das auch noch von etwas anderem abhängen.
Aber wie gesagt, da kommen wir am Ende der TN3 drauf zurück.
So, um die Grundgleichung nochmals zu integrieren und zum
Drehimpulssatz zu kommen,
betrachten wir nochmal ganz allgemeinen Moment.
Und zwar aus der Statik wissen wir,
wenn wir einen Massenpunkt haben und auf den eine Kraft wirkt,
dann können wir einen Bezugspunkt wählen, nennen wir den mal O.
Mit Ortsvektor R von O zum Massenpunkt,
das ist also R.
Dann sehen wir, F und R, die spannen jetzt eine Ebene auf.
Und ich kann sozusagen die Kraft F parallel verschieben und führe dazu
das Moment M0 ein oder M bezüglich O.
Wobei M senkrecht steht, sowohl auf dem Vektor R wie auch auf der
Kraft.
Also M0 war R kreuz F, wenn Sie sich zurückerinnern.
Das heißt, für die Richtung gilt senkrecht zu R und senkrecht zu F.
Und der Betrag,
das war einfach Betrag der Kraft mal Hebelarm, das war die kürzeste
Entfernung der Wirkungslinie der Kraft F zum Bezugspunkt O.
Also M0 gleich R mal F mal Sinusalpha im Allgemeinen.
So war das Kreuzprodukt definiert, wobei Alpha dann der Winkel hier
zwischen der Kraft F und dem Ortsvektor R ist.
Oder, wie gesagt, wenn wir jetzt hier noch den kürzesten Abstand A der
Wirkungslinie zum Bezugspunkt O einführen, dann haben wir eben gerade
R mal Sinusalpha gleich A, also F mal A.
Eine entsprechende Größe können wir jetzt auch in der Dynamik
einführen.
Nämlich, wir führen ein den Drall oder das Impulsmoment oder den
Drehimpuls L bezüglich O.
Das ist auch gerade wie der Ortsvektor R von dem Bezugspunkt O zum
Massenpunkt kreuz dem Impuls.
Der Impuls war M mal V.
Das heißt, wenn wir jetzt hier irgendwo die Bahn des Massenpunktes
haben, dann haben wir den Massenpunkt M an der Stelle.
Wir haben den Impuls P, der tangential verläuft, weil die
Geschwindigkeit tangential an die Bahn verläuft und der Impuls in
Richtung der Geschwindigkeit geht.
Das war also P gleich M mal V.
Wir haben den Bezugspunkt O mit Ortsvektor von O nach M.
Das Kreuzprodukt bedeutet, der Drall steht senkrecht sowohl zu P als
auch zu R.
Das heißt, in dem Fall haben wir jetzt den Drall L bezüglich O
senkrecht auf R und senkrecht auf P.
Das heißt,
gehen wir das noch an, das war das Impulsmoment
bzw.
Drehimpuls oder
Drall bzw.
Drallvektor.
Und da wissen wir, die Richtung ist wie beim Moment senkrecht zu R und
senkrecht zu P. Und der Betrag dann wieder entsprechend L bezüglich O
betragsmäßig gleich M mal V mal A.
A war wieder der kürzeste Abstand der Verlängerung von P zum Punkt O.
Also das war wieder R mal Sinus Alpha, wenn Alpha wiederum angibt den
Winkel zwischen dem Ortsvektor R und dem Impuls P. Das hatten wir aber
schon rechts definiert bei der Kraft, wir machen das ganz analog.
Das Moment einer Kraft, das kennen Sie schon aus der Statik, jetzt
führen wir die entsprechende kinetische Größe ein mit dem Impuls.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt.
Vielen Dank!