Guten Tag meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung recht
herzlich begrüßen.
Nochmals der Hinweis an unsere Aufzeichnung, denken Sie daran, wenn
Sie nicht ins Bild kommen wollen.
Ansonsten haben wir in der letzten Vorlesungsstunde zunächst einmal
den Impulssatz behandelt und haben dann noch zum Schluss nochmal uns
rekapituliert, was das Moment ist.
Nun, wenn wir den Massenpunkt haben, an dem dann Kräfte angreifen,
Gesamtkraft F und den Bezugspunkt O wir wählen, dann ist eben das
Moment all dieser Kräfte bezüglich dem Bezugspunkt O gerade gegeben
durch Rkreuz F und der Drall des Massenpunktes bestimmt sich dann ganz
ähnlich.
Man hat dann den Impuls P des Massenpunktes, der wird von links
kreuzmultipliziert mit ebenfalls dem Vektor vom Bezugspunkt O zum
Massenpunkt.
Bevor wir das Ganze jetzt irgendwo anwenden, vielleicht noch ein
kleiner Hinweis.
Am nächsten Montag wird wahrscheinlich jemand anders die Vorlesung
übernehmen, da ich nicht in Karlsruhe bin.
In der Woche vor Heiligabend werden wir ganz normal Vorlesungen machen
und wahrscheinlich auch anstatt der Übung auch eine Vorlesung haben.
Also wir haben das mal durchgecheckt, wir brauchen leider alle
Termine, um den Vorlesungsstoff und Übungsstoff von TM3 letztendlich
bis Semesterende durchzukriegen.
So, wie können wir das Ganze anwenden?
Ich habe hier mal die Grundgleichung der Dynamik angeschrieben.
Masse des Massenpunktes mal Beschleunigung des Massenpunktes gleich
Summe aller Kräfte.
Nun das hatten wir zunächst mal entlang des Weges integriert, was dann
zum Arbeitssatz führt.
Und wenn wir es bezüglich der Zeit integrieren, dann führt es zum
Impulssatz in integraler Form.
Was wir jetzt noch machen können ist, wir nehmen einfach das
Kreuzprodukt von links mit dem Vektor von einem festen Bezugspunkt O
zum Massenpunkt, also R Kreuz F und anschließend integrieren wir jetzt
diese Gleichung noch bezüglich der Zeit, zwischen T0 und T1 zum
Beispiel.
Wie man sieht, auf der rechten Seite haben wir jetzt einfach R Kreuz
F, das war das Moment bezüglich dem Bezugspunkt O.
Schreiben wir es mal hin, gleich Integral von T0 bis T1, M bezüglich
O, DT, ähnlich wie wenn wir die Kraft über ein gewisses Zeitintervall
integrieren.
Und was jetzt noch ein bisschen übrig bleibt, man sieht hier R Kreuz M
mal R2 Punkt M, die Masse ist eskalare Größe, die können wir auch vor
das Integral ziehen, dann bleibt letztendlich übrig Integral R Kreuz
R2 Punkt DT und da wissen wir, R Kreuz R2 Punkt, das ist ja R Kreuz R
Punkt, nochmals nach der Zeit abgeleitet, das ergibt nämlich gerade
gemäß der Produktregel, R Kreuz R2 Punkt, das haben wir drin stehen,
allerdings laut Produktregel haben wir jetzt zusätzlich noch R Punkt
Kreuz R Punkt, also müssten wir das eigentlich abziehen,
allerdings wissen wir, das Kreuzprodukt von dem Vektor mit sich selbst
ist Null, also das verschwindet.
Das
heißt, hier können wir das direkt ersetzen durch Integral R Kreuz R
Punkt Punkt DT und jetzt sehen wir, das gibt natürlich gerade Integral
D R Kreuz R Punkt, ich schreibe mal von 0 bis 1, müssen wir die
Integrationsgrenze entsprechend anpassen, das heißt,
das integriert einfach R Kreuz R Punkt an den Punkten 0 und 1, bzw.
bei T gleich T0 und T gleich T1 und wir sehen, R Kreuz R Punkt, wenn
wir das noch mit der Masse multiplizieren, haben wir ja gerade R Kreuz
M mal R Punkt, den Drall bezüglich dem Punkt O, also ich schreibe mal
1 durch M, weil die Masse habe ich oben nicht im Integral angegeben,
dann steht hier L bezüglich O, Zeitpunkt T gleich T1, minus L
bezüglich O zum Zeitpunkt T0, sodass wenn wir alles einsetzen in
unsere Ausgangsgleichung, dann haben wir zunächst mal Integral R Kreuz
MR2 Punkt DT, das ergibt L bezüglich O zum Zeitpunkt T1, minus L
bezüglich O zum Zeitpunkt T0, gleich und auf der rechten Seite steht
Integral von T0 bis T1 über das Moment der Kräfte bezüglich dem
Bezugspunkt O, DT.
Das ist der Momentensatz, bzw.
der Drallsatz oder
der Drehimpulssatz, alles in
integraler Form.
Nun in differenzieller Form,
da müssen wir das Ganze nochmal ableiten, dann ergibt sich eben, dass
das Moment bezüglich dem festen Bezugspunkt O gerade entspricht der
Ableitung des Dralls bezüglich dem Bezugspunkt O nach der Zeit T.
Und man sieht, an der Stelle konnten wir den Drallsatz letztendlich
aus der Grundgleichung der Dynamik herleiten.
Wir brauchen kein weiteres Axiom oder irgendetwas anderes.
Ich werde später nochmal kurz darauf eingehen.
Vielleicht zunächst mal der Sonderfall, was passiert,
wenn kein Moment auf den Massenpunkt wirkt?
Also
Sonderfall im
Bezugspunkt O,
so gewählt, dass eben das Moment bezüglich O der Kräfte identisch Null
ist.
Dann haben wir nämlich
Integral über das Moment ergibt Null, also muss der Drall bezüglich O
gerade konstant sein.
Der Drall war m mal r kreuz v beziehungsweise r kreuz p.
Aber wie gesagt, der Drallvektor ist ein konstanter Vektor, wenn kein
Moment auf den Massenpunkt wirkt.
Und vielleicht
eine anschauliche Deutung des Dralls,
wenn wir mal die Bahn des Massenpunktes betrachten,
wir haben den festen Bezugspunkt O, dann haben wir den Vektor r zum
Massenpunkt, jetzt bewegt sich der Massenpunkt entlang der Bahn, das
heißt während der Zeit dt legt er gerade den Weg dr in Richtung der
Bahn zurück und man sieht, mit r und dr können wir so eine Fläche
definieren.
Und da dr infinitesimal klein ist, ist auch die Fläche infinitesimal
klein, das gibt dann gerade dA, wie groß ist die Fläche?
Die Fläche ist im Grunde genommen Betrag des Vektors r mal Betrag des
Vektors dr mal dem Sinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren.
Also dA ist dann Betrag von r mal Betrag von dr mal Sinus des
eingeschlossenen Winkels, jetzt handelt es sich allerdings um ein
Dreieck, das heißt wir müssen das Ganze noch durch zwei dividieren
bzw.
mit dem Faktor ein Halbmultiplizieren.
Jetzt sehen wir aber Betrag von r mal Betrag von dr mal Sinus Alpha,
das ist gerade das Betrag des Kreuzproduktes, ist also ein
Halbmalbetrag des Kreuzproduktes von r Kreuz dr.
dr ist aber gerade Geschwindigkeit v mal dt,
das heißt wenn wir jetzt die differenzielle Fläche als Vektor
einführen, also mit
Flächenvektor dA, erhalten wir dann gerade dA gleich ein Halb mal r
Kreuz dr, das war aber gerade ein Halb mal r Kreuz v dt,
das heißt wenn wir jetzt mal betrachten, wie groß ist die Fläche, die
während der Zeitspanne dt überstrichen wird, dann müssen wir einfach
durch dt dividieren, das ergibt dann die vektorielle
Flächengeschwindigkeit dA durch dt gleich, sehen wir es, das dt fällt
dann raus, gibt ein Halb r Kreuz v,
das ist also r Kreuz v, wenn wir das mal vergleichen, r Kreuz v ist
1 durch m mal l, also ist 1 durch 2m,
l bezüglich o, sodass wenn wir das Ganze umformen, wir dann sehen,
dass l bezüglich o gerade ist, 2m mal der Flächengeschwindigkeit dA
durch dt, also gleich 2 mal m dA durch dt, das heißt der Drall ist
proportional der Flächengeschwindigkeit,
vielleicht zeichnen wir noch die differenzielle Fläche als Vektor ein
hier, das ist praktisch dA als Vektor, steht senkrecht auf dr und
senkrecht auf r und damit auch praktisch senkrecht auf der Ebene, die
durch r und dr gebildet wird.
Und wo kann man sich das zunütze machen?
Speziell dann, wenn natürlich das Moment bezüglich des Bezugspunktes o
verschwindet, also nützlich bei einer sogenannten Zentralbewegung,
und bei einer Zentralbewegung, da gehen alle Kräfte auf den
Massenpunkt dann letztendlich durch den Bezugspunkt o, das Moment
verschwindet damit,
das heißt das Moment bezüglich o ist 0, und wenn das Moment 0 ist,
dann haben wir gesehen,
dann muss der Drall nach der Drallerhaltung ein konstanter Vektor
sein, wenn der Drall aber ein konstanter Vektor ist, bedeutet dies,
dass die Flächengeschwindigkeit konstant ist.
Und diejenigen, die mal mit Himmelsmechanik zu tun haben, wissen, dass
das gerade das zweite Kepler'sche Gesetz ist.
Gibt es dazu Fragen?
Wer kennt den Kepler?
Jetzt nicht persönlich, sondern vom Namen.
Wer kennt ihn nicht?
Keiner will sich outen.
Sie kennen ihn nicht?
Wie?
Es war ein bekannter Astronom, hat einen Teil seiner Kindheit in der
Nähe von Karlsruhe verbracht, Richtung Pforzheim, war in Walderstadt
geboren, hatte leider eine Mutter, die etwas zänkisch war, was ihn
sehr viel Zeitaufwand gekostet hat.
Warum?
Und er lebte zu einer Zeit, wo zänkische Frauen gern ein bisschen
denunziert wurden, sprich als Hexe angeklagt war die.
Und nur durch seinen großen Einfluss konnte er praktisch verhindern,
dass die auf den Scheiterhaufen kamen.
Jetzt hatte ich gesagt, den Drallsatz können wir aus dem Impulssatz
letztendlich herleiten.
Kann man das immer?
Und da denken wir mal zurück an die Statik-Themen 1.
Wenn Sie dort Kräfte an einem Punkt haben, also wenn die
Wirkungslinien aller Kräfte durch einen Punkt gehen, wie sieht das da
aus mit der Momentbilanz?
Die brauchen Sie nicht, weil Summe aller Kräfte entspricht im Grunde
genommen auch Summe aller Momente bezüglich jedem beliebigen
Bezugspunkt gleich Null.
Wenn Sie ein Fachwerk haben, bei dem Kräfte immer nur an den Knoten
des Fachwerks angreifen, dann haben Sie etwas ähnliches.
Dort können Sie das immer zurückführen auf Summe aller Kräfte an einem
Punkt, also dort brauchen Sie auch keine Momentbilanz.
Wenn Sie allerdings irgendeinen beliebigen Körper haben, an dem Kräfte
angreifen und der soll im Gleichgewicht sein, was muss dann gefordert
werden?
Und natürlich Summe aller Kräfte gleich Null plus zusätzlich Summe
aller Momente bezüglich einem beliebigen Bezugspunkt gleich Null.
Das ist das, was Sie als Kräftebilanzen und Momentbilanzen kennen.
Sie können natürlich auch die Kräftebilanzen durch andere
Momentbilanzen ersetzen, aber letztendlich steckt immer das dahinter.
Das wird jetzt auch hier so sein, hier beim einzelnen Massenpunkt ist
der Trallsatz kein eigenständiges Axiom.
Wenn wir Systeme von Massenpunkten haben, dann kommt es darauf an,
sind das Systeme von Massenpunkten ähnlich wie bei einem Fachwerk, bei
denen also die Kräfte zwischen den einzelnen Massenpunkten immer nur
in Richtung der Verbindungsgerade wirken, dann können wir sozusagen
den Trallsatz dafür auch noch herleiten.
Wenn aber das nicht mehr der Fall ist, wenn wir das nicht mehr sichern
können, dann bleibt uns nur noch übrig, den Trallsatz als
eigenständiges Axiom einzuführen.
Das ist dann das, was ganz einfach heißt, Summe aller Momente
bezüglich dem Bezugspunkt gleich Ableitung des Tralls bezüglich des
selben Bezugspunktes nach der Zeit.
Das hört sich ganz einfach an, das ist in vielen Fällen natürlich auch
sehr einfach, zumindest die Fälle, die die Mechatroniker machen, die
machen nämlich nur eine ebene Bewegung in der TM3, das Ganze wird
etwas komplizierter in der TM4, wenn es nämlich um eine räumliche
Bewegung geht.
Und da führt eben der Trallsatz, wird schon mal irgendwo ein Kreisel
gesehen.
Kreisel können ganz lustige Bewegungen machen.
Oder man hat ein Kreisel, dann hängt man irgendwo was hin,
normalerweise würde das runterfallen, der Kreisel dreht sich dabei nur
zur Seite.
Das sind alles Effekte, die aus dem Trallsatz rühren.
Jetzt haben wir hier wirklich aber nur einen Massenpunkt, also da ist
das Ganze dann doch etwas einfacher.
So, gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zu Massenpunktsystemen.
Also Massenpunktsysteme.
Dabei zunächst mal die zugehörigen Grundlagen.
Was wollen wir wissen?
Nun, wir wollen wissen, wie sehen die Bewegungsgleichungen aus, wenn
wir nicht einen einzelnen Massenpunkt haben, sondern ein System von
endlich vielen Massenpunkten.
Also Bewegungsgleichungen für Systeme
mit endlich vielen Massenpunkten.
Und die einzelnen Massenpunkte, die stehen natürlich in Wechselwirkung
zueinander.
Die in
Wechselwirkung zueinander stehen und
damit eben gekoppelt sind.
Und die Arten der Kopplung,
die könnten dann sein geometrisch,
die könnten sein kinematisch oder
eben auch physikalisch.
Was bedeuten die einzelnen Arten der Bindung?
Zunächst mal die geometrischen Bindungen, die schränken eben die Lage
der einzelnen Massenpunkte ein.
Also geometrische schränken die Lage ein.
Nehmen wir einfach mal ein Beispiel.
Also zum Beispiel eine Handel aus zwei Massenpunkten und zwar im Raum.
Wir haben die beiden Massenpunkte verbunden durch eine starre
masselose Stange.
Also der Abstand der beiden Massenpunkte kann sich dann eben nicht
mehr verändern.
Wie können wir das ausdrücken über eine entsprechende Gleichung?
Und wenn wir entsprechende Koordinatenachsen einführen, x, y und z,
dann können wir jedem Massenpunkt entsprechende Koordinaten zuordnen.
Ich deute das mal so an.
Dann wäre, wenn das Massenpunkt M1 ist, das Massenpunkt M2, das hier
x1, die Strecke, das wäre die y-Koordinate des Massenpunktes 1, y1 und
das Vertikale wäre dann das z1.
Dasselbe könnten wir machen für den Massenpunkt M2 mit den Koordinaten
x2, y2 und z2.
Und wir wissen, falls die Handel die Länge L hat, dann gilt eben bei
unveränderlichem Abstand,
dass praktisch die Differenz der x-Koordinaten zum Quadrat plus die
Differenz der y-Koordinaten zum Quadrat plus die Differenz der z
-Koordinaten zum Quadrat.
Das muss gerade dem Quadrat der Länge der Stange entsprechen, also x2
minus x1 zum Quadrat plus y2 minus y1 zum Quadrat plus z2 minus z1 zum
Quadrat muss gerade sein L Quadrat.
Und man sieht, in dem Fall ist es eine Bedingung für die Koordinaten,
welche die Lage der beiden Massenpunkte beschreiben.
Es treten keine Geschwindigkeiten auf, sondern wirklich nur alles auf
Lageebene, deshalb geometrische Kopplung.
Allerdings treten die Koordinaten, wie man sieht, nicht linear auf,
die treten ja quadratisch auf.
Und man sieht, man hat eine starre Bindung, also das hängt dann
letztendlich auch nicht von der Zeit ab.
Und im Gegensatz dazu werden kinematische Kopplungen auf
Geschwindigkeitsebene formuliert.
Also
kinematische Bindungen haben
geschwindigkeitsabhängige Bindungsgleichungen.
Beispiel, wenn wir zwei Massenpunkte haben, die über ein Seil
verbunden sind, welches über eine Rolle gelegt ist, dann sehen wir,
wir haben irgendwo am Seil, das sei undehnbar, den Massenpunkt 1, M1,
am anderen Ende den Massenpunkt M2, wie gesagt, das Seil ist
undehnbar.
Die Koordinaten sind dann gegeben durch die Koordinate zum Massenpunkt
1, X1 nehmen wir die Koordinate zum Massenpunkt 2 als X2.
Und jetzt sehen wir, je nachdem, wo wir die Ursprünge, sprich die
Nulllagen der Koordinaten hinlegen, wird natürlich X1 und X2 nicht
unbedingt gleich sein.
Was wir aber wissen ist, wenn wir X1 ein bisschen ändern, dann ändert
sich in der gleichen Weise auch das X2.
Also in dem Fall gilt dann eben als Bindungsgleichung, dass X1 Punkt
gerade X2 Punkt ist.
Und würden wir die Koordinate X2 ebenfalls nach oben positiv annehmen,
dann wäre in dem Fall natürlich noch in der Bindungsgleichung ein
Minuszeichen drin.
Und man sieht,
in dem Fall könnten wir die Bindungsgleichung auch noch einmal nach
Bezug der Zeit integrieren.
Dann ergibt sich nämlich gerade, dass X1 dasselbe ist wie X2 plus noch
eine zusätzliche Konstante, die den Unterschied der Nulllagen
kennzeichnet.
Das heißt, man könnte die kinematische Gleichung noch einmal nach der
Zeit integrieren.
Das ist nicht für alle kinematischen Bindungsgleichungen möglich.
Für die, wo das möglich ist und für die geometrischen
Bindungsgleichungen, das sind dann die sogenannten Holonomen
-Bindungen, also geometrische und integrierbare
kinematische Bindungen.
Das sind die Gruppe der Holonomen-Bindungen und
nicht integrierbare kinematische Bindungen.
Das sind dann die Nicht-Holonomen-Bindungen.
Und was könnte ein Beispiel für eine Nicht-Holonome-Bindung sein?
Gerade wenn wir jetzt bei dem Wetter rausschauen, dann wissen wir,
wenn wir einen Massenpunkt haben, der auf einem Schlittschuh steht,
oder bei schönem Wetter könnte man wahrscheinlich auch einen Inliner
oder Rollschuh nehmen.
Da wissen wir aus Erfahrung, der Rollschuh oder der Schlittschuh, der
fährt eigentlich immer nur in Richtung seiner Kufe.
Wenn wir jetzt mal ein bisschen weiter denken, einen starren Körper
haben wir noch nicht gehabt, aber wenn wir jetzt mal über den
Massenpunkt ein bisschen rausdenken und mal, na gut, Seemann auf einem
Schlittschuh uns betrachten, dann ist das schon auch ein Körper mit
einer gewissen trägen Masse, der praktisch eine Drehung machen kann.
Das heißt, wahrscheinlich wissen wir aus der Physik, so ein starrer
Körper in der Ebene, der hat im allgemeinen Fall drei Freiheitsgrade.
Zwei Koordinaten, x und y meinetwegen, plus noch die Drehbewegung,
wenn keine Bindungsgleichungen vorliegen.
Wenn wir jetzt aber einen Schlittschuh haben, dann wissen wir, der
Schlittschuhfahrer hat jetzt drei Freiheitsgrade oder nicht.
Wir wissen, der kann, wenn er ein bisschen geübt ist, jeden Punkt der
Eisfläche anfahren und kann dann auch noch die Orientierung
entsprechend anpassen.
Also auf Koordinatenebene hat er wirklich drei Koordinaten.
Allerdings, das Einzige, was er machen kann, ist immer in Richtung
seines Schlittschuhs zu fahren.
Er kann immer nur dann aber während der Fahrt auch die Richtung des
Schlittschuhs verändern.
Also letztendlich haben wir so eine Bindungsgleichung, nämlich auf
Geschwindigkeitsebene, dass x-Punkt und y-Punkt gerade über den Winkel
der Orientierung gekoppelt sind, können die aber nicht integrieren,
weil praktisch sich ja der Winkel verändert.
Das wäre jetzt ein Beispiel für eine nicht-holonome Bindungsgleichung.
Vielleicht noch ein kleiner Hinweis, in einer der folgenden
Vorlesungen müssen wir auch die Vorlesung evaluieren, Sie kennen ja
das Prozedere.
Ich kündige das heute schon mal ein bisschen an, weiß aber jetzt nicht
genau, ob wir das nächste Woche machen oder ob ich das erst in zwei
Wochen mache.
Jetzt hatte ich gerade eben schon den Begriff der Freiheitsgrade
verwendet, das gibt es natürlich auch hier bei den
Massenpunktsystemen.
Also Zahl der Massenpunkte und Zahl der geometrischen und
kinematischen Bindungen,
die bestimmen die
Zahl der Freiheitsgrade.
Und was ist ein Freiheitsgrad?
Das ist die Zahl der unabhängigen Koordinaten, die ich brauche, um das
System praktisch lagemäßig zu bestimmen.
Also Zahl der unabhängigen Koordinaten,
um Lage aller Massenpunkte zu bestimmen.
Das haben wir gesehen bei Beispiel 2,
da hatten wir zwei Koordinaten,
wir sehen das X1 und das X2,
also zwei Koordinaten.
Wir hatten eine Bindungsgleichung,
das heißt insgesamt einen Freiheitsgrad.
Wenn wir unser erstes Beispiel anschauen, dann sehen wir, eigentlich
brauchen wir für die Bestimmung der Lagen von zwei Massenpunkten sechs
Koordinaten, nämlich drei Koordinaten für jeden Massenpunkt im Raum.
Jetzt haben wir eine Bindungsgleichung dazwischen, also werden es noch
fünf unabhängige Koordinaten sein.
Also bei Beispiel 1 haben wir zwei Massenpunkte mit je drei
Koordinaten.
Wir haben eine Bindungsgleichung,
das heißt die Zahl F der Freiheitsgrade ist in dem Falle zwei mal drei
minus eins, also gerade fünf Freiheitsgrade.
Das heißt, wenn wir das verallgemeinern,
ein System mit N Massenpunkten,
da brauchen wir drei N Koordinaten, um die Lage aller Massenpunkte zu
beschreiben.
Drei N Lagekoordinaten,
das heißt, wenn auch insgesamt R Bindungsgleichungen vorliegen, also
bei R geometrischen und kinematischen Bindungen,
ergibt sich somit die Zahl der Freiheitsgrade F zu zunächst mal drei N
minus R.
Falls wir uns in der Ebene bewegen, also falls eine ebene Bewegung der
Massenpunkte vorliegt, dann genügen natürlich zur Beschreibung der
Lage zwei Koordinaten, nämlich innerhalb der Ebene,
also F gleich zwei N minus R in der Ebene.
Ich teile es mal so ab, also das F gleich drei N minus R, das passt zu
dem oben Gesagten, wir haben N Massenpunkte, im Raum dann jeweils drei
N Lagekoordinaten, gibt drei N minus R Freiheitsgrade, falls wir uns
in der Ebene bewegen, dann haben wir nur noch zwei Lagekoordinaten für
jeden Massenpunkt und damit zwei N minus R Freiheitsgrade.
Gibt es soweit noch Fragen?
Und wenn wir jetzt mal vielleicht nochmal die Handel anschauen, mit
einer starren Masse verbunden, das hat ja schon was ähnliches wie so
ein Körper.
Stellt jeder fest, der im Fitnessstudio mal auf jeder Seite 100 Kilo
auflegt, da ist die Masse der Verbindungsstange annähernd
vernachlässigbar.
Und da merkt man, das verhält sich schon ein bisschen wie ein Körper.
Wie viele Freiheitsgrade hat ein starrer Körper, wer weiß das?
Niemand?
Sechs Freiheitsgrade, genau.
Warum hat jetzt unsere Handel nur fünf?
Genau, also die Handel ist an der Stelle, wenn wir die mit
Massenpunkten realisieren, ein bisschen exotisch.
Die hat natürlich zunächst mal drei Freiheitsgrade, wenn ich das Ganze
in der Raumrichtung irgendwo verschiebe, translatorisch.
Dann gibt es drei Koordinaten, in X, Y und Z Richtung zum Beispiel, wo
ich den Schwerpunkt oder einen der Massenpunkte verschiebe.
Und jetzt kommen noch weitere Freiheitsgrade durch die Drehung hinzu.
Und wenn wir die Handel um eine Achse senkrecht zur Handelstange
verdrehen, dann ist das auch wirklich mit Trägheit behaftet.
Und da gibt es genau zwei Richtungen.
Und um die dritte Richtung, nämlich um die Längsachse der Stange, da
ist definitionsgemäß die Trägheit null, weil ja nur Massenpunkte
vorliegen.
Genau.
So, jetzt haben wir geometrische und kinematische Bindungen
betrachtet, kommen wir jetzt zu den physikalischen Bindungen.
Wenn wir das ganz verallgemeinern, dann realisieren wir das über ein
Kraftelement, also physikalische Bindungen
realisiert über
ein Kraftelement zwischen
den Massenpunkten.
Das heißt,
innere Kräfte.
Und wir wissen auch gut, wenn wir so Kraftelemente haben, was sind
denn typische Beispiele.
Beispiele könnten sein, ich habe eine Feder zwischen zwei
Massenpunkten.
Da wissen wir, die Kraft in der Feder, die hängt ab von der
Federverlängerung, die Federverlängerung hängt wiederum ab von den
Lagekoordinaten.
Hätten wir statt der Feder ein Dämpferelement zwischen den beiden
Massenpunkten, dann wissen wir, die Kraft im Dämpfer, die hängt ab von
der Relativgeschwindigkeit der beiden Dämpferenden.
Also hängt das dann ab von den Geschwindigkeiten.
Das heißt, im Allgemeinen wird es so sein, dass eben die
physikalischen Bindungen abhängen von Lage und Geschwindigkeit.
Also über physikalische
Gesetzmäßigkeiten abhängig von
den Bewegungskoordinaten und deren Ableitungen.
Wobei die Abhängigkeiten durchaus auch nicht linear sein können.
Beispiel nicht lineare Feder oder nicht lineare Dämpfer.
Könnten auch ein Antriebselement haben zwischen zwei Massenpunkten,
das weiß ich, irgendein Hydraulikzylinder oder irgendein Motor oder
irgendwas.
Also da ist das ganz allgemein denkbar.
Beispiel, nehmen wir mal die Feder.
Das heißt, wenn wir zwei Massenpunkte haben, M1 und M2, die über eine
Feder mit einer linearen Charakteristik verbunden sind, beschrieben
dann durch die Federkonstante C, dann wissen wir, die Bindungskraft
F1,2 ist dann gerade C mal X, wenn X die Verlängerung der Feder ist
gegenüber dem entspannten Zustand.
Also X Federverlängerung gegenüber entspannten Zustand oder gegenüber
der entspannten Länge.
An dem Beispiel sehen wir auch, dass natürlich die Kraft F1,2, mit der
der eine Massenpunkt am anderen Massenpunkt zieht, betragsmäßig an
beiden gleich groß ist, aber gemäß Aktion und Reaktion unterschiedlich
gerichtet ist.
Ein anderes Beispiel, wo wir gar kein physikalisches Element zwischen
den Massenpunkten haben, ist dann zum Beispiel die Gravitationskraft.
Wenn wir da mal die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne nehmen,
dann haben wir hier irgendwo die Erde,
haben dann die Sonne und dazwischen natürlich die Kräfte von Sonne auf
Erde bzw.
von der Erde auf die Sonne, wobei die Kraft dann bestimmt wird, das
geben wir jetzt hier nicht explizit an, gemäß dem Gravitationsgesetz.
Also Kraft,
ich nenne die einfach mal F ohne Vektor, weil wir unterschiedliche
Richtungen haben.
F gemäß
dem Gravitationsgesetz.
Gibt es soweit Fragen?
Wir haben also ein System in Massenpunkte, wir wissen, die Lagen und
die Geschwindigkeiten der Massenpunkte, die sind eingeschränkt unter
Umständen durch Bindungsgleichungen, geometrische und kinematische
Bindungsgleichungen und es verbleibt eine gewisse Zahl von
Freiheitsgraden für unser System, allerdings wirken jetzt zwischen den
einzelnen Massenpunkten noch physikalische Bindungen, die praktisch zu
Kräften zwischen den Massenpunkten führen.
Und das wollen wir jetzt sehen, wie sich das auf das Gesamtsystem
auswirkt.
Deshalb betrachten wir im Weiteren jetzt Systeme aus N Massenpunkten.
Wir nennen die M i,
das heißt i geht von 1 bis N,
im Raum mit beliebigen Bindungen.
Wir wissen, auf die Massenpunkte wirken zum einen äußere Kräfte,
also auf Massenpunkt i wirken äußere Kräfte,
die fassen wir zusammen im Vektor F i und es könnten sein
Gewichtskräfte, irgendwelche vorgegebenen Kräfte, eingeprägte Kräfte,
also physikalisch vorgegebene eingeprägte Kräfte,
das sind dann also zum Beispiel Gewichtskraft.
Das könnte aber auch sein, eine Kraft, die jetzt einer Zwangskraft
entspricht, allerdings nicht einer Zwangskraft zwischen zwei
Massenpunkten, sondern zwischen dem Massenpunkt i und einer
eventuellen Führung.
Also einer Zwangskraft in Folge Führung und
so weiter.
Dies zu unterscheiden von einer Zwangskraft, die jetzt praktisch
zwischen den Massenpunkten wirkt, wie am Beispiel der Handel, wo ja
eine Zwangskraft wirken muss, um den Abstand immer konstant zu halten.
Also auf den Massenpunkt i wirken äußere Kräfte F i und innere Kräfte,
nennen wir die mal F i j, das heißt bei uns bezeichnet dann der erste
Index den Massenpunkt, auf den die Kräfte wirken und j dann die Masse,
von der die Kraft wirkt.
Also F i j zwischen M i und M j, geben wir es nochmal explizit an,
F i j ist die Kraft von M j auf M i, F j i ist
dann die Kraft von M i auf M j und wir wissen, beide sind gleich groß,
aber entgegengesetzt gerichtet, das heißt es muss gelten, F i j gleich
Minus F j i und
wenn wir jetzt mal voraussetzen, wir hätten nur zentrale Kräfte
zwischen den Massenpunkten, das heißt Kräfte, die entlang der
Verbindungslinie vom einen Massenpunkt zum anderen Massenpunkt wirken,
wie zum Beispiel bei der Erde und der Sonne oder beim Planetensystem,
da wirken ja die Kräfte immer in Richtung der Verbindenden zwischen
dem Planeten bzw.
zwischen Planet und Sonne.
Dann wissen wir, gut, R i minus R j, das ist der Vektor von
Massenpunkt i zum Massenpunkt j,
wenn aber die Kraft in Richtung dieses Vektors wirkt, dann muss das
Kreuzprodukt mit dieser Kraft gerade Null sein.
Also R i minus R j, Kreuz F i j ist Null, wie gesagt für zentrale
Kräfte.
Kommen wir damit zum Schwerpunktsatz.
Der liefert eine integrale Aussage über
die Bewegung des Systems,
insbesondere, das werden wir sehen, ich gebe das hier schon mal an,
über die Bewegung des Schwerpunktes des Systems.
Und wie kommen wir dahin?
Schreiben wir zunächst mal den Impulssatz für den Massenpunkt i an.
Dann wissen wir, es gilt für Massenpunkt i, M i mal R i zweipunkt,
gleich Summe aller Kräfte auf den Massenpunkt i, da haben wir gesehen,
es gibt F i, das war die Summe aller äußeren Kräfte als resultierende,
plus die inneren Kräfte, also ergibt F i plus, na gut, dann müssen wir
alle Kräfte F i j aufsummieren, die von den einzelnen Massenpunkten
auf den Massenpunkt i wirken.
Da sind natürlich alle Indizes außer dem Index i, also F i i, das gibt
es eigentlich nicht, um das Ganze zu vereinfachen, können wir das noch
einführen, na gut, als F i i, die Kraft von dem Massenpunkt auf sich
selbst, da verstehen wir einfach den Nullvektor.
Dann können wir das nämlich sehr einfach schreiben, dann gibt es eine
Summe, j gleich eins bis n, F, das waren auf den Massenpunkt i von den
Massenpunkten j ausgeübte Kräfte und werden jetzt definitionsgemäß
gesagt, F i i soll einfach Null sein.
Das gilt für den Massenpunkt i.
Was wir jetzt machen können ist natürlich,
wir bilden auf beiden Seiten der Gleichung die Summe über alle
Massenpunkte, das heißt wir bilden links Summe von i gleich eins bis
n, bilden dann rechts auch die Summe, i gleich eins bis n, Summe i
gleich eins bis n.
Und sehen, na gut, die Doppelsumme über i und j, ich deute das mal so
an von eins bis n jeweils, F i j, das ergibt ja F eins eins, das war
Null, plus F eins zwei, plus und so weiter bis F eins N, plus dann in
der nächsten Zeile F zwei eins, plus F zwei zwei,
plus bis letztendlich, ich deute das so an, F N N.
Und jetzt sehen wir, die auf der Diagonalen, die waren ja sowieso
Null, das hatten wir definitionsgemäß eingeführt.
Und bei allen anderen sehen wir, da gibt es eine Kraft F eins zwei
plus F zwei eins,
da beide gleich groß sind, aber im Gegensatz gerichtet, ergibt das in
der Summe Null.
Das gleiche mit F eins drei und F drei eins und so weiter.
Also letztendlich ergibt sich da geradezu Null für die Doppelsumme.
Ich schreibe das mal so, das gibt Null.
Und weil das Null gibt, fällt das weg.
Das heißt, man sieht, Summe I gleich eins bis N, M mal R I zwei Punkt,
entspricht Summe aller Kräfte, F I.
Also Summe I gleich eins bis N, M I, R I zwei Punkt, gleich Summe I
gleich eins bis N, F I.
Das können wir vereinfachen, wenn wir den Vektor zum Schwerpunkt
einführen.
Also, Einführung von
R S.
Wir wissen nämlich, Summe I gleich eins bis N, M I mal R I, muss
gerade sein, Gesamtmasse M,
mal den Vektor zum Schwerpunkt, also mal R S.
Das war Theme eins.
Und wenn wir die Gleichung einmal nach der Zeit differenzieren, dann
sehen wir gut die einzelnen Massen.
Die sind zeitinvariant, die Gesamtmasse ändert sich auch nicht.
Also ergibt es zunächst mal Summe M I, R I Punkt, gleich M mal R S
Punkt, beziehungsweise nochmals differenziert ergibt M I, R I zwei
Punkt, gleich M mal R S zwei Punkt.
Das heißt, wenn wir jetzt Summe I gleich eins bis N, M I, R I zwei
Punkt ersetzen durch M mal R S zwei Punkt, erhalten wir gerade M, R S
zwei Punkt, gleich Summe I gleich eins bis N, über alle äußeren an den
Massenpunkten angreifenden Kräfte.
Das ist der Schwerpunktsatz.
Das heißt, der Massenmittelpunkt des Systems, der Schwerpunkt, der
bewegt sich so, als wäre in ihm die gesamte Masse des Systems
vereinigt und alle äußeren Kräfte greifen am Schwerpunkt an.
Man sieht, innere Kräfte spielen hierbei keine Rolle, die Kräfte F, I,
J treten ja nicht mehr auf.
Also,
innere Kräfte treten
nicht auf.
Und in was für einem Zusammenhang könnte das wichtig sein, oder wo
gibt es da Beispiele dafür, wo man das ausnutzen kann?
Wer macht Leichtathletik?
Ein Einsamer.
Alle anderen machen nur noch Daumengymnastik.
Und in der Leichtathletik gibt es die Sportart Hochsprung.
Was hat der Hochsprung mit dem Schwerpunktsatz zu tun?
Ein geschickter Hochspringer springt natürlich schon ordentlich hoch,
aber er springt natürlich nie so weit hoch, dass der Schwerpunkt über
die Latte geht.
Sondern er mogelt sozusagen den Schwerpunkt unter der Latte durch.
Er muss also seine einzelnen Massenpunkte nach und nach über die Latte
bringen, wobei der Gesamtschwerpunkt stets unter der Latte ist.
Deshalb gibt es da so komische Hochsprungtechniken.
Nun, ich habe früher auch mal Leichtathletik gemacht, aber ob der
Jahre und des Bauches, geht es jetzt nicht mehr so gut.
Aber Sie können uns alle mal bei entsprechenden Wettbewerben.
Jetzt, glaube ich, fängt dann die Hallensaison an, im Sommer dann
wieder die Freisaison.
Im Grunde genommen machen das auch die Stabhochspringer.
Also ein Stabhochspringer, der braucht sozusagen Elemente aus der TM2,
nämlich seinen Stab, den er da mal ordentlich durchbiegt und Energie
speichert.
Und er braucht natürlich Elemente aus der TM3, denn er muss seinen
Schwerpunkt unterhalb der Latte durch mogeln.
So, ein anderes Beispiel.
Innere Kräfte treten nicht auf.
Insbesondere können Sie den Schwerpunkt nicht bewegen.
Da gibt es noch ein Beispiel, eher bekannt aus der deutschen
Literatur.
Vielleicht mal ganz interessant für unsere ausländischen Studenten,
auch mal so ein bisschen deutsche Kultur.
Es gibt sogenannte Lügengeschichten.
Also Geschichten, die anscheinend jemand erzählt hat, die aber nicht
so ganz wahr sind.
Und das sind die Lügengeschichten vom Freiherr von Münchhausen.
Wer kennt die?
Ein paar kennen die.
Also die anderen, die haben jetzt alle als Hausaufgabe über die
Winterferien mal sich irgendeinen Film anzuschauen.
Auf YouTube findet man das.
Gehen Sie einfach Münchhausen ein.
Da gibt es auch einen bekannten Schauspieler, der Namensvetter von
einem ihrer Professoren ist.
Nämlich der Herr Albers, allerdings der Hans Albers.
Und der Freiherr von Münchhausen, der erzählt also diverse
Lügengeschichten.
Und eine davon, das ist die, wo er in einen Sumpf reinfällt.
Und eigentlich nicht mehr rauskommt, aber dann hat er eine glänzende
Idee.
Nämlich er packt sich bei den eigenen Haaren und zieht sich an den
eigenen Haaren raus.
Und spätestens wer die TM3 gehört hat, der weiß natürlich, ui, wenn
man sich bei den Haaren packt, da mag zwar eine große Kraft wirken,
das tut auch ordentlich weh, aber das ist eine innere Kraft, wenn das
nicht der Gromelitone macht.
Und eine innere Kraft, da kann ich meinen Schwerpunkt schlecht
bewegen.
Also direkt als Lüge entlarvt.
Gibt es dazu noch Fragen?
Nun werden wir noch den Gesamtimpuls einführen.
P als Summe aller Einzelimpulse, also I gleich 1 bis N.
Der Einzelimpuls war Massenpunkt Mi mal Vi.
Das war also Summe über alle Pi.
Und P,
dann umformen, dann sehen wir gut, Summe Mi mal Vi.
Mi war gerade Mi mal Ri Punkt, das war M mal Rs Punkt, ergibt sich
also M mal Rs Punkt gleich M mal Vs.
Also der Gesamtimpuls von so einem System aus N Massenpunkten
entspricht gerade der Gesamtmasse des Systems M, Summe aller Mi,
multipliziert mit der Schwerpunktgeschwindigkeit.
Oder differenzielle Formen werden entsprechend die Ableitung des
Impulses gleich Summe I gleich 1 bis N Fi.
Wenn wir das so stehen haben, dann können wir wieder bezüglich der
Zeit integrieren.
Also Integration bezüglich T ergibt dann wieder die Differenz der
Impulse zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.
Also P Punkt integriert ergibt ja gerade P an den Zeitgrenzen gleich P
minus P Null.
Wenn wir mal unbestimmt integrieren, ergibt dann eben Integral von T
Null bis T.
Und zunächst mal haben wir auf der rechten Seite dann die Summe aller
Kräfte Fi,
die wir integrieren müssen.
Wir sollten immer zwischen Integrationsvariable und Integrationsgrenze
unterscheiden.
Deshalb schreiben wir an der Stelle dt quer oder auch dtau oder wie
auch immer.
Also wir müssen über das Zeitintervall von T Null bis T integrieren.
Und das ergibt dann den Impuls zum Zeitpunkt T, das könnte ein ganz
allgemeiner Zeitpunkt sein, minus den Anfangsimpuls.
Ein Sonderfall liegt dann natürlich vor, wenn zwischen den Zeitpunkten
T Null und T keine resultierende Kraft auf das System wirkt.
Also Sonderfall,
die resultierende Kraft verschwindet.
Dann ist also die Summe aller Kräfte Fi aufsummiert über alle
Massenpunkte gleich Null.
P, sehen wir, minus P Null ist dann Null, also ist P ein konstanter
Vektor.
P war Gesamtmasse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit.
Das war gerade der Gesamtimpuls zum Zeitpunkt T gleich T Null.
Also wie gesagt ist ein konstanter Vektor.
Das heißt für diesen Sonderfall bewegt sich der Schwerpunkt, weil ja M
die skalare Größe ist, mit einer konstanten Geschwindigkeit
betragsmäßig entlang einer geraden Linie.
Also Schwerpunkt
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit,
also geradlinig oder
eben erruht.
Das merkt man auch, wenn man auf einem Ruderboot ist.
Man nähert sich dem Ufer und man hält dann an.
Das kann man mit dem Paddel noch machen.
Und jetzt ist die Kraft in horizontaler Richtung zwischen Boot und dem
Wasser immer relativ klein, also annähernd Null.
Man merkt dann, wenn man aus dem Boot rausspringen will, dass das gar
nicht so wie gewohnt geht.
Denn zum einen hat man das Boot als Massenpunkt, zum anderen hat man
sich sozusagen in dem Fall als Ansammlung von Massenpunkten.
Und wenn das praktisch nur innere Kräfte sind, wo wir uns vom Boot
abstoßen, dann ist es natürlich so, dass der Schwerpunkt an derselben
Stelle bleibt.
Das heißt, das Boot macht eine Bewegung nach hinten, während wir auf
das Ufer zuspringen.
Aber wir springen wesentlich kürzer, als wenn wir von einem festen
Ufer abspringen würden.
Das ist das eine.
Ein anderes Beispiel ist, wenn Sie jetzt irgendwo im Weltall sind und
zünden eine Rakete, um praktisch dann wieder irgendwo hinzufliegen und
waren vorher sozusagen in Ruhe.
Dann stößt die Rakete nach hinten einzelne Massenpunkte aus.
Dieses Ausstoßen sind aber nur innere Kräfte.
Das heißt, der Gesamtschwerpunkt zwischen ausgestoßenem Treibstoff und
dem Rest der Rakete, der bleibt immer dann an derselben Stelle.
Oder wenn sich das mal bewegt hat, dann bleibt, sofern keine Kräfte
von irgendwelchen Planeten oder Sonnen wirken, dann bleibt der
Schwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit.
Gibt es dazu noch Fragen?
Wenn nicht, dann wie gesagt, nächste Woche kommt eine
Vorlesungsvertretung.
Wir sehen uns in 14 Tagen wieder.
Vielen Dank.