Ja, ich denke, wir können anfangen.
Guten Abend.
Wir machen jetzt so eine, ich sag mal, eine kleine Übung, die sich
überwiegend auf das bezieht, was ihr jetzt schon gemacht habt.
Ich glaube, nur die letzte Aufgabe geht ein bisschen darüber hinaus,
aber der Inhalt der Aufgabe ist, sag ich mal, relativ einfach.
Dafür braucht man den Vorlesungsinhalt noch nicht.
Also es ist jetzt die Idee, wir machen heute die Übung zu greifen, wo
es vor allem darum geht, wie man Griffe analysieren kann, wie man
Kraftgeschossenheit ableiten kann von den Eigenschaften von Griffen.
Das wollen wir uns heute anschauen.
Wir wollen uns heute das Greifproblem ein bisschen vereinfacht
anschauen.
Also in der Vorlesung war es überwiegend quasi im Dreidimensionalen.
Wir schauen uns heute eigentlich nur planares Greifen an, also in 2D.
Und da gibt es sogenannte Reibungsdreiecke.
Das ist im Grunde das in 2D, was man in 3D als Reibungskegel
bezeichnet.
Die wollen wir erstmal einfach nur aufzeichnen, grafisch erstellen.
Dann schauen wir uns den Grasp Rangespace an.
Das habt ihr noch nicht gemacht, das schauen wir uns deshalb ein
bisschen genauer in dieser Übung an, was genau das eigentlich ist, wie
man den zeichnen kann und was der bedeutet.
Und die Ergebnisse, die wir dann hier für diesen Grasp Rangespace
haben, nutzen wir dann, um Eigenschaften für die Kraftgeschossenheit
von Griffen abzuleiten.
Also es ist im Grunde so ein thematischer Block hier, der von oben
anfängt, den Griff zu analysieren, dann eine Darstellung findet, die
etwas abstrahiert davon, um dann Eigenschaften von dem Griff, die uns
interessieren, abzuleiten.
Und am Ende kommen so mediale Achsen, die sind im späteren Teil der
Vorlesung wichtig für Greifplanung.
Muss uns aber jetzt hier nicht interessieren, sondern wir schauen uns
einfach mal an, wie man im 2D-Fall so mediale Achsen überhaupt
ableiten kann.
Genau.
Und die erste Aufgabe, das ist eine Aufgabe, die wir schon seit dem
letzten Jahr haben.
Schauen wir uns so ein zweidimensionales Objekt an.
Also das ist hier dieses Rechteck hier oben im 2D-Raum.
Das hat einen Mittelpunkt.
Dieser Mittelpunkt soll auch der Schwerpunkt von diesem Objekt sein.
Also das C ist der Schwerpunkt.
Wir haben ein paar Punktkontakte mit Reibung.
Das werden wir später sehen.
Die sind dann irgendwie ungefähr hier und hier.
Und auf den Punkten können wir eben Kräfte auswirken.
Das ist im Grunde dann ein Drei- oder ein Zweifingergriff.
Wir schauen uns die beiden an.
Und in der ersten Aufgabe wollen wir einfach nur für diese drei Punkte
mal die Reibungsdreiecke aufstellen.
Also um zu wissen, welche Kräfte kann ich zu normalen vom Objekt
auswirken, welche Kräfte kann ich tangential auswirken und wie
kombinieren die sich zusammen.
Und um das zu tun, schauen wir uns zunächst mal den Öffnungswinkel an.
Da habe ich gleich auch nochmal die Folien aus der Vorlesung.
Dieser Öffnungswinkel kommt von einem Reibungskegel ursprünglich.
Da haben wir ihn auch in der Vorlesung drin gehabt.
Und der hängt eben davon ab, mit welchem Reibungsfaktor man, welchen
Reibungsfaktor -Koeffizienten die Oberfläche hat.
Den machen wir jetzt hier der Einfachheit halber mal auf 1.
Aber man kann auch einen anderen Wert dann einsetzen für die
wirklichen Oberflächen.
Genau.
Dann zeichnen wir die Kraftvektoren und die Reibungsdreiecke und
bestimmen am Ende auch die Werte von denen.
Also am Ende kommt hier so eine Art Dreieck raus.
Ja, wir haben dann hier Kraftvektoren, die seitlich weggehen.
Dann wollen wir auch ausrechnen, wie groß diese Vektoren sind.
Genau.
Und wir wollen also zuerst diesen Öffnungswinkel von dem Dreieck
bestimmen.
Das war im Grunde der, wenn man die Normalkraft hat, dann gab es immer
eine Kombination aus Normal- und Tangentialkraft.
Und dieser Öffnungswinkel, der befindet sich dann hier zwischen der
Normalkraft und dem Rand von diesem Reibungsdreieck.
Und dafür habe ich die Folien jetzt einfach mal hier nochmal
eingelegt.
Für die Kontaktmodelle, die es in der Robotik gibt.
Das war natürlich einmal dieser Kontakt ohne Reibung, der natürlich
nur so, sag ich mal, für die Theorie interessant ist.
Der mit Reibung und der softe Kontakt.
Und wir, also das ist ja jetzt hier im Grunde 3D, wenn wir uns im 2D
-Umfeld bewegen, dann gibt es zwei Interpretationsmöglichkeiten.
Also entweder gibt es diesen soften Kontakt nicht, weil es keine
axialen Kräfte gibt.
Oder man sagt, der softe Kontakt ist im 2D-Fall äquivalent mit dem
Reibungskontakt.
Also diesen dritten Fall müssen wir gar nicht betrachten, sondern wir
schauen uns hier nur den Fall an in 2D.
Und in 2D kriegen wir einfach nur einen Schnitt durch diesen
Reibungskegel.
Also was hier jetzt eine Kraft in Richtung der normalen wäre.
Und wenn wir dann zusätzlich eine Reibungskraft haben, die tangential
zu dem Kontakt wirkt, dann entsteht eben dieser Rand vom Reibungsteig
oder eben vom Kegel im 3D-Fall.
Das ist dieser hier.
Und die wollen wir eben nachher ausrechnen.
Aber wir sind noch beim Beta.
Das Beta kam auch einmal in der Vorlesung vor, nur ein bisschen klein.
Ich weiß nicht, wie genau Tayrim das behandelt hat.
Hier kann man es nochmal sehen, die Formel einmal herausgestellt.
Wir schauen uns gleich auch ein bisschen genauer an, wo die denn
herkommt.
Also wenn wir den Öffnungswinkel berechnen wollen, dann ist er nur
abhängig davon, welchen Reibungskoeffizienten die Oberfläche hat.
Das hängt damit zusammen, dass eben die Reibungskraft zumindest in
ihrer Größe, nicht in der Richtung, proportional zur normalen Kraft
ist.
Mit dem Faktor µ dazwischen.
Und die Reibungskraft ist hier oben.
Und die normalen Kraft hier.
Und dann haben wir ein ganz normales Dreieck, in dem wir dann eben mit
Tangens des Beta ausrechnen können.
Genau.
Also die Formel, Aktung von µ.
Und das ist jetzt dann doch relativ einfach für uns auszurechnen.
Wir haben nämlich die 1 gewählt, damit es besonders einfach wird.
Und was bedeutet das, wenn wir jetzt nicht den Taschenrechner anwerfen
wollen?
Das bedeutet, dass Tangens von Beta gleich 1 sein soll.
Und wenn wir uns so ein Dreieck vorstellen,
dann ist der Tangens ja immer die Gegenkathete durch die Ankathete.
Und das ist gleich 1, also wenn die Gegenkathete gleich die Ankathete
ist, gleich Länge haben.
Und das heißt eben, dass Beta 45° sein muss, oder wenn man so will Pi
Viertel.
Kann man natürlich auch mit dem Taschenrechner machen.
Genau, das heißt wir haben in diesem Fall, wo wir µ gleich 1 haben,
einen Öffnungswinkel von 45°.
Und den können wir dann auch benutzen, um die Reibungsdreiecke zu
zeichnen.
Genau.
Ich habe es hier jetzt nochmal eingezeichnet.
Also wenn wir eine Normalkraft hier haben und eine Reibungskraft.
Und wir wissen, dass unsere Reibungskraft, zumindest wenn ich jetzt
nur in der Länge bin, da ich µ mal die Länge von Fn ist,
dann kann ich ja den Tangens Beta aufstellen.
Beta ist gleich die Gegenkathete, also unser Fr in der Länge durch
unser Fn.
Und unser Fr ist ja µ mal die Normalkraft durch die Normalkraft.
Und dann sehen wir, dass sich eben die Normalkraft hier wegkürzt.
Ja, also hieraus kommt eben diese Formel.
Sofern wir die Reibung annähern können durch einen einfachen
Reibungskoeffizienten, was nicht immer der Fall ist, dann gilt eben
diese einfache Formel von Tangens Beta ist gleich µ.
Genau.
Und was machen wir jetzt damit?
Okay, wir haben jetzt Kontaktpunkte gegeben.
Und Kraftvektoren, die an diesen Kontaktpunkten wirken sollen.
Und wir wollen die Reibungsdreiecke zeichnen.
Was machen wir da im Allgemeinen für?
Jetzt erstmal nur nicht an der konkreten Aufgabe.
Also wir haben unsere Kraftvektoren.
Und was wir als erstes immer machen, ist unseren Kraftvektor an den
Punkt schieben, wo er wirklich angreift.
Also der Kraftvektor wirkt an dem Kontaktpunkt.
Das heißt, wir schieben ihn dahin.
Und jetzt können wir, da wir den Öffnungswinkel ja berechnet haben,
einfach 45° den Öffnungswinkel machen, um das hier zu zeichnen.
Also das hier ist jeweils der Winkel Beta.
Und wenn wir eine konkrete Kraft haben, die jetzt wirkt, in dem Fall,
dann hört unser Reibungstreieck da auf, wo auch der Kraftvektor
aufhört.
Oft geht es eigentlich auch nur um die Richtung der normalen.
Aber in dem Fall wäre dann unser Reibungstreieck hier zu Ende.
Man kann sich natürlich vorstellen, wenn man jetzt eine größere Kraft
aufbringt, Nährkraft, dann ändert sich an dem Öffnungswinkel nichts,
weil ja die Reibung konstant bleibt.
Aber das gesamte Dreieck wird dann eben entsprechend größer.
Und so skaliert dieses Reibungstreieck mit der Kraft, die man auf dem
Kontaktpunkt aufbringt.
Genau.
Das ist hier nochmal auf den Folien dargestellt.
Und dann wollen wir das Ganze für die Aufgabe machen.
Da haben wir jetzt hier die drei Kontaktpunkte, die in so einem
Dreieck verteilt sind, um den Schwerpunkt.
Und das können wir dann machen, indem wir...
Die Pfeile sind hier jeweils immer nur einen halben, also eine halbe
Einheit lang, was in der Aufgabe gegeben.
Können wir also reinbringen.
Können unsere Ränder zeichnen, jeweils in den 45 Grad.
Das ist jetzt nicht so einfach, aber schauen.
Nehmen wir mal einfach an, das wären ungefähr 45 Grad.
Und dann können wir unsere Reibungsdreiecke oben zumachen.
Und sagen damit, dass diese Aufgabe erfüllt ist.
Dieser Teil geht eigentlich nur darum, dass man das einmal grafisch
aufzeichnet, weil wir eigentlich die Werte haben wollen.
Also das ist der nächste Aufgabenteil.
Uns interessieren nämlich eigentlich diese Ränder hier vom
Reibungsdreieck.
Und die Ränder brauchen wir später, um diesen Grass Branch Space
berechnen zu können.
Deshalb brauchen wir dafür erstmal konkrete Werte.
Hier ist nochmal aufgezeichnet, wie das konstruiert wird.
Okay, also wollen wir das Ganze berechnen.
Wir können es natürlich geometrisch machen.
Wir haben ja den Öffnungswinkel ausgerechnet.
Und können damit ganz einfach geometrisch bestimmen, wie lang diese
Seite des Dreiecks ist.
Ich würde es trotzdem jetzt einmal, sage ich mal, von der
Herleitungsseite her so machen, dass wir uns die Kräfte anschauen,
also die normalen Kräfte, die roten, und die Reibungskräfte.
Und die Ränder von dem Reibungsdreieck sind die Summe der Normalkräfte
und der Reibungskräfte.
Also wenn wir hier diesen Fall hier als die FA zum Beispiel
bezeichnen, dann wäre FA gleich die Normalkraft plus die
Reibungskraft.
Dann ist natürlich, wie kommt man auf die Reibungskraft?
Wir wissen, wie man die Länge der Reibungskraft bestimmt.
Ja, das ist ja, das haben wir jetzt schon fünf Mal aufgeschrieben.
Aber die Reibungskraft selbst wirkt immer tangential zum Kontakt.
Also orthogonal zu der normalen Kraft.
Das heißt, die Reibungskraft selber ist orthogonal, wenn ich mal
dieses Symbol benutze, zur Kraft.
Und die Eigenschaften können wir benutzen, um eben diesen
Reibungsvektor auszurechnen.
Genau.
Den gibt es natürlich in der anderen Richtung, es ist einfach nur,
ändert sich nur, ob wir Plus oder Minus machen.
Mehr ändert sich hier nicht.
Okay, dann machen wir das einmal für F1.
Das ist dieser Punkt hier.
Wir haben die Kraft gegeben.
Und wir brauchen, um die Reibungskraft zu bestimmen, einen Vektor, der
orthogonal zu F ist.
Ja, dann nenne ich mal einfach F orthogonal.
Und um einen orthogonalen Vektor zu bekommen, kann man zum Beispiel
die Y-Komponente negativ in die X-Komponente schreiben und die X
-Komponente in die Y-Komponente.
Es erzeugt einfach nur einen um 90 Grad gekippten Vektor.
Dann bekommt man hier 0,5 und 0 raus.
Das ist ein Vektor, der hier oben in diese Richtung zeigen würde.
Und da ändert sich auch nicht viel dran.
Also was wir jetzt noch machen müssen, ist die Skalierung.
Wir haben das hier gemacht, wir müssen jetzt noch den Vektor
skalieren, den wir orthogonal gemacht haben.
Das heißt, wir können jetzt den orthogonalen Vektor mit µ
multiplizieren, aber das war ja 1.
Also da ändert sich nichts.
Und damit haben wir einen Reibungsvektor bestimmt.
Und jetzt können wir eben die Mischung aus den beiden bestimmen.
Also zum Beispiel, wir sind ja hier oben.
Diesen Vektor, wenn wir den mal fa nennen,
dann ist der eben die normale f plus fr.
Und dann bekommen wir hier, f ist 0 und minus 0,5 und fr ist 0,5 und
0.
Kommen wir also als Vektor hier raus, die 0,5 und minus 0,5.
Und wenn wir uns den Vektor hier oben anschauen, den ich da
eingezeichnet habe, also den hier, dann geht er eben 0,5 in die x
-Richtung, das ist dieser hier, und minus 0,5 in die y-Richtung.
Und das gleiche können wir eben auch machen für den anderen.
Den anderen Randvektor nennen wir ihn mal einfach fb.
Und für fb müssen wir eben die Reibungskraft abziehen.
Also Reibungskraft kann in die eine oder andere Richtung wirken.
In 3D ist es natürlich komplizierter, aber in 2D gibt es nur die zwei
Möglichkeiten.
Und das sind jetzt 0,5 und 0.
Und dann bekomme ich hier raus minus 0,5 und minus 0,5.
Und man sieht auch, der fb-Vektor geht eben in die x-Richtung nach
links ins Negative und in die y-Richtung nach unten ins Negative.
Das sind das hier meine beiden Randvektoren für 1.
Das Ganze müssen wir natürlich...
Okay, ich habe es jetzt hier nochmal auf den Folien, damit ihr es
nachher nachschauen könnt.
Also erster Schritt ist, nochmal die Orthogonale zu bestimmen, dann
den Reibungsvektor mit dem Reibungskoeffizienten zu skalieren.
Und dann kann man eben die Randvektoren ausrechnen.
Und für f2 geht es eben genauso.
Also jetzt können wir es natürlich ein bisschen schneller machen.
Also wir machen erst eine Orthogonale davon, also die x- und y-Werte
drehen und einen invertieren.
Dann skalieren, um den Reibungsvektor zu bestimmen.
Und dann können wir die Randvektoren eben bestimmen.
Und dann kommt für fa minus 0,5 und 0,5 raus.
Und wir sind bei ihm hier.
Also gehen wir in die negative x-Richtung und positiv in die.
Also ist das hier unser fa.
Und dann hoffen wir natürlich, dass bei fb der rechte rauskommt.
Minus 0,5 und 0.
Gibt uns hier 0,5 in x-Richtung und 0,5 in y-Richtung.
Und das sieht nach diesem Vektor hier aus.
Genau.
Da fehlt uns nur noch der letzte.
Also hier nochmal auf der Folie.
Der letzte ist noch wesentlich einfacher.
Wir haben hier zwei Kontaktpunkte, auf die dieselbe Kraft wirkt.
Also f3 und f2 sind identisch.
Und wir haben auch denselben Reibungskoeffizienten.
Also sowohl die Normalkraft als auch der Reibungskoeffizient sind
gleich.
Und wenn das der Fall ist, dann sind auch die Reibungstreike gleich.
Deshalb brauchen wir die Kräfte hier nicht ausrechnen.
Tatsache, dass sie an einem anderen Punkt angreifen, ist jetzt erstmal
für die Kräfte.
Die wirken egal.
Später für die Drehmomente ist es natürlich wichtig, an welchem Punkt
sie angreifen.
Dann sehen wir auch, dass es Unterschiede gibt zwischen den beiden
Kontaktpunkten.
Genau.
Also da muss man eigentlich gar nichts rechnen.
Und dann können wir mit den Ergebnissen, die wir jetzt hier aus
Aufgabe 1 ausgerechnet haben,
mit der Aufgabe 2 weitermachen, wo es um Wrenches geht.
Also wir rechnen die erstmal aus.
Schauen uns gleich nochmal die...
Ich glaube die Folie nicht, aber ich habe es nochmal draufgepackt, wie
Wrenches in 2D definiert sind.
Und dann schauen wir uns an, was der Unterschied zu 3D ist.
Wir machen dann einen Grass-Wrench-Space.
Dafür habe ich die Folien zumindest eingefügt.
Die gibt es aber auch nur 2 oder 3 in der Vorlesung.
Ich glaube, da hilft es besser, wenn man das einfach mal macht und
dann ein bisschen analysiert, was da eigentlich entstanden ist, wenn
man es selbst gezeichnet hat.
Und das machen wir für einen Zweifingergriff, also an zwei Punkten.
Das sind dann diese beiden Punkte hier.
Und wir machen das Ganze auch für den Dreifingergriff, also wenn man
das Objekt mit drei Fingern greifen würde.
Dann kommt der hier hinzu.
Und dann sieht man da den Unterschied.
Und nach einer Analyse von der Kraftgeschlossenheit werden wir dann
sehen, wie sich diese Unterschiede in dem Diagramm dann auswirken auf
den Griff.
Genau.
Hier habe ich es kurz hingeschrieben.
Wrenches in 2D bestehen im Grunde aus Kräften und Drehmomenten, so wie
in 3D.
In 3D ist so ein Wrench ja sechsdimensional.
Da hat man lineare Kraft in drei Dimensionen und auch Drehmoment in
drei Dimensionen.
Und wenn man nach 2D wechselt, dann bleiben im Grunde die linearen
Kräfte in X- und Y-Richtung übrig.
Und drehen kann man eigentlich nur in eine Richtung.
Man kann ja eigentlich nur um die imaginäre Z-Achse drehen, wenn man
in der Ebene ist.
Das heißt, im Grunde bleibt dieser Teil hier über.
Und deshalb sind Wrenches in 2D so ein bisschen unsymmetrisch, haben
zwei lineare Kräfte und einen Drehmoment.
Diese unsymmetrische Eigenschaft findet man auch bei der Berechnung
des Drehmoments, das ich direkt darunter geschrieben habe, im
zweidimensionalen Fall.
Das hier, es sieht aus wie so ein Kreuzprodukt, passt natürlich nicht
ganz.
Ein richtiges Kreuzprodukt ist nur in zum Beispiel drei oder sieben
Dimensionen definiert.
In 2D macht es auf den ersten Blick erstmal keinen Sinn.
Was wir hier aber ausgerechnet haben, ist im Grunde, wenn man den
Vektor hinschreiben würde, als dreidimensional, und jeweils die Z
-Komponente Null macht und dann das Kreuzprodukt berechnet,
dann kommt da ein dreidimensionaler Vektor raus, der hat den x- und y
-Null, weil da die Z-Komponenten mit reinspielen, aber der hat in der
Z -Komponente den Wert, den wir da oben schon sehen, minus fx stehen.
Und das ist im Grunde das, was ich eben meinte, dass man die Kräfte in
den Ebenen hat, aber die Rotation erfolgt eigentlich um diese
imaginäre Z-Achse.
Deshalb findet man beim dreidimensionalen Kreuzprodukt auch genau hier
die Formel für das zweidimensionale Kreuzprodukt wieder.
Macht aber auch nichts, wir können die Formel einfach anwenden, um
unsere Drehmomente zu berechnen.
Was wir zuerst machen, bevor wir die Drehmomente berechnen können,
also die Kräfte haben wir schon, die haben wir vorher ausgerechnet,
ist, wir müssen diesen Distanzvektor berechnen.
Und das Drehmoment wirkt ja immer um den Schwerpunkt des Objekts, also
c.
Und das heißt, wir berechnen den Abstand von c zu den einzelnen
Kontaktpunkten als Vektor, als zweidimensionaler Vektor.
Und was müssen wir dafür machen?
Wir nehmen z.B.
P1 minus den Schwerpunkt.
P1 ist hier gegeben als 3,4.
Wir ziehen den Schwerpunkt ab, das war die 4,3.
Und dann bekommen wir einen Vektor, der ist minus 1 und 1.
Für D2 genauso, also dann nehmen wir P2 minus c.
D2 ist hier.
5,2 minus 4,3 gibt 1, minus 1.
Und D3 ist P3 minus c.
Da haben wir 3,2 minus 4,3.
Und da kommt dann minus 1 und minus 1 raus.
Jetzt können wir noch gucken, ob das geometrisch so halbwegs passt.
Also D1 ist dieser Vektor hier.
D1 geht minus 1 in die x-Richtung, ist richtig, und positiv in die y
-Richtung.
D2 geht positiv 1 in die x-Richtung und nach unten minus 1 in die y
-Richtung.
Und D3 geht in beide Richtungen negativ nach links und nach unten.
Okay, also damit haben wir die Abstände zum Schwerpunkt berechnet und
damit können wir dann eben die Formel, die wir hier beschrieben haben,
ausrechnen für die drei, für die insgesamt sechs Kräfte, weil wir es
jeweils für die Ränder vom Reibungstreik machen.
Also die Kräfte A und B benutzen wir und wir rechnen die Drehmomente
für alle von den Dreien aus.
Das heißt, wir haben hier unser D1 Kreuz FA1, wenn man das einträgt,
um das auszurechnen.
Und wenn man sich nicht immer die Formel merken kann, das ist
eigentlich relativ einfach, man nimmt im Grunde die Hauptdiagonale,
multipliziert die zusammen
und man zieht davon die Diagonale in der anderen Richtung ab.
Dann muss man sich nicht merken, wie rum das xy hier war.
Und dann kommt hier 0,5 minus 0,5, also 0 heraus.
Jetzt können wir uns fragen, was bedeutet dieser Wert, macht der Sinn?
Der Punkt P1 war hier und FA1 wirkt in diese Richtung hier.
Also vom Kontaktpunkt genau auf den Schwerpunkt des Objekts.
Und wenn man eine Kraft genau auf den Schwerpunkt von einem Objekt
auswirkt, dann führt das eben zu keiner Rotation, sondern nur zu einer
Translation.
Und deshalb haben wir hier kein Drehmoment für diese Kraft.
Wir würden aber erwarten, wenn wir uns gleich die andere Kraft
anschauen, dass wir einen Drehmoment haben.
Dann machen wir das mal für B.
Dann machen wir wieder unseren Trick, erst die Hauptdiagonale
miteinander multiplizieren.
Und davon abziehen die andere Diagonale.
Dann kommt hier raus, dass hier sind 0,5 plus 0,5 ist 1.
Und ich hatte es eben gesagt, das ist jetzt hier die andere Kraft, die
in diese Richtung wirkt, das FB1.
Und wenn wir eine Kraft in diese Richtung wirken, dann entsteht ein
Drehmoment in diese Richtung um den Schwerpunkt.
Natürlich entsteht gleichzeitig auch eine Bewegung.
Und diese Drehung ist entgegen des Uhrzeigersinns, das heißt wir
wissen schon mal, hier muss auf jeden Fall ein Tau größer 0
rauskommen.
1 ist größer 0, also zumindest von der Perspektive ist dieses Ergebnis
plausibel.
Dann müssen wir das Ganze noch für die 4 anderen Fälle machen.
Gehen wir mal ein bisschen schneller dann durch.
Was haben wir hier?
Wir haben natürlich jetzt am Kontaktpunkt 2 andere D-Vektoren.
Dann kriegen wir hier 0,5 minus...
kommt hier auch eine 0 raus.
Und das war auch dieser Vektor, der wieder gegen den Schwerpunkt geht.
Bei B geht es genauso.
0,5, 0,5.
Und dann haben wir hier 0,5 minus... minus 0,5, also kommt hier die 1
raus.
Das ist dann dieser Vektor hier, der FB2.
Und der erzeugt wieder ein positives Drehmoment.
Also passt die 1 soweit.
Dann hatten wir ja eben, wir schauen uns als nächstes den P3 an.
P2 und P3 hatten ja dieselben Kräfte, auch im Reibungsteiljagd.
Jetzt werden wir natürlich sehen, dass die Drehmomente, die angreifen,
natürlich unterschiedlich sind, weil es abhängig ist, wie der
Schwerpunkt relativ zum Kontaktpunkt liegt.
Genau.
Also erwarten wir hier ein anderes Ergebnis als bei 2.
Kommt minus 1 raus bei... in die A-Richtung.
Und diese ist dieser Vektor hier, der Kraftvektor.
Das ist FA3.
Wirkt in diese Richtung und in dem Moment kriegen wir ein Drehmoment
in die MO-Zeigersinn.
Das heißt, unser Tau ist kleiner als 0.
Minus 1 passt also für diesen Wert.
Und für Tau B3 erwarten wir wieder eine 0, weil unsere Kraft zum
Schwerpunkt wirkt.
Schauen wir nochmal kurz nach.
Und da kommt 0 raus.
Okay.
Also das war im Grunde die Ranges berechnen.
Das war der erste Teil von Aufgabe 2.
Wir sind noch nicht ganz fertig, aber der Rest ist ja relativ trivial.
Also wir haben unsere Kräfte, die haben wir aus Aufgabe 1 berechnet.
Im ersten Teil von Aufgabe 2 haben wir die Drehmomente berechnet.
Und um jetzt zum Beispiel einen Range aufzustellen für den A1-Fall,
dann tragen wir einfach die Kraft ein und das Drehmoment.
Die Kraft ist natürlich zweidimensional, also haben wir hier zwei
Werte.
Das ist natürlich hier.
Und das Drehmoment ist eindimensional, also haben wir hier einen Wert.
Also kommen wir dann hier auf jeweils drei wertige Ranges.
Die ist relativ langweilig nur abschreiben, deshalb habe ich jetzt
hier die Tabelle mal aufgeschrieben.
Also sind im Grunde die Kräfte reinkopiert und die Drehmomente
reinkopiert.
Und dann haben wir einen zweidimensionalen Range, der an den
Kontaktpunkten wirken kann.
Genau.
Und die wollen wir jetzt benutzen, um diese Rangespaces zu zeichnen.
Zumindest eine Projektion in 2D, weil selbst im zweidimensionalen Fall
sind diese Ranges ja dreidimensional.
Also eigentlich müsste man dreidimensional plotten.
Wir begnügen uns aber mit dem zweidimensionalen Fall.
Also wir projizieren in diese Fy- und Tau-Ebene.
Fx und Fy sind relativ gleich, sodass wir das jetzt hier erstmal
ignorieren.
Theoretisch für die Beweise, die wir nachher führen für die
Kraftgeschlossenheit, müsste man eigentlich den dreidimensionalen Raum
komplett betrachten.
Wir machen es aber so ein bisschen einfacher.
Genau.
Also der erste Griff, den wir uns anschauen wollen, das ist der mit
diesen beiden Punkten.
P1 und P2.
Und P3 ignorieren wir einfach mal.
Der kommt in den zweiten Teil der Aufgabe dran.
Genau.
Und jetzt habe ich hier schon mal die Folie vorweggenommen, die
eigentlich aus der Vorlesung stammt.
Ich glaube, soweit seid ihr aber gar nicht gekommen.
Das ist der Grasp-Wrench-Space.
Und der ist im Grunde eine konvexe Hülle.
Wir schauen uns auch nochmal im Verlauf an, was denn genau eine
konvexe Hülle ist.
Aber konvexe Hülle bedeutet im Grunde einfach nur, dass man ein
Polygon um die einzelnen...
Also das hier sind hier im Grunde die Wrenches.
Und man hat hier einfach ein Polygon um die herum gezeichnet.
Das ist die konvexe Hülle über diese Vektoren.
Und welche Vektoren benutzen wir?
Wir benutzen diese Kontakt-Wrenches, die wir gerade ausgerechnet
haben.
Und über die bilden wir die konvexe Hülle.
Wenn wir das machen, dann haben wir einige Möglichkeiten, den Griff zu
analysieren.
Also wir können Kraftschluss analysieren.
Das tun wir damit, indem wir schauen, ob der Grasp-Wrench-Space den
Ursprung enthält.
Also die 0,0,0.
Das ist jetzt hier etwas vereinfacht dargestellt.
Also es reicht nicht nur, den Ursprung zu enthalten, sondern man muss
auch den Ursprung mit einem gewissen Abstand enthalten.
Das schauen wir uns aber auch noch an.
Und man kann gewisse Qualitätsmaße schon finden, wenn man diesen Raum
ausgerechnet hat.
Eines dafür wäre zum Beispiel das Volumen.
Und ein anderes ist die größte einschließende Kugel.
Im 2D-Fall, das werden wir uns dann anschauen, nimmt man natürlich
keine Kugel, sondern einen Kreis.
Das gibt einem so das Gefühl, wie weit kann ich Kräfte, Wrenches
aufbringen, bis der Griff nicht mehr hält.
Und das schauen wir uns aber dann auch nochmal genauer an.
Also was müssen wir machen, wenn wir jetzt diesen Grasp-Wrench-Space
zeichnen wollen?
Wie gesagt, wir machen eine Projektion in die Fy- und Tau-Ebene.
Das heißt, wir ignorieren jetzt einfach mal die Werte für xfx.
Und dann ist es im Grunde ja nur ein 2D-Plotten von den Punkten.
Also, r hier liegt bei minus 0,5 und 0.
Das ist hier der a1.
Der a2 liegt bei 0,5 und 0.
Das ist r hier.
Da a2 mache ich natürlich.
Dann der b1 liegt bei minus 0,5 und 1.
Also hier.
Das ist r hier.
Und der b2 bei 0,5 und 1.
Das ist r hier.
Und was wir jetzt nur noch machen müssen, ist drumherum die konvexe
Hülle zu bilden von diesen vier Punkten.
Und wenn wir die konvexe Hülle bilden, dann ist alles hier drin unser
Grasp -Wrench-Space.
Also das hier ist der GWS.
Natürlich nur die Projektion jetzt hier in 2D.
Aber in 3D sieht es dann ähnlich aus, wie dieser Raum aussieht.
Und das ist im Grunde alles, was wir in dieser Aufgabe machen wollen.
Ja, wir zeichnen den erst mal.
Und in Aufgabe 3 schauen wir uns dann an, was können wir daraus dann
für Eigenschaften ableiten.
Das war jetzt hier dieser, sag ich mal, einfacher Fall mit zwei
Punkten, wo dieses Ergebnis dann am Ende rauskommt.
Für drei Punkte wird es natürlich ein bisschen anders sein.
Also wir haben jetzt Inie neu hinzubekommen, den Dreifingergriff.
Und wir wollen dasselbe machen.
Das heißt wieder die x-Werte ignorieren, nur die y- und die tau-Werte.
Das heißt, machen wir das mal wieder.
Das sind natürlich wieder sehr ähnliche Punkte.
Also zumindest der erste Teil bleibt natürlich gleich.
Ja, die haben wir schon mal gesehen hier.
Er hier ist neu, vom dritten Kontaktpunkt.
Also 0,5 und minus 1.
Das ist hier.
Den hatten wir vorher nicht.
Dann haben wir hier die ersten beiden.
Die kennen wir schon, das sind diese beiden hier.
Und der letzte ist 0,5 und 0.
Das ist wieder derselbe hier.
Das heißt nicht, dass die beiden hier gleich sind.
Also diese beiden hier.
Die unterscheiden sich in der x-Komponente.
Man sieht es hier jetzt nur nicht, weil wir uns nur die Projektion
anschauen auf den zweidimensionalen Raum.
Genau, dann können wir wieder die konvexe Hülle bilden.
Und haben dann wieder unseren Grasp-Range-Space.
Zumindest im zweidimensionalen projizierten Raum gefunden.
Genau.
Und jetzt wollen wir damit natürlich was machen.
Also wir haben jetzt die Kräfte analysiert, wir haben Ranges
ausgerechnet, wir haben uns den Grasp-Range-Space im zweidimensionalen
mal angeschaut, um ein besseres Gefühl dafür zu bekommen.
Und jetzt wollen wir daraus Eigenschaften von den Griffen ableiten.
Und eine Eigenschaft, die ihr kennengelernt habt, ist die
Kraftgeschlossenheit.
Die im Grunde bedeutet, ob ein Griff beliebigen externen Kräften und
Drehmomenten widerstehen kann oder eben nicht.
Und das machen wir jetzt für die beiden Griffe.
Also erst für den Dreifingergriff und dann für den Zweifingergriff.
Natürlich kommt da dann raus, dass einer kraftgeschlossen ist, der
andere nicht.
Sonst wäre es ein bisschen eine langweilige Übung.
Und dann den anderen Teil mit der Epsilon-Metrik.
Also die haben wir eben kurz gesehen.
Das sind die eingeschlossenen Kugeln im Grasp-Range-Space.
Oder die eingeschlossenen Kreise im zweidimensionalen Fall.
Und die wollen wir einmal nicht ausrechnen, aber zumindest von der
Größenordnung, welchen Bereich sie fallen werden, für die beiden
Griffe.
Damit man schon mal so eine Qualitätsmetrik für Griffe gesehen hat.
Genau, dann habe ich das hier jetzt nochmal reinkopiert, was Tami
letztes Mal auch schon vorgestellt hat.
Also bei kraftgeschlossenen Griffen geht es eben darum, kann ein
gegriffenes Objekt, kann man mit einem gegriffenen Objekt externen
Kräften und Momenten widerstehen.
Und das ist natürlich für allgemein Greifen in der Robotik sehr
wichtig, weil nur das Objekt in irgendeiner gewissen Konstellation
halten zu können, ohne dass man einmal dran wackeln kann, reicht
natürlich nicht.
Oft muss man eben externe Kräfte kompensieren können.
Zum Beispiel, wenn man mit dem Objekt rumfährt und so weiter.
Und man weiß auch nicht unbedingt, man kann vielleicht die
Größenordnung der externen Kräfte einschätzen, aber man weiß nicht,
welche Kräfte genau jetzt für diesen Griff in der ganzen Zeit wirken
werden.
Das heißt, man braucht einen gewissen Widerstand gegen beliebige
externe Kräfte, natürlich irgendwo begrenzt.
Dann hat Tami mir hier die mathematische Definition hingeschrieben.
Wir werden jetzt für den zweidimensionalen Fall eine etwas abgeleitete
Form davon verwenden.
Also was hier im Grunde steht, ist das, was ich gerade umschrieben
habe, natürlich für den 3D-Fall.
Also wir sagen einfach mathematisch, gib mir irgendeinen beliebigen.
Also für alle extern wirkenden Kräfte muss meine Greifmatrix in der
Lage sein, irgendwie skaliert zu werden, also mit natürlich Kräften
auswirken, um eben dieses E zu kompensieren.
Und für Kraftgeschlossenheit reicht es eben, wenn es irgendeinen
Skalierungsfaktor, also die Cs waren ja die Skalierungsfaktoren, die
auf die einzelnen Kontaktkräfte einwirken, dass irgendein C existiert.
Das kann natürlich immer noch in Wirklichkeit bedeuten, dass dieses C
so groß ist, dass man mit der Hand die Kräfte gar nicht auswirken
könnte.
Aber die Analyse von Kraftgeschlossenheit ist zumindest auf dieser
Ebene noch relativ theoretisch, also sagt nur, es muss irgendein C
existieren.
Wenn man dann in die Praxis geht, dann wird man dieses C in
irgendeiner Weise begrenzen, die Kräfte, die wirken können.
Aber für unsere theoretische Analyse reicht uns diese Definition
erstmal.
Und trotzdem müssen wir sie erstmal ein bisschen anpassen, weil diese
Fälle hier, die sind natürlich alle für den dreidimensionalen Fall
ausgelegt.
Das heißt, was machen wir jetzt mit dieser Definition, die wir hier
haben?
Wie bringen wir unser System, also wir haben unsere Reibungsdreiecke,
wir haben unsere Grass Branch Space gezeichnet, zumindest im
zweidimensionalen Fall.
Wie bringen wir das zusammen, um eben diese relativ mathematische
Definition von Kraftgeschlossenheit zeigen zu können?
Und dafür erstmal dann zurück, was war diese Greifmatrix nochmal?
Die war eben auf der Definition von der Kraftgeschlossenheit drauf.
Wie müssen wir die eigentlich anpassen, wenn wir die im
zweidimensionalen Fall benutzen wollen?
Ich hatte es eben gesagt, es hängt so ein bisschen damit zusammen,
dass es im 2D auch keine Softkontakte gibt.
Es gibt keine axialen Branches im zweidimensionalen Fall.
Die normalen und tangentialen haben wir ja schon gesehen.
Die normalen nehmt in das Objekt rein, entlang der Oberflächen
normalen und die tangentialen sind eben die Reibungskräfte.
Aber anstatt die Matrix so zu definieren, gibt es für uns einen
einfacheren Weg, der uns das ein bisschen erleichtert, nachher die
Analyse zu machen.
Natürlich gibt es die Faktoren auch nicht.
Also wir wechseln hier in einen anderen Raum.
Wir haben ja anstatt drei lineare Kräfte und drei Drehmomente, haben
wir zwei lineare Kräfte und einen Drehmoment.
Und wir verlieren diese axialen Momente.
Das heißt, unsere Greifmatrix hat eine andere Dimension.
Und auch unsere Cs haben eine andere Dimension, weil wir diese axialen
Momente verlieren.
Genau.
Und was wir eben machen, ist nicht die normalen und die tangentialen
Ranges zu trennen.
Das könnten wir natürlich auch machen.
Aber wir können einfach die Ränder vom Reibungstreieck, die wir
ausgerechnet haben,
direkt einsetzen.
Weil sie eben nach rechts und links sowohl normale als auch
tangentiale Kräfte enthalten.
Und wenn wir beide in die Greifmatrix reinwerfen, haben wir eben
dasselbe Ausdrucksvermögen.
Und das ist auch das Standardvorgehen im planaren Greifen, eben die
Randvektoren von dem Reibungstreiecken zu nehmen.
Und dann entsteht eben eine modifizierte Greifmatrix für 2D, die eben
die Dimension 3 mal 2M hat.
Wobei M natürlich ist die Anzahl der Kontaktpunkte.
Genau.
Gut.
Die Definition für beliebigen Ranges widerstehen verändert sich auch
ein wenig.
Wichtig ist hier natürlich okay, externe Ranges sind natürlich auch
wieder dreidimensional.
Wir machen das gleiche hier.
Und wir machen unsere Koeffizienten nur positiv.
Weil angenommen wir haben unsere Objektoberfläche hier.
Und wir haben unser Reibungstreieck ausgerechnet, das hier so Ranges
enthält.
Und dann können wir diese Ranges...
Oh, das habe ich jetzt natürlich nicht so klug gezeichnet.
Die Ranges wirken natürlich in das Objekt rein.
Am Kontaktpunkt.
Dann können wir diese Ranges natürlich, sag mal, solange das Objekt
und unsere Hand nicht kaputt geht, beliebig ins Positive skalieren.
Aber was wir nicht machen können, was nicht möglich ist, ist diese
Ranges ins Negative zu skalieren.
Das würde nämlich bedeuten, dass man mit einem Punktkontakt an dem
Objekt ziehen kann.
Es gibt natürlich Roboter, die das können.
Zum Beispiel so einen Saugendeffektor haben oder sowas.
Aber für Punktkontakte ist das nicht möglich.
Deshalb haben wir hier diese, in der Definition, dass das C positiv
sein muss, wenn die Ranges in diese Richtung gehen.
Und das bringt uns ein Stück weiter, wenn wir uns dann nämlich
anschauen, was das bedeutet.
Also wenn man das hier unten mal ein bisschen umformt.
Und es so schreibt.
Dann heißt das, dass unsere Greifmatrix beliebige, also das Minus ist
uns eigentlich egal, weil ja das E kann ja beliebige Werte annehmen,
also auch negative Werte und positive Werte.
Unsere Greifmatrix kann beliebige Vektoren im R3 aufspannen.
Kann beliebige Vektoren im R3 erzeugen.
Und dafür gibt es einen Namen.
Das ist eine positive lineare Hülle.
Man schreibt das von dieser Matrix.
Und wenn diese Matrix eben den kompletten, dreidimensionalen Raum
aufspannt, dann entspricht das dieser Aussage, die wir vorhin
aufgestellt haben.
Und das kann man dann dieses positiv aufspannen.
Das schauen wir uns gleich ein bisschen genauer an.
Beispiel und an den Sachen.
Kann man vielleicht manchmal ein bisschen besser verstehen, was das
dann grafisch bedeutet.
Als wenn man die reine mathematische Definition hat und dann beweisen
muss, dass für alle E existiert irgendein C.
So kommen wir ein bisschen näher an die mathematische Definition.
Man sagt, dass die Greifmatrix den gesamten Rangespace positiv
aufspannt.
Und was bedeutet das?
Also dieses Aufspannen, im Deutschen sagt man auch lineare Hülle dazu.
Positive lineare Hülle.
Und der normale Span, also die lineare Hülle, ist im Grunde nur eine
lineare Kombination von Spalten.
Also wir haben hier eine Matrix A, die hat Spalten AI.
Die können wir mit beliebigen Koeffizienten multiplizieren und dann
haben wir einen gewissen Raum aufgespannt.
Wenn wir uns das Beispiel hier oben anschauen, dann sind hier drei
Vektoren eingezeichnet und die drei Vektoren zusammen, wenn man
beliebige Koeffizienten mit denen multiplizieren kann, Spann nimmt den
gesamten zweidimensionalen Raum auf.
Die positive lineare Hülle hat eine Einschränkung, und zwar, dass die
Koeffizienten, die man benutzt,
alle nicht negativ sein sollen.
Also Null ist erlaubt, aber Negative sind nicht erlaubt.
Und was dann passiert, ist eben, dass diese drei Vektoren, die wir
eben gesehen haben, nicht mehr den ganzen zweidimensionalen Raum
aufspannen, sondern wir haben jetzt hier nur noch so ein Kuchenstück.
Das geht natürlich bis ins Unendliche.
Weiter hier.
Aber es ist ein Ausschnitt vom zweidimensionalen Raum, den wir hier
bekommen haben.
Und dann gibt es auch noch die konvexe Hülle, die hatten wir eben auch
schon bei dem Grass Branch Space.
Und die konvexe Hülle macht im Grunde nur eine zusätzliche Bedingung,
und zwar, dass die Summe dieser Koeffizienten, die wir an die Vektoren
anbringen, immer gleich 1 sein soll.
Wenn man das macht, dann kriegt man eben dieses Verhalten, dass man im
Grunde die Punkte miteinander verbinden kann, an den Außenrändern, und
dann eine konvexe Hülle bekommt.
Genau.
Für unsere Analyse können wir aber diese Eigenschaft hier benutzen.
Und die kann man eben auch zeichnerisch dann machen.
Also wir werden zwei Verfahren benutzen.
Die eine ist so ein bisschen, ich versuche sie euch nahe zu bringen,
aber die eine verwendet diese konvexe Hülle, mit dem Ursprung.
Da ist manchmal vielleicht nicht für jeden direkt durchsichtlich,
warum der erste Herleitungsweg geht.
Mit der positiven linearen Hülle, glaube ich, da kann man relativ gut
sehen, warum dann der Griff kraftgeschlossen ist oder nicht.
Aber schauen wir uns das erstmal an.
Genau.
Gut, wir haben jetzt hier, der Griff ist kraftgeschlossen, wenn er
beliebigen externen Ranges widerstehen kann.
Alternativ können wir eben auch das zeigen, dass wir hier den gesamten
R3 positiv aufspannen.
Aber wie können wir das überhaupt machen?
Also wir haben Eigenschaften, die wir zeigen wollen, aber wie machen
wir das überhaupt?
Und eben, das haben wir so ein bisschen absichtlich gemacht, haben wir
diese Ranges immer als Punkte eingezeichnet.
Aber die Ranges sind natürlich Vektoren, ja, im Raum.
Und wenn wir sie so als Vektoren zeichnen, dann können wir natürlich
auch die konvexe Hülle bestimmen.
Das ist jetzt hier der Cross-Range-Space vom Dreifingergriff.
Und wenn wir das machen, dann können wir uns anschauen, ist der
Ursprung mit einem gewissen Abstand enthalten.
Also der Ursprung liegt hier.
Und wir können sagen, für diesen Griff ist der Ursprung mit einem
gewissen Epsilon enthalten.
Also wenn ich das hier mal, Epsilon größer 0,
also Ursprung ist mit Epsilon größer 0 im GWS enthalten.
Und was das bedeutet, ist, dass wir, also wir sehen es jetzt hier
natürlich nur auf der Projektion, man muss das Ganze eigentlich im
dreidimensionalen Raum zeichnen, aber wir machen es mal hier.
Was das bedeutet, ist, dass ich in jede Richtung, in die ich will,
kann ich Ranges erzeugen.
Zum Beispiel, man sieht es hier, für diesen Griff ist es schwieriger,
einen Range in diese Richtung zu erzeugen, weil da hört der Bereich
eher auf.
Aber es ist möglich.
Das heißt, wir können jeden externen Range ausgleichen, wenn wir eben
nur unsere Faktoren, unsere Kräfte, die wir an den Kontaktpunkten
anbringen, hoch genug drehen.
Also das ist diese Herleitung, die wir immer ursprünglich hatten, die
im Grunde eine konvexe Hülle macht und schaut, ob der Ursprung
enthalten ist.
Das ist aber so ein bisschen noch entfernt von der eigentlichen
Definition, die wir bei der Greifmatrix haben.
Deshalb habe ich alternativ dann nochmal das positive Aufspannen
eingebaut.
Was bedeutet das?
Ich habe jetzt hier die Vektoren eingezeichnet und wir können uns
anschauen, welchen Raum spannen diese einzelnen Ranges auf.
Und man kann relativ schnell sehen, dass diese Ranges zumindest den
gesamten zweidimensionalen Raum aufspannen.
Und wenn man es dann nochmal in der anderen Ebene zeichnet, sieht man,
dass unsere Greifmatrix für den Dreifingergriff den kompletten R3
aufspannt.
Das kann man dann zeichnen, jetzt in 2D oder in 3D und kann dann
sehen, wenn diese Rangevektoren insgesamt den gesamten R3 aufspannen,
dann kann ich natürlich jeder externen Range widerstehen.
Insofern meine Hand nicht kaputt geht.
Genau.
Das heißt, komplett R3 aufgespannt, das passt.
Dann schauen wir uns den zweiten Griff an, der ist ein bisschen
komplizierter.
In beiden Analysemethoden natürlich, weil er eben am Ende nicht
kraftgeschlossen ist.
Genau.
Wir machen dasselbe, wir haben hier unsere Vektoren, wir können die
konvexe Hülle um die Vektoren zeichnen und was wir dann feststellen,
ist eben, dass der Ursprung hier, der Ursprung ist enthalten im Grass
Branch Space, also er ist nicht außerhalb des Grass Branch Space, aber
mit keinem Abstand.
Also ich kann kein Y größer 0 finden, mit dem der Kreis um den
Ursprung im Grass Branch Space enthalten ist.
Und das bedeutet eben, dass der Griff nicht kraftgeschlossen ist.
Deshalb ist diese Definition mit dem Ursprung so ein bisschen
schwierig, weil man immer darauf achten muss, natürlich ist der
Ursprung enthalten und diese Bedingung reicht alleine nicht, das steht
immer so plakativ auf unseren Folien.
Genau.
Also man braucht einen gewissen Bereich, um den Ursprung der größer
als 0 ist.
Genau.
Alternativ, wenn man sich das jetzt in der positiv aufspannenden Welt
anschaut, dann haben wir hier diese vier Vektoren und man sieht, diese
vier Vektoren spannen hier nur einen Teilraum auf.
Den kann ich auch aufschreiben.
Zumindest für den Teil, den wir jetzt hier schon sehen.
Und das ist die Menge aller Fx, Fy und Tau, die eben aus R3 kommen.
Und für die gilt, dass Tau größer als 0 ist.
Und wir können also kein negatives Tau erzeugen.
Und das ist eben ungleich R3.
Das heißt, es gibt einen Bereich im Grass Branch Space, den wir nicht
erzeugen können.
Was das bedeutet ist, dass unser Griff
keine Drehmomente, keine Tau erzeugen kann, die kleiner als 0 sind.
Jetzt muss man ein bisschen mit dem Vorzeichen aufpassen, was das denn
dann wirklich bedeutet für die externen, die er nicht widerstehen
kann.
Aber schauen wir uns das erst nochmal an.
Hier habe ich es nochmal auf die Folie gepackt, damit man es nachher
im PDF hat.
Also wir können keinen Drehmoment Tau kleiner als 0 erzeugen.
Was heißt das denn?
Wenn wir uns das anschauen mit den zwei Kontaktpunkten, dann ist
glaube ich jedem auch relativ schnell visuell klar, dass wenn ich das
Objekt hier an diesen beiden Punkten halte, dass ich das Objekt hier
hinweg drehen kann.
Ich
kann also einen externen Range anbringen und der geht jetzt gegen den
Uhrzeigersinn, das heißt größer als 0.
Das ist das, was ich mit dem Vorzeigen meine.
Also der Griff selbst kann keine negativen Ranges erzeugen.
Das bedeutet, er kann keine positiven externen ausgleichen.
Was geht, ist, dass der Griff mit den beiden Punkten das Objekt in
diese Richtung dreht.
Das ist möglich.
Was aber nicht geht, ist, dass der Range das hier ausgleicht.
Also um den Roten auszugleichen, müsste er in die andere Richtung
drehen können.
Das kann er eben mit den zwei Kontaktpunkten nicht.
Das ist nicht möglich.
Dieser hier geht nicht.
Genau.
Also man hätte es auch schon rein visuell sehen können, dass man das
Objekt natürlich unter den beiden Angriffspunkten wegdrehen kann.
Das heißt, unser Griff kann keinen tau kleiner 0 erzeugen, kann
deshalb keinen externen tau x größer 0 widerstehen.
Genau.
Dann noch die Epsilon-Metrik.
Also die Epsilon-Metrik haben wir im Grunde schon ausgerechnet, als
wir den einen Weg für die Kraftgeschlossenheit gezeigt haben.
Also ob der Ursprung mit einem gewissen Abstand enthalten ist.
Und die Epsilon-Metrik wird benutzt, um die Qualität einzuschätzen.
Wir schauen uns an, was ist die kleinste Kugel?
Und im 2D-Fall eben der Kreis.
Der größte Kreis, der noch hier reinpasst.
Ohne aus dem Rand zu kommen.
Und den Radius von diesem Kreis, den bezeichnen wir eben als Epsilon.
Und in der Aufgabe war es, glaube ich, so ein bisschen gestellt.
Hier gibt es keinen Kreis.
Hier ist Epsilon gleich 0.
In der Aufgabe war es so ein bisschen gestellt, wenn man jetzt die
Epsilon -Metrik ausrechnen wollte, was müsste man dafür machen?
Und das haben wir im Grunde schon jetzt durchexerziert.
Also was man machen muss, um die Epsilon-Metrik zu berechnen, sind ein
paar Schritte.
Wir müssen erstmal die Kontakt-Branches berechnen.
Dann können wir den Grasp-Range-Space bestimmen.
Was wir hier jetzt immer nur in der Projektion gemacht haben.
Und dann kann man eben schauen nach diesen größten Kugeln.
Ich sage immer kleinsten, weil ich die...
Und dann ist eben der Radius dieser größten Kugel ist eben unser
Epsilon.
In der Aufgabe war dann gefragt, wo liegen die Epsilons?
Also man musste sie gar nicht ausrechnen.
Natürlich ist dieser Dreifingergriff, der kraftgeschlossen ist, hat
ein Epsilon größer 0.
Und der Zweifingergriff reicht eben nicht aus, um kraftgeschlossen zu
sein.
Deshalb bekommen wir da ein Epsilon gleich 0.
Ich glaube, ich habe es schon gesagt.
Man kann diese Metrik dann eben nicht nur als eine Zahl benutzen,
sondern man kann auch schauen, wo ist der Griff besonders schwach.
Und hier, wenn man außerhalb des Grasp-Range-Spaces kommt, wird der
Griff eben nicht mehr kraftgeschlossen, außer man kann eben größere
Kraft aufbringen, als man initial angerechnet hat.
Und das bedeutet, um diesen Griff hier instabil zu machen, muss man
einen Range auswirken, einen externen Range, der eben große Werte
in...
der eben große Werte in Y und in Tau aufbringt.
Wenn so ein Range aufbringt, der da große Werte bringt, kann man den
Griff, obwohl er eigentlich stabil ist, am besten angreifen.
Ja.
Genau.
Gut.
Ja.
Das dazu.
Dann haben wir noch die...
Oh, ich habe die Aufgaben-Nummer nicht richtig hochgezählt, aber okay,
das ist eigentlich die vierte Aufgabe, die so ein bisschen darüber
hinausgeht, was wir bisher gemacht haben.
Also, was wir jetzt gesehen haben von den Grasp-Range-Spaces und so
weiter, das war ja noch im Grunde, dass es Timing vorgestellt hat.
Die medialen Achsen, die kommen erst ein bisschen später, wenn wir
wirklich so in die Greifplanung gehen.
Bisher war es ja so ein bisschen eher Analyse.
Macht aber nichts, weil das ganze Verfahren eigentlich rein
geometrisch ist.
Wir schauen es nur mal so an, um zu sehen, wie es funktioniert.
Und was wir machen wollen, ist eben diese medialen Achsen für fünf
Objekte zeichnen.
Und die medialen Achsen sind eben definiert als die Menge aller
Mittelpunkte von bestimmten Kreisen.
Diese Kreise müssen in dem Gebiet enthalten sein.
Also das ist die erste Eigenschaft hier.
Kreis ist im Gebiet enthalten.
Und die zweite Eigenschaft ist, es muss ein größter Kreis sein.
Was hier steht ist, es gibt keinen größeren.
Also es existiert kein K-Strich, das größer ist als der ursprüngliche
Kreis.
Was bedeutet das?
Ich habe hier nochmal die Folie eingefügt, wo es dann eingeführt wird
in der Vorlesung, also für die Greifplanung, natürlich in 3D, nicht in
2D, wie wir es jetzt hier vereinfacht haben.
Man sieht hier ein paar Objekte und man sieht deren mediale Achsen
-Extraktion in 3D.
Das heißt, wir können damit die Objektform approximieren
und können damit eben diese medialen Achsen benutzen, um dann nachher
Greifplanung zu machen.
Und die mediale Achse ist eben diese Vereinigung der Mittelpunkte.
Das werden wir dann gleich auch noch sehen, dass wir die Mittelpunkte
dann alle verbinden müssen.
Und wir haben so eine Art topologisches Skelett vom Objekt.
Und anhand von diesem Skelett könnte man dann zum Beispiel passende
Griffe auswählen.
Das kommt aber dann später in der Vorlesung.
Und das erlaubt eben so die unterschiedlichen Geometrien, die man so
hat, von Objekten zu vereinheitlichen, zu approximieren, um dann eine
einheitliche Greifplanung darauf zu machen.
Aber wie gesagt, wir machen das erst mal rein geometrisch und dann
habt ihr es schon mal gesehen, wenn es dann später in der Vorlesung
drankommt.
Genau, also wir haben jetzt hier ein Rechteck, für das wir die
medialen Achsen bestimmen sollen.
Und was wir als erstes machen, ist diese größten eingeschlossenen
Kreise bestimmen.
Ich habe jetzt hier einfach mal ein paar eingezeichnet.
Das soll im Grunde symbolisieren, dass wir die Mittelpunkte dieser
Kreise sind Teil der medialen Achse.
Ich habe jetzt hier nur repräsentativ ein paar Kreise eingezeichnet.
Natürlich kann man diesen Kreis, wenn man in die Ecke geht, immer
kleiner machen.
Der Mittelpunkt hat immer den gleichen Abstand zu den beiden Rändern.
Also das ist eine der einfachen medialen Achsen, wenn man so eine Art
Dreieck hat.
Natürlich gilt das für alle Ecken.
Also man hat genau das gleiche Verhalten hier und hier.
Stellt sich noch die Frage, was passiert mit im mittleren Teil?
Im mittleren Teil kann man im Grunde einen großen Kreis entlang
schieben.
Das ist mal hier so angedeutet.
Also man hat hier und hier das Ende.
Ab da müsste man kleinere Kreise wählen, weil man sonst an die Ränder
kommt.
Und man hat natürlich zwischendrin Kreise, die Mittelpunkte hier und
hier haben könnten.
Und dann entsteht eben ein Skelett vom Objekt, das einmal so aussieht.
Für das Rechteck ist es relativ einfach.
Für die anderen Objekte, werden wir sehen, ist es auch nicht
wesentlich komplizierter.
Ein Sonderfall ist tatsächlich ein Kreis und im dreidimensionalen auch
eine Kugel.
Da funktioniert dieser Ansatz nicht wirklich gut, weil der größte
eingeschlossene Kreis in einem Kreis ist er selbst.
Das heißt, hier gibt es eigentlich nicht mehrere, sondern es gibt nur
einen einzigen Punkt.
Damit ist die mediale Achse auch im Grunde nulldimensional.
Da kann man nicht so viel mit anfangen.
Das ist auch eine der Schwächen der Ansätze, wenn die Objekte
annähernd kugelförmig werden.
Genau.
Das mal nur so als degeneriertes Beispiel.
Für das Dreieck ist es sehr ähnlich wie zum Rechteck.
Ja, wir haben hier wieder unsere Kreise, die je weiter wir in die
Spitze kommen, natürlich kleiner werden müssen, um eingeschlossen zu
bleiben.
Dann bekommen wir hier so eine Winkelhalbierende.
Und die bekommen wir in allen drei Fällen, weil es hier so ein
gleichzeitiges Dreieck ist.
Genau.
Und das ist in dem Fall auch wieder relativ einfach.
Der Stern muss man wieder genauso vorgehen, also sich die einzelnen
Teile anschauen.
Hat natürlich auch wieder starke Symmetrien.
Hier sind die Kreise nicht ganz am Rand, aber glauben wir es mal
einfach.
Das heißt, wir kriegen hier so, ich sag mal, das Skelett ist jeweils
in einem der Sternzacken drin.
Natürlich verhält es sich hier genauso.
Damit hat man dann eben die Achsen für den Stern.
Und hier ist es jetzt ein bisschen komplizierter, bei dem, ich sag
mal, bei dem Korridor, wenn man es so nennen möchte.
Hier kann man aber natürlich auch wieder erstmal anfangen, die Sachen
festzulegen, die man sicher weiß.
Also man nimmt erstmal den rechteckigen Teil, den wir ja schon mal
gemacht haben.
Den hat man auch an zwei Stellen, also den hat man hier und hier.
Genau.
Dann geht es natürlich so, wenn man die Kugel immer weiter schiebt,
nach dahin, dann stellt man fest, wenn man diese Ecke hier abarbeiten
will, dass man hier natürlich größere Kreise reinfinden kann, weil
hier einfach mehr Platz ist.
Das heißt auch, dass die Gerade, die hier ist, die ist länger als die
Geraden, die hier sind.
Weil die Kreise länger reinpassen.
Und dann können wir hier jetzt wieder, wie wir es beim Rechteck
gesehen haben, diese Geradenverbindung machen.
Bis hier hin.
Das gleiche gilt auch für hier oben.
Weil wir da noch im rechteckigen Teil sind.
Und danach wird es natürlich so ein bisschen interessant.
Was hier passiert ist, wenn wir die Kreise hier reinschieben, dann
gehen sie natürlich gleichzeitig, also wenn wir uns hier lang bewegen,
dann gehen sie gleichzeitig nach links, aber werden auch gleichzeitig
größer.
Damit verschiebt sich dieser Mittelpunkt hier auf einer runden Bahn.
Weil diese beiden Effekte nach links gehen und der Kreis wird größer
und schiebt sich das hier so.
Das hat dieses Objekt so eine kuriose Form.
Obwohl es eigentlich nur eckig ist, hat es in der Mitte ein
abgerundetes Skelett enthalten.
Genau.
Und das sind im Grunde die Objekte.
Und wenn man jetzt zum Beispiel Greifplanung nachher darauf machen
will, dann schaut man zum Beispiel nach diesen hier, nach den
Skeletten und würde dann zum Beispiel feststellen, dass man so einen
Stern zum Beispiel an einem dieser Skelette greifen könnte, mit hier
zum Beispiel zwei Kontakten, um dann irgendwas damit zu machen.
Aber, wie gesagt, das kommt später in der Vorlesung.