Ich denke, dann können wir so langsam mit der Vorlesung weitermachen.
Bitte bringen Sie die Bögen nach der Vorlesung nach vorne, wenn
möglich getrennt nach Bögen, die ausgefüllt sind und Bögen, die nicht
ausgefüllt sind.
In der Vergangenheit war es dann zum Teil so, dann gab es einen Stapel
mit nicht ausgefüllten Bögen, dann habe ich die im Institut
durchgeblättert, dann war da eine ganze Latte von ausgefüllten Bögen
noch darunter, also achten Sie da ein bisschen drauf.
In der letzten Vorlesung bei Herrn Römer haben Sie mit der Bewegung
eines starren Körpers angefangen, wobei wir uns jetzt hauptsächlich
beschränken oder wo wir in der TN3 ausschließlich darauf beschränken,
dass eine sogenannte Ebenebewegung vorliegen soll.
Sie hatten dann den Sonderfall der reinen Translation und dann auch
die Drehung um eine feste Achse.
Jetzt als drittes eine allgemeine Bewegung.
Wie gesagt, eigentlich setzen wir immer noch voraus, dass eine
sogenannte Ebenebewegung vorliegt.
Allerdings, wenn wir den Körper irgendwie betrachten und den Punkt P
uns herausgreifen, dann sehen wir, wenn wir ein Inertialsystem
einführen mit Ursprung in O, dann gibt es den Ortsvektor zum Punkt P.
Das war der Punkt P, das war RP.
Wir können allerdings auf dem starren Körper einen anderen Bezugspunkt
wählen, zum Beispiel den Punkt Q.
Dann gilt eben, dass der Vektor RP sich ergibt.
Zunächst mal aus dem Vektor zum Punkt Q, RQ, plus dem Vektor von Q
nach P, sozusagen ein Relativvektor.
Und wir erkennen, wenn wir ein Bezugssystem mit dem Körper fest
verbinden oder den Körper als Bezugssystem anschauen, dann können wir
das im Grunde genommen aus der Relativmechanik abschauen.
Dann ergibt sich nämlich die Bewegung des Punktes P aus der Bewegung
des Punktes Q plus noch Anteile aufgrund der Rotation des
Bezugssystems, in dem Falle des Körpers.
Also RP ist dann gerade, haben wir gesagt, RQ plus R Relativ.
Und wenn wir mal nachschauen, die Geschwindigkeit des Punktes P, die
ergibt sich dann einfach aus der Differenzation des Ortsvektors RP im
Inertialsystem.
Also die RP nach DT im Inertialsystem.
Das ist dann gerade die
Ableitung von RQ nach der Zeit im Inertialsystem plus die Ableitung
des Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem und
die Ableitung des Ortsvektors zum Punkt Q nach der Zeit im
Inertialsystem war gerade die Geschwindigkeit des Punktes Q plus und
die Ableitung des Relativvektors nach der Zeit, die können wir jetzt
ersetzen durch Ableitung nach der Zeit im Relativsystem, also im
Körperfestenbezugssystem, also plus die R Relativ nach DT im
Körperfestenbezugssystem plus das Kreuzprodukt aus
Winkelgeschwindigkeit des Relativsystems.
Nun, wir haben gesagt, das Relativsystem ist fest mit dem Körper
verbunden, also muss das die Winkelgeschwindigkeit des Körpers sein,
Omega vom Körper im Inertialsystem Kreuz, den Vektor, den wir
ableiten, das war R Relativ und jetzt haben wir hier ein Starkkörper
vorliegen, das bedeutet, im Körperfestenbezugssystem ändert sich der
Relativvektor mit der Zeit nicht, damit ist die Ableitung des
Relativvektors im Körperfestenbezugssystem Null, das war dann Null,
sodass sich letztendlich ergibt, die Geschwindigkeit des Punktes P ist
dann gerade Geschwindigkeit des Punktes Q plus Omega von K in I Kreuz
R Relativ.
Für die Beschleunigung des Punktes P können wir die ganze Prozedur
nochmals durchführen, also analog für die Beschleunigung.
Da wissen wir, die Beschleunigung des Punktes P, die ist gerade
Ableitung der Geschwindigkeit des Punktes P nach der Zeit im
Inertialsystem und da sehen wir, das gibt dann Ableitung der
Geschwindigkeit des Punktes Q nach der Zeit im Inertialsystem, das ist
aber gerade die Beschleunigung des Punktes Q im Inertialsystem plus
und jetzt müssen wir die Produktregel anwenden, wenn wir Omega Kreuz R
Relativ beim Ableiten ergibt es zunächst mal die Omega von K in I nach
dt in I Kreuz R Relativ plus eben das Omega von K in I Kreuz der
Ableitung des Relativvektors im Inertialsystem und
wir sehen, das ergibt dann V von Geschwindigkeit des Punktes Q, haben
wir gesagt, abgeleitet, ergibt A vom Punkt Q plus die
Winkelgeschwindigkeit abgeleitet ergibt die Winkelbeschleunigung.
Alpha oder nennen wir es einfach Omega Punkt von K in I, das ist die
Winkelbeschleunigung Kreuz R Relativ plus Omega von K in I Kreuz
Ableitung des Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem, das
können wir ersetzen durch Ableitung des Relativvektors nach der Zeit
im Körperfestbezugssystem plus Omega von K in I Kreuz R Relativ, da
haben wir im Prinzip dasselbe gemacht wie oben auch, das waren
praktisch hier, hier waren wir schon, ne doch, R Relativ nach der Zeit
abgeleitet im Inertialsystem war R Relativ im Körperfesten abgeleitet
plus Omega Kreuz R Relativ, der Anteil wieder Null, weil ein
Starkkörper vorliegt und der Relativvektor auf dem Starkkörper sich
nicht ändert, sodass die Beschleunigung des Punktes P sich ergibt aus
Beschleunigung des Punktes Q plus Winkelbeschleunigung Omega Punkt von
K in I Kreuz R Relativ und man sieht von dem letzten Gesamtterm bleibt
dann übrig plus Omega von K in I Kreuz und Jetzt steht in der Klammer
noch, Omega von K in I,
Kreuz, R, Relativ.
Das war sozusagen nochmal Wiederholung der Relativmechanik.
Jetzt, wie sieht es aus für den Sonderfall der ebenen Bewegung?
Wir hatten zunächst mal gesagt, wir wollen das eigentlich alles, was
wir machen, für die ebene Bewegung machen.
Aber wir sehen, bei dem, was wir jetzt für die allgemeine Bewegung
gemacht haben, ging an keiner Stelle die Voraussetzung ein, dass es
sich um eine ebene Bewegung handelt.
Was bedeutet eine ebene Bewegung?
Eine ebene Bewegung bedeutet, dass beim Starkkörper sich alle Punkte
in Ebenen bewegen, die parallel zueinander stehen.
Und die Winkelgeschwindigkeit Omega des Körpers muss deshalb ein
Vektor sein, der stets senkrecht zur Bewegungsebene steht und damit
auch seine Richtung nicht ändert.
Das heißt, wenn wir die Richtung der Winkelgeschwindigkeit, die
senkrecht zur Bewegungsebene steht, mal mit der Z-Richtung bezeichnen,
dann können wir das so ausdrücken, zum Beispiel in XY-Ebene,
dann gilt eben, dass Omega von K in I gerade entspricht Omega in Z
-Richtung.
Und da wir nur einen Körper betrachten, liegt es jetzt nahe, auch die
Bezeichnung Körper im Inertialsystem usw.
wegzulassen.
Und das Omega-Punkt von K in I, also das Alpha von K in I, die
Winkelbeschleunigung, da sehen wir, die Z-Richtung ändert sich mit der
Zeit nicht.
EZ ist also ein konstanter Vektor, sodass nur die Koordinate
abgeleitet wird.
Das ergibt dann gerade Omega-Punkt in Z-Richtung.
Wenn wir jetzt in der XY-Ebene mal unseren Körper betrachten, dann
sehen wir, wir können wieder die Punkte P und Q einzeichnen.
Q war der Bezugspunkt auf den starren Körper, P war der Punkt, den wir
betrachten.
RP war der Ortsvektor zum Punkt P, der sich zusammensetzt aus RQ und
dem Relativvektor.
Wenn wir jetzt davon ausgehen, eben eine Bewegung, wir betrachten
einfach mal eine sehr dünne Scheibe, dann hat der Körper keine
Ausdehnung in Z-Richtung, dann ist der Relativvektor ein Vektor, der
in der XY-Ebene liegt und damit senkrecht zu EZ steht.
Dann können wir also schreiben, der Ortsvektor zum Punkt P ist der
Ortsvektor zum Punkt Q plus den Relativvektor und den Relativvektor
können wir dann darstellen mithilfe eines Einheitsvektors von Q oder
in Richtung von Q nach P, nennen wir den mal ER und einen
Einheitsvektor senkrecht auf ER und senkrecht auf EZ, nennen wir den
mal EFI.
ER lässt sich dann darstellen als R, Abstand von Q nach P, mal ER.
Das heißt, wir haben dann RQ plus R Relativ ergibt einfach RER.
Die Geschwindigkeit des Punktes P ergibt dann Geschwindigkeit des
Punktes Q plus und jetzt RER abgeleitet Da wissen wir im körperfesten
Bezugssystem, ist das ein konstanter Vektor, also reicht es, wenn wir
Omega kreuz dem R Relativ machen.
Das haben wir ja hier.
Omega ist Omega EZ, R ist RER.
Wir sehen, rechte Handregel, EZ und ER stehen senkrecht aufeinander,
gibt also den Vektor in Richtung EFI, gibt also plus Omega R EFI und
für die Beschleunigung dann ganz analog.
Für die Beschleunigung des Punktes P ergibt sich dann A von Q plus R,
das war der konstante Abstand zwischen den Punkten, dann haben wir an
der Stelle Omega EFI, die beide zeitabhängig sein können, gibt also
dann plus Omega Punkt R EFI plus Omega R mal der Ableitung von EFI.
Die Ableitung von EFI ist aber gerade wieder Omega, kreuzt den Vektor,
den wir ableiten.
Und da sehen wir, das geht in negative ER Richtung, ist also dann
minus ER, dann haben wir von hier Omega mal R, aber durch das Ableiten
kommt nochmal ein Omega hinzu, sodass sich minus Omega Quadrat mal R
in ER Richtung ergibt.
Jetzt nur als Anmerkung, falls wir keine sehr dünne Scheibe haben und
der Körper noch eine dicken Ausdehnung hat, dann hat der Relativvektor
R Relativ unter Umständen noch eine zusätzliche Komponente in Z
-Richtung.
Dann würde hier hinzukommen plus Z EZ zum Beispiel, irgendeine Z
-Koordinate in Z-Richtung.
Die würde auch an der Stelle auftreten.
Man sieht, wenn wir das so anschreiben, dann bezeichnet R nicht mehr
den Abstand vom Bezugspunkt zu dem Punkt, wo wir die Geschwindigkeit
wissen wollen, sondern den Abstand des Punktes P von der Achse, die
durch den Punkt Q geht und senkrecht zur Bewegungsebene steht.
Wenn wir allerdings auf die Geschwindigkeit des Punktes P kommen, dann
sieht man Omega Kreuz R Relativ.
Omega, haben wir gesagt, ist ein Vektor, der in Z-Richtung zeigt.
EZ Kreuz EZ ist Null, also schon auf Geschwindigkeitsebene ändert sich
dadurch nichts mehr.
Man sieht also für die Geschwindigkeit, falls es nicht eine dünne
Scheibe ist, ist dann letztendlich wichtig, der Abstand R des Punktes
zur Drehachse, die durch den Punkt Q geht oder zur Achse durch den
Punkt Q.
Wenn wir das Ganze mal grafisch darstellen, dann sehen wir im
Geschwindigkeitsplan bei
den Geschwindigkeiten, wenn wir hier den Punkt Q haben und hier den
Punkt P, dann hat meinetwegen der Punkt Q die Geschwindigkeit VQ.
Das heißt, der Punkt P hat dann die Geschwindigkeit des Punktes Q plus
eine Komponente, die natürlich von der Winkelgeschwindigkeit des
Körpers abhängt, in E4-Richtung, also in eine Richtung senkrecht zur
Verbindungslinie.
Das heißt hier irgendwo, das wäre dann Omega R E4.
Beides wird vektoriell überlagert, sodass ich letztendlich als
Geschwindigkeit des Punktes P in dem Falle sowas ergeben würde.
Also die Geschwindigkeit des Punktes P setzt sich zusammen aus der
Geschwindigkeit des Punktes Q plus noch einmal einen Anteil infolge
der Drehung des Punktes P um den Punkt Q.
Bei der Beschleunigung, da sehen wir, sind es insgesamt drei Anteile.
Das heißt, wenn wir wieder den Punkt Q haben und den Punkt P und
meinetwegen die Beschleunigung des Punktes Q so groß ist, dann haben
wir bei der Beschleunigung des Punktes P ebenfalls diesen Anteil.
Plus zwei weitere Anteile, nämlich einen Anteil in E4-Richtung,
senkrecht auf dem Relativvektor.
Das wäre dann Omega Punkt R E4.
Dann haben wir einen Anteil in negative E-R-Richtung mit Omega Quadrat
mal R.
Das wäre in dem Falle
das hier,
beziehungsweise, da wir den abziehen, Moment, das machen wir so,
ich mache es jetzt mal anders, ich mache den hier hin.
Das war Omega Quadrat mal R in negative E-R-Richtung.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das alles überlagern, das war nochmal
das AQ, dann haben wir das Minus Omega Quadrat mal R E R.
Und das insgesamt ergibt dann die Beschleunigung des Punktes P. Also
in dem Falle wäre das gerade dann Beschleunigung des Punktes P. Also
alle drei Anteile einfach überlagert.
Gibt es soweit Fragen?
Dann machen wir jetzt mal ein erstes Beispiel.
Nämlich eine Schubkurbel für verschiedene Stellungen.
Dabei beziehen wir uns nicht unbedingt auf dieselbe Schubkurbel.
Allerdings einfach, um das Prinzip mal zu verdeutlichen, nehmen wir
an, im Fall A ist das eine Schubkurbel.
Wir haben also eine Kurbel.
Denken Sie an eine Motorachse.
Da beschreibt der Gelenkpunkt eine Bahn in Form eines Kreises.
Dann haben wir die Bleuelstange.
Die sei jetzt genau in der Verlängerung der Kurbel.
Und dann so gelagert, dass der Punkt B der Bleuelstange sich nur
vertikal bewegen kann.
Das kann also hier so hoch und runter gleiten.
Die Kurbel hat den Radius R.
Kurbelstange die Länge L.
Nun zunächst mal können wir noch Koordinaten einführen, meinetwegen X
und Y mit entsprechenden Einheitsvektoren, die ich jetzt gar nicht
genau einzeichne.
Und dann müssen wir aufpassen, nämlich die Bewegung der Kurbel wird
beschrieben über eine Koordinate, nennen wir die mal Phi.
In der gleichen Richtung geht dann auch das Phi-Punkt.
Das sagen wir mal, das ist Omega 1.
Bei der Orientierung der Kurbelstange müssen wir streng genommen einen
anderen Winkel einführen, einen Psi zum Beispiel.
Und in der augenblicklichen Stellung ist eben Phi gerade Psi.
Das Psi-Punkt ist dann aber gerade Omega 2.
Und wie gesagt,
momentan haben wir dann eben Phi gleich Psi.
Zu diesem aktuellen Zeitpunkt, wenn sich die Kurbel weiter dreht, gilt
das natürlich nicht mehr.
Man sieht, wenn sich die Kurbel weiter dreht, anschauungsmäßig, dann
nimmt der Winkel Phi zu, allerdings der Winkel Psi nimmt ab, also die
können immer gleich sein.
Gegeben ist jetzt die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel, damit
letztendlich auch die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A, zeichnen
wir den mal ein, Punkt A.
Wir wissen, der Punkt A beschreibt eine Kreisbahn, die Geschwindigkeit
ist tangential an die Kreisbahn gerichtet, sodass wir an der Stelle
die Geschwindigkeit des Punktes A einzeichnen können.
V A Und wir wissen, V A ist dann gerade, na gut, Phi Punkt, das war
Omega 1 mal R, in Richtung des Einheitsvektors tangential, den können
wir zerlegen in eine X-Komponente, eine Y-Komponente, wobei man sieht,
die Y-Komponente ist positiv, hat gerade den Betrag Cosinus von Phi,
also die Komponente der Geschwindigkeit in X-Richtung, die geht in
negative X-Richtung, also in Minus-Ex-Richtung und hat den Betrag der
Geschwindigkeit mal Sinus des angegebenen Winkels, deshalb V A gleich
Minus R Omega 1 Sinus Phi in E-X-Richtung und R Omega 1 Cosinus Phi in
E -Y-Richtung.
Das haben wir im Grunde genommen vorgegeben.
Die Frage ist jetzt, wie groß ist dann die Winkelgeschwindigkeit der
Koppelstange?
Wie groß ist die Geschwindigkeit des Punktes B?
Die Richtung von B kennen wir, wir kennen aber nicht den Betrag.
Wir wissen allerdings, die Geschwindigkeit des Punktes B,
die setzt sich zusammen aus der Geschwindigkeit des Punktes A
plus Winkelgeschwindigkeit
mal Länge des Relativvektors in E-Phi-Richtung.
Der Relativvektor geht von A nach B, hat also gerade die Länge L und
die Richtung von E-Phi, können wir mal eintragen, die steht senkrecht
auf dem Relativvektor, das war also E-Phi.
Man sieht, für den speziellen Fall hat E-Phi dieselbe Richtung wie der
Einheitsvektor in Richtung von V A.
Aufpassen müssen wir jetzt noch beim Omega, wir haben an der Stelle
zwei Omegas, nämlich das Omega 1 beziehungsweise das Omega 2.
Wenn Sie diese Formel anwenden, müssen Sie immer beachten, das müssen
zwei Punkte sein, die zu einem und demselben Körper gehören.
Also nicht jetzt den Punkt von der Kurbel nehmen, zum Beispiel den
Lagerpunkt und dann auf den Punkt B rechnen, sondern es müssen immer
dann Punkte auf demselben Körper sein.
Man könnte jetzt zum Beispiel bei der Kurbel das so machen, die
Geschwindigkeit des Punktes A ist die Geschwindigkeit des
Gelenkpunktes, das ist 0, plus Omega kreuz dem Relativvektor und das
gibt dann gerade in dem Fall Omega mal R mal dem Einheitsvektor in
Richtung von V A.
Also brauchen wir hier an der Stelle die Winkelgeschwindigkeit der
Koppelstange, also Omega 2.
Das E Phi, sehen wir, das geht in negative E X Richtung, also Minus
Sinus Phi E X plus Cosinus Phi E Y.
Warum?
Nun wir hatten gesagt, eigentlich wäre der Winkel Psi wichtig,
allerdings für diese augenblickliche Stellung entspricht der Winkel
Phi gerade dem Winkel Psi, sodass ich das jetzt schon an der Stelle
ersetzt habe.
Setzen wir alles ein, dann ergibt sich V B gleich Minus R Omega 1
Sinus Phi in E X Richtung
plus R Omega 1 Cosinus Phi in
E Y Richtung plus Omega 2 mal L mal E Phi, das ergibt Minus Omega 2 L
Sinus Phi
plus Omega 2 L Cosinus Phi in E Y Richtung, also plus Omega 2 L
Cosinus Phi.
Und jetzt können wir unser Gelenk oder unser Lager im Punkt B
anschauen, dann sehen wir, der Punkt B bewegt sich nur vertikal, also
muss die Geschwindigkeit des Punktes B in X Richtung verschwinden, die
muss Null sein, das bedeutet, diese Klammer muss Null sein.
Und dann sehen wir, da haben wir R Omega 1 Sinus Phi, das Minuszeichen
können wir rausziehen, plus Omega 2 L Sinus Phi, ich schreibe es mal
nochmal an.
Also, das Minuszeichen können wir rauskürzen, dann haben wir R Omega 1
plus Omega 2
L mal Sinus Phi gleich Null.
Sinus Phi ist ungleich Null, also muss R Omega 1 plus Omega 2 mal L
gleich Null sein, das heißt, Omega 2, das ist ja noch unbekannt, Omega
1 ist gegeben, ist dann Minus R dividiert durch L mal Omega 1, das ist
das erste Ergebnis.
Also die beiden Winkelgeschwindigkeiten hängen zusammen, wie vermutet,
die eine ist negativ, die andere positiv.
Unbekannt, haben wir gesagt, ist auch die Geschwindigkeit des Punktes
B.
Für VB gilt, das sehen wir an der Stelle, die Komponente in X-Richtung
war ja definitionsgemäß Null, dann bleibt noch übrig R Omega 1 plus
Omega 2 L mal
Cosinus Phi.
Jetzt könnte man an der Stelle das Omega 2 als Funktion von Omega 1
einsetzen, oder wir sagen gleich, wir haben ja gesehen, die runde
Klammer muss Null sein, die tritt an der Stelle nochmals auf, hier
fehlt noch das Ey und man sieht, das ist Null mal Ey, also für diese
augenblickliche Stellung ist die Geschwindigkeit des Punktes B gerade
Null.
Wie könnten wir das zeichnerisch überprüfen?
Und ich deute mal hier so ein bisschen die Koppelstange an,
den Punkt B, dann wissen wir, die Geschwindigkeit des Punktes B
entspricht der Geschwindigkeit des Bezugspunktes A, das war VA,
das hatten wir in der Oberanzeichnung gesehen, das ist ein Vektor, der
senkrecht auf der Kurbel und auf der Koppelstange steht, das heißt,
wir haben hier einen rechten Winkel.
Jetzt kommt zu dieser Geschwindigkeit noch ein Anteil hinzu, infolge
der Drehung des Punktes B um den Punkt A, das ist ein Anteil, dessen
Größe wir nicht kennen, aber dessen Richtung wir kennen, das ist
nämlich ein Anteil, der senkrecht auf der Bleuelstange steht und das
Ergebnis aus Überlagerung des gelben Vektors mit dem blauen Vektor
soll gerade wieder einen Vektor ergeben, dessen Spitze auf der
Vertikalen durch den Punkt B läuft.
Warum?
Weil die Geschwindigkeit des Punktes B vertikal gerichtet sein muss.
Und dann sehen wir, das geht natürlich nur, wenn die Geschwindigkeit
des Punktes B um den Punkt A dem Negativen von Va entspricht und als
resultierender Vektor ergibt sich der Nullvektor.
Also das Ergebnis, was wir schon auf rechnerischem Wege erhalten
hatten.
Im zweiten Fall nehmen wir an, wir haben wieder eine Kurbel, Radius R,
der Gelenkpunkt A beschreibt wieder eine Kreisbahn
und jetzt allerdings haben wir die Kurbelstange in dem Moment gerade
senkrecht ausgerichtet.
Es sei aber jetzt eine Kurbel, bei der auch so der Punkt B nur eine
Vertikalbewegung macht.
Das heißt, wenn wir jetzt wieder X- und Y-Achsen einführen
und entsprechende Koordinaten, dann hätten wir an der Stelle wieder
den Winkel Phi beziehungsweise die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel
Omega 1.
Wir sehen, für den Sonderfall hätten wir gerade Psi gleich 90 Grad und
in die entsprechende Richtung der Winkelgeschwindigkeit Omega 2.
Die Länge der Kurbelstange sei wieder L und auch hier ist natürlich
die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A vorgegeben mit Va.
Man sieht, daran ändert sich nichts.
Va ist nach wie vor minus R Omega 1 Sinus Phi in X-Richtung plus R
Omega 1 Cosinus Phi in Y-Richtung.
Allerdings haben wir für die Geschwindigkeit des Punktes B jetzt
wieder Geschwindigkeit des Punktes A plus Omega der Kurbelstange, das
war Omega 2, mal Länge des Relativvektors, das war L,
mal E Phi.
Wir sehen aber, in dem Falle ist E Phi ein Einheitsvektor, der in
negative E-X-Richtung zeigt.
Also das war minus E-X, sodass sich letztendlich ergibt für die
Geschwindigkeit des Punktes B die Geschwindigkeit des Punktes A, das
war minus R Omega 1 Sinus Phi in E-X-Richtung plus R Omega 1 Cosinus
Phi in E-Y-Richtung.
Wie gesagt, das war Va, jetzt kommt noch hinzu Omega 2 L in negative E
-X -Richtung, deshalb hier das Minuszeichen aus, plus Omega 2 L.
Auch für diese Stellung gilt, dass die Geschwindigkeit des Punktes B
nur vertikal gerichtet sein kann, also die X-Koordinate an sich muss
verschwinden.
Also, Ausforderung V B X gleich Null, die Komponente in X-Richtung
gleich Null, folgt dann Omega 2 und die runde Klammer ist Null, wenn
Omega 2 gerade Minus R Omega 1
Sinus Phi dividiert durch L ist.
Das ist das eine Ergebnis und das können wir dann in die Beziehung für
die Geschwindigkeit des Punktes B einsetzen.
Das heißt, damit ergibt sich dann die Geschwindigkeit des Punktes B.
Wir sehen, Komponent in X-Richtung verschwindet, haben wir nur noch R
Omega 1 Cosinus Phi in E-Y-Richtung.
Falls wir das auch noch grafisch irgendwie lösen wollen,
haben wir wieder die Koppelstange.
Ich will das ganze System nochmal anzeichnen, hier haben wir den Punkt
B.
Am Punkt B haben wir zunächst mal die Geschwindigkeit des Punktes A,
der ist nach wie vor tangential an den Kreis gerichtet.
Dem wird überlagert die Geschwindigkeit des Punktes B um den Punkt A,
das ist eine Geschwindigkeit, die irgendwie in Richtung E Phi
verläuft, also in unserem Falle waagrecht.
Und das Ganze muss einen Vektor ergeben, der vom Punkt B aus senkrecht
gerichtet ist und man sieht, das geht nur, wenn jetzt die
Geschwindigkeit des Punktes B um den Punkt A, das Omega 2 mal L mal E
Phi nach rechts gerichtet ist und somit ergibt sich die
Geschwindigkeit des Punktes B als Überlagerung der beiden Anteile, ein
Vektor, der in dem Falle nach oben zeigt, das wäre Vb.
Gibt es dazu Fragen?
So, dann kommen wir jetzt zum sogenannten Momentanpol
und ich fange vielleicht mal mit etwas ganz anderem an, was sich jeder
vorstellen kann.
Wenn man sich eine Schraube vorstellt, die man in ein Gewinde
reinschraubt, welches fest steht.
Was passiert dann?
Nun, dann dreht sich die Schraube um ihre Längsachse und gleichzeitig
bewegt sich die Schraube in Richtung der Längsachse aufgrund der
Steigung.
Das ist der allgemeinste Fall, der so auftreten kann.
Also eine allgemeine Bewegung setzt sich zusammen aus Translation, das
wäre in dem Fall die Vorwärtsbewegung der Schraube, plus eine
Rotation.
Allerdings macht die Schraube keine ebene Bewegung.
Die macht ja eine Bewegung praktisch, hat die Drehung.
Wenn die sich nicht noch in Richtung der Achse bewegen würde, wäre das
eine ebene Bewegung.
Aber sie bewegt sich eben noch in Richtung der Achse.
Wenn wir jetzt wirklich eine ebene Bewegung anschauen, dann kann man
das immer auffassen als eine Drehung um eine Achse, die praktisch
ruht.
Und wenn wir eine Scheibe haben, dann entspricht das einem Punkt.
Das wird dann der sogenannte Momentanpol sein.
Dieser Punkt muss nicht unbedingt ein Punkt des Körpers sein.
Der kann auch ganz weit weg liegen.
Der kann, wenn man eine reine Translationsbewegung anschaut, auch
irgendwo im Unendlichen liegen.
Rein mathematisch gesehen.
Aber wenn ich zum Beispiel hierher stehe und ich bewege mich jetzt
irgendwie so, dann wird jedem klar, ich drehe mich nicht um eine
Achse, die durch den Körper Seemann geht, sondern es ist eine Achse,
die irgendwo im Hörsaal liegt.
Allerdings kann man mit dem Momentanpol relativ viele Dinge erklären
und bei ebenen Bewegungen auch sehr leicht rechnen.
Also vermerken wir, allgemeine Bewegung setzt sich zusammen aus
Translation und Rotation.
Bei
ebener Bewegung
kann das auch als Drehung um einen momentanen Pol,
nämlich den Drehpunkt, nennen wir den mal P,
aufgefasst werden.
Dieser Punkt hängt
von der Zeit ab und
kann sich ändern.
Das heißt, es ist nicht so, dass einmal ein Punkt des starren Körpers
dann immer dieser Drehpunkt ist, sondern dass je nach Stellung sich
der Drehpunkt ändert.
Damit gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich wir verbinden mal alle
Punkte des Körpers, die so nach und nach diesem Drehpunkt entsprechen,
das ist dann die Gangpolbahn und wir nehmen mal alle Punkte des
Inertialsystems, die irgendwann mal Drehpunkt sind, das ist dann die
Rastpolbahn.
Und am besten kann man sich das erklären, wenn wir mal so ein
rollendes Rad oder so eine rollende Walze betrachten.
Nun, was bedeutet rollen?
Rollen bedeutet, dass der Kontaktpunkt zwischen dem Rad oder der Walze
hier mit dem Untergrund dieselbe Geschwindigkeit hat wie der
Untergrund selbst.
Wenn wir es ganz genau machen, die Erde dreht sich ja, der Hörsaal
bewegt sich, aber beide haben Kontaktpunkt, Punkt als Teil des Körpers
und Kontaktpunkt als Punkt der Unterlage, haben beide dieselbe
Geschwindigkeit.
Nun, jetzt kann man sagen, wenn die Reibung zu groß oder die Kraft,
die da wirkt, zu groß ist, dann fängt es ja an zu rutschen, gut, dann
haben wir keinen Rollen mehr.
Aber eine relativ große Reibung können wir uns zumindest gedanklich
vorstellen, wenn wir sagen, na gut, wenn wir Zahnräder haben, dann
haben wir ja Formschluss, dann haben wir das im Prinzip auf jeden Fall
erfüllt.
Also, wenn man das anschaut, momentan der Drehpunkt dieses Körpers ist
der Punkt, der im Kontakt steht.
Und jetzt wird auch klar, wenn der Körper sich weiter dreht, dann wird
irgendwann jeder Punkt des Umfangs mal dieser Punkt.
Und wenn wir das im Inertialsystem sehen, dann ist für diesen
einfachen Fall die Linie entlang, der er rollt, die Rastpolbahn.
Und für den momentanen Drehpunkt selbst, da gilt natürlich, dass die
Geschwindigkeit dieses Drehpunktes Null sein muss.
Also,
für P gilt V von P gleich Null.
Aber wir wissen, für den Punkt P, der ja Teil des Körpers sein soll,
auch wenn er vielleicht nicht materiell zum Körper gehört, können wir
sagen, das entspricht der Geschwindigkeit eines Bezugspunktes A plus
Winkelgeschwindigkeit des Körpers kreuz dem Vektor von Bezugspunkt A
zum Drehpunkt P.
Also, A war ein beliebiger Punkt des Körpers.
So, wenn wir jetzt von links das Kreuzprodukt bilden mit Omega, was
haben wir dann?
Dann haben wir Omega kreuz V A plus Omega kreuz Omega kreuz R A P
und auf der anderen Seite haben wir Omega kreuz Null, das gibt immer
noch den Nullvektor.
Jetzt haben wir gesehen, Omega bei einer ebenen Bewegung ist ein
Vektor zum Beispiel in E-Z-Richtung.
R A P ist
R in E-R-Richtung.
Ich schreibe mal dazu, plus Z mal E-Z.
Wenn wir das mit berücksichtigen würden, dann können wir natürlich
nicht mal von einem Punkt sprechen, dann müssen wir praktisch sprechen
von einer Achse, die durch diesen Punkt geht und senkrecht zur
Bewegungsebene steht.
Man sieht aber schon, beim Kreuzprodukt an der Stelle fällt die Z
-Koordinate raus.
Die Geschwindigkeit des Punktes A liegt sowieso in der Bewegungsebene,
also brauchen wir diesen Anteil eigentlich gar nicht mitnehmen.
Wir sehen dann aber, Omega kreuz R A P gibt E-Z kreuz E-R.
Das war ein Vektor, den haben wir bisher immer mit E-Phi bezeichnet.
Und E-Z kreuz E-R ergibt E-Z kreuz E-Phi, das gibt gerade Minus E-R.
Omega kreuz V A
ist Minus Omega kreuz Omega kreuz R A P. Omega war Omega E-Z, das
ergibt insgesamt Omega Quadrat mal R.
Und das doppelte Kreuzprodukt war Minus E-R.
Wir sehen, das ergibt gerade Minus mal Minus gibt Plus, gibt also
Omega Quadrat mal R E-R.
R E-R entspricht dann aber gerade dem R A P,
sodass wir sehen, wenn wir jetzt die Gleichung durch Omega Quadrat
dividieren, dann haben wir R A P gleich 1 durch Omega Quadrat mal
Omega kreuz V A.
Man sieht, wenn wir also die Geschwindigkeit des Punktes A kennen, wir
kennen das Omega, dann kennen wir auch den Vektor vom Punkt A zum
Punkt P und damit den sogenannten Momentanpol.
Ein bisschen auffassen muss man, wenn in Büchern manchmal der Vektor
vom Momentanpol zum Punkt A angegeben wird, R P A, dann ändert sich
natürlich an der Stelle das Vorzeichen.
Wenn wir mal einen
Körper haben, wir haben den Punkt A und wir haben die Geschwindigkeit
des Punktes A,
dann wissen wir, der Vektor von A zum Momentanpol steht senkrecht auf
der Geschwindigkeit des Punktes A, weil ja Omega und V A ebenfalls
senkrecht stehen, also muss der Momentanpol irgendwo auf der Linie
liegen, wo der dann genau liegt, das hängt natürlich noch von Omega
ab.
Nehmen wir an, der liegt an der Stelle,
dann haben wir hier so ein Dreieck und jetzt wissen wir, die
Geschwindigkeit irgendeines Punktes des Körpers beträgt ja gerade die
bekannte Geschwindigkeit eines Bezugspunktes, wobei der Bezugspunkt
auf dem Körper gar nicht Teil des Körpers sein muss, zum Beispiel der
Momentanpol plus Omega kreuz, dem Vektor von P zu dem Punkt.
Also, man sieht, das Omega-Kreuz-R-Relativ, das nimmt betragmäßig hier
immer weiter zu, nämlich linear mit R, sodass praktisch diese Linie
dann angibt die Geschwindigkeitsverteilung hier für die einzelnen
Punkte.
Also der Punkt, der hier liegen würde vom Körper, hätte dann die
Geschwindigkeit.
Dementsprechend, wie sieht es aus mit dem Punkt B?
Nun für den Punkt B natürlich ganz analog, wir zeichnen die Linie vom
Momentanpol zum Punkt B, die Geschwindigkeitsverteilung ist ganz
analog wie auf der Linie, das heißt, das Dreieck, was ich jetzt
einzeichnen kann, ist ähnlich.
Der Winkel entspricht auch dem Winkel.
Die Geschwindigkeit des Punktes B steht senkrecht auf dem Vektor von P
nach B, das wäre also Vb.
Und wie gesagt, auch entlang dieser Linie ergibt sich dann wieder eine
lineare Geschwindigkeitsverteilung.
Man sieht aber, die Richtung der Geschwindigkeiten auf der Linie ist
eine andere als bei der Verbindungslinie zwischen P und A.
Also Vb ist Omega Kreuz R von P nach B.
Eigentlich steht hier noch die Geschwindigkeit des Punktes P drin,
aber die war ja definitionsgemäß null.
Da sehen wir, es gibt Omega Ez Kreuz R Pb Er.
Es gibt Ez Kreuz Er, gibt wieder senkrecht auf der Verbindungslinie.
Und betragsmäßig haben wir eben Omega R Pb, hier Ez Kreuz Er.
Man sieht auf jeden Fall, linear mit dem Abstand zum Punkt P
zunehmend.
Ein wichtiges Beispiel ist das sogenannte rollende Rad.
Es sind leider nur wenige Studenten da, was ich fast wieder befürchtet
habe.
Warum?
Ich hoffe, dass all diejenigen, die in der Vorlesung sind und immer
treu kommen, dass die natürlich nie in eine mündliche Prüfung müssen,
weil sie die schriftliche Prüfung zweimal nicht bestanden haben.
Aber es gibt natürlich zahlreiche Studenten, die nie in die Vorlesung
kommen oder die manchmal das in der Vorlesung Gesagte vergessen.
Nämlich, ich sage es dann auch immer in der Prüfung, das rollende Rad
ist eine notwendige Voraussetzung, um die mündliche Prüfung zu
bestehen.
Das heißt nicht, dass wenn man das rollende Rad kann, dass man die
Prüfung bestanden hat.
Aber in dem Moment, wo das rollende Rad nicht kommt, ist auch sofort
die Prüfung beendet.
Und leider geschieht das immer noch, trotz zahlreicher jährlicher
Warnungen.
Nun, ein bisschen hatte ich das schon experimentell vorgeführt.
Wir haben das rollende Rad, wir haben den Kontaktpunkt P, natürlich
genau unterhalb vom Mittelpunkt.
Und
der Kontaktpunkt P, warum ist das der Momentanpol?
Nun, weil wir annehmen, dass die Geschwindigkeit des Untergrundes Null
ist.
Bei Rollen ist die Geschwindigkeit des Radpunktes im Kontakt genauso
groß wie die Geschwindigkeit des Untergrundes, hat also die
Geschwindigkeit Null.
Und Geschwindigkeit Null hieß ja Momentanpol.
Also haben wir an der Stelle den Momentanpol.
Das Rad selbst hat den Radius groß R.
Und der Mittelpunkt des Rades, der hat die Geschwindigkeit Vm.
Und jetzt ist die Frage, wie groß sind eigentlich die
Geschwindigkeiten der Punkte A, hier am obersten Punkt,
beziehungsweise B, hier rechts vom Mittelpunkt und C, links vom
Mittelpunkt.
Und da wissen wir zunächst mal,
ich schreibe es mal dazu, Momentanpol, erklärt hatte ich es ja.
Dann haben wir Vm ist gerade V von P, das war Null, plus Omega,
nämlich Winkelgeschwindigkeit des Rades Kreuz, dem Vektor von P zum
Mittelpunkt, das ist einfach, wenn wir mal Koordinatenrichtungen
einführen, X horizontal nach rechts, Y vertikal nach oben und das
Omega dann entgegen dem Uhrzeigersinn positiv ergibt also Kreuz R, EY,
das Omega, das ist Omega in XY, EZ-Richtung.
Und wenn wir die Nabengeschwindigkeit gegeben haben, dann müssen wir
uns aus dieser Beziehung die Winkelgeschwindigkeit bestimmen, wir
sehen ja gut, die Nabengeschwindigkeit, anders macht es keinen Sinn,
die ist in Richtung der X-Achse, also haben wir dann Vm, EX gleich und
hier haben wir Omega, EZ, Kreuz REY, EZ-Kreuz EY ergibt Minus EX,
ergibt also Minus Omega REX.
Beide Koordinaten müssen gleich sein, also ist Omega des Rades gerade
Minus Vm dividiert durch R.
Für VA folgt dann,
VA ist Geschwindigkeit des Momentanpols, plus Omega Kreuz dem Vektor
von P nach A, Geschwindigkeit des Momentanpols ist 0, bleibt also noch
übrig, Omega ist aber Minus Vm durch R in EZ-Richtung, Kreuz dem
Vektor vom Momentanpol zum Punkt A, das ist 2R in EY-Richtung,
EZ -Kreuz EY ist Minus EX mit dem Minuszeichen, hier vorne gibt es
Plus EX, dann haben wir Vm durch R mal 2R, das R kürzt sich raus,
steht da gleich 2 mal Vm EX.
Und das hätten wir grafisch sofort sagen können, weil wenn wir jetzt
praktisch hier diese Verbindungslinie sehen und sehen, dass der Punkt
A den doppelten Abstand vom Momentanpol hat als der Mittelpunkt, dann
muss dessen Geschwindigkeit auch doppelt so groß sein.
Die Geschwindigkeitsverteilung war ja an der Stelle dann so gegeben.
Das heißt, der Punkt A hat dann einfach die doppelte Geschwindigkeit.
Wie sieht es aus für den Punkt B?
Und da wissen wir, die Geschwindigkeit von B ist die Geschwindigkeit
des Momentanpols, wieder Null, plus Omega kreuzt den Vektor von P nach
B, also Minus Vm durch R EZ kreuzt den Vektor von P nach B, das ist
aber R in EX-Richtung plus R in EY-Richtung.
Wir sehen, das ergibt letztendlich EZ kreuzt EX, ergibt EY.
Mit dem R, das sich wegkürzt, bleibt Minus Vm EY.
EZ kreuzt EY, ergibt Minus EX, mit dem Minuszeichen hier vorne gibt es
Plus EX, das R kürzt sich weg, ergibt also Plus Vm EX.
Betragsmäßig war die Geschwindigkeit des Punktes M gerade Betrag von
Vm.
Und wir sehen, der Punkt B hat jetzt eine Geschwindigkeit, die sich
zusammensetzt aus Vm in X-Richtung plus Vm in negative EY-Richtung,
sodass letztendlich sich als Gesamtgeschwindigkeit ein Vektor ergibt,
der nicht horizontal und nicht vertikal verläuft.
Ganz klar, das muss wieder ein Vektor sein, der senkrecht auf der
Verbindungslinie von P nach B steht.
Und wenn wir dasselbe für die Geschwindigkeit des Punktes C
durchführen, dann sehen wir, der Abstand ist derselbe wie zum Punkt B,
allerdings die Richtung der Geschwindigkeit wird eine andere ergeben.
Also da haben wir jetzt eine Geschwindigkeit, die eben wieder
senkrecht hierauf steht, das war VC,
ebenfalls mit einer Komponente in X- und in Y-Richtung.
Wo man jetzt anschauungsmäßig ein bisschen vorsichtig sein muss, der
Punkt P hat ja die Geschwindigkeit Null, weil der Punkt P, was für
eine Beschleunigung hat er?
Da muss man aufpassen, dass man nicht sagt, die Geschwindigkeit ist
Null, also ist auch die Beschleunigung Null.
Warum?
Die Geschwindigkeit ist nur momentan Null.
Die Beschleunigung des Punktes P als Punkt der Unterlage ist natürlich
Null, weil praktisch die Unterlage sich nicht bewegt, aber ganz klar,
der Punkt P des Rades, der muss ja irgendwie sich wieder nach oben
bewegen, also der hat auch wirklich eine Beschleunigung.
Die können Sie aber ausrechnen mit dem, was wir in der heutigen
Vorlesung schon hatten.
Vielleicht ganz zum Schluss noch ein ganz kleines Modell, was nicht
spektakulär ist, aber da sieht man vielleicht doch einiges.
Wenn man sieht, da handelt es sich um so ein Koppelgetriebe nennt man
das, da hat man früher sehr viele Bewegungen realisiert.
Wenn man zum Beispiel hier einen Stift reinsteckt und ein Blatt Papier
drunter legt, dann gibt es natürlich in dem Falle geschlossene Kurven.
Wenn die Kurbel sich hier dreht, man sieht hier haben wir nur noch so
eine Schwinge, das dreht sich gar nicht ganz.
Da gibt es auch die verschiedensten Konfigurationen je nach Länge der
Kurbeln und der Koppelstange.
Wenn wir jetzt nach dem Momentanpol fragen, muss man vorsichtig sein.
Warum?
Wo ist hier der Momentanpol, wer weiß es?
Ich habe es ein bisschen reingelegt.
Wenn ich nach dem Momentanpol frage, ist es eigentlich falsch.
Warum?
Jeder Körper hat bei einer ebenen Bewegung einen Momentanpol.
Aber wir haben in dem Falle eins, zwei, drei Körper.
Also haben wir auch drei Momentanpole.
Ganz klar, die Kurbeln, die drehen jeweils um den Lagerpunkt.
Also der Momentanpol dieser Kurbel wird wohl hier sein.
Der Momentanpol dieser Kurbel wird wohl hier sein.
Jetzt, wie sieht es aus mit dem Momentanpol der Koppelstange?
Wo liegt jetzt der Momentanpol der Koppelstange?
Ganz einfach.
Der Momentanpol der Koppelstange muss senkrecht auf der
Geschwindigkeit dieses Punktes sein.
Die Geschwindigkeit dieses Punktes entspricht aber der Geschwindigkeit
des Gelenkpunktes als Punkt dieser Kurbel.
Der Momentanpol muss also senkrecht auf der Kurbel stehen.
Das heißt, die Geschwindigkeit hat den Verlauf.
Senkrecht drauf heißt, der Momentanpol muss irgendwo in dieser
Richtung liegen.
Genauso haben wir es an der Stelle.
Die Geschwindigkeit dieses Gelenkpunktes steht senkrecht auf der
Kurbel.
Der Momentanpol wieder auf einer geraten, die senkrecht auf der
Geschwindigkeit steht, also irgendwo in der Verlängerung.
Das heißt, der Momentanpol muss irgendwo da unten liegen.
Und genauso kann man das jetzt natürlich weiterführen.
In dem Fall wäre praktisch der Momentanpol wahrscheinlich hier oben
irgendwo.
Ich sehe es jetzt nicht ganz so gut.
Ich denke, das Prinzip wird klar.
Man sieht dabei auch, mit wechselnder Stellung ändert sich die Lage
des Momentanpols.
Und wie gesagt, einmal kann man dann den Momentanpol als Punkt des
Körpers auffassen und einmal als Punkt des Inertialsystems.
An der Stelle muss ich mich leider vor Weihnachten von Ihnen
verabschieden.
Bitte denken Sie daran, das war aus Gründen, dass wenn irgendetwas ein
bisschen schiefläuft, wir noch genügend Zeit haben, am Donnerstag
anstatt Übung eine Vorlesung machen.
Das übernimmt dann der Herr Kapelke, nicht mehr der Herr Römer.
Der Herr Kapelke wird eine der Übungsgruppen ab Januar übernehmen,
anstatt dem Herrn Römer.
Beide sind kurz vor der Promotion, also sind erfahrene Doktoranden,
die das durchaus machen können.
Ich selbst bin leider auf einer Habilitation in Hannover, wenn das
nicht noch abgesagt wird.
Und deshalb wünsche ich Ihnen an der Stelle schon gesegnete
Weihnachtsfeiertage, einen guten Rutsch ins neue Jahr.
All diejenigen, die Skifahren gehen, kommen hoffentlich gesund wieder,
dass sie nicht die Vorlesungen im Internet anschauen müssen.
Und ansonsten wünsche ich Ihnen natürlich eine relativ hohe Effizienz
beim Geschenke auspacken und bei der Beschenkung durch den
Weihnachtsmann.
Vielen Dank.