WEBVTT 00:07.140 --> 00:10.420 Ich denke, dann können wir so langsam mit der Vorlesung weitermachen. 00:11.380 --> 00:16.180 Bitte bringen Sie die Bögen nach der Vorlesung nach vorne, wenn 00:16.180 --> 00:20.800 möglich getrennt nach Bögen, die ausgefüllt sind und Bögen, die nicht 00:20.800 --> 00:21.660 ausgefüllt sind. 00:22.160 --> 00:25.500 In der Vergangenheit war es dann zum Teil so, dann gab es einen Stapel 00:25.500 --> 00:28.400 mit nicht ausgefüllten Bögen, dann habe ich die im Institut 00:28.400 --> 00:32.480 durchgeblättert, dann war da eine ganze Latte von ausgefüllten Bögen 00:32.480 --> 00:35.000 noch darunter, also achten Sie da ein bisschen drauf. 00:44.320 --> 00:51.660 In der letzten Vorlesung bei Herrn Römer haben Sie mit der Bewegung 00:51.660 --> 00:56.300 eines starren Körpers angefangen, wobei wir uns jetzt hauptsächlich 00:56.300 --> 00:59.940 beschränken oder wo wir in der TN3 ausschließlich darauf beschränken, 01:00.280 --> 01:02.900 dass eine sogenannte Ebenebewegung vorliegen soll. 01:03.620 --> 01:08.180 Sie hatten dann den Sonderfall der reinen Translation und dann auch 01:08.180 --> 01:09.720 die Drehung um eine feste Achse. 01:10.640 --> 01:13.420 Jetzt als drittes eine allgemeine Bewegung. 01:35.280 --> 01:39.760 Wie gesagt, eigentlich setzen wir immer noch voraus, dass eine 01:39.760 --> 01:41.720 sogenannte Ebenebewegung vorliegt. 01:43.500 --> 01:53.580 Allerdings, wenn wir den Körper irgendwie betrachten und den Punkt P 01:53.580 --> 01:58.940 uns herausgreifen, dann sehen wir, wenn wir ein Inertialsystem 01:58.940 --> 02:11.620 einführen mit Ursprung in O, dann gibt es den Ortsvektor zum Punkt P. 02:15.880 --> 02:19.200 Das war der Punkt P, das war RP. 02:23.320 --> 02:27.380 Wir können allerdings auf dem starren Körper einen anderen Bezugspunkt 02:27.380 --> 02:29.900 wählen, zum Beispiel den Punkt Q. 02:32.640 --> 02:37.800 Dann gilt eben, dass der Vektor RP sich ergibt. 02:37.900 --> 02:45.940 Zunächst mal aus dem Vektor zum Punkt Q, RQ, plus dem Vektor von Q 02:45.940 --> 02:48.740 nach P, sozusagen ein Relativvektor. 02:50.560 --> 02:53.860 Und wir erkennen, wenn wir ein Bezugssystem mit dem Körper fest 02:53.860 --> 02:59.100 verbinden oder den Körper als Bezugssystem anschauen, dann können wir 02:59.100 --> 03:02.920 das im Grunde genommen aus der Relativmechanik abschauen. 03:04.880 --> 03:09.860 Dann ergibt sich nämlich die Bewegung des Punktes P aus der Bewegung 03:09.860 --> 03:16.960 des Punktes Q plus noch Anteile aufgrund der Rotation des 03:16.960 --> 03:19.420 Bezugssystems, in dem Falle des Körpers. 03:21.140 --> 03:32.560 Also RP ist dann gerade, haben wir gesagt, RQ plus R Relativ. 03:36.370 --> 03:43.810 Und wenn wir mal nachschauen, die Geschwindigkeit des Punktes P, die 03:43.810 --> 03:49.630 ergibt sich dann einfach aus der Differenzation des Ortsvektors RP im 03:49.630 --> 03:50.570 Inertialsystem. 03:53.690 --> 03:56.630 Also die RP nach DT im Inertialsystem. 03:57.790 --> 04:01.230 Das ist dann gerade die 04:04.800 --> 04:12.080 Ableitung von RQ nach der Zeit im Inertialsystem plus die Ableitung 04:12.080 --> 04:22.080 des Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem und 04:29.020 --> 04:35.700 die Ableitung des Ortsvektors zum Punkt Q nach der Zeit im 04:35.700 --> 04:42.140 Inertialsystem war gerade die Geschwindigkeit des Punktes Q plus und 04:42.140 --> 04:46.280 die Ableitung des Relativvektors nach der Zeit, die können wir jetzt 04:46.280 --> 04:53.000 ersetzen durch Ableitung nach der Zeit im Relativsystem, also im 04:53.000 --> 05:05.820 Körperfestenbezugssystem, also plus die R Relativ nach DT im 05:05.820 --> 05:15.420 Körperfestenbezugssystem plus das Kreuzprodukt aus 05:15.420 --> 05:18.800 Winkelgeschwindigkeit des Relativsystems. 05:18.880 --> 05:21.560 Nun, wir haben gesagt, das Relativsystem ist fest mit dem Körper 05:21.560 --> 05:25.040 verbunden, also muss das die Winkelgeschwindigkeit des Körpers sein, 05:26.140 --> 05:33.700 Omega vom Körper im Inertialsystem Kreuz, den Vektor, den wir 05:33.700 --> 05:38.420 ableiten, das war R Relativ und jetzt haben wir hier ein Starkkörper 05:38.420 --> 05:44.120 vorliegen, das bedeutet, im Körperfestenbezugssystem ändert sich der 05:44.120 --> 05:47.540 Relativvektor mit der Zeit nicht, damit ist die Ableitung des 05:47.540 --> 05:55.460 Relativvektors im Körperfestenbezugssystem Null, das war dann Null, 05:56.540 --> 06:03.900 sodass sich letztendlich ergibt, die Geschwindigkeit des Punktes P ist 06:05.360 --> 06:15.860 dann gerade Geschwindigkeit des Punktes Q plus Omega von K in I Kreuz 06:15.860 --> 06:18.300 R Relativ. 06:20.740 --> 06:25.060 Für die Beschleunigung des Punktes P können wir die ganze Prozedur 06:25.060 --> 06:31.280 nochmals durchführen, also analog für die Beschleunigung. 06:39.100 --> 06:44.120 Da wissen wir, die Beschleunigung des Punktes P, die ist gerade 06:44.120 --> 06:48.800 Ableitung der Geschwindigkeit des Punktes P nach der Zeit im 06:48.800 --> 06:54.800 Inertialsystem und da sehen wir, das gibt dann Ableitung der 06:54.800 --> 07:00.140 Geschwindigkeit des Punktes Q nach der Zeit im Inertialsystem, das ist 07:00.140 --> 07:04.760 aber gerade die Beschleunigung des Punktes Q im Inertialsystem plus 07:04.760 --> 07:11.700 und jetzt müssen wir die Produktregel anwenden, wenn wir Omega Kreuz R 07:11.700 --> 07:17.580 Relativ beim Ableiten ergibt es zunächst mal die Omega von K in I nach 07:17.580 --> 07:30.740 dt in I Kreuz R Relativ plus eben das Omega von K in I Kreuz der 07:30.740 --> 07:37.120 Ableitung des Relativvektors im Inertialsystem und 08:00.660 --> 08:08.620 wir sehen, das ergibt dann V von Geschwindigkeit des Punktes Q, haben 08:08.620 --> 08:16.000 wir gesagt, abgeleitet, ergibt A vom Punkt Q plus die 08:16.000 --> 08:19.060 Winkelgeschwindigkeit abgeleitet ergibt die Winkelbeschleunigung. 08:22.260 --> 08:26.940 Alpha oder nennen wir es einfach Omega Punkt von K in I, das ist die 08:26.940 --> 08:39.200 Winkelbeschleunigung Kreuz R Relativ plus Omega von K in I Kreuz 08:39.200 --> 08:44.340 Ableitung des Relativvektors nach der Zeit im Inertialsystem, das 08:44.340 --> 08:49.740 können wir ersetzen durch Ableitung des Relativvektors nach der Zeit 08:49.740 --> 09:00.860 im Körperfestbezugssystem plus Omega von K in I Kreuz R Relativ, da 09:00.860 --> 09:05.360 haben wir im Prinzip dasselbe gemacht wie oben auch, das waren 09:05.360 --> 09:14.020 praktisch hier, hier waren wir schon, ne doch, R Relativ nach der Zeit 09:14.020 --> 09:19.760 abgeleitet im Inertialsystem war R Relativ im Körperfesten abgeleitet 09:19.760 --> 09:27.300 plus Omega Kreuz R Relativ, der Anteil wieder Null, weil ein 09:27.300 --> 09:31.700 Starkkörper vorliegt und der Relativvektor auf dem Starkkörper sich 09:31.700 --> 09:37.400 nicht ändert, sodass die Beschleunigung des Punktes P sich ergibt aus 09:37.400 --> 09:46.600 Beschleunigung des Punktes Q plus Winkelbeschleunigung Omega Punkt von 09:46.600 --> 09:54.880 K in I Kreuz R Relativ und man sieht von dem letzten Gesamtterm bleibt 09:54.880 --> 10:02.460 dann übrig plus Omega von K in I Kreuz und Jetzt steht in der Klammer 10:02.460 --> 10:04.300 noch, Omega von K in I, 10:08.090 --> 10:12.270 Kreuz, R, Relativ. 10:21.420 --> 10:24.960 Das war sozusagen nochmal Wiederholung der Relativmechanik. 10:34.130 --> 10:37.530 Jetzt, wie sieht es aus für den Sonderfall der ebenen Bewegung? 10:46.000 --> 10:49.000 Wir hatten zunächst mal gesagt, wir wollen das eigentlich alles, was 10:49.000 --> 10:50.680 wir machen, für die ebene Bewegung machen. 10:50.680 --> 10:55.380 Aber wir sehen, bei dem, was wir jetzt für die allgemeine Bewegung 10:55.380 --> 10:59.680 gemacht haben, ging an keiner Stelle die Voraussetzung ein, dass es 10:59.680 --> 11:01.740 sich um eine ebene Bewegung handelt. 11:03.000 --> 11:05.020 Was bedeutet eine ebene Bewegung? 11:05.060 --> 11:09.420 Eine ebene Bewegung bedeutet, dass beim Starkkörper sich alle Punkte 11:09.420 --> 11:14.660 in Ebenen bewegen, die parallel zueinander stehen. 11:15.360 --> 11:20.860 Und die Winkelgeschwindigkeit Omega des Körpers muss deshalb ein 11:20.860 --> 11:26.680 Vektor sein, der stets senkrecht zur Bewegungsebene steht und damit 11:26.680 --> 11:28.180 auch seine Richtung nicht ändert. 11:29.500 --> 11:32.440 Das heißt, wenn wir die Richtung der Winkelgeschwindigkeit, die 11:32.440 --> 11:37.120 senkrecht zur Bewegungsebene steht, mal mit der Z-Richtung bezeichnen, 11:39.280 --> 11:48.800 dann können wir das so ausdrücken, zum Beispiel in XY-Ebene, 11:54.460 --> 12:04.160 dann gilt eben, dass Omega von K in I gerade entspricht Omega in Z 12:04.160 --> 12:04.640 -Richtung. 12:05.440 --> 12:09.500 Und da wir nur einen Körper betrachten, liegt es jetzt nahe, auch die 12:09.500 --> 12:11.740 Bezeichnung Körper im Inertialsystem usw. 12:11.920 --> 12:12.440 wegzulassen. 12:14.660 --> 12:20.720 Und das Omega-Punkt von K in I, also das Alpha von K in I, die 12:20.720 --> 12:25.760 Winkelbeschleunigung, da sehen wir, die Z-Richtung ändert sich mit der 12:25.760 --> 12:26.440 Zeit nicht. 12:27.340 --> 12:30.780 EZ ist also ein konstanter Vektor, sodass nur die Koordinate 12:30.780 --> 12:31.780 abgeleitet wird. 12:31.780 --> 12:36.580 Das ergibt dann gerade Omega-Punkt in Z-Richtung. 12:55.850 --> 13:05.910 Wenn wir jetzt in der XY-Ebene mal unseren Körper betrachten, dann 13:05.910 --> 13:11.530 sehen wir, wir können wieder die Punkte P und Q einzeichnen. 13:12.570 --> 13:16.370 Q war der Bezugspunkt auf den starren Körper, P war der Punkt, den wir 13:16.370 --> 13:16.870 betrachten. 13:18.890 --> 13:29.630 RP war der Ortsvektor zum Punkt P, der sich zusammensetzt aus RQ und 13:32.630 --> 13:34.070 dem Relativvektor. 13:41.260 --> 13:44.720 Wenn wir jetzt davon ausgehen, eben eine Bewegung, wir betrachten 13:44.720 --> 13:48.420 einfach mal eine sehr dünne Scheibe, dann hat der Körper keine 13:48.420 --> 13:53.440 Ausdehnung in Z-Richtung, dann ist der Relativvektor ein Vektor, der 13:53.440 --> 14:03.340 in der XY-Ebene liegt und damit senkrecht zu EZ steht. 14:04.260 --> 14:10.020 Dann können wir also schreiben, der Ortsvektor zum Punkt P ist der 14:10.020 --> 14:19.620 Ortsvektor zum Punkt Q plus den Relativvektor und den Relativvektor 14:19.620 --> 14:29.400 können wir dann darstellen mithilfe eines Einheitsvektors von Q oder 14:29.400 --> 14:35.740 in Richtung von Q nach P, nennen wir den mal ER und einen 14:35.740 --> 14:41.500 Einheitsvektor senkrecht auf ER und senkrecht auf EZ, nennen wir den 14:41.500 --> 14:42.300 mal EFI. 14:46.040 --> 14:55.420 ER lässt sich dann darstellen als R, Abstand von Q nach P, mal ER. 14:56.860 --> 15:06.160 Das heißt, wir haben dann RQ plus R Relativ ergibt einfach RER. 15:07.860 --> 15:15.460 Die Geschwindigkeit des Punktes P ergibt dann Geschwindigkeit des 15:15.460 --> 15:26.920 Punktes Q plus und jetzt RER abgeleitet Da wissen wir im körperfesten 15:26.920 --> 15:31.820 Bezugssystem, ist das ein konstanter Vektor, also reicht es, wenn wir 15:31.820 --> 15:36.840 Omega kreuz dem R Relativ machen. 15:37.380 --> 15:38.820 Das haben wir ja hier. 15:40.500 --> 15:45.760 Omega ist Omega EZ, R ist RER. 15:45.760 --> 15:52.660 Wir sehen, rechte Handregel, EZ und ER stehen senkrecht aufeinander, 15:53.360 --> 16:03.340 gibt also den Vektor in Richtung EFI, gibt also plus Omega R EFI und 16:05.280 --> 16:07.020 für die Beschleunigung dann ganz analog. 16:12.260 --> 16:31.280 Für die Beschleunigung des Punktes P ergibt sich dann A von Q plus R, 16:31.440 --> 16:34.640 das war der konstante Abstand zwischen den Punkten, dann haben wir an 16:34.640 --> 16:40.720 der Stelle Omega EFI, die beide zeitabhängig sein können, gibt also 16:40.720 --> 16:52.940 dann plus Omega Punkt R EFI plus Omega R mal der Ableitung von EFI. 16:54.380 --> 17:02.640 Die Ableitung von EFI ist aber gerade wieder Omega, kreuzt den Vektor, 17:02.720 --> 17:03.460 den wir ableiten. 17:04.560 --> 17:08.720 Und da sehen wir, das geht in negative ER Richtung, ist also dann 17:08.720 --> 17:17.280 minus ER, dann haben wir von hier Omega mal R, aber durch das Ableiten 17:17.280 --> 17:23.560 kommt nochmal ein Omega hinzu, sodass sich minus Omega Quadrat mal R 17:23.560 --> 17:25.360 in ER Richtung ergibt. 17:36.050 --> 17:45.290 Jetzt nur als Anmerkung, falls wir keine sehr dünne Scheibe haben und 17:45.290 --> 17:51.650 der Körper noch eine dicken Ausdehnung hat, dann hat der Relativvektor 17:51.650 --> 17:58.790 R Relativ unter Umständen noch eine zusätzliche Komponente in Z 17:58.790 --> 17:59.230 -Richtung. 17:59.810 --> 18:07.610 Dann würde hier hinzukommen plus Z EZ zum Beispiel, irgendeine Z 18:07.610 --> 18:08.850 -Koordinate in Z-Richtung. 18:09.510 --> 18:12.170 Die würde auch an der Stelle auftreten. 18:14.970 --> 18:20.870 Man sieht, wenn wir das so anschreiben, dann bezeichnet R nicht mehr 18:20.870 --> 18:24.870 den Abstand vom Bezugspunkt zu dem Punkt, wo wir die Geschwindigkeit 18:24.870 --> 18:34.010 wissen wollen, sondern den Abstand des Punktes P von der Achse, die 18:34.010 --> 18:37.990 durch den Punkt Q geht und senkrecht zur Bewegungsebene steht. 18:41.440 --> 18:45.820 Wenn wir allerdings auf die Geschwindigkeit des Punktes P kommen, dann 18:45.820 --> 18:49.800 sieht man Omega Kreuz R Relativ. 18:50.600 --> 18:53.640 Omega, haben wir gesagt, ist ein Vektor, der in Z-Richtung zeigt. 18:53.640 --> 19:00.880 EZ Kreuz EZ ist Null, also schon auf Geschwindigkeitsebene ändert sich 19:00.880 --> 19:01.840 dadurch nichts mehr. 19:03.800 --> 19:06.940 Man sieht also für die Geschwindigkeit, falls es nicht eine dünne 19:06.940 --> 19:11.660 Scheibe ist, ist dann letztendlich wichtig, der Abstand R des Punktes 19:11.660 --> 19:18.300 zur Drehachse, die durch den Punkt Q geht oder zur Achse durch den 19:18.300 --> 19:18.720 Punkt Q. 19:23.840 --> 19:29.480 Wenn wir das Ganze mal grafisch darstellen, dann sehen wir im 19:29.480 --> 19:33.080 Geschwindigkeitsplan bei 19:51.150 --> 19:55.130 den Geschwindigkeiten, wenn wir hier den Punkt Q haben und hier den 19:55.130 --> 20:07.830 Punkt P, dann hat meinetwegen der Punkt Q die Geschwindigkeit VQ. 20:10.170 --> 20:24.170 Das heißt, der Punkt P hat dann die Geschwindigkeit des Punktes Q plus 20:24.170 --> 20:30.670 eine Komponente, die natürlich von der Winkelgeschwindigkeit des 20:30.670 --> 20:38.250 Körpers abhängt, in E4-Richtung, also in eine Richtung senkrecht zur 20:38.250 --> 20:39.310 Verbindungslinie. 20:39.630 --> 20:44.850 Das heißt hier irgendwo, das wäre dann Omega R E4. 20:49.800 --> 20:55.220 Beides wird vektoriell überlagert, sodass ich letztendlich als 20:55.220 --> 21:01.960 Geschwindigkeit des Punktes P in dem Falle sowas ergeben würde. 21:08.520 --> 21:13.260 Also die Geschwindigkeit des Punktes P setzt sich zusammen aus der 21:13.260 --> 21:18.640 Geschwindigkeit des Punktes Q plus noch einmal einen Anteil infolge 21:18.640 --> 21:22.300 der Drehung des Punktes P um den Punkt Q. 21:30.130 --> 21:36.650 Bei der Beschleunigung, da sehen wir, sind es insgesamt drei Anteile. 21:50.740 --> 21:59.880 Das heißt, wenn wir wieder den Punkt Q haben und den Punkt P und 21:59.880 --> 22:10.860 meinetwegen die Beschleunigung des Punktes Q so groß ist, dann haben 22:10.860 --> 22:16.080 wir bei der Beschleunigung des Punktes P ebenfalls diesen Anteil. 22:19.540 --> 22:26.320 Plus zwei weitere Anteile, nämlich einen Anteil in E4-Richtung, 22:32.530 --> 22:35.650 senkrecht auf dem Relativvektor. 22:37.670 --> 22:43.370 Das wäre dann Omega Punkt R E4. 22:45.650 --> 22:55.210 Dann haben wir einen Anteil in negative E-R-Richtung mit Omega Quadrat 22:55.210 --> 22:55.770 mal R. 22:58.450 --> 23:01.310 Das wäre in dem Falle 23:06.040 --> 23:07.540 das hier, 23:12.740 --> 23:16.300 beziehungsweise, da wir den abziehen, Moment, das machen wir so, 23:19.740 --> 23:30.660 ich mache es jetzt mal anders, ich mache den hier hin. 23:33.440 --> 23:41.380 Das war Omega Quadrat mal R in negative E-R-Richtung. 23:43.200 --> 23:48.140 Und jetzt sehen wir, wenn wir das alles überlagern, das war nochmal 23:48.140 --> 23:59.320 das AQ, dann haben wir das Minus Omega Quadrat mal R E R. 24:00.620 --> 24:06.500 Und das insgesamt ergibt dann die Beschleunigung des Punktes P. Also 24:06.500 --> 24:13.860 in dem Falle wäre das gerade dann Beschleunigung des Punktes P. Also 24:13.860 --> 24:15.640 alle drei Anteile einfach überlagert. 24:25.980 --> 24:27.920 Gibt es soweit Fragen? 24:29.940 --> 24:31.660 Dann machen wir jetzt mal ein erstes Beispiel. 24:33.460 --> 24:35.960 Nämlich eine Schubkurbel für verschiedene Stellungen. 25:18.200 --> 25:21.820 Dabei beziehen wir uns nicht unbedingt auf dieselbe Schubkurbel. 25:22.520 --> 25:27.840 Allerdings einfach, um das Prinzip mal zu verdeutlichen, nehmen wir 25:27.840 --> 25:34.380 an, im Fall A ist das eine Schubkurbel. 25:35.660 --> 25:36.620 Wir haben also eine Kurbel. 25:43.910 --> 25:45.310 Denken Sie an eine Motorachse. 25:47.970 --> 25:54.910 Da beschreibt der Gelenkpunkt eine Bahn in Form eines Kreises. 25:56.110 --> 25:57.450 Dann haben wir die Bleuelstange. 25:58.450 --> 26:05.310 Die sei jetzt genau in der Verlängerung der Kurbel. 26:06.290 --> 26:19.380 Und dann so gelagert, dass der Punkt B der Bleuelstange sich nur 26:19.380 --> 26:21.660 vertikal bewegen kann. 26:21.860 --> 26:24.220 Das kann also hier so hoch und runter gleiten. 26:25.120 --> 26:29.400 Die Kurbel hat den Radius R. 26:33.020 --> 26:35.160 Kurbelstange die Länge L. 26:37.840 --> 26:42.840 Nun zunächst mal können wir noch Koordinaten einführen, meinetwegen X 26:42.840 --> 26:51.620 und Y mit entsprechenden Einheitsvektoren, die ich jetzt gar nicht 26:51.620 --> 26:53.340 genau einzeichne. 26:54.220 --> 27:00.860 Und dann müssen wir aufpassen, nämlich die Bewegung der Kurbel wird 27:00.860 --> 27:04.460 beschrieben über eine Koordinate, nennen wir die mal Phi. 27:14.010 --> 27:18.810 In der gleichen Richtung geht dann auch das Phi-Punkt. 27:19.030 --> 27:21.030 Das sagen wir mal, das ist Omega 1. 27:28.720 --> 27:34.520 Bei der Orientierung der Kurbelstange müssen wir streng genommen einen 27:34.520 --> 27:38.020 anderen Winkel einführen, einen Psi zum Beispiel. 27:40.500 --> 27:43.980 Und in der augenblicklichen Stellung ist eben Phi gerade Psi. 27:47.820 --> 27:53.920 Das Psi-Punkt ist dann aber gerade Omega 2. 27:54.740 --> 27:55.740 Und wie gesagt, 28:02.550 --> 28:08.770 momentan haben wir dann eben Phi gleich Psi. 28:09.530 --> 28:14.210 Zu diesem aktuellen Zeitpunkt, wenn sich die Kurbel weiter dreht, gilt 28:14.210 --> 28:15.110 das natürlich nicht mehr. 28:17.150 --> 28:20.770 Man sieht, wenn sich die Kurbel weiter dreht, anschauungsmäßig, dann 28:20.770 --> 28:25.250 nimmt der Winkel Phi zu, allerdings der Winkel Psi nimmt ab, also die 28:25.250 --> 28:26.170 können immer gleich sein. 28:30.490 --> 28:35.150 Gegeben ist jetzt die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel, damit 28:35.150 --> 28:38.910 letztendlich auch die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A, zeichnen 28:38.910 --> 28:40.250 wir den mal ein, Punkt A. 28:41.110 --> 28:44.670 Wir wissen, der Punkt A beschreibt eine Kreisbahn, die Geschwindigkeit 28:44.670 --> 28:49.450 ist tangential an die Kreisbahn gerichtet, sodass wir an der Stelle 28:49.450 --> 28:54.890 die Geschwindigkeit des Punktes A einzeichnen können. 28:56.110 --> 29:12.640 V A Und wir wissen, V A ist dann gerade, na gut, Phi Punkt, das war 29:12.640 --> 29:20.660 Omega 1 mal R, in Richtung des Einheitsvektors tangential, den können 29:20.660 --> 29:25.220 wir zerlegen in eine X-Komponente, eine Y-Komponente, wobei man sieht, 29:25.300 --> 29:36.160 die Y-Komponente ist positiv, hat gerade den Betrag Cosinus von Phi, 29:42.500 --> 29:47.400 also die Komponente der Geschwindigkeit in X-Richtung, die geht in 29:47.400 --> 29:53.380 negative X-Richtung, also in Minus-Ex-Richtung und hat den Betrag der 29:53.380 --> 30:02.740 Geschwindigkeit mal Sinus des angegebenen Winkels, deshalb V A gleich 30:02.740 --> 30:24.800 Minus R Omega 1 Sinus Phi in E-X-Richtung und R Omega 1 Cosinus Phi in 30:24.800 --> 30:25.800 E -Y-Richtung. 30:28.320 --> 30:30.880 Das haben wir im Grunde genommen vorgegeben. 30:31.700 --> 30:37.560 Die Frage ist jetzt, wie groß ist dann die Winkelgeschwindigkeit der 30:37.560 --> 30:38.120 Koppelstange? 30:38.700 --> 30:41.640 Wie groß ist die Geschwindigkeit des Punktes B? 30:42.000 --> 30:44.800 Die Richtung von B kennen wir, wir kennen aber nicht den Betrag. 30:46.520 --> 30:49.180 Wir wissen allerdings, die Geschwindigkeit des Punktes B, 30:55.350 --> 30:59.110 die setzt sich zusammen aus der Geschwindigkeit des Punktes A 31:09.660 --> 31:10.940 plus Winkelgeschwindigkeit 31:14.710 --> 31:21.330 mal Länge des Relativvektors in E-Phi-Richtung. 31:28.330 --> 31:33.390 Der Relativvektor geht von A nach B, hat also gerade die Länge L und 31:35.340 --> 31:43.460 die Richtung von E-Phi, können wir mal eintragen, die steht senkrecht 31:43.460 --> 31:47.860 auf dem Relativvektor, das war also E-Phi. 31:48.480 --> 31:53.860 Man sieht, für den speziellen Fall hat E-Phi dieselbe Richtung wie der 31:53.860 --> 31:56.020 Einheitsvektor in Richtung von V A. 32:00.720 --> 32:03.580 Aufpassen müssen wir jetzt noch beim Omega, wir haben an der Stelle 32:03.580 --> 32:07.900 zwei Omegas, nämlich das Omega 1 beziehungsweise das Omega 2. 32:10.100 --> 32:17.300 Wenn Sie diese Formel anwenden, müssen Sie immer beachten, das müssen 32:17.300 --> 32:21.200 zwei Punkte sein, die zu einem und demselben Körper gehören. 32:23.740 --> 32:28.640 Also nicht jetzt den Punkt von der Kurbel nehmen, zum Beispiel den 32:28.640 --> 32:31.500 Lagerpunkt und dann auf den Punkt B rechnen, sondern es müssen immer 32:31.500 --> 32:34.160 dann Punkte auf demselben Körper sein. 32:34.460 --> 32:37.580 Man könnte jetzt zum Beispiel bei der Kurbel das so machen, die 32:37.580 --> 32:40.840 Geschwindigkeit des Punktes A ist die Geschwindigkeit des 32:40.840 --> 32:47.120 Gelenkpunktes, das ist 0, plus Omega kreuz dem Relativvektor und das 32:47.120 --> 32:51.500 gibt dann gerade in dem Fall Omega mal R mal dem Einheitsvektor in 32:51.500 --> 32:52.320 Richtung von V A. 32:53.540 --> 32:58.040 Also brauchen wir hier an der Stelle die Winkelgeschwindigkeit der 32:58.040 --> 33:02.260 Koppelstange, also Omega 2. 33:07.960 --> 33:21.000 Das E Phi, sehen wir, das geht in negative E X Richtung, also Minus 33:21.000 --> 33:30.000 Sinus Phi E X plus Cosinus Phi E Y. 33:30.760 --> 33:30.920 Warum? 33:31.520 --> 33:33.940 Nun wir hatten gesagt, eigentlich wäre der Winkel Psi wichtig, 33:33.940 --> 33:37.720 allerdings für diese augenblickliche Stellung entspricht der Winkel 33:37.720 --> 33:41.800 Phi gerade dem Winkel Psi, sodass ich das jetzt schon an der Stelle 33:41.800 --> 33:42.480 ersetzt habe. 33:42.720 --> 33:52.100 Setzen wir alles ein, dann ergibt sich V B gleich Minus R Omega 1 33:52.100 --> 33:59.020 Sinus Phi in E X Richtung 34:06.440 --> 34:12.180 plus R Omega 1 Cosinus Phi in 34:16.530 --> 34:28.250 E Y Richtung plus Omega 2 mal L mal E Phi, das ergibt Minus Omega 2 L 34:28.250 --> 34:32.330 Sinus Phi 34:37.770 --> 34:46.210 plus Omega 2 L Cosinus Phi in E Y Richtung, also plus Omega 2 L 34:46.210 --> 34:47.270 Cosinus Phi. 34:54.950 --> 34:59.750 Und jetzt können wir unser Gelenk oder unser Lager im Punkt B 34:59.750 --> 35:05.690 anschauen, dann sehen wir, der Punkt B bewegt sich nur vertikal, also 35:05.690 --> 35:09.630 muss die Geschwindigkeit des Punktes B in X Richtung verschwinden, die 35:09.630 --> 35:18.080 muss Null sein, das bedeutet, diese Klammer muss Null sein. 35:19.960 --> 35:25.900 Und dann sehen wir, da haben wir R Omega 1 Sinus Phi, das Minuszeichen 35:25.900 --> 35:30.940 können wir rausziehen, plus Omega 2 L Sinus Phi, ich schreibe es mal 35:30.940 --> 35:32.680 nochmal an. 35:53.390 --> 35:59.010 Also, das Minuszeichen können wir rauskürzen, dann haben wir R Omega 1 35:59.010 --> 36:08.150 plus Omega 2 36:14.890 --> 36:22.010 L mal Sinus Phi gleich Null. 36:25.310 --> 36:30.010 Sinus Phi ist ungleich Null, also muss R Omega 1 plus Omega 2 mal L 36:30.010 --> 36:35.950 gleich Null sein, das heißt, Omega 2, das ist ja noch unbekannt, Omega 36:35.950 --> 36:44.770 1 ist gegeben, ist dann Minus R dividiert durch L mal Omega 1, das ist 36:44.770 --> 36:45.790 das erste Ergebnis. 36:49.630 --> 36:52.630 Also die beiden Winkelgeschwindigkeiten hängen zusammen, wie vermutet, 36:54.030 --> 36:57.650 die eine ist negativ, die andere positiv. 37:00.130 --> 37:03.530 Unbekannt, haben wir gesagt, ist auch die Geschwindigkeit des Punktes 37:03.530 --> 37:03.810 B. 37:03.810 --> 37:12.010 Für VB gilt, das sehen wir an der Stelle, die Komponente in X-Richtung 37:12.010 --> 37:16.730 war ja definitionsgemäß Null, dann bleibt noch übrig R Omega 1 plus 37:16.730 --> 37:20.850 Omega 2 L mal 37:25.290 --> 37:26.310 Cosinus Phi. 37:29.910 --> 37:33.450 Jetzt könnte man an der Stelle das Omega 2 als Funktion von Omega 1 37:33.450 --> 37:38.170 einsetzen, oder wir sagen gleich, wir haben ja gesehen, die runde 37:38.170 --> 37:41.610 Klammer muss Null sein, die tritt an der Stelle nochmals auf, hier 37:41.610 --> 37:48.750 fehlt noch das Ey und man sieht, das ist Null mal Ey, also für diese 37:48.750 --> 37:52.830 augenblickliche Stellung ist die Geschwindigkeit des Punktes B gerade 37:52.830 --> 37:53.170 Null. 37:57.410 --> 37:59.930 Wie könnten wir das zeichnerisch überprüfen? 38:05.750 --> 38:10.930 Und ich deute mal hier so ein bisschen die Koppelstange an, 38:14.120 --> 38:26.120 den Punkt B, dann wissen wir, die Geschwindigkeit des Punktes B 38:26.120 --> 38:33.640 entspricht der Geschwindigkeit des Bezugspunktes A, das war VA, 38:52.140 --> 38:58.560 das hatten wir in der Oberanzeichnung gesehen, das ist ein Vektor, der 38:58.560 --> 39:03.640 senkrecht auf der Kurbel und auf der Koppelstange steht, das heißt, 39:03.720 --> 39:04.860 wir haben hier einen rechten Winkel. 39:06.940 --> 39:11.160 Jetzt kommt zu dieser Geschwindigkeit noch ein Anteil hinzu, infolge 39:11.160 --> 39:18.500 der Drehung des Punktes B um den Punkt A, das ist ein Anteil, dessen 39:18.500 --> 39:22.560 Größe wir nicht kennen, aber dessen Richtung wir kennen, das ist 39:22.560 --> 39:28.460 nämlich ein Anteil, der senkrecht auf der Bleuelstange steht und das 39:28.460 --> 39:33.720 Ergebnis aus Überlagerung des gelben Vektors mit dem blauen Vektor 39:33.720 --> 39:40.840 soll gerade wieder einen Vektor ergeben, dessen Spitze auf der 39:40.840 --> 39:42.860 Vertikalen durch den Punkt B läuft. 39:42.960 --> 39:43.100 Warum? 39:43.720 --> 39:47.980 Weil die Geschwindigkeit des Punktes B vertikal gerichtet sein muss. 39:48.740 --> 39:52.820 Und dann sehen wir, das geht natürlich nur, wenn die Geschwindigkeit 39:52.820 --> 40:01.600 des Punktes B um den Punkt A dem Negativen von Va entspricht und als 40:01.600 --> 40:04.840 resultierender Vektor ergibt sich der Nullvektor. 40:06.160 --> 40:09.940 Also das Ergebnis, was wir schon auf rechnerischem Wege erhalten 40:09.940 --> 40:10.260 hatten. 40:28.340 --> 40:39.380 Im zweiten Fall nehmen wir an, wir haben wieder eine Kurbel, Radius R, 40:46.180 --> 40:51.100 der Gelenkpunkt A beschreibt wieder eine Kreisbahn 40:54.500 --> 40:59.220 und jetzt allerdings haben wir die Kurbelstange in dem Moment gerade 40:59.220 --> 41:03.300 senkrecht ausgerichtet. 41:04.300 --> 41:12.860 Es sei aber jetzt eine Kurbel, bei der auch so der Punkt B nur eine 41:12.860 --> 41:14.220 Vertikalbewegung macht. 41:16.180 --> 41:21.260 Das heißt, wenn wir jetzt wieder X- und Y-Achsen einführen 41:24.660 --> 41:32.160 und entsprechende Koordinaten, dann hätten wir an der Stelle wieder 41:32.160 --> 41:37.580 den Winkel Phi beziehungsweise die Winkelgeschwindigkeit der Kurbel 41:37.580 --> 41:38.440 Omega 1. 41:38.440 --> 41:49.420 Wir sehen, für den Sonderfall hätten wir gerade Psi gleich 90 Grad und 41:49.420 --> 41:53.220 in die entsprechende Richtung der Winkelgeschwindigkeit Omega 2. 41:54.560 --> 42:04.320 Die Länge der Kurbelstange sei wieder L und auch hier ist natürlich 42:04.320 --> 42:10.220 die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A vorgegeben mit Va. 42:11.860 --> 42:13.860 Man sieht, daran ändert sich nichts. 42:14.120 --> 42:19.040 Va ist nach wie vor minus R Omega 1 Sinus Phi in X-Richtung plus R 42:19.040 --> 42:21.700 Omega 1 Cosinus Phi in Y-Richtung. 42:27.720 --> 42:32.740 Allerdings haben wir für die Geschwindigkeit des Punktes B jetzt 42:32.740 --> 42:41.280 wieder Geschwindigkeit des Punktes A plus Omega der Kurbelstange, das 42:41.280 --> 42:46.060 war Omega 2, mal Länge des Relativvektors, das war L, 42:50.740 --> 42:52.000 mal E Phi. 42:53.260 --> 43:02.620 Wir sehen aber, in dem Falle ist E Phi ein Einheitsvektor, der in 43:02.620 --> 43:04.680 negative E-X-Richtung zeigt. 43:06.360 --> 43:14.040 Also das war minus E-X, sodass sich letztendlich ergibt für die 43:14.040 --> 43:20.040 Geschwindigkeit des Punktes B die Geschwindigkeit des Punktes A, das 43:20.040 --> 43:36.540 war minus R Omega 1 Sinus Phi in E-X-Richtung plus R Omega 1 Cosinus 43:36.540 --> 43:40.440 Phi in E-Y-Richtung. 43:40.440 --> 43:47.840 Wie gesagt, das war Va, jetzt kommt noch hinzu Omega 2 L in negative E 43:47.840 --> 43:55.320 -X -Richtung, deshalb hier das Minuszeichen aus, plus Omega 2 L. 43:59.010 --> 44:03.850 Auch für diese Stellung gilt, dass die Geschwindigkeit des Punktes B 44:03.850 --> 44:09.110 nur vertikal gerichtet sein kann, also die X-Koordinate an sich muss 44:09.110 --> 44:09.690 verschwinden. 44:18.610 --> 44:31.790 Also, Ausforderung V B X gleich Null, die Komponente in X-Richtung 44:31.790 --> 44:44.410 gleich Null, folgt dann Omega 2 und die runde Klammer ist Null, wenn 44:44.410 --> 44:48.050 Omega 2 gerade Minus R Omega 1 44:51.240 --> 44:58.160 Sinus Phi dividiert durch L ist. 44:58.940 --> 45:05.040 Das ist das eine Ergebnis und das können wir dann in die Beziehung für 45:05.040 --> 45:08.320 die Geschwindigkeit des Punktes B einsetzen. 45:08.320 --> 45:13.020 Das heißt, damit ergibt sich dann die Geschwindigkeit des Punktes B. 45:13.400 --> 45:16.620 Wir sehen, Komponent in X-Richtung verschwindet, haben wir nur noch R 45:16.620 --> 45:20.060 Omega 1 Cosinus Phi in E-Y-Richtung. 45:36.460 --> 45:39.720 Falls wir das auch noch grafisch irgendwie lösen wollen, 45:43.470 --> 45:46.390 haben wir wieder die Koppelstange. 45:46.390 --> 45:50.430 Ich will das ganze System nochmal anzeichnen, hier haben wir den Punkt 45:50.430 --> 45:50.810 B. 45:52.010 --> 46:08.630 Am Punkt B haben wir zunächst mal die Geschwindigkeit des Punktes A, 46:14.260 --> 46:18.020 der ist nach wie vor tangential an den Kreis gerichtet. 46:20.100 --> 46:27.660 Dem wird überlagert die Geschwindigkeit des Punktes B um den Punkt A, 46:27.800 --> 46:30.620 das ist eine Geschwindigkeit, die irgendwie in Richtung E Phi 46:30.620 --> 46:33.260 verläuft, also in unserem Falle waagrecht. 46:34.700 --> 46:40.900 Und das Ganze muss einen Vektor ergeben, der vom Punkt B aus senkrecht 46:40.900 --> 46:45.680 gerichtet ist und man sieht, das geht nur, wenn jetzt die 46:45.680 --> 46:53.820 Geschwindigkeit des Punktes B um den Punkt A, das Omega 2 mal L mal E 46:53.820 --> 46:59.680 Phi nach rechts gerichtet ist und somit ergibt sich die 46:59.680 --> 47:04.600 Geschwindigkeit des Punktes B als Überlagerung der beiden Anteile, ein 47:04.600 --> 47:07.440 Vektor, der in dem Falle nach oben zeigt, das wäre Vb. 47:11.830 --> 47:14.470 Gibt es dazu Fragen? 50:37.060 --> 50:39.860 So, dann kommen wir jetzt zum sogenannten Momentanpol 50:55.170 --> 51:00.170 und ich fange vielleicht mal mit etwas ganz anderem an, was sich jeder 51:00.170 --> 51:00.970 vorstellen kann. 51:05.580 --> 51:09.580 Wenn man sich eine Schraube vorstellt, die man in ein Gewinde 51:09.580 --> 51:11.260 reinschraubt, welches fest steht. 51:12.540 --> 51:13.640 Was passiert dann? 51:13.740 --> 51:19.180 Nun, dann dreht sich die Schraube um ihre Längsachse und gleichzeitig 51:19.180 --> 51:24.760 bewegt sich die Schraube in Richtung der Längsachse aufgrund der 51:24.760 --> 51:25.140 Steigung. 51:27.480 --> 51:31.720 Das ist der allgemeinste Fall, der so auftreten kann. 51:32.960 --> 51:38.280 Also eine allgemeine Bewegung setzt sich zusammen aus Translation, das 51:38.280 --> 51:42.020 wäre in dem Fall die Vorwärtsbewegung der Schraube, plus eine 51:42.020 --> 51:42.620 Rotation. 51:44.200 --> 51:46.840 Allerdings macht die Schraube keine ebene Bewegung. 51:48.300 --> 51:50.900 Die macht ja eine Bewegung praktisch, hat die Drehung. 51:51.400 --> 51:54.320 Wenn die sich nicht noch in Richtung der Achse bewegen würde, wäre das 51:54.320 --> 51:55.340 eine ebene Bewegung. 51:56.200 --> 51:58.580 Aber sie bewegt sich eben noch in Richtung der Achse. 51:59.800 --> 52:07.420 Wenn wir jetzt wirklich eine ebene Bewegung anschauen, dann kann man 52:07.420 --> 52:15.040 das immer auffassen als eine Drehung um eine Achse, die praktisch 52:15.040 --> 52:15.360 ruht. 52:16.500 --> 52:20.560 Und wenn wir eine Scheibe haben, dann entspricht das einem Punkt. 52:21.340 --> 52:23.640 Das wird dann der sogenannte Momentanpol sein. 52:24.580 --> 52:29.360 Dieser Punkt muss nicht unbedingt ein Punkt des Körpers sein. 52:29.360 --> 52:31.340 Der kann auch ganz weit weg liegen. 52:32.280 --> 52:39.340 Der kann, wenn man eine reine Translationsbewegung anschaut, auch 52:39.340 --> 52:41.480 irgendwo im Unendlichen liegen. 52:42.300 --> 52:43.560 Rein mathematisch gesehen. 52:44.940 --> 52:47.400 Aber wenn ich zum Beispiel hierher stehe und ich bewege mich jetzt 52:47.400 --> 52:50.980 irgendwie so, dann wird jedem klar, ich drehe mich nicht um eine 52:50.980 --> 52:55.220 Achse, die durch den Körper Seemann geht, sondern es ist eine Achse, 52:55.380 --> 52:56.820 die irgendwo im Hörsaal liegt. 52:59.360 --> 53:04.200 Allerdings kann man mit dem Momentanpol relativ viele Dinge erklären 53:04.200 --> 53:08.740 und bei ebenen Bewegungen auch sehr leicht rechnen. 53:10.300 --> 53:25.250 Also vermerken wir, allgemeine Bewegung setzt sich zusammen aus 53:25.250 --> 53:28.550 Translation und Rotation. 53:28.550 --> 53:31.130 Bei 53:40.850 --> 53:43.410 ebener Bewegung 53:58.790 --> 54:13.600 kann das auch als Drehung um einen momentanen Pol, 54:25.560 --> 54:33.090 nämlich den Drehpunkt, nennen wir den mal P, 54:39.570 --> 54:40.730 aufgefasst werden. 54:58.270 --> 55:02.030 Dieser Punkt hängt 55:05.600 --> 55:12.950 von der Zeit ab und 55:19.120 --> 55:19.960 kann sich ändern. 55:30.700 --> 55:34.380 Das heißt, es ist nicht so, dass einmal ein Punkt des starren Körpers 55:34.380 --> 55:38.460 dann immer dieser Drehpunkt ist, sondern dass je nach Stellung sich 55:38.460 --> 55:39.500 der Drehpunkt ändert. 55:40.760 --> 55:45.520 Damit gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich wir verbinden mal alle 55:45.520 --> 55:52.040 Punkte des Körpers, die so nach und nach diesem Drehpunkt entsprechen, 55:53.480 --> 55:59.200 das ist dann die Gangpolbahn und wir nehmen mal alle Punkte des 55:59.200 --> 56:05.400 Inertialsystems, die irgendwann mal Drehpunkt sind, das ist dann die 56:05.400 --> 56:06.440 Rastpolbahn. 56:07.440 --> 56:12.100 Und am besten kann man sich das erklären, wenn wir mal so ein 56:12.100 --> 56:14.600 rollendes Rad oder so eine rollende Walze betrachten. 56:18.820 --> 56:20.480 Nun, was bedeutet rollen? 56:22.120 --> 56:27.740 Rollen bedeutet, dass der Kontaktpunkt zwischen dem Rad oder der Walze 56:27.740 --> 56:33.620 hier mit dem Untergrund dieselbe Geschwindigkeit hat wie der 56:33.620 --> 56:34.480 Untergrund selbst. 56:37.360 --> 56:40.480 Wenn wir es ganz genau machen, die Erde dreht sich ja, der Hörsaal 56:40.480 --> 56:49.420 bewegt sich, aber beide haben Kontaktpunkt, Punkt als Teil des Körpers 56:49.420 --> 56:54.700 und Kontaktpunkt als Punkt der Unterlage, haben beide dieselbe 56:54.700 --> 56:55.420 Geschwindigkeit. 56:56.780 --> 57:00.760 Nun, jetzt kann man sagen, wenn die Reibung zu groß oder die Kraft, 57:00.880 --> 57:03.420 die da wirkt, zu groß ist, dann fängt es ja an zu rutschen, gut, dann 57:03.420 --> 57:04.700 haben wir keinen Rollen mehr. 57:05.900 --> 57:09.500 Aber eine relativ große Reibung können wir uns zumindest gedanklich 57:09.500 --> 57:13.800 vorstellen, wenn wir sagen, na gut, wenn wir Zahnräder haben, dann 57:13.800 --> 57:16.860 haben wir ja Formschluss, dann haben wir das im Prinzip auf jeden Fall 57:16.860 --> 57:17.240 erfüllt. 57:19.440 --> 57:26.100 Also, wenn man das anschaut, momentan der Drehpunkt dieses Körpers ist 57:26.100 --> 57:28.520 der Punkt, der im Kontakt steht. 57:29.380 --> 57:33.620 Und jetzt wird auch klar, wenn der Körper sich weiter dreht, dann wird 57:33.620 --> 57:40.580 irgendwann jeder Punkt des Umfangs mal dieser Punkt. 57:41.700 --> 57:46.240 Und wenn wir das im Inertialsystem sehen, dann ist für diesen 57:46.240 --> 57:51.420 einfachen Fall die Linie entlang, der er rollt, die Rastpolbahn. 58:01.610 --> 58:06.810 Und für den momentanen Drehpunkt selbst, da gilt natürlich, dass die 58:06.810 --> 58:09.330 Geschwindigkeit dieses Drehpunktes Null sein muss. 58:17.130 --> 58:17.890 Also, 58:22.280 --> 58:31.560 für P gilt V von P gleich Null. 58:32.380 --> 58:38.720 Aber wir wissen, für den Punkt P, der ja Teil des Körpers sein soll, 58:40.560 --> 58:46.060 auch wenn er vielleicht nicht materiell zum Körper gehört, können wir 58:46.060 --> 58:53.520 sagen, das entspricht der Geschwindigkeit eines Bezugspunktes A plus 58:53.520 --> 58:59.980 Winkelgeschwindigkeit des Körpers kreuz dem Vektor von Bezugspunkt A 58:59.980 --> 59:01.980 zum Drehpunkt P. 59:05.930 --> 59:12.510 Also, A war ein beliebiger Punkt des Körpers. 59:25.180 --> 59:32.580 So, wenn wir jetzt von links das Kreuzprodukt bilden mit Omega, was 59:32.580 --> 59:33.020 haben wir dann? 59:34.260 --> 59:52.740 Dann haben wir Omega kreuz V A plus Omega kreuz Omega kreuz R A P 59:56.760 --> 01:00:00.200 und auf der anderen Seite haben wir Omega kreuz Null, das gibt immer 01:00:00.200 --> 01:00:00.960 noch den Nullvektor. 01:00:06.250 --> 01:00:10.070 Jetzt haben wir gesehen, Omega bei einer ebenen Bewegung ist ein 01:00:10.070 --> 01:00:12.350 Vektor zum Beispiel in E-Z-Richtung. 01:00:28.660 --> 01:00:32.560 R A P ist 01:00:36.710 --> 01:00:40.930 R in E-R-Richtung. 01:00:42.650 --> 01:00:47.330 Ich schreibe mal dazu, plus Z mal E-Z. 01:00:51.830 --> 01:00:55.490 Wenn wir das mit berücksichtigen würden, dann können wir natürlich 01:00:55.490 --> 01:00:57.490 nicht mal von einem Punkt sprechen, dann müssen wir praktisch sprechen 01:00:57.490 --> 01:01:00.930 von einer Achse, die durch diesen Punkt geht und senkrecht zur 01:01:00.930 --> 01:01:02.110 Bewegungsebene steht. 01:01:02.850 --> 01:01:06.630 Man sieht aber schon, beim Kreuzprodukt an der Stelle fällt die Z 01:01:06.630 --> 01:01:07.610 -Koordinate raus. 01:01:10.950 --> 01:01:14.790 Die Geschwindigkeit des Punktes A liegt sowieso in der Bewegungsebene, 01:01:15.230 --> 01:01:18.470 also brauchen wir diesen Anteil eigentlich gar nicht mitnehmen. 01:01:19.510 --> 01:01:27.290 Wir sehen dann aber, Omega kreuz R A P gibt E-Z kreuz E-R. 01:01:37.110 --> 01:01:40.990 Das war ein Vektor, den haben wir bisher immer mit E-Phi bezeichnet. 01:01:51.200 --> 01:02:08.980 Und E-Z kreuz E-R ergibt E-Z kreuz E-Phi, das gibt gerade Minus E-R. 01:02:56.110 --> 01:02:58.770 Omega kreuz V A 01:03:02.730 --> 01:03:18.210 ist Minus Omega kreuz Omega kreuz R A P. Omega war Omega E-Z, das 01:03:18.210 --> 01:03:22.790 ergibt insgesamt Omega Quadrat mal R. 01:03:26.670 --> 01:03:29.610 Und das doppelte Kreuzprodukt war Minus E-R. 01:03:34.360 --> 01:03:43.170 Wir sehen, das ergibt gerade Minus mal Minus gibt Plus, gibt also 01:03:43.170 --> 01:03:47.350 Omega Quadrat mal R E-R. 01:03:47.350 --> 01:03:51.590 R E-R entspricht dann aber gerade dem R A P, 01:03:56.180 --> 01:04:00.060 sodass wir sehen, wenn wir jetzt die Gleichung durch Omega Quadrat 01:04:00.060 --> 01:04:09.060 dividieren, dann haben wir R A P gleich 1 durch Omega Quadrat mal 01:04:09.060 --> 01:04:16.120 Omega kreuz V A. 01:04:21.560 --> 01:04:25.820 Man sieht, wenn wir also die Geschwindigkeit des Punktes A kennen, wir 01:04:25.820 --> 01:04:33.020 kennen das Omega, dann kennen wir auch den Vektor vom Punkt A zum 01:04:33.020 --> 01:04:36.400 Punkt P und damit den sogenannten Momentanpol. 01:05:00.150 --> 01:05:03.730 Ein bisschen auffassen muss man, wenn in Büchern manchmal der Vektor 01:05:03.730 --> 01:05:09.610 vom Momentanpol zum Punkt A angegeben wird, R P A, dann ändert sich 01:05:09.610 --> 01:05:11.390 natürlich an der Stelle das Vorzeichen. 01:05:23.860 --> 01:05:27.460 Wenn wir mal einen 01:05:30.650 --> 01:05:39.150 Körper haben, wir haben den Punkt A und wir haben die Geschwindigkeit 01:05:39.150 --> 01:05:40.890 des Punktes A, 01:05:44.690 --> 01:05:53.290 dann wissen wir, der Vektor von A zum Momentanpol steht senkrecht auf 01:05:53.290 --> 01:05:58.210 der Geschwindigkeit des Punktes A, weil ja Omega und V A ebenfalls 01:05:58.210 --> 01:06:05.630 senkrecht stehen, also muss der Momentanpol irgendwo auf der Linie 01:06:05.630 --> 01:06:12.250 liegen, wo der dann genau liegt, das hängt natürlich noch von Omega 01:06:12.250 --> 01:06:12.890 ab. 01:06:14.790 --> 01:06:16.390 Nehmen wir an, der liegt an der Stelle, 01:06:21.000 --> 01:06:30.680 dann haben wir hier so ein Dreieck und jetzt wissen wir, die 01:06:30.680 --> 01:06:37.380 Geschwindigkeit irgendeines Punktes des Körpers beträgt ja gerade die 01:06:37.380 --> 01:06:42.700 bekannte Geschwindigkeit eines Bezugspunktes, wobei der Bezugspunkt 01:06:42.700 --> 01:06:46.540 auf dem Körper gar nicht Teil des Körpers sein muss, zum Beispiel der 01:06:46.540 --> 01:06:52.540 Momentanpol plus Omega kreuz, dem Vektor von P zu dem Punkt. 01:06:53.310 --> 01:07:00.840 Also, man sieht, das Omega-Kreuz-R-Relativ, das nimmt betragmäßig hier 01:07:00.840 --> 01:07:06.720 immer weiter zu, nämlich linear mit R, sodass praktisch diese Linie 01:07:06.720 --> 01:07:14.760 dann angibt die Geschwindigkeitsverteilung hier für die einzelnen 01:07:14.760 --> 01:07:15.100 Punkte. 01:07:16.300 --> 01:07:19.220 Also der Punkt, der hier liegen würde vom Körper, hätte dann die 01:07:19.220 --> 01:07:19.920 Geschwindigkeit. 01:07:20.940 --> 01:07:24.460 Dementsprechend, wie sieht es aus mit dem Punkt B? 01:07:27.720 --> 01:07:34.600 Nun für den Punkt B natürlich ganz analog, wir zeichnen die Linie vom 01:07:34.600 --> 01:07:39.120 Momentanpol zum Punkt B, die Geschwindigkeitsverteilung ist ganz 01:07:39.120 --> 01:07:42.780 analog wie auf der Linie, das heißt, das Dreieck, was ich jetzt 01:07:42.780 --> 01:07:44.480 einzeichnen kann, ist ähnlich. 01:07:46.040 --> 01:07:48.380 Der Winkel entspricht auch dem Winkel. 01:07:51.800 --> 01:07:56.460 Die Geschwindigkeit des Punktes B steht senkrecht auf dem Vektor von P 01:07:56.460 --> 01:08:01.240 nach B, das wäre also Vb. 01:08:02.400 --> 01:08:07.440 Und wie gesagt, auch entlang dieser Linie ergibt sich dann wieder eine 01:08:07.440 --> 01:08:09.380 lineare Geschwindigkeitsverteilung. 01:08:09.380 --> 01:08:15.860 Man sieht aber, die Richtung der Geschwindigkeiten auf der Linie ist 01:08:15.860 --> 01:08:19.320 eine andere als bei der Verbindungslinie zwischen P und A. 01:08:25.030 --> 01:08:33.970 Also Vb ist Omega Kreuz R von P nach B. 01:08:35.350 --> 01:08:37.990 Eigentlich steht hier noch die Geschwindigkeit des Punktes P drin, 01:08:38.270 --> 01:08:40.170 aber die war ja definitionsgemäß null. 01:08:42.230 --> 01:08:52.550 Da sehen wir, es gibt Omega Ez Kreuz R Pb Er. 01:08:54.290 --> 01:09:00.630 Es gibt Ez Kreuz Er, gibt wieder senkrecht auf der Verbindungslinie. 01:09:01.630 --> 01:09:09.410 Und betragsmäßig haben wir eben Omega R Pb, hier Ez Kreuz Er. 01:09:11.070 --> 01:09:16.050 Man sieht auf jeden Fall, linear mit dem Abstand zum Punkt P 01:09:16.050 --> 01:09:16.870 zunehmend. 01:09:24.460 --> 01:09:29.740 Ein wichtiges Beispiel ist das sogenannte rollende Rad. 01:09:53.570 --> 01:09:58.850 Es sind leider nur wenige Studenten da, was ich fast wieder befürchtet 01:09:58.850 --> 01:09:59.050 habe. 01:09:59.270 --> 01:09:59.510 Warum? 01:10:00.890 --> 01:10:04.230 Ich hoffe, dass all diejenigen, die in der Vorlesung sind und immer 01:10:04.230 --> 01:10:07.010 treu kommen, dass die natürlich nie in eine mündliche Prüfung müssen, 01:10:07.410 --> 01:10:10.190 weil sie die schriftliche Prüfung zweimal nicht bestanden haben. 01:10:12.030 --> 01:10:17.210 Aber es gibt natürlich zahlreiche Studenten, die nie in die Vorlesung 01:10:17.210 --> 01:10:21.350 kommen oder die manchmal das in der Vorlesung Gesagte vergessen. 01:10:23.230 --> 01:10:27.430 Nämlich, ich sage es dann auch immer in der Prüfung, das rollende Rad 01:10:27.430 --> 01:10:32.910 ist eine notwendige Voraussetzung, um die mündliche Prüfung zu 01:10:32.910 --> 01:10:33.310 bestehen. 01:10:33.430 --> 01:10:35.670 Das heißt nicht, dass wenn man das rollende Rad kann, dass man die 01:10:35.670 --> 01:10:36.630 Prüfung bestanden hat. 01:10:37.190 --> 01:10:42.650 Aber in dem Moment, wo das rollende Rad nicht kommt, ist auch sofort 01:10:42.650 --> 01:10:43.570 die Prüfung beendet. 01:10:44.510 --> 01:10:48.650 Und leider geschieht das immer noch, trotz zahlreicher jährlicher 01:10:48.650 --> 01:10:49.070 Warnungen. 01:10:54.020 --> 01:10:56.760 Nun, ein bisschen hatte ich das schon experimentell vorgeführt. 01:10:58.440 --> 01:11:06.860 Wir haben das rollende Rad, wir haben den Kontaktpunkt P, natürlich 01:11:06.860 --> 01:11:08.420 genau unterhalb vom Mittelpunkt. 01:11:08.420 --> 01:11:09.020 Und 01:11:15.950 --> 01:11:22.550 der Kontaktpunkt P, warum ist das der Momentanpol? 01:11:22.810 --> 01:11:26.270 Nun, weil wir annehmen, dass die Geschwindigkeit des Untergrundes Null 01:11:26.270 --> 01:11:26.530 ist. 01:11:27.050 --> 01:11:31.970 Bei Rollen ist die Geschwindigkeit des Radpunktes im Kontakt genauso 01:11:31.970 --> 01:11:34.490 groß wie die Geschwindigkeit des Untergrundes, hat also die 01:11:34.490 --> 01:11:35.430 Geschwindigkeit Null. 01:11:35.990 --> 01:11:38.550 Und Geschwindigkeit Null hieß ja Momentanpol. 01:11:39.130 --> 01:11:41.110 Also haben wir an der Stelle den Momentanpol. 01:11:41.110 --> 01:11:44.250 Das Rad selbst hat den Radius groß R. 01:11:49.730 --> 01:11:54.990 Und der Mittelpunkt des Rades, der hat die Geschwindigkeit Vm. 01:12:03.370 --> 01:12:06.510 Und jetzt ist die Frage, wie groß sind eigentlich die 01:12:06.510 --> 01:12:09.850 Geschwindigkeiten der Punkte A, hier am obersten Punkt, 01:12:11.570 --> 01:12:16.690 beziehungsweise B, hier rechts vom Mittelpunkt und C, links vom 01:12:16.690 --> 01:12:17.310 Mittelpunkt. 01:12:19.550 --> 01:12:25.000 Und da wissen wir zunächst mal, 01:12:30.310 --> 01:12:33.810 ich schreibe es mal dazu, Momentanpol, erklärt hatte ich es ja. 01:12:36.680 --> 01:12:49.640 Dann haben wir Vm ist gerade V von P, das war Null, plus Omega, 01:12:50.020 --> 01:12:58.940 nämlich Winkelgeschwindigkeit des Rades Kreuz, dem Vektor von P zum 01:12:58.940 --> 01:13:03.880 Mittelpunkt, das ist einfach, wenn wir mal Koordinatenrichtungen 01:13:03.880 --> 01:13:09.560 einführen, X horizontal nach rechts, Y vertikal nach oben und das 01:13:09.560 --> 01:13:25.060 Omega dann entgegen dem Uhrzeigersinn positiv ergibt also Kreuz R, EY, 01:13:26.180 --> 01:13:32.680 das Omega, das ist Omega in XY, EZ-Richtung. 01:13:36.980 --> 01:13:39.940 Und wenn wir die Nabengeschwindigkeit gegeben haben, dann müssen wir 01:13:39.940 --> 01:13:45.880 uns aus dieser Beziehung die Winkelgeschwindigkeit bestimmen, wir 01:13:45.880 --> 01:13:49.040 sehen ja gut, die Nabengeschwindigkeit, anders macht es keinen Sinn, 01:13:49.140 --> 01:14:01.340 die ist in Richtung der X-Achse, also haben wir dann Vm, EX gleich und 01:14:01.340 --> 01:14:10.840 hier haben wir Omega, EZ, Kreuz REY, EZ-Kreuz EY ergibt Minus EX, 01:14:11.060 --> 01:14:13.780 ergibt also Minus Omega REX. 01:14:20.160 --> 01:14:24.960 Beide Koordinaten müssen gleich sein, also ist Omega des Rades gerade 01:14:24.960 --> 01:14:30.160 Minus Vm dividiert durch R. 01:14:33.290 --> 01:14:36.170 Für VA folgt dann, 01:14:50.320 --> 01:15:02.800 VA ist Geschwindigkeit des Momentanpols, plus Omega Kreuz dem Vektor 01:15:02.800 --> 01:15:08.080 von P nach A, Geschwindigkeit des Momentanpols ist 0, bleibt also noch 01:15:08.080 --> 01:15:20.740 übrig, Omega ist aber Minus Vm durch R in EZ-Richtung, Kreuz dem 01:15:20.740 --> 01:15:26.920 Vektor vom Momentanpol zum Punkt A, das ist 2R in EY-Richtung, 01:15:31.400 --> 01:15:35.600 EZ -Kreuz EY ist Minus EX mit dem Minuszeichen, hier vorne gibt es 01:15:35.600 --> 01:15:41.660 Plus EX, dann haben wir Vm durch R mal 2R, das R kürzt sich raus, 01:15:41.780 --> 01:15:48.660 steht da gleich 2 mal Vm EX. 01:15:49.800 --> 01:15:54.200 Und das hätten wir grafisch sofort sagen können, weil wenn wir jetzt 01:15:54.200 --> 01:15:59.360 praktisch hier diese Verbindungslinie sehen und sehen, dass der Punkt 01:15:59.360 --> 01:16:04.620 A den doppelten Abstand vom Momentanpol hat als der Mittelpunkt, dann 01:16:04.620 --> 01:16:07.220 muss dessen Geschwindigkeit auch doppelt so groß sein. 01:16:07.780 --> 01:16:13.420 Die Geschwindigkeitsverteilung war ja an der Stelle dann so gegeben. 01:16:14.360 --> 01:16:21.360 Das heißt, der Punkt A hat dann einfach die doppelte Geschwindigkeit. 01:16:22.380 --> 01:16:24.060 Wie sieht es aus für den Punkt B? 01:16:28.100 --> 01:16:33.520 Und da wissen wir, die Geschwindigkeit von B ist die Geschwindigkeit 01:16:33.520 --> 01:16:39.540 des Momentanpols, wieder Null, plus Omega kreuzt den Vektor von P nach 01:16:39.540 --> 01:16:51.200 B, also Minus Vm durch R EZ kreuzt den Vektor von P nach B, das ist 01:16:51.200 --> 01:16:57.280 aber R in EX-Richtung plus R in EY-Richtung. 01:17:04.600 --> 01:17:13.320 Wir sehen, das ergibt letztendlich EZ kreuzt EX, ergibt EY. 01:17:14.840 --> 01:17:20.860 Mit dem R, das sich wegkürzt, bleibt Minus Vm EY. 01:17:22.480 --> 01:17:27.760 EZ kreuzt EY, ergibt Minus EX, mit dem Minuszeichen hier vorne gibt es 01:17:27.760 --> 01:17:35.480 Plus EX, das R kürzt sich weg, ergibt also Plus Vm EX. 01:17:38.500 --> 01:17:43.920 Betragsmäßig war die Geschwindigkeit des Punktes M gerade Betrag von 01:17:43.920 --> 01:17:44.360 Vm. 01:17:45.080 --> 01:17:48.660 Und wir sehen, der Punkt B hat jetzt eine Geschwindigkeit, die sich 01:17:48.660 --> 01:17:59.140 zusammensetzt aus Vm in X-Richtung plus Vm in negative EY-Richtung, 01:17:59.400 --> 01:18:05.460 sodass letztendlich sich als Gesamtgeschwindigkeit ein Vektor ergibt, 01:18:05.720 --> 01:18:09.880 der nicht horizontal und nicht vertikal verläuft. 01:18:11.980 --> 01:18:18.280 Ganz klar, das muss wieder ein Vektor sein, der senkrecht auf der 01:18:18.280 --> 01:18:20.640 Verbindungslinie von P nach B steht. 01:18:21.260 --> 01:18:24.440 Und wenn wir dasselbe für die Geschwindigkeit des Punktes C 01:18:24.440 --> 01:18:31.040 durchführen, dann sehen wir, der Abstand ist derselbe wie zum Punkt B, 01:18:31.240 --> 01:18:34.260 allerdings die Richtung der Geschwindigkeit wird eine andere ergeben. 01:18:34.800 --> 01:18:38.640 Also da haben wir jetzt eine Geschwindigkeit, die eben wieder 01:18:38.640 --> 01:18:42.920 senkrecht hierauf steht, das war VC, 01:18:46.280 --> 01:18:49.780 ebenfalls mit einer Komponente in X- und in Y-Richtung. 01:18:50.900 --> 01:18:57.000 Wo man jetzt anschauungsmäßig ein bisschen vorsichtig sein muss, der 01:18:57.000 --> 01:19:02.640 Punkt P hat ja die Geschwindigkeit Null, weil der Punkt P, was für 01:19:02.640 --> 01:19:03.640 eine Beschleunigung hat er? 01:19:05.320 --> 01:19:08.340 Da muss man aufpassen, dass man nicht sagt, die Geschwindigkeit ist 01:19:08.340 --> 01:19:10.700 Null, also ist auch die Beschleunigung Null. 01:19:11.320 --> 01:19:11.500 Warum? 01:19:12.660 --> 01:19:15.500 Die Geschwindigkeit ist nur momentan Null. 01:19:16.260 --> 01:19:20.540 Die Beschleunigung des Punktes P als Punkt der Unterlage ist natürlich 01:19:20.540 --> 01:19:24.740 Null, weil praktisch die Unterlage sich nicht bewegt, aber ganz klar, 01:19:25.080 --> 01:19:28.760 der Punkt P des Rades, der muss ja irgendwie sich wieder nach oben 01:19:28.760 --> 01:19:32.280 bewegen, also der hat auch wirklich eine Beschleunigung. 01:19:33.160 --> 01:19:36.560 Die können Sie aber ausrechnen mit dem, was wir in der heutigen 01:19:36.560 --> 01:19:37.520 Vorlesung schon hatten. 01:19:47.980 --> 01:19:53.660 Vielleicht ganz zum Schluss noch ein ganz kleines Modell, was nicht 01:19:53.660 --> 01:19:56.920 spektakulär ist, aber da sieht man vielleicht doch einiges. 01:19:57.700 --> 01:20:02.420 Wenn man sieht, da handelt es sich um so ein Koppelgetriebe nennt man 01:20:02.420 --> 01:20:04.940 das, da hat man früher sehr viele Bewegungen realisiert. 01:20:05.420 --> 01:20:07.840 Wenn man zum Beispiel hier einen Stift reinsteckt und ein Blatt Papier 01:20:07.840 --> 01:20:11.300 drunter legt, dann gibt es natürlich in dem Falle geschlossene Kurven. 01:20:11.300 --> 01:20:14.420 Wenn die Kurbel sich hier dreht, man sieht hier haben wir nur noch so 01:20:14.420 --> 01:20:16.560 eine Schwinge, das dreht sich gar nicht ganz. 01:20:16.960 --> 01:20:20.880 Da gibt es auch die verschiedensten Konfigurationen je nach Länge der 01:20:20.880 --> 01:20:22.560 Kurbeln und der Koppelstange. 01:20:24.240 --> 01:20:28.880 Wenn wir jetzt nach dem Momentanpol fragen, muss man vorsichtig sein. 01:20:29.100 --> 01:20:29.280 Warum? 01:20:30.800 --> 01:20:32.640 Wo ist hier der Momentanpol, wer weiß es? 01:20:37.790 --> 01:20:38.710 Ich habe es ein bisschen reingelegt. 01:20:39.410 --> 01:20:42.690 Wenn ich nach dem Momentanpol frage, ist es eigentlich falsch. 01:20:42.770 --> 01:20:42.990 Warum? 01:20:43.770 --> 01:20:47.130 Jeder Körper hat bei einer ebenen Bewegung einen Momentanpol. 01:20:47.230 --> 01:20:50.770 Aber wir haben in dem Falle eins, zwei, drei Körper. 01:20:51.590 --> 01:20:53.410 Also haben wir auch drei Momentanpole. 01:20:53.850 --> 01:20:57.870 Ganz klar, die Kurbeln, die drehen jeweils um den Lagerpunkt. 01:20:58.070 --> 01:21:01.290 Also der Momentanpol dieser Kurbel wird wohl hier sein. 01:21:01.450 --> 01:21:03.950 Der Momentanpol dieser Kurbel wird wohl hier sein. 01:21:09.560 --> 01:21:12.320 Jetzt, wie sieht es aus mit dem Momentanpol der Koppelstange? 01:21:15.970 --> 01:21:19.190 Wo liegt jetzt der Momentanpol der Koppelstange? 01:21:26.620 --> 01:21:28.060 Ganz einfach. 01:21:29.140 --> 01:21:34.060 Der Momentanpol der Koppelstange muss senkrecht auf der 01:21:34.060 --> 01:21:35.860 Geschwindigkeit dieses Punktes sein. 01:21:37.020 --> 01:21:40.620 Die Geschwindigkeit dieses Punktes entspricht aber der Geschwindigkeit 01:21:40.620 --> 01:21:42.620 des Gelenkpunktes als Punkt dieser Kurbel. 01:21:42.620 --> 01:21:45.340 Der Momentanpol muss also senkrecht auf der Kurbel stehen. 01:21:45.660 --> 01:21:47.540 Das heißt, die Geschwindigkeit hat den Verlauf. 01:21:47.620 --> 01:21:51.820 Senkrecht drauf heißt, der Momentanpol muss irgendwo in dieser 01:21:51.820 --> 01:21:52.420 Richtung liegen. 01:21:52.820 --> 01:21:54.040 Genauso haben wir es an der Stelle. 01:21:54.120 --> 01:21:57.400 Die Geschwindigkeit dieses Gelenkpunktes steht senkrecht auf der 01:21:57.400 --> 01:21:57.740 Kurbel. 01:21:58.260 --> 01:22:01.280 Der Momentanpol wieder auf einer geraten, die senkrecht auf der 01:22:01.280 --> 01:22:03.620 Geschwindigkeit steht, also irgendwo in der Verlängerung. 01:22:03.840 --> 01:22:06.280 Das heißt, der Momentanpol muss irgendwo da unten liegen. 01:22:06.820 --> 01:22:09.880 Und genauso kann man das jetzt natürlich weiterführen. 01:22:09.880 --> 01:22:13.720 In dem Fall wäre praktisch der Momentanpol wahrscheinlich hier oben 01:22:13.720 --> 01:22:14.080 irgendwo. 01:22:14.140 --> 01:22:15.320 Ich sehe es jetzt nicht ganz so gut. 01:22:20.480 --> 01:22:23.200 Ich denke, das Prinzip wird klar. 01:22:24.540 --> 01:22:30.200 Man sieht dabei auch, mit wechselnder Stellung ändert sich die Lage 01:22:30.200 --> 01:22:33.360 des Momentanpols. 01:22:33.720 --> 01:22:37.680 Und wie gesagt, einmal kann man dann den Momentanpol als Punkt des 01:22:37.680 --> 01:22:43.940 Körpers auffassen und einmal als Punkt des Inertialsystems. 01:22:45.520 --> 01:22:52.640 An der Stelle muss ich mich leider vor Weihnachten von Ihnen 01:22:52.640 --> 01:22:53.240 verabschieden. 01:22:53.360 --> 01:22:57.780 Bitte denken Sie daran, das war aus Gründen, dass wenn irgendetwas ein 01:22:57.780 --> 01:23:00.680 bisschen schiefläuft, wir noch genügend Zeit haben, am Donnerstag 01:23:00.680 --> 01:23:02.740 anstatt Übung eine Vorlesung machen. 01:23:03.700 --> 01:23:06.300 Das übernimmt dann der Herr Kapelke, nicht mehr der Herr Römer. 01:23:06.300 --> 01:23:10.720 Der Herr Kapelke wird eine der Übungsgruppen ab Januar übernehmen, 01:23:12.140 --> 01:23:12.900 anstatt dem Herrn Römer. 01:23:13.380 --> 01:23:17.340 Beide sind kurz vor der Promotion, also sind erfahrene Doktoranden, 01:23:17.520 --> 01:23:18.820 die das durchaus machen können. 01:23:19.460 --> 01:23:22.940 Ich selbst bin leider auf einer Habilitation in Hannover, wenn das 01:23:22.940 --> 01:23:24.040 nicht noch abgesagt wird. 01:23:25.080 --> 01:23:29.520 Und deshalb wünsche ich Ihnen an der Stelle schon gesegnete 01:23:29.520 --> 01:23:32.180 Weihnachtsfeiertage, einen guten Rutsch ins neue Jahr. 01:23:32.180 --> 01:23:36.300 All diejenigen, die Skifahren gehen, kommen hoffentlich gesund wieder, 01:23:36.380 --> 01:23:39.120 dass sie nicht die Vorlesungen im Internet anschauen müssen. 01:23:40.180 --> 01:23:44.700 Und ansonsten wünsche ich Ihnen natürlich eine relativ hohe Effizienz 01:23:44.700 --> 01:23:48.100 beim Geschenke auspacken und bei der Beschenkung durch den 01:23:48.100 --> 01:23:48.660 Weihnachtsmann. 01:23:48.740 --> 01:23:49.160 Vielen Dank.