Wir haben hier die Besonderheit, dass die Windelgeschwindigkeit, also
die Bewegung des Bezugssystems k, gegenüber dem Herzersystem b gleich
0.2.
Wenn wir nochmal den Körper zeichnen
und bewerten mal diesen Punkt b so, dass dieser Punkt b unbekannt ist,
sollten wir die Position, Geschwindigkeit usw.
des Punktes q als bekannt voraussetzen.
In unserem Inertialsystem kennen wir die Lage des Punktes q, Lq,
bezüglich des Ursprungs o.
Wir kennen natürlich diese relative Lage, also wir kennen den Vektor L
von q nach p.
Aber was uns eigentlich interessiert, was wir bestimmen möchten für
beliebige Punkte p, ist die Kinematik.
Das heißt zunächst den Ortsvektor p, aber im Folgenden natürlich
wieder die Geschwindigkeiten und die Beschleunigung.
Und wenn wir das mal formal angeben, dann denke ich, sieht jeder von
Ihnen diese Vektorsumme.
Die Lage des Punktes p ist natürlich die Lage des Punktes q plus diese
relative Lage L von q nach p.
Und daraus können Sie auch direkt die Geschwindigkeit angeben.
Also wenn wir das Ganze differenzieren, die Geschwindigkeit des
Punktes p, vp, ergibt sich dann gerade als Zeitableitung des
Ortsvektors rp.
Aber hier müssen Sie natürlich wieder aufpassen, wir benötigen die
Geschwindigkeit im Inertialsystem, also müssen wir auch die Ableitung
im Inertialsystem berechnen.
Und das können Sie wieder auseinanderziehen in diese Summe, also die
Ableitung von Lq plus die Ableitung von diesem Relativvektor von q
nach p.
Soweit, denke ich, für die meisten hier Wiederholungen.
Wenn Sie das Ganze tatsächlich auswerten möchten, dann bietet es sich
an, die Geschwindigkeit des Punktes q im Inertialsystem zu
beschreiben.
Also wir haben hier die Geschwindigkeit vq.
Wir haben ja vorausgesetzt, dass wir die Kinematik des Punktes q
kennen.
Und diese Relativgeschwindigkeit können wir jetzt beschreiben durch
die Orientierung im Körperfestenbezugssystem und die Änderung der
Orientierung.
Also rein formal haben wir hier die Zeitableitung im
Körperfestensystem k von diesem Relativvektor L von q nach p plus
Omega von k in I kreuz L von q nach p.
Und hier sehen Sie schon, für den Sonderfall einer reinen Translation
verschwindet natürlich diese Winkelgeschwindigkeit.
Aber es verschwindet auch diese Zeitableitung im mitbewegten System,
da wir ja vorausgesetzt haben, dass bei einem starren Körper sämtliche
relativen Abstände konstant bleiben.
Für eine reine Translation eines starren Körpers haben Sie somit die
Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes p ist gleich die
Geschwindigkeit jedes anderen Punktes auf diesem Körper vq.
Also der einfachstmögliche Fall, Sie haben diesen Körper beschrieben
durch all diese Moleküle oder Atome.
Die Abstände all dieser Punkte sind konstant und der Körper verdreht
sich nicht.
Damit sind natürlich sämtliche Geschwindigkeiten auf diesem Körper
ebenfalls identisch.
Nun, wie sieht es aus, wenn wir uns noch für die Beschleunigung
interessieren?
Ich denke, das sehen Sie hier direkt.
Wir berechnen die Zeitableitung von vq im Inertialsystem.
Das ist bekannt, das ist ja gerade die Beschleunigung aq.
Und wenn Sie hier diese Ableitung bilden, diese beiden Vektoren
konstant sind, dann können Sie natürlich direkt angeben, dass die
Ableitung von vp gleich der Ableitung von vq sein muss.
Und Sie sehen auch, die Beschleunigungen sind identisch.
Das macht Sinn, wenn sämtliche Geschwindigkeiten aller Punkte immer
identisch sind, dann müssen natürlich auch die zugehörigen
Zeitableitungen immer gleich sein.
Okay, also der einfachste Fall, den wir uns bei einem Stahlkörper
überlegen können, diese reine Translationsbewegung.
Ich denke, Sie sehen schon, worauf die nächste Überlegung hinausläuft.
Wenn wir diese reine Translation beschreiben können, wie sieht es dann
aus mit einer reinen Rotation?
Eine reine Rotation ist ein bisschen schwierig zu definieren bei einer
dreidimensionalen Bewegung.
Zunächst mal haben wir hier einfach eine Drehung um eine feste Achse.
Das sieht ein bisschen komplizierter aus.
Warum?
Dreidimensionale Zeichnungen werden eben etwas aufwendiger als ebene
Zeichnungen.
Aber wenn wir mal so einen beliebigen Körper betrachten, ich versuche
den mal grafisch darzustellen.
Wir haben dann eine körperfeste Achse,
um die sich dieser Körper drehen kann.
Dann, denke ich, sehen Sie schon, jeder Punkt dieses Stahlkörpers wird
hier eine Kreisbewegung um die Drehachse vollführen.
Das heißt, zur Beschreibung dieses Problems bietet es sich zunächst
mal an, einen Punkt auf dieser Drehachse als Referenzpunkt zu wählen.
Sonst wird das Ganze einfach unnötig kompliziert.
Also wir wählen hier wieder einen Punkt Q, dessen Position,
Geschwindigkeit usw.
wir kennen.
Wir wählen einen weiteren Punkt P und wir führen ein Inertialsystem
ein, genauso wie im ersten Beispiel mit diesem Ursprung O.
Okay, was ist das Besondere hier?
Naja, die Geschwindigkeit des Punktes Q muss verschwinden.
Die Lage ist konstant, das wäre ja die Voraussetzung für eine reine
Drehbewegung, wenn der Punkt Q auf der Drehachse liegt.
Aber wir haben eine Winkelgeschwindigkeit, die nicht verschwindet.
Also wir haben hier so
eine Drehung Omega von K in I.
Und hier definieren wir mal, dass das in die Z-Richtung gehen soll,
also das sei gleich Omega EZ.
Das kann natürlich eine beliebige Orientierung sein.
Hängt lediglich von der Wahl Ihres Bezugssystems ab, Ihres
Inertialsystems ab.
Für die weiteren Ausführungen ergeben sich etwas kompaktere Ausdrücke
unter dieser Definition.
Okay, wir haben dann wieder die Lage des Punktes Q, LQ.
Und ja, hier ist eine Frage.
Okay, die Frage ist, ob ich eine andere Farbe nehmen kann.
Da kann ich gerne Ihnen entgegenkommen.
Ich hoffe, dass Omega können Sie lesen.
Wenn ich das jetzt nochmal anschreibe, wird es wahrscheinlich nicht
übersichtlicher.
Also wir haben zunächst mal den Vektor LQ.
Und wir haben einen Relativvektor.
Ich nenne den jetzt nicht mehr RQP, sondern einfach Rrelativ.
So wie wir das auch zu Beginn des Semesters eingeführt haben.
Also die relative Lage des Punktes P bezüglich Q.
Und es kann natürlich ein beliebiger Punkt P sein.
Und wir haben gerade schon festgestellt, naja, was für eine Bewegung
wird dieser Punkt Q ausführen.
Wenn wir hier den Abstand zur Drehachse bestimmen,
also das Lot auf die Drehachse bilden, dann wird dieser Abstand
natürlich konstant sein, da es sich um einen starken Körper handelt.
Und dieser Punkt wird sich auf einer Kreisbahn mit diesem Abstand R
bewegen.
Für die Position können Sie das genauso angeben wie im vorigen Fall.
Also die Position dieses Bezugspunktes P, naja, das ist gerade die
Position des Punktes Q plus Rrelativ.
Wie sieht das nun mit den Geschwindigkeiten aus?
Nun für die Geschwindigkeiten können wir dasselbe Vorgehen nutzen wie
hier oben.
Wie gesagt, eigentlich Wiederholung dessen, was wir bereits zu Beginn
des Semesters gemacht haben, als wir uns die Kinematik von zueinander
bewegten Bezugssystemen angeschaut haben.
Also das VP ist gerade VQ plus die Zeitableitung des Relativvektors im
Inertialsystem.
Sie sehen, wir haben diesen Punkt Q so gewählt, dass dieser Term hier
gerade verschwindet,
da wir eben einen Punkt auf der Drehachse als Bezugspunkt wählen.
Und wir können diese Zeitableitung natürlich wieder ausdrücken in
unserem Körperfestenbezugssystem.
Also wir können das ausdrücken als die Ableitung von Rrelativ in K
plus Omega von K in I kreuz Rrelativ.
Und Sie sehen, hier fällt noch ein Term weg.
Natürlich ist wieder dieser Abstand im mitbewegten System konstant.
Das heißt, die Geschwindigkeit eines beliebigen körperfesten
Bezugspunktes können Sie angeben durch die relative Lage Rrelativ
gegenüber einem Punkt auf der Drehachse und der Drehung dieses Körpers
beschrieben durch Omega von K in I.
Das heißt, VP ist gleich Omega von K in I kreuz Rrelativ.
Nun, wenn Sie sich überlegen, wie muss diese Geschwindigkeit gerichtet
sein?
Wir haben ja diese reine Kreisbewegung.
Wir können hier ein neues Bezugssystem einführen, beziehungsweise wir
können das körperfeste Bezugssystem durch andere Einheitsvektoren
ausdrücken.
Wir nehmen hier mal diesen Vektor EZ, wie bisher, gerichtet in die
Richtung der Drehachse.
Wir können jetzt dieses Lot mit dem Abstand R verwenden, um einen
radialen Einheitsvektor zu definieren.
Also wir definieren hier einen Vektor ER.
Und wir können natürlich senkrecht zu beiden, also senkrecht zu EL und
senkrecht zu EZ, noch einen dritten Vektor definieren, hier nach
hinten gerichtet, EFI.
Das EZ schrauben wir mal rüber.
Also hier EFI, hier EZ.
Und wenn Sie sich jetzt überlegen, wie muss diese Geschwindigkeit
aussehen?
Naja, die Geschwindigkeit wird tangential an diese Kreisbahn sein.
Also die Geschwindigkeit wird lediglich in die EFI-Richtung gerichtet
sein.
Und Sie können dieses Kreuzprodukt auswerten.
Omega von K in I zeigt gerade in die EZ-Richtung.
R relativ hat einen Anteil in die EZ-Richtung und in die ER-Richtung.
Wenn Sie dieses Kreuzprodukt auswerten, dann fällt dieses Kreuzprodukt
der beiden Z-Richtungen raus.
EZ kreuz EZ gleich 0.
Das heißt, Sie bekommen hier Omega EZ kreuz L ER als Resultat für die
Geschwindigkeit.
Sie können das also direkt angeben als Omega mal R in die EFI
-Richtung.
Für die Mechanik interessieren uns nicht nur die Geschwindigkeiten,
sondern natürlich wieder die Beschleunigung.
Ich hatte Ihnen das schon ein paar Mal begründet.
Wenn Sie später die Wirkung von Kräften oder Momenten berücksichtigen
möchten, um davon ausgehend die Bewegungsgleichung aufzustellen, dann
brauchen Sie das Ganze auf Beschleunigungsebene, da eben Kraft
proportional zu Masse mal Beschleunigung ist.
Und entsprechend kriegen Sie das auch für Drehbewegungen.
Die Ableitung des Drehimpulses ist gleich der Summe aller wirkenden
Momente.
Also Ableitung des Drehimpulses gibt Ihnen auch wieder Größen auf
Winkelbeschleunigungsebene.
Das heißt, wie sieht das mit den Beschleunigungen aus in diesem Fall?
Wir können natürlich einfach diesen Ausdruck für die Geschwindigkeit
differenzieren.
Wir haben die Beschleunigung eines körperfesten Punktes P gegeben als
die Ableitung von Omega von K in I Kreuz L Relativ
plus Omega von K in I Kreuz die Ableitung von L Relativ.
Hier können wir die bekannten Größen einsetzen.
Wir haben gerade festgestellt, dieser Ausdruck ist gleich Omega von K
in I Kreuz L Relativ, wenn wir das Ganze im mitbewegten körperfesten
Bezugssystem auswerten.
Diese Größe nennen wir Omega Punkt von K in I, also die
Winkelbeschleunigung, die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit.
Wenn wir das Ganze hier einsetzen, dann erhalten wir für AP den
Ausdruck Omega Punkt von K in I Kreuz L Relativ plus Omega Kreuz, naja
in Klammer, Omega Kreuz L Relativ.
Und das können Sie natürlich auch noch skalar ausdrücken.
Wir haben ja die radialen und tangentialen Einheitsvektoren
eingeführt.
Das heißt, für diesen Ausdruck können Sie auch die Komponenten direkt
angeben.
Sie haben hier Omega Punkt mal L in die E4-Richtung minus Omega
Quadrat mal L in die EL-Richtung.
Okay, soweit ist das alles nur ein Sonderfall dessen, was wir wie
gesagt zu Beginn des Semesters schon allgemein eingeführt haben.
Das heißt, wenn Sie mit starren Körpern arbeiten, dann können Sie die
gesamte Kinematik eines Stahlkörpers vollständig definieren, indem Sie
sich einen beliebigen körperfesten Bezugspunkt rauspicken.
Der muss nicht mal unbedingt auf dem Körper liegen.
Das heißt, wenn Sie sich überlegen, ich habe jetzt leider kein
Beispiel eingepackt und dabei, wenn Sie sich überlegen, wir haben hier
nicht dieses Aluminiumrad als geschlossener Zylinder, sondern wir
hätten hier noch eine Bogen in der Mitte, dann ist es möglicherweise
sinnvoll, einen Punkt auf der Symmetrieachse zu wählen, also einen
Punkt direkt hier in der Mitte zu wählen, obwohl dort gar keine Atome
dieses Körpers sich befinden.
Sie haben einen körperfesten Bezugspunkt, der sich mit dem Körper
bewegt, der außerhalb Ihres eigentlichen Körpers liegen kann.
Zusätzlich brauchen Sie an diesem Bezugspunkt noch ein körperfestes
Bezugssystem, also ein Bezugssystem K, dessen Orientierung sich nicht
verändert, wenn Sie sich mit dem Körper bewegen.
Und durch diese zwei Größen, also einen Bezugspunkt und Orientierung
eines körperfesten Bezugssystems, können Sie die Kinematik vollständig
beschreiben und das natürlich für beliebige körperfeste Punkte
herleiten.
Das heißt, im nächsten Schritt ist es natürlich naheliegend, eine
allgemeine Bewegung zu betrachten.
Wir haben hier zunächst mal eine reine Translation angeschaut, eine
reine Rotation.
Wie sieht denn das aus, wenn wir uns eine beliebige Bewegung
anschauen?
Also eine allgemeine Bewegung eines Staukörpers.
Und hier interessiert uns zunächst wieder die Geschwindigkeiten und
die Beschleunigung.
Ich möchte das gerade wieder aufzeichnen.
Also wir haben hier wieder den Körper.
Auf diesem Körper haben wir zwei Punkte, Q und P.
Wir haben wieder diesen Relativvektor, R-relativ, ein inertiales
Bezugssystem mit dem Ursprung O.
Wir kennen die Position des Punktes Q, also das RQ ist bekannt.
Und wir suchen wieder die Größen für einen beliebigen anderen
körperfesten Punkt P. Also zunächst mal die Lage.
Und ich denke das ist trivial, das sieht jeder von Ihnen.
Wir können hier natürlich wieder die Lage direkt angeben.
RP gleich RQ plus R-relativ.
Wir können natürlich auch wieder die Geschwindigkeiten bestimmen,
indem wir hier die Zeitableitungen bilden.
Das heißt die Ableitung unseres Positionsvektors RP ergibt das VP, die
Geschwindigkeit im Inertialsystem.
Also d nach dt von RP in I.
Auch das können wir wieder aufspalten, wie wir das in den vorherigen
Beispielen gemacht haben.
Ich denke ich gebe Ihnen hier gleich das Ergebnis an.
Also VQ, die Geschwindigkeit unseres gewählten Bezugspunktes Q plus
die Ableitung von R-relativ im körperfesten System plus Omega Kreuz R
-relativ.
Und der einzige Term, der in diesem Fall wegfällt, ist eben diese
Ableitung von R-relativ im mitbewegten körperfesten Bezugssystem.
Das heißt die Geschwindigkeit eines beliebigen körperfesten Punktes.
VP ist die Geschwindigkeit eines bekannten Bezugspunktes VQ plus Omega
Kreuz R-relativ für starre Körper.
Das wird manchmal auch als kinematische Grundgleichung bezeichnet.
Wenn Sie sich das genauer anschauen, dann sehen Sie, hier haben wir
noch gar nicht die Einschränkung gemacht auf eine Ebenebewegung.
Also ich habe vorhin gesagt, das Thema, das wir jetzt behandeln, sind
Bewegungen von starren Körpern in der Ebene.
Aber bei all diesen Überlegungen haben wir uns noch gar nicht auf eine
zweidimensionale Bewegung beschränkt.
Das heißt, dieser Zusammenhang gilt allgemein für beliebige
dreidimensionale Bewegungen Ihres Körpers.
Und ebenso können wir das für die Beschleunigung aufstellen.
Für die Beschleunigung bestimmen wir hier wieder die Zeitableitung.
Das heißt, die Beschleunigung AP ist gleich die Ableitung von VP.
Auch das haben wir hier schon mal exerziert.
Wenn Sie hier nach oben schauen, dann sehen Sie, wir können natürlich
wieder über die entsprechenden Kreuzprodukte und die körperfesten
Ableitungen diesen allgemeinen Ausdruck für die Geschwindigkeiten
ableiten.
Wir haben also zunächst die Ableitung von VQ im Inertialsystem, plus
Omega -Punkt von K in I, Kreuz L-Relativ, plus Omega-Kreuz,
die Ableitung von L-Relativ in I.
Und das können wir wieder entsprechend auswerten und umstellen.
Hier taucht wieder die Zeitableitung dieses Relativvektors im
Inertialsystem auf.
Ein Ausdruck, den wir bereits vom vorigen Beispiel kennen.
Also wir können den wieder ausdrücken in den Zeitableitungen im
körperfesten System.
Wenn wir das machen, dann erhalten wir hier gerade wieder Omega-Kreuz
-R -Relativ.
Also diese hintere Zeitableitung ist gerade Omega von K in I, Kreuz L
-Relativ.
Wenn wir das alles einsetzen, dann bekommen wir den allgemeinen
Ausdruck für die Beschleunigung eines körperfesten Bezugspunktes bei
einem starren Körper.
Also die Beschleunigung AP ist gerade die Beschleunigung des
Bezugspunktes AQ plus die Winkelbeschleunigung Omega-Punkt von K in I,
Kreuz L-Relativ,
plus Omega-Kreuz-R-Relativ, so wie wir das ja im vorherigen Beispiel,
als wir eine feste Drehachse betrachtet haben, bereits auch schon
hergeleitet haben.
Also wir haben hier einfach eine Überlagerung beider Sonderfälle.
Sie können allgemein eine beliebige räumliche Bewegung eines starren
Körpers beschreiben durch die Überlagerung von Translation und
Rotation.
Das heißt, wenn Sie sich überlegen, wie sind dann in einem bestimmten
Zeitpunkt die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen, dann setzt sich
die momentane Bewegung zusammen aus einem Anteil Rotation und einem
Anteil Translation.
Und die Einschränkung, die wir machen, wenn wir eine ebene Bewegung
betrachten, ist eben, dass wir im Prinzip keine Translation senkrecht
zu unserer Drehachse zulassen.
Das heißt, wenn Sie sich überlegen, wir haben hier diese Rotation um
eine feste Achse.
Die Achse muss jetzt hier nicht die Symmetrieachse sein.
Also wir haben zum Beispiel die Rotation hier um diese horizontale
Achse.
Dann würde sich das ja so drehen.
Wir haben zusätzlich noch eine überlagerte Bewegung in Richtung dieser
Drehachse.
Entschuldigung, würde sich natürlich so drehen, diese Taumelbewegung
ausführen.
Wir haben zusätzlich noch eine Translation in Richtung dieser Achse.
Wenn wir nur in Richtung der Drehachse uns das System anschauen und
diese Richtung ist konstant, dann sehen wir natürlich eine ebene
Bewegung unseres Körpers.
Okay,
wie sieht das Ganze jetzt aus, wenn wir uns auf eine Ebene
beschränken?
Also den Sonderfall einer ebenen Bewegung betrachten, allerdings mit
einer allgemeinen Bewegung.
Also keine Einschränkung auf reine Rotation oder reine Translation.
Wir können das hier nochmal aufzeichnen.
Wir haben wieder unsere beiden Punkte P und Q.
Wir haben wieder ein Bezugssystem, aber da wir uns hier in der Ebene
befinden, schränken wir das mal auf die XY-Ebene ein.
Also wir haben hier Einheitsvektoren EX und EY und den Ursprung O.
Jeder Punkt hat hier natürlich zwei Koordinaten.
Also wir haben ein XQ und ein YQ, die uns die Lage des Punktes Q
beschreiben.
Und wir haben ein XP und ein YP, die uns die Lage dieses Punktes P
beschreiben.
Wir können natürlich für jeden körperfesten Punkt solch eine
Koordinate einführen.
Wir haben dann den Ortsvektor LQ, wie wir das bisher betrachtet haben.
Wir haben den Relativvektor Rrelativ
und natürlich auch den Ortsvektor des Punktes P.
Wenn wir diese relative Lage hier ausdrücken möchten, dann bietet es
sich an, den Abstand dieser beiden Punkte zu wählen als den Abstand L.
Also wir führen hier ein körperfestes Bezugssystem ein in
Polarkoordinaten.
So wie wir das bei der Drehung um eine feste Achse in
Zylinderkoordinaten eingeführt haben.
Wir haben also hier eine Richtung ER und senkrecht dazu die Richtung
EFI.
Wobei sämtliche Drehbewegungen hier um die Z-Achse ausgeführt werden.
Das heißt, die Vektoren ER und EFI bilden mit EZ wieder ein
Rechtssystem.
So wie EX, EY mit EZ ein Rechtssystem bilden.
Wir können dann das RP ausdrücken als RQ plus RER.
Also der Abstand oder der Betrag von Rrelativ ist gerade klein L.
Und wenn wir das so anschreiben, dann sehen Sie auch schon, wie das
mit den Geschwindigkeiten aussieht.
Also die Geschwindigkeit von P ist gleich VQ, haben wir bereits hier
oben hergeleitet, plus Omega kreuz Rrelativ.
Omega ist hier in die EZ-Richtung gerichtet, weil wir eine ebene
Bewegung betrachten.
Also Omega positiv hier gegen den Uhrzeigersinn, Omega von K in I.
Also wir haben Omega EZ, Kreuz L mal EL.
Was erhalten wir daraus?
Wir erhalten gerade Omega mal L, also Produkt der Beträge und als
Richtung erhalten wir hier die EFI-Richtung.
Das heißt, die Geschwindigkeit hier am Punkt P unterscheidet sich von
der Geschwindigkeit am Punkt Q, gerade um den Anteil, der senkrecht zu
dieser Verbindungslinie steht.
Wir werden das gleich nochmal grafisch aufzeichnen.
Zunächst schauen wir uns noch die Beschleunigung an.
Wie sieht es aus, wenn wir das Ganze hier in die Beschleunigung
einsetzen?
Die Beschleunigung des Punktes P ist gleich die Beschleunigung des
Punktes Q.
Plus ein Anteil aus diesem ersten Kreuzprodukt, also Omega Punkt mal R
ebenfalls in die EFI-Richtung.
Minus Omega Quadrat mal R in die ER-Richtung.
Sie sehen, wenn Sie dieses Kreuzprodukt hier auswerten, das erste
Kreuzprodukt Omega mal R-relativ zeigt in die EFI-Richtung.
Sie bilden dann nochmal ein Kreuzprodukt Omega mal EFI und das zeigt
in die negative ER-Richtung.
Sie erhalten hier also Minus Omega Quadrat mal R in die radiale
Richtung als Anteil der Beschleunigung.
Ich habe gerade gesagt, wir möchten uns das auch noch aufzeichnen.
Also
wie setzen sich denn diese Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
zusammen?
Wir können hier so einen Geschwindigkeitsplan machen.
Also in dieser XY-Ebene
zeichnen wir zunächst mal die Geschwindigkeit am Punkt Q.
Die hat eine beliebige Richtung.
Ich zeichne die hier einfach mal so schräg nach rechts oben.
VQ.
Wir haben natürlich den Abstand von Q nach P.
Also wir haben hier dieses LER.
Und am Punkt P haben wir zwei Anteile für die Geschwindigkeit, nämlich
den selben Anteil wie am Punkt Q.
Der ist hier einfach parallel verschoben.
Und wir haben den Anteil Omega mal R in die EFI-Richtung.
Nun was ist hier die EFI-Richtung?
Die EFI-Richtung ist ja senkrecht auf der ER-Richtung.
Das heißt, wir haben hier diesen Anteil Omega mal L in die EFI
-Richtung.
Senkrecht zu dieser Verbindungslinie.
Und wenn wir das Ganze überlagern, dann erhalten wir hier die Summe
dieser beiden Ausdrücke.
Also das VP sieht irgendwie so aus.
Okay, mit den Beschleunigungen können wir das natürlich genauso
machen.
Also ein Beschleunigungsplan.
Hier haben wir mehr Anteile.
Bei der Geschwindigkeit kommt ja gerade dieser gelbe Anteil dazu.
Bei der Beschleunigung haben wir zwei Anteile, die dazukommen.
Wir betrachten zunächst wieder den Punkt Q und den Punkt P.
Also wir haben hier L mal ER.
Wir haben am Punkt Q eine Beschleunigung, AQ.
Die so natürlich auch wieder als Komponente hier oben auftaucht.
Wir haben allerdings noch zwei weitere Anteile.
Wir haben zunächst mal einen Anteil Omega Punkt mal L in die E4
-Richtung.
Also dieselbe Richtung wie hier, der gelbe Anteil.
Omega Punkt mal L in die E4-Richtung.
Und wir haben noch einen Anteil in die negative ER-Richtung.
Also hier gerade entgegengerichtet.
Wir haben hier also minus Omega Quadrat mal L ER.
Wobei das Minus einfach aus der Richtung kommt.
Und wenn wir das wieder überlagern, können wir das hier auch grafisch
einfach superponieren.
Also wir verschieben zunächst mal diesen roten Anteil hier rüber.
Wir verschieben dann noch den zweiten gelben Anteil hier rüber.
Und wir kommen in diesem Beispiel irgendwo hier raus.
Okay, gibt es soweit Fragen von Ihrer Seite?
Also Sie sehen, wenn Sie sich das alles anschauen, im Prinzip sind die
Ausdrücke für die allgemeine dreidimensionale Bewegung nicht sehr
kompliziert.
Wenn Sie das vergleichen mit dem, was wir zu Beginn des Semesters
gemacht haben, als wir uns relativ zueinander bewegte Bezugssysteme
angeschaut haben, dann führen Sie hier eine Vereinfachung ein, nämlich
die Vereinfachung, dass die Zeitableitung von R relativ im mitbewegten
System K verschwindet.
Also der Term, der hier gerade gestrichen wurde.
Alles andere haben Sie bereits vor sechs Wochen hier in der Vorlesung
so behandelt.
Also es ist wenig neue Information.
Wenn wir das Ganze für den Sonderfall einer ebenen Bewegung
betrachten, dann ergeben sich hier besonders einfache Ausdrücke, wenn
wir diesen Relativvektor in Richtung eines Einheitsvektors er
aufstellen.
Dann können wir die Komponenten der Geschwindigkeit und der
Beschleunigung direkt auch betragsmäßig angeben und die zugehörigen
Richtungen sind hier gerade senkrecht oder in Richtung dieser
Verbindungslinie.
Okay, dazu zunächst mal ein Beispiel.
Wir betrachten hier ein Schubkurbelgetriebe.
Wie sieht es aus?
Im Prinzip, denke ich, kennen Sie das aus den
Konstruktionsvorlesungen.
Sie finden das zum Beispiel in Kolbenmotoren.
Also wir haben hier ein Getriebe, das sich zusammensetzt aus einer
Kurbel und einem Pleuel und das Ende des Pleuels ist in irgendeine
Richtung geführt.
Wir haben also zunächst hier diese Kurbel.
An diese Kurbel anschließend betrachten wir hier den Sonderfall, dass
das Pleuel gerade parallel dazu verläuft und der Endpunkt des Pleuels
soll hier vertikal geführt sein.
Das heißt, wir haben hier die Richtung vorgegeben, in die sich dieser
Endpunkt bewegen kann und der Mittelpunkt der Kurbelwelle ist
natürlich auch festgehalten.
Also wir führen hier zunächst mal Einheitsvektoren ein, x und y.
Und Sie sehen auch schon, dass das tatsächlich eine ebene Bewegung
darstellt.
Also, was interessiert uns?
Nun, wir möchten die Drehung der Kurbel vorgeben und uns interessiert
die Bewegung dieses Endpunktes.
Ich nenne diesen Endpunkt gerade mal B und diesen Lagerpunkt nennen
wir A.
Das heißt, wenn wir die Drehzahl oder den Winkel der Kurbel vorgeben,
dann möchten wir zugehörig bestimmen, wie ist denn die Geschwindigkeit
am Punkt B.
Dazu führen wir zunächst mal diesen Winkel phi ein, der die Lage der
Kurbel beschreibt und die Ableitung phi Punkt gleich Omega 1.
Das ist der Betrag dieser Winkelgeschwindigkeit.
Die Länge der Kurbel sei L,
die Länge des Ploils sei L.
Und um dieses Problem vollständig zu beschreiben, benötigen wir
natürlich noch eine weitere Koordinate, nämlich die Koordinate dieses
Ploils, die wir hier mal mit phi einführen.
Ein anderer Winkel.
Wir betrachten hier zwar gerade den Sonderfall, dass die beiden
parallel sind, aber Sie können sich ja überlegen, wenn sich diese
Kurbel ein Stück weiter nach links dreht, dann wird der Winkel phi
zunehmen, während der Winkel psi abnimmt.
Entschuldigung, psi und psi Punkt gleich Omega 2.
Das heißt, für diesen einen Moment, wo wir das System jetzt
beschreiben möchten, sind diese beiden Winkel gleich.
Im Allgemeinen sind die natürlich nicht gleich, sonst könnte sich das
System nicht bewegen.
Das wäre einfach Stau.
Also wir betrachten die besondere Bewegung,
psi gleich phi,
und wir nennen diesen Sonderfall A.
Okay, naja, wie ist denn die Geschwindigkeit am Punkt B?
Okay, wir kennen die Geschwindigkeit am Punkt A.
Die Geschwindigkeit am Punkt A, VA, muss hier gerade tangential an
dieser Kreisbahn sein, die dieser Punkt ausführt.
Ich denke, jedem von Ihnen ist einsichtig, dass sich dieser Punkt A um
den Ursprung O auf einer Kreisbahn bewegt.
Die Geschwindigkeit ist also tangential an dieser Bahn und die
Geschwindigkeit am Punkt B, die setzt sich zusammen aus zwei
Komponenten und eine dieser beiden Komponenten ist gerade die
Geschwindigkeit am Punkt A.
Ich zeichne das hier schon mal ein, das ist natürlich noch nicht
vollständig.
Also wir haben hier eine Komponente VA, aber uns fehlt ja noch eine
zweite Komponente.
Okay, wie muss denn die Geschwindigkeit am Punkt B aussehen, wenn wir
das Ganze berechnen?
Na ja, die Geschwindigkeit am Punkt B erhalten wir...
Zunächst geben wir mal die Geschwindigkeit am Punkt A an, VA.
Na ja, was ist das gerade?
Das ist L mal Omega, betragsmäßig, aber aufgeteilt in zwei Anteile,
nämlich einen Anteil in die negative X-Richtung, einen Anteil in die
positive Y-Richtung, in dieser Lage, in der wir das gezeichnet haben.
Also mit den Winkelbeziehungen, Sinus und Kosinus-Phi, den Ausdruck
für die Geschwindigkeit, VA ist gerade minus L mal Omega 1 Sinus-Phi
in die X-Richtung plus L Omega 1 mal Kosinus-Phi in die Y-Richtung.
VB, na ja, VB setzt sich zusammen aus VA plus Omega 2 mal L in die E
-Phi -Richtung.
Das haben wir ja gerade hergeleitet.
Die Winkelgeschwindigkeit ist Omega und der Abstand in unserem Fall
ist klein l, nicht klein r und die Richtung ist E-Phi.
Na ja, was ist hier diese E-Phi-Richtung?
Die E-Phi-Richtung muss natürlich wieder senkrecht zur E-L-Richtung
sein.
Wir haben also hier die Richtung E-L und hier die Richtung E-Phi,
senkrecht zu E-L.
Wir können das also wieder zerlegen in die X- und Y-Komponenten, indem
wir diese Winkelbeziehungen hernehmen.
Wir können das also ausschreiben.
Na ja, wir haben hier zunächst mal minus L Omega 1 Sinus-Phi in die X
-Richtung aus dem VA und wir haben plus L Omega 1 Cosinus-Phi
ebenfalls aus dem VA in die E-Y-Richtung.
Und wir addieren dazu jetzt minus L Omega 2 mal ebenfalls den Sinus
-Phi in die E-X-Richtung.
Also minus L Omega 2 Sinus-Phi E-X plus L Omega 2 Cosinus-Phi in die E
-Y -Richtung.
Ich denke, Sie sehen das alles.
Wenn der Winkel Phi hier Null ist, dann ist natürlich E-Phi nur in die
E -Y-Richtung.
Ja, Sie haben eine Frage?
Okay, die Frage war, warum ich hier Phi geschrieben habe.
Wir haben ja gerade gesagt, wir betrachten diesen Sonderfall, also den
Moment, wo beide Winkel gleich sind.
Das heißt, hier steht natürlich Psi, aber wir haben eben den Fall, wo
beide identisch sind.
Wenn wir hier das Psi nehmen, können wir natürlich auch weiterrechnen.
Die Terne werden einfach viel größer und man sieht weniger hier als
Beispielaufgabe.
Sie können das natürlich gerne zu Hause nachvollziehen.
Ich denke, das sind zwei, drei Zeilen mehr Rechnung.
Die Ausdrücke werden größer, aber nicht viel komplizierter.
Das Vorgehen ist natürlich genau gleich.
Okay, was Sie aber hier sehen ist, wir können die X- und die Y
-Komponente dieser Geschwindigkeit in Punkt B direkt angeben.
Wir fassen einfach diese obere Zeile zusammen und wir fassen diese
untere Zeile zusammen.
Deshalb habe ich das schon so ein bisschen suggestiv geschrieben.
Also wir haben hier Minus L mal Omega 1 plus L mal Omega 2 Cosinusphi
in die E-X-Richtung plus L Omega 1 plus L Omega 2 Sinusphi in die E-Y
-Richtung.
Ich denke jetzt sehen Sie auch, warum wir gerade diese beiden Winkel
gleich gewählt haben, weil sonst eben diese Ausdrücke sehr lang
werden.
Okay, was ist denn nun die Geschwindigkeit am Punkt B?
Ich habe Ihnen weder einen genauen Wert für die Omegas gegeben, noch
habe ich Ihnen genaue Werte für die Längen gegeben oder für diesen
Winkel Phi.
Aber was wir wissen, wir haben diese vertikale Führung, also die
Geschwindigkeit am Punkt B darf nur in vertikale Richtung sein.
Also wir haben hier eine zusätzliche Bedingung,
dass sich dieser Punkt B nur in diese Richtung hier bewegen darf.
Wenn wir das Ganze formelmäßig aufschreiben, was ist das für eine
Zwangsbedingung?
Naja, die Zwangsbedingung wäre, oder ich sage mal Nebenbedingung,
die Nebenbedingung wäre hier, dass eben die X-Komponente VBX
verschwindet.
Oder Sie können das auch vektoriell ausdrücken, VB mal EX muss gleich
0 sein, das ist ja gerade diese Komponente.
Das heißt, wenn Sie das scharf anschauen, Sie müssen gar nicht wissen,
was der Winkel Phi ist.
Der Winkel Phi muss lediglich ungleich 0 sein und ungleich plus minus
90 Grad sein, damit Sie das hier lösen können.
Denn dieser Ausdruck hier muss verschwinden.
Das ist ja gerade das VB.
Und wenn dieser Ausdruck 0 sein soll, dann muss diese Klammer
verschwinden.
Wir bekommen also einen Zusammenhang zwischen Omega 1, L und Omega 2.
Also aus dieser Bedingung haben wir den Zusammenhang Omega 2 ist
gleich minus L durch L mal Omega 1.
Die Drehzahl des Ploils in Zusammenhang gesetzt mit der Drehzahl der
Kurbel.
Und wir können jetzt ausrechnen, was der Anteil in die Y-Richtung sein
muss.
Wobei, wir haben hier schon gesagt, diese Klammer muss verschwinden.
Das heißt, aus der Bedingung L Omega 1 plus L Omega 2 gleich 0, folgt
direkt, dass auch dieser zweite Teil hier verschwindet.
Das heißt, der gesamte Geschwindigkeitsvektor VB ist 0.
Das ist auch irgendwie einsichtig.
Ich habe das hier grafisch angedeutet, aber noch nicht vollständig
ausgewertet.
Ich habe Ihnen gesagt, der zweite Teil, den wir hier addieren, muss
gerade in die E4-Richtung sein.
Das heißt, wenn wir diesen Geschwindigkeitsplan am Punkt B nochmal
separat herauszeichnen, dann haben wir hier die Geschwindigkeit VA,
wir haben die EL und die E4-Richtung.
Wir wissen, dass eine zweite Komponente, nämlich diese Komponente
Omega mal L gerade in die E4-Richtung sein muss.
Also wir haben eine zweite Komponente, die sich irgendwo auf dieser
Linie befindet und die Summe aus beiden muss in die EY-Richtung sein.
Das heißt, es gibt nur eine Möglichkeit, hier einen weiteren Vektor zu
addieren, nämlich den Schnittpunkt dieser beiden gestrichelten Linien.
Deswegen muss das Omega mal L E4 gerade dieser Anteil sein.
Das ist im Prinzip das, was wir hier rechnerisch bestimmt haben.
Sie sehen, wenn Sie ein bisschen Grundverständnis für die Terme in
Ihren Gleichungen haben, dann können Sie das auch direkt aus der
Anschauung angeben.
Also Sie können sich diese etwas länglichere Rechnung in dem Moment
sparen, wo Sie bereits das Wissen haben, in welche Richtung diese
Geschwindigkeit sein muss und mit diesem Wissen die Aufgabe grafisch
lösen.
So, ich werde gerade mal eine Tafel wischen.
Bevor ich jetzt die anderen Tafeln wische, gebe ich Ihnen noch ein
zweites Beispiel.
Ich werde es schon mal anzeichnen, dann haben Sie ein paar Minuten
Zeit, darüber nachzudenken.
Mal zu schauen, wie weit Sie diese erste Beispielaufgabe hier
übertragen können.
Ja, hier ist eine Frage.
Können Sie die Frage nochmal wiederholen?
Ah, ich habe den Sinus-Cosinus vertauscht.
Entschuldigung.
Ja, mein Fehler.
Ich kann das gerade korrigieren.
Wir haben natürlich hier Sinus-Cosinus.
Danke für den Hinweis.
Okay, ich werde aber gerade noch ein zweites Beispiel anzeichnen.
Wie sieht das Ganze aus?
Wir betrachten einen anderen Fall eines solchen Schubkurbelgetriebes.
Wir haben hier wieder die Kurbel zunächst.
Wir haben Einheitsvektoren Ex und Ey.
Ex, den Ursprung O.
Jetzt haben wir den Sonderfall, dass dieses Bleuel gerade senkrecht
steht.
Also wir haben hier wieder den Punkt A.
Hier oben haben wir dieselbe Führung wie gerade eben.
Entschuldigung, das ist natürlich eine Führung am Punkt B.
Wir führen dieselben Koordinaten ein wie gerade.
Also wir haben hier wieder den Winkel Phi und Phi-Punkt gleich Omega
1.
Die Länge L und die Länge L.
Und wir haben hier den Sonderfall Psi gleich 90°.
Und wir haben wieder Psi-Punkt gleich Omega 2.
Die Geschwindigkeit am Punkt A ist natürlich zunächst mal unverändert
in dieser Grafik.
Wir haben ja die Kurbel hier nicht verändert.
Wir haben lediglich die Lage dieses Bleuels verändert.
Also wir haben hier die Geschwindigkeit VA tangential an diese
Kreisbahn, die der Punkt A um den Ursprung beschreibt.
Und Sie können sich gerade mal Gedanken machen, wie muss denn die
Geschwindigkeit im Punkt B aussehen für diesen Sonderfall, während ich
noch ein bisschen was von der Tafel wische, damit wir genug Platz
haben für den Rest der Vorlesung.
Okay.
Hat denn jemand einen Vorschlag für die Lösung dieses Problems?
Also für dieses Beispiel.
Klein b.
Ja, hier ist eine Meldung.
Kommilitone hat gerade vorgeschlagen, dass die Geschwindigkeit 0 ist,
da sich die Schubkurbel am Umkehrpunkt befindet.
Ich habe das absichtlich so gezeichnet, dass diese vertikale
Verlängerung von A durch B nicht durch den Ursprung O geht.
Also ich denke, das hat vielleicht zu einem falschen Eindruck geführt
bei Ihnen.
Wir haben hier einen Winkel phi ungleich 90 Grad.
Also wir betrachten eine andere konstruktive Ausführung.
Deshalb ist das nicht der Umkehrpunkt.
Wenn wir diesen Winkel phi noch etwas vergrößern, wird sich der Punkt
A auch zum Teil nach oben bewegen und der Punkt B wird sich natürlich
auch noch bewegen.
Hat jemand einen anderen Vorschlag?
Ihr Vorschlag ist, das Ganze rechnerisch zu lösen.
Das ist natürlich immer möglich.
Sie können rein formal das Ganze berechnen auf demselben Weg, wie wir
das hier rechts gemacht haben.
Ich habe absichtlich am Ende, bevor ich begonnen habe, hier die Tafel
zu wischen, noch diesen Geschwindigkeitsplan aufgezeichnet.
Wir können natürlich auch aus dieser grafischen Anschauung uns schon
mal anschauen, was denn hier herauskommen muss.
Und zwar haben wir natürlich wieder zwei Komponenten für die
Geschwindigkeit.
Wir haben hier zunächst mal den Anteil von Va nach oben verschoben
und wir wissen, der zweite Anteil muss in die E4-Richtung sein.
Allerdings ist die E4-Richtung nicht mehr dieselbe wie vorhin, sondern
die E4-Richtung ist ja gerade senkrecht zur EL-Richtung und hier zeigt
das EL senkrecht nach oben.
Also die Verbindung von Punkt A zum Punkt B.
Wenn Sie sich an die Bezeichnung von vorhin erinnern, vorhin hatten
wir den Punkt, den wir kennen, Q genannt und den unbekannten Punkt
hatten wir P benannt.
Also A hat hier die Rolle von Q.
Die Lage und Geschwindigkeit von A kennen wir, aber die von B kennen
wir nicht.
Da dieser Vektor EL hier senkrecht nach oben ist, ergibt sich direkt
auch das E4.
Das E4 ist hier also nach links gerichtet, horizontal und wir wissen,
dass am Ende die Geschwindigkeit am Punkt B gerade sich zusammensetzt.
Ich schreibe es nochmal an.
Vb ist gerade Va plus Omega L E4.
So war die Formel vorhin.
Was ist das in unserem Fall?
Naja, in unserem Fall ist das kleine L gerade die Länge L und das
Omega ist das Omega 2.
Und wir haben wieder die Bedingung, dass wir keine X-Komponente haben.
Das heißt, allein durch die Vektoraddition sehen wir hier, wir
brauchen einen Vektor horizontal, sodass die
Geschwindigkeitskomponente in X-Richtung verschwindet.
Also, wir haben hier einen Anteil Omega 2 mal L E4.
Was bleibt dann übrig?
Naja, es bleibt was übrig.
In diesem Fall ist die Geschwindigkeit nicht identisch 0, sondern die
Geschwindigkeit am Punkt B, die hier ebenfalls in Rot ist, nicht
verwechseln mit Va.
Va, Vb hat eine Y-Komponente und diese Y-Komponente ist genauso groß
wie die Y-Komponente von Va, da wir ja lediglich in der X-Richtung
hier was abgezogen haben.
Also, Sie können hier diese ganzen Rechenschritte überspringen.
Vb ist gleich VaY in die Ey-Richtung.
Und dieses VaY können wir von hier drüben ablesen.
Das VaY ist gerade L mal Omega 1 mal Cosinus Phi.
Also, aus dieser rein grafischen Anschauung, da wir wissen, in welche
Richtung müssen die einzelnen Komponenten gerichtet sein, können wir
hier das Ergebnis ziemlich direkt angeben und uns eine relativ gesehen
lange Rechnung sparen.
Wir wissen, dass nur eine Y-Komponente auftritt und diese Y-Komponente
muss in diesem Fall betragsmäßig gleich zu der Komponente am Punkt A
sein.
Wenn Sie mir das nicht glauben, haben Sie natürlich die Möglichkeit,
das auch nachzurechnen.
Also, als kurze Übungsaufgabe können Sie das natürlich auch nach dem
selben Schema wie hier in dem ersten Beispiel rechnerisch ausführen
und Sie werden sehen, dass genau diese Lösung hier rauskommen wird.
Okay, gibt es von Ihrer Seite noch Fragen zu diesen Beispielen?
Das scheint nicht der Fall zu sein.
Dann möchte ich noch einen neuen Abschnitt beginnen.
Ein neuer Abschnitt, nämlich der sogenannte Momentanpol.
Was ist dieser Momentanpol?
Für die meisten Studenten immer ein bisschen ominös.
Ich habe meistens in der Theme 4 den Eindruck, dass das Konzept zwar
auswendig gelernt wurde, aber nicht so ganz verstanden.
Der Momentanpol ist eine Besonderheit bei ebenen Bewegungen und zwar
lässt sich jede ebene Bewegung beschreiben als eine reine Drehung um
einen momentanen Punkt.
Also wenn Sie sagen, eine ebene Bewegung, willkürlich gewählt in der
XY -Ebene, ist eine Drehung um die EZ-Achse, dann finden Sie einen
Punkt auf dem Körper, der keine Geschwindigkeit hat.
Der Punkt muss nicht tatsächlich innerhalb dieses Gebiets liegen, den
die Atome dieses Körpers einnehmen, der kann auch außerhalb liegen,
aber Sie können jede ebene Bewegung als reine Drehbewegung um einen
Punkt darstellen.
Jetzt ist dieser Punkt nicht konstant.
Wenn der Punkt immer derselbe wäre, dann hätten wir einfach eine
Drehung um eine feste Achse.
Also wenn ich den Mittelpunkt hier nehmen würde und sage, der hat
immer keine Geschwindigkeit, dann drehen wir uns eben um diesen Punkt.
Das ist relativ langweilig.
Viel interessanter ist es, wenn dieser Punkt sich bewegt.
Und ein Standardproblem, wo wir einen bewegten Punkt haben, ist das
rollende Rad.
Das Beispiel kommt immer, ich denke in jeder Mechanik-Vorlesung zu
diesem Thema.
Wenn Sie sich dieses Rad anschauen, wie das hier auf dem Boden rollt,
dann gibt es auf diesem Rad einen Punkt, der keine Geschwindigkeit
hat, nämlich gerade den Kontaktpunkt.
Also dieser Punkt ist im Kontakt mit dem Boden und die Rollbedingung,
also für den Sonderfall, dass dieses Rad tatsächlich rollt, hat dieser
Punkt dieselbe Geschwindigkeit wie die Unterlage.
Und die Unterlage hier, der Boden im Hörsaal, hat je nach Wahl des
Bezugssystems natürlich auch eine Geschwindigkeit.
Wenn Sie sagen, die Erde dreht sich, dann bewegt sich natürlich auch
diese Unterlage.
Aber der wichtige Punkt bei diesem reinen Rollen ist, dass das Rad an
dieser Stelle dieselbe Geschwindigkeit hat.
Das heißt, wenn Sie sich überlegen, das Rad befindet sich momentan in
dieser Lage, dann hat dieses eine Atom, das gerade in Kontakt mit dem
Boden ist, keine Geschwindigkeit.
Wenn das Rad ein Stückchen weiter rollt, dann befindet sich natürlich
ein anderes Atom im Kontakt mit dem Boden und dieses hat wiederum
keine Geschwindigkeit.
Also wir haben hier ständig einen anderen Punkt, das bleibt nicht
derselbe Punkt, der keine Geschwindigkeit hat.
Und aufgrund der kinematischen Grundgleichung, die wir vorhin
abgeleitet haben, die Geschwindigkeit eines beliebigen körperfesten
Punktes ist gerade die Geschwindigkeit eines Referenzpunktes plus
Omega Kreuz L für sämtliche Punkte in der Drehbewegung aus.
Also wenn die Geschwindigkeit dieses Kontaktpunktes Null ist, dann
haben ja sämtliche anderen Punkte eine reine Drehbewegung um diesen
Punkt.
Und die erste Frage, die wir uns hier stellen, ist, wie können wir
diesen Punkt für allgemeine Bewegungen bestimmen und im zweiten Fall
schauen wir uns noch das Beispiel dieses rollenden Rades an.
Okay, bevor wir hier in die ganze rechnerische Ausführung gehen,
möchte ich das gerade nochmal motivieren durch eine Grafik.
Also wir haben hier den Punkt 314,
den sogenannten Momentanpol.
Das heißt, wenn wir irgendeinen Körper haben
und wir haben auf diesem Körper einen Punkt A, so wie gerade in dem
Beispiel, und an diesem Punkt A kennen wir die Geschwindigkeit, also
wir haben hier das VA, dann ist die Frage, wo befindet sich denn
gerade dieser Momentanpol?
Wie gesagt, der Punkt ist nicht immer derselbe, aber für einen
festgehaltenen Zeitpunkt können wir diesen Momentanpol bestimmen.
Und die Information, die wir haben, ist lediglich, dass wir dieses VA
haben, wir haben hier noch ein Bezugssystem, EX, EY und wir haben
hier, ich nenne das mal nur Omega, also die Verdrehung dieses Körpers
gegenüber dem Inertialsystem.
Also allein aus der Information Winkelgeschwindigkeit des körperfesten
Bezugssystems und der Information Geschwindigkeit an einem Punkt A,
möchten wir jetzt berechnen, wo befindet sich denn dieser Momentanpol?
Kann mir jemand von Ihnen sagen, in welcher Richtung dieser
Momentanpol liegen muss?
Also wir hatten gerade gesagt, wir suchen den einen Punkt auf dem
Körper oder den einen Punkt in dem körperfesten Bezugssystem, bei dem
die Geschwindigkeit verschwindet.
Und wir hatten vorhin, ich schreibe es gerade nochmal an, die
kinematische Grundgleichung abgeleitet, also VP ist gleich VA plus
Omega Kreuz LAP, das war ja das, was wir gefunden hatten, für
beliebige allgemeine Ebenebewegungen starrer Körper, beziehungsweise
so wie es hier steht, sogar auch räumliche Bewegungen starrer Körper.
Das heißt, wenn wir die Geschwindigkeit am Punkt A kennen, dann können
wir aus diesem Omega und dem VA das LAP berechnen.
Und wer von Ihnen kann mir sagen, in welcher Richtung das liegen muss?
Naja, wenn der Körper eine reine Drehbewegung um diesen Punkt P
ausführt, dann muss die Geschwindigkeit hierauf wieder senkrecht sein.
Das heißt, wenn wir hier eine senkrechte Richtung zeichnen,
der Punkt P kann zum Beispiel hier unten liegen,
weil das VA sich ergibt, wenn Sie das andersrum betrachten, als VA ist
gleich VP plus Omega Kreuz L von P nach A.
Und wir haben gerade in dem Beispiel mit der Schubkurbel gesehen, das
muss in die E4-Richtung gerichtet sein, also senkrecht zu der
Verbindungslinie von P und A.
Und die Frage, die wir uns jetzt stellen ist, wie lautet denn der
Ausdruck für diesen Abstand LAP, also wenn wir einen Punkt auf dem
Körper gegeben haben, die Geschwindigkeit an diesem Punkt gegeben
haben und die Winkelgeschwindigkeit dieses Körpers gegeben haben, wie
ist dann der Abstand von A zu P?
Und hier nutzen wir aus, dass das eben gerade Null sein muss.
Das ist per Definition der Momentanpol dieser Bewegung.
Um das zu berechnen, multiplizieren wir diesen Ausdruck zunächst durch
und zwar bilden wir nochmal ein Kreuzprodukt mit Omega.
Dieser Ausdruck ist Null, das heißt ein Kreuzprodukt mit Omega muss
natürlich auch Null sein.
Hat den Vorteil, dass wir das Ergebnis erhalten als Betrag und
Richtung.
Sie können natürlich auch sagen, aus dieser Gleichung ergibt sich eine
Gleichung in die X-Richtung und eine Gleichung in die Y-Richtung.
Also wir bekommen eine X-Komponente und eine Y-Komponente für diesen
Abstand.
Wenn Sie das auflösen, wird das allerdings relativ länglich und
unübersichtlich.
Wenn wir das Ganze mit Betrag und Richtung auswerten möchten, dann ist
das eine Vereinfachung, das zunächst mal mit diesem Kreuzprodukt
durchzumultiplizieren.
Das heißt, wir haben hier Omega Kreuz VA plus Omega Kreuz LAP ist
gleich Null
und wir wissen, dass die Winkelgeschwindigkeit hier in die Z-Richtung
gerichtet ist.
Also wir haben Omega ist gleich Omega EZ.
Wir wissen außerdem, dass die Geschwindigkeit am Punkt A in die E4
-Richtung gerichtet ist.
Also VA ist Betrag von VA E4 und wir wissen, dass dieser Relativvektor
LAP ist gerade Betrag von LAP in die ER-Richtung.
Wenn wir diese Vektoren hier noch einzeichnen möchten, dann sehen Sie,
VP ist hier,
wir haben den Abstand Betrag LAP in die ER-Richtung hier nach oben und
wir haben in die ER-Richtung und wir haben hier die E4-Richtung nach
links.
In diese Richtung muss die Geschwindigkeit gerichtet sein, wenn Sie
das Ganze so aufstellen.
Wir benötigen jetzt diese Kreuzprodukte, also wir setzen diese ganzen
Ausdrücke hier ein und Sie sehen, wir haben einmal das Kreuzprodukt
von EZ mit E4.
Dieses Kreuzprodukt ergibt gerade die negative ER-Richtung und wir
haben dieses Doppelkreuzprodukt.
Wenn wir dieses Doppelkreuzprodukt auswerten, dann zeigt es ebenfalls
in die ER-Richtung.
Das heißt, ich schreibe das gerade noch dazu.
Wenn ich das nochmal aufschreibe, Omega Kreuz VA plus Omega Kreuz LAP
muss gleich 0 sein.
Der vordere Ausdruck,
das ist ja gerade Produkt der Beträge, Omega mal VA mal EZ Kreuz E4
und das ist gerade minus ER.
Und dieses hintere Kreuzprodukt können wir auf dieselbe Art und Weise
auswerten.
Wir bekommen hier ebenfalls Anteile in die negative ER-Richtung.
Irgendwas passt nicht.
Wir bekommen hier zunächst mal das Produkt Omega Quadrat mal L und wir
bekommen hier als Ergebnis minus die ER-Richtung.
Das hier wollen wir gar nicht auswerten.
Ich lasse das einfach mal noch so stehen.
Es ist natürlich nicht falsch, das zu ER zusammenzufassen, aber wir
interessieren uns ja für Betrag und Richtung.
Also wir sind sowohl auf der Suche nach dem LAP als auch nach der
Suche auf dem ER.
Also wir haben hier LAP in die ER-Richtung multipliziert mal Omega
Quadrat und wenn wir das hier nochmal aufschreiben, damit Sie es
besser erkennen können von hinten, wir haben hier minus Omega Quadrat
LAP in die ER-Richtung.
Diese vektorielle Gleichung können wir jetzt umstellen, nämlich nach
den beiden Unbekannten.
Die Unbekannte ist hier der Betrag LAP und auch die Richtung ER.
Das heißt, wir haben hier diese vektorielle Gleichung.
Wir haben dieses negative Vorzeichen.
Wir bringen das auf die eine Seite und dieses Omega Quadrat auf die
andere Seite.
Wir haben dann also den Ausdruck für LAP vektoriell ist gleich Betrag
LAP in ER-Richtung und das ist gerade 1 durch Omega Quadrat.
1 durch Omega Quadrat, wenn wir das auf die linke Seite bringen, mal
Omega VA,
Omega VA mal EZ Kreuz EFI.
Die beiden Einheitsvektoren, die wir kennen, wir kennen ja den Vektor
EZ senkrecht zur Ebene, wir kennen das EFI in Richtung von VA.
Wir können das auch wieder zusammenfassen, wenn wir diesen Ausdruck in
der Klammer nochmal zusammenfassen, dann steht hier nämlich gerade
Omega Kreuz VA.
Das heißt, wir bekommen Betrag und Richtung für die Lage des
Momentanpols als 1 durch Omega Quadrat mal Omega Kreuz VA.
Okay, soweit zu der Herleitung dieses Momentanpols.
Damit möchte ich die Vorlesung für heute beenden.
Ich bedanke mich für Ihre Aufmerksamkeit und wünsche Ihnen ein paar
ruhige Tage über Weihnachten und einen guten Rutsch ins nächste Jahr.
Und Herr Seemann wird mit Ihnen wieder die nächste Vorlesung im Januar
machen.
Vielen Dank.