Ja, meine Damen und Herren, ich denke, wir machen mit der Vorlesung
weiter.
Ich habe mir jetzt in der Pause den großen Kreisel bringen lassen.
Auch vorher habe ich den stemmen können mit einer Hand.
Mittlerweile brauche ich einen zweiten dazu.
So, Sie sehen, ich habe hier einen Kreisel.
Gut, was wird man hier als Kreisel bezeichnen?
Letztendlich geht es um diesen Stackkörper, der, zumindest die
vorderen Reihen können das sehen, da ist so ein Schild draufgeklebt,
also der kann sich drehen, um eine Achse, die in Richtung der Figuren
der Symmetrieachse zeigt.
Und zwar in einem Rahmen.
Leider bei so einem physikalischen Modell ist der Rahmen natürlich
immer massebehaftet.
Also der hat auch einen Massenträgheitsmoment, hat
Trägheitseigenschaften und so weiter.
Der Rahmen selbst ist jetzt wieder drehbar in einem weiteren Rahmen,
um eine Achse, die senkrecht zur ersten Achse steht.
Beide Achsen verlaufen durch den Schwerpunkt.
Und wir sehen, der zweite Rahmen, der wiederum ist um eine Achse
drehbar, die raumfest ist, die ebenfalls durch den Schwerpunkt
verläuft.
Das heißt, in dem Moment, wenn sich hier das Gestell nicht bewegt,
wird sich auch der Schwerpunkt nicht bewegen, also der liegt fest, der
hat keine Geschwindigkeit, das war gerade der Fall, wir haben einen
Kreisel.
Man sieht auch, wenn ich jetzt, was war denn das Kardanwinkel,
einführe, eine Drehung um die 1-Achse, dann eine Drehung um die 2
-Achse und zum Schluss die Drehung um die 3-Achse, das war in dem Fall
die Figurenachse, dann kann ich praktisch die Orientierung dieses
bewegten Körpers innen beschreiben.
Und als ersten Effekt wissen wir natürlich alle, der Rahmen, der ist
ja drehbar, wenn ich hier außen ein Gewicht hinhänge, was passiert?
Die Gewichtskraft hat einen Moment bezüglich der Drehachse, also das
Ganze wird verdreht.
Wenn ich jetzt den Rotor mal ein bisschen antreibe,
dann sehen Sie, jetzt wackelt er ein bisschen, aber das ist durch die
Ungenauigkeiten hier, wenn ich jetzt das Gewicht dranhänge, was
passiert?
Dann geht der Rahmen nicht nach unten, stattdessen fängt der Kreisel
sich an zu drehen.
Jetzt haben wir natürlich überall ein bisschen Reibung in unseren
Gelenken und so weiter drin, das heißt mit der Zeit geht es natürlich
trotzdem ein bisschen nach unten, aber Sie sehen, der innere Rahmen,
der ist ja um die Drehachse verdrehbar.
Also wenn ich hier außen angreife, kann ich eigentlich zunächst mal
keinen Moment auf den inneren Rahmen übertragen, zumindest dass der
wieder hoch geht.
Ich kann es auch trotzdem so machen, jetzt habe ich den wieder oben.
Ich könnte das auch festhalten, dann muss ich aber wirklich den
äußeren Rahmen festhalten.
Dann geht es nach unten.
Und was auch schon ein bisschen man sieht, wenn das so ein bisschen
frei sich bewegt, wie gesagt, in dem Fall ist es schwer zu zeigen,
weil auch der Rahmen natürlich, die ganzen Rahmen haben auch eine
Masse, man hat Reibung, man hat natürlich nicht ideale Verhältnisse,
einen freien, starren Körper, wie wir den im Modell sozusagen bei der
Analyse nehmen können.
Die Erde, die wäre vielleicht schon eher geeignet, ist zwar sehr groß,
aber der Nachteil ist eigentlich kein Starkkörper.
Aber trotzdem, solche Bewegungen führen natürlich auch ganz große
Körper aus.
Und man sieht, da gibt es so eine Notationsbewegung, also eine ganze
Menge von Effekten.
Man sieht auch, im Moment dreht sich der Kreisel in der Richtung um
die Figurenachse.
Wenn ich jetzt das Ganze in der Richtung am äußeren Rahmen drehe, dann
sieht man auch, ah gut, jetzt ist die Drehrichtung des Kreisels in
Richtung der vorgegebenen Drehung.
Wenn ich die Drehrichtung umdrehe, dann klappt der nach oben.
Versucht also immer in die Drehrichtung reinzudrehen.
Man sieht auch, sehen tut man das nicht, aber wenn jemand da mal in
der Sprechstunde oben rumspielt ein bisschen, aber seien Sie
vorsichtig, viele Hände zerstören den Kreisel.
Wenn man das so rumdrücken will, dann muss man doch mit einer gewissen
Kraft drücken, sprich einen Moment ausüben, um das zu bewerkstelligen.
Ich versuche es nochmal anzutreiben.
Wie kann man sich jetzt erklären, dass wenn ich die Masse hier
ranhänge, dass das Ganze sich so dreht?
Ganz einfach, aus dieser Masse bzw.
deren Gewichtskraft ergibt sich ja ein Moment.
Und zwar ein Moment um die Achse.
Jetzt muss also die Änderung des Tralls gerade diesem Moment
entsprechen.
Wie kann man sich das vorstellen?
Und wie gesagt, die Rahmen haben natürlich auch einen gewissen
Trallanteil usw.
Wenn wir uns mal auf den inneren Rotor konzentrieren, dann sehen wir,
der dreht sich um die Figurenachse.
Der ist symmetrisch.
Letztendlich wird der Trall in dem Fall, das sehen wir auch noch,
dieselbe Richtung haben wie die Figurenachse.
Das heißt, der Trall dreht sich so, der geht jetzt so rum.
Und wenn die Drehzahl sich des Rotors nicht ändert, dann führt so eine
Drehung trotzdem zu einer Änderung.
Warum?
Weil der Vektor die Richtung ändert.
Und jetzt sehen wir, wenn der Trall als Vektor sich so dreht, dann ist
die zeitliche Änderung ein Vektor, der in der Richtung geht.
Das heißt,
wir haben gesehen, Summe der äußeren Momente ergibt so ein Moment,
muss auch entsprechen der Änderung des Tralls und dann sieht man die
Spitze, die geht hier so rum.
Also die Tralländerung ist immer ein Vektortangential hier und hat
dann die Richtung, dass praktisch, wie gesagt, das Moment dann
kompensiert wird.
Wie gesagt, lässt sich ganz einfach erklären, ist aber natürlich, wenn
man das zum ersten Mal sieht, ein bisschen verwunderlich.
Gibt es soweit Fragen?
Es gibt natürlich auch so langsam, weil, ich habe ja gesagt, wir haben
überall ein bisschen Reibung drin in unseren Gelenken, also diese
Drehachsen, die sind reibungsbehaftet in Wirklichkeit.
Reibungsbehaftet heißt, wenn der große Rahmen sich so dreht, wirkt ein
Moment entgegen.
Und jetzt sehen Sie, wenn ich am großen Rahmen dieses Reibungsmoment
künstlich erhöhe, indem ich das einfach festhalte, dann geht es direkt
runter.
Der innere Rotor verliert nicht viel an Geschwindigkeit.
Ob es das ist, weiß ich nicht, das habe ich jetzt nicht untersucht.
Könnte man ja unten theoretisch das Drehmoment mit irgendwelchen
anderen Dingen anzutreiben.
Da enthalte ich mich jetzt mal der Stimme nach vier Stunden Vorlesung
und zwei, die noch vor mir liegen.
Also wie gesagt, Trick ist der, ich kann das auch wieder hochbringen,
indem ich praktisch ein negatives Reibmoment anbringe.
Also wenn ich das antreibe, heißt es ja, die Reibung wäre negativ in
der Achse.
Und dann geht es hoch.
Aber wenn ich die Reibung erhöhe, indem ich das Moment um die Achse
erhöhe, dann geht es runter.
Letztendlich wird natürlich auch irgendwo Energie transferiert vom
Rotor auf das Übrige.
So, wenn wir jetzt aber den Drall-Satz explizit mal auswerten wollen,
na gut, dann müssen wir einfach den Drall bezüglich S im
Inertialsystem ableiten.
Also dl bezüglich S nach der Zeit ableiten.
Und wir wissen, l bezüglich S, wenn wir beliebige Achsen haben, dann
steht vor dem Exi-Strich,
stehen eine ganze Menge Termine, nämlich drei Stück.
Wir haben gesehen, einfacher wird es natürlich, wenn ich mich auf
Hauptachsen beziehe.
Dann habe ich an der Stelle natürlich den Einheitsvektor Exi in
Richtung der ersten Hauptachse, habe hier als Vorfaktor stehen, Jxi,
Omega -Xi.
Die Koordinate bezüglich E-Eta ist dann J-Eta, Omega-Eta, E-Eta, plus
J -Zeta, Omega-Zeta, E-Zeta.
Und wenn ich jetzt die Ableitung im Inertialsystem will, dann sehe
ich, Exi, E-Eta und E-Zeta sind körperfeste Achsen.
Dann liegt es natürlich nahe, dass ich zunächst mal den Vektor im
körperfesten Bezugssystem ableite, plus noch das Kreuzprodukt.
Also die Ableitung im Inertialsystem wäre dann die Ableitung des Trals
nach der Zeit im körperfesten Bezugssystem, plus eben Omega vom Körper
im Inertialsystem kreuz den Vektor, den wir ableiten, das ist L
bezüglich S.
Das heißt, wenn wir alles über ein Matrizenprodukt machen und die
Koordinaten von L im körperfesten Bezugssystem haben, dann entspricht
die Ableitung im Inertialsystem gerade der Ableitung, Moment, jetzt
haben wir D nach DT von, ich schreibe mal V bezüglich S mal Omega,
das waren ja gerade die Koordinaten des Trals im körperfesten
Bezugssystem, plus eben den Omega kreuz dem Tral, das heißt, das
Kreuzprodukt führen wir dann ebenfalls so aus, dass wir die
Koordinaten von Omega bezüglich denselben Basisvektoren nehmen und
dann den Tral ableiten, das Kreuzprodukt mit dem Tral bilden, der Tral
war aber V bezüglich S multipliziert mit Omega.
Und wir sehen, im körperfesten Bezugssystem ist die Matrix V bezüglich
S diskonstant, gibt also dann V bezüglich S mal der Ableitung der
Matrix, der Koordinaten von Omega nach der Zeit,
plus Omega kreuz dem Tral, das war V bezüglich S multipliziert mit
Omega.
Und das muss ja gerade entsprechen den äußeren Momenten bezüglich dem
Schwerpunkt S.
Und wir haben gesehen, wenn wir Omega bezüglich E Xi, E Eta und E Zeta
mit Omega Xi, Omega Eta und Omega Zeta als Koordinaten nehmen, dann
können wir natürlich all diese Operationen gut ausführen.
Dann sehen wir,
die Ableitung des Trals im körperfesten Bezugssystem ist dann J Xi
Omega Xi Punkt E Xi
plus J Eta Omega Eta Punkt E Eta plus J Zeta Omega Zeta Punkt E Zeta.
Das war jetzt also die Ableitung des Trals bezüglich S nach der Zeit
im körperfesten Bezugssystem, plus eben das Kreuzprodukt E Xi E Eta E
Zeta.
Dann haben wir als nächstes den ersten Vektor, das war das Omega.
Dann haben wir die Koordinaten Omega Xi Omega Eta Omega Zeta.
Und dann haben wir die Koordinaten des Vektors, mit dem das
Kreuzprodukt gebildet werden soll.
Das war das Vi mal Omega, das war also J Xi Omega Xi J Eta Omega Eta J
Zeta Omega Zeta.
Also das entspricht dem Omega Kreuz L bezüglich S.
Und das Ganze muss entsprechen der Summe der äußeren Momente.
Das heißt, die können wir ausdrücken als M Xi E Xi plus M Eta E Eta
plus M Zeta in Richtung von E Zeta.
Und jetzt sehen wir, die Gleichung ist erfüllt, wenn die erfüllt ist
für jede Komponente, also in Richtung von E Xi E Eta und E Zeta.
Sodass letztendlich drei Gleichungen resultieren, die erste in E Xi
Richtung, da haben wir zunächst mal J Xi Omega Xi Punkt.
Dann haben wir in Xi Richtung an der Stelle J Zeta Omega Eta Omega
Zeta.
J Zeta Omega
Zeta Omega Eta, was war das?
Minus J Eta Omega Zeta Omega Eta, also minus J Eta Omega Zeta Omega
Eta.
Ansonsten haben wir nichts in Xi Richtung, nur auf der rechten Seite
gleich M Xi.
Die können wir auch formulieren als J Xi Omega Xi Punkt.
Minus und dann steht eben J Eta minus J Zeta mal
Omega Zeta oder Omega Eta Omega Zeta gleich M Xi.
Bezüglich E Eta haben wir J Eta Omega Eta Punkt.
Und dann haben wir an der Stelle J Xi Omega Xi Omega Zeta minus J Zeta
Omega Xi Omega Zeta.
Das sehen wir, da brauchen wir eigentlich in der Gleichung nur noch
zyklisch vertauschen.
Das ergibt also minus J Zeta minus J Eta mal Omega Zeta Omega Xi und
rechts steht dann M Eta.
Und als letzte Skalaregleichung entsprechend J Zeta Omega Zeta Punkt
minus, und hier ergibt sich eben J Xi, minus J Zeta Omega Xi Omega
Eta gleich M Zeta.
Also drei Skalaregleichungen und zwar als Differentialgleichungen für
die Koordinaten von Omega Xi, Omega Eta und Omega Zeta.
Das sind die sogenannten Euler'schen Kreiselgleichungen.
Drei Skalaregleichungen.
Nun als Bezugspunkt haben
wir dann für das J Xi, das J Eta bzw.
das J Zeta entweder den Schwerpunkt,
das war S, oder eben den raumfesten Punkt O.
Als Student sind einem die ein bisschen suspekt, hätte ich jetzt fast
mal vermutet.
Wie soll ich sagen, wenn man mal ein paar Wochen vergangen hat, dann
scheinen die kompliziert zu sein und wo kommen die nochmal her?
Das Prinzip ist ganz einfach.
Ich will nur den Trallsatz anwenden.
Um den Trallsatz anzuwenden, brauche ich den Trall.
Den Trall, den muss ich eigentlich am besten bestimmen bezüglich
körperfester Basisvektoren.
Dann kann ich nämlich die Trägheitseigenschaften des Körpers bezüglich
einer Drehung über eine Matrix darstellen.
Und da muss ich wissen, wenn ich es ganz einfach haben will, dann muss
ich eben Hauptachsen einführen.
Weil dann ist die Trägheitsmatrix eine Diagonalmatrix.
Und die Koordinaten des Tralls sind einfach gegeben durch die
entsprechenden Massenträgheitsmomente.
Wir sehen es ja da oben.
Mulimitiert mit den jeweiligen Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit.
Und da muss ich nur noch das ableiten im Inertialsystem nach der Zeit.
Und gleichsetzend mit den äußeren Momenten bezüge ich demselben
Bezugspunkt.
Das Problem ist dann die Zeitableitung im Inertialsystem.
Ich habe jetzt nämlich die Koordinaten des Tralls in bewegten
Einheitsvektoren, also muss ich noch das Kreuzprodukt berücksichtigen.
Und wenn ich das eben konsequent durchziehe, kommen ganz automatisch
diese nicht-linearen Differentialgleichungen für Omega Xi, Omega Eta
und Omega Zeta heraus.
Und jetzt können wir vielleicht auch erahnen, ich hatte, als es um die
Orientierung von einem starren Körper ging, gesagt, ja gut, wenn wir
irgendwie Momente haben, die auf den Körper wirken, dann führt das zu
Winkelbeschleunigungen.
Beziehungsweise zu zweiten Ableitungen der Eulerwinkel.
Wir können es aber auch so auffassen, dass wir sagen, na gut, einmal
haben wir die Eulerwinkel, dann haben wir die Ableitungen der
Eulerwinkel, aber die Eulerwinkel und die Ableitungen der Eulerwinkel,
die hängen mit den Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit zusammen.
Nämlich, wenn wir die Koordinaten bezüglich körperfester
Einheitsvektoren von der Winkelgeschwindigkeit nehmen.
Und jetzt sehen wir, bei einer gegebenen Belastung, sprich bei
gegebenen Momenten, erhalten wir jetzt Differentialgleichungen erster
Ordnung für die Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit.
Die können wir formal einmal hoch integrieren.
Die sind zwar nicht-linear, aber numerisch könnten wir das
wahrscheinlich machen.
Dann haben wir also zu einem Zeitpunkt die
Winkelgeschwindigkeitskoordinaten.
Jetzt wollen wir aber zum Beispiel die Eulerwinkel, um die
Orientierung dann darzustellen und zu kennen.
Also müssen wir dann die Ableitungen der Eulerwinkel bestimmen in
Abhängigkeit dieser Winkelgeschwindigkeitskoordinaten.
Und das war genau da, wo ja unter Umständen, je nach Orientierung,
sich Singularitäten ergaben.
Also deshalb dort der Hinweis auf die Singularitäten.
Ich habe gesagt, zyklisch vertauschen, dann wird natürlich aus Zeta
Xi, aus Eta wird Zeta und aus Xi wird Eta.
Hat es zyklisch richtig vertauscht?
Ach, wo?
Wo habe ich es falsch?
Ach, dann wird es hier, dann ist da ein... Moment.
Da wird aus dem Xi ein Eta, genau.
Danke.
Also im Skript, also da stimmt es aber.
Aus Eta wird Zeta, aus Zeta wird Xi, aus Zeta wird Xi, aus Xi wird
Eta.
Wird noch was zu monieren?
Also im Skript hat es gestimmt, aber wie gesagt, wenn man an der Tafel
steht.
Ich habe ja gesagt, nach vier Stunden Vorlesungen, da kann die
Konzentration ein bisschen sinken.
Wenn man gleichzeitig spricht, denkt und liest.
Gibt es weitere Fragen?
Also wir halten mal fest.
Das sind nicht lineare,
gekoppelte Differentialgleichungen.
Zur Bestimmung der Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit.
Wer von Ihnen hat schon mal numerisch integriert?
Einer?
Das ist an der Stelle ein bisschen die Schwierigkeit, weil solche
nicht linearen Differentialgleichungen, Sie haben ja jetzt
wahrscheinlich in der Mathematik schon Differentialgleichungen
gehandelt.
Das meiste geht über lineare Differentialgleichungen.
Und sehr einfach wird es, wenn man konstante Koeffizienten hat und
lineare Differentialgleichungen.
Ein bisschen komplizierter wird es, wenn man lineare
Differentialgleichungen hat, aber nicht mehr konstante Koeffizienten.
Und dann weiß man aus der Mathematik, es gibt so und so viele linear
unabhängige Lösungen, je nach Ordnung der Differentialgleichung, all
die Dinge.
Das heißt aber nicht, dass man auch für jede Differentialgleichung
explizit eine formelmäßige Lösung kennt.
Das wird in den wenigsten Fällen oder in den wenigsten Beispielen der
Fall sein.
Es gibt immer besondere Differentialgleichungen, wo man dann Lösungen
hat, zumindest formal.
Wie man dann die Lösung auch numerisch bestimmt, wenn man die formal
kennt, das ist ja die andere Frage.
Wer von Ihnen kennt Besselfunktionen, Zylinderfunktionen, hat schon
mal was davon gehört?
Kommt wahrscheinlich in der Mathematik auch vor, oder?
Vergisst man als Student wieder relativ schnell, aber wenn man später
auch in der Mechanik irgendwelche Probleme hat, Wellenausbreitung in
einem Zylinder und solche Dinge, dann kommt man relativ schnell auf
Besselfunktionen.
Gut, die schreiben sich fast so gut wie die trigonometrischen
Funktionen der Sinus und der Kosinus.
Auch dort gibt es dann solche Theoreme, wie man da irgendwelche Dinge
zusammenhängt.
Ähnlich wie Sinusquadrat plus Kosinusquadrat gleich eins.
Bei Sinusüberpolikus und Kosinusüberpolikus gibt es ja das auch.
Die andere Frage ist dann wieder, wie man zum Beispiel den Wert einer
Besselfunktion bei gegebener Ordnung und bestimmtem Argument bestimmt.
Wie macht man das?
Wissen Sie nicht?
Deshalb hat man wahrscheinlich auch ein bisschen Angst vor
Besselfunktionen.
Wie sieht es aus bei trigonometrischen Funktionen?
Und wenn Sie eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung haben, x2
Punkt plus x gleich 0, dann wird sofort die Lösung gegeben durch
irgendwas mit Sinus t plus irgendwas mal Kosinus t.
Aber den Sinus und den Kosinus zu einem bestimmten Zeitpunkt zu
bestimmen, dann wird es heute leichter, drücken wir auf den
Taschenrechner.
Aber letztendlich muss der Taschenrechner auch numerische Werte
generieren, also auch da kriegt man die Lösung letztendlich nur
nährungsweise.
Und wie gesagt, viele lineare Differenzialgleichungen, da kennt man
dann vielleicht noch die formelmäßige Lösung, wenn man aber das für
bestimmte Werte haben will, tut man sich wieder schwer oder braucht
irgendwelche Tabellen, wo das mal irgendjemand gemacht hat.
Bei solchen nicht linearen Differenzialgleichungen, da bleibt
praktisch immer nur noch, außer wenn man Nährungsverfahren verwendet,
die numerische Integration.
Funktion, auch das ist eine Nährungslösung, wo ich praktisch immer so
die Funktion anstückele, immer um bestimmte kleine Zeitintervalle, in
dem Fall, wenn ich Ableitungen nach der Zeit habe.
Und um irgendein technisches System untersuchen zu können, brauche ich
natürlich auch Lösungen.
Da aber wir hier in der Vorlesung Bewegungsgleichungen herleiten, aber
nicht die Mathematik zum Lösen machen können, bleibt das an der Stelle
immer ein bisschen trocken für die Studenten, weil man ja da nichts
sieht.
Jetzt im Dynamics Lab, da haben sie mal so ein Beispiel, glaube ich,
wo auch ein bisschen was integriert wird, wo man dann auch sieht, wie
wirkt sich das aus.
Aber für die normale Vorlesung geht das ein bisschen zu weit.
Im Laufe der Vorlesung, am Ende unserer Herleitungsorgie von
Bewegungsgleichungen, wir werden noch verschiedene Verfahren
kennenlernen, führe ich das auch mal im Prinzip vor, wie man das so
machen kann.
Und ein Beispiel, aber nur, dass man praktisch sieht, wenn ich die
Bewegungsgleichung habe, dann hört meine Arbeit noch lange nicht auf.
Ich muss ja das System analysieren, ansonsten nützt mir eine
Bewegungsgleichung relativ wenig.
Das Problem ist, wenn ich das System anhand einer Bewegungsgleichung
analysieren will, dann brauche ich auch eine Bewegungsgleichung, die
möglichst mit der Wirklichkeit übereinstimmt.
Das heißt, ich brauche erstens mal ein physikalisches Modell, was das
genügend abbildet.
Das ist immer so ein Problem, was man als Student schlecht lernen
kann, weil das viel Erfahrung erfordert.
Man sollte ein Modell so einfach wie möglich machen und so kompliziert
wie nötig, damit ich damit auch all die Dinge erklären kann, die ich
beobachte.
Und wenn ich eben dann das physikalische Modell habe, muss ich
mithilfe meiner Axiome, Impulssatz und Trallsatz, entsprechende
Gleichungen herleiten.
Und wenn ich da falsche Gleichungen herleite, dann kann ich danach
viel analysieren.
Das könnte ich mir dann natürlich auch schenken.
Und deshalb brauchen wir erst mal richtige Bewegungsgleichungen,
möglichst einfach hergeleitet.
Und wie gesagt, die Lösung dann und was das für...
Sie sehen, in dem Fall wäre es natürlich so, ich könnte natürlich eine
Bewegung vorgeben, also irgendwie die
Winkelgeschwindigkeitskoordinaten als Funktion der Zeit und schaue
dann, was heißt das für meine Momente, die dann von dem System zum
Beispiel auf die Umgebung wirken.
Auch das kann wichtig sein.
Das ist vielleicht ein Schritt, den man einfacher machen kann.
Kleine Anmerkung.
Denn manchmal erfolgt eine Auswertung des
Trallsatzes in
einem bewegten,
aber nicht körperfesten Bezugssystem.
Und als Beispiel können wir gerade den Kreisel nehmen, da sehen wir,
wir haben eine Symmetrieachse.
Das heißt, wenn wir die Trägheitsmatrix dieses Rotors in dem
rahmenfesten Bezugssystem aufstellen, ist es auch eine Konstante.
Weil er dreht sich zwar hier, aber die Massenträgheitsmomente für eine
Achse in die Richtung und für eine Achse quer dazu, körperfest, sind
dieselben.
Das heißt, ich kann jede beliebige Achse nehmen.
Insofern ergibt sich auch in dem Falle eine Diagonalstruktur für die
Trägheitsmatrix, wenn ich nicht körperfestes Bezugssystem, sondern
rahmenfestes Bezugssystem habe.
Dann kann ich natürlich die Winkelgeschwindigkeit im rahmenfesten
Bezugssystem aufstellen.
Ich kann die Trägheitsmatrix im rahmenfesten Bezugssystem aufstellen
und letztendlich den Trall im rahmenfesten Bezugssystem bestimmen.
Die Ableitung des Tralls nach der Zeit im Inertialsystem ist
dann aber die Ableitung des Tralls nach
der Zeit im bewegten, nichtkörperfesten Bezugssystem, das nenne ich
jetzt mal R, vom Rahmen- oder Relativsystem, plus jetzt eben, was
müssen wir jetzt einsetzen?
Jetzt müssen wir die Winkelgeschwindigkeit vom Rahmen bezüglich dem
Inertialsystem einsetzen,
kreuz dem Trall.
Erinnern Sie sich an unsere Formel, die wir das letzte Semester bis
zum Exzess betrieben haben, die Ableitung eines Vektors in einem
Bezugssystem ist die Ableitung des Vektors in einem anderen
Bezugssystem, plus Omega von dem Bezugssystem, in dem wir jetzt
zunächst ableiten, bezüglich dem Bezugssystem, in dem die Ableitung
gebildet werden soll, kreuz den Vektor, den wir ableiten.
Und jetzt sehen wir, der Trall, für den brauchen wir die
Winkelgeschwindigkeit des Rotors, das Omega von R in I ist aber die
Winkelgeschwindigkeit des Rahmens.
Also die können sich unterscheiden, in dem Fall unterscheiden die sich
durch die Drehung um die Figurenachse.
Also zum Beispiel bei einem symmetrischen Körper.
So, ohne das jetzt genau auszuführen, wissen wir...
Ich kann natürlich die Koordinaten meiner Winkelgeschwindigkeit mit
Eulerwinkel ausdrücken.
Also Euler'sche Kreiselgleichungen mithilfe Euler'scher Winkel.
Das war Drehung 3, 1, 3 Achse.
Dann hat man gesehen, das Omega Xi ist dann das Xi-Punkt Sinus-Theta
-Sinus -Phi plus Theta-Punkt Cosinus-Phi.
Das Omega Eta ist dann Xi-Punkt Sinus-Theta mal dem Cosinus-Phi minus
dem Theta-Punkt Sinus-Phi.
Und das Omega Theta dann Xi-Punkt Cosinus-Theta plus Phi-Punkt.
Das bedeutet, die Ableitungen der Koordinaten der
Winkelgeschwindigkeit kann man damit relativ schnell bestimmen.
Omega Xi-Punkt ist dann eben...
Also Xi-Zwei-Punkt Sinus-Theta-Sinus-Phi plus Xi-Punkt-Theta-Punkt
-Cosinus -Theta-Sinus-Phi plus Xi-Punkt-Phi-Punkt-Sinus-Theta-Cosinus
-Phi.
Und dann müssen wir an der Stelle noch die Produktregel anwenden, also
es gibt relativ viele Terme.
Damit Mabel können Sie das gleich machen, können das alles einsetzen.
Es gibt also letztendlich eine Differenzialgleichung, in der Xi-Zwei
-Punkt und Theta-Zwei-Punkt drinstehen.
Es stehen aber auch Produkte von Zeitableitungen der Winkel drin.
Und auch von dem Omega-Xi-Punkt kommen Produkte von Zeitableitungen
der Winkel hinzu.
Und wie gesagt, das ist dann einfach einsetzen.
All das einsetzen.
Das können Sie mit Mabel leicht machen.
Mit Bleistiftpapier wird es ein bisschen aufwendig, spare ich mir hier
an der Tafel, mache ich nur Gleichzinsfehler.
Ich kann natürlich auch hergehen und Kreiselgleichungen in
Eulerschen Winkeln oder Eulerschen Winkel
so darstellen, dass ich das in E1 Strichrichtung
E3 Strich Moment
E3 Strich und E3 E3 war ja die Figurenachse letztendlich in unserem
Beispiel.
Und zwar, wir haben gesehen, hinter dem Ganzen steckt eine vektorielle
Gleichung.
Ich habe ja Komponente in Xi, Komponente in Eta und Komponente in Th
Richtung.
Ich kann natürlich hergehen und diese Vektorgleichung, die ganz
allgemein als Vektorgleichung dasteht, ohne irgendwelche Bezugsachsen
dann Skalar multiplizieren mit E1 Strich, dann kriege ich die
entsprechenden Koordinaten der Größen in E1 Strichrichtung aus.
Und das muss natürlich erfüllt sein.
Dann kann ich das Skalar mit E3 Strich multiplizieren, gibt auch eine
entsprechende Gleichung.
Und dann in E3 Richtung und ganz klar, linker Vektor gleich rechter
Vektor ist erfüllt, das gilt für drei Richtungen, also wenn ich mir
drei Richtungen wähle, die nicht linear abhängig sind.
Das steckt letztendlich dahinter.
Also ich kann das formulieren in E1 Strichrichtung, E3 Strich und E3
Richtung.
Und wenn man das noch macht für einen Sonderfall, also hier
Sonderfall symmetrischer Kreisel, was bedeutet Jxi gleich Jeta gleich
B und Jzeta gleich A, wie bei uns auch, Figurenachse ist die
Zetaachse, dann sind die Massenträglichkeitsmomente um die Querachsen,
die sind identisch.
Um die dritte Achse ist das natürlich verschieden.
Und dann ergibt sich eben entsprechend B mal Theta zwei Punkt plus,
und ich schreibe das jetzt einfach ab, A mal Phi Punkt plus A minus B
Psi Punkt Cosinus Theta mal Psi Punkt Sinus Theta gleich Mx Strich,
also im Moment um die Eins Strich Achse, dann als nächstes die
Ableitung von B Psi Punkt Sinus Quadrat Theta plus A und dann haben
wir drin stehen Phi Punkt plus Psi Punkt Cosinus Theta multipliziert
mit Cosinus Theta, das Ganze abgeleitet nach der Zeit, gleich das
Moment um die Z Strich Achse, und die letzte Gleichung, nämlich die
Bilanz um die Figurenachse, die E3 war ja die Zetaachse, ergibt dann A
mal Phi Punkt plus Psi Punkt Cosinus Theta, und die runde Klammer
nochmals nach der Zeit abgeleitet, ergibt M Theta, das war im Moment
um die Figurenachse.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann wissen wir, gut, für den Arbeitssatz und solche
Dinge, und auch später, wenn wir irgendwann mal vielleicht die
Lagrangian -Gleichungen zweiter Art verwenden wollen, um
Bewegungsgleichungen herzuleiten, da brauchen wir Energieausdrücke,
wir brauchen dann auch die kinetische Energie, deshalb, wie sieht es
aus für die kinetische Energie?
Und für eine ebene Bewegung war das sehr einfach, das war ein Halb mal
Masse mal Schwerpunktgeschwindigkeit zum Quadrat plus ein Halb mal
Massenträgheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt mal Omega
Quadrat.
Jetzt haben wir allerdings eine allgemein räumliche Bewegung, das
heißt, wenn wir wieder unseren Körper betrachten, dann können wir da
ein Massenelement dm herausgreifen,
und wir haben einen Bezugspunkt A irgendwo auf dem Körper, sodass wir
sehen, den Ortsvektor zum Massenelement, den können wir darstellen aus
Ortsvektor zum Punkt A plus eben den Relativvektor, also hier haben
wir den Ursprung für den Ortsvektor, an der Stelle das Ra, hier das R
von A zu einem beliebigen Punkt, und wir wählen jetzt mal eben nicht
unbedingt den Schwerpunkt als Bezugspunkt, sondern einen beliebigen
Bezugspunkt A und wissen, die differenziell kleine kinetische Energie
dieses Massenelementes ist einfach ein Halb mal das Massenelement mal
V Quadrat, und für die gesamte kinetische Energie müssen wir über alle
Massenelemente aufsummieren, sprich integrieren,
also T ist ein Halb, Integral über alle Massenelemente, V Quadrat dm,
wir hatten das heute schon mal angegeben, V ist aber gerade die
Geschwindigkeit des Bezugspunktes, das war Va,
plus die Ableitung des Relativvektors im Inertialsystem, nun im
körperfesten Bezugssystem ist der Relativvektor konstant, die
zeitliche Ableitung also Null, was also übrig bleibt beim Zeitableiten
im Inertialsystem ist das Omega,
Kreuz RAP, das müssen wir quadrieren, dm,
also ergibt ein Halb, und jetzt sehen wir das Quadrat, das können wir
so ausführen, das ergibt zum einen Va Quadrat dm,
dann haben wir zweimal das Kalarprodukt von Va mit dem Kreuzprodukt,
zweimal ein Halb gibt also den Faktor 1, das heißt Integral über die
gesamte Masse, und dann haben wir da drin stehen Va, Skalar
multipliziert mit dem Kreuzprodukt von Omega und RAP,
dm plus eben ein Halb, mal dem Integral und dann haben wir das
Kreuzprodukt zum Quadrat,
wir sehen die Geschwindigkeit des Bezugspunktes a, das ist dieselbe
für alle Massenelemente, das können wir wieder aus dem Integral
rausziehen, das ergibt also Gesamtmasse des Körpers mal Va Quadrat,
also letztendlich ein Halb mal Gesamtmasse des Körpers mal
Va Quadrat,
an der Stelle können wir das Va, weil das unabhängig davon ist,
welches Massenelement wir betrachten, können wir vor das Integral
ziehen, dann haben wir das Kalarprodukt von Va mit dem Integral über
Omega Kreuz RAP, dann sehen wir, dann können wir auch das Omega noch
aus dem Integral rausziehen, weil auch das nur noch vom Körper
abhängt, nicht aber vom einzelnen Massenelement, es gibt also Va,
Skalar multipliziert mit Omega Kreuz dem Integral RAP dm, Moment, ja
doch, plus, und jetzt haben wir hier hinten ein Halb Integral über die
gesamte Masse, dann haben wir drin stehen Omega Kreuz RAP Quadrat dm,
das heißt insgesamt ein Halb,
m Va Quadrat Integral RAP dm, was war das?
Auch das hatte ich heute schon mal dastehen im ersten Teil, im ersten
Block, das war Gesamtmasse des Körpers mal dem Vektor von a zum
Schwerpunkt.
Also dieses Integral ist gerade R von a nach s mal der Gesamtmasse m,
die Gesamtmasse als Skalargröße können wir praktisch rausziehen, dann
haben wir m mal Va, Skalar multipliziert mit Omega Kreuz R von a nach
s, plus,
jetzt müssen wir aufpassen,
das Omega Kreuz RAP, Skalar multipliziert mit Omega Kreuz RAP, ergibt
nämlich, das besagt die Mathematik im Gerade, das Skalarprodukt von
Omega mit RAP Kreuz Omega Kreuz RAP,
ich lasse das an der Stelle mal so stehen, sonst kriege ich es nicht
mal dahin, also Integral ein Halb mal m, Omega Kreuz RAP Quadrat dm,
und jetzt sehen wir, im Grunde genommen haben wir an der Stelle
einfach das Integral mit dem Faktor ein Halb, das gibt ein Halb mal
Integral hier rüber integriert, dm, das gibt aber gerade ein Halb mal,
und das Omega, das kann ich jetzt aus dem Integral wieder rausziehen,
Omega, Skalar multipliziert mit dem Integral RAP Kreuz Omega Kreuz
RAP, dm,
das Integral über das doppelte Kreuzprodukt dm, das hatten wir heute
schon bestimmt, was war das?
Das war der Drall.
Also das war der Drall bezüglich A,
bzw.
der Dreckheitstensor bezüglich A, Skalar multipliziert mit Omega,
sodass sich insgesamt ergibt, T gleich ein Halb mal Masse mal VA
Quadrat, plus Masse mal VA Skalar multipliziert mit dem Kreuzprodukt
von Omega mit dem Vektor RAS,
plus eben ein Halb mal Omega Skalar mit L multipliziert, oder an der
Stelle hätten wir auch schreiben können, ein Halb mal Omega Skalar mit
dem Dreckheitstensor Skalar mit Omega.
Da muss man jetzt ein bisschen aufpassen, das ist nicht ein Halb mal
Dreckheitstensor mal Omega Quadrat, sondern man muss einmal von links
das Skalarprodukt bilden und einmal von rechts.
Dementsprechend können wir das vielleicht als Translationsenergie
bezeichnen, das rechte als Rotationsenergie und
das mittlere als Koppelenergie oder Wechselenergie.
Und das sieht, wenn man sich das merken will, zunächst mal ein
bisschen kompliziert aus.
In meinem Alter bzw.
als Student will man das immer sehr prägnant haben.
Das kriegt man auch, wenn wir
A, den Bezugspunkt, gerade den Schwerpunkt nehmen.
Dann sehen wir, die kinetische Energie ergibt sich dann zu ein Halb
mal Masse.
A war ja S, also Schwerpunktgeschwindigkeit zum Quadrat.
Plus M mal Vs, das wäre noch ungleich Null, Skalar multipliziert.
Und das Kreuzprodukt haben wir dann von Omega mit dem Vektor von S
nach S, das ist der Nullvektor.
Also letztendlich fällt dann die Koppelenergie weg.
Und was noch bleibt, ist ein Halb mal dem Skalarprodukt von Omega mit
L bezüglich S.
Oder eben ein Halb-Omega-Skalar mit dem Schrägheitstensor bezüglich S.
Das habe ich jetzt oben vergessen.
Das müsste jeweils L und I bezüglich dem Bezugspunkt A sein.
Bei A gleich S wird es L bezüglich S, bzw.
im oberen Term ein Halb-Omega-I bezüglich S-Skalar mit Omega.
Man sieht, es lässt sich wieder relativ leicht merken.
Wenn wir als Bezugspunkt einen festen Punkt wählen,
zum Beispiel bei einem Pendel,
dann sehen wir, die Geschwindigkeit von A ist dann Null, also die
Translationsenergie entfällt.
Damit entfällt auch die Koppelenergie.
Was übrig bleibt, ist kinetische Energie gleich ein Halb mal Omega mal
den Drall bezüglich dieses festen Punktes.
L bezüglich O, das war ja gerade wieder Schrägheitstensor bezüglich O
mal Omega.
Wenn wir die Rotationsenergie auswerten,
dann machen wir das natürlich ebenfalls am besten bezüglich
körperfester Achsen.
Dann wissen wir ja gut, die Xi-Strichkoordinate von L, die ist relativ
kompliziert, die enthält drei Therme.
Das wird multipliziert mit Omega-Xi.
Die Eta-Strichkoordinate von L enthält ebenfalls drei Therme, wird
multipliziert mit Omega-Eta-Strich.
Und die Zeta-Strichkoordinate wird multipliziert mit Omega-Zeta
-Strich.
Das ergibt insgesamt ein Halb.
Und jetzt bleibt stehen, J-Xi-Strich Omega-Xi-Strich-Quadrat.
Also J-Xi entspricht dem J-Xi-Strich, also J-Xi-Strich war bei uns im
ersten Block J-Xi-Strich-Xi-Strich.
Ich lasse jetzt mal die Doppelindizierung bei den Diagonalelementen
weg.
Plus dann eben J-Eta-Strich Omega-Eta-Strich-Quadrat.
Plus J-Zeta-Strich Omega-Zeta-Strich-Quadrat.
Plus, und jetzt kommen die gemischten Therme der Koordinaten der
Winkelgeschwindigkeit, nämlich J-Xi-Strich-Eta-Strich Omega-Xi-Strich
-Omega -Eta-Strich.
Dann tritt aber noch ein Term hinzu, Omega-Xi-Strich Omega-Eta-Strich
mit J-Eta-Strich-Xi-Strich.
Das war aber identisch mit J-Xi-Strich-Eta-Strich, deshalb steht hier
vorne der Faktor 2.
Und dann können wir ebenfalls für die anderen gemischten Therme
jeweils zwei zusammenziehen.
Gibt dann zweimal J-Xi-Strich-Zeta-Strich Omega-Xi-Strich-Omega-Zeta
-Strich.
Plus eben zweimal J-Eta-Strich-Zeta-Strich und dann haben wir Omega
-Eta -Strich-Omega-Zeta-Strich.
Und man sieht, auch hier wird es natürlich wieder einfach, wenn wir
uns nicht auf x-beliebige Achsen beziehen, sondern auf Hauptachsen.
Also bei Bezug auf Hauptachsen haben
wir eben die Bezeichnung Xi, Eta und Zeta und erhalten für die
Rotationsenergie entsprechend ein Halbmal.
Die Deviationsmomente sind ja dann gerade Null, also ergibt sich J-Xi
Omega -Xi-Quadrat plus J-Eta Omega-Eta-Quadrat plus J-Zeta Omega-Zeta
-Quadrat.
Und Arbeits- und Energiesatz und all die Dinge, die gelten natürlich
unverändert.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann betrachten wir jetzt zunächst mal den kräftefreien
Kreisel.
Und was heißt ein kräftefreier Kreisel?
Wenn wir die Gleichungen anschauen, sehen wir, das bedeutet einfach,
dass die entsprechenden Momente verschwinden, also auf den Körper kein
äußeres Moment wirkt.
Also Kreisel, wenn äußeres Moment fehlt,
oder äußere Momente fehlen,
dann erhalten wir aus dem Drallsatz zunächst mal die Beziehung, dass
ja L bezüglich einem Bezugspunkt abgeleitet nach der Zeit im
Inertialsystem war gerade Summe der äußeren Momente.
Wenn keine Momente wirken, muss das also gerade Null sein.
Man sieht,
das können wir formal direkt hoch integrieren, der Drall bezüglich O
muss dann konstant sein.
Also L bezüglich O ist dann konstanter Vektor.
Konstanter Vektor heißt,
er ändert weder die Richtung noch den Betrag.
Wenn wir jetzt zurückdenken, was ich im ersten oder zweiten Block
erwähnt habe, dass ja Drall und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen
verschiedene Richtungen haben.
Und praktisch der Drall von der Winkelgeschwindigkeit abhängt.
Dann sieht man, wenn der Drall konstant ist und nicht die Richtung
ändert, dann passiert vielleicht was mit der Winkelgeschwindigkeit.
Bevor wir vielleicht tiefer einsteigen, Maschinenbauer lieben immer
das Auto.
In dem Fall ist es egal, ob wir da jetzt einen Verbrennungsmotor haben
oder einen Elektromotor.
Weil, wenn sich was dreht, ist es oft auch das Rad.
Und werden gesagt, ja gut, ausbuchten von einem Rad, wenn das nicht
ausgebuchtet ist, dann kann es Schleudermomente geben und so weiter.
Also, wenn der Reifen oder das Rad so eine Massenbelegung hat oder
solche Trägheitseigenschaften, dass praktisch die Richtung der
Drehachse mit einer Hauptachse zusammenfällt, was passiert dann?
Na gut, die Winkelgeschwindigkeit hat nur eine Komponente in Richtung
der Drehachse.
Dann wird also der Drall ein Vektor sein, der natürlich eine andere
Dimension hat, aber letztendlich in die gleiche Richtung geht.
Also das wäre so ein Sonderfall, dass Drall und Winkelgeschwindigkeit
dieselbe Richtung haben.
Gut, und dann kann sich das Rad drehen.
Wir brauchen keine äußeren Momente.
Der Drall ist ja dann konstant.
Wenn jetzt aber die Winkelgeschwindigkeit in Richtung der Achse des
Rades zeigt und wir Deviationsmomente haben, dann sehen wir, jetzt
weiß ich nicht, haben wir es irgendwo angeschrieben oder nicht, man
kann sich es aber vorstellen, dann hat der Drallvektor Komponenten in
allen drei Richtungen.
Nicht nur in Richtung der Drehachse, sondern auch quer dazu.
Das heißt, wenn das meine Drehachse ist, dann steht der Drallvektor
schief dazu.
Das Rad dreht sich, also wird sich in dem Fall der Drallvektor,
beziehungsweise die Spitze, um die Drehachse drehen.
Was heißt das?
Denkt man das zurück?
Um den Drallvektor ständig zu ändern, brauche ich ein äußeres Moment.
Und das ist genau das, was letztendlich von der Aufhängung des Reifens
oder des Rades auf das Rad ausgeübt werden muss.
Dementsprechend wirkt ein Trägheitsmoment auf das Auto.
Und das ist genau das, was Sie dann spüren, wenn der Reifen nicht
ausgewuchtet ist, was Ihnen das Lenkrad letztendlich so ein bisschen
zum Vibrieren bringt.
Also auswuchten bedeutet in der Mechanikersprache, lege den
Schwerpunkt auf die Drehachse des Reifens oder des Rades, weil sonst
muss der Schwerpunkt eine Kreisbewegung machen, dazu muss er ständig
beschleunigt werden, führt zu Lagerkräften.
Wenn der Schwerpunkt auf der Drehachse liegt, musst du aber
gleichzeitig die Drehachse zur Hauptachse machen.
Eigentlich ganz einfach.
Ich frage mich immer, ob das dem Monteur in der Werkstatt genauso
bewusst ist.
So.
Nun, wir haben gesehen, bei körperfesten Hauptachsen,
da ist der Drall bezüglich O gegeben durch J-XI,
Omega -XI in XI-Richtung, plus J-Eta, Omega-Eta,
E -Eta, plus J-Zeta, Omega-Zeta in Zeta-Richtung.
Jetzt können wir verschiedene Fälle unterscheiden, nämlich gewisse
Sonderfälle.
Einfachster Fall,
Omega geht in Richtung einer Hauptachse,
zum Beispiel in Richtung E-Zeta.
Das bedeutet, Omega-Xi ist 0 und Omega-Eta ist 0.
Damit ist auch L-Xi 0 und L-Eta 0.
Somit ist L
-Xi bezüglich O konstant.
Moment, L-Zeta war es.
L-Zeta bezüglich O muss konstant sein.
Das war aber gerade J-Zeta, Omega-Zeta und wir sehen, J-Zeta ist eine
Konstante.
Damit es konstant ist, muss Omega-Zeta konstant sein.
Man sieht, in dem Fall dreht der Körper um die Hauptachse.
Die Hauptachse ändert sich nicht und die Winkelgeschwindigkeit um die
Hauptachse, in dem Fall um die Zeta-Achse, die bleibt auch konstant.
Wenn man mal so einen starren Körper betrachtet, dann sehen wir, ich
habe gesagt, wir haben hier drei Hauptachsen.
Wenn ich den hochwerfe und eine Momentbilanz bezüglich dem Schwerpunkt
mache, dann sehe ich, das ist wirklich entkoppelt.
Es wirkt zwar auf den Körper die Gewichtskraft, aber das führt nur zu
einer beschleunigten Bewegung des Schwerpunktes.
Für die Drehung ist die Gewichtskraft, in dem Fall ein homogenes
Gravitationsfeld, belanglos.
Das heißt, wenn ich jetzt den in die Drehung versetze um diese
Hauptachse, dann wird die konstant sein, sofern wir das beobachten
können.
Ich kann das auch machen um die Hauptachse.
Bisschen schwer zu werfen, aber man akzeptiert, dass es scheint
konstant zu bleiben.
Wenn wir das um die Achse machen, dann scheint man das nicht mehr so
zu akzeptieren, oder?
Was passiert denn da?
Und da sehen wir, eigentlich kommt bei uns raus, die Drehung um diese
Achse sollte konstant sein,
bleibt sie aber scheinbar nicht.
Wenn ich mich mal ganz arg anstrenge, ich glaube nur in Sonderfällen,
ein bisschen hat man es gesehen, am Anfang ging es noch, was steckt
dahinter?
Und dahinter steckt, Drehungen um eine Hauptachse mit einer konstanten
Windgeschwindigkeit sind möglich.
Also das würde jetzt für verschwindende Momente alle drei nicht
-linearen Differenzialgleichungen erfüllen.
Wenn man jetzt beachtet, dass die Massenträgheitsmomente um die
unterschiedlichen Hauptachsen unterschiedlich groß sind, dann zeigt
sich, jetzt muss man den nächsten Schritt gehen.
Ich untersuche jetzt solche Lösungen, die möglich sind, die die nicht
-linearen Differenzialgleichungen erfüllen, auf Stabilität.
Sonst sind wir immer gewohnt, Pendel nach unten ist stabil, Pendel
nach oben, das Pendel ist instabil, oder?
Ja oder nein?
Also, Pendel nach unten heißt Pendel stabil, Pendel nach oben heißt
Pendel instabil.
Stimmt jeder zu?
Ja, aber sehen Sie, nicht das Pendel ist stabil oder instabil, weil
das Pendel kann ja nicht gleichzeitig stabil und instabil sein,
sondern wir können eigentlich immer nur über die Lösung sprechen, also
die Lösung, Pendel hängt nach unten, die ist stabil, die Lösung,
Pendel steht nach oben, die ist instabil.
Das heißt aber nichts über die Stabilität von einem System, sondern
immer nur von den Lösungen.
Ähnlich ist das hier auch und es zeigt sich, das machen wir ja nicht,
Stoff von weiterführenden Vorlesungen, wenn man die möglichen
Lösungen, Drehung mit konstanter Drehzahl um einen der Hauptachsen
untersucht auf Stabilität, dann sind die Drehungen um die Hauptachsen
mit größtem und kleinstem Massenträgheitsmoment, die sind stabil, die
Drehung um eine Achse mit dem mittleren Massenträgheitsmoment, die ist
instabil.
Das heißt, wenn ich da eine kleine Störung habe, dann klingt die
sofort auf und führt anscheinend zu einer wilden Bewegung,
letztendlich liegt das an der Stabilität.
Weil ich es nicht schaffe, wenn ich jetzt das schaffen würde, oder
wenn ich eine Maschine bauen würde, die mir das ideal rausdreht, dann
ist es natürlich so, dann würde das eine relativ lange Zeit vielleicht
sogar die Drehung beibehalten, irgendwann kommt dann eine kleine
Störung, die sich sofort aufschaukelt und dann wieder zum Taumeln
führt.
Also, dabei Drehungen um Achse mit größtem Massenträgheitsmoment und
um Achse mit kleinstem Massenträgheitsmoment stabil.
Drehung um die dritte Achse, also die mit dem mittleren
Massenträgheitsmoment, die ist instabil.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann behandeln wir den Fall, dass der Drall eine
Komponente hat in Richtung von zwei Hauptachsen und das führt schon zu
einem relativ komplizierten Effekt.
Den behandeln wir dann noch in der nächsten Vorlesung, so
andeutungsweise.
Man sieht, je mehr man da zulässt, desto komplizierter wird das Ganze,
desto mehr Effekte treten auf.
So, ein bisschen den Überblick behält man für Sonderfälle.
Und was wir dann noch machen, ist, wir schauen, wie sieht es mit dem
Kreisel auf aus, auf den Kräfte wirken.
Wir machen das dann aber nicht so, dass wir Kräfte drauf wirken
lassen, sondern wir geben Bewegungen vor und schauen, was heißt das
für die Kräfte, die notwendig sind und für die Momente.
Ansonsten haben wir es heute gehabt, Impulssatz und Drallsatz für eine
allgemeine Bewegung.
Impulssatz macht gar keine Probleme, der Drallsatz führt zu den
verschiedensten Effekten und macht das Ganze auch relativ kompliziert.
Vielen Dank.