Guten Morgen zusammen.
Der Herr Seemann ist heute leider verhindert, deshalb hat er mich
gebeten, die Vorlesung vertretungsweise zu halten.
Ich denke, die meisten kennen mich noch, der eine oder andere
vielleicht aus der Übung aus dem oberen Hörsaal, ansonsten hatte mich
der Herr Seemann ja in der ersten Stunde schon mal vorgestellt.
Mein Name ist Ulrich Römer und ich würde jetzt direkt da weitermachen,
wo der Herr Seemann letzte Woche aufgehört hat.
Vielleicht nochmal zur Erinnerung, das momentane Thema
Massenpunktsysteme.
Der Herr Seemann hat letzte Woche, soweit er mir das mitgeteilt hat,
mit Ihnen den Schwerpunktsatz hergeleitet.
Das heißt, wenn Sie ein System haben, das aus mehreren Massepunkten
besteht, die natürlich in irgendeiner Art und Weise miteinander
verbunden sind, dann hat dieses System einen Gesamtschwerpunkt und die
Bewegung dieses Gesamtschwerpunkts ergibt sich aus der Summe der daran
angreifenden Kräfte.
Das heißt, alle Kräfte, die an Ihrem Massenpunktsystem angreifen,
aufsummiert ergeben eine resultierende Kraft am Schwerpunkt und diese
resultierende Kraft am Schwerpunkt wirkt auf dieses Gesamtsystem so
wie eine Kraft auf einen einzelnen Massenpunkt.
Aber, wenn Sie mehrere Massenpunkte miteinander verbinden, haben Sie
natürlich nicht nur die Möglichkeit, dass das System sich verschiebt,
Sie haben auch die Möglichkeit, dass das System sich verdreht und um
Verdrehungen für dieses Massenpunktsystem zu beschreiben, brauchen Sie
den Trallsatz.
Das heißt, das Thema der heutigen Vorlesung beginnt mit dem Trallsatz.
Wir schauen uns also mal so einen einzelnen Massenpunkt aus diesem
Massenpunktsystem an.
Wir führen zunächst ein Bezugssystem ein
und wir haben jetzt irgendwo im Raum diesen einzelnen Massenpunkt MI
und wir können ja zunächst mal den Ort beschreiben, wie gesagt, das
knüpft direkt an an das, was Sie letzte Woche gemacht haben, also die
Position dieses einen Massenpunkts beschreiben wir durch den
Ortsvektor ri.
Jetzt haben wir noch verschiedene Kräfte, die auf diesen Punkt wirken
und der Punkt hat natürlich auch eine Geschwindigkeit.
Das heißt, wenn wir uns das Ganze mal anschauen, wir haben zunächst
eine Geschwindigkeit für diesen Punkt.
Allgemein im Raum kann dieser Punkt die Geschwindigkeit vi haben und
wir haben verschiedene Kräfte, die an diesem Massenpunkt angreifen,
zunächst mal sämtliche äußeren Kräfte, die auf diesen Punkt wirken,
also den Kraftvektor fi, aber sie haben natürlich auch eine Verbindung
zu allen anderen Massenpunkten in ihrem System.
Wie gesagt, wir haben ja mehrere Massenpunkte und jeder dieser anderen
Massen kann mit diesem Massenpunkt MI gekoppelt sein.
Also wir haben noch weitere Kräfte fij, wenn sie n Massenpunkte haben,
dann müssen sie für diese ganzen n Massenpunkte jedes Mal eine Kraft
fij aufstellen.
Okay, was bringt uns das?
Naja, wir können zunächst mal das resultierende Moment aufstellen, das
auf diesem Massenpunkt wirkt.
Für den Moment brauchen sie immer einen Bezugspunkt, das heißt wir
betrachten das Ganze bezüglich unserem festen Ursprung O und bezüglich
diesem festen Ursprung O haben wir zunächst mal das, also für den i
-ten Massenpunkt haben
wir zunächst mal das Moment,
zwar das Moment bezüglich diesem Punkt O, also ich kennzeichne das mal
mit diesem hochgestellten O, wir haben das für den Massenpunkt I und
das Moment ist ein Vektor und wir können den berechnen aus Hebelarm
mal Kraft, das heißt Ri kreuz die Summe aller angreifenden Kräfte und
wenn sie sich das genau anschauen, dann sehen sie schon, wir haben
zunächst mal die Kraft fi,
aber wir haben natürlich auch noch für jeden weiteren Massenpunkt in
ihrem System eine Kraft fij, das heißt wir müssen über all diese
Kräfte summieren, wir haben also die Summe über fij summiert von j
gleich 1 bis n.
Genauso können sie auch einen Drehimpuls aufstellen, der Drehimpuls
wieder bezüglich einem Referenzpunkt, in unserem Fall macht das Sinn,
das natürlich mit dem selben Referenzpunkt O aufzustellen, der
Drehimpuls für diesen Iten-Massenpunkt,
wir kennzeichnen den mit L, also wir haben das wieder bezüglich dem
Punkt O und wir haben das für den Iten-Massenpunkt, ergibt sich aus
Hebelarm mal Geschwindigkeit mal Masse, also Hebelarm mal Impuls, Mi
mal Vi und wir können schließlich den Drallsatz aufschreiben, den Herr
Seemann, denke ich, für einen einzelnen Massenpunkt bereits vor
einigen Wochen eingeführt hat.
Der Drallsatz ausgewertet für diesen einzelnen Massenpunkt sagt Ihnen
ja, dass sämtliche angreifenden Momente, Mi gleich der Zeitableitung
des Drehimpulses sein müssen, also Mi gleich DLi nach DT oder, wenn
wir das anders schreiben, Li-Punkt.
Okay, was können wir damit machen?
Na ja, wie Sie das Ganze betrachtet haben für den Schwerpunktsatz
dieses Massenpunktsystems, können wir natürlich auch mal den
Gesamtdrehimpuls dieses Systems betrachten.
Wir schauen uns also an den Gesamtdrehimpuls und wir summieren einfach
über sämtliche Massenpunkte.
Wenn wir also über dieses Gesamtsystem summieren, bekommen wir den
Gesamtdrehimpuls.
Wir haben also die Summe über die einzelnen Drehimpulse nach der Zeit
abgeleitet.
Muss gleich sein, wenn wir das ausschreiben, der Summe über L kreuz M
mal V, also Li kreuz M mal Vi-Punkt.
Und das muss gleich sein der rechten Seite, also der Summe über
sämtliche Massenpunkte.
Li kreuz Fi.
Aber wir haben natürlich auch noch die Kombinationskräfte, also die
Kräfte, die zwischen den Massen wirken.
Wir haben also noch diese Doppelsumme über i gleich 1 bis N und j
gleich 1 bis N von Ri kreuz Fij.
Also was hier da steht, in diesen Summen und Doppelsummen
verschachtelt, im Prinzip die Änderung des Gesamtdrehimpulses ist
gleich der Summe über sämtliche im System angreifenden Kräfte mit dem
entsprechenden Hebelarm, über den diese Kräfte wirken.
Dafür können wir jetzt den Gesamtdrehimpuls definieren.
Und der Gesamtdrehimpuls wird einfach definiert als die Summe der
einzelnen Drehimpulse, also L bezüglich dem Punkt O ist die Summe über
alle Li bezüglich dem Punkt O.
Oder wenn Sie das nochmal ausschreiben, wir haben es hier oben bereits
geschrieben als diese Summe aus Hebelarm mal Impuls, also gleich die
Summe über alle i von Ri kreuz M Vi.
Okay, damit uns das Ganze wirklich einen Vorteil bringt gegenüber der
einfachen Auswertung, Sie könnten ja sagen, gut, ich habe so ein
Massepunktsystem, wir haben irgendwann gelernt, wie wir einen
Freischnitt machen nach Newton oder nach d'Alembert.
Ich mache einfach für jeden einzelnen Massepunkt einen Freischnitt und
werte das Ganze aus.
Warum soll ich mir hier diese ganze Summation geben?
Das bringt in dem Moment einen Vorteil, wo Sie noch eine
Zusatzinformation über die inneren Kräfte haben.
Und zwar werden wir sehen, dass diese hintere Summe verschwindet und
damit wird das Ganze natürlich deutlich einfacher.
Wenn Sie nicht mehr beachten müssen, wie die einzelnen Massepunkte
aufeinander wirken, sondern nur noch die äußeren Kräfte betrachten
müssen, dann kann es natürlich sein, dass die Auswertung dieses
Gesamtdrehimpulses viel einfacher wird als das Aufstellen dieser
einzelnen Freischnitte.
Also wenn wir das anschauen, wir haben noch eine weitere Bedingung,
nämlich dass diese Summe oder diese Doppelsumme über i und j von Ri
kreuz Fij verschwindet und wir werden uns in drei Minuten anschauen,
warum das so sein muss oder so sein soll.
Wenn Sie diese Bedingungen einsetzen, also wir schauen uns den
Gesamtdrehimpuls an, setzen das oben ein, wir setzen diese Bedingung,
dass diese Doppelsumme verschwindet ein, dann folgt der Drehimpulssatz
für Massepunktsysteme, also die Zeitableitung des Gesamtdrehimpulses
bezüglich einem ortsfesten Punkt O ist gleich der Summe sämtlicher
angreifender Momente, also der Summe über diese Mi bezüglich O und das
ist gleich der Summe über Ri kreuz Fi.
Also was bedeutet das, wenn Sie das nochmal in Ruhe anschauen?
Die Zeitableitung des Gesamtdrehimpulses bezüglich dem Punkt O ist
gleich der Summe sämtlicher äußeren Kräfte Fi mit dem entsprechenden
Hebelarm.
Wenn Sie also dieses Diagramm für alle Massepunkte in Ihrem System
zeichnen, dann brauchen Sie die roten Kräfte gar nicht zu beachten,
sondern Sie benötigen lediglich diese blau gezeichneten äußeren
Kräfte, um den Drehimpulssatz auszuwerten.
Ich möchte gerade nochmal in Worten aufschreiben.
Also wenn wir den Drehimpulssatz nochmal in Worten aufschreiben,
dann kommen wir hiermit den Dralsatz, also Dralsatz und Drehimpulssatz
sind synonym, im Zentralsatz in der differenziellen Form.
Und zwar sagt uns das die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses
bezüglich einem festen Bezugspunkt.
Das ist wichtig, das möchte ich gerade nochmal betonen.
Dieser Punkt muss tatsächlich raumfest sein, sonst gilt die Form, die
wir hier gerade aufgeschrieben haben, nicht.
Also wenn Sie diesen raumfesten Bezugspunkt O haben, dann ist das
gleich der resultierende Moment aller am System angreifenden äußeren
Kräfte.
Und zwar dieses Moment dieser äußeren Kräfte müssen Sie natürlich
wieder auswerten und wir betrachten hier den selben Bezugspunkt O.
Also wichtig für Sie, wenn Sie den Drehimpulssatz auswerten, Sie
brauchen einen raumfesten Bezugspunkt, sonst ist diese Form, die ich
hier aufgeschrieben habe, nicht korrekt.
Wir werden uns gleich anschauen, was in dem Fall passiert.
Vorher noch ein Einschub, ich habe Ihnen gerade versprochen, dass wir
auf diese Behauptung nochmal zurückkommen.
Warum sollen jetzt diese inneren Kräfte kein resultierendes Moment
erzeugen?
Also wir schauen uns gerade nochmal diesen Fall an, dass diese
Doppelsumme verschwinden soll.
Also die Summe von Ri kreuz Fij sei gleich 0.
Die inneren Kräfte Fij haben also keinen Einfluss auf die Änderung des
Drehimpulses.
Das können wir sofort zeigen, wenn wir zentrale Kräfte haben.
Also wir schauen uns an, als einfaches Beispiel.
Wir haben drei Massepunkte,
M1, M2 und M3.
Und zwischen diesen Massepunkten wirken jetzt diese inneren Kräfte.
Also wir haben eine Kraft von 1 auf 2,
F12.
Und wir haben natürlich die entsprechend entgegengerichtete
Schnittkraft.
Also wir haben F21 entgegengerichtet.
Wir haben eine Kraft von 1 auf 3, F13.
Aber wir haben natürlich wieder die entgegengerichtete Schnittkraft
F31.
Und dasselbe zwischen M2 und M3, also F23 und F32.
Wenn wir uns dieses System anschauen und mal die Momente berechnen,
die durch diese Kräfte Fij verursacht werden.
Also wir werten das einfach mal aus.
Diese Doppelsumme von Ri kreuz Fij.
Was kriegen wir dann?
Wir kriegen zunächst mal die Kräfte, die zwischen 1 und 2 wirken.
Also wir haben R1 kreuz F12.
Aber wir haben natürlich den gleichen Betrag bei F21, nur mit dem
negativen Vorzeichen.
Das heißt wir haben hier minus R2 kreuz F12 verursacht durch diese
Kraft.
Und wir können das für die anderen 4 Kräfte genauso aufstellen.
Also wir haben noch einen Anteil R1 minus R3 kreuz F13.
Und wir haben einen Anteil R2 minus R3 kreuz F23.
Und das müssen natürlich alles Vektoren sein.
Wenn Sie sich das anschauen, denke ich sehen Sie schon, dass das 0
ergeben muss.
Warum muss das gerade 0 ergeben?
Naja, diese Differenz, die hier steht, R1 minus R2, ist ja gerade der
Verbindungsvektor von M1 zu M2.
Das heißt der Vektor R1 minus R2, diese Klammer, zeigt in dieselbe
Richtung wie die Kraft.
Und wenn Sie ein Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren bilden, die
dieselbe Richtung haben, muss sich hier natürlich 0 ergeben.
Das heißt, alle drei Summanden in diesem Fall sind 0.
Da eben Ri minus Rj parallel zu Fij ist.
Wie sieht das jetzt aus, wenn wir keine zentralen Kräfte haben?
Hier ist das ein bisschen schwieriger.
Also wir betrachten den Fall, dass wir keine zentralen Kräfte haben.
Und für diesen Fall, also für den Fall,
dass keine zentralen Kräfte vorliegen,
ist das ein Axiom.
Ich werde das gleich noch etwas deutlicher erklären.
Also für diesen Fall ist die Behauptung, dass diese Doppelsumme
verschwindet, ein Axiom.
Nun, was ist ein Axiom?
Ein Axiom ist einfach eine Behauptung, die Sie aufstellen, damit Sie
damit weiterrechnen können.
Also ein Axiom können Sie nicht beweisen, sondern ein Axiom ist eine
Grundannahme.
So wie die Newton'schen Axiome, Kraft, Gleichmasse, Malbeschleunigung,
brauchen wir hier also dieses Axiom, dass diese inneren Kräfte keinen
Moment verursachen.
Auch hier können wir uns ein Beispiel anschauen.
Und zwar betrachten wir wieder drei Massepunkte, aber diesmal sind
alle drei Massepunkte in gerader Linie auf einer Stange.
Wir haben also wieder die drei Massepunkte M1, M2, M3.
Und wenn wir hiervon einen Freischnitt machen, wie sieht es dann aus?
Wir schneiden mal diese drei Massepunkte frei.
Was haben Sie da für Schnittkräfte?
Wir teilen das mal auf in den x- und den y-Anteil.
Wir haben also zunächst ein F1-2-x und natürlich dem entgegengerichtet
ein F2-1-x.
Aber wir haben natürlich auch eine y-Komponente, also wir haben hier
ein F1-2-y.
Und da es eine Schnittkraft ist, entgegengerichtet ein F2-1-y.
Dasselbe können wir für die Interaktion zwischen M2 und M3 aufstellen.
Auch hier zunächst ein F2-3-x-Anteil und entgegengerichtet ein F3-2-x
-Anteil.
Und einen y-Anteil, den ich mal hier positiv zeichne, F2-3-y und F3-2
-y.
Also ganz allgemein, die Bedingung, dass diese Stange gerade bleibt,
heißt natürlich, dass wir hier diese Schnittkräfte bekommen können.
Und in diesem Fall haben wir keine Bedingung, dass die Anteile hier
Null sind.
Wir müssen das also von vornherein postulieren.
Wir sagen, diese Summe verschwindet, auch in diesem Fall.
Das heißt, die Kräfte sind zwar nicht Null, aber das resultierende
Moment, wenn Sie es auswerten, muss Null ergeben.
Okay, gibt es von Ihrer Seite gerade noch Fragen dazu?
Ich denke, wichtig für Sie ist der Drallsatz im Allgemeinen, der ja
hier oben steht.
Und auf den möchte ich jetzt gerade nochmal zurückkommen.
Also wir schauen uns an, was hier gerade auf der oberen Tafel in der
zweiten Spalte steht und schauen uns mal zwei Sonderfälle an.
Wir können uns ja anschauen, den Sonderfall, dass wir gar kein äußeres
Moment haben.
Also wir machen wieder hier oben weiter, diese beiden Tafeln können
Sie als Einschub verstehen.
Und wir schauen uns an, was passiert, wenn die Summe der äußeren
Momente verschwindet.
Das könnte der Fall sein, wenn Sie ein freies System haben.
Also Sie haben hier ein Massepunktsystem, das fliegt im Weltall, Sie
haben keinen Einfluss von irgendeiner Umgebung.
Oder Sie haben ein Zentralkraftfeld.
Also ein Zentralkraftfeld, beispielsweise die Gravitation, die
zwischen zwei Massepunkten wirkt, wäre so ein Zentralkraftfeld.
Was haben Sie dann, wenn Sie den Drehimpulssatz auswerten, folgt
daraus ja direkt?
Dass die Änderung des Gesamtdrehimpulses 0 sein muss, das bedeutet,
der Drehimpuls Ihres Gesamtsystems muss erhalten bleiben.
Wenn Sie also eine Anfangsbedingung haben, der Drehimpuls am Anfang
sei gleich L0, dann bedeutet das, dieser Ausdruck muss konstant
bleiben.
Oder in Worten geschrieben, Sie haben die Drehimpulserhaltung für das
Gesamtsystem.
Ich kürze das Gesamtsystem mal mit GS ab.
Okay, noch eine Anmerkung, ich habe vorhin einige Male betont, dass
wir das Ganze betrachten für einen festen Bezugspunkt.
Jetzt können Sie sich natürlich die Frage stellen, was passiert, wenn
sich unser Bezugspunkt bewegt.
Hier wird das Ganze schwieriger, Sie können das natürlich umrechnen,
das heißt, wenn Sie sich mal zu Hause hinsetzen und die Mühe machen zu
sagen, okay, wie muss ich denn das verändern, wenn ich jetzt den
Drehimpuls bezüglich einem mitbewegten Punkt betrachte, dann werden
Sie auf den folgenden Ausdruck kommen, den ich Ihnen jetzt einfach nur
hinschreibe, ohne Beweis.
Also für bewegten Bezugspunkt A
gilt der Drehimpulssatz in folgender Form.
Die Ableitung des Drehimpulses bezüglich diesem Punkt A plus die
Geschwindigkeit des Punktes A kreuz dem Impuls des Gesamtsystems, also
M kreuz Vs, wenn S der Schwerpunkt Ihres Systems ist, muss gleich der
Summe der äußeren Momente sein bezüglich dem Punkt A.
Das bedeutet, wenn Sie das bezüglich einem bewegten Punkt auswerten,
kommt hier noch ein weiterer Koppelterm rein, den Sie wie gesagt
bekommen, wenn Sie sich das Ganze für den fixen Punkt O anschauen und
es umrechnen.
Hier gibt es einen geschickten Sonderfall, der in der Praxis sehr
häufig benutzt wird.
Wenn Sie als bewegten Bezugspunkt gerade den Schwerpunkt nehmen, dann
sehen Sie, dieser zusätzliche Term VA kreuz MVS ist ein Kreuzprodukt
aus zwei gleichen Vektoren.
Wenn der Punkt A gleich S ist, dann verschwindet es wieder und für den
Sonderfall, dass der bewegte Bezugspunkt gerade der Schwerpunkt Ihres
Systems ist, hat der Drallsatz auch eine sehr einfache Form, also für
A gleich S gilt VA gleich VS oder VA kreuz VS gleich 0.
Wenn Sie diese Beziehung ausnutzen, dann haben Sie die Ableitung des
Drehimpulses bezüglich S ist gleich die Summe der äußeren Momente
bezüglich S.
Also wichtig für Sie, wenn Sie den Drehimpulssatz benutzen, machen Sie
das bezüglich einem raumfesten Punkt oder machen Sie das bezüglich dem
Schwerpunkt.
Wenn Sie einen anderen Bezugspunkt verwenden, wird es deutlich
komplizierter und Sie sollten sich nochmal anschauen, was Sie da genau
für Zusammenhänge haben.
Okay, nachdem wir jetzt die Betrachtung von Impuls und Drehimpuls
abgeschlossen haben, also der Herr Seemann, wie gesagt, letzte Woche
den Impulssatz oder den Schwerpunktsatz eingeführt, heute den
Drallsatz, schauen wir uns noch an, wie sieht es denn aus mit Arbeit
und Energie in diesem Massepunktsystem.
Also als nächster Punkt der Arbeits- und Energiesatz für
Massepunktsysteme.
Wir können das wieder mit dem selben Vorgehen betrachten, wie gerade
eben.
Wir schauen uns also zunächst an den Arbeitssatz und den Energiesatz
für einen einzelnen Massepunkt und überlegen uns dann, wie sieht es
aus, wenn wir über das Gesamtsystem summieren.
Also der Arbeitssatz für den Iten-Massenpunkt.
Der Arbeitssatz sagt Ihnen, dass die Differenz der kinetischen Energie
gleich dem Arbeitsintegral entspricht, also Delta T des Iten
-Massepunktes, also Ti-Ti0, muss gleich sein der Arbeit, die an diesem
Iten -Massepunkt verrichtet wurde, also Wi, oder wenn wir das
ausschreiben, das Arbeitsintegral, also das Integral über Fi plus
sämtliche Fijs, also die Summe über J,
mal Dri.
Der Arbeitssatz, wie gesagt, einfach aufgestellt für diesen einen
Massepunkt, wie Sie ihn bisher auch schon kennen, aber wir können das
auch noch zerlegen in die Arbeit der inneren Kräfte und die Arbeit der
äußeren Kräfte.
Also dieses hochgestellte I bzw.
A bezieht sich darauf, woher die Kräfte kommen, die in dieses
jeweilige Arbeitsintegral eingehen.
Wenn wir das nochmal ausschreiben,
haben wir also die Arbeit der äußeren Kräfte, das Integral über Fi
Kreuz Skalar Dri,
also die Arbeit, die von diesem Fi verrichtet wird und dasselbe für
die inneren Kräfte.
Hier müssen wir wieder summieren über sämtliche Fij und wir
integrieren über den Weg des Iten-Massepunktes
und ich schreibe hier mal Punkt, Punkt, Punkt, der entsprechend
die Summe über alle inneren Kräfte.
Okay, wenn wir jetzt über alle Massepunkte summieren, dann bekommen
wir die gesamte kinetische Energie des Systems, also die kinetische
Energie jedes einzelnen Massepunktes aufsummiert, gibt uns die
kinetische Energie des Gesamtsystems und wenn wir über sämtliche
Arbeitsanteile Wi summieren, dann haben wir die gesamte am System
verrichtete Arbeit.
Das heißt, wir können also wieder einen Arbeitssatz für das
Gesamtsystem aufstellen.
Wenn wir über alle Massen definieren mit
der kinetischen Energie des Gesamtsystems, T
ist die Summe über alle Ti und mit der gesamten am System angreifenden
Arbeit, also mit der gesamten Arbeit der am System angreifenden
Kräfte, wir definieren also, W ist gleich die Summe über alle Wi.
Okay, wenn wir das einfach aufsummieren und uns diese Zusammenhänge
hier betrachten, denke ich sehen Sie sofort, dass der Arbeitssatz für
das Gesamtsystem genauso aussieht wie für einen einzelnen Massepunkt.
Also wir bekommen T-T0 ist gleich W und auch hier können wir das W
wieder aufteilen in die Arbeit der äußeren Kräfte und die Arbeit der
inneren Kräfte.
Okay, auch hier können wir wieder Sonderfälle betrachten.
Was gäbe es hier für Sonderfälle?
Einmal können wir uns anschauen, was passiert denn, wenn wir starre
Bindungen haben.
Also Sie stellen sich so eine Art Fachwerk vor.
Sämtliche Massepunkte sind durch ideal starre Elemente miteinander
verbunden.
Also der erste Sonderfall, wir haben starre Bindungen.
Und in diesem Fall ist die Arbeit der inneren Kräfte Null.
Ohne Beweis, aber mit Plausibilisierung.
Warum muss das gerade Null ergeben?
Naja, die Relativverschiebung der Massepunkte zueinander ist ja
gleich.
Also wenn wir uns zum Beispiel nochmal dieses System anschauen und wir
sagen, dieses System bewegt sich, dann heben sich ja gerade die von
den inneren Kräften geleisteten Arbeitsanteile auf der linken Seite
und auf der rechten Seite auf, wenn beide Verschiebungen gleich sind.
Also dadurch, dass diese starre Bindung erzwingt, dass die
Verschiebungen gleich sind, folgt, dass die in Summe geleistete Arbeit
verschwinden muss.
Ich schreibe mal plausibel, da dann keine Relativverschiebung der
Massen gegeneinander.
Ein zweiter Sonderfall, was passiert, wenn Sie ein konservatives
System haben?
Hier bekommen wir den Energiesatz, so wie wir das auch beim einzelnen
Massepunkt bekommen haben.
Das heißt, wenn alle Kräfte in Ihrem System konservativ sind, dann
können Sie für jede Kraft ein Potenzial definieren, aus dem Sie diese
Kraft ableiten und es folgt der Energiesatz, also wir betrachten
konservative Systeme.
Dann gilt T plus Va plus Vi gleich T0 plus Va0 plus Vi0 und das muss
konstant sein.
Also den Energiesatz interessiert es erst mal nicht, ob Sie eine
äußere oder eine innere Kraft haben.
Die Gesamtenergie in Ihrem System muss erhalten bleiben bei diesem
konservativen System und diese beiden Ausdrücke folgen direkt aus dem
Arbeitsintegral.
Also wir haben hier den Energiesatz für allgemeine Massenpunktsysteme
und das folgt aus dem Arbeitssatz, da Va gleich minus Va minus Va0.
Genauso wie Sie das beim einzelnen Massepunkt gefunden haben, wenn
Ihre Kräfte ein Potenzial haben, können Sie das Integral für die
Arbeit geschlossen aufschreiben und das ist eben gerade das V und
dasselbe gilt natürlich für die Arbeit der inneren Kräfte, also Vi
gleich minus Vi minus Vi0.
Gibt es von Ihrer Seite soweit Fragen zum Arbeits- und Energiesatz bei
Massenpunktsystemen?
Wir haben jetzt die letzte Gelegenheit, wir fangen gleich mit einem
komplett neuen Thema an.
Also wenn es noch Unklarheiten gibt, dann müssten Sie jetzt versuchen,
die zu klären.
Okay, scheint nicht der Fall zu sein.
Dann, wie gesagt, machen wir einen großen Sprung.
Wir schauen uns ein neues Thema an.
Das Thema Massenpunktsysteme ist hiermit abgehandelt.
Sie können also für ein System, das aus mehreren Massenpunkten
besteht, den Schwerpunktsatz aufstellen, also die Summe aller am
System angreifenden Kräfte gleich Gesamtmasse mal zugehörige
Beschleunigung.
Sie können den Trallsatz auswerten.
Wenn Sie ein System aus mehreren Massenpunkten haben, dann muss die
Änderung des gesamten Drehimpulses bezüglich einem raumfesten Punkt
oder bezüglich dem Schwerpunkt gleich der Summe der äußeren Momente
sein.
Und Sie können den Arbeits- und Energiesatz auswerten für diese
Massenpunktsysteme.
Wenn Sie über sämtliche Massenpunkte summieren, muss die gesamte
kinetische Energie gleich der gesamten verrichteten Arbeit
entsprechen.
Wobei Sie hier beim Arbeitssatz die inneren Kräfte beachten müssen,
außer Sie haben den Sonderfall starre Bindungen.
Was wir uns jetzt anschauen, ist, wie sieht das Ganze aus, wenn wir
keine Massenpunkte mehr haben, sondern wenn wir starre Körper haben.
Also bisher haben wir ja betrachtet, dass Sie einen einzelnen
Massenpunkt haben oder dass Sie mehrere dieser Massenpunkte haben.
Aber Massenpunkte haben die Eigenschaft, dass sie nur eine
Dreckheitswirkung gegenüber einer Verschiebung haben.
Wenn Sie sich überlegen, Sie haben keinen winzig kleinen Punkt,
sondern Sie haben ein reales Bauteil, Sie haben ein Zahnrad, dann ist
das vielleicht sinnvoll, das als Massenpunkt zu beschreiben, wenn Sie
dieses Zahnrad durch den Raum werfen möchten.
Aber wenn Sie beschreiben möchten, was passiert denn bei der
Drehbewegung dieses Zahnrads, dann macht es mehr Sinn, das als starren
Körper aufzufassen.
Das nächste Thema also Bewegung eines starren Körpers und wir
betrachten das zunächst mal in der Ebene.
Die räumliche Bewegung ist deutlich komplizierter, also die
Ebenebewegung ist noch einigermaßen überschaubar, die räumliche
Bewegung ist deutlich komplizierter, kommt deshalb erst in einem
halben Jahr in der Theme 4 dran.
Vielleicht mal vorneweg als Einleitung zu diesem neuen Thema.
Wenn Sie eine Ebenebewegung haben, also eine 2D-Bewegung von einem
Starrkörper, haben Sie zwei Sonderfälle, nämlich eine reine
Translationsbewegung oder eine reine Rotationsbewegung.
Im Allgemeinen haben Sie eine Überlagerung aus beidem, d.h.
bei einer Bewegung haben Sie entweder eine reine Translation,
der nächste einfache Sonderfall, Sie haben eine reine Rotation um eine
feste Drehachse
oder ganz allgemein können Sie natürlich eine Überlagerung von beidem
haben.
Um das zu motivieren, werden wir uns zunächst diese Sonderfälle
anschauen.
Also bevor wir jetzt diese ganz allgemeine Bewegung behandeln, schauen
wir uns an, wie sieht das aus, wenn wir eine reine Translation haben,
als einfach möglichen Fall für diese Bewegung.
Und genauso wie wir das beim Massepunkt am Anfang gemacht haben, wenn
Sie zurückdenken an die erste oder zweite Vorlesung, haben wir mit der
Kinematik begonnen, also wie beschreibe ich Bewegungen, bevor wir uns
die Kinetik angeschaut haben, was verursacht die Bewegung, auch hier
fangen wir wieder mit der Kinematik an, also wie beschreiben wir denn
so eine ebene Bewegung.
Also der Punkt 3.1, Kinematik.
Und als ersten Unterpunkt betrachten wir hier den Sonderfall, eine
reine Translation.
Machen wir gerade mal eine Skizze für so einen allgemeinen Körper, der
eine ebene Translationsbewegung ausführt.
Also wir gucken uns an,
so ein Körper K, der sich gegenüber der Umgebung bewegt.
Wir haben hier also ein Bezugssystem mit den Einheitsvektoren E1, E2
und E3.
Und wir gucken uns eine reine Verschiebung von diesem Körper an.
Um so eine reine Verschiebung zu erzwingen, könnten wir hier Gelenke
dran malen, also wenn wir uns vorstellen, wir haben hier zum Beispiel
zwei so Führungsstangen, auf derselben Höhe, mit derselben Länge,
hier so verbunden, wenn die beiden Stangen gleich lang sind, und hier
entsprechend an den Körper angreifen, können Sie sich überlegen, das
kann sich nur verschieben, kann sich aber nicht verdrehen, durch diese
zusätzliche Führung.
Was ist dann das Besondere an dieser reinen Translationsbewegung?
Machen wir hier vielleicht noch ein zusätzliches körperfestes
Bezugssystem.
Also wir haben hier die Einheitsvektoren K1, K2 und K3.
Das Besondere an einer reinen Translationsbewegung, wenn Sie sich zwei
beliebige Punkte auf diesem Körper anschauen, dann wird sich der
Relativvektor nicht verändern.
Also wir gucken uns mal den Punkt P1 und P2 an.
Wir haben hier so einen Punkt P1, wir haben hier so einen Punkt P2.
Wenn Sie hier den Relativvektor von 1 nach 2 aufstellen, also diesen
Relativvektor f1, f2, und Sie betrachten den in Ihrem Inertialsystem,
dann wird der Vektor weder seine Länge noch seine Richtung verändern.
Also bei einer reinen Verschiebung bleibt dieser Vektor sowohl in der
Länge, also im Betrag, als auch in der Richtung konstant.
Wir können das also mal stichpunktartig aufschreiben.
Für dieses System, das wir hier gerade gezeichnet haben, bewegt sich
dieser Körper K rein translatorisch.
Was bedeutet das?
Ich habe es gerade schon mal formuliert.
Dieser Relativvektor zwischen zwei Punkten ändert sich nicht.
Also der
Vektor r12 ändert
während der Bewegung
seine Richtung nicht.
Was bedeutet das noch?
Ich habe jetzt diesen beliebigen Vektor r12 angeschaut, aber wenn wir
überlegen, dass dieses Bezugssystem K fest mit dem Körper verbunden
ist, dann können Sie ja sagen, auch dieser Vektor K2 verbindet zwei
Punkte auf dem Körper.
Das heißt, auch dieses körperfeste Bezugssystem verändert die
Orientierung nicht.
Also ein fest mit dem Körper verbundenes Koordinatensystem dreht sich
nicht.
Sie können, wenn Sie so einen starren Körper betrachten und sich
überlegen, wie der sich bewegt, das meistens am geschicktesten dadurch
beschreiben, dass Sie ein Koordinatensystem einführen, ein
Bezugssystem einführen, das fest mit dem Körper verbunden ist.
Und wenn Sie dann die Bewegung von diesem Bezugssystem beschreiben,
mit den Mitteln, die Sie bereits zu Beginn des Semesters gelernt
haben, ergibt sich natürlich automatisch die dazugehörige Bewegung des
Körpers.
Das heißt, wenn wir uns diesen Fall anschauen, eine reine
Translationsbewegung, dann bedeutet das, dass die
Winkelgeschwindigkeit dieses Körpers, gerade der Winkelgeschwindigkeit
dieses körperfesten Bezugssystems K entsprechen muss.
Das bedeutet, Omega von K in E muss gleich Null sein.
Okay, wie sieht das jetzt aus, wenn wir uns überlegen, was ist die
Bewegung von einem beliebigen Punkt auf diesem Körper?
Ich habe gesagt, wir beginnen mit der Kinematik.
Die Kinematik heißt Beschreibung von Bewegungen.
Zunächst können wir ja mal für einen beliebigen Punkt auf dem Körper
den Ortsvektor angeben,
also für einen beliebigen Punkt P des Körpers.
Wenn wir das mal aufzeichnen, wir haben hier so den Körper K und wir
betrachten jetzt auf diesem Körper den Punkt P, dann können wir für
den ja zunächst mal in unserem Inertialsystem mit dem Ursprung O die
Position angeben.
Also wir haben einfach den Ortsvektor LP.
Aber was sie ursprünglich üblicherweise machen, ist ja, sie wählen
sich ein Koordinatensystem auf diesem Körper.
Wie wir das da drüben gezeichnet haben.
Also sie haben einen ausgezeichneten Punkt, den Ursprung ihres
körperfesten Koordinatensystems.
Wenn wir den mal mit Q bezeichnen, dann haben wir ja hier so einen
körperfesten Punkt Q.
Dieser körperfeste Punkt Q hat eine Position RQ und von diesem
Ursprung ihres körperfesten Systems zu einem beliebigen Punkt auf dem
Körper haben sie diesen Vektor R relativ.
Naja, die Position, denke ich, können sie dann einfach beschreiben.
Die Position ergibt sich einfach aus LP gleich RQ plus R relativ.
Aber wie sieht es denn mit der Geschwindigkeit aus?
Die Geschwindigkeit von diesem Punkt VP, die muss ja gleich sein der
Zeitableitung des Ortsvektors im Inertialsystem, also DRP nach DT im
raumfesten System I und das muss natürlich gleich sein der Ableitung
von RQ nach DT plus der Ableitung von R relativ nach DT.
Wie sieht es jetzt in diesem Sonderfall reine Verschiebungsbewegung,
also reine Translation aus?
Wenn wir das mal ausschreiben, wir haben hier zunächst mal das VQ,
also die Zeitableitung Ort des Punktes Q ergibt gerade die zugehörige
Geschwindigkeit.
Wir haben dann die Zeitableitung von R relativ im Bezugssystem K plus
Omega Kreuz R relativ, also plus Omega von K in I Kreuz R relativ.
Und wenn wir das scharf anschauen, dann sehen Sie für den Sonderfall
reine Translation, wird es besonders einfach.
Das R relativ in einem körperfesten Bezugssystem ist ja konstant, also
der Punkt P ist fest mit dem Körper verbunden, der Punkt Q ist fest
mit dem Körper verbunden und im Koordinatensystem, das sich auch fest
mit dem Körper verbunden haben, muss dieser Anteil 0 sein.
Und wir haben gerade schon gesagt, die Winkelgeschwindigkeit des
Körpers ist natürlich 0,
weil wir eine reine Translationsbewegung dieses Körpers betrachten.
Also für den ersten einfachen Sonderfall, reine Verschiebungsbewegung
in der Ebene ergibt sich VP gleich VQ.
Das bedeutet, wenn Sie irgendeinen Punkt auf dem Körper nehmen, dann
hat er dieselbe Geschwindigkeit wie alle Punkte auf dem Körper.
Sämtliche Punkte Ihres Körpers haben dieselbe Geschwindigkeit.
Sie können ja einen beliebigen Punkt P wählen und er hat die gleiche
Geschwindigkeit wie dieser willkürlich gewählte Punkt Q.
Okay, wie sieht es jetzt mit der Beschleunigung aus?
Die Beschleunigung können wir einfach bestimmen, indem wir noch eine
weitere Zeitableitung berechnen.
Also die Beschleunigung dieses Punktes P,
AP ergibt sich aus der Ableitung von VP
und zwar natürlich wieder im Inertialsystem.
Und ich denke, Sie sehen schon, wenn wir die Beziehung für die
Geschwindigkeiten einsetzen, dann steht hier gerade die Ableitung von
VQ und das ist gerade AQ.
Das bedeutet, dass nicht nur alle Punkte dieselbe Geschwindigkeit
haben, sondern auch alle Punkte dieselbe Beschleunigung.
Dieser Zusammenhang gilt allerdings nur, wenn Sie wirklich eine reine
Translationsbewegung haben.
Sobald der Körper in irgendeiner Art und Weise eine Verdrehung
ausführt, gilt der Zusammenhang nicht mehr.
Und während Sie das nochmal kurz auf sich wirken lassen, werde ich
hier die mittleren Tafeln putzen.
Wir schauen uns dann gleich den Fall an für eine reine Rotation um
eine feste Drehachse.
Als einfachstes Beispiel, wo die Punkte auf dem Körper nicht mehr
dieselbe Geschwindigkeit haben.
Okay, also wie gerade schon gesagt, als nächstes Beispiel schauen wir
uns den Fall Drehung um eine feste Achse an.
Hier möchte ich mal mit einer Skizze beginnen für dieses System.
Also wir schauen uns gerade mal so eine feste Drehachse an,
die wir hier lagern.
Und um diese feste Drehachse soll sich jetzt ein beliebiger Körper
drehen, der zunächst mal keine weiteren Besonderheiten haben muss.
Also der muss nicht symmetrisch sein oder sonst einen besonderen Bezug
zu dieser Drehachse haben.
Einzige Bedingung, die Drehachse ist fest mit dem Körper verbunden und
raumfest, was die Orientierung angeht.
Und ich führe hier gerade mal noch ein, so ein raumfestes Bezugssystem
mit dem Ursprung O.
Wie sieht es jetzt aus, wenn wir hier einen beliebigen Punkt
betrachten?
Also wir betrachten einen beliebigen körperfesten Punkt P.
Na ja, der Punkt wird, wenn Sie sich das einfach mal überlegen, eine
Kreisbewegung um diese Drehachse ausführen.
Das heißt, wir bekommen hier so eine Bahn.
Wir haben einen Abstand R von der Drehachse und um diese Drehachse
führt der gesamte Körper hier so eine Drehbewegung durch, und zwar
beschrieben durch Omega von K in I,
das uns die Richtung der Drehachse angibt und natürlich auch den
Betrag der Winkelgeschwindigkeit.
Okay, wie beschreiben wir jetzt wieder so einen körperfesten Punkt P?
Wir möchten ja die Lage, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung
dieses Punktes haben, damit wir später die Dynamik aufstellen können.
Nun, wir führen zunächst mal noch ein körperfestes Bezugssystem ein.
Ich zeichne das mal in grün, damit Sie es ein bisschen besser erkennen
können.
In diesen Zylinderkoordinaten, also wir haben hier so einen
Radialvektor EL, wir haben einen Tangentialvektor EFI und Sie haben
hier noch die dritte Richtung EZ.
Und in diesem System betrachtet haben wir natürlich die
Winkelgeschwindigkeit Omega EZ, also die Drehachse ist uns ja gerade
durch diese Richtung EZ gegeben.
Wenn wir das betrachten für den Punkt P wieder, dann können wir auch
hier sagen, gut, wir überlegen uns, wir haben ein körperfestes
Bezugssystem, das wieder einen Ursprung Q hat und ich lege diesen
Ursprung mal auf die Drehachse.
Also wir betrachten hier so einen Punkt Q auf der Drehachse.
Dann können wir ja die Lage von P beschreiben durch die Lage von Q
und die relative Lage, also Rrelativ
und die Summe aus diesen beiden ergibt uns gerade das LP.
Okay, wie sieht das jetzt formelmäßig aus?
Also wir gehen genauso vor wie im vorigen Fall.
Wir haben uns zunächst mal überlegt, wie die Bewegung qualitativ
aussieht, wenn wir die jetzt beschreiben und berechnen möchten.
Dann schauen wir uns zunächst mal die Lage an.
Also wir bekommen den Zusammenhang, ich habe es gerade schon gesagt.
RP gleich LQ plus Rrelativ.
Wenn wir wieder überlegen, dass wir ein körperfestes Bezugssystem
haben, dann muss das natürlich dieselbe Winkelgeschwindigkeit haben
wie der Körper.
Also ein mit dem Körper fest verbundenes Bezugssystem hat dieselbe
Winkelgeschwindigkeit, Omega von K in I.
Und die Richtung von diesem Omega von K in I zeigt eben gerade in
Richtung der Drehachse.
Also die in Richtung der Drehachse zeigt.
Okay, wie sieht es jetzt aus, wenn wir die Geschwindigkeit betrachten?
Also wir haben gegeben die Lage von P, wir haben gegeben die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers, gegenüber der festen Umgebung.
Die Geschwindigkeit von P, also VP, kriegen wir wie vorhin zunächst
mal allgemein aus der Ableitung des Ortes.
Und ich nehme gleich das Ergebnis, das wir vorhin geschrieben haben.
Das heißt VP muss ja gleich sein VQ plus der Ableitung von Rrelativ.
Im Inertialsystem.
Jetzt sehen Sie auch, warum ich den Punkt Q auf die Drehachse gelegt
habe.
Wenn die Drehachse raumfest ist und der Körper sich sonst nicht
verschiebt, dann bedeutet das natürlich, dass wir hier keine
Geschwindigkeit VQ haben, weil der Punkt sich ja nicht bewegt.
Also der Körper dreht sich zwar um diesen Punkt, aber der Punkt selbst
als winziger mathematisches Objekt ohne Ausdehnung hat natürlich keine
Geschwindigkeit.
Das heißt, wir müssen noch diesen Anteil Zeitableitung von Rrelativ
beschreiben.
Und das können wir wieder im körperfesten System ausdrücken.
Also die Ableitung von Rrelativ im Inertialsystem ist ja gleich der
Ableitung im körperfesten System K plus Omega von K in I kreuz
Rrelativ.
Und hier sehen Sie, dass noch ein Term verschwindet.
Es muss natürlich mit derselben Überlegung wie vorhin diese
Zeitableitung verschwinden.
Der Punkt P ist ja ein fester Punkt auf dem Körper.
Der Punkt Q ist ein fester Punkt auf dem Körper.
Das heißt, die relative Lage zwischen den beiden Punkten in dem
körperfesten System ändert sich nicht.
Also überlegen Sie sich, Sie setzen sich mit auf den Körper, bewegen
sich mit dem Körper, schauen sich die beiden Punkte an, dann werden
die immer dieselbe relative Geschwindigkeit zueinander haben.
Das heißt, der gesamte Anteil für diese Geschwindigkeit kommt aus
diesem Kreuzprodukt.
Wir können es also nochmal gesammelt hinschreiben.
Die Geschwindigkeit von so einem Punkt VP ist gleich Omega von K in I
kreuz Rrelativ.
Oder, wenn Sie dieses Kreuzprodukt auswerten, Omega mal L in E4
-Richtung.
Wo kommt dieses Omega mal R in E4-Richtung her?
Naja, die Geschwindigkeit von diesem Punkt P muss ja gleich sein für
alle beliebigen Punkte Q auf der Drehachse.
Wenn Sie das Kreuzprodukt auswerten, dann fällt der Anteil in Richtung
EZ raus.
Sie haben ja dann Omega in EZ-Richtung und irgendeinen Anteil von
Rrelativ in EZ-Richtung und das Kreuzprodukt aus zwei
gleichgerichteten Vektoren wird Null sein.
Es geht also nur der Anteil in die EL-Richtung in dieses Kreuzprodukt
ein, der nicht verschwindet.
Wie sieht es jetzt für die Beschleunigung aus?
Wir haben das hier für die Geschwindigkeit aufgestellt.
Ich würde das gerade noch für die Beschleunigung machen.
Hier gilt natürlich dieselbe Überlegung, also ganz analog haben wir
für die Beschleunigung AP die Zeitableitung von VP.
Wenn wir das hier einsetzen, kriegen wir D von Omega von K in I nach
DT, Kreuz Rrelativ plus Omega von K in I, Kreuz DRrelativ nach DT,
beides mal im Inertialsystem betrachtet.
Ich habe hier also eingesetzt diese Beziehung für das VP und über die
Produktregel ergeben sich diese beiden Summanden.
Also wenn Sie die Produktregel anwenden, dann sehen Sie ja, Sie haben
A Punkt mal B plus A mal B Punkt.
Okay, wenn wir das auswerten, was ergibt sich hier?
Naja, hier steht einfach Omega Punkt von K in I.
Das wird auch manchmal als Alpha geschrieben, vor allem in den
Übungsblättern benutzen wir für die Winkelbeschleunigung Alpha und
nicht Omega.
Und wir haben hier hinten natürlich den selben Zusammenhang, den wir
gerade schon mal hatten.
Dieser Ausdruck ist also gleich Omega von K in I, Kreuz Rrelativ.
Das ist also, was wir auswerten möchten.
Wenn wir das einsetzen, dann haben wir hier diese Winkelbeschleunigung
Kreuz Rrelativ aus dem vorderen Term und aus dem hinteren Term Omega
von K in I, Kreuz Omega von K in I, Kreuz Rrelativ.
Und wenn Sie das alles ineinander einsetzen und sauber auswerten,
bekommen Sie hier zwei Anteile.
Für den vorderen Anteil, ich denke Sie sehen schon die Analogie zur
Geschwindigkeit, bekommen wir hier Omega Punkt mal R in die
tangentiale Richtung, also in die E4-Richtung.
Und aus diesem hinteren Anteil bekommen wir gerade den Anteil in die
radiale Richtung, Entschuldigung, minus Omega Quadrat R in ER
-Richtung.
Okay, die beiden Ausdrücke sollten Ihnen auch schon bekannt vorkommen,
wenn Sie ab und zu in der Übung sind und Ihre Hausaufgaben selbst
berechnen.
Dann sehen Sie, hier haben Sie gerade die Beschleunigung für eine
Kreisbewegung mit einem konstanten Radius.
Also wenn wir uns überlegen, wir haben diesen Körper und wir gucken
mal von hier oben auf den Körper, sodass wir das Ganze in der ER-E4
-Ebene sehen.
Dann beschreibt der Punkt P ja eine Kreisbahn um diese Drehachse.
Die Drehachse wird zu einem Punkt, also eine Kreisbewegung um einen
Punkt mit einem festen Radius L.
Und die Beschleunigung von diesem Punkt muss natürlich gerade der
Beschleunigung in Polarkoordinaten sein, mit einem festen Radius.
Wir haben hier also den Tangentialanteil, Anteil der
Winkelbeschleunigung mal Radius.
Und wir haben hier noch einen Radialanteil, der sich aus der
Winkelgeschwindigkeit im Quadrat ergibt.
Gibt es von Ihrer Seite gerade noch Fragen zu diesem Sonderfall?
Dann würde ich die heutige Vorlesung an der Stelle abbrechen.
Der Herr Seemann wird nächste Woche mit der ganz allgemeinen Bewegung
beginnen.
Ich glaube, es macht keinen Sinn, wenn wir hier noch drei Minuten
einsteigen und das Ganze in der Mitte abbrechen müssen.
Ich wünsche Ihnen noch eine schöne Woche und ich denke, wir sehen uns
am Donnerstag in der Übung.
Danke.