Zum allerletzten Mal der Hinweis auf die Vorlesungsaufzeichnung.
Kommen wir heute zum Schluss, Spurt.
Was haben wir bis jetzt gemacht?
Wir haben zunächst mal im letzten Semester den Massenpunkt betrachtet
mit Kinematik und dann auch mit Kinetik, Massenpunktsysteme, dann
Ebenebewegung von starren Körpern.
Im Sommersemester dann die allgemein räumliche Bewegung von einem
starren Körper, was dann mit der Kreiseltheorie doch relativ
schwierige Fragestellungen aufzeigt.
Danach die Energiemethoden, wo man elegant für Mehrkörpersysteme oder
für Systeme mit mehreren oder wenigen Freiheitsgraden, aber mit vielen
Körpern Bewegungsgleichungen herleiten kann.
Und dann zum Schluss die Schwingungslehre oder eine Einführung in die
Schwingungslehre zunächst mal für einen Freiheitsgrad, dann was
passiert, wenn wir mehrere Freiheitsgrade haben.
Und das was wir heute machen wollen zum Abschluss, das ist jetzt nicht
die Schwingungslehre von einem Kontinuum, sondern bevor wir so ein
kontinuierliches System untersuchen, müssen wir erstmal entsprechende
Bewegungsgleichungen haben.
Ich habe mal so einen Biegenbalken da mitgebracht, der relativ weich
ist und Sie wissen natürlich, wenn ich den jetzt hier, ich gebe im
Grunde genommen Anfangsbedingungen vor, auf den Tisch haue, dann
schwingt der.
Das ist eigentlich nichts groß Neues.
Die Frage ist, wie können wir solche Schwingungen, die durchaus
natürlich in der Technik auftreten können, dann entsprechend auch
behandeln.
Bisher hatten wir immer Systeme, da gab es Massen, da gab es
Massenträgheiten und so weiter, also konzentrierte Parameter.
Jetzt haben wir plötzlich eine verteilte Steifigkeit und auch eine
verteilte Masse.
Und bei so einem biegeweichen Balken, da müsste Ihnen eigentlich
sofort die TM2 einfallen.
Da gab es die Biegetheorie, die Biegespannung, es gab die Biegelinie,
die dann von vielen Dingen abhängt.
Im Vergleich zu einer Längsverformung von einem Stab unter einer Kraft
ist es relativ kompliziert.
Deshalb machen wir als erstes Beispiel jetzt, anstatt den
Biegesschwingungen, einfach mal Längsschwingungen in einem Stab.
Und zwar nehmen wir mal an, wir haben als Beispiel einen Stab, der auf
der linken Seite fest eingespannt ist.
Dann wissen wir sofort, dort ist die Verschiebung 0, weil er fest
eingespannt ist.
Dann haben wir eine Längskoordinate entlang des Balkens, des Stabes.
Der Stab hat die Länge L, deshalb links x gleich 0, rechts am Ende x
gleich L.
Und was wir zusätzlich noch haben, ist jetzt eine Anregung in Richtung
des Stabes, in Form von einer Linienlast, also eine Kraft pro Länge,
nennen wir das mal P.
Und das P kann jetzt eben abhängen, nicht nur von der Zeit, wie das
bei diskreten Systemen der Fall war, sondern auch noch von der
Längskoordinate, also abhängig von x und t.
Und was uns interessiert ist natürlich, wenn wir irgendwo so einen
Querschnitt haben, dann bewegt er sich in Längsrichtung.
Die einzelnen Querschnitte können sich aber unterschiedlich bewegen,
das heißt, wir haben jetzt eine Verschiebung, wenn der Querschnitt im
unverschobenen Zustand an der Stelle war, in Richtung von x, nennen
wir die mal u.
Und auch die hängt natürlich ab vom betrachteten Querschnitt, sprich
vom betrachteten Punkt und der Zeit t.
Und da sich die einzelnen Punkte unterschiedlich bewegen können, sehen
wir, eigentlich haben wir jetzt ein System mit beliebig vielen
Freiheitsgraden.
Wenn wir zurückdenken, konzentrierte Systeme, ein System mit n
Freiheitsgraden, da hatten wir n gekoppelte Differentialgleichungen.
Jetzt dürfen wir natürlich nicht erwarten, dass wir an der Stelle
beliebig viele Differentialgleichungen gekoppelt haben.
Was passiert stattdessen?
Und wir werden dann im Folgenden sehen, anstatt vieler
Differentialgleichungen gibt es nur eine oder ganz wenige, je nachdem,
was für ein Problem das wir beschreiben.
Wie gesagt, bei den Längsschwingungen oder Längsbewegungen von einem
Stab wird es nur eine Differentialgleichung geben, beliebig viele
Freiheitsgrade.
Heißt aber in dem Falle, es ergibt sich eine sogenannte partielle
Differentialgleichung.
Also dort werden dann Ableitungen nach verschiedenen Größen auftreten.
Ganz klar Ableitungen nach der Zeit, das kennen wir, aber in dem Falle
dann auch Ableitungen nach der Längskoordinate x.
Also das können wir gleich mal angeben.
Schwieriger als
Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden.
Das heißt, es treten auf Orts- und Zeitableitungen und
dementsprechend auch dann für das Ganze auf partielle
Differentialgleichungen.
Und bei diskreten Systemen, was haben wir da?
Wenn wir die Lösung dann irgendwie wissen wollen, passen wir die zum
Schluss noch an die Anfangsbedingungen an.
Ansonsten gibt es nichts.
Also Anfangsbedingungen sind uns auch von diskreten Systemen her
bekannt.
Was jetzt hier noch hinzukommt, das sind dann sogenannte
Randbedingungen.
Man sieht, in dem Falle haben wir links eine feste Einspannung, rechts
ein freies Ende.
Es könnte uns aber niemand daran hindern, dass wir zum Beispiel links
eine feste Einspannung haben, rechts auch eine feste Einspannung oder
dass wir sogar vielleicht beide Enden frei haben.
Also Randbedingungen gibt es dann letztendlich relativ viele, auch wie
wir die kombinieren können.
Wir könnten ja am Rand noch zusätzlich eine Feder zum Beispiel
anbringen.
Wäre vielleicht durchaus sinnvoll, denn wenn wir einen ganz weichen
Stab haben, Gummi oder irgendwas ganz weiches und fixieren das an
einer Stahlplatte, dann ist der Stahl natürlich nährungsweise so steif
und starr, dass die Verschiebung dort wirklich null ist.
Wenn wir jetzt aber einen Metallstab haben, zum Beispiel aus Stahl,
schmeißen den in eine Berandung, die ebenfalls aus Stahl ist, dann
wird es natürlich so sein, dass der Stahl zwar relativ steif ist, aber
die Verschiebungen am Ende sind dann vielleicht nicht unbedingt null,
weil eben die Elastizität der Stahlplatte, wo wir das festschrauben,
unter Umständen wichtig ist.
Also dann könnte man das vielleicht besser modellieren, wenn wir eine
entsprechende Feder noch anbringen.
Aus Erfahrung wissen wir vielleicht aber auch, ja gut, die Bewegungen
von so einem kontinuierlichen System, die hängen durchaus von den
Randbedingungen ab.
Das, was ich hier vorgeführt habe, diesen Biegebalken, das sind zwar
keine Längsschwingungen von einem Stab, sondern Querschwingungen, wir
wissen ja gut, wenn wir den so schwingen lassen, dann schwingt der mit
einer relativ kleinen Frequenz, im Vergleich dazu, wenn wir beide
Enden fixieren.
Wenn er dann schwingt, schwingt er viel schneller, bei gleicher Länge.
Ich kann es jetzt nicht so gut vormachen, ich denke, Sie glauben das
aber auch.
Was wir an der Stelle ein bisschen einen Fehler machen, ist folgendes.
Wenn ich den Balken so schwingen lasse, dann schwingt der weitgehend
mit einer Frequenz, oder?
Aber letztendlich hat so ein Balken natürlich mehrere, ich sage mal
Schwingungsmoden, wie er schwingen kann.
Das heißt, bei freien Schwingungen wird es eine Überlagerung von
verschiedenen Moden sein, ähnlich wie wir das in der letzten Vorlesung
bei Mehrfreiheitsgradsystemen hatten.
Da hatten wir n Freiheitsgrade, heißt n Schwingungsmoden.
Die sind bei allgemeinen Anfangsbedingungen immer beteiligt.
Jetzt, wie kann ich die hier sichtbar machen?
Die kann ich im Grunde genommen bei so einem kontinuierlichen System
auch dadurch sichtbar machen, dass ich mal erzwungene Schwingungen
beschreibe.
Und erzwungene Schwingungen bei so einem kontinuierlichen System, wie
gesagt jetzt hier beim Balken, da sieht man es vielleicht am besten,
kann ich machen, wenn ich einfach mal das Ende bewege.
Wenn ich jetzt die Schwingfrequenz so anpasse, dass ich von der
Grundfrequenz die Frequenz treffe, dann werden die Amplituden ziemlich
groß.
Wenn ich jetzt aber die Schwingfrequenz erhöhe, dann sieht man, es
gibt auch eine höhere Frequenz.
Jetzt könnte ich das noch weiter treiben, aber ich bin jetzt leider
schon ein bisschen alt.
Also, das überlasse ich Ihnen.
Also, zu den Anfangsbedingungen treten noch die Randbedingungen.
Das heißt, man hat ein Anfangsrandwertproblem.
Wie man das dann letztendlich löst, das ist dann Stoff von
weiterführenden Vorlesungen.
Wir beschränken uns, ich habe es erwähnt, heute vornehmlich darauf,
die entsprechenden Bewegungsgleichungen mal herzuleiten.
Und wie gehen wir dabei vor?
Also,
Herleitung der Bewegungsgleichung.
In dem Fall wird es nur eine sein.
Und wie machen wir das?
Wir haben hier ein verteiltes System.
Was wir jetzt machen ist, wir schneiden uns mal ein differenzielles
Element aus dem Stab heraus.
An der Stelle hat der Stab den Querschnitt A.
Er hat die Länge dx.
Und wenn der Stab den Querschnitt ändert, dann hat er auf der rechten
Seite einen anderen Querschnitt.
Dann hat er nämlich an der Seite A plus eine kleine Änderung dA.
Wenn wir das Stab-Element freischneiden, dann wirken an dem Kräfte.
Machen wir das nach d'Alembert.
Dann sehen wir, zunächst mal haben wir die äußere Last P von x und t.
Das ist eine Linienlast.
Also müssen wir die noch multiplizieren mit einer entsprechenden
Länge.
Und natürlich gerade mit der Länge dx des Stab-Elementes.
Das ergibt eine Kraft P, das abhängig von x und t lasse ich mal weg,
mal dx.
Was haben wir noch?
Wir haben eine Normalkraft links
und rechts des Elementes.
Wenn wir links die Normalkraft n haben, dann haben wir auf der rechten
Seite die Normalkraft n, die sich aber ein bisschen geändert haben
kann, nämlich plus dn.
Ansonsten haben wir nichts.
Was noch fehlt, ist die Trägheitskraft.
Da haben wir Masse mal Beschleunigung des Elementes in negative
Beschleunigungsrichtung.
Also positive Beschleunigung geht in Richtung x.
Also die Trägheitskraft in negative x-Richtung.
Die Beschleunigung ist u2-Punkt.
Die Masse ist dm.
Und jetzt sehen wir, dm entspricht natürlich gerade Dichte des
Massenelementes mal dv, dem differenziellen Volumen.
Und das differenzielle Volumen ist rho mal a mal dx.
Jetzt kann man sich fragen, na gut, der Querschnitt hat sich ja ein
bisschen geändert von der linken Seite auf die rechte Seite.
Rechts haben wir ja a plus da.
Und wenn wir an der Stelle den Querschnitt a plus da einfügen, dann
hätten wir hier rho mal a mal dx plus rho mal da dx.
Wenn wir den Grenzübergang machen, alles gegen null, ist aber von
zweiter Ordnung.
Also das können wir vernachlässigen.
So, Kräftebilanz ergibt dann n plus dn minus n minus rho mal a mal u2
-Punkt dx
plus pdx gleich null.
Wir sehen, das n fällt raus.
Wie sieht es jetzt aus mit dem dn?
Oder fragen wir mal andersrum.
Jetzt haben wir eine Gleichung, wie viele Unbekannte haben wir.
Wir haben unbekannt noch die Verschiebung u.
Das p war ja bekannt.
Und die Normalkraft.
Jetzt wissen wir, n ist Querschnittsfläche a mal Normalspannung sigma.
Das heißt,
dn ist Ableitung von n nach x mal dx.
Teilerentwicklung.
Ist also d sigma mal a nach dx mal dx.
Das heißt, eingesetzt haben wir jetzt dn war d sigma mal a nach dx mal
dx minus rho a u2-Punkt dx plus pdx gleich null.
Wie gesagt, das dx ist infinitesimal klein, aber ungleich null.
Deshalb können wir das rauskürzen.
Es bleibt übrig d sigma a nach dx minus rho mal a mal u2-Punkt plus p
gleich null.
Jetzt sehen wir schon an der Stelle, es treten auf Ableitungen nach x,
aber auch partielle Ableitungen nach der Zeit.
Jetzt haben wir zwar das n ersetzt, jetzt haben wir immer noch eine
Gleichung, aber zwei Unbekannte, nämlich das sigma und das u.
Jetzt müssen wir irgendwie noch Zusammenhänge zwischen diesen Größen
suchen.
Nun, was wir wissen ist, die Verschiebung u hängt mit der Verzerrung y
zusammen.
Also y, was ist das?
du nach dx.
Damit haben wir jetzt zwei Gleichungen,
aber drei Unbekannte.
Sigma, u und y.
Was uns jetzt noch fehlt, ist der Zusammenhang zwischen y und sigma.
Was kommt jetzt ins Spiel?
Nun kommt das Material ins Spiel.
Wir wissen, wenn wir ein kompliziertes Material haben und vor allen
Dingen große Dehnungen hätten, dann mag der Zusammenhang sehr
kompliziert sein.
Vielleicht gibt es auch einen Zusammenhang zwischen y und sigma in
Form einer Differenzialgleichung.
Wir machen es uns an der Stelle sehr einfach.
Wir gehen einfach davon aus, wir haben ein linearelastisches
Materialverhalten, dann
gilt nämlich sigma gleich epsilon mal Elastizitätsmodul E.
Das heißt, an der Stelle ergibt sich dann dy E.
Für das y setzen wir das du nach dx ein.
Und jetzt führen wir, weil so viele Ableitungen nach x auftreten, eine
Konvention ein, nämlich irgendwas mit Index x bedeutet, dass wir das
partiell nach x ableiten.
Dann haben wir an der Stelle Ableitung nach x von sigma mal A.
Sigma mal A ist aber epsilon mal E mal A und epsilon ist ux, also ux E
A.
Das kennen Sie doch aus der TM2 irgendwo her, dort haben sie auch so
ein einfaches Materialgesetz mal gehabt.
Minus rho A u2 Punkt plus p gleich 0.
Und wir sehen, in einem gewissen Sonderfall haben wir vorliegen, wenn
das p gleich 0 ist, wenn wir also keine äußere Erregung haben,
p identisch 0 und E A, was war E A?
Das war die Dehnsteifigkeit.
Wenn das konstant ist entlang des Stabes, dann erhalten wir einfach
als Gleichung uxx mal E A
minus rho A u2 Punkt gleich 0 oder
u2 Punkt minus, Wenn wir durch rho A dividieren, was ergibt sich dann?
Das A fällt raus, gibt es also E durch rho uxx gleich 0.
Wer weiß, um was von der Gleichung das sich dabei handelt?
Nein?
Der harmonische Oszillator wäre u2 Punkt plus Omega Quadrat mal u
gleich 0.
Das wäre die Schwingungsdifferenzialgleichung.
Wer hat Wellenphänomene gehört?
Sie haben doch so eine Vorlesung, oder?
Was gibt es da, die Augen zu verdrehen?
Das habe ich jetzt aber nicht gehört.
Gut, aber jetzt habe ich ja fast schon die Antwort verraten.
Es handelt sich ja um die eindimensionale Wellengleichung.
Und man sieht an der Stelle, deshalb habe ich das in der Form
geschrieben, das ist das Quadrat der
Wellenausbreitungsgeschwindigkeit.
Das hängt in dem Fall wirklich nur von den Materialparametern ab.
Also man sieht, jetzt hätten wir eine Gleichung, mit der wir zumindest
mal die Wellenausbreitung in so einem Stab behandeln könnten.
Hat jemand eine Ahnung, wie groß die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
ungefähr ist in Stahl?
Wie groß ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit in Luft?
Ich sage mal, ich habe einen Daumen gepeilt, 350 m pro Sekunde,
wieviel bei Stahl?
Sie müssen doch als Ingenieur ein bisschen was abschätzen können, E
durch Roh und dann die Wurzel draus.
Es gibt ungefähr 5000 m pro Sekunde.
Wenn man jetzt stattdessen Aluminium nimmt, dann ist ja die Dichte
kleiner, aber auch der E-Modul, das liegt dann aber auch in der
gleichen Größenordnung.
Wellenausbreitung können wir damit beschreiben.
Wie sieht es aus mit Schwingungen?
Nun, was wir jetzt an der Stelle noch nicht haben, das sind eben
Randbedingungen, die die Schwingungen selbst dann massiv beeinflussen.
Also plus Randbedingungen.
Und ich beziehe mich jetzt wieder auf unser Beispiel.
Da haben wir, jetzt müssen wir mal überlegen, eine
Differenzialgleichung zweiter Ordnung im Ort.
Das heißt, wir brauchen zwei Randbedingungen.
Das sieht jetzt natürlich so aus, dass wir nicht zwei Randbedingungen
auf einer Seite des Stabes vorgeben können, sondern wir können jeweils
nur eine links und eine rechts vorgeben.
Links haben wir ja schon gesagt, die Verschiebung ist null.
Also U von 0 und T ist 0 bei unserem Beispiel.
Und dann wissen wir am rechten Rand, da muss die Normalkraft immer 0
sein.
Also N von L und T gleich 0.
Wir sehen, N war aber gerade einmal Sigma, also muss die
Normalspannung 0 sein.
Wenn die Normalspannung 0 sein muss, muss die Dehnung 0 sein.
Und die Dehnung war die Ableitung von U nach X.
Also das ergibt gerade Ux von L und T gleich 0.
Und was dann zur vollständigen Beschreibung noch hinzukommen müsste,
das sind die Anfangsbedingungen.
Wie viele brauchen wir da?
Und da brauchen wir, für eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung in
der Zeit, auch zwei Anfangsbedingungen.
Nämlich das U von X und T gleich 0.
Was ist das jetzt?
Das ist eine gegebene Funktion.
U0 von X, also die Funktion hängt noch von X ab.
Die geben wir aber vor.
Und das U-Punkt von X zum Zeitpunkt 0 ist dann eben eine vorgegebene
Geschwindigkeit, und zwar vorgegeben für jeden Punkt.
Also V0 von X.
Was wir gut realisieren könnten, das wäre, um Anfangsbedingungen
vorzugeben, ziehen wir am rechten Rand mit irgendeiner Kraft.
Was passiert dann?
Und dann haben wir links immer noch die Verschiebung 0, rechts haben
wir eine bestimmte Verschiebung, und dazwischen haben wir einen
linearen Verlauf.
Ansonsten Geschwindigkeit U-Punkt haben wir keine, also das V0 wäre 0.
Das U0 wäre irgendwas mal X, und dann lassen wir das los, und dann
würde der Stab anfangen zu schwingen.
Gibt es soweit Fragen?
Nicht.
Dann kommen wir jetzt zum etwas komplizierteren Beispiel, nämlich
meinem Biegestab, bzw.
Biegebalken.
Da könnten wir als Beispiel wieder so einen nehmen, das wäre das, was
ich da vorgeführt habe.
Wir könnten auch einen nehmen, der links und rechts so drehbar
gelagert ist.
Was das bedeutet, schauen wir uns später mal an.
Jetzt machen wir mal so eine Erfahrungstatsache.
Wir wissen, bei so einem schlanken, also dünnen Balken, dünn im
Vergleich zu den Längsabmessungen, da wird es so sein, dass wir
praktisch nur den Biegeanteil mitnehmen müssen.
Wir wissen gleichzeitig tritt natürlich noch vielleicht eine gewisse
Verformung auf infolge von Schub.
Das vernachlässigen wir an der Stelle.
Wir vernachlässigen auch, was jetzt die Trägheit anbelangt, einen
gewissen Term.
Und an der Stelle muss man dann sagen, je nachdem, was ich
berücksichtige oder was ich nicht berücksichtige, gibt es verschiedene
Balkentheorien.
Und wir machen jetzt die sogenannte Euler-Bernoulli-Balkentheorie.
Das heißt, wir vernachlässigen Schub,
also Schubverformung vernachlässigt.
Und wenn wir dann mal so einen Querschnitt von so einem schlanken
Balken betrachten, dann wird es natürlich so sein, eigentlich verformt
sich das Ganze dreidimensional.
Das heißt, es könnte auch zu einer Verwölbung des Querschnittes
kommen.
Das wird an der Stelle ebenfalls vernachlässigt.
Das heißt, wir nehmen mal an, die Querschnitte bleiben eben.
Und was nehmen wir noch an?
Und wir nehmen an, dass die Drehträgheit des Querschnitts
vernachlässigt bleibt.
Also...
Drehträgheit der Querschnitte
vernachlässigt.
Was bedeutet das eigentlich?
Und ich zeichne das mal ein bisschen größer raus.
Sie haben alle gesehen, wenn mein Balken sich aufgrund der Biegung
verformt, dann gibt es eine Biegelinie, die irgendeinen bestimmten
Verlauf hat.
Und Sie wissen auch, wenn wir nur Biegung berücksichtigen, dann nehmen
wir immer an, dass die Querschnitte, die vorher vor der Verformung
senkrecht zur Längsachse standen, dass die nach der Verformung
senkrecht auf der neutralen Faser stehen.
Ansonsten hätten wir eine Schubverformung.
Und jetzt schauen wir mal, wenn wir also irgendwie den Verlauf der
neutralen Faser haben.
Und jetzt nehmen wir mal so einen ganz dünnen Querschnitt hier raus.
Ich habe das alles mal ein bisschen übertrieben dargestellt.
Dann hat sich die neutrale Faser gerade um W verschoben.
Und da die Neigungen, die hier auftreten, klein sind, dann sieht man,
na gut, hier die Verschiebung, da steht noch irgendwo der Kosinus von
diesem Verdrehwinkel drin, aber alles, was wir jetzt machen, gilt nur
für ganz ganz kleine Verformungen, dass wir alles linearisieren können
und so weiter.
Und das bedeutet eben, dass letztendlich in der Querrichtung zum
Balken alle Elemente eines Querschnitts dieselbe Verschiebung
erfahren.
Wir sehen aber an dem Beispiel, wenn ich das übertrieben zeichne, dass
die entsprechenden Punkte, die einen Abstand zur neutralen Faser
haben, dass die sich nicht nur in transversaler Richtung verschieben,
sondern auch in axialer Richtung.
Das müsste ich eigentlich bei der Trägheit mit berücksichtigen, aber
genau das wird letztendlich vernachlässigt.
Das bedeutet, normalerweise, wenn wir so einen Querschnitt haben und
der sich dreht, würde das eine Trägheit mit sich bringen, die wird
aber vernachlässigt.
So.
Was wir jetzt wieder machen ist, wir greifen ein kleines Balkenelement
heraus, infinitesimal groß.
Dann haben wir in der Richtung die Transversalverschiebung W, nach
rechts die Balkenlängsachse X
und jetzt haben wir so ein Balkenelement der Länge dX.
Und als erstes tragen wir jetzt mal alle Belastungen, Kräfte und
Momente, die am freigeschnittenen Balkenelement wirken an.
Was haben wir da?
Nun zunächst mal, Biegesschwingungen heißt, Normalkräfte treten keine
auf.
Das Einzige, was auftritt, sind Querkraft und Biegemoment.
Jetzt könnt ihr im Skript nachschauen, welche Richtungskonventionen
nimmt der Herr Bölke.
Immer wenn ich das herleite, habe ich das nicht zur Hand.
Das heißt, ich mache es dann immer so, ich führe irgendwelche
Richtungen ein.
Das müssen jetzt nicht unbedingt die von Herrn Bölke sein, man muss
dann aber alles entsprechend der eingeführten Richtungen durchziehen.
Sie können sich immer merken, die Lösung von einem Problem kann nicht
davon abhängen, welches Koordinatensystem Sie verwenden.
Also ich mache es jetzt einfach mal so, ich sage, am linken
Schnittufer geht eine Querkraft nach oben, dann geht sie am rechten
Schnittufer nach unten und wie wir das schon vorher hatten, die kann
sich entlang des Balkens natürlich vom Betrag her verändern.
Also haben wir rechts Q plus DQ,
dann nehme ich mal am linken Schnittufer das Biegemoment im
Uhrzeigersinn an M, dann muss es am rechten Schnittufer entgegen dem
Uhrzeigersinn sein, dann haben wir dort M plus DM und ansonsten haben
wir noch die Trägheitskraft.
Wir sehen, das W geht positiv nach oben, so habe ich das eingeführt,
dann geht eine Trägheitskraft dann entsprechend nach unten.
Was haben wir dann?
Wir haben wieder DM mal der Beschleunigung, für den Stab war die
Beschleunigung entlang der Stabachse, hier jetzt quer dazu, also DM
mal W2 Punkt nach unten, DM war Rho mal A mal DX, das war die
differenzielle Masse des Elementes, mal der Beschleunigung W2 Punkt.
Jetzt machen wir zunächst mal Kräfte- und Momentengleichgewicht,
Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung, dann sehen wir, wenn wir
nach oben das Positiv annehmen, dann haben wir Q minus Q minus DQ
minus Rho mal A mal W2 Punkt DX gleich 0, das Q fällt raus, dann haben
wir DQ dividiert durch DX, das ist also DQ nach DX gleich Minus Rho A
mal W2 Punkt.
Und wenn Sie die Formel von Herrn Böke nehmen, dann führt irgendwo
eine Belastung in Form von einer Linienlast ein, das kleinen Q
wahrscheinlich, und das kleinen Q wäre in dem Fall dann aber gerade
Minus Rho A W2 Punkt.
Weil es in die negative Richtung geht.
Das ergibt sich für die Momentenbilanz, und da haben wir zunächst M
plus DM,
Minus M, das sind die freien Momente, da brauchen wir noch keinen
Bezugspunkt für die Momentenbilanz, wenn es jetzt um die Kräfte geht,
brauchen wir einen Bezugspunkt, und dann sehen wir, wenn wir das linke
Schnittufer als Bezugspunkt nehmen, dann hat die Querkraft Q plus DQ
den Hebelarm DX, also Minus Q plus DQ mal DX, und jetzt sehen wir, DQ,
DX, das ist wieder von zweiter Ordnung, können wir rauswerfen.
Wie sieht es aus mit der Trägheitskraft?
Da wissen wir eigentlich gar nicht genau, wo die wirkt.
Wirkt die mehr links oder mehr rechts oder genau in der Mitte?
Die wirkt irgendwo zwischen 0, Abstand 0 und DX, also wenn wir die
Kraft multiplizieren mit dem Abstand, dann sehen wir, dann tritt
irgendwo DX, DX auf, auch das ist zweiter Ordnung, deshalb trage ich
das an der Stelle schon gar nicht ein, also es fällt wieder weg, wenn
wir den Grenzübergang machen.
Also steht hier gleich 0,
ergibt natürlich die bekannte Gleichung, dass praktisch DM dividiert
durch DX gleich,
wir sehen es, Groß Q ist.
Wir sehen, jetzt könnten wir das Q schon eliminieren, dann müssten wir
die zweite Gleichung einmal nach X ableiten, dann haben wir D2M nach
DX² gleich Minus Rho A W2 Punkt.
Also zweite Ableitung nach X wäre MXX gleich Minus Rho A W2 Punkt.
Jetzt ist die Frage, wie groß ist eigentlich das Moment?
Und das Moment hängt ab von den Spannungen, die an einem Querschnitt
wirken.
Schauen wir mal, wenn wir so ein Schnittufer haben, dann haben wir
hier die Z-Koordinate im Querschnitt, in dicken Richtung des Balkens.
Wir haben irgendwie die Spannungen, die sollen ja positiv sein.
Wir wissen natürlich, beim B-Gebalken sind die anders.
Später bei unserem einfachen Materialmodell wird es ein linearer
Verlauf sein.
An der Stelle nehmen wir einfach mal an, wir haben irgendwelche
Spannungen am Querschnitt wirken.
Wie groß ist dann das Biegemoment dieser Spannungen?
Und dann sehen wir, wir bilden zunächst mal eine differenzielle Kraft.
Die hat den Abstand Z.
Also, dm ist Sigma von Z, Spannung mal dA mal
Hebelarm.
Ich muss drunter schalten.
Also, dm ist Sigma abhängig von Z mal dA, das ist die Kraft, die
differenzielle, mal dem Hebelarm, das war Z.
Ein positives Moment geht aber, entgegen dem Uhrzeigersinn, bei meiner
Konvention am rechten Schnittufer, deshalb hier ein Minuszeichen.
Also, das Moment ist Minusintegral Sigma Z dA, integriert über die
gesamte Querschnittsfläche.
Das heißt, jetzt haben wir die eine Gleichung für das Moment, haben
eine Gleichung zwischen dem Moment und der Spannung.
Jetzt haben wir zwei Gleichungen, aber zwei unbekannte.
Jetzt brauchen wir noch irgendwas, wodurch wir die Spannung
ausdrücken.
Und jetzt kommen wir wieder von der anderen Seite.
Jetzt versuchen wir mal, die Dehnung im Balken auszudrücken über die
Verschiebung W.
Also, Herleitung der Dehnung.
Da haben wir hier die neutrale Faser,
haben die Querschnitte jeweils senkrecht zur neutralen Faser.
Das
sollte jetzt irgendwie symmetrisch sein.
Und wir sehen, gegenüber der Vertikalen hat sich der linke Querschnitt
um den Winkel Alpha verdreht.
Der rechte Querschnitt,
der hat sich ein bisschen anders verdreht, nämlich Alpha plus D-Alpha.
Und jetzt wissen wir, die neutrale Faser, die hat die Länge nicht
verändert.
Wenn wir allerdings so eine Faser betrachten, an der Stelle im Abstand
Z, dann sehen wir, für ein positives Z wurde die zusammengedrückt.
Die Länge hat sich dementsprechend verkürzt.
Es wird also das Epsilon-Negativ sein.
Hier unten sind die Fasern gedehnt worden, da wird das Epsilon-Positiv
sein.
Jetzt, wie groß ist die Dehnung?
Die Dehnung, Epsilon in Abhängigkeit von Z, ist dann die ursprüngliche
Länge, abhängig von Z, minus L0 dividiert durch L0.
Und das L0 ist einfach das dx, die ursprüngliche Länge des Elementes.
Wie groß ist das L von Z?
Jetzt schauen wir mal.
Da haben wir hier, ich zeichne es mal rot ein, infolge der Verdrehung,
praktisch eine Verlängerung.
Und die Verlängerung ist gerade, Z mal Sinus Alpha.
Dann haben wir die Länge von hier nach hier, das ist plus L0,
oder dx.
Und jetzt müssen wir aber den Anteil wieder abziehen.
Und das ist Z mal Sinus von Alpha plus dAlpha.
Also minus Z Sinus von Alpha plus dAlpha.
Das war jetzt praktisch die aktuelle Länge, minus der ursprünglichen
Länge, dividiert durch die ursprüngliche Länge, das trage ich jetzt
ein, das war dx.
Wir sehen als erstes, das L0, das kürzt sich jetzt weg.
Was noch bleibt, ist Z mal Sinus Alpha, minus Z mal Sinus Alpha plus
dAlpha.
Jetzt wissen wir aber, der Winkel Alpha, der ist ganz klein.
Also Alpha ist sehr viel kleiner als 1, Alpha plus dAlpha ist sehr
viel kleiner als 1.
Das heißt, Sinus Alpha ist dann ungefähr gleich dem Tangens Alpha.
Der Tangens Alpha ist aber gerade die Steigung der Kurve am linken
Ende des Elementes.
Und die Steigung ist gerade W Strich.
Also ist das W Strich.
Entsprechend, Sinus von Alpha plus dAlpha ist dann ungefähr Tangens
von Alpha plus dAlpha.
Und das ist dann die Steigung am rechten Ende des Elementes.
Und jetzt müssen wir natürlich wieder beachten, dass sich die Steigung
von links nach rechts ein bisschen verändert haben kann.
Also entspricht das gerade dem W Strich von links plus einer Änderung
der Steigung, dW Strich.
Setzen wir das ein, dann ergibt sich für das Epsilon in Abhängigkeit
von Z gerade...
W Strich mal Z minus Z mal W Strich
minus Z dW Strich dividiert durch dx.
Wir sehen, die Anteile kürzen sich raus.
Es gibt minus Z W zwei gestrichen.
Das heißt, jetzt kennen wir die Dehnung in Abhängigkeit der
Transversalverschiebung W.
Wir haben einen Zusammenhang zwischen W und dem Moment.
Wir haben einen Zusammenhang zwischen dem Moment und der Spannung.
Und was jetzt noch fehlt, um alles zu schließen, ist wieder die
Materialmodellierung.
Wie gesagt, das könnte jetzt wieder was Kompliziertes sein.
Dann bleibt es aber auch kompliziert.
Oder wir setzen voraus, wir haben ein linearelastisches
Materialverhalten, nämlich Sigma gleich Epsilon mal E.
Also an der Stelle kommen die konstitutiven Gleichungen für das
Material.
Also Sigma gleich Epsilon E.
Dann können wir das in das Moment einsetzen.
M ist dann minus Integral über die Querschnittsfläche A.
Das Sigma ist minus Z W zwei gestrichen mal E mal Z dA.
Und jetzt kommt es.
Also das E ist eine Konstante, die können wir rausziehen.
Das W zwei gestrichen, das hängt nicht von der Z-Koordinate ab,
sondern es hängt ja noch von der X-Koordinate ab.
Also bei der Integration über Z oder über die Querschnittsfläche ist
das W zwei gestrichene Konstante, auch die können wir rausziehen.
Das Minuszeichen vor dem Integral und im Integral, die heben sich weg.
Das heißt, wir erhalten letztendlich für das Moment E mal W zwei
gestrichen.
Integral, jetzt bleibt innen stehen, Z mal Z, also Z Quadrat dA,
integriert über die Querschnittsfläche.
Und jetzt sollte Ihnen wieder von der TM2 einfallen, dass das Integral
Z Quadrat dA, das war gerade das Flächenträgheitsmoment.
Oder das Flächenmoment zweiter Ordnung, das I.
Also das Moment ist dann gerade E mal I mal W zwei gestrichen.
Das heißt, Mxx in der Ergleichung ist dann gerade EI W zwei
gestrichen, das war das M, zweimal nach X abgeleitet.
Oh, jetzt habe ich das Strich, das habe ich jetzt zwischendurch, da
habe ich es früher eingesetzt gehabt, ich weiß gar nicht mehr.
Das bitte ich jetzt zu entschuldigen, irgendwo habe ich das Strich
eingeführt und habe es nicht erklärt, dass das die Ableitung nach X
ist, aber ich denke, jeder hat es mitgekriegt.
Das war Mxx gleich,
auf der rechten Seite steht minus Rho A W zwei Punkt.
Oder EI W, ich mache es jetzt auch wieder mit dem XX, zweimal nach X
abgeleitet, plus Rho A W Punkt Punkt gleich Null.
Haben wir als Differentialgleichung, als partielle
Differentialgleichung, welche die Biegesschwingungen eines
Lankenstabes beschreibt, nach der Euler-Bernoulli-Balken-Theorie.
Was ich in dem Falle im Gegensatz zum Stab nicht mitgenommen habe, das
war unter Umständen eine äußere Belastung.
Was weiß ich, wenn Sie jetzt einen Stab haben, einen schlanken
Fernsehturm oder ein schlankes Minarett oder was weiß ich, wenn der
Wind weht, dann kommen Wirbelablösungen und das führt natürlich gerade
zu Anregekräften, die von der Längskoordinate abhängen und von der
Zeit.
Die könnte man natürlich noch mitnehmen, muss man das Ganze dann
entsprechend hier durchziehen.
In der Bilanz hier oben würde dann noch irgendwo die äußere Last
auftreten, also die würde hier jetzt letztendlich gerade noch mit
dabei stehen.
So, wie sieht es aus mit den sogenannten Randbedingungen?
Wir sehen, wir haben eine Differentialgleichung vierter Ordnung im
Ort, zweiter Ordnung in der Zeit.
Also bei den Anfangsbedingungen wird es wieder so sein, dass wir die
Anfangsauslenkung für jeden Punkt und die Anfangsgeschwindigkeit für
jeden Punkt vorgeben können als Funktionen von x.
Und bei den Randbedingungen,
da haben wir zwei Randbedingungen links,
zwei Randbedingungen rechts.
Und machen wir mal das Beispiel, dann wissen wir, links ist die
Transversalverschiebung null, also w von null und t gleich null.
Dann wissen wir, der Balken kann an der Stelle nicht eine Steigung
haben, sonst hätte er einen Knick.
Also braucht er eine horizontale Tangente, das w' von null und t
gleich null, also die Ableitung nach x von w an der Stelle null.
Oder x gleich null zu allen Seiten t muss null sein.
Das sind zwei sogenannte geometrische Randbedingungen.
Rechts, da sehen wir, die Verschiebung ist nicht null, die Steigung
ist im Allgemeinen ungleich null.
Aber rechts haben wir keinen Moment und wir haben keine Querkraft.
Also das Moment war ja gerade e mal i mal w2 gestrichen an der Stelle
l.
Wenn das null ist und ei ungleich null, heißt das w2 gestrichen von l
und t gleich null.
Und querkraftfrei heißt, wir müssen mal schauen, die Querkraft war ja
gerade die Ableitung vom Moment.
Das Moment war ei w2 gestrichen, nochmal abgeleitet nach x.
Das an der Stelle x gleich l muss null sein, das war die
Querkraftfreiheit.
Und wenn wir stattdessen das andere Beispiel nehmen, was ich hatte,
links und rechts drehbar eingespannt, dann sehen wir, wenn man es
statisch bestimmt, links ist die Verschiebung null, also w von null
und t gleich null.
Auch das haben wir auf der rechten Seite, w von l und t gleich null.
Dann haben wir links kein Biegemoment und rechts kein Biegemoment.
Der Biegemoment war proportional zu w2 gestrichen, also w2 gestrichen
von null und t gleich null.
Und das w2 gestrichen von l und t gleich null.
Wie gesagt, ich kann mir noch ganz viele andere Randbedingungen
vorstellen, auf die wollen wir aber an der Stelle nicht eingehen.
Was wir jetzt nur noch mündlich erwähnen ist, wir waren ja von den
Schwingungen irgendwo hergekommen, haben auch gesehen, dass so ein
Kontineum schwingen kann.
Ich habe es mal versucht zu verdeutlichen, dass es verschiedene
Schwingungsmoden gibt.
Wie gesagt, dadurch, dass ich hier eine erzwungene Schwingung
vorführe.
Bei den erzwungenen Schwingungen hat man gesehen, die Erregung braucht
bei so einem Kontineum nicht nur im Feld sein, die könnte auch über
die Ränder erfolgen.
Hier habe ich ja praktisch einen bewegten Rand.
Was anderes habe ich nicht.
Das ist das eine.
Und jetzt, wie sieht es aus mit den möglichen Schwingungsmoden und den
möglichen Schwingfrequenzen?
Und wenn man mal die mathematischen Modelle hergeleitet hat, die
Differenzialgleichungen mit den Randbedingungen, dann sieht es
natürlich so aus, wenn man das untersucht, dass sich rein theoretisch,
sind wir mal ganz kühn, ein Freiheitsgradsystem hat ein Eigenwert, ein
Zweifreiheitsgradsystem hat zwei, ein N-Freiheitsgradsystem hat N, ein
System mit beliebig vielen Freiheitsgraden hat beliebig viele
Eigenwerte, mathematisch kommt das auch raus, wo man dann ein bisschen
vorsichtig sein muss, wenn man die Ergebnisse anwenden will.
Warum?
Und wenn ich so einen schwingenden Balken habe, und habe Frequenzen,
die sehr sehr hoch sind, dann sind, ich drücke es mal in Wellenlängen
aus, die sehr sehr klein, wenn jetzt aber mal die Wellenlängen in der
Größenordnung sind von der Dicke des Balkens, dann wird klar sein, na
gut, dann können wir zwar unser mathematisches Modell noch weiter
verfolgen, aber das wird ein sehr schlechtes physikalisches Modell als
Hintergrund haben, weil ich dann nicht mehr alles über nur eine
Ortskoordinate darstellen kann, sondern das letztendlich vielleicht
ein dreidimensionales Schwingungsproblem ist.
Was heißt dreidimensionales Schwingungsproblem?
Wir hatten jetzt Beispiele, da hatten wir als Ortsabhängigkeit nur die
Abhängigkeit von einer Koordinate.
Spielt jemand ein Schlagzeug?
Weiß jemand, was eine Trommel ist?
Wir müssen in diesem Jahrgang ganz vorsichtig anfangen.
Also Trommeln hat schon jeder gesehen, was haben wir da?
Und da haben wir zunächst mal irgendwas über so einen Behälter
gespannt, das, was da drüber gespannt ist, das ist eine Membran.
Wenn man jetzt so eine Membran anschaut, dann ist das nicht ein
eindimensionales Kontinuum, wie wir das hier haben, sondern da braucht
man eben mindestens zwei Koordinaten, um das zu beschreiben.
Das wäre also ein zweidimensionales Kontinuum, dann hängt es eben ab
von zwei Ortskoordinaten.
Oder, wenn wir wirklich einen elastischen Körper haben, der schwingt,
dann haben wir eben eine Ortsabhängigkeit von drei Koordinaten.
Nun, die Gleichungen, die Sie erhalten, um so ein dreidimensionales
Kontinuum zu beschreiben, das geht eigentlich auch wieder relativ
einfach, nämlich so ein würfelförmiges Element freischneiden, an den
jeweiligen Flächen immer die drei Spannungen angeben und antragen,
wobei zu beachten ist, dass zwischen der linken Berandung und der
rechten Berandung sich die Spannungen ändern, genauso wie zwischen
unten und oben und vorne und hinten.
Wenn man das alles richtig macht und dann eine Kräftebilanz, was tritt
da auf, vielleicht eine Volumenkraft als gegebene äußere Kraft,
ansonsten die Spannungen multipliziert jeweils mit der entsprechenden
Querschnittsfläche und zum Schluss noch die Trägheitskraft, die ist
aber gerade roh, mal den Volumen, das war dxdydz, also so kommt man
relativ leicht auf die Differentialgleichungen, welche dann praktisch
so die dreidimensionale Wellenausbreitung beschreiben.
So, zum Schluss komme ich wieder auf meinen Biegebalken zurück.
Was wir bei dem nicht beachtet haben und auch beim Stab nicht, das
waren natürlich irgendwelche Dämpfungseffekte.
Wenn ich meinen hier zugegebenermaßen etwas leichten Balken nehme, da
kann es auch schwingen, wenn ich den errege.
Seine freien Schwingungen sind aber aufgrund des Materials relativ
stark gedämpft.
Wenn wir jetzt mal den beschreiben wollen und das an einem kleinen
Versuch machen, dann sehen wir, der reagiert eigentlich ein bisschen
anders, als wir das so von den normalen Biegebalken gewohnt sind.
Also egal, wo ich das mache, dazwischen bleibt es gerade, links und
rechts bleibt es gerade.
Und diejenigen, die vorne sitzen, die sehen das auch, wenn ich den
hier fest einspanne und drücke mal hinten drauf, dann geht er hinten
hoch.
Also das ist ein Balken, der reagiert eigentlich ganz ungewohnt.
Was bedeutet das?
Und das ist für den Stoff jetzt meine abschließende Bemerkung.
Wenn Sie solche Modelle machen und die dann nutzen, um praktisch Ihr
System vorherzusagen und letztendlich bei komplizierten Systemen
steckt man Modelle rein, macht komplizierte FEM-Rechnungen oder
irgendwelche Mehrkörperdynamikrechnungen usw.
Das, was Sie rauskriegen, ist immer nur so gut wie das Modell, was Sie
am Anfang haben.
Wenn Sie eben den Balken haben, der so ein komisches Verhalten hat wie
meiner hier, dann können Sie natürlich als Modell den Biegebalken
nehmen, aber das Ergebnis wird nicht das zeigen, was Sie dann
beobachten.
Deshalb immer sich bewusst sein, hinter allen Simulationen stecken
letztendlich Modelle.
So, jetzt hoffe ich, dass ich Sie mit der Mechanik, speziell mit der
Dynamik, Schwingungslehren, was alles dazugehört, nicht erschlagen
habe, dass Ihnen trotz der trockenen Materie vielleicht ein bisschen
Spaß gemacht hat.
Ich mache dann auch ein bisschen Werbung für unsere weiterführenden
Vorlesungen.
Zum Teil machen wir auch Exkursionen, also denken Sie da mal ein
bisschen dran.
Wobei wir zu Exkursionen vornehmlich auch natürlich Studenten
mitnehmen, von denen wir auch was haben, sprich die bei uns vertiefen
ein bisschen, weil wir da immer zusätzlich Geld reinbuttern.
Und Ihnen allen danke ich zunächst mal, dass Sie so lange ausgehört
haben.
In der Vorlesung, ich nehme mal an, alle anderen, die hören das dann
irgendwann später am Bildschirm, was ich persönlich sehr ätzend finde.
Der einzige Vorteil dabei ist, man kann vielleicht ein bisschen was
fespern oder einen Kaffee trinken oder auch einen Aperol Spritz oder
was weiß ich was.
Aber da sind wir schon beim nächsten Thema, nämlich eine Vorlesung
hören, dann Übungen machen und Spaß dabei haben, das ist das eine.
Der Spaß hört dann meistens auf, wenn es ernst wird und ernst wird es
in der Prüfung.
Ich weiß im Moment noch gar nicht, welche Prüfungs- oder was für
Prüfungsaufgaben drankommen.
Insofern kann ich jetzt das ganz beruhigt sagen, ich kann Ihnen auch
nichts verraten.
Aber was ich Ihnen verraten kann ist, achten Sie darauf, auch richtig
zu lernen.
Sie müssen sich immer vorstellen, Sie haben jetzt eine Prüfung über
einen Stoff aus zwei Semestern.
Ich rate mal so zu 14 Tagen intensiver Vorbereitungszeit.
Das heißt aber nicht, intensiv heißt zunächst mal, ich peile mal über
den Daumen, acht Stunden pro Tag.
Machen Sie die aber nicht im Stück, machen Sie die vielleicht immer so
zwei plus Pause plus zwei.
Dann eine größere Pause, gehen Sie vielleicht auch mal zwischendurch
laufen oder Fußball spielen oder irgendwas anders machen.
Und machen Sie die vor allen Dingen auch nicht so.
Ich kenne das von meinen Kindern, die auch immer so ein bisschen den
Griff zum mobilen Teil des Lebens haben.
Also während der Vorbereitungszeit am besten das Handy und all die
Dinge, die sie ablenken, weit weglegen.
Das zeigt einfach die Erfahrung.
Ich habe ja den Bekanntenkreis schon Studenten gehabt, die ich hätte
wirken können, weil die irgendwann zu spät registriert haben, dass sie
eigentlich falsch lernen.
Und das gilt es zu vermeiden.
Wie gesagt, beim Lernen auf das Lernen konzentrieren.
Party können Sie auch so wieder mal haben.
Auch während der Klausurenphase kann man mal Party haben.
Aber wie gesagt, vorbereiten konsequent.
Und das andere, was ich Ihnen raten kann, wenn Sie fit sind und
schnell, rechnen Sie auch nochmal die ganzen Übungsaufgaben zumindest
andeutungsweise durch.
Schauen Sie nochmal vielleicht in die Vorlesung, dass Sie kapieren,
was wird da eigentlich gemacht.
Mechanik macht man nicht durch reines Zuschauen und sich beriesen
lassen.
Da muss man wirklich Learning by Doing machen.
Richtig kapieren tun es erst diejenigen, die dann irgendwann als Hiwis
durch die Reihen marschieren und das den Studenten versuchen müssen zu
erklären.
Dann wird einem das oft zum ersten Mal so richtig selbstklar.
Was für Sie das Wichtigste ist, ist, dass Sie das richtige Schema auch
finden, aber auch schon dafür muss man Übung haben.
Und wenn Sie dann anfangen, all die Klausuren zu rechnen, ich würde
sagen, machen Sie so, rechnen Sie mal ein oder zwei Klausuren.
Durchaus Aufgabenstellung, Bearbeitung und Lösung, aber nach
spätestens der zweiten Klausur legen Sie rechts die Aufgabenstellung
hin und rechnen in der Mitte und die Lösung werfen Sie aus dem
Fenster, weil 90% der Kandidaten, die in die mündliche Prüfung kommen,
weil sie schon zweimal in der schriftlichen durchgefallen sind, die
kommen dann immer und sagen, Sie haben da alles gewusst in der
Vorbereitung.
Aber letztendlich haben Sie wirklich so gelernt, Aufgabenstellung,
hier gerechnet, da die Lösung.
Und das ist dann wirklich so, wenn die erste Schwierigkeit kommt, dann
wird kurz überlegt und dann, das hätte ich ja gewusst.
Dann wird weitergerechnet, dann kommt drei Zeilen später die nächste
Schwierigkeit, wo man was nicht weiß, der Blick nach links, das ist ja
klar, hätte ich ja gewusst.
Das hätten die alles gewusst, hätten das auch vielleicht in der
Prüfung gewusst, wenn das linke Blatt gewesen wäre, das dann in der
Prüfung, genauso wie das Mobiltelefon, nichts zu suchen hat.
Das betrifft auch das, da kann man sich jetzt drüber streiten, viele
lernen in Lerngruppen.
Also in der Gruppe zu lernen hat durchaus seine Vorteile, auch wenn
man dann konsequent lernt.
Aber Sie müssen immer dran denken, wenn Sie in der Gruppe lernen, dann
haben Sie immer ein paar starke Gruppenmitglieder drin, die fragt man
dann, diskutiert das dann und alles.
Letztendlich in der Klausur selbst sind Sie ein Einzelkämpfer oder
eine Einzelkämpferin.
Da geht es halt nicht mehr, dass man dann die anderen fragt.
Also zunächst mal würde ich sagen, hart trainieren, sonst wird man
nicht Weltmeister, wie vor kurzem.
Wer Weltmeister werden will, muss sicherlich ein hartes Training
hinlegen.
Gut, beim Fußball ist es ein Gruppenspiel, beim Leichtathletik
vielleicht eher so ein Einzelkämpfer.
Wie gesagt, in der Vorbereitungszeit macht es vielleicht sicherlich
mehr Spaß, wenn man auch mal das Spiel beim Fußball als Gruppenspiel
auffasst.
Aber letztendlich die Prüfung selbst, die müssen Sie ganz persönlich
bestehen.
Gibt es jetzt soweit noch irgendwelche Fragen?
Wenn nicht, dann wünsche ich Ihnen, die hier sitzen, allen eine sehr
erfolgreiche Klausur.
Ihnen gönne ich es, den anderen eigentlich auch.
Und ich hoffe, dass dem einen oder anderen vielleicht das Ganze doch
ein bisschen Spaß gemacht hat.
Wenn man das mal kapiert hat, ist es eigentlich gar nicht so wild.
Man muss nur mal die Philosophie, die dahinter steckt, ein bisschen
verstehen und auch Spaß haben, mal Selbsträtsel zu lösen.
Vielen Dank.