Warum?
Nun, ich fange mal vielleicht so langsam mit den Erklärungen an.
Wir haben zunächst mal die Vorlesung, immer montags hier im
Fasanengarten, zugegebenermaßen nicht der beste Vorlesungshörsaal,
weil die Studenten dann doch ein bisschen weiter weg sitzen.
Das ist, wie wenn man beim Fußball noch, was weiß ich was, fünf
Tartanbahnen dazwischen hat, dann hat man immer so ganz das nahe
Feeling.
Neben der Vorlesung gibt es dann auch Übungen.
Die Übungen, die leitet der Herr Yusbassiolo, er wird dann später
vielleicht auch noch ein paar Worte dazu sagen, zusammen mit dem Herrn
Becker.
Und bei den Übungen ist es ganz wichtig, da müssen sie nämlich
Übungsaufgaben bearbeiten.
Und die erfolgreiche Bearbeitung der Übungsaufgaben sind
Voraussetzungen, um letztendlich an der Klausur teilnehmen zu können.
Früher gab es in meiner Vorlesung eigentlich nur Maschinenbauer,
mittlerweile gibt es diverse Spezien hier, anderer Studienrichtungen,
zum Beispiel die Mechatronik.
Wichtig ist, die Blöcke, die Sie abprüfen wollen, das wären also für
die Maschinenbauer die TM3 und die TM4 in einer Prüfung, das wären für
die Mechatroniker nur die TM3, da benötigen sie für jeden Teil für
sich die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen.
Wie erlangt man die?
Ganz einfach, man muss die Übungsblätter bearbeiten, vollständig, muss
diese dann eine Woche später abgeben, die werden korrigiert, nicht
alle Aufgaben, aber eine Aufgabe davon.
Und wenn was falsch ist, dann kriegen sie das zurück, dann müssen sie
das verbessern und wieder abgeben, bis es irgendwann hoffentlich
richtig ist.
Sollten Sie mutwillig bestimmte Aufgabenteile nicht bearbeiten, dann
ist dieses Übungsblatt endgültig nicht anerkannt.
Auch wenn Sie Termine nicht einhalten, gibt es wie in der Industrie
eine Konventionalstrafe, die da heißt, Übungsblatt endgültig nicht
anerkannt.
Und brenzlig wird es natürlich, wenn man das mehrfach hat.
Warum?
Es gibt in einem Semester, was weiß ich, Wintersemester oder
Sommersemester, je nachdem, n Übungsblätter, n eine natürliche Zahl,
das werden sie dann feststellen und davon muss man n-1 anerkannt
haben.
Die Rechnung geht ganz einfach und ich gebe Ihnen einen Tipp, machen
Sie den Freischuss nicht unbedingt gleich am Anfang des Semesters.
Bei den Übungen und bei der Vorlesung lege ich allen auch ans Herz,
lassen Sie sich nicht blenden davon, dass am Anfang für die meisten
der Stoff ziemlich leicht erscheint.
Da müssen wir diejenigen, es soll ja auch Studenten geben, die vor dem
Studium klinisch rein waren, was die Physik betrifft, da muss man dann
gewisse Grundlagen legen, die haben andere, die einen
Physikleistungskurs haben, hatten natürlich schon lange hinter sich.
Dementsprechend sind in den Übungen auch die ersten Übungsblätter so
einfach, dass man die eigentlich während der Übung selbst anfertigen
kann.
Das wird sich aber irgendwann ändern und wenn man da den Anschluss
verpasst, endet es oft bitter.
Entweder mit mehrmaligem nicht bestehender Prüfung oder mit
Studienabbruch oder was weiß ich was.
Mein Tipp, gehen Sie immer in die Vorlesungen und legen Sie sich das
praktisch als Übung auch für Ihre Persönlichkeit auf, dass man
praktisch das, was man macht, wie im Beruf auch konsequent macht.
Bezüglich der Vorlesungen kommt jetzt was ganz Wichtiges, nämlich ich
muss eigentlich vor jeder Vorlesung ankündigen, wir zeichnen die
Vorlesung auf.
Sie können die nach einer gewissen Zeit im Internet abrufen.
Ich glaube entweder über die Bibliothek, wir haben auch einen eigenen
YouTube -Kanal, aber ich habe glaube ich einmal reingeschaut, also ich
bin kein so ein YouTuber, mich interessiert das weniger.
Ich gebe auch einen Tipp an alle etwas weltoffeneren Studentinnen und
Studenten, wie öde muss es doch sein, eine Vorlesung zu Hause am
Rechner einsam anzuschauen.
Nehmen Sie doch die Gelegenheit, gehen Sie in die Vorlesung, setzen
Sie sich neben eine attraktive Studentin oder einen attraktiven
Student.
Das ist doch eigentlich viel schöner, als daheim im öden Zimmer, oder?
So, bezüglich der Übungen gibt es noch zu sagen, die finden bei uns
getrennt statt, getrennt nicht nach Geschlecht, sondern nach
Anfangsbuchstaben.
Wir kontrollieren natürlich nicht, ob sie auch da sitzen, wo ihr
Anfangsbuchstabe ist.
Das Ganze hat aber den Hintergrund, die Übungsblätter, die
korrigierten, müssen zurückgegeben werden und die werden in dem
Hörsaal zurückgegeben, der ihrem Anfangsbuchstaben entspricht.
Da die Übungen in Daimler und Benz stattfinden, herrscht dort auch
noch ein bisschen Platz, den man nutzen kann.
Dementsprechend werden die Übungen so ablaufen, dass jede dritte Reihe
frei bleibt.
Warum?
Es wird eine Übungsaufgabe exemplarisch vorgerechnet und dann sind Sie
diejenigen, die rechnen sollen.
Dann wird nämlich die erste Hausaufgabe von Ihnen begonnen und wir
haben dann ein Herr von Mitarbeitern und TV's, die dann durch die
Reihen gehen.
Das heißt, wenn Sie irgendwelche Fragen haben, können Sie dann direkt
fragen.
Dann hat man im Allgemeinen einen leichten Einstieg in das
Übungsblatt, in die Problematik und kann, wenn man das ein bisschen
gut macht, unheimlich viel Zeit sparen.
Das ist auch viel effektiver als zu Hause, als daheim im stillen
Kämmerlein.
Herr Yusbasiolo, haben Sie noch irgendwie Anmerkungen zur Übung?
Ja, hallo.
Also wichtig ist, die erste Übung findet schon nächste Woche statt, am
Donnerstag um 14 Uhr.
Also die Übungen sind regelmäßig immer am Donnerstag.
Nur in der ersten Woche findet auch am Donnerstag eine Vorlesung
statt.
Und den genauen Ablauf über Testdaten und Vorleistung sprechen wir
dann in der Übung.
Ja, das war es von meiner Seite.
Also was ich vergessen habe zu sagen, wenn wir die Vorlesung
aufzeichnen, wer aus Datenschutzgründen nicht ins Bild kommen will,
also ich kann mir nicht vorstellen, dass irgendwie Studenten da
getroffen werden, während er filmt.
Vielleicht macht er das auch mutwillig, ich weiß es nicht.
Wenn ich als schon mal das kurz reingeschaut habe, dann war eigentlich
immer ich zu sehen.
Wer also nicht will, dass irgendwo auf der Welt jemand ihn sieht, weil
er zufällig so ein Video sieht, der mag sich bitte so setzen, also
weitgehend an den Rand oder nach hinten, damit er nicht ins Bild
kommt.
Ich bin aus datenschutzrechtlichen Gründen eigentlich gezwungen, dass
jede Vorlesung erneut anzukündigen.
Ich sage aber jetzt an der Stelle dazu, ich vergesse das mal so nach
der fünften, sechsten Vorlesung und bin ehrlich gesagt auch der
Meinung, ein Student der Maschinenbau in Karlsruhe studiert oder eine
Studentin, die hier studiert, die sollte das eigentlich nach fünf oder
sechs Vorlesungen begriffen haben.
Sollte das nicht der Fall sein, empfehle ich vielleicht sich zu
exmatrikulieren.
Sie lachen alle.
Beim Stil der Vorlesung werden sie feststellen, der Seemann, der
schreibt relativ viel an.
Wir machen Vorlesungen praktisch Theorie und wie gesagt, geübt wird in
der Übung.
Natürlich wünschen sich die Studenten sehr viel mehr Beispiele, das
sei ihnen auch zugestanden.
Nichtsdestotrotz müssen wir den Stoff durchbringen und eigentlich
sollte ein Student des KIT Maschinenbau nach vier Semestern in der
Mechanik so viel Ahnung haben, dass er auch weiß, was theoretisch
dahinter steckt.
Das wenn er im Berufsleben oder sie im Berufsleben irgendwie mal auf
ein Problem trifft, dass es nicht mehr so Standard ist, dass man weiß,
wie man sowas angeht.
Die große Frage der Studenten ist immer, gibt es denn ein Skript?
Nun, es gibt viele Skripte.
Speziell zu dieser Vorlesung gibt es kein offizielles Skript.
Das hat aber mehrere Gründe.
Punkt 1, wir sind hier an der Uni, wo man auch das Lernen lernen soll.
Also kommen Sie in die Vorlesung, machen Sie sich ein bisschen
Mitschrieb.
Zuhause mittlerweile mit den Aufzeichnungen kann man das noch ein
bisschen nachbereiten.
Punkt 1, Sie sollen auch lernen, Stoff sich aus Büchern selbst zu
erarbeiten.
Das, was wir normalerweise machen und wenn die Kollegen noch Skripte
austeilen, das ist für die Geisteswissenschaftler keine Uni, das ist
Schule.
Deshalb schauen Sie mal ein bisschen über den Tellerrand raus, das war
Punkt 1.
Punkt 2,
vielleicht kennen Sie das blaue Buch bzw.
die blauen Bücher, Hibberler, schon aus der TM 1-2.
Wer kennt die nicht?
Anscheinend kennen die alle.
Also der Hibberler ist ein amerikanischer Autor.
In Amerika wird Geld verdient, das macht man nur, wenn man eine hohe
Auflage hat und eine hohe Auflage kriegt man, wenn man schöne Bilder
macht.
Die heutige Jugend, die liebt neue Medien und schöne Bilder und
dementsprechend sind die amerikanisch angehauchten Bücher entsprechend
aufgemacht.
Mein Kollege Wauer und ich, wir haben das mal dann praktisch im
Auftrag des Verlags übertragen in das deutsche System, was nicht ganz
einfach ist, weil Sie müssen sich das so vorstellen, der Amerikaner,
der rechnet eine Aufgabe, der setzt von der ersten Zeile an
Zahlenwerte ein.
Der hat immer vier Nachkommastellen, der kommt vor lauter Tippen nicht
mehr nach.
Wenn irgendein Wert, eine Länge oder irgendwas geändert wird, muss er
alles noch mal machen.
Das widerspricht dem europäischen oder dem deutschen System.
Das heißt, das wurde dann angepasst an das deutsche System, dass man
mit Symbolen rechnet und erst ganz zum Schluss, um vielleicht auch das
Ergebnis zu überprüfen, dann Zahlenwerte einsetzt.
Das TM3 Buch, das deckt den Stoff der Vorlesung ab.
Es ist nicht eins zu eins, so wie ich den bringe, aber der Vorteil,
wie gesagt, es gibt tausende Übungsaufgaben.
Es gibt Übungsaufgaben, wo die Lösungen vorgeführt sind.
Es gibt Übungsaufgaben, wo man dann nur selbst rechnen muss und die
Lösung dann findet, also die Endlösung zum Schluss findet.
Nehmen Sie davon Regengebrauch.
Das war Punkt 1.
Und mittlerweile gibt es ja auch die Bibel des Maschinenbaus vom
Konkurrenzverlag.
Sie sehen vom Umfang her so eine richtige Bibel.
Und wenn man dann nachschaut, dann gibt es da auch den Seemann 1 in
Abschnitt 9 mit verschiedenen Kapiteln, also ähnlich wie in der Bibel.
Die Punktmechanik oder die Dynamik und Kinematik des Massenpunktes,
das war nicht von mir, das war ein Kollege von der Fachhochschule.
Allerdings, wenn es dann um starre Körper geht, sowohl die ebene
Bewegung als auch die räumliche Bewegung, das sind praktisch das, was
da drin ist, ist 1 zu 1, was in der Vorlesung kommt.
Da habe ich das Vorlesungsmanuskript als Vorlage gehabt.
Also da braucht man dann wirklich eigentlich kein separates Skript
mehr.
Und Sie haben ja den Vorteil, wenn ich richtig informiert bin, Sie
müssen nicht, wie ich dann, so eine dicke Bibel mit sich rumschleppen.
Wobei, wenn man sich wehren muss, weiß ich nicht, was besser ist.
Der E-Book Reader oder das dicke Buch.
Es gibt das für Sie, glaube ich, kostenlos zum Download auch in der
Bibliothek.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann habe ich jetzt nochmals eine Ankündigung.
Und zwar wurde ich gebeten, das nochmal anzukündigen vom MINT-Kolleg.
Es gibt wohl noch freie Termine.
Diejenigen, die da Bedarf haben, nehmen Sie davon Gebrauch.
Lernen Sie auch zu lernen.
Ich bin ganz ehrlich, ich predige den Studenten immer, so und so müsst
ihr lernen.
Und speziell bei mündlichen Prüfungen, die man ja hat, wenn man
zweimal durch die schriftliche Prüfung gefallen ist, dann frage ich
die Studentinnen und Studenten immer, ihr habt so gelernt und so
gelernt und so gelernt.
Und dann machen die in 95% der Fälle nur so und nicken zustimmend.
Also es war auch die Art und Weise, wie man lernt.
Und ich selbst habe das schon im Bekanntenkreis gehabt.
Also selbst Bekannte hören dann nicht auf einen und machen dann
schmerzlich die Erfahrung, na gut, unter Umständen geht es schief.
Es wird ja viel diskutiert über Handys an Schulen.
Und die Smart-Handys, die sind ja recht und schön.
Besonders wenn es um die, was weiß ich, für die Jüngeren,
wahrscheinlich die WhatsApp und Dating-App und was weiß ich, was es da
alles gibt.
Aber sie sind auch eine ganz große Gefahr.
Wenn Sie Übungsblätter machen oder sich auf die Klausur vorbereiten,
denken Sie immer daran, man lässt sich sehr leicht ablenken.
Es gibt viele Studentinnen und Studenten, die sich glaube ich
mittlerweile nur noch eine Viertelstunde konzentrieren können, lernen
sie sich auch längere Zeit zu konzentrieren.
Eine Klausur bei uns dauert drei Stunden, da muss man dann eben durch.
Und wenn dann alles rum ist, dann können Sie wieder loslegen.
Damit kommen wir jetzt so langsam zur Vorlesung.
Vielleicht noch eine kleine Ankündigung.
Normalerweise lasse ich es mir nicht nehmen, die Vorlesung selbst zu
halten.
Der Herr Jüspal Pasiolu hat ja schon die gute und die schlechte
Nachricht verkündet.
Die schlechte Nachricht war natürlich, dass am Donnerstag keine Übung
stattfindet.
Die gute Nachricht, dass dafür eine Vorlesung dann in einem der beiden
Hörsäle stattfindet, das wäre dann der Benz Hörsaal.
Ich weiß, der ist, wenn viele kommen, etwas eng. Ich hoffe trotzdem,
dass Sie da kommen.
Leider hat man mir da eine Promotionsprüfung reingelegt, ohne mich zu
fragen.
Also ich muss mich in der Vorlesung vertreten lassen.
Ich muss mich am Montag darauf, also heute in der Woche, leider auch
vertreten lassen.
Dann findet schon die erste Übung statt.
Und heute in 14 Tagen hoffe ich, dass ich die Vorlesung halten kann.
Ich selbst habe nächste Woche einen Krankenhaustermin, da heißt es
eigentlich mindestens eine Woche schonen.
Aber die Ärztin hat eingesehen, Professoren ticken manchmal etwas
anders.
So, wie gesagt, kommen wir jetzt zur Vorlesung.
Pssssss.
Und wenn wir TM 3 TM 4 machen, dann gibt es im Wesentlichen zwei
Gebiete.
Die TM4.
Ja.
Leiser.
Lauter.
So besser?
Ist das so besser?
Jetzt besser?
Also bei der TM34 gibt es im Wesentlichen zwei große Blöcke.
Nämlich zum einen die Kinematik und zum anderen die Kinetik.
Weil ich links schreibe, dann schreibe ich in der Tafel drunter links,
dann schreibe ich rechts und dann drunter.
Alle sind drahtlos.
Es kommt immer drauf an.
Also ich kann ein Auto zunächst mal als Massenpunkt modellieren.
Dann unten drunter eine Feder und einen Dämpfer und dann habe ich die
Straße als Unebenheit.
Und jetzt fährt das Auto da drüber und regt den Massenpunkt zu
Schwingungen an zum Beispiel.
Ich habe hier das, gut, könnte ich jetzt hochwerfen, dann bewegt sich
das.
Wenn ich jetzt mal in den Weltraum schaue, da sind die Dimensionen so
groß, da ist ein Planet letztendlich zunächst mal auch nur ein
Massenpunkt.
Also es kommt immer drauf an, was ich eigentlich aussagen will.
Ein Modell sollte immer so kompliziert sein wie nötig und so einfach
wie möglich.
Und vor allen Dingen muss es das natürlich auch enthalten, was ich
untersuchen will.
Wie gesagt, Massenpunkt, gut, wenn ich den hochwerfe, dann fliegt er
da durch den Raum.
Bei dem Massenpunkt, wer genau hinschaut, da sieht man, so ein
richtiger Massenpunkt könnte es nicht sein.
Der fliegt zwar hoch und runter wie ein Massenpunkt, aber einmal ist
er rot, einmal ist er gelb.
Also da wird irgendwie so ein bestimmter Mechanismus drin sein, wenn
man das genau anschaut, dann gibt es da verschiedene Körper und
Elemente, die sich dann praktisch im Massenpunkt bewegen, aber das ist
natürlich für die globale Bewegung dieses Balles, sage ich mal,
weniger relevant.
Das Erste wäre so ein Massenpunkt.
Als Nächstes können wir dann so eine Gesamtheit vielleicht modellieren
als ein System von verschiedenen Massenpunkten.
Also ein Massenpunktsystem,
das wäre zum Beispiel das Sonnensystem, wo eben irgendwo ein großer
Massenpunkt ist, die Sonne.
Dann haben wir die Planeten, dann haben wir noch die einzelnen Monde
von den Planeten, die es da gibt, und letztendlich üben die alle
Kräfte aufeinander aus und bilden so ein System von Massenpunkten.
In unserer Vorstellung ist ja zunächst einmal die Sonne immer irgendwo
fix.
Wenn man sich das überlegt, ja gut, dann kann die gar nicht so fix
sein, auch die bewegt sich ein bisschen und natürlich wissen wir,
unser Sonnensystem, das bewegt sich dann in der Milchstraße und die
Milchstraße bewegt sich wieder im Weltraum.
Man kann das beliebig verkomplizieren, aber im Prinzip immer als
Massenpunktsystem.
Das Nächste ist dann der starre Körper.
Nun, wie unterscheidet der sich vom Massenpunkt?
Ganz einfach, der hat eine bestimmte Ausdehnung.
Und je nachdem, wie die Masse da verteilt ist, hat der
unterschiedliche Eigenschaften.
Ich habe mal hier so eine schiefe Ebene mitgebracht und einfach zwei
starre Körper.
Wir wissen, wenn wir so einen Zylinder auf eine schiefe Ebene legen,
dann rollt der runter.
Das macht natürlich der andere Körper genauso.
Und dann sehen wir, wenn ich die zusammen drauf lege, dann rollen die
zusammen runter, oder?
Ich lege sie nochmal drauf.
Aber plötzlich rollen die nicht mehr zusammen runter.
Also man sieht, da gibt es wohl einen Unterschied.
Wenn wir das als Massenpunkt modellieren würden, dann würden wir
sagen, es gibt die Erdbeschleunigung, die das Ganze beschleunigt.
Bei einem Massenpunkt gibt es ja nur Rutschen, da kann sich nichts
drehen.
Da rutscht das Ganze die schiefe Ebene runter, egal wie groß die Masse
ist, die Beschleunigung ist immer dieselbe.
Hier haben wir jetzt zwei unterschiedliche Massen, weil das eine ein
Vollzylinder, das andere ein Hohlzylinder ist, aber wir sehen, die
Beschleunigungen sind unterschiedlich.
Und das kommt natürlich daher, dass die Trägheitseigenschaften dieser
beiden Körper unterschiedlich sind.
So, das ist aber nicht das Einzige,
was dann später bei der TM4 wichtig wird.
Im Vergleich zu dem, was wir jetzt hier hatten.
Hier hat sich der Körper translatorisch bewegt und gleichzeitig
rotiert.
Allerdings war die Winkelgeschwindigkeit,
später werden wir sehen, das ist ein Vektor.
Ein Vektor hat immer einen Betrag und eine Richtung.
Und die Richtung des Vektors, gemäß der rechten Handregel, war dann
Richtung Studenten gerichtet.
Und ganz einfach, die Richtung hat sich während der Bewegung nicht
geändert.
Das ist eine ebene Bewegung, das heißt bei der ebenen Bewegung von
einem starren Körper, bewegen sich die einzelnen Punkte des starren
Körpers auf Ebenen oder in Ebenen, die parallel sind.
Gut, der rechte Punkt ist der Walze und der linke Punkt, die bewegen
sich in unterschiedlichen Ebenen, aber die Ebenen sind parallel.
So etwas kann ich natürlich auch hier machen.
Ich kann den rotieren lassen.
Gut, wenn ich den hochwerfe, wissen wir, der wird beschleunigt durch
die Erdbeschleunigung, sprich zunächst mal abgebremst, dann nach unten
beschleunigt.
Wenn wir es aber mal so machen, dann sehen wir, der fängt plötzlich an
zu taumeln.
Das hat einen Grund in der räumlichen Bewegung.
Und dann werden wir später in TM4 feststellen, so ein starrer Körper,
der wird nicht nur beschrieben durch die Masse, die Masse ist ja eine
Skalaregröße, sondern da gibt es sogar einen Tensor.
Wer hat schon mal was von Tensoren gehört?
Eigentlich alle.
Was, Steifigkeits- und Entspannungstensor, Verzerrungstensor,
Nachgiebigkeits - und Steifigkeitstensor usw.
Das sind alles, gut, das eine Tensor in zweiter Stufe, das andere
Tensor in vierter Stufe, dann gibt es noch andere Stufen.
Und wie gesagt, die Trägheitseigenschaft von so einem Körper wird dann
beschrieben durch die Masse.
Und den Trägheitstensor, auch ein Tensor zweiter Stufe, werden wir
noch sehen.
Für die Studenten ist das immer zunächst mal ein bisschen kompliziert.
Und das führt dann aber letztendlich bei der Bewegung zu Effekten.
Ich habe jetzt leider keinen Kreisel dabei, weil der Kreisel wirklich
richtig schwer ist, den bringe ich dann im Sommersemester mit.
Bei so einem Kreisel, da treten Effekte auf, die man zunächst mal gar
nicht so erwartet.
Und die lassen sich aber wirklich erklären, ganz einfach mit Hilfe des
Trallsatzes und dadurch, dass praktisch eine dreidimensionale Bewegung
vorliegt.
Das wäre also das, was wir zum starren Körper sagen können.
Das nächste wäre dann natürlich ein System starrer Körper.
Könnte man auch sagen, ein Mehrkörpersystem.
Und da kennen wir natürlich auch zig Beispiele.
Denken Sie einfach an einen Industrieroboter.
Der besteht aus vielen einzelnen starren Körpern, die über Gelenke
miteinander verbunden sind.
Oder denken Sie vielleicht an ein Auto.
Wenn wir mal annehmen, die Karosserie sei starr, was sie in
Wirklichkeit nicht ist.
Dann haben wir die Reifen, dann haben wir vielleicht den Fahrer als
Massenpunkt oder als starren Körper drin, den Aufbau.
Oder wenn wir das noch weiter treiben, je nachdem, was für eine
Aufgabenstellung wir lösen wollen, dann müssen wir vielleicht wissen,
der Motor ist in der Karosserie gelagert.
Heutzutage so, dass praktisch jeglicher Bauraum verbaut ist.
Das heißt, da wird dann vielleicht wichtig, wenn der federnd gelagert
ist, gibt es da irgendwelche Kollisionen mit der Karosserie, dann muss
ich das natürlich entsprechend alles modellieren, muss den Motor
separat als starren Körper modellieren usw.
Oder wenn ich den Antriebsstrang betrachte, da habe ich dann das
Getriebe mit verschiedenen Getriebestufen, dann habe ich die Kupplung,
dann habe ich das Schwungrad, habe vielleicht den Motor selbst, der ja
die Antriebsbälle hat und die Pleudelstangen und was da alles
dazugehört.
Also ich kann das schon relativ kompliziert machen, wenn ich da
voraussetze, ich habe starren Körper und betrachte das als System von
starren Körpern.
Und das letzte wäre dann etwas als flexible Körper zu modellieren.
Also ein elastischer Körper,
das wird vielleicht wichtig, wenn Sie nachgiebige Elemente haben, kann
zum Beispiel dann der Fall sein, wenn das möglichst wenig Gewicht
haben soll, also eine typische Anwendung wäre vielleicht im Weltraum,
wenn Sie da irgendwelche Solarpaneele haben, die müssen dann
ausklappen, die sollen aber relativ leicht sein, also hat man sehr
nachgiebige Strukturen und dann sind die eben nicht mehr starr,
sondern so nachgiebig.
Ich habe mal hier die Überreste aus einem alten Schirm mitgebracht.
Jeder sieht es, das ist natürlich eine Feder.
Jetzt könnte ich sagen, na gut, wenn ich oben irgendwas habe und unten
ein Körper, dann ist die Feder ein Element zwischen den beiden
Massenpunkten oder Körpern.
Ich kann jetzt aber auch sagen, na gut, die Feder, die hat ja auch ein
Eigenleben, die bewegt sich ja, oder denken Sie mal an ein Springseil
oder was weiß ich, eine Hochspannungsleitung, auch eine
Hochspannungsleitung kann schwingen, dann hätten wir sozusagen
elastische Körper und dann ist die Frage, wie können wir die
modellieren, können wir da kontinuierliche Modelle machen, oder sagen
wir, na gut, wir nehmen einfach mal, wenn ich jetzt so ein kleines
Stück da rausnehme, dann ist das relativ hart oder relativ steif im
Vergleich zum Rest, also ich füge praktisch so kleine Elemente
aneinander mit jeweiligen Steifigkeiten, die ich dann natürlich als
Ersatzsteifigkeiten bestimmen muss.
Das sind dann Fragestellungen, die eher Richtung Spezialvorlesungen
gehen.
Und natürlich wissen wir, die einfachsten Modelle, das ist von oben
nach unten hin zu komplizierteren Modellen, das heißt von unten nach
oben nimmt der Abstraktionsgrad zu und die Komplexität der Modelle,
die nimmt nach unten zu.
Gibt es soweit Fragen?
Dann fangen wir jetzt mit der Kinematik an,
und zwar des Punktes.
Also Aufgabe wäre dann vollständige Beschreibung der
Bewegung eines Massenpunktes
im raumfesten Bezugssystem.
Hilfsmittel, die wir dazu haben,
sind dann entsprechend Vektoren,
beziehungsweise Koordinaten.
Und beim raumfesten Bezugssystem, da müssen wir schon mal ein bisschen
vorsichtig sein.
Ich darf es nicht machen, wenn ich die Kreide durch den Raum werfe,
dann wäre das mit guter Ernährung ein Punkt, der sich im Raum bewegt.
Jetzt könnte man natürlich sagen, na gut, unser Hörsaal ist ja fest,
also beschreiben wir die Bewegung in diesem Hörsaal als Bewegung im
raumfesten Bezugssystem.
Dann wissen wir, die Erde, die dreht sich doch, oder?
Also ist eigentlich der Hörsaal nicht raumfest.
Dann bewegt sich die Erde noch um die Sonne.
An der Stelle setzen wir mal nur voraus, wir beschreiben das in einem
Bezugssystem.
Was dann als nächster Schritt irgendwann kommt, in der nächsten oder
übernächsten Vorlesung oder in drei Vorlesungen, ist, dass wir bewegte
Bezugssysteme einführen, sogenannte Relativsysteme.
Was ist das?
Nun, wenn Sie in der Straßenbahn fahren und wollen sich festhalten,
dann planen Sie die Bewegung Ihrer Hand praktisch im Bezugssystem
Straßenbahn.
Die Bewegung Ihrer Hand im raumfesten, sprich Straßenfestensystem wird
viel komplizierter sein, weil die Straßenbahn vielleicht gerade eine
Kurve fährt oder sich beschleunigt oder wie auch immer.
Und wir wissen natürlich später in der Kinetik, da gibt es dann
Effekte, wenn ich jetzt die Augen zumache und gehe, dann wird es im
Hörsaal relativ einfach sein, weil der nährungsweise raumfest ist,
also in einer sehr guten Nährung.
Wenn ich das in der Straßenbahn mache, dann kann das schwierig werden,
wenn die plötzlich eine Kurvenfahrt beginnt.
Da scheinen plötzlich Kräfte auf einen zu wirken.
Das sind natürlich Kräfte, die es nicht gibt, das sind Scheinkräfte,
das sind die Trägheitskräfte, aber das sehen wir dann später noch.
Und wenn wir Vektoren haben, wie stellen Sie Vektoren im Allgemeinen
dar?
Durch entsprechende Koordinaten, oder?
Was weiß ich, A, B, C.
Wir wählen uns drei Richtungen, oder?
Ja oder nein?
Ja.
Sag ich ja Antworten.
So, wenn wir jetzt plötzlich, na gut, dann müssen wir sagen, bezüglich
dreier Richtungen, oder?
So, jetzt nehmen wir plötzlich andere Richtungen, was passiert?
Dann habe ich da plötzlich stehen, nicht mehr A, B, C, sondern andere
Werte, ich nenne die mal D, E, F.
Ui, das ist ja der Vektor ein anderer, oder?
Wie?
Betragsmäßig gleich, sagt er.
Aber der ist doch anders, oder?
Jein, Sie gehen mir alle ein bisschen auf den Leim zumindest.
Viele sagen, der Vektor ändert sich.
Der Vektor ändert sich natürlich nicht, er hängt auch nicht vom
Bezugssystem ab, sondern die Darstellung bzw.
die Koordinaten hängt von den gewählten Basisrichtungen ab.
Der Vektor selbst ist immer derselbe.
Ein Vektor ist gekennzeichnet durch Betrag und Richtung, ein Tensor
erster Stufe, also der bleibt immer gleich, das ist ähnlich wie mit
dem Spannungs- und Verzerrungstensor.
Wenn ich da den richtigen Tensor habe, dann ist die
Richtungsinformation noch drin.
Wenn ich mit rechnen will, muss ich irgendwann Koordinaten einführen,
muss mir Richtungen vorgeben, wenn ich die Richtungen, bezüglich derer
ich alles auswerte, ändere, dann ändert sich natürlich die
Darstellungsform, sprich die Matrix, aber der Tensor bleibt derselbe.
Um das vielleicht ein bisschen kenntlich zu machen, notieren wir
Vektoren nicht mit einem Pfeil drüber, sondern ähnlich wie eine Matrix
mit einer Tilde drunter.
Das heißt, wenn wir jetzt als nächstes Ortsvektor, Geschwindigkeit und
Beschleunigung betrachten,
dann sind das zunächst mal drei Vektoren und wenn wir mal mit dem
Ortsvektor beginnen,
den bezeichnen wir als R von T,
dann bewegt sich zunächst mal der Punkt auf einer Bahn, das wäre also
die Bahn des Punktes, dann haben wir den irgendwo hier,
jetzt müssen wir die Bewegung beschreiben, na gut, dann führen wir
zunächst mal im Bezugssystem ein Koordinatensystem ein, zum Beispiel
ein kathesisches XYZ, mit entsprechenden Einheitsvektoren in die
jeweiligen Richtungen, das weiß ich, EX in X-Richtung, EY in Y
-Richtung und EZ in Z-Richtung, das heißt, dann können wir das R, den
Ortsvektor, der ja eine Funktion der Zeit ist,
darstellen als, na gut, Koordinate in X-Richtung mal EX,
plus Koordinate Y in Richtung von EY, plus Koordinate Z in Richtung
von EZ und wir sehen, EX, EY und EZ, das sind raumfeste
Einheitsvektoren, die ändern sich mit der Zeit nicht, wenn also der
Ortsvektor R von der Zeit abhängt, kann das nur dadurch geschehen,
dass die Koordinaten von der Zeit abhängen, also haben wir X von T,
bzw.
Y von T und Z von T.
Die Zeit ist praktisch ein Parameter des Ganzen und die Dimension
Meter.
Also wenn Sie irgendwelche Ergebnisse berechnen und dann mal die
Dimensionen abschätzen, dann merken Sie sofort, dass irgendetwas
falsch sein muss, wenn für einen Ortsvektor eine andere Dimension als
Meter rauskommt, wenn für eine Zeit eine andere Dimension als Sekunde
rauskommt oder wie auch immer.
Für eine Kraft kein Newton, sondern, das weiß ich, Newtonmeter, da
lässt sich schon sehr viel ablesen.
Man sieht also, der Ortsvektor, vielleicht zeichnen wir den noch ein,
das wäre in dem Fall der Vektor.
Wenn wir als Ursprung des Koordinatensystems diesen Punkt festlegen,
dann war der Ortsvektor der Vektor vom Bezugspunkt zum Punkt selbst.
Also wie gesagt, erster Punkt, wir führen ein Bezugssystem ein.
Zweiter Punkt, wir führen ein Koordinatensystem ein.
Wir haben jetzt ein kartesches Koordinatensystem eingeführt, können
wir hier auch machen.
Wir könnten zum Beispiel eines einführen mit Ursprung ganz in der Ecke
oder eines mit Ursprung da hinten in der Ecke oder eines irgendwo mit
Ursprung da oben.
Wir könnten aber auch andere Koordinatensysteme einführen im selben
Bezugssystem.
Zum Beispiel Zylinderkoordinaten.
Also neben
kartesischen auch
andere Koordinaten möglich.
Zum Beispiel Zylinder
-Kugel -Koordinaten oder natürliche Koordinaten.
Alles im selben Bezugssystem.
Und nochmals als Anmerkung, wir haben jetzt als Vektorbezeichnung eine
Größe mit einer Tilde, zum Beispiel Q.
Das heißt, der Betrag von Q,
den bezeichnen wir dann im Allgemeinen nur mit Q, ohne Tilde.
Mit ein paar ganz wenigen Ausnahmen werden wir sehen, zum Beispiel
dann, wenn wir Zylinderkoordinaten einführen, dann ist der Abstand des
Punktes von der Z-Achse gerade das R, obwohl der Ortsvektor
Komponenten hat in ER-Richtung und in EZ-Richtung.
Also der Betrag ist dort nicht der Abstand des Punktes von der Z
-Achse, sondern da kommt noch was hinzu.
Und neben dem Ortsvektor gibt es dann zur Beschreibung natürlich den
Geschwindigkeitsvektor.
Das V von T, das ist dann letztendlich ein Maß für die Lageänderung
pro Zeit.
Also ist die Lageänderung in einem bestimmten Zeitintervall groß, wird
es eine große Geschwindigkeit sein, wird es eine kleine
Geschwindigkeit sein.
Das Ganze kann man sich dann so vorstellen, wir beginnen wieder mit
unserem kathesischen Koordinatensystem.
In unserem Bezugssystem, wir haben die Bahn des Punktes und jetzt
betrachten wir den Ortsvektor des Punktes zu zwei benachbarten
Zeitpunkten, also haben wir einmal zum Zeitpunkt T,
das R von T,
da haben wir also den Zeitpunkt T, zu einem Zeitpunkt T plus Delta T,
haben wir dann den Ortsvektor R von T plus Delta T, der sich gegenüber
dem Ortsvektor R von T geändert hat.
Die Änderung, die können wir bezeichnen als Delta R.
Und jetzt können wir zunächst einmal bei endlichen Änderungen Delta R
dividiert durch Delta T bilden, das wäre dann so eine mittlere
Geschwindigkeit.
Und jetzt sehen wir, wenn ich mein Delta T jetzt starten lasse und
lasse es immer noch laufen und jetzt ist Delta T am Ende, dann ist
meine Positionsänderung klein, die mittlere Geschwindigkeit wäre
klein, obwohl die natürlich während des Zeitintervalls davon
wesentlich verschieden war.
Der Momentanwert der Geschwindigkeit, den erhalten wir, dass wir den
Grenzübergang bilden, dass nämlich das Delta T gegen 0 geht,
also Momentangeschwindigkeit
durch Delta T gegen 0, das heißt der Grenzwert von Delta R durch Delta
T für Delta T gegen 0,
das ist gerade Limes und jetzt haben wir R von T plus Delta T minus R
von T durch Delta T für Delta T gegen 0.
Das ist dann gerade die Ableitung von R von T, also DR von T nach DT,
also R Punkt und das wird jetzt definiert als Geschwindigkeit V.
Man sieht, die Geschwindigkeit ist damit ein Vektor.
Ui, oftmals haben wir Geschwindigkeit auch als einfach eine skalare
Größe.
Was ist denn das?
Und das ist dann meistens der Betrag der Geschwindigkeit.
Im Deutschen heißt beides Geschwindigkeit, da kann man das nicht so
gut unterscheiden.
Im Englischen gibt es zumindest mal die Begriffe Speed und Velocity.
Jetzt kann man fragen, welcher Begriff ist welcher.
Wenn man Speeding hat in den USA und ein Ticket bekommt, was war dann?
Dann war der Betrag der Geschwindigkeit zu groß, also Speed bezeichnet
den Betrag der Geschwindigkeit und das andere wäre die Velocity, das
ist so der Geschwindigkeitsvektor.
Wie gesagt, im Deutschen hat man nur die Geschwindigkeit.
Und die Österreicher sind ja etwas findiger, die haben dann noch so
einen Mix zwischen mittlerer Geschwindigkeit und mittlerer
Betragsgeschwindigkeit, wo nämlich?
Wer war in Österreich schon mit dem Auto unterwegs?
Niemand?
Also wenn Sie mit dem Auto in Österreich unterwegs sind, kommt oft mal
vor, Section Control, ein neudeutsches Wort, was passiert da?
Und da wird das Kennzeichen an einem bestimmten Punkt aufgenommen und
wenn Sie aus der Sektion irgendwann wieder rausfahren, dann wird das
Kennzeichen nochmal aufgenommen, dann wird geschaut, wie lange haben
Sie benötigt, um vom einen Kontrollpunkt zum anderen zu kommen.
Und die Länge dazwischen, die kennt man, wenn man das durch das
Zeitintervall dividiert, gibt das so einen Betrag der mittleren
Geschwindigkeit und wenn der höher ist als die erlaubte
Geschwindigkeit, dann hat man auf jeden Fall irgendwann mal die
zulässige Höchstgeschwindigkeit überschritten und darf bezahlen.
Dimension, gehen wir das auch noch an, der Geschwindigkeit, Meter pro
Sekunde.
Jetzt hatte ich den Betrag der Geschwindigkeit schon erwähnt.
Da haben wir Betrag von V gleich V
und da können wir jetzt die Bogenlänge entlang der Bahn betrachten und
dann ist praktisch der Betrag der Geschwindigkeit die Ableitung der
Bogenlänge nach der Zeit.
Also ds nach dt.
Wie gesagt, ds die Bogenlänge.
Also s gleich Bogenlänge entlang
der Bahn.
Und wenn wir die Geschwindigkeit als Betrag der Geschwindigkeit haben,
dann wissen wir, der Geschwindigkeitsvektor selbst, der ist jetzt
Betrag der Geschwindigkeit mal ein Einheitsvektor in Richtung der
Geschwindigkeit und da sehen wir, die Geschwindigkeit, das ist immer,
wenn das Δt gegen 0 geht, ein Vektor tangential an die Bahn, also
brauchen wir dann in dem Fall den Tangenteneinheitsvektor Et.
Also Et gleich V durch Betrag von V ist dann der
Tangenteneinheitsvektor.
Als dritte Größe dann die Beschleunigung.
Die wird mit A von T bezeichnet.
Die misst jetzt die Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit.
Das heißt, wenn wir uns das mal ein bisschen anschaulich darstellen
wollen, betrachten wir mal die Geschwindigkeit zu zwei verschiedenen
Zeitpunkten.
Dabei müssen wir beachten, dass die Geschwindigkeit sich ändern kann
dadurch, dass zum einen der Betrag sich ändert, zum anderen, dass sich
die Richtung der Geschwindigkeit ändert.
Also wenn ich irgendwo hier die Bahn habe, jetzt habe ich die
Geschwindigkeit an der Stelle V von T, an der Stelle habe ich eine
etwas andere Geschwindigkeit, V von T plus Delta-T, wenn wir wieder so
einen benachbarten Zeitpunkt einführen.
Also hier hatten wir T, da hatten wir T plus Delta-T.
Jetzt wird es natürlich schwierig, die Änderung der Geschwindigkeit
hier einzutragen, wir können jetzt nicht einfach die beiden
Pfeilspitzen verbinden, stattdessen müssen wir sozusagen in den
Hortografen gehen, in den Geschwindigkeitsplan.
Das heißt, wir wählen uns jetzt irgendwo einen Pol,
dann tragen wir an, die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt T,
die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt T plus Delta-T
und jetzt können wir die Änderung Delta-V der Geschwindigkeit
eintragen.
Jetzt sieht man die einzelnen Zustände während der Bewegung.
Hier hat sich irgendwie entlang der Bahn die Geschwindigkeit
betragsmäßig geändert, dann hat sich die Richtung geändert.
Also alle Geschwindigkeits-Pfeilspitzen, die liegen auf der Bahn im
Geschwindigkeitsplan.
Das wäre also der Hortograph oder Geschwindigkeitsplan,
wenn wir mal die Kurve beim
schiefen Wurf betrachten.
Wer kennt den schiefen Wurf aus der Physik?
Die meisten.
Wenn ich so eine Kreide durch den Raum werfe und die Reibung mit der
Luft vernachlässige, dann wissen wir alle, es wirkt nur eine
Beschleunigung nach unten, die Erdbeschleunigung.
Das heißt, die Horizontalkomponente der Geschwindigkeit, die wird
gleich bleiben.
Die Vertikalkomponente der Geschwindigkeit, die ändert sich.
Was wäre also die Kurve im Hortographen in dem Falle?
Und die Kurve im Hortographen in dem Falle wäre einfach eine vertikale
Linie, weil der Horizontalanteil der Geschwindigkeit immer derselbe
ist, nur der Vertikalanteil ändert sich.
Das als kleines Beispiel.
Ansonsten, bei der Beschleunigung verläuft
das ganz analog wie bei der Geschwindigkeit.
Wir bilden also wieder den Grenzwert, Δt gegen 0 von Δv, dividiert
durch Δt, das war die Ableitung dv nach dt,
oder, da Zeitableitungen bei uns immer oder sehr oft mit Punkten
bezeichnet werden, haben wir dann v-Punkt, v war r-Punkt, das ist also
gerade r2-Punkt, die zweite Ableitung des Ortsvektors, und das
definiert dann die Beschleunigung A von t.
Dimension der Beschleunigung, sollte jeder wissen, Meter pro Sekunde
Quadrat.
So, jetzt eine erste Anmerkung.
Die Beschleunigung ist
im Allgemeinen nicht tangential an die Bahn.
Bei der Geschwindigkeit, da wissen wir, die verläuft immer tangential,
ein Vektor immer tangential zur Bahn.
Warum ist das bei der Beschleunigung nicht so?
Ein ganz einfaches Beispiel.
Wenn Sie eine Kreisbewegung haben und die Geschwindigkeit als Betrag
immer gleich bleibt, dann haben Sie in Richtung der Bahn keine
Beschleunigung, aber Sie haben immer eine Beschleunigung in
Querrichtung.
Warum?
Weil die Geschwindigkeit ständig die Richtung ändert.
Und wenn die Geschwindigkeit als Vektor die Richtung ändert, dann
führt das zu einer Beschleunigung.
Wie gesagt, die Änderung von einem Vektor kann darauf beruhen, dass
sich der Betrag ändert und oder die Richtung.
Einzige Ausnahme,
eine geradlinige Bewegung,
wenn Sie also eine Gewehrkugel abschießen, dann erfolgt die
Beschleunigung der Kugel eben in Richtung der Bahn, damit tangential
an die Bahn.
So, das waren die drei Größen.
Ortsvektor, daraus resultierend durch Ableiten der
Geschwindigkeitsvektor und durch nochmaliges Ableiten der
Beschleunigungsvektor.
Jetzt kann man sich fragen, wie sieht es aus mit weiteren Ableitungen,
dass wir also die Beschleunigung ableiten.
Nun, für die Mechanik brauchen wir das nicht.
Also, höhere Zeitableitungen,
z.B.
der Ruck,
in der Mechanik nicht notwendig.
Jetzt hat mich auch mein Kollege Kratzfeld von der Bahnsystemtechnik
aufgeklärt, dass ich den Studenten doch sagen soll, dass der Ruck in
anderen Fragestellungen natürlich durchaus eine wichtige Größe ist,
dass bei der Bahn alles ausgelegt wird, dass das möglichst ruckfrei
verlauft oder der Ruck minimal wird.
Also auch die Beschleunigung muss sich ja irgendwie mal ändern, damit
gibt es eine Zeitableitung.
Kann sich jemand ein praktisches Beispiel vorstellen, wo das wichtig
ist?
Ah gut, Messgeräte, der Normalverbraucher hat jetzt an hochsensiblen
Messgeräten, vielleicht mittlerweile seine Smartwatch, ich habe noch
meine analoge Uhr da, das meine ich jetzt nicht unbedingt, aber,
jetzt muss ich mich mal vorsichtig vortasten, wer fährt als Auto?
Man darf sich hier ruhig outen, wir sind Maschinenbauer.
Also wer Auto fährt, fährt nicht immer geradeaus.
Da kommen manchmal Kurven.
Jetzt, als Kind hat man wahrscheinlich immer die Vorstellung, ich
fahre gerade, gut, und dann kommt ein Kreisbogen.
Ähnlich wie bei der Spielzeugeisenbahn.
Also ich hatte früher mal in ganz jungen Jahren so ein Oval, das waren
ein paar gerade Schienen, eine Kurve, da war es also gerade und dann
kam sofort der Kreisbogen.
Was heißt das?
Das heißt zum einen, wenn man das mit dem Auto machen will, muss man
sofort praktisch innerhalb eines kurzen Moments natürlich das Lenkrad
rumreißen.
Das wäre aber das kleinere Übel.
Das heißt aber, dass plötzlich sprungartig eine Querbeschleunigung
auftritt.
Was bewirkt die?
Die bewirkt genau das, wenn wir irgendwas geladen haben, vielleicht
noch auf dem Lastwagen, dann sieht man es vielleicht besser, dann muss
die Fracht natürlich auch in Richtung der Kurve beschleunigt werden.
Dann gibt es wieder die Trägheitskräfte.
Das, was ich bei der Straßenbahn schon erwähnt hatte, wenn man da drin
steht, die Augen zumacht und die Straßenbahn fährt eine Kurve, scheint
einen irgendwas zur Seite zu drücken.
Das passiert natürlich auch mit dem Frachtgut.
Und jetzt ist ein Lastwagen kein starres Gebilde, sondern der hat eine
Federung, das heißt plötzlich legt sich das nach außen.
Zu meinen Jugendjahren gab es noch die Ente, die kennen glaube ich die
Studenten schon gar nicht mehr.
Oder?
Also aus alten Kinofilmen vielleicht.
Das war auch ein Fahrzeug, was sich immer schön in die Kurven gelegt
hat.
Und jetzt kann man sich vorstellen, wenn plötzlich eine Kurve kommt,
rechts, links, rechts, links abwechselnd, dann schaukelt sich das
immer weiter auf.
Das hat zwar mechanisch bei uns nicht so die Bedeutung, aber für den
Fahrkomfort oder vielleicht für die Sicherheit dann schon.
Also dementsprechend, wie gesagt, es gibt schon Anwendungen, wo höhere
Ableitungen als die Beschleunigung, sprich die zweite Ableitung des
Ortsvektors, wichtig werden.
Alle wissen aber, hoffentlich noch aus der Schule, die zweite
Ableitung des Ortsvektors, das war die Beschleunigung, die ist
gekoppelt mit den am Massenpunkt wirkenden Kräften.
Also insofern, uns interessiert maximal der Zusammenhang zwischen
Kraft und Beschleunigung und damit die höheren Ableitungen nicht.
Gibt es soweit Fragen?
Jetzt haben wir gesehen, na gut, das so theoretisch zu betrachten ist
das eine, aber irgendwann müssen wir rechnen.
Das heißt, wir müssen das Ganze auswerten.
Und wir werden das zunächst mal für die Studenten einfach auswerten,
nämlich in kathesischen Koordinaten.
Das heißt, wir haben jetzt für unser Koordinatensystem, im
Bezugssystem, den Ursprung O, haben dann drei Koordinatenrichtungen,
x, y, z,
mit entsprechenden Einheitsvektoren e, x, e, y,
e, z.
Die Koordinaten bezüglich dieser Einheitsvektoren, die sind natürlich
zeitabhängig, das hatten wir vorher schon mal ein bisschen angedeutet,
da oben beim Ortsvektor.
Dann haben wir also r gleich x von t, e, x, plus y von t, e, y, plus z
von t, e, z.
Wir haben gesehen, die Geschwindigkeit v von t ist dann einfach die
zeitliche Ableitung des Ortsvektors.
Und an der Stelle ist es jetzt hilfreich und vereinfachend, dass eben
die Einheitsvektoren e, x, e, y und e, z sich mit der Zeit nicht
ändern.
Man könnte sagen, ein Einheitsvektor ändert sich ja nie, der hat ja
immer die Länge 1.
Aber auch ein Einheitsvektor könnte natürlich die Richtung ändern, das
werden wir auch noch sehen, wenn wir andere Koordinatensysteme und
andere Bezugssysteme einführen.
Aber hier in dem Falle e, x, e, y und e, z sind zeitlich konstant, das
heißt beim Ableiten müssen wir die als konstanten betrachten, damit
sind nur noch die Koordinaten x, y und z zeitabhängig.
Das heißt es ergibt dann x.e, x plus y.e, y plus z.e, z.
Oder wenn wir Geschwindigkeitskoordinaten v, x, v, y und v, z
einführen, dann entsprechend v, x, e, x plus v, y, e, y plus v, z, e,
z.
Wie gesagt, v, x, v, y, v, z, die Koordinaten der Geschwindigkeit
bezüglich der Einheitsvektoren hier.
Als letztes dann die Beschleunigung a von t, da haben wir dann die
Ableitung des Geschwindigkeitsvektors, das geht natürlich ganz analog,
e, x, e, y, e, z, jederzeit unabhängig, damit ergibt sich x.e, x plus
y.e, y plus z.e, z.
Ich könnte das auch schreiben als v, x.e, x plus v, y.e, y plus v, z
.e, z.
Das spare ich mir an der Stelle und das ergibt dann a, x, e, x plus a,
y, e, y plus a, z, e, z.
Wenn ich wieder entsprechende Koordinaten a, x, a, y und a, z
einführe.
Ein Sonderfall liegt vor,
zum einen bei einer Ebenenbewegung,
dann habe ich eben nur zwei Koordinaten, die ich benötige, um das
Ganze zu beschreiben.
Zum Beispiel in der xy-Ebene oder in der xz-Ebene oder wie auch immer.
Zum Beispiel in der xz-Ebene.
Ein anderer Sonderfall, der noch mehr spezialisiert ist, das wäre die
geradlinige Bewegung, wo ich eben nur eine Bewegung in einer
Koordinatenrichtung habe, zum Beispiel in der x-Richtung.
Machen wir dazu mal ein kleines Beispiel.
Ich hoffe, man sieht es auch bei eingeschaltetem Licht.
Wir haben hier als Beispiel, wie in so einem Parkhaus, wo Sie so
spiralartig mit dem Auto runterfahren können.
Also im Prinzip wäre das Auto jetzt ein Punkt.
Hier an der Stelle nicht mal entscheiden, ob es ein Massenpunkt ist.
Wir haben ja weder Masse noch sonst irgendwas, wir betrachten einfach
die Bewegung eines Punktes.
Wie gesagt, hier runter.
Ein anderes Beispiel wäre so eine Paketrutsche, wo das Paket eben dann
spiralförmig hier herunterrutscht.
Und jetzt sehen wir so eine Spirale, die ist natürlich dadurch
gekennzeichnet, dass die x-, y- und z-Koordinaten letztendlich eine
Funktion dieses Winkels Theta sind, an dem sich das Paket befindet.
Das Paket hat immer denselben Abstand zur z-Achse, die x- und die y
-Koordinate, die ändern sich aber auch.
Auch deshalb, weil die z-Koordinate sich natürlich mit dem
Runterrutschen genauso ändert.
Und wenn wir jetzt den Winkel Theta hier als Parameter nehmen, um die
Kurve zu beschreiben, dann liegt es natürlich nahe, wir geben einfach
mal eine Zeitabhängigkeit für den Winkel Theta vor.
Das weiß ich, eine Konstante mal Zeit.
Und schauen dann, wie sieht es aus mit Geschwindigkeit und
Beschleunigung dieses Punktes.
Und da sehen wir, ich habe das jetzt überschrieben, konstante
Geschwindigkeit, das ist natürlich im Grunde genommen schon das
Ergebnis vorweggenommen.
Und an der Stelle müssen wir natürlich ein bisschen vorsichtig sein.
Gemeint ist natürlich Konstant Speed, also Betrag der Geschwindigkeit.
Warum?
Nun, der Geschwindigkeitsvektor, der ändert ja ständig die Richtung.
Das heißt, wenn wir mal die Parameterdarstellung nehmen,
dann sehen wir, hier haben wir Sinus und Kosinus von Theta.
Theta war dann K1 mal T.
Nun, die z-Koordinate, die ändert sich dann auch linear.
Und dann sehen wir, na gut, das sind die x-, y- und z-Koordinaten des
Ortsvektors.
Die x-, y- und z-Koordinaten der Geschwindigkeit erhalte ich durch
einfaches Ableiten, jetzt muss ich also den Sinus ableiten.
Das gibt zunächst mal den Kosinus, multipliziert mit der inneren
Ableitung, da resultiert das K1 hervor.
Dann haben wir das y-Punkt, da müssen wir den Kosinus ableiten, das
ergibt dann ein Minus Sinus.
Wieder innere Ableitung mit berücksichtigen und z-Koordinate
abgeleitet ergibt natürlich gerade Minus K2.
Wenn wir die Beschleunigung bestimmen, dann sehen wir, die Koordinaten
x2., y2.
und z2.
Die ergeben sich durch Ableiten der Geschwindigkeitskoordinaten, aus
dem Kosinus wird dann wieder Minus Sinus.
Wieder unter Berücksichtigung der inneren Ableitung, also Kettenregel,
aus dem Sinus wird der Kosinus hier oben.
Das Vorzeichen bleibt, weil beim von Sinus nach Kosinus sich das
Vorzeichen nicht ändert.
Die Ableitung von der Konstanten hier unten, des K2, ist natürlich
Null.
Das sehen wir, jetzt haben wir hier das Ganze.
Und jetzt können wir natürlich auch den Betrag der Geschwindigkeit und
der Beschleunigung ausrechnen.
Wir haben nämlich drei orthonormierte Einheitsvektoren, das heißt, das
können wir mit Pythagoras anwenden.
Den Betrag der Geschwindigkeit erhalten wir einfach dadurch, dass wir
x2.
bilden, y2.
und z2.
Das Ganze addieren und daraus die Wurzel ziehen, das ergibt dann in
dem Falle Kosinus Quadrat und Sinus Quadrat.
Vom gleichen Argument, gleicher Vorfaktor, gibt natürlich gerade R
Quadrat, K1 Quadrat.
Dann das K2 zum Quadrat ergibt K2 Quadrat.
Man sieht also, R, K1 und K2 sind Konstanten, damit haben wir wirklich
einen konstanten Betrag der Geschwindigkeit.
Und auch bei der Beschleunigung haben wir eine konstante
Beschleunigung, nämlich R, K1 Quadrat.
Das ist eine Beschleunigung immer in Richtung der Z-Achse.
Also die Beschleunigung liegt in dem Falle in der xy-Ebene.
Und wenn wir mal eine veränderliche Geschwindigkeit zulassen, dass
sich vielleicht der Winkel theta quadratisch mit der Zeit ändert, dann
sehen wir an der Stelle, ja gut, dann steht eben im Argument dann K1T
Quadrat bzw.
K2T Quadrat.
Dann wird es beim Ableiten natürlich ein bisschen komplizierter.
Die innere Ableitung ergibt nämlich nicht nur die konstante K1,
sondern 2 mal K1T.
Genauso hier, 2 mal K1T, 2 mal K2.
Und wir sehen an der Stelle schon, wenn wir jetzt den Betrag der
Geschwindigkeit bestimmen, dann haben wir zwar unter der Wurzel wieder
eine Konstante, können das T ausklammern, also in dem Fall nimmt der
Betrag der Geschwindigkeit linear mit der Zeit zu.
Wenn wir die Beschleunigung betrachten, dann müssen wir eben x-Punkt,
y -Punkt und z-Punkt ableiten.
Und da sehen wir, bei x-Punkt und y-Punkt müssen wir neben der
Kettenregel auch die Produktregel anwenden, weil wir ein Produkt haben
von zwei Zeitfunktionen, T und Cosinus K1T Quadrat.
Das ergibt dann jeweils zwei Anteile, das können Sie mal zu Hause sich
selbst überlegen.
Selbst das Z2-Punkt ist nicht null.
Das heißt, wenn wir jetzt den Betrag der Beschleunigung bestimmen,
dann sieht man, ich kann nicht mal das T ausklammern, es gibt also
unter der Wurzel ein bisschen was Komplizierteres, aber letztendlich,
wenn man es mit der harten Wirklichkeit und den Problemen, auf die man
in der Wirklichkeit trifft, vergleicht, sind es natürlich immer noch
einfache Ausdrücke.
Gibt es zu diesem Beispiel noch Fragen?
Wenn nicht, dann erinnere ich Sie nochmal dran, am Donnerstag im Benz
-Vorlesung, am nächsten Montag muss ich mich leider nochmal vertreten
lassen, und dann müsste es eigentlich gewohnt weitergehen.
Wir sind am Ende der heutigen Vorlesung angelangt, vielen Dank für
Ihre Aufmerksamkeit.
Vielen Dank.