Guten Tag, meine Damen und Herren.
Ich darf Sie zur Vorlesung recht herzlich begrüßen.
Wie Sie vielleicht merken, bin ich immer noch stark erkältet.
In der letzten Vorlesung hatte Herr Römer die Herleitung von
Bewegungsgleichungen bei einem Massenpunkt entsprechend abgeschlossen.
Zum Schluss wurde das Ganze ja durchgeführt, auch für den Fall, dass
die Bewegung des Massenpunktes in einem sich bewegenden Bezugssystem
beschrieben wurde, was dann zu vielen Beschleunigungsanteilen anführt
und entsprechend vielen Trägheitskräften, die dann eingeführt werden
können, können, was weiß ich, Corioliskraft, Zentrifugalkraft und so
weiter.
Letztendlich haben wir gesehen, ergibt sich als Bewegungsgleichung im
Allgemeinen für den Massenpunkt eine Differentialgleichung
beziehungsweise je nachdem, wie viel Freiheitsgrade unser Massenpunkt
hat, ergeben sich mehrere Bewegungsgleichungen, alle als
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Entsprechend F gleich M mal R2 Punkt und es liegt nun nahe, das kennen
Sie aus der Mathematik, ja gut, wir sind interessiert an der Bewegung,
das heißt an R in Abhängigkeit von der Zeit, das heißt bei gegebenen
Kräften, unter Umständen hängen die auch aus dem Kraftgesetz ab,
ergibt sich dann eine Differentialgleichung, die wir nach der Zeit
integrieren müssen.
Das ist das, was wir so landläufig kennen, würde ich sagen.
Es gibt aber jetzt in dem Fall noch eine andere Möglichkeit, nämlich
nicht unbedingt eine Integration nach der Zeit, sondern wir können das
so machen, dass wir die Kraftskala mit dr, also einer Verschiebung
entlang der Trajektorie, multiplizieren und das Ganze dann
aufintegrieren, jeweils vom Anfangspunkt R0 bis zum Endpunkt R1.
Unter Umständen kann der Endpunkt auch ein beliebiger Punkt sein.
Und wenn wir die Gleichung nach der Integration so mal anschauen, dann
sehen wir auf der linken Seite haben wir eine Kraft, die entsprechend
entlang des Weges integriert wird, das heißt für die linke Seite der
Gleichung, da steht jetzt das Skalarprodukt von Kraft mit
differenzieller Verschiebung dr. Wenn wir mal anschauen, wir haben
hier die Trajektorie, beschrieben durch die Bogenlänge S,
irgendwo haben wir den Ursprung, zeichnen den mal hier ein, an einem
beliebigen Punkt hat der Massenpunkt dann den Ortsvektor R.
Jetzt wirkt an der Position eine Kraft auf den Massenpunkt,
die eine beliebige Richtung haben kann.
Und jetzt wissen wir, na gut, die Verschiebung dr entlang der Bahn,
die können wir beschreiben hier tangential dr.
Wie groß ist der Betrag von dr?
Und wenn wir die Bahn über die Bogenlänge S beschreiben, dann ist der
Betrag von dr gerade ds.
Und jetzt wissen wir, beim Skalarprodukt wird wichtig, Betrag des
einen Vektors mal Betrag des anderen Vektors mal dem Cosinus des
eingeschlossenen Winkels.
Als eingeschlossenen Winkel haben wir hier den Winkel Alpha, d.h.
es wird wichtig...
Ah, ich hab mir das gerade gedacht, als das Telefon geklingelt hat,
ich hatte aber schon die Vorlesung angefangen.
Wie?
Jaja.
So, wir benötigen also die Komponente der Kraft F, die in Richtung von
dr geht und das können wir entsprechend zerlegen, im Grunde genommen
hier mit dem rechten Winkel.
Dann haben wir an der Stelle jetzt den Tangentialanteil der Kraft, ich
bezeichne den mal F-Tangential und wir wissen, der Betrag ist dann
gerade Betrag der Kraft F mal dem Cosinus des eingeschlossenen
Winkels, sodass letztendlich sich ergibt Integral
F dr von R0 bis R1 gleich Integral F Cosinus Alpha mal ds, ds war der
Betrag von dr und jetzt eben integriert von S0 bis S1 und genau das
definieren wir als Arbeit der Kraft F,
dimensionsmäßig in Newtonmeter und
wir sollten vielleicht dazu sagen, das ist die Kraft F, die am
Massenpunkt wirkt, also ist das die von der Kraft F am Massenpunkt M
verrichtete Arbeit.
Vielleicht mal ein paar Sonderfälle.
Zunächst mal was passiert, wenn Kraft und Verschiebung senkrecht sind,
also Kraft senkrecht zur Verschiebung,
dann heißt das bei uns, die Kraft F zeigt in Richtung senkrecht dazu
das dr und auch die Verschiebung ds,
da haben wir einen 90° und ganz entsprechend F mal Cosinus Alpha mal
dr gibt dann natürlich gerade 0, also ergibt sich hier W gleich 0,
sofern eben die Kraft F stets senkrecht zur Trajektorie steht.
Einen anderen Sonderfall haben wir, wenn die Kraft parallel zum Weg
oder zur Verschiebung steht
und wir nehmen mal an, die Kraft sei konstant,
also dann im Prinzip ein konstanter Vektor, was ergibt sich da?
Dann zeigt die Kraft F in dieselbe Richtung wie dr,
das Skalarprodukt ist also gerade F mal ds mal Cosinus von 0, das ist
1, also F mal ds, damit ergibt sich die Arbeit W zu Integral, nehmen
wir mal an, wir starten bei 0 bis S, dann haben wir F, ds müssen wir
allerdings aufpassen, wenn wir das bis zu einer beliebigen Bogenlänge
machen, das S sozusagen als Variable aufpassen, dann sollten wir immer
die Integrationsgrenzen und die Integrationsvariablen unterscheiden,
deshalb führen wir vielleicht an der Stelle besser ein ds quer, das
ist also die Integrationsvariable, und S ist dann praktisch der Punkt,
an dem sich der Massenpunkt befinden soll, wenn wir unsere Arbeit W
bestimmen.
Und jetzt sehen wir, wenn F konstant ist, dann können wir das leicht
machen, dann gibt es nämlich gerade F mal S quer, 0 und S, obere
Grenze eingesetzt ergibt F mal S, untere Grenze eingesetzt ergibt 0,
also die Arbeit ist in dem Falle gerade Kraft mal Verschiebung entlang
der Trajektorie.
Jetzt müssen wir an einer Stelle aufpassen, nämlich die
Arbeit W, von der Kraft an dem Massenpunkt, die hängt nicht nur vom
Integranten ab, sondern die hängt natürlich auch davon ab, entlang
welchem Weg wir das Ganze integrieren.
Also, der Wert des Integrals hängt
neben dem Integranten auch
vom Weg ab.
Ich schreibe mal ein Klammer, von der Bahnkurve zwischen
Anfangspunkt R0 und dem Endpunkt R1.
Jetzt sehen wir mal an, ich habe hier den Anfangspunkt, hier den
Endpunkt und jetzt habe ich da einen Block, an dem ich ziehe.
Also habe ich praktisch zunächst mal so eine Zugkraft.
Jetzt kann ich die Arbeit der Zugkraft ausrechnen.
Die Kraft, mit der ich ziehe, die hängt im Wesentlichen, wenn wir die
Beschleunigung mal vernachlässigen, von der Reibung ab.
Das heißt, wenn ich jetzt direkt am Weg hier rübergehe, dann hat sich
da ein bestimmtes Integral ergeben, nämlich eine bestimmte Arbeit.
Wenn ich das aber so mache, ich gehe irgendwo hier rüber, dann muss
ich das entlang einem relativ langen Weg ziehen.
Kommt schließlich auch wieder an meinem Endpunkt an, aber es ist
glaube ich einleuchtend, dass in dem Fall die Arbeit wesentlich größer
ist, als wenn ich das für den Fall der Reibungskraft hier auf direktem
Wege verschiebe.
Das verbirgt sich dahinter.
Allerdings gibt es auch Sonderfälle, das werden wir noch sehen, bei
denen eben die Arbeit nicht mehr von der Bahnkurve abhängt, sondern
nur noch vom Anfangspunkt und vom Endpunkt.
Das ist nämlich genau dann der Fall, wenn wir für die entsprechende
Kraft ein sogenanntes Potenzial formulieren können.
Kommt aber irgendwann später in der nächsten Vorlesung.
Machen wir mal ein Beispiel.
Und zwar nehmen wir an, wir haben einen Massenpunkt im Schwerefeld,
auf einer kreisförmigen Bahn mit
Reibung und
Antriebskraft.
Und eine kreisförmige Bahn für einen Massenpunkt würden wir auch
erhalten, wenn wir so ein Pendel hätten, wie so ein mathematisches
Pendel, das haben wir aber hier nicht.
Sondern wir nehmen an, wir haben die Kurve gegeben, kreisförmig.
Ich zeige es mal so ein bisschen an.
So eine kreisförmige Unterlage.
Wie beim Skateboarden, wie nennt man das?
In der Halfpipe, so ungefähr.
Und jetzt haben wir irgendwo den Massenpunkt.
Der bewegt sich jetzt entlang dieser kreisförmigen Bahn.
Es wirkt die Gewichtskraft wegen Erdbeschleunigung G.
Und dass der Massenpunkt auf der Bahn gehalten wird, muss eine
Zwangskraft von der Bahn auf den Massenpunkt wirken.
In dem Fall kann die natürlich nur praktisch von der Unterlage auf den
Massenpunkt zuwirken.
Eine Zugkraft könnte der Untergrund nicht ausüben.
Das macht er in dem Fall auch nicht.
Das sehen wir dann später bei einer starren Verbindungsstange.
Beim Pendel könnte theoretisch auch eine Druckkraft in der
Pendelstange übertragen werden, falls irgendwelche entsprechenden
Kräfte am Massenpunkt antragen.
Wie gesagt, hier kann die Normalkraft nur von der Unterlage in
Richtung Mittelpunkt der Bahn wirken.
Deshalb, zur Beschreibung der Bewegung, führen wir jetzt zunächst mal
so ein polares Koordinatensystem ein.
Das heißt, wir haben irgendwo den Mittelpunkt der Bahn.
Ich deute das mal so an.
Dann haben wir vertikal nach unten eine Bezugslinie.
Die Bewegung können wir dann leicht durch den Winkel Phi beschreiben.
Was für Kräfte wirken jetzt auf diesen Massenpunkt?
Da haben wir zum einen ganz klar die Gewichtskraft.
G gleich MAG.
Die wirkt vertikal nach unten.
Dann haben wir eine Reibkraft.
Die wirkt der Bewegung entgegen.
Das heißt, die wirkt jetzt in tangentialer Richtung an die Bahn.
Für ein positives Phi-Punkt.
Nach links unten, das wäre die Reibkraft.
Und dann haben wir gesagt, wir haben eine Normalkraft.
Die wirkt von der Unterlage auf den Massenpunkt.
Und wir haben eine Antriebskraft.
Das heißt, die wirkt ebenfalls in tangentialer Richtung, aber eben
antreibend.
Nennen wir die mal FA.
Und jetzt brauchen wir, um die Arbeit zu bestimmen, letztendlich den
Kraftvektor.
Das heißt, wir müssen jetzt die entsprechenden Kraftvektoren
formulieren.
Wir brauchen die Verschiebung entlang der Bahn.
Nun man sieht, die Verschiebung wird hier tangential an die Bahn
erfolgen.
Also das dr wird ein Vektor sein, tangential an die Bahn.
Sodass, wenn wir jetzt den Freischnitt, also wenn ich die Kräfte
einsetze, habe ich im Prinzip den Massenpunkt von der Umgebung
freigeschnitten.
Die Unterlage habe ich ja zum Beispiel ersetzt durch die Normalkraft.
Und man sieht, drei von vier Kräften zeigen in normaler bzw.
tangentialer Richtung an die Bahn.
Die Verschiebung ebenfalls in tangentialer Richtung.
Das heißt, es liegt jetzt nahe, entsprechende Einheitsvektoren so
einzuführen, dass es möglichst einfach geschieht.
Das machen wir in dem Fall dadurch, dass wir Einheitsvektoren
einführen.
Ich würde die jetzt gerne hier reinzeichnen, aber Sie wissen, alle
Einheitsvektoren können wir hinzeichnen, wo wir wollen.
Ich mache das deshalb jetzt so.
Einen Einheitsvektor in radialer Richtung ER und einen Einheitsvektor
in tangentialer Richtung EFI
Dann können wir die
entsprechenden Kräfte sehr
leicht angeben.
Das heißt, in dem Fall wäre die gesamte Kraft dann R plus G plus N
plus Antriebskraft und wir sehen, das ist dann minus R
mal EFI
Bei der Gewichtskraft, wenn wir die über die Einheitsvektoren ER und
EFI beschreiben, dann sieht man, der Anteil der Gewichtskraft in
radialer Richtung ist gerade G mal Cosinus von Fi also plus G Cosinus
Fi in ER-Richtung In EFI-Richtung gibt es eine negative Komponente,
nämlich in minus EFI-Richtung Betrag G mal Sinus Fi deshalb minus G
Sinus Fi E Fi und zum Schluss fehlt noch die Antriebskraft, die in
positive Fi-Richtung geht also plus FA mal EFI Und gesucht ist jetzt
die Arbeit der Summe der Kräfte am Massenpunkt während der Bewegung
und wir es ist ja immer noch ein einfaches Beispiel, führen das hier
mal vor über zwei Möglichkeiten nämlich die erste Möglichkeit besteht
darin zunächst mal Kraftvektoren aufzustellen und
Verschiebungsvektoren skalar zu multiplizieren und dann zu
integrieren, also ganz formal das bietet sich immer dann an, wenn das
ein bisschen kompliziert ist oder wenn das ein ganz einfaches Beispiel
ist bei dem man die Richtungen der Kräfte und der Verschiebungen sehr
leicht sieht dann kann man das Ganze auch direkt skalar auswerten
Hier haben wir jetzt vergessen in der Hektik, genau, danke also
Verlautert, dass ich das da noch reinzwänge, also Minus N mal ER Danke
Also zur Berechnung von W
zwei Möglichkeiten
zum einen über Skalarprodukte oder
eben eine skalare Rechnung
mit Richtungen aus Anschauungen
und wenn wir das Erste nämlich über das Skalarprodukt zunächst mal
machen.
Also zunächst mal über das Skalarprodukt.
Dann wissen wir, die Arbeit ist integral von R0 bis R1.
f Skalar mit dr multipliziert.
Die Kraft F, die habe ich als Vektor mit den Einheitsvektoren er und e
phi schon dargestellt, sodass wir formal eigentlich nur noch das dr
benötigen.
Und wir sehen, das dr ist tangential an die Bahn gerichtet.
Das wäre also ds mal e phi.
Jetzt wissen wir aber, wenn wir die Bewegung nicht über die Bogenlänge
beschreiben, sondern über den Winkel phi, dann ist eine differenzielle
Verschiebung ds, gerade wie groß, nun Radius der Bahn mal d phi.
Also wenn
das der Radius R0 ist, Kreisbahn hier Radius R0, wissen wir, das ist
R0 mal d phi in e phi Richtung,
sodass wir jetzt auswerten können, W ist integral von, ich lasse mal
die Grenzen weg, was haben wir dann drin stehen?
Zunächst mal die Kraft.
Ich schaue jetzt mal an, was war das?
Minus R e phi plus
G, und ich mache es jetzt mal so, Minus R e phi minus G sin phi plus F
A in
e phi Richtung.
Was haben wir in e R Richtung?
Da haben wir G cos phi minus N
mal e R.
Das Ganze skalar multipliziert mit R0 e phi d phi.
Das heißt, wir sind jetzt vom Ortsvektor R auf die Winkelkoordinate
phi übergegangen.
Dann müssen wir entsprechend auch die Integrationsgrenzen anpassen.
Das wäre also in dem Falle von dem Anfangswinkel phi 0 bis zu einem
Endwinkel, der beliebig ist.
Nehmen wir mal an, wir starten bei phi gleich 0.
Dann würde hier als untere Integrationsgrenze stehen 0.
Und wenn wir jetzt schauen, wie groß ist die Arbeit aller Kräfte, die
am Massenpunkt wirken, bis zu einem beliebigen Winkel phi, dann hätten
wir also die obere Integrationsgrenze wieder offen gelassen, ein
beliebiger Winkel phi, müssen dann aber natürlich wieder entsprechend
Integrationsvariable und Integrationsgrenze unterscheiden.
Das heißt, dann haben wir als Integrationsvariable unter, nennen wir
die einfach mal phi quer.
Und jetzt sehen wir,
e phi, skalar mit e R multipliziert, ist 0, weil die senkrecht
aufeinander stehen.
E phi, skalar mit e phi multipliziert, ist gerade 1, das heißt, es
bleibt jetzt übrig w gleich Integral von 0 bis phi.
Und dann steht hier drin, minus g sin phi quer, plus f a mal r 0, d
phi quer.
Was ergibt r integriert?
Wer wagt es?
Was ist denn r 0, d phi quer integriert?
Wie?
Also r mal phi quer.
Also, Integral von 0 bis phi, minus r 0, d phi quer, würden wir
eigentlich sagen, minus r 0, phi quer, 0 und phi.
Allerdings müssen wir jetzt ein bisschen aufpassen.
Wir haben einfach gesagt, das ist eine Reibkraft, wir haben aber nicht
gesagt, von was die abhängt.
Nun nehmen wir das einfachste Reibmodell, das wir so finden, ich werde
auch eine Reibung an, was ist das?
Das ist Coulomb.
Dann ist die Reibkraft proportional der Normalkraft.
Wie groß ist die Normalkraft hier?
Mal die zweite Reihe.
Wie groß ist die Normalkraft?
Ja.
m a g mal cosinus phi.
Wer denkt, die Normalkraft ist m a g mal cosinus phi?
Nur Sie?
Nein, da ist noch einer.
Wer denkt, dass es das nicht ist?
Da ist einer.
Warum nicht?
Ach doch, also...
Wie?
Ne.
Also wir haben wenig Meinungen und noch weniger Wissen.
Jetzt kommt nämlich das Deprimierende.
Sie waren wohl alle nicht in den vorhergehenden Vorlesungen.
Warum?
Wer hat eine Idee?
Genau.
Gut, das ist jetzt gerade um, die Herbstmesse.
Aber man setzte sich mal in so ein Fahrgeschäft rein, wenn sich
irgendwas dreht, dann scheint es einen immer nach außen zu drücken,
die Fliehkraft.
Das heißt, das dürfen wir eigentlich nicht so einfach sagen.
Nun schon, allein deswegen, weil die Reibkraft ja n mal µ ist.
Und n, selbst wenn wir die Beschleunigung vernachlässigen, dann
entsprechend irgendwie mit cosinus phi zusammenhängt.
Also das gilt schon mal nicht.
Schauen wir mal die Reibkraft an.
Dann sehen wir...
Ja gut, die Normalkraft.
Dann machen wir mal eine Kräftebilanz in radialer Richtung.
Dann sehen wir, da haben wir m mal g mal cosinus phi durch die
Gewichtskraft.
Dann haben wir in negative Richtung das n.
Muss gerade sein, m mal der Beschleunigung in radialer Richtung.
Jetzt ist die Frage, wie groß ist die Beschleunigung in radialer
Richtung?
In Richtung von er
mal Gott.
Meine Fehler haben mich weitergebracht als meine Siege, hat mal Boris
Becker gesagt.
Wenn der Punkt sich tangential bewegt, dann muss er praktisch in jedem
Punkt beschleunigt werden.
In radialer Richtung.
Nämlich die Zentripetalbeschleunigung ist minus Radius der Kreisbahn
mal phi Punkt Quadrat.
Also ist es gerade minus m R0 phi Punkt Quadrat.
Wenn Sie entsprechende Trägheitskräfte einführen, dann ist die
Zentrifugalkraft in e-Richtung.
Und dann machen Sie eine Kräftebilanz, dann kommen Sie auf dasselbe
Ergebnis.
Es ergibt sich auf jeden Fall n gleich m mal g mal cosinus phi plus m
R0 phi Punkt Quadrat.
Und wenn wir jetzt das einfache Reibgesetz Coulomb annehmen, heißt
das, die Reibkraft ist dem proportional.
Also R gleich µ mal n gleich µ mal m g cosinus phi plus m R0 phi Punkt
Quadrat.
Und man sieht, wenn sich der Massenpunkt bewegt, dann erhöht sich
natürlich entsprechend die Normalkraft.
Das ist genau die Normalkraft, die der Hammerwerfer, haben wir einen
Hammerwerfer unter uns?
Leider nicht, sieht man aber im Fernsehen.
Wenn die sich so drehen, dann bewegt sich näherungsweise die Kugel,
die da an einem Seil hängt, in einer Kreisbahn.
Und je schneller das er dreht, desto mehr muss er ziehen.
Jetzt haben wir also die Reibkraft.
Das heißt, wenn wir alles einsetzen in unser Integral, dann ergibt
sich W gleich Integral von 0 bis phi.
Und dann haben wir hier die Reibkraft µ mal m g auch mit einem
Minuszeichen Minus µ m R0 phi Punkt Quadrat oder phi Querpunkt Quadrat
plus eben die Antriebskraft F A Minus der Gewichtskraftanteil
tangential an die Bahn, das war mg sin phi quer.
Das wird multipliziert mit r0 d phi quer.
Und jetzt sehen wir, das minus µ mg cos phi quer, das können wir
integrieren.
Hier, das phi quer Punkt Quadrat, das hängt von der Bewegung ab, also
das lässt sich gar nicht so ohne weiteres auswerten.
Was wir an der Stelle machen können, ist, wir können sagen, wir nehmen
mal an, die Bewegung, die ist so langsam, dass der Anteil der
Fliehkraft an der Normalkraft letztendlich vernachlässigbar ist.
Ansonsten könnten wir es nicht auswerten.
Also,
bei vernachlässigbarer Fliehkraft
ergibt sich dann,
und dann können wir mal integrieren, W gleich, was haben wir dann, cos
phi quer integriert ergibt sin phi quer, also r0 mal minus µ mg sin
phi quer.
Fliehkraftanteil haben wir vernachlässigt.
FA integriert ergibt dann gerade FA mal phi quer.
Dann minus mg sin phi quer.
Sinus phi quer integriert ergibt minus cos phi quer.
Mit dem Minuszeichen, was vor dem Sinus steht, ergibt das gerade plus
mg cos phi quer.
Jetzt müssen wir noch die Integrationsgrenzen einsetzen, nämlich 0 und
phi.
Und dann sehen wir, die obere Integrationsgrenze eingesetzt ergibt r0
mal mg cos phi minus µ mg sin phi quer.
Plus FA mal phi
minus, jetzt untere Integrationsgrenze eingesetzt, Sinus von 0 ist 0,
FA mal 0 ist 0, allerdings mg mal Cosinus von 0 ist gerade mg, also
minus mg.
Das heißt, es ergibt sich jetzt W zu mg mal r0 mal Cosinus phi minus
1, oder ich schreibe mal minus 1 minus Cosinus phi, das waren die
beiden Anteile.
Dann haben wir minus µ mg r0 Sinus phi plus FA r0 mal phi.
Und jetzt sieht man, das ist eine negative Arbeit, weil Cosinus phi
immer kleiner als 1 ist.
Das heißt, die Klammer ist positiv, mit dem Vorzeichen vorne ist das
eine negative Arbeit.
Die Reibung, auch die führt zu einer negativen Arbeit, also dem
Massenpunkt wird Arbeit entzogen.
Das FA r0 mal phi, das ist positiv, das erhöht also die Arbeit.
Wie kann man sich das vorstellen,
wenn wir an der Stelle das
einführen als Höhe h, dann sehen wir, das h entspricht gerade r0 minus
r0 Cosinus phi, also r0 mal 1 minus Cosinus phi, das ist also gerade
das h.
Dadurch, dass sich der Massenpunkt nach oben bewegt, ist die Arbeit
negativ.
Wie gesagt, Reibung natürlich entsprechend.
Jetzt, wie sieht es aus, wenn wir das Ganze über eine Skalarrechnung
machen.
Da haben wir, wenn wir mal, ich deute das an, den Massenpunkt haben,
mit der Richtung von er und Tangential dazu, dann können wir nochmal
die Kräfte eintragen.
Die tragen wir jetzt als Pfeile mit Beträgen ein.
Das war praktisch das r, das war das FA, die Gewichtskraft vertikal
nach unten, und die Normalkraft n, da haben wir nochmal den Winkel
phi.
Und als weiteres, das dr ist ja gerade, haben wir gesagt, r0 mal d
phi, in tangentialer Richtung.
Das heißt, jetzt können wir auch die Skalarprodukte der einzelnen
Kräfte sehr leicht bilden, weil nämlich, man sieht ja gut, die
Verschiebung und das n, die stehen senkrecht aufeinander, also die
Normalkraft, die verrichtet keine Arbeit am Massenpunkt.
Das ist übrigens auch so ein Charakteristikum.
Die Zwangskräfte verrichten keine Arbeit am Massenpunkt oder später
auch bei Systemen.
Zumindest heben sich deren Arbeiten dann in der Summe wieder auf.
Obwohl natürlich die Normalkraft über das Kraftgesetz für die
Reibkraft dann doch irgendwo in unsere Gleichungen eintritt.
Was wir jetzt machen können ist, w ist Integral und jetzt bilden wir
einfach das Produkt.
Dann sehen wir fa r0 d phi,
dann haben wir gesagt, r und Verschiebung sind entgegengesetzt
gerichtet, deshalb minus r r0 d phi.
Und dann haben wir den Anteil der Gewichtskraft, der in Richtung der
Verschiebung zeigt.
Das war aber gerade g mal sin phi in negative phi-Richtung, also minus
g sin phi.
Integriert von phi gleich 0 bis zu einem beliebigen Winkel.
Und auch hier unterscheiden wir dann natürlich Integrationsvariable
und Integrationsgrenzen.
Und wenn wir letztendlich das alles wieder einsetzen, dann führt das
natürlich zum selben Ergebnis wie auf der rechten Seite.
Also bei dem Beispiel, wo alles relativ überschaubar ist, lässt sich
das gut skalar auswerten.
Bei komplizierteren Fällen wird es eben entsprechend komplizierter.
Gibt es soweit Fragen?
Und damit kommen wir jetzt zur Leistung.
Das wird wichtig, wenn wir einen Zeitbezug haben für die Arbeit.
Oder wie würden wir das sagen, wenn wir die Arbeit haben, dann ist
Leistung, Arbeit pro Zeit, salopp formuliert.
Das heißt, wenn wir eine Arbeit haben innerhalb des bestimmten
Zeitintervalls, dann gibt es eine mittlere Leistung.
W durch T.
Oder Delta-T oder wie auch immer.
Und ganz klar, wenn wir das Delta-T gegen 0 gehen lassen, was würde
das ergeben?
Die Ableitung.
So.
Also.
Schauen wir uns das mal hier an.
Also P gleich DW durch DT.
Und jetzt habe ich sinnvollerweise mein Ergebnis hier.
Gut, Kraft wirkt immer in Richtung vom Weg.
Heißt dann B gleich F mal S, wenn wir das ableiten.
Was ergibt das?
Niemand wagt es.
Wir nehmen auch gern Damen, wir sind eigentlich gendergerecht.
Also Damen gucken jetzt...
Ja.
Also F mal S abgeleitet, was ergibt das?
Was ist F mal EV?
DV.
Genau.
Na gut, ich schreibe jetzt mal...
DF mal S nach DT.
Gleich.
Machen wir mal Produktregel.
DF nach DT mal S plus F mal DS durch DT.
Wenn wir Punkt nehmen für Ableitung wäre doch das F Punkt.
S plus F.
S Punkt.
Das war doch die Dame, ist das richtig?
Also wenn beide von der Zeit abhängig sind, ja.
So, jetzt schauen wir mal.
Mein Finger drückt auf die Unterlage.
Das können Sie jetzt nicht genau sehen, weil da vorne das hoch geht.
Sie müssen mir das einfach glauben.
Und jetzt schiebe ich bei gedrücktem Finger...
das hier rüber.
Gut, dann ändert sich das S, es gibt also ein S Punkt.
Je nachdem wie stark ich drücke, gibt es auch ein F Punkt.
Und jetzt machen wir das mal so.
Jetzt habe ich die stärker bringen können, würde ich jetzt dann
irgendwann abheben.
Mache ich natürlich nicht, so stark ist mein Finger nicht.
Also ich ändere jetzt mal die Kraft.
Jetzt ist die Frage, wie groß ist die Leistung dabei?
Dann ist es gefühlsmäßig keine Leistung.
Immerhin, das muss ich anerkennen, ingenieurmäßig gut gedacht.
Irgendwas muss da falsch sein.
Und jetzt fragen wir mal.
Was ist denn bei meiner Ableitung falsch?
Warum ist das falsch?
Wir haben doch gesagt,
die Arbeit ist F mal S und die Leistung war Ableitung der Arbeit.
Nein, was ist so, wenn es nicht mehr konstant ist?
Wer hört nebenher noch Thermodynamik?
Gehen Sie alle nicht in die Vorlesung oder wie soll ich das deuten?
Also ich gehe davon aus, die meisten gehen in die Thermodynamik
-Vorlesung.
Ich empfehle die, da lernen Sie wichtige Sachen.
Nämlich, dass die Politiker zum Beispiel immer Schrott reden.
Warum?
Sie sind von den erneuerbaren Energien.
Warum ist das Schrott?
Ach nee, sie wollen doch Ingenieure werden.
Und ich kann Energie nicht erneuern, ich kann sie vielleicht in eine
andere Art transformieren.
Das weiß ich, von mechanisch in chemisch oder in Strahlungsenergie
oder in Wärme.
Aber ich kann die nicht vernichten und auch nicht erzeugen.
Sonst sind wir beim Thema Energie.
Ich habe sogar was von der inneren Energie gehört.
Also die IT-Studenten haben mir berichtet, es kam in Thermodynamik
schon dran.
Also insofern gehe ich mal davon aus, dass Sie das kennen.
Und jetzt solche Energien, die sind im Allgemeinen immer so definiert,
dass man Änderungen der Energien definiert.
Und letztendlich, das habe ich Ihnen ganz zu Anfang ein bisschen
unterschlagen, als ich geschrieben habe Integral F dr na dr dann ist
es eigentlich nichts anderes als Integral dW.
Das heißt, das dW ist letztendlich F dr.
Und wenn ich das jetzt einsetze, dann kann ich das sogar relativ
formal machen, es gibt also F dr durch dt gibt also F Skala dr durch
dt gibt also F mit der Geschwindigkeit v multipliziert.
Jetzt stimmt gefühlsmäßig die Welt wieder, oder?
Also lassen Sie sich nicht immer gleich ins Boxhorn jagen.
Aber Sie müssen das, was Sie hören und lernen, immer auch ein bisschen
hinterfragen, auch im täglichen Leben.
Alles, was man Ihnen erzählt, müssen Sie eigentlich hinterfragen.
Stimmt das mit dem überein, was ich eigentlich in Wirklichkeit erlebe?
Weil sagen kann man viel.
So, jetzt haben wir also das gerettet.
Und wenn wir
das Skalarprodukt noch auswerten, könnten wir sagen, das ist die Kraft
F mal Betrag der Geschwindigkeit und jetzt brauchen wir natürlich
wieder den Kosinus des eingeschlossenen Winkels, also Kosinus Alpha.
Und dann sehen wir gut, wenn die Kraft F senkrecht zur Geschwindigkeit
steht, dann ergibt es keine Leistung.
Jetzt, wie sieht es aus mit dem Wirkungsgrad?
Ich schreibe mal wichtig bei Verlusten.
Da haben wir dann meistens, das wird ja mit ETA bezeichnet, das ist
praktisch die genutzte Leistung
durch die zugeführte Leistung.
Damit sieht man sofort ein gutes ETA.
Das muss dimensionslos sein, hat also Dimension 1, wohingegen
die Leistung letztendlich Newtonmeter pro Sekunde oder auch Watt als
Leistung hat.
Also Watt, W, sollten Sie jetzt nicht verwechseln mit der Arbeit W.
Letztendlich steckt beim Wirkungsgrad dahinter.
Ich habe ein System, da habe ich zugeführte Leistung,
dann habe ich die Nutzleistung
z.B.
in einem Getriebe, jetzt tritt aber in einem Getriebe ja auch Reibung
auf, da ist Öl drin, es gibt irgendwie viskose Verluste.
Das heißt, ein Teil der zugeführten Leistung wird letztendlich in
Wärme umgesetzt, also in Verlustleistung,
meist in Form von Wärme.
Und dann kann es natürlich sein, dass wenn entsprechend in einem
System die Verlustleistung zwar prozentual klein ist, aber eben doch
ordentliche Leistungen durchgesetzt werden, dass das mit der Zeit dann
zu einer Erwärmung führt oder eben, man muss das Ganze auch kühlen.
Seltsame Dinge passieren dann allerdings, wenn man ein Haus baut und
dann vielleicht eine Brennwerttherme einbauen lässt und dann kommt der
Heizungsmonitor und schwärmt plötzlich.
Die hat einen Wirkungsgrad von 110%.
Dann schlackert man ein bisschen mit den Ohren und woran liegt das
dann?
Oder es liegt einfach...
Nein, es ist viel einfacher.
Bei einer normalen Heizung,
nein, die Rätsellösung ist so, eine Heizung, die macht warm Wasser,
die heizt auch für den Heizkreislauf das Wasser, damit man schön in
der Fußbodenheizung dann entsprechend warm hat oder auf dem
Heizkörper.
Und natürlich geht auch ein nicht verschwindender Anteil wieder durch
den Kamin raus, weil die Abgase haben immerhin eine Temperatur, je
nachdem, was für eine Heizung man hat, von 70°C bis 90°C, je nachdem.
Und bei einer Brennwerttherme ist eben die Abgastemperatur nochmals
heruntergesenkt.
Das heißt, dort kann dann schon irgendwelche Dinge auskondensieren,
deshalb müssen die auch immer mit Edelstahl ausgekleidet sein.
Das ist eine, aber jetzt vergleicht der Heizungsmonitor eine
Brennwerttherme die Nutzleistung im Vergleich zu einer konventionellen
Therme, bei der die Abgastemperaturen höher sind.
Wenn die Abgastemperaturen höher sind, geht mehr Verlustleistung durch
den Kamin, also so kommt er dann letztendlich auf einen Wirkungsgrad,
der über 100% liegt.
Wir als Ingenieure sollten das aber entsprechend unserer Definition
auffassen.
So, jetzt habe ich leider leider die eine Tafel schon weggewischt.
Jetzt haben wir also die Arbeit der Kraft am Massenpunkt bestimmt.
Aber wir haben uns noch ein bisschen mit Leistung, mit Wirkungsgrad
usw.
befasst.
Auf der anderen Seite der Gleichung stand allerdings ein Integral.
Das war die rechte Seite der Gleichung.
m mal R2 Punkt, Skalar mit dr multipliziert und integriert.
Jetzt ist die Frage, wie kann ich das umformen?
Nun, rein formal kann ich mit dt erweitern.
Dann ergibt sich Integral m R2 Punkt und jetzt fasse ich das schon mal
so zusammen dr durch dt
dt muss dann integrieren natürlich entsprechend von T0.
Das ist der Zeitpunkt, an dem sich der Massenpunkt bei R0 befand, bei
T1 entsprechend bei R1
und jetzt sehen wir, das ergibt Integral m R2 Punkt Skalar mit R Punkt
multipliziert dt
die Integrationsgrenzen bleiben.
Jetzt haben wir hier einen Ausdruck R2 Punkt mal R Punkt und da sehen
wir R2 Punkt Skalar mit R Punkt multipliziert ist jetzt schauen wir
mal, wenn wir R Punkt Quadrat
differenzieren dann ergibt sich zunächst mal mit der Kettenregel 2 mal
R Punkt
multipliziert mit der inneren Ableitung innere Ableitung ist die
Ableitung von R Punkt das ist R2 Punkt das heißt, wir haben rechts und
links schon fast dasselbe stehen nämlich R2 Punkt mal R Punkt
allerdings haben wir rechts noch den Faktor 2 zu viel deshalb müssen
wir rechts noch durch 2 dividieren dann haben wir also entsprechend d
nach dt von R Punkt Quadrat Halbe
gleich R2 Punkt mal R Punkt
das heißt, ich habe jetzt hier m d nach dt
von R Punkt Quadrat Halbe mal dt und wir sehen, jetzt können wir im
Grunde genommen das dt wieder rauskürzen
das heißt, wir haben dann Integral m d R Punkt Quadrat Halbe jetzt
müssten wir noch die Integrationsgrenzen entsprechend anpassen, ich
bezeichne das einfach mal mit 0 und 1 sonst müssten wir hier R0 Punkt
Quadrat Halbe und R1 Punkt Quadrat Halbe und so weiter schreiben was
wir auf jeden Fall sehen, es wird jetzt nach der Größe integriert
dabei ist m eine Konstante m R Punkt Quadrat Halbe Zustand 0
beziehungsweise 1 und dann sehen wir, es gibt m Halbe R0 Punkt Quadrat
R1 Punkt Quadrat R0 Punkt Quadrat und das liegt jetzt nahe m Halbe und
dann haben wir R1 Punkt Quadrat ist ja gerade die Geschwindigkeit am
Punkt 1 zum Quadrat minus R0 Punkt Quadrat ist die Geschwindigkeit am
Punkt 0 zum Quadrat Und es liegt jetzt nahe, eine Größe zu definieren,
nämlich m halbe v Quadrat
als kinetische Energie T.
Das heißt, jetzt haben wir die rechte Seite der Gleichung, die sich
nach Integration ergibt.
Wir hatten die linke Seite, das war die Arbeit.
Damit folgt letztendlich, ausgehend von dem, was ich ganz zu Anfang
der Vorlesung angeschrieben hatte, dass eben Integral von R0 bis R1 f
Skala dr gerade ist m halbe v1 Quadrat minus m halbe v0 Quadrat.
Man sieht, m halbe v1 Quadrat minus m halbe v0 Quadrat, das ist die
Änderung der kinetischen Energie des Massenpunktes.
Links haben wir gesagt, da steht die Arbeit, also können wir das auch
schreiben, die Arbeit W ergibt sich, oder anders ausgedrückt, die
Arbeit W entspricht der Differenz der kinetischen Energie am Endpunkt
bzw.
am Anfangspunkt.
Das ist der Arbeitssatz.
Also die am Massenpunkt verrichtete Arbeit, das ist immer wichtig, für
uns wird wichtig, die Arbeit der Kräfte, die am Massenpunkt wirken.
Kommen wir zur nächsten Vorlesung noch dazu.
Entspricht der Differenz der kinetischen Energie.
Haben wir da jetzt einen Vorteil dabei, wenn wir jetzt auf die
kinetische Energie gegangen sind?
Und im Grunde genommen ja, wir haben natürlich nicht die Lösung R als
Funktion der Zeit, aber man sieht, bei dieser Darstellung kommen nur
noch die Geschwindigkeiten vor, V1 bzw.
V0.
Also eine Ableitung weniger als bei der Beschleunigung.
Das heißt, wir haben jetzt formal das Newton'sche Grundgesetz einmal
hoch integriert und damit weniger Ableitungen drinstehen und könnten
jetzt ausgehend von dem versuchen Lösungen zu bestimmen, entweder über
eine Quadratur oder sehr oft gibt es eben Beispiele, bei denen nicht
jetzt eine Lösung als Funktion der Zeit verlangt wird, sondern wo man
vielleicht den Zustand, sprich die Geschwindigkeit an einem bestimmten
Punkt wissen will.
Ausgehend, dass man die Geschwindigkeit am Ausgangspunkt kennt und
praktisch die Kräfte dazwischen.
Das wäre so eine zeitfreie Lösung für die Geschwindigkeit.
Machen wir mal ein Beispiel dazu.
Also,
Beispiel, Massenpunkt auf schiefer, rauer Ebene.
Das heißt, wir haben den Neigungswinkel Alpha und Reibkoeffizient µ.
Wenn wir kolorisches Reibgesetz annehmen, das heißt, wir haben die
schiefe Ebene, da war der Winkel Alpha.
Dann führen wir eine Koordinate S ein, entlang der schiefen Ebene.
Zum Zeitpunkt T0 befindet sich der Massenpunkt bei S gleich S0.
Das wäre also S0.
Zum Zeitpunkt 1 befindet sich der Massenpunkt bei S gleich S1.
Der Massenpunkt selbst hat die Masse M.
Wie gesagt, zwischen Massenpunkt und schiefer Ebene wirkt der
Reibkoeffizient µ.
Und wir haben die Erdbeschleunigung, die auf den Massenpunkt wirkt,
vertikal nach unten.
Das heißt, wir wissen, W gleich T1 am Ende minus T0.
Und W ist die Arbeit der Kräfte, die am Massenpunkt wirken.
T1 ist entsprechend M halbe V1 Quadrat.
T0 ist M halbe V0 Quadrat.
Die Arbeit ist Integral von R0 bis R1.
R1 ist F dr. Jetzt wissen wir, die Verschiebung geht nur in Richtung
der Koordinate S.
Also wird wichtig, welche Kraftanteile wirken in Richtung der schiefen
Ebene.
Da haben wir zum einen, was wir in der Physik oft als
Hangabtriebskraft bezeichnen, den Anteil der Gewichtskraft in Richtung
von S.
Das ist in dem Falle M mal G mal Sinus V.
Ist also Integral F in Richtung von S mal dS von S0 bis S1.
Also haben wir da zum einen die Gewichtskraft, G mal Sinus Alpha.
Dann haben wir entgegengesetzt gerichtet die Reibkraft, deshalb minus
R mal dS.
Ansonsten wirken keine Kräfte.
Nun in dem Fall entspricht die Reibkraft wieder µ mal n.
Also R gleich µ mal n.
Allerdings wird es in dem Fall einfacher, weil die Bahn nicht gekrümmt
ist.
Deshalb gibt es keine Beschleunigung.
Normal zur Oberfläche der schiefen Ebene.
Dementsprechend ergibt ein Kräftegleichgewicht.
Man hat von der Oberfläche auf den Massenpunkt die Normalkraft.
In Richtung der Oberfläche den Anteil der Gewichtskraft, G mal Sinus
Alpha.
Also ist es gerade µ mal M mal G mal Sinus Alpha.
Setzen wir das ein, dann haben wir W gleich Integral von S0 bis S1.
Dann haben wir stehen G mal Sinus Alpha minus µ mal M mal G mal
Cosinus Alpha dS.
Und jetzt sehen wir, Alpha ist konstant, die Gewichtskraft ist
konstant.
Also steht im Integranten eine Konstante.
Integriert nach S ergibt gerade Konstante mal S.
Gibt also letztendlich M mal G mal Sinus Alpha minus µ mal Cosinus
Alpha.
Die Klammer kann ich sogar hier weglassen.
Mal, wenn wir S haben und obere und untere Grenze einsetzen, ergibt es
gerade S1 minus S0.
Setzen wir das im Arbeitssatz ein, dann erhalten wir M halbe V1
Quadrat minus V0 Quadrat gleich M mal G mal Sinus Alpha minus µ
Cosinus Alpha mal S1 minus S0.
Wir sehen, das M können wir kürzen.
Dann multiplizieren wir noch mit dem Faktor 2.
So ergibt sich V1 Quadrat minus V0 Quadrat gleich 2 mal G mal dem
Rest.
Bringen wir das minus V0 Quadrat noch nach rechts, dann ergibt sich V1
Quadrat gleich 2 mal G mal Sinus Alpha minus µ Cosinus Alpha mal S1
minus S0 plus V0 Quadrat.
Und wenn wir dann das V1 wissen wollen, dann müssen wir eben rechts
gerade noch die Wurzel ziehen, müssen aber letztendlich beachten, in
dem Falle könnte die Geschwindigkeit auch nach oben gerichtet sein,
plus minus.
Also wir haben jetzt aber zumindest die Geschwindigkeit in
Abhängigkeit von der Position.
Man sieht, die Gewichtskraft erhöht die Geschwindigkeit, die Reibkraft
verringert das.
Und natürlich ist die Geschwindigkeit am Ende auch größer, wenn wir am
Anfang eine gewisse Anfangsgeschwindigkeit haben.
Gibt es soweit Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt.
Ich muss mich nochmal entschuldigen, dass ich stark erkältet bin und
zwischendurch der Husten muss.
Wir sehen uns hoffentlich nächsten Montag wieder.
Vielen Dank.