WEBVTT 00:06.700 --> 00:11.480 Mal Beschleunigung von Massenpunkt I, das ist RI2-Punkt. 00:13.060 --> 00:22.000 Muss sein, Summe aller Kräfte auf den Massenpunkt I, und zwar äußere 00:22.000 --> 00:25.400 eingeprägte Kräfte plus eben 00:28.590 --> 00:35.490 aufsummiert über alle Massenpunkte die Kräfte der anderen Massenpunkte 00:35.490 --> 00:37.470 F, I, J auf den Massenpunkt I. 00:38.570 --> 00:42.670 Das heißt jetzt muss aufsummiert werden von J gleich 1 bis N, wobei 00:42.670 --> 00:47.750 wir, um das handhabbar zu machen, sonst müssen wir immer schreiben, 00:48.110 --> 00:55.950 Summe J gleich 1 bis N außer J gleich I, haben wir eingeführt F, I, I 00:55.950 --> 01:01.250 oder F, J, J sei einfach 0, dann lässt sich das sehr schnell angeben. 01:01.590 --> 01:08.650 Also wie gesagt, die Bewegungsgleichung für den Massenpunkt I und 01:08.650 --> 01:14.590 jetzt können wir einfach über alle Massenpunkte aufsummieren. 01:15.430 --> 01:21.090 Das heißt wir summieren jetzt auf beiden Seiten über I von 1 bis N, 01:21.850 --> 01:23.290 machen das auch rechts, 01:33.480 --> 01:37.060 das heißt rechts haben wir jetzt schon mal die Summe über alle äußeren 01:37.060 --> 01:39.620 Kräfte, über alle eingeprägten Kräfte auf die verschiedenen 01:39.620 --> 01:44.540 Massenpunkte und dann haben wir noch eine Summation über alle inneren 01:44.540 --> 01:48.440 Kräfte und jetzt können wir uns leicht vorstellen, die Kräfte, die 01:48.440 --> 01:53.460 treten immer paarweise auf, also I und J läuft ja jeweils von 1 bis N, 01:53.460 --> 01:57.800 wobei wenn der Index gleich ist, das sowieso 0 sein soll und man sieht 01:57.800 --> 02:04.200 aufgrund der Tatsache, dass eben F, I, J gleich minus F, J, I ist, 02:04.720 --> 02:08.360 muss die letzte Doppelsumme da verschwinden. 02:08.360 --> 02:23.920 Also das ergibt gerade den Nullvektor und 02:32.700 --> 02:38.000 deswegen F, 02:41.530 --> 02:53.600 I, J gleich minus F, I, J, I, sodass letztendlich verbleibt 03:07.640 --> 03:26.860 Summe I gleich 1 bis N, M, I, R, I, 2 Punkt gleich Summe F, I 03:26.860 --> 03:38.200 ebenfalls summiert über I und jetzt wissen wir, wenn wir hier 03:38.200 --> 03:42.500 schreiben M, I, R, I, 2 Punkt und dann die Summe, dann ist das 03:42.500 --> 04:04.620 dasselbe wie Summe M, I, R, I, das zweimal abgeleitet gleich Summe I 04:04.620 --> 04:15.220 gleich 1 bis N, F, I und die Summe M, I, R, I, wer weiß noch, was das 04:15.220 --> 04:23.500 ergibt und Schwerpunktberechnung, das ergibt gerade die Gesamtmasse 04:23.500 --> 04:26.880 des Systems, die sich zusammensetzt aus den Massen der einzelnen 04:26.880 --> 04:32.680 Massenpunkte multipliziert mit dem Vektor, mit dem Ortsvektor zum 04:32.680 --> 04:33.260 Schwerpunkt. 04:37.360 --> 04:51.910 Also hier haben wir jetzt M mal R, S, das heißt, wenn wir das zweimal 04:51.910 --> 05:00.400 ableiten, folgt dann letztendlich die einfache Beziehung, 05:08.710 --> 05:18.170 M mal R, S, das müssen wir noch zweimal ableiten hier, gleich Summe I 05:18.170 --> 05:20.930 gleich 1 bis N, 05:26.600 --> 05:27.260 F, I. 05:29.280 --> 05:33.640 Ich hoffe, allen ist noch die Schwerpunktberechnung präsent, also der 05:33.640 --> 05:36.880 Schwerpunkt war ja 05:40.270 --> 05:52.190 Summe M, I, R, I, den Summationsindex I, klar, von 1 bis N, dividiert 05:52.190 --> 06:02.670 durch die Summe der Masse und Summe M, I war eben gerade die 06:02.670 --> 06:03.670 Gesamtmasse M. 06:05.990 --> 06:10.650 Das heißt, der Schwerpunktsatz besagt, der Schwerpunkt des Systems 06:10.650 --> 06:16.150 bewegt sich so, als ob alle Masse des Systems im Schwerpunkt vereinigt 06:16.150 --> 06:19.590 ist und alle Kräfte an diesem Punkt angreifen. 06:48.860 --> 06:51.620 Schauen wir das nochmal auf, also der Massenmittelpunkt 07:03.840 --> 07:25.240 bewegt sich so, als ob alle Kräfte am Massenmittelpunkt 07:33.240 --> 07:39.000 angreifen und 07:42.190 --> 07:45.890 die Gesamtmasse dort 07:56.380 --> 07:57.320 konzentriert ist. 08:09.780 --> 08:15.380 An der Stelle, bei den Deutschen sieht man das nicht so deutlich, im 08:15.380 --> 08:19.180 Englischen, da wird der Schwerpunkt oft als Center of Gravity 08:19.180 --> 08:24.140 bezeichnet, manchmal auch als Center of Mass, hier sagt man 08:24.140 --> 08:27.760 Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt, Schwerpunkt kommt ja im Grunde 08:27.760 --> 08:32.100 genommen auch von der Tatsache, dass man im Schwerfeld der Erde den 08:32.100 --> 08:35.340 relativ leicht bestimmen kann, indem man den Körper an verschiedenen 08:35.340 --> 08:41.660 Punkten aufhängt, dann muss der Schwerpunkt immer unterhalb des 08:41.660 --> 08:42.860 Aufhängepunktes sein. 08:44.620 --> 08:49.520 Aber es ist nicht so, dass der Massenmittelpunkt immer unbedingt mit 08:49.520 --> 08:53.340 dem Gravitationsmittelpunkt zusammenfällt. 08:54.460 --> 09:01.140 In dem homogenen Schwerfeld ist das der Fall, wenn man allerdings von 09:01.140 --> 09:07.000 einem nicht homogenen Gravitationsfeld ausgeht, dann können die beiden 09:07.000 --> 09:08.500 Punkte unterschiedlich sein. 09:10.080 --> 09:11.160 Ist das relevant? 09:14.780 --> 09:14.980 Wann? 09:17.500 --> 09:21.560 Genau, also im Weltall bzw. 09:22.120 --> 09:28.480 allgemein ist es natürlich so, wenn man die Erde oder bei einer Kugel 09:28.480 --> 09:33.060 kann man das auch noch zeigen, dass der Massenmittelpunkt entscheidend 09:33.060 --> 09:40.520 ist, wenn ich da ein Gravitationsfeld habe, dann verlaufen praktisch 09:40.520 --> 09:45.660 die Kraftlinien des Gravitationsfeldes, wenn man da irgendwo eine 09:45.660 --> 09:47.000 Masse hat, immer radial. 09:48.420 --> 09:52.500 Das heißt, wenn ich jetzt einen ausgedehnten Körper habe, dann sind, 09:52.640 --> 09:58.080 übertrieben gesprochen, am einen Ende die Gravitationskräfte so 09:58.080 --> 10:01.000 gerichtet, am anderen Ende haben die einen ein bisschen anderen 10:01.000 --> 10:01.440 Winkel. 10:02.300 --> 10:06.360 Hinzu kommt, dass die Gravitationskraft umgekehrt proportional zum 10:06.360 --> 10:10.220 Abstand der Massen ist, also wenn das System auch ausgedehnt ist, gibt 10:10.220 --> 10:11.160 es dort Unterschiede. 10:12.660 --> 10:16.700 Die sind natürlich, wenn man jetzt in den Dimensionen des Weltalls 10:16.700 --> 10:20.020 denkt, relativ gering. 10:20.880 --> 10:23.560 Das heißt, die Unterschiede zwischen Massenmittelpunkt und 10:23.560 --> 10:25.900 Schwerpunkt, die sind klein. 10:27.080 --> 10:34.740 Allerdings muss man im Weltall immer beachten, später bei dem, was wir 10:34.740 --> 10:39.480 nach Weihnachten machen, da machen wir eben eine Bewegung des starren 10:39.480 --> 10:40.000 Körpers. 10:40.780 --> 10:44.700 Da gibt es auch eine Momentbilanz und da ist immer entscheidend, dass 10:44.700 --> 10:48.380 man sich auf den Massenmittelpunkt bezieht. 10:48.380 --> 10:53.200 Und dann werden wichtig die Momente um den Massenmittelpunkt. 10:55.560 --> 10:58.880 Das heißt, wenn jetzt der Schwerpunkt ein bisschen außerhalb ist, des 10:58.880 --> 11:02.440 Massenmittelpunktes, dann kann das zu einem kleinen Moment führen. 11:03.640 --> 11:05.260 Auf der Erde wird man das nicht spüren. 11:06.240 --> 11:08.380 Da kann man das auch relativ schnell ausgleichen. 11:08.380 --> 11:12.980 Im Weltall, da kann man sich nirgends abstützen. 11:13.720 --> 11:18.000 Also kann eine ungeschickte Massenverteilung dazu führen, dass 11:18.000 --> 11:23.260 plötzlich der Satellit aufgrund der Unterschiede von Massen- und 11:23.260 --> 11:26.680 Gravitationsmittelpunkt sich anfängt zu drehen. 11:26.900 --> 11:30.780 Das führt dann zu einer Drehbeschleunigung, die ist natürlich gering, 11:31.120 --> 11:34.780 aber wenn der jetzt über Monate oder Jahre da oben ist, dann führt 11:34.780 --> 11:39.340 auch das zu einer merklichen Rotation und der Fernsehzuschauer hat es 11:39.340 --> 11:41.940 natürlich nicht gern, wenn plötzlich der Satellit falsch ausgerichtet 11:41.940 --> 11:47.620 ist und man nur noch irgendwelche Flimmerbilder sieht. 11:48.900 --> 11:50.860 Das vielleicht als kleine Anmerkung an der Stelle. 11:53.760 --> 11:59.360 Jetzt beim Schwerpunkt haben wir gesehen, die inneren Kräfte, die 11:59.360 --> 12:02.580 spielen für die Bewegung des Massenmittelpunktes keine Rolle. 12:38.330 --> 12:42.270 Und jetzt in der Zeit vor Weihnachten kommen manchmal im Fernsehen 12:42.270 --> 12:45.790 irgendwelche Märchengeschichten. 12:46.830 --> 12:49.450 Wer kennt sich in deutschen Märchen aus? 12:50.730 --> 12:52.150 Niemand, das ist traurig. 12:54.570 --> 12:57.110 Wer kennt den Freiherr von Münchhausen? 12:58.690 --> 13:00.890 Der eine oder die andere vielleicht schon. 13:02.070 --> 13:04.030 Das ist so ein bisschen deutsche Literatur. 13:04.190 --> 13:09.290 Das ist also jemand, der hat immer Geschichten erzählt, was er Tolles 13:09.290 --> 13:10.890 gemacht hat, aber es war alles erlogen. 13:13.610 --> 13:15.030 Gibt es auch viel mehr darüber. 13:15.030 --> 13:16.530 Wie? 13:28.250 --> 13:31.370 Dann hätten wir es ja doppelt gezählt. 13:32.190 --> 13:37.070 Also die Kräfte der anderen Massenpunkte auf den Massenpunkt I, die 13:37.070 --> 13:39.890 werden alle gekennzeichnet durch FIJ. 13:40.810 --> 13:46.670 Und zwar FI1 ist die Kraft von Massenpunkt 1, die der auf den 13:46.670 --> 13:47.910 Massenpunkt I ausübt. 13:47.910 --> 13:53.150 FI2 ist die innere Kraft, die der Massenpunkt 2 auf den Massenpunkt I 13:53.150 --> 13:53.670 ausübt. 13:54.170 --> 13:56.250 Und dann gibt es noch äußere Kräfte, was weiß ich. 13:56.930 --> 13:59.530 Wir drücken von außen. 14:02.750 --> 14:06.230 In dem FI, genau das sind die eingeprägten Kräfte. 14:09.170 --> 14:12.790 Also in einer der Lügengeschichten erzählt der Freiherr von 14:12.790 --> 14:17.350 Münchhausen, dass er unglücklicherweise in einen Sumpf gefallen ist. 14:18.170 --> 14:20.070 Und dann drohte er zu versinken. 14:20.210 --> 14:20.950 Was hat er gemacht? 14:27.030 --> 14:27.470 Ah! 14:27.470 --> 14:30.590 Er hat sich selbst aus dem Sumpf herausgezogen, hat sich also bei den 14:30.590 --> 14:31.330 Haaren gepackt. 14:31.610 --> 14:35.830 Wird jetzt bei mir mit meiner kurzen und spärlichen Frisur etwas 14:35.830 --> 14:36.250 schwierig. 14:36.890 --> 14:38.230 Also ich könnte es gar nicht probieren. 14:38.710 --> 14:40.950 Aber er hat sich selbst an den Haaren aus dem Sumpf herausgezogen. 14:42.410 --> 14:47.010 Und wir wissen natürlich, an den Haaren ziehen, das bringt nur innere 14:47.010 --> 14:47.410 Kräfte. 14:48.070 --> 14:52.350 Die können nicht dazu führen, dass wir praktisch unseren 14:52.350 --> 14:55.270 Massenmittelpunkt da aus dem Sumpf herausziehen. 14:57.150 --> 14:59.990 So, eine andere Anwendung. 15:00.250 --> 15:01.050 Wer macht gerne Leichtathletik? 15:03.570 --> 15:05.090 Stark aus der Mode gekommen. 15:08.110 --> 15:09.570 Wer kennt Hochsprung? 15:12.770 --> 15:13.730 Wie springt man da? 15:13.810 --> 15:14.670 Möglichst hoch. 15:17.190 --> 15:21.950 Aber der Trick ist nicht nur möglichst hoch zu springen, sondern auch 15:21.950 --> 15:23.110 möglichst geschickt. 15:24.350 --> 15:26.970 Und da gibt es ja verschiedene Techniken. 15:27.110 --> 15:29.470 Früher hat man eine andere Technik verwendet als heutzutage. 15:29.470 --> 15:33.870 Wenn man also hoch springt, liegt der Trick darin, dass man zunächst 15:33.870 --> 15:37.010 mal, wie die Skispringer auch, eine Mordsprungkraft hat. 15:38.910 --> 15:40.390 Ohne die geht es natürlich auch nicht. 15:41.090 --> 15:46.950 Aber dann mogelt man seinen Körper insgesamt über die Stange. 15:47.610 --> 15:52.230 Wobei, wenn man das gut macht, der Schwerpunkt stets unterhalb der 15:52.230 --> 15:52.830 Stange bleibt. 15:54.030 --> 15:57.110 Also man muss da nur die einzelnen Massenpunkte so nach und nach 15:57.110 --> 15:57.850 rüberschieben. 15:58.450 --> 16:03.230 Und das so machen, dass insgesamt, ich so ins Hohlkreuz gehe oder mich 16:03.230 --> 16:07.370 so mit den Beinen noch anwinkele, dass der Massenmittelpunkt unterhalb 16:07.370 --> 16:07.690 ist. 16:08.310 --> 16:13.810 Weil, wenn ich abgesprungen bin, dann liegt die Bahn des Massenpunktes 16:13.810 --> 16:14.130 fest. 16:15.170 --> 16:18.510 Und die wenigsten können wirklich so hoch springen, dass der 16:18.510 --> 16:20.810 Massenmittelpunkt über 2,40 Meter geht. 16:20.810 --> 16:24.250 Also, die guten mogeln das unten durch. 16:41.500 --> 16:45.500 Wenn wir jetzt noch den gesamten Impuls einführen, als Summe der 16:45.500 --> 16:46.540 einzelnen Impulse. 17:13.300 --> 17:16.700 E als Summe der einzelnen Impulse. 17:21.390 --> 17:23.450 Wieder summieren von 1 bis N. 17:23.750 --> 17:26.650 Ich gebe jetzt hier noch den Informationsindex ein. 17:26.650 --> 17:27.950 Und dann diese... 17:28.450 --> 17:29.650 Beschreibe jetzt die Fahnen. 17:30.190 --> 17:31.650 Und dann dieser gerade... 17:33.050 --> 17:33.930 Oh, Moment. 17:34.690 --> 17:35.990 Das war eine völlige Falschreitung. 17:36.190 --> 17:37.030 Der erste ist schlecht. 17:37.750 --> 17:39.310 Also, Summe der einzelnen Impulse. 17:39.610 --> 17:45.410 Und der einzelne Impuls war natürlich M i mal V i, so wie es in dem 17:45.410 --> 17:46.110 Bereich heißt. 17:54.160 --> 17:56.660 Das heißt, jetzt sehen wir, wenn wir das noch einmal differenzieren, 17:56.880 --> 18:01.640 dann haben wir gerade Summe M i V i Punkt. 18:01.640 --> 18:03.120 War aber R i 2 Punkt. 18:03.560 --> 18:10.550 Also, letztendlich folgt dann aus dem Schwerpunktsatz, 18:25.110 --> 18:34.790 dass die Ableitung des gesamten Impulses, das war ja dann die Summe 18:34.790 --> 18:40.570 aus der Ableitung der einzelnen Impulse, das war gerade Summe R i 2 18:40.570 --> 18:40.990 Punkt. 18:40.990 --> 18:45.530 Und dann steht da gerade auf der rechten Seite die Summe aller äußeren 18:45.530 --> 18:46.890 Kräfte, die auf der einzelnen Masse 18:50.460 --> 18:50.960 gleichen. 18:51.080 --> 18:56.440 1 bis N F i. 19:02.430 --> 19:04.090 Das können wir auch integrieren. 19:12.340 --> 19:13.600 Wenn wir das schon beim 1. 19:13.720 --> 19:16.720 Satzpunkt gemacht haben, dann folgt eben das. 19:18.140 --> 19:28.160 P in Punkt integriert ergibt dann den Impuls P minus Impuls P zum 19:28.160 --> 19:29.200 Anfangszeitpunkt. 19:29.360 --> 19:30.400 Das nenne ich mal als P I. 19:30.760 --> 19:37.580 Ist dann gerade Integral über die rechte Seite, also Integral von T I 19:37.580 --> 19:40.340 bis T I. 19:40.340 --> 19:45.360 Oder, wenn wir das in der allgemeinen Zeitnahme haben, Integral von T 19:45.360 --> 19:46.140 I bis T. 19:47.340 --> 19:53.800 Und dann eben drin steht Summe I gleich 1 bis N F i. 19:55.540 --> 20:00.340 Das müssen wir über die Zeit integrieren, aber Integrationsgrenzen und 20:00.340 --> 20:02.920 Integrationsvariablen zu unterscheiden. 20:06.140 --> 20:09.040 Führen wir dann hier die Integrationsvariablen Tau ein. 20:10.340 --> 20:17.000 Also F i als Funktion der Zeit, F i als Funktion der Zeittau. 20:17.540 --> 20:18.280 Also 20:22.720 --> 20:28.360 die Differenz der Impulse bei Zeitpunkten ist dann gerade, also 20:28.360 --> 20:35.700 Integral über die Summe aller ansteigenden Kräfte integriert über die 20:35.700 --> 20:37.020 entsprechende Zeitintervalle. 20:39.040 --> 20:45.140 Sonderfalle sind natürlich vor, wenn die äußeren Kräfte verschwinden. 21:41.230 --> 21:53.110 F i, wenn das 0 ist, dann ist Masse um eine Stärke zu steigern gleich 21:53.110 --> 21:53.470 0. 21:54.330 --> 21:58.210 Das heißt, es wird nur einmal integriert und es folgt sofort. 21:58.210 --> 22:05.850 Das dann natürlich der Gesamtimpuls des Systems konstant sein muss. 22:08.330 --> 22:14.330 Also in jedem Fall ist dann der Gesamtimpuls von Massimal 22:14.330 --> 22:18.550 Schwerpunktgeschwindigkeit F i 0. 22:19.930 --> 22:22.010 Das ist Konstanterektor. 22:29.510 --> 22:32.090 Und wir sehen, die Gesamtmasse ändert sich ja nicht. 22:32.090 --> 22:39.190 Also muss konstant sein. 22:39.430 --> 22:43.470 Wenn der Rektor konstant ist, dann heißt das, er hat den gleichen 22:43.470 --> 22:44.030 Gewag. 22:47.060 --> 22:50.660 Letztendlich bewegt sich dann in dem Falle der Schwerpunkte des 22:50.660 --> 22:55.000 Systems auf einer geraden, 22:58.820 --> 23:00.940 kann man sich so vorstellen, an der 23:05.480 --> 23:08.220 überlegten Sonne, an der keine Kräfte. 23:09.400 --> 23:11.880 Wenn ich jetzt mal eine Runde Rakete habe, 23:16.080 --> 23:16.860 was kann ich machen? 23:16.920 --> 23:19.700 Ich kann mich nirgends festhalten, also ich kann nur meine Triebwerke 23:19.700 --> 23:20.120 zünden. 23:22.020 --> 23:23.220 Dann strömt hinten, 23:33.820 --> 23:39.860 also dann rede ich aus dem Sinn, wenn wir die ausgestoßene Masse, also 23:39.860 --> 23:45.100 diese Masselemente betrachten, wir wenden aus Tiefensteigheit, oder 23:45.100 --> 23:45.560 wir wenden 23:51.540 --> 23:52.760 innen Kraft aus. 23:53.900 --> 23:58.420 Das heißt, während das eine Teil nach hinten wegfliegt, wird dann 23:58.420 --> 24:03.380 entsprechend die Rakete nach vorne gesteuert, bei dem Schwerpunktsatz, 24:03.620 --> 24:08.140 weil bei den Kraftwerken bleibt der Schwerpunkt insgesamt immer auf 24:08.140 --> 24:08.540 der gleichen 24:14.800 --> 24:18.520 Stufe, möglichst weit zu kommen, möglichst schnell zu werden, müssen 24:18.520 --> 24:21.440 die Massenteilchen also mit einer möglichst hohen Geschwindigkeit 24:21.440 --> 24:22.720 ausgestoßen werden. 24:23.420 --> 24:28.500 Wie das dann im kontinuierlichen Fall vor sich geht, und wie man das 24:28.500 --> 24:32.620 letztendlich berechnet, das sehen wir dann am Ende des Semesters, wenn 24:32.620 --> 24:36.040 wir das System mit, in Anführungsstrichen, veränderlicher Masse 24:36.040 --> 24:37.940 betrachten. 24:39.140 --> 24:42.200 Also dort haben wir ein System, wo wir sagen, da wird Masse 24:42.200 --> 24:45.660 ausgestoßen, und es kommt Masse dazu, also ändert sich die, aber 24:45.660 --> 24:49.120 letztendlich bei Jugend und allem, was damit zusammenhängt, wird 24:49.120 --> 24:50.720 eigentlich immer dieselbe Masse betrachtet. 24:52.540 --> 24:54.140 Gibt's soweit Fragen? 24:59.490 --> 25:05.130 Bevor wir dann jetzt zum 3. 25:05.250 --> 25:11.270 Satz kommen, bräuchte ich, Sie ahnen es schon, einen Studenten oder 25:11.270 --> 25:13.230 eine Studentin ihres Vertrauens. 25:21.640 --> 25:24.040 Ich denke, die meisten wissen es jetzt, wenn sie die Evaluation so 25:24.040 --> 25:29.460 hoch ausgeführt haben, aber wir sind weiter mit dem 3. 25:30.800 --> 25:31.340 Satz. 25:47.130 --> 25:48.150 Wenn wir den Puls, 26:04.510 --> 26:08.790 dann ist der Ende, wenn wir einen Massenpunkt haben, z.B. 26:08.910 --> 26:14.950 den Massenpunkt I, dann hat man irgendwo den Bezugspunkt O, und ich 26:14.950 --> 26:18.850 würde es schon mal ein 26:22.330 --> 26:24.330 bisschen besser heute nicht verstehen, aber ich denke, man kennt wohl, 26:24.470 --> 26:26.170 wie wichtig es in dem Fall ist. 26:26.590 --> 26:28.830 Wir haben den Massenpunkt M I, 26:32.780 --> 26:37.460 den Ortsvektor R I zum Massenmittelpunkt, 26:43.550 --> 26:51.990 so dann haben wir die Geschwindigkeit des Massenpunktes. 26:58.200 --> 27:02.960 Und wir haben Kräfte, die am Massenpunkt angreifen, das waren die 27:02.960 --> 27:05.660 Summe der äußeren, der eingeprägten Kräfte F I, 27:12.140 --> 27:18.840 plus die Kräfte der anderen Massenpunkte auf dem Massenpunkt I, deutet 27:18.840 --> 27:23.420 es an, mit einer dieser inneren Kräfte, also z.B. 27:23.640 --> 27:33.560 hier die Kraft F I J, wie gesagt, so gibt es N-1 Kräfte der anderen 27:33.560 --> 27:43.490 Massenpunkte auf dem Massenpunkt I, und wir wissen, für den I, den 27:43.490 --> 27:44.550 Massenpunkt gilt, 27:56.090 --> 27:58.010 zunächst einmal für das Moment, 28:04.880 --> 28:12.500 da war das Moment, bezüglich dem Bezugspunkt O, Massenpunkt I, war 28:12.500 --> 28:22.040 gerade R I, R I Kreuz, der Summe der Kräfte auf dem Massenpunkt, das 28:22.040 --> 28:32.140 war F I, plus Summe F I J, jetzt aufsummiert über J, 28:39.040 --> 28:42.080 sowie der Drehimpuls, 28:53.450 --> 28:56.390 Bezugspunkt O, 29:02.260 --> 29:08.220 der Impuls, das war M I V I. 29:11.760 --> 29:17.580 Und für den Massenpunkt I galt dann der Drahtsatz, 29:46.190 --> 29:53.230 gleich ableitend ist Drahtsatz für den Massenpunkt I, bezüglich O, 29:54.110 --> 29:58.450 nach der Zeit, das hatten wir ausführlich hergeleitet, also L, 30:04.780 --> 30:12.480 jetzt machen wir wieder eine Summation über eine Massenpunkte, 30:25.370 --> 30:34.720 das ergibt dann zunächst einmal eine Summation über eine M I Punkt, 30:36.340 --> 30:39.380 also Summation über die, 30:44.610 --> 30:53.050 aufgerechnet, beziehungsweise, gehen wir nochmal an, was das war, das 30:53.050 --> 31:06.790 war praktisch Summation über I, und L I war R I Kreuz, M I V I, das 31:06.790 --> 31:12.530 abgerechnet, und auf der rechten Seite haben wir dann eine Summation 31:12.530 --> 31:15.450 über alle Massenpunkte, 31:19.710 --> 31:21.710 von R I, 31:39.060 --> 31:48.500 vielleicht 1 bis N, und dann haben wir R I Kreuz, die Summe, F, 31:51.890 --> 31:59.330 da können wir das R I, das ist ja eine Summation, das können wir in 31:59.330 --> 32:07.230 die zweite Summe einziehen, dann erhalten wir dort Summe J gleich 1 32:07.230 --> 32:17.610 bis N, und dann steht da, R I Kreuz F. 32:26.870 --> 32:30.830 Entschuldigung, haben Sie vorhin irgendwas am Pult geändert, weil ich 32:30.830 --> 32:32.090 habe hier kein Audiosignal mehr, 32:36.900 --> 32:39.080 da vorne ist so ein Empfänger, steckt der noch drin? 32:39.800 --> 32:45.170 Der hier, Sender C, 32:51.620 --> 33:01.630 on, ich wüsste jetzt nicht, was ich da ändern kann, ich kann irgendwas 33:01.630 --> 33:02.630 hoch oder runter drücken, 33:08.620 --> 33:09.540 hallo, ja, 33:16.290 --> 33:20.750 Sie sehen, wir zeichnen die Vorlesung auf, aber es ist nicht sicher, 33:21.670 --> 33:23.330 dass die Aufzeichnung Erfolg hat. 33:24.070 --> 33:24.550 Insofern, 33:31.120 --> 33:34.700 ich hatte hier aber auch die Evaluationsunterlagen liegen, vielleicht 33:34.700 --> 33:35.320 hat es irgendwas... 33:42.790 --> 33:43.350 Jetzt? 33:43.350 --> 33:44.350 Jetzt auch noch? 33:46.590 --> 33:47.310 Jetzt auch noch? 33:49.290 --> 33:50.810 Das war der Golden Finger. 34:04.090 --> 34:23.990 Also, dass die Summe L I bezüglich O jetzt gerade der Gesamtimpuls 34:23.990 --> 34:28.430 bezüglich O sein muss, das würde bedeuten, auf der linken Seite hätten 34:28.430 --> 34:33.410 wir dann nach der Summation gerade die Ableitung des Gesamtdralls. 34:34.890 --> 34:36.910 Und jetzt, wie sieht es auf der rechten Seite aus? 34:37.470 --> 34:42.670 Und da haben wir zum einen die eine Summe, R I Kreuz F I, und dann 34:42.670 --> 34:44.370 eine Doppelsumme. 34:45.070 --> 34:50.050 Aber bei der Doppelsumme, da hätten wir gern gefühlsmäßig, dass die 34:50.050 --> 34:51.170 vielleicht verschwindet. 34:52.250 --> 34:53.850 Wie können wir das erreichen? 34:54.530 --> 34:58.570 Nun, wir wissen F I J gleich minus F J I. 34:58.570 --> 35:00.710 Also, wenn wir die mal ausschreiben, 35:06.020 --> 35:08.480 dann können 35:20.790 --> 35:36.310 wir sagen, Summe I, Summe J, R I Kreuz F I J ist, ich schreibe mal 35:36.310 --> 35:43.750 hier unten weiter, R I Kreuz F I I. 35:43.970 --> 35:45.430 Das macht uns keine Probleme. 35:45.610 --> 35:49.330 Da haben wir ja gesagt, F I I, das führen wir nur formal ein, das ist 35:49.330 --> 35:49.870 eigentlich null. 35:49.870 --> 36:12.290 Dann haben wir plus R II Kreuz F I II bis R I Kreuz F I N. 36:13.150 --> 36:29.630 Dann kommt in der nächsten Zeile das R II Kreuz F II I plus R II Kreuz 36:29.630 --> 36:32.090 F II II. 36:32.090 --> 36:34.010 Das F II II war ja auch wieder null. 36:35.910 --> 36:44.060 Bis letztendlich R II Kreuz F II N. 36:45.040 --> 36:59.560 Das geht so weiter bis letztendlich R N Kreuz F N I plus R N Kreuz F N 36:59.560 --> 37:05.700 II bis R N Kreuz F N N. 37:07.740 --> 37:11.600 Also wie gesagt, die mit doppeltem Index, die Kräfte verschwinden 37:11.600 --> 37:12.020 sowieso. 37:13.640 --> 37:17.080 Und jetzt sehen wir, dass wir immer zwei Terme paarweise 37:17.080 --> 37:23.600 zusammenfassen können, weil eben F II I gerade minus F I II ist. 37:46.400 --> 38:00.960 Das gibt also R I Kreuz F I II plus R II Kreuz minus F I II oder R I 38:00.960 --> 38:08.480 minus R II Kreuz F I II. 38:09.480 --> 38:28.280 Dann haben wir plus R I minus R III Kreuz F I III bis letztendlich R I 38:28.280 --> 38:34.200 minus R N Kreuz F I N. 38:34.960 --> 38:44.120 Und dann kommen natürlich noch weitere Terme, also plus R II minus R 38:44.120 --> 38:49.200 III Kreuz F II III. 38:54.600 --> 39:18.280 Bis zum Schluss hätten wir dann R N minus 1 minus R N Kreuz F N minus 39:18.280 --> 39:19.040 1 N. 39:25.640 --> 39:30.720 Und jetzt schauen wir uns das mal am Beispiel von drei Massenpunkten 39:30.720 --> 39:30.980 an. 39:45.380 --> 39:51.600 Dann haben wir M I, M II und M III. 39:57.730 --> 40:13.950 Dementsprechend die Kraft F I II, aber auch F II I, F I III, aber auch 40:13.950 --> 40:18.700 F III I. 40:18.700 --> 40:24.800 Und dann haben wir hier noch die Kräfte F II III bzw. 40:25.360 --> 40:27.760 F III II. 40:29.160 --> 40:35.760 Jetzt sehen wir aber R I minus R II. 40:36.700 --> 40:48.360 R I minus R II war gerade der Ortsvektor von Massenpunkt II zu 40:48.360 --> 40:49.360 Massenpunkt I. 40:50.360 --> 40:55.340 Der ist aber in dem Falle parallel zur Kraft F I II bzw. 40:55.620 --> 40:58.740 F II I, also das Kreuzprodukt verschwindet. 40:59.780 --> 41:04.420 Genauso sieht es aus mit Massenpunkt I und Massenpunkt III. 41:04.860 --> 41:10.820 Auch da ist R I minus R III ein Vektor in Richtung der Verbindenden 41:10.820 --> 41:16.400 zwischen M I und M III, sodass, wenn die Kräfte so wirken, das 41:16.400 --> 41:18.300 Kreuzprodukt ebenfalls verschwindet. 41:18.760 --> 41:24.860 Und auch zwischen M II und M III, sodass wir hier schreiben können, 41:25.680 --> 41:26.780 gleich 0. 41:32.860 --> 41:34.880 Jetzt ist die Frage, ist das immer der Fall? 41:37.120 --> 41:38.000 Er schüttelt den Kopf. 41:39.360 --> 41:41.040 Was habe ich an der Stelle vorausgesetzt? 41:43.220 --> 41:47.980 Und ich habe vorausgesetzt, dass es nur zentrale Kräfte gibt, die also 41:47.980 --> 41:53.780 zwischen den Massenpunkten wirken, entlang der Verbindungslinie 41:53.780 --> 41:55.320 zwischen den Massenpunkten. 41:55.380 --> 42:00.460 Das wäre zum Beispiel beim Sonnensystem der fallenden Planeten, da 42:00.460 --> 42:04.100 wirken die Kräfte ja auch zwischen den Planeten immer in Richtung der 42:04.100 --> 42:04.700 Verbindenden. 42:07.760 --> 42:10.860 Ein Analogon kennen Sie aus der Statik. 42:11.980 --> 42:14.060 Nämlich, wenn Sie ein Fachwerk haben. 42:14.940 --> 42:18.100 Bei einem Fachwerk greifen Kräfte nur an den Knoten an. 42:19.280 --> 42:23.640 Die Kräfte zwischen den Knoten wirken dann immer in Richtung der 42:23.640 --> 42:25.820 Verbindenden zwischen den Knoten. 42:26.320 --> 42:27.480 Als Zug oder Druck. 42:29.040 --> 42:32.020 Wenn Sie das konsequent machen, dann brauchen Sie dort eigentlich 42:32.020 --> 42:33.580 keine Momentbilanz. 42:33.580 --> 42:37.100 Sie können das ganze Problem lösen, indem Sie einfach Kräftebilanzen 42:37.100 --> 42:39.360 an den einzelnen Knoten machen. 42:40.740 --> 42:41.720 Genauso ist es hier. 42:42.880 --> 42:48.640 Also, man hat dann bei zentralen Kräften explizit hier hergeleitet, 42:49.220 --> 42:54.940 die Doppelzumme muss Null sein, sodass, wenn wir das an der Stelle 42:54.940 --> 42:58.060 einsetzen, es sich sofort ergibt, 43:06.110 --> 43:17.010 Ableitung des Gesamtreils nach der Zeit gleich Summe über i Ri Kreuz 43:17.010 --> 43:20.450 Fi, die Doppelzumme verschwindet. 43:21.030 --> 43:22.970 Ein bisschen anders sieht es natürlich aus. 43:24.470 --> 43:25.510 Ich mache wieder ein Beispiel. 43:26.290 --> 43:30.190 Wenn wir mal hypothetisch denken, wir haben eine masselose Stange, 43:30.570 --> 43:34.010 aber eine starre Stange, auf der wir drei Massenpunkte haben. 43:36.410 --> 43:41.670 Irgendwo M1, M2 und M3. 43:45.340 --> 43:49.580 Jetzt muss aber in dem Fall die Kraft zwischen den Massenpunkten nicht 43:49.580 --> 43:54.500 mehr unbedingt in Richtung der Verbindenden wirken, sondern die müssen 43:54.500 --> 43:57.980 nur noch entgegengesetzt gerichtet sein und betragsmäßig gleich groß. 44:00.500 --> 44:06.500 Das heißt, wir könnten hier mal annehmen, wir wissen ja nicht, wie die 44:06.500 --> 44:09.720 Kraft drin liegt, aber die liegt vielleicht so drin. 44:12.420 --> 44:13.580 F1,2. 44:14.360 --> 44:20.720 Dann wissen wir, F2,1 ist genauso großbetragsmäßig, aber 44:20.720 --> 44:21.660 entgegengesetzt gerichtet. 44:21.660 --> 44:25.560 Wir könnten es auch unterteilen in eine Horizontalkomponente, eine 44:25.560 --> 44:29.220 Vertikalkomponente, die dann jeweils entgegengesetzt gerichtet sind, 44:29.360 --> 44:31.980 aber vom Betrag her gleich groß. 44:34.180 --> 44:40.260 Und jetzt wirken noch Kräfte zwischen M2 und M3. 44:46.310 --> 44:48.670 Da wissen wir nicht, wie die wirken. 44:52.890 --> 44:54.190 F2,3. 44:55.090 --> 45:00.950 Beziehungsweise gleiche Richtung, aber entgegengesetzt gerichtet. 45:02.770 --> 45:04.030 F3,2. 45:06.870 --> 45:10.210 Jetzt können wir nicht mehr so ohne weiteres sagen, dass die Summe 45:10.210 --> 45:14.150 oder die Doppelzumme in dem Fall gleich Null ist. 45:14.150 --> 45:17.490 Das heißt, jetzt können wir das nicht mehr explizit herleiten. 45:19.210 --> 45:22.210 Die Erfahrung zeigt aber, dass diese inneren Kräfte keine Rolle 45:22.210 --> 45:22.630 spielen. 45:23.110 --> 45:26.430 Also ähnlich wie beim newtonschen Axiom müssen wir dann an der Stelle 45:26.430 --> 45:28.950 ebenfalls ein neues Axiom einführen. 45:29.750 --> 45:34.790 Der Gestalt, dass auch in diesem Fall die Doppelzumme explizit 45:34.790 --> 45:35.350 verschwindet. 45:36.530 --> 45:40.610 Wenn wir das später beim starren Körper machen und einzelne 45:40.610 --> 45:44.690 Massenelemente betrachten, dann wissen wir, wenn wir Massenelemente 45:44.690 --> 45:47.610 freischneiden, wenn wir irgendwo durchschneiden, dann sind die 45:47.610 --> 45:51.610 Spannungen innerhalb des starren Körpers auf der einen Seite genauso 45:51.610 --> 45:55.890 groß wie auf der anderen Seite, der korrespondierenden Fläche, aber 45:55.890 --> 45:56.950 entgegengesetzt gerichtet. 46:01.570 --> 46:08.270 Dort können wir allerdings herleiten, kommen wir noch drauf, dass die 46:08.270 --> 46:11.210 Summe der inneren Momente, also wenn wir das integrieren dann 46:11.210 --> 46:13.810 letztendlich beim starren Körper, dass das verschwindet. 46:13.890 --> 46:14.090 Warum? 46:15.830 --> 46:18.810 Ich sage es mal, aufgrund der Symmetrie des Spannungstensors. 46:21.470 --> 46:24.650 Wer kann sich noch an die Symmetrie des Spannungstensors erinnern? 46:27.130 --> 46:28.190 Ein paar wenige. 46:29.810 --> 46:32.590 Wer kann sich noch daran erinnern, wie man das herleitet? 46:39.440 --> 46:45.240 Die Halbwertszeit des Wissens der Studenten erreicht einen 46:45.240 --> 46:46.180 bedenklichen Wert. 46:49.000 --> 46:53.280 Nun, die Symmetrie des Spannungstensors leitet man im Allgemeinen her, 46:59.510 --> 47:04.470 also man kann es auch ganz, wie soll ich sagen, anschaulich herleiten, 47:04.470 --> 47:07.470 indem man einen würfeligen freischneidet und eine Momentenbilanz 47:07.470 --> 47:07.910 bildet. 47:10.670 --> 47:14.290 Aber, dann muss man natürlich sagen, wenn ich eine Momentenbilanz 47:14.290 --> 47:20.030 bilde in der Statik, dann ist das letztendlich genau der Trallsatz. 47:21.170 --> 47:23.590 Also ich setze dann voraus, dass der Trallsatz gilt. 47:28.090 --> 47:32.610 Das heißt, wenn ich sage, ich leite die Symmetrie des Spannungstensors 47:32.610 --> 47:35.390 mit dem Trallsatz her und dann leite ich den Trallsatz her, dadurch, 47:35.610 --> 47:38.850 dass ich die Symmetrie des Spannungstensors einsetze, dann habe ich 47:38.850 --> 47:39.750 mich im Kreise gedreht. 47:39.870 --> 47:41.650 Also irgendwo muss man dann ein Axiom einführen. 47:42.390 --> 47:46.510 Manche führen dann auch die Symmetrie des Spannungstensors als Axiom 47:46.510 --> 47:46.710 ein. 47:47.310 --> 47:48.930 Egal was, man muss was einführen. 47:50.190 --> 47:52.670 Aber wie gesagt, hier sind wir bei Massenpunktsystemen. 47:53.030 --> 47:56.090 Bei zentralen Kräften können wir es noch explizit herleiten, siehe 47:56.090 --> 48:00.110 auch Fachwerke in der Statik, dass man so ein bisschen die 48:00.110 --> 48:00.870 Verwandtschaft sieht. 48:00.870 --> 48:05.350 Oder eben, wenn das nicht mehr so ohne weiteres geht, dann eben als 48:05.350 --> 48:05.850 Axiom. 48:15.240 --> 48:22.080 Also ich schreibe mal, weil Summe über i Summe über j und dann hat man 48:22.080 --> 48:29.860 hier drinstehen, ri Kreuz f ij gleich 0. 48:30.500 --> 48:32.400 Ich schreibe mal dazu Axiom. 48:46.440 --> 48:48.620 Einen Sonderfall haben wir natürlich, 48:54.640 --> 49:00.260 wenn die Summe der Momente 0 wird, 49:03.780 --> 49:06.360 bezüglich dem Bezugspunkt O. 49:13.910 --> 49:20.870 Das könnte bei einem freien System der Fall sein. 49:27.440 --> 49:32.640 Oder auch wenn eben alle Kräfte, die an den einzelnen Massenpunkten, 49:32.640 --> 49:35.740 die externen Kräfte oder die eingeprägten Kräfte, wenn die so 49:35.740 --> 49:40.080 verlaufen, dass die gerade alle durch den Punkt O gehen, so zentrale 49:40.080 --> 49:51.190 Kräfte, also oder für 49:54.960 --> 49:59.800 ein Zentralkraftfeld, 50:09.670 --> 50:12.170 dann ist also die Ableitung des Gesamtrals 50:16.320 --> 50:18.560 0. 50:22.040 --> 50:26.020 L ist damit ein konstanter Vektor, also L bezüglich O, 50:29.580 --> 50:36.300 ist dann L bezüglich O zu einem bestimmten Zeitpunkt ein konstanter 50:36.300 --> 50:36.780 Vektor. 50:43.670 --> 50:51.130 Das ist dann die Drehimpulserhaltung, wenn, wie gesagt, keine Momente 50:51.130 --> 50:51.510 da sind. 50:56.440 --> 50:58.260 Kann jeder selbst ausprobieren. 50:59.400 --> 51:01.140 Man setzte sich auf den Drehstuhl, 51:04.470 --> 51:10.670 man nehme verschiedene Massenpunkte, vielleicht mal zwei gute Maß 51:10.670 --> 51:10.970 Bier. 51:12.050 --> 51:15.850 Der Kommilitone oder die Freundin, die bewegt das Ganze mal in 51:15.850 --> 51:19.850 Drehbewegung und dann versucht man gleichzeitig mal an den Maß Bier zu 51:19.850 --> 51:20.210 trinken. 51:20.990 --> 51:21.590 Was passiert? 51:22.170 --> 51:25.270 Es wird zunehmend schwer, weil man sich dann natürlich schneller 51:25.270 --> 51:25.790 dreht. 51:27.410 --> 51:28.830 Das ist jetzt vielleicht ein blödes Beispiel. 51:31.970 --> 51:34.830 Man soll ja bei den Studenten nicht Werbung für Alkohol machen. 51:36.690 --> 51:39.910 Auch beim Springer-Buch, da haben wir am Institut, da habe ich zum 51:39.910 --> 51:42.350 Mitarbeiter gesagt, er soll mal die Kiste Bier hochhalten, ich 51:42.350 --> 51:45.110 fotografiere die, wir nehmen die ins Buch rein, dann meint der 51:45.110 --> 51:47.370 Springer, oh, Bier im Buch, das ist schlecht. 51:47.370 --> 51:49.890 Aber sie haben es dann trotzdem übernommen, ich glaube. 51:51.190 --> 51:54.390 Letztendlich hat er Kommerz gesiegt, weil für alle Bilder, die die da 51:54.390 --> 51:56.950 drin haben, müssen die Lizenz zahlen ansonsten, weil es aus 51:56.950 --> 51:58.330 irgendwelchen Datenbanken kommt. 51:58.830 --> 52:01.290 Und wenn der Seemann ein Bild macht, dann kostet das natürlich nichts. 52:01.510 --> 52:13.430 Also insofern hat vielleicht Kommerz über gutes Benehmen gesiegt. 52:15.170 --> 52:21.330 Wo man es aber beobachten kann, ich jetzt weniger, weil ich das nicht 52:21.330 --> 52:25.370 gerne anschaue, warum? 52:26.130 --> 52:31.350 Es gibt verschiedene Sportarten und es gibt zum Beispiel 52:31.350 --> 52:37.010 Eiskunstlaufen, was an Unattraktivität praktisch nur noch durch das 52:37.010 --> 52:38.530 Dressurreiten getoppt wird. 52:43.530 --> 52:48.390 Und beim Eiskunstlaufen, da ist es natürlich so, da machen die zum 52:48.390 --> 52:51.930 Teil wirklich ganz schnelle Bewegungen, besonders die Damen, die da 52:51.930 --> 52:52.910 wie wild wirbeln. 52:53.550 --> 52:56.310 Also mich beeindruckt das weniger, aber wie machen die das? 52:56.370 --> 53:00.790 Die holen natürlich gut Schwung, indem die die Massenpunkte möglichst 53:00.790 --> 53:07.450 weit nach außen legen und dann die nach innen ziehen, möglichst nahe 53:07.450 --> 53:08.350 an die Drehachse bringen. 53:08.470 --> 53:10.970 Deshalb strecken die wahrscheinlich auch noch die Hände nach oben oder 53:10.970 --> 53:14.270 unten oder wie auch immer und dann beginnen die wie wild zu drehen und 53:14.270 --> 53:18.470 wenn die wieder weniger schnell drehen wollen, um sich dann abzufangen 53:18.470 --> 53:22.210 und die Orientierung zu behalten, kommen dann wieder die Arme nach 53:22.210 --> 53:24.030 außen und dann geht so ein sanfter Abgang. 53:26.590 --> 53:30.130 Wer ein bisschen Turmspringen macht im Schwimmbad, der kennt was 53:30.130 --> 53:30.830 ähnliches. 53:31.410 --> 53:34.050 Wenn man mal einen ordentlichen Salto oder ein Dreifachsalto machen 53:34.050 --> 53:41.370 will, da muss man auch irgendwie drehen und richtig schnell drehen tut 53:41.370 --> 53:46.070 man dann, wenn man Arme und Beine richtig an den Körper heranzieht, 53:46.350 --> 53:52.450 weil dann eben alle Massenpunkte bezüglich der Drehachse einen kurzen 53:52.450 --> 53:57.450 Abstand haben und wenn vorher ein bestimmter Drehimpuls vorhanden war, 53:57.910 --> 54:01.450 dann ist der später auch noch erhalten und muss durch entsprechend 54:01.450 --> 54:05.210 höhere Rotationsgeschwindigkeiten realisiert werden. 54:06.290 --> 54:09.550 Wenn Sie vom Brett springen, hat man natürlich einen Nachteil. 54:10.390 --> 54:13.650 Da wirkt natürlich immer noch die Schwerkraft. 54:14.430 --> 54:16.230 Das deutet schon so ein bisschen darauf hin. 54:17.330 --> 54:20.650 Der Schwerpunktsatz, den wir jetzt schon ausgewischt haben, der gilt 54:20.650 --> 54:24.130 nach wie vor, also wenn Sie mal vom Brett weg sind, dann fallen Sie 54:24.130 --> 54:27.910 praktisch Ihr Schwerpunkt über eine entsprechende Parabel oder wie 54:27.910 --> 54:31.030 auch immer, wenn Sie nach oben gesprungen sind, dann ins Schwimmbecken 54:31.030 --> 54:31.310 rein. 54:32.690 --> 54:36.150 Wenn man jetzt um diese Bewegung dann die Drehbewegung betrachtet, 54:36.990 --> 54:39.910 dann hat man aber gerade wieder den Trallsatz. 54:41.530 --> 54:45.430 Das kommt auch in der folgenden Anmerkung zum Ausdruck. 54:53.770 --> 54:56.270 Nämlich wenn man einen bewegten Bezugspunkt hat, 55:10.290 --> 55:11.290 nennen wir den mal A, 55:15.360 --> 55:18.380 dann gilt, machen wir hier ohne Beweis, 55:29.470 --> 55:34.010 dass die Ableitung des Tralls, und zwar des Tralls bezüglich des 55:34.010 --> 55:38.450 bewegten Bezugspunktes A, abgeleitet nach der Zeit, 55:42.440 --> 55:52.980 gerade ist Summe i gleich 1 bis n der Momente mi bezüglich ebenfalls 55:52.980 --> 55:57.000 dem bewegten Punkt A aber jetzt kommt noch ein Zusatzterm hinzu, 55:57.960 --> 56:08.480 nämlich Plus, und jetzt steht hier VA Kreuz M mal VS 56:11.700 --> 56:15.680 Also es wird ein bisschen komplizierter, allerdings wird es wieder 56:15.680 --> 56:16.180 einfach. 56:18.120 --> 56:21.600 Jetzt kommt so ein bisschen der Glaubenssatz für die Studenten, der da 56:21.600 --> 56:25.220 lautet, ich glaube ich beziehe mich am besten mal auf den Schwerpunkt. 56:26.440 --> 56:29.880 Das gilt auch später, wenn sie starre Körper haben, also man kann 56:29.880 --> 56:33.720 vieles machen, man kann immer einen Bezugspunkt beliebig wählen, aber 56:33.720 --> 56:38.160 oft wird es eben einfacher und man kann es sich besser merken, wenn 56:38.160 --> 56:40.080 man als Bezugspunkt den Schwerpunkt nimmt. 56:40.860 --> 56:41.560 Was haben wir dann? 56:41.720 --> 56:45.860 Nun, wenn wir als bewegten Punkt den bewegten Schwerpunkt S nehmen, 56:46.300 --> 56:50.160 dann sehen wir, dann haben wir hier die Geschwindigkeit VS, Kreuz M 56:50.160 --> 56:57.420 mal VS, ein Vektor, Kreuzprodukt mit einem Vektor, der in dieselbe 56:57.420 --> 57:00.960 Richtung geht, also M mal VS ist nicht unbedingt der gleiche Vektor 57:00.960 --> 57:05.400 wie VS, aber man könnte die Masse natürlich auch vor die Klammer 57:05.400 --> 57:08.300 ziehen, dann hat man VS Kreuz VS, da wissen wir. 57:09.360 --> 57:11.020 Dann verschwindet das Kreuzprodukt, 57:36.740 --> 57:51.740 also für A gleich S gilt VA Kreuz VS, ergibt gerade den Nullvektor, 57:54.360 --> 57:59.520 das heißt, dann haben wir wirklich Trall bezüglich S, abgeleitet nach 57:59.520 --> 58:03.180 der Zeit, gleich Summe der Momente, 58:07.420 --> 58:09.900 MI bezüglich ebenfalls dem Schwerpunkt. 58:10.700 --> 58:14.520 Damit können wir auch den Turmspringer, der da abspringt und sich dann 58:14.520 --> 58:16.620 anfängt zu drehen, entsprechend erklären. 58:23.170 --> 58:25.230 Gibt es soweit Fragen? 58:28.870 --> 58:31.050 Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zum Schluss noch bei 58:31.050 --> 58:33.690 Massenpunktsystemen zum Arbeits- und Energiesatz. 59:01.690 --> 59:06.470 Für den Iden-Massenpunkt gilt die 59:11.200 --> 59:15.840 Differenz an kinetischer Energie für den Iden-Massenpunkt. 59:17.600 --> 59:22.480 Das war die kinetische Energie von Massenpunkt I minus die kinetische 59:22.480 --> 59:28.400 Energie von Massenpunkt I zu einem bestimmten Zeitpunkt Ti0. 59:30.060 --> 59:37.780 Entspricht gerade der Arbeit der Kräfte am Massenpunkt I und die 59:37.780 --> 59:43.940 Arbeit der Kräfte, das war ja gerade das Integral, Kraft dr von 59:43.940 --> 59:57.540 Massenpunkt I, also gleich Integral und jetzt steht da drin, Fi plus 59:57.540 --> 01:00:02.620 innere Kräfte Summe über J 01:00:08.950 --> 01:00:15.730 Fij multipliziert, Skala mit D, Ri. 01:00:20.520 --> 01:00:27.380 Wir wissen ja gut, Fi Skala mit D, Ri multipliziert, das wird eine 01:00:27.380 --> 01:00:28.760 entsprechende Arbeit geben. 01:00:30.120 --> 01:00:43.420 Nämlich das Wi, A der äußeren Kräfte und dann haben wir noch die 01:00:43.420 --> 01:00:46.820 inneren Kräfte, die am Massenpunkt I einwirken. 01:00:47.460 --> 01:00:53.740 Skala multipliziert mit D, Ri und aufsummiert ergibt dann die Arbeit 01:00:53.740 --> 01:00:56.280 der inneren Kräfte am Massenpunkt I. 01:00:59.380 --> 01:01:03.500 Also hier steht das I für den Iden-Massenpunkt, hier oben steht es für 01:01:03.500 --> 01:01:06.560 die inneren Kräfte, also die Arbeit der inneren Kräfte. 01:01:14.400 --> 01:01:21.120 Können wir auch so nochmal angeben. 01:01:21.400 --> 01:01:31.260 Also Wi, A war Integral, Fi Skala mit D, Ri multipliziert. 01:01:32.780 --> 01:01:33.320 Wie gesagt, 01:01:37.900 --> 01:01:48.700 Arbeit der am Massenpunkt I angreifenden äußeren Kräfte und 01:01:54.200 --> 01:02:04.700 dann das Wi als Integralsumme über I. 01:02:07.780 --> 01:02:14.900 Fi Skala mit D, Ri multipliziert die Arbeit der inneren Kräfte am 01:02:14.900 --> 01:02:15.700 Massenpunkt I. 01:02:29.680 --> 01:02:33.520 Und jetzt kommt natürlich wieder die Summation über alle Massenpunkte. 01:02:47.980 --> 01:02:49.480 Und was ergibt sich damit? 01:02:51.200 --> 01:02:51.980 Wer hat eine Idee? 01:02:58.240 --> 01:03:01.040 Wie sieht es aus mit den inneren Kräften? 01:03:07.060 --> 01:03:08.960 Also er sagt jetzt, die heben sich wieder auf. 01:03:13.000 --> 01:03:14.020 Stimmen alle zu? 01:03:28.760 --> 01:03:29.980 Ist jemand dagegen? 01:03:37.440 --> 01:03:38.040 Stimmen wir ab. 01:03:39.220 --> 01:03:40.700 Wer denkt, die heben sich auf? 01:03:42.360 --> 01:03:44.540 Wer denkt, die heben sich nicht auf? 01:03:47.820 --> 01:03:51.480 Also die Mehrheit denkt, die heben sich auf, wenn ich das so richtig 01:03:51.480 --> 01:03:52.320 abgeschätzt habe. 01:03:54.480 --> 01:03:58.340 Es ist natürlich wie immer, die Demokratie hat verloren. 01:04:00.560 --> 01:04:01.100 Warum? 01:04:03.240 --> 01:04:07.620 Jetzt müsste er zur Ehrenrettung sagen, das könnte doch aber sein, die 01:04:07.620 --> 01:04:08.500 heben sich auf. 01:04:09.400 --> 01:04:15.620 Und die heben sich natürlich auf, wenn starre Bindungen vorliegen. 01:04:15.720 --> 01:04:20.180 Wenn also die Massenpunkte sich relativ zueinander nicht verschieben 01:04:20.180 --> 01:04:20.580 können. 01:04:22.260 --> 01:04:23.860 Wenn wir jetzt aber mal überlegen. 01:04:24.920 --> 01:04:28.480 Nehmen wir an, wir haben einfach zwei Massenpunkte. 01:04:31.980 --> 01:04:35.140 Wenn wir eine starre Verbindung haben, dann kann die Kraft zwischen 01:04:35.140 --> 01:04:38.320 den Massenpunkten nur entlang der Verbindungslinie wirken. 01:04:38.880 --> 01:04:42.880 Und wenn ich hier ein bisschen nach rechts gehe, starre Verbindung, 01:04:42.980 --> 01:04:45.780 muss der andere Massenpunkt ebenfalls, in dem Fall von innen aus nach 01:04:45.780 --> 01:04:50.220 links, muss die gleiche Strecke in dieselbe Richtung gehen. 01:04:50.640 --> 01:04:54.280 Einmal ist die innere Kraft in die eine Richtung gerichtet, einmal in 01:04:54.280 --> 01:04:54.840 die andere Richtung. 01:04:54.940 --> 01:04:57.840 Also da hebt sich es insgesamt auf, insofern hat er recht. 01:04:58.520 --> 01:05:02.240 Aber wenn wir die starre Stange durch eine Feder oder durch einen 01:05:02.240 --> 01:05:05.280 Dämpfer ersetzen oder durch ein anderes Kraftelement, was passiert 01:05:05.280 --> 01:05:05.540 dann? 01:05:05.820 --> 01:05:09.780 Dann sind die Verschiebungen nicht mehr unbedingt dieselben und dann 01:05:09.780 --> 01:05:11.440 hebt sich es halt nicht mehr weg. 01:05:13.220 --> 01:05:17.220 Aber durch Fehler lernen wir mehr als durch immer richtiges Raten. 01:05:25.360 --> 01:05:29.980 Also, wenn wir summieren, dann erhalten wir zum Schluss mit der 01:05:29.980 --> 01:05:34.560 gesamten kinetischen Energie als Summe der einzelnen kinetischen 01:05:34.560 --> 01:05:38.640 Energien, also Summe i gleich 1 bis nTi 01:05:41.740 --> 01:05:57.340 und als Gesamtarbeit als Summe i gleich 1 bis nWi und jetzt müssen wir 01:05:57.340 --> 01:06:04.840 eigentlich, um das nochmal zum Ausdruck bringen, gleich Summe i gleich 01:06:04.840 --> 01:06:21.980 1 bis nWiA plus Summe i gleich 1 bis nWiI und ich schreibe es jetzt 01:06:21.980 --> 01:06:22.680 mal hier dazu. 01:06:24.460 --> 01:06:28.520 Im Allgemeinen Ungleich Null. 01:06:31.740 --> 01:06:34.680 Diejenigen, die auf eine saubere Schreibweise achten, die schreiben 01:06:34.680 --> 01:06:38.780 jetzt auch wirklich eine Skalare Null, weil Energie in Skalaregrößen 01:06:38.780 --> 01:06:44.200 sind, wohingegen sonst da Vektornullen stehen, also der Nullvektor. 01:06:58.080 --> 01:07:13.680 Dann haben wir also T minus T Null gibt dann gerade W, das war Wa, das 01:07:13.680 --> 01:07:21.180 war die erste Summe, W plus Wi, das war die zweite Summe. 01:07:22.560 --> 01:07:26.600 Also Arbeitssatz für 01:07:31.720 --> 01:07:36.340 Massenpunktsysteme. 01:07:56.620 --> 01:07:59.620 Ein paar Spezialisierungen angedeutet hatte ich es ja schon, 01:08:09.030 --> 01:08:12.730 nämlich was passiert, wenn starre Bindungen vorliegen, 01:08:23.680 --> 01:08:31.220 dann ist eben die Arbeit der inneren Kräfte Wi entsprechend Null 01:08:37.850 --> 01:08:42.010 oder was haben wir, wenn konservative Systeme vorliegen, 01:08:58.360 --> 01:09:06.560 dann haben wir entsprechend die Möglichkeit, Potenziale einzuführen, 01:09:06.660 --> 01:09:11.960 sowohl für die äußeren Kräfte, Fi, wie auch für die inneren Kräfte, z 01:09:11.960 --> 01:09:12.340 .B. 01:09:13.080 --> 01:09:17.260 wenn eine Feder zwischen zwei Massenpunkten wirkt oder die 01:09:17.260 --> 01:09:18.960 Gravitationskraft oder so irgendwas. 01:09:19.720 --> 01:09:25.340 Das heißt, dann erhalten wir letztendlich kinetische Energie plus 01:09:25.340 --> 01:09:33.260 Potential der äußeren Kräfte plus Potential der inneren Kräfte ist 01:09:33.260 --> 01:09:41.020 dann gerade T Null, also die kinetische Energie zu einem bestimmten 01:09:41.020 --> 01:09:48.720 Zeitpunkt plus Potential der äußeren Kräfte zu diesem Zeitpunkt plus 01:09:48.720 --> 01:09:55.080 Potential der inneren Kräfte zu diesem Zeitpunkt und wie gesagt, das 01:09:55.080 --> 01:09:58.760 muss insgesamt konstant sein. 01:10:07.400 --> 01:10:20.480 W A war dann die Differenz V A minus V A Null. 01:10:21.120 --> 01:10:23.540 Allerdings müssen wir vorsichtig sein. 01:10:24.280 --> 01:10:26.980 Wir haben gesagt, das Potential ist das Negative der Arbeit, also 01:10:26.980 --> 01:10:30.980 steht hier noch ein Minuszeichen davor, das hatten wir irgendwann mal 01:10:30.980 --> 01:10:33.260 eingeführt, definitionsgemäß. 01:10:34.380 --> 01:10:38.420 Und genauso beim W I, auch da müssen wir dann das Minuszeichen 01:10:38.420 --> 01:10:50.360 beachten, das ist dann Minus V I minus V I zum Zeitpunkt Null. 01:10:51.640 --> 01:10:54.360 Gibt es soweit Fragen? 01:11:08.110 --> 01:11:14.490 Nun, was jetzt in früheren Jahren an der Stelle kam, das waren immer 01:11:14.490 --> 01:11:18.250 so Anwendungen und zwar angefangen bei Stoßproblemen. 01:11:18.310 --> 01:11:21.250 Allerdings Stoßprobleme hätten wir behandeln können beim einen 01:11:21.250 --> 01:11:24.630 Massenpunkt, jetzt bei Massenpunktsystemen, aber wir wissen ja, nicht 01:11:24.630 --> 01:11:28.290 nur Massenpunkte können aufeinander stoßen, sondern im Allgemeinen 01:11:28.290 --> 01:11:34.130 sind es Körper, die aufeinander stoßen und Körper sind dann eben noch 01:11:34.130 --> 01:11:38.230 ausgedehnt, so dass die Stoßsituation noch von der Geometrie der 01:11:38.230 --> 01:11:39.210 Körper abhängen kann. 01:11:39.790 --> 01:11:41.470 Das wird dann alles ein bisschen komplizierter. 01:11:42.090 --> 01:11:46.930 Deshalb fassen wir all die Stoßprobleme zusammen und machen das am 01:11:46.930 --> 01:11:50.910 Ende des Wintersemesters, also am Ende von TM3. 01:11:51.950 --> 01:11:56.210 Ich hatte heute schon ein bisschen versucht zu motivieren, dass auch 01:11:56.210 --> 01:12:01.270 Systeme mit veränderlichen Massen, also Raketentriebwerk und solche 01:12:01.270 --> 01:12:04.950 Dinge, dass das auch eng mit dem Stoß verbunden ist. 01:12:05.290 --> 01:12:10.890 Weil wenn ich hinten was rausstoße, dann werde ich automatisch 01:12:10.890 --> 01:12:14.010 vielleicht schneller oder kann eine entsprechende Kraft realisieren. 01:12:15.830 --> 01:12:24.530 Gibt es auch heutzutage schon Geräte für Freizeitaktivitäten, die das 01:12:24.530 --> 01:12:24.790 ausnutzen. 01:12:25.190 --> 01:12:28.150 Ich weiß nicht, ob Sie das schon mal gesehen haben, wenn man so einen 01:12:28.150 --> 01:12:31.110 Schlauch hat mit Wasser und eine Pumpe dran und das Wasser wird nach 01:12:31.110 --> 01:12:31.910 unten weggestoßen. 01:12:32.030 --> 01:12:34.090 Das sieht man oft bei der Tour de France oder bei irgendwelchen 01:12:34.090 --> 01:12:37.410 anderen Veranstaltungen, wo man dann praktisch mit dem Gerät so 01:12:37.410 --> 01:12:38.010 schweben kann. 01:12:38.490 --> 01:12:42.510 Oder auch wenn man hinten so Treibstoffdinger drauf hat und man ist 01:12:42.510 --> 01:12:44.930 quasi der Raketenmann, der da durch die Luft schwebt. 01:12:45.950 --> 01:12:50.710 All das beruht ja auf Systeme mit veränderlichen Massen, wo eben 01:12:50.710 --> 01:12:55.410 einzelne Massenpunkte oder ein kontinuierlicher Massenstrom mit einer 01:12:55.410 --> 01:12:57.830 hohen Relativgeschwindigkeit ausgestoßen wird. 01:12:59.230 --> 01:13:01.750 Das Ganze wird auch wichtig beim Flugzeug. 01:13:01.890 --> 01:13:05.010 Allerdings hat man beim Flugzeug zwei Massenströme, das werden wir 01:13:05.010 --> 01:13:05.430 noch sehen. 01:13:05.810 --> 01:13:10.150 Nämlich einmal geht ein Massenstrom in das Triebwerk rein, das würde 01:13:10.150 --> 01:13:11.950 zunächst mal das Flugzeug abbremsen. 01:13:13.710 --> 01:13:17.390 Aber es wird ein zweiter Massenstrom nach hinten rausgestoßen, mit 01:13:17.390 --> 01:13:20.550 einer sehr viel größeren Geschwindigkeit als die Fluggeschwindigkeit 01:13:20.550 --> 01:13:24.450 des Flugzeugs, sodass wir auch da einen Antrieb letztendlich erhalten. 01:13:24.450 --> 01:13:29.750 Also wie gesagt, das verschieben wir alles ans Ende des Semesters. 01:13:30.930 --> 01:13:34.990 Was jetzt an der Stelle kommt, und da mache ich die Einführung nur 01:13:34.990 --> 01:13:38.210 noch verbal, weil sonst müsste ich jetzt noch die Tafel wischen, das 01:13:38.210 --> 01:13:45.490 ist der starre Körper, aber mit einer Bewegung, die sehr viel 01:13:45.490 --> 01:13:49.330 einfacher ist als eine allgemein räumliche Bewegung. 01:13:51.070 --> 01:13:56.730 Eine ebene Bewegung kennzeichnet sich dadurch aus, dass die einzelnen 01:13:56.730 --> 01:14:02.950 Punkte des Körpers sich jeweils in einer Ebene bewegen und die 01:14:02.950 --> 01:14:05.990 einzelnen Ebenen für die verschiedenen Punkte, der kann ja auch 01:14:05.990 --> 01:14:09.550 dreidimensional ausgedehnt sein, dass die alle parallel sind. 01:14:10.610 --> 01:14:16.090 Das führt letztendlich dazu, dass für die Drehbewegung letztendlich 01:14:16.090 --> 01:14:20.970 wichtig wird, die Achse, die senkrecht zur Bewegungsebene steht. 01:14:21.510 --> 01:14:25.110 Also die Winkelgeschwindigkeit hat dann in dem Fall immer eine ganz 01:14:25.110 --> 01:14:25.970 bestimmte Richtung. 01:14:27.890 --> 01:14:30.270 Wir wissen, die Winkelgeschwindigkeit ist eigentlich ein Vektor, aber 01:14:30.270 --> 01:14:32.830 wenn der Vektor immer dieselbe Richtung hat, dann wird vieles 01:14:32.830 --> 01:14:36.010 einfacher, weil dann muss ich nicht beachten, dass eine Änderung der 01:14:36.010 --> 01:14:40.230 Winkelgeschwindigkeit daher rühren könnte, bei der dreidimensionalen 01:14:40.230 --> 01:14:44.530 Bewegung ist das der Fall, dass sich der Betrag ändert, aber auch die 01:14:44.530 --> 01:14:44.830 Richtung. 01:14:46.790 --> 01:14:51.330 Deshalb genügen dann, wenn man die Ebenebewegung des starren Körpers 01:14:51.330 --> 01:14:55.730 betrachtet, wenige Größen, um das entsprechend zu beschreiben. 01:14:56.830 --> 01:15:01.810 Wenn man die räumliche Bewegung dann behandelt im nächsten Semester, 01:15:02.370 --> 01:15:07.330 dann führt das zu Dingen wie der Trägheitstensor von einem starren 01:15:07.330 --> 01:15:07.650 Körper. 01:15:07.650 --> 01:15:10.650 Also es hört sich schon sehr viel komplizierter an. 01:15:11.970 --> 01:15:15.550 Und wir werden so vorgehen, dass wir zunächst einmal nochmals die 01:15:15.550 --> 01:15:18.670 Kinematik für die Ebenebewegung behandeln. 01:15:19.270 --> 01:15:21.570 Da sollten Sie sich vielleicht noch einmal auch das mit den 01:15:21.570 --> 01:15:23.130 Relativsystemen anschauen. 01:15:23.570 --> 01:15:23.770 Warum? 01:15:24.270 --> 01:15:28.070 Nun, ein starrer Körper kann ich immer so auffassen, dass ich dort ein 01:15:28.070 --> 01:15:30.010 Bezugssystem festmache. 01:15:30.890 --> 01:15:34.750 Dann ist die Winkelgeschwindigkeit meines Relativsystems, des Körpers, 01:15:34.750 --> 01:15:38.890 gerade die Winkelgeschwindigkeit des Körpers. 01:15:39.810 --> 01:15:41.930 Und dann kann ich Zeitableitungen usw. 01:15:42.430 --> 01:15:44.630 relativ schnell dann wieder machen. 01:15:44.790 --> 01:15:47.550 Da kommt dann die Winkelgeschwindigkeit ins Spiel, das Kreuzprodukt 01:15:47.550 --> 01:15:48.010 usw. 01:15:48.550 --> 01:15:53.470 Und wenn man dann noch berücksichtigt, die Winkelgeschwindigkeit hat 01:15:53.470 --> 01:15:57.010 immer dieselbe Richtung, dann werden viele Dinge auch schnell einfach. 01:15:58.130 --> 01:16:02.810 Wichtig ist, in der nächsten Vorlesung können wir verschiedene Fälle 01:16:02.810 --> 01:16:03.430 unterscheiden. 01:16:03.430 --> 01:16:07.110 Der erste Fall wird der sein, die Winkelgeschwindigkeit des Körpers 01:16:07.110 --> 01:16:07.570 ist 0. 01:16:08.710 --> 01:16:11.530 Das wäre praktisch, wenn Sie die Hand betrachten, dann kann die eine 01:16:11.530 --> 01:16:15.250 komplizierte Bewegung ausführen, aber die dreht sich nicht. 01:16:16.130 --> 01:16:19.570 Das ist dann eine reine Translationsbewegung, sehr einfach. 01:16:19.750 --> 01:16:24.810 Das nächste wäre eine Rotation um eine raumfeste Achse. 01:16:25.510 --> 01:16:29.890 Denken Sie mal an eine Turbine mit Generator, die irgendwo im 01:16:29.890 --> 01:16:30.610 Kraftwerk steht. 01:16:30.610 --> 01:16:34.190 Dort hat man eine Rotation, die Rotationsachse liegt fest im Raum. 01:16:34.850 --> 01:16:39.050 Und das nächste wäre eben sowohl Rotation wie auch Translation. 01:16:39.850 --> 01:16:44.010 Und da werden wir sehen, das können wir irgendwo immer auffassen, als 01:16:44.010 --> 01:16:47.390 momentane Drehung um den Momentanpol. 01:16:48.190 --> 01:16:51.550 Wobei der Momentanpol auch irgendwo ganz weit weg liegen kann, also im 01:16:51.550 --> 01:16:54.370 Grenzfall gegen unendlich, nämlich bei der reinen 01:16:54.370 --> 01:16:55.990 Translationsbewegung. 01:16:55.990 --> 01:17:03.530 Und ansonsten, von der Kinematik kommt man dann zur Kinetik, indem man 01:17:03.530 --> 01:17:08.290 sich einen Massenelement herausgreift und über den Körper integriert. 01:17:08.370 --> 01:17:09.390 Das vielleicht als Ausblick. 01:17:09.990 --> 01:17:14.170 Jetzt würde ich Sie bitten, Ihre Evaluierungsbögen so nach vorne zu 01:17:14.170 --> 01:17:18.370 bringen, damit er die einsammeln kann und zum Evaluierungsbüro bringen 01:17:18.370 --> 01:17:18.730 kann. 01:17:19.570 --> 01:17:21.650 Nächsten Montag, wie gesagt, eine Vorlesung. 01:17:21.650 --> 01:17:25.990 Ich selbst kann leider die Vorlesung nicht halten, da ich um 11 Uhr 01:17:25.990 --> 01:17:27.630 eine Promotionsprüfung habe. 01:17:28.170 --> 01:17:28.870 Vielen Dank.