In diesem Video führen wir zunächst den Begriff der Beschränktheit
ein, der Beschränktheit von Zahlenfolgen, und unterscheiden dabei
zwischen nach oben und nach unten beschränkten Zahlenfolgen.
Im zweiten Teil des Videos setzen wir dann den Begriff der
Beschränktheit in Zusammenhang mit der Konvergenz.
Beginnen wir mit der Definition von nach oben beschränkt.
Eine Folge ein darf sich nach oben beschränkt nennen, falls sie eine
reelle Zahl c finden, die als obere Schranke für alle Folgen jeder
fungiert.
Das heißt, es muss eine Zahl c aus R geben, so dass a n kleiner gleich
ist als dieses c für alle natürlichen Zahlen n.
Ganz analog lässt sich nach unten beschränkt definieren.
a n heißt nach unten beschränkt, wenn sie wiederum eine Schranke c
finden, eine reelle Zahl c, so dass a n größer gleich ist als c für
alle n aus n.
Wenn sie nun eine Folge vorliegen haben, die sowohl nach oben als auch
nach unten beschränkt ist, dann nennt man sie schlichtweg beschränkt.
Das Ganze lässt sich ja nochmal mathematisch prägnant und kurz
aufschreiben, und das geht so.
Eine Folge a n heißt beschränkt,
falls sie eine reelle Zahl c finden, ich fordere hier gleich c größer
als 0,
mit der Eigenschaft, dass sie die Beträge der a 1 nach oben durch c
abschätzen können, und das für alle n aus n.
Erinnern Sie sich daran, wie Sie diese Ungleichung für den Betrag von
a n umschreiben können?
Nämlich diese Ungleichung hier ist äquivalent dazu, dass minus c
kleiner gleich als a n und das wiederum kleiner gleich als c ist.
Und dann fungiert hier plus c als obere Schranke für die Folgenglieder
a n und minus c als untere Schranke, und Sie haben damit beide
Eigenschaften, die hier unter 1 und 2 eingeführt worden sind.
Im nächsten Schritt werden wir nun den Begriff der Beschränktheit in
Zusammenhang mit der Konvergenz der Zahlenfolge a n bringen.
Es gilt dabei folgender Satz, jede konvergente Folge ist beschränkt.
Wir werden am Ende noch darauf eingehen, dass die Umkehrung des Satzes
nicht richtig ist, also dass, wenn eine beschränkte Folge vorliegt,
diese nicht zwangsläufig konvergent sein muss.
Doch lassen Sie uns mit dem eigentlichen Beweis beginnen.
Die Beweisidee lässt sich ganz gut anhand von einer Skizze
verdeutlichen.
Ich habe Ihnen hier den Graph von einer konvergenten Folge mitgebracht
und in rot eingezeichnet der Grenzwert, in diesem Fall 2.
Wir machen uns hier zunutze, dass wir eben Konvergenz gegen diesen
Grenzwert haben.
Was heißt das?
Naja, ganz egal, welches Epsilon Sie sich vorgeben, ganz egal, wie
klein, alle Folgen jeder mit einem hinreichend großen Index haben
höchstens diesen Abstand Epsilon zum Grenzwert.
Grafisch sieht das so aus.
Ich habe hier mal im grünen die Linie 2 plus Epsilon und hier unten
ebenfalls im grünen die wackrige Linie 2 minus Epsilon eingezeichnet.
Für ein beliebig aber festgewähltes Epsilon größer als 0 stellen Sie
sich Epsilon sehr klein vor.
So, nun finden Sie in Abhängigkeit von diesem Epsilon ein Index N0, in
diesem Fall könnte das, wenn ich richtig ablese, N0 gleich 8 sein,
sodass alle Folgenglieder mit einem Index größer oder gleich als N0,
also größer oder gleich als 8, in diesem grünen Epsilon-Schlauch um
den Grenzwert liegen.
Also es heißt, dass alle Folgenglieder mit Index mindestens 8
höchstens den Abstand Epsilon zur Zahl 2 haben.
Und es sehen Sie hier grafisch, alle Folgenglieder mit Index
mindestens 8 lassen sich nach oben durch 2 plus Epsilon und nach unten
durch 2 minus Epsilon abschätzen.
Was machen wir mit den restlichen Folgenglieder?
Nun, das sind nur endlich viele, in diesem Fall die Folgenglieder a1
bis a7, die hier in Frage kommen.
Und davon können Sie schlichtweg das betraglich Größte nehmen.
Ich denke, in diesem Fall ist es dieses hier, also a2, an der Stelle n
gleich 2.
Und Sie sehen, der Betrag von a2 dient nun als obere Schranke für die
Beträge von a1, a2 und so weiter bis an0 minus 1, also für diese
endlich vielen hier vorne vor dem Index N0.
Wenn Sie jetzt beides zusammenwerfen, dann bekommen Sie insgesamt eine
Schranke, eine betragliche Schranke für alle Folgenglieder.
Und diese Idee, die Sie jetzt hier an dieser ganz konkreten Folge
gesehen haben, die wollen wir jetzt noch formalisieren.
Um die Dinge beim Namen zu nennen, nennen wir die konvergente Folge
hier einfach mal an.
Also es sei an, eine konvergente Folge mit einem Grenzwert, also mit
Grenzwert klein a, aus den reellen Zahlen.
Weiter geben wir uns ein völlig beliebiges Epsilon größer als 0 vor.
Und das ist wirklich egal, welches Sie hier nehmen, das lassen wir ab
jetzt einfach fest.
Wir nutzen zunächst aus, was es heißt, dass a n gegen a konvergiert.
Das heißt, für einen hinreichend großen Index ist der Abstand zwischen
einem Folgenglied a n und dem Grenzwert a kleiner als dieses vorgebene
Epsilon.
Wie lässt sich das formulieren?
Das heißt, dann gibt es einen Index N0 mit
der Eigenschaft, dass der Betrag von a n minus a, also der Abstand des
Folgenglieds a n zum Grenzwert a, kleiner ist als das Epsilon, was
vorgegeben wurde.
Und das gilt für alle n's, die mindestens so groß sind wie N0.
Also wir haben einfach ausgenutzt, dass a n gegen a konvergiert.
Was wir eigentlich wollen, ist ja, den Betrag der a n's abzuschätzen.
Und das machen wir jetzt mal unter Zuhilfenahme dieser Ungleichung
hier für alle n's größer gleich als N0.
Also für n größer gleich als N0 gilt.
Schauen wir uns an, der Betrag von a n.
Wir wollen das hier ausnutzen.
Hier steht a n minus a.
Das heißt, wir sollten hier mal ein minus a reinschummeln.
Also das ist ja gleich wie a n minus a plus a.
Ich habe es abgezogen und gleich wieder hinzugefügt, da ist nichts
passiert.
Nun kann ich die Dreiecksungleichung verwenden.
Und mit dieser kann ich jetzt diesen Betrag nach oben abschätzen gegen
den Betrag a n minus a plus den Betrag von a.
Also klammern sie hier einfach in diesem vorderen Betrag an dieser
Stelle und verwenden sie dann die Dreiecksungleichung.
Der Betrag von a n minus a, der lässt sich für n hinreichend groß nach
oben durch epsilon abschätzen.
Das heißt, dieser auch so daher steht, der ist kleiner als epsilon
plus der Betrag von a.
Damit haben wir bereits die Beschränktheit der folgenden Folgenglieder
a n mit n größer gleich als n null, denn jedes solches Folgenglied
lässt sich betraglich nach oben abschätzen gegen die feste Zahl
epsilon plus den Betrag von a.
Jetzt fehlen natürlich noch diejenigen Folgenglieder mit Index n
kleiner als n null.
Das sind jedoch nur endlich viele, nämlich genau n null minus 1 Stück.
Und die fassen wir einfach alle zusammen, indem wir von denen das
betraglich größte nehmen.
Ja, wir können ja nicht auch gleich zum Ende kommen, nämlich damit
folgt insgesamt,
dass der Betrag von a n kleiner oder gleich ist als das Maximum der
folgenden Zahlen, zum einen epsilon plus den Betrag von a.
Das gilt schon mal für alle Beträge von a n mit n größer gleich als n
null, das haben wir ja gerade hier oben gesehen.
Und dann fehlen noch die n null minus 1 Folgenglieder mit Index
kleiner als n null.
Das heißt, hier nehmen wir noch den Betrag von a1 hinzu, den Betrag
von a2 und so weiter bis hin zum Betrag von a n null minus 1.
Und von diesen Folgen wieder unzulässig der Zahl epsilon plus den
Betrag von a, suchen sie sich einfach die größte Zahl aus.
Und das sind nur endlich viele Zahlen, die hier stehen und damit
können sie dieses Maximum hier auch tatsächlich bilden.
Und diese Ungleichung gilt nun tatsächlich für alle n aus den
natürlichen Zahlen.
Und damit sind sie fertig, denn für alle n aus den natürlichen Zahlen
können sie den Betrag von a n nach oben durch diese Zahl hier, durch
dieses Maximum abschätzen.
Und damit ist die Folge a n beschränkt.
Das war der Beweis, der im Wesentlichen die Idee, die ich versucht
habe, am Bild klar zu machen, umgesetzt hat.
Nur noch ein Wort dazu, dass die Umkehrung des Satzes, wie er da
steht, nicht gilt.
Also was heißt Umkehrung?
Wenn sie eine Folge haben, die beschränkt ist, dann ist diese eben
nicht zwangsweise konvergent.
Und das sehen sie an diesem Beispiel, was ich schon öfters verwendet
habe.
Die Folge minus 1 hoch n, die ist erst mal beschränkt, denn für
ungerade n haben sie den Wert minus 1 und für gerade n den Wert plus
1.
Das heißt, diese Folge nimmt nur zwei Werte an, minus 1 und plus 1,
und damit ist sie eben betraglich durch 1 beschränkt.
Aber sie ist offensichtlich nicht konvergent, was wir schon gesehen
haben, und bildet eben damit ein Gegenbeispiel für die Umkehrung des
Satzes.
Also die Umkehrung des Satzes gilt eben nicht, dass eine beschränkte
Folge auch zwangsweise konvergent ist.