In diesem Video geht es um den Aufbau des Maßintegrals.
Ich möchte hier wirklich nur die Grundideen vorstellen.
Und nur ein wenig zur Technik sagen.
Was ist gegeben?
Nun, wichtig ist, jeder sollte wissen, was ein Maßraum ist.
Und jeder sollte auch wissen, was eine messbare Funktion ist.
Ich nenne sie mal f, die auf Omega definiert ist.
Sie darf aber auch die Werte Plus und Minus unendlich annehmen.
Und deshalb schreibe ich hier r quer.
Eine messbare Funktion.
Was ist das Ziel?
Das Ziel besteht darin, ein abstraktes Maßintegral zu definieren.
Man sieht ein Integral über den Grundbereich Omega, fdµ, und sagt
dafür auch µ Integral von f über Omega.
Als ich das zum ersten Mal als Student sah, hatte ich sehr viel
Achtung davor, fast Ehrfurcht.
Ich wollte Integrale eigentlich immer ausrechnen.
Nun, zum Ausrechnen, das will ich in einem anderen Video vorstellen.
Hier dreht es sich um die klaren Grundideen, wie man so ein Integral
für möglichst viele solche Funktionen erklärt.
Nun, es gibt eigentlich nur einen entscheidenden Ansatz.
Und dieser Ansatz ist der, man integriert eine Indikatorfunktion über
eine Menge a in der Sigma-Algebra a, indem man sagt, das ist nichts
anderes als das Maß von a.
Das ist wirklich der entscheidende Ansatz.
Und man kann mit Fug und Recht behaupten, dass der Rest einfach nur
Technik ist.
Naja, wieso?
Natürlich möchte man von den Indikatorfunktionen wegkommen.
Und im ersten Schritt macht man Folgendes.
Man erweitert dieses Integral auf die Funktionen, die nicht negativ
sind, messbar sind und reellwertig sind.
Das heißt, wir schließen zunächst mal den Wert unendlich als möglichen
Funktionswert aus.
Wir setzen auch noch voraus, dass diese Funktionen nur endlich viele
Werte annehmen.
Das heißt, sie haben einen endlichen Wertbereich.
Manche nennen eine solche Funktion auch Elementarfunktion.
Was macht man?
Nun, ich formalisiere erstmal diese Funktionenmenge mit einem Schmuck
e.
Schmuck e seien diejenigen f auf Omega definiert und reellwertig, die
nicht negativ sind, die messbar sind und die nur endlich viele Werte
annehmen können.
So eine Funktion kann man folgendermaßen darstellen.
Wenn ich so eine Funktion f habe, dann gibt es eine natürliche Zahl n.
Und es gibt nicht negative, reelle Zahlen, nennen wir sie Alpha 1 bis
Alpha n.
Und es gibt Mengen in der Sigma-Algebra, die nennen wir a1 bis a1, mit
folgender Eigenschaft.
Ich kann die Funktion darstellen als eine endliche Linearkombination
solcher Indikatorfunktion.
Dass so eine Darstellung existiert, hebt man am einfachsten so ein.
Man stellt sich vor, die Werte Alpha 1 bis Alpha n sind paarweise
verschieden.
Und das sind wirklich die einzigen Werte, die f annehmen kann.
Ja, da muss es ja zu jedem Alpha j, was angenommen wird, eine Menge
geben von gewissen Omegas im Grundraum mit der Eigenschaft f von Omega
ist Alpha j.
Und das ist genau die Menge a j.
Das heißt, auf der Menge a j wird der Funktionswert Alpha j
angenommen.
Für solch eine Funktion f definiert man jetzt das Integral wie folgt.
Man sieht in der Darstellung, f ist eine Summe.
Das heißt, man zieht die Summe nach vorne.
Und dann sieht man die konstante Alpha j vor dem Indikator, die zieht
man auch nach vorne.
Und jetzt muss man noch den Indikator integrieren.
Und das liefert nach dem entscheidenden Ansatz oben nichts anderes als
das Maß µ von a j.
Wenn man das so definiert, dann muss man sich natürlich überlegen,
dass dieses Integral nicht von der speziellen Darstellung von f
abhängt.
Es könnte eine andere Darstellung geben.
Und um das zu zeigen, benötigt man Eigenschaften des Maßes, in dem
Fall die endliche Additivität eines Maßes.
Man kann auch zeigen, wenn ich zwei Funktionen habe, f und g, und es
gilt immer f kleiner gleich g, dann ist auch das Integral f dem µ
kleiner gleich dem Integral g dem µ.
Das bedeutet, man leitet hier schon Eigenschaften des Integrals her.
Und muss sich bei jedem weiteren Schritt überlegen, dass diese
Eigenschaften erhalten bleiben.
Was ist denn der nächste Schritt?
Der nächste Schritt, ich nenne ihn Schritt 2, besteht darin, zu
erweitern und jetzt auf alle nicht-negativen, messbaren, numerischen
Funktionen.
Mit numerische Funktionen meine ich, jetzt darf der Wert unendlich
angenommen werden.
Ich nenne die Menge mal E-Stern, also E-Stern ist die Menge aller
Funktionen f, die auf Omega definiert sind.
Jetzt nach R quer gehen, f größer gleich 0, also plus-unendlich ist
hier zugelassen, aber nicht minus-unendlich, weil f größer gleich 0
ist.
f ist messbar.
Nun entscheidend ist jetzt hier, dass sich so eine Funktion f
approximieren kann, beliebig genau durch Elementarfunktionen.
Genauer, zu jedem f gibt es eine Folge, nennen sie un, von
Elementarfunktionen mit der Eigenschaft, dass un von unten gegen f
konvergiert.
Und zwar monoton.
Was meine ich damit?
Für jedes n gilt un ist kleiner gleich un plus 1 und der Limes von un
ist f.
Und zwar punktweise auf dem zugrundeliegenden Raum Omega.
Und die Idee, die entscheidende hierfür und die geht auf Lebesgue
zurück, ist folgende.
Ich zerlege den Wertebereich von f und das ist der Bereich von 0 bis
unendlich, wobei unendlich zugelassen ist.
Und zwar wie folgt.
In Intervalle, in halboffene Intervalle, einmal sieht man das
Intervall 0 bis 1 durch 2 hoch n.
Man sieht das Intervall, die Länge wird immer kleiner bei wachsendem
n.
Wenn ich von n zu n plus 1 übergehe, halbiert sich die Länge.
Dann schließe ich direkt das Intervall an von 1 durch 2 hoch n bis 2
durch 2 hoch n.
Und so geht es weiter, das nächste Intervall.
Das mache ich so lange, bis ich den Funktionswert n erreicht habe.
Das heißt, das letzte Intervall sieht man von n hoch 2 hoch n minus 1
durch 2 hoch n bis n mal 2 hoch n durch 2 hoch n.
Man sieht, das 2 hoch n kann ich hier wegkürzen.
Das heißt, ich habe die rechte Intervallgrenze des nach rechts offenen
Intervalls n.
Und jetzt muss ich natürlich noch die Funktionswerte erfassen, die
größer gleich n sind.
Und deshalb kommt noch das Intervall von n bis unendlich dazu.
Man sieht hier nochmal, das ist nichts anderes als n.
Und jeder Funktionswert f von Omega liegt in genau einem dieser
Intervalle.
Nun, entscheidende Idee ist jetzt, eine Approximation vorzunehmen,
der, dass man sagt, das un nimmt in jedem dieser Intervalle immer den
kleinstmöglichen Funktionswert an.
Das bedeutet, wenn f in das Intervall fällt von 0 bis 1 durch 2 hoch
n, nehmen wir den Funktionswert 0, immer den linken Endpunkt.
Und ganz am Ende sieht man, wenn f in das Intervall fällt von n bis
unendlich, nehmen wir den Funktionswert n.
Und das liefert eine folgende Darstellung.
Das un ist eine Summe.
Wir sehen, der Summationsinteg j geht von 0 bis n mal 2 hoch n minus
1.
Und dann ist der Funktionswert j durch 2 hoch n.
Man sieht also für j gleich 0, das ist dann 0.
Wenn, und jetzt sieht man hier einen Indikator, wenn der Funktionswert
von f, also f von Omega, größer gleich j durch 2 hoch n ist und strikt
kleiner als j plus 1 durch 2 hoch n.
Hiermit erreiche ich alle Intervalle, die man oben sieht, bis auf das
ganz letzte, wenn f größer gleich n ist.
Und das kommt noch hinzu, wenn nämlich f größer gleich n ist, dann
setzen wir den Funktionswert zu n.
Das ist hier die Konstruktion von un.
Diese Folge macht das wirklich.
Sie steigt monoton auf.
Wir haben punktweise Konvergenz gegen f.
Und man definiert jetzt das Integral dieser Funktion f, dem u, als den
Grenzwert der Integrale der un, dem u, n gegen unendlich.
Nun, dieser Grenzwert kann unendlich sein.
Das heißt, hier ist möglich, dass der Wert unendlich rauskommt.
Das Entscheidende ist, man hat vorher gezeigt, dass auf den
Elementarfunktionen das Integral monoton ist.
Also, wenn un kleiner gleich un plus 1 ist, ist auch Integral von un
kleiner gleich Integral von un plus 1.
Das heißt, diese Folge der Integrale ist monoton wachsend.
Aber sie darf nie weggehen.
Es darf also hier im Limest der Wert unendlich rauskommen.
Man muss sich hier überlegen bei der Definition, dass der Grenzwert
nicht davon abhängt, welche Folge un man macht.
Es könnte auch noch andere Folgen geben, die von unten gegen f
konvergieren.
Und der Grenzwert ist wirklich unabhängig davon.
Also, hier muss man wieder ein wenig Technik investieren.
Was ist der dritte Schritt?
Nun, der dritte Schritt ist, wir befreien uns jetzt von der Nicht
-Negativität.
Und zwar ganz einfach.
Wenn ich eine beliebige messbare Funktion habe, die jetzt die Werte
unendlich und auch minus unendlich annehmen darf, dann kann ich die
immer zerlegen.
Ich kann sie schreiben als f plus minus f minus.
Wobei diese Funktion f plus das Maximum ist von f und 0.
Das bedeutet, sie ist immer größer gleich 0.
Und die Funktion f minus, man sieht dort das Minimum von f und 0, das
ist immer kleiner gleich 0.
Und durch das Minus-Zeichen vor dem Minimum ist auch diese Funktion
größer gleich 0.
Man nennt diese Funktion den Positiv-Teil.
Das ist f plus und der Negativ-Teil dieser Funktion f.
Und jetzt definiert man f als integrierbar bezüglich µ oder kurz µ
-integrierbar.
Dann und nur dann, wenn die Integrale von f plus µ endlich sind.
Hier darf ja der Wert unendlich rauskommen bei nicht-negativen
messbaren Funktionen.
Aber wir fordern, das Integral nimmt einen endlichen Wert an.
Und auch das Integral von f minus nimmt einen endlichen Wert an.
Und dann setzt man an das Integral f µ als Differenz dieser beiden
Integrale.
Also Integral f plus Dµ minus Integral f minus Dµ.
Und man schreibt dann manchmal auf, wenn man das Argument noch mit
hervorheben möchte, Integral f von Omega µ D Omega.
Immer über den Integrationsbereich Groß-Omega, den ich eben schon
nicht erwähnt habe.
Das Entscheidende bei diesem Integralbegriff ist Folgendes.
Die Funktion f Betrag ergibt sich als Summe von f plus und f minus.
Und man sieht, es ist hier in dem Integralbegriff mit drin, mit
eingebaut, dass eine Funktion dann und nur dann µ-integrierbar ist,
wenn ihr Betrag µ-integrierbar ist.
Das ist hier eine entscheidende Forderung beim allgemeinen Integral.
Vielleicht haben Sie schon das Lebesgue-Integral kennengelernt.
Da macht man das genauso.
Und hier ist es eben beim abstrakten Integral auch.
Und das hat große Vorteile später, wenn man dann beweisen will, ob man
Integration und Grenzwertbildung vertauschen darf.