WEBVTT 00:01.070 --> 00:05.140 In diesem Video geht es um den Multinomial-Koeffizienten und den 00:05.140 --> 00:06.660 Multinomial -Lehrsatz. 00:07.400 --> 00:11.560 Beides ist wichtig für einen Umgang mit einer Verteilung in der 00:11.560 --> 00:13.860 Stochastik der Multinomial-Verteilung. 00:14.540 --> 00:18.260 Ich möchte einstimmen mit etwas, was vielleicht der ein oder andere 00:18.260 --> 00:22.620 schon einmal gesehen hat, das sogenannte Mississippi-Problem. 00:23.620 --> 00:28.480 Die Frage ist, auf wie viele Weisen lässt sich aus den Buchstaben des 00:28.480 --> 00:31.060 Wortes Mississippi ein neues Wort bilden? 00:32.160 --> 00:36.520 Ich könnte das Problem auch in einem ganz anderen Gewand oder in einem 00:36.520 --> 00:38.700 vermeintlich ganz anderen Gewand stellen. 00:39.400 --> 00:44.520 Es gibt eine rote Kugel, vier blaue Kugeln, vier grüne Kugeln und zwei 00:44.520 --> 00:45.420 gelbe Kugeln. 00:46.120 --> 00:49.980 Auf wie viele Weisen lassen sich diese Kugeln in eine Reihe legen? 00:52.620 --> 00:57.520 Man erkennt nach kurzer Überlegung, dass das Problem begrifflich mit 00:57.520 --> 00:59.820 dem Mississippi-Problem übereinstimmt. 01:00.400 --> 01:04.120 Man muss nur die rote Kugel, die eine mit dem Buchstaben M, 01:04.540 --> 01:09.020 identifizieren, die vier blauen Kugeln mit den Is im Wort Mississippi, 01:10.100 --> 01:14.540 die vier grünen Kugeln mit den Buchstaben S im Wort Mississippi und 01:14.540 --> 01:16.900 die zwei gelben Kugeln mit den Ps. 01:19.720 --> 01:23.480 Das entscheidende Verständnis, was man hier haben muss, um auch den 01:23.480 --> 01:27.280 Multinomialkoeffizienten und den Multinomialleersatz zu verstehen, ist 01:27.280 --> 01:27.860 folgendes. 01:28.540 --> 01:34.240 Zum einen die Multiplikationsregel der Kombinatorik und zum anderen 01:34.240 --> 01:38.660 die Bedeutung des Binomialkoeffizienten, nicht wie man ihn ausrechnet. 01:39.660 --> 01:42.700 Wie man ihn ausrechnet, das kommt automatisch, wenn man die Bedeutung 01:42.700 --> 01:43.460 verstanden hat. 01:43.460 --> 01:50.720 Es gilt, der Binomialkoeffizient N über K ist die Anzahl der 01:50.720 --> 01:58.540 Teilmengen T einer Menge M, die genau K-Elemente haben, wobei M eine N 01:58.540 --> 02:00.060 -elementige Menge ist. 02:01.020 --> 02:05.300 Ich schreibe bei einer endlichen Menge Betragsstriche für die Anzahl 02:05.300 --> 02:06.620 der Elemente dieser Menge. 02:08.320 --> 02:14.160 Wir können uns das sehr schnell herleiten, wenn wir K-Tupel bilden mit 02:14.160 --> 02:18.860 Komponenten A1 bis AK, mit lauter verschiedenen Elementen aus M. 02:19.900 --> 02:23.620 Hierzu ist natürlich wichtig, dass N größer gleich K ist. 02:24.500 --> 02:26.660 Dann gibt es folgende Möglichkeiten. 02:26.920 --> 02:30.820 Die Anzahl aller Möglichkeiten ist, man wählt zunächst das erste 02:30.820 --> 02:34.760 Element ganz links im Tupel aus, das A1, da gibt es N Möglichkeiten. 02:34.760 --> 02:39.700 Für das zweite Element, A2, aber nur noch N-1, denn die Komponenten 02:39.700 --> 02:40.880 sollen ja verschieden sein. 02:42.260 --> 02:47.060 Für die dritte Komponente gibt es, unabhängig davon, was A1 und A2 02:47.060 --> 02:49.080 sind, nur noch N-2 Möglichkeiten. 02:49.900 --> 02:54.040 Und so geht es weiter, bis wir den Kartenfaktor haben und der 02:54.040 --> 02:58.120 Kartefaktor ist hier N-, jetzt muss man nur aufpassen, hier steht 02:58.120 --> 03:00.120 jetzt K-1 in Klammern. 03:00.220 --> 03:02.140 Jetzt habe ich K-Faktoren erreicht. 03:02.920 --> 03:09.100 Die nächste Überlegung ist die, dass ich die Komponenten A1 bis AK in 03:09.100 --> 03:12.880 diesem Tupel auf K-Fakultätweisen vertauschen kann. 03:13.460 --> 03:17.460 Auch das ist eine einfache Folgerung aus der Multiplikationsformel. 03:18.460 --> 03:23.220 Jede dieser Permutationen, dieser Vertauschungen führt aber zur 03:23.220 --> 03:27.000 gleichen Menge, die aus A1 bis AK besteht. 03:27.600 --> 03:31.000 Bei einer Menge kommt es nicht darauf an, in welcher Reihenfolge man 03:31.000 --> 03:32.400 die Elemente auflistet. 03:33.320 --> 03:40.100 Insofern gilt jetzt, die Anzahl der Permutationen ist dieses Produkt, 03:40.980 --> 03:44.960 aber jeweils K-Fakultät ergeben die gleiche Menge. 03:44.960 --> 03:51.400 Insofern, wenn wir diesen Ausdruck durch K-Fakultät teilen, wir sehen, 03:52.460 --> 03:53.340 was rauskommt. 03:53.900 --> 03:59.460 Das ist gleich, naja, der Zähler ist nichts anderes als N-Fakultät 03:59.460 --> 04:02.280 dividiert durch N-K-Fakultät. 04:02.280 --> 04:06.620 Denn hier kürze ich sehr viel weg und es bleibt nur noch über das 04:06.620 --> 04:13.220 Produkt N-K plus 1 mal N-K plus 2 und so weiter mal N. 04:13.700 --> 04:14.920 Und das steht links im Zähler. 04:15.880 --> 04:18.920 Das K-Fakultät von links nehmen wir auch noch über auf die rechte 04:18.920 --> 04:19.320 Seite. 04:19.780 --> 04:23.740 Und das ist nichts anderes als der Binomialkoeffizient N über K. 04:24.460 --> 04:30.640 Ich möchte das Problem jetzt in einer neutralen Form vorstellen, ohne 04:30.640 --> 04:33.320 Buchstaben und ohne Kugeln mit Farben. 04:35.180 --> 04:40.980 Es sind die Plätze eines N-Tupels zu besetzen und zwar so, dass auf K1 04:40.980 --> 04:47.060 dieser N-Plätze die Zahl 1 steht, auf K2 der Plätze die Zahl 2 und so 04:47.060 --> 04:50.440 weiter, auf Ks der Plätze die Zahl s. 04:51.240 --> 04:53.560 Auf wie viele Weisen ist das möglich? 04:55.240 --> 05:00.400 Hierbei sind natürlich die Zahlen K1, K2 und so weiter nicht negative 05:00.400 --> 05:02.800 ganze Zahlen im Bereich von 0 bis N. 05:03.540 --> 05:08.160 Und sie müssen sich aufsummieren zur Anzahl N der Plätze im Tupel. 05:09.380 --> 05:11.000 Machen wir ein einfaches Beispiel. 05:11.940 --> 05:14.900 N gleich 11, s gleich 4. 05:15.800 --> 05:19.520 Es ist also ein 11-Tupel zu besetzen und es kommen nur die Zahlen von 05:19.520 --> 05:20.560 1 bis 4 vor. 05:21.940 --> 05:28.220 Die 1 soll 4 mal vorkommen, die 2 soll 2 mal vorkommen, die 3 soll 1 05:28.220 --> 05:31.500 mal vorkommen und die 4 soll 4 mal vorkommen. 05:33.660 --> 05:36.920 Und zunächst sieht man hier das Tupel mit lauter leeren Plätzen, es 05:36.920 --> 05:38.060 sind 11 leere Plätze. 05:38.060 --> 05:44.020 Wir fangen an und wählen diejenigen Stellen im Tupel aus, auf denen 05:44.020 --> 05:45.760 die 4 Einsen stehen sollen. 05:46.900 --> 05:50.800 Ich mache mal eine Auswahl, hier kommt eine Eins hin, hier kommt eine 05:50.800 --> 05:52.520 Eins hin, hier hin und hier hin. 05:53.580 --> 05:55.160 Wie viele Möglichkeiten habe ich? 05:56.280 --> 06:00.920 Nun es sind insgesamt 11 Plätze im Tupel, davon habe ich 4 ausgewählt 06:00.920 --> 06:04.880 für die Einsen und das ist der Binomialkoeffizient 11 über 4. 06:06.060 --> 06:11.260 Ganz egal, wo jetzt diese Einsen stehen, es bleiben noch 7 Plätze im 06:11.260 --> 06:15.620 Tupel über und jetzt müssen wir 2 Plätze auswählen für die 2. 06:17.040 --> 06:19.520 Legen wir hier zum Beispiel eine 2 hin und dort. 06:20.500 --> 06:21.960 Wie viele Möglichkeiten hatten wir? 06:22.040 --> 06:25.800 Es sind 7 Plätze, davon haben wir 2 ausgewählt, das ist der 06:25.800 --> 06:27.880 Binomialkoeffizient 7 über 2. 06:28.500 --> 06:32.940 Und für jede Auswahl, die wir vorher getätigt haben für die Einsen, 06:33.340 --> 06:37.920 gibt es jetzt so viele Möglichkeiten, 7 über 2 und deshalb habe ich 06:37.920 --> 06:40.720 hier ein Produkt aus 2 Binomialkoeffizienten. 06:41.500 --> 06:47.460 Jetzt haben wir eine 3, wir haben insgesamt noch 5 Plätze, wir 06:47.460 --> 06:50.980 besetzen einen Platz mit der 3, sagen wir hier vorne. 06:50.980 --> 06:53.220 Wie viele Möglichkeiten habe ich? 06:53.980 --> 06:58.280 5 über 1, nämlich aus 5 Plätzen einen auszuwählen für die 3. 06:59.320 --> 07:03.200 Es bleiben noch 4 Plätze über für die Vieren, wir haben nur noch eine 07:03.200 --> 07:05.420 einzige Möglichkeit, wir platzieren die Vieren. 07:06.380 --> 07:09.980 Formal ist das der Binomialkoeffizient 4 über 4, der ist 1. 07:10.760 --> 07:14.800 Es entsteht also dieses Produkt von Binomialkoeffizienten und wenn wir 07:14.800 --> 07:20.740 diese Binomialkoeffizienten mal hinschreiben, 11 über 4, dann 7 über 07:20.740 --> 07:28.140 2, 5 über 1 und 4 über 4, dann sehen wir, dass sich etwas wegkürzt. 07:28.140 --> 07:34.160 Ich habe das farblich angedeutet, 7 Fakultät steht zweimal, rot, das 07:34.160 --> 07:37.820 können wir wegkürzen, 5 Fakultät auch, einmal im Zähler, einmal im 07:37.820 --> 07:41.960 Nenner, kann auch weggekürzt werden und 4 Fakultät ganz rechts im 07:41.960 --> 07:46.400 Zähler, umschräg unten links davor im Nenner, kann auch weggekürzt 07:46.400 --> 07:46.660 werden. 07:47.120 --> 07:52.060 0 Fakultät ist 1, was überbleibt ist 11 Fakultät, dividiert durch 4 07:52.060 --> 07:55.980 Fakultät, 2 Fakultät, 1 Fakultät und 4 Fakultät. 07:55.980 --> 08:00.480 Wenn man es ausrechnet, kommt hier raus 34.650. 08:01.260 --> 08:05.260 Was wir hier gelöst haben, ist das Mississippi Problem. 08:06.060 --> 08:09.620 Denn folgendes sollten wir beachten, bei Mississippi ist diese 08:09.620 --> 08:17.060 Situation gegeben, wobei das I in den Buchstaben korrespondiert zu 1. 08:17.060 --> 08:21.180 Wir haben 4 mal den Buchstaben I, wir haben 4 Einsen. 08:22.080 --> 08:28.100 Das P korrespondiert mit der 2, wir haben 2 P's und wir haben 2 Zwein. 08:28.660 --> 08:36.200 Das M mit der 3, wir haben eine 3 und das S mit der 4, wir haben genau 08:36.200 --> 08:37.760 4 mal den Buchstaben S. 08:38.820 --> 08:43.340 Man sieht also hier die Kraft der Abstraktion und man könnte das 08:43.340 --> 08:47.800 natürlich auch anders einkleiden, mit Kugeln, die verschiedene Farben 08:47.800 --> 08:48.300 aufweisen. 08:49.440 --> 08:54.000 Es ist jetzt ein leichter Schritt, den allgemeinen Fall anzugehen. 08:54.680 --> 08:58.980 Es sollen jetzt in einem N-Tupel Kj-Plätze mit der Zahl j besetzt 08:58.980 --> 09:02.060 werden, wobei j von 1 bis S läuft. 09:03.300 --> 09:08.100 Nun von den N-Plätzen wählen wir zunächst K1 aus für die 1. 09:09.660 --> 09:15.640 Danach haben wir noch N-K1-Plätze, von denen wählen wir K2-Plätze aus 09:15.640 --> 09:17.220 für die 2 und so weiter. 09:18.920 --> 09:24.020 Nach der Multiplikationsregel der Kombinatorik ist die Anzahl gegeben 09:24.020 --> 09:28.060 durch ein Produkt von Binomialkoeffizienten. 09:28.060 --> 09:35.060 N über K1 ist die Anzahl aus den N-Plätzen K1 für die 1 auszuwählen. 09:36.180 --> 09:42.400 Für jede dieser Auswahlen haben wir N-K1 über K2 Möglichkeiten, die 2 09:42.400 --> 09:46.480 auf die verbleibenden N-K1-Plätze aufzuteilen. 09:47.820 --> 09:54.420 Dann kommen die 3 dran, N-K1-K2-Plätze sind noch frei, wenn wir die 1 09:54.420 --> 09:57.220 und die 2 in das Tupel platziert haben. 09:58.080 --> 10:01.300 Davon müssen wir K3 auswählen und so geht es weiter. 10:02.140 --> 10:05.140 Das heißt wir haben hier ein Produkt von Binomialkoeffizienten. 10:05.520 --> 10:13.320 Der letzte Binomialkoeffizient ist 1, denn N ist die Summe von K1 und 10:13.320 --> 10:15.320 K2 und so weiter und KS. 10:16.200 --> 10:20.520 Wir ziehen K1 ab, wir ziehen K2 ab, wir ziehen KS-1 ab. 10:20.520 --> 10:25.060 Also bleibt im oberen Teil des Binomialkoeffizienten genau KS übrig 10:25.060 --> 10:27.560 und KS über KS ist 1. 10:28.620 --> 10:33.280 Wenn wir auch hier die Binomialkoeffizienten ausschreiben, hier N über 10:33.280 --> 10:40.520 K1, dann N-K1 über K2 und so weiter, dann ergibt sich dieser Ausdruck, 10:40.700 --> 10:41.360 dieses Produkt. 10:42.260 --> 10:45.420 Auch hier kürzen sich gewisse Teile weg. 10:46.760 --> 10:50.620 Wenn wir den letzten Binomialkoeffizienten ansehen und schauen in den 10:50.620 --> 10:57.540 Nenner, das was dort steht, weil N die Summe aller KJ ist, J von 1 bis 10:57.540 --> 11:03.800 S und die wird wieder abgezogen, steht im Nenner nichts anderes als 0 11:03.800 --> 11:05.840 Fakultät und 0 Fakultät ist 1. 11:07.120 --> 11:12.800 Wir sehen, was übrig bleibt, im Zähler nur N-Fakultät und von den 11:12.800 --> 11:17.500 Nennern bleibt übrig K1-Fakultät, K2-Fakultät und so weiter bis KS 11:17.500 --> 11:18.200 -Fakultät. 11:19.460 --> 11:23.460 Und ich nehme nochmal auf, was hier wichtig ist, die einzelnen K1 bis 11:23.460 --> 11:28.480 KS sind nicht negative ganze Zahlen, die sich zu N aufaddieren. 11:29.700 --> 11:34.860 Dieser letzte Ausdruck ist wichtig, er bekommt eine eigene 11:34.860 --> 11:39.280 Bezeichnung, nämlich dieser Ausdruck, den nennt man 11:39.280 --> 11:42.500 Multinomialkoeffizient und schreibt ihn so wie einen 11:42.500 --> 11:46.640 Binomialkoeffizienten, nur dass man im unteren Teil des 11:46.640 --> 11:51.480 Binomialkoeffizienten jetzt nicht eine Zahl hat, sondern K1, KS. 11:52.140 --> 11:55.160 Man trennt die einzelnen KJ durch Kommata. 11:55.620 --> 11:59.580 Ist also nichts anderes als dieser Ausdruck, den wir oben hergeleitet 11:59.580 --> 12:03.540 hatten als Anzahl, nennt man Multinomialkoeffizient. 12:05.060 --> 12:09.740 Ich möchte das nochmal als Memo aufnehmen auf die nächste Folie. 12:11.200 --> 12:15.320 Man kann also jetzt formulieren, der Multinomialkoeffizient beschreibt 12:15.320 --> 12:20.680 die Anzahl der Möglichkeiten, Wörter der Länge N aus S verschiedenen 12:20.680 --> 12:26.340 Buchstaben zu bilden, wobei der Buchstabe J genau KJ mal auftritt, 12:26.680 --> 12:28.200 jedes J von 1 bis S. 12:28.200 --> 12:32.620 Natürlich werden hier die Buchstaben nicht die Zahlen von 1 bis S 12:32.620 --> 12:36.620 sein, aber wir können die Zahlen eben mit tatsächlichen Buchstaben 12:36.620 --> 12:41.000 identifizieren, wie wir es auch schon beim Wort Mississippi gemacht 12:41.000 --> 12:41.400 haben. 12:43.500 --> 12:47.740 Kompakt, mathematischer Form, kann man es auch so schreiben, der 12:47.740 --> 12:54.900 Binomialkoeffizient ist die Anzahl der Tupel mit Komponenten A1 bis AN 12:54.900 --> 13:00.220 mit nicht negativen ganzzahligen Komponenten, die die Eigenschaft 13:00.220 --> 13:05.520 haben, dass die Zahl J in diesem Tupel genau KJ mal auftritt. 13:06.240 --> 13:11.660 Formal, kurz kann ich das so schreiben, eine Summe, da läuft L von 1 13:11.660 --> 13:16.320 bis N, ich gehe die einzelnen Komponenten des Tupels durch und zähle 13:16.320 --> 13:22.340 immer, ich habe hier einen Indikator, der ist 1, wenn AL gleich J ist 13:22.340 --> 13:27.860 und ansonsten 0, das heißt ich zähle, wie oft J im Tupel vorkommt und 13:27.860 --> 13:32.420 das soll KJ mal sein und zwar für jedes J von 1 bis S. 13:34.060 --> 13:38.160 Man sollte sehen, dass der Multinomialkoeffizient eine 13:38.160 --> 13:42.740 Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten ist, wenn man ins Memo 13:42.740 --> 13:48.500 schaut, man muss in diesem Fall S gleich 2 setzen und das K1 setzt man 13:48.500 --> 13:54.520 gleich K und dann ist das K2 nichts anderes als N minus K, denn die 13:54.520 --> 13:56.980 Summe von K1 und K2 ist N. 13:56.980 --> 14:03.240 Wenn man dann rechts ins Memo schaut, kommt N-Fakultät raus und 14:03.240 --> 14:07.280 dividiert wird durch K-Fakultät und dann mal N minus K in Klammern 14:07.280 --> 14:11.120 Fakultät und das ist der Binomialkoeffizient N über K. 14:13.790 --> 14:17.850 Man kann sich fragen, ob es auch eine Verallgemeinerung der 14:17.850 --> 14:21.730 binomischen Formel gibt und die allgemeine binomische Formel sieht so 14:21.730 --> 14:26.930 aus, X plus Y in Klammern hoch N ist die Summe, da läuft K von 0 bis 14:26.930 --> 14:33.090 N, Binomialkoeffizient N über K mal X hoch K mal Y hoch N minus K. 14:34.030 --> 14:38.030 In der Tat existiert eine solche Verallgemeinerung und das ist der 14:38.030 --> 14:44.530 sogenannte multinomiale Leersatz, der besagt, es gilt für beliebige 14:44.530 --> 14:52.370 reelle Zahlen X1, X2 und so weiter bis XS, die Summe von X1, X2 und so 14:52.370 --> 14:57.730 weiter und XS in Klammern hoch N ist nichts anderes als eine Summe. 14:58.530 --> 15:01.910 Jetzt muss man sehen, worüber sich diese Summe erstreckt. 15:02.250 --> 15:09.590 Es sind alle S-Tupel von nicht-negativen ganzen Zahlen, die sich zu N 15:09.590 --> 15:14.970 aufaddieren und dann steht hier der Multinomialkoeffizient, wie wir 15:14.970 --> 15:15.730 ihn eben hatten. 15:15.730 --> 15:22.530 Es wird multipliziert mit X1 hoch K1 mal X2 hoch K2 und so weiter mal 15:22.530 --> 15:24.170 XS hoch KS. 15:25.210 --> 15:29.450 Man kann diesen Leersatz durch vollständige Induktion über N beweisen, 15:30.810 --> 15:36.390 aber dieser Beweis trägt nichts zum Verständnis dieser Gleichung bei. 15:36.390 --> 15:40.710 Diese Gleichung ergibt sich eigentlich unmittelbar, wenn man 15:40.710 --> 15:44.730 Klammerrechnung beherrscht und wenn man den Multinomialkoeffizienten 15:44.730 --> 15:45.470 verstanden hat. 15:45.970 --> 15:47.490 Sehen wir uns diesen Beweis an. 15:47.850 --> 15:50.090 Ich bezeichne ihn als begrifflichen Beweis. 15:50.850 --> 15:56.090 Man schreibt einfach die Summe der XJ in Klammern hoch N als Produkt 15:56.090 --> 15:57.590 von N Klammer ausdrücken. 15:57.810 --> 16:04.690 Also diese Summe mal diese Summe mal diese Summe bis ich N Faktoren 16:04.690 --> 16:05.070 habe. 16:06.050 --> 16:10.810 Nach den Regeln der Klammerrechnung, nach den Distributivgesetzen, 16:11.670 --> 16:12.690 muss man folgendes machen. 16:13.110 --> 16:18.430 Man muss aus jeder Klammer entweder X1 oder X2 oder X3 und so weiter 16:18.430 --> 16:23.470 oder XS auswählen und dann das Produkt bilden. 16:24.730 --> 16:28.250 Man kann sich fragen, wie viele Summanden entstehen, denn wir müssen 16:28.250 --> 16:30.150 ja diese Produkte alle aufsummieren. 16:30.930 --> 16:36.730 Aus der ersten Klammer haben wir S-Möglichkeiten, entweder X1 oder X2 16:36.730 --> 16:37.930 und so weiter oder XS. 16:38.150 --> 16:40.610 Das haben wir aber auch für die zweite Klammer, für die dritte 16:40.610 --> 16:42.470 Klammer, so weiter für alle Klammern. 16:42.470 --> 16:44.770 In jeder Klammer S-Möglichkeiten. 16:44.930 --> 16:48.170 Das ergibt nichts anderes als S hoch N. 16:48.850 --> 16:50.490 Und das ist schon eine sehr große Zahl. 16:50.610 --> 16:53.930 Man stelle sich vor, ich habe hier nur S gleich 3 und N gleich 5. 16:54.030 --> 16:56.470 3 hoch 5 ist schon 243. 16:56.830 --> 16:58.650 Das heißt, da entstehen viele Summanden. 16:58.650 --> 17:02.210 Aber jetzt kommt es, viele der Summanden sind gleich. 17:03.530 --> 17:04.950 Warum sind sie gleich? 17:06.590 --> 17:11.130 Nun ganz einfach, wenn ich aus K1 dieser Klammern das X1 gewählt habe, 17:11.870 --> 17:16.750 aus K2 der Klammern das X2 und so weiter und aus KS der Klammern das 17:16.750 --> 17:22.910 XS, dann entsteht wegen der Kommutativität der Multiplikation das 17:22.910 --> 17:28.630 Produkt X1 hoch K1 mal X2 hoch K2 und so weiter mal XS. 17:28.650 --> 17:29.470 Hoch KS. 17:30.010 --> 17:35.170 Und das tritt oben, ganz rechts, im Multinomialleersatz auf. 17:36.650 --> 17:39.330 Die Frage ist, wie oft tritt das auf? 17:42.140 --> 17:47.380 Und es tritt genauso oft auf, wie es der Multinomialkoeffizient 17:47.380 --> 17:47.920 angibt. 17:49.980 --> 17:52.060 Jetzt müssen wir nochmal kurz nachdenken. 17:53.000 --> 17:56.200 Was mache ich denn bei dieser Auswahl aus den Klammern? 17:56.300 --> 17:57.140 Ich habe N-Klammern. 17:57.240 --> 17:59.480 Ich könnte mir das als ein N-Pupel vorstellen. 18:00.520 --> 18:03.640 Ich habe Plätze, von links nach rechts muss ich sie besetzen. 18:04.880 --> 18:10.320 Nur den ersten Platz besetze ich mit der Zahl J, wenn ich XJ auswähle. 18:12.680 --> 18:17.760 Den zweiten Platz besetze ich auch mit einer Zahl zwischen 1 und S. 18:18.060 --> 18:21.380 Wenn ich X1 auswähle, schreibe ich an die zweite Stelle eine 1. 18:22.100 --> 18:24.860 Wähle ich X2 aus, schreibe ich an die zweite Stelle eine 2. 18:25.960 --> 18:32.020 Es baut sich ein N-Pupel auf und in diesem N-Pupel, da ich eben aus KJ 18:32.020 --> 18:37.560 der Klammern das XJ gewählt habe, stehen in diesem N-Pupel, ja an 18:37.560 --> 18:39.960 genau KJ Stellen, steht dann die Zahl J. 18:41.440 --> 18:45.940 Und wir haben eben gesehen, dass diese Anzahl nichts anderes als der 18:45.940 --> 18:47.620 Multinomialkoeffizient ist. 18:48.460 --> 18:49.700 Und das war zu zeigen.