In diesem Video geht es um die hypergeometrische Verteilung.
Ich möchte die Situation, in der diese Verteilung auftritt, anhand
eines Urnmodells beschreiben.
Die Situation ist die folgende.
Gegeben sei eine Urne mit r-roten und s-schwarzen Kugeln.
Wir ziehen aus dieser Urne n-mal rein zufällig ohne Zurücklegen der
jeweils gezogenen Kugel.
Die Zufallsvariable, die uns interessiert, wir nennen sie X,
beschreibe die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
In Anwendungen steht die Urne z.B.
in der Qualitätskontrolle für eine Warensendung mit Werkstücken.
Diese Werkstücke können defekt sein oder intakt.
Defekt würde man hier als rote Kugel interpretieren und intakt als
schwarze Kugel.
Die Frage, die sich hier stellt bezüglich der Zufallsvariable X ist
die folgende.
Welche Verteilung besitzt X?
Man könnte sich auch die Frage stellen, welchen Erwartungswert besitzt
X und welche Varianz?
Wir werden sehen, dass wir um den Erwartungswert und die Varianz zu
bestimmen, gar nicht die Verteilung benötigen, aber die natürliche
Reihenfolge ist die, dass man zuerst nach der Verteilung fragt, weil
man aus der Verteilung Erwartungswert und Varianz berechnen kann.
Dieses Video soll unter anderem zeigen, dass man sich hier einen
großen Teil der Rechnungen ersparen kann.
Eine weitere Frage, eine Verständnisfrage könnte sein, mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist die dritte Kugel, die man zieht, rot?
Jeder würde sagen, bei der ersten Kugel ist es klar, es sind r rote
Kugeln, insgesamt sind es r plus s Kugeln.
Es regiert der reine Zufall, die Wahrscheinlichkeit, dass die erste
gezogene Kugel rot ist, ist r durch r plus s.
Aber wie sieht es bei der zweiten, bei der dritten Kugel aus?
Ich möchte hier mit diesem Video Verständnis wecken für die
hypergeometrische Verteilung.
Wir betrachten ein Beispiel.
Es gäbe vier rote Kugeln und acht schwarze Kugeln.
Ich ziehe alle zwölf Kugeln aus der Urne und lege sie von links nach
rechts hin.
Man sieht das, also alle zwölf Kugeln wurden gezogen und von links
nach rechts platziert.
Nun man erwartet jetzt rote und schwarze Kugeln.
Das Interessante ist, die Farben der Kugeln sind innen.
Ich müsste zwei Kugelhälften öffnen, um die Farbe zu sehen.
Dieses Bild soll folgendes zeigen.
Es regiert der reine Zufall, irgendwo liegen die vier roten Kugeln
unter diesen zwölf Kugeln.
Jede Reihenfolge ist gleichwahrscheinlich.
Wenn man die Kugel ganz links als erste Kugel bezeichnet, die daneben
als zweite, dritte, vierte, dann haben wir von links nach rechts die
Zahlen von 1 bis 12.
Wenn ich die Nummern der vier roten Kugeln wüsste, wo sie liegen, dann
wäre das nichts anderes als die Realisierung eines 4-aus-12-Lottos.
Ich möchte das konkreter machen.
Betrachten wir ein Beispiel mit nur fünf Kugeln.
Davon sind zwei rot und drei schwarz.
Ich zeige jetzt mal alle möglichen Konstellationen, die sich ergeben
können.
Es könnten die ersten beiden Kugeln rot sein und danach werden nur
noch schwarze gezogen.
Oder es könnten die erste und die dritte Kugel rot sein und die
anderen Kugeln sind schwarz.
Die erste und die vierte Kugel sind rot, die anderen sind schwarz.
Die erste und die fünfte Kugel sind rot und die anderen sind schwarz
Und gehen wir noch die anderen Möglichkeiten durch, es könnte die
zweite und die dritte Kugel rot sein, die übrigen sind schwarz, oder
die zweite und die vierte, oder die zweite und die fünfte Kugel, die
dritte und die vierte könnten rot sein, die dritte und die fünfte,
oder die vierte und die fünfte.
Das sind alle zehn Möglichkeiten.
Warum zehn?
Nun, ich muss aus insgesamt fünf Plätzen, das waren ursprünglich weiße
Plätze, weiße Kreise, muss ich zwei auswählen, die ich rot fülle.
Nun, aus fünf Objekten, das sind hier die Kreise, zwei auszuwählen.
Die Anzahl ist der Binomialkoeffizient 5 über 2.
Wenn man jetzt von oben nach unten schaut, zum Beispiel die erste
Kolonne ganz links, dann sieht man von diesen insgesamt zehn
Realisierungen, die alle gleich wahrscheinlich sind, haben vier die
Eigenschaft, dass an der ersten Stelle eine rote Kugel steht.
In der zweiten Kolonne ist es aber genauso.
Genauso für die dritte Kolonne, die vierte und die fünfte.
Wir erkennen also die Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Kugel rot
ist.
Das sind vier günstige von insgesamt zehn möglichen Fällen, vier
Zehntel oder zwei Fünftel.
Das ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot ist.
Man sieht also hier eine Symmetrie und die gibt Anlass, über eine
Modellierung nachzudenken.
Es gibt Möglichkeiten der Modellierung, die zum Beispiel die Kugeln
durchnummerieren, also in dem Fall von 1 bis 5 und sagen, die Kugeln
mit den Nummern 1 und 2 seien rot und die anderen sind schwarz.
Ich möchte hier eine andere Modellierung vorstellen.
Sehen wir uns die erste Konstellation an, ganz oben.
Ich könnte es modellieren als ein 5-Tupel und ich schreibe auf die
Plätze des Tupels eine 1, wenn dort eine rote Kugel steht, ansonsten
eine 0.
Also wäre die erste Zeile das Tupel 1 1 0 0 0 und die zweite Zeile
wäre das Tupel 1 0 1 0 0 und so geht es weiter.
Wir werden sehen, welche Einsichten wir mit dieser Modellierung
gewinnen.
Nun, die Modellierung ist so, ich kürze zunächst mal r plus s als L
ab, weil das öfter vorkommt und der Grundraum Omega, die Menge aller
möglichen Ergebnisse, das sind jetzt L-Tupel.
Gedanklich ziehe ich also alle Kugeln aus der Urne, obwohl ich nur n
mal ziehe.
Das bedeutet, wir werden später an so einem Ergebnis L-Tupel uns nur
die ersten n Komponenten ansehen, denn die gehen in die Stichprobe
ein.
Der Grundraum, das Omega, ist die Menge aller dieser L-Tupel mit der
Eigenschaft, jede Komponente ist entweder 0 oder 1.
0 steht für eine schwarze Kugel, 1 für eine rote.
Und jetzt muss ich noch formal beschreiben, es sollen in dem Tupel
genau r Einsen stehen, denn ich habe genau r rote Kugeln.
Das kann ich so beschreiben, die Summe j von 1 bis L, ich gehe jede
Komponente im Tupel durch und sehe mir an, ob sie 1 ist.
Man sieht hier einen Indikator, eine fette 1 und das bedeutet, dieser
Summand ist 1, wenn aj gleich 1 ist und ansonsten ist der Summand
gleich 0.
Also diese Summe der Indikatoren, dass aj gleich 1 ist, zählt die
Anzahl der Einsen im Tupel und hier soll r rauskommen, es soll genau r
Einsen geben.
Nun, wie viele Elemente hat dieser Grundraum, wie viele solche Tupel
gibt es?
Es gibt so viele Tupel aus 0 und 1, die genau r Einsen haben, wie es
Möglichkeiten gibt, aus einer r plus s elementigen Menge oder L
elementigen Menge, L ist ja gleich r plus s, r Objekte auszuwählen und
das ist der Binomialkoeffizient L über r und nochmal zur Erinnerung, L
ist r plus s, also ist die Anzahl der Elemente von Omega r plus s über
r.
Wir arbeiten mit der Gleichverteilung auf Omega, wir nehmen also an,
dass alle diese Tupel die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.
Jetzt möchte ich das Ereignis formal beschreiben, dass die j-Kugel rot
ist.
Das kann ich so machen, aj ist die Menge aller derjenigen L-Tupel mit
der Eigenschaft aj gleich 1.
An der j-Stelle steht die 1 und die 1 steht für eine rote Kugel, das
ist also formal das Ereignis j-Kugel rot als Teilmenge von Omega.
Als nächstes möchte ich modellieren die zufällige Anzahl der gezogenen
roten Kugeln als Zufallsvariable, als Abbildung auf Omega.
Und das kann ich so machen, wenn man das Wort Anzahl hört, Anzahl der
roten Kugeln, dann sollte man an eine Zählvariable denken, an eine
Indikatorsumme und wir definieren x als Summe j von 1 bis n, Indikator
des Ereignisses aj.
Dieser Indikator ist 1, wenn aj eintritt und ansonsten 0 und diese
Zufallsvariable modelliert die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
Ich möchte zunächst zeigen, wie man hier sehr schnell auf die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aj, also j-er Zug ergibt eine rote
Kugel, kommen kann.
Nun, wie viele günstige Fälle gibt es?
Wir haben ja ein Laplace-Modell, wir müssen die günstigen und die
möglichen Fälle betrachten.
Die günstigen Fälle sind die, das sind diejenigen L-Tupel mit der
Eigenschaft, dass an der j-Stelle eine 1 steht.
Wenn ich an die j-Stelle eine 1 platziere, dann habe ich noch
insgesamt L minus 1 Stellen übrig und von diesen L minus 1 Stellen
müssen ja die restlichen Einsen ausgewählt werden, das sind noch r
minus 1 Stück.
Also ist das der Binomialkoeffizient L minus 1 über r minus 1.
Insgesamt haben wir gesehen, gibt es L über r solche r-Tupel und wenn
man hier die Binomialkoeffizienten ausrechnet, es entsteht der Bruch r
geteilt durch L.
Man erkennt, diese Wahrscheinlichkeit hängt nicht von j ab, wie wir es
schon intuitiv eingesehen haben.
Wenn wir das Ziehen einer roten Kugel als Treffer deuten, dann hat
sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht verändert.
Das Entscheidende ist hier, dass wir uns nicht die Farbe der ersten,
der zweiten Kugel ansehen, sondern a priori fragen, wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die dritte Kugel rot ist.
Wir möchten uns jetzt ansehen, das ist auch wichtig, wie ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Ereignisse a i und a j eintreten, i sei
hier von j verschieden.
Das bedeutet, die i-te und die j-te gezogene Kugel sind rot.
Auch hier kann man sofort die Anzahl der günstigen Fälle abzählen.
Jetzt sind die günstigen Fälle die, dass im L-Tupel an der i-ten und
an der j-ten Stelle jeweils eine 1 steht.
Das bedeutet, wir haben noch L-2 Stellen, aus denen müssen wir R-2
Stellen auswählen für die 1en und das ist der Binomialkoeffizient L-2
über R-2.
Wir dividieren wieder durch die Anzahl aller Möglichkeiten L über R
und wenn man hier etwas rechnet mit den Binomialkoeffizienten erhält
man R mal R minus 1 dividiert durch L mal L minus 1 und das ist wieder
völlig unabhängig von i und j, ganz egal wie i und j von 1 bis L
gewählt wurden, solange nur i ungleich j gilt.
Ich nehme diese Ergebnisse mal auf als Memo auf die nächste Folie.
x ist die Summe dieser Indikatorfunktion.
Die Wahrscheinlichkeit von aj haben wir bestimmt, die ist R durch R
plus S, unabhängig von j.
Und wir haben auch die Wahrscheinlichkeiten der Schnitte bestimmen von
je zwei Ereignissen.
Ich lasse oft das Durchschnittszeichen weg, also schreibe nur kurz ai
aj für ai geschnitten aj.
Wir haben gesehen, das ist R mal R minus 1 und jetzt habe ich im
Nenner nur das L durch R plus S ersetzt, also R plus S mal R plus S
minus 1, ganz egal wie i und j gewählt werden, solange nur i ungleich
j ist.
Für eine Zählvariable, so eine Indikatorsumme x, zählt die Anzahl der
Ereignisse, die eintreten unter Ereignissen a1 bis aN gilt ganz
allgemein Der Erwartungswert von x ist die Summe der
Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse.
Und die Varianz von x erhält man auch sehr einfach, da gibt es ein
Video zur Varianz von Zählvariablen.
Das ist die Summe von p von aj mal 1 minus p von aj plus zweimal, und
hier sieht man eine Doppelsumme, summiert wird über alle i und j mit i
kleiner j und dann steht hier die Wahrscheinlichkeit von ai
geschnitten aj minus p von ai mal p von aj.
In unserem Fall folgt speziell, und ich setze jetzt kurz p als r durch
r plus s an, für die Varianz muss man ein bisschen rechnen, der
Erwartungswert von x, man sieht dort Summe der Wahrscheinlichkeiten,
die Wahrscheinlichkeiten sind in dem Fall alle p, also habe ich n mal
p.
Die Varianz von x ist, nun der Anfang, p von aj ist jetzt immer p, ist
n mal p mal 1 minus p, und jetzt käme dazu plus zweimal irgendwas.
Wenn man sich ansieht im Memo, wir haben die Wahrscheinlichkeiten der
Schnitte ai und aj bestimmt, wir kennen auch die Wahrscheinlichkeiten
von ai, die hängen nicht von i und j ab, also alle Summanden sind hier
gleich, ich habe n über 2 Summanden, denn ich muss aus den insgesamt n
Zahlen von 1 bis n 2 auswählen, vorher noch der Faktor 2, wenn man
jetzt ein wenig rechnet, sieht man, dass man das was man bisher hat
ausklammern kann, 1 minus und was dann noch überbleibt ist n minus 1
dividiert durch r plus s minus 1.
Das ist die Varianz dieser Zufallsvariablen x.
Wir müssen natürlich noch die Frage beantworten, die Frage nach der
Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k annimmt, also nach der
Verteilung von x.
Ich habe wieder etwas auf die nächste Folie genommen als Memo.
Nun Omega ist die Menge aller dieser L-Tupel, alle Komponenten sind
entweder 0 oder 1 und die Anzahl der 1 in dem Tupel ist r.
Nur die Frage ist, wie viele L-Tupel gibt es mit der Eigenschaft, dass
die Zufallsvariable x, wenn ich sie auf dieses L-Tupel anwende, was
macht sie?
Sie zählt die 1, aber nicht im ganzen Tupel, wir ziehen ja nur n mal
und das betrifft nur die ersten n Komponenten im Tupel.
Die Zufallsvariable zählt die Anzahl der 1 unter den ersten n
Komponenten.
Das ist nichts anderes als a1 plus und so weiter plus an und da soll k
rauskommen.
Denn wir wollen ja die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass x den Wert k
annimmt.
Das sind die günstigen Tupel, die günstigen Fälle.
Wie viele sind das?
Ich schreibe kurz das Ereignis x gleich k als Menge von solchen L
-Tupeln.
Die Anzahl der Elemente schreibe ich als Betragstriche.
Wir müssen uns also überlegen, wie viele günstige Tupel gibt es?
Das Entscheidende ist, an den ersten n Stellen des Tupels, dort sollen
genau k Einzeln stehen.
Die Anzahl der Möglichkeiten, aus diesen ersten n Stellen k
auszuwählen für die Einzeln, ist der Binomialkoeffizient n über k.
Wenn ich das gemacht habe, für jede solche Auswahl habe ich jetzt noch
die restlichen L-n Stellen im Tupel und auf diesen Stellen muss ich
auch Einzeln platzieren.
Wie viele Einzeln bleiben noch über?
Insgesamt sind es r und ich habe auf die ersten n Stellen k Einzeln
platziert, also bleiben noch r-k über und das ist der
Binomialkoeffizient L-n über r-k als Anzahl der Möglichkeiten aus den
restlichen L-n Stellen, in dem L-Tupel r-k auszuwählen für die
Einzeln.
An den anderen Stellen stehen natürlich automatisch dann die Nullen.
Nun es folgt, die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich k ist, ist die
Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch Anzahl der möglichen Fälle.
Die günstigen Fälle haben wir ausgerechnet, das ist das Produkt dieser
beiden Binomialkoeffizienten.
Ich habe nur für L wieder r plus s geschrieben, dividiert durch die
Anzahl aller Tupel, das sind r plus s über r und wenn man hier ein
wenig rechnet, man schreibt einfach alle Binomialkoeffizienten
mithilfe von Fakultäten aus, dann erhält man eine andere Darstellung
und die Darstellung ist r über k mal s über n minus k dividiert durch
r plus s über n.
Diese zweite Darstellung der Wahrscheinlichkeit ist auch einfach
einzusehen, man hat nur hier eine etwas andere Vorstellung vom Ziehen.
Wenn man sich vorstellt, dass alle Kugeln durchnummeriert sind von 1
bis r plus s, wobei die roten Kugeln die Nummern von 1 bis r tragen
und die schwarzen Kugeln die Nummern von r plus 1 bis r plus s, dann
sieht man, der Nenner r plus s über n ist die Anzahl der Möglichkeiten
aus einer r plus s elementigen Menge eine n elementige Teilmenge zu
bilden.
Das heißt hier stellt man sich vor, ich greife in die Urne und hole
mit einem Griff n Kugeln heraus, bilde also eine n elementige
Teilmenge aller r plus s Kugeln, dann kann ich mir natürlich ansehen,
wie viele rote Kugeln darunter sind.
Was steht im Zähler?
r über k ist die Anzahl der Möglichkeiten aus r Kugeln k auszuwählen.
Für jede solche Auswahl gibt es dann s über n minus k Möglichkeiten
aus den s schwarzen n minus k Kugeln auszuwählen, damit in der
Stichprobe insgesamt k rote Kugeln sind.
Das ist die übliche Darstellung, diese letzte, für die sogenannte
hypergeometrische Verteilung.
Wir wollen uns noch überlegen, welche Werte für k auftreten können.
Nun ich behaupte, dass k muss mindestens das Maximum von 0 sein und n
minus s.
Nun das k ist auf jeden Fall größer gleich 0, denn ich habe mindestens
0 rote Kugeln in der Stichprobe.
k ist aber auch größer oder gleich n minus s, denn es werden
mindestens n minus s Kugeln gezogen und n minus s kann größer als 0
sein, wenn nämlich weniger schwarze Kugeln vorhanden sind, als Kugeln
gezogen werden.
Auf der anderen Seite, das k ist auf jeden Fall kleiner oder gleich r,
denn ich kann nur so viele rote Kugeln in der Stichprobe haben, wie
rote Kugeln da sind.
Das k ist aber auch kleiner gleich n, denn ich kann nicht mehr rote
Kugeln haben, als ich ziehe.
Man nennt die Verteilung von x hypergeometrische Verteilung mit
Parametern n, r und s.
Also man braucht drei Parameter, n die Anzahl der Ziehungen, r die
Anzahl der roten Kugeln und s die Anzahl der schwarzen Kugeln.
Und eine Möglichkeit es zu beschreiben ist zum Beispiel x-schlange-hyp
für hypergeometrische Verteilung mit n, r und s.
Hier gehen die Bezeichnungen auseinander.
Die obigen beiden Darstellungen für p von x gleich k sollten nach den
angestellten Überlegungen beruflich klar sein.
Damit erübrigt sich gerade bei der zweiten Darstellung ein
Auswendiglernen, das ohnehin in der Mathematik nicht erstrebenswert
ist.
Ich möchte jetzt Stabdiagramme zeigen, hier ein Stabdiagramm einer
hypergeometrischen Verteilung.
In diesem Fall sind die Parameter, der erste Parameter 8, das ist das
n, es wird also 8 mal gezogen.
Und es gibt zwölf rote und zwölf schwarze Kugeln, das heißt die
Wahrscheinlichkeit rot zu ziehen ist 1,5.
Man sieht hier ein symmetrisches Stabdiagramm, der Erwartungswert ist
4, 8 mal 1,5.
Ein anderes Stabdiagramm, auch 8 maliges Ziehen, man sieht das n ist
8, aber jetzt hat man 16 rote Kugeln und 8 schwarze.
Das heißt die Wahrscheinlichkeit rot zu ziehen ist in jedem Zug 16
durch 24, also 2 Drittel.
Und hier ist der Erwartungswert 8 mal 2 Drittel und 8 mal 2 Drittel
sind 5,1 Drittel.
Zu guter Letzt möchte ich noch etwas anführen, was der gesunde
Menschenverstand schon sagen sollte.
Wenn die Anzahl der Ziehungen wesentlich kleiner ist als die Anzahl
der roten und die Anzahl der schwarzen Kugeln, das möchte ich so kurz
beschreiben, und ich sehr viele Kugeln in der Urne habe, r und s sind
groß, dann sollte es kaum etwas ausmachen, ob ich mit oder ohne
zurücklegen ziehe.
Ziehe ich aber mit zurücklegen, so hat die Anzahl der gezogenen roten
Kugeln eine Binomialverteilung.
Und sehen wir uns das an.
Falls diese Gegebenheiten vorliegen, also n ist sehr klein im
Vergleich zu r und s und r und s sind groß, so gilt mit folgender
Abkürzung, die ist hier sinnvoll, man sieht ein m in Klammern, tief j,
das ist nichts anderes als m mal m-1 bis ich j absteigende Faktoren
erreicht habe.
Hiermit gilt, die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich k ist, ich nehme
jetzt die letzte Darstellung, r über k mal s über n-k dividiert durch
r plus s über n.
Wenn man hier ein wenig rechnet mit den Binomialkoeffizienten ergibt
sich n über k mal r tief k mal s tief n-k dividiert durch r plus s
tief n.
Und jetzt kommt die Approximation.
Ich lasse n über k stehen.
Wenn man sich hier die absteigenden Faktoren ansieht, im Nenner steht
r plus s mal r plus s minus 1 und so weiter mal r plus s minus in
Klammern n minus 1, also n absteigende Faktoren.
n ist wesentlich kleiner als r und als s.
Jeder dieser Faktoren ist gut approximierbar durch r plus s.
Also der Nenner ist im Wesentlichen r plus s hoch n und dem Zähler
dies r tief k ist in guter Näherung r hoch k und s tief n minus k in
guter Näherung s hoch n minus k.
Also habe ich hier im Wesentlichen stehen r durch r plus s in Klammern
hoch k mal s durch r plus s in Klammern hoch n minus k.
Und wenn ich r durch r plus s abkürze als p und beachte, dass dann s
dividiert durch r plus s gleich 1 minus p ist, dann ergibt sich p hoch
k mal 1 minus p hoch n minus k.
Also nochmal, ich habe p gleich r durch r plus s gesetzt und das ist
die Approximation dieser hypergeometrischen Verteilung durch eine Binomialverteilung.