WEBVTT 00:00.440 --> 00:05.460 Der Eindeutigkeitssatz für Maße, manchmal auch Maßeindeutigkeitssatz 00:05.460 --> 00:10.780 genannt, ist einer der wichtigsten, weil am häufigsten auch 00:10.780 --> 00:13.160 angewandten Sätze der Maßtheorie. 00:14.760 --> 00:19.420 Ausgangspunkt ist ein sogenannter messbarer Raum, das heißt eine nicht 00:19.420 --> 00:24.180 leere Menge Omega, und darauf eine Sigma-Algebra als System von 00:24.180 --> 00:25.400 Teilmengen von Omega. 00:26.200 --> 00:30.320 Diese Sigma-Algebra enthält die leere Menge, mit jeder Menge auch 00:30.320 --> 00:34.780 deren Komplement und mit abzählbar unendlich vielen Mengen auch deren 00:34.780 --> 00:35.500 Vereinigung. 00:37.140 --> 00:41.700 Wichtig ist für dieses Video, dass man weiß, was ein Maß ist. 00:41.880 --> 00:45.140 Der übliche Buchstabe für ein Maß ist das griechische µ. 00:45.920 --> 00:50.480 Das µ ist eine Funktion, die auf a definiert ist und nicht negative, 00:50.700 --> 00:53.860 reelle Werte annimmt, sie darf aber auch den Wert unendlich annehmen. 00:54.900 --> 01:00.120 Eine solche Funktion heißt Maß auf a, wenn sie der leeren Menge den 01:00.120 --> 01:03.960 Wert 0 zuordnet und Sigma-Additiv ist. 01:04.540 --> 01:09.480 Das bedeutet, das Maß einer Vereinigung von abzählbar vielen paarweise 01:09.480 --> 01:13.580 disjunkten Mengen ist Summe der Maße der einzelnen Mengen. 01:14.700 --> 01:19.480 Aus dieser Sigma-Additivität erhält man schnell ein Resultat, das als 01:19.480 --> 01:21.720 Stetigkeit von unten bezeichnet wird. 01:21.720 --> 01:27.440 Das besagt, falls wir eine Mengenfolge haben an in der Sigma-Algebra, 01:28.100 --> 01:33.580 die von unten aufsteigt gegen eine Menge a, das bedeutet, es gilt für 01:33.580 --> 01:40.300 jede natürliche Zahl n, an ist eine Teilmenge von an plus 1 und a ist 01:40.300 --> 01:46.360 die Vereinigung dieser an, dann folgt, dass µ von an gegen µ von a 01:46.360 --> 01:47.100 konvergiert. 01:48.200 --> 01:52.620 Hiermit können wir schon den Eindeutigkeitssatz für Maße formulieren. 01:53.220 --> 01:55.400 Die Voraussetzungen sind die folgenden. 01:56.380 --> 02:02.180 Gegeben ist ein Mengensystem M, ein System von Teilmengen von Omega. 02:03.480 --> 02:08.220 Dieses Mengensystem sei durchschnittstabil, das bedeutet, mit je zwei 02:08.220 --> 02:12.040 Mengen in diesem Mengensystem ist auch deren Durchschnitt im 02:12.040 --> 02:17.540 Mengensystem und es sei ein erzeugendes System für die Sigma-Algebra, 02:17.780 --> 02:21.520 das bedeutet, die erzeugte Sigma-Algebra von M ist gerade a. 02:22.800 --> 02:28.600 Nehmen wir an, wir hätten zwei Maße auf der Sigma-Algebra µ1 und µ2 02:28.600 --> 02:30.860 mit folgender Eigenschaft. 02:31.340 --> 02:35.940 Diese beiden Maße stimmen auf M überein, das bedeutet, dort liefern 02:35.940 --> 02:37.080 sie gleiche Werte. 02:38.400 --> 02:40.740 Wir benötigen noch eine weitere Voraussetzung. 02:40.740 --> 02:47.160 Wenn es in diesem Mengensystem M eine Folge bn von Mengen gibt, die 02:47.160 --> 02:53.740 von unten aufsteigt gegen den Grundraum, und die Maße liefern für jede 02:53.740 --> 02:58.740 dieser Mengen einen endlichen Wert, ich kann schreiben µ1 von bn ist 02:58.740 --> 03:03.320 endlich für jedes n, ich hätte auch schreiben können µ2 ist endlich, 03:03.440 --> 03:08.520 wir wissen ja µ1 und µ2 stimmen auf dem Mengensystem M überein, dann 03:08.520 --> 03:12.200 folgt jedenfalls, und das ist hier das Entscheidende, die beiden Maße 03:12.200 --> 03:12.980 sind gleich. 03:14.940 --> 03:19.160 Das Besondere an diesem Satz ist, dass es für komplizierte Sigma 03:19.160 --> 03:23.900 -Algebren recht einfache erzeugende Systeme geben kann, und es ist 03:23.900 --> 03:27.980 schon erstaunlich, dass diese schwachen Bedingungen ausreichen, um ein 03:27.980 --> 03:33.340 Maß auf der Sigma-Algebra a festzulegen, wenn man nur dessen Werte auf 03:33.340 --> 03:35.500 einem erzeugenden System von a kennt. 03:35.500 --> 03:40.940 Ich möchte eine Anwendung hier nennen, ansonsten soll in diesem Video 03:40.940 --> 03:42.580 nur der Satz bewiesen werden. 03:42.700 --> 03:47.180 Eine Anwendung ist die, die Voraussetzungen treffen zu, auf eine 03:47.180 --> 03:52.040 Situation in der Stochastik, wenn dieser messbare Raum die reellen 03:52.040 --> 03:56.180 Zahlen sind, mit der Sigma-Algebra der Borellmengen, und das 03:56.180 --> 04:01.260 Mengensystem M besteht aus allen nach unten unbeschränkten und nach 04:01.260 --> 04:03.980 oben beschränkten abgeschlossenen Intervallen. 04:04.800 --> 04:08.160 Und das Maß µ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. 04:08.620 --> 04:10.760 Damit nimmt es nur endliche Werte an. 04:11.400 --> 04:14.960 Hier muss man wissen, dass die Sigma-Algebra der Borellmengen erzeugt 04:14.960 --> 04:19.480 wird von diesem System M, das möchte ich hier nicht beweisen, dass das 04:19.480 --> 04:23.300 System M durchschnittsstabil ist, sieht man sofort, denn der Schnitt 04:23.300 --> 04:28.160 der Intervalle von minusunendlich bis s und minusunendlich bis t ist 04:28.160 --> 04:32.040 das Intervall von minusunendlich bis zum Minimum von s und t. 04:32.040 --> 04:35.540 Die Konsequenz für die Stochastik ist folgende. 04:36.280 --> 04:38.440 Dort gibt es den Begriff der Verteilungsfunktion. 04:39.040 --> 04:43.360 Der übliche Buchstabe ist f, t durchläuft die reellen Zahlen und f von 04:43.360 --> 04:48.260 t ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable 04:48.260 --> 04:51.140 einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich t ist. 04:51.860 --> 04:56.360 Mit anderen Worten, es ist die Wahrscheinlichkeit, dass x einen Wert 04:56.360 --> 05:01.900 annimmt im Intervall von minusunendlich bis t, also in den zu M 05:01.900 --> 05:03.140 gehörenden Mengen. 05:04.740 --> 05:07.560 Die Verteilung der Zufallsvariablen ist aber ein 05:07.560 --> 05:10.860 Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Sigma-Algebra der Borellmengen. 05:12.560 --> 05:17.520 Und die Konsequenz ist, diese Verteilungsfunktion legt die Verteilung 05:17.520 --> 05:20.200 dieser Zufallsvariablen eindeutig fest. 05:22.020 --> 05:24.480 Doch nun zum Beweis des Satzes. 05:24.880 --> 05:28.240 Ich übernehme nochmal als Memo die Voraussetzungen. 05:28.240 --> 05:33.740 Wir haben ein durchschnittstabiles Mengensystem m über Omega, das die 05:33.740 --> 05:35.300 Sigma -Algebra a erzeugt. 05:36.440 --> 05:41.780 Wir haben zwei Maße und wir wissen µ1 von b ist gleich µ2 von b für 05:41.780 --> 05:44.080 jedes b in diesem Mengensystem m. 05:44.920 --> 05:49.760 Zudem wissen wir noch, es gibt eine Folge in m, die von unten 05:49.760 --> 05:56.780 aufsteigt gegen den Grundraum und für diese bn in dieser Folge liefert 05:56.780 --> 06:01.960 das Maß µ1 und damit auch das Maß µ2 endliche Werte für jedes n. 06:02.660 --> 06:06.320 Und dann wollen wir schließen, dass µ1 gleich µ2 gilt. 06:07.800 --> 06:08.880 Sehen wir uns den Beweis an. 06:09.780 --> 06:14.480 In diesem Beweis wird klar werden, wie schlagkräftig ein Dünkeln 06:14.480 --> 06:16.800 -System ist als technisches Hilfsmittel. 06:17.800 --> 06:25.680 Wir starten mit einer Menge b aus m, auf der die Maße µ1 und µ2 einen 06:25.680 --> 06:26.900 endlichen Wert annehmen. 06:27.280 --> 06:28.820 Ansonsten ist die Menge beliebig. 06:29.460 --> 06:34.680 Jetzt definieren wir zu diesem b ein Mengensystem d Index b, ich sage 06:34.680 --> 06:35.820 kurz d b. 06:36.740 --> 06:41.880 Das seien alle diejenigen Mengen a in der Sigma-Algebra mit der 06:41.880 --> 06:47.880 Eigenschaft, dass µ1 von b geschnitten a gleich µ2 von b geschnitten a 06:47.880 --> 06:48.160 ist. 06:49.560 --> 06:52.640 Ich nenne das mal ein gutes Mengensystem. 06:54.000 --> 06:57.900 Die erste Überlegung ist die, dieses Mengensystem, dieses gute 06:57.900 --> 07:00.880 Mengensystem ist ein Dünkeln-System. 07:01.680 --> 07:03.260 Und da können wir uns natürlich fragen, warum? 07:04.840 --> 07:08.780 Beim Dünkeln-System muss zunächst gezeigt werden, dass der Grundraum 07:08.780 --> 07:10.680 Omega in diesem System ist. 07:10.680 --> 07:15.220 Nun, wenn wir für die Menge a in der Definition von d b Omega 07:15.220 --> 07:19.540 einsetzen, dann steht da µ1 von b geschnitten Omega, aber b 07:19.540 --> 07:20.800 geschnitten Omega ist b. 07:21.200 --> 07:25.460 µ1 von b gleich µ2 von b, das heißt Omega ist in diesem System. 07:26.040 --> 07:28.780 Die zweite Eigenschaft des Dünkeln-Systems ist folgende. 07:29.500 --> 07:33.460 Wir müssen zeigen, wenn wir zwei Mengen haben, nennen wir sie c und d 07:33.460 --> 07:40.400 in diesem System, mit c Teilmenge d, dann muss auch die Differenzmenge 07:40.400 --> 07:43.040 d vermindert um c in dem System liegen. 07:44.280 --> 07:48.780 Nun, wenn eine Menge c hier drin liegt, dann bedeutet das µ1 von b 07:48.780 --> 07:52.040 geschnitten c ist µ2 von b geschnitten c. 07:52.920 --> 07:56.460 Und wenn eine Menge d in dem System ist, heißt das µ1 von b 07:56.460 --> 08:00.260 geschnitten d gleich µ2 von b geschnitten d. 08:01.300 --> 08:05.520 Diese Werte der Maße sind endliche Werte, wir können Differenzen 08:05.520 --> 08:06.600 bilden. 08:06.920 --> 08:12.980 Wir halten dann folgende Gleichung µ1 von b geschnitten d minus µ1 von 08:12.980 --> 08:18.880 b geschnitten c gleich µ2 von b geschnitten d minus µ2 von b 08:18.880 --> 08:19.720 geschnitten c. 08:20.580 --> 08:26.440 Aber diese Differenzen sind einmal µ1 von b geschnitten klammer auf d 08:26.440 --> 08:33.200 minus c klammer zu gleich µ2 von b geschnitten klammer auf d minus c 08:33.200 --> 08:33.880 klammer zu. 08:34.740 --> 08:39.560 Und wir sehen, wir haben hier nur die Subtraktivität der Maße 08:39.560 --> 08:45.420 ausgenutzt und diese Differenzmenge d vermindert um c ist auch in 08:45.420 --> 08:47.160 diesem Mengensystem db. 08:47.880 --> 08:52.500 Die dritte Eigenschaft eines Dünkelsystems besagt, wenn ich abzählbar 08:52.500 --> 08:57.420 viele Mengen habe, nennen wir sie a1, a2 und so weiter, die paarweise 08:57.420 --> 09:01.540 disjunkt sind, dann muss auch deren unendliche Vereinigung in dem 09:01.540 --> 09:02.320 System sein. 09:03.840 --> 09:07.600 Naja, nach Definition dieses Mengensystems bedeutet das für jedes n 09:07.600 --> 09:13.060 gilt µ1 von b geschnitten an gleich µ2 von b geschnitten an. 09:14.160 --> 09:19.140 Wenn wir hier auf beiden Seiten über n summieren und die Sigma 09:19.140 --> 09:24.980 -Additivität von µ1 und µ2 sowie das Distributivgesetz anwenden, 09:25.740 --> 09:32.740 ergibt sich µ1 von b geschnitten Vereinigung der an in Klammern gleich 09:32.740 --> 09:39.220 µ2 von b geschnitten Vereinigung der an in Klammern und damit erkennen 09:39.220 --> 09:44.280 wir, dass auch die Vereinigung der an in dem System ist und damit ist 09:44.280 --> 09:47.060 dieses Mengensystem db ein Dünkelsystem. 09:48.380 --> 09:54.800 Nach Voraussetzung gilt, das Mengensystem m ist in dem Sinne gut, es 09:54.800 --> 09:56.540 ist ganz enthalten in db. 09:58.360 --> 10:05.700 Denn wenn ich dort eine Menge a einsetze in das Mengensystem db, die 10:05.700 --> 10:13.040 zu m gehört, dann steht da µ1 von b geschnitten a, aber b geschnitten 10:13.040 --> 10:18.900 a ist auf dem Mengensystem m und deshalb ist es gleich µ2 von b 10:18.900 --> 10:19.800 geschnitten a. 10:20.720 --> 10:25.060 Wegen der Durchschnittstabilität von m ist der Schnitt b geschnitten a 10:25.060 --> 10:29.980 in m und aus dem Grunde sieht man, dass jede Menge aus m in dem Sinne 10:29.980 --> 10:32.640 gut ist, dass sie Element von db ist. 10:33.980 --> 10:38.580 db ist aber als Dünkelsystem nachgewiesen, wenn es das Mengensystem m 10:38.580 --> 10:44.460 enthält, muss es auch das von m erzeugte Dünkelsystem enthalten, das 10:44.460 --> 10:45.520 ist Delta von m. 10:47.360 --> 10:51.580 Wer noch nicht so firm ist in Dünkelsystemen, dem empfehle ich mein 10:51.580 --> 10:53.520 Video über Dünkelsysteme. 10:54.680 --> 10:59.700 Aus der Durchschnittstabilität von m können wir aber folgern, dass das 10:59.700 --> 11:04.060 erzeugte Dünkelsystem Delta von m gleich der erzeugten Sigma-Algebra 11:04.060 --> 11:05.560 von m ist, Sigma von m. 11:07.340 --> 11:13.000 Und in der Zeile drüber steht ja gerade Delta von m ist Teilsystem von 11:13.000 --> 11:17.600 db, also können wir folgern, unsere Sigma-Algebra a, die ist ja Sigma 11:17.600 --> 11:20.790 von m, ist ein Teilsystem von db. 11:23.820 --> 11:28.840 Die Menge b war beliebig aus m nur mit der Eigenschaft, dass µ1 von b 11:28.840 --> 11:29.920 endlich ist. 11:30.980 --> 11:36.680 Diese Eigenschaft gilt für jedes bn, das bedeutet, wir haben diese 11:36.680 --> 11:43.920 Inklusion, die Sigma-Algebra a ist enthalten in d Index bn für jedes 11:43.920 --> 11:44.180 n. 11:46.300 --> 11:50.260 Jetzt nutzen wir die Stetigkeit von unten des Maßes aus. 11:51.080 --> 11:57.020 Wenn die Folge bn von unten gegen Omega aufsteigt, steigt die Folge a 11:57.020 --> 12:01.360 geschnitten bn von unten gegen a auf und zwar gilt das für jedes a in 12:01.360 --> 12:02.180 der Sigma-Algebra. 12:03.420 --> 12:10.480 Und die Stetigkeit von unten des Maßes µ1 liefert µ1 von a, ist der 12:10.480 --> 12:17.280 Limes für n gegen und endlich von µ1 von a geschnitten bn, aber µ1 von 12:17.280 --> 12:21.260 a geschnitten bn ist gleich µ2 von a geschnitten bn. 12:22.280 --> 12:26.700 Also ist das gleich dem Limes für n gegen und endlich von µ2 von a 12:26.700 --> 12:33.000 geschnitten bn, aber da µ2 auch stetig von unten ist, ist das µ2 von 12:33.000 --> 12:33.240 a. 12:34.040 --> 12:39.920 Wir haben also gezeigt, für beliebiges a in der Sigma-Algebra gilt µ1 12:39.920 --> 12:44.360 von a gleich µ2 von a und das war der ganze Beweis des 12:44.360 --> 12:46.520 Eindeutigkeitssatzes für Maße.