In diesem Video geht es um das Lemma von Fatou.
Dieses Lemma ist das entscheidende Hilfsmittel zum Beweis des Satzes
von der dominierten oder majorisierten Konvergenz von Henri Lebesgue,
zu dem es ein eigenes Video gibt.
Für dieses Video sollte bekannt sein, was ein Maßraum ist, was
messbare Funktionen sind und es sollte der Aufbau des Maßintegrals
bekannt sein.
Der Satz geht auf Pierre Fatou zurück, aus dem Jahr 1906, aus dem
gleichen Jahr, in dem Beppo Levi den Satz von der monotonen Konvergenz
bewiesen hat.
Für das Lemma benötigen wir einen Maßraum, Omega aµ, und wir haben
eine Funktionenfolge, Funktion fn.
Man sieht, es sind auf Omega definiert, nicht negativ, dürfen auch den
Wert unendlich annehmen.
Es sind nicht negative messbare Funktionen.
Ansonsten wird keinerlei Voraussetzung über die Funktion gemacht.
Beim Satz von der monotonen Konvergenz hatten wir eine Isotonefolge,
das haben wir hier nicht.
Es gilt dann folgendes, das Integral über den Limes-Inferior dieser
Folge fn bezüglich µ, dieser Limes-Inferior ist als messbare Funktion
wohl definiert, dieses Integral ist höchstens gleich dem Limes
-Inferior der Integrale der fn dµ.
Man sollte beachten, dass hier auf beiden Seiten dieser Ungleichung
auch unendlich stehen kann.
Interessant wird es natürlich dann, wenn die rechte Seite einen
endlichen Wert liefert.
Der Beweis ist recht einfach.
Wir definieren eine Funktion gn als das Infimum der fk über alle k
größer gleich n.
Das machen wir für jedes n größer gleich 1.
Wenn wir von n zu n±1 übergehen, sehen wir, bei gn±1 wird das Infimum
gebildet nur über alle k größer gleich n±1 und insofern haben wir
Isotonie dieser Folge gn.
Es gilt gn kleiner gleich gn±1 für jedes n größer gleich 1.
Und nach Definition des Limes-Inferior ist der Limes-Inferior der fn
für n gegen unendlich der Limes von gn.
Jetzt müssen wir nur noch den Satz von der monotonen Konvergenz
anwenden, zu dem gibt es ein eigenes Video, und die Ungleichung gn
kleiner gleich fn ausnutzen, denn man sieht, gn ist das Infimum über
alle fk k größer gleich n.
Da steckt fn mit drin, also insofern ist gn kleiner gleich fn.
Und hieraus folgt das Integral des Limes-Inferior der fn dµ.
Dieser Limes-Inferior ist der Limes der gn, da steht also Integral
Limes der gn.
Und auf die gn können wir den Satz von der monotonen Konvergenz
anwenden.
Wir können den Limes nach vorne ziehen.
Das ist also der Limes der Integrale der gn bzgl.
µ.
Und da gn kleiner gleich fn ist, ist da auch das Integral gn dµ
kleiner gleich dem Integral fn dµ.
Wir wissen natürlich nicht, ob die Integrale der fn dµ konvergieren,
aber das ist auf jeden Fall kleiner oder gleich dem Limes-Inferior
dieser Integrale der fn bzgl.
µ.
Und das war zu zeigen.
Manchmal hat man vielleicht Schwierigkeiten, sich die Richtung der
Ungleichung zu merken.
Das folgende Beispiel zeigt aber, dass das recht einfach ist.
Wir betrachten mal den Maßraum omegaµ.
Zwar wie folgt, die reellen Zahlen mit den Borellmengen und dem
Borelli -Beck-Maß.
Und für jedes n größer gleich 1 sei fn die Indikatorfunktion des
Intervalls von n-1 bis n.
Da dieses Intervall die Länge 1 besitzt, ist das Integral von fn bzgl.
des Borelli-Beck-Maßes gleich 1, und zwar für jedes n.
Sehen wir uns hier an, wie die Funktionen aussehen, Schaubilder.
Die Funktion f1 sieht so aus.
Sie ist 1 auf dem Einheitsintervall, ansonsten 0, und was passiert,
wenn wir n erhöhen?
Der Bereich, auf dem die Funktion den Wert 1 annimmt, wandert
anschaulich nach rechts über alle Grenzen.
Die Funktionenfolge konvergiert gegen die Nullfunktion.
Das bedeutet, der Limes-Inferior der fn ist zugleich der Limes der fn,
es ist die Nullfunktion.
Und das Integral über die Nullfunktion ist 0, wir erhalten also 0
gleich Integral Limes-Inferior der fn bzgl.
des Borelli-Beck-Maßes.
Das ist unbestritten kleiner als 1, und 1, haben wir gesehen, sind die
Integrale der fn.
Das heißt, die sind konstant 1, also ist der Limes-Inferior davon auch
1.
Man sieht, man hat ein Beispiel, für das die Ungleichung strikt ist,
und man kann sich anhand dieses Beispiels leicht die Richtung der
Ungleichung merken.