Dieses Video ist das zweite über Konfidenzbereiche für den Parameter p
der Binomialverteilung.
Ich möchte kurz wiederholen, was wir im ersten Video gemacht haben.
Wir haben auch modelliert der Grundraum, den wir hier haben, für eine
Bernoulli -Kette der Länge n.
Ich nenne den Grundraum Omega.
Das ist die Menge aller Klein-Omega und diese Klein-Omega sind n-Tupel
mit Komponenten a1 bis an und jedes aj ist entweder 0 oder 1.
Wir können uns das so vorstellen, dass aj gleich 1 ist, wenn der j
-Versuch einen Treffer ergibt, ansonsten ist aj gleich 0 gesetzt.
Das heißt bei einer Niete oder einem Misserfolg.
Die Wahrscheinlichkeit für solch einen Tupel Omega, wenn p die wahre
Erfolgswahrscheinlichkeit ist, hängt nur ab von der Anzahl der Einsen
in diesem Tupel.
Jede 1 tritt mit der Wahrscheinlichkeit p auf und jede 0 mit der
Wahrscheinlichkeit 1-p.
Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit für dieses Tupel setzen wir an
als p hoch k mal 1-p in Klammern hoch n-k, falls die Anzahl der Einsen
im Tupel gleich k ist.
Und das machen wir für jedes k von 0 bis n.
Die Zufallsvariable, die jetzt diese Binomialverteilung hat, ich nenne
sie sn, ordnet jedem dieser n-Tupel die Anzahl der Einsen zu.
Das heißt, es ist eine Abbildung, die auf dem Grundraum Omega
definiert ist und hineingeht in eine Menge, die wir mit calligrafisch
x bezeichnet haben.
Das ist nichts anderes als die Menge der möglichen Trefferanzahlen,
das heißt der Zahlen von 0 bis n.
Und sn ordnet diesem Tupel mit den Komponenten a1 bis an zu die Anzahl
der Einsen.
Das passiert für jedes dieser Tupel in Omega.
Die Wahrscheinlichkeit, wenn p die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit
ist, dass sn den Wert k annimmt, dass sich also genau k Treffer
ergeben, ist nach der Formel von Bernoulli n über k mal p hoch k mal 1
-p hoch n-k und das auch für jedes k von 0 bis n.
Man beachte, ich habe das p als Index an die Wahrscheinlichkeit
geschrieben in Rot.
p ist unbekannt.
Das ist die Situation, die wir hier haben.
Wir haben in diesem ersten Video einen Vertrauensbereich oder
Konfidenzbereich definiert.
Ich wiederhole auch das kurz.
Eine Abbildung, die haben wir mit einem calligrafischen c bezeichnet,
die den Trefferanzahlen, das sind unsere Elemente in diesem
sogenannten Stichprobenraum calligrafisch x, zuordnet Teilmengen des
Einheitsintervalls.
Was hier steht, ist die Potenzmenge, die Menge der Teilmengen des
Einheitsintervalls und diese Abbildung heißt Vertrauensbereich oder
auch Konfidenzbereich, was synonym ist, für den Parameter p zur
Vertrauenswahrscheinlichkeit oder Konfidenzwahrscheinlichkeit 1-α und
hier ist α eine Zahl, größer 0 und kleiner 1, eine kleine Zahl.
Im Allgemeinen ist α gleich 0,05, falls gilt, die Wahrscheinlichkeit,
wenn p die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit ist, von der Menge aller
Datentupel aus Treffern und Nieten mit der Eigenschaft, dass diese
Abbildung c angewandt auf die Anzahl der Einsen im Tupel den Parameter
p die Erfolgswahrscheinlichkeit enthält, diese Wahrscheinlichkeit ist
mindestens 1-α und zwar ganz egal, welches p die wahre
Erfolgswahrscheinlichkeit ist, das heißt für jedes p im
Einheitsintervall.
Wir haben das auch kurz so geschrieben.
Die Wahrscheinlichkeit, wenn p die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit
ist, dass dieser zufällige Bereich c von Sn, man sieht Sn ist eine
Zufallsvariable, damit ist auch c von Sn eine zufällige Teilmenge des
Einheitsintervalls, dass diese Menge das p enthält, ist mindestens 1-α
für jedes p im Einheitsintervall.
Das also kurz als Wiederholung.
Ich nehme das nochmal auf als Memo auf die nächste Folie.
Die Menge x, skaligrafisch x, ist die Menge der möglichen
Trefferanzahlen.
Der Grundraum Omega ist die Menge der N-Tupel aus Nullen und Einsen.
Ich schreibe das kurz so.
Die Zufallsvariable Sn ordnet jedem dieser N-Tupel zu die Anzahl der
Treffer und diese Zufallsvariable ist binomial verteilt mit Parametern
n und p.
c als Konfidenzbereich ist eine Abbildung, die jeder Trefferanzahl im
Stichprobenraum zuordnet eine Teilmenge des Einheitsintervalls.
Also der Definitionsbereich ist dieses skaligrafische x und der
Wertebereich ist die Menge der Teilmengen des Einheitsintervalls, die
Potenzmenge des Einheitsintervalls.
Die Wahrscheinlichkeit, wenn p der wahre Parameter ist, die wahre
Erfolgswahrscheinlichkeit von der Menge aller derjenigen N-Tupel aus
Nullen und Einsen, derart, dass c angewandt auf die Anzahl der Treffer
in dem N-Tupel, für den Parameter p enthält, ist mindestens 1-α für
jedes p im Einheitsintervall.
So, was ich jetzt vorstellen möchte, ist ein allgemeines
Konstruktionsprinzip für einen Konfidenzbereich.
Und dieses Prinzip ist folgendes.
Wähle zu jedem p, zu jeder möglichen Erfolgswahrscheinlichkeit, eine
Menge, ich nenne sie a von p, als Teilmenge der Menge aller möglichen
Trefferanzahlen, mit folgender Eigenschaft.
Die Wahrscheinlichkeit, wenn p der wahre Parameter ist, dass die
Zufallsvariable Sn, diese binomialverteilte Zufallsvariable, in diese
Menge fällt, diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 1-α sein.
Ich suche also zu jedem p eine hochwahrscheinliche Menge.
Ich könnte hier immer setzen a von p gleich x.
Die Wahrscheinlichkeit ist natürlich 1, dass die Anzahl der Treffer
einen Wert annimmt im Bereich von 0 bis n, aber wir werden sehen, dass
das wenig Sinn macht.
Also nochmal, wir suchen zu jedem p eine hochwahrscheinliche Menge, a
von p.
Wie immer die aussieht.
Jetzt machen wir folgendes, jetzt kommt der entscheidende Trick.
Ich setze jetzt an, als c von k, k ist ein Wert im Bereich von 0, 1, 2
usw.
bis n, die Menge derjenigen p im Einheitsintervall mit der
Eigenschaft, dass k Element von a von p ist.
Das kann ich machen für jedes k.
Ich habe jetzt eine Zuordnungsvorschrift, eine Abbildung definiert,
die jedem k eine Teilmenge des Einheitsintervalls zuordnet.
Und jetzt gilt, und das ist das Entscheidende, nehmen wir mal an, k
ist in dieser Menge a von p.
Man sieht aber, c von k, das sind ja gerade diejenigen p, derart, dass
k in der Menge a von p ist.
Es bedeutet, hieraus können wir schließen, p ist Element von c von k.
Ich kann das auch andersherum lesen, die Menge c von k enthält das p.
Umgekehrt, wenn p Element c von k ist, nach Definition von c von k,
dann ist k Element a von p.
Das heißt, wir haben eine Genau-Dann-Wenn-Beziehung.
Es gilt, k ist Element der Menge a von p, dann und nur dann, wenn die
Menge c von k das p enthält.
Und zwar ganz egal, wie das k ist im Stichprobenraum x und ganz egal,
wie das p ist im Einheitsintervall.
Da diese Genau-Dann-Wenn-Beziehung für jedes k gilt, nimmt die
Zufallsvariable s n ein Wert in a von p an, dann und nur dann, wenn
der zufällige Bereich c von s n das p enthält.
Die Wahrscheinlichkeit, dass s n in die Menge a von p fällt, ist aber
nach Stern mindestens 1 minus Alpha.
Wir können also aus Stern schließen, die Wahrscheinlichkeit, wenn p
der wahre Parameter ist, die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit, von der
Menge aller Omega, aller Daten N-Tupeln aus Nullen und Einsen, mit der
Eigenschaft, dass c von s n von Omega das p enthält, ist mindestens 1
minus Alpha für jedes p im Einheitsintervall.
Das heißt, nach Definition, man sieht das im zweiten Memo rechts, c
ist ein Konfidenzbereich für p zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 minus
Alpha.
Ich hatte am Anfang gesagt, ich könnte die Menge a von p natürlich
immer gleich dem x setzen, dem kaligrafischen x.
Dann ist die Ungleichung Stern erfüllt, denn die Wahrscheinlichkeit,
dass s n irgendeinen Wert annimmt zwischen 0 und n, ist 1 und damit
größer gleich 1 minus Alpha.
Nach Definition von c von k ist aber c von k die Menge aller p mit k
Element a von p.
Wenn a von p gleich der Menge aller möglichen Trefferanzahlen ist, ist
diese Bedingung für jedes p erfüllt.
c von k wäre dann für jedes k gleich dem gesamten Einheitsintervall,
was wenig sinnvoll wäre.
Das Ziel muss also sein, a von p unter der Nebenbedingung Stern
anschaulich so klein wie möglich zu wählen, damit auch c von k klein
wird.
Es ist plausibel, die Menge a von p wie folgt anzusetzen, dass es die
Menge aller derjenigen Trefferanzahlen ist, das sind die ks, mit der
Eigenschaft, dass dieses k zwischen zwei Grenzen liegt, die von p
abhängen.
Ich nenne die untere Grenze mal u von p und die obere Grenze o von p.
Wobei, und jetzt wird es konkret, für dieses gegebene Alpha, was
größer 0 und kleiner 1 ist, das u von p setzen wir so an, als die
größte Trefferanzahl, ich nenne sie mal hier l, mit der Eigenschaft,
jetzt kommt eine Summe, Summe j von 0 bis l minus 1 und jetzt kommt
die Binomialwahrscheinlichkeit n über j mal p hoch j mal 1 minus p
hoch n minus j.
Ich kann die Summe so interpretieren, es ist die Wahrscheinlichkeit,
wenn p die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit ist, dass ich höchstens l
minus 1 Treffer erziele und diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner oder
gleich Alpha halbe sein.
Man erkennt, es ist unter Umständen möglich, dass das l hier sogar den
Wert 0 annimmt.
Denn man stelle sich vor, dass p ist 0.
Wenn das p aber 0 ist, die Erfolgswahrscheinlichkeit, dann erziele ich
mit Wahrscheinlichkeit 1 keinen Treffer.
Das heißt, ich kann jetzt für l 0 einsetzen, denn die Summe j von 0
bis 0 minus 1, also bis minus 1 von irgendwas, die ist 0.
Und 0 ist kleiner gleich Alpha halbe, aber l gleich 1 wäre schon zu
groß.
Denn dann ergebe sich ein Summand mit j gleich 0 und der wäre gleich
1.
Und 1 ist nicht kleiner oder gleich Alpha halbe.
Es gilt also, u von 0 ist gleich 0.
Machen wir uns das mal klar an einem Bild, was hier passiert.
Man sieht eine horizontale und eine vertikale Achse.
Man sieht, es ist hier das j aufgetragen, die möglichen
Trefferanzahlen, die laufen von 0 bis n.
Und nach oben ist die Wahrscheinlichkeit aufgetragen, wenn p die wahre
Erfolgswahrscheinlichkeit ist.
Ich mache das hier für ein bestimmtes p, das dann Sn gleich j ist.
Bei der Konstruktion von u von p machen wir folgendes.
Wir bauen das Stabdiagramm der Binomialverteilung von links kommend
auf und zwar so lange, bis die Summe der Stäbchenlängen, also die bis
dahin aufgelaufene Wahrscheinlichkeitsmasse, noch kleiner gleich Alpha
halbe ist.
Das sei hier der Fall.
Wenn man aber jetzt den nächsten Wert noch mit dazu nehmen würde, wäre
die aufgelaufene Wahrscheinlichkeitsmasse, also die Summe der
Stäbchenlängen, größer als Alpha halbe.
Nach Definition von u von p als größter Zahl L mit der Eigenschaft,
dass die bis L minus 1 aufgelaufene Wahrscheinlichkeitsmasse kleiner
oder gleich Alpha halbe ist, finden wir hier den Wert u von p.
Das u von p ist ganz analog definiert als das kleinste L, die kleinste
mögliche Trefferanzahl, mit der Eigenschaft, jetzt sieht man eine
Summe von L plus 1 bis n und jetzt die gleiche
Binomialwahrscheinlichkeit wie oben.
Ich kann die Summe interpretieren als die Wahrscheinlichkeit, wenn p
die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit ist, mindestens L plus 1 Treffer
zu haben.
Auch diese Wahrscheinlichkeit soll kleiner gleich Alpha halbe sein.
Und auch das können wir uns grafisch klar machen.
Jetzt muss man von rechts kommend Wahrscheinlichkeiten aufbauen.
Man sieht also hier das Stabdiagramm von rechts und die Summe dieser
Stäbchenlängen sei kleiner gleich Alpha halbe.
Wenn ich aber noch einen weiteren Wert hinzunehmen würde, diesen, dann
wäre die Summe der Stäbchenlängen größer als Alpha halbe, die
Wahrscheinlichkeitsmasse.
Und hier ergibt sich dann ganz entsprechend der Wert O von p.
Ich zeige jetzt das komplette Stabdiagramm.
Und was ich jetzt mache, ich färbe gewisse Stäbchen gelb.
Man erkennt folgendes, da die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die
gegeben ist durch diese blauen Stäbchen, insgesamt kleiner gleich
Alpha ist, ist die Summe der gelben Stäbchenlängen größer gleich 1
minus Alpha.
Und das ist aber genau die Wahrscheinlichkeit, dass die binomial
verteilte Zufallsvariable, wenn p die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit
ist, in den Bereich von U von p bis O von p fällt.
Also folgendes sollten wir beachten, zunächst mal gilt nach
Konstruktion, U von p ist immer kleiner oder gleich O von p und die
unter der Annahme, p sei die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit,
berechnete Wahrscheinlichkeit, dass Sn einen Wert in der Menge A von p
annimmt, ist mindestens 1 minus Alpha.
Wir haben also in der Tat für jedes p eine hochwahrscheinliche Menge A
von p konstruiert.
Ich möchte das Vorgehen jetzt noch einmal veranschaulichen.
Man sieht zwei Halbachsen.
Auf der Horizontalen wird jetzt p aufgetragen und auf der Vertikalen
sieht man die Werte von 0 bis n.
In diesem Bild ist n recht klein, gleich 5.
Wir werden aber noch ein Bild mit einem deutlich größeren n sehen.
Ich zeige jetzt, wie die Funktion U von p aussieht.
Die Funktion U von p ist konstant 0.
Man sieht bis zu diesem Wert von p, aber an der Stelle springt der
Funktionswert schon, d.h.
der Funktionswert an dieser Stelle ist dieser Wert hier oben, also 1.
Und dann ist die Funktion wieder konstant und an dieser Stelle springt
sie wieder und erreicht dann den Wert 2 und so geht es weiter.
Das heißt, das ist die Gestalt der Funktion U von p.
Bei der Funktion O von p sieht es so aus.
Sie ist in einem kleinen Intervall, beginnt bei 0, man sieht das hier,
identisch mit U von p.
Dann springt sie auf die Höhe 1, wobei der Funktionswert an der
Sprungstelle der Wert 0 ist, d.h.
der untere Wert im Sprungintervall.
Sie bleibt in diesem Intervall konstant und springt dann auf die Höhe
2 und so weiter, d.h.
hier baut sich der Graph der Funktion U von p auf.
Der ausgefüllte Kreis zeigt also immer an, welcher Funktionswert an
den jeweiligen Sprungstellen angenommen wird.
Nochmal als Memo.
Das ist jetzt für jedes p die hochwahrscheinliche Menge, zu jedem p
die Menge aller k in unserem Stichprobenraum X mit der Eigenschaft,
dass k zwischen U von p und O von p liegt.
D.h.
konkret für diesen Wert von p wären U von p gleich 0 und O von p
gleich 3 und die Menge würde bestehen aus den Zahlen 0, 1, 2 und 3.
Das Konstruktionsprinzip für einen Konfidenzbereich besagt nun, zu
gegebenem k, ich zeichne mal hier ein k ein auf der Ordinate, eine
Menge c von k im Einheitsintervall zu finden, dass die Beziehung k
Element a von p dazu äquivalent ist, dass die Menge c von k das p
enthält.
Wir suchen also zu diesem k alle p im Einheitsintervall mit der
Eigenschaft, dass k zur Menge a von p gehört.
Wenn man hier genau hinschaut, dann sieht man, ich zeichne mal hier
zwei Linien ein, dass alle p, die größer sind als dieser Wert hier,
ich nenne ihn mal l von k, und kleiner sind als dieser Wert L von k,
die Eigenschaft haben, dass k in der Menge a von p liegt.
Für alle Werte von p, die kleiner oder gleich diesem kleinen l von k
sind, gilt das nicht und auch nicht für alle Werte von p, die größer
oder gleich dem Wert Groß l von k sind.
Dieser Wert Klein l von k ist das Infimum aller derjenigen p im
Einheitsintervall mit der Eigenschaft, dass die Funktion o an der
Stelle p gleich k ist und entsprechend das Groß l von k ist das
Supremum aller p mit der Eigenschaft, dass die Funktion u an der
Stelle p deren Wert k annimmt.
Und nach Konstruktion und dem, was wir uns gerade überlegt haben,
gilt, dass k in der Menge a von p ist, dann und nur dann, wenn das
Klein l von k kleiner ist als p, kleiner als Groß l von k.
Das ist hier der entscheidende Zusammenhang.
Man sieht also, dass wir die Beziehung k Element a von p aufgelöst
haben nach dem p.
Somit ist die Abbildung c auf dem Stichprobenraum x, die jedem k das
offene Intervall mit linkem Endpunkt Klein l von k und rechtem
Endpunkt Groß l von k zuordnet, ein Konfidenzbereich für p zur
Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 minus Alpha.
Diese Grenzen Klein l von k und Groß l von k hängen natürlich nicht
nur von k ab, sondern auch vom Stichprobenumfang n und von der
Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 minus Alpha.
Hier gibt es Computerprogramme, die diese Werte quasi auf Knopfdruck
liefern.
Ich möchte das, was wir gerade gemacht haben, noch einmal in einem
größeren Rahmen zeigen.
Man sieht hier also nochmal zwei Halbachsen.
Horizontal ist aufgetragen das p und vertikal die Werte von 0 bis n,
die möglichen Trefferanzahlen in unserem Stichprobenraum.
Wir müssen zu jedem p, ich trage mal hier ein p1 ein, eine
hochwahrscheinliche Menge finden.
Das seien diese durch Punkte angedeuteten Werte auf der vertikalen
Achse.
Man sieht hier den unteren Wert u von p1, den oberen Wert o von p1.
Das heißt, das ist die Menge a von p1, die hochwahrscheinliche Menge
zu p1.
Das müssen wir gedanklich zu jedem p machen.
Das heißt, ich trage diese Werte mal über p1 ein.
Wenn wir hier irgendeinen anderen Wert nehmen, sagen wir p2, dann
sieht das für p2 so aus.
Wenn wir das für jeden Wert von p machen und die Punkte orange färben,
erhalten wir dieses Bild.
Ich zeige hier nochmal einen Wert p3, ganz in der Nähe von p2.
Man erkennt zum Beispiel hier, das wäre der Wert u von p3, der ist
zugleich, wenn wir hier nach links gehen, o von p1.
Das heißt, die Graphen der Funktionen u von p und o von p sind in
diesem Bild nicht mehr durch unterschiedliche Farben gekennzeichnet.
Was man hier sieht, ist sozusagen die Vereinigungsmenge beider
Graphen.
Ich entferne mal alle die p's und die Punkte.
Was wir dann gemacht haben, ist folgendes.
Wir haben ein k genommen auf der vertikalen Achse, eine beobachtete
Trefferanzahl.
Und wir interessierten uns jetzt für die Menge aller p mit der
Eigenschaft, dass k zu dem unter p hochwahrscheinlichen Bereich a von
p gehört.
Diese p bilden ein Intervall mit linkem Endpunkt klein l von k und
rechtem Endpunkt groß l von k.
Und die Realisierung des Konfidenzbereichs calligrafisch c zu k ist
dieses mit c von k bezeichnete Intervall.
Man beachte hier den Unterschied in der Sprechweise.
Ein Konfidenzbereich ist ein Bereichsschätzverfahren.
Als Abbildung ordnet es jeder Trefferanzahl k im Stichprobenraum
calligrafisch x ein Intervall c von k als Teilmenge des
Einheitsintervalls zu.
Dieses c von k ist als Funktionswert der Abbildung c ein konkretes
Intervall.
Die Menge, die wir hier sehen, aller orangefarbigen Strecken, ist die
Menge aller Paare p, k.
Das p ist im Einheitsintervall, das k im Stichprobenraum mit der
Eigenschaft k Element a von p.
Und das ist gleichbedeutend damit, dass c von k den Wert p enthält.