WEBVTT 00:01.060 --> 00:04.840 In diesem Video geht es um sogenannte äußere Maße. 00:05.780 --> 00:09.560 Diese treten unter anderem bei einem der wichtigsten Sätze der 00:09.560 --> 00:15.660 Maßtheorie auf, dem Maßfortsetzungssatz oder Maßerweiterungssatz. 00:16.620 --> 00:19.740 Dieser Fortsetzungssatz ist auch für die Stochastik von großer 00:19.740 --> 00:24.280 Bedeutung, um die Existenz von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu 00:24.280 --> 00:24.880 garantieren. 00:25.880 --> 00:30.800 In diesem Video möchte ich zunächst eine kurze Motivation geben, dann 00:30.800 --> 00:36.840 das äußere Maß definieren und dann zeigen, auf welche Weise in einem 00:36.840 --> 00:40.400 Fortsetzungssatz ein äußeres Maß auftritt. 00:41.060 --> 00:42.980 Zunächst zur Motivation. 00:43.960 --> 00:49.500 Gegeben sei eine beliebige nicht leere Menge Omega und ein 00:49.500 --> 00:54.860 Mengensystem über Omega, das heißt ein System von Teilmengen von 00:54.860 --> 00:55.300 Omega. 00:55.980 --> 00:59.720 Wir fordern nur, dass die leere Menge in diesem System ist. 01:00.460 --> 01:06.000 Und weiter sei gegeben eine Funktion µ, die sei auf m definiert und 01:06.000 --> 01:10.180 nehme nicht negative reelle Zahlen als Werte an, darf aber auch den 01:10.180 --> 01:11.600 Wert unendlich annehmen. 01:12.380 --> 01:16.660 Und wir setzen voraus, dass µ von der leeren Menge gleich 0 ist. 01:16.660 --> 01:21.820 Wenn man sich mit dem Fortsetzungssatz beschäftigt, setzt man voraus, 01:22.040 --> 01:26.900 dass diese Mengenfunktion auch noch eine Eigenschaft hat, eine ganz 01:26.900 --> 01:30.040 wichtige für ein Maß, nämlich die Sigma-Additivität. 01:30.160 --> 01:34.500 Sie soll auf m Sigma-Additiv sein, das heißt, wenn ich paarweise 01:34.500 --> 01:39.300 disjunkte Mengen in m habe, abzählbar unendlich viele, deren 01:39.300 --> 01:44.380 Vereinigung auch in m liegt, dann ist µ von der Vereinigung dieser 01:44.380 --> 01:47.780 Mengen gleich Summe der µ der einzelnen Mengen. 01:48.480 --> 01:53.140 Die Frage, die sich dann stellt, ist, gibt es ein Maß, ich nenne es 01:53.140 --> 01:58.360 einmal µ-Schlange, auf der von m erzeugten Sigma-Algebra Sigma von m, 01:59.080 --> 02:01.660 das die Mengenfunktion µ fortsetzt. 02:03.020 --> 02:08.360 Das bedeutet, dass die Restriktion dann von µ-Schlange auf m mit dem µ 02:08.360 --> 02:09.380 übereinstimmt. 02:09.380 --> 02:17.860 Die Antwort ist, ja, das geht, es existiert, falls das m ein 02:17.860 --> 02:23.240 sogenannter Halbring ist, das m muss also gewisse Eigenschaften haben, 02:23.360 --> 02:25.700 auf die möchte ich aber hier nicht weiter eingehen. 02:26.420 --> 02:30.640 Das Entscheidende ist, die Fortsetzung geschieht über ein sogenanntes 02:30.640 --> 02:35.000 äußeres Maß in einem Zwischenschritt, in einem ersten Schritt. 02:35.680 --> 02:38.960 Ich definiere hier, was ein äußeres Maß ist. 02:40.580 --> 02:44.840 Eine Mengenfunktion, ich nenne sie µ-Stern, und jetzt kommt es, sie 02:44.840 --> 02:50.180 ist definiert auf der Potenzmenge von Omega, auf jeder Teilmenge von 02:50.180 --> 02:53.260 Omega, das ist hier das Besondere bei einem äußeren Maß. 02:54.200 --> 02:58.140 Sie nimmt auch nicht negative reelle Zahlen als Werte an und 02:58.140 --> 03:00.180 möglicherweise den Wert unendlich. 03:00.180 --> 03:05.220 Und man nennt solch eine Mengenfunktion ein äußeres Maß, falls gilt. 03:06.300 --> 03:07.980 Jetzt kommen drei Eigenschaften. 03:08.060 --> 03:11.700 Die erste Eigenschaft besagt, µ-Stern von der leeren Menge ist 0. 03:13.280 --> 03:16.420 Eine solche Eigenschaft fordert man auch von einem Maß. 03:17.060 --> 03:22.240 Die zweite Eigenschaft ist die, wenn eine Menge a in einer Menge b 03:22.240 --> 03:26.860 enthalten ist, dann soll folgen µ-Stern von a kleinergleich µ-Stern 03:26.860 --> 03:31.000 von b, diese Eigenschaft nennt man die Monotonie dieser 03:31.000 --> 03:31.980 Mengenfunktion. 03:33.700 --> 03:39.900 Und die dritte Eigenschaft c besagt, es gilt µ-Stern von einer 03:39.900 --> 03:44.900 Vereinigung von abzählbar unendlich vielen Mengen ist kleiner oder 03:44.900 --> 03:50.280 gleich Summe der µ-Stern der einzelnen Mengen, diese Eigenschaft nennt 03:50.280 --> 03:55.340 man Sigma-Subadditivität, das ist hier wichtig, Subadditivität. 03:56.140 --> 04:00.480 Ein äußeres Maß ist also eine auf allen Teilmengen von Omega 04:00.480 --> 04:05.840 definierte, nicht negative Mengenfunktion, die monoton und Sigma 04:05.840 --> 04:10.680 -Subadditiv ist und der leeren Menge den Wert 0 zuweist. 04:11.960 --> 04:14.900 Ich nehme das auf die nächste Folie auf als Memo. 04:15.820 --> 04:20.520 µ-Stern ist also definiert auf der Potenzmenge, µ-Stern von der leeren 04:20.520 --> 04:25.700 Menge ist 0 und µ-Stern ist monoton und Sigma-Subadditiv. 04:26.320 --> 04:30.580 Ich möchte Beispiele angeben, das heißt zwei Beispiele und ein 04:30.580 --> 04:31.520 Gegenbeispiel. 04:32.300 --> 04:37.460 Das erste Beispiel, wenn wir ein Maß haben, das auf der Potenzmenge 04:37.460 --> 04:42.280 von Omega definiert ist, dann ist das natürlich auch ein äußeres Maß, 04:42.920 --> 04:47.800 denn aus der Sigma-Additivität folgt die Monotonie und die Sigma 04:47.800 --> 04:49.040 -Subadditivität. 04:50.040 --> 04:50.780 b. 04:51.660 --> 04:56.280 Ich definiere auf einer beliebigen Menge Omega für eine Teilmenge A 04:56.280 --> 05:02.060 von Omega µ-Stern von A gleich 0, falls dieses A eine abzählbare 05:02.060 --> 05:08.320 Teilmenge von Omega ist und ich setze µ-Stern von A gleich 1 sonst, 05:08.740 --> 05:11.200 das heißt wenn die Teilmenge überabzählbar ist. 05:12.220 --> 05:16.740 Es wird behauptet, dass die Funktion µ-Stern ein äußeres Maß ist. 05:18.280 --> 05:24.360 Offenbar ist µ-Stern identisch 0, wenn Omega abzählbar ist und dann 05:24.360 --> 05:25.340 ist nichts zu zeigen. 05:26.000 --> 05:29.080 Wir können also annehmen, dass Omega überabzählbar ist. 05:29.880 --> 05:34.320 Da die leere Menge abzählbar ist, gilt µ-Stern von der leeren Menge 05:34.320 --> 05:34.920 gleich 0. 05:36.420 --> 05:43.340 Ist A Teilmenge von b, so gilt µ-Stern von A kleiner gleich µ-Stern 05:43.340 --> 05:48.240 von b, falls A abzählbar ist, denn dann ist µ-Stern von A gleich 0. 05:49.780 --> 05:54.800 Ist A überabzählbar, so gilt µ-Stern von A gleich 1, aber wegen A 05:54.800 --> 06:00.520 Teilmenge b ist auch b überabzählbar und damit µ-Stern von b gleich 1. 06:01.600 --> 06:04.260 Die Funktion µ-Stern ist also monoton. 06:05.680 --> 06:11.620 Um die Sigma-Subadditivität zu zeigen, seien A1, A2 und so weiter 06:11.620 --> 06:17.280 Teilmengen von Omega, sind alle Mengen abzählbar, so ist auch die 06:17.280 --> 06:21.760 Vereinigung abzählbar und µ-Stern von der Vereinigung gleich 0. 06:22.880 --> 06:29.480 Ist aber mindestens ein aj überabzählbar, so ist µ-Stern von aj gleich 06:29.480 --> 06:34.020 1, aber auch µ-Stern von der unendlichen Vereinigung der an. 06:35.080 --> 06:40.680 Die Funktion µ-Stern ist also Sigma-Subadditiv und damit ein äußeres 06:40.680 --> 06:41.100 Maß. 06:42.280 --> 06:45.320 Ein drittes Beispiel... 06:45.320 --> 06:49.940 Hier werde ich konkret Omega sei die Menge der reellen Zahlen und ich 06:49.940 --> 06:57.500 setze an µ-Stern von A als 0, falls die Teilmenge A beschränkt ist, 06:58.080 --> 07:01.000 ansonsten setze ich µ-Stern von A gleich 1. 07:02.140 --> 07:05.580 Ich behaupte µ-Stern ist kein äußeres Maß. 07:06.540 --> 07:11.560 Und zwar liegt das daran, dass µ-Stern nicht Sigma-Subadditiv ist. 07:12.420 --> 07:17.420 Folgendes sollte man beachten, µ-Stern von der Menge der rationalen 07:17.420 --> 07:21.580 Zahlen ist 1, denn die Menge der rationalen Zahlen ist unbeschränkt. 07:22.500 --> 07:28.200 Auf der anderen Seite ist aber µ-Stern von jeder ein-elementigen Menge 07:28.200 --> 07:32.160 gleich 0, insbesondere für jede rationale Zahl q. 07:33.480 --> 07:38.520 Die Menge q der rationalen Zahlen ist aber die abzählbare Vereinigung 07:38.520 --> 07:40.380 dieser ein-elementigen Mengen. 07:41.200 --> 07:45.960 Man erkennt die Summe der µ-Stern der ein-elementigen Mengen, da kommt 07:45.960 --> 07:50.500 0 raus, aber µ-Stern von der abzählbar unendlichen Vereinigung, das 07:50.500 --> 07:52.260 ist µ-Stern von q, ist 1. 07:52.980 --> 07:56.920 Wir sehen also, diese Funktion ist nicht Sigma-Subadditiv. 07:58.780 --> 08:04.680 Ich möchte jetzt auf Aspekte des Maß-Fortsetzung-Satzes eingehen, wie 08:04.680 --> 08:06.800 man hier zu einem äußeren Maß kommt. 08:08.140 --> 08:12.640 Das ist eine Teilmenge, eine beschränkte Teilmenge, der Ebene nennen 08:12.640 --> 08:13.640 wir die Menge A. 08:13.640 --> 08:18.520 Ich möchte die Fläche dieser Menge bestimmen, bin aber nur in der 08:18.520 --> 08:22.380 Lage, die Fläche achsenparalleler Rechtecke angeben zu können. 08:23.020 --> 08:27.480 Eine obere Schranke für die Fläche von A erhalte ich offenbar, wenn 08:27.480 --> 08:31.300 ich die Menge A mit endlich vielen achsenparallelen Rechtecken 08:31.300 --> 08:33.460 überdecke, also z.B. 08:33.640 --> 08:38.520 ein erstes Rechteck nehme, hier z.B., hier ein zweites, hier ein 08:38.520 --> 08:44.580 drittes usw., hier ein viertes, ein fünftes, ein sechstes und auch den 08:44.580 --> 08:45.420 Rest überdecke. 08:46.160 --> 08:51.180 Man erkennt, dass A jetzt Teilmenge ist der Vereinigung von endlich 08:51.180 --> 08:56.420 vielen Rechtecken und die Summe der Flächen dieser Rechtecke ist 08:56.420 --> 08:59.340 natürlich eine obere Schranke der Fläche von A. 09:00.720 --> 09:05.380 Der Kern dieses Vorgehens, auch in einer ganz allgemeinen Situation, 09:06.080 --> 09:10.640 ist der, dass ich eine komplizierte Menge habe, in einer Grundmenge 09:10.640 --> 09:16.340 Omega, ich habe aber ein System von einfachen Mengen und diese Mengen 09:16.340 --> 09:17.340 kann ich messen. 09:18.880 --> 09:23.860 Die Idee ist die, mit einer abzählbar unendlichen Vereinigung von 09:23.860 --> 09:28.660 einfachen Mengen diese komplizierte Menge zu überdecken und als obere 09:28.660 --> 09:33.600 Schranke für das Maß der komplizierten Menge die Summe der Maße der 09:33.600 --> 09:35.240 einfachen Mengen zu nehmen. 09:36.160 --> 09:41.320 Der Ansatz ist dann der, alle solchen Überdeckungssummen, nenne ich 09:41.320 --> 09:46.580 sie mal, zuzulassen und möglichst fein von außen zu approximieren. 09:47.540 --> 09:51.620 Dieser allgemeine schlagkräftige Ansatz führt zum Begriff des von 09:51.620 --> 09:54.860 einer Mengenfunktion induzierten äußeren Maßes. 09:56.260 --> 09:59.440 Jetzt kommt eine Definition und zugleich ein Satz. 10:00.200 --> 10:04.220 Der Ausgangspunkt ist hier ein Mengensystem, calligrafisch M, als 10:04.220 --> 10:06.820 Teilsystem der Potenzmenge einer Menge Omega. 10:08.160 --> 10:12.220 Wir setzen wieder voraus, dass die leere Menge in diesem System liegt 10:12.220 --> 10:17.320 und dass es eine Funktion µ gibt, die auf M definiert ist, in die 10:17.320 --> 10:21.780 nicht negativen reellen Zahlen geht, aber auch den Wert unendlich 10:21.780 --> 10:22.820 annehmen darf. 10:23.740 --> 10:27.180 Die nächste Eigenschaft ist µ von der leeren Menge ist 0. 10:28.760 --> 10:31.860 Und jetzt kommt der Aspekt dieser Überdeckung. 10:32.780 --> 10:37.280 Ich nehme eine beliebige Teilmenge A von Omega her und definiere 10:37.280 --> 10:40.660 etwas, das ist ein calligrafisches U von A. 10:41.320 --> 10:47.120 Das ist definiert als Menge aller Folgen, man sieht hier eine Folge 10:47.120 --> 10:48.260 von Mengen AN. 10:48.260 --> 10:51.520 Ich muss sagen, was diese Mengen AN sind. 10:52.040 --> 10:56.140 Alle Mengen AN liegen in diesem System calligrafisch M. 10:57.640 --> 11:02.300 Und jetzt kommt es, die Menge A wird durch die Vereinigung, durch die 11:02.300 --> 11:06.300 absehbar unendliche Vereinigung dieser Mengen AN überdeckt. 11:07.180 --> 11:12.340 Und jetzt behaupte ich, definiert, und bei dieser Definition sollte 11:12.340 --> 11:13.540 man Folgendes beachten. 11:14.500 --> 11:20.100 Es könnte sein, dass es zu einer Teilmenge A von Omega eine solche 11:20.100 --> 11:24.120 Folge, die das A überdeckt, überhaupt nicht gibt. 11:24.780 --> 11:29.120 Das bedeutet, die Menge dieser Folgen ist die leere Menge und die 11:29.120 --> 11:33.640 Definition des Infimums über die leere Menge ist plusunendlich. 11:34.980 --> 11:37.200 Das sollte man jetzt im Hinterkopf behalten. 11:37.200 --> 11:42.400 Ich definiere nämlich jetzt µ-Stern von dieser Teilmenge A als das 11:42.400 --> 11:49.280 Infimum aller Summen, n von 1 bis unendlich der µ von AN, mit der 11:49.280 --> 11:54.320 Eigenschaft, dass die Folge AN eine Überdeckungsfolge für die Menge A 11:54.320 --> 11:55.100 bildet. 11:56.320 --> 11:59.700 Ich nenne eine solche Summe eine Überdeckungssumme. 12:00.640 --> 12:05.360 Man versucht also hier bestmöglich zu überdecken, es ist ein Infimum 12:05.360 --> 12:07.840 über alle solchen Überdeckungssummen. 12:09.340 --> 12:15.160 Es wird behauptet, dass diese Funktion µ-Stern ein äußeres Maß ist und 12:15.160 --> 12:19.720 man nennt sie das von µ induzierte äußere Maß. 12:21.200 --> 12:25.320 Bevor wir uns dem Beweis des Satzes zuwenden, sollte man sich klar 12:25.320 --> 12:29.820 machen, dass die Antwort auf die Frage, ob eine durchobige 12:29.820 --> 12:34.680 Approximation von außen gewonnenes äußeres Maß überhaupt interessant 12:34.680 --> 12:39.780 ist, entscheidend von der Reichhaltigkeit des Mängelsystems M abhängt. 12:41.020 --> 12:45.960 Besteht M zum Beispiel nur aus der leeren Menge, so gibt es für jede 12:45.960 --> 12:51.100 Teilmenge A von Omega, die von der leeren Menge verschieden ist, gar 12:51.100 --> 12:54.340 keine Überdeckungsfolge von A durch Mengen aus M. 12:55.600 --> 12:58.520 Und es wäre dann µ-Stern von A gleich unendlich. 12:59.840 --> 13:02.000 Doch nun zum Beweis des Satzes. 13:02.720 --> 13:06.700 Zunächst überlegen wir uns, dass µ-Stern von der leeren Menge gleich 13:06.700 --> 13:07.260 Null ist. 13:07.260 --> 13:09.260 Warum ist das der Fall? 13:10.300 --> 13:15.300 Nun, da das System M die leere Menge enthält, gibt es eine 13:15.300 --> 13:21.820 Überdeckungsfolge An der leeren Menge, deren Folgenglieder An sämtlich 13:21.820 --> 13:23.420 aus der leeren Menge bestehen. 13:24.940 --> 13:30.620 Dann gilt µ von An gleich Null für jedes N und das Infimum in der 13:30.620 --> 13:35.440 Definition von µ-Stern von der leeren Menge ist gleich Null, denn 13:35.440 --> 13:37.100 negativ kann es nicht sein. 13:39.500 --> 13:43.500 Die zweite Eigenschaft, die wir bei einem äußeren Maß nachweisen 13:43.500 --> 13:45.200 müssen, ist die Monotonie. 13:46.980 --> 13:51.420 Seien hierzu A und B Teilmengen von Omega mit der Eigenschaft, dass A 13:51.420 --> 13:53.060 Teilmenge von B ist. 13:54.060 --> 13:59.920 Diese Teilmengenbeziehung bedeutet aber, dass jede Überdeckungsfolge 13:59.920 --> 14:05.640 von B durch Mengen aus M auch eine Überdeckungsfolge von A ist. 14:06.860 --> 14:13.420 Es gilt also die Inklusion, u von B ist Teilmenge von u von A. 14:14.900 --> 14:19.440 Da in der Definition von µ-Stern das Infimum über alle 14:19.440 --> 14:25.340 Überdeckungssummen gebildet wird und u von A eine Obermenge von u von 14:25.340 --> 14:32.680 B ist, folgt µ-Stern von A kleinergleich µ-Stern von B und damit die 14:32.680 --> 14:34.260 Monotonie von µ-Stern. 14:37.190 --> 14:41.090 Die letzte Eigenschaft ist die Sigma-Subadditivität. 14:42.650 --> 14:48.050 Hierzu seien A1, A2 und so weiter abzählbar unendlich viele Teilmengen 14:48.050 --> 14:48.650 von Omega. 14:49.550 --> 14:55.630 Und, das ist oft ein kleiner Trick, Epsilon eine beliebige positive 14:55.630 --> 14:56.150 Zahl. 14:56.610 --> 15:00.490 Wir werden nachher sehen, da Epsilon beliebig war, können wir Epsilon 15:00.490 --> 15:03.990 gegen 0 gehen lassen und erhalten dann die gewünschte Ungleichung. 15:04.790 --> 15:11.090 Zu jedem n größer gleich 1 gibt es nun Mengen b, n, k, jetzt sieht man 15:11.090 --> 15:15.850 eine Doppelindizierung, die alle in m liegen, für jedes k größer 15:15.850 --> 15:21.610 gleich 1, mit der Eigenschaft, dass das an überdeckt wird von der 15:21.610 --> 15:25.650 Vereinigung dieser b, n, k, k von 1 bis unendlich. 15:26.370 --> 15:29.050 Und jetzt kommt die Definition des Infimums. 15:31.470 --> 15:34.950 Epsilon dividiert durch 2 hoch n ist eine positive Zahl. 15:35.970 --> 15:43.150 Wir können die Folge b, n, k so wählen, dass die Summe der µ der b, n, 15:43.230 --> 15:49.850 k kleiner oder gleich µ-Stern von a, n plus Epsilon durch 2 hoch n 15:49.850 --> 15:50.190 ist. 15:50.730 --> 15:54.990 Denn µ-Stern von a, n ist das Infimum über alle möglichen 15:54.990 --> 15:55.990 Überdeckungssummen. 15:57.330 --> 15:59.150 Wir sind jetzt fast fertig. 15:59.930 --> 16:04.710 Für den Nachweis der Sigma-Subadditivität müssen wir die Vereinigung 16:04.710 --> 16:06.350 aller a, n betrachten. 16:08.150 --> 16:13.750 Da ein einzelnes a, n in der Vereinigung der b, n, k enthalten ist, 16:14.010 --> 16:18.990 das sieht man eine Zeile drüber, ist die Vereinigung aller a, n 16:18.990 --> 16:24.870 enthalten in der Vereinigung der b, n, k über alle n und alle k. 16:24.870 --> 16:30.490 Wir haben also eine mit n und k doppelt indizierte Überdeckungsfolge 16:30.490 --> 16:33.870 der Vereinigung der a, n mit Mengen aus m. 16:35.010 --> 16:41.590 Nach Definition von µ-Stern als Infimum aller Überdeckungssummen gilt 16:41.590 --> 16:48.410 µ -Stern von der Vereinigung aller a, n ist kleiner oder gleich der 16:48.410 --> 16:52.890 Summe über alle n und alle k der µ von b, n, k. 16:54.430 --> 17:00.350 Was wir jetzt machen, wir schätzen diese zweite Summe über alle k nach 17:00.350 --> 17:01.030 oben ab. 17:01.250 --> 17:06.030 Zwei Zeilen drüber sieht man, dass diese Summe beschränkt ist nach 17:06.030 --> 17:10.350 oben durch µ-Stern von a, n plus epsilon durch 2 hoch n. 17:11.010 --> 17:12.830 Hinterher müssen wir noch über n summieren. 17:12.930 --> 17:17.710 Auf jeden Fall ist das kleiner oder gleich der Summe über alle n von 1 17:17.710 --> 17:22.810 bis unendlich der µ-Stern von a, n und die Summe der epsilon durch 2 17:22.810 --> 17:25.830 hoch n über alle n ist epsilon. 17:28.110 --> 17:33.450 Da epsilon beliebig ist, gilt diese Ungleichungskette auch für epsilon 17:33.450 --> 17:40.070 gleich 0 und das ist die noch zu zeigende Sigma-Subadditivität von µ-Stern.