WEBVTT 00:00.620 --> 00:04.860 Dieses Video trägt die Überschrift Die Verteilung der Anzahl freier 00:04.860 --> 00:06.720 Fächer im Fächermodell. 00:08.620 --> 00:12.560 Diesem Modell liegt eine begriffliche Vorstellung zugrunde. 00:13.940 --> 00:18.520 Und zwar stellt man sich vor, dass der Reihe nach in unabhängiger 00:18.520 --> 00:25.400 Folge Teilchen, was immer Teilchen sind, rein zufällig auf n Fächer 00:25.400 --> 00:26.200 verteilt werden. 00:27.780 --> 00:32.420 Man kann sich hier viele konkrete Fälle vorstellen, wie zum Beispiel 00:32.420 --> 00:33.360 das Würfeln. 00:34.720 --> 00:39.620 Beim Würfeln kann man die Augenzahl interpretieren als ein Teilchen, 00:39.740 --> 00:43.080 das man in das Fach J legt, wenn die Zahl J gewürfelt wird. 00:43.960 --> 00:48.600 Die Fächer könnten die Tage des Jahres sein und die Teilchen Personen 00:49.200 --> 00:53.820 und man fragt eine Person nach ihrem Geburtstag und legt dann ein 00:53.820 --> 00:58.260 Teilchen in das entsprechende Fach, wobei Fach 1 dem 1. 00:58.400 --> 01:02.320 Januar entspricht und Fach 365 dem 31. 01:02.620 --> 01:06.140 Dezember, wenn wir annehmen, dass es kein Schalcher ist. 01:07.340 --> 01:11.700 Wir könnten uns aber auch vorstellen, dass die Teilchen Elemente einer 01:11.700 --> 01:17.140 s -elementigen Menge sind und wenn ich dem ersten Teilchen das Fach J 01:17.140 --> 01:20.780 zuordne, dann kann ich das als Abbildung deuten. 01:21.880 --> 01:26.640 Der Funktionswert für dieses Element dieser s-elementigen Menge ist 01:26.640 --> 01:27.520 dann der Wert J. 01:29.060 --> 01:32.860 Wir sehen also, dass diese Vorstellung recht allgemein ist und die 01:32.860 --> 01:35.860 Frage, die wir hier angehen wollen, ist folgende. 01:37.280 --> 01:41.060 Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleiben k Fächer unbesetzt? 01:43.380 --> 01:46.780 Ein wichtiger Spezialfall wäre hier k gleich 0. 01:47.400 --> 01:51.340 Das wäre die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält jedes Fach 01:51.340 --> 01:52.740 mindestens ein Teilchen? 01:53.900 --> 01:57.920 Und gleichbedeutend damit ist eine vermeintlich schwerere Frage, 01:58.680 --> 02:04.160 nämlich mit welcher Wahrscheinlichkeit haben n-k Fächer je mindestens 02:04.160 --> 02:05.140 ein Teilchen? 02:07.080 --> 02:11.580 Das heißt die Frage nach der Verteilung der Anzahl der Fächer, die 02:11.580 --> 02:13.680 mindestens ein Teilchen aufweisen. 02:15.900 --> 02:20.520 Man sieht, dass ich am Anfang einige Dinge rot markiert habe. 02:22.080 --> 02:26.140 Und das soll andeuten, dass es hier grundsätzliche Fragen nach der 02:26.140 --> 02:27.000 Modellierung gibt. 02:27.120 --> 02:30.520 Und die Modellierung gilt ja als schwieriges Feld innerhalb der 02:30.520 --> 02:31.460 Stochastik. 02:31.680 --> 02:34.280 Wie würden wir das hier modellieren oder wie könnte man das 02:34.280 --> 02:34.800 modellieren? 02:35.460 --> 02:38.100 Wir setzen eine Menge an, Groß-Omega. 02:38.940 --> 02:42.820 Das ist der übliche Buchstabe für die Menge der möglichen Ergebnisse 02:42.820 --> 02:44.520 eines stochastischen Vorgangs. 02:45.740 --> 02:50.460 Und hier ist die Vorstellung, dass nacheinander, oben steht der Reihe 02:50.460 --> 02:53.640 nach, Teilchen in Fächer fallen. 02:54.480 --> 03:00.200 Insofern können wir diesen Vorgang beschreiben als Menge von s-Tupeln. 03:00.460 --> 03:02.480 Insgesamt gibt es s-Teilchen. 03:04.020 --> 03:08.600 Und ich sage ganz einfach, a1 ist die Nummer des Fachs, in das das 03:08.600 --> 03:09.740 erste Teilchen fällt. 03:09.740 --> 03:16.220 Entsprechend allgemein aL ist die Nummer des Faches, in das das 03:16.220 --> 03:17.440 älteste Teilchen fällt. 03:17.880 --> 03:21.180 Wir deuten also aL als Fach für das älteste Teilchen. 03:22.880 --> 03:28.200 Rein zufällig bedeutet, dass wir mit der Gleichverteilung auf Omega 03:28.200 --> 03:28.840 arbeiten. 03:29.640 --> 03:34.560 Und das beinhaltet auch diese Vorstellung von unabhängiger Folge. 03:36.300 --> 03:38.580 Wir definieren eine Menge aI. 03:39.580 --> 03:43.400 aI soll das Ereignis beschreiben, dass das Fach Nr. 03:43.420 --> 03:45.660 I kein Teilchen enthält. 03:46.460 --> 03:50.940 Und das sind diejenigen Ergebnis-Tupel, bei denen kein Teilchen in das 03:50.940 --> 03:51.790 i -te Fach gelangt. 03:52.640 --> 03:58.680 Das bedeutet, hier ist immer aL ungleich I für jedes L von 1 bis s und 03:58.680 --> 04:02.500 ich kann salopp formulieren, das ist das Ereignis, dass das Fach Nr. 04:02.540 --> 04:03.580 I frei ist. 04:05.300 --> 04:09.140 Jetzt modelliere ich die Anzahl der freien Fächer. 04:09.840 --> 04:12.080 Das ist natürlich eine zufällige Anzahl. 04:13.000 --> 04:17.140 Und wenn man das Wort Anzahl hört beim Modellieren, dann sollte man an 04:17.140 --> 04:20.440 Zählvariablen, an Indikatorsummen denken. 04:21.320 --> 04:26.500 Und es modelliert die Zählvariable x, wollen wir sie nennen, Summe der 04:26.500 --> 04:31.360 Indikatorvariablen der einzelnen Ereignisse aI, die Anzahl der freien 04:31.360 --> 04:31.680 Fächer. 04:31.680 --> 04:37.100 Jeder dieser Indikatoren ist 1, wenn das jeweilige Ereignis eintritt 04:37.100 --> 04:38.560 und ansonsten 0. 04:39.320 --> 04:41.720 Ich zähle hier die Zahl der freien Fächer. 04:42.380 --> 04:46.420 Und was ich suche, ist die Wahrscheinlichkeit, dass x den Wert k 04:46.420 --> 04:50.140 annimmt, dass es genau k-unbesetzte Fächer gibt. 04:52.860 --> 04:57.180 Das sieht recht kompliziert aus, aber es gibt eine schlagkräftige 04:57.180 --> 05:02.120 Formel, und das ist die Jordan-Formel, über die ich ein eigenes Video 05:02.120 --> 05:02.980 gemacht habe. 05:03.500 --> 05:06.940 Und dieses Problem kann sehr leicht mit dieser Jordan-Formel gelöst 05:06.940 --> 05:07.300 werden. 05:07.840 --> 05:11.780 Ich stelle die Jordan-Formel hier nochmal vor, als Satz. 05:12.760 --> 05:17.400 Es seien Ereignisse a1, a2 und so weiter an in einem 05:17.400 --> 05:22.860 Wahrscheinlichkeitsraum, ich schreibe kurz W-Raum, und x sei die 05:22.860 --> 05:25.720 Anzahl der eintretenden Ereignisse. 05:25.720 --> 05:28.640 Sie sehen hier eine Indikatorsumme. 05:30.100 --> 05:38.080 Wir setzen s0 gleich 1 und für jedes j zwischen 1 und n definieren wir 05:38.080 --> 05:39.100 eine Summe sj. 05:40.440 --> 05:47.900 Das ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Schnitte von j dieser n 05:47.900 --> 05:48.660 Ereignisse. 05:50.260 --> 05:55.060 Die Summe erstreckt sich über alle j-elementigen Teilmengen der Menge 05:55.060 --> 06:00.040 der Zahlen von 1 bis n und sie enthält n über j Summanden. 06:00.860 --> 06:05.240 Die Jordan-Formel besagt, dass dann gilt, die Wahrscheinlichkeit, dass 06:05.240 --> 06:12.860 x gleich k ist, ist die Summe, j läuft von k bis n, minus 1 hoch j 06:12.860 --> 06:17.060 minus k mal j über k mal sj. 06:17.820 --> 06:20.700 Und das gilt für jedes k zwischen 0 und n. 06:22.480 --> 06:27.120 Wenn wir diese Formel anwenden wollen, müssen wir wissen, was die 06:27.120 --> 06:31.380 Wahrscheinlichkeit des Schnittes von j dieser n Ereignisse ist. 06:31.720 --> 06:33.700 Und in unserem Fall ist das sehr einfach. 06:35.220 --> 06:39.560 Nehmen wir feste Indizes i1, i2 usw. 06:39.720 --> 06:42.580 ij aus den Zahlen von 1 bis n. 06:43.260 --> 06:44.920 Das sind j verschiedene Zahlen. 06:45.780 --> 06:51.080 Nun diese Indizes markieren Fachnummern und hier steht nichts anderes 06:51.080 --> 06:56.140 als die Wahrscheinlichkeit, dass die Fächer mit den Nummern i1, i2 06:56.140 --> 06:56.860 usw. 06:57.000 --> 06:58.740 bis ij frei bleiben. 06:59.740 --> 07:05.900 Das bedeutet, keines der s Teilchen gelangt in eines dieser Fächer. 07:07.380 --> 07:09.280 Und was sind die günstigen Möglichkeiten? 07:10.580 --> 07:16.320 Ganz egal, welches diese Fachnummern sind, für jedes Teilchen gibt es 07:16.320 --> 07:21.160 nur n minus j günstige Fälle, denn j Fächer sind tabu. 07:22.160 --> 07:28.380 Da wir hier s Tupel betrachten, ist die Anzahl der günstigen Fälle n 07:28.380 --> 07:30.120 minus j hoch s. 07:31.680 --> 07:35.800 Insgesamt gibt es natürlich für jedes Teilchen n Fächer. 07:36.440 --> 07:41.200 Das bedeutet, die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist n hoch s. 07:41.900 --> 07:44.100 Und wir haben ein Laplace-Modell. 07:45.700 --> 07:48.920 Ganz egal, wie wir also diese Zahlen i1 usw. 07:49.080 --> 07:53.480 bis ij herausgreifen, diese Wahrscheinlichkeit ist dieser Quotient. 07:54.120 --> 07:58.580 Und jetzt können wir die Formel von Jordan anwenden und erhalten, und 07:58.580 --> 08:02.800 zwar für jedes k im Bereich von 0, 1 usw. 08:02.960 --> 08:04.420 bis n minus 1. 08:05.240 --> 08:09.580 Man sieht sofort, der Fall k gleich n hat die Wahrscheinlichkeit 0, 08:09.880 --> 08:14.000 denn dann wären alle Fächer frei, aber wir verteilen ja Teilchen. 08:15.220 --> 08:19.440 Nun wir setzen ein, die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich k ist, ist 08:19.440 --> 08:25.740 diese alternierende Summe j von k bis n minus 1 hoch j minus k mal j 08:25.740 --> 08:26.400 über k. 08:26.720 --> 08:31.700 Und jetzt wird es besonders einfach, denn das sj, was oben im Satz 08:31.700 --> 08:35.480 steht, hat die Eigenschaft, dass jeder Summand gleich ist. 08:35.960 --> 08:41.940 Und wir haben n über j Summanden, also ist das n über j mal die 08:41.940 --> 08:46.560 Wahrscheinlichkeit, die wir eben ausgerechnet haben, n minus j durch n 08:46.560 --> 08:47.700 in Klammern hoch s. 08:49.420 --> 08:52.640 Man sieht also, wie schlagkräftig diese Jordan-Formel ist. 08:53.340 --> 08:57.360 Ich möchte das in einem Spezialfall mal mit Zahlen untermauern. 08:58.140 --> 09:02.020 Der Spezialfall ist n gleich s gleich 37. 09:02.560 --> 09:06.860 Eine auf den ersten Blick krumme Zahl, aber das führt auf etwas, was 09:06.860 --> 09:11.620 im Internet in gewissen Foren als Zwei-Drittel-Gesetz beim Roulette 09:11.620 --> 09:12.740 diskutiert wird. 09:13.420 --> 09:19.660 Man hat beobachtet, dass nach 37 Ausspielungen im Roulette, da gibt es 09:19.660 --> 09:25.780 die Zahlen 0, 1, 2 und so weiter bis 36, und ich deute das als 37 09:25.780 --> 09:32.280 Fächer, dass ungefähr zwei Drittel aller Zahlen aufgetreten sind. 09:32.280 --> 09:38.200 Nun hier sei die Zufallsvariable y die Anzahl der verschiedenen Zahlen 09:38.200 --> 09:40.900 nach 37 Ausspielungen im Roulette. 09:42.920 --> 09:49.060 Folgendes sollte man beachten, dass y ist die Anzahl der besetzten 09:49.060 --> 09:54.920 Fächer und damit ist es n minus Anzahl der freien Fächer, wenn es 09:54.920 --> 09:56.440 insgesamt n Fächer gibt. 09:57.840 --> 10:02.160 Das heißt, diese Beziehung gilt ganz allgemein und wenn ich jetzt die 10:02.160 --> 10:06.520 Wahrscheinlichkeit ausrechnen möchte, dass genau k Fächer besetzt 10:06.520 --> 10:11.280 sind, je mindestens ein Teilchen enthalten, ist das die 10:11.280 --> 10:14.500 Wahrscheinlichkeit, dass n minus x gleich k ist. 10:15.000 --> 10:19.180 Das kann ich umformen, das ist die Wahrscheinlichkeit, dass x gleich n 10:19.180 --> 10:20.160 minus k ist. 10:20.640 --> 10:24.580 Ich muss also nur in die Formel, die wir eben hergeleitet haben, gehen 10:24.580 --> 10:27.740 und dort das k durch n minus k ersetzen. 10:27.740 --> 10:31.080 Ich möchte mal hier ein Stabdiagramm zeigen. 10:32.200 --> 10:36.800 Das heißt, auf der horizontalen Achse wird k aufgetragen, auf der 10:36.800 --> 10:40.940 vertikalen Achse die Wahrscheinlichkeit, dass y gleich k ist und wir 10:40.940 --> 10:45.020 erhalten ein Stabdiagramm der Verteilung der Anzahl der besetzten 10:45.020 --> 10:47.620 Fächer, in diesem Fall des Roulettes. 10:48.440 --> 10:50.220 Das Stabdiagramm sieht so aus. 10:54.000 --> 10:55.780 Das ist das Stabdiagramm. 10:55.780 --> 10:58.700 Man sieht, es ist annähernd symmetrisch. 10:59.500 --> 11:04.520 Der wahrscheinlichste Wert wird angenommen für k gleich 24 und ganz 11:04.520 --> 11:07.880 grob kann man natürlich sagen 37. 11:08.380 --> 11:11.960 Zwei Drittel hiervon sind 24 Zweidrittel. 11:12.460 --> 11:16.780 Das gruppiert sich ganz grob um diesen Wert und deshalb heißt dieses 11:16.780 --> 11:18.440 Gesetz Zweidrittelgesetz. 11:19.300 --> 11:21.140 Folgendes sollte man beachten. 11:22.680 --> 11:28.260 x ist eine Summe von Indikatorvariablen, die Anzahl der freien Fächer, 11:28.400 --> 11:30.460 auch das gilt ganz allgemein. 11:31.080 --> 11:34.660 Wir haben gesehen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmtes 11:34.660 --> 11:39.380 Fach frei ist, ein Spezialfall der Wahrscheinlichkeit, die wir eben 11:39.380 --> 11:46.420 hergeleitet haben, ist n-1 durch n hoch s, denn für jedes Teilchen 11:46.420 --> 11:50.560 sind hier nur n-1 Fächer möglich, das Fach i ist tabu. 11:52.300 --> 11:56.040 Der Erwartungswert von x, wenn x eine Summe ist, ist aber wegen der 11:56.040 --> 12:02.280 Additivität des Erwartungswertes Summe der Erwartungswerte, hier in 12:02.280 --> 12:06.980 dem Fall der Indikatorvariablen und diese Indikatorvariablen, 12:07.360 --> 12:10.260 Erwartungswert eines Indikators ist die Wahrscheinlichkeit des 12:10.260 --> 12:15.200 Ereignisses und deshalb ist der Erwartungswert von x sehr einfach zu 12:15.200 --> 12:15.640 erhalten. 12:15.640 --> 12:20.640 Er ist n mal n-1 durch n hoch s. 12:22.440 --> 12:27.300 Damit erhalten wir aber auch den Erwartungswert von y, denn y ist n 12:27.300 --> 12:33.080 minus x, also ist der Erwartungswert von y n minus Erwartungswert von 12:33.080 --> 12:33.400 x. 12:34.440 --> 12:37.640 Den Erwartungswert von x haben wir eben erhalten. 12:37.780 --> 12:43.980 Man sieht, ich kann n ausklammern und erhalte n mal 1 minus und jetzt 12:43.980 --> 12:48.920 schreibe ich n minus 1 durch n nur als 1 minus 1 durch n hoch s. 12:50.500 --> 12:52.040 Das ist der Erwartungswert von y. 12:52.800 --> 12:57.780 Wenn wir jetzt speziell s gleich n setzen, dann sehen wir der 12:57.780 --> 13:01.460 Erwartungswert von y durch n. 13:01.940 --> 13:06.500 Ich betrachte jetzt den relativen Anteil der besetzten Fächer. 13:08.220 --> 13:12.560 Man sieht in der Gleichung, eine Zeile drüber, habe ich rechts den 13:12.560 --> 13:16.040 Faktor n, der steht jetzt unter dem y. 13:17.420 --> 13:21.420 Der Erwartungswert von y durch n ist 1 durch n mal Erwartungswert von 13:21.420 --> 13:27.860 y und insofern ist dieser Erwartungswert 1 minus 1 minus 1 durch n in 13:27.860 --> 13:28.620 Klammern hoch n. 13:30.260 --> 13:35.980 Aber 1 minus 1 durch n in Klammern hoch n ist eine Zahlenfolge, die 13:35.980 --> 13:40.920 konvergiert für n gegen unendlich und sie konvergiert gegen 1 durch e. 13:41.680 --> 13:46.900 Das bedeutet, dieser Erwartungswert des relativen Anteils der 13:46.900 --> 13:51.820 besetzten Fächer konvergiert für n gegen unendlich gegen 1 minus 1 13:51.820 --> 13:56.040 durch e und das ist ungefähr 0,632. 13:56.980 --> 14:02.300 Das bedeutet, wenn wir viele Fächer haben und genauso viele Teilchen 14:02.300 --> 14:07.060 verteilen, wie Fächer vorhanden sind, so sind auf die Dauer im Mittel 14:07.060 --> 14:07.880 ca. 14:08.080 --> 14:15.520 63,2%, also knapp zwei Drittel aller Fächer mit je mindestens einem 14:15.520 --> 14:16.840 Teilchen besetzt.