Guten Tag, meine Damen und Herren.
Ich wünsche Ihnen allen ein frohes neues Jahr.
Herzlich willkommen wieder zurück zur Mechanik.
Zuerst kleine Ankündigungen.
Wir zeichnen wie immer die Vorlesung auf.
Dann gibt es für Sie vielleicht zunächst mal eine gute Nachricht, aber
dann auch eine schlechte Nachricht.
Ich muss heute leider zu einem dringenden Arzttermin.
Wir machen deshalb nur ca.
45 bis 50 Minuten Vorlesung.
Wir werden das aber an die nächsten Montage immer so stückchenweise
ein bisschen dranhängen, dass wir mit dem Wir hatten vor den
Weihnachtsferien die ebene Bewegung eines starren Körpers betrachtet,
mit dem Sonderfall, dass sich der Körper um eine raumfeste Achse
dreht.
Die Winkelgeschwindigkeit Omega, die ein Vektor ist, ändert damit die
Richtung während der Bewegung nicht.
Es genügt dann die Winkelgeschwindigkeit durch die Skalargröße Omega
zu beschreiben.
Wir waren dann so weit gekommen, dass für die Momentbilanz
letztendlich um die Drehachse dann sich ergibt Omega Punkt, also die
zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit oder der
Winkelbeschleunigung mal dem Integral R² dm gleich Summe aller Momente
um die Z-Achse, wobei die Z-Achse jetzt die Achse ist, wobei das die
Drehachse ist.
Und man sieht, das Integral R² dm, das hängt ja von der Bewegung gar
nicht mehr ab, also das können wir vorab ausrechnen.
Was wir dazu brauchen, ist lediglich die Richtung der Drehachse
bezüglich dem Körper und einen Punkt des Körpers, durch den diese
Achse geht.
Ich habe hier mal zwei verschiedene Körper mitgebracht.
Man sieht, bei dem Körper, da ist die Masse relativ weit weg von der
Drehachse, wenn die Drehachse durch den Mittelpunkt geht.
Nun, der Körper hat ein bisschen mehr Masse, natürlich, ganz klar,
aber man sieht, die einzelnen Masseteilchen haben praktisch nicht den
großen Abstand wie bei dem Ring hier.
Jetzt kann man sich auch vorstellen, ich versuche das mal kurz
vorzuführen, wenn jetzt die Drehachse der Mittelpunkt des Kreisrings
ist, dann gibt es einen gewissen Integralwert.
Jetzt könnte natürlich aber auch der Körper um eine ganz andere Achse
drehen.
Nun, dann haben die Masseteilchen zur Drehachse andere Abstände.
Man kann es, glaube ich, schon erahnen, die Abstände sind dann
eigentlich sehr viel größer.
Ein paar sind kleiner, aber die gehen dann quadratisch ein.
Und was man auch noch sieht, das Massenträgheitsmoment hängt natürlich
auch davon ab, welche Richtung die Drehachse hat.
Für eine Drehachse, die so verläuft, wird das Massenträgheitsmoment
ein ganz anderes sein als bei einer anderen Richtung.
Also darauf müssen wir im Grunde genommen Acht geben.
So, weil das Massenträgheitsmoment völlig unabhängig von der Bewegung
berechnet werden kann, deshalb zunächst mal Berechnung einiger
Massenträgheitsmomente.
Fangen wir mal mit einem der Beispiele an, die ich gezeigt habe,
nämlich so eine Kreisscheibe.
Also Kreisscheibe mit Radius R,
dicke D
und Masse M.
Und zwar nehmen wir an, dass die Drehachse durch den Mittelpunkt der
Kreisscheibe geht.
Und zwar senkrecht zur Kreisscheibe.
Ich deute das mal so an.
Das war also der Radius groß R.
Das war die dicke D.
Und was wir jetzt schauen müssen ist, dass wir ein Masseelement dm
finden, das wir möglichst groß wählen, das aber gerade den Abstand
klein r von der Drehachse hat.
Jetzt könnten wir da so ein Würfelchen einzeichnen.
Dann müssen wir vielleicht erstmal über die Z-Achse integrieren.
Aber da sehen wir, unabhängig von der Z-Achse hat es immer den
gleichen Abstand.
Und wenn wir es noch geschickter machen, dann wählen wir eben so einen
dünnen Kreisring,
der gerade eine dicke dr hat und den Radius klein r.
Man sieht, bei dem haben alle Masseteilchen den selben Abstand zur
Drehachse.
Also das Massenträgheitsmoment Theta.
Das könnte man schon mal schreiben für eine Achse, die durch den
Schwerpunkt, also wenn die Achse durch den Mittelpunkt geht, geht die
bei einer homogenen Kreisscheibe auch durch den Schwerpunkt, ist dann
gerade integral.
Jetzt über die gesamte Masse.
Heißt in dem Falle, das Massenelement beträgt 2πr, das ist der Umfang,
mal d,
mal dr, das ist das Volumen des Massenelementes, multipliziert mit der
Dichte ρ, haben wir jetzt das dm.
Und das hat noch den Abstand r, also mal r², gibt insgesamt r³.
Jetzt müssen wir integrieren über die gesamte Masse, das heißt wir
integrieren bezüglich r von r gleich 0 bis R.
Das ergibt dann 2π mal d mal ρ mal Integral r³ dr von 0 bis R.
Jetzt sehen wir, gut, r³ integriert ergibt dann ein Viertel.
r³ ergibt also insgesamt, ich schreibe es mal hin, 2πdρ, r³ Viertel, 0
und R.
Und man sieht, wenn wir die obere Integrationsgrenze einsetzen, ergibt
das, der 2 kürzt sich mit dem 4, ein Viertel zu einem Halb, gibt also
ein Halb π mal d mal ρ mal r³, minus untere Integrationsgrenze
eingesetzt, das ist 0.
Gegeben war aber die Gesamtmasse M der Kreisscheibe, und da sehen wir,
das können wir geschickt machen, indem wir einfach hier πr² mal d mal
ρ ausklammern, πr², dann bleibt noch hier ein r² übrig, d mal ρ, also
mal r².
Man sieht, πr², das ist die Fläche der Kreisscheibe, mal d gibt das
Volumen, mal ρ gibt also die Gesamtmasse, also da haben wir gerade die
Gesamtmasse der Kreisscheibe, sodass sich insgesamt ergibt ein Halb
mr².
Gibt es soweit Fragen?
Ansonsten kommen wir gleich zum zweiten Beispiel,
nämlich wir betrachten den Stab,
wollen aber das Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse berechnen,
die senkrecht zum Stab geht, oder zur Stabachse verläuft und durch ein
Ende des Stabes, also bezüglich Stabende,
Länge des Stabes sei L und die Masse wieder klein m,
das heißt, wenn wir mal hier den Stab anzeichnen, wie gesagt, Länge L,
Masse m, dann verläuft die Drehachse durch ein Ende des Stabes,
senkrecht zum Stab, jetzt brauchen wir also ein Massenelement dm, was
gerade einen gewissen Abstand zur Drehachse hat, da können wir jetzt
hier ein kleines Massenelement herausgreifen und das hat also die
Länge dr,
die Masse dieses Massenelementes ist dann gerade m dividiert durch L
mal dr,
also m durch L ist eine Masse pro Länge, multipliziert mit der
differenziellen kleinen Länge dr, ergibt wieder das differenzielle
Massenelement oder die differenzielle Masse.
Jetzt können wir das Ganze einsetzen, dann kommt also raus, Theta,
sollte man vielleicht mal den Punkt des Stabes, den Endpunkt mit a
bezeichnen, Theta a ist dann gerade Integral r² m dividiert durch L
mal dr und
integriert werden muss von r gleich 0 bis L, gibt also insgesamt Theta
a gleich,
da sehen wir m durch L, können wir rausziehen, dann haben wir Integral
r² dr, das gibt r hoch 3 Drittel, Integrationsgrenzen 0 und r, obere
eingesetzt ergibt m L hoch 3 dividiert durch L Drittel, gibt genau m
L² Drittel, untere Integrationsgrenze eingesetzt ergibt 0, also haben
wir jetzt das Ergebnis dastehen.
Wie sieht es jetzt aus, wenn wir das Massenträglichkeitsmoment
bezüglich einer Achse durch den Schwerpunkt des Stabes wissen wollen?
Es geht eigentlich ganz analog, nur müssten wir dort integrieren von
minus L halbe bis plus L halbe
und als Ergebnis ergibt sich dann in dem Fall
das Massenträglichkeitsmoment bzgl.
S
als Theta S gleich ein Zwölftel m L².
Man sieht, das ist also wesentlich kleiner als das
Massenträglichkeitsmoment für eine Achse durch ein Ende des Stabes.
Das können Sie auch mal ausprobieren, nehmen Sie einen Stab, packen
den am Ende und versuchen den so zu verdrehen.
Dann müsste relativ ein starkes Moment anliegen, in der Mitte ist das
schon weniger.
Und wenn wir jetzt die Richtung der Drehachse ändern, z.B.
die Drehachse verläuft in Stablängsrichtung durch den Stab, dann
wissen wir, da sind die Abstände der einzelnen Massenpunkte
verschwindend gering, also da haben wir fast ein
Massenträglichkeitsmoment von 0 oder zumindest ein sehr kleines.
Als letztes Beispiel noch das Massenträglichkeitsmoment von einer
Kugel.
Radius R, Masse M und was haben wir da?
Wir nehmen wieder an, die Drehachse verläuft durch den Schwerpunkt.
Jetzt können wir einen kleinen Trick anwenden, jetzt können wir
nämlich an der Stelle, die Kugel hat einen Radius R, so differenziell
dicke Scheiben bilden.
Ich zeige das mal so an.
Das heißt, wenn wir jetzt eine Koordinate z einführen, entlang der
Drehachse und z gleich 0 in den Mittelpunkt legen, dann haben wir hier
z gleich minus R, hier haben wir z gleich R, dann haben wir an der
Stelle eine Scheibe mit Radius, jetzt, wie groß ist der?
R ist dann, und das war R, das war z, also R² minus z² und daraus die
Wurzel.
Die Masse
ist dann Volumen dieser Kreisscheibe mal Dichte, das ist also gerade
Pi R² dz, differenzielle Dicke, das war also Dicke dz,
mal Rho,
gibt also Pi mal Rho mal R² minus z²
dz.
So, das heißt, bei Theta summieren wir alles auf über das Integral.
Jetzt haben wir eine differenzielle Scheibe, jetzt müssen wir also
über alle Scheiben aufsummieren, da das differenzielle Größen sind,
müssen wir wieder integrieren, also das Massenträgheitsmoment
bezüglich des Schwerpunktes ist dann zunächst mal, wir können es auch
so schreiben,
das differenzielle Massenträgheitsmoment dieser differenziell großen
Scheibe ist, und das haben wir vorher schon berechnet, wo war es, m
halbe mal Radius der Scheibe zum Quadrat, das gibt also, das war m Pi
mal Rho mal R² minus z² dz, davon die Hälfte,
mal dem Radius zum Quadrat der Scheibe, Radius zum Quadrat war aber
gerade R² minus z², das haben wir an der Stelle schon mal, oder ich
schreibe es mal noch dazu, R² minus z², und jetzt müssen wir über alle
differenziellen Massenträgheitsmomente aufsummieren, das heißt
integrieren, und erhalten so, dθs gleich Integral über alle dθs
gleich, und jetzt sehen wir Integral Pi Rho halbe, R² minus z² zum
Quadrat mal dz, und integrieren müssen wir von z gleich minus R bis z
gleich plus R,
das Pi Rho halbe, das können wir als Konstante rausziehen, und dann
müssen wir noch das Integral auswerten, aufgrund dessen, dass wir
zeitlich ein bisschen beschränkt sind, will ich das abkürzen, die
Integration führen Sie mal zu Hause aus, es ergibt sich zunächst mal
als Ergebnis 8 fünfzehntel Pi mal Rho,
also dθs gleich 8 fünfzehntel Pi mal Rho mal R hoch 5, jetzt muss man
natürlich wissen, was das Volumen von einer Kugel ist, und das Volumen
von einer Kugel ist 4 Drittel
Pi R hoch 3, das multipliziert mit der Dichte ergibt dann die Masse
der Kugel, und da sehen wir, was da noch übrig bleibt, das Pi haben
wir, das Rho haben wir, 4 Drittel haben wir, dann bleibt noch übrig 2
fünftel, und hier bleibt übrig R², also 2 fünftel R², das war wie
gesagt die Masse der Kugel, so dass sich letztendlich ergibt dθs
gleich 2 fünftel M R².
Gibt es soweit noch Fragen?
Und wenn nicht,
dann betrachten wir den Fall, dass unsere Drehachse nicht durch den
Schwerpunkt geht, sondern durch einen Punkt außerhalb des
Schwerpunktes, aber beide Achsen dann parallel sind.
Also wir verschieben jetzt einfach eine gegebene Achse mit einer
Richtung, parallel zum Beispiel hier an den Rand oder irgendwo anders
hin.
Also Massenträgheitsmoment für eine Achse
durch Punkt A mit Abstand zu S, also klein a zu s.
Und wie können wir das machen?
Wenn wir irgendwo den Körper haben, ich deute das nur mal so an, dann
haben wir den Schwerpunkt und wir haben ein Koordinatensystem, was den
Ursprung im Schwerpunkt hat,
x² und y².
Dann haben wir den Punkt A, der irgendwo auf dem Körper liegen kann
oder auch außerhalb.
Und jetzt betrachten wir eine Achse, die dieselbe Richtung hat wie
zuvor, führen dazu hier an der Stelle
die Koordinaten x und y ein und sehen, na gut, ein allgemeines
Massenelement dm.
Das hat jetzt vom Punkt A den Abstand r beziehungsweise wir können
auch den Vektor zum Massenelement aufstellen.
Und dann haben wir noch den Vektor von A zum Schwerpunkt und sozusagen
den Vektor von S zum Massenelement, den nennen wir mal r² und die x-
und y-Koordinaten dieser Vektoren können wir leicht ausdrücken,
nämlich wir kennen das x des Schwerpunktes, wir kennen das y des
Schwerpunktes, xs und ys und
wir wissen Theta bezüglich S ist Integral r² dm, integriert über die
gesamte Masse.
Nun was ist r²?
Ganz klar, das ist xs plus x² zum Quadrat plus ys plus y², ist also
Integral und jetzt haben wir hier xs plus x² zum Quadrat plus ys plus
y² zum Quadrat dm.
Werten wir das aus, dann ergibt das Integral xs² plus ys²,
dann haben wir zweimal xs x² plus
zweimal ys y² plus
x² plus y² dm
Und wir sehen, das ergibt zunächst mal Integral über die gesamte
Masse.
Und es steht hier drin xs² plus ys² dm.
Jetzt hängen aber xs und ys nicht vom betrachteten Massenelement ab.
Das heißt, das können wir als Konstante bei der Integration beides vor
das Integral ziehen.
Wenn wir jetzt die nächsten beiden Terme betrachten, auch da ist xs
und ys eine Konstante jeweils bei der Integration über die
Massenelemente.
Sodass wir also sagen können, plus zweimal xs Integral x² dm plus
zweimal ys Integral y² dm
plus, jetzt bleibt noch übrig,
x² plus y² dm.
xs² plus ys², das sehen wir, das ist gerade der Abstand des Punktes A
vom Schwerpunkt S zum Quadrat.
Also das ergibt A².
Jetzt, wie sieht es aus?
Integral x² dm integriert über die gesamte Masse.
Und x² sind Koordinaten, die den Ursprung in S haben.
Laut Definition des Schwerpunktes sind diese Integrale gerade Null.
Also Integral x² dm gleich Null.
Schwerpunkt.
Genauso Integral y² dm fällt weg.
Und jetzt, was haben wir bei Integral x² plus y² dm?
Nun, x² plus y² ist gerade das r quer zum Quadrat.
Also verbirgt sich hinter dem letzten Integral gerade das
Massenträgheitsmoment bezüglich dem Schwerpunkt.
Sodass, wenn wir alles zusammenfassen, sich das folgende Ergebnis
ergibt.
Also Theta A ist, fangen wir mit hinten an, Theta S plus m mal A²,
weil letztendlich, wenn wir Integral dm haben, ergibt das ja die
gesamte Masse.
Also, ein relativ einfacher Ausdruck.
Im Deutschen bekannt, der zusätzliche Term als steinerische Ergänzung.
Im Englischen heißt dann das ganze Parallel Axis Theorem.
Also bei einer Verschiebung der Achse parallel zur ursprünglichen
Drehachse durch einen Punkt außerhalb des Schwerpunktes.
Und man sieht, m mal A², das ist immer positiv, also für eine gegebene
Richtung der Drehachse ist das Massenträgheitsmoment immer dann am
kleinsten, wenn die Achse durch den Schwerpunkt geht.
Wird die Achse dazu parallel verschoben, steigt das
Massenträgheitsmoment an.
Also, bei gegebener Richtung der Drehachse,
Massenträgheitsmoment durch Schwerpunkt am kleinsten.
Jetzt manchmal führt man noch eine Hilfsgröße ein, nämlich den
Trägheitsradius.
Den Trägheitsradius nennen wir den mal K.
Dann ergibt nämlich das Massenträgheitsmoment Theta gleich Masse mal
K².
K² z
.B.
für eine Scheibe, Drehachse, senkrechter Scheibenebene und durch den
Schwerpunkt verlaufend, da hätten wir K gleich, jetzt müssen wir
achten, K² muss ja gerade R² halber ergeben, also muss K sein R durch
Wurzel 2.
Scheibe,
schreiben wir es noch dazu bezüglich S.
Gibt es soweit Fragen?
Und wenn man beliebige Körperformen hat, muss man das eben versuchen,
wenn man es numerisch berechnen will, in einzelne Volumenelemente
einzuteilen.
In einzelne Bereiche des Körpers und die dann aufsummieren, so wie wir
das im Grunde genommen schon bei der Kugel gemacht haben.
Manchmal auch nährungsweise.
Oder, was man auch machen kann, man kann das Massenträgheitsmoment
versuchen, wenn man den Körper fertig gefertigt hat, auch
experimentell zu bestimmen.
Das macht man dann meistens über irgendwelche Schwingversuche, aber
Schwingungen, das ist noch ein Kapitel, was am Ende des nächsten
Semesters kommt.
Gibt es soweit Fragen?
Dann sehen wir, wir haben jetzt hier Theta mal Omega Punkt.
Wenn wir den Verdrehwinkel Phi einführen, ist das Theta mal Phi zwei
Punkt.
Gleich Summe aller äußeren Momente.
Und bei Massenpunkten, da hatten wir auch F gleich M mal A, so in dem
Stile.
Und dann haben wir gesagt, na gut, das Ganze können wir, so wie wir
das vielleicht aus der Stadie gewohnt sind, auf ein
Kräftegleichgewicht zurückführen, wenn wir eine entsprechende
Trägheitskraft einführen.
Und genau so können wir das natürlich hier machen.
Wir können das in die Momentbilanz umformen.
Nämlich Summe aller Momente bezüglich der Z-Achse oder der Drehachse
gleich Null.
Wobei wir dann jetzt nicht an der Stelle eine Trägheitskraft, sondern
eben einen Trägheitsmoment einführen müssen.
Was dann zur Auswertung im Sinne der Lombars führt.
Also werden Theta A mal Omega Punkt gleich und die Summe der äußeren
Momente schreibe ich mal jetzt.
Momente bezüglich einer Achse, die durch den Punkt A geht.
Und da sehen wir MA plus Trägheitsmoment MT gleich Null.
Wenn wir jetzt das Trägheitsmoment so einführen, dass wir Theta A mal
Omega Punkt nach rechts bringen.
Also MT muss dann natürlich gerade sein Minus Theta A mal Omega Punkt.
Oder Minus Theta A mal Winkelbeschleunigung Alpha, hatten wir die auch
genannt.
Oder ich hatte es gesagt, da die Drehachse die Richtung nicht ändert,
können wir auch einen entsprechenden Verdrehwinkel einführen.
Dann wäre das Alpha Phi 2 Punkt.
Und wichtig jetzt, das Trägheitsmoment,
das wirkt jetzt wegen des Minuszeichens entgegen der positiven
Winkelbeschleunigung.
Und dazu ein Beispiel.
Also
wir nehmen mal ein elastisch aufgehängtes physikalisches Pendel.
Wir haben eine Drehfederkonstante mit
einer Linie an Abhängigkeit des Momentes vom Verdrehwinkel.
Entsprechende Steifigkeit CED.
Dann haben wir noch das Schwerkraftfeld und
eine externe Kraft FA.
FA am Schwerpunkt.
Skizzieren wir das Ganze mal.
Wir haben also hier unseren Körper, haben hier die Drehachse raumfest.
Und den Schwerpunkt, der den Abstand L von der Drehachse hat.
Das Pendel hat die Masse M und das Massenträgheitsmoment bezüglich dem
Lagerpunkt A.
Dann haben wir gesagt, wir haben eine Drehfeder, das heißt irgendwo,
ich deute das mal so an, haben wir gegenüber fest.
Und am Körper befestigt wie so eine, früher gab es das in der Uhr, so
eine Unruh, also so eine Spiralfeder.
Federkonstante CD.
Wir haben eine horizontale Kraft FA, die am Schwerpunkt angreift.
Und wir haben den Einfluss der Schwerkraft, also Erdbeschleunigung G.
Das heißt, was wir jetzt zunächst machen müssen, ist, wir schneiden
unser Pendel frei.
Tragen alle äußeren Kräfte und Momente an, die da auftreten.
Und bilden dann, nach Einführen des Trägheitsmomentes, eine
Momentbilanz um den Punkt A.
Weil wir gesagt haben, wichtig sind die Momente um die Drehachse.
Und die Drehachse verläuft durch den Punkt A.
Deshalb schneiden wir jetzt nochmal das Ganze frei.
Wir hatten am Schwerpunkt angreifend das FA, da war S,
da war L.
Dann haben wir die Gewichtskraft, die geht vertikal nach unten, das
war MLG.
Dann haben wir das Moment von der Drehfeder, das ist dann ein freies
Moment.
Das können wir irgendwo hinzeichnen.
Das ist proportional dem Verdrehwinkel.
Und wenn wir annehmen, den Verdrehwinkel, den führen wir so ein, dass
das Pendel gerade in der vertikalen Lage sich befindet.
Dann haben wir also die Bewegung des Pendels beschrieben durch den
Winkel Phi.
Das Moment von der Drehfeder auf das physikalische Pendel wirkt
entgegen der Auslenkung.
Also haben wir jetzt einen Moment CD mal Phi entgegen dem Winkel Phi.
Und wenn wir richtig freischneiden, dann dürfen wir eigentlich auch
nicht vergessen, die Lagerkräfte AX und AY, die aber bei der
Berechnung keine Rolle spielen.
Warum?
Nun wir sollen ja gerade die Momentbilanz um die Drehachse machen.
Und da sehen wir, bezüglich der Drehachse haben die Lagerkräfte
natürlich keinen Hebelarm.
Was jetzt noch fehlt, das ist das Trägheitsmoment.
Da haben wir gesagt, das ist Theta bezüglich der Drehachse, aber in
negative Richtung der Winkelbeschleunigung.
Man sieht der Winkel Phi, den haben wir entgegen dem Uhrzeigersinn
eingetragen.
Damit geht auch Phi 2.0 entgegen dem Uhrzeigersinn.
Das heißt, unser Trägheitsmoment ist ein Moment im Uhrzeigersinn Theta
A mal Phi 2.0.
Was jetzt kommt, ist die Momentbilanz um die Drehachse, also bezüglich
dem Punkt A.
Da sehen wir, was haben wir da?
Lagerkräfte fallen raus.
Da haben wir zunächst mal Minus CD mal Phi.
Dann haben wir Minus Theta A mal Phi 2.0.
Dann haben wir Minus MLG mal den horizontalen Abstand vom Schwerpunkt
zum Lagerpunkt.
Das ist aber gerade L mal Sinus von Phi.
Ich zeichne nochmal den Winkel Phi ein.
Das war der Winkel Phi.
Also Sinus Phi mal L.
Dann haben wir Plus Kraft FA mal vertikaler Abstand zwischen A und S.
Das war aber gerade L mal Cosinus Phi.
Ansonsten haben wir nichts mehr.
Muss also gerade Null sein.
Und wir sehen, wir könnten es jetzt noch umformen in... bringen wir
alles, was den Winkel...
Im Prinzip könnte man es so lassen, oder wir schreiben Theta A mal Phi
2.0 Plus CD mal Phi plus MLG mal Sinus Phi gleich FA mal L mal Cosinus
Phi.
Man sieht insgesamt eine nicht-lineare Differentialgleichung als
Bewegungsgleichung.
Im Winkel Phi.
Zweiter Ordnung.
Und wenn wir jetzt sagen würden, wir untersuchen mal kleine
Schwingungen um die vertikale Ruhelage.
Also wenn kleine Schwingungen um den Winkel Phi gleich Null, dann
sieht man...
Dann könnte man das Sinus Phi linearisieren, das ergibt dann ungefähr
Phi.
Das Cosinus Phi, das wäre ungefähr 1.
Deshalb haben wir jetzt an der Stelle auch das FA mal L mal Cosinus
Phi nach rechts geschrieben.
Wenn wir das für beliebige Winkel Phi machen wollen, dann macht es
eigentlich keinen Sinn, das FA mal L mal Cosinus Phi nach rechts zu
schreiben, weil es beinhaltet ja ebenfalls den Winkel Phi.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann ich sage es nochmal für die, die vielleicht später
gekommen sind.
Ich muss heute leider ein bisschen früher aufhören, weil ich um 14 Uhr
in Kaiserslautern einen Kardiologentermin habe.
Wir machen die nächsten drei Mal, ich habe es dem Hausmeister schon
angekündigt, dafür etwas länger, dass wir auch mit dem Stoff sicher
durchkommen.
Soweit für heute.
Vielen Dank.