Guten Tag, meine Damen und Herren!
Ist es laut genug?
Wieder der kleine Hinweis, dass wir die Vorlesung aufzeichnen.
Eigentlich müsste jetzt schon jeder oder jede gemerkt haben.
Nun, wir sind immer noch bei den erzwungenen Schwingungen eines
Einfreiheitsgradsystems.
Da hatten wir das letzte Mal gesehen, gut, wenn wir ein lineares,
zeitinvariantes System, das hatten wir ja, wir hatten einen Schwinger,
bei dem waren die Koeffizienten in der Differenzialgleichung, welche
die Bewegung beschreibt, die waren konstant, hingen also nicht von der
Zeit ab und dann haben wir gesehen, mit einer harmonischen Funktion
erregt, antwortet der Schwinger ebenfalls harmonisch.
Allerdings, abhängig von der Erregerkreisfrequenz, und wichtig ist da
das Verhältnis von Erregerkreisfrequenz zu Eigenkreisfrequenz,
abhängig von dieser Frequenz ergeben sich unterschiedliche Amplituden
und auch Phasenverschiebungen zwischen Erregung und System an Bord.
Das Ganze wurde ja beschrieben,
letztendlich durch solche Vergrößerungsfunktionen, da haben wir
gesehen, wenn wir eine Krafterregung haben, beziehungsweise eine
Erregung über eine Feder, eine Fußpunkterregte, dann haben wir hier
das Frequenzverhältnis, das war Erregerkreisfrequenz dividiert durch
die Eigenkreisfrequenz Omega Null des ungedämpften Systems.
Hier hatten wir die Vergrößerungsfunktion, und wie gesagt, im Falle A
war das Erregung über eine Feder.
Dann haben wir in der Nähe der Resonanz bei Eta gleich 1, bei
schwacher Dämpfung sehr große Amplituden.
Ich deute das mal so an.
Die nehmen dann wieder ab.
Dann hatten wir für den Fall einer Massenkrafterregung, das war der
Fall C,
ein bisschen anderes Aussehen wie der sehr große Amplituden in der
Nähe von Eta gleich 1 bei der Resonanzstelle.
Allerdings fängt bei der Massenkrafterregung die Kurve bei Eta gleich
Null bei Null an.
Warum?
Nun, wenn die Drehzahl bei einer Massenkrafterregung sehr klein ist
oder im Grenzfall Null, dann findet natürlich keine Erregung statt.
Die Kraft war ja proportional zum Quadrat der Drehgeschwindigkeit,
also dem Omega bzw.
dem Eta.
Und wir haben gesehen, na gut, bei der Massenkrafterregung ist es so,
dass der Betrag 1 die Asymptote ist für Eta gegen Unendlich.
Also letztendlich sieht das Ganze dann so aus.
Irgendwo die Maximalamplitude bei einer schwachen Dämpfung in der Nähe
von Eta gleich 1.
Und ansonsten geht es für große Werte von Eta gegen die 1.
Nun, in allen Fällen konnten wir dann noch die Phasenverschiebung
angeben.
Wir hatten das so definiert, dass die Phasenverschiebung Epsilon sich
positiv ergibt als Funktion von Eta.
Da war charakteristisch, bei Eta gleich 1 gehen alle Kurven durch den
Punkt Pi Halbe.
Dann für große Werte von Eta geht es Epsilon gegen Pi.
Das sah also irgendwie so aus.
Und in allen drei Diagrammen hatten wir gesehen, hängen die Kurven
davon ab, wie groß unser Dämpfungsparameter D ist.
Vielleicht nochmal zur Erinnerung.
Im Falle A war die Vergrößerungsfunktion gegeben durch 1, dividiert
durch Wurzel aus 1 minus Eta zum Quadrat, zum Quadrat plus jetzt das
2D Eta in Klammer zum Quadrat.
Und den Phasenwinkel will ich jetzt nicht unbedingt nochmal angeben
als Tangens von Epsilon gleich 2D Eta durch 1 minus Eta Quadrat.
Vielleicht könnte man es auch angeben.
So waren ja die Zusammenhänge.
Und dann haben wir gesehen, na gut, wenn wir eine sinusförmige
Erregung haben oder eine kosinusförmige Erregung, dann ist unsere
Systemantwort eben auch sinus- oder kosinusförmig, allerdings noch
multipliziert mit dem Va.
Und im Kosinus oder im Sinus tritt dann noch der Phasenwinkel Epsilon
auf.
Also x von T ist dann V mal dem Y0 mal dem Kosinus von Omega T minus
Epsilon bei einer kosinusförmigen Erregung.
Das heißt,
die Erregung hatte dann die Form,
also Y von T, die Erregung, war dann eben Y0 mal Cosinus von Omega T.
Beim Sinus geht es natürlich genauso.
Also analog bei Y von T gleich Y0 Sinus Omega T.
Dann steht eben oben anstatt Cosinus Omega T minus Y der Sinus Omega T
minus Y.
Jetzt können wir uns ein bisschen an die Mathematik zurückerinnern.
Sinus und Cosinus, Omega T unter Umständen auch mit einem
Phasenwinkel, das sollte uns vielleicht an die komplexen Zahlen
erinnern.
Warum?
Und das sehen wir jetzt im Folgenden bei der Frequenzgangrechnung.
Das heißt, da wenden wir jetzt eine
komplexe Rechnung, beziehungsweise wir verwenden komplexe Zahlen, um
die Lösung der erzwungenen Schwingungen zu bestimmen.
Erfahrungsgemäß haben die Maschinenbauer damit leichte Probleme, oder
tun sich zumindest ein bisschen schwer damit.
Wer von Ihnen ist Mechatroniker?
Die sollten sich ein bisschen leichter tun.
Warum?
Was unterscheidet den Mechatroniker vom Maschinenbauer?
Und er hat ein bisschen mehr Elektrotechnik.
Am Wochenende hatten wir gerade einen 24-Stunden-Workshop von der
Fakultät und da kam gerade zum Ausdruck, dass eigentlich die
Mechatroniker das Maschinenbaustudium aufgedrückt kriegen,
gleichzeitig aber auch das Elektrotechnikstudium.
Und die Elektrotechniker, das sind natürlich begnadete Leute, die sehr
viel mit komplexen Zahlen rechnen.
Warum machen die das?
Nun, die haben sehr viel mit Schwingungen zu tun.
Nicht nur mit Schwingungen, wenn man das Handy bedient, sondern schon
ganz konventionell, wenn wir an die Steckdose denken.
Warum?
Dann haben wir Wechselstrom.
Wechselstrom heißt, wir haben einen harmonischen Verlauf von der
Spannung.
Und wenn wir jetzt lineare Systemelemente haben, dann wissen Sie ja
gut, Spannung harmonisch heißt, auch der Strom wird irgendwie
harmonisch sein.
Und so viel Wissen sollte eigentlich der Maschinenbauer noch
mitbringen, dass, egal ob wir da einen Widerstand oder einen
Kondensator oder irgendwas haben, das führt immer wieder auf
harmonische Signale.
Weshalb der Elektrotechniker dann auch sofort zur Größen definiert,
wie die Impedanz.
Weiß jeder, was eine Impedanz ist?
Fragen wir mal die Mechatroniker.
So in der Elektrotechnik, was wäre eine typische Impedanz?
Wie groß ist die Impedanz bei einer Spule?
Ah, man muss immer ein bisschen aufpassen.
Ich sage ja dem Maschinenbauer oder den Studenten immer, wenn man in
der Mechanik was macht, bezieht man sich am besten auf den
Schwerpunkt, dann sind die Formeln leicht.
Wenn man an die Impedanz denkt, da gibt es auch etwas ganz leichtes,
nämlich den ohmschen Widerstand, weil der ohmsche Widerstand hat eine
Impedanz R.
So kann man es sich am leichtesten merken.
Und ganz analog ist es natürlich so, bei einer Spule, wenn ich da
Wechselstrom habe, dann steigt der Widerstand mit steigender Frequenz.
Anders bei einer Kapazität, dann nimmt der Widerstand ab, also muss es
dort 1 durch j Omega C sein.
Naja, auch in der Mechanik nochmal was gelernt.
So, lange Rede, kurzer Sinn.
Bei den Elektrotechnikern war das schon immer sehr viel weiter
verbreitet, mit komplexen Zahlen und dem Frequenzgang zu rechnen.
Also...
Und ja, den Mechatronikern sei gesagt, auch in der Mechanik kann man
eine Impedanz definieren.
Und wenn man sich das einfach merken will, dann merkt man sich, die
Impedanz von einem Dämpfer ist die Dämpfungskonstante bei einem
Viskosen.
Also dort kann man sich das Leben auch relativ einfach machen.
Also ist es dort die Kraftamplitude dividiert durch die
Geschwindigkeitsamplitude, immer harmonische Vorgänge vorausgesetzt.
Und bei der Elektrotechnik dann eben die Spannungsamplitude, die
dividiert durch die Stromamplitude und dann kommt sofort das R ins
Spiel.
So.
Dazu schauen wir jetzt zunächst mal die komplexe Zeichenebene an, der
Zahlenebene.
Das heißt, wir haben irgendwo den Realteil und den Imaginärteil.
Und wenn wir jetzt mal so einen Zeiger nehmen mit der Länge A und der
rotiert in unsere komplexen Zahlenebene.
Also dann haben wir hier so einen Kreis.
Wir haben hier den Winkel Phi.
Und dann sehen wir, das A
von T ist dann gerade Länge des Zeigers mal e hoch i mal Phi.
i, die imaginäre Einheit, die bei den Elektrotechnikern, um das nicht
mit dem Strom zu verwechseln, eben oft mit dort bezeichnet wird.
Und wenn jetzt der Winkel Phi kontinuierlich mit der Zeit zunimmt und
bei T gleich Null meinetwegen so
einen Winkel Alpha einschließt, das wäre also der Winkel.
Bei T gleich Null.
Dann sehen wir, wir können das natürlich dann darstellen als A mal e
hoch i und das Phi ist dann einfach Omega mal T plus Alpha.
Der Betrag von e hoch i Omega T plus Alpha ist ja immer eins.
Und letztendlich führt das dazu, dass der Zeiger entgegen dem
Uhrzeigersinn in der komplexen Zahlenebene rotiert.
Wenn aber der Zeiger in der komplexen Zahlenebene rotiert, dann können
wir den natürlich entweder auf die reelle Achse projizieren oder auf
die imaginäre Achse.
Dazu verwenden wir am besten die Euler'sche Formel.
Also Zerlegung mit Euler'scher Formel.
Das nämlich gilt, dass e hoch i Omega T plus Alpha, wir haben zunächst
mal A von T gleich A, und das e hoch i Omega T plus Alpha, das können
wir dann schreiben als Cosinus der runden Klammer plus i mal Sinus der
runden Klammer.
Dann haben wir also Cosinus von Omega T plus Alpha plus i mal Sinus
von Omega T plus Alpha.
Und jetzt sehen wir, die Projektion
auf die Achsen, also entweder die reelle oder die imaginäre Achse, der
ergibt jetzt Realteil.
Dieser komplexen Größe A von T ist dann einfach A mal Cosinus von
Omega T plus Alpha und der imaginäre Teil entsprechend dann A mal
Sinus von Omega T.
Wenn wir jetzt aber das mithilfe von so einem komplexen Zeiger machen,
dann sehen wir, die Differentiation wird
bei solchen harmonischen Vorgängen sehr einfach.
Wenn gesagt, das A ist A mal e hoch i Omega T plus Alpha, dann sehen
wir, das A Punkt ist dann die Zeitableitung A mal i Omega oder i mal
Omega mal A mal e hoch.
i Omega T plus Alpha und die zweite Zeitableitung A2 Punkt ist dann i
Omega zum Quadrat, also minus Omega Quadrat mal A mal e hoch i Omega T
plus Alpha.
Jetzt sehen wir, A mal e hoch i Omega T plus Alpha, das haben wir ja
gerade wieder an der Stelle, also ergibt das gerade i mal Omega mal A.
Wir haben das A auch an der Stelle, also ergibt die zweite
Zeitableitung minus Omega Quadrat mal A.
Allerdings immer sich bewusst sein, das gilt nicht für beliebige
Zeitfunktionen A von T, sondern eben unter der Voraussetzung, dass ich
für A einen harmonischen Verlauf habe.
Das heißt, wenn ich das darstellen will, dann habe ich meinetwegen an
der Stelle das A.
Das A Punkt war das A multipliziert mit i Omega.
Was bedeutet die Multiplikation mit i Omega?
Zum einen bedeutet das, dass natürlich sich die Länge des Zeigers ein
bisschen ändert.
Schon von der Dimension her muss ja der anders sein.
Zum anderen bedeutet das aber, eine Multiplikation mit i heißt, eine
zusätzliche Phasenverschiebung in der komplexen Zahlenebene von wie
viel?
Von 90 Grad.
Und in welche Richtung nun?
In Richtung von positive Phi.
Also, das A Punkt
ist dann meinetwegen so ein Zeiger, das war i Omega mal A.
Und das A2 Punkt, das sehen wir, das geht in die entgegengesetzte
Richtung wie das A wegen dem Minuszeichen und hat natürlich auch eine
andere Länge und eine andere Dimension.
Also letztendlich geht es dann in der Richtung.
Und alles sind aber nach wie vor umlaufende Zeiger in der komplexen
Zahlenebene und zwar umlaufend mit zunehmender Zeit t.
So, jetzt wollen wir das Ganze anwenden bei
den erzwungenen Spinnungen.
Schauen wir nochmal die Differenzialgleichung dazu an, das war das X2
Punkt plus 2D Omega 0 mal X Punkt plus Omega 0 Quadrat mal X.
Gleich Omega 0 Quadrat mal E mal Y0 und jetzt hatten wir bei einer
sinusförmigen Erregung den Sinus Omega T drin stehen bzw.
den Cosinus Omega T.
Ich schreibe das mal so, Sinus Omega T oder eben Cosinus Omega T.
Wir können sogar hergehen und das sogar noch ein bisschen weiter
abstrahieren.
Wir haben ja zunächst mal eine Erregung,
dann haben wir den Schwinger und
daraus die erzwungene Schwingung.
Also die Zwangsschwingung,
das können wir auch ein bisschen allgemeiner formulieren im Sinne der
linearen Systemtheorie,
zum Beispiel in der Regelungstechnik.
Und die Regelungstechnik, die kommt bei Ihnen oder zumindest bei den
Maschinenbauern.
Ich muss mich immer ein bisschen korrigieren, wenn viele verschiedene
Studiengänge drin sitzen.
Aber die Maschinenbauer haben die Regelungstechnik im nächsten
Semester.
Da wird ähnliches gemacht, bloß dass dort die Differenzialgleichung
nicht so speziell ist wie hier, sondern man hat einfach ein System,
das durch eine lineare, zeitunabhängige Differenzialgleichung
beschrieben wird, die zunächst mal beliebiger Ordnung ist, N-Ordnung.
Und wenn man diese Systeme dann entsprechend harmonisch erregt, auch
dann sieht man, ist die Antwort, nämlich die erzwungene Schwingung,
ebenfalls eine harmonische Funktion.
Ganz analog tritt eine Änderung der Amplitude ein, die
frequenzabhängig ist, und auch eine Phasenverschiebung, die auch
frequenzabhängig ist.
Also das, was wir jetzt speziell für den Schwinger gemacht haben, das
tritt dort bei einem ganz allgemeinen System auf.
Und bei der Regelungstechnik oder bei der linearen Systemtheorie, da
würde man jetzt nicht mehr von einem Schwinger und einer Erregung und
einer Zwangsschwingung usw.
sprechen.
Sondern da hat man einfach dann zunächst mal das System als solches,
muss noch überlegen, durch was man das beschreibt.
Wir würden das zunächst mal vielleicht durch eine
Differenzialgleichung beschreiben.
Jetzt werden wir sehen, im Sinne unserer Frequenzgangrechnung, könnten
wir das System auch durch den Frequenzgang beschreiben.
Oder, was ganz verwandt ist damit, in der Regelungstheorie, denken Sie
im nächsten Semester mal an mich, da führt man dann die sogenannte
Übertragungsfunktion ein.
Was dazu noch notwendig ist, ist einfach eine Laplace-Transformation
der Differenzialgleichung, aber wie gesagt, das machen Sie dann in der
Regelungstechnik.
Unser System hat einen Systemeingang,
das wäre bei uns das Y von T und einen Systemausgang,
das wäre das X von T.
Jetzt haben wir gesagt, harmonische Erregung,
da haben wir Y von T, zum Beispiel als Y0 mal Sinus Omega T, sowohl
die Amplitude der Erregung wie auch die Erregerkreisfrequenz, die sind
gegeben.
Und das könnten wir auch darstellen, haben wir gesehen, als
Imaginärteil von Y0 mal E hoch I Omega T.
Die Systemantwort haben
wir gesehen, die war ebenfalls harmonisch, nämlich X von T war
Vergrößerungsfunktion V mal Y0 und bei einer sinusförmigen Erregung
dann in der Form Sinus Omega T minus Y.
Und wir sehen, auch das können wir natürlich darstellen durch so eine
komplexe Erweiterung, indem wir einfach sagen, na gut, das ist ja dann
der Imaginärteil von V mal Y0 mal, und Sinus Omega T minus Y war ja E
hoch I Omega T minus Y.
Das können wir umformen als Imaginärteil von V mal Y0 und das E hoch I
Omega T minus Y stellen wir da als E hoch I Omega T mal E hoch minus I
mal Y.
Beziehungsweise, das können wir jetzt darstellen als Imaginärteil von
V mal E hoch minus I Epsilon mal Y0 E hoch I Omega T.
Wir sehen, das war unser Y von T, sodass wieder unter der
Voraussetzung, dass wir als Eingangsgröße ein harmonisches Signal
haben in der Form, wir letztendlich schreiben können, gleich
Imaginärteil von, jetzt haben wir hier das zusammengefasst, nennen wir
das mal F mal Y von T.
Man sieht, dieser Faktor, der hängt eigentlich nicht von der Zeit ab.
Die Vergrößerungsfunktion, gut, die hängt von der Frequenz Omega ab,
weil ja das Eta von Omega abhängt, hängt natürlich auch von den
Systemparametern ab, weil das Eta auch von Omega Null abhängt und das
Ganze noch vom Dämpfungsparameter.
Das Epsilon, auch das hängt von der Erregerkreisfrequenz ab.
Also wird das F von Omega abhängen und wenn man das ein bisschen
genauer untersucht, dann stellt man fest, das hängt nicht nur von
Omega ab, das hängt letztendlich von I Omega ab.
Also wir haben jetzt so ein F von I Omega mal Y von T und wenn wir das
jetzt praktisch so verfolgen, dann sehen wir, na gut, wenn wir sagen,
wir haben eine harmonische Erregung in der Form Y Null Sinus Omega T,
dann können wir das gleich darstellen als Imaginärteil von Y Null E
hoch I Omega T.
Dann wissen wir, die Systemantwort stellt sich dann dar als das F von
I Omega mal dem Y von T letztendlich und davon müssen wir nur den
Imaginärteil nehmen.
Also wenn wir das F von I Omega erkennen, dann kennen wir auch eine
particuläre Lösung.
Das ist jetzt praktisch die Idee dabei.
Und das F von I Omega, das ist jetzt der komplexe Frequenzgang.
Man sagt als Frequenzgang, aber weil der eben im Allgemeinen komplex
ist, komplexer Frequenzgang.
Und wir könnten den jetzt natürlich bestimmen.
Warum?
Wir hätten natürlich das V aus der Rechnung zuvor, dann hätten wir
irgendwo auch das Epsilon.
Also wir würden jetzt in dem Falle, könnten wir sagen, was das F von I
Omega ist.
Interessanter ist natürlich, wenn man nicht das V hat und nicht das
Epsilon, sondern direkt das F von I Omega bestimmt.
Nun,
wie muss man das machen?
Bestimmung von F von I Omega.
Und wir haben gesagt, unsere Erregung sei Y0
mal E hoch I Omega T.
Jetzt kann jemand sagen, nee, das haben wir nicht gesagt, wir haben ja
Sinus oder Kosinus genommen.
Wir sagen, wir haben jetzt eine Erregung in der Form E hoch I Omega T
und je nachdem, ob das sinusförmig war oder kosinusförmig, sagen wir,
gut, im Gedanken nehmen wir immer nur den imaginären Teil oder den
Realteil, je nachdem.
Und als Systemantwort haben
wir X von T gleich F von I Omega mal Y0 mal E hoch I Omega T.
Wie gesagt, die Phasenverschiebung steckt jetzt in dem F von I Omega
drin.
Und wir sehen, na gut, wenn wir bei der Erregung nur den imaginären
Teil genommen haben, dann müssen wir bei der Systemantwort, wenn wir
das Komplexrechnen auch nur den imaginären Teil nehmen, oder wenn wir
oben den Realteil genommen haben, nehmen wir unten den Realteil.
Dann haben wir gar keine Probleme mehr damit.
Jetzt gehen wir mal davon aus, wir haben nicht unsere
Schwingungsdifferenzialgleichung, die eine Differenzialgleichung
zweiter Ordnung ist, sondern wir haben eine, die höherer Ordnung ist.
Wenn die dann später zweiter Ordnung ist, umso besser.
Und jetzt sehen wir, wenn wir eine Differenzialgleichung haben, im
Sinne unseres Systemes, beschrieben durch eine Differenzialgleichung,
bei uns in der Schwingungslehre, wenn wir einen Ein-Massenschwinger
haben, ist das eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung, aber es
könnte natürlich auch was Komplizierteres sein.
Dann haben wir also xn mal abgeleitet plus, das schreiben wir da noch
ein Koeffizient an davor, dann haben wir hier an-1 xn-1 mal nach der
Zeit differenziert bis a1 mal x Punkt plus a0 mal x gleich und rechts
hatten wir ja gesagt, wir nehmen mal eine Erregung, kleiner Hinweis in
der Regelungstechnik, wird es so formuliert, dass auf der rechten
Seite auch Ableitungen der Eingangsgröße auftreten können.
Macht ja Sinn.
Und es macht natürlich Sinn.
Stellen Sie einfach mal die Differenzialgleichung für ein
Viertelfahrzeugmodell auf.
Also wir haben jetzt ein Viertelfahrzeugmodell, heißt wir haben
einfach eine Masse, Feder und Dämpfer
und dann haben wir praktisch unten das Rad, das fährt jetzt aber über
eine Bodenunebenheit und die Bodenunebenheit wird beschrieben durch
das y, eigentlich von x, aber wenn wir mit einer konstanten
Geschwindigkeit da drüber fahren, wissen wir, dann ist das auch eine
Erregung y von t.
Und wenn Sie für so ein System die Bewegungsgleichung aufstellen, dann
sehen Sie, auf dem Dämpfer tritt auf der rechten Seite auch die
Ableitung der Eingangsgröße auf.
Das macht die Regelungstechnik, das lassen wir jetzt mal ein bisschen
außen vor, obwohl es in der Mechanik auftreten kann.
Wir gehen davon aus, weil wir haben ja unsere
Schwingungsdifferenzialgleichung im Hinterkopf, dass das gerade sein
soll, den y0 mal e hoch i Omega t.
Und wir suchen eine partikuläre Lösung.
Eine partikuläre Lösung heißt, wir machen jetzt für unsere partikuläre
Lösung einen Ansatz
der Form f von i Omega mal y0 mal e hoch i Omega t.
Das war unser Lösungsansatz und wir sehen, was wir da noch verändern
können oder anpassen, ist f von i Omega.
Das können wir also so wählen, dass der Lösungsansatz die
Differenzialgleichung erfüllt.
So müssen wir das jetzt im Grunde genommen formulieren.
Das heißt, wir setzen diesen Lösungsansatz in die
Differenzialgleichung ein.
Schauen wir zunächst mal auf die verschiedenen Ableitungen.
Dann sehen wir, xp ist f von i Omega mal y0 e hoch i Omega t.
Das xp Punkt ist, das war ein konstanter Faktor,
mal der Ableitung von dem hier, das ist aber i Omega, mal y0 mal e
hoch i Omega t.
Das xp2 Punkt ist f
von i Omega mal i Omega, jetzt kommt nochmals beim Ableitenden i Omega
dazu, also i Omega Quadrat, y0 mal e hoch i Omega t.
Bis hin zu xp, n mal abgeleitet, ist dann f von i Omega mal i Omega
hoch n mal y0 mal e hoch i Omega t.
Das heißt, wenn ich das alles in die Differenzialgleichung einsetze,
dann sehe ich, von jedem Term habe ich jetzt y0 mal e hoch i Omega t.
Das kann ich also links ausklammern.
Dann habe ich jedes Mal dabei das f von i Omega, auch das kann ich
ausklammern.
Und was ich dann noch multiplizieren muss, ist jeden Koeffizient mit
dem i Omega hoch n hoch n-1 und so weiter.
Also letztendlich ergibt sich an mal i Omega hoch n plus an-1 mal i
Omega hoch n-1 bis a1 mal i Omega plus a0.
Das heißt, ich habe jetzt y0 mal, jetzt haben wir hier das f von i
Omega, jetzt steht noch dabei das y0 mal e hoch i Omega t, das steht
aber auch rechts.
Das heißt, das kann ich auf beiden Seiten der Gleichung kürzen.
Ihr könnt es vielleicht aber auch der Vollständigkeit haltbar
hinschreiben, also mal y0 e hoch i Omega t gleich y0 e hoch i Omega t.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das kürzen, dann steht rechts die 1.
Unsere Differenzialgleichung, die inhomogene, ist erfüllt, wenn diese
Gleichung erfüllt ist.
Das ist erfüllt, wenn das f von i Omega,
gerade ergibt 1, dividiert durch i Omega hoch n plus i Omega hoch n-1.
Da fehlt noch das an, an-1 und dann bis hin zu a1 mal i Omega plus a0.
Und jetzt sehen wir auch, warum der Frequenzgang von i Omega abhängt.
Jetzt sehen wir auch, na gut, wenn wir das i Omega zum Quadrat, ist
minus Omega Quadrat.
Allerdings das i Omega, das ergibt eine Phasenverschiebung von 90 Grad
und so weiter.
Also letztendlich haben wir da immer reelle und imaginäre Teile drin
stehen.
Wir können alle reellen Teile im Nenner zusammenfassen, alle
imaginären Teile im Nenner zusammenfassen.
Damit sehen wir, unser Nenner ist komplex.
1 durch eine komplexe Zahl ergibt wieder eine komplexe Zahl.
Also unser Frequenzgang setzt sich zusammen aus einem Realteil und
einem Imaginärteil.
Also f von i Omega hat Realteil und Imaginärteil.
Also ist letztendlich eine komplexe Zahl.
Wir sehen aber auch, der Realteil ändert sich mit der
Erregerkreisfrequenz und der Imaginärteil ändert sich mit der
Erregerkreisfrequenz.
Also beide Anteile hängen
von Omega ab.
Und wenn ich eine Größe habe, die komplex ist und bei der sich
Realteil und Imaginärteil mit einem Parameter ändern, dann kann ich
diese Größe als Kurve in der komplexen Zahlenebene darstellen, wobei
eben die Größe in Abhängigkeit derer sich das Ganze ändert, als
Kurvenparameter dient.
Das heißt, ich kann jetzt hergehen, den Frequenzgang in der komplexen
Zahlenebene darstellen.
Das heißt, ich habe dann irgendwo auf der Horizontalen den Realteil,
auf der Vertikalen den Imaginärteil.
Und jetzt trage ich sämtliche Punkte hier ein, abhängig von Omega.
Das heißt, wir haben zunächst mal irgendwo Omega gleich 0.
Und man sieht, wenn Omega gleich 0 ist, würde das bei uns jetzt
bedeuten, in unserem Fall 1 dividiert durch A0.
Das wäre irgendwo auf der reellen Achse.
Wie der Verlauf in der komplexen Zahlenebene ist, das hängt jetzt
natürlich von den Systemparametern ab, sprich vom konkreten System,
also für jedes System gibt sich da unter Umständen ein anderer
Verlauf.
Ich trage jetzt nur mal so einen typischen Verlauf ein.
Und jetzt sieht man, wenn wir hier bei Omega gleich 0 starten, dann
heißt das, mit zunehmendem Omega bewegen wir uns entlang der Kurve.
Aber wieder Vorsicht, nach wie vor wird vorausgesetzt, dass während
der Schwingung das Omega sich nicht ändert.
Also Omega ist immer eine konstante Erregerkreisfrequenz.
Die ändert sich während dem Experiment nicht.
Allerdings können wir verschiedene Experimente machen und verschiedene
Erregerkreisfrequenzen wählen.
So, wenn wir jetzt eine bestimmte Frequenz wählen, dann ergibt es so
einen Zeiger.
Und jetzt ist die Länge des Zeigers gerade wieder der Betrag des
Frequenzganges, das war ja V.
Und da wir e hoch minus i Epsilon vorausgesetzt hatten in unserem
Ansatz, ist das Epsilon positiv nach unten.
Also dann wäre in dem Fall hier das Epsilon.
Und jetzt sehen wir, ah gut, das V von Omega ist natürlich gerade der
Betrag von F von i Omega.
Und das war die Vergrößerungsfunktion.
Und für den Tangens von Epsilon, der auch von Omega abhängt, da sehen
wir, hier unten ist ja der Imaginärteil negativ.
Also müssen wir von dem das Negative nehmen und durch den Realteil
dividieren.
Dann gibt es gerade den Tangens von Epsilon, also Minus-Imaginärteil
von F von i Omega, dividiert durch den Realteil von F von i Omega.
Würden Sie mir mal die linken Tafeln auswischen, beziehungsweise die
lassen Sie mir mal.
Aber die drei und die obere.
So, das war jetzt mal ganz allgemein.
Jetzt kommen wir wieder zurück zu unserer
Ausgangsdifferenzialgleichung für den Schwinger.
Dort hatten wir ja als Differenzialgleichung das x2-Punkt plus 2d
Omega0 mal x-Punkt plus Omega0-Quadrat mal x Gleich Omega-Nullquadrat
E mal Y0 mal E hoch I Omega T.
Wenn wir gleich die komplexe Erweiterung damit reinstecken.
Das heißt, wenn wir unseren Ansatz hier wieder nehmen.
Antwort war F von I Omega Y0 mal E hoch I Omega T.
Dann ergibt das in dem Falle I Omega zum Quadrat mal Y0 mal
F von I Omega mal E hoch I Omega T.
Das war die zweite Ableitung von X.
Plus 2 D Omega Null.
Und beim X-Punkt steht eben ein I Omega dabei.
Mal Y0 F von I Omega E hoch I Omega T.
Plus Omega-Nullquadrat.
Mal dem hier gleich auf der rechten Seite.
Omega-Nullquadrat E mal Y0 mal E hoch I Omega T.
Wir sehen, das E hoch I Omega T, das kürzt sich heraus.
Das Y0, das kürzt sich heraus.
Was noch stehen bleibt rechts ist das Omega-Nullquadrat mal E.
Links die eckige Klammer mal F von I Omega.
Also aufgelöst nach F von I Omega ergibt das gerade Omega-Nullquadrat
mal E.
Dividiert durch... und jetzt I Omega zum Quadrat ist natürlich minus
Omega zum Quadrat.
Plus Omega-Nullquadrat ergibt Omega-Nullquadrat minus Omega-Quadrat.
Plus eben 2 D Omega Null mal Omega mal I.
Man sieht also, der Nenner ist komplex.
Da haben wir den Realteil stehen, hier den Imaginärteil.
Allerdings müssen wir uns bewusst sein, Realteil und Imaginärteil ist
nicht gleich.
Realteil und Imaginärteil von dem,
was wir da oben brauchen.
Es ist die Frage, wie können wir da Real- und Imaginärteil bestimmen.
Nun zunächst mal machen wir an der Stelle dasselbe, was wir vorher
schon gemacht haben.
Nämlich wir klammern mal im Zähler und im Nenner das Omega-Nullquadrat
aus.
Ist also Omega-Nullquadrat mal E.
Dividiert durch Omega-Nullquadrat.
Dann steht hier 1 minus Omega-Nullquadrat.
Das war das Frequenzverhältnis zum Quadrat, das war das Eta-Quadrat.
Und hier steht 2 mal D.
1 Omega-Null haben wir jetzt schon vorne, jetzt steht hier noch Omega
durch Omega-Null.
Das war wieder das Eta mal I.
Und jetzt sehen wir, auch da können wir jetzt das Omega-Nullquadrat
kürzen.
Und unser Frequenzgang hängt natürlich von Eta ab, hängt von
Dämpfungsparameter ab.
Hängt aber auch noch ab vom E, also was für eine Art von Erregung wir
haben.
Und wir können jetzt mal einfach so eine Fußpunkterregung über eine
Feder nehmen.
Also zum Beispiel Krafterregung oder Federerregung.
Dort war nämlich gerade das E gleich 1.
Bei einer Massenkrafterregung war das E gerade Eta-Quadrat.
Wenn das aber 1 ist, dann ist das F von I Eta, in dem Falle gerade 1,
dividiert durch 1 minus Eta-Quadrat plus 2D Eta mal I.
Um
jetzt in Realteil und Imaginärteil aufzusplitten, erweitern wir das
Ganze mit dem konjugiert-komplexen Nenner.
Was heißt konjugiert-komplex?
Und das heißt, der Realteil ist dasselbe, der Imaginärteil ist
betragsmäßig dasselbe, ändert aber das Vorzeichen.
Also wir multiplizieren Zähler und Nenner mit Realteil war 1 minus Eta
-Quadrat plus, jetzt Imaginärteil, Vorzeichen geändert, heißt minus 2D
Eta mal I, dividiert durch, jetzt haben wir unten, wenn wir den Nenner
mit dem konjugiert-komplexen Nenner durchmultiplizieren, dann ergibt
das gerade, wer weiß es, Realteil zum Quadrat vom Nenner plus
Imaginärteil zum Quadrat.
Schauen Sie nochmal bei der Mathematik nach.
A plus I mal B, das war Realteil, plus I mal Imaginärteil B,
multipliziert mit dem konjugiert-komplexen ist A minus IB.
Und jetzt sehen wir, wenn wir das ausmultiplizieren, ergibt das A
-Quadrat.
Dann haben wir A mal minus IB plus A mal IB, das kürzt sich also weg,
bleibt noch übrig, I mal B mal minus I mal B, I mal I ist minus 1, mit
dem Minus gibt es plus 1, gibt gerade B-Quadrat.
Also wenn wir das einsetzen, dann erhalten wir unten, der Realteil war
ja 1 minus Eta-Quadrat, das zum Quadrat, und der Imaginärteil war ja
gerade 2D-Eta, also erhalten wir auch das 2D-Eta zum Quadrat.
Jetzt haben wir einen reellen Nenner, das heißt, das F von I-Eta
können wir jetzt darstellen als 1 minus Eta-Quadrat dividiert durch 1
minus Eta-Quadrat zum Quadrat plus 2D-Eta zum Quadrat plus I mal,
jetzt müssen wir aufpassen, oben haben wir beim I ein Minuszeichen,
also minus 2D-Eta dividiert durch den gleichen Nenner, das war 1 minus
Eta -Quadrat zum Quadrat plus 2D-Eta zum Quadrat.
Das heißt, das ist jetzt der Realteil und das hier hinten mit dem
Minuszeichen noch dabei, das ist der Imaginärteil.
Jetzt können wir natürlich verschiedene Werte von Eta einsetzen bei
gegebenen Dämpfungsparameter und für die verschiedenen Werte von Eta
jeweils die Punkte einzeichnen in der komplexen Zahlenebene, also
Imaginärteil und Realteil und dann verbinden, so hat man das zu meiner
Studienzeit gemacht, Sie, die heute Mabel haben oder Matlab oder sonst
irgendwas, Sie können das natürlich relativ schnell auf dem Rechner
darstellen lassen.
Was sich letztendlich in dem Falle ergibt, ist für
den Frequenzgang, dann man sieht, der Imaginärteil für Eta gleich 0
ist 0, der Imaginärteil für Eta gleich 0 ist, hier, das fällt weg, das
gibt gerade eine 1, das gibt eine 1, ist also gerade 1, also die Kurve
beginnt an der Stelle und jetzt sieht man auch gut, für Eta gleich 1
an der Resonanzstelle, wenn wir die linken Diagramme angeschaut haben,
verschwindet der Term gerade, der hier verschwindet auch, also
insgesamt wäre der Realteil 0, das heißt, die Resonanzstelle befindet
sich auf der imaginären Achse, das korrespondiert auch mit
Phasenverschiebung Pi halbe, die wir hier finden.
Der Imaginärteil für Eta gleich 1, da sehen wir, das verschwindet
hier, ist dann also minus 2D Eta, dividiert durch 2D Eta zum Quadrat,
und für Eta gleich 1, ergibt es gerade minus 1 durch 2D.
Und wenn wir die Kurve dann mal so zeichnen,
sieht die ungefähr so aus.
Also das war der Schnittpunkt mit der imaginären Achse.
Für große Werte von Eta, da sieht man, da ist der Phasenwinkel, geht
gegen Pi, das Epsilon, und der Betrag geht gegen 0.
Wenn wir mal für ein bestimmtes Eta das Ganze einzeichnen, dann haben
wir an der Stelle V von Eta, haben nach unten gehend den Phasenwinkel
Epsilon, abhängig von Eta, und wir wissen,
dass V ist der Betrag.
Also V ist der Betrag von I Eta, das ist also der Realteil zum
Quadrat, plus Imaginärteil zum Quadrat, und davon die Wurzel.
Und wenn wir Realteil zum Quadrat und Imaginärteil zum Quadrat machen,
und daraus die Wurzel, dann sehen wir, der Nenner war in beiden für
Imaginärteil und Realteil derselbe.
Wenn wir den quadrieren und wieder die Wurzel ziehen, erhalten wir
gerade den ursprünglichen Nenner.
Es gibt also in unserem Falle den ursprünglichen Nenner.
Das war 1 minus Eta Quadrat zum Quadrat plus 2d Eta zum Quadrat.
Und im Zähler haben wir jetzt eben vom Realteil den Zähler zum
Quadrat, vom Imaginärteil den Zähler zum Quadrat, und daraus die
Wurzel.
Das ergibt also 1 minus Eta Quadrat zum Quadrat plus 2d Eta zum
Quadrat, und daraus die Wurzel.
Jetzt sehen wir, da haben wir die Wurzel aus dem, da haben wir das
Ganze selbst.
Also einmal kürzt sich die Wurzel weg.
Es ergibt 1 dividiert durch Wurzel aus 1 minus Eta Quadrat zum Quadrat
plus 2d Eta zum Quadrat.
Es gibt natürlich dasselbe Ergebnis wie schon zuvor.
Im Falle der Krafterregung oder Erregung über eine Fußpunktbewegung
von einer Feder, hat man das ja auch an der Stelle schon.
Das Ergebnis muss natürlich dasselbe sein.
Man sieht aber, im Grunde genommen kann ich das mit einer komplexen
Rechnung sehr viel einfacher herleiten, als wenn ich das im Reellen
machen muss.
Dort haben wir die Phasenverschiebung dadurch erschlagen, dass wir
gesagt haben, die Systemantwort ist A1 mal Kosinus Omega t plus A2 mal
Sinus Omega t.
Dann müssen wir das A1 und das A2 bestimmen, müssen dazu den Ansatz in
die Differenzialgleichung einsetzen und dann das
Lineargleichungssystem für das A1 und das A2 lösen.
Da auf der rechten Seite Rechnung durch das Komplexe geht eigentlich
viel einfacher.
Und was erhalten wir für den Phasenwinkel?
Da sehen wir Tankens Epsilon ist Minus Imaginärteil dividiert durch
den Realteil.
Wenn wir das Verhältnis von Imaginärteil und Realteil bilden, dann
kürzen sich die beiden Nennern.
Die kürzen sich raus.
Dann bleibt also stehen Minus Imaginärteil, das ist gerade mit dem
Minus hier, das Plus 2d Eta,
dividiert durch den Zähler des Realteils, das war 1 minus Eta Quadrat.
Und wir sehen, auch das war natürlich schon das zuvor erhaltene
Ergebnis.
Also wie gesagt, jetzt haben wir mal so einen Frequenzgang für ein
konkretes Beispiel, nämlich unseren Ein-Massenspringer, zwangserregt,
mit einer harmonischen Kraft letztendlich bestimmt.
Wenn eine andere Differenzialgleichung vorliegt, müssen wir das eben
entsprechend aus der Differenzialgleichung uns herleiten.
Und wir sollten uns bewusst sein, wenn wir das F von I Omega oder das
F von I Eta haben, dann setzen wir das praktisch wieder in den
Lösungsansatz ein.
Warten wir den nach oben.
XP gleich F von I Omega Y mal I Omega T.
Und wie gesagt, je nachdem, was letztendlich wirklich als Erregung
vorlag, Sinus oder Kosinus, müssen wir dann vom Ergebnis auch beim
Sinus den Imaginärteil nehmen oder beim Kosinus den Realteil.
Also die Zwangsschwingung, die ist dann bei einer Erregung mit
Sinus Omega T, das war ja Imaginärteil, von E hoch I Omega T gegeben
durch X von T gleich Imaginärteil von F von I Omega mal Y0
und analog dann den Realteil einer kosinusförmigen Erregung.
Damit haben wir jetzt nochmals eine Möglichkeit gesehen, wie wir eine
partikuläre Lösung bestimmen.
Also mit dem Ganzen haben wir jetzt nicht die Gesamtlösung der
Differenzialgleichen, sondern nur eine partikuläre Lösung bestimmt.
Nach wie vor gilt natürlich,
dass das X von T sich zusammensetzt aus Lösung der homogenen
Differenzialgleichung plus eben so eine partikuläre Lösung.
Und wir wissen, bei gedämpften Systemen, da klingen die Lösungsanteile
der Lösung der homogenen Differenzialgleichung mit der Zeit
exponentiell ab.
Das hatten wir hergeleitet.
Wenn dieser Lösungsanteil abklingt und wir hier praktisch so eine
stationäre Schwingung haben, dann wird das eben gerade, was wir jetzt
bestimmt haben, sowohl über unseren Lösungsansatz rein harmonisch oder
bei der Rechnung übers Komplexe, der Anteil wird dann natürlich das
sein, was letztendlich für große Zeiten übrig bleibt, also der
eingeschwungene Zustand.
Wenn wir als partikuläre Lösung irgendwas verwenden, was noch Anteile
der Lösung der homogenen Differenzialgleichung enthält, dann ist
natürlich die partikuläre Lösung, die wir dann haben, nicht das, was
wir für große Zeiten erhalten.
Oder so eine... wie müssen wir es sagen?
Dann steckt in der partikulären Lösung neben dem, was für große Zeiten
bleibt, auch noch andere Anteile drin.
Gibt es soweit noch Fragen?
Und damit kommen wir jetzt von den Schwingungen des
Einmassenschwingers zu den Schwingungen eines Systems mit endlich
vielen Freiheitsgraden.
Also bei endlich vielen
Freiheitsgraden und warum schreiben wir hier endlich viele
Freiheitsgrade?
Wenn wir ein kontinuierlich verteiltes System hätten, dann hängen die
Schwingungen nicht nur von der Zeit ab, sondern auch vom Ort.
Und so ein Kontinuum hat letztendlich, wie so ein Alpen hier, der hat
beliebig viele Freiheitsgrade, weil ja praktisch jeder Punkt sich
anders bewegen kann.
Wenn wir jetzt hergehen würden und würden nährungsweise versuchen, den
zu diskretisieren, dadurch, dass wir sagen, na gut, da haben wir ja
schon, das Ganze ist ein Bambusstock, da gibt es verschiedene
Segmente, jedes Segment hat eine bestimmte Masse, also ich unterteile
das in verschiedene Massen und dann sind die noch irgendwo so
elastisch gekoppelt, dann müsste ich mir noch Ersatzfedersteifigkeiten
irgendwo bestimmen.
Und dann hätte ich natürlich wieder ein System mit endlich vielen
Freiheitsgraden, das dann auch schwingen kann.
So, wenn wir mal als Beispiel so einen Zweimassenschwinger nehmen,
da eine Masse M1, eine lineare Feder, Federsteifigkeit C1, zwischen
der Umgebung und dem Massenpunkt, dann haben wir eine zweite Feder,
ebenfalls lineares Verhalten, Federkonstante C2, und die bewegen sich
eben reibungsfrei auf dem Untergrund.
Dann können wir zum Beispiel solche Absolutkoordinaten einführen, also
X1 für den ersten Massenpunkt, X2 für den zweiten Massenpunkt, und wir
nehmen mal an, die Federn sind entspannt, wenn X1 und X2 beide Null
sind.
Die Bewegungsgleichungen hierfür herzuleiten, das sollte jetzt jeder
eigentlich können.
Also,
die Bewegungsgleichungen, und in dem Falle führe ich das auf M1, X1,
Zweipunkt, plus C1 mal X1 minus C2 mal X2 minus X1, und als zweites
haben wir dann M2, X2, Zweipunkt, plus C2 mal X2 minus X1, und jetzt
Bewegungsgleichung heißt, da steht rechts gleich irgendwas, und in dem
Falle nehmen wir mal an, wir haben auf den Massenpunkt M2 wirkend noch
die Kraft F von T, und dann ergibt das Prinzip von d'Alembert zum
Beispiel, dass eben hier dann die Null steht, und an der Stelle das F
von T,
falls da eine Kraft wirkt, F von T, na gut, dann müssen wir die
unterscheiden in F1 und F2,
dann wäre das eben F2, und hier hätten wir dann F1 von T.
Also letztendlich, na gut, wir haben hier ein lineares System, dann
müssen wir gar nicht linearisieren, dass wir auf linearisierte
Differentialgleichungen kommen, das ist ein gewisser Vorteil, wir
haben direkt lineare Differentialgleichungen, aber eben inhomogen, und
die Frage ist, wie können wir solche gekoppelten linearen
Differentialgleichungen lösen?
Die Erfahrung zeigt uns, das wird auch irgendwo auf Schwingungen
hinausführen.
Und wenn wir jetzt mal annehmen für F2 gleich 0,
dann können wir ja nach X1 auflösen, dann sehen wir, C2 mal X1 ist
dann M2, X2, 2 Punkt, plus C2, X2, wenn wir das C2 noch dividieren,
steht also hier 1 durch C2, mal dem, können das Ganze in unserer
ersten Differentialgleichung einsetzen, was wir dazu allerdings
benötigen, ist auch die zweite Ableitung von X1, und wenn wir X1
haben, dann können wir auch die zweite Ableitung bilden, nämlich für
die zweite Ableitung müssen wir rechts auch zweimal ableiten, das
heißt, jetzt können wir X1, 2 Punkt, und das X1 in der ersten
Differentialgleichung einsetzen, dann erhalten wir M1 dividiert durch
C2, mal X1, 2 Punkt, ist dann M2, X2, vierte Zeitableitung, plus C2,
X2, 2 Punkt, dann steht plus C1, X1, also plus C1 dividiert durch C2,
dann haben wir M2, X2, 2 Punkt, plus C2, X2,
da steht aber nochmal plus C2, X1, also machen wir hier C1 plus C2,
und was jetzt noch fehlt, ist das Minus C2, X2, gleich F1 von T.
Was für einen Vorteil haben wir, wenn wir das einfach mal so
formulieren.
Jetzt sehen wir, jetzt haben wir aus zwei Differentialgleichungen, die
gekoppelt sind, und jeweils zwei der Ordnung, haben wir eine einzige
Differentialgleichung vierter Ordnung gemacht.
Ebenfalls noch inhomogen.
Nun, das heißt, jetzt wissen wir Einzeldifferentialgleichung
inhomogen, die Lösung setzt sich zusammen aus Lösung der homogenen
Differentialgleichung plus irgendeine partikuläre Lösung.
Und wenn wir mal an die partikuläre Lösung denken, falls rechts eine
harmonische Erregung steht,
dann sind wir jetzt gerade bei dem, was ich vorher hatte, nämlich, ich
nehme mal an, ich habe eine Differentialgleichung, die nicht nur
zweiter Ordnung ist, sondern höherer Ordnung.
Also jetzt hätten wir automatisch eine Differentialgleichung, wo das N
eben vier wäre, also vierter Ordnung.
Man sieht, auch da könnte man jetzt natürlich so eine
Frequenzgangrechnung machen.
Das ist das eine.
Zum anderen, wenn wir mal sagen, unsere gekoppelten
Differentialgleichungen, auch da wird es so sein, dass die Lösung sich
zusammensetzt aus Lösung der homogenen Differentialgleichungen plus
irgendeine partikuläre Lösung.
Und dann ist natürlich die Frage, die Lösung der homogenen
Differentialgleichungen, das wäre in dem Falle m1 x1 zwei Punkt plus
c1 mal x1 minus c2 mal x2 minus x1 gleich 0 und eben m2 x2 zwei Punkt
plus c2 mal x2 minus x1 gleich 0.
Und von der Idee her kommen, dass wir sagen, bei
Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten würden wir
vielleicht mal einen e hoch Lambda t Ansatz einsetzen.
Dann sehen wir,
wenn wir sagen x1 ist x1 Dach mal e hoch Lambda 1 mal t und das x2 ist
x2 Dach mal e hoch Lambda 2 t, setzen das Ganze in unsere zwei
Differentialgleichungen ein, dann sehen wir, in beiden Gleichungen
würden jetzt auftauchen sowohl das e hoch Lambda 1 t als auch das e
hoch Lambda 2 t.
Das kann ich dann aber nicht mehr so ohne weiteres rauskürzen.
Ich kann das ja nur rauskürzen, wenn Lambda 1 gleich Lambda 2 wäre.
Und an der Stelle ist vielleicht doch hilfreich, wir schauen mal auf
unsere Differentialgleichung vierter Ordnung.
Wenn wir da die homogene Differentialgleichung nehmen, dann sehen wir,
da können wir natürlich einen e hoch Lambda t Ansatz machen für das
x2.
Also Ansatz für eine homogene Differentialgleichung wäre natürlich x2
homogen von t gleich x2 Dach mal e hoch Lambda t.
Wenn wir das aber an der Stelle einsetzen, dann sehen wir, denken Sie
sich mal die gelben Punkte jetzt wieder weg, dann wäre ja das x1, 1
durch c2 mal m2 mal x22 Punkt.
x22 Punkt ist aber x2 Dach Lambda Quadrat e hoch Lambda t.
Plus c2 x2, auch da würde der Faktor e hoch Lambda t auftreten.
Also wenn wir für x2 einen e hoch Lambda t Ansatz machen, führt das
für x1 ebenfalls auf irgendwas mal e hoch Lambda t.
Also liegt es nahe, hier Lambda 1 gleich Lambda 2 zu wählen und
dann eben den Lösungsansatz zu machen der Form x1 gleich x1 Dach mal e
hoch Lambda t und das x2 gleich x2 Dach mal e hoch Lambda t.
Und was das dann im Einzelnen bedeutet, würde ich sagen, das machen
wir nächste Woche.
Vielen Dank.