Wir machen heute die Greifplanungsübung und die Übung ist heute so
aufgebaut, dass wir erst...
Also das Ziel dieser Übung ist im Grunde, wenn man jetzt mal die
medialen Achsen rausnimmt, so eine Kraft, eine Analyse der
Kraftgeschlossenheit zu machen.
Und wir machen erst quasi in den Aufgabenteilen 1 und 2 machen wir im
Grunde die Grundlagen dafür, um dann nachher Kraftgeschlossenheit
bewerten zu können.
Also Reibungsdreiecke und Grass Branch Space.
Genau.
Was war in der Aufgabe gegeben?
Wir haben hier...
Die Aufgabe ist für planares Greifen, also im Grunde ein einfacherer
Fall, damit wir das so ein bisschen auf den Folien veranschaulichen
können.
Also wir sind im Zweidimensionalen, haben ein Rechteck, das wir
greifen wollen, von dem wir den Schwerpunkt kennen.
Und wir nehmen jetzt an, dass wir Punktkontakte mit Reibung haben, als
unser Modell zum Greifen.
Und genau, die Kontaktkräfte können wir dann eben im Zweidimensionalen
über so Reibungsdreiecke darstellen.
Und in der ersten Aufgabe wollen wir im Grunde die Reibungsdreiecke
zeichnen und die entsprechenden Randvektoren bestimmen.
Genau.
Der erste Teil ist Bestimmung des Öffnungswinkels.
Da Beta, also wie groß ist dieser Winkel?
Ja, für eine gewisse Reibungskoeffizienten µ gleich 1.
Und die Formel dazu haben wir natürlich in der Vorlesung
kennengelernt.
Ist auch nicht besonders schwer.
Aber hier nochmal zur Wiederholung.
Was gibt es für unterschiedliche Reibungstypen?
Es gibt einmal den Kontakt ohne Reibung.
Das ist so ein idealisierter Kontakt.
Der spielt natürlich in der realen Welt keine Rolle, weil man immer
Reibung hat.
Der Kontakt mit Reibung, der in der Robotik oft benutzt wird, um
Griffe zu analysieren und dann eben die Softkontakte, mit denen man
eben auch Drehmomente hier aufbringen kann.
Mit den Kontakten mit Reibung kann man eben zusätzlich noch zu den
Normalkräften auch Tangentialkräfte aufbringen.
Genau.
Aber für uns...
in dieser Aufgabe haben wir eben diesen Reibungstyp jetzt ausgesucht,
mit dem wir den Griff analysieren wollen.
Genau.
Also im Dreidimensionalen sind es natürlich Reibungskegel, die man
hier sehen kann, die sich dadurch ergeben, dass man eben Normal- und
Tangentialkräfte hat.
Im Zweidimensionalen sind das für uns dann eben Dreiecke, wenn man
eine Dimension weniger hat.
Genau.
Hier auf der Folie ist die Formel für Beta hingeschrieben.
Ist auch relativ einfach herzuleiten, aber vielleicht schauen wir uns
das trotzdem an.
Also wir haben hier ja die Normalkraft, die wir aufbringen können.
Und da wir jetzt einen Punktkontakt mit Reibung haben, können wir auch
gleichzeitig eine Tangentialkraft anbringen.
Diese Tangentialkraft hängt eben von der Normalkraft und dem
Reibungskoeffizienten, also der Oberfläche vom Finger und dem Objekt
ab.
Und wenn wir jetzt eben hier uns das Dreieck anschauen, wie groß ist
dieser Winkel Beta, dann ist der Tangens von Beta, ist dann eben die
Gegenkathete, also das ft, durch die Ankathete.
Und weil wir eben wissen, dass das ft gleich µ mal fn ist, kürzt sich
das fn raus und wir wissen, dass Tangens Beta gleich µ ist.
Und daraus folgt dann eben, wenn man die Gleichung dann invertiert
nach Beta, dass man Beta mit dem Argus Tangens berechnen kann.
Genau.
Das heißt, wenn wir die Formel hier haben, dann können wir sie in
unserem Fall anwenden.
Wir haben jetzt natürlich ein einfaches Beispiel gewählt.
µ ist gleich 1.
Und wann ist der Argus Tangens von einem Winkel gleich 1?
Das ist eben bei, wenn die beiden Katheten gleich lang sind.
Also es ist ein Dreieck mit dem Winkel dann 45° an beiden Seiten.
Genau.
Wenn wir uns das vorstellen, wir haben hier unsere Normalkraft.
Und wenn der Tangens 1 ist, dann ist unsere Tangentialkraft genauso
groß.
Und der Vektor, der sich eben daraus dann ergibt, wenn man hier zwei
orthogonale, gleich große Vektoren hat, führt eben dazu, dass wir dann
hier einen Winkel von Beta gleich 45° haben.
Oder eben Pi Viertel, nachdem wie man es schreiben möchte.
Genau.
Also im Grunde war in dieser Aufgabe nur gefragt, die Formel
rauszusuchen, aber nur, um mal zu zeigen, wo sie denn nochmal
ursprünglich herkam.
Genau.
Und die zweite Aufgabe, da sollen wir jetzt die Reibungsdreiecke
tatsächlich einzeichnen.
Wir haben drei Punkte gegeben, an denen eben der Griff dann angreifen
kann.
Also es soll jetzt ein Drei-Finger-Griff sein.
Wir haben auch die speziellen Kraftvektoren, also die die Finger im
Moment ausüben.
Und wir haben ja in der vorigen Aufgabe schon den Öffnungswinkel
berechnet von µ.
Das heißt, das Ganze zu zeichnen ist jetzt relativ einfach.
Hier erstmal allgemein, also wie gehen wir vor beim Zeichnen von dem
Reibungsdreieck?
Wir müssen natürlich erst den Punkt finden, an dem die Kraft angreift.
Und dann können wir den Kraftvektor einzeichnen.
Und dann,
da wir ja unser Beta schon berechnet haben,
können wir jetzt einfach von dem Normalvektor den Winkel Beta
abzeichnen.
Und für eine konkrete Kraft endet das Ganze dann eben
mit dem normalen Vektor oben.
Und damit haben wir dann unser Dreieck gezeichnet.
Man kann natürlich auch die Randvektoren berechnen, aber das machen
wir erst in der dritten Aufgabe.
Nur um das Dreieck zu zeichnen, reicht es aus, dass man den
Öffnungswinkel kennt.
Wichtig ist, dass der Öffnungswinkel natürlich auf beiden Seiten ist.
Also das Dreieck hat hier unten natürlich 90 Grad.
Also nach rechts und nach links hin sind es jeweils die 45 Grad.
Also Winkel Beta nehmen, nach rechts und links einzeichnen und dann
haben wir unser Reibungsdreieck.
Gut, dann können wir das natürlich hier für diesen konkreten Fall
jetzt mal machen.
Also wir haben hier die drei Punkte.
Da können wir unsere Kraftvektoren dann einzeichnen.
Also natürlich sind jetzt hier die x- und y-Achsen sind eigentlich ja
Meter oder Millimeter, je nachdem.
Also räumliche Dimension.
Und die Kräfte haben ja eigentlich auch eine andere Einheit.
Trotzdem zeichnen wir die hier jetzt so ein, dass hier jetzt minus 0,5
sind hier auch minus 0,5 auf der y-Achse.
Damit wir die Skalierung zumindest sinnvoll eintragen können.
Also hier die Höhe, minus 0,5.
Die kommt ja hierher.
Genau.
Dann können wir natürlich jetzt mit dem Öffnungswinkel die
Randvektoren einzeichnen.
Und dann haben wir unsere Reibungsdreiecke gezeichnet.
Genau.
Das Ganze ist im Grunde nur...
Oh, natürlich richtig.
Hier ist natürlich die minus 0,5 bei dem 1.
Und die 0,5 von ihm ist natürlich hier.
Ja, danke.
Genau.
Die y-Achse geht ja hier nach oben hin.
Genau.
Ja.
Und das haben wir im Grunde zur Vorbereitung gemacht, damit wir jetzt
die Kraftvektoren berechnen können.
Die kann man natürlich auch hier jetzt einfach ablesen.
Aus der Grafik, die man gemalt hat.
Oder aus den Winkeln bestimmen.
Wir wollen es jetzt aber mal formell machen.
Also indem wir uns die Normalkraft anschauen.
Die Reibungskraft, Normal- und Reibungskraft zusammen addieren.
Also die hier tangential wirken kann.
Um dann eben den Randkraftvektor hier des Reibungdreiecks zu
berechnen.
Genau.
Was wissen wir über diese Reibungskraft?
Die hängt natürlich mit der Normalkraft zusammen, über den
Reibungskoeffizienten µ.
Und die Randkräfte hier, wir nennen sie jetzt einfach mal F1, F2.
Man kann sie auch F1 oder F2 nennen, das ist nicht so wichtig.
Können wir dann eben ausrechnen, indem wir die Normalkraft plus die
Reibungskraft, die Maximale nehmen oder Minus.
Dann kommen wir eben auf F1 und F2.
Genau.
Wie sieht das dann aus, wenn man das jetzt rechnen möchte?
Wir haben jetzt hier, schauen uns hier den P1 an.
Da haben wir F1, die 0 und Minus 0,5 ist.
Wenn wir jetzt die Reibungskraft berechnen wollen, die ja immer in
unserem Fall orthogonal zur Normalkraft ist,
in die eine oder andere Richtung.
Wenn wir zu einem zweidimensionalen Vektor ein orthogonale Vektor
haben wollen,
dann können wir einfach zum Beispiel den Vektor Minus Y, X nehmen,
also die Koordinaten vertauschen und eins negieren.
Das ist wahrscheinlich schon bekannt, aber kann man relativ leicht
zeigen, wenn man das Skalarprodukt von XY mit Minus Y, X nimmt, dann
bekommt man eben Minus XY plus XY, das ist eben 0 und das heißt, dass
die beiden Vektoren rechtwinklig sind.
Das heißt, wir bestimmen erst die Richtung, in die die Reibungskraft
zeigt, indem wir den Y-Wert negieren und den X-Wert in den Y-Wert
schreiben.
Dann müssen wir das Ganze, also das ist dieser Schritt hier, dann
müssen wir das Ganze natürlich noch skalieren, also wir wissen, dass
die Reibungskraft µ mal so lang ist wie die Normalkraft und
µ war ja 1, also ändert sich hier jetzt nichts.
Und dann können wir FA und FB berechnen, indem wir einfach einmal
addieren und einmal das Ganze subtrahieren.
Und die Vektoren FA1 und FB1, die finden wir dann natürlich auch in
unserer Grafik wieder, und zwar das hier müsste FA1 sein und das hier
FB1.
Genau, also eigentlich relativ einfach, nur ein bisschen durchrechnen
einmal.
Genau, also man fängt an damit, den orthogonalen Vektor zu bestimmen,
um eben die Tangentialkraft zu ermitteln durch die Reibung.
Dann skaliert man den orthogonalen Vektor und dann kann man eben die
Normalkraft und Tangentialkraft addieren, um dann eben die
Randvektoren zu bestimmen.
Genau, das Ganze müssen wir jetzt natürlich für alle Punkte machen,
die wir hier haben.
Für F2 gehen wir dann genauso vor.
Also wir bilden erst eine orthogonale Kraft davon, dann skalieren wir
mit dem Reibungskoeffizienten und dann können wir FA2 und FB2 jeweils
als Summe der Normal- und Tangentialkraft bestimmen.
Natürlich ist jetzt, was A und B ist, ist natürlich beliebig.
Also wenn man jetzt das Orthogonale bestimmen würde, indem man nicht
minus Y und X nimmt, sondern Y minus X, dann würden die sich hier
drehen.
Was A und B heißt, ist nicht wichtig.
Das ist einfach nur eine Benennung.
Wichtig ist, dass man zwei Stück berechnet und es kommen dann halt
diese zwei hier raus.
Welche Reihenfolge ist egal.
Genau, der Vorteil dadurch, dass wir jetzt hier F2 berechnet haben,
ist, dass wir bei F3 jetzt im Grunde gar nichts machen müssen.
Also F3 zeigt ja in die gleiche Richtung.
Und da die Vektoren ja ortsunabhängig sind, die Kraftvektoren, kommen
bei FA3 und FB3 natürlich das gleiche raus wie bei FA2 und FB2.
Das heißt, die muss man dann gar nicht nochmal rechnen und kann die
Ergebnisse wieder verwenden.
Genau.
Und das ist im Grunde das Ergebnis hier oben von Aufgabe 1.
Und ich hatte ja gesagt, diese Aufgaben sind im Grunde so gedacht,
dass es so eine Reihe von Ergebnissen sind, die aufeinander aufbauen.
Und wir benutzen jetzt also in der zweiten Aufgabe unsere berechneten
Kräfte, um jetzt die Wrenches an den Kontaktpunkten zu berechnen und
dann den Gras-Wrench-Space, zumindest in Projektion, für diese drei
Punkte zu zeichnen.
Genau.
Wrenches in 2D sind ein bisschen ungewöhnlicher als die im
Dreidimensionalen.
Im Dreidimensionalen ist ja ein Wrench einfach nur eine
dreidimensionale Kraft und ein dreidimensionales Drehmoment.
Das ist der 3D-Fall.
Im Zweidimensionalen gibt es logischerweise zwei lineare Kräfte, aber
nur ein einzelnes Drehmoment, weil man ja nur um die nicht vorhandene
Z -Achse drehen kann.
Also das Einzige, was man im Zweidimensionalen drehen kann, ist ja so
rum oder so rum, aber man kann nicht um eine andere Achse drehen.
Deshalb ist dieser Wrench so ein bisschen asymmetrisch im
Zweidimensionalen.
Genau.
Wie berechnet man eigentlich einen Drehmoment im Zweidimensionalen?
Braucht man auch nicht so oft, aber ist hier mal auf der Folie drauf
und bildet.
Im Dreidimensionalen würde man ja auch den Hebelarm-Kreuzprodukt mit
der Kraft nehmen, um einen Drehmoment zu bekommen.
Und diese Operation im Zweidimensionalen führt eben zu einem Skalar,
in dem man dx mal fy minus dy mal fx nimmt.
Also d ist der Hebelarm.
Also wenn wir zum Beispiel das d für den p3 einzeichnen wollten,
dann wäre das hier der Vektor d3.
Eben der Hebelarm um den Schwerpunkt des Objekts.
Genau.
Und das müssen wir auch machen.
Um jetzt dieses Drehmoment berechnen zu können, müssen wir erstmal den
Abstand der einzelnen Punkte, an denen wir das Objekt greifen, zum
Schwerpunkt des Objekts bestimmen.
Und zwar nicht absolut, also es sind irgendwie 5 cm oder so, sondern
wir brauchen den Vektor.
Also den Vektor vom Zentrum zum Angriffspunkt hin.
Und die sind jetzt hier schon eingezeichnet, also hier oben.
Und jetzt müssen wir einfach nur wieder ein bisschen rechnen.
Das heißt, wir sehen hier schon, die Punkte gehen jeweils vom Zentrum
zum Punkt hin.
Das heißt, wir machen p1 minus c.
p1 ist hier unten angegeben.
Das heißt, 3, 4 minus das Zentrum.
Das ist hier 4, 3.
Dann bekommen wir hier minus 1, 1 heraus.
Für d2 müssen wir jetzt p2 minus c nehmen.
p2 haben wir auch dort unten, das ist die 5, 2.
Das Zentrum ist natürlich bei all diesen Berechnungen gleich.
Und dann haben wir hier 1, minus 1.
Genau.
d3 ist das gleiche nochmal.
3, 2 minus 4, 3.
Gibt uns minus 1 und minus 1.
Genau.
Hätte man natürlich hier auch aus der Grafik direkt ablesen können,
wie lang diese Vektoren sind, aber das wäre im Grunde der allgemeine
Fall, wenn es nicht so einfach ist, hier diese Vektoren abzulesen.
Genau.
Also hier wieder wichtig, auch die Reihenfolge, also p1 minus c, sonst
drehen sich natürlich die Vorzeichen im Drehmoment um.
Genau.
Jetzt haben wir unsere d´s berechnet und können jetzt die Drehmomente
berechnen, die wir für die Ranges brauchen.
Genau.
Also wir nehmen d1, Kreuzprodukt mit fa1.
d1 ist minus 1, 1.
Und fa1 ist 0,5 minus 0,5.
Und wenn man sich daran erinnern möchte, denselben Trick gibt es ja
auch beim dreidimensionalen Kreuzprodukt oder bei den Determinanten.
Man nimmt im Grunde hier über Kreuz die Elemente, multipliziert man
miteinander und
davon zieht man ab die anderen beiden Elemente über Kreuz.
Und dann haben wir hier 0,5 minus 0,5 ergibt 0.
Was heißt das jetzt?
Also kann man sich jetzt kurz in der Grafik überprüfen, ob dieser Wert
Sinn macht.
Hoffen wir, ich habe mich nicht verrechnet.
fa1 ist
der Vektor, der hier hin zeigt.
Und was man sehen kann, das fa1 am Punkt 1 zeigt genau auf den
Schwerpunkt des Objekts.
Und wenn man eine lineare Kraft genau auf den Schwerpunkt von einem
Objekt ausübt, dann führt das eben dazu, dass man keinen Drehmoment
hinzufügt.
Also eine Kraft reigt auf den Schwerpunkt, verschiebt das Objekt nur,
aber dreht es nicht.
Deshalb passt der Wert 0 hier.
Gut,
dann müsste ja bei tb1 nicht 0 rauskommen, weil der ja die Kraft fb1
zeigt ja definitiv nicht auf den Schwerpunkt.
Schauen wir mal hier auch wieder einfach über Kreuz multiplizieren und
voneinander abziehen.
Hier kriegen wir 1 raus.
Ein positives Drehmoment.
Und man kann sich jetzt ja vorstellen, hier ist der Schwerpunkt des
Objekts.
Wir wirken an diesem Punkt eine Kraft in diese Richtung aus.
Was passiert dann mit dem Objekt?
Dann dreht sich das Objekt ja in diese Richtung um den Schwerpunkt und
nach der rechten Handregel, also wenn die z-Achse aus der Ebene
rausschaut, ist das eine positive Rotation.
Also hier.
Deshalb macht es Sinn, dass der Wert hier positiv herauskommt für das
Drehmoment.
Genau.
Und das Ganze müssen wir jetzt natürlich für die anderen Punkte auch
machen.
Also wieder ein bisschen rechnen.
Wieder über Kreuz multiplizieren und voneinander abziehen.
Der ist wieder 0.
Und das ist wieder unser FA2, das wieder genau auf den Schwerpunkt
zeigt.
Das heißt, das hätten wir auch geometrisch hier leiten können.
FB2.
So, was haben wir hier?
0,5 plus 0,5 ist wieder 1.
Und wir sehen auch wieder, wenn wir jetzt FB2, diese Kraft hier
entlang dieser Achse ausüben, dann dreht sich unser Objekt wieder so
rum.
Das heißt, wir haben wieder eine positive Drehrichtung.
Das heißt, es macht wieder Sinn, dass hier positiver Wert herauskommt.
Bei der Berechnung der Kräfte haben wir Glück gehabt und mussten die
Kräfte am dritten Punkt nicht nochmal ausrechnen, weil sie ja
identisch fahren mit denen am zweiten Punkt.
Das stimmt aber nur für die linearen Kräfte.
Für das Drehmoment gilt es nicht, weil natürlich das D unterschiedlich
ist.
Also der Hebelarm, an dem die Kräfte wirken, hat natürlich Einfluss
auf das Drehmoment.
Das heißt, wir können jetzt hier nicht einfach sagen, Tau A3 ist
gleich Tau A2, sondern wir müssen das wieder berechnen.
Genau.
Und hier haben wir jetzt bei dem Tau A3 das erste Mal einen negativen
Wert.
Und hier ist ja unser F A3.
Und das führt eben jetzt hier zu einer Drehung im Uhrzeigersinn.
Und das ist dann ja nach der rechten Handregel eine negative Rotation.
Das heißt, es macht auch Sinn, dass wir hier bei Tau A3 einen
negativen Wert bekommen haben.
Dann den letzten Wert noch.
Da kommt eben 0 raus, weil natürlich das F B3 eine Kraft ist, die
genau auf den Schwerpunkt wirkt.
Genau.
Und das ist auch schon fast der gesamte erste Aufgabenteil von Aufgabe
2.
Die Kräfte haben wir ja schon vorher bestimmt aus Aufgabe 1.
Die Drehmomente haben wir jetzt bestimmt.
Und jetzt müssen wir die einfach nur noch zusammenfügen.
Also jetzt muss man gar nichts mehr rechnen, sondern wenn wir jetzt
zum Beispiel den Range an der Stelle A1 bestimmen wollen, dann setzt
er sich eben zusammen aus den zwei linearen Kräften und dem
Drehmoment, also den zwei linearen Komponenten.
Und das wäre zum Beispiel hier dieser Teil und hier dieser Teil.
Und die können wir dann einfach in einen dreidimensionalen Vektor
zusammenschreiben.
Genau.
Und das Ganze müssen wir dann eben für alle 6 Stück machen.
Und dann bekommen wir eben hier 6 Ranges heraus.
Jeweils 2 für jeden Punkt, weil wir eben die Randkraftvektoren
betrachten.
Genau.
Ah, okay, das kann sein, ja.
Also wie gesagt, es macht keinen Unterschied, weil die Reihenfolge,
also es ist beliebig, ob man A oder B nennt.
Genau, aber es stimmt nicht mit Aufgabe 1 über 1, meinen Sie, richtig?
Im Aufgabenblatt stehen die schon drin, wie man die nennen soll.
Okay.
Ah, okay.
Okay, gut.
Passen wir wahrscheinlich das Aufgabenblatt eher an, weil es relativ
beliebig ist, wie man die benennt.
Genau.
Also, wir sehen auch, wenn wir uns die Ranges dann nächsten
Aufgabenteil zeichnen an, dass es tatsächlich, wie gesagt, es ist nur
eine Benennungssache, was man rechts und links nennt oder A und B.
Genau.
Mit den Ranges, die wir dann da berechnet haben, wollen wir jetzt den
Grass Range Space zeichnen.
Der ist natürlich dreidimensional, das heißt, um den jetzt für diese
Übung zeichnen zu können, auf einem zweidimensionalen Bildschirm
machen wir eine Projektion in die Fy- und Tau-Ebene.
Das heißt, Fx wird wegprojiziert.
Genau.
Und wir machen das Ganze für die Punkte P1 und P2, also noch nicht für
den Dreifingergriff.
Zur Wiederholung, wir haben ja in der Vorlesung den Grass Range Space
kennengelernt.
Der ist ja die konvexe Hülle über der Vereinigung von allen
Kontaktranges.
Wir gehen gleich nochmal ein bisschen genauer darauf ein, was diese
Begriffe konvexe Hülle und andere ähnliche mathematische Begriffe
bedeuten.
Und mit Hilfe von dem Grass Range Space können wir dann verschiedene
Qualitätsmaße aufstellen.
Und wir schauen uns heute vor allem Forced Closure, also
kraftgeschlossene Griffe an.
Der Griff ist dann kraftgeschlossen, wenn der Grass Range Space den
Ursprung enthält.
Gewisse Verfahren benutzen auch das Volumen von dem Grass Range Space.
Also hier sieht man zum Beispiel so ein dreidimensionales Volumen.
Das ist natürlich hier für so einen 3D-Griff das Volumen eigentlich
sechsdimensional, also das ist auch schon eine Projektion.
Und diese Epsilon-Metrik, die schauen wir uns auch an, aber wir werden
sehen, dass die Epsilon-Metrik mathematisch äquivalent mit dem
Kraftgeschloss ist, oder wie sie damit zusammenhängt.
Also wir haben jetzt unseren Griff reduziert, wir haben jetzt nur zwei
Kontaktpunkte, das heißt wir ignorieren jetzt erstmal den dritten.
Wir sollen projizieren in die Fy-Tau-Ebene, das heißt für uns sind nur
diese Werte interessant, den Fx-Wert ignorieren wir jetzt beim
Zeichnen.
Müssen wir natürlich immer aufpassen, wenn wir später daraus Schlüsse
ziehen, dass wir hier beim Einzeichnen natürlich immer nur eine
Projektion sehen und nicht den gesamten Grass Range Space.
Schauen wir mal, wa1 ist minus 0,5 und 0,
also das müsste hier sein, wa2 ist 0,5 und 0 und wb1 ist minus 0,5 und
1 und der andere wb2 ist 0,5 und 1.
Und der Grass Range Space ist ja die konvexe Hülle und beim Zeichnen
ist das relativ einfach, weil wir jetzt einfach nur die konvexe Hülle
von vier Punkten ist eben das entsprechende Viereck.
Und den Grass Range Space selber, der befindet sich eben als konvexe
Hülle, dann eben ist das gesamte Volumen innerhalb der Grenzen der
Ranges.
Und hier sehen wir natürlich im zweidimensionalen eben nur diese
Fläche von diesem dreidimensionalen Objekt.
Genau.
Das Ganze hier nochmal auf den Folien, also die fx-Werte interessieren
uns jetzt nicht bei der Projektion, dann können wir die Punkte
einzeichnen und in der Mitte sehen wir dann die projizierte Fläche.
Genau.
Dann wollen wir das Ganze nochmal machen für jetzt den
Dreifingergriff.
Das heißt, hier gehen wir jetzt wieder so vor, es ist jetzt natürlich
ein bisschen, das wiederholt sich jetzt natürlich, weil es jetzt nicht
ein komplett anderer Dreifingergriff ist, sondern es ist jetzt der
Zweifingergriff von eben plus den dritten Finger.
Das heißt, wir haben hier wieder unsere bekannten Punkte wa1,
wa2 und hier ist wb1 und wb2.
Und jetzt der dritte Punkt, da ist ein Wert bei 0,5 und minus 1, der
ist hier, das ist unser wa3.
Und das wb3 ist bei 0,5 und 0 und den hatten wir ja hier schon mal.
Die fallen also hier in dieser Projektionsebene zusammen.
Allerdings ist natürlich, nur weil die beiden Punkte zusammenfallen,
heißt das nicht, dass die beiden Ranges gleich sind.
Und wir sehen auch, dass im fx-Wert unterscheiden sie sich, also da
ist wb3 0,5, wa2 ist minus 0,5.
Das heißt, es ist jetzt hier nur die Projektion, die dazu führt, dass
wb3 und wa2 dem gleichen Punkt landen.
Genau.
Und jetzt müssen wir wieder die konvexe Hülle da rumzeichnen
und haben dann jetzt hier eine andere Form der Dreifinger, der Grass
Branch Space.
In der Projektion sieht also hier anders aus für den Dreifingergriff
als für den Zweifingergriff.
Gut, damit haben wir eigentlich alles, was wir brauchen, um jetzt die
Kraftgeschlossenheit von Griffen für diesen speziellen Griff zu
analysieren.
Und was wir eben zeigen sollen ist, ist der Dreifingergriff b1, b2, b3
kraftgeschlossen?
Ja oder nein?
Und der Zweifingergriff?
Dieselbe Frage.
Und dann, wenn wir diese Bewertung gemacht haben, werden wir
feststellen, dass wir Frage 2 eigentlich schon beantwortet haben, aber
die ist nochmal so ein bisschen offengestellt.
Wie würden Sie dann die Epsilon-Metrik für diese zwei Griffe
berechnen?
Also die konkreten Werte dann zu bestimmen, ist ein bisschen
aufwendig, deshalb ist das mehr so eine High-Level-Frage.
Genau.
Es waren nochmal kraftgeschlossene Griffe, also auf der, sage ich mal,
Bedeutungsebene.
Was bedeutet das, wenn ein Griff kraftgeschlossen ist?
Das heißt eben, dass dieser Griff, dem Objekt, jedweden externen
Kräften und Momenten widerstehen kann.
Also egal, welche externe Kraft ich mir ausdenke, welches externe
Drehmoment ich mir ausdenke.
Der Griff kann immer die entgegengesetzte Kraft, das entgegengesetzte
Moment aufbringen, damit eben im Endeffekt null Kräfte und null
Momente anliegen.
Genau.
Und wir haben natürlich auch ein paar andere Dinge kennengelernt, aber
für uns ist eben wichtig, dass wir jedwede externe Kraft, jedes
externe Moment ausgleichen können.
Genau.
Wie sieht das Ganze mathematisch aus?
Das habt ihr ja in der Vorlesung schon gesehen.
Der kraftgeschlossene Griff unterscheidet sich eben unter anderem
dadurch, dass durch dieses kleine Symbol für alle, was eben wichtig
ist, also für jedwede, die man sich ausdenken könnte, externe Kraft,
externes Moment, existiert irgendeine lineare Kombination.
Von den Griffkräften, wenn wir gleich nochmal sehen, warum das hier so
eine lineare Kombination ist, die eben diese externen Kräfte und
Momente zu null ausgleicht.
Genau.
Jetzt könnte man natürlich sagen, okay, fangen wir damit an, aber uns
fehlt immer noch ein bisschen was.
Also, wir müssen noch klären, wie kommen wir denn überhaupt an unser G
heran, in unserem zweidimensionalen Fall?
Und was müssen wir überhaupt tun, um zu beweisen, dass diese Aussage
wahr oder falsch ist?
Naja, um zu zeigen, dass sie falsch ist, muss man nur ein
Gegenbeispiel finden, aber zu beweisen, dass sie wahr ist, ist
vielleicht gar nicht so einfach.
Genau.
Also erstmal zum ersten Punkt.
Wie kommen wir überhaupt an unsere Greifmatrix?
Die Greifmatrix hier, das ist die im dreidimensionalen Fall, ist
natürlich ein bisschen komplexer als für uns im zweidimensionalen
Fall.
Da haben wir normal Tangentialkräfte und eben die Dreh-, die Torsial
-Ranges und das vereinfacht sich für uns ein wenig im
zweidimensionalen Fall.
Und zusätzlich kann man all diese einzelnen Ranges linear kombinieren.
Das ist dieser Vektor c, der dann eben von dieser Matrix multipliziert
wird und dann werden eben diese einzelnen Ranges skaliert.
Wie gesagt, im zweidimensionalen Fall ist das ein bisschen einfacher.
Da besteht unsere Greifmatrix einfach nur aus den Ranges, die wir eben
schon berechnet haben.
Also wir können hier einfach unsere Ranges von rechts und links, die
wir vom Reibungsdreieck bestimmt haben, einsetzen.
Für jeden einzelnen Punkt, Kontaktpunkt, den wir beim Greifen haben.
Und dann haben wir eben eine 3x2m-Matrix.
Die 3 kommt natürlich daher, dass wir fx, fy und das tau haben in
einem Range.
Und die 2 kommt eben daher, dass wir immer diese zwei Ranges haben,
wa, wb und das m ist einfach nur die Anzahl der Kontaktpunkte.
Also im zweidimensionalen Fall ein bisschen einfacher als im
dreidimensionalen.
Genau.
Gut.
Wann ist dann jetzt ein Griff mit dieser zweidimensionalen Kraft
geschlossen?
Wenn er jeder beliebigen externen Range, jedem beliebigen externen
Range widerstehen kann.
Das heißt für alle externen Ranges fx, fy, tau existiert ein c, sodass
wir eben hier eine lineare Kombination haben von diesen Ranges.
Die die externen Kräfte dann zu Null negiert.
Genau.
Und das bringt uns natürlich immer noch nicht viel weiter.
Was wir aber sehen werden ist, dass diese Definition hier entspricht
mathematisch der Aussage, dass diese Matrix G' den gesamten Rangespace
positiv aufspannt.
Also das Positiv sieht man ja hier.
Genau.
Und dieses Statement schauen wir uns ein bisschen genauer an.
Wo kommen überhaupt diese Begriffe her?
Das ist jetzt natürlich so ein bisschen lineare Algebra, Grundlagen.
Es gibt das Konzept von einer linearen Hülle, einer Matrix.
Und dabei werden im Grunde die einzelnen Einträge der Matrix linear
skaliert, ohne irgendwelche Einschränkungen auf die Koeffizienten.
Also man sieht hier, man kann die Koeffizienten beliebig wählen bei
einer linearen Hülle.
Wenn man jetzt zum Beispiel diese drei Vektoren hätte und davon die
lineare Hülle im zweidimensionalen Raum bestimmt, dann ist das der
gesamte zweidimensionale Raum, weil man überall hinkommt.
Man kann auch negativ diese Vektoren linear kombinieren.
Genau.
Die positive lineare Hülle führt im Grunde nur eine Einschränkung auf
die Koeffizienten ein.
Also die müssen jetzt größer gleich null sein.
Was bedeutet das dann für dieses zweidimensionale Beispiel?
Die positive Hülle von diesen drei Vektoren ist dann im Grunde dieser
Kuchenausschnitt.
Der geht natürlich hier bis ins Unendliche weiter.
Aber die positive Hülle von den drei Vektoren kommt an die anderen
Stellen im Raum nicht hin.
So, hier nicht.
Und dann gibt es noch eine stärkere Einschränkung der Koeffizienten.
Die müssen nicht nur größer gleich null sein, sondern auch in Summe 1
ergeben.
Wenn man die Koeffizienten so weit einschränkt, dann spricht man eben
von einer konvexen Hülle.
Das ist ja das Konzept, was wir auch schon kennengelernt haben zur
Analyse von den Griffen.
Und wenn man jetzt die konvexe Hülle von diesen drei Vektoren zeichnen
würde, dann ist das eben nur dieses Dreieck, das durch die drei
Endpunkte der Vektoren bestimmt wird.
Und alles andere außerhalb ist eben nicht Teil der konvexen Hülle.
Und man sieht ja relativ klar, dass diese Mengen alle Untermengen
voneinander sind.
Also eine konvexe Hülle ist gleichzeitig auch eine positive lineare
Hülle und jede positive lineare Hülle ist auch eine lineare Hülle.
Deshalb haben wir diese Teilmengenbeziehungen untereinander.
Und vielleicht ist uns aufgefallen, dass eben diese Definition im
Grunde unserer Definition hier entspricht.
Das heißt, diese Aussage hier ist äquivalent zu der Aussage, dass die
positive lineare Hülle von unserer modifizierten Greifmatrix den
gesamten R3 ausfüllt.
Wir haben das jetzt im Grunde hergeleitet, weil man sich das grafisch
dann ein bisschen schöner darstellen kann.
Wie können wir das jetzt beweisen oder widerlegen für unsere Fälle?
Als erstes müssen wir unsere...
unsere Wrenches können wir uns jetzt hier als Vektoren einzeichnen.
Wir machen das Ganze jetzt hier natürlich nur in dieser
Projektionsebene.
In Realität muss man das natürlich im dreidimensionalen Raum machen.
Also fx, fy, tau.
Oder für einen Nichtplanarangriff dann eben auch im
sechstdimensionalen Raum.
Aber damit man sich das anschaulich vorstellen kann, machen wir das
jetzt hier in dieser Projektion.
Und da haben wir dann eben hier unsere...
unsere Rangevektoren.
Und wir können jetzt da drumherum,
wie wir es schon vorher gemacht haben, unsere konvexe Hülle zeichnen
und uns jetzt fragen, können wir in jede Richtung Vektoren erzeugen?
Und in diesem Fall stimmt das.
Also wir können durch positive lineare Kombinationen von den Vektoren,
man kann sich das ja vorstellen, man kann zum Beispiel diese Vektoren
hier erzeugen, durch verschiedene positive lineare Kombinationen.
Und damit weiß man, dass der Griff eben hier, zumindest in dieser
Ebene, hat man keinen Beweis gefunden, dass der Griff nicht
kraftgeschlossen ist.
Man muss dann noch die fx-Dimension betrachten.
Genau.
Das heißt, wir machen hier die konvexe Hülle.
Und anstatt sich das so quasi informell zu überlegen, kann ich
Vektoren in jede Richtung einzeichnen.
Kann man auch einen anderen Formalismus verwenden, den man sich eben
fragt, gibt es einen Kreis mit dem Ursprung bei 0,0, mit einem Radius,
der größer als 0 ist, den ich in diese konvexe Hülle reinbekomme.
Also man kann sich vorstellen,
in diese konvexe Hülle passt zum Beispiel dieser Kreis hier rein, der
hat den Mittelpunkt bei 0,0 und der hat den Radius, der eben der
minimale Abstand zum Rand von dieser konvexen Hülle ist.
Und diesen Radius nennen wir auch dann Epsilon.
Das ist kein Zufall, das ist eben auch das Epsilon, was dann nachher
in der Epsilon-Metrik vorkommt.
Jetzt zumindest in dieser Projektion können wir sagen, dass hier unser
Epsilon noch größer 0 ist.
Also wie gesagt, eigentlich müssen wir noch die fx-Ebene betrachten,
aber es wird dann dreidimensional.
Genau.
Wenn es also in dieser konvexen Hülle, man dort einen Kreis
einzeichnen kann mit eben dem minimalen Abstand Epsilon 0, zum Rand,
dann ist der Griff selbst kraftgeschlossen.
Genau.
Das ist der eine Weg, den man eben zur konvexen Hülle geht, dann
diesen Kreis, Radius des minimalen Kreises bestimmt, oder eben der
Kugel im dreidimensionalen Fall.
Der andere Weg ist, sich einfach vorzustellen, was spannen denn jetzt
diese Vektoren alle auf.
Und wenn man sich diese 5 Vektoren anschaut, dann kann man eben sehen,
dass die lineare Kombination alle Teile dieser Ebene aufspannen kann.
Also die positive lineare Kombination.
Genau.
Also was man zeigen möchte, hier natürlich jetzt nur gezeigt, dass Fy
und Tau komplett aufgespannt werden, aber man muss natürlich zeigen,
dass Fx, Fy und F Tau komplett im R3 aufgespannt werden.
Das ist natürlich für diesen Dreifingergriff, bei dem der Griff auch
tatsächlich kraftgeschlossen ist.
Das heißt, wenn wir das Ganze jetzt im dreidimensionalen zeichnen,
würden wir auch feststellen, dass das gesamte R3 aufgespannt ist.
Interessanter ist ja dann der Fall, wenn wir eben keine
Kraftgeschlossenheit haben.
Und natürlich haben wir zwei Beispiele jetzt in dieser Übung, bei
denen der eine kraftgeschlossen ist und der andere nicht
kraftgeschlossen ist.
Also schauen wir uns dann mal den Fall an, der vielleicht für uns dann
interessanter ist.
Genau.
Also gehen wir wieder genauso wie vorher vor.
Als erstes versuchen wir diesen Epsilon-Trick.
Also schauen wir, ob wir,
wenn wir die Ranges einzeichnen,
und dann die konvexe Hülle, dann müssen wir uns wieder die Frage
stellen, können wir da jetzt irgendwo einen Kreis einzeichnen, der
seinen Ursprung bei 0,0 hat und einen Radius hat, der größer als 0
ist.
Und das ist hier eben nicht möglich.
Der einzige Pseudokreis, den man einzeichnen kann, der innerhalb der
konvexen Hülle ist, wäre ein Kreis, der eben den Radius 0 hat.
Das reicht eben nicht.
Und hier wissen wir jetzt auch schon, im Gegensatz zum vorherigen
Fall, wo wir im Grunde jede Dimension nochmal betrachten müssen, hier
wissen wir, es gibt in dieser Projektion schon keinen Kreis mehr, der
einen Radius größer 0 hat.
Das heißt, hier sind wir schon fertig und wissen, der Griff ist nicht
kraftgeschlossen.
Müssen wir gar nicht weitersuchen.
Genau.
Und das ist eben der erste Weg, also wenn wir direkt sehen, dass es in
einer der Projektionen keinen solchen Kreis gibt, wissen wir, der
Griff ist nicht kraftgeschlossen.
In dem anderen Fall, also wenn wir uns jetzt das Ganze mit der anderen
Methodik anschauen, also zeichnen wir ein, was können wir denn positiv
aufspannen, dann sehen wir hier die vier Wrenches und wir sehen, dass
wir diesen Quadranten hier positiv aufspannen können, wir sehen, dass
wir diesen Quadranten positiv aufspannen können, aber wir sehen, dass
wir diesen hier nicht erreichen.
Und was bedeutet das?
Also hier ist ja unser Tau und das bedeutet eben, dass wir in dieser
Ebene können wir
keine Drehmomente erzeugen, die kleiner als 0 sind.
Also hier ist ja Tau gleich 0.
Das heißt, wir können, der Griff ist nicht kraftgeschlossen, weil wir
gewisse Drehmomente nicht erzeugen können.
Das schauen wir uns dann auch gleich mal ein bisschen grafischer an.
Also hier sieht man es dann nochmal formell, also wenn wir die
positive lineare Hülle von G' bestimmen, stellen wir fest, dass es
nicht ganz R ist, sondern nur die Vektoren hier, bei denen Tau größer
gleich 0 ist.
Und das heißt, der Griff kann so einen Drehmoment gar nicht erzeugen.
Ein Drehmoment kleiner 0.
Genau.
Wie kann man das jetzt zum Beispiel sich anschaulich vorstellen?
Was bedeutet das?
Wenn der Griff...
Wir können also kein eigenes Drehmoment kleiner 0 erzeugen.
Geht nicht.
Das heißt, wir erzeugen diese Drehmomente ja, um externen Drehmomenten
zu widerstehen.
Das heißt, wir können einem externen Drehmoment größer 0 nicht
widerstehen.
Also wenn ein externes Drehmoment größer 0 aufgebracht wird, müssen
wir, um es wieder zu negieren, ein Drehmoment kleiner 0 aufbringen.
Und wenn wir jetzt mal so ein externes Drehmoment hier anlegen,
ein positives, entlang der rechten Handregel, dann können wir sehen,
dass sich das Objekt so aus den beiden Fingern rausdrehen kann.
Also wenn ich jetzt hier in diese Drehrichtung drehe, kann man sich
vorstellen, dass das Objekt zum Beispiel nachher
sich hier so rausdrehen kann und dagegen kann ich nichts machen.
Also egal, welche Kräfte und Drehmomente ich an meinen beiden Punkten
P1 und P2 aufbringe, das Objekt kann sich da immer rausdrehen.
Genau.
Und das ist im Grunde die anschauliche Bedeutung von der Nicht
-Kraftgeschlossenheit von diesem Zweifingergriff.
Genau.
Jetzt, der dritte Teil der Aufgabe geht dann um die Epsilonmetrik,
aber ich habe es ja schon vorweggenommen, im Grunde haben wir das
sowieso schon gemacht, als wir die Analyse von der
Kraftgeschlossenheit gemacht haben.
Also wenn wir das jetzt berechnen müssten, dann müssten wir eben
schauen, was ist der minimale Abstand zum Rand des Kraftgrenzspaces
vom Ursprung aus und dann würden wir eben feststellen, dass für den
Dreifingergriff unser Epsilon größer 0 ist und für den Zweifingergriff
würden wir feststellen, dass unser Epsilon 0 ist.
Und die Frage war ja, wie würde man jetzt hier vorgehen, also das
jetzt zu berechnen, zumindest der hier ist dann relativ aufwendig.
Deshalb war die Frage nur, welche Schritte soll man jetzt machen.
Und das ist eben genau das, was wir jetzt hier heute in der Übung
gemacht haben.
Wir bestimmen die Ranches an den Kontaktpunkten, dann machen wir eine
konvexe Hülle, um eben den Grasgrenzspace zu bestimmen und dann können
wir den minimalen Abstand zum Rand des GWS bestimmen.
Genau.
Und wenn wir das tun, dann finden wir eben hier raus, Epsilon größer 0
und hier Epsilon gleich 0.
Genau.
Das ist der Teil zu dem Thema Planarengreifen und
Kraftgeschlossenheit.
Es gibt jetzt noch einen Teil, der davon ein bisschen losgelöster ist.
Das sind diese medialen Achsen.
Also die, was wir vorher jetzt gemacht haben, war im Grunde Analyse
von einem speziellen Griff.
Also man bekommt die Kontaktpunkte und soll dann eine Aussage darüber
treffen, wie gut der Griff ist.
Die medialen Achsen kommen ja aus dem Bereich der Griffsynthese.
Also wie komme ich überhaupt darauf, wo ich ein Objekt greifen soll.
Und die medialen Achsen, jetzt hier von einem zweidimensionalen
Gebiet.
In dreidimensionalen sind es ja wie die Kugeln definiert.
Zweidimensional machen wir das dann über die maximalen Kreise.
Und ein Kreis ist eben maximal in einem bestimmten Gebiet, wenn er
komplett da drin ist.
Also das ist hier diese erste Bedingung.
Und maximal ist er eben, wenn es keinen größeren gibt.
Genau, also das sind diese beiden Bedingungen.
Komplett in G und kein größerer Kreis existiert.
Hier dann mathematisch hingeschrieben.
Und hier sollte man die einfach mal zeichnen.
Es ist natürlich nicht so einfach, aber auch nicht besonders
schwierig.
Nochmal zur Wiederholung.
Die medialen Achsen haben wir ja in der Vorlesung kennengelernt.
Im Dreidimensionalen.
Wo wir im Grunde die Objektform von komplexen 3D- Objekten
approximiert haben, durch die enthaltenen Kugeln.
Und dann konnten wir eben die mediale Achse als eben Verkettung dieser
Mittelpunkte von diesen maximalen Kugeln definieren.
Und die Idee ist, dass diese mediale Achse so eine Art topologisches
Skelett ist und anhand dieses Skeletts kann man dann versuchen, Griffe
zu bestimmen für das Objekt.
Genau.
Und man hat dann eben hier eine relativ einfache Beschreibung des
Objekts und muss nicht die gesamten komplexen geometrischen
Eigenschaften beachten.
Genau.
Wie macht man das jetzt?
Wenn man zum Beispiel so eine Aufgabe bekommen würde, dann fängt man
am besten an, diese maximalen Kreise irgendwo am Rand mal
einzuzeichnen.
Also hier wäre zum Beispiel so ein Kreis und die Kreise werden dann
natürlich immer größer, je weiter man rauskommt.
Und dann würde man sich langsam vorarbeiten und dann feststellen, dass
die Mittelpunkte dieser Kreise eben diese Diagonale hier durch das
Rechteck bilden.
Und das Ganze geht dann natürlich so lange, bis der größte Kreis hier
reinpasst.
Das heißt, da hat man die Diagonale.
Dann macht man das Ganze symmetrisch eben für die anderen vier Ecken
und innerhalb des Rechtecks passen dann von hier nach hier hin
natürlich immer nur gleich große Kreise rein, die man hier von links
nach rechts verschieben kann.
Das heißt, die Mittelpunkte sind da und damit hat man dann eben die
medialen Achsen für so ein Rechteck sehen dann eben hier so aus, dass
man die Diagonalen hier hat und eben hier das verbindende Mittelstück.
Der Kreis ist natürlich so eine Singularität.
Ich glaube, das kam auch in der Vorlesung vor.
Im Dreidimensionalen sind es die Kugeln.
Da gibt es nämlich gar kein Skelett, sondern jetzt hier gibt es nur
einen Punkt oder im Dreidimensionalen gibt es für eine Kugel auch nur
einen Punkt.
Dann degeneriert so dieses Konzept von dem Skelett ein wenig.
Hier gibt es gar kein
Skelett.
Genau.
Für alle anderen Formen ist das aber unproblematisch.
Hier am Beispiel von einem Dreieck wird man natürlich feststellen,
dass man hier ähnlich wie bei dem Rechteck erstmal bis zur Mitte die
Kreise einzeichnen kann, bis sie maximal sind.
Das Gleiche gilt natürlich dann eben symmetrisch für die anderen Ecken
des Dreiecks auch.
Das ist jetzt im Grunde wieder...
Hier hat man auch so ein kleines Dreieck, bis man hier landet, in der
Mitte.
Und dann erhält man eben so eine Sternform.
Und dann haben wir das hier noch eingebaut, weil es interessant ist.
Diese Standardbeispiele sehen immer relativ einfach aus.
Aber wenn man hier nur so einen runden Rechteck mit einer fehlenden
Ecke hat, oder so einen Korridor, dann sehen diese Seiten natürlich
gleich aus wie bei den Rechtecken.
Aber hier hier bleibt es noch gleich.
Also hier haben wir noch den typischen Rechteckverlauf.
Hier beim Übergang von hier nach hier ändert sich allerdings der
Radius von dem Kreis.
Also die Kreise hier sind kleiner als die Kreise hier.
Das heißt, der Kreis schiebt sich hier auch anhand von so einer
Kreisform durch.
Also selbst in solchen eckigen Objekten kann man dann eben runde Teile
vom Skelett bekommen.
Genau.
Und das ist im Grunde diese Aufgabe.
Ich glaube, in der Vorlesung hat nämlich ein Kollege mal von mir
gemacht, wenn man das dann sich animiert anschauen möchte, die sind
glaube ich dann in den YouTube-Videos drin, kann man das natürlich so
machen.
Zeichnen ist natürlich ziemlich aufwendig, wenn man jetzt jeden
einzelnen Kreis zeichnen möchte.
Da gibt es natürlich nichts.
Aber so kann man sich jetzt vorstellen, dass das jetzt nicht nur
irgendwie passend ist, weil wir fünf Kreise gemalt haben, sondern
diese eingezeichneten medialen Achsen sind auch tatsächlich die
Mittelpunkte dieser maximalen Kreise.
Ich glaube, hier hat dann das Budget nicht mehr ausgereicht, um den
Kreis in der Mitte größer zu machen.
Genau.
Ja.
Also, das wär's dann für heute für die Übung.