So, Sie haben in der letzten Vorlesung mit dem Momentanpol begonnen.
Das heißt, wir haben eine ebene Bewegung.
Jeder Punkt des Körpers bewegt sich in einer Ebene.
Die Ebenen sind parallel zueinander und gesucht ist jetzt derjenige
Punkt der Bewegungsebene des Punktes.
Wie gesagt, die Ebenen können ja voneinander entfernt sein, der
einzelnen Punkte.
Aber von einem Punkt in der Bewegungsebene ist gesucht der Punkt, um
den momentan sich der Punkt letztendlich dreht.
Und das war der Momentanpol.
Und wenn der Punkt sich um diesen... oder wenn der Körper sich um
diesen Punkt dreht, so müssen wir sagen, dann bedeutet das, dass am
Momentanpol die Geschwindigkeit 0 sein muss.
Jetzt wissen wir, die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt des
Körpers beträgt gerade die Geschwindigkeit VA eines Bezugspunktes plus
Omega kreuz, dem Vektor vom Bezugspunkt zum Punkt, an dem wir die
Geschwindigkeit wissen wollen.
Das wäre momentanpol p in dem Fall.
Da wissen wir, das soll 0 sein, weil der die Geschwindigkeit 0 hat.
Und jetzt bilden wir das Kreuzprodukt von links mit Omega.
Jetzt haben wir an der Stelle den Term Omega kreuz Omega kreuz RAP.
Omega kreuz RAP.
Da haben wir gesagt, RAP liegt in der Bewegungsebene.
Omega ist senkrecht darauf.
Es gibt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.
Also wenn wir zum Beispiel haben RAP.
Das Omega kommt aus der Zeichenebene heraus.
Dann wäre Omega kreuz RAP ein Vektor in der Richtung.
Und der Vektor Omega kreuz Omega kreuz RAP, Omega kreuz Omega kreuz
RAP, der zeigt dann nach unten.
Und wir sehen, letztendlich ist es gerade minus Omega quadrat RAP.
Das können wir an der Stelle letztendlich dann einführen.
Wir bringen das minus Omega quadrat mal RAP auf die andere Seite der
Gleichung.
Dann haben wir RAP mal Omega quadrat.
Omega quadrat ist die Skalargröße, also ist 1 durch Omega quadrat,
wenn wir es auf die andere Seite bringen.
Und da blieb letztendlich das Omega kreuz VA stehen.
Also der Pole, der Momentanpole, der liegt auf einem Strahl, der durch
den Punkt A geht und senkrecht zur Geschwindigkeit des Punktes A ist.
Das heißt, wenn wir mal einen Körper betrachten,
der eine ebene Bewegung macht, dann haben wir den Punkt A, wir haben
die Geschwindigkeit des Punktes A,
das war also VA, das war der Punkt A, dann liegt also der Momentanpole
auf einer Geraden senkrecht zu VA.
Und jetzt hängt es natürlich gerade davon ab, wie groß das Omega ist,
das nehmen wir an, wir haben hier den Momentanpole P. Und dann können
wir im Prinzip jetzt einzeichnen.
Wir sehen, die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes VA ist dann
die Geschwindigkeit des Momentanpoles, sie ist aber 0, plus Omega
kreuz dem Vektor vom Bezugspunkt, also Momentanpole, nach A.
Also Omega kreuz R von P nach A.
Und jetzt sehen wir, entlang der Strecke hier ist die
Geschwindigkeitsverteilung eben linear.
Je weiter der Punkt vom Momentanpole entfernt ist, desto größer die
Geschwindigkeit.
Also hier könnten wir jetzt eintragen, das heißt, der Punkt hätte dann
letztendlich die Geschwindigkeit, der Punkt hätte die Geschwindigkeit
und so weiter.
Vielleicht eine kleine Anmerkung, in dem Moment, wenn wir das so
sagen, der Momentanpole wird hier als Teil des Körpers aufgefasst,
dann heißt das, wir betrachten in dem Moment den Momentanpole als
Punkt des Körpers.
Natürlich gibt es auch einen Punkt im Inertialsystem, der momentan mit
dem Momentanpole zusammenfällt.
Im nächsten Augenblick ändern sich der Punkt auf dem Körper und der
Punkt im Inertialsystem, welche den Momentanpole bilden.
Und wenn wir jetzt die einzelnen Punkte während der Bewegung
verbinden, dann gibt das eine eine Kurve auf dem Körper, das andere
ergibt eine Kurve im Inertialsystem.
Das eine ist die Gangpolbahn, das andere die Rastpolbahn und beide
rollen aufeinander ab.
Wir sehen das gleich an einem ganz einfachen Beispiel.
So, wenn wir jetzt annehmen, wir haben an der Stelle so ein Winkel
-Vieh.
Ich tue jetzt mal so an.
Wenn wir dann den anderen Punkt nehmen, den Punkt B, dann können wir
wieder den Strahle einzeichnen und wir wissen, die
Geschwindigkeitsverteilung ist wieder linear und senkrecht auf dieser
Verbindenden.
Das heißt, die Geschwindigkeit in B, die muss mal hier senkrecht
draufstehen und dann müssten wir jetzt den gleichen Winkel-Vieh hier
antragen und erreichen dann hier den Punkt.
Das wäre also die Geschwindigkeit des Punktes B.
Man sieht in dem Falle, ist dann eben VB gleich V-Momentanpol, das war
0, plus Omega-Kreuz-R von P nach B.
Also ein Vektor, der senkrecht steht auf dem Ortsvektor von P nach B
und senkrecht zu Omega.
Omega kam aber aus der Tafel-Ebene raus.
Also insofern liegt der Vektor VB dann in der Bewegungsebene.
Gibt es soweit Fragen?
Dann als einfachstes Beispiel das rollende Rad.
Und da sehen wir beim rollenden Rad, was haben wir da?
Wir haben das Rad, wir haben die Unterlage, auf der das Rad abrollt,
die Unterlage, die steht.
Und vom Fahrrad oder vom Auto her kennen wir, es gibt zwei Zustände,
entweder wir rollen oder, gerade im Winter kann das auftreten bei
Glatteis, wir haben kein Rollen mehr, sondern eine Relativbewegung im
Kontaktpunkt.
Das wäre dann das Gleiten.
Wir setzen hier Rollen voraus, das heißt, der Kontaktpunkt des Rades
mit der Unterlage hat dieselbe Geschwindigkeit wie die Unterlage.
Die Unterlage hat die Geschwindigkeit Null in dem Falle.
Also wissen wir, der Momentanpol liegt für das rollende Rad hier.
Und wenn wir jetzt an das Auto oder das Fahrrad denken, dann ist
meistens die Nabengeschwindigkeit vorgegeben.
Also wenn wir hier den Mittelpunkt des Rades haben, das Rad hat den
Radius Groß R, dann haben wir an der Stelle die Geschwindigkeit Vm.
Das Rad hat aber eine Winkelgeschwindigkeit, müssen wir mal Richtungen
einführen, nehmen wir an, die X-Richtung nach rechts, Y nach oben,
dementsprechend ein positives Omega entgegen dem Uhrzeigersinn.
Und dann wissen wir, die Geschwindigkeit der Nabe oder des
Mittelpunktes ist dann gerade Omega, ein Vektor senkrecht zur
Tafelebene, kreuz dem Vektor vom Momentanpol zum gesuchten Punkt.
Das war REY,
Omega war OMEZ, gibt also
OMEZ kreuz REY gleich, jetzt sehen wir, minus Omega mal R mal EX,
die Geschwindigkeit Vm war aber Vm EX, durch den Vergleich sehen wir,
wenn das Vm gegeben ist, dann ist das Omega in dem Falle einfach
negativ, nämlich minus Vm dividiert durch R.
Wenn wir jetzt die Geschwindigkeit des oberen Punktes wissen wollen,
nennen wir den mal A, dann wissen wir, die Geschwindigkeit des Punktes
A ist wieder ganz analog, Geschwindigkeit des Momentanpols, das war 0,
plus Omega kreuz dem Vektor von P nach A, das ist aber zweimal REY,
wir sehen, Omega war minus Vm durch R mal EZ,
kreuz 2R EY, EZ kreuz EY ist minus EX, mit dem Minuszeichen hier vorne
ist es plus EX, das R kürzt sich weg, gibt also gerade 2 Vm EX, also
die Geschwindigkeit des Punktes A ist gerade doppelt so groß wie die
des Mittelpunktes, und das hätten wir auch rauskriegen können, wenn
wir die lineare Geschwindigkeitsverteilung hier betrachten, man hat so
eine Verteilung, und mit dem Strahlensatz sieht man relativ schnell,
die Geschwindigkeit VA geht natürlich in dieselbe Richtung, ist
doppelt so groß.
Aber wie sieht es mit dem Punkt B aus?
Können wir genauso machen, die Geschwindigkeit des Punktes B ist
Omega, das war minus Vm dividiert durch REZ, kreuz den Vektor von P
nach B, das ist aber R in X-Richtung und R in Y-Richtung, also REX
plus REY, und da sehen wir EZ kreuz EX ergibt EY, dann haben wir also
minus Vm durch R mal R, gibt minus Vm in Y-Richtung, und wir haben EZ
kreuz EY ergibt minus EX, mit dem Minuszeichen hier vorne ergibt es
plus EX, Vm durch R mal R ergibt Vm, also plus VmEX.
Das heißt der Punkt B hat in dem Fall eine Geschwindigkeitskomponente
in positive X-Richtung, die genauso groß ist wie die
Geschwindigkeitskomponente in Y-Richtung, allerdings in negative Y
-Richtung.
Das heißt, da haben wir jetzt die Geschwindigkeit des Punktes B, und
ganz klar, die steht natürlich senkrecht auf dem Strahl von P nach B.
Genauso können wir es relativ leicht erklären.
Die Geschwindigkeit des Punktes C, wenn wir das hier links nehmen, die
wäre natürlich in positive X-Richtung und in positive Y-Richtung.
Der Betrag der Geschwindigkeit in den Punkten B und C wäre dann gerade
Wurzel 2 mal der Geschwindigkeit des Narbenpunktes.
Gibt es soweit Fragen?
An der Stelle gebe ich immer den Hinweis, also Sie sind jetzt alle in
der letzten Vorlesungswoche vor Weihnachten hier.
Insofern hoffe ich, dass Sie das nicht trifft.
Aber wer in der schriftlichen Prüfung zweimal durchfällt, hat ja als
Teil der zweiten schriftlichen Prüfung dann eine mündliche
Nachprüfung.
Und in der mündlichen Nachprüfung, da ist immer das rollende Rad eine
notwendige Bedingung, um die Prüfung zu bestehen.
Das ist nicht ganz hinreichend natürlich.
Aber wer in der mündlichen Prüfung das rollende Rad nicht kann, da
wird die Prüfung abgebrochen.
Und Sie glauben nicht, wie oft das passiert.
Vielleicht an der Stelle ein kleiner Hinweis.
Es war ja die Vorlesungsevaluation.
Wir nehmen auch Kritik an.
Ich habe ein paar Dinge rausgeschrieben, die ich kommentieren will.
Das Erste ist immer, ein Skript wird verlangt.
Denken Sie doch endlich mal dran, Sie sind Studenten.
Sie sollen auch lernen, sich das Notwendige zusammenzusuchen.
Ob man das unbedingt als Eins-zu-eins-Aufschrift vor sich haben muss.
Ich weiß es nicht.
Sie sehen, mir geht es heute nicht ganz so gut.
Ich habe immer mal wieder Herzprobleme.
Ich habe trotzdem ein dickes Buch mitgebracht.
Wäre gut für den Weihnachtsbaum als Geschenk drunter.
Ich sage immer, die Bibel des Maschinenbaus.
Sie wissen, gerade was den starren Körper anbelangt, habe ich ein paar
Kippkapitel geschrieben.
Wenn Sie da aufschlagen, Sie alle können das viel leichter handhaben.
Sie können es auch runterladen von der Bibliothek.
Als Student von Karlsruhe geht das, glaube ich, kostenlos.
Wenn man da aufschlägt, da kommt plötzlich auf Seite 208 der neuen
Auflage im Prinzip so ein Bild wieder oben.
Dann gibt es das rollende Rad und das Beispiel, das ich demnächst
mache.
Weite Teile des Buches sind wirklich direkt an die Vorlesung
angelehnt.
Da war das Vorlesungsmanuskript die Vorlage.
Insofern stimmt es schon überein.
Insofern macht es auch keinen Sinn, jetzt wirklich noch ein separates
Skript zu schreiben.
Das zieht sich dann durch bis zum letzten Kapitel des nächsten
Semesters, wenn es um die Einführung der Schwingungslehre geht.
Das hat wieder ein Kollege aus Dresden gemacht.
Aber ansonsten alles, was mit Starkkörper zu tun hat und mit
analytischer Mechanik, den Energiemethoden, die nächstes Semester auch
drankommen, das finden Sie alles hier drin.
Allerdings nicht unterteilt jetzt zunächst mal nur die ebene Bewegung,
wie wir die jetzt gerade machen, sondern zunächst mal immer Kinematik
für eine ebene Bewegung, dann Kinematik für die räumliche Bewegung,
die sehr viel komplizierter ist.
Und dann geht es auf die Kinetik, zunächst wieder ebene Bewegung und
dann wieder räumliche Bewegung.
Wenn man es in einer Gesamtsichtweise macht, denke ich, ist das
besser.
Hier in der Vorlesung müssen wir immer beachten, wir haben Studenten,
die uns nach dem dritten Semester wieder verlassen, z.B.
die Mechatroniker, die haben die TM4 nur als Wahlfach, wenn sie das
machen wollen, als Pflicht haben, die nur die TM3.
Insofern muss man das entsprechend in Karlsruhe ein bisschen anpassen.
So, das war das Skript.
Ah, die Schrift zu klein, das wäre mir hier an der Stelle auch wieder
gekommen, aber hier vorne, wenn man begrenzten Tafelraum hat und
früher war ich sehr viel sportlicher als heute, da war das noch
einfacher, große Zeichnungen zu machen.
Einige sind auch für den Visualizer hier, darauf zu schreiben.
Ich bin ganz ehrlich, ich bin kein Freund von Visualizern, da setzt
man das Tempo noch weiter hoch.
Es gab auch Kritik, die Zeit, wenn die Tafeln verfahren werden, das
summiert sich über zwei Semester bis zu, ich glaube, 21 Minuten oder
41 Minuten Vorlesungszeit.
Nehmen Sie das immer wieder?
Oder wenn hier vorne es mal ein bisschen hektisch zugeht, dann kann
man das mal noch mal ein bisschen nachlesen, vielleicht noch mal
besser abpinseln.
Oder ganz einfach so eine lohnende Pause hat man dann.
Eine Bemerkung war, Herr Seemann ist manchmal gemein, also gemein bin
ich eigentlich nicht.
Oder?
Wenn ich als Fragenstelle komme, die sich, das stand auch irgendwo,
ich würde die, die dann, oder wenn ich frage, oder wenn ich in die
Runde frage und jemand gibt eine Antwort, würde ich die Leute bloß
stellen.
Also bei weitem nicht, das sind dann wenigstens die mutigen Leute, die
eine Antwort geben, auch wenn sie vielleicht mal falsch ist.
Dann wird gefordert ein anderer Hörsaal.
Da hat man wirklich das Problem, dass wir nominell, wenn alle
Studenten bis zum Semester kommen, eben eine sehr große Zahl sind.
Da gibt es nur ganz, ganz wenige Hörsäle.
Mir ist sogar einmal passiert, da war die TM3 oder TM4, die wurde
verlegt auf montags morgens um 8 Uhr, das war die einzige Vorlesung,
die die Studenten zwangsweise hatten in dem Semester.
Ansonsten hatten die vielleicht noch ein Tutorium oder irgendwas
montags, weil der zur Verfügung stehende Hörsaal sonst nominell zu
klein gewesen wäre, wenn man das zu einer anständigen Zeit gemacht
hätte.
Es war natürlich dann so, dass nach wenigen Vorlesungsstunden auch ein
sehr kleiner Raum ausgereicht hätte, die Vorlesung montags morgens um
8 Uhr zu machen.
Also wie gesagt, da hat man das Problem der Kapazität, dass man so
etwas verbraucht, dass man überhaupt einen großen Hörsaal braucht.
Dann gab es Vertretungen.
Da muss ich ganz ehrlich gestehen, ich mache das wirklich nicht gern.
Ich halte im Allgemeinen die Vorlesung selbst.
Ich bin einer der wenigen, die wirklich im Bachelor des ID's, also
beim International Bachelor, die Vorlesung noch selbst halten und da
auch hingehen.
Sie haben es auch vielleicht mitgekriegt, ein Kommentar war, nicht
immer in das Mikrofon reinhusten.
Das habe ich mir eigentlich nicht so ausgesucht.
Ich hatte wirklich, ich glaube, mehr als zwei Monate mit einer starken
Erkältung zu kämpfen.
Und wenn ich montags dann zwei Blöcke Vorlesung hintereinander machen
musste, das ging physikalisch einfach nicht, sodass ich immer im
Wechsel, wenn es notwendig war, einmal die deutsche gehalten habe und
einmal die am ID, um beide gleich zu behandeln.
Ich denke oder hoffe, dass das akzeptiert wird.
Also normalerweise mache ich die wirklich selbst.
Videos früher hochladen, da schaue ich mal ganz nach hinten.
Ich weiß nicht, wie da die Gegebenheiten sind.
Das kümmert mich nicht so sehr, sage ich ganz ehrlich.
Mir ist wichtig, dass die Videos irgendwann oben sind.
Das ist natürlich schon so, wenn man dann das Übungsplan machen will,
wäre es vielleicht hilfreich, man hat das entsprechende Video, um mal
kurz nachzuschauen.
Aber da sind wir, glaube ich, ich frage mal...
Auch...
Da stand jemand aus der Bibliothek, oder?
Ist das jemand aus der Bibliothek?
Also Sie sehen, wir haben es nicht immer ganz allein in der Hand.
Eine Bemerkung war, der Herr Böllke kam als im Anzug.
Das war jetzt lustig, weil ich kam heute auch im Anzug, allerdings
nicht wegen Ihnen, sondern wegen einem anderen Anlass.
Also ich komme so, wie ich will, die Freiheit nehme ich mir.
Es gab auch ein paar Kritiken zu schönen Hemden.
Oh, ich müsste mal ein paar meiner Hawaii-Hemden anziehen.
Sie wissen ja, als Maschinenbauer, manchmal hat man auch das Privileg,
dass Konferenzen auf Hawaii sind.
Und dann gönnt man sich auch das eine oder andere Hawaii-Hemd.
Irgendjemand verlangte mehr Frauenwitze, da muss ich mittlerweile
vorsichtig sein.
Wir haben jetzt die letzte Veranstaltung vor Weihnachten, ich muss
noch ein bisschen Stoff durchbringen, aber so ein paar Storys kann man
ja schon erzählen.
Im Frühjahr hatten wir mit einem Kollegen aus Lyon und einer Kollegin
aus Marrakesch eine Sommerschule in Marrakesch organisiert.
Die Kollegin aus Marrakesch war natürlich auch für das Begleitprogramm
zuständig.
Und wie das halt so in einem orientalisch angehauchten Teil ist, wir
müssen noch ein bisschen warten, die Tänzerin kommt erst noch.
Und dann kam da eine Tänzerin, die war zunächst mal sehr züchtig
begleitet.
Das hat sich dann aber nach und nach gewandelt.
Und dann kamen die auch so zu den Teilnehmern und standen da wirklich
so hauteng davor und man wusste nicht, ob man rechts oder links
vorbeischauen sollte.
Dann natürlich noch Mitarbeiter des Instituts dabei waren, haben die
das gefilmt und das kam jetzt wieder in der Weihnachtsfeier alles als
Vorführung.
Ich muss ganz ehrlich gestehen, ich habe dann gesagt, also in
Deutschland hätte ich mich das nicht getraut zu organisieren.
Aber da es eine Kollegin war, die das organisiert hat, also ich habe
es dann halt ertragen.
So, eine Bemerkung war, mehr Zahlenrechnungen, weniger Variablen.
Ich darf Ihnen verraten, im amerikanischen Stil wird in der ersten
Zeile mit Zahlenwerten angefangen.
Das macht man aber im europäischen Stil gar nicht.
Und ich bin ganz ehrlich, ich finde es auch schwachsinnig, gleich in
der ersten Zeile mit Zahlen anzufangen.
Man hat dann, wenn man im wirklichen Leben rechnet, immer drei
Nachkommastellen, dann muss man das runden, weil mehr als drei
Nachkommastellen macht eh keinen Sinn.
Und dann hat man das Ganze durchgerechnet, jetzt kommt man auf die
Idee, ach, wie sieht denn das aus, wenn das Bauteil nicht einen Meter
lang ist, sondern 1,20 Meter, und dann kann man ja nicht nochmal von
oben anfangen.
Das ist bei unserem Stil ein bisschen einfacher, da gibt es ein
Endergebnis und dann setzt man dort Zahlenwerte ein.
Auf das verzichten wir allerdings in der Klausur meistens.
Diejenigen, die die blauen Bücher kennen, die wurden ja von den
Kollegen und mir angepasst aus dem amerikanischen.
Und wirklich, was sehr viel Zeit gekostet hat, war das Anpassen von
Zahlenrechnungen auf variablen Rechnungen.
Da war praktisch ab der ersten Zeile immer Zahlenwerte gestanden, das
macht man bei uns nicht, und das Umzuwandeln war wirklich nicht zu
unterschätzen.
Dann gab es noch zum Schluss, dass man doch Hausaufgaben mit dem iPad
machen kann und das dann ausdrucken und hochladen und was weiß ich
was.
Da sind wir anscheinend noch ein bisschen saurierhaft unterwegs, aber,
ich sage jetzt aber, das hat natürlich den Grund, wenn Sie hier eine
Prüfung schreiben, sind Sie meistens auch noch mit Bleistift und
Papier unterwegs.
Die Übungsaufgaben, das zeigt einfach die Erfahrung.
Wenn man solche Dinge zulässt, dann gibt es einen gewissen
Prozentsatz, der das missbraucht.
Und kopierte Übungsblätter zu korrigieren für viel Geld, was das das
Institut kostet, macht wirklich keinen Sinn.
Deshalb handhaben wir das ein bisschen wie eine Klausur.
Und Sie sollten bedenken, Sie sollten auch in einer Klausur
handschriftlich schreiben können.
Und ich sage das ein bisschen aus eigener Erfahrung, weil mein Junior,
er studiert auch Maschinenbau, nicht in Karlsruhe.
Und als ich dann schon gefragt habe, was für Noten gab es?
Zwei oder drei oder was weiß ich was, dann war es lags, ich muss mich
so ärgern.
Er hat also dann zum Teil das nicht mehr lesen können, was er zwei
Zeilen drüber geschrieben hat.
Und hat dann Übertragungsfehler gemacht.
Und das sind eigentlich unnötige Fehler.
Wie?
Also gewöhnen Sie sich eine saubere Schreibweise an, das macht vieles
effizienter dann.
Das kann man wirklich auch üben, das übt man aber nicht, wenn man
alles dann mit dem iPad macht.
So, jetzt habe ich viel erzählt, die Bibel des Maschinenbaus
vorgestellt, jetzt können wir weitermachen.
Das nächste Beispiel ist jetzt
so eine Rollenbewegung.
Was haben wir da?
Wir haben eine mittlere Rolle,
dann haben wir hier eine Rolle,
haben da eine Rolle, die beiden Rollen sind jetzt drehbar gelagert.
Dann haben wir ein undehnbares Seil, was um die Rollen geschlungen
ist.
Und zwar soll das Ganze so konstruiert sein, dass die Seile jeweils
vertikal verlaufen.
Jetzt müssen wir noch angeben, die erste Rolle hat ein Radius R1,
dreht sich mit Omega 1.
Die zweite Rolle hat einen Radius R2, kann also von R1 verschieden
sein, dreht sich mit der Winkelgeschwindigkeit Omega 2.
Und wenn Sie Ingenieur werden wollen, sollten Sie vielleicht erkennen,
je nachdem wie schnell die einzelnen Rollen drehen, hebt oder senkt
sich die mittlere Rolle, die dreht sich dabei auch gleich.
Das könnte man vielleicht auch wie ein Kran oder Aufzug sehen.
Beim Kran wird nur eine Seite angetrieben.
Man könnte es aber auch rein theoretisch in der Art und Weise machen.
Das heißt, uns interessiert, wie groß ist die
Schwerpunktgeschwindigkeit der Rolle.
Und wir nehmen mal an, der Radius, das sei jetzt einfach R3.
Wie machen wir das?
Zunächst einmal haben wir drei Stackkörper.
Das heißt, wenn wir irgendwelche Rechnungen machen, mit
Geschwindigkeit des einen Punktes, Gleichgeschwindigkeit des anderen
Punktes, plus Omega kreuzt den Vektor usw., dann geht es natürlich nur
auf, wenn beide Punkte auf demselben Stackkörper sind.
Und in dem Falle können wir mal die Punkte A und B einzeichnen.
Das sind die Punkte, auf denen das Seil auf die jeweilige Rolle
einläuft.
Und da wissen wir, die Geschwindigkeit des Punktes A
ist praktisch die Mittelpunktgeschwindigkeit.
Da, wo der Mittelpunkt gelagert ist, war das gerade 0.
Plus Omega kreuzt den Vektor vom Mittelpunkt nach A.
Das heißt, wir führen jetzt wieder ein, x und y, dann hätten wir Omega
1 E Z kreuz R 1 E X.
Und da sehen wir, es gibt gerade Omega 1 R 1 E Y.
Hätten wir auch aus der Anschauung her machen können, weil die Rolle
so dreht, wissen wir, die Geschwindigkeit geht nach oben.
Also das war V A.
Beim Punkt B geht das ganz analog.
Da wissen wir, V B ist wieder die Mittelpunktgeschwindigkeit, die war
0.
Plus Omega 2 E Z, das war die Winkelgeschwindigkeit, kreuzt den Vektor
vom Mittelpunkt nach B, das war minus R E X.
Jetzt sehen wir E Z kreuz E X ergibt E Y und mit dem Minuszeichen gibt
es Minus Omega 2 R 2 E Y.
Geht also hier nach unten.
Und da jetzt ein undehnbarer Seil vorliegt, wissen wir, die Punkte der
dritten Walze, wo das Seil einläuft, die haben dieselben
Geschwindigkeiten wie die korrespondierenden Punkte oben.
Wenn wir an der Stelle den Punkt C wählen und hier den Punkt D, dann
entspricht V C gerade V A und
V D entspricht V B.
Also V D gleich V B.
So, und was kennen wir jetzt nicht?
Wir kennen nicht die Geschwindigkeit des Schwerpunktes und wir kennen
nicht das Omega 3.
Das heißt, jetzt brauchen wir Gleichungen, um das zu bestimmen.
Und was haben wir als erste Gleichung?
Wir haben die Punkte C und D, von denen wir die Geschwindigkeiten
kennen.
Das heißt, wir können zum Beispiel schreiben, V D ist die
Geschwindigkeit von C, V C, plus die Winkelgeschwindigkeit, wie
gesagt, jetzt von Körper 3, das war Omega 3 E Z, kreuz den Vektor von
C nach D, also 2 R 3 E X.
Setzen wir das ein, dann haben wir V D gleich V B, das war minus Omega
2 R 2 E Y.
Gleich V C, V C war V A, V A war Omega 1 R 1 E Y.
Plus, jetzt haben wir E Z kreuz E X ergibt E Y, also plus 2 R 3 Omega
3 E Y.
Und man sieht, überall haben wir den Einheitsvektor E Y.
Es genügt jetzt also, mit den Koordinaten weiterzurechnen.
Ich mache das mal auf der Seite.
Dann erhalten wir minus Omega 2 R 2 gleich Omega 1 R 1 plus 2 R 3
Omega 3.
Und wir sehen, sind wir glücklich, wir haben nur eine Unbekannte.
Omega 1 wird als bekannt vorausgesetzt, Omega 2 als gegeben.
Dann können wir jetzt Omega 3 bestimmen.
Wenn wir die Geometrie kennen, bringen wir das Omega 1 R 1 nach links.
Dann steht insgesamt da, minus Omega 1 R 1 plus Omega 2, ne minus, ne
doch plus,
dividiert durch 2 R 3.
Also eine der gesuchten Größen haben wir jetzt bestimmt.
Wir sehen,
wenn Omega 1 positiv ist und Omega 2 positiv ist, dann dreht die
dritte Walze im Uhrzeigersinn also in negative Richtung.
Und zwar je stärker, je größer Omega 1 R 1 und Omega 2 R 2 sind.
Und je geringer, je größer R 3 ist im Vergleich zu denen.
Und wie sieht es aus mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit?
Da wissen wir natürlich, die Schwerpunktsgeschwindigkeit, die ist
jetzt, entweder starten wir bei C oder wir starten bei D.
Starten wir mal bei C, dann haben wir V C plus Omega 3, das war Omega
3 E Z, Kreuz, dem Vektor von C nach S, das war gerade R 3 E X.
V C war V A, das war also gerade Omega 1 R 1
E Y plus, und jetzt haben wir E Z Kreuz E X ergibt E Y, also Omega 3
mal R 3 E Y.
Omega 3 war aber minus und so weiter, gibt also Omega 1 R 1 minus
Omega 3 mal R 3, da kürzt sich das R 3 mit dem R 3 vom Nenner weg,
gibt also Omega 1 R 1 plus Omega 2 R 2 halbe, das Ganze in E Y
Richtung.
Und jetzt sehen wir Omega R 1 minus Omega R 1 halbe gibt Omega 1 R 1
halbe, also letztendlich erhalten wir gerade Omega 1 R 1 plus Omega 2
R 2 halbe in E Y Richtung.
Der Blick ins Skript zeigt, dass es ein Minus sein muss, genau, weil
hier Plus mit Minus.
Ich wollte nur wissen, ob Sie noch aufpassen.
Wir hätten es aber auch gleich gemerkt, warum?
In dem Fall, wenn die Geschwindigkeit des Punktes C genauso groß ist
betragsmäßig wie die Geschwindigkeit des Punktes D, aber die so
gerichtet sind, was haben wir dann?
Und dann haben wir Schwerpunktgeschwindigkeit gleich 0.
So ein bisschen fällt mir da immer, wie heißt denn das nochmal, beim
Jonglieren, der Diabolo.
Wer kennt den Diabolo?
Sieht man immer beim Mittelalterfest und so weiter, da hat man zwei
Stäbe und dazwischen ein Seil und dann hat man so eine Walze und jetzt
treibt man die Walze an, dass die sich dreht.
Warum das die am besten sich dreht und man dann damit arbeiten kann,
das lernen wir nächstes Semester, nämlich das hat was mit Kreisel zu
tun und wenn man da das geschickt macht, dann bleibt die Walze auch
auf gleicher Höhe und praktisch nur das Seil geht da durch.
Es muss praktisch auf der einen Seite genauso schnell runter gehen wie
auf der anderen Seite hoch.
Diejenigen, die das schon mal in der Hand gehabt haben und ein
bisschen rumgespielt haben, die wissen das.
Kleine Anmerkung, auch dieses Beispiel habe ich schon oft in
mündlichen Prüfungen gefragt und ein Großteil der Studenten scheiterte
daran.
Gibt es soweit Fragen?
Kommen wir zum letzten Beispiel.
Ein Viergelenk.
Was haben wir da?
Nun haben wir im Grunde genommen zwei Kurbeln.
Die eine Kurbel dreht sich mit Omega 3.
Wir haben so eine Kurbelstange der Länge L.
Die Kurbel hat die Länge B.
Und dann haben wir praktisch nochmal eine Kurbel, die in der
augenblicklichen Stellung gerade so verläuft, dass wir praktisch 45
Grad haben.
Die hat die Länge R.
Also an der Stelle haben wir
45 Grad.
Dementsprechend führen wir jetzt noch Winkelgeschwindigkeiten ein,
nämlich Omega 1 von der rechten Kurbel, das sei die, die das Ganze
antreibt.
Und Omega 2 für die Winkelgeschwindigkeit der Kurbelstange.
Und ganz klar, Sie müssen immer wissen, was wir jetzt machen, gilt für
die augenblickliche Stellung.
Eine gewisse Zeit später hat sich die Systemstellung verändert.
Die Kurbelstange ist nicht mehr unbedingt horizontal, die ist schief.
Also die dreht sich wirklich.
Und genauso natürlich die linke Kurbel, die fängt an sich zu drehen.
Was wissen wir nun, wenn Omega 1 gegeben ist?
Dann kennen wir aufgrund der Beziehungen für den ersten Schlagkörper
die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A.
Die Geschwindigkeit des Gelenkpunktes A ist dann nämlich senkrecht zur
Kurbel.
Also senkrechter Linie vom Lager zum Punkt A.
Und hat betragsmäßig die Größe Omega 1 mal R.
Deshalb können wir die Geschwindigkeit des Punktes A sofort angeben.
Man sieht, A hat eine Geschwindigkeit mit einer negativen Komponente
in X-Richtung.
Gibt also in dem Falle Minus, und jetzt haben wir hier Cosinus von
45°.
Also Omega 1 R1 Cosinus 45°.
E-X in E-Y-Richtung, da haben wir eine positive Komponente, also Plus
Omega 1 R1.
Dann mal Sinus 45° E-Y.
Cosinus 45° und Sinus 45° sind jeweils 1 durch Wurzel 2 oder ein Halb
mal Wurzel 2.
Also ergibt sich insgesamt für V-A ein Halb mal Wurzel 2 Omega 1 R1
mit einem Minuszeichen von hier oben E-X.
Plus ein Halb mal Wurzel 2 Omega 1 E-Y.
Jetzt beim Punkt B.
Wie sieht es da aus?
Wir kennen nicht die Geschwindigkeit von Punkt B und wir kennen auch
nicht das Omega 3.
Was wir jetzt aber machen können ist, wir können Beziehungen angeben
für die Geschwindigkeit des Punktes B.
Nämlich einmal, wenn wir hier oben am Lager starten, dann wissen wir,
VB ist für ein positives Omega 3.
Ich mache das jetzt nicht mehr über das Kreuzprodukt, sondern bei so
einfachen Beispielen kann man es eventuell auch aus der Anschauung
machen.
Für ein positives Omega 3 bewegt sich der Punkt B in positive X
-Richtung.
Und zwar senkrecht zur Kurbel, also gerade in X-Richtung.
Betrag war dann Abstand B mal Omega 3.
Es gibt also B Omega 3 E-X.
Auf der anderen Seite können wir auch den Punkt B auffassen als Teil
des Starkkörpers Koppelstange.
Und auf der Koppelstange haben wir zwei Punkte, nämlich den Punkt A
und den Punkt B.
Vom Punkt A kennen wir die Geschwindigkeit, von der Koppelstange
kennen wir allerdings die Winkelgeschwindigkeit nicht.
Aber wir schreiben das einfach mal an.
Dann haben wir VB.
Wenn wir bei V A starten, ist gerade in Halb mal Wurzel 2 Omega 1 mal
R mal E-X.
Plus, nee das war ein Minuszeichen wieder, Entschuldigung, negative X
-Richtung.
Plus in Halb Wurzel 2 Omega 1 R E-Y.
Plus, und jetzt kommt die Winkelgeschwindigkeit des betrachteten
Starkkörpers, das war also Omega 2 E-Z.
Kreuz den Vektor von A nach B, das ist aber Minus L E-X.
Dieser letzte Term E-Z Kreuz E-X ergibt E
-Y.
Mit dem Minuszeichen ergibt es Minus E-Y.
Also Minus Omega 2 L E-Y.
Und jetzt sehen wir, hier haben wir das VB, nur eine Komponente in X
-Richtung.
Rechts haben wir Terme in X- und in Y-Richtung.
Das heißt, wir haben jetzt B Omega 3 E-X gleich, jetzt haben wir Minus
in Halb Wurzel 2
Omega 1 R E-X.
Plus, und in Y-Richtung haben wir in Halb Wurzel 2 Omega 1 R Minus
Omega 2 L E-Y.
Nun, damit die Gleichung gilt, muss links die Koordinate von E-X der
Koordinate von E-X rechts entsprechen.
Jetzt sehen wir, das ergibt eine Gleichung mit Omega 3 als
Unbekannter.
Also haben wir jetzt B Omega 3 gleich Minus in Halb Wurzel 2 Omega 1 R
oder Omega 3 gleich Minus in Halb Wurzel 2 R durch B Omega 1.
Und als nächstes wissen wir, Y-Koordinate rechts gleich Y-Koordinate
links.
Links haben wir aber nichts in Y-Richtung, also ist das Null.
Also gilt in Halb Mal Wurzel 2 Omega 1 R
Minus Omega 2 L gleich Null.
Einzige Unbekannte in der Gleichung ist Omega 2.
Also Omega 2 ist in dem Falle in Halb Mal Wurzel 2 R durch L.
Wie?
Das Omega 1 fehlt noch, genau.
So war es.
Jetzt haben wir die Omegas, ja was ist das mit der Geschwindigkeit von
Punkt B?
Und das können wir jetzt natürlich leicht ausrechnen, wir wissen, wenn
wir Omega 3 haben, dann ist VB gerade B mal Omega 3 EX.
Omega 3 hatten wir hier berechnet.
Also das VB ist dann gerade Minus in Halb Wurzel 2 R Omega 1 in EX
-Richtung.
Das schreibe ich jetzt nicht mehr explizit an.
Gibt es soweit Fragen?
Ich habe hier mal so ein Koppelfiereck oder so ein Viergelenk
mitgebracht.
Sie sehen in dem Modell, da könnte man jetzt das als Antrieb nehmen.
Und wenn man jetzt hier einen Stift durchsteckt, dann gibt es
natürlich bestimmte Kurven.
Also man hat früher mit solchen Getrieben die vielfältigsten
Bewegungen realisiert, in der Lage macht man das natürlich mit XY
-Antrieben meistens, wenn die genügend genau geregelt werden können.
Aber man kann natürlich auch kompliziertere Koppelgetriebe machen und
dann wirklich komplizierte Kurven erzeugen.
Uns ging es jetzt nur darum, das für die Bewegung eines Stabkörpers
auszunutzen.
Wie gesagt, jetzt fragen wir zunächst mal.
Ich habe jetzt diese Konfiguration.
Die hängt so schön runter, da muss ich nichts festhalten.
Frage 1.
Wo ist der Momentanpol?
Wer hat eine Idee?
Wer hat eine Frage?
Warum sollte man jetzt zunächst mal eine Frage haben?
Ganz einfach.
Unser Viergelenk hat drei Körper, nämlich Kurbel 1, Kurbel 2 und
Koppelstange.
Also für jeden Stabkörper existiert momentan ein Momentanpol.
Und ganz einfach, wenn wir für die Kurbeln das machen, dann wissen
wir, Momentanpole sind dann die Lagerstellen, weil dort die
Geschwindigkeit Null ist.
Also von der Kurbelstange ist das der Lagerpunkt, von der Kurbelstange
ist das der Lagerpunkt.
Das ist die große Preisfrage.
Wo ist der Momentanpol der Kurbelstange?
Es geht ganz leicht.
Wir wissen, der Momentanpol liegt auf einer Geraden senkrecht durch
einen Punkt, dessen Geschwindigkeit wir kennen.
Und jetzt kennen wir natürlich nicht die Geschwindigkeit, weil sich
das scheinbar gar nicht bewegt.
Aber wenn sich das ein bisschen bewegt, dann hat die Geschwindigkeit
der rechten Kurbel die Richtung.
Der Momentanpol muss auf einer Geraden senkrecht zu dieser Richtung
liegen.
Das ist genau in Richtung der Kurbel.
Genauso verhält sich es an der Stelle.
Der Punkt als Punkt der Kurbelstange hat die gleiche Geschwindigkeit
wie der Kurbelpunkt.
Also die Geschwindigkeit, der Momentanpol der Kurbelstange muss aber
senkrecht auf dieser Geschwindigkeit durch den Punkt liegen.
Also wieder in Verlängerung dieser Kurbel.
Obwohl die beiden Kurbeln nicht Teil des Stackkörpers sind, den wir
betrachten.
Also in der Verlängerung und in der Verlängerung am Schnittpunkt muss
er dann irgendwo liegen.
Oder wenn man diese Konfiguration wählt, dann wäre,
oder machen wir es mal so.
In dem Fall wäre der Momentanpol wo?
Verlängerung hier, Verlängerung hier wäre also gerade da unten.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann kommen wir jetzt zur Kinetik.
Ich mische aber vorher noch mal kurz die Tafel.
Also in dem Fall hatten wir das so.
Wir hatten die Kurbelstange und jetzt kommt auch die Stellung an.
Wenn wir jetzt von dem Punkt wissen, er bewegt sich in die Richtung.
Und bei dem Punkt wissen wir, ich muss aufpassen, er bewegt sich in
die Richtung.
Dann ist der Momentanpol auf einer Geraden, die senkrecht zu der
Geschwindigkeit steht.
Also wie gesagt, das soll die Geschwindigkeit sein an dem Punkt.
Genauso verhält sich es hier.
Der Momentanpol muss auf einer Geraden liegen, die senkrecht auf der
Geschwindigkeit liegt.
Also wäre in dem Falle das der Momentanpol.
Dass das jetzt bei uns im Koppelfiereck gerade die Kurbeln sind, das
liegt eben an der Konstruktion.
Weil eben der Punkt um den Lagerpunkt der Kurbel sich momentan auch
bewegt.
Achso, Sie sind auch bei der...
Für die Stellung hier ist praktisch der Momentanpol der Koppelstange
irgendwo auf der Geraden.
Und für den Punkt ist die Geschwindigkeit horizontal gerichtet, weil
die Kurbel eben oben nur eine Bewegung horizontal zulässt.
Das heißt, der Momentanpol der Koppelstange muss auch hier irgendwo
liegen.
Jetzt sehen Sie, wenn wir das mal verlängern, für die Konfiguration
würde der Momentanpol hier liegen.
Ja,
dann liegt er im Unendlichen.
Dann macht die Koppelstange augenblicklich eine reine Translation.
Sie hat dann die Wickelgeschwindigkeit momentan Null.
Jetzt war da noch eine Frage.
Wie?
Da oben?
Das war einmal ganz einfach, nämlich für die Einser und die Zweier in
den Lagerpunkten.
Für die große Walze liegt er irgendwo auf der Horizontalen.
Also bei dem Punkt bringt es jetzt nichts Neues.
Das war deshalb Ihre Frage.
Und es hängt jetzt davon ab.
Wenn die Geschwindigkeit des Punktes C gerade so groß ist, dass wir
das so haben, die ist so groß, dann wäre eine lineare
Geschwindigkeitsverteilung so, dann würde der Momentanpol hier liegen.
Wenn jetzt aber die Antriebe hier oben etwas anders sind, dann hat
vielleicht der Punkt eine Geschwindigkeit so.
Der hat eine, die liegt so.
Können ja auch beide nach unten gehen.
Dann wäre praktisch lineare Geschwindigkeitsverteilung, würde
bedeuten, der Momentanpol liegt in dem Falle hier rechts.
Er kann jetzt irgendwo liegen.
In dem Moment, wo praktisch beide mit der gleichen Geschwindigkeit
nach unten gehen, würde der Momentanpol irgendwo im Unendlichen
liegen.
Jetzt hoffe ich, dass Sie genügend sehen, weil das schreibe ich
zunächst mal hier links auf die trockene Tafel.
Und zwar kommen wir jetzt zur Kinetik.
Und zwar für den einfachen Fall, dass wir nämlich eine ebene Bewegung
haben in der Gestalt, dass der Körper sich um eine raumfeste Achse
dreht.
Also für Rotation um
eine raumfeste Achse.
Denken Sie an einen Generator oder eine Turbine mit Generator oder so
irgendwas.
Dann haben wir eine raumfeste Achse, um die sich eben die Welle und
die Turbine und das alles dann drehen.
Das heißt, wir können das so kennzeichnen.
Wir haben die Drehachse.
Und dann haben wir den Körper.
Na gut, ein Körper, der dreht um eine raumfeste Achse.
Der muss nicht unbedingt rotationssymmetrisch sein.
Der kann irgendwie eine Form haben.
Wichtig ist, wir haben praktisch hier dann irgendwo das Lager.
Das war die feste Drehachse.
Wir nehmen mal an, die Drehachse, die bestimmt auch die Z-Richtung.
Das wäre also Einheitsvektor in Z-Richtung.
Die Drehung ist dann die Winkelgeschwindigkeit, die ebenfalls in Z
-Richtung gerichtet ist.
Hier unten noch ein Lager.
Und wie gesagt, die Winkelgeschwindigkeit erfolgt dann um diese Achse,
so angedeutet.
Wir haben gesagt, wir wählen als Bestes einen Bezugspunkt auf der
Drehachse.
Das heißt, wir wählen mal den Bezugspunkt O auf der Drehachse.
Und unser Massenelement dm,
das hat jetzt den Ortsvektor R.
Nun, wenn der Körper um die feste Drehachse sich dreht, dann bewegt
sich der Massenpunkt auf einer Kreisbahn.
Das heißt, die können wir entsprechend einzeichnen.
Das soll jetzt die Kreisbahn sein.
So, die Kreisbahn, die hat jetzt den Radius kleinen r und die
Geschwindigkeit des Massenpunktes.
Die ist tangential an die Bahn gerichtet, v.
Jetzt, wie sieht es aus mit dem Drall des starren Körpers?
Dann nehmen wir wieder den Massenpunkt dm.
Der hat einen differenziellen Drall, also ein differenzieller Drall
von dm bezüglich dem Bezugspunkt O auf der Drehachse.
Da wissen wir, der Ortsvektor ist dann gerade z in e-z-Richtung plus r
in e-r-Richtung.
Also r e-r plus z e-z.
Die Geschwindigkeit des Massenelementes ist jetzt aber gerade Radius
der Kreisbahn mal Omega in
tangentiale Richtung.
Wenn wir e-r eingeführt haben, liegt es nahe, da auch e-phi
einzutragen.
Also, wenn wir jetzt die Einheitsvektoren noch haben, dann würde es so
gehen, in der Richtung haben wir e-r und tangential haben wir das e
-phi.
Sie wissen, wo ich die Einheitsvektoren antrage, das ist völlig egal.
Die müssen wir nicht unbedingt direkt am Massenelement antragen,
sondern die haben irgendwie eine gegebene Richtung, die kennzeichnet
uns nur die Richtung.
Für den Trall bedeutet dies, dass das gerade war, r Kreuz Impuls des
Massenelementes, also r Kreuz v dm.
Da sehen wir, da haben wir jetzt dm mal r Kreuz v, also haben wir r e
-r Kreuz r Omega e-phi, das gibt r Quadrat Omega.
e-r Kreuz e-phi ergibt gerade e-z, gibt also r Quadrat Omega dm in e-z
Richtung.
Und wir haben dann z e-z Kreuz r Omega e-phi, z Kreuz e-phi ist minus
e -r, gibt also minus z r Omega dm e-r.
Wenn wir jetzt den Momentensatz anwenden für das Massenelement,
dann muss also die Ableitung des Tralls
gerade entsprechend der Momente, die am Massenelement angreifen.
Jetzt schauen wir mal, Ableitung des Tralls, das haben wir rechts, da
haben wir r Quadrat Omega dm e-z.
r für das Massenelement ist konstant, da ändert sich nichts, wir haben
einen starken Körper.
Das Omega, das kann sich ändern, wenn sich nämlich die
Winkelgeschwindigkeit des Körpers ändert und das e-z.
Da haben wir jetzt Glück, dass wir eine ebene Bewegung haben.
Die Achse, der Drehachse liegt ja fest, ändert sich also mit der Zeit
nicht, also die Ableitung von e-z ist null, deshalb ergibt die
Zeitableitung vom ersten Term lediglich r Quadrat Omega Punkt dm e-z.
Jetzt beim nächsten Term, da sehen wir die Koordinaten z und r, die
sind für einen Starkkörper natürlich wieder konstant, die ändern sich
während der Bewegung nicht.
Das Omega, das könnte sich mit der Zeit ändern, also da kann es eine
Ableitung, eine Zeitableitung geben.
Und dann haben wir noch das e-r.
Jetzt wissen wir, das e-r, das war radial gerichtet von der Drehachse
auf das Massenelement, da aber der Körper sich dreht, ist dieser
Ortsvektor zeitabhängig.
Die Zeitableitung des Ortsvektors war gerade, wer weiß es noch, Omega
mal e-phi, also Omega e-phi.
Das heißt, wir müssen die Produktregel beachten, leiten wir zunächst
mal das Omega ab, dann gibt es minus zr Omega Punkt dm e-r.
Und jetzt müssen wir das e-r ableiten, dann erhalten wir minus zr
Omega Quadrat dm e-phi.
Und das Ganze muss ergeben, die Momente dm auf das Massenelement
bezüglich O.
Und hier hatten wir auch als Bezugspunkt das O, können wir angeben
oder können das praktisch uns merken.
So, eins müssen wir beachten, die Momente, das ist natürlich auch ein
Vektor.
So, wenn wir jetzt eine Integration über den gesamten Körper machen
und betrachten nur den zweiten Teil der Gleichung, dann haben wir
Integral r Quadrat Omega Punkt ez dm, integriert über die gesamte
Masse.
Plus Integral minus zr Omega Punkt e-r minus zr Omega Quadrat e-phi
dm.
Gleich Integral dm bezüglich O in z-Richtung ez.
Plus Integral dm o-r e-r plus dm o-phi e-phi.
Wenn wir das genau anschauen, dann sehen wir, links haben wir jetzt
zunächst mal Omega Punkt ez.
Omega ist die Winkelgeschwindigkeit des Körpers.
Ist für alle Massenelemente dasselbe, genauso wie Omega Punkt.
Also bei dieser Integration ist das Omega Punkt eine Größe, die wir
rausziehen können aus dem Integral.
Das ez, das ist auch konstant, egal welches Massenelement wir
betrachten, können wir auch vor das Integral schreiben.
Also haben wir jetzt an der Stelle Omega Quadrat ez, Integral r
Quadrat dm.
Das r, der Abstand zur Drehachse, der hängt natürlich davon ab,
welches Massenelement wir gerade betrachten.
Und dann sehen wir hier, eigentlich müssten die Einheitsvektoren da
praktisch integrant drinstehen.
Das ez ist aber wieder konstant.
Also auch das ist was, was
in ez-Richtung ist.
Und jetzt sehen wir, wenn wir hier über die einzelnen Massenelemente
integrieren, dann hängen natürlich er und eri vom betrachteten
Massenelement ab.
Letztendlich ergibt das insgesamt einen Vektor, der in der
Bewegungsebene liegt.
Und das muss praktisch einem Vektor entsprechen.
Der entsteht durch die Integration aller Momente in der
Bewegungsebene.
Auch das ist ein Vektor in der Bewegungsebene.
Das hört sich zunächst mal sehr abstrakt an, ja?
Das ist eine gute Frage.
Ich war schon, glaube ich, beim nächsten irgendwo.
Verlauter R², das war es, glaube ich.
Also das Omega-Punkt ist konstant, können wir vorziehen.
Das heißt, das was unsere Komponenten in z-Richtung auf beiden Seiten
der Gleichung anbelangt, das können wir jetzt für sich betrachten.
Und dann kommt eigentlich noch das, was sich in der Bewegungsebene
abspielt, dazu.
Das ist aber für die Ebenebewegung selbst, was jetzt die
Bewegungsgleichung usw.
anbelangt, nicht wichtig.
Ich erkläre gleich, warum.
So, also aus dem Gelben folgt jetzt zunächst mal
Omega -Punkt Integral r² dm über die gesamte Masse.
Gleich Integral aller Momente in z-Richtung.
So, an der Stelle unterteilen wir das wieder.
Wie bei Massenpunktsystemen in Momente, die von außen auf die
einzelnen Massenelemente wirken, z.B.
in Form von Kräftepaaren oder externen Momenten oder wie auch immer,
sowie Momente, die in Folge Wechselwirkung zwischen den einzelnen
Masseteilchen vorliegen.
Also, ich mache es mal so, Doppelintegral.
In z-Richtung, so will ich es machen.
Also das eine innere Momente, das andere äußere Momente.
Und an der Stelle erinnern wir uns, ich habe jetzt zwar formal
Polarkoordinaten eingeführt, aber wenn wir das mal machen, Anzeichnung
Wader, wie Sie es wahrscheinlich aus der TM2 kennen, dann können wir
da einzeichnen die verschiedenen Spannungen.
Also Sigma Z,
Sigma Y und der Sigma X.
Plus natürlich die Schubspannungen.
Da hätten wir Tau XY, Tau YX und so weiter.
Ich deute das nur noch mal kurz an.
Die haben wir natürlich unten genauso.
Und jetzt wissen wir aber, na gut, wenn wir die Momentbilanz für so
ein differenzielles Volumenelement machen, was kommt dann in der Summe
heraus für als Moment?
Null.
Der Spannungstensor ist symmetrisch.
Wenn aber das insgesamt Null ergibt, dann verschwinden gerade
praktisch dieses Integral.
Das verschwindet auch dann in dem länglichen Integral hier, also die
Anteile der inneren Momente, die verschwinden, das können wir zeigen,
über die Symmetrie des Spannungstensors.
Das heißt, was letztendlich wichtig wird, ist das Integral über die
äußeren Momente.
Also können wir das schreiben.
Ich mache noch einen Kreide.
Ich schreibe es vielleicht noch hier.
Bezüglich,
jetzt müssen wir aufpassen, wir haben eine feste Drehachse, bezüglich
der Drehachse natürlich.
Also eine skalare Gleichung.
Und wir sehen auch, wenn wir die Bewegungsgleichung erhalten wollen,
ergibt es in dem Fall eine Bewegungsgleichung für die Drehung, für
Omega, beziehungsweise für den Drehwinkel.
Aber, wir haben jetzt eine Größe drin stehen, Integral r² dm, die
hängt eigentlich gar nicht von der Bewegung ab.
Die können wir mal ausrechnen, völlig unabhängig von der Bewegung
selbst.
Das heißt, wenn wir jetzt einführen, das sogenannte
Massenträgheitsmoment Theta oder J, oder wie wir das nennen wollen,
bezüglich O,
als Integral r² dm, integriert über die gesamte Masse, dann können wir
das vorab bestimmen und wir erhalten Theta O, Omega Punkt gleich, ich
habe jetzt hier das mit Maz bezeichnet, wir könnten es auch sagen, als
Summe aller Momente, der Äußeren um die Z-Richtung, oder in Z
-Richtung.
Und wie gesagt, wenn wir das Ganze jetzt für den Kern machen, das geht
nicht mehr so einfach.
Und das brauchen wir an der Stelle auch gar nicht unbedingt.
Wann wird das allerdings wichtig?
Oder tritt so etwas überhaupt auf?
Dann sehen wir, na gut, wenn ich einen rotationssymmetrischen Körper
habe, der rotiert,
dann habe ich immer, meinetwegen, ein gleiches R und ein gleiches Z,
oder aus anderen Symmetriegründen, kann ich da argumentieren, die
Anteile, die fallen weg.
Also wenn ich jetzt den Körper hier lagere, dann heißt das,
Lagerkräfte kann ich vielleicht haben, wegen der Gewichtskraft, aber
wenn ich die mal nachlässige habe, würde das bedeuten, ich habe keine
Lagerkräfte.
Wenn ich jetzt aber einen unsymmetrischen Körper habe, das weiß ich,
ich mache hier nochmals ein bisschen Masse ran und da ein bisschen
Masse, dann sieht man, wenn der Körper sich mit einer konstanten
Winkelgeschwindigkeit bewegt, dann hat der Massenpunkt praktisch eine
Fliehkraft, das Ganze ergibt einen Moment, in dem Falle, das senkrecht
zur Drehachse steht.
Und dieses Moment, das muss jetzt durch die Lagerkräfte letztendlich
kompensiert werden.
Also wenn der Körper nicht bestimmte Eigenschaften hat, dann führt das
zu Lagerkräften, obwohl vielleicht der Schwerpunkt in der Mitte liegt.
Das sehen wir noch, dann bräuchten wir auf jeden Fall Lagerkräfte.
Wenn wir jetzt den Körper rotationsmäßig beschleunigen, dann sind die
entsprechenden Trägheitstherme, die hier auftreten, auch
entgegengesetzt gerichtet.
Und dann sehen wir, auch das würde letztendlich zu einem Moment
führen, welches senkrecht zur Drehachse steht,
uns aber im Moment auch nicht interessiert.
Das sind die sogenannten Schleudermomente.
Die kann man relativ leicht berechnen, wenn man die allgemeinräumliche
Bewegung des starren Körpers betrachtet.
Die werden aber natürlich wichtig in den Anwendungen.
Wer weiß, eine wichtige Anwendung, wo diese Anteile gerade enorm
wichtig sind.
Wer von Ihnen hat ein Auto?
Keiner will sich outen.
Und was muss man beim Auto manchmal machen?
Man muss wegen abgefahrenem Profil die Reifen wechseln.
Wer hat schon mal zugeschaut beim Reifen wechseln?
Was macht der Monteur?
Er macht den alten Reifen runter, macht den neuen Reifen drauf und
dann?
Was macht er?
Nein, bevor er die Schrauben anziehen kann, muss er, ob es rund läuft,
ausbuchten, nennt man das.
Sie sollten durchaus mal in die Werkstatt gehen, wo man das sieht.
Mein Junior, als er schon im dritten Semester war, da habe ich ihn
gefragt, weißt du, was ausbuchten ist?
Nein, hat er noch nie gesehen.
Dann sind wir in die Werkstatt gegangen.
Ich bin da öfter, weil ich viel Kilometer fahre.
Dann hat er es da mal gezeigt gekriegt.
Also, lange Rede, kurzer Sinn.
Er hat eine Prozedur, dass praktisch die Drehachse so liegt, ja gut,
die Drehachse beim Reifen liegt ja fest, also was muss er machen?
Er muss die Massenverteilung im Körper so verändern, dass praktisch
diese Anteile zu Null werden.
Das wird dem Mechaniker in der Werkstatt nicht ganz so bewusst sein,
aber dafür hat er seine Maschinen, die hoffentlich von guten
Ingenieuren konstruiert sind.
Aber wie gesagt, schauen Sie da mal nach.
Wie gesagt, wir konzentrieren uns allein auf die Z-Achse, also das
Moment um die Z-Achse, und was da um die Z-Achse passiert, also für
die Drehung.
Und dann wird natürlich wichtig, dass die Berechnung dieses
Massenträgheitsmoments, und jetzt kann man das für verschiedene Körper
machen, ich mache bloß mal ein Beispiel, damit man sieht, von was es
abhängt.
Nehmen Sie mal so einen Stock.
Hat der ein großes Massenträgheitsmoment oder ein kleines?
Das ist natürlich die Frage gegenüber was.
Nun, der kann beides haben.
Warum?
Wenn ich den Stock nehme und um so eine Achse drehe, dann ist das
Massenträgheitsmoment relativ groß.
Das sehen Sie auch, wenn Sie den beschleunigen wollen, brauchen Sie
einen Moment.
Können Sie mal machen.
Wenn Sie den um die Längsachse drehen, da ist das
Massenträgheitsmoment relativ klein, weil eben das R im Integral, was
da auftritt, sehr klein ist im Vergleich zu dem Fall.
Also es hängt ab von der Richtung der Achse bezüglich des Körpers.
Es hängt aber auch ab, durch welchen Punkt bei einer vorgegebenen
Richtung des Körpers die Achse geht.
In dem Falle ist die Trägheit natürlich sehr viel größer für die
Träger.
Sie dürfen es gerne mal ausprobieren, als wenn Sie das um die
Schwerpunktachse machen.
Also es hängt ab von der Richtung der Drehachse bezüglich des Körpers
und durch welchen Punkt im Körper die Achse geht.
Deshalb wird hier in dem Falle noch praktisch das O mitgenommen, das
heißt, das Massenträgheitsmoment, für eine Drehung um eine Achse, die
durch den Punkt O geht.
Mit der Bemerkung bin ich jetzt, aufgrund der Evaluierungsaussagen von
Ihnen, ein bisschen später fertig geworden.
Ich wünsche Ihnen allen eine erholsame, gesegnete Weihnachten, einen
guten Rutsch ins neue Jahr.
Diejenigen, die Skifahren gehen, kommen Sie wieder gesund zurück.
Und für den Nikolaus bzw.
das Christkind wünsche ich Ihnen natürlich einen möglichst hohen
Wirkungsgrad, was die Geschenke anbelangt.
Vielen Dank.