Guten Tag meine Damen und Herren, ich darf Sie zur Vorlesung herzlich
begrüßen.
Wir waren das letzte Mal so weit gekommen, dass wir Impuls und
Rallsatz für eine ebene Bewegung im Sinne d'Alain Baers angeschrieben
haben.
Dazu wurden wieder die Trägheitskräfte eingeführt, entgegen der
positiven Beschleunigungsrichtung und entsprechend für die
Momentbilanz Trägheitsmomente um den Schwerpunkt, und zwar wenn der
Verdrehwinkel in die eine Richtung geht, dann geht natürlich die
Winkelbeschleunigung in dieselbe Richtung wie der Verdrehwinkel, aber
das Trägheitsmoment dann letztendlich in die entgegengesetzte
Richtung.
Vielleicht nochmal kurz der Hinweis, dass ich dem genügend getan habe,
wir zeichnen die Vorlesung auf, denken Sie dran, wenn Sie hier vorne
irgendwo sitzen.
So, als Beispiel hatten wir so einen Zylinder oder so ein Rad, was
eine schiefe Ebene herunterrollt, der Winkel der schiefen Ebene zur
horizontalen, das war der Winkel Alpha, der war gegeben, dann haben
wir die Walze freigeschnitten, haben äußere Kräfte, die in dem Falle
Gewichtskraft und Reibkraft sind, sowie eine Zwangskraft, nämlich die
Normalkraft von der schiefen Ebene auf das Rad, die haben wir
eingetragen, was dann noch fehlt, sind Trägheitskraft und
Trägheitsmoment, und wenn das Rad die schiefe Ebene hinabrollt, können
wir das beschreiben durch eine Koordinate X entlang der schiefen
Ebene, dementsprechend X2-Punkt, die Beschleunigung und dann einmal X2
-Punkt nach oben, im Grunde genommen die Trägheitskraft, den Winkel
Phi, den hatten wir entgegen dem Uhrzeigersinn positiv angenommen, das
heißt das Trägheitsmoment, Theta S mal Phi 2-Punkt, dann im
Uhrzeigersinn.
Entsprechende Kräftebilanzen und die Momentbilanz, die haben wir noch
angegeben und was jetzt folgt, ist die Auswertung.
Wir hatten schon gesagt, wenn wir die Zahl der Unbekannten mal
abzählen, dann sind das die Koordinate X, der Winkel Phi, die
Normalkraft und die Reibkraft, also insgesamt vier Größen, es fehlt
uns noch etwas und dann hatten wir gesagt, ja, wenn wir das System
anschaulich mal untersuchen oder bei unserem Experiment, zu sehen war
es natürlich nicht ganz so gut, dann gibt es durchaus den Fall, wo das
Rad die schiefe Ebene herunterrollt, also rollen, wenn aber die
schiefe Ebene zu steil ist, dann wird die Reibkraft entsprechend
kleiner, die maximal mögliche, weil die Normalkraft abnimmt und dann
kann es zu Gleiten kommen, dann sind also Phi und X unabhängige
Freiheitsgrade voneinander.
Wir untersuchen zunächst mal den Fall Rollen,
könnte man sich auch so vorstellen, wir nehmen anstatt eines Rades
oder eines Zylinders einfach so ein Zahnrad mit Zähnen und eine
Zahnstange, dann tritt auf jeden Fall Rollen auf.
So, bei reinem Rollen, da gibt es jetzt noch eine kinematische
Zusatzbedingung, nämlich der Kontaktpunkt, haben wir gesagt, bei
Rollen muss momentan Pol sein, weil Geschwindigkeit des Rades oder des
Zylinders an dem Punkt, die muss gerade entsprechend der
Geschwindigkeit des Untergrundes, wenn aber der Untergrund fest ist
und sich nichts bewegt, dann muss also dort die Geschwindigkeit Null
sein, also haben wir hier den Momentanpol, dann sehen wir, wenn Phi
entgegen dem Uhrzeigersinn geht, dann sehen wir schon, und das X so
nach unten, dann sehen wir schon aus der Anschauung, dass eben der
Zusammenhang zwischen X und Phi derart ist, dass X Punkt sich gerade
ergibt als Radius, A war das, also der Radius war klein a, mal Phi
Punkt.
Also, kinematische Zusatzbedingungen,
die ist dann, dass X Punkt gerade a mal Phi Punkt ist.
Diejenigen, die sich da unsicher sind, das aus der Anschauung zu
machen, die können das immer vektoriell machen, dann hätten wir also,
wenn hier der Momentanpol ist, dann muss die Geschwindigkeit des
Schwerpunktes gerade sein, um den Momentanpol zu ergreifen.
Omega, das wäre in dem Falle Phi Punkt, in Richtung des
Einheitsvektors aus der Ebene heraus, kreuzt den Vektor vom
Momentanpol zum Schwerpunkt und da sehen wir, das ist ein Vektor klein
a, mal dem Einheitsvektor in der Richtung, das heißt Omega kreuzt dem,
gibt wirklich eine Geschwindigkeit entlang der schiefen Ebene und wenn
wir das auswerten, dann erhalten wir gerade, wie gesagt, X Punkt
gleich a mal Phi Punkt.
Nun dementsprechend gilt auch X zwei Punkt gleich a mal Phi zwei
Punkt, so dass wir die Gleichungen relativ schnell auflösen können.
Wir erhalten aus der letzten Gleichung die Reibkraft zu der Theta s
mal Phi zwei Punkt dividiert durch a.
Theta s war ein halb m a Quadrat dividiert durch a mal Phi zwei Punkt,
also ist das gerade ein halb m mal a mal Phi zwei Punkt und wir sehen,
a mal Phi zwei Punkt war das X zwei Punkt, also ein halb m X zwei
Punkt.
Setzen wir das in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich m mal g
mal Sinus Alpha minus ein halb m X zwei Punkt minus m X zwei Punkt
gleich Null.
Wir sehen, in dem Fall kürzt sich die Masse raus.
Dann haben wir drei halbe X zwei Punkt gleich g mal Sinus Alpha oder
aufgelöst X zwei Punkt gleich zwei Drittel g mal Sinus Alpha.
Wir sehen, das ist natürlich größer Null.
Was wir jetzt noch machen können ist, wir können natürlich fragen, bis
zu welchem Neigungswinkel der schiefen Ebene liegt eigentlich Rollern
vor?
Dazu müssten wir dann noch die Reibkraft bestimmen.
Da sehen wir zunächst mal aus der zweiten Gleichung, dass die
Normalkraft gerade g mal Cosinus Alpha ist, also m mal g mal Cosinus
Alpha.
Die Reibkraft haben wir gesagt ist ein halb m X zwei Punkt.
Also mit der zweiten Gleichung, also mit der zweiten bekannten
Normalkraft, wissen wir, dass die Reibkraft kleiner oder höchstens
gleich sein muss dem Haftkoeffizient m null mal der Normalkraft, also
ein halb m X zwei Punkt.
Ein halb m X zwei Punkt, machen wir es mal,
muss also kleiner oder gleich sein m null mal m mal g, also g mal
Cosinus Alpha.
Auch hier kürzt sich auf beiden Seiten die Masse raus.
X zwei Punkt war zwei Drittel, g mal Cosinus Alpha, setzen wir das
ein, dann kürzt sich der Faktor zwei mit dem Faktor ein halb, also g
mal Cosinus Alpha.
Das g können wir auch rauskürzen, lassen wir es mal drin, g mal
Cosinus Alpha.
Und zwar ein Drittel ist dann kleiner oder gleich m null mal g mal
Cosinus Alpha.
Oder man sieht, in dem Falle, Moment, hier war es Cosinus Alpha und
hier war es der Sinus Alpha.
X zwei Punkt war ja zwei Drittel g mal Sinus Alpha von oben.
Das g kürzt sich jetzt raus, wir dividieren durch den Cosinus von
Alpha und erhalten dann Tangents Alpha, kleiner oder gleich und den
Faktor ein Drittel, den kriegen wir weg, wenn wir mit drei
multiplizieren, also drei mü null.
Das heißt, wenn der Fall Gleiten vorliegt, dann muss also Tangents
Alpha größer als drei mü null sein.
Betrachten wir den Fall jetzt.
Nun, im Falle von Gleiten, da hängt das Fieber, das Fieber von der
Masse G mit dem X nicht direkt kinematisch zusammen.
Stattdessen kennen wir für Gleiten die Reibkraft.
Und da gibt es jetzt verschiedene Zusammenhänge, die da möglich sind.
Wir wissen, wenn wir ein ganz einfaches Reibgesetz nehmen, das
Coulange -Reibgesetz, dann ist die Reibkraft proportional der
Normalkraft, Reibkoeffizient mü.
Wir könnten auch kompliziertere Modelle nehmen, bei denen praktisch
die Reibkraft oder der Reibkoeffizient dann in dem Falle eine Funktion
von der Relativgeschwindigkeit ist.
Auch das gibt es.
Es gibt auch noch kompliziertere Reibmodelle.
Wir beschränken uns auf ein einfaches Reibmodell.
Also Coulanges-Reibgesetz,
dann wissen wir, die Reibkraft ist in dem Falle mü mal n, wobei das mü
dann im Allgemeinen kleiner ist als das mü0.
Das heißt, wir haben jetzt als vierte Gleichung eine Beziehung
zwischen r und n.
Das n, da ändert sich natürlich nichts gegenüber dem Fall von reinem
Rollen.
Nach wie vor gilt, dass n gleich m mal g mal cosα ist aus der zweiten
Gleichung links.
Das heißt, r ist dann mü mal m mal g mal cosα.
Dementsprechend können wir das r in Gleichung 1 und Gleichung 3
einsetzen.
Zunächst mal in Gleichung 3, dann erhalten wir phi2 Punkt gleich a mal
r, also a mal mü mal m mal g mal cosα, dividiert durch θs, die war m
halbe a².
Man sieht, auch in dem Falle kürzt sich die Masse im Zähler und im
Nenner.
Es kürzt sich einmal das a, es bleibt übrig,
also Zähler dividiert durch ein Halb, ergibt dann insgesamt den Faktor
2 mal mü mal g, dividiert durch a mal cosα.
Das war jetzt das phi2 Punkt.
Setzen wir das noch in die erste Gleichung ein, dann steht da m mal g
mal sinα minus r, also minus mü mal m mal g mal cosα minus mx2 Punkt
gleich 0.
Das m kürzt sich wieder raus.
Wir können das x2 Punkt auf die eine Seite der Gleichung bringen und
erhalten x2 Punkt gleich, das bleibt noch stehen, g mal, jetzt haben
wir sinα minus
mü cosα.
Sinα minus mü cosα, ist das eventuell vielleicht sogar negativ?
In Anschauungsnähe mäßig sagen wir natürlich ja.
Wenn das x2 Punkt negativ wäre, würde das bedeuten, dass die Walze
sich nach rechts oben bewegt.
Also das scheint wenig plausibel, aber wir können das auch zeigen.
Ganz einfach, wir können das schreiben als x2 Punkt gleich g mal cosα,
dann bleibt innerhalb der Klammer stehen tangensα minus mü und jetzt
wissen wir, Gleiten tritt nur auf, wenn tangensα größer als 3µ0 ist.
Also ist es größer als g mal cosα und jetzt haben wir hier 3µ0 minus
mü, da aber µ0 im Allgemeinen größer ist als das mü.
Das kennen Sie alle, wenn was losreißt, dann reduziert sich die
Reibkraft plötzlich.
Also zunächst mal, wenn Haften vorliegt, ist die Reibkraft eine
Zwangskraft, also bei reinem Haften gilt nicht, die Reibkraft gleich
µ0 mal n, sondern die ist dann kleiner oder höchstens gleich µ0 mal n.
Also zunächst mal hat man eine Zwangskraft und wenn dann die maximale
Kraft überschritten ist, dann ist die Reibkraft kleiner, deshalb gibt
es dann so einen Rucken.
Das Teil wird dann relativ schnell beschleunigt.
Also wenn µ0 größer als mü ist, dann ist 3µ0 minus mü größer als 0,
also das, was wir auch erwartet hatten.
So, jetzt hatte ich ganz am Anfang des Semesters auch mal meine
schiefe Ebene dabei, mit mehreren Körpern, oder zumindest zwei
verschiedenen, nämlich so ein Hohlzylinder und ein Vollzylinder.
Wer erinnert sich noch, was schneller die schiefe Ebene runterrollt?
Niemand.
Wer schätzt, dass die Vollrolle schneller die schiefe Ebene
runterrollt?
Wer schätzt, dass der Hohlzylinder schneller ist?
Wer schätzt gar nichts?
Das ist natürlich ganz schlecht.
Sie sollten immer eine Meinung haben und die auch begründen können.
Zumindest haben wir irgendjemand, der...
Also wie war das?
Vollzylinder, dass der schneller ist, wer war das?
Hohlzylinder schneller?
Einer.
Zwei.
Nun, wenn wir irgendeinen Hohlzylinder haben, dann müsste man
ausrechnen, jetzt hat er eine Masse, dann hat er einen
Massenträgheitsmoment.
Wir greifen jetzt einfach mal, das ist ein Beispiel, wo man den
Trägheitsradius verwenden könnte, so raus und sagen, na gut, Theta S
gleich m mal Trägheitsradius zum Quadrat.
Für unseren Vollzylinder, da wissen wir, das Massenträgheitsmoment
war, wo hatte ich es irgendwo angegeben, ein halb m a Quadrat, also in
dem Falle war k a dividiert durch Wurzel 2.
Und jetzt machen wir das andere Modell.
Wenn die Dicke des Zylinders immer dünner wird, dann liegt irgendwann
modellmäßig praktisch die ganze Masse am äußeren Radius das heißt, das
Massenträgheitsmoment wäre dann m mal a Quadrat, in dem Falle wäre k
gleich a.
Und für alle anderen Zylinder liegt das Ganze natürlich dazwischen.
Gibt es auch Fälle, bei denen man sich vorstellen kann, dass das k
kleiner als das a ist?
Und wenn a den Radius des Zylinders bezeichnet, natürlich nicht.
Aber ich kann jetzt ein anderes Modell noch machen.
Ich kann nämlich sagen,
das ist mein Außenradius, aber entlang der schiefen Ebene rollt das
Ganze hier ab.
Wie kann man sowas erreichen?
Ganz einfach, man könnte praktisch das ein bisschen unterteilen,
könnte in der Mitte so eine Aussparung haben und das dann entlang so
einer Leiste runterrollen lassen.
Oder denken Sie an etwas ganz Einfaches.
Wir haben ein Jojo, da ist der Radius, bei dem das Ganze abrollen
stattfindet, wesentlich kleiner als der Außenradius des Zylinders.
Und wenn wir dann das immer noch mit a bezeichnen, dann ist natürlich
auch der Fall möglich, dass das k größer als das a ist.
Also wenn wir das k einführen für das Massenträgheitsmoment und das a
als das, wo das Ganze abrollt, auch hier in unserer kinematischen
Zusatzbedingung, also rollen würde bedeuten,
x Punkt gleich a mal phi Punkt.
Und jetzt würden wir einfach einsetzen, Theta s gleich m mal k
Quadrat.
Und da können wir eben das k wählen, wie wir wollen, sind wir viel
allgemeiner.
Und also r gleich und Theta s war m k Quadrat, phi zwei Punkt,
dividiert durch a, setzen das in die erste Gleichung ein, dann
erhalten wir m mal g mal Sinus Alpha minus m k Quadrat phi zwei Punkt,
dividiert durch a, oder das phi zwei Punkt war ja gerade x zwei Punkt,
dividiert durch a, also x zwei Punkt, dividiert durch a Quadrat, minus
m x zwei Punkt, gleich null, oder x zwei Punkt mal, und jetzt steht,
machen wir es uns einfach, die Masse kürzen wir schon mal wieder raus,
x zwei Punkt mal eins plus k Quadrat, dividiert durch a Quadrat,
gleich g mal Sinus Alpha,
also x zwei Punkt gleich g, dividiert durch eins plus k Quadrat durch
a Quadrat mal Sinus Alpha, und jetzt sehen wir, wenn das k Quadrat
gerade ein halb a Quadrat ist, dann kommt unser Ergebnis vom hier
reinen Rollen raus, warten wir es ganz oben da irgendwo, wenn wir
einen Ring haben, einen dünnen Ring, bei dem die ganze Masse gerade
beim Radius a konzentriert ist, dann wäre das k gleich a, also eins
plus eins, dann wäre das x zwei Punkt gerade g halbe mal Sinus Alpha,
und wenn eben ein Jojo vorliegt, bei dem das k Quadrat sehr viel
größer als das a Quadrat ist, dann sieht man, dann ist das x zwei
Punkt sehr klein, das kennen Sie natürlich, wenn Sie ein Jojo so
loslassen, dann fängt er sich an zu drehen und geht ganz langsam an
der Schnur runter.
Gibt es soweit Fragen?
Dann kommen wir jetzt zum Arbeits- und Energiesatz.
Und beim Arbeits- und Energiesatz haben wir gesehen, wichtig ist immer
die kinetische Energie, jetzt sieht die kinetische Energie bei der
Bewegung eines starren Körpers aus, wenn wir eine ebene Bewegung
haben, wenn der Körper um eine raumfeste Achse dreht, das war ja ein
Sonderfall, dann ergab sich, dass die kinetische Energie gerade ein
Halb mal Massenträgheitsmoment des Körpers bezüglich dieser Drehachse
mal Omega Quadrat war, jetzt haben wir aber noch hier irgendwo
Translation überlagert, d.h.
zunächst mal wissen wir, wenn wir den Körper haben, dann beschreiben
wir den bzw.
dessen Bewegung durch die Bewegung eines Bezugspunktes auf dem Körper,
nennen wir den mal A und wenn wir dann irgendwo ein Massenelement
haben, dann wissen wir, dann wird wichtig, der Relativvektor vom
Bezugspunkt A zum jeweiligen Element, nun die kinetische Energie von
so einem Massenelement, da wissen wir, die ist ein Halb mv Quadrat,
wir wissen auch, Masse war dm,
die Geschwindigkeit am Massenelement, die beträgt gerade
Geschwindigkeit des Bezugspunktes A plus der Anteil infolge der
Drehung des Massenelementes um den Punkt A, das war Omega Kreuz R
Relativ, d.h.
V Quadrat ist dann Va Quadrat plus Va Skalarmultipliziert mit Omega
Kreuz R Relativ plus Omega Kreuz Kreuz R Relativ, Skalar mit VA
multipliziert, das ergibt gerade zweimal VA, Skalar mit Omega, Kreuz R
Relativ, plus,
und jetzt haben wir noch das Kreuzprodukt quadriert,
das multipliziert mit dm und dem Faktor 1 halb.
Das war jetzt die differenzielle kinetische Energie, dt, und jetzt
müssen wir einfach über alle Massenelemente des Körpers aufsummieren.
Nun über differenzielle Elemente summieren wir, indem wir integrieren,
also ergibt sich das T als Integral über das Ganze, integriert über
die gesamte Masse,
das heißt die kinetische Energie beträgt 1 halb, Integral über die
gesamte Masse, VA Quadrat dm, plus, der Faktor 1 halb kürzt sich mit
dem Faktor 2, dann haben wir das Integral über die gesamte Masse, VA
Skalar mit Omega, Kreuz R Relativ multipliziert, plus 1 halb mal
Integral und dann haben wir Omega, Kreuz R Relativ quadriert dm.
Schauen wir mal, wenn wir dieses Integral anschauen, dann hängt die
Geschwindigkeit VA nicht vom betrachteten Massenelement ab, das ist
also bei der Integration eine Konstante, das können wir aus dem
Integral rausziehen, dann steht hier 1 halb VA Quadrat mal dem
Integral dm, integriert über die gesamte Masse und das Integral dm,
das war einfach die Gesamtmasse.
Also,
aus dem ersten Integral hier folgt T gleich 1 halb m VA Quadrat.
Jetzt was haben wir im zweiten Integral?
Nun die Geschwindigkeit des Punktes A,
das ist eine Konstante bezüglich der Integration, also das können wir
vor das Integral ziehen, dann haben wir VA Skalar multipliziert mit
dem Integral über das Kreuzprodukt.
Im Kreuzprodukt hängt aber die Winkelgeschwindigkeit Omega ebenfalls
nicht vom Massenelement ab, auch Omega ist bezüglich der Integration
über die Masse eine Konstante, also ergibt sich Plus VA Skalar
multipliziert mit Omega Kreuzintegral r Relativ dm Plus und an der
Stelle, da haben wir jetzt Omega Kreuz r Relativ zum Quadrat.
Es gibt Omega Kreuz r Relativ Skalar multipliziert mit Omega Kreuz r
Relativ.
Wie das für ein ganz allgemeines Omega aussieht, das kommt im nächsten
Semester.
Wir müssen uns an der Stelle darauf beschränken, dass wir eine ebene
Bewegung haben.
Wie sieht es aus bei einer ebenen Bewegung?
Da haben wir zunächst mal Omega ist Omega ez und das r Relativ ist r
in er Richtung.
er geht in Richtung von r Relativ oder zumindest in der Bewegungsebene
in Richtung von r Relativ.
Jetzt kann aber theoretisch noch eine dicken Komponente hinzukommen,
also ich schreibe mal plus zez.
Das bedeutet aber Omega Kreuz r Relativ ist in dem Falle r mal Omega.
Jetzt haben wir ez Kreuz er.
ez Kreuz er gibt einen Einheitsvektor, der in der Bewegungsebene liegt
und in Richtung e phi geht.
ez Kreuz ez ergibt 0, liefert also keinen Beitrag.
Damit sehen wir aber Omega Kreuz r Relativ zum Quadrat ergibt das zum
Quadrat.
Jetzt sehen wir e phi, Skalar mit e phi multipliziert, ergibt 1.
Es gibt also in dem Falle gerade r Quadrat Omega Quadrat.
Das heißt, wenn wir das letzte Integral, das wir da hatten, plus ein
Halb.
Und jetzt steht da Integral Omega Quadrat r Quadrat dm.
Dann sehen wir, das ergibt,
das Omega ist bei der Integration über die Masse wieder eine
Konstante, also das Omega Quadrat können wir rausziehen.
Omega Quadrat, jetzt haben wir drinstehen, Integral r Quadrat dm,
integriert über die gesamte Masse.
Das heißt, jetzt haben wir t gleich ein Halb m Va Quadrat plus, was
ergibt Integral r Relativ dm.
Mit dem Schwerpunkt wissen wir, das ist gerade die Masse des Körpers
mal dem Vektor vom Bezugspunkt a zum Schwerpunkt.
Also steht hier plus Va,
Skalar multipliziert mit Omega Kreuz Masse mal Vektor von r von a nach
s und die Masse als Skalare Größe, die kann ich auch vorziehen.
Ich hätte die auch hier beim RAS stehen lassen können.
Ist dasselbe.
Plus ein Halb Omega Quadrat.
Und jetzt, was ist das Integral r Quadrat dm?
Das war gerade das Massenträgheitsmoment des Körpers.
Jetzt müssen wir aber aufpassen, bezüglich des Bezugspunktes a.
Also Theta a.
Das war jetzt in einer ganz allgemeinen Form, wenn wir einen
beliebigen Bezugspunkt haben.
Wir sehen, einfach wird es natürlich immer dann, wenn wir uns auf den
Schwerpunkt beziehen.
Warum?
Also bei Bezug auf Schwerpunkt,
das heißt Bezugspunkt a ist dann Bezugspunkt s, ist dann Schwerpunkt
s.
Wir halten dann nämlich T gleich.
Ein Halb Masse mal V von a, a war aber s Quadrat.
Plus, jetzt sehen wir, wenn wir als Bezugspunkt a den Schwerpunkt
wählen, dann ist natürlich der Vektor von a nach s, das ist der
Nullvektor.
Also die Koppelenergie, der Term in der Mitte, die fällt dann gerade
raus, die fällt weg.
Verbleibt noch plus ein Halb mal, jetzt müssen wir aber das Theta
bezüglich s nehmen, mal Omega Quadrat.
Also haben wir die kinetische Energie, setzt sich zusammen aus so
einer Art Translationsenergie plus Rotationsenergie.
Wenn wir den allgemeinen Bezugspunkt nehmen, dann müssen wir auch noch
die Koppelenergie berücksichtigen.
Das Ganze ist aber nur so einfach, da müssen wir jetzt ein bisschen
aufpassen.
Beim Impulssatz, dort ergab sich Summe aller Kräfte gleich Masse mal
Schwerpunktbeschleunigung.
Das ergab sich auch für eine allgemein räumliche Bewegung.
Hier haben wir das schon einschränken müssen, weil wir haben gesagt,
das Omega kreuzt relativ, das sieht nur so einfach aus, weil wir eine
ebene Bewegung haben, weil das Omega seine Richtung nicht ändert.
Für den Fall von einer allgemeinen räumlichen Bewegung, da muss
natürlich wieder später irgendwie der Trägheitstensor mit ins Spiel
kommen.
Also da steckt sehr viel mehr dahinter.
Gibt es soweit Fragen?
Und nachdem wir die kinetische Energie bestimmt haben, dann können wir
den Arbeitssatz wieder entsprechend formulieren.
Wir leiten das jetzt nicht im Einzelnen her, wir wissen aber, dass die
Arbeit aller am starren Körper angreifenden Kräfte und Momente, das W
in dem Fall, entspricht die kinetische Energie des Körpers am Ende
minus kinetische Energie des Körpers am Anfang.
Und bei konservativen Systemen,
da gilt dann entsprechend der Energieerhaltungssatz, nämlich
Energieerhaltung für mechanische Energie.
Das nämlich die kinetische Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt plus
zugehörige potenzielle Energie, gerade sein muss, T1 plus V1 zu einem
Zeitpunkt T1.
Sodass praktisch das die Gesamtenergie ist, die sich während der
Bewegung nicht ändert.
Wie gesagt, an der Stelle muss man dann entsprechend berücksichtigen,
dass eben die kinetische Energie sich bei einem starren Körper aus
verschiedenen Anteilen zusammensetzen kann.
Machen wir dazu mal ein Beispiel.
Wir nehmen mal an, wir haben so eine Art Zahnstange,
die irgendwo den Schwerpunkt hat.
Die hat eine Masse M3, wird geführt von zwei Walzen,
die eine mit Radius R1,
die Walze, oder denken Sie an ein Zahnrad, das rollt oben ab.
Die Walze hat die Masse M1,
dann haben wir unten eine Walze,
die unten abrollt, ich deute das so an.
Die hat einen Radius R2, hat eine Masse M2 und hat in der Mitte den
Schwerpunkt S2.
Jetzt sind an den Walzenschwerpunkten jeweils noch linearelastische
Federn angebracht, beschrieben durch die Federkonstante C2 bzw.
C1.
Wie gesagt, sowohl bei der Walze unten, auf der unteren Auflage, plus
an der oberen Walze, am oberen Kontaktpunkt liegt jeweils Rollen vor,
genauso wie zwischen den Walzen und der Stange.
Allerdings nehmen wir an, die Stange wird noch angetrieben durch eine
konstante Kraft F und
wir nehmen an, die Federn sind entspannt bei
X1 gleich X2 gleich X3 gleich 0.
Also wir sehen, wir haben jetzt für die Bewegung der Schwerpunkte
jeweils entsprechende Koordinaten X1, X2 und X3 eingeführt.
Nun alle Koordinaten sollen 0 sein, dann wenn die Federn entspannt
sind.
Zunächst einmal haben wir ein konservatives System.
Er sagt ja.
Und was ist mit der Antriebskraft?
Was heißt das?
Hat jemand eine andere Meinung oder eine andere Begründung?
Und insofern haben wir ein konservatives System, weil wir auch für die
Antriebskraft ein Potenzial einführen können.
Was ist das Potenzial für die Antriebskraft hier?
X geht nach rechts.
Positiv.
Und weil ich schon die Richtungen einzeichne, das Omega soll entgegen
dem Uhrzeigersinn positiv sein.
Wie ist dann das Potenzial für die Kraft F?
Und das Potenzial ist die negative Arbeit.
Die Arbeit wäre in dem Falle F mal X.
Also das Potenzial ist dann minus F mal X.
Dementsprechend können wir auch kinetische Energie und potenzielle
Energie aufstellen.
Zunächst einmal, was brauchen wir für die kinetische Energie?
Unser erster Körper, der macht eine ebene Bewegung.
Das war die obere Walze.
Die entsprechende kinetische Energie, die setzt sich zusammen aus...
beziehen wir uns auf den Schwerpunkt Translationsenergie und
Rotationsenergie.
Also ein Halb mal M1 mal die Koordinate, die die Bewegung von der
Walze beschreibt, ist X1.
Die Geschwindigkeit ist dann X1 Punkt.
Das zum Quadrat.
Dann brauchen wir noch die Rotationsenergie.
Das war ein Halb mal Massenträgheitsmoment der ersten Walze mal Omega1
zum Quadrat.
Plus, jetzt kommt die kinetische Energie der zweiten Walze.
Die zweite Walze hat Translationsenergie ein Halb M2.
Bewegung war dann X2 Punkt oder Geschwindigkeit, die zum Quadrat.
Dann noch die Rotationsenergie, da haben wir ein Halb Theta S2.
Also das Massenträgheitsmoment der Walze bezüglich ihrem Schwerpunkt
mal Omega2 zum Quadrat.
Fehlt noch die dritte Masse plus kinetische Energie der dritten Masse.
Die macht nur eine Translationsbewegung.
Das Omega3 wäre in dem Fall 0, das sehen wir sofort.
Also ergibt es ein Halb mal M3 mal X3 Punkt Quadrat.
Für die potenzielle Energie, das sehen wir, Gravitationspotential
brauchen wir in dem Fall nicht.
Erstmal bewegt es sich nicht senkrecht, zweitens wissen wir gar nicht,
ob die Erdbeschleunigung nicht senkrecht zur Bewegungsebene ist.
Wenn das der Fall ist, spielt das sowieso keine Rolle.
Ansonsten haben wir noch die Federn.
Also potenzielle Energie der ersten Feder war lineare
Federcharakteristik ein Halb mal C1 mal der Federverlängerung zum
Quadrat, das war aber gerade X1 zum Quadrat, plus jetzt potenzielle
Energie der Feder 2, dort geht es ganz analog, ein Halb C2 X2 Quadrat.
Und dann haben wir gesagt, plus das Potenzial der Kraft F, das war
minus F mal X3.
Wenn wir allerdings unser System genau anschauen, nehmen
wir an, dass Rollen vorliegen.
Wie viele Freiheitsgrade hat dann das System?
Warum?
Schauen Sie sich das System mal genau als Ingenieur an, was passiert.
Die Rollen rollen horizontal, die untere Rolle rollt auch horizontal,
also wenn der Abstand da gleich bleibt, dann kann sich das natürlich
schon horizontal bewegen.
Wenn jetzt das schief wäre, wenn jetzt die oberen Berandungen und die
unteren Berandungen irgendwie so chronisch wären, dann könnte man
natürlich das nicht bewegen.
Also einen Freiheitsgrad.
Das heißt, wir könnten zum Beispiel die axiale Verschiebung unseres
dritten Körpers als X definieren.
Das heißt, das X3 als X, dann müssen wir die Verschiebungen der Walzen
als Funktion von X darstellen und müssen die Winkelverdrehungen als
Funktion von X darstellen.
Wie man sieht, die Winkelverdrehungen, die treten an sich nicht auf.
Da reicht es also allein das Omega 1 und das Omega 2 als Funktion von
X Punkt darzustellen und X1 Punkt bzw.
X2 Punkt als Funktion von X Punkt.
Nämlich X gleich X3.
Also könnten wir X3 Punkt durch X Punkt ersetzen.
Jetzt, wie sieht es aus mit X1 und X2 bzw.
mit Omega?
Und da sehen wir,
leider keinen Stock, aber wenn wir mal die erste Walze, die obere
Walze betrachten, dann rollt die an der Umgebung oben ab.
Wir haben gesagt, auch unten erfolgt ein Abrollen, da müssen wir aber
beachten.
Der Abrollpunkt hat nicht die Geschwindigkeit 0, sondern er hat die
Geschwindigkeit X Punkt.
Der Abstand zwischen Momentanpol und dem Kontaktpunkt zur horizontalen
Stange ist in dem Falle 2 mal R1.
Also ist das Omega 1 mal 2 mal R1 gerade X Punkt.
Oder Omega 1 gleich X Punkt dividiert durch 2 R1.
Genauso gilt Omega 2.
Und für Omega 2, da ist der untere Kontaktpunkt der Momentanpol, der
Punkt oben, der Kontaktpunkt zur Stange, der hat die Geschwindigkeit X
Punkt.
Die Distanz war 2 mal R2.
Also gilt auch da, Omega 2 gleich X Punkt dividiert durch 2 mal dem
Radius, in dem Falle R2.
Jetzt haben wir die Winkelgeschwindigkeiten Omega 1, dann wissen wir,
die Geschwindigkeit X1 Punkt, die ist gerade die Geschwindigkeit des
Momentanpols, das war 0 oben, plus praktisch Omega 1 mal R1, also X1
Punkt gleich X Punkt durch 2 R1, das war das Omega 1 mal R1 gleich X
Punkt halbe.
Jetzt hat es immer noch niemand gemerkt, ich habe hier geschrieben
Omega 2 gleich X Punkt dividiert durch 2 R2.
Das muss ein Minus sein.
Schon anschauungsmäßig, wenn wir das so ziehen, dann dreht sich die
untere Walze im Uhrzeigersinn.
Wir haben gesagt, Omegas sind positiv, wenn das entgegen dem
Uhrzeigersinn erfolgt.
Also muss es eigentlich hier heißen, Minus X Punkt, nichtsdestotrotz
wissen wir, das X2 Punkt, das ist das Minus X Punkt dividiert durch 2
R2.
Allerdings müssten wir jetzt mit Minus R2 multiplizieren.
Wenn Sie das vektorell machen, dann wird es vielleicht einsichtiger an
der Stelle.
Man kann es auch aus der Anschauung machen, muss dann aber
entsprechend aufpassen.
Es ergibt sich natürlich auch hier X Punkt halbe.
Schon aus der Anschauung, wir wissen ja, die
Geschwindigkeitsverteilung entlang einer Geraden auf einem Körper ist
linear.
Wenn an der einen Stelle die Geschwindigkeit 0 ist, dann nimmt die
eben da proportional zu.
Und wenn wir oben dann X Punkt haben, dann haben wir in der Mitte
gerade X Punkt halbe.
So hätte man es sich auch erklären können.
So, jetzt steht aber hier irgendwo noch das X3.
Ja gut, das können wir stehen lassen.
X3 war ja X, also insofern müssen wir nichts integrieren.
Wir brauchen ja nur die Geschwindigkeit in der kinetischen
Energiewende, beziehungsweise das X1 und das X2 brauchen wir doch.
Nämlich bei den Federn.
Und da wissen wir, X1 ist X Punkt halbe integriert.
Das ist also X halbe plus eine Integrationskonstante K1.
Dann wissen wir aber, das X1 soll ja dann 0 sein, wenn X3 und X3 war
X.
Wenn das X 0 ist, also die Integrationskonstante fällt raus.
Also X1 ist dann X halbe.
Und wenn wir das X2 hoch integrieren, dann stellen wir fest, das ist
also X halbe plus eine zweite Integrationskonstante.
Aber auch da war ja die Forderung, dass beide zusammen 0 sind, das X
und das X2.
Also können wir sofort schreiben, X2 gleich X halbe.
Das heißt, wenn wir jetzt alles einsetzen, dann ergibt sich für die
kinetische Energie 1 halb M1 mal
X1 Punktquadrat.
X1 Punktquadrat war X Punktquadrat Viertel.
Plus 1 halb Theta S1 plus 1 halb.
Wenn wir von einer homogenen Walze ausgehen, dann ist Theta 1 was?
1 halb M1 mal R1 Quadrat.
Mal Omega 1 Quadrat.
Omega 1 Quadrat ist aber X Punktquadrat.
Dividiert durch 4 R1 Quadrat.
Plus, jetzt für Walze 2, 1 halb M2.
Das X2 Punktquadrat war X Punktquadrat Viertel.
Plus 1 halb.
Mal Massenträgheitsmoment war 1 halb M2.
R2 Quadrat.
Das Omega 2 Quadrat war X Punktquadrat.
Durch 4 R2 Quadrat.
Plus 1 halb M3 mal X Punktquadrat.
Man sieht, jetzt haben wir überall das X Punktquadrat stehen.
Man sieht aber auch, das R1 Quadrat kürzt sich an der Stelle raus.
Das R2 Quadrat kürzt sich an der Stelle raus.
Das heißt, jetzt muss ich erst kurz wischen.
Ich schreibe jetzt mal hier weiter, weil da habe ich den besseren
Blick.
Dann haben wir also T gleich.
Jetzt können wir das X Punktquadrat ausklammern.
Dann steht zunächst mal da.
1 halb M1 mal 1 Viertel gibt 1 Achtel.
Plus 1 Sechzehntel.
1 Achtel plus 1 Sechzehntel M1.
Das ergibt 3 Sechzehntel.
Dann haben wir als nächstes 1 halb M2 mal 1 Viertel.
Plus 1 halb mal 1 halb gibt 1 Viertel.
Mal 1 Viertel gibt also wieder 1 Achtel.
Plus 1 Sechzehntel gibt 3 Sechzehntel M2.
Plus 1 halb mal M3.
Mal X Punktquadrat.
Und bei der potenziellen Energie...
Was haben wir da?
Da haben wir 1 halb C1 X1 Quadrat.
Also 1 halb C1.
X1, haben wir gesagt, ist X halbe.
X1 Quadrat ist also X Quadrat Viertel.
Plus das nächste 1 halb C2 mal X2 Quadrat.
X2 Quadrat ist X Quadrat Viertel.
Minus F mal X.
Also V ist gleich 1 Achtel C1 plus 1 Achtel C2.
M3 mal
X Quadrat.
Minus F mal X.
Und jetzt wissen wir, Energiesatz T plus V muss konstant sein.
Also können wir beides addieren.
Dann ergibt sich 3 Sechzehntel M1 plus 3 Sechzehntel M2 plus 1 halb M3
mal X Punktquadrat plus 1 Achtel C1 plus C2.
M3 mal X Quadrat.
Minus F mal X.
Gleich konstant.
Also zu zwei verschiedenen Zeitpunkten könnte man das jetzt bestimmen,
wenn das eine gegeben wäre.
Ansonsten, wenn wir an der Bewegungsgleichung interessiert sind,
könnten wir das auch so machen, dass wir jetzt einmal das Ganze nach
der Zeit differenzieren.
Dann sehen wir, die erste Klammer, das ist eine Konstante.
X Punktquadrat nach der Zeit differenziert ergibt 2 mal X Punkt mal
der inneren Ableitung, das war X2 Punkt.
Also ergibt sich 3
Achtel M1 plus 3 Achtel M2 plus M3.
Ich habe den Faktor 2 schon in die Klammer gezogen.
Mal X Punkt mal X2 Punkt.
Dann ein Achtel C1 plus C2, das ist wieder eine Konstante.
X Quadrat nach der Zeit differenziert ergibt 2 mal X mal der inneren
Ableitung X Punkt.
Also plus ein Achtel mit dem Faktor 2 ergibt ein Viertel.
C1 plus C2 mal X mal X Punkt.
Dann minus F mal X, F war eine Konstante, ergibt also minus F mal X
Punkt.
Und auf der rechten Seite, wenn wir die Konstante differenzieren,
ergibt das 0.
Und wir sehen, wenn wir das X Punkt jetzt noch aus der Gleichung
rauskürzen, dann haben wir genau die Bewegungsgleichung dastehen, wie
wir die eigentlich kennen.
Gibt es soweit Fragen?
Also wichtig, starrer Körper heißt, die kinetische Energie setzt sich
zusammen aus Translationsenergie plus Rotationsenergie.
Lässt sich leicht merken, wenn wir als Bezugspunkt des starren Körpers
den Schwerpunkt nehmen.
Ansonsten würde noch eine Koppelenergie hinzukommen.
Dasselbe gilt auch für die allgemein räumliche Bewegung, das sehen wir
nächstes Semester.
Dort sieht zumindest aber die Rotationsenergie ein bisschen
komplizierter aus.
Formelmäßig nicht unbedingt, was am Ende rauskommt, aber da steht
irgendwo der Trägheitstensor, der sehr viel mehr beinhaltet als nur
ein Massenträgheitsmoment, wie wir das jetzt hier hatten.
Und wenn wir verschiedene Körper beteiligt haben, dann ist die gesamte
kinetische Energie natürlich die Summe über die einzelnen kinetischen
Energien.
Kommen wir jetzt zum Impuls- und Rallsatz in integraler Form.
Wir können nämlich Impuls und Rallsatz jeweils nach der Zeit
integrieren.
Machen wir das zunächst mal für den Impulssatz.
Da haben wir als Ausgangspunkt
M mal Schwerpunktbeschleunigung, das war RS2, gleich Summe aller
äußeren Kräfte.
Oder, wenn wir das für unsere zwei Koordinaten machen, mit der wir die
ebene Bewegung beschreiben können, dann haben wir eben M mal XS2-Punkt
gleich Summe aller Kräfte in X-Richtung.
Und Masse mal Beschleunigung des Schwerpunktes in Y-Richtung gleich
Summe aller Kräfte in Y-Richtung.
Und jetzt sehen wir, wenn wir noch den
Impuls P einführen als M mal RS-Punkt, dann sehen wir gerade P-Punkt
gleich FA.
In
der Form lässt sich das leicht integrieren.
Dann haben wir nämlich bei einer Zeitintegration gerade auf der einen
Seite das Integral über die äußeren Kräfte, integriert von T0 bis T1,
also zwischen zwei Zeitpunkten.
Das können wir wieder als so einen Kraftstoß-FA-Dach oder einen Impuls
-FA -Dach bezeichnen.
Dann ist das gerade integral über die rechte Seite, oder in dem Fall
die linke Seite, integral über PP-Punkt.
Und wir sehen, PP-Punkt integriert ergibt natürlich P, die
Integrationsgrenze eingesetzt ist dann P, dann nehmen wir das mal S,
dann ist es vielleicht klarer.
PS zum Zeitpunkt 1, äh 0, ne 1, minus Impuls zum Zeitpunkt 0.
Oder Impuls zum Zeitpunkt 1 war M mal VS1 und Impuls zum Zeitpunkt 0
war M mal VS zum Zeitpunkt 0, also hier minus VS0.
Genauso können wir das machen für die einzelnen Koordinaten, also z.B.
für X und Y.
Dann haben wir eben Integral von T0 bis T1, FX, DT, das war dann das
FX -Dach.
Das ist dann gerade Masse mal der Geschwindigkeit in X-Richtung zum
Zeitpunkt 1 minus Geschwindigkeit in X-Richtung zum Zeitpunkt 0.
Beziehungsweise Integral von T0 bis T1, FY, DT, das war gerade FY
-Dach.
Gleich, in dem Fall ergibt sich dann Masse mal VY1 minus VY0, ganz
analog.
Falls ein Sonderfall vorliegt, dass nämlich keine Kräfte auf dem
Körper wirken, keine äußeren, dann verschwinden die entsprechenden
Impulse, FX-Dach und FY-Dach.
Also Sonderfall
verschwindender Kräfte im Zeitintervall.
Dann ergibt sich eben, dass der Impuls des starren Körpers, das war M
mal VS, dass das gerade entspricht M mal VS am Anfangszeitpunkt 0,
dass das also insgesamt ein konstanter Vektor ist.
Man sieht ja gut, die Masse des Körpers, die ändert sich ja bei uns
nicht.
Das heißt, wenn die Masse konstant ist, bedeutet das, dass
letztendlich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes in diesem
Sonderfall gerade 0 sein muss.
Da denkt jeder, das ist ja ganz einfach, aber ich weise jetzt schon
darauf hin, im nächsten Semester bei der allgemeinräumlichen Bewegung,
was jetzt die Winkelgeschwindigkeit und den Drall anbelangt, da ist
das dann so, wenn keine Kräfte auf den Körper wirken und keine
Momente, dann ändert der Drall seine Richtung nicht.
Da aber bei einer allgemeinräumlichen Bewegung, das werden wir
nächstes Semester sehen, der Drall und die Winkelgeschwindigkeit
Vektoren unterschiedlicher Richtung sind, dann kann es durchaus sein,
dass das Omega sich ändert, aber der Drall konstant bleibt.
Das ist das, was wir dann beobachten, wenn so ein Kreisel so ganz
komische Bewegungen macht.
Also hier denkt man immer, ja gut, er gibt eine konstante
Geschwindigkeit, der Schwerpunkt, das ist ja eigentlich nichts
Spektakuläres.
Aber wie gesagt, bei den Drehbewegungen, Kreiselbewegungen,
allgemeinräumliche Bewegungen von dem starren Körper, müssen wir da
ein bisschen aufpassen, weil eben dort, wie gesagt, der
Trägheitstensor dann ins Spiel kommt.
Aber wir sind hier glücklich, wir haben eben eine Bewegung, da geht
alles ein bisschen einfacher.
So, wie sieht es aus mit dem Drehimpuls,
d.h.
mit dem Drall.
Und dann mal als Ausgangspunkt unsere skalare Gleichung.
Das war Summe der Momente bezüglich dem Schwerpunkt, muss sein
Massenträgheitsmoment mal V2 Punkt
oder wenn wir das über den Drall ausdrücken, dann nehmen wir an der
Stelle den Drall bezüglich der Achse senkrecht zur Bewegungsebene.
Auch an der Stelle sollten wir uns bewusst sein, dass der Drall
durchaus bei einer Ebenenbewegung noch andere Komponenten haben kann,
die in der Bewegungsebene liegen, die uns aber an der Stelle nicht
interessieren.
Also ms ist dann gerade den Drall bezüglich s in Richtung senkrecht
zur Bewegungsebene, also in Richtung von Omega Punkt.
Der Drall bezüglich s als Skalaregröße, nämlich als Koordinate für die
Z -Richtung ist dann gerade Theta s mal Omega.
Das war also der Drall senkrecht zur Bewegungsebene.
Und wenn wir das eben entsprechend zeitlich integrieren, dann ergibt
sich ms integriert von T0 bis T1.
dt, das war dann ms Dach.
Jetzt haben wir so einen Momentenstoß.
Man sieht, das ergibt gerade L bezüglich s zum Zeitpunkt T1 minus L
bezüglich s zum Zeitpunkt 0.
Oder wenn wir das mithilfe von Theta s ausdrücken, dann ist das gerade
Theta s mal Omega 1 minus Omega 0.
Auch hier kann man sich vorstellen, wenn wir den Sonderfall haben,
dass keine Momente wirken,
dann verschwindet das Integral und man sieht, das ergibt 0 gleich
Theta s mal Omega 1 minus Omega 0.
Also der Drall bezüglich s, das war Theta s mal Omega, muss Theta s
mal Omega 0 sein, also eine konstante Größe.
Das war die Drehimpulserhaltung.
Das heißt, wenn kein Moment bezüglich s auf den Körper wirkt, dann
bleibt seine Winkelgeschwindigkeit konstant.
Und dann brauchen wir Impuls und Drallsatz in integraler Form.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist wieder, wenn Stöße auftreten.
Wir widmen uns den Stößen zu richtig erst in der nächsten Vorlesung.
Wir fangen heute noch damit an, so ein bisschen in diese Richtung zu
gehen.
Aber bevor wir das machen,
ich hatte ja schon letztes Mal angekündigt, wir müssen heute wieder
ein paar Minuten länger machen, um die Zeit reinzuholen, wo ich zum
Arzt musste.
Ich habe es leider nur in einer kleinen Ausführung, ich sage ja immer,
die guten Plätze sind vorne.
Ich habe hier so einen Körper.
Kennt das jemand?
Ich bin schon ein bisschen älter.
Nein, das ist...
Jetzt muss ich aufpassen bei meinen Werkstoffkunden, Kollegen, dass
ich da nichts...
Das ist Plastik, also so...
Nichts Wildes.
Aber gut, ich lege es mal hier auf.
Das Ding.
Und da das nur einen Kontaktpunkt hat, ist es natürlich so, wenn ich
das mal andrehe...
Das ist eigentlich nichts Wildes, oder?
Natürlich gibt es immer ein bisschen Reibung, aber wenn man die
vernachlässigt, dann sieht man, na gut, da wirken keine Momente, das
Ding dreht sich also an.
Oder?
Machen wir nochmal die Probe.
Ich drehe es jetzt nochmal.
Ui!
Einmal nochmal.
Passiert nichts.
Jetzt drehe ich es so rum.
Herr Potz-Blitz, hat der Trallsatz nur eine Vorziehungsrichtung, oder?
Was meinen Sie?
Jetzt haben wir die ganze Zeit praktisch hier Sachen hergeleitet und
uns klargemacht.
Und dann machen wir mal die Probe aufs Exempel und was passiert?
Der Trallsatz, der gilt in die eine Richtung und die andere nicht.
Die Form ändert sich ja nicht.
Na gut, der Kontaktpunkt liegt ja fest.
Der ist ja durch die Lage des Schwerpunktes gegeben, oder?
Ach, so ein bisschen.
Nee.
Jetzt schauen wir nochmal.
Also, so passiert nichts.
Und andersrum.
Und Sie sehen es vielleicht nicht ganz, ja?
Also, wir sind natürlich auf der richtigen Spur.
Der Körper, der sieht, auch wenn man den anschaut, relativ symmetrisch
aus, ist aber dann doch nicht ganz symmetrisch.
Das heißt, in dem Fall müssen wir aufpassen, weil wenn wir in die eine
Richtung drehen, dann sind die Reifverhältnisse anders, als wenn wir
in die andere Richtung drehen.
Und natürlich kann der sich, wenn er sich zuerst nach rechts dreht und
nach links drehen, wenn er zwischendurch praktisch die Energie in
einer anderen Form speichert, nämlich in der Wackelenergie, das
wackelt dann so ein bisschen um die Längsachse, und da holt er sich
dann die Energie wieder raus und dreht sich dann schlussendlich gegen
den Uhrzeigersinn.
Aber natürlich ist der Dreinsatz da nicht verletzt.
Das sieht nur so ein bisschen, wenn man das das erste Mal sieht, so
ein bisschen komisch aus.
In der einen Richtung scheint es alles zu stimmen, in der anderen
Richtung kehrt er plötzlich die Richtung um.
Ist aber nur, wie gesagt, aufgrund der Geometrie des Körpers.
So, jetzt hatte ich gesagt, wir müssen noch ein bisschen machen,
deshalb noch so eine kleine Anwendung vom Impuls- und Rallsatz in
integraler Form.
Und zwar betrachten wir jetzt einen
Körper mit einer festen Drehachse in A.
Das heißt, wir haben irgendwo den Körper,
der hat irgendwo die feste Drehachse im Punkt A.
Der hat auch den Schwerpunkt irgendwo.
Und jetzt wirkt am Körper eine horizontale Kraft, z.B.
eine Stoßkraft.
Und die Frage ist, wenn jetzt an der Stelle eine Stoßkraft wirkt, dann
wissen wir, Stoßkräfte, die sind modellmäßig sehr, sehr groß, also
beliebig groß.
Dafür ist die Zeit dauerbeliebig kurz, also die Lage ändert sich
während des Stoßes nicht.
Aber, wenn die Kraft hier im Abstand B zum Lager A wirkt, dann stellt
sich die Frage, wie groß muss eigentlich Xi- bzw.
Eta-Koordinate des Schwerpunktes sein?
Also Xi war der horizontale Abstand zum Lagerpunkt A und Eta der
vertikale Abstand des Schwerpunktes zum Lagerpunkt A.
Aber, wie groß müssen Xi und Eta sein, damit auch bei einem Stoß die
Kraft im Lager gerade verschwindet?
Also,
wie müssen Xi und Eta sein,
damit Lagerkraft Null?
Zunächst können wir mal freischneiden,
dann wirkt die Kraft F
und Erdbeschleunigung wird keine berücksichtigt, oder die kann auch
senkrecht zur Bewegungsebene sein, dann sind wir die auch los.
Und ansonsten haben wir noch die Lagerkräfte Ax und Ay,
wenn wir eben Kräfte nach rechts und nach oben positiv annehmen und
auch die Winkelbeschleunigung wie praktisch immer entgegen dem
Uhrzeigersinn.
Das sollen also die positiven Richtungen sein.
Und wir nehmen an, dass der Körper vor dem Stoß in Ruhe sei.
Was können wir machen?
Nun, dann können wir zunächst mal die Impuls- und Krallgleichungen in
integraler Form angeben.
Da haben wir zunächst mal in horizontaler Richtung F plus Ax, das
integriert über die Zeit.
Und wenn wir einen Stoß vorliegen haben würden, würde das über die
Stoßdauer Delta TS integrieren.
Das muss gerade sein.
Masse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit in X-Richtung nach dem Stoß,
also am Ende des Stoßes, minus Geschwindigkeit am Anfang.
Die war aber Null, weil der Körper vor dem Stoß in Ruhe sein soll.
Dann haben wir in vertikaler Richtung die Lagerkraft Ay, also integral
Ay dt, integriert über die Stoßdauer.
Das muss dann gerade sein.
Dann sehen wir Masse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit in Y-Richtung am
Ende des Stoßes, minus Geschwindigkeit in Y-Richtung am Anfang.
Das war aber dann auch Null.
Und jetzt Summe der Momente bezüglich dem Schwerpunkt integriert über
die Zeit, dann haben wir integral über die Stoßdauer und dann steht
hier drin, was haben wir, wenn wir in positive Richtung drehen, das
ist F mal B minus Eta,
dann haben wir negativ drehend das Ay mit dem Hebelarm Xi,
dann haben wir negativ drehend das Ax mit dem Hebelarm Eta,
gleich Theta S mal Omega am Ende minus Omega am Anfang, wenn das aber
in Ruhe war, war das Omega am Anfang gerade Null.
Und jetzt sehen wir, was haben wir alles an Unbekannten, das Ax, das
Ay, das Vsx am Ende, das Vsy am Ende, das Omega E am Ende.
Und wohlwissend bei einem wirklichen Stoß, da kennen wir im Grunde
genommen auch die Stoßkraft nicht.
Wir nehmen aber mal an, die sei in dem Falle gegeben.
Das können wir insofern auch machen, das werden wir sehen.
Die Stoßkraft wird bei dem, was wir hier machen, am Ende wieder
rausfallen.
Warum?
Und wenn wir die doppelte Stoßkraft hätten, dann wäre das Omega am
Ende einfach doppelt so groß, die entsprechenden Kräfte Ax und Ay, die
wären doppelt so groß, weil da die linearen Zusammenhänge gelten.
Aber schauen wir mal.
Wir sehen auf jeden Fall, egal ob F gegeben ist oder nicht, wir haben
zu wenige Gleichungen.
Wir brauchen also noch irgendwelche Dinge.
Und in dem Falle kriegen wir noch zwei Gleichungen aus der Kinematik.
Nämlich, wir wissen, na gut, da oben haben wir einen festen Punkt, ein
Lager.
Das heißt, dort muss die Geschwindigkeit 0 sein, dann ist aber die
Geschwindigkeit am Schwerpunkt gerade Omega mal Abstand.
Und wenn wir das jetzt noch aufteilen in die X- und Y-Richtung, dann
sehen wir, das Vsx ist dann gerade Omega mal dem Abstand Eta.
Uns interessiert das Vsx am Ende und das Omega am Ende, das gilt
natürlich dann auch für VsxE und OmegaE.
Und ganz analog folgt aus der Kinematik das VsY am Ende, gerade ist,
und wir sehen es, Omega war positiv in der Richtung, das VsY in der
Richtung, also OmegaE mal Xi.
Jetzt könnten wir versuchen, praktisch das Integral über Ay und Ax und
so weiter auszurechnen, ganz allgemein und das dann Null zu setzen.
Wir machen es uns einfach und sagen, na gut, wir nehmen mal an, es
sollen keine Lagerkräfte wirken, also soll Ax und Ay Null sein.
Dann folgt aus der ersten Gleichung
Integral fdt, das bezeichne ich jetzt abkürzend als fdach, gleich m
mal VsxE und VsxE war OmegaE mal Eta.
Aus der zweiten Gleichung folgt mit Ay gleich Null oder Integral Ay
gleich Null gerade m mal VsyE gleich Null, also Null gleich m mal VsyE
war OmegaE mal Xi.
Und aus der dritten Gleichung, da folgt jetzt fdach mal b minus Eta,
dann das Ay war Null, haben wir gesagt, das Ax soll Null sein, ist
also gerade ThetaS mal OmegaE.
Jetzt sehen wir aus der zweiten Gleichung, die ist nur erfüllt, wenn
entweder OmegaE Null ist, weil dann kann kein Stoß vorliegen,
das müssen wir auch einklammern, das kann eigentlich nicht sein.
Oder die andere Möglichkeit ist, dass Xi gleich Null ist.
Xi gleich Null, sehen wir, bedeutet, der Schwerpunkt liegt direkt
unterhalb des Lagers.
Aus
der ersten Gleichung folgt dann OmegaE gleich fdach dividiert durch m
Eta, setzen wir das in die dritte Gleichung ein, dann haben wir fdach
b minus Eta gleich ThetaS fdach dividiert durch m Eta.
Jetzt sehen wir, was ich vermutet hatte, das Ergebnis muss natürlich
unabhängig von fdach sein.
Das f kürzt sich jetzt raus,
multiplizieren wir mit m Eta, dann steht hier m mal b minus m Eta
Quadrat gleich ThetaS.
Oder,
Moment, da fehlt noch das Eta, jetzt bringen wir das m Eta Quadrat
nach rechts, dann steht hier m b Eta gleich ThetaS plus m Eta Quadrat.
Interessiert sind wir am Eta, also müssen wir noch durch b dividieren
und durch m, also m mal b.
Was ist ThetaS plus m Eta Quadrat?
Wir haben gesagt, wir fordern Xi gleich Null, wenn aber Xi gleich Null
ist, dann ist ThetaS plus m mal Eta Quadrat, das ist gerade das
Massenträgheitsmoment bezüglich dem Lagerpunkt A, weil eben Xi gleich
Null.
Also das war Theta A wegen Xi gleich Null.
Also ergibt sich letztendlich das Eta zu Theta A dividiert durch m mal
b.
Und war das eine praktische Anwendung?
Das fängt ganz einfach an.
Wenn Sie den ganzen Tag Nägel mit dem Hammer irgendwo reinklopfen
müssen oder Sie müssen irgendwas anderes klopfen, dann ist Ihre Hand
bzw.
Ihr Ellbogen meistens irgendwo das Lager.
Das heißt, je nachdem, wenn Stöße auftreten, kriegen Sie relativ große
Belastungen in den Gelenken.
Das muss jetzt nicht unbedingt nur vom Hämmern kommen, das kann auch
vom Sport kommen, wenn Sie Tennis spielen.
Ich weiß nicht, wer Tennis spielt, ich spiele kein Tennis, aber da
gibt es den berühmten Tennisarm, der auch auf eine verstärkte
Belastung der Gelenke durch die Schläge zurückzuführen sein soll.
Also wichtig, wenn Sie den Hammer greifen, greifen Sie den so, dass
das meistens erfüllt ist.
Gibt es dazu irgendwelche Fragen?
Wenn nicht, dann würde ich vorschlagen, dass wir auch ein anderes
Beispiel zum Lager.
Der Lager ist dann im Prinzip der Stoßmittelpunkt.
Die Kraft muss dann am Stoßmittelpunkt angreifen, damit die Lagerkraft
verschwindet.
Also im Prinzip entlang einer ganz bestimmten Linie muss die Stoßkraft
dann wirken, damit in dem Falle die Lagerkräfte verschwinden.
Und mein Vorschlag wäre ein Beispiel hierzu, nämlich mehr aus dem
Freizeitbereich, Billard.
Wo muss ich die Kugel anstoßen, damit die Kugel nicht zunächst gleitet
und so nach und nach anfängt zu rollen, sondern dass die praktisch
direkt nach dem Stoß schon rollt.
Das geht nur, wenn ich eigentlich irgendwo an einer bestimmten
Position die Kugel anstoße.
Aber das müsste eigentlich noch zeitlich hinkommen, wenn wir das in
der nächsten Vorlesung machen.
Zur Not machen wir eben nächste Vorlesung oder letzte Vorlesung in
diesem Semester noch ein bisschen Zusatzzeit.
Insofern vielen Dank.
Wenn keine Fragen mehr sind, bis zum nächsten Mal.