Guten Tag, meine Damen und Herren, ich darf Sie zur heutigen Vorlesung
recht herzlich begrüßen.
Zunächst mal der kleine Hinweis noch, dass die Vorlesung aufgezeichnet
wird, so dass all diejenigen, die nicht ins Bild kommen wollen, sich
bitte entsprechend hinsetzen.
Ich würde vielleicht an der Stelle darum bitten, wenn ich das in
Zukunft als vergesse oder nicht jede, vor jeder Vorlesung sage,
eigentlich müsste man das nach fünf Vorlesungen irgendwann kapiert
haben, wenn man in Karlsruhe eingeschrieben ist am KIT.
Rein theoretisch muss ich das jedes Mal ankündigen, sehen wir es nach,
wenn ich das irgendwann mal vergesse.
Das letzte Mal waren wir noch in der Relativmechanik und als
Anwendungsbeispiel hatte ich gesagt, greifen wir uns mal so ein
Planetengetriebe heraus.
Ein Planetengetriebe besteht aus mehreren Teilen, zum einen das
Sonnenrad, das praktisch die zentrale Achse bildet, mit einem Radius
RS, dann haben wir ein Hohlrad, das einen sehr großen Radius hat,
dazwischen haben wir so ein Planetenrad, das sich um eine Achse dreht,
die sich im Raum verschiebt, also bei der ganzen Drehung wandert das
Planetenrad eben um die Sonne herum.
Rein theoretisch könnten wir jetzt ganz viele verschiedene
Winkelgeschwindigkeiten haben, nämlich die Winkelgeschwindigkeit des
Sonnenrades, die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades, die
Winkelgeschwindigkeit des Hohlrades und wir können auch hier noch so
den Steg festmachen, dann hätten wir noch die Winkelgeschwindigkeit
des Steges, ich deute das mal so ein bisschen an, wenn wir da so einen
Steg hätten und prinzipiell könnten wir jetzt zwei der vier
Winkelgeschwindigkeiten vorgeben und die anderen beiden ergeben sich
dann aus der Geometrie.
Ich habe das in dem Fall jetzt mal so gemacht, dass wir das Hohlrad
festhalten, das heißt dessen Winkelgeschwindigkeit im Raum ist dann
gerade Null und die Winkelgeschwindigkeit des Steges, da haben wir den
Verdrehwinkel Phi, beträgt also Phi Punkt.
Was wollen wir jetzt mit Hilfe der Relativmechanik da machen?
Wenn wir greifen uns einfach mal drei Punkte heraus, ich will das
jetzt nur so machen, dass ich konform mit meinem Zettel bin, das ist
zum einen der Punkt A, der ganz hier vorne ist, zum anderen der Punkt
B, der Kontaktpunkt zwischen Sonnenrad und Planetenrad, sowie der
Punkt C, der Kontaktpunkt zwischen Planetenrad und Hohlrad.
Und wenn wir Relativmechanik machen, dann führen wir zunächst mal ein
Relativsystem ein.
Und in dem Fall liegt es vielleicht nahe, das Relativsystem auf den
Steg zu legen.
Das heißt, ich habe an der Stelle eine
Xi -Achse und
eine Eta-Achse und der Koordinatenursprung meines bewegten
Bezugssystems liegt dann im Mittelpunkt des Planetenrades.
Wir wissen, die Geschwindigkeit des Punktes A, die beträgt dann die
Geschwindigkeit des Punktes O, Strich, plus Omega-Kreuz-R-Relativ,
plus V-Relativ.
Das heißt, wenn wir das durchführen für den Punkt A,
zunächst mal müssen wir beachten, wenn wir den Punkt A betrachten, V
von O Strich ist wie groß, da haben wir den Abstand von O Strich zum
Mittelpunkt des Sonnenrades, das ist nämlich der Punkt, um den das
Koordinatensystem sich dreht.
Dieser Abstand beträgt gerade Radius des Sonnenrades bis Radius des
Planetenrades.
Der Punkt selbst, das O Strich, bewegt sich auf einer Kreisbahn, die
Mittelgeschwindigkeit, mit der diese Kreisbahn durchlaufen wird, ist
gerade V-Punkt, also V-Punkt und in welche Richtung geht die
Geschwindigkeit?
Die geht in Richtung der Xi-Achse, also E Xi, was haben wir dann?
Omega-Kreuz-R-Relativ und
da sehen wir für den Punkt A, das Omega, das ist die
Winkelgeschwindigkeit, mit der sich das bewegte Bezugssystem bewegt
oder dreht.
Wie groß ist die?
Ist ebenfalls V-Punkt, aber die Winkelgeschwindigkeit von dem
Bezugssystem ist eine vektorielle Größe.
Welche Richtung hat die?
Und die dreht sich so rum, also ein Vektor, der in die Tafelebene
reingeht und an der Stelle müssen wir immer aufpassen, nämlich wir
haben die Xi-Achse, wir haben die Eta-Achse und wir haben die Zeta
-Achse als dritte Achse, das heißt eine positive Zeta-Achse kommt aus
der Tafelebene heraus, damit ist Omega gleich Minus V-Punkt E Zeta,
also Minus V-Punkt E Zeta, Kreuz und für den Punkt A beträgt er
relativ, gerade, Abstand von O' zum Punkt A, das war RP und die
Richtung ist die Xi-Richtung, also RP E Xi,
das heißt insgesamt ergibt dies Minus V-Punkt RP mal E Zeta Kreuz E
Xi, das ist E Eta.
Und wir sehen, wenn wir mal das Sonnenrad festhalten und das Sonnenrad
in Richtung, oder das Ganze verdrehen mit V-Punkt, dann haben wir
aufgrund der Drehung wirklich einen Geschwindigkeitsanteil des Punktes
A in negative Eta-Richtung.
Und jetzt, wie groß ist V-Relativ?
Nun ganz einfach, der Punkt A, der bewegt sich im mitbewegten
Koordinatensystem auf einer Kreisbahn.
Der Radius der Kreisbahn beträgt RP.
Oder wir können auch schreiben,
Omega vom Planetenrad im mitbewegten Bezugssystem K, K soll das
mitbewegte Bezugssystem sein, kreuz den Vektor von O Strich nach A,
das ist aber gerade der Vektor RP mal E Xi.
Das heißt, jetzt haben wir die Schwierigkeit, hier haben wir RP E Xi.
Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades im
mitbewegten Bezugssystem?
Wer gibt eine Schätzung ab?
Ich habe Omega P eingezeichnet, also wie groß ist die
Winkelgeschwindigkeit?
Niemand hat eine Idee.
Wer wagt es?
Ladies first, wir sind hier für völlige Gleichberechtigung.
Wer wagt es?
Ich darf nicht die in der ersten Reihe nehmen, ich muss eine von
hinten nehmen, dann sitzen die das nächste Mal weiter nach vorne.
Wer wagt es?
Niemand?
Was meint der Mützenmann?
Eine erste Schätzung.
Na gut, eine erste Schätzung, ich gebe mal eine Hilfe, wenn das
Planetenrad sich mit Omega P dreht, wäre dann wahrscheinlich Omega P
und jetzt noch die Drehrichtung,
das ist praktisch, das Omega P habe ich so rum positiv eingezeichnet,
das würde also einer positiven Richtung, Xi-Richtung entsprechen, das
wäre also Omega P E
Zeta.
Jetzt war ich so froh, dass heute nochmal die Sonne scheint.
So, jetzt ist die Frage, ist das richtig?
Ja, jetzt müssen wir aufpassen.
Omega P bezeichnet jetzt den Betrag, nicht unbedingt den Betrag, aber
die Skalargröße für die Verdrehung des Planetenrades im Inertialsystem
in dem Falle, also im hohen Bezugssystem.
Jetzt müssen wir aufpassen, wenn das bewegte Bezugssystem, das heißt
die Xi und die Eta-Achse sich einmal drehen, dann macht dieses
Bezugssystem bezüglich dem Planetenrad ebenfalls eine Drehung, wenn
wir das festhalten.
Das heißt, die Drehbewegung zwischen Planetenrad und mitbewegten
Koordinatensystemen oder Bezugssystemen, da kommt noch das Phi-Punkt
hinzu.
Das ist an der Stelle ein bisschen verwunderlich, überlegen Sie sich
das nochmal in einer ruhigen Minute zu Hause.
Also haben wir da Omega P plus Phi-Punkt in Theta-Richtung, das heißt,
das wäre jetzt hier Omega P plus Phi-Punkt E Theta Kreuz RP XI,
ist also gerade Omega P plus Phi-Punkt
RP XI.
Und damit haben wir jetzt alle drei Anteile, das heißt, die
Geschwindigkeit des Punktes A beträgt erster Anteil RS plus RP mal Phi
-Punkt, dann haben wir plus zweiten Anteil minus Phi-Punkt RP E Theta
plus dritten Anteil Omega P plus Phi-Punkt RP mal XI, also plus Omega
P plus Phi-Punkt RP in XI-Richtung.
Wenn wir das Ganze für den Punkt B machen,
was müssen wir darauf beachten?
Wir haben zunächst mal die seltenen Anteile, nur dass wir jetzt eben,
na gut, VO Strich wie oben.
Dann Omega Kreuz R Relativ, da müssen wir wissen, das Omega, das war
die Winkelgeschwindigkeit des Bewegtbezugssystems im
Festschellenbezugssystem wie oben, da ändert sich auch nichts.
Was sich dann auch ändert, ist natürlich der Relativvektor, das sehen
wir an der Stelle, der Relativvektor beim Punkt B,
der geht von VO Strich zum Punkt B,
ist also in dem Falle RP in
negative E Theta-Richtung, also minus RP E Theta und das V Relativ,
auch das ändert sich.
Was haben wir da?
Und da haben wir im Prinzip zunächst mal wieder Bewegung auf einer
Kreisbahn, also Omega von P in bezüglich K, kreuz den Vektor von VO
Strich zum Punkt B, da sehen wir, das war minus RP E Theta, und jetzt
sehen wir, na gut, an der Stelle wird sich was ändern, das Omega Kreuz
RP, Omega hatten wir E Theta, da war was stehen, da oben, minus V
Punkt E Theta, Kreuz minus E E Theta, das gibt also einen negativen
Anteil in Richtung der Xi-Achse, das V Relativ, da haben wir E Theta,
Kreuz minus E E Theta, gibt dann E Xi, also hier gibt es einen Anteil
RP mal den Omega P plus V Punkt in E Xi-Richtung.
Wenn wir alles zusammenfassen, ergibt es dann gerade V B gleich, jetzt
muss ich nachschauen,
RS plus RP mal V Punkt plus Omega P mal RP in Xi-Richtung.
Eine Geschwindigkeitskomponente in E Theta-Richtung ergibt es dabei
nicht.
Und wenn wir das Ganze noch machen für den Punkt C,
dort bleibt wieder VO Strich wie oben, das Omega ist wie oben, das R
Relativ ist jetzt RP E E Theta, der Vektor von O Strich, zum Punkt C
geht in E Theta-Richtung, dann haben wir noch das V Relativ,
auch das ergibt sich ja, ja,
Moment, RS plus E E Theta, Sie haben recht.
Sie sehen,
man sollte sich immer noch auf sein Skript verlassen.
E Xi, E Theta, E Xi, natürlich E E Theta.
Das heißt, bei V Relativ, beim Punkt C, haben wir dann entsprechend
Omega von P in K kreuz, dem Vektor von O Strich zum Punkt C, das war
RP E E Theta.
Und wenn wir alles richtig machen, dann erhalten wir für die
Geschwindigkeit des Punktes C,
das Plus RP mal Phi Punkt minus Omega P mal RP und wieder ebenfalls
alles in Xi-Richtung.
Und man kann sich das auch so überlegen, wenn wir nochmal unser
Planetengetriebe ein bisschen anschauen, ich mal's mal da vorne rein,
dann wissen wir, das Sonnenrad, das ist praktisch hier drehbar
gelagert.
Das heißt, das Sonnenrad führt eine reine Drehbewegung aus, das
Planetenrad eine Drehbewegung plus eine Translationsbewegung.
Das Hohlrad führt ebenfalls nur eine Drehbewegung aus.
Wie gesagt, ich nehme mal an, wir haben das festgehalten.
Jetzt ist ganz klar, die Geschwindigkeit dieses Kontaktpunktes als
Punkt vom Sonnenrad, die verläuft tangential an das Sonnenrad, ist
also in Richtung von Xi gerichtet.
Wenn jetzt unser Punkt B als Punkt des Planetenrades eine
Geschwindigkeitskomponente hätte in Eta-Richtung, würde sich praktisch
dieser Punkt in das Sonnenrad reinbewegen oder vom Sonnenrad
wegbewegen.
Das wollen wir ja nicht haben, dann wäre was falsch.
Genauso an der Stelle, wenn sich das Hohlrad nur um diese innere Achse
drehen kann, dann macht der Punkt, der Kontaktpunkt als Punkt des
Hohlrades eine reine Drehbewegung, hat also hier eine
Geschwindigkeitskomponente in Xi-Richtung.
Wenn dann der entsprechende Punkt des Planetenrades eine
Geschwindigkeitskomponente in Eta-Richtung hätte, würde entweder
Kontaktverlust auftreten oder die müssten sich durchdringen.
Also insofern macht das Ergebnis schon Sinn.
Was wir dann noch sehen können ist, die Geschwindigkeit dieses Punktes
als Punkt des Sonnenrades beträgt gerade Omega-s mal Abstand, das war
R -s, in Richtung von Xi.
Also V-B als Punkt des Sonnenrades ist gerade R-s mal Omega-s in Xi
-Richtung.
Die Geschwindigkeit des Punktes C als Punkt des Hohlrades, habe ich
gesagt, wenn wir das festhalten, ist das gerade 0.
Wenn wir ein Getriebe haben mit Verzahnung, dann müssen die
Geschwindigkeiten entsprechender Punkte gleich sein.
Das heißt, V-B als Punkt von Sonne muss V-B als Punkt von Planetenrad
sein.
Das heißt, jetzt haben wir eine Bedingung.
Das hier muss gerade sein R-s mal Omega-s und wenn die Geschwindigkeit
des Punktes C 0 sein soll, dann muss das hier unten 0 sein.
Das sehen wir an der Stelle aufgeführt.
Das sind gerade zwei Gleichungen.
Omega-s, die Winkelgeschwindigkeit vom Sonnenrad, wenn die gegeben
ist, dann können wir mithilfe der zwei Gleichungen, wir haben ja ein
lineares Gleichungssystem, sowohl die Winkelgeschwindigkeit des
Steges, das war V-Punkt, wie auch die Winkelgeschwindigkeit des
Planetenrades, das war Omega-p, bestimmen.
Was da sich ergibt, das sehen Sie jetzt ganz unten, wir haben also
Omega -p ergibt sich dann als Funktion von Omega-s, V-Punkt ergibt
sich als Funktion von Omega-s und auch die Geschwindigkeit zum
Beispiel von Punkt A oder jedes anderen Punktes ergibt sich als
Funktion der Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades.
Wenn wir das Hohlrad nicht festhalten, sondern dessen Bewegung auch
vorgeben, dann würde eben an der Stelle auch die Bewegung oder die
Winkelgeschwindigkeit des Hohlrades auftreten.
Gibt es soweit Fragen?
Das ist die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades bezüglich meines
mitbewegten Bezugssystems.
Das bewegt sich nicht mit dem Planetenrad mit, sondern es bewegt sich,
deshalb habe ich das auch hier hingestellt.
Es bewegt sich so mit.
Und jetzt sehen Sie, wenn die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades
Null ist, dann würde das heißen, das Planetenrad bewegt sich, jetzt
mache ich mal mein Koordinatensystem auf dem Planetenrad fest, das
bewegt sich so.
Wohingegen das bewegte Bezugssystem, das wäre der Steg, das bewegt
sich jetzt hier so und jetzt sieht man, bezüglich dem Planetenrad
macht das bewegte Bezugssystem nochmals eine Drehung.
Und diese Drehung wird auch mit Viehpunkt bezeichnet.
Deshalb ist dort noch das Viehpunkt dabei.
Das ist ein bisschen verwirrend, aber da erkennt man, ob man relativ
die Mechanik verstanden hat.
So, wenn wir das alles ausgerechnet haben, dann können wir fragen, na
gut, für unser Planetenrad,
da können wir für die Punkte A, B und C auch die Beschleunigungen
ausrechnen.
Wie groß ist die Beschleunigung von Punkt C?
Wenn wir das Hohlrad festhalten, sich das also nicht bewegt.
Und dann bewegt wie?
Null.
Wer denkt es ist null?
Wer denkt es ist nicht null?
Die Wahl ist eindeutig, oder?
Wahlbeteiligung schlecht, wie immer.
Und wie immer versagt die Demokratie.
Warum kann die Beschleunigung des Punktes A auf dem Planetenrad nicht
null sein, obwohl da praktisch die Geschwindigkeit der Definition null
ist?
Nun, ingenieursmäßig lässt sich das ganz einfach argumentieren.
Wenn das Planetenrad oder das ganze System sich weiter dreht, was
passiert mit dem Punkt C?
Den habe ich ja gesagt, das sind hier.
Wenn der Punkt C als Punkt des Planetenrades sich weiter bewegt, gut,
dann rollt das ganze hier ab.
Das heißt, der beschreibt irgendwie so eine Bahn, kommt dann
vielleicht wieder irgendwann in Kontakt mit dem Hohlrad, aber er
bewegt sich auf jeden Fall.
Und er bewegt sich auf jeden Fall auch von dem Hohlrad weg.
Wenn er eine Geschwindigkeit null hat und hat keine Beschleunigung,
was würde das bedeuten?
Das würde bedeuten, er bleibt dort stehen.
Also da er das nicht macht, muss er beschleunigt werden.
Jetzt ist die Frage also, wie groß sind so die Beschleunigungen der
einzelnen Punkte?
Können wir auch wieder über die Relativmechanik machen.
Wir wissen, die Beschleunigung zum Beispiel von Punkt A, die beträgt
Beschleunigung von Punkt O'.
Dann haben wir die Beschleunigung aufgrund der Führung,
aufgrund von Rotation in tangential oder transversaler Richtung plus
A, Führung in Folgerotation in radialer Richtung, plus die Coriolis
-Beschleunigung, plus die Relativbeschleunigung.
Und um das Ganze ein bisschen zu vereinfachen, sage ich jetzt einfach,
das Ganze passiere im stationären Zustand, wo also die
Winkelgeschwindigkeit Phi Punkt oder die Winkelgeschwindigkeit Omega S
zeitlich konstant sind.
Also es dreht sich mit einer konstanten Rotationsgeschwindigkeit.
Die Sonne.
Nun, wenn Omega S konstant ist, dann sind natürlich auch Omega P und
Phi Punkt konstante.
Die ändern sich also nicht mit der Zeit.
Damit sehen wir, na gut.
Das Alpha, was an der Stelle auftritt, die Winkelbeschleunigung des
bewegten Bezugssystems, das wäre das Phi 2 Punkt, wenn Sie da drüben
schauen, die wäre natürlich 0, wenn das Phi Punkt konstant ist.
Also das fällt weg bei
Omega S gleich konstant.
Und wenn das Omega S konstant ist, dann ist das Phi Punkt konstant,
haben wir gesagt.
Das heißt, das AO Strich ist dann die Beschleunigung, die der Punkt O
Strich erfährt, aufgrund dessen, dass er sich auf einer Kreisfahne mit
einer konstanten, betragsmäßig konstanten Geschwindigkeit bewegt.
Wie groß ist da die Beschleunigung?
Und ist in die Richtung der Drehachse gerichtet,
Zentrimetallbeschleunigung.
Und die war einfach Abstand des Punktes zum Drehmittelpunkt
multipliziert mit der Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat.
Ist also dann in dem Falle RS plus RP, das war der Abstand.
Die Winkelgeschwindigkeit zum Quadrat ist dann das Phi Punkt Quadrat,
weil sich ja der Punkt praktisch mit Phi Punkt entlang der Kreisfahne
bewegt.
Und die Richtung war in Richtung des Drehmittelpunktes, das war in
Richtung des Mittelpunktes des Sonnenrades, das war also die negative
Eta -Richtung, also minus E Eta.
Die Winkelbeschleunigung des Bewegtbezugssystems ist null, deshalb
fällt das weg, hatte ich gesagt.
Dann wie groß ist die Führungsbeschleunigung aufgrund von Rotation in
der radialen Richtung?
Die war minus R, das war der Betrag vom Relativvektor, mal Omega
Quadrat, mal ER, der Betrag des Relativvektors, das sehen wir dort,
ist für den Punkt A gerade wieder RP, der Punkt A sollte natürlich
hier liegen, ist also RP.
Die Winkelgeschwindigkeit des Bewegtbezugssystems ist Phi Punkt, also
haben wir an der Stelle Phi Punkt Quadrat.
Das ER, das war der Einheitsvektor in Richtung von O Strich zum
betrachteten Punkt, das ist aber gerade E Xi, also steht hier E Xi.
Was
bleibt noch?
Die Coriolisbeschleunigung,
das war 2 Omega Kreuz V Relativ, das Omega, die Winkelgeschwindigkeit
des Bewegtbezugssystems, haben wir gesehen, das steht ganz oben, minus
Phi Punkt E Zeta.
Wie gesagt, das in der Klammer war die Winkelgeschwindigkeit des
Bewegtbezugssystems.
V Relativ, für den Punkt A hatten wir da oben zu Omega P plus Phi
Punkt mal RP in Eta-Richtung und wir sehen, das ergibt letztendlich
E Zeta Kreuz E Eta ergibt minus E Xi mit dem Minuszeichen hier vorne,
ergibt das ein Plus E Xi, ergibt also zweimal Phi Punkt mal Omega P
plus Phi Punkt mal RP.
E Xi.
Und jetzt fehlt noch als letztes das A Relativ.
Wir haben gesehen, der Punkt A bewegt sich im Relativsystem auf einer
Kreisbahn, also rein theoretisch haben wir jetzt eine tangentiale
Beschleunigung und eine Normalbeschleunigung aufgrund der Bewegung auf
der Kreisbahn.
Wie gesagt, Relativbewegung des Punktes A, im grünen Bezugssystem war
einfach diese Kreisbahn und die tangentiale Beschleunigung, die
beträgt Radius mal der relativen Winkelbeschleunigung.
Wir haben gesagt, wir betrachten alle Winkelgeschwindigkeiten als
konstant, dann haben wir keine Winkelbeschleunigung, also der Anteil
fällt weg, haben wir nur noch die Normalbeschleunigung in Richtung von
A nach O Strich, die Normalbeschleunigung ist dann aber Radius, das
ist RP mal
Winkelgeschwindigkeit dieser Kreisbewegung im Relativsystem.
Das war Omega P plus Phi Punkt, diese zum Quadrat und die Richtung,
haben wir gesagt, geht von A nach O Strich, also Minus E C.
Jetzt müssten wir alle Anteile aufsummieren, dabei können wir
beachten, dass wir vorher schon für Omega P und Phi Punkt Ausdrücke
erhalten haben, die nur von Omega S abhängen, sodass sich
letztendlich...
...ergibt, das sehen wir hier so ein bisschen ausgeführt,
irgendwie funktioniert der Autofokus nicht,
jetzt sehen wir es vielleicht ein bisschen besser.
Also jetzt ersetzen wir in den ganzen Ausdrücken, die wir da haben,
die entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten, die wir zuvor berechnet
haben und man sieht dann letztendlich als
Endergebnis für die Beschleunigung des Punktes A an der Stelle
unterste Zeile, es ergibt sich ein relativ einfacher Ausdruck, der
natürlich quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades
abhängt, also die ganzen Beschleunigungen, die da auftreten, die
hängen quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit des Sonnenrades ab.
Für die anderen Punkte könnte man das analog machen, das spare ich mir
an der Stelle, Sie brauchen das auch nicht so minutiös jetzt
mitzuschreiben, wichtig ist, dass Sie das prinzipielle Vorgehen sehen.
Das, was ich jetzt aufgelegt habe, das müsste allen nicht im Ilias zur
Verfügung stehen.
Also der Mitarbeiter, Herr Keller, hat es eingescannt und auch im Kurs
verfügbar gemacht, also insofern, schauen Sie dort nach.
Gibt es hierzu Fragen?
Ich versuche mal mit zwei Bezugssystemen zu arbeiten, das ist nicht
immer ganz leicht, das ist, ich mache jetzt mal ein Bezugssystem mit
dem Planetenrad fest und meine rechte Hand kennzeichnet die
Einheitsvektoren des Bewegtbezugssystems, also der grünen Achsen.
Und jetzt sehen Sie, wenn ich das Grüne festhalte und das Planetenrad
bewegt sich mit Omega-P, dann habe ich eine relative
Winkelgeschwindigkeit von Omega-P.
Wenn jetzt gleichzeitig zu dieser Drehbewegung noch das Ganze hier
runter geht, dann dreht sich ja das grüne Bezugssystem so rum.
Das heißt, jetzt halte ich mal einfach die Bewegung Viehpunkt fest und
jetzt bewege ich praktisch das grüne Bezugssystem weiter, hier
irgendwie rum.
Und jetzt sehen Sie, wenn das hier ankommt, dann hat das grüne
Bezugssystem gegenüber dem Planetenrad festen Bezugssystem gerade eine
Umdrehung gemacht.
Also spielt das Viehpunkt dort auch eine Rolle.
Dadurch verstanden?
Es ist ein bisschen schwer vorzustellen am Anfang, aber da sieht man,
dass es zum Teil wichtig ist, Winkelgeschwindigkeiten
entsprechend zu bezeichnen.
Ich nenne es mal so.
Wie gesagt, wenn wir ganz konsequent vorgegangen wären, dann hätten
wir eingeführt,
das Omega von S in I, das wäre die Winkelgeschwindigkeit als Vektor
des Sonnenrades im Inertialsystem.
Gut, das dreht sich um eine Achse, die Richtung kennen wir im Moment.
Das dreht sich so rum, also auch das geht in negative.
Minus Omega S E Zeta, weil die positive Zetaachse die Richtung hat.
Dann hätten wir das Omega P in I.
Das wäre, das dreht sich so rum, das wäre also Omega P E Zeta.
Und dann haben wir...
Omega Hohlrad haben wir nicht eingeführt.
Dann haben wir aber noch das Omega vom Steg und Sonne, deshalb habe
ich da jetzt K eingeführt.
Omega vom bewegten Bezugssystem im Inertialsystem ist ebenfalls
negativ, also Minus Phi Punkt E Zeta.
Später, nämlich dann wenn wir dreidimensionale Bewegungen von Punkten
und Körpern machen, werden wir sehen.
Ach ja, die Winkelgeschwindigkeit, wenn ich die so notiere, dann kann
ich...
Ah, jetzt muss ich noch einführen, Omega von P in K.
Das weiß ich jetzt nicht.
Jetzt weiß ich aber, Omega von P in I ist Omega von K in I plus Omega
von P in K.
Und zwar immer, wenn zwei benachbarte Indizes hier so auftreten, dann
kann ich das zusammenfassen.
Also das ergibt dann Omega von P in I.
Und jetzt sehen wir, das war Omega P E Zeta gleich, das war Minus Phi
Punkt E Zeta plus Omega von P bezüglich K.
Und jetzt bringen wir das auf die rechte Seite, dann haben wir es auch
dastehen.
Ich habe es versucht anschaulich zu erklären, weil wir das an der
Stelle noch nicht kennen.
Ach, bauen Sie das Ganze mal mit Lego nach, dann kann man viel mehr
umspielen.
Von denjenigen, die lachen, denen sei gesagt, man kann
unwahrscheinlich viel mit Lego zeigen.
Ich habe nur immer das Problem, dass meine Lego weit in der Pfalz
stehen auf dem Speicher.
Ich muss dann immer auf den Speicher hoch.
Und wenn ich das eine gebaut habe, dann reichen mir meine Bauteile
nicht mehr für das andere.
Aber es ist eigentlich ein gutes Anschauungsmaterial.
Gibt es soweit jetzt noch Fragen?
Wenn nicht, dann schließen wir an der Stelle die Kinematik bei der
Bewegung von Punkten ab und kommen zur Kinetik.
Wir erinnern uns, was wir bisher gemacht haben, das war nur Kinematik.
Da ging es also nur um die Beschreibung der Bewegung von Punkten.
Und was wir jetzt in der Kinetik machen, das ist, der Punkt hat
plötzlich eine Masse.
Da müssen wir ein bisschen aufpassen, weil eigentlich haben wir ja
immer Körper vorliegen.
Wir können aber nicht so weit abstrahieren, dass wir sagen, unser
Körper ist eigentlich so klein, dass wir den vielleicht als Punkt
idealisieren können, sodass die ganze Masse an einem Punkt
konzentriert ist.
Das ist auch das, was letztendlich der Newton und die gemacht haben.
Und wie gesagt, ob dann der Punkt groß ist oder klein, das hängt dann
immer auch davon ab, was ich untersuchen will.
Wenn man Himmelsmechanik macht, dann ist die Erde immer noch ein
relativ kleiner Punkt, den man als Punkt idealisieren kann.
Wenn man natürlich hier jetzt irgendwie auf der Erde sich befindet und
hier etwas untersucht, dann ist die Erde ein unwahrscheinlich großes
Gebilde.
Was man auch machen kann ist, wenn man den Körper hat, aber das müssen
wir streng genommen auch erst noch im Verlauf der Vorlesung zeigen,
wenn der Körper keine Drehbewegung macht, sondern sich nur
translatorisch bewegt, dann hat man wieder praktisch so einen
Sonderfall, wo man das Ganze als Massenpunkt betrachten kann.
Also solange ich die Kreide durch den Raum werfe und die dreht sich
nicht, dann ist das immer durch den Massenpunkt beschreibbar.
Wenn ich jetzt die Kreide ganz beliebig durch den Raum werfe, dann
wird die sich drehen und um die gesamte Bewegung dann zu beschreiben,
muss ich noch die Drehbewegung mit berücksichtigen.
So, Kinetik zunächst mal,
das Judensche Grundgesetz,
das ist praktisch die axiomatische Basis für eine nicht
relativistische klassische Mechanik.
Also wie gesagt, nicht relativistisch, was vielleicht ein bisschen aus
der Physik bedeutet, dass die auftretenden Geschwindigkeiten, die
sollten klein sein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit und wenn man
jetzt irgendwelche Himmelsmechaniken macht, dann mag die
Geschwindigkeit von Raumschiffen irgendwann dann doch relativ groß
sein, zumindest wenn man da ein bisschen fantasiert, dann müsste man
das vielleicht relativistisch betrachten, alles was wir hier so auf
der Erde machen, im Maschinenbau ist klassischerweise klassische
Mechanik, also da muss das eigentlich nicht berücksichtigt werden.
So, wir wissen auch gut, wenn wir das axiomatisch machen, die
einzelnen Axiome, die können wir nicht beweisen, wir können nur
beobachten, ob die übereinstimmen mit dem, was wir so beobachten und
so ein Axiom gilt so lange, bis praktisch das mal widerlegt ist oder
wir das dann vielleicht erweitern müssen, wie das die Masse mit der
Geschwindigkeit dann letztendlich zunimmt.
Und da haben wir verschiedene Axiome, zum einen den Trägheitssatz,
der besagt, dass praktisch ohne Einwirkung von Kräften sich der
Massenpunkt in gleichförmiger Bewegung befindet.
Das Ganze wird auch Beharrungssatz genannt,
als altdeutsch ausgedrückt, er beharrt in seiner Bewegung.
Das heißt, die Geschwindigkeit oder der Geschwindigkeitsvektor, der
ändert sich nicht, wenn keine Kräfte auf den Körper wirken.
Also ich bin ganz ehrlich, ob man das so aus dem, was man täglich
beobachtet, auch so ohne weiteres schließen kann, ist vielleicht gar
nicht so einfach.
Ich meine, heute bei dem, was wir alles wissen, schon, aber wenn man
jetzt irgendwann mal den Körper oder den Massenpunkt bewegen lässt,
dann wissen wir, in Wirklichkeit tritt immer Reibung auf.
Na gut, zunächst scheint sich die Bewegung zu ändern, aber wenn man
das eben wieder richtig beschreibt, dass aufgrund der Reibung Kräfte
am Massenpunkt wirken, dann ist das wieder übereingelangt zu bringen.
Aber da muss man erstmal drauf kommen.
Also, das besagt letztendlich, der Impuls ist ein konstanter Vektor.
Das heißt, zunächst mal hätten wir V gleich konstant und wenn wir vom
Impuls sprechen, der Impuls von dem Massenpunkt ist die
Geschwindigkeit noch mit der Masse multipliziert.
Aber wie gesagt, das ist eskalare Größe und insofern bedeutet M
konstant, dass auch die Geschwindigkeit konstant bleibt.
So, jetzt müssen wir an der Stelle schon mal aufpassen, denn wir haben
gesehen, die Geschwindigkeit, die hängt davon ab, in welchem
Bezugssystem ich die befinde.
Im Bezugssystem Straßenbahn, wenn die Straßenbahn bremst oder um die
Kurve fährt, gilt das ja schon nicht mehr.
Also gilt das Ganze nur in besonderen Bezugssystemen, nämlich ich
brauche dazu ein Inertialsystem.
Als nächstes haben wir dann das zweite Newton'sche Axiom, nämlich F
gleich M mal A.
Also, Lavidar ausgedrückt, Kraft gleich Masse mal Beschleunigung.
Das heißt, jetzt haben wir drei Begriffe, zum einen die Kraft, die
Masse und die Beschleunigung.
Beschleunigung, da wissen wir gut, Beschleunigung A,
das ist die Beschleunigung im sogenannten Inertialsystem.
Dann haben wir den Begriff der Kraft.
Und die Kraft zu erklären ist eigentlich schwierig, obwohl man als
Student schon im ersten Semester damit rechnet.
Aber was ist eine Kraft?
Also, ich schreibe meine Erklärung schwierig.
Nur aus ihren Wirkungen.
Das heißt, wir wissen auch gut, wenn eine Kraft auf eine Feder wirkt,
dann wird die verformt.
So kann man ja auch eine Kraft messen.
Und moderne Kraftmessdosen, wie arbeiten die?
Fragen wir mal ein bisschen so.
Wer weiß, wie ein Kraftmessgerät wirkt?
Über Dehnungsmessstreifen.
Was macht ein Dehnungsmessstreifen?
Er misst eine Dehnung.
Das heißt, man hat eine Verformung, das heißt letztendlich hat man
wieder eine steife Feder dazwischen geschaltet.
Steif heißt, dass die Verformung eben sehr klein ist bei einer
bestimmten Kraft.
Und kleine Verformungen, sprich Dehnungen, die kriege ich eben über
die Dehnungsmessstreifen.
Eine andere Möglichkeit wäre über piezoelektrische Elemente.
Dort führt eine mechanische Spannung entweder zu einer
Ladungsverschiebung oder zu einer elektrischen Spannung, weil dort
Mechanik und Elektrotechnik gekoppelt sind.
Hat schon mal jemand ein piezoelektrisches Element benutzt?
Wo?
Ah, die Grillmeister.
Nebenher noch eine Zigarette anstecken.
Also, ein piezoelektrisches Element, ja.
Bei der akustischen Gitarre, ui, da bin ich jetzt sogar...
Also ich habe mir immer gedacht, das wäre so eine Art elektro
-dynamischer Aufnehmer, aber da bin ich mir jetzt nicht sicher.
Muss ich mal die Gitarre von meinem Junior auseinandernehmen.
Bei der akustischen, piezoelektrisch?
Ich meine, er hat beides, also einer muss jetzt dran glauben.
Also, aber was ich drauf raus wollte, also piezoelektrische Elemente
gibt es als Massenware zum Beispiel in Feuerzeugen oder so
Kaminanzünder.
Wenn Sie da drauf drücken, dann macht es irgendwann ein Klack.
Und dieser Klackmechanismus heißt nur, es löst einen Stoß aus.
Und jetzt müssen wir wissen, leider wissen wir das noch nicht am Stand
dieser Vorlesung, sondern erst am Ende des Semesters.
Wenn wir einen Stoß haben, dann treten sprunghaft
Geschwindigkeitsänderungen auf, aber damit auch sprunghaft große
Kräfte.
Also impulswärmige Kräfte.
Und große Kräfte führen dann zu großen Ladungs- oder Verschiebungen
oder Spannungen, je nachdem.
Und das führt dann letztendlich beim Feuerzeug dazu, dass dann so ein
Funke überspringt.
Also, nehmen Sie mal so ein Feuerzeug auseinander, das ist eigentlich
ganz lustig.
Da gibt es dann, wie gesagt, so ein piezo-keramisches Element und das
kann man dann auch ein bisschen rumspielen.
Zumindest bei denen, die leer sind und nicht mehr funktionieren.
So, was haben wir da noch?
Dann haben wir die Masse.
Das ist sozusagen der Proportionalitätsfaktor,
der auch in der Newton'schen Mechanik dann konstant bleibt.
Der entspricht der schweren Masse.
Also, wenn Sie irgendwie in der Bäckerei oder sonst irgendwo ein
Leibbrot wollen und der wird nach Gewicht bezahlt, na gut, dann wäre
das gut, wenn Sie das auf dem Mond machen, es wäre schlecht, wenn Sie
das auf dem Jupiter machen.
Warum?
Wenn Sie zumindest eine Waage haben, die über so ein Federelement
wirkt.
Weshalb?
Nun, das Gewicht als Kraft ist natürlich Masse mal Beschleunigung.
Jetzt haben wir auf der Erde aber eine andere
Gravitationsbeschleunigung als auf dem Mond oder auf dem Mars oder auf
dem Jupiter.
Das heißt, wenn Sie eine bestimmte Masse haben wollen, dann macht man
das besser vielleicht über einen Massevergleich.
Da gab es früher diese Waagen.
Wer kennt noch die Dezimalwaage?
Kennt keiner eine Dezimalwaage?
Ui, Hausaufgabe.
Morgen, trübes Wetter, keine Lust auf den Friedhof zu gehen.
Sie schauen mal nach, was eine Dezimalwaage ist.
Das ist eine Waage, da stellt man eine Masse drauf.
Die hat natürlich eine Schwerkraft.
Und jetzt stellt man auch irgendwo ein Gegengewicht drauf, aber das
Gegengewicht, wie groß ist das?
Das hat nur ein Zehntel der Masse.
Deshalb heißt es Dezimalwaage.
Also man kann das dann praktisch über eine Übersetzung entsprechend
machen.
Schauen Sie mal nach, als Ingenieur sollte man das vielleicht schon
kennen.
Und man sieht, bei so einer Waage macht man einen Massenvergleich,
wenn man das über eine Feder macht, macht man einen Kraftvergleich.
Und das ist jetzt natürlich die Gewichtskraft.
Die ist ja auch proportional der Masse, die ist m mal g. Aber
gleichzeitig wissen wir, in unserem Newtonischen Grundgesetz tritt die
gleiche Masse auf.
Das ist wirklich identisch.
An der Stelle vielleicht schon mal der Hinweis.
Wir haben im Impuls m mal v.
Wir haben bei der Kraft Masse mal Beschleunigung.
Jetzt kommt der Werbeblock für das nächste Semester.
Wenn wir die dreidimensionale Bewegung eines starren Körpers
betrachten, dann gilt bezüglich der Translation, jetzt müssen wir ein
bisschen aufpassen, was ist denn die Translation von einem starren
Körper?
Das ist gar nicht mehr so eindeutig zu formulieren, weil wenn Sie
jetzt einen starren Körper haben,
ich nehme mal hier einen starren Körper, der hat ein bisschen eine
blöde Form, weil sieht aus wie meine drei Einheitsvektoren, ist aber
trotzdem in guter Näherung ein starrer Körper.
Und jetzt sehen wir, wenn der starre Körper sich bewegt, dann hat der
Punkt hier oben eine ganz andere Geschwindigkeit und Beschleunigung
als der Punkt hier.
Also beim starren Körper kommt es darauf an, welchen Punkt betrachte
ich.
Und wenn man dann solche Gesetzmäßigkeiten betrachtet, dann wird sich
beim starren Körper ergeben, dass F gleich Masse schon mal
Beschleunigung ergibt, aber jetzt müssen wir genau spezifizieren, die
Beschleunigung von welchem Punkt.
Wird sich dann später zeigen, das ist der Schwerpunkt.
Aber das müssen wir erst noch herleiten.
Wir sind an der Stelle, wie gesagt, nur Punktmechanik.
Eine andere Besonderheit ist die, wenn es jetzt um Drehbewegungen von
Systemen von starren Körpern oder von Starkörpern geht, da haben wir
entsprechend dem Impuls MLV, haben wir dort den Drall.
Hat jemand schon eine Ahnung, was ein Drall sein könnte?
Und wird immer auf, wenn irgendwas sich dreht.
Einfachstes Beispiel, eine kleine Hausübung.
Zweimal das Bier in die Hand nehmen, auf den Drehstuhl sich setzen,
sich anstoßen lassen zu einer Drehbewegung.
Was machen wir dann?
Dann trinken wir mal Bier.
Das heißt, wir nehmen Hand und Bierkrüge zu uns her.
Was passiert?
Und die Drehbewegung wird schneller.
Wenn wir das Bier wieder nach außen nehmen, wird die Drehbewegung
langsamer.
Das hat mit dem Drall zu tun.
Und letztendlich gibt es neben dem jüdischen Grundgesetz auch so ein
eulerisches Axiom, das heißt, die Ableitung des Dralls im
Inertialsystem entspricht der Summe der äußeren Momente.
Oh, das klingt ganz einfach.
Allerdings werden Sie im nächsten Semester sehen, die Relation
zwischen Impuls und Geschwindigkeit, die ist ja nur durch eine skalare
Größe gegeben, die Masse.
Die Relation zwischen Drall und Winkelgeschwindigkeit, da steht ein
Tensor dazwischen.
Ui, hat schon mal jemand mit einem Tensor gearbeitet?
Wo gab es im letzten Semester Tensoren?
Sicher beim Kollegen Bölke, oder?
Da gab es mal den Spannungstensor und den Verzerrungstensor.
Lange Rede, kurzer Sinn.
Auch das ist in Ihrem Stadium nicht immer ganz leicht, sich
vorzustellen.
Impuls und Geschwindigkeit sind gleichgerichtet, Winkelgeschwindigkeit
und Drallvektor sind nicht unbedingt gleichgerichtet, sondern nur in
Sonderfällen.
Und das führt dann eben zu den Defekten, wie wir sie beim Kreisel
gesehen haben.
So, das vielleicht als kleine Anmerkung.
So, als nächstes Axiom brauchen wir noch das Wechselwirkungsgesetz.
Das besagt ja gut, Kräfte entstehen nicht aus sich selbst, sondern
wenn es eine Kraft gibt, gibt es immer eine Gegenkraft.
Also Aktion gleich Reaktion.
Das heißt, wenn wir jetzt eine Kraft F am Massenpunkt 1, ausgeübt von
Massenpunkt 2 haben oder von der Umgebung irgendwo, dann wirkt
irgendwo auf den Massenpunkt 2 auch eine Kraft von Massenpunkt 1.
Die beiden sind betragsmäßig gleich groß, aber entgegengesetzt
gerichtet.
Also F12 gleich minus F21.
Einfachstes Beispiel, wenn ich mich hier im Hörsaal bewege oder wenn
Sie auf dem Sitz sitzen, dann üben Sie eine Kraft auf den Sitz aus,
aber gleichzeitig übt der Sitz eine Kraft auf Sie aus.
Und dass der Sitz eine Kraft auf Sie ausübt, das merken Sie spätestens
dann, wenn das Scharnier hinten, der Anschlag plötzlich versagt.
Warum?
Dann klappt der Sitz nach unten und Sie werden nach unten
beschleunigt.
So, des weiteren haben wir dann noch das Parallelogramm-Axiom, aber
das erwähnen wir an der Stelle nur,
dass nämlich Kräfte wie Vektoren addiert werden.
Also wenn ich Kräfte addiere, dann kommt es nicht nur auf den Betrag
an, sondern auch auf die Richtung.
So, wenn ich jetzt in meinem jüdischen Grundgesetz F gleich m mal a
das Kraftgesetz kenne,
dann erhalte ich die Grundgleichung der Dynamik.
Also F als Funktion von r und r Punkt und eventuell expliziter Zeit
bekannt.
Das heißt, wenn ich das jetzt einsetze, dann habe ich F, das war F von
r, r Punkt und t gleich m mal a.
a war aber die Beschleunigung im Inertialsystem, das war die zweite
Ableitung des Ortsvektors, also m mal r zwei Punkt.
Jetzt sieht man, wenn man die ausverarbeitenden Termine nur nimmt,
dann hängt eben die Gleichung nur ab von r zwei Punkt, r Punkt und t.
Allerdings eine Vektorgleichung, die hat also im Allgemeinen drei
Komponenten oder Koordinaten
und ist, weil die zweite Zeitableitung des Ortsvektors auftritt, eine
Differenzialgleichung zweiter Ordnung für
r.
Nun streng genommen kann ich jetzt die auftretenden Kräfte noch
aufteilen in eingeprägte Kräfte und Zwangskräfte.
Was ist das eine, was ist das andere?
Also F, E, eingeprägte Kräfte,
das sind dann Kräfte wie äußere physikalische Lasten,
das weiß ich, zum Beispiel eine Gewichtskraft oder irgendeine
Antriebskraft.
Das können aber auch Kräfte sein, die durch die Bewegung entstehen.
Also durch die Bewegung entstehen
die Kräfte.
Was sind das?
Das sind dann zum Beispiel Reibungskräfte oder
Federkräfte.
Sie sehen, wenn Sie am Massenpunkt eine Feder festmachen und der
Massenpunkt bewegt sich, na gut, dann kommt es darauf an, wie er sich
bewegt, wenn er sich praktisch so bewegt, dass die Federauslenkung
oder Verlängerung oder Verkürzung sich nicht ändert, dann ändert das
natürlich nicht die Kraft, aber wenn er sich so bewegt, dass die
Federlänge verändert wird, dann führt das eben zu einer Federkraft.
Des Weiteren haben wir FZ, das sind dann die Zwangskräfte.
Die treten auf, wenn wir eine geführte Bewegung haben.
Die bewegen die Bindung an die Führung.
Und
als einfachstes Beispiel haben wir vielleicht, wenn ich richtig
informiert bin, morgen fängt der Jahrmarkt wieder in Karlsruhe an, da
gibt es oftmals Achterbahnen oder irgendetwas anderes, aber eine
Achterbahn ist ein gutes Beispiel.
So ein Achterbahnwägelchen, wenn wir das als Massenpunkt auffassen,
dann bewegt sich der Massenpunkt immer entlang der Schiene.
Bedingt durch irgendwelche Einspannungen sollte sich der Wagen nicht
quer zur Schiene, also senkrecht zur Schiene bewegen.
Das heißt, wird letztendlich in zwei Richtungen geführt.
Um dieses zu gewährleisten, hat man dann praktisch die Führungen.
Hat das schon mal jemand im Europapark gesehen?
Ich weiß es nicht.
Gibt es teure Räder, die das alles bewirken?
Und letztendlich wirken von den Führungen und damit von der Schiene
auf den Massenpunkt Kräfte, die bewirken, dass der Massenpunkt auf der
Schiene bleibt.
Und das sind dann die sogenannten Zwangskräfte.
Ein anderes Beispiel können Sie vielleicht heute Abend im
Fitnessstudio betrachten.
Sie nehmen einfach mal ordentlich Schmackes auf die Handel.
Dann können Sie die Stange als Masse vernachlässigen.
Dann haben Sie zwei Massenpunkte.
Einen rechts, einen links.
Und wenn Sie die entsprechend befestigen, dann wissen Sie, selbst wenn
ich jeden für sich modelliere, habe ich jetzt eine Zwangskraft,
nämlich infolge der Stange, die immer bewirkt, dass der Abstand der
beiden Massenpunkte, auch wenn das mal vielleicht in Schieflage kommt,
Abstand bleibt immer derselbe.
Also muss unter Umständen eine Kraft entlang der Stange wirken.
Und das bewirkt dann gerade solche Zwangskräfte.
Nun, wenn wir jetzt das nudische Axiom anwenden wollen, wie gehen wir
dabei vor?
Zunächst mal wählen wir ein entsprechendes Koordinatensystem.
Wir geben positive allgemeine Lagen vor und
auch positive Kraftrichtungen.
Dann bestimmen wir durch die vorgegebenen Koordinaten letztendlich den
Beschleunigungsvektor, also durch Koordinaten in 1 ausdrücken.
Das heißt, wenn wir kathesische Koordinaten wählen, um das Ganze zu
beschreiben, dann ist es relativ einfach.
Wenn wir zylindrische Koordinaten nehmen, dann wird es vielleicht
schon ein bisschen komplizierter, wobei das jetzt jeder Student in der
Phase kennen sollte.
Als nächstes schneiden wir den Massenpunkt in der allgemeinen Lage
frei.
Also Massenpunkt in allgemeiner Lage freischneiden.
Dann muss der Kraftvektor am freigeschnittenen Massenpunkt formuliert
werden.
Dazu Kräfte im Freikörperbild eintragen, dann den Kraftvektor
formulieren.
Das heißt, da müssen alle Kräfte auftreten, die am Massenpunkt wirken.
Das sind sowohl die eingeprägten Kräfte wie auch die Zwangskräfte.
Also mit eingeprägten und Zwangskräften.
Gehen wir es nochmal an.
Also F gleich FE plus FZ.
Die Zwangskräfte, wie gesagt, das waren unter Umständen innere Kräfte.
Denken Sie an die Handel.
Wenn wir die Handel durchschneiden und jeden Massenpunkt für sich
freischneiden, werden die Zwangskräfte zu äußeren Kräften.
Vielleicht was man bei den Zwangskräften noch erwähnen sollte, wenn
wir gerade an das Beispiel der Achterbahn denken.
Wenn so eine Achterbahn fährt oder allgemein einen Massenpunkt bewegt,
dann können Zwangskräfte auftreten.
Zum Beispiel ein Massenpunkt bewegt sich auf so einer Kreisbahn im
Schwerefeld.
Dann wissen wir aus Erfahrung, da wird immer ein bisschen Reibung
vorhanden sein.
Wenn wir von viskoser Reibung ausgehen oder auch von Coulant-Reibung.
Viskos heißt die Reibkraft.
Gehen wir von Coulant-Reibung aus.
Die Reibkraft bei Coulant-Reibung ist proportional zur Normalkraft.
Die Normalkraft, die bei so einer Bewegung am Massenpunkt auftritt,
ist dann aber eine Zwangskraft.
Das heißt, die auftretende Reibkraft, die hängt dann zwar von der
Zwangskraft ab, ist dann aber trotzdem eine eingeprägte Kraft.
An der Stelle müssen wir erst die Zwangskraft ausrechnen und haben
dann letztendlich alle eingeprägten Kräfte erst bestimmt.
Heißt, zusammenfassend, auch eingeprägte Kräfte können von
Zwangskräften abhängen.
So, dann zum Schluss, wenn wir die Kraft haben, haben wir das
Newton'sche Grundgesetz.
Es gibt eine Vektordifferenzialgleichung, also drei Komponenten im
Allgemeinen bei drei Raumrichtungen.
Und wenn wir eine ebene Bewegung hätten, dann würden wir sagen, gut,
wir betrachten nur zwei Koordinaten.
Das heißt, zwei Richtungen machen uns das ein bisschen leichter.
Also, im Allgemeinen drei skalare Gleichungen.
Mal das hier ein bisschen missbrauchen.
Ich habe hier einen Massenpunkt, ich hoffe, die Tonaufzeichnung
funktioniert trotzdem.
Wenn ich hier so ein Pendel habe...
und meinen Übertrager hier als Massenpunkt modelliere, wie würden wir
die Bewegung am besten beschreiben?
Natürlich am besten über den Verdrehwinkel Phi, den mein Kabel zur
Vertikalen einschließt.
Jetzt haben wir im Allgemeinen drei Gleichungen.
Jetzt haben wir eine Koordinate, die wir letztendlich in einer
Bewegungsgleichung haben wollen.
Oder für die wir eine Bewegungsgleichung haben wollen.
Was würde das jetzt hier bedeuten?
Nun, zum einen hätten wir natürlich eine ebene Bewegung.
Damit fällt eine Koordinate per se raus.
Dann haben wir nur noch zwei Koordinaten.
Und dann wissen wir aber, gut, es gibt noch eine Zwangskraft.
Nämlich die Zwangskraft im Kabel, die bewirkt, dass der Übertrager
hier sich nur auf einer Kreisbahn bewirkt.
Das heißt, jetzt haben wir zwei Gleichungen.
Eine Zwangskraft und eine Koordinate.
Also, wenn Zwangskräfte auftreten, dann hängen die von der Bewegung
ab.
Die müssen eliminiert werden.
Und wenn die Zwangskräfte eliminiert sind...
Also...
Elimination...
der Zwangskräfte...
führt dann letztlich zu den sogenannten Bewegungsgleichungen.
Also für einen Massenpunkt wären das maximal drei.
Nun, wenn drei Zwangskräfte vorliegen, dann wissen wir, der
Massenpunkt wäre statisch bestimmt dann wahrscheinlich gelagert.
Dann kann er sich gar nicht bewegen.
Dann gibt es auch keine Bewegungsgleichung.
Aber wie gesagt, es könnten auch zwei Bewegungsgleichungen sein.
Zum Beispiel für die Bewegung eines Punktes auf einer Ebene.
Wenn die Kreide hier irgendwie sich bewegt, dann wirkt die Zwangskraft
von der Unterlage auf den Massenpunkt.
Aber ansonsten wäre der Massenpunkt in zwei Richtungen beweglich.
Dann hätten wir zwei Bewegungsgleichungen dann entsprechend.
Gibt es hierzu direkt Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der Vorlesung.
Vielen Dank.