WEBVTT 00:05.540 --> 00:09.080 Ja, hallo, ich begrüße euch zur heutigen Vorlesung. 00:09.200 --> 00:14.640 Wir haben das letzte Mal das Thema Repräsentationen von Positionen und 00:14.640 --> 00:19.500 oder Translationen, Rotationen abgeschlossen und wir haben gesehen, 00:19.760 --> 00:24.300 dass wir hier, dass wir dort unterschiedliche Möglichkeiten haben, mit 00:24.300 --> 00:27.860 denen wir Rotationen, Translationen beschreiben, angefangen mit 00:27.860 --> 00:32.280 Rotationsmatrizen, Translationsvektoren bis hin zu homogenen Matrizen, 00:33.280 --> 00:38.160 auch die unterschiedlichen Varianten für die Beschreibung von 00:38.160 --> 00:43.040 Rotationen, zum Beispiel mithilfe von Euler-Winkeln oder Rolle-Pitch 00:43.040 --> 00:43.800 -IO -Winkeln. 00:44.780 --> 00:49.240 Dann ganz zum Schluss haben wir Quaternionen kennengelernt, mit denen 00:49.240 --> 00:57.780 wir sorgenlos Orientierungen interpolieren können, aber keine 00:57.780 --> 01:00.840 Berücksichtigung von Translationen machen. 01:01.280 --> 01:04.660 Und dann haben wir ganz, ganz zum Schluss gesehen, dass wir mithilfe 01:04.660 --> 01:10.200 von dualen Quaternionen sowohl Rotationen als auch Translationen 01:10.200 --> 01:11.180 beschreiben können. 01:11.320 --> 01:17.620 Das werden wir nächste Woche natürlich in den Übungen vertiefen, das 01:17.620 --> 01:19.960 ganze Material, was wir bis jetzt kennengelernt haben. 01:20.900 --> 01:24.620 In der Vorlesung gehen wir heute zu einem anderen Thema, und zwar 01:24.620 --> 01:27.180 Kinematik, das Kapitel Kinematik. 01:27.440 --> 01:31.440 Und wenn wir über Robotermodelle immer reden, dann haben wir es immer 01:31.440 --> 01:35.060 mit drei, die wichtigsten Modelle, zu tun. 01:35.220 --> 01:40.300 Einmal ein sogenanntes kinematisches Modell, ein dynamisches Modell 01:40.300 --> 01:42.340 und ein geometrisches Modell. 01:43.380 --> 01:47.740 Und die kinematische Modellierung beziehungsweise die Kinematik, die 01:47.740 --> 01:54.660 beschreibt für uns die geometrischen und analytischen Beziehungen der 01:54.660 --> 01:58.720 Bewegungszustände von einem mechanischen System, also von einem 01:58.720 --> 02:00.000 Roboter in unserem Fall. 02:01.600 --> 02:06.180 Also das ist ja die Leere der geometrischen, analytischen Beschreibung 02:06.180 --> 02:08.800 von Bewegungszuständen, also von Bewegung. 02:09.400 --> 02:16.280 Die Dynamik ist die Leere der Untersuchung von Kräften und Momenten, 02:16.360 --> 02:19.840 die bei Bewegungen von Mehrkörpersystemen auftreten. 02:20.280 --> 02:23.700 Und die geometrischen Modelle, das ist die mathematische Beschreibung 02:23.700 --> 02:29.380 der Form von Körpern, also wie ein Roboter aufgebaut ist, wie groß 02:29.380 --> 02:32.940 sind oder wie breit und tief sind die einzelnen Elemente. 02:33.440 --> 02:36.720 Das ist natürlich eine ganz wichtige Sache, die man auf der einen 02:36.720 --> 02:41.600 Seite für Visualisierung beispielsweise in Simulationen benötigt, auf 02:41.600 --> 02:44.660 der anderen Seite, um zu wissen, ob die Gelenke miteinander 02:44.660 --> 02:48.420 kollidieren, wenn der Arm sich bewegt, beziehungsweise wo sind die 02:48.420 --> 02:53.580 Gelenkgrenzen bei einer bestimmten Bewegung, denn das sind ja nicht 02:53.580 --> 02:57.700 nur, die Armsegmente sind nicht nur Linien, sondern die haben ja eine 02:57.700 --> 03:01.960 gewisse physikalische Ausdehnung, die natürlich durch die geometrische 03:01.960 --> 03:03.300 Modellierung berücksichtigt wird. 03:03.980 --> 03:07.480 Und als erstes wollen wir mit der kinematischen Modellierung anfangen, 03:07.640 --> 03:11.400 das heißt, wir wollen sehen, wie kinematische Modelle von Robotern, 03:11.520 --> 03:13.480 speziell Manipulatoren, aussehen. 03:13.940 --> 03:18.180 Das ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, das heißt, das Gleiche 03:18.180 --> 03:21.960 ist einsetzbar, um zum Beispiel die Kinematik von einem mobilen 03:21.960 --> 03:24.980 Roboter, also von einem Fahrzeug zu beschreiben. 03:25.860 --> 03:31.920 Und wir wollen natürlich darauf eingehen, wie wir die Lage von dem 03:31.920 --> 03:33.840 Endeffektor im Raum beschreiben können. 03:34.180 --> 03:37.800 Und dazu müssen wir natürlich auch wissen, wie wir die Lage der 03:37.800 --> 03:40.900 einzelnen Gelenke zueinander innerhalb einer kinematischen Kette 03:40.900 --> 03:42.080 stehen. 03:42.220 --> 03:46.020 Und dazu natürlich das Ganze, was wir gelernt haben in den bisherigen 03:46.020 --> 03:49.300 Vorlesungen, Translationen, Rotationen und Ähnliches. 03:49.760 --> 03:54.580 Und da werden wir hier auf eine neue Konvention eingehen, die speziell 03:54.580 --> 04:00.060 für die Beschreibung von Transformationen zwischen Gelenken eines 04:00.060 --> 04:04.560 Roboter -Arms entwickelt wurde, die sogenannte Deneveth-Hartenberg 04:04.560 --> 04:09.920 -Notation, und dann auf zwei wesentliche Probleme der Kinematik, das 04:09.920 --> 04:12.940 direkte und das inverse kinematische Problem. 04:13.400 --> 04:16.840 Und wir werden sehen, welche Lösungsmöglichkeiten hier für diese, also 04:16.840 --> 04:19.840 zunächst mal, was diese Probleme bedeuten und welche 04:19.840 --> 04:23.300 Lösungsmöglichkeiten es hierzu gibt. 04:24.200 --> 04:33.600 Und weitere vertiefen die Aspekte, zum Beispiel Singularität von einem 04:33.600 --> 04:37.340 Roboter -Arm, die Manipulierbarkeit von einem Roboter-Arm, 04:37.540 --> 04:41.360 beziehungsweise wie man die Erreichbarkeit von einem Roboter-Arm oder 04:41.360 --> 04:43.460 von einem Roboter beschreiben kann. 04:44.340 --> 04:47.060 Genau, und wir fangen heute mit einem kinematischen Modell. 04:47.160 --> 04:51.600 Und wir wissen ja, aus der letzten Vorlesung, dass so ein 04:51.600 --> 04:56.360 kinematisches Modell von etwas, was sich bewegt, mithilfe von einem 04:56.360 --> 04:58.200 Graphen dargestellt werden kann. 04:58.320 --> 05:01.880 Das ist hier das kinematische Modell von einem Menschen, zum Beispiel, 05:02.480 --> 05:04.820 mit mehreren Freiheitsgraden, wie wir sehen. 05:05.440 --> 05:09.600 Und die Kinematik beschreibt für uns die Bewegungszustände von diesen 05:09.600 --> 05:10.720 Systemen. 05:10.980 --> 05:16.040 Also, wie bewegt sich tatsächlich dieses Modell, wenn natürlich die 05:16.040 --> 05:18.800 jeweiligen Gelenke sich verändern? 05:19.220 --> 05:21.040 Und das ist, was wir hier betrachten. 05:21.220 --> 05:25.780 Wie man sieht, nicht nur limitiert auf Robotik, sondern auch die 05:25.780 --> 05:28.440 kinematische Beschreibung von Bewegungen des Menschen. 05:29.760 --> 05:34.620 Und wenn wir das hier mal betrachten und daran denken, dass wir einen 05:34.620 --> 05:38.100 Roboter haben wollen, der zum Beispiel Objekte manipuliert oder mit 05:38.100 --> 05:42.960 seinem Arm zur Kante vom Tisch hier fahren kann oder seinen Arm zur 05:42.960 --> 05:48.920 Kante des Tisches bringen soll, dann müssen wir eigentlich ganz 05:48.920 --> 05:53.320 logisch, wenn ihr mal eure Arme bewegt und versucht, mal eine 05:53.320 --> 05:57.540 bestimmte Position im Raum zu erreichen, dann gibt es immer, um diese 05:57.540 --> 06:01.440 Position zu erreichen, bestimmte Gelenkwinkelstellungen von eurem Arm, 06:01.560 --> 06:05.140 die angenommen werden müssen, damit diese Zielposition erreicht werden 06:05.140 --> 06:05.460 kann. 06:06.200 --> 06:10.060 Und wenn man das Ganze hier beschreiben will, das heißt, diese 06:10.060 --> 06:11.800 Bewegungszustände bzw. 06:12.120 --> 06:16.840 die Erhänglichkeiten von Gelenkwinkeln eines Roboterarms und wo der 06:16.840 --> 06:22.560 Endeffektor, also die Hand, im Arbeitsraum sein soll, dann hat man es 06:22.560 --> 06:24.740 eigentlich mit zwei Räumen immer zu tun. 06:25.640 --> 06:29.640 Einmal ein Raum, was wir Gelenkwinkelraum nennen wollen bzw. 06:31.160 --> 06:35.080 Konfigurationsraum, im Englischen auch Configuration Space und deshalb 06:35.080 --> 06:37.580 wird es oft mit C bezeichnet. 06:38.180 --> 06:42.520 Und das ist der Raum der Gelenkwinkel von diesem Roboter. 06:42.660 --> 06:48.780 Das heißt, wenn wir hier den Arm von Arma 3 haben, der hat sieben 06:48.780 --> 06:49.740 Freiheitsgrade. 06:51.760 --> 07:06.060 Das heißt, wir haben Gelenkwinkelvektoren aus R7 und das ist nichts 07:06.060 --> 07:08.620 anderes als unser Gelenkwinkelraum. 07:08.800 --> 07:10.960 Das heißt, der Gelenkwinkelraum bzw. 07:11.560 --> 07:16.800 der Konfigurationsraum hier ist ein Unterraum von R7. 07:18.280 --> 07:21.720 So, und das sind die unterschiedlichen Gelenke, also z.B. 07:21.980 --> 07:24.440 das ist hier Ellenbogengelenk, 07:28.170 --> 07:30.270 das ist hier Ellenbogengelenk, 07:38.800 --> 07:45.140 das ist hier, also das ist Theta 4 z.B., das ist hier die Drehung um 07:45.140 --> 07:48.000 den Unterarm, das ist Theta 5 usw. 07:48.160 --> 07:48.440 usf. 07:48.760 --> 07:53.560 Hier ist beispielsweise Theta 1, also wie das Gelenk sich hier in der 07:53.560 --> 07:55.060 Schulter dreht usw. 07:55.200 --> 07:55.500 usf. 07:56.220 --> 08:00.280 Und damit wir mit diesem Arm irgendwo hinkommen, z.B. 08:00.500 --> 08:03.760 an den Tisch, wie man sieht hier, das ist der Arbeitsraum, also wo der 08:03.760 --> 08:06.260 Roboter seine Aufgaben verrichten soll, z.B. 08:06.500 --> 08:09.520 die Küche hier, auf diesem Tisch irgendwelche Objekte manipulieren. 08:10.080 --> 08:13.780 Das ist der karthesische Raum, den wir kennen, wo wir Objekte mithilfe 08:13.780 --> 08:18.760 von drei Parameter für die Position und drei Orientierungen 08:18.760 --> 08:21.760 beschreiben können mit all den Werkzeugen, die wir bis jetzt 08:21.760 --> 08:22.580 kennengelernt haben. 08:23.460 --> 08:28.620 So, das heißt, hier haben wir unser Koordinatensystem, sei es jetzt z 08:28.620 --> 08:29.680 .B. 08:29.860 --> 08:35.740 in dieser Ecke hier, x-Weltkoordinatensystem, y-Weltkoordinatensystem 08:35.740 --> 08:39.020 und z-Weltkoordinatensystem. 08:39.680 --> 08:44.140 Und wir haben es immer bei Bewegungen von den Armen, also um die 08:44.620 --> 08:46.900 Bewegungszustände zu beschreiben, um z.B. 08:47.160 --> 08:51.020 an einer Taste zu kommen, müssen wir gucken eigentlich, wie sieht die 08:51.020 --> 08:53.200 Abbildung hier in diese Richtung aus. 08:53.840 --> 08:59.800 Das heißt, auf der einen Seite, wenn meine Gelenkwinkelstellungen 90, 09:00.020 --> 09:07.560 45, 90 und 13 sind, wo steht eigentlich der Endeffektor im 09:07.560 --> 09:08.360 karthesischen Raum? 09:08.600 --> 09:11.560 Also, wo komme ich hin auf diesem Tisch? 09:11.960 --> 09:15.600 Das ist die eine Richtung, also wir haben die Gelenkwinkel und aus den 09:15.600 --> 09:20.560 Gelenkwinkeln von dem Arm wollen wir wissen, wo steht der Endeffektor. 09:20.560 --> 09:26.680 Natürlich, wenn wir eine Tasse greifen wollen, oder eine Flasche 09:26.680 --> 09:31.980 greifen wollen, was auf diesem Tisch steht hier, dann bekommen wir 09:31.980 --> 09:36.740 normalerweise die Position dieser Tasse mithilfe von einer Sensorik. 09:36.960 --> 09:40.620 Das heißt, wir bekommen die Position von dieser Tasse beispielsweise 09:40.620 --> 09:47.120 im Weltkoordinatensystem und wir müssen aus dieser xyz-Alphabet der 09:47.120 --> 09:52.820 Gamma der Flasche, müssen wir wissen, welche Gelenkwinkel des Armes 09:52.820 --> 09:55.900 müssen wir einstellen, damit wir dorthin gelangen können. 09:56.120 --> 10:00.200 Das heißt, wir haben eigentlich eine Transformation in die 10:00.200 --> 10:01.400 entgegengesetzte Richtung. 10:02.660 --> 10:09.540 Und das zentrale Thema von diesem Kapitel Kinematik beschäftigt sich 10:09.540 --> 10:12.620 eigentlich mit diesen zwei Abbildungsvorschriften. 10:12.620 --> 10:18.980 Einmal die Abbildungsvorschrift vom Konfigurationsraum in den 10:18.980 --> 10:19.820 Arbeitsraum. 10:20.520 --> 10:24.120 Das nennen wir auch, werden wir gleich sehen, die Vorwärtskinematik. 10:24.700 --> 10:28.560 Und zum Zweiten die Abbildungsvorschrift vom Arbeitsraum in den 10:28.560 --> 10:29.760 Konfigurationsraum. 10:30.420 --> 10:33.680 Und das ist ein Problem, was man in der Literatur die Inverse 10:33.680 --> 10:34.720 Kinematik nennt. 10:34.840 --> 10:38.380 Und wir wollen in diesem Kapitel hier sehen, wie diese zwei Probleme 10:38.380 --> 10:40.280 zu bewältigen sind. 10:40.720 --> 10:46.580 Denn ohne sie kann man keine Steuerung für diesen Arm realisieren, um 10:46.580 --> 10:50.700 bestimmte Objekte zu manipulieren oder andere Aufgaben zu machen. 10:51.420 --> 10:55.600 So, das heißt, das kinematische Modell eines Roboters beschreibt die 10:55.600 --> 10:58.960 Zusammenhänge zwischen diesen zwei Räumen. 10:59.220 --> 11:03.300 Einmal den Gelenkwinkelraum oder Konfigurationsraum oder Configuration 11:03.300 --> 11:07.880 Space auf Englisch und dem Posenraum des Endeffektors im 11:07.880 --> 11:09.140 Weltkoordinatensystem. 11:09.320 --> 11:14.040 Man bezeichnet das als Workspace beziehungsweise auch als Arbeitsraum. 11:15.020 --> 11:16.320 Warum brauchen wir das? 11:16.640 --> 11:19.800 Wie ich bereits erklärt habe, wir müssen diese Zusammenhänge 11:19.800 --> 11:22.900 verstehen, damit wir zum Beispiel Greifen manipulieren entlang 11:22.900 --> 11:27.100 bestimmter Trajektorien oder bestimmte Trajektoren abfahren können, 11:27.200 --> 11:31.200 zum Beispiel, um was zu reinigen oder zu schweißen oder Ähnliches. 11:32.080 --> 11:36.180 Es ist auch sehr wichtig, dass wir diese Beziehungen kennen, damit wir 11:36.180 --> 11:38.040 eine Erreichbarkeitsanalyse machen. 11:38.400 --> 11:42.540 Ja, also das heißt, wenn ich jetzt stationär einen Arm hier, wenn ich 11:42.540 --> 11:49.320 einen Roboterarm entwerfen will, der stationär hier auf diesem Tisch 11:49.320 --> 11:54.180 ist und er soll Objekte dort manipulieren, dann kann ich natürlich 11:54.180 --> 11:58.040 anhand von diesen Beziehungen oder diesen Analysen wissen, sind 11:58.040 --> 12:03.320 überhaupt diese Objekte, die mich interessieren, erreichbar mit dem 12:03.320 --> 12:03.600 Arm. 12:03.780 --> 12:06.840 Und zwar nicht nur erreichbar einfach, dass ich sie antasten kann, 12:06.900 --> 12:10.580 sondern vielleicht erreichbar in unterschiedlichen Orientierungen von 12:10.580 --> 12:11.640 unterschiedlichen Seiten. 12:12.320 --> 12:15.440 Deshalb diese Analysen oder dieses kinematische Modell ist sehr 12:15.440 --> 12:15.720 wichtig. 12:16.420 --> 12:21.500 Dann natürlich die Beziehungen zwischen Teilen des Körpers des 12:21.500 --> 12:25.740 Roboters, um selbst Kollisionen auch zu identifizieren und 12:25.740 --> 12:26.540 auszuschließen. 12:27.060 --> 12:31.060 Und außerdem auch, wenn wir wissen, wo der Endeffektor ist bzw. 12:31.380 --> 12:35.480 wie die ganze kinematische Kette sich bewegt bei einer bestimmten 12:35.480 --> 12:39.160 Gelenkwinkelstellung, ja, dann wissen wir, ob das jetzt zu einer 12:39.160 --> 12:41.300 Kollision mit der Umgebung kommt oder nicht. 12:41.760 --> 12:45.780 Das heißt, das ist ganz zentral, wie ich erwähnt habe, um die 12:45.780 --> 12:50.360 Steuerung von einem Roboterarm zu realisieren. 12:51.200 --> 12:55.460 So, und die zwei Probleme, die ich erwähnt habe, sind auf der einen 12:55.460 --> 12:58.360 Seite das Problem der Vorwärtskinematik. 12:58.560 --> 13:02.680 Das heißt, ich kenne alle meine Gelenkwinkel oder der Roboter kennt 13:02.680 --> 13:04.000 alle seine Gelenkwinkel. 13:04.180 --> 13:05.260 Das ist hier der Arma 6. 13:05.860 --> 13:09.300 Der hat acht Gelenke, also acht DOF-Arme. 13:09.960 --> 13:12.460 Und alle diese Gelenkwinkel kennen wir. 13:12.920 --> 13:15.720 Und die Frage ist eigentlich, wo ist jetzt der Endeffektor? 13:16.320 --> 13:19.320 Das heißt, ich habe einen achtdimensionalen Vektor der Gelenkwinkel 13:19.320 --> 13:24.420 und mit diesem Gelenkwinkel will ich wissen, wo ist jetzt die Hand? 13:28.230 --> 13:34.230 So, also Eingabe, Gelenkwinkelstellungen des Roboters und woher 13:34.230 --> 13:34.970 kriegen wir sie? 13:35.750 --> 13:40.410 Zum Beispiel aus den Sensoren, die in den einzelnen Gelenken vorhanden 13:40.410 --> 13:44.050 sind und die Gelenkwinkelpositionen messen. 13:44.930 --> 13:45.910 Gelenkwinkelsensoren also. 13:46.550 --> 13:51.210 Die Ausgabe ist die Pose des Endeffektors und wir sind uns ein oder 13:51.210 --> 13:55.050 wir haben uns darauf geeinigt, dass mit der Pose meinen wir immer die 13:55.050 --> 13:58.050 Position und Orientierung des Endeffektors. 13:58.130 --> 14:02.510 Zum Beispiel im Basiskoordinatensystem des Armes oder in einem 14:02.510 --> 14:03.650 Weltkoordinatensystem. 14:04.690 --> 14:08.750 Das zweite Problem, also die andere Richtung, wir kriegen die Position 14:08.750 --> 14:13.250 von dieser Sprühflasche beispielsweise oder von dieser Box hier aus 14:13.250 --> 14:18.950 der Bildverarbeitung als einen sechssimensionalen Vektor, also XYZ 14:18.950 --> 14:23.270 -Alphabeta -Gamma und wir müssen die Gelenkwinkel hier berechnen, so 14:23.270 --> 14:27.730 dass wir hier zu diesem Zielobjekt zum Beispiel diese Tüte hier mit 14:27.730 --> 14:38.990 den Schrauben oder diesen Sachen, mit denen man befestigen kann. 14:39.110 --> 14:40.730 Mir fällt Dynamik gerade nicht ein. 14:41.110 --> 14:44.170 Das heißt, wir wollen das hier greifen, das ist die Pose, wo der 14:44.170 --> 14:48.170 Endeffektor hin muss, damit wir das greifen und wir müssen von der 14:48.170 --> 14:54.030 vorigen Position hier die Gelenkwinkel so einstellen, dass wir hier zu 14:54.030 --> 14:57.750 dieser Position oder Zielposition des Endeffektors kommen. 14:57.950 --> 15:03.590 Also das heißt, die Eingabe ist die Zielposition vom Endeffektor und 15:03.590 --> 15:08.110 die Ausgabe bei diesem Problem sollen ja die Gelenkwinkelstellungen, 15:08.370 --> 15:12.890 die man letztendlich zu einem Regler auf der untersten Ebene der 15:12.890 --> 15:18.650 Steuerung schickt, der dann diese Gelenkwinkelstellungen abfährt. 15:19.710 --> 15:22.850 Das heißt, wenn man das hier jetzt ein bisschen mathematisch 15:22.850 --> 15:26.330 beschreiben will, dann haben wir einen Gelenkwinkelraum bzw. 15:26.610 --> 15:30.770 den Konfigurationsraum, den wollen wir immer 10 nennen und im 15:30.770 --> 15:34.390 Allgemeinen haben wir n Gelenkwinkel bei einem Roboter, deshalb ist 15:34.390 --> 15:37.890 dieser Raum eine Untermengung von R hoch n. 15:38.930 --> 15:43.610 Und auf der anderen Seite haben wir einen Arbeitsraum, im Allgemeinen 15:43.610 --> 15:47.670 einen m-dimensionalen Arbeitsraum, zum Beispiel wenn wir hier in der 15:47.670 --> 15:52.030 Umgebung operieren, dann ist das ein sechstimensionaler Arbeitsraum, 15:52.310 --> 15:56.830 wo alle Elemente aus diesem Arbeitsraum durch x, y, z, Alpha, Beta, 15:56.970 --> 15:59.890 Gamma, also drei Positionen, drei Orientierungen beschrieben sind, 16:00.330 --> 16:03.350 natürlich mit den unterschiedlichen Varianten der Darstellung der 16:03.350 --> 16:05.310 Orientierung, die wir auch kennengelernt haben. 16:06.070 --> 16:10.890 Und die direkte Kinematik ist nichts anderes als eine Transformation 16:10.890 --> 16:16.450 f, die diese gegebenen Gelenkwinkelstellungen, die wir messen mithilfe 16:16.450 --> 16:22.350 von Gelenkwinkelsensoren, in den, auf eine Position des Interfaktors 16:22.350 --> 16:27.050 im Arbeitsraum, während die Inverse-Kinematik ist genau die Inverse 16:27.050 --> 16:27.610 -Funktion. 16:28.250 --> 16:32.110 Das heißt, gegeben ist die Position von dem Zielobjekt, das wir 16:32.110 --> 16:36.990 greifen wollen, wir suchen die Inverse-Funktion von f, die uns die 16:36.990 --> 16:38.710 Gelenkwinkel rechnet. 16:38.890 --> 16:42.550 Und ihr könnt euch vorstellen, dass es keine triviale Aufgabe ist, 16:42.670 --> 16:45.730 diese Inverse-Funktion immer so explizit anzugeben. 16:46.210 --> 16:49.510 Also, wenn ich jetzt einen zweidimensionalen Roboter habe, der auf dem 16:49.510 --> 16:53.470 Tisch nur arbeitet, dann kann man natürlich so diese Inverse-Funktion 16:53.470 --> 16:58.330 f -1 bestimmen, aber im Allgemeinen für dreidimensionale Roboter ist 16:58.330 --> 17:03.810 es sehr schwierig, gerade redundante Roboterarmee, also Roboterarmee, 17:03.870 --> 17:10.730 die mehr als m Freiheitsgrade haben, also wenn n größer als m ist, 17:11.150 --> 17:15.270 dann ist die Angabe von so einer Inverse-Funktion sehr schwierig. 17:16.010 --> 17:18.650 So, die Frage ist, wie lösen wir das Problem? 17:18.870 --> 17:23.550 Wir wollen uns hier auch darauf einigen, dass n die Anzahl der 17:23.550 --> 17:28.470 Bewegungsfreiheitsgrade des Roboter ist, also die Degrees of Freedom 17:28.470 --> 17:33.230 von dem Mechanismus, von der kinematischen Kette, und m die 17:33.230 --> 17:40.050 Freiheitsgrade, die notwendig sind, um Positionen im Arbeitsraum zu 17:40.050 --> 17:40.550 beschreiben. 17:40.910 --> 17:43.830 Wenn wir in diesem dreidimensionalen Raum arbeiten, der Roboter 17:43.830 --> 17:47.290 arbeiten sollte, dann ist m gleich 6, wie ich bereits erwähnt habe, 17:47.850 --> 17:51.390 aber wenn der Roboter nur auf dem Tisch hier was manipulieren soll, 17:51.510 --> 17:56.510 dann ist natürlich m gleich 3, weil ich beschreibe jede Lage von dem 17:56.510 --> 18:01.690 Endeffektor mithilfe von drei Parametern, die Position x, y und dann 18:01.690 --> 18:04.050 die Orientierung von dem Endeffektor auf dem Tisch. 18:04.430 --> 18:06.770 Also dann ist m in dem Fall 3. 18:08.010 --> 18:14.430 So, das ist, was wir hier machen wollen und wir haben das letzte Mal 18:14.430 --> 18:18.150 gesehen, wir haben ja kinematische Ketten und diese kinematischen 18:18.150 --> 18:23.750 Ketten können wir auch mithilfe von Graphen beschreiben. 18:24.410 --> 18:26.890 Ganz wichtig hier, wir haben immer ein Roboter-Basis 18:26.890 --> 18:34.750 -Koordinatensystem, auf das sich alle Berechnungen beziehen, wenn es 18:34.750 --> 18:39.170 um die Inversikinematik des Armes geht, aber es kann sein, dass es um 18:39.170 --> 18:42.390 die Inversikinematik des ganzen Körpers geht, dann muss man natürlich 18:42.390 --> 18:45.510 ein passendes Koordinatensystem wählen. 18:46.030 --> 18:49.150 Wir haben mehrere Gelenke bei einer kinematischen Kette und die 18:49.150 --> 18:50.990 Segmente, Oberarm bzw. 18:51.410 --> 18:55.450 Unterarm und wir haben den Endeffektor, das ist die Hand, egal ob das 18:55.450 --> 19:00.070 jetzt eine fünffingerige, humanoide Hand oder ein Backengreifer ist, 19:00.510 --> 19:02.730 wir wollen das immer als Endeffektor bezeichnen. 19:03.550 --> 19:08.250 Und eine kinematische Kette, also wird von mehreren Körpern gebildet, 19:08.410 --> 19:12.170 die durch Gelenke kinematisch miteinander verbunden und da sieht man 19:12.170 --> 19:15.530 hier zwei Typen von diesen kinematischen Ketten. 19:16.070 --> 19:20.590 Das, was wir jetzt gesehen haben bei Arma 3, das ist eine offene 19:20.590 --> 19:23.890 kinematische Kette, die in der Schulter anfängt und beim Endeffektor 19:23.890 --> 19:24.370 endet. 19:24.790 --> 19:27.550 Aber es gibt auch solche geschlossenen kinematischen Ketten. 19:28.010 --> 19:31.950 Und das sind alle serielle Kinematiken, das heißt die Gelenke, die 19:31.950 --> 19:32.950 kommen nacheinander. 19:33.090 --> 19:36.830 Es gibt aber parallele Kinematiken, also zum Beispiel Steward 19:36.830 --> 19:42.490 -Plattformen, wo man jetzt mehrere Beine mal irgendwie ansteuern soll, 19:42.490 --> 19:46.450 damit man die Orientierung von der Plattform, also das ist ja sehr 19:46.450 --> 19:51.870 häufig, wird das bei Spielen oder in Simulatoren eingesetzt. 19:52.090 --> 19:53.610 Das sind parallele kinematische Ketten. 19:53.810 --> 19:59.070 Aber wir betrachten hier nur serielle, meistens offene kinematische 19:59.070 --> 20:02.150 Ketten, aber es gibt auch geschlossene kinematische Ketten. 20:02.830 --> 20:06.790 Und auch bei seriellen kinematischen Ketten, wie zum Beispiel zwei 20:06.790 --> 20:11.210 Arme von einem humanoiden Roboter, die sind zwei serielle kinematische 20:11.210 --> 20:15.010 Ketten, natürlich verbunden über den Körper, aber wenn sie ein Objekt 20:15.010 --> 20:20.090 greifen, wenn beide Arme ein Objekt greifen, dann habe ich eine 20:20.090 --> 20:23.310 geschlossene kinematische Kette und man kann sich vorstellen, dass ich 20:23.310 --> 20:27.090 jetzt auch die Position und Orientierung von diesem Objekt, was ich 20:27.090 --> 20:31.150 mit beiden Händen halte, variieren kann durch unterschiedliche 20:31.150 --> 20:33.030 Gelenkwinkelkonfigurationen. 20:33.130 --> 20:36.330 Das heißt, das Problem der inversen Kinematik muss man auch in solchen 20:36.330 --> 20:41.050 Situationen lösen, werden wir hier aber nicht machen. 20:41.730 --> 20:44.870 So, ganz kurz zu Konventionen. 20:46.010 --> 20:49.570 Armelemente entsprechen immer starren Körpern. 20:50.030 --> 20:53.290 Jedes Armelement ist mit dem nächsten durch ein Gelenk verbunden. 20:54.690 --> 21:00.910 Wir wollen Rotationsgelenke und Translationsgelenke betrachten, bei 21:00.910 --> 21:05.590 Schub - oder Translationsgelenken und Rotationsgelenken hat jedes 21:05.590 --> 21:09.870 Gelenk nur einen Bewegungsfreiheitsgrad, also nicht wie bei der 21:09.870 --> 21:14.730 Schulter im menschlichen Arm, die drei Freiheitsgrade hat, wo wir um 21:14.730 --> 21:16.550 diese unterschiedlichen Achsen drehen. 21:18.110 --> 21:21.730 Und die kinematischen Parameter für diese kinematische Kette sind 21:21.730 --> 21:26.190 einmal natürlich Parameter, die die Gelenke definieren, zum Beispiel, 21:26.550 --> 21:32.290 wo liegt die Rotationsachse der Schulter in einem 21:33.090 --> 21:35.270 Bezugskoordinatensystem oder relativ zu einem anderen 21:35.270 --> 21:38.790 Koordinatensystem, wo liegt die Rotationsachse vom Ellenbogen 21:38.790 --> 21:40.630 bezüglich Schulter und ähnliches. 21:41.230 --> 21:45.750 Und zum Zweiten natürlich nicht die Lage von den Gelenken, sondern die 21:45.750 --> 21:49.570 Transformationen zwischen den unterschiedlichen Gelenken. 21:49.750 --> 21:54.630 Also wie bewegt sich zum Beispiel der Unterarm relativ zum Oberarm und 21:54.630 --> 21:55.450 so weiter und so fort. 21:55.570 --> 21:58.770 Es ist nicht nur diese Flexionsbewegung, sondern auch diese 21:58.770 --> 22:01.490 Unterarmdrehung zum Beispiel beim menschlichen Arm. 22:02.090 --> 22:04.850 Und das sind Beispiele, die wir gesehen haben in der Vorlesung. 22:05.410 --> 22:09.370 Und die Gelenkparameter, wie ich bereits erwähnt habe, bei 22:09.370 --> 22:12.690 Rotationsgelenken ist das immer die Rotationsachse, bei 22:12.690 --> 22:16.470 Translationsgelenken ist das natürlich die Translationsrichtung. 22:16.610 --> 22:21.570 Also man könnte sich vorstellen, ein Roboter wie der Arma 6 zum 22:21.570 --> 22:24.730 Beispiel, der auch eine translatorische Achse, die hoch und runter 22:24.730 --> 22:28.810 geht, das ist wiederum etwas, was man auch berücksichtigen muss, weil 22:28.810 --> 22:31.970 je nachdem, wie diese Achse sich bewegt, habe ich eine andere Position 22:31.970 --> 22:32.870 vom Endeffektor. 22:33.670 --> 22:37.630 Und ganz wichtig für die Beschreibung von der Kinematik ist die 22:37.630 --> 22:39.990 Spezifikation der Lage der Gelenke zueinander. 22:40.690 --> 22:45.570 Das heißt, da wir ja von starren Körpern ausgehen, haben wir feste 22:45.570 --> 22:47.690 Transformationen zwischen zwei Gelenken. 22:49.090 --> 22:53.470 Diese Spezifikation muss die lokalen Koordinatensysteme der Gelenke 22:53.470 --> 22:54.050 beschreiben. 22:54.150 --> 22:59.090 Da sieht man hier die Koordinatensysteme von dem Arm, von Arma 6. 22:59.470 --> 23:02.970 Also das ist das erste Gelenk mit diesem Koordinatensystem und drei 23:02.970 --> 23:07.210 Gelenke hier in der Schulter, dann zwei Gelenke im Ellenbogen und dann 23:07.210 --> 23:11.250 weitere zwei im Handgelenk. 23:11.850 --> 23:15.150 Aber auch, wie man sieht, das Kinematische Modell der Hand. 23:16.890 --> 23:21.190 So, und was ganz wichtig ist, sind natürlich diese Transformationen 23:21.190 --> 23:24.590 zwischen den aufeinanderfolgenden Gelenken. 23:24.710 --> 23:25.210 Also z.B. 23:25.410 --> 23:30.210 vom Gelenk 1 zu Gelenk 2, vom Gelenk 2 zu 3 hier. 23:31.970 --> 23:33.330 Also das ist z.B. 23:33.490 --> 23:35.370 vom Gelenk 1 zu Gelenk 2. 23:35.990 --> 23:40.470 Dann haben wir hier vielleicht von Gelenk, weil das sind hier drei, 23:40.610 --> 23:47.070 dann wäre das hier von Gelenk 4 zu Gelenk 5 und so weiter und so fort. 23:47.470 --> 23:52.310 Und diese Transformationen suchen wir eigentlich, damit wir überhaupt 23:52.310 --> 23:56.550 diese zwei Probleme, die Vorwärts- und Inversikinematik lösen können. 23:57.730 --> 24:02.650 Und um das machen zu können, wissen wir, dass wir hier drei 24:02.650 --> 24:07.450 Rotationsparameter brauchen, also diese Transformationen werden mit 24:07.450 --> 24:12.870 drei Rotationsparameter und drei Translationsparameter beschrieben. 24:13.450 --> 24:16.690 Das heißt, für jede solche Transformation brauchen wir die sechs 24:16.690 --> 24:20.530 Parameter, die wir kennen, zwischen zwei Koordinatensystemen, wie wir 24:20.530 --> 24:24.310 im letzten Kapitel kennengelernt haben. 24:24.870 --> 24:29.570 Und auf der Suche nach effizienteren Methoden, also wenn wir jetzt 24:29.570 --> 24:30.070 hier z.B. 24:30.250 --> 24:34.090 acht Gelenke haben und sechs Parameter für jede Transformation 24:34.090 --> 24:38.250 zwischen den Gelenken, dann haben wir 48 Parameter, die diese 24:38.250 --> 24:39.510 Kinematik beschreiben. 24:39.670 --> 24:43.470 Und deshalb hat man sich nicht nur in der Robotik, sondern auch in der 24:43.470 --> 24:46.390 Mechanik mit der Frage beschäftigt, gibt es eigentlich 24:46.390 --> 24:50.910 Repräsentationen oder Wege, mit denen man diese Beziehungen zwischen 24:50.910 --> 24:54.370 aufeinanderfolgenden Gelenken in einem Mechanismus mit weniger 24:54.370 --> 24:55.670 Parameter beschreiben kann. 24:56.970 --> 25:06.110 Und da hat Denevitt Hartenberg eine Konvention, wie man sieht hier, 25:06.570 --> 25:12.990 1955, Kinematic Notation for Lower Peer Mechanisms based on Matrices. 25:13.890 --> 25:18.050 Und das Ziel war, die Reduktion von diesen sechs Parametern, die wir 25:18.050 --> 25:22.830 zur Beschreibung von der Lage oder Beziehungen zwischen zwei Gelenken 25:22.830 --> 25:24.630 in einem Mechanismus zu reduzieren. 25:25.370 --> 25:29.350 Die Eigenschaft von dieser Konvention ist, die gibt uns einen 25:29.350 --> 25:33.550 systematischen Weg oder systematische Vorgehensweise, um diese 25:33.550 --> 25:36.710 Beziehungen zwischen zwei benachbarten Gelenken, wie man sieht hier, 25:36.750 --> 25:40.110 abzuleiten und reduziert die Anzahl der Parameter, die notwendig sind, 25:40.530 --> 25:44.870 um die Beziehungen zwischen Gelenk I-1 und I von 6, also drei 25:44.870 --> 25:47.350 Rotationen und drei Positionen, auf 4. 25:48.870 --> 25:53.270 Und die ganze Beschreibung, wie wir wissen, das letzte Mal haben wir 25:53.270 --> 26:01.850 gesehen, homogene Matrizen stellen eine Möglichkeit dar, mit der man 26:01.850 --> 26:07.670 Rotationen und Translationen einheitlich mithilfe von Matrix 26:07.670 --> 26:10.490 -Operationen beschreiben kann. 26:10.690 --> 26:15.590 Und diese Konvention, die basiert natürlich auf homogenen Matrizen. 26:16.210 --> 26:17.890 Wie sieht diese Konvention aus? 26:18.210 --> 26:22.490 Also, wir haben, die geht davon aus, dass wir zunächst mal 26:22.490 --> 26:28.750 Koordinatensysteme legen in den einzelnen Gelenken der kinematischen 26:28.750 --> 26:29.110 Kette. 26:29.890 --> 26:36.370 Und zwar, die Art und Weise, wie man diese Koordinatensysteme 26:36.370 --> 26:39.970 definiert, muss bestimmten Regeln folgen. 26:40.710 --> 26:48.010 Also einmal, die ZI-Axi liegt entlang der Bewegungs-Axi vom I-Gelenk. 26:48.510 --> 26:53.530 Also Z0 soll entlang der Bewegungs-Axi, also zum Beispiel der Dreh-Axi 26:53.530 --> 26:55.550 vom Gelenk I. 26:55.990 --> 27:02.810 Die XI-Axi, also die Axi XI vom Koordinatensystem im Gelenk I, 27:02.970 --> 27:11.130 verläuft entlang der gemeinsamen Normalen von ZI-1 und ZI. 27:11.890 --> 27:16.350 Und zeigt nicht zu ZI-1, sondern von ZI-1 weg. 27:16.550 --> 27:18.910 Also, wenn wir entlang der Normalen sind, dann haben wir zwei 27:18.910 --> 27:23.150 Richtungen und wir nehmen immer die Richtung, die von ZI-1 weg zeigt. 27:23.910 --> 27:30.970 Dann die Y-Axi, ja, in einem Gelenk, vervollständigt natürlich XI und 27:30.970 --> 27:33.630 ZI zu einem rechthändigen Koordinatensystem. 27:34.470 --> 27:38.750 Das heißt, diese Is hier, die wir haben, die sind einmal von 1 bis N 27:38.750 --> 27:40.030 plus die Basis. 27:40.230 --> 27:44.910 Wir müssen natürlich immer eine Basis, also ein Null definieren und 27:44.910 --> 27:49.810 mithilfe von diesen Koordinatensystemen, also Koordinatensystemen, die 27:49.810 --> 27:53.790 auf diese Art und Weise festgelegt werden, kann man die Parameter für 27:53.790 --> 27:57.190 die Arm-Elemente und für Arm-Segmente herleiten. 27:58.050 --> 28:01.450 Vorsicht an der Stelle, je nachdem, was für ein Buch man nimmt hier, 28:01.810 --> 28:04.670 also Robotikbuch, von den Büchern, die wir auch empfohlen haben, 28:05.210 --> 28:09.050 findet man unterschiedliche Variationen der DH-Parameter. 28:10.150 --> 28:13.850 Und wir verwenden hier in dieser Vorlesung eine modifizierte Variante, 28:14.630 --> 28:18.630 die aus dem Buch von Baldorn und Paul hier kommt. 28:18.850 --> 28:21.470 Aber es gibt andere Varianten, die sind auch korrekt. 28:22.510 --> 28:27.090 Das sind alle Tricks beziehungsweise Wege, mit denen man systematisch 28:27.090 --> 28:31.490 diese Beziehungen zwischen aufeinanderfolgenden Gelenken mit einer 28:31.490 --> 28:36.650 möglichst geringen Anzahl, alle mit 4, also mit 4 Parameter statt mit 28:36.650 --> 28:38.470 6 Parameter beschreiben kann. 28:39.570 --> 28:43.110 So, und nun wollen wir gucken, wie diese Parameter aussehen. 28:43.430 --> 28:47.710 Also wenn es 6 Parameter sind, dann ist es für uns klar, wie weit die 28:47.710 --> 28:50.790 einzelnen Gelenkzentren voneinander liegen und wie die 28:50.790 --> 28:54.150 Koordinatensysteme in den beiden Zentren zueinander verdreht sind. 28:54.510 --> 28:55.930 Das sind die 6 Parameter. 28:56.550 --> 29:01.370 Aber wir sehen die 4 hier, die die gleiche Information darstellen. 29:03.430 --> 29:05.610 Nun nehmen wir hier so ein Roboterarm. 29:05.730 --> 29:09.150 Das sind die Armelemente I-1, I und I-1. 29:09.750 --> 29:16.350 Und wie wir sehen, Gelenk I ist zwischen Armelement I-1 und Armelement 29:16.350 --> 29:16.630 I. 29:16.770 --> 29:20.490 Das heißt, jedes Armelement I ist durch zwei begrenzte Gelenke hier 29:20.490 --> 29:23.010 verbunden, das was wir annehmen. 29:23.830 --> 29:28.690 Und die erste Sache ist, wir legen die Z-Achsen durch die Gelenke. 29:29.070 --> 29:34.670 Das heißt, ZI-1 durch die Gelenkachse von Gelenk I und ZI durch die 29:34.670 --> 29:36.810 Gelenkachse von I-1. 29:38.830 --> 29:43.150 So, das Zweite war, dass wir eigentlich, wie man sieht, was wichtig 29:43.150 --> 29:46.970 ist für die Beschreibung der Kinematik, wie weit sind diese Achsen 29:46.970 --> 29:47.550 voneinander. 29:48.510 --> 29:50.410 Und das ist ein Parameter A. 29:51.470 --> 29:56.090 Und dieser Parameter A ist nichts anderes als der Abstand zwischen den 29:56.090 --> 30:04.230 ZI -1 und ZI-Achsen, also die gemeinsamen Normale auf diesen zwei 30:04.230 --> 30:05.250 Rotationsachsen. 30:05.830 --> 30:09.670 Und mithilfe von AI können wir eigentlich XI definieren. 30:09.670 --> 30:22.030 Das heißt, man sieht hier, XI ist entlang der Normalen auf ZI-1 und 30:22.030 --> 30:27.270 ZI, das ist die Normale, die wir vorher bestimmt haben, und zeigt von 30:27.270 --> 30:29.710 ZI -1 weg. 30:30.050 --> 30:33.910 Also XI ist nicht in diese Richtung, sondern in diese Richtung. 30:35.050 --> 30:41.730 So, und wenn wir natürlich das entsprechende Verhältnis hier kennen 30:41.730 --> 30:46.530 von Gelenk I-1, dann können wir XI-1 auch entsprechend machen. 30:46.890 --> 30:50.250 Also wir nehmen an, dass XI-1 jetzt in die Richtung hier zeigt. 30:51.370 --> 30:57.390 So, was haben wir noch, um diese zwei Gelenke, um diese Relation der 30:57.390 --> 31:02.150 zwei Gelenke zueinander zu bestimmen, müssen wir eigentlich wissen, 31:02.150 --> 31:08.290 wie ist Gelenk I verdreht, verdrillt, im Vergleich zu Gelenk I-1, 31:08.430 --> 31:08.590 oder? 31:08.730 --> 31:11.210 Das ist eigentlich, wenn wir das wissen, dann haben wir die 31:11.210 --> 31:11.850 Transformation. 31:15.630 --> 31:19.490 Und wenn man das Ganze hier mal betrachtet, dann sehen wir, dass 31:19.490 --> 31:24.370 eigentlich diese ZI-Achse und I-1-Achse schon schief zueinander 31:24.370 --> 31:28.110 liegen, und zwar um einen Winkel Alpha-I. 31:28.990 --> 31:35.990 Und dieser Winkel Alpha-I beschreibt den Winkel zwischen ZI-1 und ZI, 31:36.150 --> 31:43.370 und zwar wie weit muss ich ZI-1 drehen um die XI-Achse, damit ZI-1 in 31:43.370 --> 31:45.130 Übereinstimmung mit ZI kommt. 31:46.030 --> 31:51.390 Ja, also hier der Winkel Alpha, also wenn wir uns jetzt ZI-1 hier mal 31:51.390 --> 31:55.410 vorstellen, und wir drehen um die XI-Achse, dann drehen wir um einen 31:55.410 --> 32:00.330 Winkel Alpha, der ZI-1 in ZI überführt. 32:00.890 --> 32:05.430 So, nun kennen wir eigentlich den Abstand und kennen wir jetzt die 32:05.430 --> 32:07.810 Verdrehung der zwei zueinander. 32:08.030 --> 32:12.270 Was fehlt uns noch, um eindeutig die relative Beziehung zwischen den 32:12.270 --> 32:13.730 zwei Gelenken zu beschreiben? 32:16.960 --> 32:17.900 Fehlt noch was? 32:17.980 --> 32:18.120 Ja? 32:21.740 --> 32:26.020 Ich habe dich nicht gehört, aber es fehlt uns eigentlich diese 32:26.020 --> 32:31.580 Information, ja, es fehlt uns diese Information, und zwar wie weit 32:31.580 --> 32:37.140 sind die Gelenkabstände voneinander, und zwar der Abstand zwischen der 32:37.140 --> 32:41.300 XI -Achse und der XI-Achse. 32:41.300 --> 32:45.620 Also wie weit, wie versetzt sind die zwei Ursprünge voneinander? 32:45.760 --> 32:47.300 Wahrscheinlich hast du das Gleiche gemeint. 32:48.140 --> 32:50.960 Sag, du hast das Gleiche gemeint, ist besser für dich. 32:52.080 --> 32:57.100 Okay, so, dann haben wir auch noch ein Parameter, was wir ganz leicht 32:57.100 --> 32:58.600 eigentlich ablesen können. 32:58.860 --> 33:03.100 Und wie man sieht hier, ich weiß, wie die Rotationsachsen oder die 33:03.100 --> 33:05.640 Gelenkzentren zueinander versetzt sind. 33:05.820 --> 33:10.320 Ich weiß, wie weit sie voneinander entfernt sind, und ich weiß, wie 33:10.320 --> 33:13.080 verdrillt sie relativ zueinander sind. 33:13.800 --> 33:14.980 Und das ist alles. 33:15.520 --> 33:19.940 Das ist alles, was wir brauchen, um diese zwei Koordinatensysteme, 33:20.280 --> 33:24.420 also hier ist nur X und Z dargestellt, und natürlich kann man das 33:24.420 --> 33:28.040 Ganze hier um Y verdrehen. 33:28.780 --> 33:34.060 Und das Letzte, was man noch hat natürlich bei einem Roboterarm, ist, 33:34.160 --> 33:35.960 wie weit drehen sich die einzelnen Gelenke. 33:36.500 --> 33:39.340 Weil je nachdem, wie sich die einzelnen Gelenke drehen, drehen sich 33:39.340 --> 33:42.460 diese Koordinatensysteme auch. 33:43.040 --> 33:47.080 Und dieser Winkel hier sieht man, ist nichts anderes als der Winkel 33:47.080 --> 33:49.860 zwischen XI-1 und XI. 33:50.140 --> 33:53.700 Das ist parallel zu XI, also das ist unser Drehwinkel. 33:54.320 --> 34:00.760 Wenn das Gelenk I um TTI sich dreht, dann habe ich einen Versatz oder 34:00.760 --> 34:08.140 einen Winkel TTI hier zwischen den zwei Achseln XI-1 und XI. 34:09.040 --> 34:12.300 Also, mithilfe von diesen vier Parametern haben wir jetzt vollständig 34:12.300 --> 34:15.980 diese Beziehungen oder die relative Lage der zwei Gelenke zueinander. 34:16.820 --> 34:20.700 Das Ganze haben wir jetzt gemacht für Rotationsgelenke und natürlich 34:20.700 --> 34:27.800 bei diesen Rotationsgelenken sind alle diese Parameter konstant bis 34:27.800 --> 34:28.540 auf TTI. 34:30.180 --> 34:33.940 Ja, weil wie weit die Gelenke voneinander, die Schulter vom Ellenbogen 34:33.940 --> 34:37.840 sind und wie versetzt die Gelenke zueinander sind, das hängt nicht von 34:37.840 --> 34:43.440 der Drehung ab, aber der einzige Parameter ist natürlich TTI, weil 34:43.440 --> 34:46.700 mein Gelenk hier TTI dreht oder TTI plus 1. 34:47.560 --> 34:54.020 Und während Alpha, A und D, also Alpha, A und D, die sind eigentlich 34:54.020 --> 34:58.760 konstant, wenn wir von starren Mechanismen ausgehen. 34:59.560 --> 35:03.680 So, das heißt, bei solchen Rotationsgelenken haben wir unsere vier 35:03.680 --> 35:06.280 Parameter A, Alpha, D und TTI. 35:06.400 --> 35:10.260 TTI ist natürlich die Variable, wie unsere Gelenke sich drehen, aber 35:10.260 --> 35:13.200 die anderen drei, die sind invariant. 35:13.660 --> 35:17.960 Und bei Schubgelenken, also translatorischen Gelenken, ist unser 35:17.960 --> 35:21.400 Gelenkabstand, weil wenn ich hier ein translatorisches Gelenk und dann 35:21.400 --> 35:25.320 habe ich hier ein rotatorisches Gelenk, zum Beispiel wo der Kopf eines 35:25.320 --> 35:28.580 Roboters ist, dann ist natürlich der Abstand zwischen den zwei 35:28.580 --> 35:36.120 Koordinatensystemen die Variable größer und somit ist es D und nicht 35:36.120 --> 35:36.420 TTI. 35:36.600 --> 35:41.320 TTI ist invariant, je nachdem kann der Kopf auch schräg so montiert 35:41.320 --> 35:43.540 sein auf dieser Translationsachse. 35:44.880 --> 35:48.960 So, und mithilfe von diesen vier Parametern kann man Folgendes machen. 35:49.320 --> 35:52.800 Das heißt, wir haben vier Parameter und wenn wir jetzt ein bisschen 35:52.800 --> 35:57.420 zurückgehen, haben wir bei der Identifikation von jedem Parameter eine 35:57.420 --> 35:58.800 Operation durchgeführt. 35:59.440 --> 36:04.720 Zum Beispiel AI, das war eine Translation von hier nach der DI, eine 36:04.720 --> 36:09.560 Translation von hier nach der... Alpha I ist eine Rotation um die XI 36:09.560 --> 36:09.960 -Achse. 36:10.460 --> 36:14.160 Und wenn man merkt, was ich gerade erzähle, Translation, Rotation, 36:14.340 --> 36:18.680 Rotation, das sind alle Sachen, die wir mit homogenen Matrizen 36:18.680 --> 36:19.520 beschreiben können. 36:19.700 --> 36:21.340 Und das ist, was man hier gemacht hat. 36:21.940 --> 36:29.360 Das heißt, zunächst mal eine Rotation um TTI, um die ZI-1-Achse, damit 36:29.360 --> 36:32.640 die XI-1-Achse parallel zur XI-Achse liegt. 36:32.760 --> 36:34.880 Das ist, was wir gemacht haben als erstes. 36:35.680 --> 36:40.880 Und unsere Rotationsmatrix, die das beschreibt, ist eine 4x4-Matrix, 36:41.220 --> 36:46.640 wo der vierte Spalt die ersten drei Einträge 0,0,0 sind, weil wir 36:46.640 --> 36:47.860 keine Translation haben. 36:48.620 --> 36:53.900 Und wir rotieren um die Z-Achse, deshalb die 1 hier, und die Rotation 36:53.900 --> 36:55.240 um die Z-Achse kennen wir. 36:55.360 --> 36:58.320 Cosinus TTI minus Sinus und Sinus Cosinus. 36:59.040 --> 37:00.400 Was haben wir als nächstes gemacht? 37:00.480 --> 37:07.900 Wir haben eine Translation um DI entlang ZI-1 und die homogene Matrix, 37:08.040 --> 37:12.020 die diese Translation macht, ist die Einheitsmatrix für die Rotation 37:12.020 --> 37:21.440 hier und Translation um die Z-Achse ist nichts anderes als jetzt hier 37:21.440 --> 37:26.500 der dritte Eintrag in der vierten Spalte. 37:27.280 --> 37:32.340 So, die dritte Operation war eine Translation Alpha-I und zwar entlang 37:32.340 --> 37:36.300 XI, um die Ursprünge der Koordinatensysteme zur Deckung zu bringen. 37:36.900 --> 37:42.000 Also wiederum keine Rotation, aber eine Translation entlang XI, das 37:42.000 --> 37:48.220 heißt TXI ist nichts anderes als der Eintrag hier Alpha-I, das erste 37:48.220 --> 37:50.740 Element in der vierten Spalte der homogenen Matrix. 37:51.420 --> 37:57.660 Und als letztes haben wir die Rotation um den Winkel Alpha-I um die 37:57.660 --> 38:00.640 Achse XI, also deshalb Rotation um XI. 38:00.720 --> 38:05.540 Rotation um XI ist die 1 hier oben, dann Cosinus minus Sinus Cosinus 38:05.540 --> 38:08.680 und keine Translation, deshalb 000 hier. 38:09.700 --> 38:14.380 Also, was wir brauchen, um die Relativlage von zwei Gelenken 38:14.380 --> 38:17.460 zueinander zu beschreiben, wir brauchen eigentlich diese vier 38:17.460 --> 38:19.100 Transformationen durchzuführen. 38:20.020 --> 38:26.440 Und natürlich, um die Verhältnisse oder die relative Pose der 38:26.440 --> 38:31.760 Koordinatensysteme zueinander zu beschreiben, muss ich diese vier 4x4 38:31.760 --> 38:36.160 Matrizen, die wir jetzt hier ganz einfach und trivial bestimmt haben, 38:36.300 --> 38:37.240 miteinander verketten. 38:37.720 --> 38:43.180 Das heißt, wenn ich jetzt die Transformation zwischen Gelenk I minus 1 38:43.180 --> 38:48.400 und I machen will, dann muss ich zunächst mal um ZI minus 1 um TTI 38:48.400 --> 38:49.740 drehen. 38:50.420 --> 38:55.460 Dann habe ich eine Translation um ZI minus 1 um DI. 38:55.880 --> 39:02.060 Dann habe ich wiederum eine Translation um XI, also entlang XI um AI, 39:02.460 --> 39:04.980 um die Länge von dem Armsegment zu bestimmen. 39:05.520 --> 39:12.360 Und dann habe ich eine Rotation um die Achse XI, um die ZI minus 1 und 39:12.360 --> 39:16.020 die ZI Achse zur Übereinstimmung zu bringen, und zwar um den Winkel 39:16.020 --> 39:16.460 Alpha -I. 39:17.180 --> 39:19.540 Und wenn wir diese vier Matrizen, die wir vorher bestimmt haben, 39:19.540 --> 39:24.160 miteinander multiplizieren hier, dann kommen wir auf eine Matrix, die 39:24.160 --> 39:28.540 die Gesamttransformation zwischen I minus 1 und I beschreibt. 39:29.080 --> 39:33.200 Und man sieht in dieser Matrix, natürlich ist der I die Variable, weil 39:33.200 --> 39:36.480 je nachdem, wie wir uns drehen, haben wir andere Verhältnisse. 39:37.100 --> 39:41.860 Aber in dieser Matrix tauchen nur die vier Parameter Alpha-I, wie man 39:41.860 --> 39:44.060 sieht, AI und DI. 39:44.840 --> 39:51.560 Also das sind die vier Denevitt-Hartenberg-Parameter, die die Lage von 39:51.560 --> 39:54.920 zwei Gelenken relativ zueinander beschreiben. 39:56.240 --> 40:01.120 So, und wenn wir das hier haben, dann müssen wir wahrscheinlich, 40:01.340 --> 40:06.400 manchmal brauchen wir die umgekehrte, die Inverse-Transformation, also 40:06.400 --> 40:11.440 die Transformation vom Gelenk I zu I minus 1 und nicht I minus 1 zu I, 40:11.880 --> 40:20.620 sondern I zu I minus 1. 40:20.740 --> 40:25.000 Das ist natürlich die Inverse-Matrix und die Inverse-Matrix in 40:25.000 --> 40:29.220 allgemeiner Form kann man auch berechnen auf diese Art und Weise. 40:30.260 --> 40:33.700 Das heißt, wir haben alles, was wir brauchen, um tatsächlich 40:33.700 --> 40:39.360 Verkettungen von Transformationen von der Basis vom Roboter, also zum 40:39.360 --> 40:42.580 Beispiel die Schulter im Falle von dem Beispiel, was wir gesehen 40:42.580 --> 40:45.860 haben, bei dem Arma-Roboter bis hin zum Endeffektor. 40:46.000 --> 40:47.040 Und wie machen wir das? 40:47.760 --> 40:50.180 Diese Verkettung, die haben wir das letzte Mal kennengelernt. 40:50.300 --> 40:55.240 Wir multiplizieren diese Transformations-Matrix miteinander, also von 40:55.240 --> 41:01.320 der Basis 0 zu 1 hängt nur von Delta I, dann von 1 zu 2 hängt vom 41:01.320 --> 41:05.280 Gelenkwinkel Delta II und so weiter und so fort bis zu M. 41:06.280 --> 41:07.960 Und was bedeutet das eigentlich? 41:09.000 --> 41:13.300 Das bedeutet, ich kriege natürlich hier eine 4x4-Matrix als 41:13.300 --> 41:18.560 Multiplikation von diesen M-Matrizen und in dieser 4x4-Matrix ist in 41:18.560 --> 41:23.480 der Matrix oben links, die 3x3-Matrix, die Orientierung vom 41:23.480 --> 41:27.680 Endeffektor dargestellt und in der letzten Spalte, der ersten drei 41:27.680 --> 41:32.240 Einträge der vierten Spalte von dieser 4x4-Matrix, geben mir die 41:32.240 --> 41:40.080 Translation zwischen Basis und zwischen Gelenk M bzw. 41:40.540 --> 41:43.180 Endeffektor, wenn das das letzte Gelenk ist. 41:44.080 --> 41:45.200 Also, Zusammenfassung. 41:45.920 --> 41:48.880 Was müssen wir machen, damit wir kinematische Ketten mithilfe von DH 41:48.880 --> 41:50.040 -Parametern beschreiben? 41:50.180 --> 41:54.420 Wir müssen ein Skizzi von dem Manipulator zeichnen, wo wir wissen, wie 41:54.420 --> 41:57.360 die einzelnen Achsen tatsächlich im Raum liegen. 41:57.360 --> 42:01.520 Dann identifizieren und nummerieren wir die Gelenke. 42:02.660 --> 42:07.480 Also, wir fangen mit Gelenk 1 und das letzte Glied ist N. 42:07.940 --> 42:12.660 Dann zeichnen wir die jeweiligen ZI-1-Achsen durch die Rotationsachsen 42:13.720 --> 42:18.860 vom Gelenk I, also ZI durch I plus 1 und so weiter und so fort. 42:19.480 --> 42:24.480 Wir bestimmen zunächst mal die Parameter AI zwischen ZI und I-1 und 42:24.480 --> 42:31.180 ZI, also der Abstand eigentlich zwischen den Ursprüngen der beiden 42:31.180 --> 42:32.340 Koordinatensystemen. 42:32.620 --> 42:37.920 Dann bezeichnen wir die XI-Achse, die entlang der gemeinsamen Normalen 42:37.920 --> 42:42.340 auf ZI-1 und ZI steht, aber von ZI-1 weg zeigt. 42:43.060 --> 42:49.040 Und dann bestimmen wir den Parameter A, also die Verwendung der XI 42:49.040 --> 42:56.320 -Achsen, also wie weit muss ich um die ZI-1-Achse drehen, damit ich XI 42:56.320 --> 42:58.900 -1 in XI überführen kann. 42:59.560 --> 43:05.480 Dann bestimmen wir den Parameter D und zwar, das ist der Versatz 43:05.480 --> 43:10.120 zwischen den Gelenkzentren entlang der ZI-1-Achse. 43:10.320 --> 43:12.400 Also, ich kenne es ziemlich gut, merkt ihr das? 43:13.480 --> 43:18.440 Keiner kann jetzt nachvollziehen, ob ich das richtig sage oder nicht, 43:18.620 --> 43:18.720 oder? 43:19.320 --> 43:19.840 Oder doch? 43:20.980 --> 43:22.880 Genau, das muss man ab und zu mal machen. 43:23.040 --> 43:26.700 Ich glaube, ich habe es so oft gemacht, aber ich mache trotzdem Fehler 43:26.700 --> 43:29.800 und dann macht man immer Fehler bei dieser Sache. 43:29.940 --> 43:32.740 Aber wenn man es richtig macht, dann haben wir bemerkt, hat man 43:32.740 --> 43:33.800 eigentlich viel davon. 43:34.440 --> 43:38.120 Und als letztes den Winkel TTI um ZI-1. 43:38.960 --> 43:43.180 Dann verkrümpfen wir diese Matrizen miteinander und wir bekommen 43:43.180 --> 43:48.520 eigentlich die Beschreibung vom Endeffektor im Basiskoordinatensystem 43:48.520 --> 43:49.800 der kinematischen Kette. 43:50.960 --> 43:52.160 Nun, was machen wir damit? 43:52.740 --> 43:55.820 Jetzt habe ich ganz am Anfang gesagt, die zwei Probleme, die wir 43:55.820 --> 43:59.080 behandeln, sind einmal die Vorwärts- und einmal die Inversekinematik. 43:59.260 --> 44:03.740 Also gegeben sind bestimmte Gelenkwinkel von dem Arm, wir wollen 44:03.740 --> 44:05.500 wissen, wo der Endeffektor ist. 44:06.200 --> 44:11.360 Und jetzt haben wir diese ganzen Parameter, die H-Parameter bestimmt, 44:11.620 --> 44:14.060 damit uns das ein bisschen helfen kann. 44:14.600 --> 44:17.620 Klar, natürlich haben wir die Anzahl der Parameter reduziert von sechs 44:17.620 --> 44:20.940 auf vier pro Transformation. 44:21.240 --> 44:25.400 Jetzt wollen wir gucken, wie kann man das nutzen, um das direkte 44:25.400 --> 44:26.780 kinematische Problem zu lösen. 44:26.980 --> 44:31.300 Also nochmal hier zur Erinnerung, Gelenkwinkel sind gegeben und wir 44:31.300 --> 44:33.540 suchen die Posi vom Endeffektor. 44:34.500 --> 44:37.040 Und das ist, was wir jetzt bekommen haben. 44:37.140 --> 44:41.840 Wenn die Gelenkwinkel gegeben sind, wenn Theta 1 bis Theta n gegeben 44:41.840 --> 44:44.420 sind, dann brauchen wir nur einzusetzen. 44:44.580 --> 44:48.720 Dann sind eigentlich diese Matrizen jetzt, wenn ich dort die Thetas 44:48.720 --> 44:51.400 einsetze, alles konstant in den Matrizen. 44:51.560 --> 44:56.600 Und dann kriege ich eine 4x4 Matrix, die für mich die Stellung von dem 44:56.600 --> 45:00.960 Tool Center Point, also das Koordinatensystem von dem Endeffektor 45:02.200 --> 45:02.780 beschreibt. 45:04.560 --> 45:05.140 Beispiele. 45:06.460 --> 45:08.280 Wir machen ein paar Beispiele. 45:08.560 --> 45:13.960 Und zwar nehmen wir zunächst mal so einen zweidimensionalen oder einen 45:13.960 --> 45:14.780 Roboterarm. 45:14.940 --> 45:19.180 Wir machen die Betrachtung nur in der XY-Ebene, das ist die X0, das 45:19.180 --> 45:20.300 ist die Y0-Ebene. 45:21.260 --> 45:26.800 Und wenn man jetzt diese Abbildung mal anguckt, dann sieht man 45:26.800 --> 45:34.380 eigentlich die Z-Achsen, die gehen hier raus oder rein, raus, ist das? 45:35.880 --> 45:37.140 Raus, die gehen raus. 45:37.760 --> 45:41.420 Hier, die gehen aus der Ebene raus, also XYZ. 45:42.060 --> 45:44.440 Das Gleiche hier und das Gleiche hier. 45:44.520 --> 45:48.980 Wir haben also insgesamt drei Gelenke, Theta 1, Theta 2 und Theta 3. 45:49.940 --> 45:54.880 Und wir suchen eigentlich die Lage von dem Tool Center Point. 45:55.140 --> 45:58.660 Also Tool Center Point ist das Koordinatensystem, was mit dem 45:58.660 --> 46:00.720 Endeffektor assoziiert wird. 46:02.980 --> 46:07.000 Also das ist unser Tool Center Point. 46:07.640 --> 46:10.480 Das ist der Ursprung vom Koordinatensystem 3 hier. 46:11.120 --> 46:15.420 Und um diese Beschreibungen zu machen, man sieht ganz einfach hier, 46:16.180 --> 46:20.800 wenn das nur ein zweidimensionales Beispiel ist, dass die AIs nichts 46:20.800 --> 46:27.100 anderes sind als die armsegmenti, weil das sind ja die Verschiebungen 46:27.100 --> 46:32.480 zwischen den Koordinatensystemen entlang der gemeinsamen Normalen auf 46:32.480 --> 46:39.720 der Z- und ZI-1-Achse und deshalb A1, A2 und A3, ziemlich einfach. 46:40.680 --> 46:43.700 Aber wir müssen ja alle diese Parameter bestimmen. 46:44.660 --> 46:49.040 Also die AIs, wie ich bereits erwähnt habe, sind das hier. 46:49.800 --> 46:58.040 Die Alphas sind die Winkel, die für uns die Verdrehung der ZI-1 und ZI 46:58.040 --> 47:00.160 -Achse relativ zueinander beschreiben. 47:00.440 --> 47:05.860 Aber alle Z-Achsen gehen aus der Zeichnungsebene raus. 47:06.380 --> 47:08.680 Deshalb haben wir keine Verdrehung, also eine Null. 47:09.340 --> 47:13.560 Wir haben auch keinen Versatz hier, deshalb DI gleich Null. 47:13.820 --> 47:17.320 Und da wir alle drei hier Rotationsgelenke haben, haben wir drei 47:17.320 --> 47:19.160 Parameter, Delta 1 bis Delta 3. 47:20.140 --> 47:23.140 Und wenn wir diese Parameter hier bestimmt haben, und das bestimmen 47:23.140 --> 47:27.120 wir tatsächlich, nachdem wir diese Zeichnung hier erstellt haben und 47:27.120 --> 47:31.520 die Koordinatensysteme entsprechend gelegt haben, dann nehmen wir 47:31.520 --> 47:36.660 unsere Transformationsmatrix die wir auf gar keinen Fall auswendig 47:36.660 --> 47:41.160 lernen sollen, sondern wir kennen sie, wir können das nachschlagen, 47:41.420 --> 47:44.380 wenn es in der Klausur aus irgendeinem Grund zu etwas kommen sollte, 47:44.500 --> 47:46.840 dann wird diese Transformationsmatrix gegeben. 47:48.120 --> 47:52.660 Und dann wissen wir, wenn wir diese Parameter hier haben, also Alpha I 47:52.660 --> 47:58.760 gleich Null, dann verschwindet alles, was Sinus Alpha I wird Null Null 47:58.760 --> 48:00.860 und Cosinus Alpha I ist gleich 1. 48:02.280 --> 48:07.860 Ansonsten Cosinus Alpha I gleich 1, Sinus Alpha I ist gleich Null und 48:07.860 --> 48:08.720 so weiter und so fort. 48:08.820 --> 48:12.420 Also ergibt sich eigentlich mithilfe von diesen Parameter, die 48:12.420 --> 48:17.500 vereinfacht die Transformationsmatrix zwischen Gelenk I minus 1 und I. 48:18.120 --> 48:21.180 Und wenn ich jetzt die unterschiedlichen Parameter einsetze und die 48:21.180 --> 48:26.540 drei miteinander multipliziere, dann komme ich auf diese 4x4-Matrix 48:26.540 --> 48:31.980 und in dieser 4x4-Matrix sehen wir, das sind, egal wie sich die drei 48:31.980 --> 48:36.680 Gelenke drehen, ist das immer eine Rotation um die Z-Achse, also vom 48:36.680 --> 48:41.500 Endefektor relativ zur Basis, zum Basiskoordinatensystem. 48:42.300 --> 48:47.120 Egal wie ich drehe, ist es eine Rotation um die Z-Achse und zwar um 48:48.080 --> 48:49.020 das hier. 48:49.600 --> 48:52.440 Und das ist die Translation bzw. 48:52.700 --> 48:58.700 die Position von dem Endefektor in der XY-Ebene, die Z-Ebene. 48:59.100 --> 49:02.560 Wir arbeiten ja in der XY-Ebene, deshalb ist Z gleich Null. 49:02.720 --> 49:06.460 Also nur zur Überprüfung eigentlich, ob das, was man gemacht hat, was 49:06.460 --> 49:11.280 man multipliziert hat oder die Parameter, die man bestimmt hat, 49:11.320 --> 49:12.440 wirklich korrekt waren. 49:13.900 --> 49:14.260 Genau. 49:14.600 --> 49:19.380 Ein weiteres Beispiel, wo wir eine Translations-Achse hier haben, also 49:19.380 --> 49:26.260 das ist jetzt hier eine Translations-Achse in die Richtung und dann 49:26.260 --> 49:28.680 das letzte Koordinatensystem Z3 hier. 49:29.320 --> 49:37.120 Die ersten zwei Achsen sind einmal eine Rotations-Achse Theta1 mit Z0, 49:37.260 --> 49:43.020 also i-1, dann die zweite Rotations-Achse um den Winkel Theta2. 49:44.260 --> 49:47.940 Das Koordinatensystem ist dann Z1, wie man sieht, und natürlich 49:47.940 --> 49:51.020 Erweiterung mit Xi, wie wir sehen. 49:51.770 --> 50:00.420 Die nächste Translations-Achse ist Z2 und wie man sieht, auch X2 und 50:00.420 --> 50:05.800 Y2 hier gezeichnet und die allgemeine Transformation, die wir vorher 50:05.800 --> 50:06.940 kennengelernt haben. 50:07.080 --> 50:08.080 Also was muss man hier machen? 50:08.220 --> 50:11.800 Muss man wiederum diese Parameter bestimmen und das Besondere ist 50:11.800 --> 50:18.660 natürlich bei Gelenk 2 hier, wir drehen hier, das heißt wir haben eine 50:18.660 --> 50:27.380 Verschiebung zwischen dem Koordinatensystem 1 und 2 um die Länge D2 50:27.380 --> 50:32.300 und wir haben die unabhängige Variable der Drehung Theta2, während wir 50:32.300 --> 50:39.100 beim Gelenk 3 haben wir natürlich unsere Verschiebung in die Richtung, 50:39.100 --> 50:43.320 das ist eine Achse, die hoch und runter geht am Ende, deshalb die 50:43.320 --> 50:48.820 unabhängige Variable ist 0, aber keine Verdrehungen in der anderen 50:48.820 --> 50:51.820 Koordinatensysteme, deshalb alle weiteren Parameter hier 0. 50:52.420 --> 50:55.620 Und wenn wir das haben, dann können wir mithilfe von diesen Parametern 50:55.620 --> 51:01.500 zum Beispiel die Matrix 0,1 bestimmen, wir können die Matrix 1,2 51:01.500 --> 51:06.200 bestimmen und wir können die Matrix 2,3 bestimmen und man sieht hier 51:06.200 --> 51:10.720 bei der Matrix 2,3 ist keine Rotationsmatrix, sondern eine Translation 51:10.720 --> 51:15.960 in diese Richtung, deshalb nur D3 als die unabhängige Variable, weil 51:15.960 --> 51:19.900 das ist eine Steuervariable, wo wir Kommandos zu diesem Gelenk 51:19.900 --> 51:24.220 schicken, damit der Endeffektor hoch beziehungsweise runter bewegt 51:24.220 --> 51:24.800 werden soll. 51:25.500 --> 51:29.200 Und wenn wir alles miteinander multiplizieren, bekommen wir das hier 51:29.200 --> 51:33.360 und man sieht hier, das ist einmal die Orientierung vom Endeffektor in 51:33.360 --> 51:40.120 Abhängigkeit von Delta 1, Delta 2 und das ist hier die Position von 51:40.120 --> 51:43.740 dem Endeffektor, weil die Orientierung von dem Endeffektor wird nicht 51:43.740 --> 51:48.500 von der translatorischen Achse beeinflusst bei dieser Kinematik, 51:48.660 --> 51:55.080 deshalb taucht eigentlich D3 hier nicht, aber die Höhe von dem 51:55.080 --> 51:59.340 Manipulator oder die Z-Koordinate von dem Endeffektor, die ist 51:59.340 --> 52:05.720 natürlich abhängig von D3 und natürlich auch abhängig von der Rotation 52:05.720 --> 52:11.700 um die Achse T2, weil wenn ich hier D3 hoch und runter drehe und die 52:11.700 --> 52:14.620 Achse hier in die Richtung oder in die Richtung drehe, dann verändere 52:14.620 --> 52:17.280 ich auch die Höhe von dem Endeffektor. 52:17.400 --> 52:19.280 Also das nur so zur Interpretation. 52:20.480 --> 52:24.720 Genau, das ist hier ein realistisches Beispiel, das sind zum Beispiel 52:24.720 --> 52:31.540 die DH-Parameter von dem Arm, von dem Armar 1 mit sieben Gelenken und 52:32.160 --> 52:35.320 natürlich ist immer sehr gut, also man sieht hier zum Beispiel die 52:35.320 --> 52:39.340 DIs, das ist nichts anderes als die Längen vom Oberarm und Unterarm. 52:40.420 --> 52:44.900 Man sieht beispielsweise, dass man hier einen Versatz zwischen Gelenk 52:44.900 --> 52:48.960 1 und Gelenk 2 hat, das heißt die ersten drei Gelenke, die schneiden 52:48.960 --> 52:53.420 sich nicht in einem Punkt und natürlich hier gibt es am Ende auch 52:53.420 --> 52:59.700 einen Versatz zwischen Gelenk 6 und Gelenk 7, was ja anhand von Alpha 52:59.700 --> 53:01.580 I hier zu sehen ist. 53:02.000 --> 53:05.620 Aber das sind Sachen oder Tabellen, die so erfahrene Leute, die jeden 53:05.620 --> 53:09.020 zweiten Tag sich Gedanken darüber machen, wie die Kinematik von einem 53:09.020 --> 53:16.760 Roboter aussehen sollte, um beispielsweise diese Parameter bei diesen 53:16.760 --> 53:22.420 Tabellen so wenig wie möglich, nicht null Parameter zu haben. 53:22.900 --> 53:26.720 Also wenn die ersten drei Achsen zum Beispiel sich in einem Punkt 53:26.720 --> 53:31.440 schneiden würden, dann würden wir diese 30 hier eliminieren, aber das 53:31.440 --> 53:36.240 ist nicht immer machbar, oder es ist schon machbar, aber bei dem 53:36.240 --> 53:39.820 ersten Entwurf war das nicht der Fall bzw. 53:40.080 --> 53:41.080 kam es zu etwas anderem. 53:42.720 --> 53:48.880 So, nun eine Zusammenfassung, das heißt bei der Vorwärtskinematik 53:48.880 --> 53:54.240 haben wir unsere Gelenke, Gelenkwinkelwerte, die kriegen wir von den 53:54.240 --> 53:57.220 Sensoren, von den Gelenkwinkelsensoren eines Roboterarms. 53:58.000 --> 54:02.200 Wir haben die Transformationsmatrizen, die für uns die Transformation 54:02.200 --> 54:06.040 zwischen Gelenk I-1 und I beschreiben und die hängen natürlich von 54:06.040 --> 54:11.620 Theta I, die haben wir kennengelernt, das sind 4x4 Matrizen und wir 54:11.620 --> 54:16.400 wissen, wie diese, das sind die hier und wir wissen eigentlich, dass 54:16.400 --> 54:20.920 wir den Endeffektor, die Posi vom Endeffektor im 54:20.920 --> 54:25.640 Basiskoordinatensystem beschreiben, indem wir diese 54:25.640 --> 54:29.860 Transformationsmatrizen von 0,1 bis zum Endeffektor miteinander 54:29.860 --> 54:30.680 multiplizieren. 54:30.820 --> 54:33.580 Und wenn wir das multiplizieren, wie wir gerade in den Beispielen 54:33.580 --> 54:41.080 gesehen haben, kriegen wir 4x4 homogene Matrizen und die wir aus dem 54:41.080 --> 54:44.840 letzten Kapitel kennengelernt haben und wir sehen, dass wir in diesen 54:44.840 --> 54:50.740 4x4 Matrizen einmal hier unsere Rotationsmatrix, die für uns die 54:50.740 --> 54:54.860 Rotation oder Orientierung vom Endeffektor relativ zur Basis 54:54.860 --> 54:59.920 beschreibt und eine Transformation, die für uns die Transformation vom 54:59.920 --> 55:03.000 Endeffektor im Basiskoordinatensystem eingegeben hat. 55:04.540 --> 55:09.180 So, nun ist es eine ganz einfache Sache. 55:09.500 --> 55:15.180 Jetzt die Frage ist, wenn wir das inverse-kinematische Problem lösen. 55:15.480 --> 55:19.320 Jemand sagt euch, der Endeffektor muss sich jetzt zu dieser Position 55:19.320 --> 55:20.860 und Orientierung bewegen. 55:21.800 --> 55:24.580 Das heißt, die Position und Orientierung, Zielposition und 55:24.580 --> 55:28.460 Orientierung ist gegeben und wir müssen ja dieses Problem hier lösen. 55:28.540 --> 55:33.020 Das heißt, ich habe eine 4x4 Matrix, wie kriege ich eigentlich Theta 55:33.020 --> 55:36.240 1, Theta 2, Theta 3 bis Theta n? 55:37.020 --> 55:39.780 Ja, das wäre ja das inverse-kinematische Problem. 55:40.320 --> 55:44.620 Wir werden in den Übungen auch hier Beispiele sehen, wie man das oder 55:44.620 --> 55:49.920 mit welchen Tricks man eventuell das Problem lösen kann. 55:51.180 --> 55:56.500 Aber ich will jetzt auf einen allgemeineren Weg eingehen, wie man das 55:56.500 --> 55:57.580 Problem lösen kann. 55:57.580 --> 56:01.440 Natürlich, das Problem ist immer schwieriger oder wird schwieriger mit 56:01.440 --> 56:03.280 einer wachsenden Anzahl von Gelenken. 56:04.020 --> 56:08.600 Das heißt, wenn ich hier 2D-Roboterarmee habe oder Roboterarmee mit 3, 56:08.600 --> 56:13.740 4 Freiheitsgraden, dann könnte man solche Lösungen finden, auch 56:13.740 --> 56:16.340 mithilfe von geometrischen Betrachtungen. 56:17.040 --> 56:22.900 Aber wenn wir über Roboterarmee, die 6, 7 oder 8 Freiheitsgraden 56:22.900 --> 56:25.840 haben, reden, dann brauchen wir allgemeinere Methoden. 56:26.600 --> 56:30.320 Und natürlich diese Spezialmethoden, die über Geometrie gehen, wie wir 56:30.320 --> 56:34.040 gleich sehen werden, vielleicht in einem Beispiel oder spätestens in 56:34.040 --> 56:37.300 der Übung, da muss man ja die Kinematik kennen. 56:37.480 --> 56:42.120 Das heißt, man muss wirklich die geometrischen Betrachtungen machen 56:42.120 --> 56:45.540 und muss man also für jede Kinematik, die man entwickelt, also für 56:45.540 --> 56:48.580 jeden Roboterarm, den man entwickelt, nochmal das Problem lösen. 56:49.600 --> 56:54.080 Ist okay, macht man auch für bestimmte Roboterarmee, aber wir suchen 56:54.080 --> 56:58.900 nach anderen Möglichkeiten, die allgemein gültige Lösungen oder 56:58.900 --> 57:05.640 allgemeine Kochrezepte für das Lösen der, vor allem inversen 57:05.640 --> 57:07.040 kinematischen Problemen liefern. 57:07.940 --> 57:12.100 Und da kommen wir natürlich an der Mathematik nicht vorbei und dieses 57:12.100 --> 57:15.520 Mal sind es nicht die hyperkomplexen Zellen wie bei Quaternionen, 57:15.560 --> 57:17.260 sondern das sind die Jacobi-Matrizen. 57:19.520 --> 57:22.920 Und was haben die Jacobi-Matrizen mit der Kinematik zu tun? 57:23.200 --> 57:26.040 Also zunächst mal wissen wir Vorwärtskinematik, wir haben 57:26.040 --> 57:29.080 Gelenkwinkelstellungen und wir wollen die Endeffektopose. 57:30.100 --> 57:35.020 Und die Frage ist, die man sich stellt, naja, also oft macht man keine 57:35.020 --> 57:38.100 positionsbasierte Regelung von einem Roboterarm, sondern 57:38.100 --> 57:40.780 geschwindigkeitsbasierte Regelung von einem Roboterarm. 57:40.920 --> 57:45.540 Das heißt, man hat Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und will irgendwelche 57:45.540 --> 57:49.620 Geschwindigkeiten vom Endeffektor realisieren. 57:49.900 --> 57:54.440 Also nicht, dass ich sage, diese Gelenke und diese Pose, sondern ich 57:54.440 --> 58:02.180 habe diese Gelenkwinkelgeschwindigkeiten und ich will eine bestimmte 58:02.180 --> 58:04.160 Geschwindigkeit vom Endeffektor erreichen. 58:04.380 --> 58:09.060 Oder anders, vielleicht anschaulicher, ich will, dass mein Endeffektor 58:09.060 --> 58:11.980 entlang dieser Trajektorie mit dieser Geschwindigkeit bewegt. 58:12.080 --> 58:16.040 Das heißt, nicht eine reine Position, sondern auch das Einhalten von 58:16.040 --> 58:16.660 Geschwindigkeit. 58:17.380 --> 58:20.760 Deshalb sehen wir eigentlich diese anderen Beziehungen, die natürlich 58:20.760 --> 58:23.360 mit dem Problem sehr verwandt sind, aus. 58:23.960 --> 58:29.260 Also gegeben sind Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, was bedeutet das für 58:29.260 --> 58:30.960 die Endeffektogeschwindigkeiten? 58:31.740 --> 58:38.380 Beziehungsweise, wenn ich Kommandos zu den Gelenken schicke, zu den 58:38.380 --> 58:44.100 Reglern, die die Gelenke bewegen, letztendlich Strom auf die Motoren 58:44.100 --> 58:49.560 mal aufschalte, damit sie sich bewegen, dann weiß ich, welche 58:49.560 --> 58:52.180 Drehmomente ich eigentlich habe in den Gelenken. 58:52.300 --> 58:56.260 Und die Frage ist, mit diesen Drehmomenten, mit bestimmten 58:56.260 --> 59:01.200 Drehmomenten in den Gelenken, welche Kräfte und Momente kann ich am 59:01.200 --> 59:02.160 Endeffektor haben? 59:03.180 --> 59:07.720 Ja, zum Beispiel, um durch diese Wand zu bohren oder ein bestimmtes 59:07.720 --> 59:10.980 Objekt entlang einer bestimmten Trajektorie zu halten und zu 59:10.980 --> 59:11.540 manipulieren. 59:12.500 --> 59:18.580 So, und der Ansatz hier, den man hat, geht über die Jacobi-Matrix, 59:18.720 --> 59:22.020 indem man die Beziehungen der Vorwärtskinematik ableitet. 59:22.220 --> 59:25.080 Ich meine, wenn wir uns vor Geschwindigkeiten interessieren, statt 59:25.080 --> 59:26.820 Position, müssen wir ja ableiten. 59:28.040 --> 59:32.640 Und wenn wir die Jacobi-Matrix aus der Mathematik nochmal ein bisschen 59:32.640 --> 59:37.300 angucken, dann wissen wir, die Jacobi-Matrix ist etwas, was definiert 59:37.300 --> 59:40.840 ist für differenzierbare Funktionen. 59:41.480 --> 59:47.720 Also eine Funktion definiert auf Rn und nimmt ihre Werte in Rm. 59:47.840 --> 59:52.580 Und die Jacobi-Matrix ist die Matrix, in der wir alle partiellen 59:52.580 --> 59:57.660 Ableitungen in erster Ordnung von F haben, und zwar nach den 59:57.660 --> 59:59.040 unabhängigen Variablen. 59:59.260 --> 01:00:10.040 Also zum Beispiel hier haben wir eine Funktion mit den unabhängigen 01:00:10.040 --> 01:00:15.220 Koordinaten oder Variablen xi, also x1 bis xn. 01:00:15.840 --> 01:00:21.900 Und die Jacobi-Matrix erhalten wir, indem wir die einzelnen 01:00:21.900 --> 01:00:26.340 Komponentenfunktionen von F nach diesen Koordinaten ableiten. 01:00:26.520 --> 01:00:32.060 Also einmal hier die partielle Ableitung in erster Ordnung von F1 nach 01:00:32.060 --> 01:00:38.420 x1, natürlich an der Stelle A, die partielle Ableitung von der 01:00:38.420 --> 01:00:45.080 Funktionskomponentenfunktion Fm nach x1 und das Gleiche hier aber nach 01:00:45.080 --> 01:00:45.860 xn. 01:00:46.620 --> 01:00:51.040 Das heißt, bei dieser Abbildung, wenn ich eine Funktion, die auf Rn 01:00:51.040 --> 01:00:56.300 definiert ist und ihre Werte in Rm annimmt, aha, das ist eigentlich 01:00:56.300 --> 01:01:01.480 Rn, war ja unser Konfigurationsraum, wenn wir n Freiheitsgrade haben. 01:01:02.240 --> 01:01:06.300 Und Rm war der Arbeitsraum, als wir, haben wir gesehen auf der ersten 01:01:06.300 --> 01:01:07.560 Folie dieser Vorlesung. 01:01:08.280 --> 01:01:12.180 Das heißt eigentlich F könnte jetzt, ist die Abbildung von 01:01:12.180 --> 01:01:15.800 Konfigurationsraum auf Arbeitsraum, das ist nichts anderes als unsere 01:01:17.360 --> 01:01:17.960 Vorwärtskinematik. 01:01:18.380 --> 01:01:25.660 So, und wenn man diese Abbildung hat von Rn nach Rm, dann hat man eine 01:01:25.660 --> 01:01:31.900 m mal n Jacobi-Matrix, die wie hier auf der Folie zu sehen ist, 01:01:32.000 --> 01:01:32.620 definiert ist. 01:01:33.420 --> 01:01:36.800 So, jetzt versuchen wir mal, das Ganze tatsächlich mathematisch zu 01:01:36.800 --> 01:01:36.980 machen. 01:01:37.220 --> 01:01:42.060 Wir wissen, also die Vorwärtskinematik, das ist eine Abbildung, wie 01:01:42.060 --> 01:01:44.040 wir das bis jetzt kennengelernt haben. 01:01:44.180 --> 01:01:48.740 Wir haben gesagt, wir haben Gelenkwinkel Rn, also aus Rn, Vektoren aus 01:01:48.740 --> 01:01:54.460 Rn und die nehmen ihre Werte in Form von einer 4 mal 4 Matrix. 01:01:54.700 --> 01:01:59.080 Und in dieser 4 mal 4 Matrix haben wir eine Rotationsmatrix R und ein 01:01:59.080 --> 01:02:00.560 Translationsvektor T. 01:02:00.560 --> 01:02:04.840 Das heißt eigentlich, das sind Elemente aus SE3. 01:02:06.220 --> 01:02:09.640 Das ist eine Abbildung zwischen Rn und SE3. 01:02:09.960 --> 01:02:12.920 Und hier kann ich ja die Jacobi-Matrix nicht definieren, weil die 01:02:12.920 --> 01:02:17.320 Jacobi -Matrix ist definiert auf Abbildungen zwischen Rn und Rm. 01:02:18.280 --> 01:02:23.180 Wir wissen ja, SE3 ist ja ein Vektor und ein Matrix, also es ist 01:02:23.180 --> 01:02:24.820 deshalb sehr schwierig, sowas zu machen. 01:02:25.540 --> 01:02:29.840 Deshalb ist die Lösung, dass man eine vektorwertige oder vektorartige 01:02:29.840 --> 01:02:31.740 Repräsentation wählt, z.B. 01:02:32.440 --> 01:02:35.400 die Rolle-Pi-Gio-Winkel, die wir kennengelernt haben für die 01:02:35.400 --> 01:02:39.460 Darstellung der Orientierungen, damit wir diese Matrixrepräsentation 01:02:39.460 --> 01:02:42.300 in den homogenen Matrizen loswerden. 01:02:43.120 --> 01:02:48.840 Und dann haben wir eine Funktion, die heißt, die bildet Rn, also den 01:02:48.840 --> 01:02:53.100 Konfigurationsraum, auf einen sechstimensionalen Raum mit XYZ 01:02:53.100 --> 01:02:54.060 -Alphabeta -Gamma. 01:02:54.800 --> 01:02:56.320 Ja, das ist ganz naheliegend. 01:02:57.320 --> 01:03:01.060 Wir nehmen an jetzt, dass eine kinematische Kette, dass der 01:03:01.060 --> 01:03:03.940 Endeffektor einer kinematischen Kette entlang einer bestimmten 01:03:03.940 --> 01:03:06.460 Trajektorie, Theta, bewegt. 01:03:06.760 --> 01:03:10.380 Diese Trajektorie ist definiert natürlich von R auf Rn. 01:03:11.780 --> 01:03:17.160 Und dann gilt für die Endeffektor-Pose, also wenn das die Gelenkwinkel 01:03:17.160 --> 01:03:20.280 hier, die mit dieser Trajektorie assoziiert sind, dann kann ich die 01:03:20.280 --> 01:03:26.460 Gelenkwinkel -Pose, dann kann ich die Pose von dem Endeffektor 01:03:26.460 --> 01:03:30.040 bestimmen, indem ich einfach einsetze. 01:03:30.300 --> 01:03:33.980 Also f von Theta, Theta ist gegeben, dann kriege ich zu jedem 01:03:33.980 --> 01:03:39.360 Zeitpunkt die Informationen darüber, wo mein Endeffektor ist, als 01:03:39.360 --> 01:03:43.120 Vektor X aus Rn, also aus R6 in dem Beispiel. 01:03:44.600 --> 01:03:47.500 Wenn wir uns jetzt für die Geschwindigkeiten interessieren, dann 01:03:47.500 --> 01:03:49.740 müssen wir nur diese Beziehung hier ableiten. 01:03:50.640 --> 01:03:53.840 Ja, und wenn ich hier nach der Zeit ableite, natürlich ist es eine 01:03:53.840 --> 01:03:57.480 Funktion f, die hängt von Theta und Theta wiederum von der Zeit. 01:03:57.640 --> 01:04:02.820 Deshalb muss ich ja die Kettenregel anwenden, also X abgeleitet nach 01:04:02.820 --> 01:04:06.720 der Zeit, also Position nach der Zeit ist Geschwindigkeit, X-Punkt, 01:04:06.840 --> 01:04:10.660 und dann leite ich das hier nach Delta-Theta und wir wissen, die 01:04:10.660 --> 01:04:15.820 Ableitung von f von Theta nach Delta-Theta ist die Jacobi-Matrix und 01:04:15.820 --> 01:04:19.700 die Ableitung von Delta-Theta nach der Zeit ist die 01:04:19.700 --> 01:04:22.640 Gelenkwinkelgeschwindigkeit, also Theta-Punkt. 01:04:23.340 --> 01:04:26.380 Das heißt eigentlich, wir haben jetzt nicht nur die Beziehung zwischen 01:04:26.380 --> 01:04:33.080 X und Theta, unsere Vorwärtskinematik im Positionsraum, sondern wir 01:04:33.080 --> 01:04:36.460 haben die Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten vom Endeffektor und 01:04:36.460 --> 01:04:37.960 Geschwindigkeiten der Gelenke. 01:04:38.760 --> 01:04:47.440 Und diese Beziehungen hier gehen dann mithilfe von der Jacobi-Matrix 01:04:47.440 --> 01:04:49.720 oder werden beschrieben mithilfe der Jacobi-Matrix. 01:04:51.400 --> 01:04:57.920 So, das heißt die Jacobi-Matrix setzt jetzt die karthesischen 01:04:57.920 --> 01:05:00.720 Endeffektor -Geschwindigkeiten in Relation zu 01:05:00.720 --> 01:05:05.640 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, wie wir hier das gesehen haben, und 01:05:05.640 --> 01:05:08.060 damit können wir folgende Probleme lösen. 01:05:09.060 --> 01:05:17.040 Naja, also wenn wir die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten haben, weil wir 01:05:17.040 --> 01:05:21.080 die Trajektorien entlang, die der Endeffektor abfahren soll, haben, 01:05:21.240 --> 01:05:26.460 und diese Trajektoren differenzieren können, und zum Beispiel... Nee, 01:05:26.680 --> 01:05:30.640 wenn wir die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten haben und die Frage ist, 01:05:30.740 --> 01:05:34.200 welche karthesischen Endeffektor-Geschwindigkeiten können wir damit 01:05:34.200 --> 01:05:36.520 realisieren, dann müssen wir eigentlich was machen? 01:05:37.580 --> 01:05:38.980 Nur einsetzen, oder? 01:05:39.660 --> 01:05:43.060 Also wenn das gegeben ist, und ich suche das, dann muss ich das hier 01:05:43.060 --> 01:05:43.680 nur ansetzen. 01:05:44.200 --> 01:05:48.400 Aber die andere Frage, die wir auch beantworten können, wenn ich ja 01:05:48.400 --> 01:05:52.380 die karthesische Endeffektor-Geschwindigkeit habe, also wie soll ich 01:05:52.380 --> 01:05:56.480 mich mal bewegen mit dem Endeffektor, und welche Geschwindigkeiten der 01:05:56.480 --> 01:06:01.100 Gelenke sind dazu notwendig, dann kann ich natürlich das auch mithilfe 01:06:01.100 --> 01:06:04.560 von dieser Gleichung lösen, und zwar indem ich diese Gleichung nach 01:06:04.560 --> 01:06:06.080 dem Punkt auflöse. 01:06:07.000 --> 01:06:09.740 Und das gucken wir ein bisschen genauer an, das heißt, 01:06:10.040 --> 01:06:11.220 Vorwärtskinematik. 01:06:12.260 --> 01:06:15.700 Die Vorwärtskinematik ist für uns, gegeben sind die 01:06:16.780 --> 01:06:18.820 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, und wir suchen die Endeffektor 01:06:18.820 --> 01:06:22.900 -Geschwindigkeiten, dann brauche ich eigentlich nur dieses gegebene 01:06:22.900 --> 01:06:25.920 Delta -Punkt hier in meiner Gleichung einzusetzen, und dann habe ich 01:06:25.920 --> 01:06:26.260 die Lösung. 01:06:28.360 --> 01:06:34.200 Andersrum, wenn wir die karthesischen Geschwindigkeiten haben, und wir 01:06:34.200 --> 01:06:37.220 suchen die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, das ist eigentlich die 01:06:37.220 --> 01:06:39.520 Inverse -Kinematik, aber im Geschwindigkeitsraum. 01:06:40.260 --> 01:06:41.980 Ja, also das ist die gleiche Definition. 01:06:42.180 --> 01:06:46.560 Hier, das ist die Vorwärtskinematik im Geschwindigkeitsraum, gegeben 01:06:46.560 --> 01:06:49.480 sind die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, wo ist meine Hand? 01:06:51.140 --> 01:06:54.700 Also vorher war, gegeben sind die Gelenkwinkel, wo ist meine Hand 01:06:54.700 --> 01:06:55.100 jetzt? 01:06:55.500 --> 01:06:58.700 Gegeben sind die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, wie schnell bewegt 01:06:58.700 --> 01:06:59.540 sich meine Hand? 01:07:00.460 --> 01:07:11.700 Und andersrum, ich weiß, wie schnell sich meine Hand bewegen soll, 01:07:12.060 --> 01:07:15.120 entlang einer bestimmten Trajektorie, und jetzt, welche 01:07:15.120 --> 01:07:19.100 Gelenkwinkelgeschwindigkeiten muss ich auf die einzelnen Gelenke 01:07:19.100 --> 01:07:19.740 aufschalten? 01:07:20.200 --> 01:07:21.420 Was müssen wir also machen? 01:07:21.500 --> 01:07:24.360 Wir müssen eigentlich nach Delta-Punkt auflösen. 01:07:24.360 --> 01:07:27.080 Und wie lösen wir nach Delta-Punkt auf? 01:07:28.060 --> 01:07:29.780 Naja, wir invertieren, oder? 01:07:30.560 --> 01:07:33.900 Wir brauchen nur eine Inverse von dieser Matrix, weil Delta-Punkt ist 01:07:33.900 --> 01:07:39.840 die Inverse-Matrix von der Jacobi-Matrix multipliziert mit dem hier, 01:07:40.460 --> 01:07:43.660 und wenn alles gut geht und ich brauche meine Gelenkwinkel aus 01:07:43.660 --> 01:07:46.980 irgendeinem Grund, dann muss ich das, was ich hier bekommen habe, 01:07:47.720 --> 01:07:49.860 integrieren und dann bekomme ich die Gelenkwinkel. 01:07:51.320 --> 01:07:51.600 Oder? 01:07:51.780 --> 01:07:53.960 Das ist ja eine ganz saubere Mathematik. 01:07:54.540 --> 01:07:55.100 Stimmt das? 01:07:57.040 --> 01:07:59.380 Gibt es irgendeinen Haken an der Stelle? 01:08:02.220 --> 01:08:05.420 Okay, ich nehme ihn, weil ich ihn noch nicht kenne. 01:08:05.880 --> 01:08:09.180 Ja, genau. 01:08:09.780 --> 01:08:13.120 Also die Voraussetzung ist natürlich hier, dass diese Jacobi-Matrix 01:08:13.120 --> 01:08:14.440 invertierbar sein muss. 01:08:16.220 --> 01:08:19.680 Und wir haben vorher gesehen, die Jacobi-Matrix haben wir definiert 01:08:19.680 --> 01:08:24.680 als eine M mal N-Matrix. 01:08:26.400 --> 01:08:31.380 Und M war die Dimension vom Arbeitsraum, also unser sechstimensionaler 01:08:31.380 --> 01:08:33.840 Raum, in dem der Roboter arbeiten soll. 01:08:34.480 --> 01:08:38.520 Und N war die Anzahl der Gelenke, die der Roboter hat. 01:08:39.360 --> 01:08:45.920 Das heißt, eigentlich ist diese Jacobi-Matrix nur dann invertierbar, 01:08:46.120 --> 01:08:48.280 wenn der Roboter nur sechs Gelenke hat. 01:08:50.200 --> 01:08:54.800 Aber es gibt, wie ihr wisst, und ich hoffe, ihr wisst das, weil ihr 01:08:54.800 --> 01:08:59.680 habt ja die A-Mars jetzt so oft gesehen und gehört und so weiter, fast 01:08:59.680 --> 01:09:04.700 alle neun eigentlich Roboterarmee, die man hat und die man gerade 01:09:04.700 --> 01:09:07.780 entwickelt, nicht nur in der humanoiden Robotik, sondern auch für 01:09:07.780 --> 01:09:11.720 industrielle Anwendungen, haben sieben Freiheitsgrade oder acht 01:09:11.720 --> 01:09:13.280 Freiheitsgrade oder mehr als das. 01:09:13.780 --> 01:09:17.460 Natürlich gibt es hier, die Mathematik hat auch Lösungen, es gibt ja 01:09:17.460 --> 01:09:21.020 Approximationen für die Inversion von nicht-quadratischen Matrizen, 01:09:21.240 --> 01:09:26.320 also zum Beispiel Pseudo-Inversion, auf die wir in den Übungen nochmal 01:09:26.320 --> 01:09:31.520 eingehen können oder werden oder vielleicht eingehen werden. 01:09:32.580 --> 01:09:33.240 Stimmt das? 01:09:34.160 --> 01:09:38.920 So, das war also die erste Frage, das heißt, wir sehen die 01:09:38.920 --> 01:09:42.760 Verwandtenbeziehungen im Geschwindigkeitsraum, aber was auch wichtig 01:09:42.760 --> 01:09:44.380 ist, sind Kräfte und Momente. 01:09:45.280 --> 01:09:49.160 So, das heißt, wir nehmen nach wie vor an, dass unser Arm, die 01:09:49.160 --> 01:09:52.880 Kinematik bewegt sich entlang der gleichen Trajektorität. 01:09:53.560 --> 01:09:58.140 Und wir wollen gucken eigentlich, welche Kräfte und Momente sind 01:09:58.140 --> 01:10:02.020 notwendig, zum Beispiel in den einzelnen Gelenken, welche Drehmomente 01:10:02.020 --> 01:10:06.520 sind notwendig, damit ich welche Kräfte und Momente am Endefektor 01:10:06.520 --> 01:10:08.220 habe. 01:10:08.780 --> 01:10:11.940 Das ist natürlich sehr wichtig, wenn ich etwas manipulieren, ein 01:10:11.940 --> 01:10:15.340 Objekt mit einem bestimmten Gewicht manipulieren soll, dann sind es 01:10:15.340 --> 01:10:20.180 Kräfte und Momente, die auf der Hand einwirken und dementsprechend 01:10:20.180 --> 01:10:27.040 muss ich Kräfte und Momente in den einzelnen Gelenken als Soll 01:10:27.040 --> 01:10:33.740 -Vorgaben für die Steuerung vorgeben, damit das geleistet wird. 01:10:34.260 --> 01:10:38.060 Und wir wollen sehen, wie eigentlich diese Beschreibungen, die wir 01:10:38.060 --> 01:10:41.620 hier haben, speziell die Jacobi-Matrix, auch diese Fragen beantwortet. 01:10:41.740 --> 01:10:45.720 Also nehmen wir an, wir haben diese Trajektorie, die Kinematik bewegt 01:10:45.720 --> 01:10:49.340 sich entlang der Trajektorie, dann wissen wir, dass die geleistete 01:10:49.340 --> 01:10:57.720 Arbeit im Gelenkwinkelraum und im Arbeitsraum gleich sein muss. 01:10:58.760 --> 01:11:02.180 Und wir vernachlässigen jetzt zunächst mal die Reibung. 01:11:02.340 --> 01:11:05.020 Wir wissen eigentlich, die Arbeit, was ist die Arbeit? 01:11:05.600 --> 01:11:10.860 Also in einem bestimmten Intervall T1 bis T2 ist die Leistung und die 01:11:10.860 --> 01:11:12.180 Integral von der Leistung. 01:11:13.260 --> 01:11:17.380 Und wir wissen, wenn wir Kraft mal Geschwindigkeit haben, dann ist es 01:11:17.380 --> 01:11:20.520 die Leistung und die Integral davon ist die Arbeit, W. 01:11:21.420 --> 01:11:26.440 Und im Gelenkwinkelraum ist das nichts anderes, als statt 01:11:26.440 --> 01:11:30.520 Geschwindigkeit hier, Gelenkwinkelgeschwindigkeit, statt Kraft ist das 01:11:30.520 --> 01:11:35.060 Drehmoment, also Drehmoment multipliziert mit der 01:11:35.060 --> 01:11:37.980 Winkelgeschwindigkeit bekommen wir die Leistung. 01:11:38.300 --> 01:11:41.100 Und wenn wir integrieren hier, dann bekommen wir die Arbeit. 01:11:41.500 --> 01:11:45.020 Ja, also in beiden Räumen muss alles, das ist Energieerhaltungssatz, 01:11:45.120 --> 01:11:46.500 da kann ja nichts anderes passieren. 01:11:47.100 --> 01:11:51.620 In beiden Welten haben wir die gleiche, muss die Arbeit gleich 01:11:51.620 --> 01:11:52.120 aussehen. 01:11:53.300 --> 01:11:57.180 Und wir wissen, Thetapunkt sind die Gelenkwinkelgeschwindigkeiten, Tau 01:11:57.180 --> 01:12:01.220 sind die Drehmomente in den einzelnen Gelenken, ja, also in jedem 01:12:01.220 --> 01:12:05.940 Gelenk ist ein bestimmtes Drehmoment, X-Punkt ist die Geschwindigkeit 01:12:05.940 --> 01:12:13.260 vom Endeffektor und F ist ein sechstimensionaler Vektor, der auf dem 01:12:13.260 --> 01:12:14.460 Endeffektor einwirkt. 01:12:14.700 --> 01:12:19.900 Also das einmal, wie schwer zum Beispiel das Objekt und welche Kräfte 01:12:19.900 --> 01:12:21.640 und Momente wirken, auch da. 01:12:22.260 --> 01:12:25.220 So, jetzt, was wollen wir damit? 01:12:25.440 --> 01:12:28.260 Wir wollen mal folgendes mal sehen, das heißt, wir haben diese 01:12:28.260 --> 01:12:32.460 Beziehung hier hergeleitet und ich hoffe, jeder hat es verstanden. 01:12:33.600 --> 01:12:37.520 Und das muss natürlich für jeden, also die Beziehungen oder diese 01:12:37.520 --> 01:12:40.600 Beziehung muss für jedes Zeitintervall gelten, deshalb können wir 01:12:40.600 --> 01:12:42.060 diese Integrale weg machen. 01:12:43.280 --> 01:12:48.740 Dann bekommen wir Thetapunkt transponiert mal Tau, ist X-Punkt 01:12:48.740 --> 01:12:52.060 transponiert mal F, also die ist transponiert, ist hier aufgetaucht, 01:12:52.160 --> 01:12:56.200 weil wir zu Matrixschreibweisen übergegangen sind und nicht nur 01:12:56.200 --> 01:12:58.100 Skalariverte hier betrachten. 01:12:59.680 --> 01:13:02.940 Und X-Punkt haben wir eigentlich kennengelernt. 01:13:03.040 --> 01:13:07.940 X-Punkt ist nichts anderes als Jacobi-Matrix multipliziert mit Theta 01:13:07.940 --> 01:13:08.360 -Punkt. 01:13:09.180 --> 01:13:13.220 Transponiert bedeutet, dass Theta-Punkt transponiert mal Jacobi-Matrix 01:13:13.220 --> 01:13:14.000 transponiert. 01:13:14.580 --> 01:13:19.600 Und wenn ich das hier für X-Punkt einsetze, dann komme ich auf diese 01:13:19.600 --> 01:13:24.900 Gleichung und wenn Theta-Punkt hier, wie man sieht, kann beliebig 01:13:24.900 --> 01:13:28.720 sein, deshalb kann ich Theta-Punkt auf beiden Seiten eliminieren, dann 01:13:28.720 --> 01:13:32.620 bekomme ich diese tolle Gleichung, die sagt mir, dass die 01:13:32.620 --> 01:13:37.500 transponierte Jacobi-Matrix die Drehmomente, die in den einzigen 01:13:37.500 --> 01:13:41.420 Gelenken auftreten in Beziehung zu den Kräften und Momenten, die am 01:13:41.420 --> 01:13:44.360 Endeffektor einwirken, setzt. 01:13:45.020 --> 01:13:48.880 Und zwar, die Drehmomente in den Gelenken sind nichts anderes als die 01:13:48.880 --> 01:13:52.700 Jacobi -Matrix transponiert, multipliziert mit den Kräften und 01:13:52.700 --> 01:13:57.920 Momenten, die am Endeffektor einwirken. 01:13:58.220 --> 01:13:59.660 Das ist ja fast ein Zauber. 01:13:59.820 --> 01:14:02.280 Eigentlich brauchen wir nur die Jacobi-Matrix, dann können wir fast 01:14:02.280 --> 01:14:03.920 die komplette Robotik lösen, oder? 01:14:04.120 --> 01:14:06.500 Zumindest was das Greifen und Manipulation angeht. 01:14:07.360 --> 01:14:11.160 So, also zusammengefasst, die Jacobi-Matrix setzt Kräfte und Momente 01:14:11.160 --> 01:14:15.500 am Endeffektor in Relation zu Drehmomenten in den Gelenken. 01:14:16.300 --> 01:14:18.460 Damit können wir folgende Probleme lösen. 01:14:18.920 --> 01:14:22.480 Wenn die Kraft am Endeffektor gegeben ist, weil wir wissen, wie schwer 01:14:22.480 --> 01:14:26.260 zum Beispiel die Objekte, die wir manipulieren wollen, dann können wir 01:14:26.260 --> 01:14:30.440 hier einsetzen und kriegen wir die Drehmomente, die dazu notwendig 01:14:30.440 --> 01:14:30.660 sind. 01:14:31.360 --> 01:14:35.400 Wenn die Drehmomente in den Gelenken vorgegeben sind, dann können wir 01:14:35.400 --> 01:14:39.260 natürlich bestimmen, welche Kräfte notwendig sind. 01:14:39.360 --> 01:14:44.560 Dann müssen wir natürlich diese Inverse dann von dieser Matrix auch 01:14:44.560 --> 01:14:45.180 bilden. 01:14:47.240 --> 01:14:52.280 So, nun mathematisch betrachtet haben wir gesehen, dass die Jacobi 01:14:52.280 --> 01:14:55.360 -Matrix eigentlich vieles für uns löst und die Frage, wie berechnet 01:14:55.360 --> 01:14:56.480 man diese Jacobi-Matrix? 01:14:56.740 --> 01:14:57.680 Ganz genau. 01:14:57.820 --> 01:15:00.280 Also wir haben eine Funktion mit mehreren Variablen. 01:15:00.420 --> 01:15:04.060 Diese Funktion ist für uns die Vorwärtskinematik, die hängt von den 01:15:04.060 --> 01:15:07.780 Variablen Theta 1, Theta 2, Theta 3 bis Theta n und wir müssen das 01:15:07.780 --> 01:15:12.860 tatsächlich die Funktion nach den einzelnen Variablen, also die 01:15:12.860 --> 01:15:16.540 partielle Ableitung der Funktion nach den einzelnen Variablen machen. 01:15:17.400 --> 01:15:20.320 So, und das wollen wir mal ein bisschen angucken. 01:15:20.720 --> 01:15:26.780 Es gibt aber in der Robotik oder in diesem Spezialfall auch andere 01:15:26.780 --> 01:15:27.460 Varianten. 01:15:28.660 --> 01:15:32.080 Da werden wir auch Beispiele in der Übung dazu machen, wie man diese 01:15:32.080 --> 01:15:36.920 Jacobi -Matrix geometrisch berechnen kann und zwar spaltenweise, weil 01:15:36.920 --> 01:15:42.000 wir wissen ja, wir leiten spaltenweise die einzelnen Komponenten der 01:15:42.000 --> 01:15:44.540 Funktion nach den unabhängigen Variablen. 01:15:45.620 --> 01:15:49.460 Und bei dieser geometrischen Berechnung ist ganz interessant, kann man 01:15:49.460 --> 01:15:53.840 das ganz schnell, natürlich muss man die Geometrie von dem Arm kennen, 01:15:54.020 --> 01:15:55.300 also von der kinematischen Kette. 01:15:56.200 --> 01:16:06.120 Und wenn wir nach einer Variablen ableiten, die zu einem 01:16:06.820 --> 01:16:11.240 Translationsgelenk in der kinematischen Kette gehört, dann haben wir 01:16:11.240 --> 01:16:19.700 Folgendes, dass wir ein Gelenkj, also diese Translation wird um 01:16:19.700 --> 01:16:24.640 Gelenkj in Richtung von einem Einheitsvektor Vj durchgeführt. 01:16:25.380 --> 01:16:30.060 Dann sieht man eigentlich, dass die letzten drei, ich meine, das ist 01:16:30.060 --> 01:16:38.360 jetzt eine Nx6-Matrix oder eine 6xN-Matrix, was wir kriegen in dem 01:16:38.360 --> 01:16:42.400 Fall, wenn wir im 6-dimensionalen Arbeitsraum bleiben. 01:16:42.960 --> 01:16:47.800 Und wenn wir hier die Richtung durch diesen Vektor gegeben haben, dann 01:16:47.800 --> 01:16:52.360 ist tatsächlich die Komponente oder die Spalte von der Jacobi-Matrix 01:16:52.360 --> 01:16:57.680 hier, die zu der Axi j gehört, nichts anderes als diese Richtung, der 01:16:57.680 --> 01:17:03.760 Einheitsvektor Vi und alle drei weiteren Elemente sind null, weil das 01:17:03.760 --> 01:17:09.140 ist ein Translationsaxel und deshalb gibt es keine Abhängigkeiten der 01:17:09.140 --> 01:17:15.040 Rotationen und deshalb die letzten drei Einträge hier sind null. 01:17:15.140 --> 01:17:21.980 Wenn es ein Rotationsgelenk ist, also wir nehmen an, das Gelenkj führt 01:17:21.980 --> 01:17:28.160 eine Rotation um eine Rotationsaxi Vi, die wir ja kennen sowieso, an 01:17:28.160 --> 01:17:34.300 einer bestimmten Position Pi, wo dieses Pi im Basiskoordinatensystem 01:17:34.300 --> 01:17:39.580 beschrieben ist, dann kann man tatsächlich die Spalte der Jacobi 01:17:39.580 --> 01:17:40.760 -Matrix so eingeben. 01:17:40.960 --> 01:17:45.000 Natürlich, die Rotation ist nichts anderes als die Rotationsaxi, also 01:17:45.000 --> 01:17:48.960 der Vektor, der Einheitsvektor entlang der Rotationsaxi, weil der 01:17:48.960 --> 01:17:51.080 beschreibt ja die Änderungen der Rotationen. 01:17:51.760 --> 01:17:55.480 Die Position ist ein bisschen komplizierter und zwar die ergibt sich 01:17:55.480 --> 01:18:03.400 aus dem Kreuzprodukt von diesem Einheitsvektor der Rotationsaxi mit 01:18:03.400 --> 01:18:09.500 dem Abstand zwischen der aktuellen Position vom Endeffektor und der 01:18:09.500 --> 01:18:13.440 Position vom Gelenk im Basiskoordinatensystem. 01:18:15.060 --> 01:18:18.420 Das kann man hier leiten, das will ich jetzt an der Stelle nicht 01:18:18.420 --> 01:18:22.040 machen, aber man kann tatsächlich bequem, wenn die Geometrie von dem 01:18:22.040 --> 01:18:27.940 Manipulator gegeben ist, auf diese einfache Art und Weise die Jacobi 01:18:27.940 --> 01:18:29.940 -Matrix -Spalten berechnen. 01:18:30.340 --> 01:18:33.740 Aber wir wollen es numerisch und allgemein machen. 01:18:34.680 --> 01:18:38.220 Vorher vielleicht hier die Eigenschaften, also die beschreibt für uns 01:18:38.220 --> 01:18:41.760 die Jacobi-Matrix die Beziehungen zwischen Geschwindigkeiten der 01:18:41.760 --> 01:18:45.900 Gelenkwinkel und Geschwindigkeiten des Endeffektors und gleichzeitig 01:18:45.900 --> 01:18:50.540 beschreibt sie für uns auch Beziehungen zwischen Drehmomenten in den 01:18:50.540 --> 01:18:55.640 Gelenken und Kräften und Momenten am Endeffektor und die ist natürlich 01:18:55.640 --> 01:18:58.620 abhängig von der Gelenkwinkelkonfiguration. 01:19:00.500 --> 01:19:05.360 Einfaches Beispiel, wie man das so berechnet, um noch auf das, was du 01:19:05.360 --> 01:19:07.080 gesagt hast vorher zurückzukommen. 01:19:07.260 --> 01:19:11.960 Also wir haben hier einen Manipulator mit zwei Gelenken, Theta 1 und 01:19:11.960 --> 01:19:16.520 Theta 2, das sind die Segmenti L1 und L2. 01:19:18.300 --> 01:19:23.480 Wir arbeiten in diesem Arbeitsraum, das sind die Koordinaten X1 und X2 01:19:23.480 --> 01:19:24.560 und nicht X und Y. 01:19:25.640 --> 01:19:30.580 Und was wir eigentlich wissen, wir wissen, dass die Vorwärtskinematik 01:19:30.580 --> 01:19:35.960 mit X gleich F von Theta beschrieben werden kann und X, wie gesagt, 01:19:36.080 --> 01:19:41.640 ist X1 und X2, also nicht XY und Theta sind die zwei Gelenke Theta 1 01:19:41.640 --> 01:19:42.380 und Theta 2. 01:19:42.620 --> 01:19:46.000 Und wir wissen eigentlich, dass X-Punkt ist die Jacobi-Matrix 01:19:46.000 --> 01:19:52.600 multipliziert mit Theta-Punkt, sprich in dem Beispiel hier haben wir 01:19:52.600 --> 01:19:57.400 X1 -Punkt, X2-Punkt ist gleich die Jacobi-Matrix, die ist in dem Fall 01:19:57.400 --> 01:20:01.560 eine 2x2-Matrix multipliziert mit Theta 1-Punkt, Theta 2-Punkt. 01:20:02.220 --> 01:20:04.660 Und nun, wie berechnen wir diese Jacobi-Matrix? 01:20:05.700 --> 01:20:07.320 Wir brauchen diese Funktion. 01:20:07.640 --> 01:20:11.100 Wir suchen ja eigentlich diese Funktion und diese Funktion ist nichts 01:20:11.100 --> 01:20:14.680 anderes als unsere Vorwärtskinematik, also die beschreibt die Lage von 01:20:14.680 --> 01:20:18.740 dem Endeffektor in Abhängigkeit von den Gelenkwinkeln und das können 01:20:18.740 --> 01:20:21.180 wir hier ganz einfach bestimmen. 01:20:24.420 --> 01:20:30.820 Wir wissen, X1 ist nichts anderes als L1Cos Theta 1 plus, mit so ein 01:20:30.820 --> 01:20:34.980 bisschen Geometrie, L2Cos Theta 1 plus Theta 2. 01:20:35.660 --> 01:20:41.460 X2 ist nichts anderes als L1 mal Sinus, das ist der Abschnitt hier, 01:20:41.660 --> 01:20:44.820 plus L2 Sinus Theta 1 plus Theta 2. 01:20:45.300 --> 01:20:47.160 Und das ist unsere Funktion eigentlich. 01:20:47.500 --> 01:21:00.500 Also wir haben eine Funktion, wir haben X, das ist unser X hier, ist 01:21:00.500 --> 01:21:05.700 gleich diese Funktion von Theta, wobei Theta ein Vektor natürlich ist 01:21:05.700 --> 01:21:12.240 und hängt von Theta, ein Vektor mit den zwei Komponenten Theta 1 und 01:21:12.240 --> 01:21:12.720 Theta 2. 01:21:13.540 --> 01:21:16.640 So und was müssen wir machen, damit wir die Kurbelmatrix bekommen? 01:21:16.780 --> 01:21:19.460 Wir müssen tatsächlich das ableiten. 01:21:20.600 --> 01:21:25.440 So, das heißt, wir leiten ab, X1 Punkt ist gleich Ableitung von 01:21:25.440 --> 01:21:29.600 Cosinus ist minus Sinus, innere Ableitung nicht vergessen, weil wir 01:21:29.600 --> 01:21:33.800 leiten nach der Zeit ab und Theta hängt von der Zeit ab, deshalb minus 01:21:33.800 --> 01:21:40.200 L1 Theta 1 Punkt Sinus Theta 1 minus L2, dann die innere Ableitung ist 01:21:40.200 --> 01:21:43.840 Theta 1 Punkt plus Theta 2 und die Ableitung von Cosinus ist Sinus, 01:21:44.340 --> 01:21:47.620 ist minus Sinus, für X2 das gleiche. 01:21:48.040 --> 01:21:53.860 Wenn wir ein bisschen aufräumen, das heißt, wir fassen alles zusammen, 01:21:54.020 --> 01:21:58.280 was Theta 1 ist und alles zusammen, was Theta 2 ist und wir übertragen 01:21:58.280 --> 01:22:02.160 das in diese Matrix-Schreibweise, dann bekommen wir X1 Punkt, X2 Punkt 01:22:02.160 --> 01:22:07.360 und hier unsere Theta Punkt, Theta 1 Punkt, Theta 2 Punkt und dann 01:22:07.360 --> 01:22:12.200 hier, wie man sieht, die zwei, die einzelnen Elemente von dieser 2x2 01:22:12.200 --> 01:22:12.700 Matrix. 01:22:13.220 --> 01:22:14.260 Und was bedeutet das? 01:22:14.380 --> 01:22:19.300 Das bedeutet, die erste Spalte ist unsere J1 und die zweite Spalte ist 01:22:19.300 --> 01:22:19.800 J2. 01:22:21.400 --> 01:22:24.100 Und wenn wir das haben, dann können wir eigentlich das inverse 01:22:24.100 --> 01:22:30.700 kinematische Problem lösen, weil wir haben jetzt das hier, das heißt, 01:22:30.880 --> 01:22:34.420 wenn mich beispielsweise Theta 1 Punkt und Theta 2 Punkt 01:22:34.420 --> 01:22:38.880 interessieren, um die Tasse zu greifen oder zu erreichen, dann muss 01:22:38.880 --> 01:22:42.940 ich nur diese Matrix hier invertieren und das ist eine 2x2 Matrix, 01:22:43.680 --> 01:22:47.080 normalerweise leicht invertierbar, es sei denn, diese Matrix ist 01:22:47.080 --> 01:22:48.300 singulär, oder? 01:22:49.220 --> 01:22:52.000 So, und wann ist diese Matrix singulär? 01:22:53.180 --> 01:22:56.960 Kann jemand das so spontan herausfinden? 01:22:59.900 --> 01:23:04.840 Wenn irgendwelche Spalten oder Zeilenvektoren linear abhängig sind und 01:23:04.840 --> 01:23:08.940 wenn wir hier zum Beispiel Theta 2 gleich 0 haben, dann sind 01:23:08.940 --> 01:23:13.360 eigentlich J1 und J2 linear abhängig voneinander und deshalb ist die 01:23:13.360 --> 01:23:14.900 Matrix dann nicht mehr invertierbar. 01:23:15.380 --> 01:23:19.460 Obwohl das so ein einfaches Problem ist, nur zwei Gelenke und nur im 01:23:19.460 --> 01:23:23.900 2D, also nur X1 und X2 im Arbeitsraum. 01:23:24.980 --> 01:23:29.240 Und da sieht man hier, dass wir immer eine Lösung haben, solange diese 01:23:29.240 --> 01:23:36.780 J1 und J2, also die Spaltenvektoren in dieser Matrix nicht linear 01:23:36.780 --> 01:23:37.640 abhängig sind. 01:23:38.760 --> 01:23:42.200 Und wenn das der Fall ist, dann kann sich tatsächlich der Endeffektor 01:23:42.200 --> 01:23:44.580 in beliebiger Richtung in der Ebene bewegen. 01:23:45.280 --> 01:23:51.080 Wenn das nicht der Fall ist, wenn sie linear abhängig sind, dann ist 01:23:51.080 --> 01:23:55.800 die Matrix singulär, also zum Beispiel bei Theta 2 gleich 0 und somit 01:23:55.800 --> 01:23:59.440 werden die Bewegungen von dem Endeffektor eingeschränkt. 01:23:59.560 --> 01:24:02.980 Da kann der Endeffektor sich nicht in beliebiger Richtung bewegen. 01:24:04.080 --> 01:24:07.900 So, man sieht, wir wollen auch das Thema ein bisschen vertiefen, was 01:24:07.900 --> 01:24:11.000 Singularitäten bei Roboterarmen bedeuten. 01:24:12.240 --> 01:24:14.860 Also das heißt, die Jacobi-Matrix ist nicht invertierbar. 01:24:15.600 --> 01:24:19.460 Physikalisch betrachtet, also nicht invertierbar und wir müssen hier 01:24:19.460 --> 01:24:20.180 invertieren. 01:24:20.800 --> 01:24:24.080 Das ist so, wenn wir im Skalaren sind, als ob wir durch Null 01:24:24.080 --> 01:24:24.740 dividieren. 01:24:25.540 --> 01:24:30.860 Und wenn wir durch Null dividieren, heißt es so unendlich, oder? 01:24:31.960 --> 01:24:39.000 Und wenn wir das bei einem physikalischen System haben, dann bedeutet 01:24:39.000 --> 01:24:44.280 das eigentlich, dass der Roboter unendlich große Geschwindigkeiten 01:24:44.280 --> 01:24:48.340 braucht, um aus solchen singulären Konfigurationen rauszukommen, was 01:24:48.340 --> 01:24:51.620 physikalisch und technisch nicht realisierbar ist. 01:24:52.520 --> 01:24:56.340 Und deshalb sollen natürlich alle solchen singulären Stellungen bei 01:24:56.340 --> 01:24:58.420 einem Roboterarm vermieden werden. 01:24:59.400 --> 01:25:05.320 Das ist auch einer der wesentlichen Aspekte, die ich bei der 01:25:05.320 --> 01:25:10.940 Motivation hier, oder die in der Gliederung des Kapitels hier standen, 01:25:10.980 --> 01:25:13.860 dass wir uns diese Singularitäten hier angucken wollen. 01:25:15.480 --> 01:25:18.940 So, und das werden wir das nächste Mal dann machen. 01:25:19.180 --> 01:25:20.820 Also was bedeutet Singularitäten? 01:25:21.640 --> 01:25:26.940 Und was bedeutet das für die Beweglichkeit von der kinematischen Kette 01:25:26.940 --> 01:25:34.400 oder vom Roboterarm, wenn solche zwei Spalten von der Jacobi-Matrix 01:25:34.400 --> 01:25:39.400 linear abhängig sind, dann sind das eigentlich solche Situationen, wie 01:25:39.400 --> 01:25:41.020 Gelenke ineinander übergehen. 01:25:41.200 --> 01:25:45.600 Also wenn ich meinen Arm strecke und ich rotiere jetzt den Oberarm in 01:25:45.600 --> 01:25:49.960 die Richtung und den Unterarm in die Richtung, dann bleibt die 01:25:49.960 --> 01:25:53.360 Orientierung vom Endeffektor gleich, obwohl ich unterschiedliche 01:25:53.360 --> 01:25:57.920 Gelenkwinkelkonfigurationen für Oberarmdrehung und Unterarmdrehung 01:25:57.920 --> 01:25:58.180 habe. 01:25:58.840 --> 01:26:00.480 Aber für heute machen wir Schluss. 01:26:00.640 --> 01:26:01.940 Ich bedanke mich sehr für die Aufmerksamkeit.