Wir betrachten Funktionen, die nach R abbilden, also in die reellen
Zahlen.
Wir haben also irgendeine nicht leere Menge x, das ist der
Definitionsbereich, der kann ganz beliebig sein.
Und der Wertebereich sollen aber die reellen Zahlen sein, man spricht
hier auch von reellwertigen Funktionen.
Weiterhin geben wir uns ein Niveau vor, das ist das Alpha.
Und wir definieren die Höhenlinie von f zum Niveau Alpha.
Was ist das?
Das bezeichnen wir, also die Bezeichnungen sind hier nicht
einheitlich, aber wir bezeichnen das mit h, Index f, da also die
Funktion, an der Stelle Alpha.
Und definiert ist es als die Urbildabbildung, wir sind hier nicht bei
objektiven Funktionen, die Urbildabbildung steht hier, von der Menge,
die nur das Alpha enthält.
Und was ist das?
Erinnerung an Urbildabbildung?
Das sind all diejenigen Punkte aus dem Definitionsbereich, die von f
auf Alpha abgebildet werden.
Das Ding, also diese Menge, nennt man Höhenlinie.
Warum nennt man das Höhenlinie?
Also ich habe ja schon gesagt, das hat was mit Geografie zu tun.
Stellen Sie sich vor, der Boden, auf dem ich hier laufe, ist eine
Landkarte.
Also eine ziemlich große Landkarte.
Und Sie waren jetzt überall da, wo die Landkarte eben Land anzeigt,
und haben gemessen, wie hoch sie sind.
Also Höhe über Normal 0.
Und haben an jedem Punkt dieser Karte notiert, wie hoch sie sind.
Das können Sie sich als Abbildung angucken, nämlich als Abbildung, die
die Ebene, den Boden, in die reellen Zahlen in der Höhe abbildet.
Also jedem Punkt auf dem Boden von der Karte wird eine Höhe
zugeordnet.
Das ist eine Abbildung.
X ist in dem Fall die Ebene.
Und der Wertebereich sind die reellen Zahlen.
Also genau so eine reellwertige Abbildung, die Sie hier haben.
Und es sind Sie Bergsteiger.
Und die Karte zeigt meinetwegen irgendwelche Berge.
Und Sie suchen sich eine schön angenehme Route, wo Sie wenig hoch und
runter müssen.
Also fänden Sie es doch schön, wenn Sie irgendwie einen Pfad fänden
auf dieser Landkarte, wo das Niveau gleich bleibt.
Also wo Sie keine Höhenänderungen zu erwarten haben.
Und das können Sie in Landkarten nachlesen.
Nämlich da sind einfach Punkte, die auf derselben Höhe liegen, durch
eine Linie verbunden.
Meinetwegen auf der Höhe 100.
Also auf der Höhe 100 über Normal 0 haben Sie eine Linie auf der
Landkarte.
Die Höhenlinie.
Und diese Linie ist genau, also wenn Sie diese Menge, die hier steht,
aufzeichnen würden auf der Landkarte, wäre das genau diese Höhenlinie,
die die Kathografen da eingezeichnet haben.
Genau diese Menge von Punkten, die, wenn Sie sie mit f abbilden,
dieselbe Höhe liefern.
Und deswegen heißt es die Höhenlinie.
Okay, ich habe hier noch ein grafisches Beispiel.
Ich kann das nicht so schön machen, hier von der Ebene in die reellen
Zahlen.
Ich habe es viel einfacher gemacht, nämlich von den reellen Zahlen in
die reellen Zahlen.
Wir betrachten hier eine Funktion, die geht von R nach R.
Was macht die?
Wenn das Argument kleiner gleich ist als 1, ist die Funktion gegeben
durch x² plus 3 halbe.
Wenn das Argument größer als 1 und kleiner gleich als 4 ist, ist die
Funktion konstant 1 halb.
Und wenn das Argument größer als 4 ist, ist die Funktion gegeben durch
die Wurzel des Arguments minus 3 halbe.
Und wenn Sie den Graphen dieser Funktion zeichnen, Graphen haben wir
ja gestern gelernt, dann bekommen Sie diese schwarze Linie.
Und das habe ich mir ein Niveau ausgesucht, nämlich das Niveau 1 halb.
Und die Höhenlinie in blau eingezeichnet.
Also die Höhenlinie, streng genommen...
Die Zeichnung ist vielleicht nicht ganz so klug, wie ich dachte.
Streng genommen haben Sie als Höhenlinie eine Teilmenge des
Definitionsbereichs.
Das heißt, wenn Sie hier sauber sein wollen würden, müssen Sie die
Höhenlinie eigentlich hier unten im Definitionsbereich einmalen.
Also das, was ich hier blau dazu male.
Das sind all diejenigen Punkte aus dem Definitionsbereich, die von der
Abbildung f auf das Niveau, in dem Fall 1 halb, abgebildet werden.
Also all diejenigen Punkte, die ich hier unten blau eingemalt habe,
die von f abgebildet werden auf die Höhe 1 halb.
Und die 1 halb habe ich hier mit der gestrichelten Linie.
Das ist Niveau 1 halb, habe ich hier eingezeichnet.
Was Sie also machen ist, Sie legen dieses Niveau in die Funktion rein,
diese gestrichelte Linie, und gucken, wo schneidet diese gestrichelte
Linie Ihre Funktion.
Das ist die blaue Linie, der blaue Bereich und dieser blaue Punkt.
Und wenn Sie jetzt die Argumente von diesen Funktionswerten sich
hernehmen, bekommen Sie das, was ich gerade in Handblau eingezeichnet
habe, und das von mir in Handblau eingezeichnet, das ist genau die
Höhenlinie.
Und auch wenn das Ding Höhenlinie heißt, weil es eben aus der
Geografie kommt, heißt es nicht, dass es eine zusammenhängende Menge
sein muss.
Wir sehen hier, Sie haben hier diese Höhenlinie, dieses
zusammenhängende Stück, und hier diesen weiteren einzelnen Punkt.