So, kommen wir zurück zur Mechanik.
Wir haben in der letzten Vorlesung den Arbeitssatz behandelt und
gesehen, am Ende ergab sich, die Arbeit aller am Massenpunkt
angreifenden Kräfte entspricht gerade der Differenz der kinetischen
Energien am Ende und am Anfang.
Die kinetische Energie war dann beim Massenpunkt im halbe R-Punkt
-Quadrat bzw.
V-Quadrat, also eine skalare Größe.
Heute betrachten wir den Fall, dass sich die Kräfte aus einem
Potenzial ableiten lassen oder anders ausgedrückt, dass wir ein
Potenzial für die Kräfte formulieren können.
Das wird uns dann später zum sogenannten Energiesatz führen.
Eigentlich müssten wir sagen, Energiesatz der Mechanik für
konservative Systeme.
Also der gilt natürlich nur in den Sonderfällen dann, wo für alle
Kräfte ein entsprechendes Potenzial formuliert werden kann.
Wir haben gesehen, die Arbeit von einer Kraft,
die war ja gerade integral FDR,
sodass, wenn wir das mal über kathesische Koordinaten ausdrücken, das
gerade ergibt, jetzt sehen wir F, wird dann gebildet über FX in E-X
-Richtung plus FY in E-Y-Richtung plus FZ in E-Z-Richtung.
Die Verschiebung DR, da haben wir DX in X-Richtung, DY in Y-Richtung
und DZ in Z-Richtung.
Bilden wir das Skalarprodukt, dann ergibt sich gerade FX mal DX plus
FY, DY plus FZ, DZ.
Wenn wir, wie gesagt, kathesische Koordinaten voraussetzen.
Nun, wir wissen, die Arbeit von einer Kraft, ist relativ einleuchtend,
die hängt im Allgemeinen davon ab, entlang welchem Weg der Massenpunkt
sich bewegt.
Als Beispiel hat man schon betrachtet, so eine Reibkraft, wenn wir
jetzt irgendwie so ein Block hinter uns herziehen, wir haben trockene
Reibung, das führt auf jeden Fall zu einer Reibkraft, die der Bewegung
entgegengesetzt gerichtet ist.
Das heißt, je länger der Weg, desto größer wird die Arbeit sein,
betragsmäßig zumindest.
Das heißt,
im Allgemeinen abhängig
vom Weg, das heißt, wenn wir den Massenpunkt zwischen zwei Punkten
bewegen, beschrieben zum Beispiel durch die Ortsvektoren R0 und R1,
dann haben wir beim einen Weg eine Arbeit W1, bei einem anderen Weg
eine Arbeit W2 und im Allgemeinen haben wir dann eben W1
Allerdings gibt es jetzt Sonderfälle,
also Sonderfall,
wenn nämlich W integrabel ist unabhängig vom Weg.
Das heißt,
dann, wenn die Arbeit unabhängig vom Weg ist, ist auch W1 gleich W2
gleich W, egal welchen Weg der Massenpunkt zurückliegt.
Wichtig sind dann nur die Endpunkte R0 und R1.
Jetzt, wann gilt das?
Und dies gilt immer dann,
wenn die Kraft F ein
Potenzial, wir nennen das V, manche nennen das auch U, an den
Buchstaben sollte man sich nicht stören, also ein Potenzial V besitzt
oder wenn sich, anders formuliert, die Kraft F aus einem Potenzial
ableiten lässt.
Und was steckt dahinter?
Kraft und Potenzial sind dann verknüpft über und
wenn wir die Kraft F, die im Allgemeinen von den Raumkoordinaten
abhängen kann, also abhängig von X, Y und Z, wenn wir kathesische
Koordinaten haben, dann gerade ist und wir haben gesehen, die Kraft
können wir darstellen über ihre Koordinaten, Fx in die x-Richtung plus
Fy in die Ey-Richtung plus Fz in Z-Richtung.
Wenn wir das schreiben können, na gut, die Kraft Fx entspricht der
Ableitung des Potenzials nach der X-Koordinate, also wäre das dV nach
dx in Ex-Richtung, die Koordinate Fy entspricht dann der Ableitung des
Potenzials nach Y, also plus dV nach dy in Ey-Richtung und bei der Z
-Koordinate ganz analog, also dV nach dz in Ez-Richtung.
So könnte man das machen, allerdings hat man als Konvention jetzt
eingeführt, dass man davon das Negative nimmt.
Also man sieht, hier haben wir ein Minuszeichen, ich gehe es mal an,
das ist eine Konvention.
So, wenn wir uns die Klammer anschauen, dann sehen wir dV nach dx mal
Ex plus dV nach dy, Ey plus dV nach dz, Ez.
Das entspricht gerade dem Gradienten der Skalarengröße V bei
Verwendung von kathesischen Koordinaten.
Also, in der Klammer haben wir gerade den Gradienten von V stehen,
deshalb können wir das jetzt praktisch angeben als Minusgradient V.
Der Gradientenoperator macht ja aus einer Skalarengröße dann
entsprechend eine vektorielle Größe.
So, wenn wir das vergleichen, dann sehen wir, haben wir auch so
gesagt, die Koordinate fx,
die ist gerade Minus dV nach dx, das fy entspricht Minus dV nach dy
und das fz Minus dV nach dz.
Das heißt, jetzt können wir diese partiellen Ableitungen in unser
Wegintegral einsetzen.
Dann sehen wir, fx ersetzen wir durch Minus dV nach dx, fy
entsprechend und fz.
Das heißt, das Integral f dr ist dann Integral und dann haben wir
überall das Minuszeichen stehen, das schreiben wir am besten vor das
Integral.
Und dann bleibt innen noch stehen bei fx das dV nach dx mal dx.
Beim fy bleibt stehen dV nach dy mal dy plus dann dV nach dz.
Wie gesagt, das Minuszeichen habe ich aus dem Integral rausgezogen und
jetzt sehen wir, wenn wir mal davon ausgehen,
dV, das totale Differential unseres Potentials.
Dann wissen wir, das Potential hängt im Allgemeinen von x, y und z ab.
Das heißt, das totale Differential entspricht dann gerade partieller
Ableitung von v nach x mal dx.
Also dV nach dx, dx plus dV nach dy, dy plus dV nach dz,
dz.
Das heißt, das was wir jetzt hier stehen haben, wenn wir das totale
Differential unseres Potentials bilden, das steht gerade in der runden
Klammer.
Also steht jetzt unter dem Integral gerade das dV.
Also entspricht Integral f, Skalar mit dr multipliziert, gerade Minus
Integral dV.
Das heißt, wenn wir die Integration zwischen R0 und R1 bilden,
dann müssten wir hier vom Punkt 0 zum Punkt 1 gehen.
dV integriert ergibt einfach das Potential v, gibt also Minus v, 0 und
1, also gerade Minus v1 plus v0.
Minus Minus gibt ja Plus.
Oder anders ausgedrückt,
Integral von R0 bis R1 f dr gibt Minus, und jetzt haben wir da drin
stehend, das v.
Und wenn wir die Zeitpunkte, die entsprechend mit T1 und T0
bezeichnen, dann hätten wir an der Stelle v von R von T1 Minus v von R
von T0.
Also das Wegintegral haben wir jetzt praktisch zurückgeführt auf die
Differenz der Potenziale.
Und man sieht, welchen Weg wir dabei wählen, ist völlig belanglos.
Also unabhängig vom
Weg.
Jetzt, wie kann man eigentlich überprüfen, ob eine Kraft aus einem
Potential abgeleitet werden kann?
Also,
Nachweis, ob f aus einem Potential ableitbar ist oder ob sich ein
entsprechendes Potential formulieren lässt.
Das ist das Analoge.
Nun, rein formal ist es gegeben, wenn die Rotation von f, und wie
gesagt, f ist eine Funktion von x, y und z, wenn wir kathetische
Koordinaten verwenden.
Die muss gerade 0 sein.
Und gerade eben hatten wir den Gradientenoperator, der macht aus einer
Skalarangröße einen Vektor.
Bei der Rotation, die wenden wir auf einen Vektor an, das Ergebnis ist
dann wieder ein Vektor.
Wie sieht der aus, wenn wir mit den kathetischen Koordinaten von f
arbeiten?
Dann können wir das so formulieren.
Die Rotation von f ist dann gerade dfz nach dy minus dfy nach dz.
Und bei den anderen drei Koordinaten, da müssen wir jetzt nur zyklisch
vertauschen.
Das heißt, aus z wird x, aus y wird z.
Deshalb steht da dfx nach dz minus dfz nach dx.
Und in der dritten Zeile dann dfy nach dx minus dfx nach dy.
Und das ist ja 0, wie auf der rechten Seite gefordert, wenn die drei
Koordinaten 0 sind.
Und es klingt jetzt ein bisschen abstrakt.
Was können wir damit anfangen?
Wir können es aber auch ein bisschen anders uns klar machen.
Nämlich, wir haben gesehen, fx ist minus dv nach dx.
Fx ist minus dv nach dx.
Fy ist
minus dv nach dy.
Entschuldigung, dy.
Jetzt machen wir das so, jetzt leiten wir mal das fx nach y ab.
Dann müssen wir rechts auch nochmal nach y ableiten.
Das ergibt dann minus d2v nach dxdy.
Und das fy, das leiten wir nach x ab.
Dann müssen wir auch die rechte Seite nochmals nach x ableiten.
Das ergibt dann minus d2v nach dydx.
Wir sehen auf der rechten Seite haben wir jetzt jeweils minus d2v nach
dxdy.
Die Reihenfolge der partiellen Ableitung ist ja egal.
Also muss aus Kompatibilitätsgründen dfx nach dy gerade sein, dfy nach
dx.
Und wir sehen, das haben wir gerade in der letzten Zeile hier genauso
formuliert.
Bei den anderen Zeilen, die könnte man sich entsprechend auch
herleiten.
Also Rotation von f gleich 0 entspricht gerade den
Kompatibilitätsbedingungen.
Aufgrund der partiellen Ableitungen.
Und wenn wir jetzt irgendwo unseren Startpunkt legen.
Und dann den Weg zurücklegen und wieder am Ausgangspunkt ankommen.
Dann heißt es ja, insgesamt ist die Arbeit null.
Also die Arbeit, die praktisch entzogen wurde oder hinzugefügt, die
wird auch wieder dann entsprechend kompensiert.
Dementsprechend heißen Kräfte, für die diese Eigenschaft gilt, dann
konservative Kräfte, weil die praktisch das Ganze erhalten.
Also Kräfte,
deren Arbeit bei einem geschlossenen Umlauf
erhalten bleibt bzw.
zurückgewonnen wird.
Die heißen
konservativ.
Und die Kräfte, die besitzen
ein Kräftepotenzial,
wir nennen das V, andere vielleicht U, je nachdem.
Und Systeme, bei denen praktisch nur konservative Kräfte vorhanden
sind.
Das heißt, es können schon mal keine Reibungskräfte sein, die heißen
dann eben konservative Systeme.
So,
die Berechnung des Potenzials,
die erfolgt über die Arbeitsberechnung.
Nämlich, wir haben gesehen, B ist Integral von R0 bis R1, F, D, R.
Das ist aber gerade Minus V1 minus V0.
Will man jetzt das Potenzial an einem beliebigen Punkt wissen, gut,
dann integriert man eben bis zu einem offenen Punkt R.
Und sieht dann, na gut, dann hat man das Potenzial gegeben als V von
R.
Das Potenzial hat man dann gegeben als Minus W.
Und hat aber noch so eine Integrationskonstante mit drin, die von R0
abhängt.
Und man wird dann immer versuchen, diese Integrationskonstante so zu
wählen, dass das Ganze möglichst einfach wird.
Das sehen wir dann an den Beispielen.
Also, wir können hier schreiben, das V1 ist dann das V0 minus Integral
von R0 bis R1
F, D, R oder V0 minus W.
Also hier sieht man es doch mal, das Potenzial liegt fest bis auf eine
noch offene Konstante, die davon abhängt, wo wir anfangen mit der
Integration.
Machen wir das mal...
Ja, wenn Sie einen Punkt R0 beginnen und irgendwie sich bewegen und
dann am Ende wieder am Punkt R0 sind.
Dann haben Sie praktisch, irgendwo sind Sie mal gegangen und kommen
wieder am Ausgangspunkt an.
So,
und in der technischen Mechanik,
da haben wir im Wesentlichen zwei Potenziale.
Nämlich erstens, das schwere Potenzial.
Und wenn wir das betrachten, wir haben irgendwo die Bahn, dann wissen
wir, na gut, die Kraft, die wirkt im Allgemeinen senkrecht nach unten.
Beträgt gerade MLG.
Und egal, wo man sich auf der Bahn bewegt, wie gesagt, wenn wir in
einer konventionellen Weise die kathesischen Koordinaten so einführen,
dann haben wir eben MLG in negative Z-Richtung gegeben.
Da müssen Sie jetzt vielleicht ein bisschen aufpassen, wenn mal die
Koordinaten anders eingeführt sind, dann kann sich da am Vorzeichen
was ändern.
Oder ist das nicht mehr die Z-Achse, sondern die Y-Achse oder wie auch
immer.
Sie müssen dann halt die aktuelle Koordinate verwenden und müssen
schauen, das, was wir jetzt hier herleiten, das gilt nur, wenn die
Achse nach oben geht, die entsprechende, und die Erdbeschleunigung in
die entgegengesetzte Richtung.
Und die Kraft F ist MLG.
Jetzt wirkt aber das G nach unten, das heißt ausgedrückt über die
entsprechenden Einheitsvektoren, haben wir dann Minus-MLG mal EZ.
Man sieht, man hat nur die Z-Koordinate, die X- und Y-Koordinaten sind
Null.
Und jetzt lässt sich auch leicht überprüfen, überall da, wo Y- und X
-Koordinaten sind, da fallen die Ableitungen sowieso raus.
Da müssen wir nur noch überprüfen, ob DFZ nach DY Null ist.
Nun gut, wenn FZ konstant ist, wird auch das Null sein.
Und DFZ nach DX, auch das ist Null.
Also haben wir Rotation gleich Null.
Wir haben wirklich einen Fall vorliegen, wo wir ein entsprechendes
Potential formulieren können.
Also, Rotation F gleich Null.
Das heißt, wir haben eine konservative Kraft.
Das heißt, wenn wir jetzt das Potential berechnen wollen, dann wissen
wir, V von R ist dann V von R Null minus Integral von R Null bis R.
Und jetzt setzen wir gleich die entsprechenden kathesischen
Koordinaten für die Kraft.
Und... oder machen wir mal das Skalarprodukt ganz allgemein vielleicht
besser.
Also die Kraft ist dann Minus M mal G mal EZ.
Das war die Kraft in unserem Integral.
Die wird skalar multipliziert mit DR. DR ist aber DX mal EX plus DY
mal EY plus DZ mal EZ.
Und jetzt sehen wir beim Skalarprodukt, da ergibt sich lediglich Minus
M mal G mal DZ.
Also ergibt sich V von R Null minus Integral.
Jetzt bleibt da stehen.
Minus MG DZ.
Dann passen wir noch die entsprechenden Integrationsgrenzen an von Z
Null bis Z.
Nun streng genommen sollten wir immer zwischen Integrationsvariable
und Integrationsgrenze unterscheiden.
Dann müssten wir hier vielleicht noch einen Querstricht drüber machen,
aber ich denke an der Stelle ist das nicht so wichtig.
Das ergibt letztendlich dann das V Null.
Minus, Minus gibt Plus.
M mal G.
Als Konstante können wir das vorderste Integral ziehen, dann bleibt
noch stehen DZ quer.
Das gibt natürlich gerade Z minus Z Null.
Das heißt, wenn wir jetzt eine geschickte Normierung einführen.
V Null gleich M mal G mal Z Null.
Dann sehen wir, dann hebt sich das an der Stelle gerade raus.
Und wir erhalten V von R gleich V von Z gleich M mal G mal Z.
Wenn wir das genauer betrachten, was haben wir dann implizit gemacht?
Wir haben implizit ein Nullniveau festgelegt, das sich gerade bei Z
gleich Null befindet.
Also
wurde so ein Nullniveau bei Z gleich Null festgelegt.
Und das Z ist dann eben die Höhe über
diesem Niveau.
Das heißt, wir haben im Grunde genommen den Fall vorliegen.
Wir haben hier das Nullniveau.
Wir haben nach oben die Z-Koordinate.
Und wir haben nach unten die Erdbeschleunigung G.
Sollte jetzt die Koordinate für die Höhe anders festgelegt sein, einen
anderen Namen haben oder auch eine andere Richtung, müssen wir das
eben entsprechend berücksichtigen.
Die Einführung des Nullniveaus beim Schwerepotential, die ist völlig
beliebig.
Also das können Sie irgendwo festlegen.
Wir werden später sehen, dass praktisch egal wo man das festlegt, die
einzelnen Schwerepotentiale, die man dann formuliert, die
unterscheiden sich jeweils durch Konstanten.
Und diese Konstanten, weil es bei der Arbeit immer um die Differenz
von Potentialen geht, die fallen dann wieder aus der Rechten raus.
Jetzt sehe ich gerade, wir haben die Hälfte der Zeit rum.
Letzte Woche hatte ich Besuch und bei den Russen, da hat man wohl
nicht so lange Vorlesungsstunden.
Und mein Besuch meinte dann, man müsste doch nach einer
Dreiviertelstunde so eine kleine Pause machen, dass man wieder so ein
bisschen frisch wird.
Ich würde mal sagen, melden Sie sich.
Oder erst mal die Frage, hat jemand ein Handy dabei, bei dem man
relativ große Zahlen, auch Integer, dividieren kann?
Sie haben es dabei?
Es hat doch sicher jemand ein Handy dabei, oder?
Kann das jemand machen?
Eine Division von einer 15-stelligen Zahl?
Wie?
Mit Maple müsste das gehen, also es bräuchte ich aber noch zwei
Freiwillige, die nichts miteinander zu tun haben.
Wer meldet sich?
Es ist nichts Wildes.
Sie?
Sie denken sich eine dreistellige Zahl und schreiben die fünfmal
hintereinander.
Es gibt eine 15-stellige Zahl.
Jetzt brauche ich einen zweiten.
Sie denken sich eine fünfstellige Zahl aus und schreiben die dreimal
hintereinander.
Wie?
Mit dem Rechner geht es.
Jetzt sagt er mir zunächst mal seine Zahl.
Wie?
Also 420 gibt dann, jetzt müsste man es ein bisschen formulieren, es
gibt eine 15-stellige Zahl, die sollten Sie eigentlich sagen.
Wird ein bisschen schwierig.
Wie heißt Ihre Zahl?
Und die fünfmal hintereinander geschrieben.
Schauen Sie mal tief in die Augen.
Und Sie auch.
Jetzt muss ich gerade mal nachdenken.
Moment, beide Zahlen müssten dividierbar sein, wie ich gerade gesehen
habe.
Durch 2
.000.000...
Jetzt hoffe ich, dass ich nichts Falsches nehme.
906.161.
Er rechnet es nach.
Er hat eine Zahl gesagt.
Meine war 2.906.161.
Wie?
Aber Integer, es ist praktisch Integer teilbar, das war ja praktisch
die Frage.
161.
Richtig?
Und mit seiner Zahl?
Dann müssen Sie jetzt dreimal hintereinander schreiben.
Und keinen Fehler machen.
Und?
Geht auch?
Da sehen Sie.
Jetzt haben wir eine kleine Pause gehabt, können wir gar nicht
weitermachen.
Die Hausaufgabe, die wäre jetzt natürlich rauszufinden, weshalb ich
das durch einen Blick in die Augen rausfinden konnte.
So, also wie gesagt beim schwere Potential, oberhalb des Nullniveaus
muss das Potential positiv sein, unterhalb des Nullniveaus muss es
negativ sein.
Das nächste Potential, das relativ häufig angewendet wird, ist das
Potential von einer Feder.
Wir nehmen zunächst mal eine Hoogsche Feder an.
Lineare Charakteristik, das heißt die Kraft ist proportional der
Federverlängerung oder Verkürzung.
Und wenn wir da mal so eine Feder haben,
dann beschreiben wir die Feder durch die Federkonstante C.
Und dann haben wir ja hier irgendwie die Kraft F.
Wir haben irgendwo das X Null.
Also hier irgendwo X gleich X Null.
Dann an der Stelle haben wir das X.
Das heißt wir haben jetzt zunächst mal F von R.
Ist dann C mal X.
EX, wenn wir da ziehen, wir wissen ja die Federkraft.
Die war C mal X.
Also,
schreiben wir es noch dazu, spannungslos bei X gleich Null, das hatten
wir so dann eingeführt.
Und wir sehen, jetzt hängt die Kraft zwar von einer der kathesischen
Koordinaten ab, nämlich F X ist C mal X.
Jetzt habe ich es gerade weggewischt, aber man sieht es hier.
Das F X nach Y abgeleitet ist Null.
Das F X nach Z abgeleitet ist Null.
Und ansonsten werden nur noch die Koordinaten F Y und F Z abgeleitet.
Also in dem Fall sind alle Ableitungen, die in der Rotation auftreten,
Null.
Das heißt, es gilt auch hier.
Rotation F gleich Null.
Das heißt, die Kraft ist konservativ.
Es müsste sich ein Potential formulieren lassen.
Und wir haben V von R ist V Null.
Minus Integral von R Null bis R.
Und dann haben wir C X E X multipliziert mit D X E X plus D Y E Y plus
D Z E Z.
Das können wir auswerten.
Das ergibt gerade V Null.
Und dann haben wir Minus.
Und dann steht hier E X mal E X gibt 1.
E X E Y gibt Null.
E X E Z gibt Null.
Also bleibt nur noch stehen Integral C X D X.
Dementsprechend können wir die Integrationsgrenzen noch anpassen.
Also von X Null bis X.
Das ergibt dann V Null.
Minus.
Und C X integriert nach X gibt jetzt C X Quadrat halbe.
Also C X Quadrat halbe.
X Null.
Und X als Grenzen.
Das heißt.
Das ergibt V Null.
Minus C X Quadrat.
Minus C X Null Quadrat.
Allerdings sehen wir jetzt noch den Faktor ein Halb dabei.
X Null.
Und jetzt sehen wir, wenn wir V Null entsprechend wählen.
In dem Falle C X Null Quadrat halbe.
Dann würden wir hier stehen haben.
Mit einer Normierung.
V Null.
Gleich Minus C X Null Quadrat halbe.
Ergibt sich dann eben.
V von R.
Gleich V von X.
Gleich Minus C halbe X Quadrat.
Oh, wird schon mal das Federpotential irgendwo gesehen?
Gab es das schon mal in Physik oder irgendwo anders?
Was hätten wir eigentlich erwartet?
Hat es noch nie jemand gesehen?
Und eigentlich hätten wir nicht Minus C X Quadrat halbe erwartet,
sondern Plus C X Quadrat.
Was ist jetzt passiert?
Hat jemand eine Idee?
An was kann das liegen?
Und an dem Beispiel sehen wir, dass man manchmal ein bisschen
aufpassen muss, bei dem, was man sich so überlegt.
Warum?
Ich habe jetzt gesagt, ja gut, an meiner Feder ziehe ich mit einer
Kraft F.
Aber bei unserer Arbeit, da interessiert uns nicht, wie praktisch an
der Feder gezogen wird, sondern wie die Feder am Massenpunkt zieht.
Das heißt, wenn wir eigentlich jetzt hier den Massenpunkt betrachten,
dann wirkt unsere Feder nicht in positive X-Richtung, sondern die
wirkt entsprechend am Massenpunkt in negative Richtung.
Das heißt, hier oben
wir haben an der Stelle ein Minuszeichen.
Die Rotation, die wir davon nicht berührt, die ist nach wie vor null.
Allerdings haben wir auch hier an der Stelle das Minuszeichen.
Das war jetzt ein bisschen fies, dass ich überall mehr Platz gelassen
habe, wo Sie jetzt vielleicht keine haben.
Dann gibt es an der Stelle entweder im Integral ein Minuszeichen oder
ich mache mal hier ein Pluszeichen.
Dann hätten wir auch an der Stelle ein Pluszeichen.
Und hätten an der Stelle auch ein Pluszeichen, müssten dann das V0 als
Cx0² ½ wählen und hätten dann zum Schluss das Federpotential in der
Form, wie wir es eigentlich kennen, nämlich C ½ x².
Wie man sieht, in dem Falle ist dann x die Auslenkung gegenüber dem
entspannten Zustand.
Das kann eine Verlängerung oder auch eine Zusammendrückung sein.
Und egal, wie wir das machen, das Potential von einer Feder ist in dem
Falle immer positiv.
Also
stets positiv.
Im dreidimensionalen Fall,
was haben wir da?
Da haben wir als V V0 von R dann entsprechend C ½ R².
Müssen dann aber aufpassen, weil R bezeichnet in diesem Fall gerade
die Verlängerung oder Verkürzung der Feder gegenüber dem entspannten
Zustand.
Also R ist eine Federverlängerung oder Verkürzung
gegenüber der entspannten Feder.
Das heißt, wenn Sie jetzt die Feder irgendwo festgemacht haben, Sie
ziehen.
In dem Moment, wo Sie die Länge konstant lassen und sich quer dazu
bewegen, wird keine Arbeit verrichtet.
Nur wenn Sie praktisch sich bei so einer räumlichen Feder in radialer
Richtung die verschieben.
So.
Jetzt kann man sich natürlich fragen, na gut, haben wir das alles gut
verstanden?
In vielen Fällen dann machen wir ein einfaches Modell von unserem
System.
Dann genügen vielleicht so lineare Federcharakteristiken, dass also
die Kraft proportional der Federverlängerung ist.
Wenn man mal reale Federn betrachtet, was weiß ich, irgendwo im Auto
oder sonst wo, dann weiß man natürlich, na gut, die Federn haben nur
innerhalb eines gewissen Bereiches so eine lineare Charakteristik.
Wenn die Federverlängerung oder Verkürzung groß wird oder moderat, na
gut, dann weicht die Kennlinie davon ab.
Entweder progressiv oder degressiv und wie sieht es in so einem Fall
aus?
Also bei nicht
linearer Federcharakteristik
und dann müssen wir das entsprechend machen.
Nehmen wir an, wir verlängern oder verkürzen die Feder nur entlang
einer Koordinate, wie im linken Fall.
Dann haben wir V von X gleich V0 minus Integral von X0 bis X
Federkraft abhängig von X integriert.
Ich unterscheide mal wieder Integrationsvariable und
Integrationsgrenze, weil wir an der Stelle annehmen, wir haben ein
beliebiges X irgendwo.
Und um die Integration auszuführen, muss natürlich die
Federcharakteristik letztendlich bekannt sein.
Das heißt, wenn wir uns als Beispiel mal eine Feder mit einer
kubischen Charakteristik nehmen, also zum Beispiel für eine kubische
Kennlinie, was haben wir da?
Da haben wir als Federkraft
von X gerade minus C1 mal X, das wäre der lineare Anteil, minus C2 mal
X hoch 3.
Also in der Gegend vom Nullpunkt, wenn wir da X haben und hier die
Federkraft, dann sehen wir, ja gut, hier für kleine Werte von X, da
wird das kubische nicht so wichtig sein, wenn wir aber da relativ weit
weg sind, dann haben wir vielleicht so eine Kennlinie, das wäre jetzt
eine progressive Kennlinie.
Oder, es könnte natürlich auch sein, dass die Feder mit zunehmender
Auslenkung weicher wird, das wäre dann entsprechend dem gelben
Verlauf, also beim gelben Verlauf wäre das C2 kleiner als Null und im
roten wäre das C1 größer, das C2 größer als Null, probieren Sie es
einfach mal aus, indem Sie so eine Kennlinie sich auftragen lassen.
Setzen wir das in unsere Potentialberechnung ein, dann ergibt sich V
von X gleich Minus, oder V Null minus Integral von X Null bis X und
dann haben wir drinstehen Minus C1 X minus C2 X hoch 3 dx, um wieder
Integrationsvariable und Integrationsgrenzen zu unterscheiden.
Ich mache mal ein X quer als Koordinate und dann sieht man
die einzelnen Terme im Integral, die lassen sich leicht integrieren.
Es ergibt sich nämlich V Null und jetzt haben wir Minus mal Minus gibt
Plus jeweils, also Plus und jetzt hier C1 X quer Quadrat Halbe Plus C2
X quer hoch 4 Viertel zwischen X Null und X das heißt wenn wir jetzt
entsprechend normieren
haben wir dann eben gerade V von X gleich C1 Halbe X Quadrat Plus C2
Viertel x hoch 4.
Wenn die Federcharakteristik anders aussieht, dann ergeben sich eben
andere Potenziale.
Gibt es soweit noch Fragen?
Dann vielleicht noch eine Anmerkung.
Wir haben auf der linken Seite zunächst mal das schwere Potenzial
eingeführt und dann das Federpotenzial.
Da müssen wir eigentlich beim schwere Potenzial eine kleine
Einschränkung machen.
Nämlich wir haben an der Stelle vorausgesetzt, dass ja das MLG nicht
von der Position abhängt.
Und wenn wir uns hier im Hörsaal bewegen oder auf der Erde, ist das
nährungsweise auch gegeben.
Nun die Richtung von G, die ändert sich vielleicht mal ein bisschen
dadurch, dass wir praktisch eine gekrümmte Erdoberfläche haben, aber
selbst im Normalfall spielt es keine Rolle.
Allerdings, wenn wir mal ein bisschen an die Raumfahrt denken, dann
wissen wir, die Gewichtskraft, die hängt eigentlich nicht so einfach
mit einem konstanten G zusammen, sondern die Kraft aufgrund der
Gravitation, die hängt letztendlich auch vom Abstand ab.
Vom Satelliten zum Beispiel, zur Erde oder zur Sonne oder wie auch
immer.
Also, deshalb geben wir das noch als Anmerkung an, es existiert noch
das Gravitationspotenzial zweier
Massen.
Nennen wir die eine Groß-M, die andere Klein-M, das hat man vielleicht
im Hinterkopf, na gut, die Erde ist eine große Masse, der Satellit ist
eine kleine Masse, aber das müssen eigentlich nicht unbedingt sehr
unterschiedliche Massen sein, die können auch in der gleichen
Größenordnung liegen.
Und in dem Falle hat man als Potenzial, abhängig vom Abstand der
beiden Massen, hat man V von R gleich minus K, das ist die
Gravitationskonstante, mal große Masse, mal kleine Masse, dividiert
durch den Betrag des Abstandsvektors.
Ich schreibe mal Ziehphysik,
das war die Gravitationskonstante K.
Und wie schon erwähnt, wichtig bei Weltraumanwendungen.
Und wenn wir mal voraussetzen, dass unser R gerade entspricht dem
Erdradius R, plus eine zusätzliche Höhe über der Erdoberfläche, also
plus Z,
und wir voraussetzen, dass diese zusätzliche Höhe über der
Erdoberfläche im Vergleich zum Erdradius sehr klein ist, das würde
bedeuten, Z sehr viel kleiner als R.
Da kann man dann zeigen, durch Entwicklung und Weglassen der höheren
Therme, dass das wieder auf das links angegebene schwere Potenzial
führt.
Also führt auf das zuvor angegebene schwere
Potenzial.
So, jetzt haben wir gesehen, der Arbeitssatz besagt ja, dass die
Arbeit der Kräfte, die am Massenpunkt angreifen, gerade der Differenz
der kinetischen Energien entspricht.
Die Arbeit W ist aber gerade V1 minus V0.
Also können wir das an der Stelle einsetzen.
W war ja V1 minus V0, gleich T1 minus T0.
Und jetzt sehen wir, wenn wir die rechte Seite der Gleichung nehmen,
V1 minus V0 gleich T1 minus...
Ne, Moment.
W war minus V1 plus V0.
So war es.
Vorzeigen dürfen wir nicht vergessen.
Jetzt bringen wir das V1 nach rechts, das T0 nach links.
Dann ergibt sich T0 plus V0 gleich T1 plus V1.
Das muss dann gerade der Gesamtenergie E entsprechen, die letztendlich
konstant ist.
Das heißt, man sieht, wenn alle Kräfte konservativ sind, wenn wir für
alle ein entsprechendes Potential formulieren können, dann gilt der
Energieerhaltungssatz der Mechanik, dass also die Summe aus
kinetischer und potenzieller Energie konstant ist.
Also Energieerhaltungssatz der Mechanik für ein konservatives System.
Und man sieht, der ist wie schon der Arbeitssatz nützlich, wenn man
praktisch nicht einer Lösung in Abhängigkeit von der Zeit interessiert
ist, sondern ich weise den Zustand an irgendeinen Ausgangspunkt.
Was ist dann der Zustand, sprich in dem Falle die Geschwindigkeit,
weil die kinetischen Energien ja mit der Geschwindigkeit
zusammenhängen.
Also wie ist die Geschwindigkeit letztendlich an einem anderen Punkt.
Machen wir mal ein Beispiel.
Und zwar ein mathematisches Pendel.
Ich trage jetzt mal ein Koordinatensystem ein.
x und y und dann haben wir ein Pendel.
Die Pendelstange hat die Länge L.
Der Massenpunkt bewegt sich dann auf der Kreisbahn.
Man sieht, die Bewegung des Massenpunktes, die können wir über den
Winkel Phi beschreiben.
Vertikal nach unten wirkt die Erdbeschleunigung.
Und gesucht ist jetzt Phi Punkt in Abhängigkeit von Phi.
Wenn Phi eine allgemeine Lage des Pendels darstellt, die Lösung, die
können wir über einen Energiesatz machen.
Können wir nämlich voraussetzen, dass am Pendel keine Reibkräfte oder
Reibmomente wirken oben im Lager, dass kein Luftwiderstand vorhanden
ist.
Dann haben wir als einzige Kraft die Gewichtskraft, da wissen wir, das
ist eine konservative Kraft.
Da lässt sich ein entsprechendes Potential formulieren und man kann
den Energiesatz letztendlich anwenden.
Also T plus V muss gerade Gesamtenergie E sein, die konstant ist.
Die Frage ist, wie groß ist die kinetische Energie?
Wir wissen, die kinetische Energie von dem Massenpunkt ist m halbe V
Quadrat.
Der Massenpunkt bewegt sich auf einer Kreisbahn mit Radius L.
Dann ist V gerade L mal Phi Punkt, also m halbe L Quadrat Phi Punkt
Quadrat.
Die potenzielle Energie,
und die hängt jetzt davon ab, wo wir ein entsprechendes Nullniveau
festlegen.
Wenn wir das Nullniveau an
der Stelle festlegen, an der sich der Massenpunkt befindet, in der
unteren Lage,
dann wird wichtig, die Höhe H über dem Nullniveau.
Man könnte aber auch, ich mach das mal in Gelb,
hier, dann sieht man, solange sich der Massenpunkt unterhalb dieses
Nullniveaus befindet, ist dann die potenzielle Energie negativ.
Also wir sehen, im roten Fall hätten wir m mal g mal h,
Möglichkeit zwei wäre, V gleich...
Und jetzt sehen wir, in dem Fall befindet sich der Massenpunkt
unterhalb des Nullniveaus, nämlich gerade um L mal Cosinus Phi,
mit Minuszeichen, das wäre praktisch die Höhe unterhalb des
Nullniveaus, mal m mal g. Welche der beiden Möglichkeiten Sie
letztendlich einsetzen, ist egal, das Ergebnis wird immer dasselbe
sein.
Ich klammer das mal ein bisschen ein.
Wir nehmen den roten Fall, dann müssen wir nur noch die Höhe H über
dem Nullniveau ausdrücken, über unsere Winkelkoordinate Phi und dann
sehen wir, das ist m mal g mal L und das H ist dann gerade L minus L
Cosinus Phi, also das L haben wir ausgeklammert, dann haben wir an der
Stelle 1 minus Cosinus Phi.
Und da der Cosinus Phi immer kleiner oder höchstens gleich Null ist,
ist das entsprechende Schwerpotential, wie es aus der Anschauung eben
ersichtlich ist, auch immer positiv.
Das heißt, wenn wir das einsetzen, erhalten wir m halbe L Quadrat Phi
Punkt Quadrat plus m g L 1 minus Cosinus Phi gleich Gesamtenergie E.
Und jetzt sehen wir, wir können relativ leicht nach Phi Punkt
auflösen, wir bringen das m g L mal 1 minus Cosinus Phi nach rechts,
dann multiplizieren wir mit 2, dividieren durch m L Quadrat, dann
haben wir Phi Punkt Quadrat und wenn wir dann noch die Wurzel daraus
ziehen, haben wir eben Phi Punkt.
Als Funktion von Phi, ich gebe mal das Ergebnis an der Stelle an, das
können Sie zu Hause nachvollziehen, gibt 1 durch L und eine Wurzel aus
2 dividiert durch m und jetzt steht hier drin, E minus m g L mal 1
minus Cosinus Phi.
Das heißt, wir haben jetzt Phi Punkt als Funktion von Phi, allerdings
noch mit einer Integrationskonstante, nämlich die Gesamtenergie.
Und wir wissen ja gut, wenn die Gesamtenergie klein ist, dann ist der
Maximalausschlag klein, dann ist auch die maximale Geschwindigkeit,
die das Pendel erreicht am unteren Totpunkt, die ist klein.
Wenn die Gesamtenergie größer ist, dann wird der Maximalausschlag
größer werden und so weiter.
Also letztendlich müssten wir das E noch bestimmen.
Das können wir zum einen machen, indem wir den Maximalausschlag
betrachten.
Nehmen wir mal an, der maximale Ausschlag sei bei Phi gleich Phi 1.
Beim Maximalausschlag, da wissen wir, da ist die Winkelgeschwindigkeit
gerade Null, weil ja da eine Umkehr stattfindet.
Also dort ist dann Phi 1 Punkt ist Null.
Das heißt, wir können das Ganze hier einsetzen.
Phi 1 Punkt ist Null, dann ist also E gleich MGL mal 1 minus Cosinus
von Phi 1
oder aus der Maximalgeschwindigkeit,
dort ist Phi gleich Null und Phi 0 Punkt ist dann das Phi Punkt an der
Stelle.
Und man sieht, wenn Phi gleich Null ist, dann ist 1 minus Cosinus Phi
gerade Null.
Es bleibt also noch übrig die kinetische Energie.
Also E gleich M halbe L Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat.
An der Stelle muss man ein bisschen aufpassen, weil wenn wir das gelbe
Potential nehmen, man an der Stelle natürlich oder vielleicht auch an
der ein bisschen was anderes bekommt.
Dadurch, dass man eine zusätzliche Konstante drin hat.
Die Gesamtenergie muss in beiden Fällen dieselbe sein, deshalb können
wir jetzt noch einen Zusammenhang zwischen Maximalgeschwindigkeit,
Zusammenhang zwischen Phi 0 Punkt und Phi 1 bilden.
Es muss dann MGL mal 1 minus Cosinus Phi 1 gerade M halbe L Quadrat
Phi 0 Punkt Quadrat sein.
Also M halbe L Quadrat Phi 0 Punkt Quadrat muss dann sein MGL mal 1
minus Cosinus von Phi 1.
Man sieht, jetzt kürzt sich das M raus, ein L kürzt sich heraus, das
heißt wir können jetzt nach Phi 0 Punkt auflösen und erhalten
letztendlich Phi 0 Punkt als 2G dividiert durch L, mit 2 multipliziert
durch ML Quadrat dividiert ergibt 2G durch L mal 1 minus Cosinus von
Phi 1, das war aber Phi 0 Punkt Quadrat, das heißt Phi 0 Punkt ergibt
sich, wenn wir daraus noch die Wurzel ziehen.
Jetzt könnten wir noch unsere Gesamtenergie E in
das Integral hier einsetzen, dann hätten wir Phi 0 Punkt als Funktion
von Phi bei gegebenem Maximalausschlag oder auch bei gegebener
Maximalgeschwindigkeit.
Und man sieht beim Pendel hat man jetzt wirklich genau den Fall
vorliegen, dass die Gesamtenergie im konservativen Fall konstant
bleibt und immer ein Wechsel zwischen kinetischer Energie und
potenzieller Energie sich ergibt.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt.
Vielen Dank.