Guten Tag, meine Damen und Herren.
Ich darf Sie zur Vorlesung herzlich begrüßen.
Wie immer kurz der Hinweis, dass wir die Vorlesung aufzeichnen und Sie
sich entsprechend setzen, wenn Sie nicht ins Bild kommen wollen.
Ich denke, so langsam müssten Sie es eigentlich kapiert haben.
In der letzten Vorlesung hatten wir mithilfe des Energiesatzes bei
einem konservativen System letztendlich es erreicht, die
Bewegungsgleichung zu integrieren und dann zum Beispiel die
Geschwindigkeit als Funktion der Position auszudrücken.
Ein bisschen lauter.
Ist es jetzt besser?
Nicht?
Jetzt, das ist das letzte Maximum, was ich rausholen kann, das ist der
obere Anschlag.
Vielleicht sollten die anderen Studenten einfach ruhig sein.
Man hört es dann vielleicht hoffentlich ein bisschen besser.
So, wir haben also gesehen, wir können die Bewegungsgleichung einmal
hoch integrieren und heute betrachten wir mal, wie das aussieht, wenn
unser System nur einen Freiheitsgrad hat.
Dann können wir nämlich das Energieintegral noch ein bisschen
umformen.
Das heißt,
wir werden versuchen, das nochmals zu integrieren.
Und zwar, ich hatte gesagt, als Ausgangspunkt hatten
wir ein konservatives System mit
einem Freiheitsgrad.
Das heißt, dann hatten wir letztendlich mr
Punkt Quadrat, halbe, das war die kinetische Energie, plus die
potenzielle Energie, abhängig vom Ortsvektor, gleich Gesamtenergie.
Jetzt hängt aber der Ortsvektor nur von einem Freiheitsgrad ab, egal
ob das eine Verschiebung x ist oder ein Winkel phi oder sonst
irgendwas.
Nennen wir den Freiheitsgrad mal mit s, dann folgt daraus m Stern
halbe, s Punkt Quadrat plus V von s gleich Gesamtenergie E.
Und weshalb habe ich jetzt hier m Stern halbe geschrieben, das soll
darauf hinweisen, dass da die kinetische Energie sich dahinter
verbirgt, deshalb dieses 1 halb.
Wenn wir jetzt allerdings als Freiheitsgrad einen Winkel wählen, dann
wissen wir, dann kann da vorne eigentlich nicht nur die Masse stehen,
sondern es muss was stehen, Masse mal einer Länge zum Quadrat und beim
mathematischen Pendel wäre das m l Quadrat.
Wenn wir als Freiheitsgrad eine reine Verschiebung haben, dann würde m
Stern wirklich die Einheit von der Masse haben.
Also das soll das Ganze ein bisschen verallgemeinern.
Wenn wir von der Form als Ausgangspunkt ausgehen, dann können wir das
Ganze nach s Punkt auflösen.
Wir sehen, wir bringen das V von s auf die rechte Seite,
multiplizieren mal 2, dividieren durch das m Stern.
Das ergibt dann zunächst mal das s Punkt Quadrat als 2, dividiert
durch das m Stern mal e minus V von s.
Um auf s Punkt letztendlich zu kommen, müssen wir daraus noch die
Wurzel ziehen, also Wurzeln.
s Punkt, wissen wir, ist letztendlich die Ableitung unseres
Freiheitsgrades nach der Zeit t.
Das heißt, jetzt können wir eine Trennung der Veränderlichen machen,
nämlich wir multiplizieren die Gleichung mit dt.
Wir bringen also alles, was die Zeit enthält, nach links.
Alles, was unseren Freiheitsgrad s enthält, nach rechts.
Dazu müssen wir durch die Wurzel dividieren, das ergibt dann dt gleich
ds, dividiert durch die Wurzel, das war 2, dividiert durch m Stern mal
der eckigen Klammer, das war e minus V von s.
Jetzt sehen wir, nach Trennung der Veränderlichen können wir ohne
weiteres links und rechts entsprechend integrieren.
Das heißt, wir integrieren links zum Beispiel von t0 bis t1,
dementsprechend rechts von s gleich s0 bis s gleich s1.
Die linke Seite können wir dabei noch sehr leicht auswerten, nämlich
das Integral dt ergibt gerade die Zeit t.
Unsere Integrationsgrenzen t0 und t1 eingesetzt, ergibt dann gerade t1
minus t0.
Das heißt, jetzt haben wir die Zeit als Funktion dieses Integrals, da
fehlt noch die eckige Klammer, das heißt formal haben wir jetzt die
Gleichung noch einmal integriert.
Wenn es uns gelingt, das Integral rechts streng auszuwerten, dann
haben wir wirklich eine Lösung, t in Abhängigkeit von s.
Falls nicht, dann können wir zumindest das Integral durch eine
sogenannte Quadratur bestimmen, das heißt man wählt sich innerhalb des
integranten Stützpunkte und summiert die entsprechend auf mit
bestimmten Regeln, die müssten Sie eigentlich aus der Mathematik
kennen.
Wobei anzumerken ist, dass die Nährungsweise-Lösung von so einem
Integral eigentlich wesentlich einfacher ist, als eine
Differentialgleichung zu lösen.
Also
nach unter Umständen numerischer
Auswertung des
Integrals hat
man dann t in Abhängigkeit von s Und meistens sind wir gewohnt oder
wollen wir die Lage bzw.
den Freiheitsgrad
als Funktion der Zeit.
Dazu brauchen wir dann entsprechend die Umkehrfunktion.
Und nach Bilden der Umkehrfunktion haben
wir dann eben S von T bzw.
den Ortsvektor als Funktion der Zeit.
Gibt es hierzu Fragen?
Als Beispiel betrachten wir das mathematische Pendel aus der letzten
Vorlesung.
Das heißt, da hatten wir zunächst mal aus dem Energiesatz m halbe l
Quadrat mal 4 Punkt Quadrat.
Das war die kinetische Energie und Sie sehen, da haben wir jetzt eben
gerade nicht nur eine Masse stehen, sondern eine Masse mal eine Länge
zum Quadrat in dem Falle.
Plus potenzielle Energie, die hängt in dem Falle davon ab, wo wir das
Nullniveau hinlegen.
Da hatten wir auch mehrere Möglichkeiten gesehen.
Wir wählen mal die von letzter Vorlesung.
Die Vorlesung ist dann E bzw.
mgl mal 1 minus Cosinus von V1 und V1 war der Maximalausschlag.
Also letztendlich in dem Falle eine Konstante.
Oder wenn wir ein bisschen weiter denken, bei der Lösung von solchen
Differenzialgleichungen treten immer Anfangsbedingungen auf.
Letztendlich wird hierdurch auch die Lösung bestimmt, weil eben die
Gesamtenergie vom Maximalausschlag abhängt.
So, wenn wir das Ganze auflösen, das haben wir gemacht, dann ergibt
sich für V Punkt Quadrat gerade 2g dividiert durch L mal Cosinus von V
minus Cosinus von V1.
Das heißt für V Punkt, daraus die Wurzel,
das heißt dV nach dt, das war V Punkt, ist dann 2g dividiert durch L
mal Wurzel aus Cosinus V minus Cosinus.
Moment, die Wurzel muss weiter vorne.
Cosinus von V1, so war es.
Wenn wir es nochmal ausführlich machen, jetzt multiplizieren wir mit
dt durch, dividieren durch die Wurzel, dann steht eben dt gleich dV
dividiert durch Wurzel aus 2g dividiert durch L Cosinus V minus
Cosinus von V1.
Wir integrieren auf beiden Seiten, links von T0 bis T1,
beziehungsweise, wenn wir das für eine allgemeine Lage und eine
allgemeine Zeit wollen, dann integrieren wir von einer Anfangszeit bis
zu einem allgemeinen Zeitpunkt T, sollten dann aber auch die
Integrationsvariable unterscheiden, ich schreibe deshalb mal dt quer,
und wenn wir rechts dann entsprechend integrieren von einem
Anfangswinkel V0 bis zum allgemeinen Winkel V, dann sollten wir auch
rechts vielleicht Integrationsvariable und Integrationsgrenze
unterscheiden, das Cosinus oder das V1 war eine Konstante, also da
muss ich keinen Querstrech drüber machen.
Und jetzt sieht man, die linke Seite lässt sich sehr leicht auswerten,
das ergibt T minus T0 und rechts steht ein Integral von V0 bis V,
können Sie das noch lesen, gerade so einigermaßen?
Leider funktioniert die zweite Tafel immer noch nicht.
Und dann haben wir drinstehen d phi quer, dividiert durch die Wurzel
aus 2g, dividiert durch L, Cosinus phi minus Cosinus von phi 1.
Jetzt haben Sie praktisch nur noch das Problem, das Integral auf der
rechten Seite zu lösen, und das macht man heute am besten vielleicht
mit einem Formelmanipulationsprogramm oder auch mit Tabellenwerken.
Letztendlich ist das an der Stelle nicht ganz einfach, das führt auf
sogenannte elliptische Funktionen.
Also führt auf elliptische Funktionen, zunächst mal führt das T von
phi und dann braucht man die Umkehrfunktion, das sind so Dinge wie
Sinus, Amplitudinus und so weiter, das führen wir an der Stelle nicht
weiter aus.
Wichtig ist, da gibt es theoretisch strenge Lösungen, als Student oder
Studentin hat man dann wieder die Schwierigkeit, wie berechne ich
eigentlich die elliptischen Funktionen, oder?
Muss man sich ungefähr so vorstellen, wie berechne ich Sinus oder
Cosinus, nun da sind wir gewohnt, das tippen wir in den Taschenrechner
ein und dann auf den Sinus oder den Cosinus und der Taschenrechner
macht das schon.
Früher war das nicht ganz so einfach, in der vorbinären Zeit, was gab
es da?
Da gab es irgendwelche Tabellenwerke, wo praktisch abhängig vom
Argument bis zu vier Stellen dann die Sinus- und Cosinus-Werte
angegeben waren oder in dem Fall dann eben die Werte dieser
elliptischen Funktionen, genauso wie es früher beim Logarithmus oder
anderen Funktionen war.
Also, es werden schon mal solche Tabellenbücher gesehen, niemand mehr,
so ändert sich die Zeit.
Und damit letztendlich das Vieh auch in Abhängigkeit von der Zeit.
Gibt es soweit Fragen?
Und dann kommen wir zum Impulssatz bzw.
Drallsatz und
ich sage mal in integraler Form.
Überlegen wir nochmal, wie kamen wir zum Energiesatz der Mechanik?
Ganz einfach, wir haben die Bewegungsgleichung einmal hoch integriert,
in dem Fall bezüglich S oder R.
Wir könnten natürlich auch versuchen, die Grundgleichung der Mechanik
bezüglich der Zeit zu integrieren.
Also, Ausgangspunkt haben
wir jetzt wieder F, Summe aller Kräfte am Massenpunkt gleich
Massimalbeschleunigung, also m mal a.
Das war m R2-Punkt bzw.
m mal dv nach dt.
Und wie gesagt, zunächst mal für den Impulssatz führen
wir jetzt eine Integration bezüglich der Zeit durch.
Das heißt, wir haben zunächst mal F gleich m mal dv nach dt.
Wir integrieren jetzt auf beiden Seiten bezüglich der Zeit.
Das heißt links, Integration von T0 bis T1 dt.
Rechts, und wenn wir das integrieren, dann müssen wir uns
vergegenwärtigen, dass hier immer dieselbe Masse betrachtet wird.
Also die bleibt konstant, deshalb können wir die Masse aus dem
Integral rausziehen.
Dann haben wir auch hier von T0 bis T1 dt.
Wir sehen, die rechte Seite, die können wir jetzt leicht integrieren,
das gibt nämlich m Integral dv.
Ich schreibe mal Zustand 0 bis 1.
Und wir sehen, es gibt gerade m mal v von T1 minus v zum Zeitpunkt T0.
Das heißt, wenn wir jetzt als neue Größe den Impuls einführen,
p gleich m mal v,
was haben wir dann?
Und dann haben wir Integral von T0 bis T1 f dt.
Gleich auf der rechten Seite m mal v1 minus v0.
Oder p1, also der Impuls, zum Zeitpunkt t gleich t1 minus den Impuls
zum Zeitpunkt t gleich t0.
Und im Deutschen ist das jetzt ein bisschen ungeschickt, warum?
Weil sowohl das p bezeichnet man als Impuls, wie auch das Zeitintegral
über die Kraft.
Also gehen wir das mal an, Integral von T0 bis T1 f dt.
Das ist ein Impuls, ein Zeitintegral der Kraft.
Einheit, dann entsprechend von der Kraft war das Newton, integriert
nach der Zeit gibt dann Newton Sekunde.
Newton war, das war Newton, ausgedrückt in den Einheiten.
Ein Newton ist ein Kilogramm Meter pro Sekunde Quadrat, multipliziert
mit einer Sekunde heißt also Kilogramm Meter pro Sekunde.
Und da sehen wir, das sollte natürlich so sein, weil wie gesagt, p
gleich m mal v.
Das ist eine Bewegungsgröße,
auch Impuls genannt.
Und die Einheit, da sieht man, Masse war Kilogramm, Geschwindigkeit
war Meter pro Sekunde, also ebenfalls Kilogramm Meter pro Sekunde oder
Newton Sekunde.
Also fassen wir es mal in Worten zusammen.
Das Integral der Kraft entspricht der Änderung des Impulses,
und zwar während dieser Zeitspanne.
Und wenn wir das einmal nach der Zeit ableiten,
ich fahre es nochmal hoch,
wir sehen, wenn wir das nicht bis t1, sondern bis zu einem beliebigen
Zeitpunkt t machen, müssen wir dann hier durch dt quer ersetzen.
Wenn wir dann dieses Kraftintegral nach der Zeit ableiten, was bleibt
dann noch übrig?
Wissen alle, wie man ableitet, wenn die Integrationsgrenzen von der
Variable abhängen, nach der man ableitet?
Manchmal brauchen wir doch ein bisschen Mathematik.
Rein anschauungsmäßig würden wir sagen, wenn wir das Kraftintegral
nach der Zeit ableiten, dann ergibt sich wieder die Kraft.
Dass dem so ist, kann man wirklich streng zeigen.
Eigentlich hat man dann drinstehen, ich mache es mal so,
Integral von t0 bis zu einem beliebigen Zeitpunkt t, über f dt quer,
dann hat man aber auch hier die Abhängigkeit der Kraft von t quer,
gleich p von t minus p von t0.
Das besagt letztendlich der Impulssatz und jetzt sieht man, wenn man
das Integral nach der Zeit ableitet, wenn wir die Zeitableitung ins
Integral reinziehen, dann gibt es 0, aber plus den Integranten, obere
Grenze eingesetzt, also f von t, mal die Ableitung der oberen Grenze
nach der Variable, nach der wir ableiten, das ist gerade 1, minus im
Integranten die untere Grenze eingesetzt, mal die Ableitung der
unteren Grenze nach der Variable, nach der abgeleitet wird, aber da t0
eine Konstante ist, fällt das weg, also es gibt gerade wirklich f von
t.
Und wenn wir die rechte Seite ableiten, dann ist das p von t0 eine
Konstante, die fällt raus und dann haben wir eben die Zeitableitung
des Impulses p von t.
Das heißt,
differenzielle Form des Impulssatzes ist dann dp nach dt gleich f,
entspricht also dem zweiten Newton'schen Axiom.
Und ein Sonderfall liegt vor,
wenn eben die Kraft, die auf den Massenpunkt wirkt, zwischen den
Zeitpunkten, wo integriert wird, 0 ist, also Kraft f zwischen t0 und
t1, 0, was passiert dann?
Und dann sehen wir, auf der linken Seite ergibt das Integral gerade 0,
das heißt p ist dann gerade m mal v oder m mal v0, also letztendlich
ein konstanter Vektor und
man sieht, in dem Sonderfall, wenn m mal v eine Konstante ist, m ist
eine Skalargröße, dann muss also v ein konstanter Vektor sein.
Der Massenpunkt bewegt sich dann eben gradlinig mit konstanter
Geschwindigkeit.
Und was wir jetzt hier auch nochmal gesehen haben, p gleich m mal v,
also Impuls und Geschwindigkeit haben dieselbe Richtung, die
unterscheiden sich nur durch eine Skalargröße.
Wenn wir jetzt mal ein bisschen weiter blicken, in Richtung starrer
Körper, beziehungsweise, wir haben es in der Überschrift schon stehen,
Drallsatz, also da wird es irgendwas mit Drall geben.
Wir sind jetzt hier beim Massenpunkt, da ist noch alles relativ
einfach.
Später beim starren Körper wird man sehen, na gut, der Impuls, der
hängt, ich verrate es mal, mit der Schwerpunktgeschwindigkeit
zusammen.
Wieder dazwischen eine Skalargröße, nämlich die Masse des Körpers, das
leiten wir noch her, im Laufe des Semesters.
Was jetzt den Drall eines starren Körpers anbelangt, so wissen wir, na
gut, der Translation des starren Körpers, das ist das eine, der
entspricht dann aber auch bei Drehbewegungen die Rotation.
Bei Drehbewegungen haben wir gesehen, Geschwindigkeit wäre dann die
Winkelgeschwindigkeit.
Und jetzt ist es so, bei einem starren Körper, bei einem allgemeinen
starren Körper, hat die Winkelgeschwindigkeit als Vektor eine
bestimmte Richtung.
Der Drall des Körpers kann aber eine andere Richtung haben.
Also der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Drall ist
beim starren Körper sehr viel komplizierter.
Weil man da nicht nur eine Skalargröße dazwischen hat, sondern, und
das wird dann erst im nächsten Semester behandelt, für die, die noch
dabei sind, da hat man dann als dazwischenstehend den sogenannten
Trägheitstensor.
Das ist schon mal ein bisschen vorausblickend.
Wie gesagt, hier beim Impuls, zwischen Impuls und Geschwindigkeit
lediglich die Masse M.
Und was bringt uns so eine integrierte Form, bei der wir sozusagen
über die Kraft, die auf den Massenpunkt wirkt, integrieren?
Und die richtigen Anwendungen, die werden wir erst später machen,
nämlich am Ende des Semesters, wenn es um Stoßvorgänge handelt.
Was bezeichnen wir als Stoßvorgänge?
Stoßvorgänge sind Vorgänge, bei denen innerhalb eines sehr kurzen
Intervalls sehr große Kräfte auftreten.
Dementsprechend werden auch große Beschleunigungen auftreten.
Wenn die uns aber während der Stoßphase gar nicht interessieren,
sondern nur das, was vor dem Stoß der Fall ist und das, was nach dem
Stoß der Fall ist, dann wird es gut sein, wenn wir praktisch den
Impulssatz in integraler Form haben.
Wenn Sie also heute Abend zum Billiardspielen denken und mal kräftig
auf die Kugel hauen und die eine Kugel die andere trifft, denken Sie
daran, die Zeitdauer, welche die beiden Kugeln in Kontakt sind, die
wird sehr klein sein, die entsprechenden Kräfte allerdings relativ
groß und wenn wir im Sinne der Mechanik dann wieder an Modellbildung
denken, macht man das natürlich so, dass man sagt, na gut, die
Impulsdauer, also das Zeitintervall, über den die Kräfte wirken, das
lassen wir gegen null gehen, die Kräfte, die gehen dann theoretisch
gegen unendlich, wenn schon mal jemand was von der Dirac
-Impulsfunktion gehört hat, der kann das vielleicht ein bisschen
einordnen.
Also man nimmt an, die Kräfte werden schon beliebig groß, die
Zeitdauer beliebig klein, aber wenn wir drüber integrieren, dann
ergibt sich ein endlicher Wert und das wäre gerade in dem Falle das
Kraftintegral und in Realität ist natürlich die Stoßdauer immer
endlich und die Kräfte begrenzt, auch schon aufgrund des Materials,
aber für unsere Modellbildung eben sehr gut geeignet.
Ein bisschen in die Richtung haben Sie auch schon Modellbildung
betrieben in der TM1, warum?
Und da rechnen Sie viel mit diskreten Kräften, die an einem Punkt
wirken.
Letztendlich wirken die immer, zumindest als Linienlast oder als
Flächenlast eigentlich, weil so eine diskrete Einzelkraft ist immer
das Modell, was wir dazu machen.
So, kommen wir zum Drehimpulssatz.
Da haben wir vielleicht eine Vorüberlegung,
nämlich wir betrachten das Moment einer Kraft bezüglich einem
Bezugspunkt O,
das heißt, wir haben zunächst mal eine Kraft F, wir haben den
Bezugspunkt und jetzt deute ich mal die Ebene an, die durch die Kraft
F und den Bezugspunkt O gegeben ist.
Also das sei jetzt praktisch mal die Ebene.
Wie gesagt, F liegt in der Ebene und der Bezugspunkt O, dann können
wir formulieren den Vektor R zum Kraftangriffspunkt, wobei jetzt R und
F noch den Winkel Alpha einschließen und dann wissen wir, das Moment
bezüglich O ist gegeben durch R Kreuz F, das heißt, ich deute nochmal
hier so parallel zur Kraft F den Verlauf an, das Moment ist letztlich
ein Vektor,
der aufgrund des Kreuzproduktes sowohl senkrecht zu R steht wie auch
zu F, also der steht senkrecht zur Ebene, also Richtung senkrecht der
Ebene durch R und F gebildet und der Betrag, das wissen wir, ist
Betrag des einen Vektors mal Betrag des anderen Vektors mal Sinus
Alpha, also R mal F mal Sinus Alpha und wir sehen,
R mal Sinus Alpha gibt letztendlich gerade den Abstand der
Wirkungslinie vom Punkt O, also das wäre jetzt hier das A, der Abstand
der Wirkungslinie vom Punkt O, also können wir schreiben gleich F mal
A.
Insofern nichts Neues,
jetzt können wir allerdings eine analoge kinetische Größe einführen,
also damit analoge kinetische Größe,
nämlich wir sagen, der Drall unseres Massenpunktes bezüglich dem
Bezugspunkt O ist gerade R kreuz P, P war M mal V, also haben wir R
kreuz M mal V, das heißt, wenn wir das wieder einzeichnen, Bezugspunkt
O, wir haben den Massenpunkt und jetzt haben wir eben irgendwo eine
Geschwindigkeit V,
wir haben den Vektor vom Bezugspunkt O zum Massenpunkt, das war R, ich
zeichne wieder so ein bisschen angedeutet die Ebene ein, die durch V
und O gebildet wird und dann sehen wir, auch hier wird wieder wichtig,
der Winkel Alpha zwischen dem Ortsvektor zum Massenpunkt vom
Bezugspunkt aus und der Geschwindigkeit und was
wir vielleicht hier noch einzeichnen können, ist die Bahn des
Massenpunktes, dass man es sich vielleicht ein bisschen besser
vorstellen kann, wobei die Bahn natürlich oder die Geschwindigkeit
tangential an die Bahn verläuft und jetzt haben wir das L bezüglich O
eingeführt, wie gesagt, das steht senkrecht zu R und senkrecht zu V,
damit auch senkrecht zur Ebene, die von beiden gebildet wird, das war
also dann der Vektor L bezüglich O.
Nun, wie nennt man die Größe?
Das ist entweder der Drall oder
auch Drallvektor, der Drehimpuls oder
auch das Impulsmoment
und wenn man es mal im Englischen ausdrückt, vielleicht sollte man das
mal an der Stelle machen, einige wollen ja vielleicht ins Ausland
gehen während des Studiums, der Impuls P, das wäre das Linearmomentum,
der Drall, das wäre das Moment of Momentum und dann hätten wir eben
noch den Impuls für das Kraftintegral bzw.
gut, das kommt erst hier.
So, die Richtung, wie schon beim Moment,
senkrecht R und V und der Betrag,
dann analog, L bezüglich O war dann M mal V mal den Abstand A, wenn
wir praktisch die Geschwindigkeit hier als Linie uns denken, vom Punkt
O.
Gibt es, soweit Fragen?
Ich habe
gesagt, die Geschwindigkeit und der Impuls, die haben dieselbe
Richtung.
Die unterscheiden sich nur durch den sklaren Faktor, in dem Fall die
Masse.
Später, wenn wir starre Körper betrachten, speziell bei der räumlichen
Bewegung, aber auch schon bei der ebenen Bewegung, muss man sich klar
machen, der Drall-Vektor, den wir uns dort noch herleiten müssen,
warum?
Hier haben wir nur einen Massenpunkt, ein starrer Körper ist ja
zusammengesetzt aus beliebig vielen Massenpunkten, die differenziell
gleiten, das müssen wir uns noch herleiten und so ein bisschen als
Ausblick habe ich gesagt, da wird sich dann zeigen, dass zwischen der
Winkelgeschwindigkeit des Körpers und dem Drall des starren Körpers,
also hier haben wir einen Massenpunkt, kann man nicht ganz
vergleichen, dass beide nicht dieselbe Richtung haben, sondern
praktisch der Drall eine Vektorfunktion von der Winkelgeschwindigkeit
ist und dazwischen steht dann der Trägheitstensor, der anders als die
Masse ein Tensor zweiter Stufe ist.
Oh, das soll jetzt aber nicht abschrecken, machen wir alles noch.
Das war im Prinzip ein bisschen Vorgeplänkel.
Warum, was machen wir jetzt?
Wir schreiben nochmal unsere Grundgleichung an, nämlich M mal R2 Punkt
gleich F,
beim Energiesatz hatten wir das mit dr multipliziert und integriert,
beim Impulssatz hatten wir das einfach bezüglich der Zeit integriert,
was wir jetzt machen ist, wir bilden zuerst von links das Kreuzprodukt
mit R und
integrieren anschließend.
Also, jetzt wird integriert von T0 bis T1, auch rechts von T0 bis T1
und wir sehen, R Kreuz F war gerade das Moment aller Kräfte auf den
Massenpunkt bezüglich unserem Bezugspunkt O, also rechts haben wir das
Integral von T0 bis T1, M bezüglich O DT stehen.
Die Masse als skalare Größe, die nicht von der Zeit abhängt, die
könnten wir natürlich jetzt nach vorne ziehen und vor das Integral
schreiben.
Dann haben wir im Integral noch stehen, R Kreuz R2 Punkt.
Jetzt schauen wir mal was das gibt.
R Kreuz R2 Punkt.
Na gut, da könnten wir ja mal R Kreuz R Punkt ableiten.
Dann sehen wir, wenn wir das machen, dann ergibt sich R Kreuz R2
Punkt, das haben wir hier stehen, aber wir haben noch die
Produktregel, also Plus R Punkt Kreuz R Punkt.
Wie gesagt Produktregel.
Jetzt wissen wir aber, das Kreuzprodukt von dem Vektor mit sich selbst
ergibt Null, also das ist gerade der Nullvektor, also R R2 Punkt
können wir ersetzen durch R Kreuz R Punkt und das Produkt nach der
Zeit abgeleitet.
Das heißt, wenn ich das jetzt ins linke Integral einsetze, ich habe
gesagt, die Masse, die ziehe ich raus, dann habe ich noch das Integral
von T0 bis T1.
Innen drin bleibt stehen, R Kreuz R2 Punkt, das ersetze ich jetzt
durch R Kreuz R Punkt, Punkt DT.
Man sieht, das hochintegriert ergibt M mal R Kreuz R Punkt bei T0 bzw.
T1.
Also setzen wir die obere Grenze T1 ein, dann haben wir R von T1 Kreuz
R Punkt von T1, das ist Masse, die können wir wieder zum R Punkt
schreiben, also R Kreuz M mal V zwischen T0 und T1 ergibt dann R Kreuz
M mal V, haben wir gesehen, R Kreuz M mal V ist der Drall bezüglich O
zum Zeitpunkt T gleich T1 minus Drall bezüglich O zum Zeitpunkt T
gleich T0.
Das war jetzt die linke Seite des Integrals und rechts bleibt stehen
das Integral über das Moment, also T0 bis T1 M bezüglich O DT.
Also
Integral von T0 bis T1 M bezüglich O DT gleich L bezüglich O1 minus L
bezüglich O0.
Das war also der Drallsatz oder Impulssatz oder Drehimpulssatz oder
wie auch immer.
Momentensatz oder Drehimpulssatz.
Wenn wir das für einen allgemeinen Zeitpunkt T gleich T1 machen oder
T1 gleich T, dann können wir den wieder differenzieren, erhalten den
Drallsatz in differenzieller Form,
dann entsprechend als Ableitung des Dralls bezüglich O nach der Zeit T
gleich Summe der Momente der Kräfte, die auf dem Massenpunkt wirkt
bezüglich O.
Gibt es hierzu Fragen?
Kommen wir wieder zum Sonderfall,
dass eben das Moment der Kräfte bezüglich dem Bezugspunkt O
verschwindet.
Wenn wir das anschauen, dann könnte das zum einen sein, dass wir gar
keine Kraft haben.
Das wäre also ein kräftefreier Massenpunkt.
Wie bewegt der sich?
Wir haben gesehen, der bewegt sich auf einer geraden Ebene und wir
sehen, wenn wir uns irgendwo einen Bezugspunkt wählen, dann bewegt
sich der Massenpunkt auf einer Geraden.
Der Abstand dieser Geraden vom Punkt O ist natürlich zeitlich
konstant.
Das wäre der eine Fall, aber beim Moment gibt es auch noch eine andere
Möglichkeit, nämlich wir sehen, wenn der Winkel Alpha zwischen der
Kraft und dem Vektor zum Kraftangriffspunkt verschwindet, Null wird,
dann hat diese Kraft bezüglich O kein Moment.
Also Bezugspunkt O so
gewählt, dass eben M bezüglich O identisch Null ist.
Das ist bei zentralen Kräften zum Beispiel der Fall.
Dann wissen wir, L bezüglich O ist MR Kreuz V bzw.
R Kreuz P ist dann ein konstanter Vektor.
Das wäre praktisch die Drehimpulserhaltung.
Und wenn man versucht, sich das vielleicht noch ein bisschen
anschaulich zu deuten,
also anschauliche Deutung
von L bezüglich O,
nehmen wir an, wir haben unseren Bezugspunkt O, wir haben hier die
Bahn, dann haben wir meinetwegen an der Stelle den Massenpunkt M mit
einem Vektor R
und jetzt während eines kleinen, infinitesimal kleinen Zeiten derweils
dt, bewegt sich der Massenpunkt um dr tangential
zur Bahn.
Das heißt, wenn wir jetzt von O bis zum Massenpunkt und so einen
Strahl denken, dann überstreicht der Strahl eine bestimmte Fläche.
Ich versuche, die mal einzuzeichnen.
Also das wäre die Fläche dA,
die der Strahl während des Zeitintervalls dt überstreicht.
Also während dt
überstreicht r eine Fläche dA.
Die ist natürlich auch nur differenziell klein, weil ja das dr
differenziell klein ist.
Und wir wissen, dA ist, na gut,
die eine Seite mal praktisch dem dr. Jetzt müssen wir aber auch
beachten, wenn das dr senkrecht zu R steht, dann haben wir R mal dr
halbe.
Wenn aber das dr sich oder einen Winkel anders als 90 Grad zu R
einschließt, dann wird wieder wichtig der Sinus des eingeschlossenen
Winkels.
Also dA ist ein Halb.
Mal R mal dr mal Sinus von so einem Alpha.
Wenn ich wieder den Winkel Alpha mir hier denke.
dr war v mal dt.
Und man sieht, das kann ich jetzt relativ einfach schreiben.
Nämlich dA ist ein Halbmalbetrag von R kreuz v dt.
Das heißt, wenn ich jetzt den Vektor einführe, dA, der senkrecht zur
Fläche steht.
Hier so ein dA als Vektor senkrecht sozusagen zur Fläche.
Dann sehen wir, dA als Vektor ist dann ein Halb R kreuz v dt.
Das heißt, wenn wir durch dt dividieren, dann haben wir dA dividiert
durch dt gleich ein Halb mal R kreuz v.
Für die Fläche, die überstrichen wird, als Vektor gedacht.
Und wir sehen,
R kreuz v mal der Masse ist ja gerade der Drall.
Also wenn ich jetzt die Gleichung mit dem Faktor 2 multipliziere und
multipliziere links und rechts mit der Masse, dann erhalte ich links
2m dA nach dt gleich rechts m mal R kreuz v.
Also gerade den Drall bezüglich O.
Also der Drall ist proportional der
Flächengeschwindigkeit.
Kennt jemand ein Beispiel in Form eines relativ alten Gesetzes, was
vielleicht man hiermit sehr leicht zeigen kann?
Niemand?
Ah, das zweite keplerische Gesetz.
Wer weiß, wer Kepler war?
Wer weiß nicht, wer Kepler war?
Das war ein Astronom.
Und der lebte teils in Deutschland, er war geboren glaube ich in
Weilerstadt.
Später war er in Linz.
Seine Mutter war etwas nicht auf den Mund gefallen, was darin
resultierte, dass wie das in der damaligen Zeit war, sie irgendwann
als Hexe angeklagt war.
Also wenn heute viel diskutiert wird über irgendwelche Dinge, denken
Sie immer an die früheren Hexenprozesse.
Man war im Mittelalter überzeugt, es gibt Hexen, man hat die vehement
verfolgt.
Ich sage immer, man hat ganze Arbeit geleistet.
Warum?
Man hat anscheinend die ganzen Hexen ausgerottet, weil ich kenne heute
keine mehr.
Es soll nicht heißen, dass ich an Hexen glaube.
Bloß man muss sich mal überlegen, wie dort die gesamte Bevölkerung,
einschließlich der sogenannten Eliten, von irgendwelchen Dingen
geschrieben hat und Traktate verfasst hat, die letztendlich alle
falsch waren.
Und auf deren Gründe ganz anders waren.
Also man wollte da irgendwie unliebsame Menschen aus dem Weg räumen.
Und man konnte natürlich so schön anschwärzen.
Also denken Sie mal aus der Zeit in der heutigen Zeit.
Immer nachdenken.
So, auf den Kepler bin ich insofern ein bisschen stolz.
Ich komme selbst aus einem relativ kleinen Ort, unweit von Karlsruhe.
Und Kepler hat also auch dort, ich glaube, seine relativ ersten
Jugendjahre verbracht.
Und, na gut, vielleicht hat es auch ein bisschen auf mich was
ausgewirkt.
Nein, das würde ich nicht behaupten.
Wichtig ist, wenn man mal überlegt, mit was für Methoden und Wissen,
die damals irgendwelche Gesetzmäßigkeiten geleitet haben.
Den Trallsatz in der Form, den kannte man ja nicht.
Das ist schon beachtenswert.
Sie wissen jetzt, wer Kepler ist.
Also durchaus mal einen Besuch in Weilerstadt oder in Leonberg oder
sonst irgendwo machen.
Man soll die Zeit des Studiums natürlich für das Studium selbst nützen
und ordentlich lernen.
Aber man sollte auch ein bisschen Allgemeinbildung betreiben.
Vielleicht sich noch mit anderen Dingen beschäftigen.
Nicht unbedingt jetzt mit dem Telefon, sondern es gibt ganz viele
Möglichkeiten.
So, wie könnte man das zweite Kepler'sche Gesetz herleiten?
Nun ganz einfach.
Wenn man mal an die Planetenbewegung denkt, dann ist die Kraft
zwischen der Sonne und dem Planeten im Wesentlichen eine zentrale
Kraft.
Die Gravitationskraft wirkt ja radial.
Also gibt es daraus keinen Moment.
Die Summe der Momente aufgrund der Gravitation bezüglich der Sonne ist
also null.
Was wiederum bedeutet, der Drall muss ein konstanter Vektor sein.
Jetzt haben wir gesehen, wenn der Drall ein konstanter Vektor ist,
dann muss also die Flächengeschwindigkeit konstant bleiben.
Und das war im Prinzip das zweite Kepler'sche Gesetz.
Das heißt aber auf der anderen Seite, na gut, wenn die überstrichene
Fläche gleich ist, dann muss also, damit der Planet sich mit einer
konstanten Geschwindigkeit um die Sonne bewegt, das R-Konstant sein.
Jetzt wissen wir aber, die Planeten, die bewegen sich nicht auf
Kreisbahnen, die bewegen sich auf Ellipsen und bei Ellipsen ist der
Abstand veränderlich.
Frage.
Wann ist der Abstand zwischen Erde und Sonne am kleinsten?
Im Winter oder im Sommer?
Ja, im Sommer ist es doch viel heißer.
Also wenn man vom Klima her denkt, würde ich sagen, im Sommer ist es
heißer.
Oder nicht?
An sich schon.
Dann müsste doch der Abstand näher sein, oder?
Ah, jetzt kommen wir schon näher.
Also immer denken, wo Licht ist, ist auch Schatten.
Also wenn man sich mal auf der Südhalbkugel bewegt, dann ist im
Dezember am wärmsten oder um die Jahreszeit, da ist der Sommer dort.
Und wenn wir Sommer haben, dann ist bei denen Winter.
Also Sommer und Winter kann nicht das Entscheidende sein.
Und dann haben sie gesagt, dass es am nächsten ist.
Wann ist die Erde und der Sonne am nächsten?
Im Winter.
Pech für die im Süden, warum?
Und dann ist die Geschwindigkeit größer.
Richtig?
Deshalb dauert deren Sommer nicht ganz so lang wie bei uns.
So, gibt es soweit noch Fragen?
Damit verlassen wir den einzelnen Massenpunkt und kommen jetzt zu
Massenpunktsystemen.
Das heißt, wir betrachten Systeme, bei denen mehrere Massenpunkte,
aber immer noch punktförmig konzentriert in Wechselwirkung stehen.
Zunächst mal die Grundlagen dazu.
Das Ziel ist jetzt Bewegungsgleichungen herzuleiten für Systeme mit
endlich vielen Massenpunkten.
Diese Massenpunkte stehen in Wechselwirkung.
Und je nachdem wie die Massenpunkte gekoppelt sind, gibt es, also je
nach Kopplung,
gibt es eben kinematische oder geometrische Bindungen
und sogenannte physikalische Bindungen.
Und geometrische Bindungen, die beschränken die Lage, die mögliche der
Massenpunkte.
Also geometrische Bindungen, die beschränken die Lage.
Zum Beispiel,
wenn wir eine, in Anführungsstrichen, Handel, die aus zwei
Massenpunkten besteht, betrachten.
Also Handel aus zwei Massenpunkten, die mit einer masselosen Stange
verbunden seien.
Das heißt, wenn wir uns das mal so ein bisschen skizzieren,
dann haben wir, meinetwegen, die kathesischen Koordinaten X, Y, Z.
Wir haben die beiden Massenpunkte M1 und M2.
Dazwischen eine masselose Stange, der Länge L.
Die Lagen der Massenpunkte, die werden beschrieben durch die
entsprechenden kathesischen Koordinaten.
Ich deute das mal an.
Also das wäre die Koordinate X1, das wäre die Koordinate Y1 und in
vertikaler Richtung die Koordinate Z1.
Entsprechend die Koordinaten des Massenpunktes M2.
Also gehen wir es vielleicht noch an.
Massenlose Stange.
Und wenn jetzt eben der Abstand unveränderlich ist,
dann bedeutet das eben X2 minus X1 zum Quadrat plus Y2 minus Y1 zum
Quadrat plus Z2 minus Z1 zum Quadrat.
Das ist ja gerade das Quadrat des Vektors von M1 nach M2.
Der Betrag quadriert über Anwendung des Pythagoras und dann sehen wir,
wenn der Betrag konstant ist, muss das gerade L² sein.
Also hier liegt eine sogenannte starre Bindung vor,
die sich wirklich direkt auf Koordinateebene formulieren lässt.
Man sieht von den sechs Größen X1 bis Z2, von den Koordinaten, kann
ich jetzt eine ausdrücken durch die anderen.
Allerdings ist der Zusammenhang nicht linear.
Das ist manchmal ein bisschen unschön.
Oftmals lässt sich das besser formulieren über die Geschwindigkeiten.
Das ergibt dann die kinematischen Bindungen.
Also,
kinematische Bindungen.
Da haben wir eine geschwindigkeitsabhängige Bindungsgleichung.
Und bei den Bindungsgleichungen spricht man oft auch von sogenannten
Zwangsbedingungen.
Also eine Zwangsbedingung hier formuliert auf Geschwindigkeitsebene.
Und als Beispiel können wir eben betrachten,
wir haben zwei Massenpunkte verbunden über ein undehnbares Seil.
Das heißt, wir betrachten einfach mal, wir haben eine Umlenkrolle, die
in der Mitte drehbar gelagert ist.
Dann haben wir da unten das Seil mit Massenpunkt M1.
Auf der anderen Seite dann das Seil mit Massenpunkt M2.
Und wir sehen, wenn wir das mit X1 bezeichnen
und die Lage des zweiten Massenpunktes durch X2.
Man sieht, je nachdem, wie ich X1 und X2 einführe, sind X1 und X2
nicht unbedingt gleich.
Aber wir wissen, in dem Falle gilt dann X1 Punkt gleich X2 Punkt.
Also eine Gleichung auf Geschwindigkeitsebene.
Nun, manche kinematische Bindungsgleichungen, die können wir bezüglich
der Zeit integrieren.
Wie hier auch, dann ist nämlich gerade X1 gleich X2 plus eine
Integrationskonstante.
Also manche kinematische Zwangsbedingungen integrierbar.
Dann lassen sich wieder Bindungsgleichungen auf Koordinatebene
formulieren.
Und das sind dann die sogenannten Holonomenbindungen.
Also geometrische und integrierbare
kinematische Bindungsgleichungen bilden die Gruppe der
Holonomenbindungsgleichungen.
Und diejenigen, die nicht integrierbar sind, das sind dann die
sogenannten Nichtholonomenbindungsgleichungen.
Also nicht integrierbare kinematische Bindungsgleichungen sind
dann die Nichtholonomenbindungsgleichungen.
Kennt jemand zufälligerweise eine Nichtholonomenbindungsgleichung?
Und es gibt auch zwischen den Koordinaten eines einzigen Massenpunktes
unter Umständen nicht integrierbare Bindungsgleichungen.
Auch das schränkt ja die Zahl der Freiheitsgrade ein.
Und ein Beispiel, das kennen Sie alle im Winter.
Warum?
Wenn man mal annimmt, man fährt Schlittschuh, was passiert?
Na gut, diejenigen, die schon mal auf dem Schlittschuh standen und der
gut funktioniert, die wissen, der fährt immer in Richtung der Kurve.
Man selbst kann eine Drehbewegung ausführen und eine Vorwärtsbewegung.
Also man hat eigentlich nur zwei Freiheitsgrade als Massenpunkt mit
ein bisschen Ausdehnung.
Die Eisfläche und die Orientierung auf der Eisfläche, die sollte ein
erfahrener Eisläufer oder Eiskunstläufer beliebig annehmen können.
Das sind also drei Koordinaten, die man auch alle irgendwie erreicht,
aber man hat nur zwei Freiheitsgrade.
Und in dem Fall lässt sich die Bindungsgleichung eben nur auf
Geschwindigkeitsebene angeben.
Gibt es soweit noch Fragen?
Wenn nicht, dann sind wir am Ende der heutigen Vorlesung angelangt.