So, ansonsten hatten wir in der letzten Vorlesung Massenpunktsysteme
angefangen, das heißt wir haben endlich viele Massenpunkte,
konzentrierte Massen, und haben gesehen, na gut, zwischen den Massen
gibt es geometrische und kinematische Bindungen.
Die geometrischen Bindungen, die lassen sich auf Koordinatenebene
formulieren, die kinematischen Bindungen werden auf
Geschwindigkeitsebene formuliert, und wenn wir die kinematischen
Bindungen integrieren können, dann liegen auch die auf
Koordinatenebene vor, das heißt geometrische und integrierbare
kinematische Bindungen, das waren die sogenannten Holonomen-Bindungen
oder Holonomen-Zwangsbedingungen, alle die auf Geschwindigkeitsebene,
die wir nicht integrieren können, das sind die sogenannten
Nichtholonomen -Zwangsbedingungen.
Nun, die Zahl der Massenpunkte und die Zahl der Zwangsbedingungen,
sowohl Holonomen als auch Nichtholonomen, die bestimmen die Zahl der
Freiheitsgrade, also Zahl der Massenpunkte und
Zahl der geometrischen und kinematischen Bindungen,
die bestimmen die
Zahl der Freiheitsgrade,
nennen wir die mal F des Systems.
Und was sind die Freiheitsgrade?
Das sind dann so viele Größen, die praktisch vorgegeben werden können,
beliebig, und die anderen ergeben sich dann als Funktion dieser
Freiheitsgrade.
Also Zahl der unabhängigen Koordinaten,
um die Lage des Systems,
das heißt, von jedem Massenpunkt
vollständig zu beschreiben.
Und an der Stelle müssen wir eine kleine Einschränkung machen, ich
hatte es schon mal ein bisschen erwähnt, wenn wir Nichtholonome
Zwangsbedingungen haben, dann haben wir mehr Koordinaten, als wir
Freiheitsgrade haben, also unabhängige Koordinaten.
Denken Sie daran, ich müsste es eigentlich erwähnt haben, den
Eisläufer oder auch den Eiskunstläufer, der kann das viel besser als
ich, der kann, beim Massenpunkt wird es natürlich ein bisschen
schwierig, ein Massenpunkt hat eigentlich keine Orientierung, aber
greifen wir schon mal ein bisschen vor auf den starren Körper der
Eiskunstläufer, der kann jeden Punkt auf der Eisfläche erreichen, das
sind schon mal zwei Koordinaten und er kann jede beliebige
Orientierung haben und wir wissen, der Eiskunstläufer, der bewegt sich
immer in die Richtung, in der er letztendlich seine Kufe zeigt, das
heißt Freiheitsgrade werden Eiskunstläufer dann letztendlich zwei
haben, nämlich die Vorwärtsbewegung und die Drehbewegung, aber zur
Beschreibung der Lage brauchen wir drei Koordinaten.
Also eigentlich müsste man vielleicht sagen, um den
Geschwindigkeitszustand da zu beschreiten, aber das sind so
Feinheiten, im Augenblick wichtig, solange wir keine Nicht-Phänomen
und Zwangsbedingungen haben, schränken die Bindungsgleichen auf jeden
Fall die Lage ein und wir können dann insgesamt so viele Koordinaten
unabhängig vorgeben, wie wir Freiheitsgrade haben, die anderen
Koordinaten, die ergeben sich dann als Funktion daraus.
Und in Beispiel 2, das waren die zwei Massenpunkte, die sich nur
vertikal bewegen, das heißt das sind die Koordinaten X1 und X2,
zwei Koordinaten für M1 bzw.
M2, eine Bindungsgleichung,
die war gerade X1 Punkt gleich X2 Punkt und wir sehen, die können wir
hochintegrieren, dass also X1 gerade entspricht X2 plus einer
Integrationskonstante, das sind praktisch die Integrationskonstante,
das ist das, was sich die beiden Koordinaten zum Zeitpunkt T gleich 0
unterscheiden und auch anschaulich dürfte recht klar sein, dass dieses
System letztendlich nur einen Freiheitsgrad hat.
Im Beispiel 1,
was hatten wir da, da hatten wir zwei Massenpunkte im Raum, die Lage
jedes Massenpunktes wird beschrieben durch drei Koordinaten, also zwei
Massenpunkte mit je drei Koordinaten.
Wie viele Bindungsgleichungen haben wir?
Wir haben nur eine Bindungsgleichung, das ist nämlich der Abstand der
beiden Massenpunkte Konstant L sein soll, also eine Bindungsgleichung.
Das heißt, zunächst einmal haben wir sechs Koordinaten, dann aber eine
Bedingung, ergibt letztendlich fünf Freiheitsgrade.
Also F gleich 2 mal 3, das war die Zahl der Koordinaten, die wir
brauchen, um die Lage der Massenpunkte zu beschreiben, minus eine
Bindungsgleichung, gleich fünf Freiheitsgrade.
Und wenn man vielleicht mal ein bisschen weiter denkt, an einen
starren Körper, weiß jemand, wie viel Freiheitsgrade ein starrer
Körper an sich hat?
Niemand.
Und der starre Körper, der kann sich im Raum bewegen, also in drei
Raumrichtungen, aber er kann auch noch seine Orientierung entsprechend
ändern.
Und später werden wir sehen, die Orientierung wird beschrieben durch
ebenfalls drei Größen, also insgesamt hat so ein starrer Körper, der
keiner Bindung unterliegt, sechs Freiheitsgrade.
Wenn wir jetzt mal an die Handel denken, das erinnert doch schon sehr
stark an einen starren Körper.
Warum hat jetzt die Handel nur fünf anstatt im starren Körper sechs?
Genau, die Rotation, also die Drehung um die Stange, das ist kein
Freiheitsgrad, weil ja die Massenpunkte keine Ausdehnung haben.
Also macht es auch in dem Fall Sinn, die fünf Freiheitsgrade zu haben.
So, wenn wir das Ganze ein bisschen verallgemeinern,
dann sehen wir, wenn wir ein System mit N Massenpunkten haben,
dann haben wir drei N Koordinaten.
Nehmen wir an, wir haben R Bindungsgleichungen, also R
Bindungsgleichungen sowohl geometrisch als auch kinematisch.
Dann hat unser System F gleich drei N minus R Freiheitsgrade.
Das war, wenn sich die Massenpunkte im Raum bewegen.
Jetzt gibt es natürlich den Sonderfall, dass sich Massenpunkte
vielleicht in einer Ebene bewegen.
Wenn sich die Massenpunkte in der Ebene bewegen, dann genügt zur
Beschreibung der Lage von einem Massenpunkt zwei Koordinaten.
Dann sind es natürlich entsprechend nicht drei N Koordinaten, die die
Lage beschreiben, sondern bei N Massenpunkten dann zwei N.
Also F gleich zwei N minus R Freiheitsgrade bei einer Bewegung in der
Ebene.
Wobei in dem Falle die Ebene nicht unbedingt eben sein müsste, sondern
einfach vielleicht eine gekrümmte Fläche, auf der sich die
Massenpunkte bewegen und die Lage sich dann entsprechend durch zwei
Koordinaten beschreiben lässt.
So, das waren die geometrischen und kinematischen Bindungsgleichungen.
Jetzt gibt es aber noch physikalische Bindungen zwischen den
Massenpunkten.
Also physikalische Bindungen, die erfolgen über Kraftelemente zwischen
den Massenpunkten.
Damit üben diese Kraftelemente jeweils paarweise Kräfte aus.
Nämlich auf den einen Massenpunkt und auf den anderen Massenpunkt.
Jetzt von was hängen die abhängig?
Können diese sein zum Beispiel von den Koordinaten selbst.
Denken wir uns eine Feder zwischen zwei Massenpunkten.
Wenn sich die Massenpunkte relativ zueinander entfernen oder nähern,
dann ändert sich die Verlängerung oder die Verkürzung der Feder.
Damit ändert sich die Federkraft, also abhängig von den Koordinaten.
Wenn wir uns stattdessen ein Dämpferelement vorstellen, na gut, dann
hängt es davon ab.
Nehmen wir an, wir haben eine viskose Dämpfung, also eine
Dämpfungskraft, die proportional der Relativgeschwindigkeit ist, dann
hängt die Kraft natürlich ab von den Ableitungen der Koordinaten.
Also schreiben wir mal abhängig von Koordinaten der Massenpunkte oder
deren Ableitungen
oder die Kräfte sind explizit vorgegeben.
Das hätten wir dann, wenn wir einen Antrieb dazwischen hätten, was
weiß ich, einen Motor, der eine Stange antreibt, mit einer bestimmten
Kraft, um eben die Entfernung der Massenpunkte zu verändern.
Denken Sie an einen Hydraulikzylinder.
Auch da werden die Kräfte dann entsprechend vorgegeben.
Gehen wir auch da.
Zwei Beispiele an.
Nämlich eine Feder.
Wir haben zwei Massenpunkte, M1 und M2.
Dazwischen eine Feder.
Dann wissen wir, na gut.
Es kommt darauf an, auf die Charakteristik der Feder, wie die
Federkraft von der Verlängerung oder Verkürzung abhängt.
Nehmen wir an, wir haben eine Hoogsche Feder.
Dann haben wir eine lineare Charakteristik.
Proportionalitätsfaktor ist dann die Federsteifigkeit c.
Das heißt, die Kraft vom einen Massenpunkt auf den anderen
Massenpunkt, ich bezeichne das einfach mal mit F1,2, ist dann gerade c
mal x, wenn x die Verlängerung oder Verkürzung der Feder gegenüber dem
entspannten Zustand angibt.
Und die Kraft der Feder ist dann in Richtung der Verbindungslinie.
Und zwar die Verbindungslinie zwischen den beiden Massenpunkten an der
Stelle.
Das Beispiel 4, das mache ich jetzt mal hier her.
Da betrachten wir einfach mal zwei etwas größere Massenpunkte.
Nämlich wir nehmen an, wir haben hier die Erde auf der Bahn um die
Sonne.
Das sei also die Erde.
Dann gibt es irgendwo die Sonne.
Und dann wissen wir, die Sonne, die wirkt eine Kraft auf die Erde aus,
welche die Erde in Richtung Sonne zieht.
Und die entsprechende Kraft ist dann gemäß dem Gravitationsgesetz,
also ist proportional der Masse der Erde, die ist proportional der
Masse der Sonne, umgekehrt proportional zum Abstand, all das sollten
Sie noch wissen, dann gibt es noch die allgemeine
Gravitationskonstante, die da ins Spiel kommt.
Was wir vielleicht an der Stelle am ehesten auch sehen, ist natürlich,
wenn eine Kraft von der Sonne auf die Erde wirkt, dann wirkt
gleichzeitig eine Kraft von der Erde auf die Sonne, die ist genauso
groß, also auch die Erde bewegt die Sonne letztendlich ein bisschen,
da aber die Sonnenmasse sehr sehr viel größer ist als die Erdmasse,
vernachlässigt man das meistens, und auch bei der Feder gilt
natürlich, dass die Kraft von der Masse 2 auf die Masse 1 genauso groß
ist, wie die Kraft von der Masse 1 auf die Masse 2, allerdings,
Judisches Axiom, entgegengesetzt gerichtet.
Also solche Kräfte, die treten letztendlich dann immer paarweise auf,
wenn die zwischen den Massenpunkten wirken, wobei die Beträge
entsprechend gleich sind, aber die Richtungen entgegengesetzt.
So, im weiteren betrachten
wir jetzt ein System mit N Massenpunkten und beliebigen Bindungen.
Bezeichnen wir mal die Massenpunkte mit M I, das heißt I geht von 1
bis N,
beliebige Bindungen.
Wir wissen, es wirken jetzt äußere Kräfte,
und zwar die äußeren Kräfte auf den Massenpunkt I, die bezeichnen wir
mit F I,
zum Beispiel, wenn sich die Massenpunkte im Schwerefeld befinden, wie
unsere beiden Massen, die über eine Rolle und ein Seil verbunden
waren.
Dann sind es äußere Kräfte, nämlich die Gewichtskräfte.
Es könnten auch irgendwelche Zwangskräfte sein, die auf den
Massenpunkt I wirken.
Also, ich schreibe mal, physikalisch vorgegeben,
eingeprägte Kräfte, aber auch Zwangskräfte.
Und zusätzlich zu den äußeren Kräften wirken jetzt noch die inneren
Kräfte zwischen den einzelnen Massenpunkten.
Also, und innere Kräfte zwischen
den Massenpunkten.
Und da sagen wir F I J, das ist die Kraft von M J auf M I.
F J I ist entsprechend die Kraft von M I auf M J.
Das heißt,
F I J, ich hatte es erklärt, muss dann gerade sein, minus F J I.
Und jetzt machen wir noch einen kleinen Kniff, sonst müssten wir das
später bei unseren Summationen immer explizit angeben, dass I ungleich
J sein soll.
Wir führen jetzt einfach nur der Konvention halber ein, dass F I I,
also eine Kraft von Masse I auf Masse I, tritt ja nicht auf, dass das
als Null definiert ist.
Dann tun wir uns bei den Summationen ein bisschen einfacher.
Damit kommen wir jetzt zunächst mal zum Schwerpunktsatz.
Und der Schwerpunktsatz, der liefert eine integrale Aussage über
die Bewegung des Systems als Ganzes
und führt letztendlich zu einer Beschreibung des Systemschwerpunktes.
Also Beschreibung der Bewegung des Systemschwerpunktes.
Und was der Schwerpunkt von einem System ist, das müssten Sie
eigentlich aus der Themen 1 noch wissen.
Nun als Ausgangspunkt nehmen wir einfach den Impulssatz bzw.
die Bewegungsgleichung des einzelnen Massenpunktes.
Bewegungsgleichung oder Impulssatz des
einzelnen Massenpunktes.
Das haben wir da.
Und zunächst mal haben wir für Massenpunkt I das Mi mal Ri.
Zwei Punkt, der gerade entspricht der Summe der am Massenpunkt I
angreifenden Kräfte.
Das heißt, das ist äußere Kraft oder Summe der äußeren Kräfte, die am
Massenpunkt I angreifen.
Plus alle inneren Kräfte von den anderen Massenpunkten.
Also plus eine Summe.
Und jetzt müssen wir aufpassen, wir haben gesagt Fij ist die Kraft von
Masse J auf Masse I.
Also müssen wir hier schreiben Fij und müssen jetzt summieren von J
gleich 1 bis N, also über alle Massenpunkte.
Jetzt haben wir gesehen Fii oder F, also wenn J gleich I ist, dann
steht hier einfach die Null, weil ja der Massenpunkt I auf sich selbst
keine Kraft ausübt.
Wenn wir das nicht definieren würden, müssten wir jetzt hier schreiben
J gleich 1 bis N ohne I gleich J.
Das ist dasselbe.
So, das gilt jetzt für jeden einzelnen Massenpunkt.
Jetzt machen wir einen kleinen Trick.
Jetzt summieren wir diese Gleichungen über alle Massenpunkte.
Also wir summieren jetzt links und rechts von I gleich 1 bis N, dann
müssen wir das auch auf der rechten Seite machen.
Und hier haben wir Summe I gleich 1 bis N.
Und jetzt sehen wir die Doppelsumme hier.
Wenn wir uns die mal anschauen, dann haben wir ja gerade F11 plus F12
plus F13 plus bis F1n.
Dann steht hier F21 plus F22 plus F23 bis F2n.
Das geht so weiter bis letztendlich Fn1 plus Fn2 bis letztendlich Fnn.
Das sehen wir.
Die mit Doppelindex, die fallen sofort raus.
Und ansonsten treten jetzt immer paarweise Kräfte auf.
Moment, hier ist F13.
F21 plus F12, F31 plus F13 bis Fn1 plus F1n.
Und bei den anderen genauso.
Und da haben wir ja gesehen, Fij plus Fji ist gerade 0.
Also hebt sich zum Beispiel diese Kraft mit der Kraft weg.
Die, ich passe jetzt nochmal für die hier, Fn1 mit F1n.
Also, lange Rede, kurzer Sinn.
Insgesamt ergibt diese Doppelsumme gerade 0.
Das heißt, auf der rechten Seite verschwindet diese Doppelsumme.
Was noch übrig bleibt, ist dann letztendlich Summe i gleich 1 bis n Mi
Ri.
2 Punkt ist gleich Summe i gleich 1 bis n Fi.
Also maßgeblich sind jetzt nur noch die äußeren Kräfte Fi.
Und jetzt sehen wir, na gut.
Mi Ri 2 Punkt aufsummiert ist ja gerade Summe Mi Ri aufsummiert von i
gleich 1 bis n.
Zweimal nach der Zeit differenziert.
Warum?
Nun, bei der Newton'schen Mechanik bleiben die Massen konstant.
Das heißt, das entspricht gerade Summe Mi Ri 2 Punkt.
Summe Mi Ri, das sollten Sie jetzt noch aus der TM1 kennen.
Das ist nämlich gerade die Gesamtmasse aller Massenpunkte,
multipliziert mit dem Ortsvektor des Schwerpunktes.
Also Summe Mi Ri aufsummiert von i gleich 1 bis n ist gerade Summe mi
multipliziert mit dem Ortsvektor des Schwerpunktes.
Und wenn wir jetzt noch die Summe der Einzelmassen mit Gesamtmasse m
bezeichnen, ergibt das gerade m mal rs.
Also jetzt können wir hier die runde Klammer durch m mal rs ersetzen.
Das zweimal ableiten und die Gesamtmasse, die ändert sich nicht,
sodass sich letztendlich ergibt m mal rs2.
Gleich Summe aller äußeren Kräfte auf die einzelnen Massenpunkte i
gleich 1 bis n.
Das ist der sogenannte Schwerpunktsatz.
Man sieht, der Massenmittelpunkt des Systems, der bewegt sich, als
würden alle äußeren Kräfte an ihm angreifen und als wäre die gesamte
Masse des Systems in diesem Punkt vereinigt.
Also
Massenmittelpunkt bewegt sich, als wäre alle Masse in
ihm vereint
und alle Kräfte greifen dort an.
So, man sieht am Schwerpunktsatz, dass die inneren Kräfte für die
Bewegung des Massenmittelpunktes keine Rolle spielen.
Also,
innere Kräfte spielen
für die Bewegung des Massenmittelpunktes
keine Rolle.
Das heißt natürlich
auch, zum Beispiel, wenn Sie irgendein System haben, auf das keine
äußeren Kräfte wirkt und das System ist in Ruhe und dann bewegen sich
die einzelnen Massenpunkte infolge innerer Kräfte, dann wird der
Massenmittelpunkt an der Stelle bleiben.
Das wäre ein Beispiel dafür, wo man das sieht.
Und wenn man, wer rudert gerne oder macht irgendwas mit Booten?
Sie rudern?
Das Segelschiff ist ja wieder relativ groß.
Aber wenn wir an ein Ruderboot denken, dann ist immer das Problem,
wenn ich an Land springen will.
Warum?
Und das, zumindest in meinem Fall, das Boot hat dann relativ zu mir
wenig Masse.
Das heißt, wenn ich jetzt am Ufer bin und will noch ein bisschen
rausspringen, was passiert?
Zunächst mal ist alles in Ruhe.
Wenn ich nach vorne springe, muss, damit der Schwerpunkt an der
gleichen Stelle bleibt, weil er sich nicht bewegt infolge innerer
Kräfte, muss das Boot praktisch sich zur anderen Seite bewegen.
Das kann jeder mal ausprobieren, einfach am Ufer aus dem Boot
rausspringen.
Das Boot bewegt sich dann nach hinten, man selbst nach vorne.
Ein anderes Beispiel, ich hoffe, dass... ach doch, ich kann es
rausnehmen.
Ich glaube, das ist mittlerweile ein bisschen...
Wer macht Leichtathletik?
Oh, niemand.
Wer macht überhaupt Sport?
Was machen denn die Studenten für Sport?
Wie?
Kampfsport?
Ist heute auf den Straßen schon so gefährlich?
Weitere Sportarten?
Wie?
Fußball spielt keiner oder keine?
Ich war am Samstag in der Kirche, dann wurden die neuen
Kommunionkinder vorgestellt und dann durften sie sich vorstellen.
Und dann hat der erste gesagt, sein Hobby ist Fußball.
Dann hat der zweite gesagt, sein Hobby ist Fußball.
Der dritte meinte dann, mein Beruf ist Fußball.
Also er war schon so im Fußball drin.
Nichtsdestotrotz.
Demnächst ist doch wieder so ein großes Meeting, glaube ich, in
Karlsruhe, was relativ bekannt ist.
Also wer den Hochspringer betrachtet, der weiß natürlich, die Latte
liegt sehr hoch.
Was mache ich?
Nun, ich eigne mir eine Technik an, dass ich zwar über die Latte
komme, aber meinen Schwerpunkt unten durch mogle.
Und das geht natürlich dadurch, dass man praktisch gewisse
Körperhaltungen einnimmt, sodass der Gesamtschwerpunkt vielleicht nur
unterhalb der Latte sein muss, aber die einzelnen Körperteile so nach
und nach dann über die Latte gehen.
Das wäre jetzt ein einfaches Beispiel, wo man das noch brauchen kann.
Jetzt habe ich noch ein anderes Beispiel.
Wer erkennt das hier?
Ah, er erkennt wenigstens noch die Geschichte.
Also ich bringe diese Geschichte aus zweierlei.
Erstens mal, weil es zum Schwerpunktsatz passt.
Andererseits, weil demnächst wieder Weihnachten vor der Tür steht und
man vielleicht auch ein bisschen so kulturell oder nicht nur
Maschinenbau machen soll, sondern vielleicht auch mal ein Buch lesen
oder sonst irgendwas.
Die deutschen Studenten, und für die Ausländer ist das ein kleiner
Hinweis, sich vielleicht mal auch um deutsche Literatur ein bisschen
zu kümmern.
Die deutschen Studenten müssten den Freiherr von Münchhausen kennen.
Jetzt fällt es ihm wieder ein.
Nun, das war jemand, Freiherr heißt adelig, aber er hatte immer ein
wenig geflunkert, um nicht zu sagen, Fake News verbreitet.
Warum?
Und er hat also gewisse Geschichten erzählt.
Und eine davon war, er versank mal mit seinem Pferd im Sumpf und er
war kurz davor unterzugehen und sie ersticken.
Aber dann kam ihm eine glänzende Idee.
Er hat sich, bei mir geht es jetzt nicht mehr so gut, aber bei den
eigenen Haaren genommen und hat sich praktisch an den eigenen Haaren
samt Pferd aus dem Sumpf gezogen.
Jeder Mechanikstudent, der in meiner Vorlesung war, müsste wissen, ah
gut, wenn ich eine innere Kraft habe, kann ich dadurch den Schwerpunkt
um keinen Millimeter verschieben.
Er hat auch noch andere Lügengeschichten verbreitet.
Ich lege noch ein anderes Bild auf.
Wer kennt die Geschichte?
Man kann es schlecht erkennen, aber ich habe in der Hektik kein
anderes Bild gefunden.
Ich hätte es auf dem Rechner mitbringen müssen, aber auf dem Rechner
sieht man es, glaube ich, auch nicht besser.
Was hat man da?
Man hat einen Schlitten, fällt die Geschichte wieder ein.
Man hat ein Pferd und man hat einen Wolf.
Früher waren die Wölfe immer sehr gefährliche Tiere.
Heutzutage wird auch wieder viel darüber diskutiert, aber die hatten
früher zumindest mal den Ruf, sehr gefährlich zu sein.
Der Freiherr von Münchhausen war also in Russland unterwegs und dachte
dann, ah gut, das ist dort Sitte, man nimmt einen kleinen Schlitten im
Winter, Schnee gibt es viel, dann spannt man das Pferd vorne ran und
fährt also seinen Weg.
Und wie es so war, kam plötzlich ein Wolf, wollte ihn angreifen.
Er duckte sich noch rechtzeitig, dass der Wolf über ihn drüber sprang.
Dann hat der Wolf das Pferd gefressen und als das Pferd praktisch
weiter galoppiert wurde, wurde es hinten aufgefressen und schließlich
hatte der Wolf so viel gefressen, dass der Wolf im Pferdegeschirr war
und er dann mit dem Wolf weiter fuhr.
Also, das klingt auch sehr glaubhaft.
Eine dritte Geschichte, die hat fast wieder etwas mit Mechanik zu tun.
Das war nämlich, als er mal eine Burg belagerte und die nicht in die
Burg kamen, was machte er?
Genau, er ritt auf der Kanonenkugel, er setzte sich vorne auf die
Kanone und als die Kanonenkugel rauskam, dann hat er die gepackt und
flog dann mit der Kanonenkugel in die gegnerische Burg rein.
Ein kleiner Hinweis, heutzutage, Sie haben, bitte nicht in der
Vorlesung, aber vielleicht in der Pause oder heute Abend, Sie haben
alle YouTube und was da alles gibt, einfach mal frei Herr von
Münchhausen eingeben, da gibt es auch einen bekannten alten deutschen
Film mit, wisst ihr, wie der Schauspieler heißt?
Den kann man sich gleich merken, zumindest als Student im dritten
Semester Maschinenbau, der hieß nämlich auch Albers.
Allerdings nicht Albert Albers, sondern Hans Albers, ein bekannter
deutscher Schauspieler.
Wie gesagt, manchmal gönnen wir uns auch fünf Minuten ein bisschen
Kultur.
Man soll im Studium viel lernen, fachlich.
Man soll aber auch immer so ein bisschen zur Seite schauen, wenn Sie
später Vorstandsvorsitzender sind, müssen Sie vielleicht mal ein
Museum mit eröffnen oder sonst irgendwas, sollten Sie auch ein
bisschen Backgroundwissen haben.
Damit habe ich auch meine kleine Pause der Vorlesung, die so ein
bisschen zum Entspannen dient, genommen und was wir jetzt machen
können, ist mit der Vorlesung weitermachen.
So, bevor ich das mache, wische ich aber noch kurz die Tafel.
Vielleicht an der Stelle ein kleiner Hinweis, bis ich wieder links
drüben bin.
Mittlerweile gibt es ja ein paar Übungsblätter.
Falls es mal Probleme gibt bei den Übungen, dass Sie vielleicht ein
Übungsblatt endgültig nicht anerkannt haben oder vielleicht
Gefahrlaufen und zweites endgültig nicht anerkannt zu haben, wenn wir
von Problemen wissen, möglichst früh kommen, wenn abzusehen ist, dass
Sie vielleicht aus irgendwelchen Gründen mal einen Übungsblatt nicht
abgeben können, sei es Krankheit oder eine wichtige Familienfeier oder
sonst irgendwas.
Wenn man das im Vorfeld regelt, ist das viel einfacher, als wenn man
später da irgendwas machen muss.
So, das war zunächst mal der Schwerpunktsatz.
Jetzt können wir noch, wir hatten das letzte Mal auch den Impuls
eingeführt, also wir führen jetzt den Gesamtimpuls ein,
als P gleich Summe der Einzelimpulse, also I gleich 1 bis N, PI, wobei
PI der Impulse, der Impuls von Massenpunkt I ist.
Das war ja gerade Masse MI mal Geschwindigkeit VI.
Dann sehen wir, na gut, der Gesamtimpuls P ist also Summe MI RI Punkt.
Auch da können wir praktisch die Zeitableitung wieder aus der
Summation rausziehen und sehen dann, dass das gerade sein muss, M mal
RS Punkt, also M mal VS.
Und wenn wir den Schwerpunktsatz betrachten, dann sehen wir, M mal RS2
Punkt ist dann gerade die Ableitung des Gesamtimpulses, also damit
haben wir den Schwerpunktsatz auch in der Form
P Punkt gleich Summe aller äußeren Kräfte, VI, I gleich 1 bis N.
Also man sieht an der Stelle, die Bewegung des Schwerpunktes, das wird
irgendwie was Besonderes sein von unserem System.
Ergibt sich dann später auch bei der Betrachtung von starren Körpern.
Und wenn wir jetzt den Schwerpunktsatz in der Form einmal integrieren,
also Integration von dem Falle nach der Zeit, die ergibt dann P
integriert, ergibt P minus P0, wenn wir von T gleich T0 bis T
integrieren und P0 der Impuls des Gesamtsystems zum Zeitpunkt T gleich
T0 ist, dann haben wir auf der rechten Seite noch das Integral von T0
bis T und zwar über Summe I gleich 1 bis N, FI, DT quer.
Für den Sonderfall, dass keine Kräfte auf das System wirken,
also im Sonderfall die
resultierende Kraft verschwindet,
dann haben wir natürlich rechts die Null stehen, das heißt Summe FI
war dann gerade Null und damit P gleich M mal Vs ist dann gerade P0,
also ein konstanter Vektor.
Das heißt der Schwerpunkt bewegt sich mit einem konstanten Betrag der
Geschwindigkeit geradlinig in Richtung von Vs.
Gibt es soweit noch Fragen?
Dann kommen wir zum Drallsatz.
Der macht insgesamt eine Aussage zum Drehimpuls des
Systems.
Wenn wir es nochmal klar machen, gut.
Wenn wir als Bezugspunkt auch für den Drallsatz den Punkt O an der
Stelle wählen,
dann haben wir irgendwo den Massenpunkt.
In dem Falle greifen wir uns einen raus, zum Beispiel den Massenpunkt
MI, dessen Lage beschrieben wird durch den Ortsvektor RI.
Dann haben wir eine Geschwindigkeit VI,
irgendwie eine Richtung.
Und wir haben die Kräfte auf den Massenpunkt MI, das seien zum einen
die äußeren Kräfte, ich deute das mal so an, FI, dann die inneren
Kräfte, von denen ich mir jetzt eine rausgreife, also still vertreten
für alle inneren Kräfte, dann FIJ.
Und wir wissen, für den ITEN-Massenpunkt gilt jetzt das
Moment, das setzt sich zusammen, MI bezüglich Bezugspunkt O, setzt
sich zusammen aus dem Moment der äußeren Kräfte, FI, plus das Moment
der inneren Kräfte.
Also haben wir an der Stelle RI, Kreuz, FI, plus eben die Summe J
gleich 1 bis n, F, jetzt müssen wir aufpassen, IJ waren die Kräfte von
den Massenpunkten J auf den Massenpunkt I.
Wie gesagt, an der Stelle haben wir es jetzt wieder einfacher, wenn
wir die Konvention FII gleich 0 einführen, weil sonst müssten wir hier
schreiben ohne I gleich J.
Für den Drehimpuls haben wir
LI ebenfalls bezüglich Bezugspunkt O, gleich RI, Kreuz, MI, VI und als
Trailsatz hatten wir
MI bezüglich O gleich Ableitung D von LI bezüglich O nach der Zeit,
also LI bezüglich O.
An der Stelle habe ich vergessen, das letzte Mal wollte ich noch kurz
was vorführen.
Und zwar, das letzte Mal haben wir gesehen, wenn nur zentrale Kräfte
vorliegen, dann bleibt der Gesamtdrall konstant, weil ja kein Moment
vorliegt.
Jetzt probieren wir das mal aus.
Leider kann ich es nicht auf einer Ebene machen.
Jetzt sehen wir, das rotiert mehr oder weniger, jetzt ziehe ich an der
Stelle, was passiert?
Oh, da hat es natürlich versagt.
Es wird schneller, oder?
Das heißt, obwohl ich praktisch senkrecht zum Massenpunkt ziehe,
ändert sich die kinetische Energie, oder?
Oder nicht?
Gut, wir wissen, wenn keine Momente wirken, und die wirken ja nicht,
weil ja immer praktisch, dass eine Kraft ist zwischen dem Massenpunkt
zum Bezugspunkt, wenn ich als Bezugspunkt hier den Lagerpunkt nehme.
Der Drall bleibt konstant.
Wenn der Abstand abnimmt, muss die Geschwindigkeit zunehmen.
Das sieht man bei so Mitmachmuseen, wenn es da so einen Trichter gibt,
wo eine Münze dann immer weiter nach innen rollt, die wird auch immer
schneller.
Aber wie kann man sich das vorstellen?
Wie bekomme ich da die Energie rein?
Welches Moment?
Die Kraft wirkt immer vom Massenpunkt praktisch auf meinen Lagerpunkt.
Wenn ich das jetzt praktisch so, ich versuche es mal senkrecht zu
machen, dann sehen Sie es besser, vielleicht klappt es dann auch
besser.
Na, ich mache es so, das geht besser.
Was ist das Rätselslösung?
Wie?
Die Geschwindigkeit nimmt definitiv zu.
Wenn die Geschwindigkeit zunimmt, nimmt die kinetische Energie zu,
oder?
Bei der Drehimpuls, wenn ich es vertikal mache, kommt noch die
Gewichtskraft hinzu.
Da ist einmal der Drehimpuls größer, dann ist er kleiner, durch die
Gewichtskraft wird er einmal beschleunigt, einmal abgebremst und so
weiter.
Deshalb wollte ich es nicht verkomplizieren.
Sie haben doch alles schon im Prinzip kennengelernt.
Wie erklären Sie sich das jetzt?
Dass obwohl ich praktisch so radial ziehe, die kinetische Energie
zunimmt.
Oh, Sie sind schlechte Ingenieure.
Warum?
Punkt 1.
Erste Erklärung ist natürlich, wenn der Massenpunkt so spiralförmig
sich von außen nach innen bewegt, dann kann die Bahn nicht senkrecht
sein zu meinem radialen Strahl.
Also geht ein Teil der Kraft in Richtung der Bahn.
Das war der erste Punkt.
Trotzdem ist, gemäß dem 3.
Satz, das Moment natürlich null.
Die zweite Erklärung wäre natürlich die gewesen, dass Sie den
Arbeitssatz haben.
Wir haben eine Kraft und jetzt wird praktisch am Massenpunkt gezogen,
da wirkt die Zwangskraft, die den praktisch auf dem Abstand hält und
natürlich verrichtet diese Kraft am Massenpunkt Arbeit.
Also es macht durchaus Sinn, dass der Massenpunkt schneller wird und
die wird natürlich schneller durch die Kraft, mit der wir an der
Stelle ziehen müssen.
Probieren Sie es zu Hause nochmal aus.
Kommen wir aber wieder zu unserem System.
Wir haben jetzt das alles für den Iden-Massenpunkt aufgestellt, was
wir jetzt natürlich machen, wie schon beim Impulssatz.
Wir summieren über alle Massenpunkte.
Dann sehen wir, dann haben wir auf der rechten Seite Li Punkt
aufsummiert über alle Massenpunkte.
Also Summe Li bezüglich O Punkt.
Das ist natürlich gerade Summe Li bezüglich O Punkt.
Und wenn ich jetzt die Summe der Einzeltralle als Gesamttrall L
bezüglich O anschreibe, dann ist das gerade L bezüglich O Punkt.
Also Gesamttrall bezüglich O abgeleitet gleich.
Und dann müssen wir die aufsummieren und ableiten, das lasse ich jetzt
mal weg.
Jetzt gehen wir noch die Summe der Momente an.
Dann haben wir an der Stelle Summe I gleich 1 bis N über Ri Kreuz Fi
plus Ri Kreuz Summe Fij.
Und man sieht, hier wird über J gleich 1 bis N aufsummiert.
Das heißt, ich könnte das Ri auch in die Summation reinziehen.
Das heißt, wenn wir zunächst mal diesen letzten Term für sich
betrachten, dann haben wir da
Summe I gleich 1 bis N.
Summe J gleich 1 bis N und dann steht da drin Ri Kreuz Fij.
Das ist dann gerade R1 Kreuz F11.
Und F11 war 0, also das fällt sowieso raus.
Plus R1 Kreuz F12.
Plus R1 Kreuz F13.
Bis R1 Kreuz F1N.
Dann haben wir in der nächsten Zeile Plus R2 Kreuz F21.
Plus R2 Kreuz F22.
F22 war 0, spielt also keine Rolle.
Plus R2 Kreuz F23.
Bis R2 Kreuz F2N.
Das geht dann so weiter bis zur letzten Zeile.
Rn Kreuz FN1.
Bis Rn Kreuz FNN.
Wir hatten gesagt, die FII sind 0, also die fallen sowieso raus.
Jetzt sehen wir aber, na gut.
Jetzt treten wieder jeweils paarweise Kräfte auf.
Nämlich F12 und F21.
Dann treten auf F31 und F13.
Diese Kräfte sind betragsmäßig gleich, aber entgegengesetzt gerichtet.
Also kann ich das schreiben als R1 minus R2
Kreuz F12 Plus R1 minus R3 Kreuz F1,3.
Plus... und zum Schluss kommt dann Rn-1-Rn mal Fn-1n.
Tut mir leid, dass sich die hintere Tafel nicht hochfahren lässt.
Bloß, wenn ich die obere runterfahre, verdecke ich mir das wieder
alles.
Und zwar, wir nehmen mal an, zwischen den einzelnen Massenpunkten
wirken nur zentrale Kräfte.
Das heißt, die Kräfte zwischen den Massenpunkten, die wirken immer in
Richtung der Verbindenden zwischen den zwei Massenpunkten.
Wenn ich also mal das für M1, M2 und M3 mache, als Beispiel, dann habe
ich F1,3.
Hier habe ich F1,3, weil ich jetzt nur Beträge angebe.
An der Stelle haben wir dann F2,1.
F2,1.
Das war doch F1,2.
F1,2.
Und als letztes dann noch die Kraft F2,3.
F2,3.
Und jetzt sehen wir, es treten nicht nur diese Kräfte auf, sondern
auch die Differenz der Ortsvektoren.
Das sehen wir aber, wenn wir an der Stelle zum Beispiel R1 haben, an
der Stelle R3,
dann ist R1-R3,
also R1-R3 gibt gerade den Vektor von M3 nach M1, also ein Vektor, der
parallel ist zu F1,3.
Genauso ist R1-R2 parallel zu F1,2 und allgemein eben bei zentralen
Kräften R1-R2 parallel zur Kraft F1,2.
Was dann letztendlich für das Kreuzprodukt bedeutet, Kreuzprodukt
gleich Null.
Also ist das gerade Null.
Was derartiges würde zum Beispiel vorliegen beim Planetensystem.
Das sind auch die Kräfte, zentrale Kräfte, also insofern diese
Doppelzumme gleich Null.
Also waren wir es gleich Null bei zentralen Kräften.
Das heißt, dann bleibt übrig
letztendlich Ableitung des Gesamtreils, also L bezüglich O Punkt
gleich Summe i gleich 1 bis N Ri Kreuz Fi.
Jetzt sieht es aus, gibt es eigentlich Massenpunktsysteme, bei denen
nicht unbedingt zentrale Kräfte vorliegen.
Da nehmen wir uns als Beispiel mal wieder die Handel, beziehungsweise
so ein masseloser Stab,
also nicht zentrale Kräfte.
Hier am Beispiel,
wir haben so einen masselosen Stab, dann haben wir da drei
Massenpunkte drauf.
M1, M2 und M3.
Und da werden jetzt zwischen M1 und M2 wird eine Kraft wirken,
zwischen M2 und M3 ebenfalls.
Das heißt, wenn wir uns die einzelnen Massenpunkte mal freischneiden,
ich deute das so ein bisschen an, dann gibt es eine Kraft zwischen 1
und 2,
die kann jetzt eine Horizontalkomponente, aber auch eine
Vertikalkomponente enthalten.
Ich deute das mal so an.
Wir wissen, die sind jeweils betragsmäßig gleich, aber entgegengesetzt
gerichtet.
Das wäre also F1, 2.
Nehmen wir an, vertikal sei die Y-Achse, dann wäre das F1, 2, Y.
Hier F1, 2, X.
Entsprechend auch an der Stelle F1, 2, X und F1, 2, Y.
Wie gesagt, die Richtungen habe ich jetzt in die Pfeilrichtungen
reingearbeitet.
Und genau so wirkt eine Kraft zwischen Massenpunkt 2 und Massenpunkt
3, ebenfalls mit einer horizontalen und einer vertikalen Komponente.
Also F2, 3, Y, F2, 3, X, F2, 3, X, F2, 3, Y.
Und jetzt sieht man, na gut, die Horizontalkomponenten, die tragen
natürlich nichts zu dem Moment bei.
Allerdings die Vertikalkomponenten, und jetzt sind wir an der Stelle
ein bisschen ratlos, aber nur ein kleines bisschen.
Warum?
An der Stelle müssen wir letztendlich ein weiteres Axiom einführen,
das Euler'sche Axiom, dass nämlich diese Momente, die inneren, sich
gegenseitig wegheben.
Das heißt,
diese doppelte Summe von den Kreuzprodukten gleich 0 wäre ein Axiom
bei nichtzentralen Kräften.
Ist ein bisschen wie in der Statik, wenn Sie dran denken, zunächst
hatten Sie den Massenpunkt, da genügt Summe der Kräfte gleich 0.
Und Summe der Kräfte gleich 0 ist genau identisch, wie wenn Sie
irgendwo einen Bezugspunkt wählen und nehmen die Momente bezüglich dem
Bezugspunkt.
Momente gleich 0 ist dasselbe, lässt sich aus dem Kräftegleichgewicht
daher leiten.
Wenn Sie dann auf ein Fachwerk übergehen, dann heißt das, dass
zwischen den einzelnen Knotenpunkten die Kräfte jeweils nur in
Richtung der Punktverbindenden gehen.
Auch dort brauchen Sie nicht unbedingt eine Momentenbilanz, Sie können
das alles auf Kräftebilanzen zurückführen.
Wenn Sie allerdings nichtzentrale Kräfte zulassen, zum Beispiel
dadurch, dass Sie einen Balken haben oder irgendwas, dann müssen Sie
praktisch fordern, Summe der Kräfte gleich 0 plus Summe der Momente
gleich 0.
Da lässt sich dann die Momentenbilanz nicht mehr aus einer
Kräftebilanz herleiten.
Ähnlich auch hier.
Und man sieht, hier ist das Ganze letztendlich ein bisschen
allgemeiner.
In der Statik heißt es, Summe der Kräfte gleich 0, Summe der Momente
gleich 0.
In dem Fall, wenn Summe der Kräfte ungleich 0 ist oder Summe der
Momente ungleich 0, führt es eben zu einer Bewegung.
Gibt es dazu Fragen?
Ein Sonderfall liegt letztendlich wieder vor,
wenn die Summe der Momente bezüglich O gleich 0 ist.
Zum Beispiel für ein freies System oder zentrale Kräfte.
In dem Fall ist dann eben die Ableitung des Tralls bezüglich O gerade
0.
Das heißt, der Trall bezüglich O muss gerade sein.
L0 bezüglich O, also ein konstanter Vektor.
Einfach mal ausprobieren.
Sie setzen sich mit zwei gefüllten Maß Bier und ausgestreckten Armen
auf den Drehstuhl.
Ihr Kommilitone setzt Sie in Bewegung.
Und dann versuchen Sie mal gleichzeitig an den Krügen zu trinken.
Gleichzeitig trinken ist natürlich ein bisschen schwer.
Aber zumindest werden Sie dann bemerken, wenn die Massenpunkte nach
innen gehen, was passiert?
Sie werden schneller, weil letztendlich der Gesamttrall konstant
bleiben muss.
Und wenn man dann die wieder nach außen nimmt, wird man entsprechend
wieder langsamer.
Kennt auch jeder gute Sportler.
Macht jemand Saltos ab und zu?
Welch unsportliche Truppe.
Und wie macht man ein Salto?
Ganz einfach, man springt ab und dreht sich.
Aber wie dreht man sich?
Also ich bin jetzt auch kein Experte darin.
Ich würde es deshalb auch ungern vormachen, vor allen Dingen, weil ich
auch Herzprobleme habe.
Aber man weiß, wenn man abspringt, nimmt man, nachdem man in der Luft
ist, alle Gliedmaßen möglichst eng an sich.
Und wenn Sie mal die Turner, die praktischen Dreifachsalter vom Boden
aus springen, dann sehen Sie das.
Die haben die Beine praktisch an den Ohren da oben, dass alles
praktisch sehr kompakt ist.
Dadurch dreht man sehr schnell, sodass man während der Flugphase dann
wirklich auch die Drehungen machen kann.
Langsam wird man dadurch, dass man sich wieder streckt, weil eben der
Gesamtprall konstant bleiben muss.
Können Sie auch im Schwimmbad mal ausprobieren.
Und vielleicht an der Stelle noch eine Anmerkung.
Wenn wir einen bewegten Bezugspunkt haben,
nennen wir den mal A, da gilt die Beziehung,
in dem Falle ohne Beweis.
Zentral bezüglich A, abgeleitet nach der Zeit, ist nur Summe der
Momente bezüglich A.
Wenn wir auf der linken Seite einen Zusatzterm dazuschreiben, nämlich
Plus.
Und jetzt haben wir VA Kreuz M mal VS.
Jetzt sehen wir allerdings, wenn wir als bewegten Punkt nicht
irgendeinen Punkt nehmen, sondern den Schwerpunkt.
Also für A gleich S,
da haben wir VA Kreuz VS, was ja an der Stelle auftritt, ist dann VS
Kreuz VS, also gerade 0.
Weil das Kreuzprodukt von dem Vektor mit sich selbst 0 ergibt.
Und es folgt der Drall bezüglich dem Schwerpunkt, abgeleitet nach der
Zeit, gleich gerade Summe aller Momente M, I bezüglich dem
Schwerpunkt.
Also auch an der Stelle sieht man, dass letztendlich der Schwerpunkt
so ein bisschen ausgezeichneter Punkt ist.
Und der erste Glaubenssatz der Studierenden sollte damit heißen,
wahrscheinlich ist es sinnvoll, wenn ich mich zunächst mal immer auf
den Schwerpunkt beziehe.
Das kann man sich vielleicht mal merken.
Vielleicht zum Schluss noch, ganz kurz, das machen wir allerdings in
der nächsten Vorlesung vollends fertig.
Wie sieht es aus mit Arbeits- und Energiesatz?
Also,
nun für den I-Massenpunkt, da gilt, das sollten Sie wieder von vorne
wissen, dass eben die Differenz der kinetischen Energie für den
Massenpunkt I, das war Ti-Ti0, gerade entspricht der am Massenpunkt I
geleisteten Arbeit.
Und das ist in dem Fall ein Integral F dr. Und F setzt sich zusammen
aus der äußeren Kraft Fi plus den inneren Kräften, I gleich J bis N,
Fij dr.
Und jetzt sehen wir, das gibt natürlich Fi dr. I integriert ergibt
eine Arbeit am Massenpunkt I aufgrund der äußeren Kräfte plus eine
Arbeit am Massenpunkt I aufgrund der inneren Kräfte.
Also, Wi A war Integral Fi dr. I,
Arbeit der am Mi angreifenden äußeren Kräfte.
Und
dann entsprechend Wii gleich Integralsumme Fij, J gleich 1 bis N,
Skalarprodukt mit Dri, die Arbeit der
am Mi angreifenden äußeren Kräfte.
Und
jetzt werden wir wie schon die ganze Zeit natürlich eine Summation
über alle Massenpunkte durchführen.
Und wie sieht es dann aus mit der Arbeit der inneren Kräfte?
Verschwinden die oder verschwinden die nicht?
Oh, alle sind geschockt.
Keiner kann es abschätzen.
Wer denkt, dass die verschwinden?
Niemand.
Er denkt es.
Wer denkt, dass die nicht verschwinden?
Gar niemand.
Sehr schlechte Wahlbeteiligung.
Damit zeigt es, dass Sie sehr erschöpft sind von der Mechanik.
Die Lösung geben wir das nächste Mal bekannt, würde ich sagen.
Wenn Sie mich daran erinnern.
Ansonsten vielen Dank für die Aufmerksamkeit.