Willkommen zu diesem Video über die Binomialreihe.
Man fragt sich natürlich, warum man auf einem Kanal der
Stochastikclips heißt, ein Video zu einem Thema aus der Analysis
findet.
Aber der Grund ist ganz einfach.
Die Binomialreihe ist wichtig für den Umgang mit der sogenannten
negativen Binomialverteilung und diese Reihe ist nicht unbedingt
Standardstoff einer Analysis I-Vorlesung.
Dieses Video setzt voraus, dass man mit Potenzreihen umgehen kann.
Und an einigen Stellen wird es vielleicht nötig sein, das Video zu
stoppen und Papier und Bleistift zur Hand zu nehmen.
Wir werden sehen.
Ich beginne mit einer Definition des allgemeinen
Binomialkoeffizienten.
Sei hierzu Alpha eine beliebige reelle Zahl und ich definiere Alpha
über 0 zu 1 und ich definiere für eine natürliche Zahl n Alpha über n
als Alpha mal Alpha minus 1 mal Alpha minus 2 und so weiter bis ich n
Faktoren erreicht habe und dann teile ich durch n Fakultät.
Das ist der allgemeine Binomialkoeffizient und eine direkte Rechnung
liefert die Rekursionsformel Alpha plus 1 über n ist gleich Alpha über
n plus Alpha über n minus 1.
Diese Rekursionsformel kann man natürlich, wenn Alpha eine natürliche
Zahl ist, die größer gleich n ist, auf einfachen kombinatorischen Wege
herleiten, weil nämlich dann Alpha über n gedeutet werden kann als
Anzahl der n elementigen Teilmengen einer Alpha elementigen Menge.
Das kann ich natürlich für allgemeines reelles Alpha nicht machen und
hier muss ich einfach rechnen.
Weiter gilt folgendes, wenn man Alpha über n plus 1 betrachtet und das
dividiert durch Alpha über n, dann ergibt sich der Bruch Alpha minus n
dividiert durch n plus 1 und wenn man hier n gegen unendlich gehen
lässt, dann konvergiert das gegen minus 1.
Damit besitzt eine Potenzreihe und die Potenzreihe heißt
Binomialreihe.
Ich bezeichne sie mit g von x und sie ist definiert als Summe, man
sieht n läuft von 0 bis unendlich, Alpha über n mal x hoch n und die
ersten Glieder dieser Reihe sind 1, dann kommt plus Alpha mal x, plus
Alpha mal Alpha minus 1 x Quadrat durch 2 Fakultät, plus Alpha mal
Alpha minus 1 mal Alpha minus 2 x hoch 3 durch 3 Fakultät usw.
Diese Potenzreihe besitzt den Konvergenzradius 1.
Ich nehme das mal als Memo auf die nächste Folie, also g von x ist
diese Potenzreihe.
Man sieht, sie konvergiert auf jeden Fall im offenen Intervall von
minus 1 bis 1 und man weiß aus der Analyse, dass man diese Potenzreihe
auf diesem Intervall gliedweise differenzieren darf.
Das heißt, es gilt g' von x, die Ableitung ist, wenn man sich g
ansieht, dann bei der Ableitung von x hoch n kommt ein n herunter, n
mal und man sieht, der erste Summan verschwindet.
Es beginnt mit n gleich 1 und dann haben wir n mal Alpha über n mal x
hoch n minus 1.
Wenn man sich diesen allgemeinen Binomialkoeffizienten ansieht und ein
wenig rechnet, dann stellt man fest, was hier vor x hoch n minus 1
steht, kann ich auch schreiben in der Form Alpha mal Alpha minus 1
über n minus 1 und dann x hoch n minus 1 und das Alpha kann ich vor
die Summe ziehen und dann erkennt man, wenn ich n minus 1, was zweimal
auftritt, gedanklich wieder durch n ersetze, dann läuft das n von 0
bis unendlich.
Ich erhalte also die Summe n von 0 bis unendlich Alpha minus 1 über n
mal x hoch n.
Mit der Rekrussionsformel, die auf der letzten Folie stand, folgt dann
mit einer einfachen Rechnung.
1 plus x mal g' von x ist Alpha mal g von x im Intervall von minus 1
bis 1.
Man fragt sich natürlich, welche Funktion durch diese Potenzreihe
dargestellt wird.
Ich definiere jetzt eine Funktion f von x, wir werden sehen für welche
x die definiert ist, als 1 plus x in Klammern hoch Alpha.
Zur Erinnerung, das ist nichts anderes als e hoch Alpha mal
Logarithmus 1 plus x.
Und definiert ist das Ganze, da muss 1 plus x größer 0 sein wegen des
Logarithmus für x größer minus 1.
Wenn man jetzt hier ableitet, dann gilt wieder eine einfache Rechnung.
1 plus x mal f' von x ist Alpha mal f von x für x größer minus 1.
Wenn man das jetzt vergleicht mit der Gleichung 2 Zeilen drüber, 1
plus x mal g' von x ist gleich Alpha mal g von x, dann erkennt man,
wenn Alpha von 0 verschieden ist und ich dann die beiden Gleichungen
durcheinander dividiere, dann ergibt sich g' von x dividiert durch f'
von x ist g von x dividiert durch f von x für x Betrag kleiner 1.
Man beachtet, dass f von x positiv ist als e-Funktion, aber auch f'
von x ist positiv.
Wenn ich hier hoch multipliziere mit den Nennern, dann ergibt sich g'
von x mal f von x ist gleich f' von x mal g von x oder g von x mal f'
von x.
Und wenn ich das subtrahiere, dann erhalte ich minus g von x mal f'
von x ist 0 für x Betrag kleiner 1.
Auch das nehmen wir gleich auf die nächste Folie, wir sind nämlich
jetzt fast fertig mit einer ganz interessanten Darstellung.
Als Memo f von x ist definiert als 1 plus x hoch Alpha für x größer
minus 1 und g von x ist die Potenzreihe, diese Binomialreihe, die für
x Betrag kleiner 1 definiert ist.
Das zweite Memo ist die Gleichung, die wir eben hergeleitet haben,
nämlich g' von x mal f von x minus g von x mal f' von x ist gleich 0
für x Betrag kleiner 1.
Es folgt nun, jetzt muss man sich an die Quotientenregel erinnern beim
Ableiten.
Was ist denn die Ableitung des Quotienten g dividiert durch f?
Das ist ja gerade g' mal f minus g mal f' dividiert durch f².
Das bedeutet aber aufgrund der Gleichung da oben, bei der
Quotientenregel wird der Zähler gleich 0.
Es folgt, die Ableitung von g durch f an der Stelle x ist 0 für x
Betrag kleiner 1.
Das bedeutet aber auf diesem Intervall von minus 1 bis 1 ist der
Quotient g durch f eine Konstante.
Wir wollen noch die Konstante identifizieren.
Es gilt, 1 ist gleich, ich behaupte, das ist f von 0.
Jetzt muss man sich noch erinnern, wie war f von x definiert als e
hoch Alpha mal Logarithmus 1 plus x.
Wenn x gleich 0 ist, ist der Logarithmus von 1 plus x der Logarithmus
von 1 und der ist 0.
Und Alpha mal 0 ist 0 und e hoch 0 ist 1.
Das bedeutet f von 0 ist 1, aber auch g von 0.
Das bedeutet, der Quotient g durch f ist an der Stelle 0 gleich 1,
aber er ist konstant im Intervall von minus 1 bis 1.
Und das heißt, es gilt f von x gleich g von x für x Betrag kleiner 1.
Und damit haben wir folgenden berühmten Satz, der zuerst von Isaac
Newton im Alter von 24 Jahren gefunden wurde, und zwar für rationale
Exponenten, aber den ersten rigorosen Beweis gab es erst 110 Jahre
später durch Leonard Euler.
Der Satz, ich bezeichne ihn hier kurz mit Binomialreihe, besagt, für
jede reelle Zahl Alpha und für jede reelle Zahl x mit x Betrag kleiner
1 gilt, 1 plus x hoch Alpha ist diese Binomialreihe Summe n von 0 bis
unendlich Alpha über n mal x hoch n.
Man wird unschwer sehen, dass die rechte Seite gerade die Tälereihe
der linken Seite ist zum Entwicklungspunkt 0.