Herzlich willkommen zu diesem Video mit dem Titel Die Wallis
-Produktdarstellung für die Kreiszahl Pi.
John Wallis war ein englischer Mathematiker, der im 17.
Jahrhundert lebte und der hat im Jahr 1655 die folgende wirklich
frappierende Darstellung für die Zahl Pi entdeckt.
Ich formuliere das einmal als Satz.
Es gilt, die Kreiszahl Pi lässt sich darstellen als Grenzwert für n
gegen unendlich folgenden Ausdrucks.
Man sieht, es baut sich hier ein Bruch auf.
Der Zähler besteht aus Quadraten, 2² mal 4² und so weiter mal 2n in
Klammern zum Quadrat und im Nenner haben wir Quadrate von Ungeraden
Zahlen.
1² mal 3² und so weiter mal 2n-1 in Klammern zum Quadrat mal 1 durch
n.
Das ist die Behauptung, die Kreiszahl Pi lässt sich so darstellen.
Wir werden am Ende des Videos diese Darstellung verwenden, um bei
großem n die maximale Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung mit
Parametern 2n und p gleicheinhalb zu approximieren.
Doch jetzt zum Beweis.
Wir schreiben folgenden kurz Sinus und man sieht hier Sinus hoch nx
ist nichts anderes als Sinus von x in Klammern hoch n, das ist die
übliche Schreibweise und auch das gleiche beim Kosinus.
Wir verwenden wirklich nicht viel für den Beweis.
Ich zeige mal hier ein Achsenkreuz, man sieht die x-Achse von 0 bis Pi
halbe und es geht auf der y-Achse von 0 bis 1.
Das ist der Graph der Funktion Sinus x im Intervall von 0 bis Pi
halbe.
Es spielt sich also alles in diesem Bereich ab, man sieht die maximale
Höhe 1.
Und hier ist der Graph der Kosinus-Funktion.
Wichtig ist für uns nur, dass der Kosinus an der Stelle 0 gleich 1 ist
und an der Stelle Pi halbe gleich 0.
Wir definieren jetzt folgendes, eine Größe In, auf die wird es
entscheidend ankommen, das ist das Integral von 0 bis Pi halbe und
jetzt sehen wir der n-ten Potenz des Sinus.
Das machen wir für jedes n größer gleich 0.
Was wir auf jeden Fall sofort ablesen können ist, es gelten, nun was
ist I0, wenn ich n gleich 0 setze, Sinus von x hoch 0 ist 1, das heißt
wir integrieren die Funktion, die identisch 1 ist auf dem Intervall
von 0 bis Pi halbe und da kommt die Intervalllänge raus und das ist Pi
halbe.
Wir werden sehen, nur hierdurch kommt wirklich das Pi ins Spiel.
Wir sehen uns noch an, was bei n gleich 1 passiert, wenn ich den Sinus
integriere, die Stammfunktion ist Minus Kosinus und die muss ich
betrachten in den Grenzen von 0 bis Pi halbe, an der oberen Grenze Pi
halbe ist der Kosinus 0 und dann muss ich mit dem Minuszeichen Kosinus
von 0 betrachten, Kosinus von 0 ist 1, aber ich hatte vorher schon ein
Minuszeichen durch die Stammfunktion, das ergibt wieder ein
Pluszeichen, das heißt I1 ist gleich 1.
Jetzt kommt noch folgendes, was wirklich wichtig sein wird, eine
Monotoniebetrachtung.
Sinus von x ist eine Zahl im Intervall von 0 bis 1.
Das bedeutet, wenn ich n um 1 erhöhe, der Sinus von x hoch n plus 1
ist kleiner oder gleich dem Sinus von x hoch n und das überträgt sich
natürlich auch, wenn ich integriere, das bedeutet, wir haben die
Ungleichung ist kleiner oder gleich I n, für jedes n größer gleich 0.
Und das nutzen wir jetzt aus.
Das Einzige, was wir benötigen jetzt an Technik aus der Analyse, ist
partielle Integration.
Ich gehe aus gewissen Gründen zu einem neuen Index über, sagen wir k,
und das I k, wenn ich es hinschreibe, wäre jetzt das Integral von 0
bis Pi halbe, also jetzt müsste ich Sinus hoch k von x schreiben, aber
ich schreibe Sinus hoch k minus 1 von x mal Sinus x dx.
Ich habe hier ein Produkt von Funktionen, partielle Integration
besagt, ich kann jetzt erst die erste Funktion so lassen, Sinus hoch k
minus 1 von x, und bei der anderen zur Stammfunktion übergehen, das
ist Minus cosinus von x und das Ganze in den Grenzen von 0 bis Pi
halbe betrachten, das führt dann auf diesen Ausdruck.
Und dann müsste ich mit dem Minuszeichen jetzt die erste Funktion
differenzieren, mal, und die zweite bleibt als Stammfunktion stehen,
das war aber Minus cosinus und Minus minus ergibt wieder Plus, deshalb
habe ich hier ein Pluszeichen.
Und beim Differenzieren von Sinus hoch k minus 1 von x kommt der
Faktor k minus 1 herunter, den kann ich vor das Integral ziehen, also
habe ich k minus 1 mal Integral von 0 bis Pi halbe und jetzt steht da
noch Sinus hoch k minus 2 von x.
Und ich habe nochmal innere Ableitung, das ist der Cosinus von x, aber
es steht ja hinten auch die Stammfunktion, nämlich Cosinus von x, das
Minuszeichen habe ich schon verbaut vor der Klammer, also habe ich
hier Cosinus von x zum Quadrat dx.
Ich unterklammere mal diese beiden Ausdrücke.
Beim ersten sieht man, wenn man es ausrechnet, der Cosinus
verschwindet an der Stelle Pi halbe, da ist ja 0, und der Sinus
verschwindet an der Stelle 0, sodass man sofort erkennt, dieser
Ausdruck hier vorne ist 0.
Und wenn ich jetzt noch ausnutze, dass Sinus Quadrat von x plus
Cosinus Quadrat von x gleich 1 ist und damit Cosinus Quadrat von x
gleich 1 minus Sinus Quadrat von x ist, dann erhalte ich K-1 mal
Integral von Sinus hoch K-2 von x ist aber gerade K-1 mal i Index K-2.
Und jetzt habe ich mit dem Minuszeichen von hier, mit diesem
Minuszeichen, habe ich Minus und der Vorfaktor ist K-1, das kann ich
hinschreiben, aber dann habe ich Sinus hoch K-2 von x mal Sinus
Quadrat x.
Das ist aber gerade Sinus hoch K von x und das Integral haben wir iK
genannt.
Also steht hier noch iK und das kann ich jetzt auflösen.
Man sieht, hier vorne steht iK, wenn ich das K-1 iK noch rüberbringe
auf diese Seite und addiere auf beiden Seiten der Gleichung, dann
steht da K mal iK ist gleich und hier habe ich K-1 mal i Index K-2.
Das bedeutet, ich erhalte nach Division durch K, iK ist gleich K-1
dividiert durch K mal iK-2.
Das ist eine Rekursionsgleichung.
Wir erhalten jetzt mit unseren Anfangsbedingungen, wir wissen i0 ist
gleich Pi Halbe und wir wissen i1 ist gleich 1, erhalten wir, ich
mache das zunächst mal nur für einen geraden Index, i Index 2n.
Nun, wenn ich hier für K 2n einsetze, dann steht hier 2n-1 dividiert
durch 2n mal i2n-2.
Ich schreibe erstmal hin 2n-1 dividiert durch 2n, aber i2n-2, jetzt
sehe ich hier wieder mit dem K 2n-2 rein und 2n-2-1 ist 2n-3 dividiert
durch 2n-2, das steht hier als nächster Faktor und jetzt mal i2n-4.
Es geht so weiter, man sieht, es bauen sich solche Faktoren auf.
Oben stehen ungerade Zahlen, unten stehen gerade Zahlen.
Wenn man das fortsetzt, kommt man irgendwann zu 3 durch 4 mal 1 durch
2 und ganz am Ende hat man dann i0.
Und i0 ist Pi Halbe.
Das heißt, wir haben diese Produktdarstellung von i2n und wenn wir das
für eine ungerade Anzahl machen, erhalten wir völlig analog i2n plus 1
ist 2n dividiert durch 2n plus 1 mal 2n-2 dividiert durch 2n-1 und so
weiter mal 4 Fünftel mal 2 Drittel und jetzt mal i1 und i1 ist gleich
1.
Wir nutzen jetzt aus, dass i2n plus 1 kleiner gleich i2n kleiner
gleich i2n minus 1 ist.
Ich schreibe jetzt zunächst mal i2n plus 1 hin.
Ich vertausche nur die Reihenfolge der Faktoren gegenüber der letzten
Folie.
Das sieht dann so aus.
Das ist i2n plus 1.
i2n ist der nächste Ausdruck.
Ich darf natürlich nicht das Pi Halbe vergessen.
Und i2n minus 1 erhalte ich natürlich, indem ich hier für n n-1
einsetze und hier auch.
Und das liefert mir diesen Ausdruck.
Diese Ungleichungen sind jetzt der Schlüssel.
Ich erhalte jetzt folgendes.
Ich möchte gern in der Mitte das Pi Halbe isolieren, was da steht.
Das bedeutet, ich muss diese Ungleichung, ich sag mal salopp,
durchmultiplizieren mit diesem Nenner 2 mal 4 und so weiter mal 2n und
dann durchdividieren durch diesen Zähler.
Beim Hochmultiplizieren mit dem Nenner, wenn wir erstmal ganz nach
links sehen, ergeben sich in diesem Bruch oben lauter Quadrate.
2 Quadrat mal 4 Quadrat und so weiter mal 2n Quadrat.
Das heißt, wir erhalten zunächst mal das.
Und jetzt muss ich durch diesen Zähler dividieren.
Und was erhalte ich dann hier?
Die 1 kommt hier runter.
Dann habe ich die 3, die da oben steht, die kommt dann hier ins
Quadrat.
3 Quadrat und so weiter mal 5 Quadrat.
Der letzte Faktor hier oben ist 2n-1.
Das ist der Faktor, der hier vorsteht, der nicht hingeschrieben wurde.
Der kommt auch ins Quadrat.
2n-1 zum Quadrat.
Und dann bleibt noch übrig 2n plus 1.
Das heißt, ich erhalte auf der linken Seite das hier.
Und das ist jetzt kleine oder gleich Pi Halbe.
Jetzt mache ich das gleiche auf der rechten Seite.
Wenn ich hier durch multipliziere mit dem Nenner, dann quadriert sich
die 2.
2 Quadrat, 4 Quadrat kommt hoch.
Und hier habe ich einen Faktor da vorne.
Der ist 2n-2.
Der steht hier auch.
Der wird auch quadriert.
Und dann muss ich noch mit 2n multiplizieren.
Das kommt aber nur einmal oben hin.
Das mache ich so.
Ich schreibe es als Quadrat oben hin und muss dann dadurch teilen.
Beim Nenner sieht man 1 mal 3 usw.
mal 2n-1.
Die 1 kommt runter.
Die kann ich natürlich auch quadrieren.
3 Quadrat usw.
2n-1 Quadrat.
Da wird jeder Faktor im Nenner ins Quadrat erhoben.
Aber ich erhalte folgendes, kleiner gleich.
Jetzt sieht man hier inklusive 2n Quadrat.
Das ist eben wichtig.
Dividiert durch dem.
Und jetzt muss ich teilen durch 2n.
Das heißt, ich erhalte das.
Jetzt kürze ich ein bisschen was ab.
Ich nenne das, was links steht, an.
an ist also kleiner oder gleich Pi halbe.
Kleiner oder gleich.
Und das nenne ich bn.
Es bietet sich an, das links, was vor dem Faktor 1 durch 2n plus 1
steht, also dieser Bruch, in dem die Quadrate auftreten, mit pn
abzukürzen.
Das tritt dann auch rechts auf, vor dem Faktor 1 durch 2n.
Wir erhalten folgendes.
Eine Umgleichungskette 0 ist kleiner oder gleich bn minus Pi halbe.
Denn hier oben steht ja bn ist größer gleich Pi halbe.
Also bn minus Pi halbe ist größer gleich 0.
Auf der anderen Seite ist Pi halbe größer oder gleich an.
Das bedeutet, diese Differenz ist kleiner oder gleich der Differenz bn
minus an.
Und wenn ich hier subtrahiere, sowohl bn als auch an enthalten den
Faktor pn.
Den kann ich ausklammern.
Also steht da pn mal und was übrig bleibt, ist bei bn ganz rechts das
1 durch 2n.
Und von dem an ist es der Bruch 1 durch 2n plus 1.
Und diese Differenz dieser beiden Brüche kann ich auf den Hauptnenner
bringen.
Das ist dann nichts anderes als pn dividiert durch 2n mal 2n plus 1.
Und wenn man sich ansieht, das pn steht ja hier links.
Und wenn ich das durch 2n plus 1 teile, das heißt dieser letzte
Ausdruck pn durch 2n plus 1, das ist an.
Also steht hier an dividiert durch 2n.
Aber an ist eine beschränkte Folge, denn sie ist kleiner oder gleich
pi halbe.
Da der Zähler hier eine beschränkte Folge ist, wenn ich durch 2n
teile, konvergiert die rechte Seite dieser Umgleichungskette gegen 0.
Hier steht links größer gleich 0.
Also bleibt bn minus pi halbe nichts anderes übrig, als gegen 0 zu
konvergieren.
Das heißt aufgrund dieser Ungleichung folgt bn konvergiert gegen pi
halbe.
Und das war zu zeigen.
Ich hatte ja zu Beginn des Videos gesagt, dass wir das Resultat von
Wallace anwenden möchten auf den Fall der Binomialverteilung mit
Parametern 2n und p gleich 1 halb.
Ich nehme mal als Memo die Wallace-Darstellung auf die nächste Folie,
also die Darstellung von pi, die wir erhalten haben.
Wir können jetzt folgende Folgerung ziehen.
Es gilt, wenn wir auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, steht links
Wurzel aus pi und rechts verschwindet jedes der Quadrate und aus dem 1
durch n ganz rechts wird 1 durch Wurzeln.
Wenn wir dann noch zum Kehrwert übergehen, erhalten wir 1 durch
Wurzelpi ist der Limes für n gegen unendlich.
Und jetzt sieht man das Produkt 1 mal 3 und so weiter mal 2n minus 1
dividiert durch das Produkt der Geradenfaktoren 2 mal 4 und so weiter
bis 2n und dann mal Wurzeln.
Hier können wir folgendes machen.
Ich füge mal im Zähler Faktoren hinzu.
Ich schreibe 1 mal 2 mal 3 mal 4 und so weiter mal 2n minus 1 mal 2n.
Das muss ich natürlich gleich korrigieren.
Ich schreibe erstmal den Nenner, der drüber steht, hin.
Dieser Nenner besteht aus n Faktoren und jeder dieser Faktoren enthält
als Faktor die 2.
Wir erkennen also insgesamt den Faktor 2 hoch n und was dann übrig
bleibt, ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n.
Und das ist n Fakultät.
Der Nenner ist also gleich 2 hoch n mal n Fakultät.
Aber das, was ich rot im Zähler hinzugefügt habe, 2 mal 4 und so
weiter mal 2n, ist aber das gleiche, was drüber im Nenner stand.
Also das ist auch 2 hoch n mal n Fakultät.
Am Ende darf ich natürlich Wurzel aus n nicht vergessen.
Was man jetzt erkennt ist, der Zähler ist das Produkt der Zahlen von 1
bis 2n, das ist 2n in Klammern Fakultät.
Und im Nenner steht n Fakultät mal n Fakultät und das zusammen ist der
Binomialkoeffizient 2n über n.
Wir erhalten also, das ist gleich dem Limes 2n über n und oben haben
wir noch im Nenner 2 hoch n mal 2 hoch n, das ist 2 hoch 2n und das
kann ich jetzt schreiben als mal 1 halb hoch 2n.
Mal, nicht vergessen, Wurzel n.
Der Ausdruck 2n über n mal 1 halb hoch 2n ist aber die
Wahrscheinlichkeit, dass eine binomialverteilte Zufallsvariable mit
Parametern 2n und 1 halb den Wert n annimmt.
Das heißt anschaulich die maximale Höhe im Stabdiagramm der
Binomialverteilung mit diesen Parametern 2n und 1 halb.
Wir sehen also diese Wahrscheinlichkeit multipliziert mit Wurzel n
konvergiert gegen 1 durch Wurzel pi.
Das heißt grob können wir sagen, diese Wahrscheinlichkeit verhält sich
bei wachsendem n wie 1 durch Wurzel aus pi mal n.
Sie konvergiert also gegen 0, aber relativ langsam mit n.